杭州市八年级(上)期末数学试卷含答案

八年级上册杭州数学期末试卷测试卷（word版，含解析）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图1，等腰△ABC中，AC=BC＝42, ∠ACB=45˚，AO 是BC边上的高，D为线段AO上一动点，以CD为一边在CD下方作等腰△CDE,使CD=CE且∠DCE=45˚，连结BE.(1) 求证：△ACD≌△BCE；(2) 如图2，在图1的基础上，延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ,若CP＝CQ＝5,求PQ的长.(3) 连接OE，直接写出线段OE的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=6；（3）OE=422-【解析】试题分析：()1根据SAS即可证得ACD BCE≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，由等腰三角形的性质，即可求得45DAC∠=︒，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．()3OE BQ⊥时，OE取得最小值.试题解析：()1证明：∵△ABC与△DCE是等腰三角形，∴AC=BC,DC=EC,45ACB DCE∠=∠=，45ACD DCB ECB DCB∴∠+∠=∠+∠=，∴∠ACD=∠BCE；在△ACD和△BCE中，,AC BCACD BCEDC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ACD BCE∴≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，(2)过点C 作CH ⊥BQ 于H ，∵△ABC 是等腰三角形，∠ACB=45˚，AO 是BC 边上的高， 45DAC ∴∠=，ACD BCE ≌，45PBC DAC ∴∠=∠=，∴在Rt BHC 中,2242422CH BC =⨯=⨯=， 54PC CQ CH ===，，3PH QH ∴==，6.PQ ∴=()3OE BQ ⊥时，OE 取得最小值.最小值为：42 2.OE =-2．（1）如图1，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两动点，且∠DAE=45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF .（1）试说明：△AED ≌△AFD ；（2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF 的度数和DE 的长；（3）如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D 是斜边BC 所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE 2的长.【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130【解析】试题分析：()1由ABE AFC ≌， 得到AE AF =，BAE CAF ∠=∠，45,EAD ∠=45,BAE CAD ∴∠+∠=45,CAF CAD ∴∠+∠=即45.DAF ∠=EAD DAF ∠=∠，从而得到.AED AFD ≌ ()2 由△AED AFD ≌得到ED FD =，再证明90DCF ∠=︒，利用勾股定理即可得出结论. ()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，1 4.2AH BH BC === 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+=求出AD 的长，即可求得2DE .试题解析：()1ABE AFC ≌，AE AF =，BAE CAF ∠=∠，45,EAD ∠=90,BAC ∠=45,BAE CAD ∴∠+∠=45,CAF CAD ∴∠+∠=即45.DAF ∠=在AED 和AFD 中，{AF AEEAF DAE AD AD ，=∠=∠=.AED AFD ∴≌()2AED AFD ≌，ED FD ∴=，,90.AB AC BAC =∠=︒45B ACB ∴∠=∠=︒，45ACF ，∠=︒ 90.BCF ∴∠=︒设.DE x =,9.DF DE x CD x ===- 3.FC BE ==222,FC DC DF +=()22239.x x ∴+-=解得： 5.x =故 5.DE = ()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，1 4.2AH BH BC === 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+= 22217AD AH DH =+=或65.22234DE AD ==或130.点睛：D 是斜边BC 所在直线上一点,注意分类讨论.3．在四边形 ABCD 中，E 为 BC 边中点.（Ⅰ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD ，∠AED =90°，点 F 为 AD 上一点，AF =AB .求证：（1）△ABE ≌AFE ；（2）AD =AB +CD（Ⅱ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，∠AED =120°，点 F ，G 均为 AD 上的点，AF =AB ，GD =CD .求证：（1）△GEF 为等边三角形；（2）AD =AB + 12BC +CD .【答案】（Ⅰ）（1）证明见解析；（2）证明见解析；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）（1）运用SAS 证明△ABE ≌AFE 即可；（2）由（1）得出∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，再证明△DEF ≌△DEC （SAS ），得出DF=DC ，即可得出结论；（Ⅱ）（1）同（Ⅰ）（1）得△ABE ≌△AFE （SAS ），△DGE ≌△DCE （SAS ），由全等三角形的性质得出BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，进而证明△EFG 是等边三角形；（2）由△EFG 是等边三角形得出GF=EE=BE=12BC ，即可得出结论． 【详解】（Ⅰ）（1）∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠FAE ，在△ABE 和△AFE 中， AB AF BAE FAE AE AE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABE ≌△AFE （SAS ），（2）∵△ABE ≌△AFE ，∴∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，∵E 为BC 的中点，∴BE=CE ，∴FE=CE ，∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠DEF=∠DEC ，在△DEF 和△DEC 中，FE CE DEF DEC DE DE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DEF ≌△DEC （SAS ），∴DF=DC ，∵AD=AF+DF ，∴AD=AB+CD ；（Ⅱ）（1）∵E 为BC 的中点，∴BE=CE=12BC ， 同（Ⅰ）（1）得：△ABE ≌△AFE （SAS ），△DEG ≌△DEC （SAS ），∴BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，∵BE=CE ，∴FE=GE ，∵∠AED=120°，∠AEB+∠CED=180°-120°=60°，∴∠AEF+∠GED=60°，∴∠GEF=60°，∴△EFG 是等边三角形，（2）∵△EFG 是等边三角形，∴GF=EF=BE=12BC ， ∵AD=AF+FG+GD ， ∴AD=AB+CD+12BC ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．4．在等边ABC 中，点D 是边BC 上一点.作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为点E .连接CE 并延长，交射线AD 于点F .（1）如图，连接AE ，①AE 与AC 的数量关系是__________；②设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的大小；（2）如图，用等式表示线段AF ，CF ，EF 之间的数量关系，并证明.【答案】(1) ①AB=AE ；②∠BCF=α；(2) AF-EF=CF ，理由见详解.【解析】【分析】（1）①根据轴对称性，即可得到答案；②由轴对称性，得：AE=AB ，∠BAF=∠EAF=α，由ABC 是等边三角形，得AB=AC ，∠BAC=∠ACB=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可求解； （2）作∠FCG=60°交AD 于点G ，连接BF ，易证∆FCG 是等边三角形，得GF=FC ，再证∆ACG ≅∆BCF(SAS)，从而得AG=BF ，进而可得到结论.【详解】（1）①∵点B 关于射线AD 的对称点为点E ，∴AB 和AE 关于射线AD 的对称，∴AB=AE.故答案是：AB=AE ；②∵点B 关于射线AD 的对称点为点E ，∴AE=AB ，∠BAF=∠EAF=α， ∵ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠BAC=∠ACB=60°，∴∠EAC=60°-2α，AE=AC ， ∴∠ACE=1180(602)602αα⎡⎤--=+⎣⎦， ∴∠BCF=∠ACE-∠ACB=60α+-60°=α. （2）AF-EF=CF ，理由如下：作∠FCG=60°交AD 于点G ，连接BF ，∵∠BAF=∠BCF=α，∠ADB=∠CDF，∴∠ABC=∠AFC=60°，∴∆FCG是等边三角形，∴GF=FC，∵ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∴∠ACG=∠BCF=α.在∆ACG和∆BCF中，∵CA CBACG BCFCG CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACG≅∆BCF(SAS)，∴AG=BF，∵点B关于射线AD的对称点为点E，∴AG=BF=EF，∵AF-AG=GF，∴AF-EF=CF.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.5．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．【答案】（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）结论成立.（3）90°．【解析】【分析】(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交∠=︒,因此有BM⊥AN；AN于点C，得出MCN90(2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN；(3)取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数.【详解】解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．理由：如图1中，∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，∴△MBP≌△ANP（SAS），∴MB＝AN．延长MB交AN于点C．∵△MBP≌△ANP，∴∠PAN＝∠PMB，∵∠PAN+∠PNA＝90°，∴∠PMB+∠PNA＝90°，∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，∴BM⊥AN．（Ⅱ）结论成立理由：如图2中，∵△APM，△BPN，都是等边三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°∴∠MPB＝∠APN＝120°，又∵PM＝PA，PB＝PN，∴△MPB≌△APN（SAS）∴MB＝AN．（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．∵△APM，△PBN都是等边三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN，∵∠APC＝60°，∴△APC为等边三角形，∴∠PAC＝∠PCA＝60°，又∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°．【点睛】本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键.二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．（1）求证：△DCE为等腰三角形；（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝2，求GH的长；（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）22；（3）CE＝2GH，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意可得∠CBD＝12∠ABC＝12∠ACB，，由BD=DE，可得∠DBC＝∠E＝1 2∠ACB，根据三角形的外角性质可得∠CDE＝12∠ACB＝∠E，可证△DCE为等腰三角形；（2）根据题意可得CH=DH=1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG=GC，2+1，即可求GH的值；（3）CE=2GH，根据等腰三角形的性可得BG=GC，BH=HE，可得GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝12BC﹣12BE+CE＝12CE，即CE=2GH【详解】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝12∠ABC＝12∠ACB，∵BD＝DE，∴∠DBC＝∠E＝12∠ACB，∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝12∠ACB＝∠E，∴CD＝CE，∴△DCE是等腰三角形（2）∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE2，∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，∴∠HDC＝∠DCH＝45°∴DH＝CH，∵DH2+CH2＝DC2＝2，∴DH＝CH＝1，∵∠ABC＝∠DCH＝45°∴△ABC是等腰直角三角形，又∵点G是BC中点∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG，∵BD＝DE，DH⊥BC∴BH＝HE2+1∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH2+1∴1+2GH2+1∴GH＝2 2（3）CE＝2GH理由如下：∵AB＝CA，点G是BC的中点，∴BG＝GC，∵BD＝DE，DH⊥BC，∴BH＝HE，∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝12BC﹣12BE+CE＝12CE，∴CE＝2GH【点睛】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.7．如图，在△ABC中，AB=BC=AC=20 cm．动点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点P，点Q的速度都是2 cm/s，当点P第一次到达B点时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．（1）∠A=______度；（2）当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，求t 的值；（3）当△APQ 为等边三角形时，直接写出t 的值．【答案】（1）60；（2）103或203；（3）5或20 【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质即可解答；（2）需分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况进行解答；（3）需分以下两种情况进行解答：①由∠A=60°，则当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形；②当P 于B 重合，Q 与C 重合时，△APQ 为等边三角形.【详解】解：（1）60°．（2）∵∠A=60°，当∠APQ=90°时，∠AQP=90°－60°=30°．∴QA=2PA ．即2022 2.t t -=⨯ 解得 10.3t = 当∠AQP=90°时，∠APQ=90°－60°=30°．∴PA=2QA ．即2(202)2.t t -= 解得 20.3t = ∴当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，t 的值为102033或． （3）①由题意得：AP=2t ，AQ=20-2t∵∠A=60°∴当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形∴2t=20-2t ，解得t=5②当P 于B 重合，Q 与C 重合，则所用时间为：4÷2=20综上，当△APQ 为等边三角形时，t=5或20．【点睛】本题考查了等边三角形和直角三角形的判定以及动点问题，解答的关键在于正确的分类讨论以及对所学知识的灵活应用.8．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求ABFACFSS的值．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）2【解析】【分析】（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴ABFAFCS2S∆∆=．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．9．如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）补图见解析；（2）60°；（3）CE＋AE＝BE．【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据轴对称的性质可得AC＝AD，∠PAC＝∠PAD=20°，根据等边三角形的性质可得AC＝AB，∠BAC＝60°，即可得AB＝AD，在△ABD 中，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠D的度数，再由三角形外角的性质即可求得∠AEB的度数；（3）CE ＋AE＝BE，如图，在BE上取点M使ME＝AE，连接AM，设∠EAC＝∠DAE＝x，类比（2）的方法求得∠AEB＝60°，从而得到△AME为等边三角形，根据等边三角形的性质和SAS即可判定△AEC≌△AMB，根据全等三角形的性质可得CE＝BM，由此即可证得CE ＋AE＝BE．【详解】(1)如图：（2）在等边△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝60°由对称可知：AC＝AD，∠PAC＝∠PAD，∴AB＝AD∴∠ABD＝∠D∵∠PAC＝20°∴∠PAD＝20°∴∠BAD＝∠BAC+∠PAC +∠PAD =100°()1180402D BAD︒︒∴∠=-∠=.