八年级数学学案2(中点四边形)

<四边形专题复习之弱特殊四边形>学案一、学习目标：1. 理解中点四边形等特殊四边形的概念，掌握相关弱特殊四边形的应用方法；2. 激发学习兴趣，培养勇于探索、勇于创新的精神；3. 渗透转化思想，培养独立分析问题、解决问题的能力以及研究能力和创新意识。

二、学习重点：相关弱特殊四边形及其应用 三、学习难点：相关弱特殊四边形及其应用 六、学习过程：环节一：复习回顾，引入课题 1.三角形中位线的概念和性质及判定；三角形中位线的概念：连接三角形 叫三角形的中位线。

三角形中位线的性质：三角形的中位线 第三边，且 。

三角形中位线的判定：过三角形一边的 ，且 第三边的直线必 第二边。

2.中点四边形的概念及性质。

中点四边形的概念：顺次连接四边形 构成的四边形叫这个四边形的中点四边形。

中点四边形的性质：问题1：我们之前学习的一些四边形的中点四边形的形状是什么？任意四边形的中点四边形是 ；平行四边形的中点四边形是； 矩形的中点四边形是 ；菱形的中点四边形是 ； 正方形的中点四边形是 ；等腰梯形的中点四边形是 。

问题2：具备什么特征的四边形的中点四边形是特殊的四边形？ 的四边形的中点四边形是矩形；的四边形的中点四边形是菱形；的四边形的中点四边形是正方形。

总结：一个四边形的中点四边形的形状由原四边形什么特征决定？。

除了平行四边形，矩形，菱形和正方形这些特殊的四边形之外，还有一些四边形具备一定的特殊性，主要涉及到某些边（角或对角线）相等（或位置上的平行），但条件比前述特殊四边形的弱，象这样的四边形我们称之为弱特殊四边形，例如：前面学习的梯形，又比如，刚刚学习的两条对角线相等的四边形。

环节二：深入探究，获取思路对于等对角线四边形1、等对角线四边形的概念：。

2、等对角线四边形的性质：等对角线四边形的中点四边形是。

3、经典例题：（2006年北京中考第25题）给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。

长春市第五十二中学教育集团八年级（上）数学学案平行四边形的性质（2）命题人：沈红岩审题人：冯丽亚一、学习目标：1、理解并掌握平行四边形的相关概念和性质，培养学生初步应用这些知识解决问题的能力。

2、通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力。

3、培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，体验探索成功后的快乐。

二、自主学习1.已学平行四边形的性质：平行四边形的对边_______，对角_______；2.阅读教材页“探究”：了解“中心对称图形”的知识，并利用它发现平行四边形新的性质：平行四边形的对角线_____________；3.用三角形的全等来证明“平行四边形的对角线互相平分”这个性质：已知：在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O.求证：OA=OC, OB=OD证明： 四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC, ∠1=∠2,∠3=∠4∴△AOD≌△COB (ASA)∴OA=OC OB=OD∴平行四边形的对角线互相平分.三、经典例题例1：已知：如图，在□ABCD中，AC、BD交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由．练习：如图，在□ABCD中，已知∠ADB=90°，AC=10cm，BD=6cm.求AD的长度。

例2：已知：如图，□ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，AOB∆的周长比BOC∆的周长多 8cm，求这个平行四边形各边的长．例3：如图，已知ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，试说明OE=OF.课后作业一、填空题1.已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8cm,BD=10cm,则AO= ,BO= .2.如图，□ABCD的周长为22cm，AC、BD相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长小3cm，则AD=______cm， AB=______cm.3.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， AC与BD的和为24cm，BC的长为8cm，则△AOD的周长为 .4.一个平行四边形的周长为20cm，一条对角线将它分成两个三角形的周长都是18cm，则这条对角线的长是。

《四边形》教案《四边形》教案15篇作为一名无私奉献的老师，常常要写一份优秀的教案，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。

