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南昌大学 2007～2008学年第二学期期末考试试卷一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设32,2,a i j k b i j k =--=+- 则(2)(3)a b -⋅=_____.2. 函数 2222ln[(25)(4)]z x y x y =--+- 的定义域是____________________________________. 3. 设函数(cos sin )x z e y x y =+, 则10x y dz ===_______.4.交换累次积分的次序(,)1dyf x y dx =⎰⎰________.5. 微分方程2'y y x=的通解为__________.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 过点(3,0,1)-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程是( B ).(A) 3540x z --=. (B) 37540x y z -+-=. (C) 350x y z ++= (D) 75120x y z -+-=. 2．设 2uz v=, 而 2,2u x y v y x =-=+, 则z x∂=∂( A ).(A)()()()22232x y x yy x -++. (B) ()222x y y x-+.(C) ()()2232x y x y y x-+-+. (D)()()22222x y y x -+.3． 设可微函数(,)f x y 在点00(,)x y 取得极小值,则下列结论正确的是 ( B ). (A) 0(,)f x y 在0y y =处的导数大于零.(B) 0(,)f x y 在0y y =处的导数等于零. (C) 0(,)f x y 在0y y =处的导数小于零. . (D) 0(,)f x y 在0y y =处的导数不存在. 4．设L 为取正向的圆周224x y +=, 则曲线积分22()()Lx y dx x y dy ++-⎰ 之值为 ( A ).(A) 0. (B) 4π. (C) 4. (D) π. 5．函数()cos f x x =关于x 的幂级数展开式为 ( D ). (A) 2421(1)(11) n n x x x x -+-+-+-<<(B) 2421(11) n x x x x +++++-<<. (C) 21(11) n x x x x +++++-<<.(D) 2421(1)()2!4!(2)!nnxxxx n -+-+-+-∞<<+∞.三、求解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分) 1．求与两平面 43x z -= 和 251x y z --=的交线平行且过点(3,2,5)-的直线方程.2．设(,),z f u v =而,y u xy v e ==,且f 具有二阶连续偏导数,求z x y∂∂∂2.四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分): 1、计算曲线积分222(2)()y y L xe y dx x e y dy -+-⎰, 其中L 是由点(,0)A a 沿上半圆周22(0)x y ax a +=> 到点(0,0)O 的弧段.2、利用高斯公式计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰,其中∑为上半球面z =的上侧。
南昌大学第五届高等数学竞赛(经济类)试题Q=300m3/d生活污水处理及回用工程设计方案目录一、工程概况 ............................................................... 错误!未定义书签。
二、设计依据、规范、范围及原则........................... 错误!未定义书签。
三、设计水量与水质................................................... 错误!未定义书签。
四、处理工艺的选择................................................... 错误!未定义书签。
五、处理工艺设施简要说明....................................... 错误!未定义书签。
六、系统技术性能参数说明....................................... 错误!未定义书签。
七、电器与控制 ........................................................... 错误!未定义书签。
八、污水处理设施布置............................................... 错误!未定义书签。
九、二次污染防治....................................................... 错误!未定义书签。
十、经营管理 ............................................................... 错误!未定义书签。
十一、方案特点及售后服务....................................... 错误!未定义书签。
十二、工程构筑物及设备一览表............................... 错误!未定义书签。