∴∠AEB＝∠D+∠PAD＝60°（3）CE＋AE＝BE．在BE上取点M使ME＝AE，连接AM，在等边△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝60°由对称可知：AC＝AD，∠EAC＝∠EAD，设∠EAC＝∠DAE＝x．∵AD＝AC＝AB，∴()11802602D BAC x x︒︒∠=-∠-=-∴∠AEB＝60－x＋x＝60°．∴△AME为等边三角形．∴AM=AE，∠MAE=60°，∴∠BAC=∠MAE=60°，即可得∠BAM=∠CAE.在△AMB和△AEC中，AB ACBAM CAEAM AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMB≌△AEC.∴CE＝BM.∴CE＋AE＝BE．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，解决第三问时，通过做辅助线，把AE转化到BE上，再证明CE ＝BM 即可得结论．10．如图1，在ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 为AC 边上一点，连接BD ，点E 为BD 上一点，连接CE ，CED ABD ∠=∠，过点A 作AG CE ⊥，垂足为G ，交ED 于点F ．(1)求证：2FAD ABD ∠=∠；(2)如图2，若AC CE =，点D 为AC 的中点，求证：AB AC =；(3)在(2)的条件下，如图3，若3EF =，求线段DF 的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）6【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质可得90ADB ABD ∠=︒-∠，90EFG CED ∠=︒-∠，然后根据三角形的内角和和已知条件即可推出结论；（2）根据直角三角形的性质和已知条件可得AFD ADF ∠=∠，进而可得AF AD =，BFA CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明ABF ∆≌CED ∆，可得AB CE =，进一步即可证得结论；（3）连接AE ，过点A 作AH AE ⊥交BD 延长线于点H ，连接CH ，如图4．先根据已知条件、三角形的内角和定理和三角形的外角性质推出45AED ∠=︒，进而可得AE AH =，然后即可根据SAS 证明△ABE ≌△ACH ，进一步即可推出90CHD ∠=︒，过点A 作AK ED ⊥于K ，易证△AKD ≌△CHD ，可得DK DH =，然后即可根据等腰三角形的性质推得DF =2EF ，问题即得解决．【详解】（1）证明：如图1，90BAC ∠=︒，90ADB ABD ∴∠=︒-∠，AG CE ⊥，90FGE ∴∠=︒，90EFG AFD CED ∴∠=∠=︒-∠，180FAD AFD ADF CED ABD ∴∠=︒-∠-∠=∠+∠，CED ABD ∠=∠，2FAD ABD ∴∠=∠；（2）证明：如图2，90AFD CED ∠=︒-∠，90ADB ABD ∠=︒-∠，CED ABD ∠=∠，AFD ADF ∴∠=∠，AF AD ∴=，BFA CDE ∠=∠，∵点D 为AC 的中点，∴AD=CD ，AF CD ∴=，ABF ∴∆≌CED ∆（AAS ），AB CE ∴=，CE AC =，AB AC ∴=；（3）解：连接AE ，过点A 作AH AE ⊥交BD 延长线于点H ，连接CH ，如图4． 90BAC ∠=︒，BAE CAH ∴∠=∠，设ABD CED α∠=∠=，则2,902FAD ACG αα∠=∠=︒-，CA CE =，45AEC EAC α∴∠=∠=︒+，45AED ∴∠=︒，45AHE ∴∠=︒，AE AH ∴=，AB AC =，∴△ABE ≌△ACH （SAS ），135AEB AHC ∴∠=∠=︒，90CHD ∴∠=︒，过点A 作AK ED ⊥于K ，90AKD CHD ∴∠=∠=︒，AD CD =，ADK CDH ∠=∠，∴△AKD ≌△CHD （AAS ），DK DH ∴=，∵,,AK DF AF AD AE AH ⊥==，,FK DK EK HK ∴==，3DH EF ∴==，6DF ∴=．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识，考查的知识点多、综合性强、难度较大，正确添加辅助线、构造等腰直角三角形和全等三角形的模型、灵活应用上述知识是解题的关键．三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．阅读下列材料，然后解答问题：问题：分解因式：3245x x +-.解答：把1x =带入多项式3245x x +-，发现此多项式的值为0，由此确定多项式3245x x +-中有因式()1x -，于是可设()()322451x x x x mx n +-=-++，分别求出m ，n 的值.再代入()()322451x x x x mx n +-=-++，就容易分解多项式3245x x +-，这种分解因式的方法叫做“试根法”.（1）求上述式子中m ，n 的值；（2）请你用“试根法”分解因式：3299x x x +--.【答案】（1）5m =，5n =；（2）()()()133x x x ++-【解析】【分析】（1）先找出一个x 的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论；（2）先找出x=-1时，得出多项式的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论．【详解】解：（1）把1x =带入多项式3245x x +-，发现此多项式的值为0，∴多项式3245x x +-中有因式()1x -，于是可设322451xx x x mx n ， 得出：3232451x x x m x n m x n ，∴14m ，0n m，∴5m =，5n =， （2）把1x =-代入3299x x x +--，多项式的值为0，∴多项式3299x x x +--中有因式()1x +，于是可设322329911x x x x x mx n x m x n m x n ，∴11m +=，9n m，9n =- ∴0m =，9n =-，∴3229133991x x x x x x x x【点睛】此题是分解因式，主要考查了试根法分解因式的理解和掌握，解本题的关键是理解试根法分解因式．12．先阅读下列材料，然后解后面的问题． 材料：一个三位自然数abc （百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ），若满足a+c=b ，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F （abc ）=ac ．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F （374）=3×4=12． （1）对于“欢喜数abc ”，若满足b 能被9整除，求证：“欢喜数abc ”能被99整除； （2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m ，n （m ＞n ），若F （m ）﹣F （n ）=3，求m ﹣n 的值．【答案】（1）详见解析；（2）99或297．【解析】【分析】（1）首先由题意可得a +c =b ，将欢喜数展开，因为要证明“欢喜数abc ”能被99整除，所以将展开式中100a 拆成99a +a ，这样展开式中出现了a +c ，将a +c 用b 替代，整理出最终结果即可；（2）首先设出两个欢喜数m 、n ，表示出F （m ）、F （n ）代入F （m ）﹣F （n ）=3中，将式子变形分析得出最终结果即可.【详解】（1）证明：∵abc 为欢喜数，∴a +c =b ． ∵abc =100a +10b +c =99a +10b +a +c =99a +11b ，b 能被9整除，∴11b 能被99整除，99a 能被99整除，∴“欢喜数abc ”能被99整除；（2）设m =11a bc ，n =22a bc （且a 1＞a 2），∵F （m ）﹣F （n ）=a 1•c 1﹣a 2•c 2=a 1•（b ﹣a 1）﹣a 2（b ﹣a 2）=（a 1﹣a 2）（b ﹣a 1﹣a 2）=3，a 1、a 2、b 均为整数，∴a 1﹣a 2=1或a 1﹣a 2=3．∵m ﹣n =100（a 1﹣a 2）﹣（a 1﹣a 2）=99（a 1﹣a 2），∴m ﹣n =99或m ﹣n =297．∴若F （m ）﹣F （n ）=3，则m ﹣n 的值为99或297．【点睛】做此类阅读理解类题目首先要充分理解题目，会运用因式分解将式子变形.13．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x +x (x +1)+x (x +1)2=(1+x )[1+x +x (x +1)]=(1+x )2(1+x )=(1+x )3(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.(2)若分解1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 .(3)分解因式：1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)n (n 为正整数).【答案】（1）提公因式，两次；（2）2004次，（x ＋1）2005；(3) (x ＋1)1n +【解析】【分析】（1）根据已知材料直接回答即可；（2）利用已知材料进而提取公因式（1+x ），进而得出答案；（3）利用已知材料提取公因式进而得出答案．【详解】（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次．故答案为提公因式法，2次；（2）1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+ x (x +1)2004，=（1+x ）[1+x+x （1+x ）+…+ x (x +1)2003]⋯=22003(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x +++++个=（1+x ）2005，故分解1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+ x (x +1)2004，，则需应用上述方法2004次，结果是：（x+1）2005．（3）分解因式：1+x+x （x+1）+x （x+1）2…+x （x+1）n （n 为正整数）的结果是：（x+1）n+1．故答案为（x+1）n+1．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．14．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A 可以用来解释2222()a ab b a b ++=+，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B 可以解释的代数恒等式是 ；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C ），试画出．．一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2223a ab b ++，并利用你所画的图形面积对2223a ab b ++进行因式分解．【答案】（1）2222()a ab a a b +=+；（2）()()22232a ab b a b a b ++=++ 【解析】试题分析：（1）根据图所示，可以得到长方形长为2a ，宽为a+b ，面积为：2a （a+b ），或四个小长方形和正方形面积之和；（2）①根据题意，可以画出相应的图形然后完成因式分解.试题解析：（1）()2222a ab a a b +=+ （2）①根据题意，可以画出相应的图形，如图所示②因式分解为：()()22232a ab b a b a b ++=++15．对于任意两个数a 、b 的大小比较，有下面的方法：当0a b ->时，一定有a b >；当0a b -=时，一定有a b =；当0a b -<时，一定有a b <．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．请根据以上材料完成下面的题目：（1）已知：228A x y y =+，8B xy =，且A B >，试判断y 的符号；（2）已知：a 、b 、c 为三角形的三边，比较222a c b +-和2ac 的大小．【答案】（1）y ＞0；（2）222a c b +-＜2ac【解析】【分析】（1）根据题意得到22880x y y xy +->，因式分解得到22(2)0y x ->，进而得到y 的符号即可；（2）将222a c b +-和2ac 作差，结合已知及三角形的两边之和大于第三边可求．【详解】解：（1）因为A ＞B ，所以A-B ＞0，即22880x y y xy +->，∴222(44)2(2)0y x x y x +-=->，因为2(2)0x -≥，∴y ＞0（2）因为a 2−b 2＋c 2−2ac ＝a 2＋c 2−2ac−b 2＝（a−c ）2−b 2＝（a−c−b ）（a−c ＋b ）， ∵a ＋b ＞c ，a ＜b ＋c ，所以（a−c−b ）（a−c ＋b ）＜0，所以a 2−b 2＋c 2−2ac 的符号为负．∴222a c b +-＜2ac【点睛】本题考查了作差法比较两个式子的大小以及因式分解，解题的关键是理解题中的“求差法”比较两个数的大小，并熟练掌握因式分解的方法．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．据上述条件解决下列问题：①规定期限是多少天？写出解答过程；②在不耽误工期的情况下，你觉得那一种施工方案最节省工程款?【答案】规定期限20天；方案（3）最节省【解析】【分析】设这项工程的工期是x 天，根据甲队单独完成这项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天，若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成以及工作量=工作时间×工作效率可列方程求解．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．【详解】解：设规定期限x 天完成，则有：415x x x +=+，解得x=20．经检验得出x=20是原方程的解；答：规定期限20天．方案（1）：20×1.5=30（万元）方案（2）：25×1.1=27.5（万元 ），方案（3）：4×1.5＋1.1×20=28（万元）．所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．所以方案（3）最节省．点睛：本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．17．为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车.已知小王家距离上班地点27km ，他乘坐公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程的2倍还多9km .他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的37. （1）小王用自驾车上班平均每小时行驶多少千米？（2）上周五，小王上班时先步行了6km ，然后乘公交车前往，共用43小时到达.求他步行的速度.【答案】（1）小王用自驾车上班平均每小时行驶27km ；（2）小王步行的速度为每小时6km .【解析】【分析】（1））设小王用自驾车上班平均每小时行驶xkm ，则他乘坐公交车上班平均每小时行驶()29x km +.再利用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾SS 式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米和乘公交车所用时间是自驾车方式所用时间的37，列方程求解即可；（2）设小王步行的速度为每小时ykm ，然后根据“步行时间+乘公交时间=小时”列方程解答即可.【详解】解（1）设小王用自驾车上班平均每小时行驶xkm ，则他乘坐公交车上班平均每小时行驶()29x km +.根据题意得：27327297x x=⋅+ 解得：27x =经检验，27x =是原方程的解且符合题意.所以小王用自驾车上班平均每小时行驶27km ；（2）由（1）知：小王乘坐公交车上班平均每小时行驶29227963x +=⨯+=（km ）； 设小王步行的速度为每小时ykm ，根据题意得：62764633y -+= 解得：6y =.经检验：6y =是原方程的解且符合题意所以小王步行的速度为每小时6km .【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答的关键在于弄清题意、找到等量关系、列出分式方程并解答.18．某公司开发的960件新产品必须加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工48件产品的时间与乙工厂单独加工72件产品的时间相等，而且乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，在加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导.(1)甲、乙两个工厂每天各能加工多少件产品？(2)该公司要选择既省时又省钱的工厂加工产品，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，有望加工这批产品？【答案】(1)甲工厂每天加工16件产品，则乙工厂每天加工24件；(2)乙工厂向公司报加工费用每天最多为1225元时，有望加工这批产品.【解析】【分析】(1)此题的等量关系为：乙工厂每天加工产品的件数=甲工厂每天加工产品的件数+8；甲工厂单独加工48件产品的时间=乙工厂单独加工72件产品的时间，设未知数，列方程求出方程的解即可；(2)先分别求出甲乙两工厂单独加工这批新产品所需时间，再求出甲工厂所需费用，然后根据乙工厂所需费用要小于甲工厂所需费用，设未知数，列不等式，再求出不等式的最大整数解即可.【详解】(1)设甲工厂每天加工x 件产品，则乙工厂每天加工(x+8)件产品， 根据题意得：48728x x =+， 解得：x=16，检验：x(x+8)=16(16+8)≠0，∴x=16是原方程的解，∴x+8=16+8=24，答：甲工厂每天加工16件产品，则乙工厂每天加工24件.(2)解：甲工厂单独加工这批新产品所需时间为：960÷16=60，所需费用为：60×800+50×60=51000，乙工厂单独加工这批新产品所需时间为：960÷24=40，解：设乙工厂向公司报加工费用每天最多为y 元时，有望加工这批产品则：40y+40×50≤51000解之y≤1225∴y 的最大整数解为：y=1225答：乙工厂向公司报加工费用每天最多为1225元时，有望加工这批产品.【点睛】本题考查分式方程的应用，涉及到的公式：工作总量=工作效率×工作时间；分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．19．某工程队接到任务通知，需要修建一段长1800米的道路，按原计划完成总任务的13后，为了让道路尽快投入使用，工程队将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务．（1）按原计划完成总任务的13时，已修建道路多少米？ （2）求原计划每小时修建道路多少米？ 【答案】（1）已修建道路600米；（2）原计划每小时抢修道路140米．【解析】【分析】（1）全长1800，原计划已经完成13，单位“1”已知用乘法，已修道路=118003⨯=600米（2）本题可以采用直接设，设原计划每小时修路为x 米，加快后每小时变为1.5x 米，等量关系为：原计划修路时间+提高后修路时间=总时间，列方程即可解出．【详解】解：（1）已修建道路600米；（2）设原计划每小时抢修道路x 米， 根据题意得：()6001800600x 150x -++%＝10解得：x ＝140，经检验：x ＝140是原方程的解．答：原计划每小时抢修道路140米．【点睛】方程的应用题是中考常考的类型题，设未知数一般有直接设和间接设两种，做题时找好等量关系尤为重要，分式方程解出后要检验增根的情况，排除不合适的解．20．杨梅是漳州的特色时令水果.杨梅一上市，水果店的老板用1200元购进一批杨梅，很快售完；老板又用2500元购进第二批杨梅，所购件数是第一批的2倍，但进价每件比第一批多了5元.（1）第一批杨梅每件进价多少元？（2）老板以每件150元的价格销售第二批杨梅，售出80%后，为了尽快售完，决定打折促销.要使得第二批杨梅的销售利润不少于320元，剩余的杨梅每件售价至少打几折（利润-售价-进价）？【答案】（1）120元（2）至少打7折．【解析】【分析】（1）设第一批杨梅每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+5）元，再根据等量关系：第二批杨梅所购件数是第一批的2倍；（2）设剩余的杨梅每件售价y元，由利润=售价-进价，根据第二批的销售利润不低于320元，可列不等式求解．【详解】解：(1)设第一批杨梅每件进价是x元，则120025002,5 x x⨯=+解得120.x=经检验，x=120是原方程的解且符合题意．答：第一批杨梅每件进价为120元．(2)设剩余的杨梅每件售价打y折．则2500250015080%150(180%)0.12?500320. 125125y⨯⨯+⨯⨯-⨯-≥解得y≥7.答：剩余的杨梅每件售价至少打7折．【点睛】考查分式方程的应用, 一元一次不等式的应用，读懂题目，从题目中找出等量关系以及不等关系是解题的关键.五、八年级数学三角形解答题压轴题（难）21．（问题背景）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；（简单应用）（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数；（问题探究）（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．。

