福建高一上学期期末考试数学试卷5

2023-2024学年第一学期福州市四校教学联盟1月期末学业联考高一数学试卷考试范围：必修一命题教师：审核教师：考试时间：1月3日完卷时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的。

1．集合A={x∣−2<x≤2},B={−2,−1,0,1},则A∩B=A．{−1,1,2}B．{−2,−1,0,1}C．{−1,0,1}D．{−2,−1,0,1,2}2．若a>b>0，c>d，则下列结论正确的是3．函数y=−|ln(x−1)|的图象大致是A．B．C．D．4．命题p：α是第二象限角或第三象限角，命题q：cosα<0，则p是q的A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件A．110%B．120%C．130%D．140%7．命题“对∀x∈[1,2]，ax2−x+a>0”为真命题的一个充分不必要条件可以是8．已知f(x)=ax2−1是定义在R上的函数，若对于任意−3≤x1<x2≤−1，都有f(x1)−f(x2)<2，则实数x1−x2a的取值范围是二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的。

9．下列大小关系正确的是A．20.3<20.4B．30.2<40.2C．log23<log48D．log23>log32 10．设正实数x，y满足x+y=2，则下列说法正确的是A．当k>1，有1个零点B．当k>1时，有3个零点C．当k<0时，有9个零点D．当k=−4时，有7个零点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

13．已知扇形的圆心角是2rad，其周长为6cm，则扇形的面积为cm2．四、解答题：本大题共6小题，满分70分。

除第17小题10分以外，每小题12分。

福建省福州市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本照共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项提符合题目要求的.1．sin120°的值为（）A．B．C．﹣D．﹣2．设集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|x＜﹣1}B．{x|x＜4}C．{x|﹣4＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜3}3．命题“∀x＞0，x2﹣1≤0”的否定是（）A．∃x≤0，x2﹣1＞0B．∀x＞0，x2﹣1＞0C．∃x＞0，x2﹣1＞0D．∀x≤0，x2﹣1＞04．“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知函数f（x）＝，以下关于f（x）的结论正确的是（）A．若f（x）＝2，则x＝0B．f（x）的值域为（﹣∞，4）C．f（x）在（﹣∞，2）上单调递增D．f（x）＜2的解集为（0，1）6．已知函数f（x）＝，则f（x）的大致图像为（）A．B．C．D．7．设a＝0.123，b＝30.4，c＝log0.40.12，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b8．已知函数f（x）＝（x+3）（x﹣e）+（x﹣e）（x﹣π）+（x﹣π）（x+3）的零点x1，x2（x1＜x2），则（）A．x1x2＞0B．＜﹣C．x2﹣x1＜e D．x1+x2＜π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题口算求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列函数是奇函数的是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝x2+xC．f（x）＝D．f（x）＝ln|1+x|10．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x对称，则以下结论一定正确的是（）A．sinα＝﹣cosβB．cosα＝sinβC．cos（α﹣β）＝0D．sin（α+β）＝111．若x，y＞0，且x+2y＝1，则（）A．B．C．D．12．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用．函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）＝f（x+1）﹣f（x）．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x台（x∈N*）的收入函数R（x）＝3000x﹣20x2（单位：元），其成本函数为C（x）＝500x+4000（单位，元），利润是收入与成本之差，设利润函数为P（x），则以下说法正确的是（）A．P（x）取得最大值时每月产量为63台B．边际利润函数的表达式为MP（x）＝2480﹣40x（x∈N*）C．利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值D．边际利润函数MP（x）说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．化简：lg4+lg25＝．14．要在半径OA＝60cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧的长为50πcm，那么圆心角∠AOB＝．（用弧度表示）15．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图像如图所示，BC∥x轴，则ω＝，φ＝．16．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x）＝．①f（x）在R上单调递增；②＝f（0）；③f（0）＞1．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（，）．（1）求cos（α+π）的值；（2）若tanβ＝﹣2，求tan（α﹣β）的值．18．（12分）已知函数f（x）＝（a∈R），且f（1）＝5．（1）求a的值；（2）判断f（x）在区间（0，2）上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．19．（12分）已知函数f（x）＝．（1）求f（x）的最小正周期；（2）将y＝f（x）的图象上的各点______得到y＝g（x）的图象，当x∈时，方程g（x）＝m有解，求实数m的取值范围．在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分．①向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半．②纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位．20．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0，f（x）＝2x+3．（1）求f（x）的〖解析〗式；（2）解不等式f（2x）≥2f（x）．21．（12分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今还在农业生产中得到使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了筒车的工作原理，如图1是一个半径为R（单位：米），有24个盛水筒的筒车，按逆时针方向匀速旋转，转一周需要120秒，为了研究某个盛水筒P离水面高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的变化关系，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy．已知t＝0时P的初始位置为点A（2，﹣2）（此时P装满水）．（1）P从出发到开始倒水入槽需要用时40秒，求此刻P距离水面的高度（结果精确到0.1）；（2）记与P相邻的下一个盛水筒为Q，在筒车旋转一周的过程中，求P与Q距离水面高度差的最大值（结果精确到0.1）．22．（12分）已知函数g（x）＝．（1）证明：g（x﹣2）+g（﹣x）＝2；（2）若存在一个平行四边形的四个顶点都在函数f（x）的图象上，则称函数f（x）具有性质P，判断函数g（x）是否具有性质P，并证明你的结论；（3）设点A（﹣4，0），函数h（x）＝2g（x）.设点B是曲线y＝h（x）上任意一点，求线段AB长度的最小值．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本照共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项提符合题目要求的.1．A〖解析〗sin120°＝sin60°＝，故选：A．2．D〖解析〗∵A＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|x＜3}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜3}．故选：D．3．C〖解析〗由全称命题的否定为特称命题，命题“∀x＞0，x2﹣1≤0”的否定是∃x＞0，x2﹣1＞0．故选：C．4．A〖解析〗根据题意，若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，反之若四边形是平行四边形，则四边形不一定是菱形，故“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的充分不必要条件，故选：A．5．B〖解析〗对于A，若f（x）＝2，则或，解得x＝0或x＝1，故A错误；对于B，当x≤0时，f（x）＝x+2∈（﹣∞，2〗，当0＜x＜2时，f（x）＝2x∈（1，4），故函数的值域为（﹣∞，4），故B正确；对于C，因为f（0）＝f（1），故C错误；对于D，由f（x）＜2，可得或，解得x＜0或0＜x＜1，故f（x）＜2的解集为（﹣∞，0）∪（0，1），故D错误．故选：B．6．B〖解析〗由1+x＞0得x＞﹣1，当x＝0时，f（x）无意义，f（1）＝＜0，排除A，D，当x＝时，f（x）＝＝＝＞0，排除C，故选：B．7．A〖解析〗因为a＝0.123＜1，1＜b＝30.4＜30.5＜2，c＝log0.40.12＞log0.40.16＝2，即a＜b＜c，故选：A．8．D〖解析〗由题意知，f（x）＝3x2+（6﹣2e﹣2π）x+πe﹣3π﹣3e，则函数f（x）图象的对称轴为x＝﹣1，所以函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）上单调递减，又f（﹣3）＝（﹣3﹣e）（﹣3﹣π）＞0，f（0）＝﹣3e+eπ﹣3π＜0，f（e）＝（e﹣π）（e+3）＜0，f（π）＝（π﹣e）（3+π）＞0，所以f（﹣3）f（0）＜0，f（e）f（π）＜0，因为﹣3，0∈（﹣∞，﹣1），e，π∈（﹣1，+∞），所以﹣3＜x1＜0，e＜x2＜π，所以x1x2＜0，故A错误；﹣＜＜，故B错误；x2﹣x1∈（e，3+π），故C错误；x2+x1∈（e﹣3，π），故D正确．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题口算求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．AC〖解析〗A．f（x）＝sin x的定义域为R，f（﹣x）＝sin（﹣x）＝﹣sin x＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，B．f（﹣x）＝x2﹣x≠﹣f（x），则f（x）为非奇非偶函数，C．f（﹣x）＝＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，D．函数的定义域为{x|x≠﹣1}，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，故选：AC．10．BD〖解析〗设P（m，n））为α的终边与单位圆的交点，则β的终边与单位圆的交点Q（n，m），∴sinα＝n，cosα＝m，sinβ＝m，cosβ＝n，故A错误，B正确；cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝mn+mn＝2mn，2mn不一定为0，故C错误；sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝n2+m2＝1，故D正确．故选：BD．11．ABD〖解析〗根据题意，依次分析选项：对于A，若x，y＞0，且x+2y＝1，则x＝1﹣2y，则有xy＝y（1﹣2y）＝≤，当且仅当x＝2y＝时等号成立，A正确；对于B，由柯西不等式，〖（）2+（）2〗（12+12）＝（x+2y）（1+1）＝2≥（+）2，即（+）2≤2，变形可得+≤，B正确；对于C，+＝（+）（x+2y）＝5++≥5+4＝9，当且仅当x＝y＝时等号成立，C错误；对于D，x+2y＝1，则有（x+2y）2＝1，变形可得x2+4y2+4xy＝1，又由x2+4y2≥4xy，则有x2+4y2≥，D正确；故选：ABD．12．