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共150分．第I 卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发的概率是P ，那么34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n k n n P k C P P -=- 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}01M =，，{}012345I =，，，，，，则I M ð为（ ） Ａ．{}01， Ｂ．{}2345，，， Ｃ．{}02345，，，， Ｄ．{}12345，，，，2．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为（ ） Ａ．π4 Ｂ．π2Ｃ．π Ｄ．2π 3．函数1()lg 4x f x x -=-的定义域为（ ） Ａ．(14)， Ｂ．[14)， Ｃ．(1)(4)-∞+∞，， Ｄ．(1](4)-∞+∞，， 4．若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ）Ａ．3- Ｂ．13- Ｃ．3 Ｄ．135．设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，则01211a a a a ++++的值为（ ）Ａ．2- Ｂ．1- Ｃ．1 Ｄ．26．一袋中装有大小相同，编号分别为12345678，，，，，，，的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（ ） Ａ．132 Ｂ．164 Ｃ．332 Ｄ．364 7．连接抛物线24x y =的焦点F 与点(10)M ，所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为（ ）Ａ．1- Ｂ．32- Ｃ．1 Ｄ．32+8．若π02x <<，则下列命题正确的是（ ） Ａ．2sin πx x < Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x < Ｄ．3sin πx x >9．四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且2CD =，AD =在外接球面上两点A B，间的球面距离是（ ） Ａ．π6 Ｂ．π3 Ｃ．2π3Ｄ．5π610．设32:()21p f x x x mx =+++在()-∞+∞，内单调递增，4:3q m ≥，则p 是q 的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）Ａ．214h h h >>Ｂ．123h h h >> Ｃ．324h h h >> Ｄ．241h h h >>12．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）Ａ．必在圆222x y +=上Ｂ．必在圆222x y +=外 Ｃ．必在圆222x y +=内 Ｄ．以上三种情形都有可能 2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第II 卷注意事项： 第II 卷2页，须要黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试卷题上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．13．在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC = ．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=． 15．已知函数()y f x =存在反函数1()y fx -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(31)，，则函数1()y f x -=的图象必经过点． 16．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ．有下列四个命题Ａ．点H 是1A BD △Ｂ．AH 垂直平面1CB D Ｃ．二面角111C B D C --Ｄ．点H 到平面1111A B C D 的距离为34 其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）1 11B已知函数21(0)()21(1)x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩≤满足29()8f c =． （1）求常数c 的值；（2）解不等式()1f x >．18．（本小题满分12分） 如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π．（1）求θ和ω的值； （2）已知点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA的中点，当02y =0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值． 19．（本小题满分12分）栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活的概率分别为0.7，0.9．（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率．20．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，1CC （1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ；（2）求AB 与平面11AAC C 所成的角的大小；（3）求此几何体的体积．21．（本小题满分12分）设{}n a 为等比数列，11a =，23a =．（1）求最小的自然数n ，使2007n a ≥；（2）求和：212321232n nn T a a a a =-+--． 22．（本小题满分14分）11设动点P 到点1(10)F -，和2(10)F ，的距离分别为1d 和2d ，122F PF θ=∠，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=． （1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）如图，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于A B ，两点．