2022-2023学年浙江省杭州市八区市八年级（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题，每小题3分共30分）1．（3分）下列说法正确的是( )A ．每个定理都有逆定理B ．每个命题都有逆命题C ．假命题没有逆命题D ．真命题的逆命题是真命题2．（3分）已知一次函数3y kx =−，若y 随x 的增大而减小，则它的图象经过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 3．（3分）若a b >，则下列式子中正确的是( )A ．22a b <B ．33a b −<−C ．33a b −<−D ．0a b −<4．（3分）如图，ABC ADC ∆≅∆，若25B ∠=︒，则D ∠的度数为( )A ．20︒B ．25︒C ．30︒D ．50︒5．（3分）如图是用尺规作AOB ∠的平分线OC 的示意图，这样作图的依据是( )A ．SASB ．SSSC ．ASAD ．AAS6．（3分）如图，笑脸盖住的点的坐标可能为( )A ．(2,3)B ．(2,3)−C ．(2,3)−−D ．(2,3)−7．（3分）小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件．已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，设小聪最多能买x 支钢笔．可列出不等式( )A ．52(30)100x x +−<B ．52(30)100x x +−C ．52(30)100x x +−D ．52(30)100x x +−> 8．（3分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 平分BAC ∠，DF AB ⊥于F 点，DE AC ⊥于点E ，则下列四个结论：①AD 上任意一点到AB ，AC 两边的距离相等； ②AD BC ⊥且BD CD =；③BDF CDE ∠=∠；④AE AF =．其中正确的有( )A ．②③B ．①③C ．①②④D ．①②③④9．（3分）如图，木杆AB 斜靠在墙壁上，P 是AB 的中点，当木杆的上端A 沿墙壁NO 竖直下滑时，木杆的底端B 也随之沿着射线OM 方向滑动，则下滑过程中OP 的长度变化情况是( )A ．逐渐变大B ．不断变小C ．不变D ．先变大再变小10．（3分）如图，在ABC ∆中，AB BC AC ==，AE CD =，AD 与BE 相交于点P ，BQ AD ⊥于Q ．则BP 与BQ 的关系为( )A ．222BP BQ =B ．2234BP BQ =C ．2243BP BQ =D ．2223BP BQ =二．填空题（共6小题，每小题4分共24分）11．（4分）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是： ．12．（4分）已知函数125m y x −=+是一次函数，则m 的值为 ．13．（4分）适合不等式组10221x x x +⎧⎨+−⎩的x 的整数值有 个． 14．（4分）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC 与AE 的长度相等，滑梯的高度6BC m =，2BE m =．则滑道AC 的长度为 m ．15．（4分）如图，一次函数1y kx b =+与2y mx n =+的图象相交于点(1,3)，则方程组12y kx b y mx n =+⎧⎨=+⎩的解为 ，关于x 的不等式kx b mx n +>+的解为 ．16．（4分）如图，等边ABC ∆中，AO BC ⊥，O为垂足且AO ，E 是线段AO 上的一个动点，连接BE ，线段BF 与线段BE 关于直线BA 对称，连接AF 、OF ，在点E 运动的过程中，当OF 的长取得最小值时，AE 的长为 ．三．解答题（共7小题，66分）17．（6分）已知：如图，点A ，D ，B ，E 在同一条直线上，AC EF =，AD BE =，BC DF =．求证：EDF ABC ∠=∠．18．（8分）解下列不等式（组):（1）213x x −>−；（2）3(2)4,11.52x x x x −−⎧⎪−+⎨<⎪⎩． 19．（8分）（1）在平面直角坐标系中，画ABC ∆，使其三个顶点为(1,0)A −，(1,1)B −，(3,3)C ；（2）ABC ∆是直角三角形吗？请证明你的判断．20．（10分）已知y 关于x 的一次函数(0)y kx b k =+≠，当8x =时，12y =；当4x =时，4y =．（1）求k 、b 的值；（2）若1(,)A m y ，2(1,)B m y +是该一次函数图象上的两点，求证：21y y k −=．21．（10分）如图，已知ABC ∆、ADE ∆都是等腰直角三角形，连接BD 、CE ．（1）求证：BAD CAE ∆≅∆；（2）若延长BD 交CE 于点F ，试判断BF 与CE 的位置关系，并说明理由．22．（12分）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA 表示货车离甲地距离y （千米）与时间t （小时）之间的函数关系；线段BD 表示轿车离甲地距离y （千米）与时间t （小时）之间的函数关系．点C 在线段BD 上，请根据图象解答下列问题：（1）试求点B 的坐标；（2）当轿车与货车相遇时，求此时t 的值；（3）在整个过程中(05)t ，问t 在什么范围时，轿车与货车之间的距离小于30千米．23．（12分）如图，点A 在直线l 上，在直线l 右侧作等腰三角形ABC ，AB AC =，BAC α∠=，点D 与点B 关于直线l 轴对称，连接CD 交直线l 于点E ，连接BE ．（1）求证：ADC ACD ∠=∠；（2）求证：BEC α∠=；（3）当90α=︒时，求证：2222ED CE AB +=．。

浙教版数学八年级上册期末考试试卷一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）.1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2.5，3.5B．4，6，10C．20，11，8D．5，8，12 2．在下列“绿色食品、回收、节能、节水”四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，雷达探测器发现了A，B，C，D，E，F六个目标．目标C，F的位置分别表示为C（6，120°），F（5，210°），按照此方法表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示正确的是（）A．A（4，30°）B．B（1，90°）C．D（4，240°）D．E（3，60°）4．在△ABC纸片上有一点P，且PA＝PB，则P点一定（）A．是边AB的中点B．在边AB的垂直平分线上C．在边AB的高线上D．在边AB的中线上5．若a＞b，则下列不等式变形正确的是（）A．3a＜3b B．ac2＞bc2C．a﹣c＞b﹣c D．﹣ac＜﹣bc 6．对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举一个反例，符合要求的反例是（）A．a＝﹣1，b＝﹣2B．a＝2，b＝一1C．a＝2，b＝1D．a＝﹣1，b＝0 7．下列函数中，自变量x的取值范围为x＜1的是（）A．B．C．D．8．直线y1＝k1x+b与直线y2＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b≤k2x的解集为（）A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x≤﹣3D．x≥﹣39．小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到学校．小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店购买水果花费了5分钟，这时发现小明已经跑到前面，爸爸骑车速度增加60米/分钟，结果与小明同时到达学校．小明和爸爸两人离开家的路程s（米）与爸爸出发时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．则下列说法错误的是（）A．a＝15B．小明的速度是150米/分钟C．爸爸从家到商店的速度为200米/分钟D．爸爸出发7分钟追上小明10．如图，在平面直角坐标系中，点A1在x轴的正半轴上，B1在第一象限，且△OA1B1是等边三角形．在射线OB1上取点B2，B3，…，分别以B1B2，B2B3，…为边作等边三角形△B1A2B2，△B2A3B3，…使得A1，A2，A3，…在同一直线上，该直线交y轴于点C．若OA1＝1，∠OA1C＝30°，则点B9的横坐标是（）A．B．C．256D．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：．12．以A（﹣2，7），B（﹣2，﹣2）为端点的线段上任意一点的坐标可表示为（﹣2，y）（﹣2≤y≤7）．现将这条线段水平向右平移7个单位，所得图形上任意一点的坐标可表示为．13．如图，在△ABC中，点E在AB上，D为AC的中点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．若AB＝15cm，CF＝10cm，则BE＝cm．14．有一种感冒止咳药品的说明书上写着：“每日用量90～120mg（包括90mg和120mg），分2～3次服用”．若一次服用这种药品的剂量为amg，则a的取值的范围为．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE 沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，若△PCD中有一个角等于48°，则∠A ＝．16．已知直线y＝x+2与函数y＝图象交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）点A的坐标是；（2）已知O是坐标原点，现把两个函数图象水平向右平移m个单位，点A，B平移后的对应点分别为A′，B′，连接OA′，OB′．当m＝时，|OA'﹣OB'|取最大值．三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）17．解不等式组．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABO的三个顶点坐标分别为A（0，﹣3），B（2，0），O（0，0）．（1）将△OAB关于x轴作轴对称变换，在图1中画出对称后的图形，并涂黑．（2）将△OAB先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，在图2中画出平移后的图形，并涂黑．19．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣4，0），B（2，6）两点．（1）求一次函数y＝kx+b的表达式．（2）在直角坐标系中，画出这个函数的图象．（3）求这个一次函数与坐标轴围成的三角形面积．20．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB＝DE，②BF＝EC，③∠B＝∠E，④∠1＝∠2．请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．题设：；结论：．（均填写序号）证明：21．为了“不忘历史，学习英雄”，学校开展“红色丰碑”演讲比赛；王老师负责为获奖同学购买奖品，现甲、乙两个商店正在做促销活动，分别给出了不同的优惠方案：甲商店优惠方案：购买奖品金额超过300元后，超出300元的部分按8折收费；乙商店优惠方案：购买奖品金额超过500元后，超出500元的部分按a折收费；如果王老师到乙商店购买奖品，当奖品金额是600元时，实际需支付570元．（1）填空：a＝．（2）如果王老师到甲商店购买奖品金额x元，求实际支付y元与奖品金额x元之间的函数表达式．（3）如果王老师购买奖品的金额超过800元，那么到哪个商店进行采购更合算？22．我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为面积法．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB边上的高线．用“面积法”求CD的长．（2）如图2，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，P为底边BC上的任意一＝S△ABP+S△ACP，点，过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别为M，N，连接AP，利用S△ABC 求PM+PN的值．（3）如图3，有一直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6．点D在斜边AB上，连接CD，将△ADC沿CD折叠，点A的对应点A′落在BC边上，求折叠后纸片重叠部分的面积．23．已知直线l：y＝kx+3k+1（k＞0）经过定点A．（1）探求定点A的坐标．把函数表达式作如下变形：y＝kx+3k+1＝k（x+3）+1，当x ＝﹣3时，可以消去k，求出y＝1，则定点A的坐标为．（2）如图1，已知△BCD各顶点的坐标分别为B（0，1），C（﹣4，1），D（0，4），直线l将△BCD的周长分成7：17两部分，求k的值．（3）如图2，设直线l与y轴交于点P，另一条直线y＝（k﹣1）x+3k﹣2与y轴交于点Q，交直线l于点E，点F是EQ的中点．当点P从（0，5）沿y轴正方向运动到（0，10）时，求点F运动经过的路径长．24．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），直线l是经过点（0，）且平行于x 轴的直线，点B在直线l上，连接AB，设点B的横坐标为m（m＞0）．（1）如图1，当m＝9时，以AB为直角边作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，求直线BC的函数表达式．（2）在图2中以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连接OD，求△AOD的面积（用含m的代数式表示）．（3）在图3中以AB为边作等腰直角三角形ABP，当点P落在直线y＝x+上时，求m的值．参考答案一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）.1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2.5，3.5B．4，6，10C．20，11，8D．5，8，12【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．解：A、1+2.5＝3.5，不能够组成三角形；B、4+6＝10，不能组成三角形；C、11+8＜20，不能组成三角形；D、5+8＞12，能组成三角形．故选：D．2．在下列“绿色食品、回收、节能、节水”四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：A．3．如图，雷达探测器发现了A，B，C，D，E，F六个目标．目标C，F的位置分别表示为C（6，120°），F（5，210°），按照此方法表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示正确的是（）A．A（4，30°）B．B（1，90°）C．D（4，240°）D．E（3，60°）【分析】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别判断各选项即可得解．解：由题意可知A、B、D、E的坐标可表示为：A（5，30°），故A选项错误；B（2，90°），故B选项错误；D（4，240°），故C选项正确；E（3，300°），故D选项错误．故选：C．4．在△ABC纸片上有一点P，且PA＝PB，则P点一定（）A．是边AB的中点B．在边AB的垂直平分线上C．在边AB的高线上D．在边AB的中线上【分析】根据线段垂直平分线的判定定理解答．解：∵PA＝PB，∴P点在在边AB的垂直平分线上，故选：B．5．若a＞b，则下列不等式变形正确的是（）A．3a＜3b B．ac2＞bc2C．a﹣c＞b﹣c D．﹣ac＜﹣bc 【分析】根据不等式的性质逐一进行判断即可．不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．解：A．因为a＞b，所以3a＞3b，故本选项不合题意；B．不妨设c＝0，则ac2＝bc2，故本选项不合题意；C．因为a＞b，所以a﹣c＞b﹣c，故本选项符合题意；D．不妨设c＝0，则﹣ac＝﹣bc，故本选项不合题意；故选：C．6．对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举一个反例，符合要求的反例是（）A．a＝﹣1，b＝﹣2B．a＝2，b＝一1C．a＝2，b＝1D．a＝﹣1，b＝0【分析】根据有理数的大小比较法则、有理数的乘方法则计算，判断即可．解：当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，而a2＜b2，∴“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故选：A．7．下列函数中，自变量x的取值范围为x＜1的是（）A．B．C．D．【分析】根据函数自变量的取值得到x＜1的取值的选项即可．解：A、自变量的取值为x≠1，不符合题意；B、自变量的取值为x≠0，不符合题意；C、自变量的取值为x≤1，不符合题意；D、自变量的取值为x＜1，符合题意．故选：D．8．直线y1＝k1x+b与直线y2＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b≤k2x的解集为（）A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x≤﹣3D．