那要怎么写好教案呢？以下是小编收集整理的《四边形》教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。

《四边形》教案1教学目标1、知识与技能：理解平行与垂直是同一平面内两条直线的两种特殊位置关系，初步认识平行线与垂线。

2、过程与方法：在观察、操作、比较、概括中，经历探究平行线和垂线特征的过程，建立平行与垂直的概念。

3、情感态度与价值观：在活动中丰富学生活动经验，培养学生的空间观念及空间想象能力。

教学重难点1、教学重点：正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念。

2、教学难点：理解平行与垂直概念的本质特征。

教学工具多媒体设备教学过程一、情境导入，画图感知1.学生想象在无限大的平面上两条直线的位置关系。

教师：摸一摸平放在桌面上的白纸，你有什么感觉?(1)学生交流汇报。

(2)像这样很平的面，我们就称它为平面。

(板书：平面)我们可以把白纸的这个面作为平面的一部分，请大家在这个平面上任意画一条直线，说一说，你画的这条直线有什么特点?(3)闭上眼睛想一想：白纸所在的平面慢慢变大，变得无限大，在这个无限大的平面上，直线也跟着不断延长。

这时平面上又出现了另一条直线，这两条直线的位置关系是怎样的呢?会有哪几种不同的情况?2.学生画出同一平面内两条直线的各种位置关系。

把你想象的情况画在白纸上。

注意一张纸上只画一种情况，想到几种就画几种，相同类型的不画。

二、观察分类，感受特征1.展示作品。

教师：同学们想象力真丰富!相互看一看，你们的想法一样吗?老师选择了几幅有代表性的作品，我们一起来欣赏一下。

如果你画的和这几种情况不一样，可以补充到黑板上。

不管哪种情况，我们所画的两条直线都在同一张白纸上。

因为我们把白纸的面看作了一个平面，所以可以这样说，我们所画的两条直线都在同一平面。

(板书：同一平面)2.分类讨论。

教师：同学们的想象力可真丰富，画出来这么多种情况。

【课前引入】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，AE、DE分别平分∠DAB、∠CDA．求证：AD＝AB+CD．小明经探究发现，在AD上截取AF＝AB，连接EF（如图2），从而可证△AEF≌△AEB，使问题得到解决．图1 图2 图3（1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程；参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：（2）如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点D为边AC上任意一点（不与点A、C 重合），以BD为腰作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°．过点E作BE⊥EG交BA的延长线于点G，过点D作DF⊥BD，交BC于点F，连接FG，猜想EG、DF、FG之间的数量关系，并证明．【典型例题】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，E是BC的中点，AE是∠BAD的平分线，AB∥DC，求证：AD＝AB+DC．小明发现以下两种方法：方法1：如图2，延长AE、DC交于点F；方法2：如图3，在AD上取一点G使AG＝AB，连接EG、CG．（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明：AD＝AB+DC；用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：（2）如图4，在四边形ABCD中，AE是∠BAD的平分线，E是BC的中点，∠BAD＝60°，∠ABC＝180°﹣∠BCD，求证：CD＝CE．【平行练习1】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题．方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题．（1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC＝AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题；（2）如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．【提升拓展】阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．”小伟：“通过作辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”……老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC的度数；（2）在图1中探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．【课堂检测】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在边BC、CD上，且∠MAN＝∠BAD，求证：MN＝BM+DN．小明充分利用AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补的条件，将△ABM绕点A逆时针旋转∠BAD的度数，如图2，从而将问题解决．（1）根据阅读材料，证明：MN＝BM+DN；用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：（2）如图3，四边形ABCD中，AB＝AD，F为AD边上的点，连接BF，AE平分∠BAD交BF于E，∠AEF＝m°，∠BCD＝180°﹣2m°，连接CE、DE．①找出图中与DE相等的线段，并加以证明；②求∠ECD的度数（用含m的式子表示）．【课后作业】1.阅读下面材料小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，求证：BC＝AB+2BD．小明利用条件AD⊥BC在CD上截取DH＝BD，如图2，连接AH既构造了等腰△ABH，又得到BH＝2BD，从而命题得证．（1）根据阅读材料证明BC＝AB+2BD；（2）参考小明的方法解决下面的问题；如图3在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABD＝∠BCE，∠ABC＝∠DCE，请探究AD与BE的数量关系，并说明理由．A B C DEED CB A2.在△ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在BC 边上，BD=BC ． （1）如图1，若∠A =∠CED =45°；①∠ACD 与∠CDE 的数量关系是 ； ②在图中找到与DE 相等的线段，并证明；（2）如图2，将题中条件“点D 在AB 边上”改为“点D 在AB 边延长线上”，其他条件不变；若DE =AC ，猜想∠A 与∠CED 的数量关系，并证明你的猜想．（图1） （图2）3．在Rt△ABC中，∠C=90°．∠CAB、∠CBA的平分线分别交BC、AC于点D和点E．AD、BE相交于点I．（1）如图1，当AC=BC时，在AB上截取AM=AE，BN=BD，连接IM、IN．求△IMN的各内角的度数；（2）如图2，若△IAB的面积是S，求四边形ABDE的面积（用含S的代数式表示）．ACBDEIM N（图1）DBCP（图2）4．已知：直线l 是线段AB 中垂线，垂足为C ，点P 在l 上，连接PA.PB ，以PB 为边在△PAB外部作等边△PBD ，连接AD 交直线PC 于点M ，连接BM ，设∠APB=x °.（1）如图1，当x =60时，请猜想线段MC.MD.MP 之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，当120﹤x ﹤180时，请猜想线段MC.MD.MP 之间的数量关系______________________________；（请直接写出答案）（3）当60﹤x ﹤120时，将“以PB 为边在△PAB 外部作等边△PBD ”改为“以PB 为边作等边△PBD ”，其他条件不变，请在图3中画出图形，猜想线段MC.MD.MP 之间的数量关系，并证明你的结论.l M D CA B P （图1） l C A B P （图3） （图2） lM D CB A P。