BCD〖解析〗对于A，P（x）＝R（x）﹣C（x）＝﹣20x2+2500x﹣4000，二次函数P（x）的图象开口向下，对称轴为直线x＝，∵x∈N*，∴P（x）取得最大值时每月产量为63台或62台，故A错误，对于B，MP（x）＝P（x+1）﹣P（x）＝〖﹣20（x+1）2+2500（x+1）﹣4000〗﹣（﹣20x2+2500x ﹣4000）＝2480﹣40x（x∈N*），故B正确，对于C，P（x）max＝P（62）＝P（63）＝74120，∵函数MP（x）＝2480﹣40x为减函数，则MP（x）max＝MP（1）＝2440，故C正确，对于D，因为函数MP（x）＝2480﹣40x为减函数，说明边际函数MP（x）说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．2〖解析〗lg4+lg25＝lg（4×25）＝lg100＝2．故〖答案〗为：2．14．〖解析〗由题意知，弧长l＝50π，半径R＝60，所以圆心角α＝＝＝．故〖答案〗为：．15．2，〖解析〗因为BC∥x轴，所以f（x）的图象的一条对称轴方程为x＝（+）＝，﹣＝＝×，所以ω＝2．由2×+φ＝π+kπ，k∈Z，且0＜φ＜π，得φ＝．故〖答案〗为2，．16．2x+1（〖答案〗不唯一）〖解析〗根据题意，分析可得f（x）为指数型函数，且底数a＞1，故要求函数可以为f（x）＝2x+1，故〖答案〗为：2x+1（〖答案〗不唯一）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：角α的终边过点P（，）．∴cosα＝，tanα＝＝，（1）cos（α+π）＝﹣cosα＝﹣；（2）tan（α﹣β）＝＝＝﹣2．18．解：（1）因为f（x）＝，所以f（1）＝1+a＝5，所以a＝4；（2）f（x）＝＝x+在（0，2）上单调递减，证明如下：设0＜x1＜x2＜2，所以x1﹣x2＜0，1﹣＜0，则f（x1）﹣f（x2）＝＝＝（x1﹣x2）（1﹣）＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在区间（0，2）上单调递减．19．解：（1）∵函数f（x）＝sin2x+2cos2x+2＝sin2x+2•+2＝sin2x+cos2x+3＝2sin（2x+）+3，故函数的周期为2π．（2）将f（x）＝2sin（2x+）+3的图象按照变换①：向左平移个单位，再保持纵坐标不变，可得y＝2sin（2x++）+3＝2cos2x+3的图象，再横坐标缩小为原来的一半可得g（x）＝2cos4x+3的图象，当x∈〖，〗时，4x∈〖﹣，π〗，cos4x∈〖﹣1，1〗，g（x）∈〖1，5〗，若方程g（x）＝m有解，则m∈〖1，5〗．将f（x）＝2sin（2x+）+3的图象按照变换②：纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，可得y＝2sin（x+）+3的图象，再向右平移个单位，可得g（x）＝2sin x+3的图象．当x∈〖，〗时，sin x∈〖﹣，〗，g（x）∈〖2，+3〗．若方程g（x）＝m有解，则m∈〖2，+3〗．20．解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0，f（x）＝2x+3，设x＜0，则﹣x＞0，∴f（x）＝f（﹣x）＝2﹣x+3．综上，可得f（x）＝．（2）当x≥0时，由不等式f（2x）≥2f（x）可得，22x+3≥2（2x+3），即22x﹣2×2x﹣3≥0，求得2x≥3，或2x≤﹣1（舍去），∴x≥log23．当x＜0时，由不等式f（2x）≥2f（x）可得，2﹣2x+3≥2（2﹣x+3），即2﹣2x﹣2×2﹣x﹣3≥0，求得2﹣x≥3，或2﹣x≤﹣1（舍去），∴x≤﹣log23．综上，不等式的解集为{x|x≥log23或x≤﹣log23 }．21．解：（1）由于筒车转一周需要120秒，所以P从出发到开始倒水入槽的40秒，线段OA按逆时针方向旋转了，因为A点坐标为（2，﹣2），则，以OA为终边的角为，所以P距离水面的高度为≈6.9m．（2）由于筒车转一周需要120秒，可知P转动的角度为，又以OA为终边的角为，则P开始转动t秒后距离水面的高度，0≤t≤120，如图所示，P，Q两个盛水筒分别用点B，C表示，则，点C相对于点B始终落后rad，此时Q距离水面的高度，则P，Q距离水面的高度差H＝|h1﹣h2|＝＝，0≤t≤120，利用sinθ+sinφ＝，可得H＝，当或，解得t＝22.5或t＝82.5，故H最大值为，所以P与Q距离水面高度差的最大值约为1.0m．22．解：（1）g（x﹣2）+g（﹣x）＝log2+log2＝log2〖〗＝log24＝2；（2）由（1）知，g（x）的图象关于点M（﹣1，1）中心对称，取函数g（x）图象上两点C（2，0），D（﹣4，2），显然线段CD的中点恰为点M；再取函数g（x）图象上两点E（，﹣1），F（﹣，3），显然线段EF的中点也恰为点M．因此四边形CEDF的对角线互相平分，所以四边形CEDF为平行四边形，所以函数g（x）具有性质P；（3）h（x）＝2g（x）＝，则B（x0，）（x0＜﹣2或x0＞0），则|AB|2＝|x0+4|2+＝（x0+4）2+＝（x0+4）2+（2﹣）2＝（x0+2）2+4（x0+2）+4+﹣+4，记x0+2＝t（t＜0或t＞2），则|AB|2＝t2+4t+﹣+8＝（t﹣）2+4（t﹣）+16，记t﹣＝u，则|AB|2＝u2+4u+16＝（u+2）2+12，所以，当u＝﹣2，即x0＝﹣3﹣时，|AB|min＝2．。

高一数学（必修第一册）模块试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）班级___________ 座号__________ 姓名__________一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小概给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 已知集合，，则（ ）{}21,S s s n n ==+∈Z {}41,T t t n n ==+∈Z S T Ç=A. B.C.D.∅S T Z 【答案】C 【解析】【分析】分析可得，由此可得出结论.T S ⊆【详解】任取，则，其中，所以，，故， t T ∈()41221t n n =+=⋅+Z n ∈t S ∈T S ⊆因此，. S T T = 故选：C.2. 已知角终边经过点，若，则（ ）θ)P a 3πθ=-=aA.B.C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的定义，列出方程，即可求解.【详解】由题意，角终边经过点，可得，θ)P a OP =又由，根据三角函数的定义，可得且，解得. 3πθ=-1cos 32π⎛⎫-== ⎪⎝⎭a<0a =故选：C.3. 若函数f (x )和g (x )分别由下表给出： x 1 2 3 4 x 1 2 3 4 f (x )2341g (x )2143满足g (f (x ))＝1的x 值是（ ）． A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】从外到内逐步求值． 【详解】解：∵g (f (x ))＝1， ∴f (x )＝2， ∴x ＝1， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数的表示法——列表法，属于基础题． 4. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） 2sin 3y x =π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 π5π5C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度 π15π15【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出． 【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右ππ2sin 32sin 3155y x x ⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭平移个单位长度即可得到函数的图象． π152sin 3y x =故选：D.5. 已知，则的值为（ ） π3ππsin ,,3526αα⎛⎫⎛⎫+=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin αA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先求出，利用差角公式求解答案.πcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】因为，所以，所以ππ,26α⎛⎫∈-⎪⎝⎭πππ,362α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭；π4cos 35α⎛⎫+=== ⎪⎝⎭ππππππsin sin sin cos cos sin 333333αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 314525=⨯-=故选：A.6. 密位制是度量角的一种方法.将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：478密位写成“4-78”，1周角等于6000密位，记作1周角.如果一个扇形的半径为2，面积为，则其圆心角可以用密位制表6000=-73π示为（ ） A. 25-00 B. 35-00C. 42-00D. 70-00【答案】B 【解析】【分析】利用扇形面积公式先求出圆心角，再根据密位制的定义换算即可.【详解】设扇形的圆心角为，则，则，α217223απ⨯=76απ=由题意可知，其密位大小为密位，用密位制表示为35-00.76600035002ππ⨯=故选：B.7. 若函数与在区间上的单调性相同，则称区间为的“稳定区()y f x =()y f x =-[],m n [],m n ()y f x =间”，若区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为（ ）[]1,2023()12xf x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a A. B. C.D.[]2,1--12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,2【答案】B 【解析】【分析】有题意可知，函数与在区间上同增或同减，先分和两()y f x =()y f x =-[]1,20230a ≥a<0种情况讨论，再在中根据同增和同减两种情况对函数进行分析讨论即可.a<0【详解】根据题意，，函数与在区间()12xf x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()122xx f x a a -⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭()y f x =()y f x =-上的单调性相同.[]1,2023当时，在上单调递减，在上单调递增，不符合0a ≥()12xf x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]1,2023()2x f x a -=+[]1,2023题意；当时，，则函数在上a<0()()()221,log 2121,log 2xxxa x a f x a a x a ⎧⎛⎫+<--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫=+=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪--≥-- ⎪⎪⎝⎭⎩()y f x =()()2,log a -∞--单调递减，在上单调递增.())2log ,a --+∞⎡⎣，则函数在上单调递减，在()()()222,log 22,log xxx a x a f x a a x a ⎧+≥-⎪-=+=⎨--<-⎪⎩()y f x =-()()2,log a -∞-上单调递增.())2log ,a -+∞⎡⎣①在上单调递增，则，解得.[]1,2023()()221log 1log a a ⎧-⎪⎨≥--⎪⎩122a -≤≤-②在上单调递减，则，不等式组无解.[]1,2023()()22log 2023log 2023a a ⎧->⎪⎨-->⎪⎩综上所述：.12,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦故选：B.8. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，()f x R (2)2()f x f x +=-(23)f x -(0)0f =，则的值为（）1()123nk f k ==∑n A. 117 B. 118C. 122D. 123【答案】C 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和周期性求解即可.