x≥﹣3【分析】结合函数图象，写出直线y2＝k2x在直线y1＝k1x+b上方所对应的自变量的范围即可．解：∵直线y1＝k1x+b与直线y2＝k2x的交点的横坐标为﹣3，∴当x≤﹣3时，y2≥y1，∴关于x的不等式k1x+b≤k2x的解集为x≤﹣3．故选：C．9．小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到学校．小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店购买水果花费了5分钟，这时发现小明已经跑到前面，爸爸骑车速度增加60米/分钟，结果与小明同时到达学校．小明和爸爸两人离开家的路程s（米）与爸爸出发时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．则下列说法错误的是（）A．a＝15B．小明的速度是150米/分钟C．爸爸从家到商店的速度为200米/分钟D．爸爸出发7分钟追上小明【分析】由图象可得a的值；根据小明的路程和时间可得速度；设爸爸从家到商店的速度是x米/分钟，列一元一次方程可求解；根据追及问题中相距路程÷速度差＝时间可得答案．解：线段BC是爸爸买水果的时间5分钟，a＝10+5＝15，故A不符合题意；由图象可得小明的速度是3300÷（20+2）＝150（米/分钟），故B不符合题意；设爸爸从家到商店的速度是x米/分钟，则从商店到学校的速度是（x+60）米/分钟，依题意得，10x+（20﹣15）（x+60）＝3300，解得x＝200，所以爸爸从家到商店的速度是200米/分钟，故C不符合题意；爸爸追上小明得时间是150×2÷（200﹣150）＝6（分钟），故D符合题意．故选：D．10．如图，在平面直角坐标系中，点A1在x轴的正半轴上，B1在第一象限，且△OA1B1是等边三角形．在射线OB1上取点B2，B3，…，分别以B1B2，B2B3，…为边作等边三角形△B1A2B2，△B2A3B3，…使得A1，A2，A3，…在同一直线上，该直线交y轴于点C．若OA1＝1，∠OA1C＝30°，则点B9的横坐标是（）A．B．C．256D．【分析】根据题意求出点B1，B2，B3的坐标，然后找出B点坐标的变化规律，把B n的坐标用含n的式子表示出来，取n＝9，即可求出B9的横坐标．解：∵△OA1B1是等边三角形，OA1＝1，∴B1的横坐标为，OA1＝OB1，设B1（，y），则，解答y＝或y＝（舍），∴B1（，），∴OB1所在的直线的解析式为y＝x，∵OA1＝1，∠OA1C＝30°，△OA1B1是等边三角形，∴∠B1A1C＝90°，∵∠O1BA1＝∠B1B2A2＝60°，∴B1A1∥B2A2，∴∠B1A1C＝∠B2A2A1＝90°，∴∠B1A2A1＝30°，∴B1A2＝2A1B1＝2，∴B2的横坐标为，∴y＝x＝，∴B2（，），同理：B3（，），B4（，），总结规律：B1的横坐标为，B2的横坐标为+1＝，B3的横坐标为+1+2＝，B4的横坐标为+1+2+4＝，...，∴点B9的横坐标是1+2+4+8+16+32+64＝．故选：B．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：y＝﹣x（答案不唯一）．【分析】先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过二、四象限确定出k的符号，再写出符合条件的正比例函数即可．解：设此正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），∵此正比例函数的图象经过二、四象限，∴k＜0，∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y＝﹣x（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣x（答案不唯一）．12．以A（﹣2，7），B（﹣2，﹣2）为端点的线段上任意一点的坐标可表示为（﹣2，y）（﹣2≤y≤7）．现将这条线段水平向右平移7个单位，所得图形上任意一点的坐标可表示为（5，y）（﹣2≤y≤7）．【分析】根据平移时，点的坐标变化规律“左减右加”进行计算即可．解：现将这条线段水平向右平移7个单位，所得图形上任意一点的坐标可表示为（5，y）（﹣2≤y≤7），故答案为：（5，y）（﹣2≤y≤7）．13．如图，在△ABC中，点E在AB上，D为AC的中点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．若AB＝15cm，CF＝10cm，则BE＝5cm．【分析】根据CF∥AB就可以得出∠A＝∠DCF，∠AED＝∠F，证明△ADE≌△CDF （AAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，则可得出答案．解：∵CF∥AB，∴∠AED＝∠F，∠FCD＝∠A．∵点D为AC的中点，∴AD＝CD．在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）．∴AE＝CF，∵AB＝15cm，CF＝10cm，∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣CF＝15﹣10＝5（cm）．故答案为5．14．有一种感冒止咳药品的说明书上写着：“每日用量90～120mg（包括90mg和120mg），分2～3次服用”．若一次服用这种药品的剂量为amg，则a的取值的范围为30≤a≤60．【分析】一次服用剂量a＝，故可求出服用剂量的最大值和最小值，而一次服用的剂量应介于两者之间，依题意列出不等式即可．解：由题意，当每日用量90mg，分3次服用时，一次服用的剂量最小为＝30mg；当每日用量120mg，分2次服用时，一次服用的剂量最大为＝60mg；故一次服用这种药品的剂量范围是30mg～60mg．故答案为：30≤a≤60．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE 沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，若△PCD中有一个角等于48°，则∠A ＝42°或24°．【分析】由折叠的性质得出AD＝PD＝BD，∠CPD＝∠B，∠PDC＝∠BDC，∠PCD＝∠DCB，由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝AB＝AD＝BD，由等腰三角形的性质得出∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠B，中分三种情况讨论即可．解：由折叠可得，AD＝PD＝BD，∠CPD＝∠B，∠PDC＝∠BDC，∠PCD＝∠DCB，∴D是AB的中点∴CD＝AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠B，当∠CPD＝48°时，∠B＝48°，∴∠A＝90°﹣∠B＝42°；当∠PCD＝48°时，∠DCB＝∠B＝48°，∴∠A＝42°；当∠PDC＝48°时，∵∠PCD＝DCB＝48°，∠BDC＝∠A+∠ACD，∴∠A＝∠BDC＝24°；故答案为：42°或24°．16．已知直线y＝x+2与函数y＝图象交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）点A的坐标是（﹣，）；（2）已知O是坐标原点，现把两个函数图象水平向右平移m个单位，点A，B平移后的对应点分别为A′，B′，连接OA′，OB′．当m＝6时，|OA'﹣OB'|取最大值．【分析】（1）因为点A在点B左边，联立方程y＝x+2与y＝﹣x﹣1求解．（2）O，A'，B'共线时满足题意，用含m代数式分别表示A'，B'坐标，然后代入正比例函数解析式求出m即可．解：（1）联立方程，解得，∴A（﹣，），故答案为：（﹣，）．（2）联立方程，解得，∴点B坐标为（，），将A，B向右平移m个单位得A'（﹣+m，），B'（+m，），∴OA'＝，OB'＝，∵三角形中两边之差小于第三边，∴O，A，B三点共线时，|OA'﹣OB'|取最大值，最大值为AB长度，设O，A，B所在直线正比例函数为y＝kx，将A'，B'坐标代入可得：，解得m＝6．故答案为：6．三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）17．解不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式3x﹣2≤x，得：x≤1，解不等式＜，得：x＞﹣7，∴不等式组的解集为﹣7＜x≤1．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABO的三个顶点坐标分别为A（0，﹣3），B（2，0），O（0，0）．（1）将△OAB关于x轴作轴对称变换，在图1中画出对称后的图形，并涂黑．（2）将△OAB先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，在图2中画出平移后的图形，并涂黑．【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置得出答案；（2）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案．解：（1）如图1所示：△CBO即为所求；（2）如图2所示：△A′B′O′即为所求．19．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣4，0），B（2，6）两点．（1）求一次函数y＝kx+b的表达式．（2）在直角坐标系中，画出这个函数的图象．（3）求这个一次函数与坐标轴围成的三角形面积．【分析】（1）将两点代入，运用待定系数法求解；（2）两点法即可确定函数的图象．（3）求出与x轴及y轴的交点坐标，然后根据面积公式求解即可．解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过两点A（﹣4，0）、B（2，6），∴，∴函数解析式为：y＝x+4；（2）函数图象如图；（3）一次函数y＝x+4与y轴的交点为C（0，4），∴△AOC的面积＝4×4÷2＝8．20．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB＝DE，②BF＝EC，③∠B＝∠E，④∠1＝∠2．请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．题设：可以为①②③；结论：④．（均填写序号）证明：【分析】此题可以分成三种情况：情况一：题设：①②③；结论：④，可以利用SAS定理证明△ABC≌△DEF；情况二：题设：①③④；结论：②，可以利用AAS证明△ABC≌△DEF；情况三：题设：②③④；结论：①，可以利用ASA证明△ABC≌△DEF，再根据全等三角形的性质可推出结论．【解答】情况一：题设：①②③；结论：④．证明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠1＝∠2；情况二：题设：①③④；结论：②．证明：在△ABC和△DEF中，∵，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴BC＝EF，∴BC﹣FC＝EF﹣FC，即BF＝EC；情况三：题设：②③④；结论：①．证明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB＝DE．21．为了“不忘历史，学习英雄”，学校开展“红色丰碑”演讲比赛；王老师负责为获奖同学购买奖品，现甲、乙两个商店正在做促销活动，分别给出了不同的优惠方案：甲商店优惠方案：购买奖品金额超过300元后，超出300元的部分按8折收费；乙商店优惠方案：购买奖品金额超过500元后，超出500元的部分按a折收费；如果王老师到乙商店购买奖品，当奖品金额是600元时，实际需支付570元．（1）填空：a＝7．（2）如果王老师到甲商店购买奖品金额x元，求实际支付y元与奖品金额x元之间的函数表达式．（3）如果王老师购买奖品的金额超过800元，那么到哪个商店进行采购更合算？【分析】（1）由“当金额是600元时，实际只需支付了570”可得方程300+（600﹣300）×＝570，再解即可；与奖品金额x元之间的函数表达式；（2）根据甲商店优惠方案即可求出y甲与奖品金额x元之间的函数表达式，再结合（2）的结论列方程和（3）根据题意求出y乙不等式解答即可．解：（1）由题意，得500+（600﹣500）×＝570，解得x＝7，故答案为：7；（2）由题意，得y＝；甲＝0.7x+150（x＞500），（3）由题意，得y乙0.8x+60＝0.7x+150，解得x＝900，0.8x+60＞0.7x+150，解得x＞900，0.8x+60＜0.7x+150，解得x＜900，当800＜x＜900时，到甲商店更合算；当x＝900时，两家商店任选一个；当x＞900时，到乙商店更合算．22．我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为面积法．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB边上的高线．用“面积法”求CD的长．（2）如图2，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，P为底边BC上的任意一＝S△ABP+S△ACP，点，过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别为M，N，连接AP，利用S△ABC 求PM+PN的值．（3）如图3，有一直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6．点D在斜边AB上，连接CD，将△ADC沿CD折叠，点A的对应点A′落在BC边上，求折叠后纸片重叠部分的面积．【分析】（1）利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CD即可．（2）如图2中，过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AH，再利用面积法求出PM+PN即可．（3）如图，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥EC于N．利用角平分线的性质定理证明PM ＝PN，再利用面积法求出PM，可得结论．解：（1）如图1中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵CD⊥AB，＝•AC•BC＝•AB•CD，∴S△ABC∴CD＝＝．（2）如图2中，过点A作AH⊥BC于H．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴BH＝CH＝5，∴AH＝＝＝12，＝•BC•AH＝•AB•PM+•AC•PN，∵S△ABC∴×13×PM+×13×PN＝×10×12，∴PM+PN＝．（3）如图，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥EC于N．∵∠ACD＝∠ECD，DM⊥AC，DN⊥CE，∴DM＝DN，+s△BCD＝S△ACB，∵S△ACD∴×4×DM+×6×DN＝×4×6，∴DM＝DN＝，＝•CA′•DN＝×4×＝．∴S△A′CD23．已知直线l：y＝kx+3k+1（k＞0）经过定点A．（1）探求定点A的坐标．把函数表达式作如下变形：y＝kx+3k+1＝k（x+3）+1，当x ＝﹣3时，可以消去k，求出y＝1，则定点A的坐标为（﹣3，1）．（2）如图1，已知△BCD各顶点的坐标分别为B（0，1），C（﹣4，1），D（0，4），直线l将△BCD的周长分成7：17两部分，求k的值．（3）如图2，设直线l与y轴交于点P，另一条直线y＝（k﹣1）x+3k﹣2与y轴交于点Q，交直线l于点E，点F是EQ的中点．当点P从（0，5）沿y轴正方向运动到（0，10）时，求点F运动经过的路径长．【分析】（1）x＝﹣3时，y的值与k无关，都为1，即得定点A（﹣3，1），（2）由A（﹣3，1），B（0，1），C（﹣4，1），D（0，4），得AB＝3，BC＝4，BD＝3，CD＝5，直线l将△BCD的周长分成7：17两部分，则两部分的长分别为：12×＝，12×＝，①若AB+BN＝，得N（0，），将N（0，）代入y＝kx+3k+1，即解得k＝﹣，②若AC+CM＝，可得M（﹣2，），把M（﹣2，）代入y＝kx+3k+1，解得：k＝；（3）由求得E（﹣3，1），故E与A重合，而点F是EQ的中点，得x F＝﹣，根据y＝kx+3k+1、y＝（k﹣1）x+3k﹣2可得P（0，3k+1）、Q（0，3k﹣2），故PQ＝3，可知点P从（0，5）沿y轴正方向运动到（0，10），则Q从（0，2）运动到（0，7），F从（﹣，）运动到（﹣，4），即可得F运动的路程为．解：（1）∵x＝﹣3时，y的值与k无关，都为1，∴定点A（﹣3，1），故答案为：（﹣3，1）；（2）∵A（﹣3，1），B（0，1），C（﹣4，1），D（0，4），∴AB＝3，BC＝4，BD＝3，∵∠CDB＝90°，∴CD＝＝＝5，∴△BCD的周长为BD+CD+BC＝12，∵直线l将△BCD的周长分成7：17两部分，∴两部分的长分别为：12×＝，12×＝，①若AB+BN＝，如图：∴3+BN＝，∴BN＝，∴N（0，），将N（0，）代入y＝kx+3k+1得：＝3k+1，解得k＝﹣，②若AC+CM＝，如图：∴1+CM＝，∴CM＝，∴CM＝CD，∴M为CD中点，∴M（﹣2，），把M（﹣2，）代入y＝kx+3k+1得：＝﹣2k+3k+1，解得：k＝，综上所述，k的值为﹣或；（3）由得，∴E（﹣3，1），∴E与A重合，∵点F是EQ的中点，∴x F＝﹣，而由y＝kx+3k+1、y＝（k﹣1）x+3k﹣2可得P（0，3k+1）、Q（0，3k﹣2），∴PQ＝3，∵点P从（0，5）沿y轴正方向运动到（0，10），∴Q从（0，2）运动到（0，7），∴F从（﹣，）运动到（﹣，4），∴F运动的路程为：4﹣＝．24．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），直线l是经过点（0，）且平行于x 轴的直线，点B在直线l上，连接AB，设点B的横坐标为m（m＞0）．（1）如图1，当m＝9时，以AB为直角边作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，求直线BC的函数表达式．（2）在图2中以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连接OD，求△AOD的面积（用含m的代数式表示）．（3）在图3中以AB为边作等腰直角三角形ABP，当点P落在直线y＝x+上时，求m的值．【分析】（1）作CN⊥轴于N，BM⊥轴于M，易证Rt△NCA Rt△MAB，可求得点C的坐标为（，5），再利用待定系数法即可求解；（2）过B作直线EF⊥轴于F，过D作DE⊥EF交直线EF于E，易证Rt△FAB≌Rt△EBD，可求得点D的坐标为（m﹣，m﹣）或（m+，﹣m），再利用三角形面积公式即可求解；（3）题中只给定了AB为直角边，所以分∠ABP＝90°或∠BAP＝90°两种情况讨论，即可求解．解：（1）作CN⊥轴于N，BM⊥轴于M，∵∠BAC＝90°，∴∠NAC+∠NCA＝∠NAC+∠MAB＝90°，∴∠NCA＝∠MAB，∵CA＝AB，∴Rt△NCA Rt△MAB，∴NC＝MA，NA＝MB，∵点B的横坐标为，∴点B的坐标为（9，），∴NC＝MA＝MO﹣OA＝9﹣4＝5，NA＝MB＝，ON＝OA﹣NA＝，∴点C的坐标为（，5），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将（9，），（，5）代入，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+；（2）过B作直线EF⊥轴于F，过D1作D1E⊥EF交直线EF于E，过D2作D2E⊥EF交直线EF于M，同理可证Rt△FAB≌Rt△EBD1≌Rt△MBD2，∴AF＝BE＝MB，FB＝D1E＝D2M，∵点B的横坐标为m，∴AF＝BE＝MB＝m﹣4，FB＝D1E＝D2M＝，点D1的坐标为（m﹣，m﹣4+），即D1的坐标为（m﹣，m﹣），点D2的坐标为（m+，﹣m+4），即D2的坐标为（m+，﹣m），＝，∵S△OAD1D点位于直线AB左侧时，当0＜m＜1.5时，S＝×4×（﹣m）＝3﹣2m；当m≥1.5时，S＝×4×（m﹣）＝2m﹣3；D点位于直线AB右侧时，当0＜m＜6.5时，S＝×4×（﹣m）＝13﹣2m；当m≥6.5时，S＝×4×（m﹣）＝2m﹣13；（3）①当∠ABP＝90°时，由（2）可知D与P重合，∴点P的坐标为（m﹣，m﹣），当点P落在直线y＝上时，m﹣＝，解得：m＝，②当∠BAP＝90°时，同理可证明Rt△HAP≌Rt△GBA，∵点B的坐标为（m，），∴PH＝AG＝m﹣4，AH＝BG＝，∴点P的坐标为（4﹣，m﹣4），即（，m﹣4），当点P落在直线y＝上时，m﹣4＝，解得：m＝，综上，m的值为或．。

