【配套K12】[学习]2019年中考数学专题复习分类练习 应用题(无答案)

一次方程（组）及其应用好题随堂演练1．在解方程x －13＋x ＝3x ＋12时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是( ) A ．2x －1＋6x ＝3(3x ＋1)B ．2(x －1)＋6x ＝3(3x ＋1)C ．2(x －1)＋x ＝3(3x ＋1)D ．x －1＋x ＝3(x ＋1)2．若代数式4x －5与2x －12的值相等，则x 的值是( ) A ．1 B.32 C.23D ．2 3．(2018·东营)小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束(4个气球)为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为( )A ．19元B ．18元C ．16元D ．15元4．(2018·淮安)若关于x ，y 的二元一次方程 3x －ay ＝1 有一个解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2，则 a ＝ . 5．(2018·柳州)篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，艾美所在的球队在8场比赛中得14分．若设艾美所在的球队胜x 场，负y 场，则可列出方程组为 ．6．(2017·武汉)解方程：4x －3＝2(x －1)．7．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3－y ①3x ＋2y ＝2 ②.8．(2018·镇江)小李读一本名著，星期六读了36页，第二天读了剩余部分的14，这两天共读了整本书的38，这本名著共有多少页？参考答案1．B 2.B 3.B 4.4 5.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝82x ＋y ＝14 6．解：去括号，得4x －3＝2x －2，移项，得4x －2x ＝－2＋3，合并同类项，得2x ＝1，系数化为1，得x ＝12. 7．解：由①得y ＝3－2x ③，将③代入②得3x ＋2(3－2x)＝2，解得x ＝4，将x ＝4代入③得y ＝3－2×4＝－5，∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－5. 8．解：设这本名著共有x 页．根据题意，得36＋14(x －36)＝38x. 解得x ＝216.答：这本名著共有216页．。