问：是否存在λ，使1F AB △是以点B 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西文）参考答案一、选择题1．Ｂ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ａ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ｃ10．Ｃ 11．Ａ 12．Ｃ二、填空题13．1 14．7 15．(14)， 16．A ，B ，C三、解答题17．解：（1）因为01c <<，所以2c c <； 由29()8f c =，即3918c +=，12c =． （2）由（1）得411122()211x x x f x x -⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩，，≤由()18f x >+得， 当102x <<时，解得142x <<， 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()1f x >的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．18．解：（1）将0x =，y =2cos()y x ωθ=+中得cos θ=， 因为π02θ≤≤，所以π6θ=． 由已知πT =，且0ω>，得2π2π2T πω===．（2）因为点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA 的中点，02y =所以点P 的坐标为0π22x ⎛-⎝．又因为点P 在π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，且0ππ2x ≤≤，所以05πcos 462x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 07π5π19π4666x -≤≤，从而得05π11π466x -=或05π13π466x -=， 即02π3x =或03π4x =． 19．解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件1A ，2A ；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件1B ，2B ，1()0.6P A =，2()0.5P A =，1()0.7P B =，2()0.9P B =．（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为1212()1()10.40.50.8P A A P A A +=-=-⨯=；（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A B ，，则11()()0.42P A P A B ==，22()()0.45P B P A B ==．恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为()0.420.550.580.450.492P AB AB +=⨯+⨯=．解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为11211221221212()0.492P A B A A B A B A A B A A B B +++=．20．解法一：（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ．则11OD BB CC ∥∥因为O 是AB 的中点， 所以1111()32OD AA BB CC =+==． 则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥，1C D ⊂平面111C B A ，且OC ⊄平面111C B A则OC ∥面111A B C ．（2）解：如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ，作22BH A C ⊥于H ，因为平面22A BC ⊥平面11AAC C ，则BH ⊥面11AAC C ． 连结AH ，则BAH ∠就是AB 与面11AAC C 所成的角．因为2BH =，AB =sin BH BAH AB ==∠． AB 与面11AAC C所成的角为arcsinBAH =∠． （3）因为BH =222213B AAC C AA C C V S BH -=． 1121(12)23222=+=． 1112211111212A B C A BC A B C V S BB -===△． 所求几何体的体积为221112232B AA C C A B C A BC V V V --=+=． 解法二：（1）证明：如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以0O ⎛ ⎝1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，， 易知，(001)n =，，是平面111A B C 1x由0OC n =且OC ⊄平面111A B C 知OC ∥平面111A B C ．（2）设AB 与面11AAC C 所成的角为θ．求得1(004)A A =，，，11(110)AC =-，，． 设()m x y z =，，是平面11AAC C 的一个法向量，则由11100A A m A C m ⎧=⎪⎨=⎪⎩得00z x y =⎧⎨-=⎩， 取1x y ==得：(110)m =，，． 又因为(012)AB =--，， 所以，cos m <，10m ABAB m AB >==-则sin 10θ=． 所以AB 与面11AAC C 所成的角为arcsin10． （3）同解法一21．解：（1）由已知条件得112113n n n a a a --⎛⎫== ⎪⎝⎭， 因为67320073<<，所以，使2007n a ≥成立的最小自然数8n =．