2021-2022学年浙江省杭州市西湖区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.点M(1,2)关于x轴对称的点的坐标为()A. (−1,−2)B. (−1,2)C. (1,−2)D. (2,−1)2.如图，该数轴表示的不等式的解集为()A. x<2B. x>1C. 0<x<2D. 1<x<23.若三角形两边长分别为2，6，则该三角形第三边长可能是()A. 3B. 4C. 5D. 94.当b>0时，一次函数y=x+b的大致图象是()A. B.C. D.5.对于命题“如果∠1与∠2互补，那么∠1=∠2=90°”，能说明这个命题是假命题的反例是()A. ∠1=80°，∠2=110°B. ∠1=10°，∠2=169°C. ∠1=60°，∠2=120°D. ∠1=60°，∠2=140°6.在△ABC中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则()A. AP≤AQB. AQ≤ARC. AP>ARD. AP>AQ7.如图，若点A表示数为x+1，则()A. −3<x<−2B. −2<x<−1C. −1<x<0D. 0<x<18.如图，在△ABC中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使PA+PB=BC，下列作法正确的是()A. B. C. D.9.已知一次函数y=kx+1的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是()A. (−2,0)B. (2,−1)C. (1,1)D. (3,2)10.如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O.若∠1=40°，则∠AOC=()A. 50°B. 80°C. 90°D. 100°二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.若△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠A=50°，∠B=60°，则∠F=______°.12.不等式2(x−1)>−1的解为______．13.如表所示，在一次函数y=kx+b中，已知x与y的部分对应值，则当x=4时，y=______．x0123y3691214.如图，以点A(3,1)为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过四点，它们依次是B(1,2)，C(2,4)，D(5,3)，E(5,1)，则∠BAC______∠DAE(填“>”、“=”或“<”)．15.已知点A(−1,3)与点B(k,0)均在一次函数y=(m+3)x+1(m≠−3)图象上，则k=______．16.如图，AB，BC，CD，DE是四根长度相同的火柴棒，点A、C、E共线．若AC=6，CE=8，CD⊥BC，则一根火柴棒的长度为______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）17.已知：如图，AC，DB相交于点O，AB=DC，∠ABO=∠DCO．求证：(1)△ABO≌△DCO；(2)∠OBC=∠OCB．18.已知x>y．(1)比较3−x与3−y的大小，并说明理由．(2)若3+ax>3+ay，求a的取值范围．19.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D为边BC上一点，且AB=BD，过点D作BC的垂线交AC于点E．(1)求证：AE=DE；(2)当∠ABC=2∠C时，求证：AB=CD．20.在平面直角坐标系中，已知点P(m−3,5−2m)，m是任意实数．(1)当m=0时，点P在第几象限？(2)当点P在第三象限时，求m的取值范围．(3)判断命题“点P不可能在第一象限”的真假，并说明理由．21.如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°．(1)求BC的长．(2)在线段BC上取点M，使BM=BA，求△ACM的面积．22.已知一次函数y=k(x−1)−1(k≠0)．(1)求证：该函数图象过点(1,−1)．(2)若点P(x1,y1)，Q(x2,y2)在函数图象上，当(x1−x2)(y1−y2)<0时，求k的取值范围．(3)当0≤x≤3时，得−3≤y≤3，求k的值．23.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，以EF为边构造△EFD，使ED=DF，∠EDF=90°，过点D作DH⊥AE，垂足为H，延长BF交DH于点G．(1)如图①，若点D恰好在AC的延长线上，此时点A与点H重合，点C与点G重合．①求证：△HDE≌△GFD．②若BF=1，CF=3，求DF的长．(2)如图②，将点F沿着BC边继续平移，此时△HDE≌△GFD仍成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，连结AD，当点C与点F重合时，请直接写出AD与DH的数量关系．答案和解析1.【答案】C【解析】解：点M(1,2)关于x轴对称的点的坐标为(1,−2)，故选：C．根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．2.【答案】D【解析】解：该数轴表示的不等式的解集为1<x<2．故选：D．根据“大小小大中间取”和不等式的解集在数轴上表示方法即可求出不等式的解集．本题考查了不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“>”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“<”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．3.【答案】C【解析】解：根据三角形的三边关系，得第三边应大于6−2=4，而小于6+2=8，故第三边的长度4<x<8，这个三角形的第三边长可以是5．故选：C．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．【解析】解：∵一次函数y=x+b中k=1>0，b>0，∴一次函数的图象经过一、二、三象限，故选：B．根据一次函数的k、b的符号确定其经过的象限即可确定答案．主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k<0，b<0时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限．5.【答案】C【解析】解：对于命题“如果∠1与∠2互补，那么∠1=∠2=90°”，能说明这个命题是假命题的反例可以是∠1=60°，∠2=120°．故选：C．写出满足∠1+∠2=180°，而∠1≠∠2的两个角即可．本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．6.【答案】A【解析】解：∵AP是BC边上的高线，∴根据垂线段最短可知：PA≤AQ，故选：A．根据垂线段最短即可判断．本题考查三角形的角平分线、高、中线，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【解析】解：由题意得：1<x+1<2，∴0<x<1，故选：D．根据点A在数轴上的位置可得1<x+1<2，然后进行计算即可．本题考查了数轴，找准点A在数轴上的位置是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：由作图可知，选项C中，∠C=∠PAC，∴PA=PC，∴PA+PB=PC+PB=BC，故选：C．由题意，PA=PC，由此判断即可．本题考查作图−复杂作图，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．9.【答案】B【解析】解：∵一次函数y=kx+1(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，∴k<0．>0，∴此点不符合题意；A、∵当x=−2，y=0时，−2k+1=0，解得k=12B、∵当x=2，y=−1时，2k+1=−1，解得k=−1<0，∴此点符合题意；C、∵当x=1，y=1时，k+1=1，解得k=0，∴此点不符合题意；>0，∴此点不符合题意．D、∵当x=3，y=2时，3k+1=2，解得k=13故选：B．先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再对各选项进行逐一分析即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．【解析】解：连接BO，并延长BO到P，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO=OB=OC，∠BDO=∠BEO=90°，∴∠DOE+∠ABC=180°，∵∠DOE+∠1=180°，∴∠ABC=∠1=40°，∵OA=OB=OC，∴∠A=∠ABO，∠OBC=∠C，∵∠AOP=∠A+∠ABO，∠COP=∠C+∠OBC，∴∠AOC=∠AOP+∠COP=∠A+∠ABC+∠C=2×40°=80°；故选：B．连接BO，并延长BO到P，根据线段的垂直平分线的性质得AO=OB=OC和∠BDO=∠BEO=90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE+∠ABC=180°，根据外角的性质得∠AOP=∠A+∠ABO，∠COP=∠C+∠OBC，相加可得结论．本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．11.【答案】70【解析】解：∵∠A=50°，∠B=60°，∴∠ACB=180°−50°−60°=70°，∵△ABC≌△DEF，∴∠F=∠ACB=70°，故答案为：70．根据三角形内角和定理可得∠ACB=180°−50°−60°=70°，再根据全等三角形的性质可得∠F =∠ACB =70°．此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．12.【答案】x >12【解析】解：去括号得：2x −2>−1，移项得：2x >−1+2，合并得：2x >1，解得：x >12．故答案为：x >12．不等式去括号，移项，合并同类项，把x 系数化为1，即可求出解集．此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．13.【答案】15【解析】解：把(0,3)，(1,6)代入y =kx +b 得：{k +b =6b =3， 解得：{k =3b =3， 所以解析式为：y =3x +3，当x =4时，y =3×4+3=15，故答案为：15．从表格数据中任选两组，分别代入y =kx +b ，根据待定系数法求得一次函数的解析式，将x =4代入即可求解．本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解此题的关键是熟练掌握待定系数法．14.【答案】=【解析】解：连接BC ，∵B(1,2)，C(2,4)，D(5,3)，E(5,1)，∴AE =DE =2，∴△ADE 是等腰直角三角形，∴∠DAE =45°，又∵AB =√12+22=√5，同理可得BC =√22+12=√5，AC =√12+32=√10，则在△ABC 中，有AB 2+BC 2=AC 2，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC =45°，∴∠BAC =∠DAE ，故答案为：=．在直角坐标系中构造直角三角形，根据三角形边之间的关系推出角之间的关系．本题考查了坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理及其逆定理，对于直角三角形的判定可以根据各个点的坐标，求出各线段的长度来实现，然后再根据边来判断角的大小．其解题关键在于构造相关的直角三角形．15.【答案】12【解析】解：将点A(−1,3)和点B(k,0)分别代入一次函数，得{−(m +3)+1=3k(m +3)+1=0，解得：{m =−5k =12， 故答案为：12．将点A 和点B 分别代入一次函数，得到关于k 和m 的方程组，然后求得k 的值．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特征．16.【答案】5【解析】解：作BG⊥AC，DH⊥CE，垂足分别为G、H，∴∠BGC=∠DHC=90°，∴∠BCG+∠CBG=90°，∵CD⊥BC，∴∠BCD=90°，∴∠BCG+∠DCH=90°，∴∠CBG=∠DCH，在△BCG和△CDH中，{∠CBG=∠DCH ∠BGC=∠CHD BC=CD，∴△BCG≌△CDH(AAS)，∴BG=CH，∵AB=BC，BG⊥AC，∴CG=12AC=3，同理，CH=4，∴BG=4，在Rt△BGC中，由勾股定理得BC=√BG2+CG2=√32+42=5，故答案为：5．作BG⊥AC，DH⊥CE，垂足分别为G、H，利用AAS证明△BCG≌△CDH，得BG=CH，再利用勾股定理即可得出答案．本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．17.【答案】证明：(1)在△ABO和△DCO中，{∠AOB=∠COD ∠ABO=∠DCO AB=DC，∴△ABO≌△DCO(AAS)；(2)由(1)知，△ABO≌△DCO，∴OB=OC∴∠OBC=∠OCB．【解析】(1)由已知条件，结合对顶角相等可以利用AAS判定△ABO≌△DCO；(2)由等边对等角得结论．此题考查了全等三角形的判定，在做题时要牢固掌握并灵活运用．证明三角形全等是解答本题的关键．18.【答案】解：(1)∵x>y，∴−x<−y，∴3−x<3−y；(2)∵x>y，3+ax>3+ay，∴a>0．【解析】(1)根据不等式的基本性质解答即可；(2)根据不等式的基本性质解答即可．本题考查的是不等式的基本性质．(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．19.【答案】(1)证明：在Rt△ABE和Rt△DBE中，{BE=BEAB=DB，∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL)，∴AE=DE．(2)证明：∵Rt△ABE≌Rt△DBE，∴∠ABE=∠DBE，∴∠ABC=2∠DBE，又∵∠ABC=2∠C，∴∠DBE=∠C，∴CE=BE，∵ED⊥BC，∴CD=BD，又∵AB=BD，∴AB=CD．【解析】(1)利用HL得到直角三角形ABE与直角三角形DBE全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．(2)由全等三角形的性质证出∠ABE=∠DBE，得出∠DBE=∠C，由等腰三角形的判定可得出CE=BE，由等腰三角形的性质可得出CD=BD，则可得出结论．此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明Rt△ABE≌Rt△DBE是解本题的关键．20.【答案】解：(1)当m=0时，P点坐标为(−3,5)，∴P点在第二象限；(2)∵点P(m−3,5−2m)不在第三象限，∴m−3≥0或5−2m≤0，解得m≥2.5，∴m的范围为m≥2.5；(3)“点P不可能在第一象限”为真命题．理由如下：∵{m−3>05−2m>0无解，∴点P不可能在第一象限．【解析】(1)根据第二象限内点的坐标特征进行判断；(2)根据各象限或坐标轴上点的坐标特征得到m−3≥0或5−2m≤0，然后解不等式即可；(3)根据第一象限内点的坐标特征得到{m−3>05−2m>0，然后利用此不等式组无解可判断命题为真命题．本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．掌握坐标平面内的点的坐标特征是解决问题的关键．21.【答案】解：(1)过A作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADB=∠ADC=90°，∵AB=AC=4，∠BAC=120°，∴∠BAD=∠CAD=60°，BC=2BD，∴∠B=∠C=30°，∴AD=12AB=2，∴BD=√AB2−AD2=√42−22=2√3，∴BC=2BD=4√3；(2)如图，∵BM=AB=4，BC=4√3，∴CM=BC−BM=4√3−4，∴S△ACM=12CM⋅AD=12×(4√3−4)×2=4√3−4．【解析】(1)过A作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADB=∠ADC=90°，根据等腰三角形的性质可求解∠B=∠C=30°，结合含30°角的直角三角形的性质可求解AD的长，再利用勾股定理可求解BD的长，进而可求解；(2)利用三角形的面颊可求解．本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的面积，含30°角的直角三角形的性质，灵活运用含30°角的直角三角形的性质求解角的度数是解题的关键．22.【答案】解：(1)在y=k(x−1)−1(k≠0)中令x=1，得y=−1，∴该函数图象过点(1,−1)；(2)∵点P(x1,y1)，Q(x2,y2)在一次函数y=k(x−1)−1(k≠0)的图象上，且(x1−x2)(y1−y2)<0，∴y随x的增大而减小，∴k<0；(3)由题意可知点(0,−3)、(3,3)或(0,3)、(3,−3)在一次函数y=k(x−1)−1(k≠0)的图象上，则有：−k−1=−3或−k−1=3，解得k=2或−4，∴k的值为2或−4．【解析】(1)令x=1，得y=−1即可得证；(2)根据题意得出y随x的增大而减小，然后根据一次函数的性质即可得出结论；(3)分两种情形，分别求解即可解决问题．本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，分类讨论是解题的关键．23.【答案】(1)①证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠CDF+∠DFC=90°，∵∠EDF=90°，DE=FD，∵∠EDF=∠ADE+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠DFC，在△HDE和△GFD中，{∠HDE=∠DFG∠DHE=∠FGD=90°DE=DF，∴△HDE≌△GFD(AAS)，②∵△HDE≌△GFD，∴EH=DG，∵线段EF是由线段AB平移得到的，∴EF=AB，EF//AB，∴四边形EFBA是平行四边形，∴EH=BF=1，∴DG=EH=1，∴DF=√DG2+GF2=√9+1=√10；(2)△HDE≌△GFD仍成立，理由如下：∵线段EF是由线段AB平移得到的，∴EF=AB，EF//AB，∴四边形EFBA是平行四边形，∴AE//BF，∵DH⊥AE∴DH⊥BF，∴∠HGB=90°，∴∠HGB=∠GDF+∠DFG=90°，∵∠EDF=90°，DE=FD，∵∠EDF=∠EDH+∠FDG=90°，∴∠EDH=∠DFG，在△HDE和△GFD中，{∠HDE=∠DFG∠DHE=∠FGD=90°DE=DF，∴△HDE≌△GFD(AAS)，当点F与点C重合时，∵△HDE≌△GFD，∴DH=GF，∵EA//BG，DH⊥AE，∴∠AHD=∠BGH=90°，∴∠HGB=∠AFB=90°，∴HG//AF，∴四边形AFGH是平行四边形，∴GF=AH，∴DH=AH，∴AD=√2DH．【解析】(1)①由“AAS”可证△HDE≌△GFD；②由平移的性质可得EF=AB，EF//AB，可证四边形EFBA是平行四边形，可得EH= BF=1，由勾股定理可求解；(2)由“AAS”可证△HDE≌△GFD，可得DH=GF，通过证明四边形AFGH是平行四边形，可得GF=AH，由等腰直角三角形的性质可求解．本题是几何变换综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平移的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．。