鲁教版（五四制）八年级下册数学第六单元第三节正方形的性质与判定第二课时学案一、学习目标1.掌握正方形的判定方法。

2.综合运用平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理探究中点四边形问题。

3.让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，让其逻辑推理能力有进一步的提升。

二、教学重点与难点重点：正方形的判定方法。

难点：合理恰当地利用特殊四边形的性质和判定进行有关的论证和推理三、动手实验你能否利用手中的矩形纸片折出一个正方形呢？你能说说理由吗？四、探究学习探究1有一个角是直角的菱形是正方形符号语言探究2对角线相等的菱形是正方形符号语言探究3对角线互相垂直的矩形是正方形符号语言五、矩形、菱形与正方形之间的关系五、当堂测试（1）判断1.四个角都相等的四边形是正方形. ( )2.四条边都相等的四边形是正方形. ( )3.对角线垂直且相等的四边形是正方形. ( )4.四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形.( )（2）选择在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BC（3）例题精讲已知:矩形ABCD中, BE平分∠ABC, CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.六、探究中点四边形自我总结：中点四边形的形状与原图形的有关七、课堂小结谈谈你的收获八、课后作业必做题1.必做1：已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：四边形CFDE是正方形．选做题2.选做：在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.1)试说明:DE=DF2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.并说明理由。