【详解】由解得，即是以4为周期的周期函数，所以(2)()2(4)(2)2f x f x f x f x ++=⎧⎨+++=⎩(4)()f x f x +=()f x ，(4)(0)0f f ==因为为偶函数，所以，当时有(23)f x -()()()()233222f x f x f x f x -=+⇒-=+1x =，()()13f f =又因为，所以， ()()132f f +=()()131f f ==所以，，(2)2(0)2f f =-=(3)2(1)1f f =-=所以，1201()30[(1)(2)(3)(4)]120k f k f f f f ==+++=∑所以即，12012011()(121)(122)()(1)(2)123k k f k f f f k f f ==++=++=∑∑1221()123k f k ==∑故选：C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 对于给定的实数a ，不等式ax 2 +（a -1）x -1 < 0的解集可能是（ ） A. {} B. {x |x ≠-1} C. {x |x< -1} D. R1|1x x a＜＜【答案】B 【解析】【分析】根据因式分解求解不等式并分类讨论即可得解. 【详解】①当时,0a >ax 2 +（a -1）x -1 < 0可以转化为， (1)(1)0ax x -+<所以； 11x a-<<②当时,0a =ax 2 +（a -1）x -1 < 0可以转化为， (1)0x -+<所以； 1x >-③当时,a<0(i),解集为，10a -<<(1)(1)0ax x -+<1(,)(1,)a∞∞-⋃-+(ii),可以转化为，解集为 {x |x ≠-1} 1a =-(1)(1)0ax x -+<2(1)0x -+<(iii),解集为， 1a <-(1)(1)0ax x -+<1(,1)(,)a∞∞--⋃+综上所述，不等式ax 2 +（a -1）x -1 < 0的解集可能是B . 故选：B .10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列说法正确()sin()f x A x ωϕ=+0,0,πA ωϕ>><的是（ ）A. 的图象关于点中心对称 ()f x π,012⎛⎫⎪⎝⎭B. 在区间上单调递增 ()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 的图象关于直线对称 ()f x 2π3x =D. 直线与图象的所有交点的横坐标之和为 1y =π23π()(1212y f x x =-≤≤8π3【答案】BCD 【解析】【分析】先根据图象求出函数的解析式，再结合选项及三角函数的性质进行判断即可. ()f x 【详解】由图可知，周期为，所以，又，故；2A =2π5ππ3124T ⎛⎫-⎝== ⎪⎭2π2T ω==0ω>2ω=所以，()()2sin 2f x x ϕ=+因为经过点，所以，即， ()f x 2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭4π2sin 23ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭4πsin 13ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以，即， 4π3π2π,Z 32k k ϕ+=+∈ππZ 62,k k ϕ=+∈因为，，所以取，；π<ϕZ k ∈0k =π6ϕ=所以. π()2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭对于A ，令，则，A 不正确； π12x =ππsin 20126⎛⎫⨯+=≠ ⎪⎝⎭对于B ，当时，，所以在区间上单调递增， B 正确；ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦πππ2,622x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于C ，时，，所以的图象关于直线对称，C 正确； 2π3x =2ππsin 2136⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭()f x 2π3x =对于D ，令，则， ()1f x =π1sin 262x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为，所以， π23π1212x -≤≤π024π6x ≤+≤所以或或或，解得或或或，ππ266x +=5π613π617π610x =2π3x =3πx =44π3x =所有交点的横坐标之和为，D 正确. 12348π3x x x x +++=故选：BCD.11. 已知x ，y 是正数，且满足，则下列叙述正确的是（ ）221x y +=A.B.C. D.126x y+≥+ln ln 4ln 2x y +≥-2x y ->221tan tan 26x y ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，利用基本不等式“1”的妙用求解最小值；B 选项，先计算出，结合对21216x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭数函数的单调性得到答案；C 选项，由得到，结合得到D 选项，221x y +=12y x =-102x <<2x y ->计算出，结合正切函数在上的单调性得到答案.22211123366x y x ⎛⎫+=-+≥ ⎪⎝⎭ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】A 选项，因为x ，y 是正数，且满足，221x y +=则， ()221212646224y x x x y x y x y y ⎛⎫+=+≥+=+ ⎪⎝+=+++⎭当且仅当，即时，等号成立，A 正确； 24y x x y=x y ==B 选项，，则， 21216x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭1ln ln ln ln 4ln 216x y xy +=≤=-当且仅当时，等号成立，故B 错误； 14x y ==C 选项，因为，所以，221x y +=12y x =-因为为正数，故， ,x y 102x <<则，C 正确；11222222x x y---=>=D 选项，由得到， 12y x =-222222111112232322366x y x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时，等号成立， 13x =故，即，22126x y +≥22126x y ≥-因为，，所以， 10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭10,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭21112,636y ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭因为在上单调递增， tan y z =ππ,22z ⎛⎫∈-⎪⎝⎭故，D 正确. 221tan tan 26x y ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭故选：ACD12. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） ()cos sin f x x x =-A. 的一个周期是B. 在上单调递增 ()f x 2π()f x 3π7π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.D. 方程在上有7个解()f x ()10f x -=[]2π,2π-【答案】BCD 【解析】【分析】根据的值即可判断A ；写出函数在上的解析式，再根据余弦函数的π7π,44f f ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π7π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调性即可判断B ；易得函数为偶函数及当时，函数是以为周期的周期函数，求出()f x 0x ≥()f x 2π函数在的最大值即可判断C ；求出当时，方程的根的个数，再根据函数的奇偶性即[]0,2πx ∈(]0,2πx ∈可判断D .【详解】对于A ，因为，π7π0,44f f ⎛⎫⎛⎫-==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以不是函数的一个周期，故A 错误； 2π()f x 对于B ，当，，3π7π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()πcos sin 4f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭由，可得， 3π7π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π7π,2π44x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以在上单词递增，故B 正确； ()f x 3π7π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦对于C ，因为，所以函数为偶函数， ()()cos sin f x x x f x -=-=()f x 则当时，，0x ≥()cos sin f x x x =-因为， ()()()2πcos 2πsin 2πcos sin f x x x x x +=+-+=-所以当时，函数是以为周期的周期函数， 0x ≥()f x 2π则当时，[]0,2πx ∈，()ππ3π,0,,2π422cos sin ππ3π,,422x x f x x x x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤+∈⋃ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=⎨⎛⎫⎛⎫⎪-∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩当时，， π3π0,,2π22x ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ππ3π7π9π,,44444x ⎡⎤⎡⎤+∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则，则， πcos 4x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦()f x ∈-⎡⎣当时，，π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭ππ5π,444x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则，则， πcos 4x ⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣()f x ⎡∈-⎣综上，()f x ∈-⎡⎣所以，故C 正确； ()f x对于D ，当时，，π3π0,,2π22x ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，得 ()10f x -=πcos 4x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以或， ππ2π44x k +=-+ππ2π44x k +=+所以或， π2π2x k =-+2π,Z x k k =∈又，所以或或，π3π0,,2π22x ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U 0x =3π22π当时，，π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭()π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由，得， ()10f x -=πcos 4x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以或， π3π2π44x k -=+π5π2π44x k -=+所以或， π2πx k =+3π2π,Z 2x k k =+∈又，所以， π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭πx =综上可得当时，方程有3个解，(]0,2πx ∈()10f x -=又函数为偶函数，所以当时，方程有3个解， [)2π,0x ∈-()10f x -=综上所述方程在上有7个解，故D 正确.()10f x -=[]2π,2π-故选：BCD .【点睛】本题考查了三角函数的周期性单调性及最值问题，考查了分类讨论思想三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 写出一个定义域不是R ，但值域是R 的奇函数f (x )=___.【答案】tan x （答案不唯一，合理即可)【解析】【分析】根据所学函数合理构造选择即可.【详解】由正切函数性质可知满足条件，即. (tan f x x =）故答案为：(答案不唯一)tan x14. 已知为第四象限的角，________. θsin cos θθ+=cos 2θ=【解析】【分析】给两边平方先求出,然后利用完全平方公式求出,再利用公式sin cos θθ+=2sin cos θθcos sin θθ-可得结果.22cos 2cos sin θθθ=-【详解】∵，∴， sin cos θθ+=11sin 23θ+=2sin 23θ=-∴， ()25sin cos 1sin 23θθθ-=-=∵为第四象限角，∴，，∴， θsin 0θ<cos 0θ>cos sin θθ-=∴()()cos 2cos sin cos sin θθθθθ=-+=【点睛】此题考查的是同角三角函数的关系和二倍角公式,属于基础题.15. 