相似一．解答题（共26小题）1．（2019•广西）如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B 不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．2．（2019•襄阳）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．①求证：DQ＝AE；②推断：的值为；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF 折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE 交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k时，若tan∠CGP，GF＝2，求CP的长．3．（2019•泸州）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O上，且PC2＝PB•P A．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．4．（2019•荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．5．（2019•眉山）如图1，在正方形ABCD中，AE平分∠CAB，交BC于点E，过点C作CF ⊥AE，交AE的延长线于点G，交AB的延长线于点F．（1）求证：BE＝BF；（2）如图2，连接BG、BD，求证：BG平分∠DBF；（3）如图3，连接DG交AC于点M，求的值．6．（2019•福建）已知△ABC和点A'，如图．（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC 面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．7．（2019•山西）综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上．此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一条直线上，折痕分别为CE，CF．如图2．第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3．第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME．如图5，图中的虚线为折痕．问题解决：（1）在图5中，∠BEC的度数是，的值是．（2）在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形：．8．（2019•常德）在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC于点N．（1）在图1中，求证：△BMC≌△CNB；（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：PE+PF＝BM；（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：AM•PF+OM•BN＝AM•PE．9．（2019•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE．（1）求证：△DBE是等腰三角形；（2）求证：△COE∽△CAB．10．（2019•淄博）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．（1）试证明DM⊥MG，并求的值．（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．11．（2019•武汉）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点．（1）如图1，求证：AB2＝4AD•BC；（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．12．（2019•宿迁）如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．13．（2019•武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°，n，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：．②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）14．（2019•南京）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．小明的作法1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．15．（2019•乐山）在△ABC中，已知D是BC边的中点，G是△ABC的重心，过G点的直线分别交AB、AC于点E、F．（1）如图1，当EF∥BC时，求证：1；（2）如图2，当EF和BC不平行，且点E、F分别在线段AB、AC上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．16．（2019•泰安）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP 是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．17．（2019•绍兴）如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k＝MN：EF．（1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值．（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值．（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求a：b 的值．18．（2019•凉山州）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．19．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求证：△P AB∽△PBC；（2）求证：P A＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．20．（2019•台州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F，AP＝FD．（1）求的值；（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM＝EB，连接MF，求证：MF＝PF；（3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ＝AP，连接BQ，BN．将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上．请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上，并说明理由．21．（2019•巴中）△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．③在②的条件下求出点B经过的路径长．22．（2019•成都）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tan B，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．23．（2019•长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（命题）②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（命题）③两个大小不同的正方形相似．（命题）（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值．24．（2019•南充）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与CB交于点N，连接CG．（1）求证：CD⊥CG；（2）若tan∠MEN，求的值；（3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为？请说明理由．25．（2019•衢州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G．（1）求CD的长．（2）若点M是线段AD的中点，求的值．（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG＝60°？26．（2019•德州）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：GC：EB；（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：AB＝AH：AE＝1：2，此时HD：GC：EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．相似参考答案与试题解析一．解答题（共26小题）1．【解答】（1）证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB+∠CBG＝90，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，∴∠FBA+∠CBG＝90，∴∠GCB＝∠FBA，∴△ABF≌△BCE（ASA）；（2）证明：如图2，过点D作DH⊥CE于H，设AB＝CD＝BC＝2a，∵点E是AB的中点，∴EA＝EB AB＝a，∴CE a，在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG•CE＝CB•EB，∴BG a，∴CG a，∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠CBF+∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，∵CD＝BC，∠CHD＝∠CGB＝90°，∴△CHD≌△BGC（AAS），∴CH＝BG a，∴GH＝CG﹣CH a＝CH，∵DH＝DH，∠CHD＝∠GHD＝90°，∴△DGH≌△CDH（SAS），∴CD＝GD；（3）解：如图3，过点D作DQ⊥CE于Q，S△CDG•DQ•CG CH•DG，∴CH a，在Rt△CQD中，CD＝2a，∴DH a，∵∠MDH+∠HDC＝90°，∠HCD+∠HDC＝90°，∴∠MDH＝∠HCD，∴△CHD∽△DHM，∴，∴HM a，在Rt△CHG中，CG a，CH a，∴GH a，∵∠MGH+∠CGH＝90°，∠HCG+∠CGH＝90°，∴∠CGH＝∠CNG，∴△GHN∽△CHG，∴，∴HN a，∴MN＝HM﹣HN a，∴2．【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴∠QAO＝∠ADO．∴△ABE≌△DAQ（ASA），∴AE＝DQ．②解：结论：1．理由：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，∴DQ∥FG，∵FQ∥DG，∴四边形DQFG是平行四边形，∴FG＝DQ，∵AE＝DQ，∴FG＝AE，∴1．故答案为1．（2）解：结论：k．理由：如图2中，作GM⊥AB于M．∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴k．（3）解：如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．∵FB∥GC，FE∥GP，∴∠CGP＝∠BFE，∴tan∠CGP＝tan∠BFE，∴可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，∵，FG＝2，∴AE＝3，∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，∴K＝1或﹣1（舍弃），∴BE＝3，AB＝9，∵BC：AB＝2：3，∴BC＝6，∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，∴∠FEB＝∠EPM，∴△FBE∽△EMP，∴，∴，∴EM，PM，∴CM＝EM﹣EC3，∴PC．3．【解答】（1）证明：连接OC，如图1所示：∵PC2＝PB•P A，即，∵∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，∴∠PCB＝∠P AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：连接OD，如图2所示：∵PC＝20，PB＝10，PC2＝PB•P A，∴P A40，∴AB＝P A﹣PB＝30，∵△PBC∽△PCA，∴2，设BC＝x，则AC＝2x，在Rt△ABC中，x2+（2x）2＝302，解得：x＝6，即BC＝6，∵点D是的中点，AB为⊙O的直径，∴∠AOD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AEF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴∠DFO＝∠ABC，∴△DOF∽△ACB，∴，∴OF OD，即AF，∵EF∥BC，∴，∴EF BC．4．【解答】解：令OE＝a，AO＝b，CB＝x，则由△GDC∽△EOC得，即，整理得：3.2+1.6b＝2.1a﹣ax①，由△FBA∽△EOA得，即，整理得：1.6b＝2a﹣ax②，将②代入①得：3.2+2a﹣ax＝2.1a﹣ax，∴a＝32，即OE＝32，答：楼的高度OE为32米．5．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠EAB+∠AEB＝90°，∵AG⊥CF，∴∠FCB+∠CEG＝90°，∵∠AEB＝∠CEG，∴∠EAB＝∠FCB，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（ASA），∴BE＝BF；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CAB＝45°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAG＝∠F AG＝22.5°，在△AGC和△AGF中，，∴△AGC≌△AGF（ASA），∴CG＝GF，∵∠CBF＝90°，∴GB＝GC＝GF，∴∠GBF＝∠GFB＝90°﹣∠FCB＝90°﹣∠GAF＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠DBG＝180°﹣∠ABD﹣∠GBF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠DBG＝∠GBF，∴BG平分∠DBF；（3）解：连接BG，如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝AB，∠DCA＝∠ACB＝45°，∠DCB＝90°，∴AC DC，∵∠DCG＝∠DCB+∠BCF＝∠DCB+∠GAF＝90°+22.5°＝112.5°，∠ABG＝180°﹣∠GBF＝180°﹣67.5°＝112.5°，∴∠DCG＝∠ABG，在△DCG和△ABG中，，∴△DCG≌△ABG（SAS），∴∠CDG＝∠GAB＝22.5°，∴∠CDG＝∠CAG，∵∠DCM＝∠ACE＝45°，∴△DCM∽△ACE，∴．6．【解答】解：（1）作线段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即可所求．证明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴（2）证明：∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，∴DE，，，∴△DEF∽△ABC同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D'E'F'．7．【解答】解：（1）由折叠的性质得：BE＝EN，AE＝AF，∠CEB＝∠CEN，∠BAC＝∠CAD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAF＝90°，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴∠BEN＝135°，∴∠BEC＝67.5°，∴∠BAC＝∠CAD＝45°，∵∠AEF＝45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AE EN，∴；故答案为：67.5°，；（2）四边形EMGF是矩形；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，由折叠的性质得：∠BCE＝∠ECA＝∠ACF＝∠FCD，CM＝CG，∠BEC＝∠NEC＝∠NFC ＝∠DFC，∴∠BCE＝∠ECA＝∠ACF＝∠FCD22.5°，∠BEC＝∠NEC＝∠NFC＝∠DFC ＝67.5°，由折叠可知：MH、GH分别垂直平分EC、FC，∴MC＝ME＝CG＝GF，∴∠MEC＝∠BCE＝22.5°，∠GFC＝∠FCD＝22.5°，∴∠MEF＝90°，∠GFE＝90°，∵∠MCG＝90°，CM＝CG，∴∠CMG＝45°，∵∠BME＝∠BCE+∠MEC＝22.5°+22.5°＝45°，∴∠EMG＝180°﹣∠CMG﹣∠BME＝90°，∴四边形EMGF是矩形；（3）连接EH、FH，如图所示：∵由折叠可知：MH、GH分别垂直平分EC、FC，同时EC、FC也分别垂直平分MH、GH，∴四边形EMCH与四边形FGCH是菱形，故答案为：菱形EMCH或菱形FGCH．8．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵CM⊥AB，BN⊥AC，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，在△BMC和△CNB中，，∴△BMC≌△CNB（AAS）；（2）∵△BMC≌△CNB，∴BM＝NC，∵PE∥AB，∴△CEP∽△CMB，∴，∵PF∥AC，∴△BFP∽△BNC，∴，∴1，∴PE+PF＝BM；（3）同（2）的方法得到，PE﹣PF＝BM，∵△BMC≌△CNB，∴MC＝BN，∵∠ANB＝90°，∴∠MAC+∠ABN＝90°，∵∠OMB＝90°，∴∠MOB+∠ABN＝90°，∴∠MAC＝∠MOB，又∠AMC＝∠OMB＝90°，∴△AMC∽△OMB，∴，∴AM•MB＝OM•MC，∴AM×（PE﹣PF）＝OM•BN，∴AM•PF+OM•BN＝AM•PE．9．【解答】证明：（1）连接OD，如图所示：∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADO+∠BDE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵OA＝OD，∴∠CAB＝∠ADO，∴∠BDE＝∠CBA，∴EB＝ED，∴△DBE是等腰三角形；（2）∵∠ACB＝90°，AC是⊙O的直径，∴CB是⊙O的切线，∵DE是⊙O的切线，∴DE＝EC，∵EB＝ED，∴EC＝EB，∵OA＝OC，∴OE∥AB，∴△COE∽△CAB．10．【解答】（1）证明：如图1中，延长DM交FG的延长线于H．∵四边形ABDE，四边形BCFG都是正方形，∴DE∥AC∥GF，∴∠EDM＝∠FHM，∵∠EMD＝∠FMH，EM＝FM，∴△EDM≌△FHM（AAS），∴DE＝FH，DM＝MH，∵DE＝2FG，BG＝DG，∴HG＝DG，∵∠DGH＝∠BGF＝90°，MH＝DM，∴GM⊥DM，DM＝MG，连接EB，BF，设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2a，BF a，∵∠EBD＝∠DBF＝45°，∴∠EBF＝90°，∴EF a，∵EM＝MF，∴BM EF a，∵HM＝DM，GH＝FG，∴MG DF a，∴．（2）解：（1）中的值有变化．理由：如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于O′．∵DO＝OA，DG＝GB，∴GO∥AB，OG AB，∵GF∥AC，∴O，G，F共线，∵FG AB，∴OF＝AB＝DF，∵GF∥AC，AC∥OF，∴DE∥OF，∴OD与EF互相平分，∵EM＝MF，∴点M在直线AD上，∵GD＝GB＝GO＝GF，∴四边形OBFD是矩形，∴∠OBF＝∠ODF＝∠BOD＝90°，∵OM＝MD，OG＝GF，∴MG DF，设BC＝m，则AB＝2m，易知BE＝2OB＝2•2m•sinα＝4m sinα，BF＝2BO°＝2m•cosα，DF＝OB＝2m•sinα，∵BM EF，GM DF＝m•sinα，∴．11．【解答】（1）证明：连接OC、OD，如图1所示：∵AM和BN是它的两条切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∴∠ADE+∠BCE＝180°∵DC切⊙O于E，∴∠ODE∠ADE，∠OCE∠BCE，∴∠ODE+∠OCE＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠AOD+∠COB＝90°，∵∠AOD+∠ADO＝90°，∴∠AOD＝∠OCB，∵∠OAD＝∠OBC＝90°，∴△AOD∽△BCO，∴，∴OA2＝AD•BC，∴（AB）2＝AD•BC，∴AB2＝4AD•BC；（2）解：连接OD，OC，如图2所示：∵∠ADE＝2∠OFC，∴∠ADO＝∠OFC，∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，∴∠OFC＝∠FOC，∴CF＝OC，∴CD垂直平分OF，∴OD＝DF，在△COD和△CFD中，，∴△COD≌△CFD（SSS），∴∠CDO＝∠CDF，∵∠ODA+∠CDO+∠CDF＝180°，∴∠ODA＝60°＝∠BOC，∴∠BOE＝120°，在Rt△DAO，AD OA，Rt△BOC中，BC OB，∴AD：BC＝1：3，∵AD＝1，∴BC＝3，OB，∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE＝233π．12．【解答】解：（1）如图②中，由图①，∵点D为边AB中点，点E为边BC中点，∴DE∥AC，∴，∴，∵∠DBE＝∠ABC，∴∠DBA＝∠EBC，∴△DBA∽△EBC．（2）∠AGC的大小不发生变化，∠AGC＝30°．理由：如图③中，设AB交CG于点O．∵△DBA∽△EBC，∴∠DAB＝∠ECB，∵∠DAB+∠AOG+∠G＝180°，∠ECB+∠COB+∠ABC＝180°，∠AOG＝∠COB，∴∠G＝∠ABC＝30°．（3）如图③﹣1中．设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向左边等边△ACO，连接OG，OB．以O为圆心，OA为半径作⊙O，∵∠AGC＝30°，∠AOC＝60°，∴∠AGC∠AOC，∴点G在⊙O上运动，以B为圆心，BD为半径作⊙B，当直线与⊙B相切时，BD⊥AD，∴∠ADB＝90°，∵BK＝AK，∴DK＝BK＝AK，∵BD＝BK，∴BD＝DK＝BK，∴△BDK是等边三角形，∴∠DBK＝60°，∴∠DAB＝30°，∴∠BOG＝2∠DAB＝60°，∴的长，观察图象可知，点G的运动路程是的长的两倍．13．【解答】（1）证明：如图1中，延长AM交CN于点H．∵AM⊥CN，∴∠AHC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∠BCN+∠CMH＝90°，∵∠AMB＝∠CMH，∴∠BAM＝∠BCN，∵BA＝BC，∠ABM＝∠CBN＝90°，∴△ABM≌△CBN（ASA），∴BM＝BN．（2）①证明：如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．∵BP⊥AM，∴∠BPM＝∠ABM＝90°，∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠CBH+∠BMP＝90°，∴∠BAM＝∠CBH，∵CH∥AB，∴∠HCB+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABM＝∠BCH＝90°，∵AB＝BC，∴△ABM≌△BCH（ASA），∴BM＝CH，∵CH∥BQ，∴．②解：如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC＝2m，则AB＝2mn．则BM＝CM＝m，CH，BH，AM＝m，∵•AM•BP•AB•BM，∴PB，∵•BH•CN•CH•BC，∴CN，∵CN⊥BH，PM⊥BH，∴MP∥CN，∵CM＝BM，∴PN＝BP，∵∠BPQ＝∠CPN，∴tan∠BPQ＝tan∠CPN．方法二：易证：，∵PN＝PB，tan∠BPQ．14．【解答】（1）证明：∵DE＝DG，EF＝DE，∴DG＝EF，∵DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形，∵DG＝DE，∴四边形DEFG是菱形．（2）如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB5，则CD x，AD x，∵AD+CD＝AC，∴x＝3，∴x，∴CD x，观察图象可知：0≤CD时，菱形的个数为0．如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．∵DG∥AB，∴，∴，解得m，∴CD＝3，如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．∵DG∥AB，∴，∴，∴n，∴CG＝4，∴CD，观察图象可知：当0≤CD或CD≤3时，菱形的个数为0，当CD或CD 时，菱形的个数为1，当CD时，菱形的个数为2．15．【解答】（1）证明：∵G是△ABC重心，∴，又∵EF∥BC，∴，，则；（2）解：（1）中结论成立，理由如下：如图2，过点A作AN∥BC交EF的延长线于点N，FE、CB的延长线相交于点M，则△BME∽△ANE，△CMF∽△ANF，，，∴，又∵BM+CM＝BM+CD+DM，而D是BC的中点，即BD＝CD，∴BM+CM＝BM+BD+DM＝DM+DM＝2DM，∴，又∵，∴，故结论成立；（3）解：（1）中结论不成立，理由如下：当F点与C点重合时，E为AB中点，BE＝AE，点F在AC的延长线上时，BE＞AE，∴，则，同理：当点E在AB的延长线上时，，∴结论不成立．16．【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，∴∠AGP＝∠APG，∴AP＝AG，∵P A⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，∴P A＝PF，∴PF＝AG，∵AE⊥BD，PF⊥BD，∴PF∥AG，∴四边形AGFP是平行四边形，∵P A＝PF，∴四边形AGFP是菱形．（2）证明：如图②中，∵AE⊥BD，PE⊥EC，∴∠AED＝∠PEC＝90°，∴∠AEP＝∠DEC，∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠EAP＝∠EDC，∴△AEP∽△DEC，∴，∵AB＝CD，∴AE•AB＝DE•AP；（3）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∴BD，∵AE⊥BD，∴S△ABD•BD•AE•AB•AD，∴AE，∴DE，∵AE•AB＝DE•AP；∴AP．17．【解答】解：（1）如图1中，作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．∵四边形ABCD是正方形，∴FH＝AB，MQ＝BC，∵AB＝CB，∴FH＝MQ，∵EF⊥MN，∴∠EON＝90°，∵∠ECN＝90°，∴∠MNQ+∠CEO＝180°，∠FEH+∠CEO＝180°∴∠FEH＝∠MNQ，∵∠EHF＝∠MQN＝90°，∴△FHE≌△MQN（ASA），∴MN＝EF，∴k＝MN：EF＝1．（2）∵a：b＝1：2，∴b＝2a，由题意：2a≤MN a，a≤EF a，∴当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大最大值，当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为．（3）连接FN，ME．∵k＝3，MP＝EF＝3PE，∴3，∴2，∵∠FPN＝∠EPM，∴△PNF∽△PME，∴2，ME∥NF，设PE＝2m，则PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m，①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合．作FH⊥BD于H．∵∠MPE＝∠FPH＝60°，∴PH＝2m，FH＝2m，DH＝10m，∴．②如图3中，当点N与C重合，作EH⊥MN于H．则PH＝m，HE m，∴HC＝PH+PC＝13m，∴tan∠HCE，∵ME∥FC，∴∠MEB＝∠FCB＝∠CFD，∵∠B＝∠D，∴△MEB∽△CFD，∴2，∴，综上所述，a：b的值为或．18．【解答】证明：（1）∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，∴△ABD∽△BCD∴∴BD2＝AD•CD（2）∵BM∥CD∴∠MBD＝∠BDC∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA∴BM＝MD＝AM＝4∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8，∴BD2＝48，∴BC2＝BD2﹣CD2＝12∴MC2＝MB2+BC2＝28∴MC＝2∵BM∥CD∴△MNB∽△CND∴，且MC＝2∴MN19．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC又∠APB＝135°，∴∠P AB+∠PBA＝45°∴∠PBC＝∠P AB又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△P AB∽△PBC（2）∵△P AB∽△PBC∴在Rt△ABC中，AC＝BC，∴∴∴P A＝2PC（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°∴∠APC＝90°，∴∠EAP+∠ACP＝90°，又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°∴∠EAP＝∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴，即，∴h3＝2h2∵△P AB∽△PBC，∴，∴∴．即：h12＝h2•h3．20．【解答】解：（1）设AP＝FD＝a，∴AF＝2﹣a，∵四边形ABCD是正方形∴AB∥CD∴△AFP∽△DFC∴即∴a1∴AP＝FD1，∴AF＝AD﹣DF＝3∴（2）在CD上截取DH＝AF∵AF＝DH，∠P AF＝∠D＝90°，AP＝FD，∴△P AF≌△HDF（SAS）∴PF＝FH，∵AD＝CD，AF＝DH∴FD＝CH＝AP1∵点E是AB中点，∴BE＝AE＝1＝EM∴PE＝P A+AE∵EC2＝BE2+BC2＝1+4＝5，∴EC∴EC＝PE，CM1∴∠P＝∠ECP∵AP∥CD∴∠P＝∠PCD∴∠ECP＝∠PCD，且CM＝CH1，CF＝CF∴△FCM≌△FCH（SAS）∴FM＝FH∴FM＝PF（3）若点B'在BN上，如图，以A原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，∵EN⊥AB，AE＝BE∴AQ＝BQ＝AP1由旋转的性质可得AQ＝AQ'1，AB＝AB'＝2，Q'B'＝QB1，∵点B（0，﹣2），点N（2，﹣1）∴直线BN解析式为：y x﹣2设点B'（x，x﹣2）∴AB'2∴x∴点B'（，）∵点Q'（1，0）∴B'Q'1∴点B旋转后的对应点B'不落在线段BN上．21．【解答】解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；②如图，△A2B2C为所作；③CB，点B经过的路径长π．22．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，∴△BAD∽△DCE．（2）解：如图2中，作AM⊥BC于M．在Rt△ABM中，设BM＝4k，则AM＝BM•tan B＝4k3k，由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，∴202＝（3k）2+（4k）2，∴k＝4或﹣4（舍弃），∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BC＝2BM＝2•4k＝32，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB，∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴，∴DB，∵DE∥AB，∴，∴AE．（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，∴四边形AMHN为矩形，∴∠MAN＝90°，MH＝AN，∵AB＝AC，AM⊥BC，∵AB＝20，tan B∴BM＝CM＝16，∴BC＝32，在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM12，∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF＝90°＝∠AMD，∵∠DAF＝90°＝∠MAN，∴∠NAF＝∠MAD，∴△AFN∽△ADM，∴tan∠ADF＝tan B，∴AN AM12＝9，∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝16﹣9＝7，当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，∵FH⊥DC，∴CD＝2CH＝14，∴BD＝BC﹣CD＝32﹣14＝18，∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝18．23．【解答】（1）解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为假，假，真．（2）证明：如图1中，连接BD，B1D1．∵∠BCD＝∠B1C1D1，且，∴△BCD∽△B1C1D1，∴∠CDB＝∠C1D1B1，∠C1B1D1＝∠CBD，∵，∴，∵∠ABC＝∠A1B1C1，∴∠ABD＝∠A1B1D1，∴△ABD∽△A1B1D1，∴，∠A＝∠A1，∠ADB＝∠A1D1B1，∴，，∠ADC＝∠A1D1C1，∠A＝∠A1，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．。