浙江省杭州市经济开发区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. （3分）点P （-2, 4）所在的象限是（）A.第三象限B.第二象限C.第一象限D.第四象限2. （3分）已知a v b,下列式子正确的是（）A a+3>b+3 B. a-3v b - 3 C. - 3a v- 3b D.3 33.（3 分）如图，△ ABG^A ADE,/ C=40°,则/E 的度数为（）A. 80°B. 75°C. 40°D. 70°4. （3分）若三角形三个内角度数比为2：3：4,则这个三角形一定是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定5. （3分）如图，AB=DB /仁/2,请问添加下面哪个条件不能判断△A. BC=BEB./ A=/ DC./ ACB=Z DEBD. AC=DE6. （3分）下列命题：（1）三边长为5, 12, 13的三角形是直角三角形；（2）等边三角形是轴对称图形，它只有一条对称轴；（3）有两边及第三边上的高线对应相等的两个锐角三角形全等；（4）把正比例函数y=2x的图象向上平移两个单位所得的直线表达式为其中真命题的是（）)ABC^Ay=2x+2.A. (1) (2) (3)B. (1) (3) (4)C. (1) (2) (4)D. (1) (4)7. （3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，贝U说明/ D' O' C'= DOC的依据是（）f 工-10. （3分）已知关于x的不等式组. .的整数解共有5个，则a的取值范围是（）3A.- 4v a v —3B.—4< a v —3C. a v —3D.- 4v a< ,二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. ______________________________________________ （4分）内错角相等，两直线平行”的逆命题是_________________________________ .12. （4分）三，」角形两边长分别是2, 4,第三边长为偶数，第三边长为______ .13. （4分）等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40。

2023-2024学年浙江省杭州市滨江区八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列图形中，属于轴对称图形的是( )A. B. C. D.2.已知三角形的两边长分别为5cm和7cm，则第三边的长可以是( )A. 1cmB. 2cmC. 6cmD. 12cm3.若，，则点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.等腰三角形的一个外角是，则其底角等于( )A. B. C. D. 或5.已知，则下列各式中，正确的是( )A. B.C. D.6.点关于y轴对称的点的坐标是( )A. B. C. D.7.对于一次函数，下列结论正确的是( )A. 图象经过B. y随x的增大而减小C. 图象经过一、三、四象限D. 不论x取何值，总有8.根据下列已知条件，能画出唯一的的是( )A. ，B. ，C. ，，D. ，，9.已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则10.如图，在中，，，，点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，连接DF，已知点B和点E关于直线DF对称，若，则CE的长为( )A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.函数的自变量x的取值范围是______.12.如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具卡钳在图中，若测量得，则工件内槽宽AB为______13.将“对顶角相等”改写为“如果…那么…”的形式，可写为______.14.一次生活常识知识竞赛一共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小滨有1道题没答，竞赛成绩超过30分，则小滨至多答错了______题.15.已知关于x的一次函数与为常数，且，下列结论：①点在函数图象上；②若，则；③若，则函数一定不经过第二象限；④若函数经过点，则函数一定经过点其中正确结论的序号是______.16.清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理.如图，在中，，分别以AB，AC和BC为边，按如图所示的方式作正方形ABKH，ACIG和BCFD，KH与CI交于点J，AB与DF交于点若四边形BCFE和的面积和为5，四边形ACJH和的面积和为12，则的值为______.三、解答题：本题共8小题，共72分。

2023-2024学年浙江省杭州市上城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列体育运动图标中，是轴对称图形的是( )A. B. C. D.2.已知三角形两边的长分别为2、4，第三边的长为整数，则第三边的长为( )A. 1B. 2C. 5D. 63.能说明命题“|a|>0”是假命题的一个反例是( )A. a=−2B. a=0C. a=5D. a=π4.如图，在△ABC和△ADE中，AC=AE，AB=AD，只添加一个条件，不能判定△ABC≌△ADE的是( )A. BC=DEB. ∠BAC=∠DAEC. ∠BAD=∠CAED. ∠B=∠D5.已知点P(2,a)关于y轴的对称点为Q(b,−1)，则ab的值为( )A. 2B. −1C. −2D. −36.已知a>b，下列不等式成立的是( )A. −2a<−2bB. a−2<b−2C. a+2<b+2D. 3a<3b7.若实数a，b满足ab>0，且a>0，则函数y=ax+b的图象可能是( )A. B.C. D.8.如图，DE和DF分别是线段AB和BC的垂直平分线，若∠A=70°，∠C=40°，则∠B的度数为( )A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°9.已知(x1,y1)，(x2,y2)为直线y=−x+1上的两个点，且x1<x2，则以下判断正确的是( )A. 若x2>0，则y1>0B. 若x2>0，则y1<0C. 若x2<0，则y1>0D. 若x2<0，则y1<010.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，首先沿着CD折叠，点B落在点E处，然后沿着FG折叠，使得点A与点E重合，则下列说法中( )①EF⊥CE；②若BC=3，AC=4，那么FG=21．40A. ①正确，②正确B. ①正确，②错误C. ①错误，②正确D. ①错误，②错误二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

浙江省杭州市西湖区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．点(03)P -，在（ ） A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．第二象限 D ．第四象限 2．若“当1x >时，1x a +=成立”是真命题，则a 的取值范围是（ ） A ．0a < B ．0a ≤ C ．0a > D ．0a ≥ 3．如图，在△ABC 中，△C ＝90°，点D 在BC 上，DE△AB ，垂足为E ，则△ABD 的BD 边上的高是( )A ．ADB ．DEC ．ACD ．BC 4．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x 元，销售量为y 件，估计当x=127时，y 的值为（ ）A ．63 B ．59 C ．53 D ．43 5．在锐角△ABC 中，AB=13，AC=20，BC 边上的高为12，则△ABC 的面积是（ ）A ．66B ．126C ．120D ．68 6．若直线l 1经过点（0，3），直线l 2经过点（5，2），且l 1与l 2关于x 轴对称，则l 1与l 2的交点坐标为（ ）A ．（﹣2，0）B ．（2，0）C ．（﹣3，0）D ．（3，0） 7．在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判断射线AD 平分△BAC 的是（ ）A ．图1和图2B ．图1和图3C ．图3D ．图2和图3 8．在平面直角坐标系xOy 中，直线y=2x+2和直线y=-2x+4分别交x 轴于点A 和点B ，则下列直线中，与x 轴的交点在线段AB 上的是（ ）A ．y=x+2B ．2y =+C ．y=4x-12D ．3y =- 9．如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边AC ，BD ，CE 的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则△ABC 的面积为（ ）平方厘米A ．8B ．12C ．16D ．1810．一次函数1y ax b 与2y cx d =+的图象如图所示，下列说法：△对于函数1y ax b来说，y 随x 的增大而增大．△函数y ax d =+不经过第二象限．△不等式ax d cx b -≥-的解集是4x ≥． △()14a c db -=-，其中正确的是（ ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△二、填空题 11．若点(2,3)P 关于y 轴的对称点是点(1,3)P a +'，则a=______．12．已知AOC ∆和BCD ∆如图摆放，其中AOC ∠=BCD ∠=90°，30B ∠=︒，OA=OC ，点O 在BD 上，则AOD ∠=____°．13．若不等式(6)6m x m ->-，两边同除以(6)m -，得1x <，则m 的取值范围为__． 14，1的长方形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片）．则四个等腰三角形的腰长均为_______．15．如图，Rt∆ABC 中，90ABC ∠=︒，30A ∠=︒，点D ，E ，F 分别是线段AC ，AB ，DC 的中点，下列结论：△EFB ∆为等边三角形； △12ACB DFBE S S ∆=四边形；△AE =；△8AC DG =；其中正确的是_______．16．对于任意实数p ，q ，定义一种运算：@p q p q pq =-+例如：2@323235=-+⨯=，请根据上述定义解决问题，若关于x 的不等式组2@4@2x x m <⎧⎨≥⎩有3个整数解，则m 的取值范围为___．三、解答题17．平面直角坐标系中，已知直线l 1经过原点与点P （m ，2m ），直线l 2：y ＝mx +2m ﹣3（m ≠0）．(1)求证：点（﹣2，﹣3）在直线l 2上；(2)当m ＝2时，请判断直线l 1与l 2是否相交？18．已知：如图，D 是△ABC 的BC 边的中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥且DE=DF ． 求证：△ABC 是等腰三角形．19．已知a ，b 是某一等腰三角形的底边长与腰长，且23a b+＝． （1）求a 的取值范围；（2）设32ca b +＝，求c 的取值范围 20．已知点(315,2)P a a --．（1）若点P 到x 轴的距离是3，试求出a 的值．（2）在（1）题的条件下，点Q 如果是点P 向上平移2个单位长度得到的，试求出点Q 的坐标．（3）若点P 位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求出点P 的坐标．21．已知ABC 和ADE ，AB=AD ，BAD CAE ∠=∠，B D ∠=∠，AD 与BC 交与点P ，点C 在DE 上．（1）求证：BC=DE（2）若30B ∠=︒，70APC ∠=︒，△求E ∠的度数△求证：CP=CE22．已知一次函数y 1＝ax +b ，y 2＝bx +a （ab ≠0，且a ≠b ）．(1)若y1过点（1，2）与点（2，b﹣a﹣3）求y1的函数表达式；(2)y1与y2的图象交于点A（m，n），用含a，b的代数式表示n；(3)设y3＝y1﹣y2，y4＝y2﹣y1，当y3＞y4时，求x的取值范围．23．已知△ABC中，△ACB＝90°，如图，作三个等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB，AB，AC，BC为斜边，阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4．(1)当AC＝6，BC＝8时，△求S1的值；△求S4﹣S2﹣S3的值；(2)请写出S1，S2，S3，S4之间的数量关系，并说明理由．参考答案：1．B【解析】【分析】根据点的横坐标为零，点在y 轴上，即可得到答案．【详解】点(03)P -，在y 轴上， 故选B ．【点睛】本题主要考查点的坐标特征，熟练掌握y 轴上的点横坐标为零，x 轴上的点纵坐标为零，是解题的关键．2．A【解析】【分析】将x+a=1变形为x=1﹣a ，再根据不等式的性质解答即可．【详解】解：若“当1x >时，1x a +=成立”是真命题，则x=1﹣a ＞1，△a ＜0，故选：A ．【点睛】本题考查命题与证明、不等式的性质，理解真命题的定义，掌握不等式的性质是解答的关键．3．C【解析】【分析】根据三角形高的定义作答即可【详解】解:经过三角形一个顶点,向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．△BE ⊥AB 于E ，△DE是∆ABD的边AB上的高线，△AC⊥BD于C，△AC是∆ABD的BD边上的高线．故选：C【点睛】本题考查三角形的高线．正确理解三角形高线的定义是解决此题的关键．4．C【解析】【分析】分析表格得到销售价格每上涨10元，销售量就少10件，据此求解即可．【详解】解：由表格可知，销售价格每上涨10元，销售量就少10件，而当售价为120元时，销售量为60件，所以当售价x=127时，y的值为53件，故选：C．【点睛】本题考查了利用表格表示函数关系，也可通过求函数解析式来解题．5．B【解析】【分析】利用勾股定理求出BD、CD，即可求出BC的长．再由三角形面积公式求出即可.【详解】如图所示，在Rt△ABD中，，在Rt△ADC中，，△BC=BD+CD=21，△△ABC的面积为12×21×12=126.故选B.【点睛】本题主要考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，画出图形是解答此题的关键．6．D【解析】【分析】根据对称的性质得出点（0，3）关于x轴对称的对称点，再根据待定系数法确定直线l2的关系式，求出直线l2与x轴的交点即可．【详解】解：设直线l2的解析式为y＝kx+b，△直线l1经过点（0，3），l2经过点（5，2），且l1与l2关于x轴对称，△两直线相交于x轴上，点（0，3）关于x轴的对称点（0，﹣3）在直线l2上，把（0，﹣3）和（5，2）代入y＝kx+b，得352bk b=-⎧⎨+=⎩，解得：13kb=⎧⎨=-⎩，故直线l2的解析式为：y＝x﹣3，令y＝0，则x＝3，即l1与l2的交点坐标为（3，0）．故选：D．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标与图形的性质，正确得出l1与l2的交点坐标为l1与l2与x轴的交点是解题关键．7．A【解析】【分析】根据尺规作图——角平分线的作法，逐项判断即可得到答案．【详解】解：根据基本作图可判定图一符合角平分线的尺规作图，故射线AD平分△BAC，如图2，由作图可知：AM=AN，AF=AE，△EM=FN，又△△BAC=△BAC，△△MAF△△NAE，△△AMF=△ANE，△△MDE=△NDF，△△MDE△△NDF，△MD=DN，又△AD=AD，△△MDA△△NDA，△△BAD=△CAD，即AD平分△BAC，图三：尺规作图得到D是BC的中点，所以AD是中线不是角平分线，故选A．【点睛】本题主要考查角平分线、中垂线的尺规作图及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线、中垂线的尺规作图及全等三角形的性质与判定是解题的关键．8．D【解析】【分析】先确定A ，B 的坐标，从而确定交点横坐标的取值范围，后逐一计算选项直线与x 轴的交点，判断横坐标是否在求得的范围内，在范围内，满足条件，否则，不满足．【详解】△直线y=2x+2和直线y=-2x+4分别交x 轴于点A 和点B ，△A （-1，0），B （2，0），△-1≤x≤2，△y=x+2交x 轴于点A （-2，0），且x= -2不是-1≤x≤2的解，△与x 轴的交点不在线段AB 上，△2y =+交x 轴于点A （0），且x= 不是-1≤x≤2的解，△与x 轴的交点不在线段AB 上，△y=4x-12交x 轴于点A （3，0），且x= 3不是-1≤x≤2的解，△与x 轴的交点不在线段AB 上，△3y =-交x 轴于点A 0），且-1≤x≤2的解，△与x 轴的交点在线段AB 上，故选D ．【点睛】本题考查了一次函数与x 轴的交点问题，利用交点的横坐标建立不等式解集，验证新直线与x 轴交点的横坐标是否是解集的解是解题的关键．9．C【解析】【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形进行解答即可．【详解】解：△F 是EC 的中点， △142AEF AFC AEC S S S ∆∆∆===， △8AEC S ∆=，△ E 是BD 的中点 ，△ABE AED S S ∆∆=，BEC ECD S S ∆∆=，△8AED ECD AEC S S S ∆∆∆+==，△8ABE BEC AEC S S S ∆∆∆+==，△228=16ABC ABE BEC AEC AEC S S S S S ∆∆∆∆∆=++==⨯，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的中线与三角形的面积关系，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解答的关键．10．B【解析】【分析】根据图象交点横坐标是4，和图象所经过象限可以判断．【详解】解：由图象可得：对于函数1y ax b 来说，从左到右，图象上升，y 随x 的增大而增大，故△正确；由图象可知，a ＞0，d ＞0，所以函数y ax d =+的图象经过第一，二，三象限，即不经过第四象限，故△错误，由图象可得当4x ≥时，一次函数1y ax b 图象在2y cx d =+的图象上方，不等式ax b cx d +≥+的解集是4x ≥，移项可得，ax d cx b -≥-，解集是4x ≥，故△正确；△一次函数1y ax b 与2y cx d =+的图象的交点的横坐标为4，△44a b c d +=+△44a c d b -=-， △()14a c db -=-，故△正确， 故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象的性质和一次函数与不等式的关系，解题关键是树立数形结合思想，理解图象反应的信息，综合一次函数、不等式、方程解决问题．11．-3【分析】关于y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．据此可得a 的值．【详解】解：根据两点关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得a+1=-2，△a=-3．故答案为：-3．【点睛】本题主要考查了关于y 轴的对称点的坐标特点，点P （x ，y ）关于y 轴的对称点P′的坐标是（-x ，y ）．