函数，若命题“”是假命题，则实数a 的取值范围为()22f x ax ax =-[]()0,1,3x f x a ∃∈≤-___________．【答案】 24,7⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】由命题“”是假命题，可得其否定为真命题，再分离参数，即可得解.[]()0,1,3x f x a ∃∈≤-【详解】因为命题“”是假命题，[]()0,1,3x f x a ∃∈≤-所以命题“”是真命题，[]()0,1,3x f x a ∀∈>-即在上恒成立， ()2213a x x -+>[]0,1x ∈因为当时，， []0,1x ∈2721,28x x ⎡⎤+∈⎢⎣-⎥⎦所以在上恒成立， 2321a x x >-+[]0,1x ∈而， 2max 332472178x x ⎛⎫== ⎪-+⎝⎭所以， 247a >所以实数a 的取值范围为. 24,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故答案为：. 24,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16. 设，函数，若函数在区间内恰有6个零R a ∈()()()22tan 2π,249,x a x a f x x a x a x a⎧⎡⎤-≤⎪⎣⎦=⎨-+++>⎪⎩()f x ()0,∞+点，则a 的取值范围是_______．【答案】 395,2,242⎛⎤⎡⎤⋃⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】由题意，分别求出当时，零点分别为0个，1个，2个时，x a >()()22249f x x a x a -++=+的范围，再分别求出当时，零点分别为4个，5个，6个时，的范围，a (]0,x a ∈()()tan 2πf x x a =-⎡⎤⎣⎦a从而可得出答案.【详解】因为函数在区间内恰有6个零点，且二次函数最多2个零点，()f x ()0,∞+所以当时，函数至少有4个零点，则，x a ≤()f x 0a >①当时，， x a >()()22249f x x a x a -++=+，22416163641620a a a a ∆=++--=-当，即时，无零点， Δ0<54a <()()22249f x x a x a -++=+当，即时，有1个零点， Δ0=54a =()()22249f x x a x a -++=+当时，， 54a >()()2224949f a a a a a a =-+++=-+函数的对称轴为， ()()22249f x x a x a -++=+2x a =+则在对称轴的左边，x a =当，即时，有2个零点， 490a -+>5944a <<()()22249f x x a x a -++=+当，即时，有1个零点， 490a -+≤94a ≥()()22249f x x a x a -++=+综上所述，当时，无零点， 54a <()()22249f x x a x a -++=+当或时，有1个零点， 54a =94a ≥()()22249f x x a x a -++=+当时，有2个零点， 5944a <<()()22249f x x a x a -++=+②当时，， (]0,x a ∈()()tan 2πf x x a =-⎡⎤⎣⎦因为，所以，(]0,x a ∈()(]2π2π,0x a a -∈-当，即时，有4个零点， 4π2π3πa -≤-<-322a <≤()()tan 2πf x x a =-⎡⎤⎣⎦当，即时，有5个零点， 5π2π4πa -≤-<-522a <≤()()tan 2πf x x a =-⎡⎤⎣⎦当，即时，有6个零点， 6π2π5πa -≤-<-532a <≤()()tan 2πf x x a =-⎡⎤⎣⎦由①②可得，要使函数在区间内恰有6个零点，()f x ()0,∞+则或或，解得或， 53254a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<⎪⎩5225944a a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪=≥⎪⎩或3225944a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩9542a ≤≤322a <≤所以a 的取值范围是. 395,2,242⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦故答案为：. 395,2,242⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【点睛】本题考查了根据零点的个数求参数的范围，考查了正切函数和二次函数的性质，考查了分类讨论思想，综合性较强，属于难题.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知集合，集合，定义集合6{|211}x A x x -=<-()222{|10}B x x a x a a =-+++<{|A B x x A -=∈且}x B ∉（1）若，求．2a =A B -（2）若，求a 的取值范围．A B A -=【答案】（1）(][)1,23,5⋃（2）(][),05,-∞+∞ 【解析】【分析】（1）化简A 、B ，根据定义求即可；A B -（2）由得，列不等式组求解即可. A B A -=A B ⋂=∅【小问1详解】， ()()()()261265{|1}{|0}{|0}{|510}1,5111x x x x A x x x x x x x x x -----=<=<=<=--<=---.()()()()2221{|{|10}10},B x x a x a a x x a x a a a éù=-+++<=-+-<=+ëû由，则，故.2a =()2,3B =(][)1,23,5A B -= 【小问2详解】由得，即有或，故.A B A -=A B ⋂=∅11a +≤5a ≥(][),05,a ∞∞∈-⋃+故a 的取值范围为.(][),05,-∞+∞ 18. 已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与()()cos f x A x ωϕ=+0A >0ω>π2ϕ<π,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭点最近的一个最低点的坐标为． P 7,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭-（1）求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图；()f x （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小()f x ()0m m >()y g x =m 值．【答案】（1），图象见解析； ()π2cos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（2） 5π12【解析】【分析】（1）由最低点的坐标得出，由周期求出，利用五点作图法得出，求出函数的解析式，A ωϕ()f x 进而画出图象；（2）通过平移得出的解析式，利用函数为偶函数列方程求出的最小值．()y g x =m 【小问1详解】由题意可得，，且周期，则， 2A =7ππ4π123T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2π2T ω==()()2cos 2f x x ϕ=+又，解得，，，()7π2π2πZ 12k k ϕ⨯+=+∈()π2πZ 6k k ϕ=-+∈π2ϕ< π6ϕ∴=- ()π2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【小问2详解】， ()()ππ2cos 22cos 2266y g x x m x m ⎡⎤⎛⎫==--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭函数是偶函数，则，解得 ()y g x =()π2πZ 6m k k --=∈()ππZ 212k m k -=-∈又，则当时，的最小值为． 0m >1k =-m 5π1219. 已知函数 ()1lg 1x f x x -+＝（1）判断函数的单调性并用定义法加以证明()y f x ＝（2）求不等式的解集()()()lg 30f f x f +＞【答案】（1）减函数;证明见解析；（2） 19,211⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）用单调性的定义证明即可；（2）结合奇偶性与单调性求解，注意函数定义域的作用.【小问1详解】为减函数.()y f x ＝证明如下: 的定义域为，()y f x ＝()1,1-任取两个实数，且，12x x ，1211x x -<<<， ()()21212111lg lg 11x x f x f x x x ---=-++()()()()212111lg 11x x x x -+=+-()()()()21211111x x x x -+-+- ()()2112211211x x x x x x x x =----++-，()1220x x =-<，()()()()2121110,110x x x x -+>+-> ， ()()()()212111111x x x x -+∴<+-， ()()()()212111lg011x x x x -+∴<+-，()()21f x f x ∴<所以在上为单调减函数.()y f x ＝()1,1-【小问2详解】对，， ()1,1x ∀∈-11()lglg ()11x x f x f x x x +--==-=--+故函数为奇函数，()y f x ＝由可得，()()()lg 30f f x f +＞()()()()lg 3lg 3f f x f f -=-＞由（1）知在上为单调减函数，()y f x ＝()1,1-， 1()1,()lg 3f x f x -<<⎧∴⎨<-⎩11lg 11,11lg lg 13x x x x -⎧-<<⎪⎪+∴⎨-⎪<⎪+⎩111lg lg 13x x -∴-<<+解可得， 111,1013x x -∴<<+19211x <<故不等式的解集为. 19,211⎛⎫⎪⎝⎭20. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上升，可以俯瞰四周景色，某摩天轮最高点距离地面的高度为110m ，最低点距离地面10m ，已知摩天轮共有40个座舱，开动后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，转动一周的时间大约为20min ．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转完一周后下舱．（1）当游客距离地面高度不低于85m 时，可以看到游乐园全貌，问在游客乘坐摩天轮旋转一周的过程中，有多少分钟可以看到游乐园全貌？（2）当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，何时二人距离地面的的高度相等？【答案】（1）203（2） 41min 4【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出旋转角速度，得到距离地面的高度距离关于时间的函数关系式，解不等式求出，得到答案； 204033t ≤≤（2）设游客甲坐上座舱开始转动后，甲乙距离地面的高度分别为m 和m ，从而求出和min t 1H 2H 1H 2H 关于时间的解析式，解方程，得到时二人距离地面的的高度相等. 41min 4【小问1详解】以摩天轮轴心为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设座舱距离地面最近的位置为点P ，游客坐上座舱开始转动后距离地面的高度为， min t m H当时，游客位于点，以为终边的角为， 0min t =()0,50P -OP π2-因为摩天轮半径，旋转角速度为， 1101050m 2r -==2ππ2010ω==()/min rad 所以，， ππ50sin 60102H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭020t ≤≤当，即，， ππ50sin 6085102H t ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭ππ1sin 1022t ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭π1cos 102t ≤-解得：，解得：， 2ππ4π3103t ≤≤204033t ≤≤因为min ， 402020333-=故摩天轮旋转一周的过程中，有分钟可以看到游乐园全貌 203【小问2详解】设游客甲坐上座舱开始转动后，甲乙距离地面的高度分别为m 和m ，min t 1H 2H ，， 1ππ50sin 60102H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭020t ≤≤因为摩天轮共有40个座舱，故相邻两个座舱之间的圆心角为， 2ππ4020=故，， 2ππππ11π50sin 6050sin 60102201020H t t ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭020t ≤≤因为，所以， 12H H =πππ11πsin sin 1021020t t ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，解得：， 020t ≤≤πππ11ππ1021020t t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭41min 4t =所以当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，时二人距离地面的的高度相等. 