三、尺规作图满分训练1.（2018·某铁一中模拟）如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=108°,请你利用尺规在BC边上求作一点P，使∠APB=72°。

（不写作法，保留作图痕迹）2.（2017·某师大附中模拟）如图，△DEF是由△ABC通过一次旋转得到的，请用直尺和圆规画出旋转中心。

3.在直线AB的同侧作△ABD与△ABC全等。

（尺规作图，点C与D不重合，保留作图痕迹，不用证明）4.（2017·某师大附中模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，点E为四边形ABCD边上一点，用尺规确定直线AE,使S△ADE=S△ABE。

（不写作法，保留作图痕迹）5.（2017·某爱知中学模拟）已知：O为△ABC中AB边上一点，求作：⊙O，使⊙O与BC边切于点C。

（保留作图痕迹）6.（2017·某铁一中模拟）如图，点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB，BC上找一点M 和N，使△PMN的周长最小。

（保留作图痕迹，不写作法）7.某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图，请利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置。

（保留作图痕迹，不写作法）8.如图，BC是四边形ABCD的最大边，试以BC为一边用尺规作一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积。

（保留作图痕迹，不写作法）9.（2017·某益新中学模拟）如图，在射线B A，BC上分别找一点E,F，使ME+NF+EF最小。

（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）10.李军在为班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计中需将一个半圆面三等分，请你帮助他设计一个合理的等分方案。

（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）11.（2018·陕西模拟）如图，某单位准备在院内一块四边形ABCD草坪内栽上一棵皂荚树，要求皂荚树的位置点P到边BC,CD的距离相等，并且点P到点A,D的距离也相等，请用尺规作出皂荚树的位置点P。