《四边形》中考复习学案例1、（2015泰安）（本小题满分10分）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC的中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF = BC.（2）DE⊥AC例2、（2016泰安）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中点，AD⊥AE．（1）求证：AC2=CDBC；（2）过E作EG⊥AB，并延长EG至点K，使EK=EB．①若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证：FH⊥GH；②若∠B=30°，求证：四边形AKEC是菱形．例3、（2016泰安）（1）已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE，若∠A=60°（如图①）．求证：EB=AD；（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由；（3）若将（1）中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”，其它条件不变，则的值是多少？（直接写出结论，不要求写解答过程）例4、（2017•泰安）如图，四边形ABCD 是平行四边形，AD=AC ，AD ⊥AC ，E 是AB 的中点，F 是AC 延长线上一点．（1）若ED ⊥EF ，求证：ED=EF ；（2）在（1）的条件下，若DC 的延长线与FB 交于点P ，试判定四边形ACPE 是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF ，ED 与EF 垂直吗？若垂直给出证明．例5、（2018泰安）如图，ABC ∆中，D 是AB 上一点，DE AC ⊥于点E ，F 是AD 的中点，FG BC ⊥于点G ，与DE 交于点H ，若FG AF =，AG 平分CAB ∠，连接GE ，GD .（1）求证：ECG GHD ∆≅∆；（2）小亮同学经过探究发现：AD AC EC =+.请你帮助小亮同学证明这一结论. （3）若30B ∠=，判定四边形AEGF 是否为菱形，并说明理由.训练题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图，的对角线AC与BD相交于点O，垂足为E，，，，则AE的长为A. B. C. D.2.如图，四边形ABCD内接于，若四边形ABCO是平行四边形，则∠的大小为A. °B. °C. °D. °3.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，，，H是AF的中点，那么CH的长是A. B. C. D. 24.如图，菱形ABCD中，，∠，，，垂足分别为E，F，连接EF，则△的面积是A. B. C. D.5.如图，已知▱AOBC的顶点，，点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠内交于点作射线OF，交边AC于点则点G的坐标为A. B. C. D.6.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是A. ABB. DEC. BDD. AF7.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使，连接EB，EC，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是A. B. C. ∠ D.8.菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接若，，则菱形ABCD的面积为A. B. C. D.9.如图，四个全等的直角三角形纸片既可以拼成菱形内角不是直角，也可以拼成正方形有空隙，则菱形ABCD面积和正方形EFGH面积的比值为A. 1B.C.D.10.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N，若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，，F为DE的中点若△的周长为18，则OF的长为．12.如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若∠，，则BD的长是．13.如图，矩形ABCD中，，点E为DC上一个动点，把△沿AE折叠，当点D的对应点落在∠的角平分线上时，DE的长为．14.如图，在▱ABCD中，，F是AD的中点，作，垂足E在线段AB上，连接EF、则下列结论中一定成立的是把所有正确结论的序号都填在横线上∠∠∠∠．△ △15.如图，△和△是两个具有公共边的全等的等腰三角形，，将△沿射线BC平移一定的距离得到△，连接、如果四边形是矩形，那么平移的距离为cm．16.如图，在矩形纸片ABCD中，，点E在CD上，将△沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处点G在AF上，将△沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处有下列结论：∠△ △．其中正确的是把所有正确结论的序号都选上17.如图，在菱形ABCD中，，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当时，的值为．三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）18.如图，AB是的直径，于点O，连接DA交于点C，过点C作的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．求证：连接AF并延长，交于点填空：当∠的度数为时，四边形ECFG为菱形当∠的度数为时，四边形ECOG为正方形．19.如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，，，∠，E为AD的中点，连接BE．求证：四边形BCDE为菱形连接AC，若AC平分∠，，求AC的长．20.在△中，∠，D是BC的中点，E是AD的中点过点A作交BE的延长线于点F．求证：△ △证明四边形ADCF是菱形若，，求菱形ADCF的面积．21.如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠∠．求证：；求证：△ △；如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值．22.已知：如图，在△中，∠°，D、E分别是BC、AC上，且，，M是AE的中点，MD和AB的延长线交于点F．求证：△ △；．23.在△中，，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点点P不与点A，O，C重合过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；如图2，当∠°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由；若，，当△为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．