41min 421. 已知函数，，且满足，恒()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝4π()2sin 133g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,π[]0x ∀∈()()0f x g x ⋅≤成立． （1）求解的零点以及的函数解析式．()g x ()f x （2）求函数在区间上最大值与最小值之差的取值范围． ()f x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】（1）零点为或 ，；解析式为; 3π3π82k x =+7π3π82k x =+Z k ∈()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）.【解析】【分析】（1）令得的零点，根据的图象可知的图象经过，()0g x =()g x ()g x ()f x 3π7π0088A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，求得的值； ω（2）若的对称轴在区间内，当满足时最大值与最小值之差最小；若当()f x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦π()4f t f t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的对称轴不在区间内，直接求的最大值即可. ()f x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦π()4f t f t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭【小问1详解】令得，， 4π()2sin 1033g x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭4π1sin 332x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以或 ，， 4ππ2π336x k -=+4π5π2π336x k -=+Z k ∈解得或 ，， 3π3π82k x =+7π3π82k x =+Z k ∈的图象恒过定点， ()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛ ⎝当时，令得或 ， [0,π]x ∈4π()2sin 1033g x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭3π8x =7π8x =当时，；当时；当时，， 3π0,8[x ∈()0g x ≤3π7π,88[]x ∈()0g x ≥7π[],π8x ∈()0g x ≤故的图象如图所示： 4π()2sin 133g x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭故依条件可知当且仅当函数的图象经过 时满足条件 ()f x 3π7π,0,,088A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()0f x g x ⋅≤此时最小正周期为，所以或， ()f x 7π3π2π2(88ω-=2ω=2ω=-当时，，故， 2ω=-()3πππsin 2sin 0842f x ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ω=下面验证当时满足，此时， 2ω=()()0f x g x ⋅≤()πsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭当时，，，，故成立； 3π0,8[x ∈ππ2[,π]44x +∈()0f x ≥()0g x ≤()()0f x g x ⋅≤当时，，，，故成立； 3π7π,88[x ∈π2[π,2π]4x +∈()0f x ≤()0g x ≥()()0f x g x ⋅≤当时，，，，故成立， 7π[],π8x ∈ππ2[2π,2π44x +∈+()0f x ≥()0g x ≤()()0f x g x ⋅≤所以的函数解析式. ()f x ()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【小问2详解】区间的长度为，函数的周期为， π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦π4()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π若的对称轴在区间内， ()f x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦不妨设对称轴在内，最大值为1， π8x =π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦当即时，函数在区间上的最大值与最小值之差取得π()4f t f t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π(0)4f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()f x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦最小值为；其它的对称轴在内时结果同上. 1=π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦若的对称轴不在区间内，则在区间内单调，在两端点处取得最大值与最小()f x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()f x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦值，则最大值与最小值之差为：ππππ()sin 2sin 24244f t f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()ππcos 2sin 22244t t t t ⎛⎫⎛⎛=+-+-≤ ⎪ ⎝⎭⎝⎝故函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为. ()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦22. 设函数和的定义域分别为和，若对，都存在个不同的实数()f x ()g x 1D 2D 01x D ∀∈n ，使（其中，），则称为的“重1232,,,,n x x x x D ∈L ()()0i g x f x =1,2,3,,i n = *n ∈N ()g x ()f x n 覆盖函数”．（1）试判断是否为的“4重覆盖函数”？并说明理()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()02πx ≤≤()12x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由；（2）已知函数为的“2重覆盖函数”，求实数()()2223121log ,1ax a x x g x x x ⎧+-+-≤≤=⎨>⎩，()222log 21x x f x +=+的取值范围. a 【答案】（1）答案见解析；（2）. 2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）作出在上的图象，求出函数的值域为，结合图象，即可2sin y x =π11π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x [)1,0-得出判断； （2）求出的值域为.易知，时，显然对任意，有1个实()222log 21x x f x +=+()0,11x >01k <<()g x k =根.然后根据在有且只有一个实根，结合二次函数的性质，即可得出实数的取值范围.()g x k =[]2,1-a 【小问1详解】因为，所以. 02x π≤≤ππ11π2333x -≤-≤作出在上的图象如下图， 2sin y x =π11π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当时，为单调递增函数，则， 0x ≥()12x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()10f x -≤<又为偶函数，所以函数的值域为. ()12x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x [)1,0-由图象可知，当时，函数与在上的图象恒有4个交点， 10t -≤<y t =2sin y x =π11π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦根据定义可得，是的“4重覆盖函数”. ()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()02πx ≤≤()12x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【小问2详解】可得的定义域为， 22221()log log (1)2121x x x f x +==+++R 即对任意，存在2个不同的实数，使得（其中）. 0x ∈R [)12,2,x x ∈-+∞0()()i g x f x =1,2i =因为，所以，所以，则，所以， x ∈R 20x >211x +>10121x <<+111221x <+<+所以. ()222()log 0,121x x f x ++=∈即， ()00121()()log (1)0,121i x g x f x ==+∈+即对任意，有2个实根.01k <<()g x k =当时，，则在上必有一个根，1x >2()log 0g x x =>()g x k =()1,+∞故只需时，仅有1个根.1x ≤()g x k =当时，，0a =()31g x x =-+因为，所以，即，根据一次函数的性质知，在21x -≤≤2317x -≤-+≤()27g x -≤≤()g x k =仅有1个根，符合题意；[]2,1-当时，. 0a >()()2231g ax x a x =+-+因为，要使在仅有1个根，则需满足()()2231724g a a =-+--=()g x k =[]2,1-，解得； (1)231320g a a a =+-+=-≤203a <≤当时，，图象为抛物线开口向下.a<0()()2231g ax x a x =+-+因为，要使在仅有1个根，则需满足， ()27g -=()g x k =[]2,1-(1)320g a =-≤解得，所以满足． 23a ≤a<0综上，实数a 的取值范围是． 2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】关键点点睛：小问2中，根据“重覆盖函数”的概念，对任意，存在2个不同的实数20x ∈R ，使得（其中）.进而根据分段函数可推得，任意，[)12,2,x x ∈-+∞0()()i g x f x =1,2i =01k <<在上仅有1个实根.()g x k =[]2,1-。