第一节函数及其图象类型一图形与坐标1.[2018河南,9]涉及考点:平行四边形的性质、尺规作图、角平分线的性质、勾股定理、点的坐标的求法如图,已知▱AOBC的顶点O(0,0),A(-1,2),点B在x轴的正半轴上.按以下步骤作图:①以点O为圆心、适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心、大于DE 的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G.则点G的坐标为( )A.(-1,2)B.(,2)C.(3-,2)D.(-2,2)2.[2017河南,9]涉及考点:菱形的性质、勾股定理、平移的性质、点的坐标的求法我们知道:四边形具有不稳定性.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD的边AB 在x轴上,AB的中点是坐标原点O.固定点A,B,把正方形沿箭头方向推,使点D落在y轴正半轴上的点D'处,则点C的对应点C'的坐标为( )A.(,1)B.(2,1)C.(1,)D.(2,)类型二坐标规律探究3.[2015河南,8]涉及考点:点的坐标规律如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O1,O2,O3,…组成一条平滑的曲线.点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒个单位长度,则第2 015秒时,点P的坐标是( )A.(2 014,0)B.(2 015,-1)C.(2 015,1)D.(2 016,0)4.[2018河南,10]涉及考点:菱形的性质、动点问题中函数图象的分析如图(1),点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1 cm/s的速度匀速运动到点B.图(2)是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的图象,则a的值为( )图(1) 图(2)A. B.2 C. D.25.[2014河南,8]涉及考点:勾股定理、动点问题中函数图象的识别如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1 cm,BC=2 cm,点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿折线AC→CB→BA运动,最终回到点A.设点P的运动时间为x(s),线段AP的长度为y(cm),则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是( )A B C D6.[2017河南,14]涉及考点:动点问题中函数图象的分析如图(1),点P从△ABC的顶点B出发,沿B—C—A匀速运动到点A.图(2)是点P运动时,线段BP的长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是.图(1) 图(2)第二节一次函数的图象与性质1.[2010河南,9]涉及考点:一次函数的增减性写出一个y随x的增大而增大的一次函数的解析式: .2.[2012河南,7]涉及考点:一次函数与一元一次不等式的关系如图,函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则不等式2x<ax+4的解集为( )A.x<B.x<3C.x>D.x>33.[2015河南,11]涉及考点:一次函数与反比例函数的图象与性质如图,直线y=kx与双曲线y=(x>0)交于点A(1,a),则k= .4.[2011河南,20]涉及考点:一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、函数解析式的确定、函数与不等式的关系、根据图形面积关系确定点的坐标如图,一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2=的图象交于点A(4,m)和B(-8,-2),与y轴交于点C.(1)k1= ,k2= .(2)根据函数图象可知,当y1>y2时,x的取值范围是.(3)过点A作AD⊥x轴于点D,点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP与线段AD交于点E,当S四边形ODAC∶S△ODE=3∶1时,求点P的坐标.第三节一次函数的实际应用类型一图象信息型1.[2012河南,19]涉及考点:一次函数图象的应用甲、乙两人同时从相距90 km的A地前往B地,甲乘汽车,乙骑摩托车,甲到达B地停留0.5 h 后返回A地.如图是他们离A地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系图象.(1)求甲从B地返回A地的过程中,y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)若乙出发2 h后和甲相遇,求乙从A地到B地用了多长时间.2.[2015河南,21]涉及考点:一次函数图象的应用某游泳馆普通票售价20元/张,暑期为了促销,新推出两种优惠卡:①金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费;②银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元.暑期普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑期使用,不限次数.设暑期游泳x次时,所需总费用为y元.(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数关系式;(2)在同一个坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图所示,请求出点A,B,C的坐标;(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.类型二文字信息型3.[2018河南,21]涉及考点:一次函数、二次函数、不等式的应用某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系.:(注:日销售利润=日销售量×(销售单价-成本单价))(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值.(2)根据以上信息,填空:该产品的成本单价是元;当销售单价x= 元时,日销售利润w最大,最大值是元.(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本.预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3 750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元?4.[2017河南,21]涉及考点:一次方程(组)、一次函数、不等式的应用学校“百变魔方”社团准备购买A,B两种魔方.已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元,购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同.(1)求这两种魔方的单价;(2)结合社员们的需求,社团决定购买A,B两种魔方共100个(其中A种魔方不超过50个).某商店有两种优惠活动,如图所示.请根据以上信息,说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠.5.[2009河南,19]涉及考点:一次函数的应用暑假期间,小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游.出发前,汽车油箱内储油45升;当行驶150千米时,发现油箱剩余油量为30升.(1)已知油箱剩余油量y(升)是关于行驶路程x(千米)的一次函数,求y与x的函数关系式;(2)当油箱剩余油量少于3升时,汽车将自动报警.如果往返途中不加油,他们能否在汽车报警前回到家?请说明理由.6.[2013河南,21]涉及考点:一次方程(组)、一次函数、不等式的应用某文具商店销售功能相同的A,B两种品牌的计算器,购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元,购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元.(1)求这两种品牌计算器的单价;(2)学校开学前夕,该商店对这两种计算器开展了促销活动,具体办法如下:A品牌计算器按原价的八折销售,B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售.设购买x个A品牌的计算器需要y1元,购买x个B品牌的计算器需要y2元,分别求出y1,y2关于x的函数关系式;(3)小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器,若购买计算器的数量超过5个,购买哪种品牌的计算器更合算?请说明理由.第四节反比例函数1.[2016河南,5]涉及考点:|k|的几何意义如图,过反比例函数y=(x>0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B,连接AO,若S△AOB=2,则k的值为( )A.2B.3C.4D.52.[2012河南,13]涉及考点:反比例函数的图象与性质、三角形面积公式、|k|的几何意义如图,点A,B在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上,过点A,B作x轴的垂线,垂足分别为M,N,延长线段AB交x轴于点C,若OM=MN=NC,△AOC的面积为6,则k的值为.3.[2018河南,18]涉及考点:反比例函数解析式的确定、|k|的几何意义如图,反比例函数y=(x>0)的图象过格点(网格线的交点)P.(1)求反比例函数的解析式;(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件:①四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P;②矩形的面积等于k的值.4.[2017河南,13]涉及考点:反比例函数的增减性已知点A(1,m),B(2,n)在反比例函数y=-的图象上,则m与n的大小关系为.5.[2009河南,12]涉及考点:反比例函数的增减性、函数值的取值范围点A(2,1)在反比例函数y=的图象上,当1<x<4时,y的取值范围是.6.[2017河南,20]涉及考点:反比例函数与一次函数的图象与性质、三角形面积公式及二次函数性质的应用如图,一次函数y=-x+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(m,3)和B(3,1).(1)填空:一次函数的解析式为,反比例函数的解析式为;(2)点P是线段AB上一点,过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP,若△POD的面积为S,求S的取值范围.7.[2013河南,20]涉及考点:矩形的性质、反比例函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、函数解析式的确定如图,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(2,3).双曲线y=(x>0)经过BC的中点D,且与AB交于点E,连接DE.(1)求k的值及点E的坐标;(2)若点F是OC边上一点,且△FBC∽△DEB,求直线FB的解析式.第五节二次函数的图象与性质1.[2013河南,8]涉及考点:二次函数图象的增减性在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是( )A.x<1B.x>1C.x<-1D.x>-12.[2016河南,13]涉及考点:二次函数的图象的对称性及顶点坐标已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是.3.[2015河南,12]涉及考点:二次函数图象的增减性已知点A(4,y1),B(,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是.4.[2014河南,12]涉及考点:二次函数的图象的对称性已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两点,若点A的坐标为(-2,0),抛物线的对称轴为直线 x=2,则线段AB的长为.5.[2016河南,21]涉及考点:二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系某班“数学兴趣小组”对函数y=x2-2|x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:-3其中,m= .(2)根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.(3)观察函数图象,写出两条函数的性质.(4)进一步探究函数图象发现:①函数图象与x轴有个交点,所以对应的方程x2-2|x|=0有个实数根;②方程x2-2|x|=2有个实数根;③关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根时,a的取值范围是.6.[2012河南,5]涉及考点:二次函数图象的平移在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-4先向右平移2个单位,再向上平移2个单位,得到的抛物线的解析式是 ( )A.y=(x+2)2+2B.y=(x-2)2-2C.y=(x-2)2+2D.y=(x+2)2-27.[2013河南,14]涉及考点:二次函数图象的平移、阴影部分面积的计算如图,抛物线的顶点为P(-2,2),与y轴交于点A(0,3).若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P'(2,-2),点A的对应点为A',则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为.第六节二次函数的应用1.[2018河南,23]涉及考点:二次函数解析式的确定、由平行四边形存在性确定点的坐标、根据角的倍数关系确定点的坐标如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x-5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)过点A的直线交直线BC于点M.①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合)作直线AM的平行线,交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.备用图2.[2017河南,23]涉及考点:二次函数解析式的确定、由相似三角形的性质确定点的坐标、新定义问题如图,直线y=-x+c与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B.(1)求点B的坐标和抛物线的解析式;(2)M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N.①点M在线段OA上运动,若以B,P,N为顶点的三角形与△APM相似,求点M的坐标;②点M在x轴上自由运动,若M,P,N三个点中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外),则称M,P,N三点为“共谐点”.请直接写出使得M,P,N三点成为“共谐点”的m的值.备用图3.[2016河南,23]涉及考点:二次函数解析式的确定、等腰直角三角形的性质、由角相等确定点的坐标如图(1),直线y=-x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点A,交y 轴于点B(0,-2).点P为抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD⊥PD于点D,连接PB,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式;(2)当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长;(3)如图(2),将△BDP绕点B逆时针旋转,得到△BD'P',且旋转角∠PBP'=∠OAC,当点P的对应点P'落在坐标轴上时,请直接写出．．．．点P的坐标.图(1) 图(2) 备用图4.[2015河南,23]涉及考点:二次函数解析式的确定、线段差为定值的判断、新定义问题、三角形周长最小时确定点的坐标如图,边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上点A,C间的一个动点(含端点),过点P作PF⊥BC于点F.点D,E的坐标分别为(0,6),(-4,0),连接PD,PE,DE.(1)请直接写出抛物线的解析式;(2)小明探究点P的位置发现:当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值.进而猜想:对于任意一点P,PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确,并说明理由;(3)小明进一步探究得出结论:若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”,则存在多个“好点”,且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数,并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标.备用图5.