（2）因为223211234213333n n n T -=-+-+-，…………① 2234212112342123333333n n n n n T --=-+-++-，…………② +①②得：2232124111121333333n n n n T -=-+-+-- 2211231313n n n -=-+ 22333843n nn --= 所以22223924163n n n n T +--=． 22．解：（1）在12PF F △中，122F F =22221212121242cos 2()4sin d d d d d d d d θθ=+-=-+212()44d d λ-=-12d d -=2的常数）故动点P 的轨迹C 是以1F ，2F为焦点，实轴长2a =的双曲线． 方程为2211x y λλ-=-． （2）方法一：在1AF B △中，设11AF d =，22AF d =，13BF d =，24BF d =．假设1AF B △为等腰直角三角形，则12343421323422πsin 4d d a d d a d d d d d d λ⎧⎪-=⎪-=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩①②③④⑤由②与③得22d a =，则1343421)d a d d d a a=⎧⎪=⎨⎪=-=⎩由⑤得342d d λ=，21)2a λ=(8)2λλ--=，12(01)17λ-=，故存在1217λ-=满足题设条件． 方法二：（1）设1AF B △为等腰直角三角形，依题设可得21212212122πsin π81cos4πsin 24AF AF AF AF BF BF BF BF λλλλ⎧⎧===⎪⎪⎪⎪-⇒⎨⎨⎪⎪=⎪=⎪⎩⎩所以12121πsin 1)24AFF S AF AF λ==△，121212BF F S BF BF λ==△．则1(2AF B S λ=△．①由1212221AF F BF F S AF S BF ==△△，可设2BF d =，则21)AF d =，1(2BF AB d ==．则122211(222AF B S AB d ==+△．②由①②得2(22d λ+=．③根据双曲线定义122BF BF a -==1)d = 平方得：221)4(1)d λ=-．④由③④消去d 可解得，12(01)17λ-=∈， 故存在λ=页眉内容阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
南昌大学2007~2008年概率统计期末试题一、填空题（每空3分，共15分）1.如果每次试验成功的概率均为p(0<p<1)，并且已知在三次独立重复试验中至少成功一次的概率为19/27，则p=__________2.设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X+2Y的方差为______3.同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面向上的概率为_________4.设随机变量X~B(10, 0.4)，则X2的数学期望为_________5.设随机变量X的概率密度为f(x)=，则2X的概率密度为_________二、求下列概率（20分）1.箱中有m件正品，n件次品，现把产品随机地一件件取出来，求第2次取出的一件产品是正品的概率.（10分）2.在区间(0, 1)中随机地取两个数，试求取得的两数之积小于1/4的概率.（10分）三、计算题（25分）1．已知随机变量X的概率密度为f(x)=，且.(1)求a，b；(2)计算.（15分）2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (x,y)=.求随机变量Z=X+2Y 的分布函数.（10分）四、解答题（30分）1.设随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=，求(1)系数A；(2)X的数学期望.（15分）2.设随机变量X与Y相互独立同分布，X的概率密度为f(x)=，求.（15分）五、应用题（10分）一学生金工实习时，用同一台机器连续独立地制造2个同样的零件，第i个零件时合格品的概率p i = (i=1,2)，以X表示2个零件中合格品数，求X得数学期望.南昌大学2007~2008年概率统计期末试题答案一、1. 1/3 2. 44 3. 3/8 4. 18.4 5.二、1. =2. Ω={(x,y): 0<x<1, 0<y<1}, A={(x,y): xy<1/4}∩Ωp===三、1.===1===解得a=1, b=1/2==2.当z≤0时, F Z(z)=0当z>0时, F Z(z)=P{Z≤z}=P{X+2Y≤z}===1-e-z-ze-z 四、1.=1⇒=1⇒A=12E(X)===1/32.(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)====五、令X i=,则X1~B(1, 1/2), X2~B(1, 2/3)X=X1+X2E(X1)=1/2 E(X2)=2/3 E(X)=E(X1)+E(X2)=1/2+2/3=7/6 或X=0,1,2 P(X=0)=(1-p1)(1-p2)=1/6 P(X=1)=p1(1-p2)+(1-p1)p2=1/2P(X=2)=p1p2=1/3 E(X)=0⨯1/6+1⨯1/2+2⨯1/3=7/6南昌大学2008~2009年概率统计期末试题一填空题1. 设A，B相互独立，且，则__________.2、设、是随机事件，，，则3. 已知，且，则__________.4．3个人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，则此密码被破译出的概率是.5．设随机变量的分布函数为：，则.二选择题1. 一盒产品中有只正品，只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为【A】(A) ；(B) ；(C) ；(D) .2．设、为两个互不相容的随机事件，且，则下列选项必然正确的是【 B 】；；；．3．检查产品时，从一批产品中任取3件样品进行检查，则可能的结果是：未发现次品，发现一件次品，发现两件次品，发现3件次品。