一、单选题1．已知A ＝{－1，0，1，3，5}，B ＝{x |2x －3＜0}，（ ） R A B = ðA ．{0，1} B ．{－1，1，3}C ．{－1，0，1}D ．{3，5}【答案】D【分析】求出集合B ，然后求出即可 R A B ⋂ð【详解】因为 32302x x -<⇒<所以 R 3|2B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭ð所以 R {3,5}A B = ð故选：D. 2．函数的零点所在区间是（ ） ()26log f x x x=-A ． B ． C ． D ． ()01，()12，()34，()4+∞，【答案】C【分析】先判断出函数的单调性，然后得出的函数符号，从而得出答案 ()()3,4f f 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 6y x=()0,+∞2log y x =()0,+∞所以函数在上单调递减， ()26log f x x x=-()0,+∞又， ()()22243132log 3log 0,4log 40322f f =-=>=-=-<所以由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点， 故选：C3．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．B ． 1()|1|f x x =-1()1f x x =-C ．D ． 21()1f x x =-21()1f x x =+【答案】B【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A 、D ，再根据不成立排除选项C ，即可得()01f =-正确选项.【详解】由图知的定义域为，排除选项A 、D ， ()f x {}|1x x ≠±又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C ， 0x =()01f =-()01f =故选：B.4．已知 ）20.30.3,2,a b c ===A ． b<c<a B ． b a c <<C ． c<a<b D ． a b c <<【答案】D【分析】根据指数函数的单调性求出，，又进而可得结果. 01a <<12b <<2>c 【详解】根据指数函数的单调性知，即；200.30.31a =<=01a <<，即；00.31222b <=<12b <<根据对数函数的单调性知，故，22c =>=2>c 所以. a b c <<故选：D5．若，则（ ） π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭5π2πsin cos 63αα⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A ．0B ．C D 23【答案】B【分析】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可. 【详解】依题意，令，则，，π6t α+=1sin 3t =5ππππ66t αα⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭2ππππ3262t αα+=++=+，所以. ()5π2ππ2sin cos sin πcos sin sin 2sin 6323t t t t t αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=--+=+== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B.6．已知函数（且）的图象恒过定点，若点的坐标满足关于，的方()31x f x a -=+0a >1a ≠A A x y 程，则的最小值为（ ） ()40,0mx ny m n +=>>23m n+A ．4 B ．6C ．12D ．24【答案】B【分析】根据函数的图象横过定点得到，然后代入方程得到，最()31x f x a -=+A ()3,2A 324m n +=后利用基本不等式求最值即可.【详解】函数的图象横过定点，所以，将点代入方程可得，所()31x f x a -=+A ()3,2A A 324m n +=以， ()2312314913266126444n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当，即，时等号成立. 49n mm n =23m =1n =故选：B.7．已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围为（ ）()lg(3)(1)f x ax a =--≠(0,4]a A ．B ．C ．D ．30,4⎛⎫⎪⎝⎭30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦(0,1)(1,)+∞【答案】A【分析】由时,恒成立,可得,设,只需函数是减(]0,4x ∈30ax ->3033404a a >⎧⇒<⎨->⎩3t ax =-3t ax =-函数即可得结果.【详解】因为时,恒成立,(]0,4x ∈30ax ->所以, 3033404a a >⎧⇒<⎨->⎩设,3t ax =-因为函数是增函数,所以要使在上是增函数, lg y t =()f x (]0,4则需函数是减函数,可得, 3t ax =-0a >所以, 304a <<实数的取值范围为.a 30,4⎛⎫⎪⎝⎭故选:A.8．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则R ()f x ()()2f x f x -=01x <≤()2xf x =（ ）()21log 2022f +=A ． B ． C ．D ．10111024-10241011-1011102410241011【答案】B【分析】推导出函数是周期函数，且周期为，利用对数的运算性质结合函数的周期性可求()f x 4得的值.()21log 2022f +【详解】因为，所以，，且， 101121024202222048=<<=2111log 202212<+<2011log 20221<-<由题意可得，所以，， ()()()22f x f x f x =-=--()()()42f x f x f x +=-+=故函数为周期函数，且周期为，()f x 4所以， ()()()211log 20222221log 2022log 20221111log 20222f f f -+=-=--=-. 112102420221011=-=-故选：B.二、多选题9．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则下列各式的值一xOy αOx (1,)(0)P m m ->定为负的是（ ） A ． B ． sin cos αα+sin cos αα-C ． D ．sin cos ααsin tan αα【答案】CD【分析】首先确定在第二象限，得到，即得解. αsin 0,cos 0,tan 0ααα><<【详解】解：因为角终边经过点，所以在第二象限， α(1,)(0)P m m ->α所以，sin 0,cos 0,tan 0ααα><<如果，所以，所以选项A 不满足题意；23απ=1sin cos 02αα=>+；；，故CD 正确. sin cos 0αα->sin cos 0αα<sin 0tan αα<故选：CD10．已知命题：，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中p R x ∀∈240x ax ++>p 的（ ）A ．B ． []1,1a ∈-()4,4a ∈-C ．D ．[]4,4a ∈-{}0a ∈【答案】AD【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分不必要条件与集合的关系进行求解即可. 【详解】若命题:，成立，则，解得，p R x ∀∈240x ax ++>2160a ∆=-<44a -<<故命题成立的充分不必要条件是属于的真子集，因此选项AD 符合要求，故AD 正确. p a ()4,4-故选：AD.11．已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函D ()f x x D ∈M ()f x M ≤数是定义域为上的“有界函数”.则下列函数中，其中“有界函数”是（ ） ()f x DA ．B ．C ．D ．()2022f x x=-()f x =()220222f x x =+()320221f x x =-【答案】BC【分析】由题意可知有界函数的值域是不可能取到无穷大的，所以只要值域没取到无穷大的函数都是“有界函数”，每个选项依次判断即可.【详解】选项A ：显然，，对任意，不存在正数，使得，0x ≠()0f x ≠{}0x x x ∈≠M ()f x M ≤故 不是“有界函数”； ()2022f x x=-选项B ：显然，，所以对任意，存在正x ≤≤()0f x ≤≤x ⎡∈⎣数，都有成立，故是“有界函数”；M ()f x M ≤()f x =选项C ：显然,，所以对任意，存在正数，都有成立，故x R ∈()01011f x <≤x R ∈M ()f x M ≤是“有界函数”； ()220222f x x =+选项D ：显然，，所以对任意，不存在正数，使得，故x R ∈()f x R ∈x R ∈M ()f x M ≤不是“有界函数”. ()320221f x x =-故选：BC12．关于函数的性质的描述，正确的是（ ）()22log 1()|1|1x x f x x -=--A ．的定义域为 B ．有一个零点 ()f x (1,0)(0,1)- ()f x C ．的图像关于原点对称 D ．的值域为()f x ()f x (,0)-∞【答案】AC【分析】对于A ：由得出定义域；对于B ：由，便可求出零点；对于C ：先2110,10,x x ⎧--≠⎨->⎩()=0f x 化简，再根据判断函数奇偶性的定义进行判断；对于D ：由奇偶性以及对数函数的单调性求值域. 【详解】对于A ：由题意可知，函数有意义，则满足, 22log (1)()11x x f x x -=--2110,10,x x ⎧--≠⎨->⎩解得 ，且，即函数的定义域为，所以选项A 正确； 11x -<<0x ≠()f x ()()1,00,1-U 对于B ：因为的定义域为，所以()f x ()()1,00,1-U 22log (1)()11x x f x x -=--，由得，解得（舍），22log (1)=x x x--()=0f x 22log (1)0x -=0x =即没有零点，所以选项B 不正确；()f x 对于C ：由上可知，则满足，22log (1)()x x f x x-=-()()f x f x -=-所以函数为奇函数，则图像关于原点对称，所以选项C 正确； ()f x 对于D ：当时，，所以()0,1x ∈()210,1x -∈22log (1)()x x f x x-=-，又由函数为奇函数，可得的值域为，所以选项()22=log (1),0x -∈-∞()f x ()f x (),0(0,)-∞⋃+∞D 不正确. 故选：AC三、填空题13．已知偶函数在区间单调递增，则满足的x 取值范围是______.()f x [)0,∞+()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭【答案】1233x <<【解析】利用偶函数可得图象关于轴对称，结合单调性把转化为求解.y ()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭1213x -<【详解】是偶函数，，()f x ()()f x f x ∴=∴不等式等价为，()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭在区间单调递增，()f x [)0,∞+，解得. 1213x ∴-<1233x <<故答案为：.1233x <<【点睛】本题主要考查利用函数的性质求解抽象不等式，抽象不等式一般是利用单调性转化为具体不等式求解，侧重考查数学抽象的核心素养.14．已知函数和的图象完全相同，若，()()3sin 06f x x ωωπ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()()3cos 2g x x ϕ=+0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则的取值范围是______.()f x 【答案】3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用诱导公式将正弦型函数化余弦型求出，再利用正弦函数的图象即可求出值域.ω【详解】解：因为，()23sin 3cos 3cos 6263f x x x x ωωωπ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，则.2ω=()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为，0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦所以， 52666x πππ-≤-≤所以， 1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭所以. ()332f x -≤≤故答案为：.3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．已知函数.若存在2个零点，则的取值范围是e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++()g x a __________ 【答案】[)1,-+∞【分析】由有两个零点，得与的图像有两个交点，再用数形结合的方法求()g x ()y f x =y x a =--出的取值范围.a 【详解】解：画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移()f x x y e =y x =-动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解， ()f x x a =--也就是函数有两个零点，此时满足，即，()g x 1a -≤1a ≥-故答案为：.[)1,-+∞【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的解等知识，考查数学运算能力，可用数形结合的方式求解，属于基础题型.16．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足()24222x ax x f x x x -⎧+≥⎪=⎨⎪<⎩[)12,x ∈+∞()2,2x ∈-∞，则实数的取值范围是______．