[2014河南,23]涉及考点:二次函数解析式的确定、根据线段的倍数关系确定未知数的值、根据对称的性质确定点的坐标如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,直线y=-x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式;(2)若PE=5EF,求m的值;(3)若点E'是点E关于直线PC的对称点,是否存在点P,使点E'落在y轴上?若存在,请直接．．写出．．相应的点P的坐标;若不存在,请说明理由.6.[2013河南,23]涉及考点:二次函数解析式的确定、由平行四边形的存在性确定未知数的值、由特殊角确定点的坐标如图,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2交于C,D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.(1)求抛物线的解析式.(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时,以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由.(3)若存在点P,使∠PCF=45°,请直接写出．．．．相应的点P的坐标.参考答案1.A 设AC与y轴交于点P,∵四边形AOBC是平行四边形,∴AC∥OB,∴∠AGO=∠GOB.由题意可知,∠AOG=∠GOB,∴∠AGO=∠AOG,∴AG=AO.∵A(-1,2),∴OA==,∴AG=,∴PG=AG-A P=-1,∴G(-1,2).2.D 由题意得,AB=AD'=D'C'=BC'=2.∵点O是AB的中点,且是原点,∴AO=1,∠AOD'=90°.在Rt△AOD'中,由勾股定理可得,OD'===,∴点D'的坐标为(0,).∵D'C'=2,∴点C'可看作是点D'向右平移2个单位长度得到的.根据平移规律可得,点C'的坐标为(2,).故选D.3.B 第1秒时点P的坐标为(1,1),第2秒时点P的坐标为(2,0),第3秒时点P的坐标为(3,-1),第4秒时点P的坐标为(4,0),第5秒时点P的坐标为(5,1)……则点P的横坐标依次为1,2,3,4,…,n;点P的纵坐标依次为1,0,-1,0,…,且4秒循环一次.2 015÷4=503……3,则第2 015秒时,点P的坐标是(2 015,-1).4.C 如图,过点A作AH⊥BD于点H.观察题图中y与x的函数关系的图象可得,当x=a时,y=a,当x=a+时,y=0,∴AD=a cm,BD=a+-a=(cm),∴AH==(cm).在Rt△ADH中,AD2=AH2+DH2,∴a2=a2+,解得a=(负值已舍去).5.A 当点P在AC上运动时,y=AP=x(0≤x≤1),图象为一条线段;当点P在CB上运动时,y===(1≤x≤3),此时函数图象不是线段;当点P在AB上运动时,y=-x+3+,图象为一条线段.综上,选A.6.12 由题意可得,BP的长度变化的图象分为线段和曲线两部分,分别对应点P的运动区间:BC段和CA段.由线段部分的最大值为5,可得点P运动到点C时,BP=5,即BC=5.由曲线最低点的函数值为4和“垂线段最短”,可得当BP⊥AC时,BP=4.由曲线的末端对应的函数值为5,可得点P运动到点A时,BP=5,即AB=5,则AB=BC,即△ABC是等腰三角形.当BP⊥AC时,由勾股定理可得,AP===3,则AC=2AP=6,故S△ABC=AC·BP=×6×4=12.第二节一次函数的图象与性质1.答案不唯一,如y=x(只要满足y=kx+b,k>0即可).2.A 把点A(m,3)代入y=2x中,得m=,由图象可知,当2x<ax+4时,x< ,故选A.3.2 将点A的坐标代入反比例函数y=中,可得a=,即a=2.将点A(1,2)代入一次函数y=kx 中,可得1·k=2,即k=2.4.(1)16(2)-8<x<0或x>4(3)由(1)知,y1=x+2,y2=,当x=4,y1=4;当x=0,y1=2,即m=4,点A的坐标是(4,4),点C的坐标是(0,2),∴CO=2,AD=OD=4,∴S梯形ODAC=·OD=×4=12.∵S梯形ODAC∶S△ODE=3∶1,∴S△ODE=S梯形ODAC=×12=4,即OD·DE=4,∴DE=2,∴点E的坐标为(4,2).又∵点E在直线OP上,∴直线OP的解析式是y=x.由得(舍去)故直线OP与y 2=的图象在第一象限内的交点P的坐标为(4,2).第三节一次函数的实际应用1.(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,根据题意得解得故甲从B地返回A地的过程中,y与x之间的函数关系式为y=-60x+180(1.5≤x≤3).(2)当x=2时,y=(-60)×2+180=60,∴乙骑摩托车的速度为60÷2=30(km/h),∴乙从A地到B地用时为90÷30=3(h).2.(1)银卡:y=10x+150;普通票:y=20x.(2)把x=0代入y=10x+150,得y=150,∴点A的坐标为(0,150).由解得∴点B的坐标为(15,300).把y=600代入y=10x+150,得x=45.∴点C的坐标为(45,600).(3)当0<x<15时,选择购买普通票更合算;(注:若写成0≤x<15,也正确)当x=15时,选择购买银卡、普通票的总费用相同,均比金卡合算;当15<x<45时,选择购买银卡更合算;当x=45时,选择购买金卡、银卡的总费用相同,均比普通票合算;当x>45时,选择购买金卡更合算.3.(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b,由题意得解得故y关于x的函数解析式为y=-5x+600.当x=115时,m=-5×115+600=25.(2)80 100 2 000(3)设该产品的成本单价为a元,由题意得(-5×90+600)×(90-a)≥3 750,解得a≤65.答:该产品的成本单价应不超过65元.4.答案一:(1)设A,B两种魔方的单价分别为x元,y元.根据题意,得解得即A,B两种魔方的单价分别为20元,15元.(2)设购买A种魔方m个,按活动一和活动二购买所需费用分别为w1元,w2元. 依题意,得w1=20×0.8m+15×0.4×(100-m)=10m+600.w2=20m+15(100-m-m)=-10m+1 500.①当w1>w2时,10m+600>-10m+1 500,解得m>45;②当w1=w2时,10m+600=-10m+1 500,解得m=45;③当w1<w2时,10m+600<-10m+1 500,解得m<45.故当45<m≤50时,活动二更实惠;当m=45时,活动一、二同样实惠;当0≤m<45(或0<m<45)时,活动一更实惠.答案二:(1)设A,B两种魔方的单价分别为x元,y元,根据题意,得解得即A,B两种魔方的单价分别为26元,13元.(2)设购买A种魔方m个,按活动一和活动二购买所需费用分别为w1元,w2元.根据题意,得w1=26×0.8m+13×0.4(100-m)=15.6m+520,w2=26m+13(100-m-m)=1 300.∵15.6>0,∴w1随m的增大而增大,∴当m=50时,w1最大,此时w1=15.6×50+520=1 300,∴当0≤m≤50时,0≤w1≤1 300,∴当0≤m<50(或0<m<50)时,活动一更实惠;当m=50时,活动一、二同样实惠.5.(1)设y=kx+b.当x=0时,y=45;当x=150时,y=30,∴解得∴y与x的函数关系式为y=-x+45.(2)当x=400时,y=-×400+45=5>3,故他们能在汽车报警前回到家.6.(1)设A品牌计算器的单价为x元,B品牌计算器的单价为y元.则有解得即A,B两种品牌计算器的单价分别为30元、32元.(2)根据题意得y1=0.8×30x,即y1=24x.当0≤x≤5时,y2=32x;当x>5时,y2=32×5+32(x-5)×0.7,即y2=22.4x+48.(说明:若把“0≤x≤5”写为“x≤5”,亦可)(3)当购买数量超过5个时,y2=22.4x+48.①当y1<y2时,24x<22.4x+48,所以x<30,即当购买数量超过5个而不足30个时,购买A品牌的计算器更合算;②当y1=y2时,24x=22.4x+48,所以x=30,即当购买数量为30个时,购买A品牌与B品牌的计算器花费相同;③当y1>y2时,24x>22.4x+48,所以x>30,即当购买数量超过30个时,购买B品牌的计算器更合算.第四节反比例函数1.C 根据题意,点A在第一象限,设点A的坐标为(x,y),则x>0,y>0,∴S△AOB=OB·AB=xy=2,∴xy=4,∴k=xy=4.故选C.2.4 连接AN.∵OM=MN=NC,∴S△AOM=S△AMN=S△ANC=S△AOC=2.∵k>0,∴k=2S△AOM=4.3.(1)∵点P(2,2)在反比例函数y=(x>0)的图象上,∴=2,即k=4,故反比例函数的解析式为y=.(2)答案不唯一,正确画出两个矩形即可.4.m<n 分别把A(1,m)和B(2,n)代入反比例函数y=-中,可得m=-2,n=-1.∵-2<-1,∴m<n.5.<y<2 由点A(2,1)在反比例函数y=的图象上,可知1=,所以y=,该函数图象位于第一、三象限,且在每一象限内,y随x的增大而减小.当x=1时,y=2;当x=4时,y=.故当1<x<4时,y 的取值范围是<y<2.6.(1)y=-x+4 y=(2)∵点A(m,3)在y=的图象上,∴=3,∴m=1,∴A(1,3).∵点P在线段AB上,设点P(n,-n+4),且1≤n≤3,∴S=OD·PD=n·(-n+4)=-(n-2)2+2.∵-<0,且1≤n≤3,∴当n=2时,S最大值=2;当n=1或3时,S最小值=.故S的取值范围是≤S≤2.7.(1)∵在矩形OABC中,点B的坐标为(2,3),∴BC边中点D的坐标为(1,3).又∵双曲线y=经过点D(1,3),∴3=,即k=3.∵点E在AB上,∴点E的横坐标为2.又∵双曲线y=经过点E,∴点E的纵坐标为,∴点E的坐标为(2,).(2)由(1)得BD=1,BE=,CB=2.∵△FBC∽△DEB,∴=,即=,∴CF=,∴OF=,即点F的坐标为(0,).设直线FB的解析式为y=k1x+b,而直线FB经过B(2,3),F(0,),∴解得∴直线FB的解析式为y=x+.第五节二次函数的图象与性质1.A 对于二次函数y=-x2+2x+1,∵-1<0,∴抛物线开口向下.∵抛物线的对称轴为直线x=-=1,∴由二次函数图象的性质可知,当x<1时,y随x的增大而增大.2.(1,4) ∵A,B两点的纵坐标相同,∴这两点关于抛物线的对称轴对称,∴抛物线的对称轴是直线x=1,∴-=1,解得b=2.∵点(0,3)是抛物线与y轴的交点,∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,∴当x=1时,函数值y=-12+2×1+3=4,∴抛物线的顶点坐标是(1,4).3.y3>y1>y2∵抛物线的开口向上,∴离对称轴距离越近的点所对应的函数值越小.∵|-2-2|>|4-2|>|-2|,∴y 3>y1>y2.4.8 根据抛物线的对称性可知点A、点B关于直线x=2对称,又由A(-2,0)可知点B的坐标为(6,0),故线段AB的长为6-(-2)=8.5.(1)0(2)(正确补全图象即可).(3)(可从函数的最值、增减性、图象的对称性等方面阐述.答案不唯一,合理即可).(4)①3 3 ②2③-1<a<06.B 直接运用“左加右减,上加下减”的平移规律,可知抛物线向右平移2个单位后,抛物线的解析式为y=(x-2)2 -4,再向上平移2个单位后,抛物线的解析式为y=(x-2)2-2,故选B.7.12 如图,过点P作PB⊥x轴于点B,∵P(-2,2),∴OB=PB=2,∴∠POB=45°,PO=2.设直线PP'的函数解析式为y=kx+b,将(-2,2),(2,-2)代入上式,得解得∴直线PP'为y=-x,∴PP'经过原点O.过点P'作P'C⊥x轴于点C,∵P'(2,-2),∴P'C=CO=2,∴P'O=2,∴PP'=4,∴AA'=4.分别过点A,A'作AD⊥PP'于点D,A'E⊥PP'于点E,则S矩形ADEA'=S阴影.∵A(0,3),∴AO=3.在Rt△ADO中,∠AOD=∠AOB-∠POB=45°,∴AD=AO·sin∠AOD=3×=,∴S矩形ADEA'=AD·AA'=×4=12,即S阴影=12.第六节二次函数的应用1.(1)∵直线y=x-5交x轴于点B,交y轴于点C,∴B(5,0),C(0,-5).∵抛物线y=ax2+6x+c过点B,C,∴解得故抛物线的解析式为y=-x2+6x-5.(2)①∵OB=OC=5,∠BOC=90°,∴∠ABC=45°.∵抛物线y=-x2+6x-5交x轴于A,B两点,∴A(1,0),∴AB=4.∵AM⊥BC,∴AM=2.∵PQ∥AM,∴PQ⊥BC.若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,则PQ=AM=2.过点P作x轴的垂线,交直线BC于点D,则∠PDQ=45°,∴PD=PQ=4.设P(m,-m2+6m-5),则D(m,m-5).分两种情况讨论如下.(i)当点P在直线BC上方时,PD=-m2+6m-5-(m-5)=-m2+5m=4,解得m1=1(不合题意,舍去),m2=4.(ii)当点P在直线BC下方时,PD=m-5-(-m2+6m-5)=m2-5m=4,解得m3=,m4=.综上所述,点P的横坐标为4,或.②点M的坐标为(,-)或(,-).2.(1)∵直线y=-x+c与x轴交于点A(3,0),∴-×3+c=0,∴c=2,∴B(0,2).∵抛物线y=-x2+bx+c过点A(3,0),∴-×32+3b+2=0,∴b=,故抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(2)①∵MN⊥x轴,M(m,0),∴N(m,-m2+m+2).由(1)可知,直线AB的解析式为y=-x+2,OA=3,OB=2.∵在△APM和△BPN中,∠APM=∠BPN,∠AMP=90°,∴若要使△BPN与△APM相似,则有∠NBP=90°或∠BNP=90°.(i)当∠NBP=90°时,过点N作NC⊥y轴于点C,则∠NBC+∠BNC=90°,NC=m,BC=-m2+m+2-2=-m2+m.∵∠NBP=90°,∴∠NBC+∠ABO=90°,∴∠ABO=∠BNC,∴Rt△NCB∽Rt△BOA,∴=,∴=,解得m=0(舍去)或m=,∴M(,0).(ii)当∠BNP=90°时,BN⊥NM,∴点N的纵坐标为2,∴-m2+m+2=2,解得m=0(舍去)或m=,∴M(,0).综上所述,点M的坐标为(,0)或(,0).②m的值为-1,-或.3.(1)由直线y=-x+n过点C(0,4),得n=4,∴直线AC的解析式为y=-x+4.当y=0时,0=-x+4,解得x=3,∴A(3,0).∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(3,0),B(0,-2),∴∴∴抛物线的解析式为y=x2-x-2.(2)∵点P的横坐标为m,∴P(m,m2-m-2),D(m,-2).若△BDP为等腰直角三角形,则PD=BD.①当点P在直线BD上方时,PD=m2-m.(i)若点P在y轴左侧,则m<0,BD=-m,∴m2-m=-m,∴m1=0(舍去),m2=(舍去).(ii)若点P在y轴右侧,则m>0,BD=m,∴m2-m=m,∴m3=0(舍去),m4=.②当点P在直线BD下方时,m>0,BD=m,PD=-m2+m, ∴-m2+m=m,∴m5=0(舍去),m6=.综上所述,m=或.即当△BDP为等腰直角三角形时,PD的长为或.(3)满足条件的点P的坐标为(-,),(,)或(,).4.(1)抛物线的解析式为y=-x2+8.(2)正确.理由如下:设P(m,-m2+8),则PF=8-(-m2+8)=m2.过点P作PM⊥y轴于点M,则PD2=PM2+DM2=(-m)2+[6-(-m2+8)]2=m4+m2+4=(m2+2)2,∴PD=m2+2,∴PD-PF=m2+2-m2=2,∴猜想正确.(3)“好点”共有11个.在点P运动时,DE的长度不变,∴PE与PD的和最小时,△PDE的周长最小.∵PD-PF=2,∴PD=PF+2,∴PE+PD=PE+PF+2.当P,E,F三点共线时,PE+PF最小,此时点P,E的横坐标都为-4.将x=-4代入y=-x2+8,得y=6,∴当点P的坐标为(-4,6)时,△PDE的周长最小,且△PDE的面积为×|-4|×6=12,点P恰为“好点”,∴△PDE的周长最小时“好点”的坐标为(-4,6).5.(1)∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,∴解得∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5.(2)∵点P的横坐标为m,∴P(m,-m2+4m+5),E(m,-m+3),F(m,0).∵点P在x轴上方,要使PE=5EF,点P应在y轴右侧,∴0<m<5,∴PE=-m2+4m+5-(-m+3)=-m2+m+2.分两种情况讨论:①当点E在点F上方时,EF=-m+3.∵PE=5EF,∴-m2+m+2=5(-m+3),即2m2-17m+26=0,解得m1=2,m2=(舍去).②当点E在点F下方时,EF=m-3.∵PE=5EF,∴-m2+m+2=5(m-3).即m2-m-17=0,解得m3=,m4=(舍去),∴m为2或.(3)点P的坐标为(-,),(4,5)或(3-,2-3).6.(1)∵直线y=x+2经过点C,∴点C的坐标为(0,2).∵抛物线y=-x2+bx+c经过点C(0,2)和D(3,),∴解得∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(2)∵P点的横坐标为m,∴P(m,-m2+m+2),F(m,m+2).∵PF∥CO,∴当PF=CO时,以O,C,P,F为顶点的四边形为平行四边形.①当0<m<3时,PF=-m2+m+2-(m+2)=-m2+3m,∴-m2+3m=2,解得m1=1,m2=2.即当m=1或2时,四边形OCPF是平行四边形.②当m≥3时,PF=(m+2)-(-m2+m+2)=m2-3m.∴m2-3m=2,解得m1=,m2=(舍去).即当m=时,四边形OCFP是平行四边形.综上,m为1,2或时,以O,C,P,F为顶点的四边形为平行四边形.(3)点P的坐标为(,),(,).。