24.（2019泰安）如图，四边形ABCD是正方形，△是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠°，，垂足为点G．试判断AG与FG是否相等？并给出证明；若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，由勾股定理的逆定理可判定△是直角三角形，利用三角形ABC面积的不同表示方法，建立方程求出AE的长．【解答】解：，，四边形ABCD是平行四边形，，，，，∠°，在△中，，，△，，故选D．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行四边形的性质应牢固掌握该定理并能灵活运用，设∠的度数°，则∠的度数°，由题意可得方程，求出x即可解决问题．【解答】解：设∠，则∠．四边形ABCO是平行四边形，∠∠．∠∠，．．∠．故选C．3.【答案】B【解析】【分析】此题考查正方形的性质、勾股定理等知识分析题意，根据勾股定理可求出AF，再根据直角三角形的性质即可求出CH．【解答】解：如图，连接AC、CF，在正方形ABCD和正方形CEFG中，1，，，，∠∠，∠，由勾股定理得，，是AF的中点，2．故选B．4.【答案】B【解析】【分析】此题考查菱形的性质，等边三角形的判定．掌握菱形的性质，等边三角形的面积公式，证明△是等边三角形是解题的关键．首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可判断出△是等边三角形，再根据勾股定理求出等边三角形的边长即可．【解答】解：连接AC，如图所示，在菱形ABCD中，，∠， △是等边三角形，，∠，，，同理可得，∠，则△为等边三角形，．△故选B．5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．依据勾股定理即可得到△中，，依据∠∠，即可得到，进而得出，可得点G的坐标．【解答】解：如图，设AC与y轴交于点H．在▱AOBC中，，轴，，，由作图知OF平分∠，∠∠∠，，，点G的坐标为．故选A．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出A关于BD的对称点C是解答此题的关键．连接CE，CP，当点E，P，C在同一直线上时，的最小值为CE长，依据△ △，即可得到最小值等于线段AF的长．【解答】解：在正方形ABCD中，连接CE、PC．点A与点C关于直线BD对称，，的最小值为EC．，F分别为AD，BC的中点，．，∠∠，△ △．．故选D．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形BCDE为平行四边形是解题的关键．先证明四边形BCDE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，，，，，又，，四边形DBCE是平行四边形．若，则，则平行四边形DBCE是矩形．若，则平行四边形DBCE是菱形．若，即∠，则平行四边形DBCE是矩形．若∠，则∠，则平行四边形DBCE是矩形．故选B．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，先根据已知得EF是△的中位线，根据三角形中位线定理求的AC的长，然后根据菱形的面积公式求解．【解答】解：因为E，F分别是AD，CD边上的中点，所以，且，所以．所以菱形．故选A．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．设直角三角形的长直角边为b，短直角边为a，于是得到，根据直角三角形的性质得到∠°，求得于是得到菱形，正方形EFGH面积，即可得到结论．【解答】解：设直角三角形的长直角边的长度为b，短直角边的长度为a，四边形ABCD是菱形，，即，∠，a，S菱形ABCD，又正方形，菱形ABCD面积和正方形EFGH面积的比值为．故选C．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是过E作于点P，于点O，△ △，利用四边形EMCD的面积等于正方形HCOE的面积求解．【解答】解：过点E作，，显然四边形EHCO为正方形，，∠．∠∠，∠∠．∠∠， △ △，．四边形正方形，．，正方形，，正方形正方形重叠部分四边形EMCN的面积为．故选D．11.【答案】【解析】【分析】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中．先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论．【解答】解：四边形ABCD是正方形，，，∠．在△中，为DE的中点，．△的周长为18，，又，，，，，．在△中，，F为DE的中点，为△的中位线，．12.【答案】2【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，锐角三角函数的定义，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键根据菱形的对角线互相垂直平分可得，，再解△，根据∠，求出，那么【解答】解：四边形ABCD是菱形，，∠，又，．故答案是2．13.【答案】或【解析】【分析】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．连接，过作，交AB于点M，CD于点N，作交BC于点P，先利用勾股定理求出，再分两种情况利用勾股定理求出DE【解答】解：作BF平分∠交CD于点F，作于点G，由题意知，，是以A为圆心，AD长为半径的圆弧与BF的交点，易知有两种情况，第一种情况：如图，在△中，，，，作，垂足为H．在△中，易求得，，设，则，，在△中，，即，解得，即，第二种情况：如图，作，垂足为H，同理求得．综上所述，DE的长为或．14.【答案】【解析】【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△ △是解题关键分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△ △，得出对应线段之间关系进而得出答案．【解答】解：是AD的中点，，在▱ABCD中，，，∠∠，，∠∠，∠∠，∠∠，故正确延长EF，交CD的延长线于M，四边形ABCD是平行四边形，，∠∠，∠∠在△和△中，∠∠△ △，，，∠，∠∠，，故正确，△ △ ，，△ △ ，△ △ ，故错误由得∠∠∠，又易证∠∠∠，∠∠∠∠，故正确．15.【答案】7【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，三角形的面积和因式分解法解一元二次方程，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．