()()21f x f x =a 【答案】04a ≤<【分析】由题意可得函数在[2，＋∞）时的值域包含于函数在（−∞，2）时的值域，利用()f x ()f x 基本不等式先求出函数在x ∈[2，＋∞）时的值域，当x ∈（−∞，2）时，对a 分情况讨论，分()f x 别利用函数的单调性求出值域，从而求出a 的取值范围．【详解】解：设函数的值域为，函数的值域为，()24,2x g x x x+=≥A ()2,2x ah x x -=<B 因为对任意的，都存在唯一的，满足， [)12,x ∈+∞()2,2x ∈-∞()()21f x f x =则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个.A B ⊆B A 当时，， [)12,x ∈+∞()244x g x x x x+==+因为，当且仅当，即时，等号成立，44x x +≥=4x x =2x =所以， [)4,A =+∞当时，()2,2x ∈-∞()2,2x ah x x -=<①当时，，此时，2a ≥()2,2a xh x x -=<()22,a B -=+∞，解得，224a -∴<24a ≤<②当时，，2a <()2,2,2a x x a x ah x a x --⎧<=⎨≤<⎩此时在上是减函数，取值范围是，()h x (),a -∞()1,+∞在上是增函数，取值范围是，()h x [),2a )21,2a-⎡⎣，解得，224a -∴≤02a ≤<综合得. 04a ≤<故答案为：04a ≤<【点睛】关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.四、解答题 17．化简求值：(1)21324330.250.53π)0.0648---⎛⎫⨯--+ ⎪⎝⎭(2)．2log 31431lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++【答案】(1)； 7318(2)4.【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得； （2）根据对数的运算法则及换底公式计算可得；【详解】（1）213240330.250.53π)0.0648---⎛⎫⨯--+ ⎪⎝⎭212433331132124225---⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；45731129218=--++=（2）2log 31431lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++2221221log 322233312log 3lg 5lg 2log 3log 2ln e 22=++-⨯++ 323314log 3lg 5lg 2log 33log 222=++-⨯++()32314lg 52log 33log 222=+⨯-⨯++.41324=+-+=18．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，且. αx ()1,1P m --cos α=(1)求实数的值；m (2)若，求的值.0m >()()sin 3tan 2cos cos 2ππααπαπα⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【答案】(1)或 1m=3m =-【分析】（1）利用三角函数的定义可求的值. m （2）利用诱导公式可求三角函数式的值.【详解】（1）由题意可得 1,1,x y m r ==--=所以， cos α=2(1)4m +=解得或.1m =3m =-（2）因为，所以由（1）可得，0m >1m=所以 cos αα=所以()()()cos sin 3tan sin 12sin cos sin sin cos cos 2παπααααπααααπα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭==-=--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭19．设函数，图象的一个对称中心是.()()sin 2)π(0f x x ϕϕ=+-<<()y f x =π(0)8,（1）求；ϕ（2）求函数的单调增区间.()y f x =【答案】（1）；（2）单调增区间为：，.4π-3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k z ∈【分析】（1）将代入解析式，再根据，即可求得；π,08⎛⎫⎪⎝⎭π0ϕ-<<（2）由（1）得到，令，，解出x 写成区间形式即πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πππ2π22π242k x k -≤-≤+Z k ∈可.【详解】（1）因为是函数的图象的对称中心，π,08⎛⎫⎪⎝⎭()y f x =所以，则，所以πsin 208ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭ππ(Z)4k k ϕ+=∈ππ(Z)4k k ϕ=-∈所以，则，π0ϕ-<<π4ϕ=-（2）由（1），令，，πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πππ2π22π242k x k -≤-≤+Z k ∈即：，，π3πππ88k x k -≤≤+Z k ∈所以函数的单调增区间为：.πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()π3ππ,πZ 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦20．每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位301log lg 2100xv x =-km/min 数，常数x 0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（结果保留到整数位.参考数据：lg5≈0.70，31.4≈4.66）(1)若x 0=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.(2)若雄鸟的飞行速度为1.3，雌鸟的飞行速度为0.8，那么此时雄鸟每分钟的耗氧km/min km/min 量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍. 【答案】(1)466个单位 (2)3倍【分析】（1）将，代入函数解析式，求出的值即可答案；（2）设出雄鸟每分钟的耗05x =0v =x 氧量和雌鸟每分钟耗氧量，得到方程组，两式相减后得到，得到答案.123x x =【详解】（1）将，代入函数，得：， 05x =0v =301log lg 2100x v x =-31log lg502100x-=因为，所以，所以，所以. lg 50.70≈3log 2lg 5 1.40100x =≈ 1.403 4.66100x=≈466x =答：候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位.（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟耗氧量为，由题意可得：1x 2x 13023011.3log 210010.8log 2100x lgx x lgx ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩两式相减可得：，所以，即，13211log 22x x =132log 1x x =123x x =答：此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.21．已知函数．()e e x x f x -=+(1)当时，试判断单调性并加以证明．[0,)x ∈+∞()f x (2)若存在，使得成立，求实数m 的取值范围． [ln 2,ln 3]x ∈-(2)()30f x mf x -+≥（提示：（其中且）） ()2222x x x x a a a a --+=+-0a >1a ≠【答案】(1)见解析 (2)109,30m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）由定义结合指数的运算求解即可； （2）由的奇偶性以及单调性得出，()f x 102()3f x ≤≤(2)()3f x mf x -+()()2e e e 1e x x x x m --=+-++，令，得出，由对勾函数的单调性得出的最大值，进而得出实数m 的取值e e x x t -=+1m t t≤+1t t +范围．【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下： ()e e x x f x -=+[0,)+∞任取，且，则12,[0,)x x ∈+∞12x x < ()()()()121222112121121221e e e e e 1e eee e e e e e x x x x x x x x x x x x x x x xf x f x +--+⎛⎫---=+-+=-+=- ⎝⋅⎪⎭由得，，，即. 12,[0,)x x ∈+∞21e e 0x x ->21e 10x x +->()()21f x f x >即函数在上单调递增.()e e x x f x -=+[0,)+∞（2），即为偶函数.()()e e e e ()x x x x f x f x -----=+=+=()f x 由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增. ()f x []ln 2,0-[]0,ln 3又，，所以. 510(ln 2)(ln 3)23f f -=<=()02f =102()3f x ≤≤()()()()222(2)()3e e 3e e 1e e e e x x x x x x x x f x mf x m m -----+=+-++=+-++令，则存在，使得成立，即成立.e e xxt -=+10 2,3t ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦210t mt -+≥211t m t t t +≤=+令，由对勾函数的单调性可知，在上单调递增.1()g t t t =+()g t 102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦故，所以. max 10109()330g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭max 109(), ,30m g t m ⎛⎤≤∈-∞ ⎥⎝⎦22．已知函数.()()9log 91xf x x =++(1)若对于任意恒成立，求的取值范围； ()()20f x x a -+>x a (2)若函数，，是否存在实数，使得的最小值为0?若存()()9231f x xx g x m -=+⋅+[]90,log 8x ∈m ()g x 在，求出的值，若不存在，请说明理由. m 【答案】(1) (],0-∞(2)存在，m =【分析】（1）利用分离参数法得到对于任意恒成立，令，()9log 91x a x <+-x ()()9log 91xh x x =+-利用对数的图像与性质即可求得；（2）先整理得到，()9232x xg x m =+⋅+令， ，研究函数，，根据二次函数3x t =t ⎡∈⎣()()222222p t t mt t m m =++=++-t ⎡∈⎣的单调性对m 进行分类讨论，即可求出m .【详解】（1）由题意可知，对于任意恒成立()()20f x x a -+>x 代入可得所以对于任意恒成立()9log 910x x a +-->()9log 91xa x <+-x 令()()()99999911log 91log 91log 9log log 199x xxxx x h x x +⎛⎫=+-=+-==+ ⎪⎝⎭因为，所以由对数的图像与性质可得：，所以.1119x +>91log 109x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭0a ≤即实数a 的范围为. (],0-∞（2）由，，且()()9231f x xx g x m -=+⋅+[]90,log 8x ∈()()9log 91x f x x =++代入化简可得.()9232x xg x m =+⋅+令，因为，所以3x t =[]90,log 8x ∈t ⎡∈⎣则，()()222222p t t mt t m m =++=++-t ⎡∈⎣①当，即时，在上为增函数，1m -≤1m ≥-()p t ⎡⎣所以，解得，不合题意，舍去()()min 1230p t p m ==+=32m =-②当时，在上为减函数，在上为增函数，1m <-<1m -<<-()p t []1,m -()p t ,m ⎡-⎣所以，解得()()2min 20p t p m m =-=-=m =m =③当，即在上为减函数，m ≤-m ≤-()p t ⎡⎣所以解得不合题意，舍去，()(min 100p t p ==+=m =综上可知，.m =【点睛】二次函数中“轴动区间定”或“轴定区间动”类问题，分类讨论的标准是函数在区间里的单调性.。