南昌大学第五届高等数学竞赛（数学专业类2007级）试卷 序号： ____________ 姓名： __________________ 学院： ________________ 专业： _____________学号：____________________考试日期：2008年9月21日 题号 —• 二 三 四 五 七 A 九 十 总分 累分人 签名 题分 21 10 12 10 12 12 10 13 100 得分 注：本卷共九页，八道大题，考试时间为&30——11:30. 一、计算题（每题7分，共21分） 得分 评阅人 2、以［兀］表示不超过兀的最大整数, 并记{x} = x-[x]9求极限lim{(2 +巧门; 川― 圭 f sin nx j sinx dx o二、证明题（10分）有界，则[a,b]中必存在一个小区间使｛九（兀）｝在其上一致有界。
三、证明题(12分)(1)集合S没有最大数和最小数;(2)集合S在Q内没有上确界与下确界。
四、证明题（10分）能将三角形分成面积相等的两部分。
五、证明题（12分）得分评阅人设/（兀）是定义在有界实数集E上的实函数，对于E中的任一收敛数列{兀“}, {/（兀”）}也是一收敛数列，求证/（兀）在E上一致连续。
六、解答题(12分)数,0,兀为无理数。
讨论函数/(%)在(-I + oo)的可导性。
七、证明题(10分)得分评阅人假设函数.f(x)在区间［a,b］可微,但不是常数，且有= /(/?)=0, 则在［a,b］中至少存在一点使得I 厂© 1>49一。
)2(j\x)dx o八.证明题（13分）若函数/（X）在［a，b］可积，贝IJ函数/（X）在［a，b］至少有一个连续点。
南昌大学第五届高等数学(文科类)竞赛试题参考答案一、填空题(每题3分，共15分)1． 21， 1 2. dx xx x x x y x )2cos ln 2sin 2(2cos +⋅-=3. 13-=x y4. 2π5. 22ln e x x -二、选择题(每题3分，共15分)1． ()A 2．()B 3．()A 4． ()C 5．()B三、（本题满分10分）解: )tan 1ln()1(cos sin lim 222220x e x xx x x x +--→xx x x x x x 22220tan 2cos sin lim ⋅⋅-=→40)cos )(sin cos (sin lim21x x x x x x x x +-=→ x xx x xx x x x cos sin cos sin lim 2130+⋅-=→ 2cos sin lim 2130⋅-=→xx x x x 203sin lim x x x x →=31= 四、（本题满分10分） 解: 设t x =+1tan ，则22)1(1)1(11)(-++-+='t t t f ， 即22)1(1)1(11)(-++-+='x x x f 于是 =)(x f dx x x ⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+22)1(1)1(11 C x x x +-++-=3)1()1arctan(3由4)1(=f ，得3=C .故 33)1()1arctan()(3+-++-=x x x x f . 五、（本题满分10分）解: 除了原点，设直线kx y =与抛物线)2(2x x y -=交于()kc c ,，那么⎰--c dx kx x x 02)24(k dx x x kx c2)24(22=+-+⎰，即 ckx x x 023221322⎪⎭⎫ ⎝⎛--k x x kx c 2322212322=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+，⇒38)21322(2232=--kc c c又 kc c c =-)2(2联立，解得 34=c ， 3424-=k .六、（本题满分12分）解:()()()⎰⎰'-=11010dx x f x x xf dx x f在方程()()⎰--=xy y dy ex f 102中，令1=x ，得()()()010021102===⎰⎰---dy e dy ef y y y y ．再在方程()()⎰--=xy y dy e x f 102两端对x 求导，得()21xe xf --='，因此，()()()()⎰⎰⎰'-='-=110101dx x f x dx x f x x xf dx x f()1212110111222-=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅===---⎰⎰e e e dx xe e dx xex xx．七、（本题满分14分）解: 设函数()12-=-x e ax x f ，()()x x x e x ax e ax axe x f ----=-='222．令()0='x f ，得函数()x f 的驻点2,021==x x ． 由于0>a ，所以()()+∞=-=--∞→-∞→1lim lim 2x x x e ax x f ，()()112lim 12lim 1lim 1lim lim 22-=-=-=-=-=+∞→+∞→+∞→-+∞→+∞→x x x x x x xx x ea e x a e x a eax x f ．因此，得函数()x f 的性态⑴ 若0142>--ae ，即42e a >时，函数()12-=-x e ax xf 在()0,∞-、()2,0、()∞+,2内各有一个零点，即方程2x a e x =在()∞+∞-,内有3个实根．⑵ 若0142=--ae ，即42e a =时，函数()12-=-x e ax xf 在()0,∞-、()∞+,0内各有一个零点，即方程2x a e x =在()∞+∞-,内有2个实根．⑶ 若0142<--ae ，即42e a <时，函数()12-=-x e ax xf 在()0,∞-有一个零点，即方程2x a e x =在()∞+∞-,内有1个实根．八、（本题满分14分）证明：设[]4,2∈x ，则 ),2)(()(1-'=x f x f ξ),2(1x ∈ξ；),4)(()(2-'=x f x f ξ)4,(2x ∈ξ.令)(max 42x f M x '=≤≤，则有)2()(-≤x M x f ， )4()(x M x f -≤故 ⎰42)(dx x f dx x f ⎰≤42)( dx x M ⎰-≤32)2(dx x M ⎰-+43)4(3222)2(-⋅=x M 4322)4(x M -⋅-M MM =+=22.。