作于E，设平移的为xcm，根据等腰三角形的性质和矩形的性质求得∠∠，∠∠°，根据勾股定理求出AE与的长，再根据三角形的面积相等列出方程，解方程即可求得平移的距离．【解答】解：作于点E，则．设平移的距离为xcm，在△中，，当四边形为矩形时，∠，在△中，，，所以，整理得，解得，舍去，所以平移的距离为7cm．16.【答案】【解析】【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键根据矩形的性质得出∠∠∠∠°，，，根据折叠得出∠∠，∠∠，，，，根据勾股定理求出，再逐个判断即可．矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，可用勾股定理或三角函数求线段的长矩形的对角线相等且互相平分，故可借助对角线的关系得到全等三角形矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形当已知条件中有一个角为时，应联想到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质．【解答】解：∠∠，∠∠，∠，∠，故正确，，，，设，则，在△中，，，，即，，，，又易知△△，，即，，，若△ △，则，但，故不正确，，△ △ ，△ △，△ △ ，故正确△ △，，，，，，故正确．17.【答案】【解析】【分析】此题主要考查了翻折变换的性质以及解直角三角形，正确表示出CN的长是解题关键．首先延长NF与DC交于点H，进而利用翻折变换的性质得出，再利用边角关系得出BN，CN的长进而得出答案．【解答】解：延长NF与DC交于点H，∠，∠∠，∠∠，∠∠，∠∠，∠∠，∠∠，．在△中，，设，则，，，．∠，则∠，，，，，，．18.【答案】解：证明：连接OC．是的切线，．∠∠．，∠∠．∠∠，∠∠．，∠∠B.∠∠．．．．【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了菱形和正方形的判定．连接OC，如图，利用切线的性质得∠∠°，再利用等腰三角形和互余证明∠∠，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；当∠°时，∠°，证明△和△都为等边三角形，从而得到，则可判断四边形ECFG为菱形；当∠°时，∠°，利用三角形内角和计算出∠°，利用对称得∠°，则∠°，接着证明△ △得到∠∠°，从而证明四边形ECOG为矩形，然后进一步证明四边形ECOG为正方形．19.【答案】证明：为AD的中点，．，．，四边形BCDE为平行四边形．又在△中，E为AD的中点，∠，，为菱形．解：设AC与BE交于点H，如图．，∠∠．平分∠，∠∠，∠∠，，由可知，，， △为等边三角形，∠，，．在△中，∠，．【解析】本题考查菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，°直角三角形的性质．由，，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明即可解决问题；在△中，只要证明∠°，即可解决问题．20.【答案】证明：在△中，∠，D是BC的中点，．，∠∠，是AD的中点，．又∠∠，△ △．证明：由知，四边形ADCF是平行四边形．又，四边形ADCF是菱形．解：解法一：连接DF，，，，四边形ABDF是平行四边形，，．菱形解法二：在△中，，，，设BC边上的高为h，则，，．菱形【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，菱形的面积计算，主要考查了推理能力．根据AAS证△ △；利用中全等三角形的对应边相等得到结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到，从而得出结论；由直角三角形ABC与菱形有相同的高，根据等积变形求出这个高，代入菱形面积公式可求出结论．21.【答案】证明：是AB的垂直平分线，，同理：，在△和△中，∠∠，△ △，；证明：∠∠，∠∠，在△和△中，，△ △，，又∠∠，∠∠，△ △；解：延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，如图所示：则，△ △，∠∠，在△和△中，∠∠，∠∠，∠∠°，∠∠°，，又 △ △，．【解析】本题是相似形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，特别是中，需要通过作辅助线综合运用的结论和三角函数才能得出结果．由线段垂直平分线的性质得出，，由SAS证明△ △，得出对应边相等即可；先证出∠∠，由，证出△ △，得出比例式，再证出∠∠，即可得出△ △；延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则，由△ △，得出∠∠，再求出∠∠°，得出∠∠°，求出，由△ △，即可得出的值．22.【答案】证明：，，△是等腰直角三角形．是AE的中点，，．∠°，∠，∠都与∠互余，∠∠，又，∠∠°，△ △；延长AD，交FC于N，由△ △，得，又∠°，∠∠°．又∠°，∠∠，，，．【解析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，垂线的性质，平行线的判定等；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．23.【答案】解：．，理由如下：如图2中，延长EO交CF于K．∠∠∠°，∠∠°，∠∠°，∠∠，在△和△中，∠∠∠∠△ △，，．，，，∠∠，在△和△中，∠∠∠∠△ △，，，，△是等腰直角三角形，，．的长为或．【解析】【分析】本题考查三角形综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．如图1中，延长EO交CF于首先证明△ △，推出即可解决问题；如图2中，延长EO交CF于由△ △，推出，，由△ △，推出，，推出，可得△是等腰直角三角形，即可解决问题；分两种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：如图1中，延长EO交CF于K．，，，∠∠，在△和△中，∠∠∠∠△ △，，△是直角三角形，．见答案．如图3中，延长EO交CF于作于H．，，，，在△中，∠，∠°，∠°，，，△是等腰三角形，观察图形可知，只有，在△中，，，，．如图4中，当点P在线段OC上时，作于G．同法可得：，，，∠，∠°，，，，△是等腰三角形，，，，．综上所述，OP的长为或．24.【答案】解：，理由如下：如图，过点F作交BA的延长线于点M四边形ABCD是正方形，∠°∠，∠°，四边形AGFM是矩形，，，∠°，∠∠°，∠∠°，∠∠，且∠∠°，， △ △，，，，四边形AGFM是正方形，，理由如下：如图，延长GH交CD于点N，，，，∠∠，∠∠，点H为CF的中点，，△ △，，，，又，，且，．【解析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△ △是本题的关键．过点F作交BA的延长线于点M，可证四边形AGFM是矩形，可得，，由“AAS”可证△ △，可得，，可得；延长GH交CD于点N，由平行线的性质，得出∠∠，∠∠，加之，得出△ △，可得，，即可求，由等腰三角形的性质可得．。