（分类）专题复习（四）方程、不等式与函数的实际应用题类型1　多种函数的综合应用类型2　函数与方程或不等式的综合应用类型1　多种函数的综合应用（2019云南）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．（2019十堰）（2019毕节）（2019襄阳）（2019咸宁）某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x 天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z=-2x+120.（1）第40天，该厂生产该产品的利润是元；（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w圆.①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大.最大利润是多少？②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？（2019随州）（2019荆门）（2019黄冈）某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红。

经市场调研发现，草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0≤x≤100），已知草莓的产销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p=x+1.（1）直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；（2）求该合作社所获利润w（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；（3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社所获利润w’（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？（2019鄂州）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐. 某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条.为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施. 据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条. 设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条.（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生. 为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？解：（1）y＝100+5（80－x）或y＝－5x+500 …………2′（2）由题意，得：W=(x-40)( －5x+500)=-5x2+700x-20000=-5(x-70)2+4500 …………4′∵a=-5<0 ∴w有最大值即当x=70时，w最大值＝4500∴应降价80－70＝10（元）答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元 …………6′（3）由题意，得：-5(x-70)2+4500＝4220+200解得：x1＝66 x2 ＝74 …………8′∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=70，∴当66≤x≤74时，符合该网店要求而为了让顾客得到最大实惠，故x＝66∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠.…………10′(2019黔东南)某山区不仅有美丽风光,也有许多令人喜爱的土特产,为实现脱贫奔小康,某村织村民加工包装土特产销售给游客,以增加村民收入.已知某种士特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x(元)与该士特产的日销售量y(袋)之间的关系如下表:X(元)152030…y(袋)252010…若日销售量y是销售价x的一次函数,试求:(1)日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式;(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同,要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为多少元?每日销售的最大利润是多少元?（2019广西北部湾）（2019天水）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出没见销售价位多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？答案不完整……（2019武汉）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：售价x（元/件）506080周销售量y（件）1008040周销售利润w（元）100016001600注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）(1) ①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）②该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元(2) 由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值（2019攀枝花）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/干克，且不超过40元/千克．根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．（1）某天这种芒果的售价为28元/千克，求当天该芒果的销售量；（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？（2019宿迁）（2019嘉兴）某农作物的生长率 与温度 ()有如下关系：如图 1，当10≤≤25 时可近似用函数p t C t 11505p t =-刻画；当25≤≤37 时可近似用函数 刻画．t 21()0.4160p t h =--+ (1)求 的值． (2)按照经验，该作物提前上市的天数(天)与生长率满足函数关系：h m p 生长率p0.20.250.30.35提前上市的天数 （天）m 051015①请运用已学的知识，求 关于 的函数表达式；m p ②请用含的代数式表示t m(3)天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在(2)的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为 200元，该作物 30 天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加 600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本 (元)与大棚温度()之间的关系如图 2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个w t C 最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．x y （2019临沂）汛期到来，山洪暴发，下表记录了某水库20h内水位的变化情况，其中表示时间（单位：h），x表示水位高度（单位：m），当=8（h）时，达到警戒水位，开始开闸放水。

2019应用题复习1．已知A、B两地相距80km ，甲、乙两人沿同一公路从A地出发到B地，甲骑摩托车，乙骑电动车，图中直线DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程s (km )与时间t (h )的函数关系的图象。

根据图象解答下列问题。

(1)甲比乙晚出发几个小时?乙的速度是多少?(2)乙到达终点B地用了多长时间?(3)在乙出发后几小时，两人相遇?2．某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。

根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵果树就会少结5个橙子，假设果园多种x棵橙子树。

（1）直接写出平均每棵树结的橙子数y（个）与x之间的关系式。

（2）果园多种多少棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大？最大为多少。

3．某宾馆有30个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天120元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于210元．设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）．（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元?4．把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子．①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）．5.某商店经销某玩具每个进价60元，每个玩具不低于80元出售，玩具的销售单价m（元/个）与销售数量n（个）之间的函数关系如图．（1）试求表示线段AB的函数的解析式，并求出当销售数量n=20时的单价m的值；（2）写出该店当一次销售n（n＞10）个时，所获利润w（元）与n（个）之间的函数关系式：（3）店长小明经过一段时间的销售发现：卖27个赚的钱反而比卖30个赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到________ 元？6．我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装,通过实体商店和网上商店两种途径进行销售,销售一段时间后,该公司对这种商品的销售情况,进行了为期30天的跟踪调查,其中实体商店的日销售量y1(百件)与时间 t (t为整数,单位:天)的部分对应值如下表所示,网上商店的日销售量 y(1)请你在一次函数、二次函数和反比例函数中,选择合适的函数能反映 y1与t的变化规律,并求出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围;(2)求 y2与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;(3)在跟踪调查的30天中,设实体商店和网上商店的日销售总量为y(百件),求y与t的函数关系式;当t为何值时,日销售总量y达到最大,并求出此时的最大值.7．月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售。

中考数学专题复习学案六求最短路径问题【专题思路剖析】知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

这类问题在中考中出现的频率很高，一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【典型例题赏析】类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题例题1：（2015•辽宁省盘锦,第15题3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为．考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析：连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；由菱形的性质得出∠BPC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出PE=BE，证明△PBE是等边三角形，得出PB=BE=PE=1，即可得出结果．解答：解：连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA=2，∴∠BPC=90°，∵E为BC的中点，∴BE=BC=1，PE=BC=1，∴PE=BE，∵∠DAB=60°，∴∠ABC=120°，∴∠PBE=60°，∴△PBE是等边三角形，∴PB=BE=PE=1，∴PB+BE+PE=3；故答案为：3．点评：本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．【方法点评】本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点．【变式练习】（2015•福建第16题 4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A 长度的最小值是．考点：翻折变换（折叠问题）．.分析：首先由勾股定理求得AC的长度，由轴对称的性质可知BC=CB′=3，当B′A有最小值时，即AB′+CB′有最小值，由两点之间线段最短可知当A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值．解答：解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC===4，由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∴当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．根据两点之间线段最短可知：A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值，∴AB′=AC﹣B′C=4﹣3=1．故答案为：1．点评：本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理和线段的性质，将求B′A的最小值转化为求AB′+CB′的最小值是解题的关键．类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题例题2：（2015•四川凉山州第26题5分）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．考点：菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题．.分析：点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可．解答：解：连接ED，如图，∵点B的对称点是点D，∴DP=BP，∴ED即为EP+BP最短，∵四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°，∴点D的坐标为（1，），∴点C的坐标为（3，），∴可得直线OC的解析式为：y=x，∵点E的坐标为（﹣1，0），∴可得直线ED的解析式为：y=（1+）x﹣1，∵点P是直线OC和直线ED的交点，∴点P的坐标为方程组的解，解方程组得：，所以点P的坐标为（），故答案为：（）．点评：此题考查菱形的性质，关键是根据一次函数与方程组的关系，得出两直线的解析式，求出其交点坐标．【方法点评】“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点的和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点；“一点两线型”求三角形周长最短问题，作点关于两直线的对称点，连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形；“两点两线型”求四边形的周长最短类比“一点两线型”即可．【变式练习】（2015•营口，第10题3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°考点：轴对称-最短路线问题．分析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．解答：解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴CM+DN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故选：B．点评：本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．类型3、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。