12．15【解析】【分析】由题意可先求出△A 和△BDC 的度数，然后根据三角形的外角定理即可求解△AOD ．【详解】解：△AOC ∠=BCD ∠=90°，30B ∠=︒，OA=OC ，△△BDC=90°-30°=60°，△A=△OCA=45°，根据三角形的外角定理可得：△AOD=△ODC-△A=60°-45°=15°，故答案为：15．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形的外角定理，理解等边对等角并灵活运用外角定理是解题关键．13．6m <【解析】【分析】由不等式的基本性质知m-6＜0，据此可得答案．【详解】解：若不等式(6)6m x m ->-，两边同除以(6)m -，得1x <，则60m -<，故答案为：6m <．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质．14【解析】【分析】先根据勾股定理求出对角线的长，然后根据矩形的性质即可求出四个等腰形的腰长．【详解】解：△，1，△AO=12．【点睛】 本题考查了勾股定理，以及矩形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 15．△△△△【解析】【分析】根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，结合等边三角形的判定定理，即可判断△；根据三角形的中线等分三角形的面积，即可判断△；先推出BF=AE ，结合含30°角的直角三角形的性质，即可判断△；根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可判断△．【详解】△在Rt ABC ∆中，D 是AC 中点，△DB=DC=AD ，△DB=AD ，△30A DBA ∠=∠=︒，△60CDB ∠=︒，△CDB ∆为等边三角形，△F 是DC 中点，△BF 是CBD ∠角平分线，BF 是DC 的垂线，△30DBF FBC ∠=∠=︒，△60FBE FBG DBA ∠=∠+∠=︒，△△AFB=180°-60°-30°=90°，在Rt AFB ∆中，E 是AB 中点，△EF=AE=BE ，又△60FBE ∠=︒△FBE ∆为等边三角形，故△正确；△E 是AB 中点 △12DEB ABD S S ∆∆= F 是DC 中点 △12DFB BDC S S ∆∆= △()1122DEB DFB ABD BDC ABC DFBF S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+=四边形，故△正确； △30A ∠=︒，90DEA ∠=︒， △12BF AB AE ==， 又△30DBF ∠=︒，90BFA ∠=︒，△BF =，即AE =，故△正确；△△90DEA ∠=︒，60FEB =︒∠，△30DEG ∠=︒，又60∠=︒EDB ，△2DG=DE ，在Rt DEA ∆中，30A ∠=︒，2DE=ADAC=2AD=4DE=8DG ，故△正确．故答案是：△△△△．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，是解题的关键.16．85m -<≤-【解析】【分析】先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于m 的不等式组，求出m 的范围即可．【详解】解：根据题意得22422x x x x m -+<⎧⎨-+≥⎩， 化简得2432x x m +<⎧⎨-≥⎩， 解得：223x m x <⎧⎪+⎨≥⎪⎩， △不等式组的解集是223m x +≤< △不等式组有3个整数解， △2213m +-<≤-， 解得85m -<≤-．故答案为：85m -<≤-．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于m 的不等式组是解此题的关键．17．(1)见解析(2)直线l 1与l 2不相交【解析】【分析】（1）将所给点代入直线2l 中，看等式是否成立，再判断该点是否在直线上；（2）求出1l 解析式与2l 比较，发现系数相同，故不可能相交．【详解】（1）把x ＝﹣2代入y ＝mx +2m ﹣3得，y ＝﹣2m +2m ﹣3＝﹣3，△点（﹣2，﹣3）在直线l 2上；（2）△直线l 1经过原点与点P （m ，2m ），△直线l 1为y ＝2x ，当m ＝2时，则直线l 2：y ＝2x +1，△x 的系数相同，△直线l 1与l 2不相交．【点睛】本题考查平面直角坐标系中的直线解析式求法、点是否在直线上的判断、两直线是否相交，掌握这些是解题关键．18．证明见解析．【解析】【分析】先根据DE△AC ，DF△AB ，得出△DEC 和△DFB 是直角三角形，再根据HL 得出Rt△BDE△Rt△CDF ，证出△C ＝△B ，从而判断出△ABC 的形状．【详解】证明：△D 是△ABC 的BC 边的中点△ BD=CD△ DE AB ⊥，DF AC ⊥△ △BDE 和△CDF 是直角三角形在Rt△BDE 和Rt△CDF 中BD CD DE DF =⎧⎨=⎩△ Rt△BDE△Rt△CDF (HL)△ △B=△C ，△AB=AC ，△ △ABC 是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．19．（1）0 1.5a <<；（2）36c <<【分析】（1）根据23a b+＝可得23b a -＝，再根据三角形三边关系得2b ＞a ，即可求出a 的取值范围；（2）用含a 的代数式表示c ，再根据a 的取值范围和不等式的性质即可求得c 的取值范围．【详解】解：（1）△23a b+＝， △23ba -＝， △a ，b 是某一等腰三角形的底边长与腰长，△b+b=2b ＞a ＞0△3a a ->＞0，解得：0 1.5a <<；（2）△32ca b +＝，23a b +＝， △32ca b +＝=3323a a a +-=+ △0 1.5a <<，△3236a <+<，即36c <<．【点睛】本题考查等式的性质、不等式的性质、解一元一次不等式、三角形的三边关系，掌握不等式的性质，以及三角形的三边关系是解答的关键．20．（1）1a =-或5a =；（2）(18,5)-或(0,1)-；（3）(6,1)--或(3,2)--【解析】【分析】（1）根据点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值构建方程求解即可；（2）利用平移的性质解决问题即可；（3）根据点P 位于第三象限且横、纵坐标都是整数，可得不等式组，求其整数解可得a 的值，即可求出点P 的坐标．【详解】解：（1）△点P （3a-15，2-a ），△2-a=3或2-a=-3，解得：1a =-或5a =；（2）由1a =-得：点P （−18，3），由5a =得：点P （0，−3），△点Q 如果是点P 向上平移2个单位长度得到的，△点Q 的坐标为(18,5)-或(0,1)-；（3）△点P （3a-15，2-a ）位于第三象限，△315020a a -⎧⎨-⎩＜＜， 解得：2＜a ＜5．因为点P 的横、纵坐标都是整数，所以a=3或4，当a=3时，点P （-6，-1），当a=4时，点P （-3，-2）．△点P 的坐标是(6,1)--或(3,2)--．【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，一元一次不等式组应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会构建方程或不等式组解决问题．21．（1）见解析；（2）△70°；△见解析【解析】【分析】（1）根据“ASA”证明△ABC△△ADE 即可得到BC=DE ；（2）△先根据外角的性质求出△BAP ，进而求出△CAE ，然后根据等腰三角形的性质求解即可；△根据“AAS”证明△ACP△△ACE 即可得到CP=CE ；【详解】解：（1）△BAD CAE ∠=∠，△BAD CAP CAE CAP ∠+∠=∠+∠，即△BAC=△DAE ，在△ABC 和△ADE 中B D AB ADBAC DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△ABC△△ADE （ASA ），△BC=DE ；（2）△△30B ∠=︒，70APC ∠=︒，△△BAD=70°-30°=40°，△△CAE=△BAD=40°．△△ABC△△ADE ，△AC=AE ， △△E=△ACE=18040702-=； △△70APC ∠=︒，△E=△ACE =70°，△△APC=△E=△ACE =70°．△△ABC△△ADE ，△△ACP=△E =70°，△△APC=△E=△ACE =△ACP =70°．在△ACP 和△ACE 中APC E ACP ACE AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACP△△ACE （AAS ），△CP=CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．22．(1)y 1＝﹣x +3(2)n ＝a +b(3)当a ＞b 时，x ＞1；当a ＜b 时，x ＜1【解析】【分析】（1）把（1，2）、（2，b -a -3）分别代入y 1=ax +b 得到a 、b 的方程组，然后解方程组得到y 1的函数表达式；（2）把A （m ，n ）分别代入y 1=ax +b 和y 2=bx +a 中得到{am +b =n bm +a =n，先利用加减消元法求出m ，然后得到n 与a 、b 的关系式；（3）先用a 、b 表示y 3和y 4，利用y 3＞y 4得到（a -b ）x +b -a ＞（b -a ）x +a -b ，然后解不等式即可．(1)解：把（1，2）、（2，b ﹣a ﹣3）分别代入y 1＝ax +b 得223a b a b b a +=⎧⎨+=--⎩， 解得13a b =-⎧⎨=⎩， △y 1的函数表达式为y 1＝﹣x +3；(2)解：△y 1与y 2的图象交于点A （m ，n ），△{am +b =n bm +a =n， △m ＝1，n ＝a +b ；(3)解：y 3＝y 1﹣y 2＝ax +b ﹣（bx +a ）＝（a ﹣b ）x +b ﹣a ，y 4＝y 2﹣y 1＝bx +a ﹣（ax +b ）＝（b ﹣a ）x +a ﹣b ，△y 3＞y 4，△（a ﹣b ）x +b ﹣a ＞（b ﹣a ）x +a ﹣b ，整理得（a ﹣b ）x ＞a ﹣b ，当a ＞b 时，x ＞1；当a ＜b 时，x ＜1．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：设一次函数解析式为y =kx +b （k ≠0），再把两组对应量代入，然后解关于k ，b 的二元一次方程组．从而得到一次函数解析式．也考查了一次函数的性质．23．(1)△S 1＝9；△S 4﹣S 2﹣S 3的值为9(2)S 4＝S 1+S 2+S 3，理由见解析【解析】【分析】（1）△直接根据勾股定理可得AD 的长，由此可得答案；△利用勾股定理得AE =BE CF =BF ，设S △BEG =S 5，则S 4+S 5-（S 1+S 2+S 5）=S 4-S 2-S 3即可得答案；（2）设S △BEG =S 5，假设一个等腰直角三角形的斜边为a ，则可表示出这个三角形的面积，利用勾股定理及三角形面积公式可得答案．(1)△△△ACD 是等腰直角三角形，AC =6，△AD =CD△S1=12； △设AE 与BC 交于点G ，△△ACB =90°，AC =6，BC =8，△AB =10，△△EAB ，△FCB 是等腰直角三角形，△AE =BE ，CF =BF ，设S △BEG =S 5，△S 4+S 5-（S 2+S 3+S 5）=S 4-S 2-S 3=12-12； (2)设S △BEG =S 5，如图，△等腰直角三角形△ACD ，△EAB ，△FCB ，△S △ADC =14AC 2，S △BFC =14BC 2，S △ABE =14AB 2， △AC 2+BC 2=AB 2，△14AC2+14BC2=14AB2，△S4+S5-（S2+S3+S5）=S4-S2-S3，△14AB2-14BC2=S4-S2-S3，△14AC2=S4-S2-S3，△S4+S5＝S1+S2+S5+S3，△S4＝S1+S2+S3．【点睛】此题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是将勾股定理和直角三角形的面积公式进行灵活的综合和利用．。

2022-2023学年浙江省杭州市西湖区八年级（上）期末数学试卷一、选择题；本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）点P（1，2）向上平移2个单位后的坐标是（ ）A．（﹣1，2）B．（3，2）C．（1，0）D．（1，4）2．（3分）不等式x+1＞0的解集在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．3．（3分）下面关于实数a，b的值中，能说明“若|a|＝|b|，则a＝b”这个命题是假命题的是（ ）A．a＝2，b＝2B．a＝﹣2，b＝﹣2C．a＝2，b＝﹣2D．a＝﹣2，b＝﹣3 4．（3分）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件，可以判定△ABC为直角三角形的是（ ）A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．a：b：c＝1：2：2D．a：b：c＝3：4：5．（3分）若x+a＞y+a，ax＜ay，则（ ）A．x＞y，a＜0B．x＜y，a＜0C．x＞y，a＞0D．x＜y，a＞0 6．（3分）如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝6，点C，D在边OB上，若PC＝PD，CD＝2，则OC＝（ ）A．B．2C．D．37．（3分）对于一次函数y＝2x+3的图象经过平移后，过原点的是（ ）A．向上平移3个单位B．向下平移2个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8．（3分）如图，△ABC中，D为AC的中点，CE⊥AB于点E，若DE＝3，AE＝5，则CE＝（ ）A．3B．4C．D．9．（3分）若（x1，y1），（x2，y2）这两个不同点在y关于x的一次函数y＝（a+1）x﹣1图象上，当（ ）时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．A．a＜0B．a＞0C．a＜﹣1D．a＞﹣110．（3分）将长方形纸片ABCD如图折叠，B，C两点恰好重合落在AD边上的同一点P处，折痕分别是MH，NG，若∠MPN＝90°，PN＝4，MN＝5，分别记△PHM，△PNG，△PMN 的面积为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的数量关系是（ ）A．S3＝S1+S2B．3S3＝2S1+2S2C．2S3＝3S2﹣S1D．S3＝5S2﹣5S1二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．11．（4分）点（2，3）关于y轴对称的点的坐标为 ．12．（4分）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝100m，则这名滑雪运动员的高度下降了 米．13．（4分）圆圆去商店购买A，B两种书签，共用了10元钱，A种书签每枚1元，B种书签每枚2元．若每种书签至少买一枚，且A种书签的数量比B种书签的数量多，则A种书签至少购买 枚．14．（4分）在平面直角坐标系（O为坐标原点）中，若一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，则在△ABO中，AB边上高的长度是 ．15．（4分）如图，AE＝AB，∠E＝∠B，EF＝BC，若∠EAB＝50°，则∠EFA ＝ ．16．（4分）若一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象过点（2，﹣4），且经过第二、三、四象限．（1）b＝ ．（请用含k的代数式表示）（2）若m＝k+3b，则m的取值范围是 ．三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（6分）解不等式：（1）3x﹣1≥2x+4．（2）．18．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，连结BE交AD于点F，且BF＝AC，DF＝DC．求证：（1）BD＝AD．（2）BE⊥AC．19．（8分）已知一次函数y＝（k+3）x﹣1（k为常数且k≠﹣3）的图象经过点（2，3）．（1）求此函数的表达式．（2）当0≤x≤3时，记函数的最大值为M，最小值为N，求M﹣N的值．20．（10分）定义关于@的一种运算：a@b＝a+2b，如2@3＝2+6＝8．（1）若3@x＜7，且x为正整数，求x的值．（2）若关于x的不等式3（x+1）≤8﹣x的解和x@a≤5的解相同，求a的值．21．（10分）如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB和AC于点E和F．（1）求证：△BEO是等腰三角形．（2）若AB＝5，AC＝4，求△AEF的周长．（3）如图2，过点O作OG⊥BC于点G，连结OA，当∠BAC＝60°，OG＝1时，求OA 的长度．22．（12分）已知一次函数y＝kx+b﹣2（k，b为常数且k≠0）．（1）若函数图象过点（﹣1，1），求b﹣k的值．（2）已知点（c，d）和点（c﹣3，d+3）都在该一次函数的图象上，求k的值．（3）若k+b＜0，点Q（5，m）且m＞0在该一次函数的图象上，求证：．23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，CD是∠ACB的角平分线，点E，F分别是边AC，BC上的动点（不与点A，B，C重合），连结DE，DF．（1）若分别记△BCD，△ACD的面积为S△BCD，S△ACD，求S△BCD：S△ACD的值．（2）设AE＝x，BF＝y，①若S△ADE+S△BDF＝S四边形DECF，求x+y的值．②若S△ADE+S△BDF＝，x﹣y＝2，请判断△BDF的形状，并说明理由．2022-2023学年浙江省杭州市西湖区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题；本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）点P（1，2）向上平移2个单位后的坐标是（ ）A．（﹣1，2）B．（3，2）C．（1，0）D．（1，4）【分析】根据坐标与图形变化﹣平移的规律得到点P（1，2）向上平移2个单位后的点的横坐标不变，纵坐标加上2即可．【解答】解：将点P（1，2）向上平移2个单位后的坐标是（1，4），故选：D．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P （x+a，y）；向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）；向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）；向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）．2．（3分）不等式x+1＞0的解集在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．【分析】求出不等式的解集，表示在数轴上即可．【解答】解：不等式x+1＞0，解得：x＞﹣1，表示在数轴上，如图所示：故选：A．【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．3．（3分）下面关于实数a，b的值中，能说明“若|a|＝|b|，则a＝b”这个命题是假命题的是（ ）A．a＝2，b＝2B．a＝﹣2，b＝﹣2C．a＝2，b＝﹣2D．a＝﹣2，b＝﹣3【分析】说明命题为假命题，即a、b的值满足|a|＝|b|，但a＝b不成立，把四个选项中的a、b的值分别代入验证即可．