6.2 矩形的性质与判定（2）【自主探究】知识点一：矩形的判定定理矩形的判定定理：几何语言：矩形的判定定理：几何语言：针对训练一1.四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分．若添加下列条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AC＝BD B．∠DAB＝90°C．AB＝AD D．∠ADC+∠ABC＝180°2.四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AC⊥BD3.在四边形ABCD中，有以下四个条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③AC＝BD；④∠ADC＝∠ABC．从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为矩形．则可以选择的条件序号是．4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D点是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线．（1）求∠CFD的度数；（2）求证：四边形FDEC是矩形．5.如图，在△ABC中，BD是AC的垂直平分线．过点D作AB的平行线交BC于点F，过点B作AC的平行线，两平行线相交于点E，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【基础巩固】1.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90°D．BE⊥DC2.已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．（1）求证：OE＝OF；（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．3.如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．【素养提优】如图，已知△OAB中，OA＝OB，分别延长AO、BO到点C、D．使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD、DC、CB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）以OA、OB为一组邻边作▱AOBE，连接CE，若CE⊥BD，求∠AOB的度数．【中考链接】已知：如图，点E为▱ABCD对角线AC上的一点，点F在线段BE的延长线上，且EF＝BE，线段EF与边CD相交于点G．（1）求证：DF∥AC；（2）如果AB＝BE，DG＝CG，联结DE、CF，求证：四边形DECF是矩形．【方法提炼】判定矩形时，首先要明确已知是平行四边形还是四边形，然后选择判定方法.【达标测评】(共10分)（教师寄语：自信源于实力！）总得分:__________1.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA＝OB．（1）求证：▱ABCD是矩形；（2）点E在BA延长线上，且AE＝AB，连接DE，求证：DE＝AC．2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）连接DE，交AB于点O，若BC＝8，AO＝，求的值．。