2解题策略重点练习两者混搭题目以及练习统计或概率与其他知识混搭题目. 解题中要侧重对图表的理解和认真分析，从获取的信息中找到解决问题的关键．此题属基础题不存在难点，注意计算过程的规范性和准确性．,重难点突破)统计知识的应用【例1】(2019廊坊二模)某中学八年级抽取部分学生进行跳绳测试．并规定：每分钟跳90次以下的为不及格；每分钟跳90～99次的为及格；每分钟跳100～109次的为中等；每分钟跳110～119次的为良好；每分钟跳120次及以上的为优秀．测试结果整理绘制成如图两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列各题：(1)参加这次跳绳测试的共有________人； (2)补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，“中等”部分所对应的圆心角的度数是________；(4)如果该校八年级的总人数是480人，根据此统计数据，请你估算该校八年级跳绳成绩为“优秀”的人数．【解析】(1)利用条形统计图以及扇形统计图得出良好的人数和所占比例，即可得出参加这次跳绳测试的人数；(2)利用(1)中所求，结合条形统计图得出“优秀”的人数，进而求出答案；(3)利用“中等”的人数，计算出“中等”部分所占百分比；进而得出“中等”部分所对应的圆心角的度数；(4)利用样本估计总体，进而利用“优秀”所占比例求出即可.【答案】解：(1)50；(2)优秀的人数为：50－3－7－10－20＝10，补图如图所示； (3)72°；(4)估计该校八年级跳绳成绩为“优秀”的人数为：480×1050＝96(人)．1．(江西中考)为了了解家长关注孩子成长方面的状况，学校开展了针对学生家长的“您最关心孩子哪方面成长”的主题调查，调查设置了“健康安全”“日常学习”“习惯养成”“情感品质”四个项目，并随机抽取甲、乙两班共100位学生家长进行调查，根据调查结果，绘制了如图不完整的条形统计图．(1)补全条形统计图；(2)若全校共有 3 600位学生家长，据此估计，有多少位家长最关心孩子“情感品质”方面的成长？(3)综合以上主题调查结果，结合自身现状，你更希望得到以上四个项目中哪方面的关注和指导？ 解：(1)乙组关心“情感品质”的家长有：100－(18＋20＋23＋17＋5＋7＋4)＝6(人), 补全条形统计图如图；(2)4＋6100×3 600＝360(人)．答：估计约有360位家长最关心孩子“情感品质”方面的成长；(3)无确切答案，结合自身情况或条形统计图，言之有理即可，如：从条形统计图中可以看出，家长对“情感品质”关心不够，可适当关注与指导．【方法指导】熟练运用统计的初步知识，掌握三种统计图和统计表的知识，根据题意解决实际问题．概率知识的应用【例2】现有一个六面分别标有数字1，2，3，4，5，6且质地均匀的正方形骰子，另有三张正面分别标有数字1，2，3的卡片(卡片除数字外，其他都相同)，先由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现的数字，然后由小王从三张背面朝上放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字．(1)请用列表或画树形图(树状图)的方法，求出骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的概率；(2)小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7，则小明赢；若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7，则小王赢，问小明和小王谁赢的可能性更大？请说明理由．【解析】(1)列举出所有情况，看向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的情况数占总情况数的多少即可；(2)对于概率问题中的公平性问题，解题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．【答案】解：(1)画树状图如图所示：由图可知，一共有18种等可能的情况，其中数字之积为6的情况有3种，所以P(数字之积为6)＝318＝16； (2)小王赢的可能性更大．理由：由图可知，所有等可能的结果有18种 ，其中骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7的有7种，骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7的有11种，所以小明赢的概率为718，小王赢的概率为1118，因为718<1118，故小王赢的可能性更大．2．(重庆中考)点P 的坐标是(a ，b)，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P(a ，b)在平面直角坐标系中第二象限内的概率是__15__．3．(丽水中考)箱子里放有2个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同．现从箱子里随机摸出2个球，恰好为1个黑球和1个红球的概率是__23__．4．(威海中考)一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除标号数字外都相同．(1)从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；(2)甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．解：(1)P (奇)＝36＝12；(2)列表得： 4) 种，摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有18种，∴P(甲赢)＝1836＝12，P(乙赢)＝1836＝12，∴这个游戏对甲、乙两人是公平的．【方法指导】熟练掌握概率的两种解题方法，结合题意选择正确方法，注意答题最后总结性的语言．统计与概率知识的综合应用【例3】(潜江中考)某校男子足球队的年龄分布如图所示：(1)求这些队员的平均年龄；(2)下周的一场校际足球友谊赛中，该校男子足球队将会有11名队员作为首发队员出场，不考虑其他因素，请你求出其中某位队员首发出场的概率．【解析】(1)根据加权平均数的计算公式进行计算即可；(2)用首发队员出场的人数除以足球队的总人数即可求解．【答案】解：(1)该学校男子足球队队员的人数为2＋6＋8＋3＋2＋1＝22(人)．该校男子足球队员的平均年龄为(13×2＋14×6＋15×8＋16×3＋17×2＋18×1)÷22＝330÷22＝15(岁)．故这些队员的平均年龄是15岁；(2)∵该校男子足球队一共有22名队员，将会有11名队员作为首发队员出场，∴不考虑其他因素，其中某位队员首发出场的概率为1122＝12.5．(内江中考)学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A.篮球，B.乒乓球，C.跳绳，D.踢毽子．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图(如图①，图②)，请回答下列问题：图① 图②(1)这次被调查的学生共有________人； (2)请你将条形统计图补充完整；(3)在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．(用树状图或列表法解答) 解：(1)200；(2)C项目对应人数为：200－20－80－40＝60(人)；补图如图所示；(3)∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，∴P(选中甲、乙)＝212＝错误!.【方法指导】两者的综合应用实质是分开的，掌握好各自的知识点和解题关键点，是一种好策略．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．x=1是关于x 的方程2x ﹣a=0的解，则a 的值是（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．12．如图，ABC △是一块直角三角板，90,30C A ∠=︒∠=︒，现将三角板叠放在一把直尺上，AC 与直尺的两边分别交于点D ，E ，AB 与直尺的两边分别交于点F ，G ，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）A.40ºB.50ºC.60ºD.70º3．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为（ ）个．A.1835B.1836C.1838D.18424．如图，已知平行四边形ABCD 中，AB ＝BC ，点M 从点D 出发，沿D→C→A 以1cm/s 的速度匀速运动到点A ，图2是点M 运动时，△MAB 的面积y （cm 2）随时间x （s ）变化的关系图象，则边AB 的长为（ ）cm ．A ．136B ．13C ．52D ．1325．将直角三角形纸片按如图方式折叠，不可能折出（ ）A.直角B.中位线C.菱形D.矩形6．α为锐角，且1cos(90)2α︒-=，则α的度数是( )A．30°B．45︒C．60︒D．90︒7．关于反比例函数2yx=的图象，下列说法正确的是()A．图象经过点()1,1B．两个分支分布在第二、四象限C．当x0<时，y随x的增大而减小D．两个分支关于x轴成轴对称8．在下列二次函数中，其图象对称轴为x=2的是A．y=2x2﹣4 B．y=2(x-2)2C．y=2x2+2 D．y=2(x+2)29．下列算式运算结果正确的是（）A．（2x5）2＝2x10B．（﹣3）﹣2＝1 9C．（a+1）2＝a2+1 D．a﹣（a﹣b）＝﹣b10．已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（）A．经过第一、二、四象限B．与x轴交于（1，0）C．与y轴交于（0，1）D．y随x的增大而减小11．计算2123131x xx x+----的结果为( )A．1 B．-1 C．331x-D．331xx+-12．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝55°，那么∠4的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．125°二、填空题13．如图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个有9×9 个方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能藏1颗地雷．小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如图所示的情况．我们把与标号3的方格相邻的方格记为A 区域（画线部分），A 区域外的部分记为B 区域．数字3表示在A 区域有3颗地雷．为了最大限 度的避开地雷，下一步应该点击的区域是___. (填“A”或“B”)14．若x 1=﹣1是关于x 的方程2x mx 50+-=的一个根，则方程的另一个根x 2= ．15．如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点(1，－2)上，“相”位于点(3，－2)上，则“炮”位于点____16．小亮与小明一起玩“石头、剪刀、布”的游戏，两同学同时出“剪刀”的概率是_____．17．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC =，对角线AC 、BD 相交于点O ，现将一个直角三角板OEF 的直角顶点与O 重合，再绕着O 点转动三角板，并过点D 作DH ⊥OF 于点H ，连接AH.在转动的过程中，AH 的最小值为_________．18．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CM 是斜边AB 上的中线，E F 、分别为MB BC 、的中点，若1EF =，则AB =_____．三、解答题19．如图，大楼AC的一侧有一个斜坡，斜坡的坡角为30°．小明在大楼的B处测得坡面底部E处的俯角为33°，在楼顶A处测得坡面D处的俯角为30°．已知坡面DE＝20m，CE＝30m，点C，D，E在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（结果精确到1m≈1.73，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）20．如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，∠AEF的角平分线交AB于点M，∠EFC的角平分线交CD于点N，连接MF、NE．（1）求证：四边形EMFN是平行四边形．（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，他猜想：当AB＝AD时，四边形EMFN是矩形．请在下列框图中补全他的证明思路．21111)2sin452cos302018-︒︒⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭22．为响应国家的一带一路经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部分别对A、B、C、D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图：（1）抽查D 厂家的零件为 件，扇形统计图中D 厂家对应的圆心角为 度； （2）抽查C 厂家的合格率零件为 件，并将图1补充完整； （3）通过计算说明A 、C 两厂家谁的合格率更高？23．在菱形ABCD 中，点P 是BC 边上一点，连接AP ，点E ，F 是AP 上的两点，连接DE ，BF ，使得∠AED ＝∠ABC ，∠ABF ＝∠BPF ． 求证：（1）△ABF ≌△DAE ； （2）DE ＝BF+EF ．24．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC 为78m ，从甲的顶部A 处测得乙的顶部D 处的俯角为49︒，测得底部C 处的俯角为58︒，求甲、乙建筑物的高度AB 和DC (结果取整数).参考数据：tan 49 1.15︒≈，tan58 1.60︒≈.25．已知：如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D ，E ． （1）求证：△BEC ≌△CDA ；（2）当AD ＝3，BE ＝1时，求DE 的长．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．B14．515．（﹣2，1）16．1 917 218．4三、解答题19．A，B两点之间的距离为18m.【解析】【分析】过D作DF⊥CE于F，DG⊥AC于G，则四边形DGCF是矩形，根据矩形的性质得到CG＝DF，DG＝CF，解直角三角形即可得到结论．【详解】过D作DF⊥CE于F，DG⊥AC于G，则四边形DGCF是矩形，∴CG ＝DF ，DG ＝CF ，在Rt △DFE 中，∵∠DEF ＝30°，DE ＝20，∴DF ＝12DE ＝10，EF ＝∴CG ＝DF ＝10，DG ＝CF ＝CE+EF ＝ 在Rt △CEB 中，∵∠BEC ＝33°，CE ＝30， ∴BC ＝CE•tan33°＝30×0.65＝19.5， ∴BG ＝BC ﹣CG ＝9.5，在Rt △ADG 中，∵∠ADG ＝30°，DG ＝30+10，∴AG ＝0tan 60DG∴AB ＝18m ，答：A ，B 两点之间的距离为18m ． 【点睛】此题是解直角三角形的应用﹣﹣仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． 20．（1）见解析；（2）∠EFM ＝∠BMF ，AM ＝BM （或：M 是AB 中点）． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得∠A=∠C ，∠AEF ＝∠CFE ，AD=BC ，根据角平分线的定义和中点的定义可得∠AEM ＝∠CFN ，AE ＝CF ，利用ASA 即可证明△AME ≌△CNF ，可得EM ＝FN ，∠FEM ＝∠FEN ，根据内错角相等可得EM//FN ，即可证明四边形EMFN 是平行四边形；（2）由AE=BF ，AE//BF 可得四边形ABFE 是平行四边形，可得EF//AB ，可得∠MEF=∠AME ，∠EFM=∠BMF ，由角平分线可得∠AEM=∠MEF ，即可证明∠AEM=∠AME ，可得AE=AM ，由AB=AD 可得M 为AB 中点，即可证明BM=BF ，进而可得∠BMF=∠BFM ，即可证明∠BFM=∠EFM ，可得∠EFM+∠EFN=90°，可得四边形EMFN 是矩形． 