【解答】解：当a＝2，b＝2时，|a|＝|b|，而a＝b成立，故A选项不符合题意；当a＝﹣2，b＝﹣2时，|a|＝|b|，而a＝b成立，故B选项不符合题意；当a＝2，b＝﹣2时，|a|＝|b|，但a＝b不成立，故C选项符合题意；当a＝﹣2，b＝﹣3时，|a|＝|b|不成立，故D选项不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立．4．（3分）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件，可以判定△ABC为直角三角形的是（ ）A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．a：b：c＝1：2：2D．a：b：c＝3：4：【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可．【解答】解：A．∵∠A＝2∠B＝3∠C，∴∠B＝∠A，∠C＝A，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+∠A+∠A＝180°，∴∠A＝°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝×180°＝75°∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵a：b：c＝1：2：2，∴a2+b2＝12+22＝5，∴a2+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵a：b：c＝3：4：，∴a2+c2＝33+（）2＝16＝42，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意故选：D．【点评】不能退考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．5．（3分）若x+a＞y+a，ax＜ay，则（ ）A．x＞y，a＜0B．x＜y，a＜0C．x＞y，a＞0D．x＜y，a＞0【分析】由不等式的性质1，x＞y，再由性质3得，a＜0．【解答】解：∵x+a＞y+a，∴由不等式的性质1，得x＞y，∵ax＜ay，∴a＜0．故选：A．【点评】主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．6．（3分）如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝6，点C，D在边OB上，若PC＝PD，CD＝2，则OC＝（ ）A．B．2C．D．3【分析】过P作PH⊥CD，根据等腰三角形形三线合一及直角三角形30°角所对直角边等于斜边一半即可得到答案．【解答】解：过P作PH⊥CD于H，∵∠AOB＝60°，∴∠OPH＝90°﹣60°＝30°，∵OP＝6，∴OH＝OP＝3，∵PH⊥CD，PC＝PD，CD＝2，∴CH＝CD＝1，∴OC＝OH﹣HC＝3﹣1＝2，故选：B．【点评】本题考查等腰三角形形三线合一及直角三角形30度角所对直角边等于斜边一半，解题关键是作出辅助线．7．（3分）对于一次函数y＝2x+3的图象经过平移后，过原点的是（ ）A．向上平移3个单位B．向下平移2个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【分析】经过原点的一次函数的常数项为0，由3到0，是向下平移3个单位．【解答】解：原一次函数解析式为：y＝2x+3，若经过原点，新函数解析式为y＝2x，∴一次函数y＝2x+3的图象向右平移个单位后就经过原点．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键．8．（3分）如图，△ABC中，D为AC的中点，CE⊥AB于点E，若DE＝3，AE＝5，则CE ＝（ ）A．3B．4C．D．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC＝2DE＝6，然后再运用勾股定理即可解答．【解答】解：∵D为AC的中点，CE⊥AB于点E，∴AC＝2DE＝6，∵CE⊥AB，∴．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．9．（3分）若（x1，y1），（x2，y2）这两个不同点在y关于x的一次函数y＝（a+1）x﹣1图象上，当（ ）时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．A．a＜0B．a＞0C．a＜﹣1D．a＞﹣1【分析】根据一次函数的性质知，当k＜0时，判断出y随x的增大而减小．【解答】解：∵（x1，y1），（x2，y2）是一次函数y＝（a+1）x﹣1图象上的不同的两点，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，∴该函数图象是y随x的增大而减小，∴a+1＜0，解得a＜﹣1．故选：C．【点评】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要根据函数的增减性进行推理是关键．10．（3分）将长方形纸片ABCD如图折叠，B，C两点恰好重合落在AD边上的同一点P处，折痕分别是MH，NG，若∠MPN＝90°，PN＝4，MN＝5，分别记△PHM，△PNG，△PMN 的面积为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的数量关系是（ ）A．S3＝S1+S2B．3S3＝2S1+2S2C．2S3＝3S2﹣S1D．S3＝5S2﹣5S1【分析】根据折叠的性质和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过P作PE⊥BC于E，如图：∵∠MPN＝90°，PN＝4，MN＝5，∴PM＝＝3，∵将长方形纸片ABCD如图折叠，B，C两点恰好重合落在AD边上的同一点P处，折痕分别是MH，NG，∴B与P关于直线MH对称，C与P关于直线NG对称，∴∠CNG＝∠PNG，∵AD∥BC，∴∠CNG＝∠PGN，∴∠PNG＝∠PGN，∴PG＝PN＝4，同理PH＝PM，∵HG∥MN，∴PE⊥HG，∴S1＝＝，S2＝PG•PE＝×4×＝．S3＝＝＝6，∴A．S1+S2＝≠S3，故该选项不符合题意；B.2S1+2S2＝≠3S3，故该选项不符合题意；C.3S2﹣S1＝＝≠S3，故该选项不符合题意；D.5S2﹣5S1＝24﹣18＝6，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．11．（4分）点（2，3）关于y轴对称的点的坐标为　（﹣2，3）　．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．【解答】解：点（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，3），故答案为（﹣2，3）．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．12．（4分）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝100m，则这名滑雪运动员的高度下降了　50　米．【分析】根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝100m，则AC＝AB＝50（m），故答案为：50．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握直角三角形的性质是解题的关键．13．（4分）圆圆去商店购买A，B两种书签，共用了10元钱，A种书签每枚1元，B种书签每枚2元．若每种书签至少买一枚，且A种书签的数量比B种书签的数量多，则A种书签至少购买　4　枚．【分析】设小明购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意列出不等式组进行解答便可．【解答】解：设圆圆购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意得，解得，3＜x≤8，∵x为整数，也为整数，∴x＝4或6或8，∴A种书签至少购买4枚．故答案为：4．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，正确表示出购买B种玩具的数量和正确列出不等式组是解决本题的关键．14．（4分）在平面直角坐标系（O为坐标原点）中，若一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，则在△ABO中，AB边上高的长度是 ．【分析】先求出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（﹣3，0），B（0，4），∴AB＝＝＝5，设AB边上高的长度为h，∴△AOB的面积＝×3×4＝．解得h＝，故答案为：．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．15．（4分）如图，AE＝AB，∠E＝∠B，EF＝BC，若∠EAB＝50°，则∠EFA＝　65°　．【分析】根据全等三角形的判定和性质到了以及等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：在△ABC与△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，∠EFA＝∠C，∴∠EAF﹣∠BAF＝∠BAC﹣∠BAF，∴∠BAE＝∠CAF＝50°，∴∠EFA＝∠AFC＝∠C＝（180°﹣50°）＝65°，故答案为：65°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质到了是解题的关键．16．（4分）若一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象过点（2，﹣4），且经过第二、三、四象限．（1）b＝　﹣2k﹣4　．（请用含k的代数式表示）（2）若m＝k+3b，则m的取值范围是　﹣12＜m＜﹣2　．【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；（2）根据题意列不等式，解不等式即可得到结论．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象过点（2，﹣4），∴﹣4＝2k+b，∴b＝﹣2k﹣4，故答案为：﹣2k﹣4；（2）∵函数图形过第二、三、四象限，∴k＜0，b＜0，∴﹣2k﹣4＜0，解得﹣2＜k＜0，∵m＝k+3b，∴m＝﹣5k﹣12，∴﹣12＜﹣5k﹣12＜﹣2，即﹣12＜m＜﹣2，故答案为：﹣12＜m＜﹣2．【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确记忆一次函数的性质是解题关键．三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（6分）解不等式：（1）3x﹣1≥2x+4．（2）．【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1即可求解；（1）去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解．【解答】解：（1）3x﹣1≥2x+4，3x﹣2x≥4+1，x≥5；（2）≥，3（2+x）≥2（2x﹣1），6+3x≥4x﹣2，3x﹣4x≥﹣2﹣6，﹣x≥﹣8，x≤8．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解答此题的关键．18．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，连结BE交AD于点F，且BF＝AC，DF＝DC．求证：（1）BD＝AD．（2）BE⊥AC．【分析】（1）根据AD⊥BC，得出∠BDA＝∠ADC＝90°，再根据SAS证明△BFD≌△AC D，即可推出结论；（2）因为∠BDA＝∠ADC＝90°，则∠DAC+∠C＝90°，根据△BFD≌△ACD，∠BFD ＝∠C，得出∠DAC+∠BFD＝90°．又因为∠BFD＝∠AFE，则∠DAC+∠AFE＝90°90°，得出∠AEF＝90°．【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，∴∠BDA＝∠ADC＝90°，∵BF＝AC，DF＝DC，∴△BFD≌△ACD（SAS），∴BD＝AD．（2）∵∠BDA＝∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠C＝90°，∵△BFD≌△ACD，∠BFD＝∠C，∴∠DAC+∠BFD＝90°．∵∠BFD＝∠AFE，∴∠DAC+∠AFE＝90°，∴∠AEF＝90°，∴BE⊥AC．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定方法．19．（8分）已知一次函数y＝（k+3）x﹣1（k为常数且k≠﹣3）的图象经过点（2，3）．（1）求此函数的表达式．（2）当0≤x≤3时，记函数的最大值为M，最小值为N，求M﹣N的值．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据一次函数的性质求得最大值M和最小值N，进而即可求得M﹣N的值．【解答】解：（1）∵一次函数y＝（k+3）x﹣1（k为常数且k≠﹣3）的图象经过点（2，3），∴3＝2（k+3）x﹣1，解得k＝﹣1，∴y＝（﹣1+3）x﹣1＝2x﹣1，∴一次函数的表达式为y＝2x﹣1；（2）∵y＝2x﹣1，2＞0，∴y随x的增大而增大，∵当0≤x≤3时，记函数的最大值为M，最小值为N，∴M＝2×3﹣1＝5，N＝2×0﹣1＝﹣1，∴M﹣N＝5﹣（﹣1）＝6．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是利用一次函数的性质，求得M、N．20．（10分）定义关于@的一种运算：a@b＝a+2b，如2@3＝2+6＝8．（1）若3@x＜7，且x为正整数，求x的值．（2）若关于x的不等式3（x+1）≤8﹣x的解和x@a≤5的解相同，求a的值．【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出；（2）根据新定义解不等式即可得到结论．【解答】解：（1）3@x＜7，3+2x＜7，解得x＜2，∵x为正整数，∴x＝1；（2）解不等式3（x+1）≤8﹣x得，x＜，解不等式x@a＜5得x＜5﹣2a，∵关于x的不等式3（x+1）≤8﹣x的解和x@a≤5的解相同，∴＝5﹣2a，解得a＝．【点评】本题考查了解一元一次不等式，有理数的混合运算，正确地求出结果是解题的关键．21．（10分）如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB和AC于点E和F．（1）求证：△BEO是等腰三角形．（2）若AB＝5，AC＝4，求△AEF的周长．（3）如图2，过点O作OG⊥BC于点G，连结OA，当∠BAC＝60°，OG＝1时，求OA 的长度．【分析】（1）根据角平分线的性质，可得∠EBO与∠OBC的关系，∠FCO与∠OCB的关系，根据平行线的性质，可得∠DOB与∠BOC的关系，∠FOC与∠OCB的关系，根据等腰三角形的判定，可得OE＝BE，OE＝CE，EF＝BE+CF；（2）根据等腰三角形的性质、三角形的周长公式，可得答案；（3）根据角平分线的性质和判定证得OA是∠BAC的平分线，得到∠OAM＝30°，根据含30度直角三角形的性质即可求出OA．【解答】（1）证明：∵OB是∠ABC的平分线，∴∠EBO＝∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EOB＝∠EBO，∴EO＝BE，∴△BEO是等腰三角形；（2）解：由（1）的方法证得OF＝FC，由（1）知EO＝BE，∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+CF＝AB+AC，∵AB＝5，AC＝4，∴△AEF的周长＝9；（3）解：过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OG⊥BC，∴OM＝OG＝ON＝1，∴OM＝ON，∴OA是∠BAC的平分线，∴∠OAM＝∠BAC＝×60°＝30°，∴OA＝2OM＝2．【点评】本题是三角形的综合题，考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形周长的计算，正确地周长辅助线是解题的关键．22．（12分）已知一次函数y＝kx+b﹣2（k，b为常数且k≠0）．（1）若函数图象过点（﹣1，1），求b﹣k的值．（2）已知点（c，d）和点（c﹣3，d+3）都在该一次函数的图象上，求k的值．（3）若k+b＜0，点Q（5，m）且m＞0在该一次函数的图象上，求证：．【分析】（1）根据该函数的图象过点（﹣1，1），列方程即可得到结论；（2）把点（c，d）和点（c﹣3，d+3）代入该一次函数解析式即可求出k的值；（3）关键k+b＜0，点Q（5，m）（m＞0）在该一次函数上，即可证明．【解答】（1）解：∵该函数的图象过点（﹣1，1），∴1＝﹣k+b﹣2，∴b﹣k＝3；（2）解：∵点（c，d）和点（c﹣3，d+3）都在该一次函数的图象上，∴，解得k＝﹣1．答：k的值为﹣1；（3）证明：∵k+b＜0，解得b＜﹣k，∵点Q（5，m）（m＞0）在该一次函数上，∴m＝5k+b﹣2＞0，解得b＞2﹣5k，所以2﹣5k＜b＜﹣k，所以2﹣5k＜﹣k，解得k＞．故得证．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握一次函数的图象和性质．23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，CD是∠ACB的角平分线，点E，F分别是边AC，BC上的动点（不与点A，B，C重合），连结DE，DF．（1）若分别记△BCD，△ACD的面积为S△BCD，S△ACD，求S△BCD：S△ACD的值．（2）设AE＝x，BF＝y，①若S△ADE+S△BDF＝S四边形DECF，求x+y的值．②若S△ADE+S△BDF＝，x﹣y＝2，请判断△BDF的形状，并说明理由．【分析】（1）过D作DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DG＝DH，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）①根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；②由（1）知，DG⊥AC，DH⊥BC，DG＝DH，根据三角形的面积公式列方程得到DH＝，求得x+y＝，根据x﹣y＝2，得到x＝，y＝，求得CF＝2﹣＝，推出△DHC是等腰直角三角形，得到DH＝CH＝，求出CH＝CF，推出点H与点F重合，于是得到结论．【解答】解：（1）过D作DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，∵CD是∠ACB的角平分线，∴DG＝DH，∴S△BCD：S△ACD＝＝＝；（2）①∵AE＝x，BF＝y，∴CE＝4﹣x，CF＝2﹣y，∵S△ADE+S△BDF＝S四边形DECF，∴S△ADE+S△BDF＝S△CDE+S△CDF，∴＝，∵DG＝DH，∴x+y＝（4﹣x）+（2﹣y），∴x+y＝6；②△BDF是直角三角形，理由：由（1）知，DG⊥AC，DH⊥BC，DG＝DH，∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD，∴，∴DH＝，∵S△ADE+S△BDF＝＝x•DG+•DH＝DH（x+y）＝，∴DH（x+y）＝，∴x+y＝，∵x﹣y＝2，∴x＝，y＝，∴BF＝，∴CF＝2﹣＝，∵CD是∠ACB的角平分线，∴∠DCH＝45°，∴△DHC是等腰直角三角形，∴DH＝CH＝，∴CH＝CF，∴点H与点F重合，∴DF⊥BC，∴∠BHD＝90°，∴△BDF是直角三角形．【点评】本题是三角形的综合题，考查了直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，角平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．。