南昌大学 2006～2007学年第二学期期末考试试卷试卷编号：6029(B)卷答案及评分标准课程编号： H55020190 课程名称： 数学物理方法 考试形式： 闭卷适用班级 05物理、应物与光信息 姓名： 学号：班级：学院：专业：考试日期：题号 一 二 三 四五六七八九 十 总分 题分 42508100累分人 签名得分考生注意事项：1、本试卷共 6 页，请查看试卷中是否有缺页或破损。
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2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
一、 填空题(每小题 3 分，共 42 分)得分 评阅人1. 复数 1 - = z 的指数式为 pi e2.=- ò-dx x x ) 5 ( 1819 2 d 25 。
3. 复数 ) 2 1 /( ) 1 ( i i z - + = 可简化为 (-1+3i)/5。
4. 二维 拉普拉斯方程 0 = D u 在 xy 平面 直角坐标系中的表达式为0 / / 2 2 2 2 = ¶ ¶ + ¶ ¶ y u x u 。
5. 若复变函数 ) , ( ) , ( ) ( y x iv y x u z f + = 可导，必满足 柯西－黎曼条件，这个条件的数学表达式为 y v x u ¶ ¶ = ¶ ¶ / / 、 x v y u ¶ -¶ = ¶ ¶ / / 6. 在 1 < z 的 圆内 ， 函数 11) ( - =z z f 的 泰勒 级数展开为 ______________ ) 1 ( 2 L+ + + - z z 7. 已知 1- ¹ n ，l 为任一回路，则 ò = - ln dz z ) ( a 0 。
8. 拉普拉斯变换 = - ] 1 [t L ) 0 (Re / 1 / 1 2 > + - p p p 。
南昌大学 2019～2019学年第一学期期末考试试卷一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设sin 4,0,()9cos ,0x xx f x axe x x ⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩在0x =处连续，则常数a =。
2. 设'()f a 存在，则 0()()limx f a x f a x x→+--=。
3. 函数 23()(1)1f x x =-+ 的极小值等于 ，单调增加区间为。
4. 设()f x 是可导函数，则'(2)baf x dx =⎰。
二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 0x = 是函数 2ln ,0,(),x x f x x x >⎧=⎨≤⎩ 的( )。
(A) 可去间断点； （B ）无穷间断点； （C ）跳跃间断点； (D) 振荡间断点。
2．设函数arctan y = 则dy =（ ）. （A ）； （B ）；（C ）dx ；（D ）。
3．函数()sin f x x = 在区间 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上 （ ）。
（A ）满足罗尔定理条件，但无法求ξ； （B ）满足罗尔定理条件，且0ξ=； （C ）不满足罗尔定理条件；（D ）不满足罗尔定理条件，但有ξ能满足此定理的结论。
4． 在积分曲线族 sin3y xdx =⎰ 中，过点,16π⎛⎫⎪⎝⎭的曲线方程是（ ）。
（A ） 1cos33y x =-； （B ） 1cos33y x =；（C ） 1cos313y x =-+； （D ） cos3y x C =+。
5． 已知10ln ()xe tf x dt t=⎰，则'()f x =（ ）。
（A ） x ； （B ） x e ； （C ） e ； （D ） ln x 。
三、计算题（共2小题，每小题 8分，共 16 分）1．已知 lim 9,xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭求常数a . 2．求极限 011lim 1x x x e →⎛⎫-⎪-⎝⎭. 四、求下列导数（共2小题，每小题 7分，共 14 分） 1． 设 arcsin(ln ),y x x = 求'y .2．求由方程 2cos 10xy ye x x -+= 所确定的隐函数()y y x = 在0x =处的导数'(0)y .五、解下列各题（共2小题，每小题 7 分，共 14 分）1． 计算由参数方程ln arctan x y t⎧⎪=⎨=⎪⎩ 所确定的函数的二阶导数22d ydx.2．求不定积分11x xe dx e -+⎰. 六、计算下列积分（共2小题，每小题 7 分，共 14 分） 1．求不定积分cos(ln )x dx ⎰.2．计算定积分()2||2||x x x e dx --+⎰. 七、解下列各题(共2小题, 第1小题7分, 第2小题5分, 共12分)1. 设2()(),xax F x f t dt x a=-⎰其中()f x 为连续函数,求lim ()x aF x →.2. 设不恒等于常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续, 在开区间(,)a b 内可导, 且()()f a f b =, 证明在(,)a b 内至少存在一点ξ, 使得'()0f ξ>.南昌大学 2019～2019学年第一学期期末考试试卷及答案一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设sin 4,0,()9cos ,0x xx f x axe x x ⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩在0x =处连续，则常数a =12。