【详解】(1)在□ABCD 中，∠A ＝∠C ，AD ∥BC ，AD ＝BC ∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点， ∴AE ＝12AD ，CF ＝12BC ， 又∵AD ＝BC ， ∴AE ＝CF ， ∵AD ∥BC ， ∴∠AEF ＝∠CFE ，∵EM平分∠AEF，FN平分∠EFC，∴∠AEM＝∠FEM＝12∠AEF，∠CFN＝∠FEN＝12∠CFE，∵∠AEF＝∠CFE，∠AEM＝12∠AEF，∠CFN＝12∠CFE，∴∠AEM＝∠CFN，在△AME和△CNF中A CAE CFAEM CFN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AME≌△CNF（ASA），∵∠FEM＝∠FEN，∴EM∥FN，∵△AME≌△CNF，∴EM＝FN，∵EM∥FN，EM＝FN，∴四边形EMFN是平行四边形．（2）∵AE=BF，AE//BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AB//EF，∴∠MEF=∠AME，∠EFM=∠BMF，∵∠AEM=∠MEF，∴∠AEM=∠AME，∴AE=AM，∵E为AD中点，AB=AD，∴M为AB中点，即AM=BM，∵AE=BF，∴BM=BF，∴∠BMF=∠BFM，∴∠BFM=∠EFM，∵∠EFN=∠CFN，∴∠EFM+∠EFN=90°，即∠MFN=90°，∴四边形EMFN是矩形．故答案为：∠EFM＝∠BMF，AM＝BM（或：M是AB中点）．【点睛】本题考查平行四边形的判定及矩形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形.21．2019【解析】【分析】原式第一项利用绝对值的性质化简，第二项依据零指数幂运算，第三项和第四项利用特殊角的三角函数计算，最后一项依据负整数指数幂运算，即可求解.【详解】+⨯-⨯+12018=2019122201822【点睛】此题考查了实数的混合运算和特殊角的三角函数值，掌握实数混合运算的顺序和相应法则是解答此题的关键.22．（1）500，90；（2）380；（3）C厂家．【解析】【分析】（1）先计算D占的百分比，与总人数的积得抽查D厂家的零件数，与360°的积得扇形统计图中D厂家对应的圆心角的度数；（2）百分比×总数×合格率可得结果；（3）分别计算其合格率，并作比较．【详解】解：（1）（1﹣35%﹣20%﹣20%）×2000＝25%×2000＝500，（1﹣35%﹣20%﹣20%）×360°＝90°，故答案为：500，90；（2）20%×2000×95%＝380；故答案为：380，如图所示；（3）A厂家合格率＝630÷（2000×35%）＝90%，C厂家合格率＝95%，合格率更高的是C厂家．【点睛】本题考查了利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题23．（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到AB=AD，AD∥BC，由平行线的性质得到∠BPA=∠DAE，等量代换得到∠BAF=∠ADE，求得∠ABF=∠DAE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AE=BF，DE=AF，根据线段的和差即可得到结论【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC，∴∠BPA＝∠DAE，∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE，∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，∴∠ABF＝∠DAE，∵AB＝DA，∴△ABF≌△DAE（ASA）；（2）∵△ABF≌△DAE，∴AE＝BF，DE＝AF，∵AF＝AE+EF＝BF+EF，∴DE＝BF+EF．【点睛】此题考查菱形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于利用全等三角形的性质求解24．甲建筑物的高度AB约为125m，乙建筑物的高度DC约为35m.【解析】【分析】过点D 作DE AB ⊥，可得四边形BCDE 是矩形，在Rt △ABC 和Rt △AED 中，利用∠ACB 和∠ADE 的正切值即可求出AB 和AE 的长，进而可得CD 的长，即可得答案. 【详解】如图，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E . ∴90AED BED ∠∠==︒.由题意可知，78BC =，49ADE ∠=︒，58ACB ∠=︒，90ABC ∠=︒，90DCB ∠=︒.∴四边形BCDE 为矩形. ∴78ED BC ==，DC EB =. 在Rt ABC ∆中，AB tan ACB BC∠=， ∴5878 1.60125AB BC tan =⋅︒≈⨯≈. 在Rt AED ∆中，AEtan ADE ED∠=， ∴49AE ED tan =⋅︒.∴584978 1.6078 1.1535EB AB AE BC tan ED tan =-=⋅︒-⋅︒≈⨯-⨯≈. ∴35DC EB =≈.答：甲建筑物的高度AB 约为125m ，乙建筑物的高度DC 约为35m .【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键. 25．（1）见解析；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据垂直定义求出∠BEC=∠ACB=∠ADC ，根据等式性质求出∠ACD=∠CBE ，根据AAS 证明△BCE ≌△CAD ；（2）根据全等三角形的对应边相等得到AD=CE ，BE=CD ，利用DE=CE-CD ，即可解答． 【详解】（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠E＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，在△ADC和△CEB中，ADC E90 ACD CBE AC BC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△CEB（AAS），（2）解：∵△ADC≌△CEB，∴BE＝CD＝1，AD＝EC＝3，∴DE＝CE﹣CD＝3﹣1＝2．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ADC和△CEB全等的三个条件．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处2．如图，该几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．3．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 、F 是矩形ABCD 外两点，AE ⊥CF 于H ，AD=3,DC=4,DE=,∠EDF=90°,则DF 的长是（ ）A. B. C. D.4．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝2，D 点是△ABC 所在平面上的一个动点，且∠BDC ＝60°，则△DBC 面积的最大值是( )A.3B.3C.D.25．已知关于x 的方程211x ax +=-的解是非负数，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥-且0a ≠B ．1a ≥-C ．1a ≤-且2a ≠-D ．1a ≤-6．如图，嘉淇一家驾车从A 地出发，沿着北偏东30°的方向行驶30公里到达B 地游玩，之后打算去距离A 地正东30公里处的C 地，则他们行驶的方向是（ ）A ．南偏东60°B ．南偏东30°C ．南偏西60°D ．南偏西30° 7．下列运算正确的是（ ） A ．232a a a +=B ．326(a )a -=C ．222(a b)a b -=-D ．326(2a )4a -=-8．如图，在⊙O 中，弦BC ＝1，点A 是圆上一点，且∠BAC ＝30°，则BC 的长是( )A ．πB ．13π C ．12πD ．16π9．如图1是2019年4月份的日历，现用一长方形在日历表中任意框出4个数(如图2)，下列表示a ，b ，c ，d 之间关系的式子中不正确的是( )A ．a ﹣d ＝b ﹣cB ．a+c+2＝b+dC ．a+b+14＝c+dD ．a+d ＝b+c10．已知a ，b ，c 为三角形的三边，则关于代数式a 2﹣2ab+b 2﹣c 2的值，下列判断正确的是（ ） A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0D ．以上均有可能11．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，1），点B 是x 轴正半轴上一点，以AB 为边作等腰直角三角形ABC ，使∠BAC ＝90°，点C 在第一象限，若点C 在函数y=3x（x ＞0）的图象上，则△ABC 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．52D ．3．12．下表是摄氏温度和华氏温度之间的对应表，则字母a 的值是( )A.45B.50C.53D.68二、填空题13．在ABC 中，A 60∠=，B 2C ∠∠=，则B ∠=______. 14．16的平方根等于_________． 15．计算(-3x 2y)•(13xy 2)=_____________． 16．如图，小华买了一盒福娃和一枚奥运徽章，已知一盒福娃的价格比一枚奥运徽章的价格贵120元，则一盒福娃价格是____元．17．计算：6_____． 18．在Rt △ABC 中，490,sin 5C A ︒∠==，则cosB 的值等于___． 三、解答题19．某水果批发商经营甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润y 甲（万元）与进货量x （吨）近似满足函数关系y 0.2x =甲，乙种水果的销售利润y 乙（万元）与进货量x （吨）之间的函数关系如图所示． （1）求y 乙（万元）与x （吨）之间的函数关系式；（2）如果该批发商准备进甲、乙两种水果共．．．．．．．．．10．．吨．，设乙种水果的进货量为t 吨，请你求出这两种水果所获得的销售利润总和W （万元）与t （吨）之间的函数关系式．并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润总和最大，最大利润是多少？20．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，P 为⊙O 上一动点（P ，A 分别在直线BC 的两侧），连接PC ． （1）求证：∠P ＝2∠ABC ；（2）若⊙O 的半径为2，BC ＝3，求四边形ABPC 面积的最大值．21．如图，两条射线BA//CD ，PB 和PC 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，分别交AB ，CD 与点A ，D ．（1）求∠BPC 的度数； （2）若,60,2AD BA BCD BP ︒⊥∠==，求AB+CD 的值；（3）若ABP S ∆为a ，CDP S ∆为b ，BPC S ∆为c ，求证：a+b=c ．22．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．（1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？ 23．给定关于x 的二次函数y ＝kx 2﹣4kx+3（k≠0）， （1）当该二次函数与x 轴只有一个公共点时，求k 的值；（2）当该二次函数与x 轴有2个公共点时，设这两个公共点为A 、B ，已知AB ＝2，求k 的值； （3）由于k 的变化，该二次函数的图象性质也随之变化，但也有不会变化的性质，某数学学习小组在探究时得出以下结论：①与y 轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点；请判断以上结论是否正确，并说明理由．24．如图1，已知在矩形ABCD中，AD＝10，E是CD上一点，且DE＝5，点P是BC上一点，PA＝10，∠PAD＝2∠DAE．（1）求证：∠APE＝90°；（2）求AB的长；（3）如图2，点F在BC边上且CF＝4，点Q是边BC上的一动点，且从点C向点B方向运动．连接DQ，M是DQ的中点，将点M绕点Q逆时针旋转90°，点M的对应点是M′，在点Q的运动过程中，①判断∠M′FB是否为定值？若是说明理由．②求AM′的最小值．25．调查作业：了解你所住小区家庭3月份用气量情况小天、小东和小芸三位同学住在同一小区，该小区共有300户家庭，每户家庭人数在2～5之间，这300户家庭的平均人数约为3.3．小天、小东、小芸各自对该小区家庭3月份用气量情况进行了抽样裯查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1抽样调查小区4户家庭3月份用气量统计表（单位：m3）表2抽样调查小区15户家庭3月份用气量统计表（单位：m3）表3抽样调查小区15户家庭3月份用气量统计表（单位：m3）5根据以|材料回答问题：（1）小天、小东和小芸三人中，哪位同学抽样调查的数据能较好地反映出该小区家庭3月份用气量情况？请简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．（2）在表3中，调查的15个家庭中使用气量的中位数是 m 3，众数是 m 3． （3）小东将表2中的数据按用气量x （m 3）大小分为三类．①节约型：10≤x≤13，②适中型：14≤x≤17，③偏高型：18≤x≤22，并绘制成如图扇形统讣图，请帮助他将扇形图补充完整．（4）小芸算出表3中3月份平均每人的用气量为6m 3，请估计该小区3月份的总用气量．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．80 14．±4． 15．33x y - 16． 17．6 18．45三、解答题19．（1）2y 0.1x 1.4x =-+乙；（2）甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时，获得的销售利润总和最大，最大利润是5.6万元． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，求出a 、b 的值即可求出函数关系式的解．（2）由题意可得2W y y 0.210t (0.1t 1.4t)=+=-+-+甲乙（），用配方法化简函数关系式即可求出w 的最大值． 【详解】（1）根据图象，可设2y ax bx =+乙（其中0a ≠，a ，b 为常数），由题意，得解得 1.342 2.4.a b a b ，+=⎧⎨+=⎩解得=-0.1b 1.4.a ⎧⎨=⎩，∴2y 0.1x 1.4x =-+乙．（2）∵乙种水果的进货量为t 吨，则甲种水果的进货量为10t -（）吨， 由题意，得22W y y 0.210t (0.1t 1.4t)0.1t 1.2t 2=+=-+-+=-++乙甲（）． 将函数配方为顶点式，得2W 0.1(t 6) 5.6=--+． ∵0.10-<，∴抛物线开口向下．∵0t 10<<，∴6t =时，W 有最大值为5.6． ∴1064-=（吨）．答：甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时，获得的销售利润总和最大，最大利润是5.6万元． 【点睛】本题考查学生利用二次函数解决实际问题的能力，注意二次函数的最大值往往要通过顶点坐标来确定． 20．（1）证明见解析（2）6 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠A+2∠ABC ＝180°，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠P ＝180°，从而得到结论；（2）由于S △ABC 的面积不变，则当S △PBC 的面积最大时，四边形ABPC 面积的最大，而P 点到BC 的距离最大时，S △PBC 的面积最大，此时P 点为优弧BC 的中点，利用点A 为BC 的中点可判断此时AP 为⊙O 的直径，AP ⊥BC ，然后利用四边形的面积等于对角线乘积的一半计算四边形ABPC 面积的最大值． 【详解】（1）证明：∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ， ∴∠A+2∠ABC ＝180°， ∵∠A+∠P ＝180°， ∴∠P ＝2∠ABC ；（2）解：四边形ABPC 的面积＝S △ABC +S △PBC ，∵S△ABC的面积不变，∴当S△PBC的面积最大时，四边形ABPC面积的最大，而BC不变，∴P点到BC的距离最大时，S△PBC的面积最大，此时P点为优弧BC的中点，而点A为BC的中点，∴此时AP为⊙O的直径，AP⊥BC，∴四边形ABPC面积的最大值＝12×4×3＝6．【点睛】本题考查了考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，也考查了圆内接四边形的性质．（2）把四边形分成两部分计算其面积并确定此时AP为⊙O的直径时面积最大是关键。