一、单选题1．下列集合与区间表示的集合相等的是（ ） ()1,2A ．B ．(){}1,2{}2320x x x -+<C ．D ．{}2320x x x -+=(){},1,2x y x y ==【答案】B【分析】根据区间表示的集合，再结合选项，即可判断. 【详解】区间表示的集合为， ()1,2{}12x x <<A.集合表示点集，只有一个元素，故A 错误；(){}1,2B. ，故B 正确；{}{}232012x x x x x -+<=<<C. ，表示数集，其中只有2个元素，故C 错误；{}{}23201,2x x x -+==D.，故D 错误.(){}(){},1,21,2x y x y ===故选：B2．以下命题是真命题的是（ ） A ．， B ．， R x ∀∈0x x +>R x ∃∈0x x +<C ．， D ．， ()0,x ∀∈+∞12x x +≥()0,x ∃∈+∞12x x+<【答案】C【分析】A 选项，举出反例；B 选项，分，与三种情况，得到，B 正确；0x >0x =0x <0x x +≥CD 选项，由基本不等式求出，故C 正确，D 错误. 12x x+≥【详解】A 选项，当时，，A 错误；0x =x x +=0B 选项，当时，，当时，，当时，， 0x >20x x x +=>0x =x x +=00x <0x x x x +=-=故，，B 错误；R x ∀∈0x x +≥CD 选项，，由基本不等式得：， ()0,x ∀∈+∞12x x +≥=当且仅当，即时，等号成立，故，，C 正确，D 错误.1x x =1x =()0,x ∀∈+∞12x x +≥故选：C3．已知点是第二象限的点，则的终边位于（ ）()cos ,tan P θθθA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】由为第二象限的点确定与的符号，再由与的符号确定的终边所在P cos θtan θcos θtan θθ象限即可.【详解】∵点是第二象限的点， ()cos ,tan P θθ∴，，cos 0θ<tan 0θ>由可得，的终边位于第二象限或第三象限或轴的非正半轴； cos 0θ<θx 由可得，的终边位于第一象限或第三象限， tan 0θ>θ综上所述，的终边位于第三象限. θ故选：C.4．已知，，则“”是“”的（ ） a b ∈R 22b a >22a b >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】,而,进而得出结果.22ba ab >⇔>22a b a b >⇔>【详解】由可得，必有，故“”是“”的充分条件； 22b a >a b >22a b >22b a >22a b >反之，若“”，则有，此时不一定成立即“”不一定成立， 22a b >a b >a b >22b a >则“”是“”的不必要条件. 22b a >22a b >所以“”是“”的充分不必要条件 22b a >22a b >故选: A5，则为（ ）12=πtan 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．212-122-【答案】B【分析】原式分子分母除以，即可求出cos αtan 8α=-结果.【详解】，12==得tan 8α=-则. 1tan 32πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭故选：B6．已知函数是定义在R 上的偶函数，则的解集为（ ）()2,021,0x x a x f x x -⎧+>=⎨-≤⎩()3f x >A ． B ．C ．D ．()2,0-()0,2()2,2-()(),22,∞∞--⋃+【答案】D【分析】首先根据函数是偶函数，求，然后再分段求不等式的解集. a 【详解】设，，因为函数是偶函数， 0x >0x -<所以，则，则，()()f x f x -=212x x a -=+1a =-所以，()21,021,0x x x f x x -⎧->=⎨-≤⎩当时，，解得：， 0x >213x ->2x >当时，，解得：， 0x ≤213x --><2x -所以不等式的解集为. ()3f x >()(),22,∞∞--⋃+故选：D7．已知函数，若正实数满足，则的最小值为()e e 32x xf x x --=+,a b ()()21210f a f b -+-=12a b +（ ）A ．BC ．D ．63【答案】D【分析】利用奇偶性定义和单调性的性质可确定的奇偶性和单调性，从而化简已知等式得到()f x ，由，利用基本不等式可求得结果.1a b +=()1212a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭【详解】定义域为，，为定义在上的奇函数；()f x R ()()e e 32x xf x x f x ---=-=-()f x \R 与均为上的增函数，在上单调递增； e e 2x xy --=3y x =R ()f x \R 由得：，()()21210f a f b -+-=()()()212112f a f b f b -=--=-，即，又，，2112a b ∴-=-1a b +=0a >0b >，()12122333b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭1a =-2b =等号）， 即的最小值为. 12a b+3故选：D.8．如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，是半径OPQ 2OP =π4POQ ∠=A B OQ 上的动点，.则面积的最大值为（）//AB OP OABA ． BCD21-【答案】B【分析】设，利用正弦定理可表示出，代入三角形面积公式，结合三角恒等变换知AOP θ∠=OB 识可化简得到，由正弦型函数最值求法可求得结果.π214OAB S θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 【详解】设，则，AOP θ∠=π04θ<<，，，，，//AB OP π4POQ ∠=3π4ABO∴∠=OAB θ∠=π4AOB θ∠=-在中，由正弦定理得：， OABsinsin OA OABOB ABO θ⋅∠==∠1πsin sin 24OAB S OA OB AOB θθθθθ⎫⎛⎫∴=⋅∠=-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，2π2sin cos 2sin sin 21cos 2214θθθθθθ⎛⎫=-=-+=+- ⎪⎝⎭，，π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π2,444θ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭当，即时，. ∴ππ242θ+=π8θ=OAB S 1故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查几何图形中的面积最值的求解，解题关键是能够将所求三角形面积表示为关于变量的函数的形式，结合三角恒等变换和三角函数值域的知识求解得到最值.θ二、多选题9．下列各式的值为1的是（ ）A ．B ． lg 2lg 5+22sin 15cos 15︒+︒C ．D ．sin15cos15︒︒24log 4log 2⋅【答案】ABD【分析】根据对数运算和三角函数关系式，化简求值. 【详解】A.，故A 正确； lg 2lg 5lg101+==B. ，故B 正确； 22sin 15cos 151︒+︒=C. ，故C 错误；11sin15cos15sin 3024︒︒==D. ，故D 正确. 241log 4log 2212⋅=⨯=故选：ABD10．已知函数，则（ ）()22cos sin f x x x =-A ．最小正周期为 B ．图象关于直线轴对称 2ππ2x =C ．在上单调递减 D ．图象关于点中心对称()0,ππ,04⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BD【分析】首先根据二倍角公式得，再利用整体代入的方法，判断函数的性质.()cos 2f x x =【详解】，所以函数的最小正周期，故A 错误； ()22cos sin cos 2f x x x x =-=2ππ2T ==B.，故B 正确；πcos π=12f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.当时，，在，函数单调递减，在，函数单调递增，故C 错误；()0,πx ∈()20,2πx ∈()0,π()π,2πD.，故D 正确.π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：BD11．已知定义在R 上的奇函数的图象关于直线对称，当时，()y f x =1x =(]0,1x ∈()f x （ ）A ． ()()11f x f x -=+B ． ()()2f x f x =-C ．()2022.5f =D ．函数与函数图象有5个交点 ()y f x =lg y x =【答案】ACD【分析】根据抽象函数的性质判断AB ；判断函数的周期性，再判断C ；根据函数的性质，画出函数的图象，再根据函数的图象判断交点个数.()y f x =【详解】A.因为函数的图象关于直线对称，所以，故A 正确； ()y f x =1x =()()11f x f x +=-B. 因为函数的图象关于直线对称，所以，函数又是奇函数，所以()y f x =1x =()()2f x f x +=-，即，令，得，故B 错误；()()f x f x -=-()()2f x f x +=-2x x =-()()2f x f x =--C.由以上证明可知，令，得， ()()2f x f x +=-2x x =+()()()42f x f x f x +=-+=所以函数的周期，()y f x =4T =C 正确； ()()()()()2022.54505 2.5 2.520.50.5f f f f f =⨯+==+=-==D. 当时，对称，函数的周期为(]0,1x ∈()f x =1x =4，画出函数的图象，函数的最大值为1，当，所以由图象可知，函数与函数lg101=()y f x =图象有5个交点，故D 正确.lg y x =故选：ACD12．几位同学在研究函数时，得出了下列四个结论，其中正确的是（ ） ()112xf x =+A ．的值域为()f x 1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．的图象关于点对称()f x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．的图象无限接近直线但又不与该直线相交 ()f x 1y =D ．，，均有1x ∀()20,x ∈+∞()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】A.先求的范围，再求函数的值域； 12x +BC.根据对称性的公式和性质，即可判断； D.根据不等式，时，，再结合基本不等式，即可判断选项. 0a b >>0m >b b m a a m+<+【详解】A 选项：∵，∴，∴.选项A 错. x ∈R ()1,12x∈++∞()10,112x∈+B 选项：∵，∴的图象关于点对称，选项()()1112112121212xx x x x f x f x -+-=+=+=++++()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B 对.C 选项：当时，，，所以图象以轴为渐近线，又因为x →+∞12x +→+∞1012x →+()112xf x =+x 图象关于点中心对称，所以直线也为图象的渐近线，选项C 对.()f x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭1y =()f x D 选项： ()()12121212121122212121222x x x x x x x x f x f x ++++=+=+++++∵时取等号.1222x x +≥12x x =∴1212121212121212122222222122222222122212221212x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++++++⎛⎫+ ⎪+++⋅⎝⎭≥==+++⎛⎫+⋅+++ ⎪⎝⎭（∵，时，） 0a b >>0m >b b m a a m+<+∴，选项D 对.()()121212212212x x f x f x x x f +++⎛⎫≥= ⎪⎝⎭+故选：BCD三、填空题13．函数（且）过定点______.()211x f x a +=-0a >1a ≠【答案】1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由（且）所过定点，求出答案. t y a =0a >1a ≠()0,1【详解】因为（且）过定点，t y a =0a >1a ≠()0,1令得：，故， 210x +=12x =-10121f ⎛⎫-= =⎪-⎝⎭故过定点坐标.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭14．若扇形圆心角为135°，扇形面积为，则扇形半径为______. 3π【答案】【分析】先将角度转化为弧度，然后利用扇形面积公式列方程，由此求得扇形的半径.【详解】依题意可知，圆心角的弧度数为，设扇形半径为，则3π4r213π3π,24Sr r=⨯==故答案为：15．设，则a，b，c的大小关系是______.a=2logb=()ln ln2c=【答案】c<a<b【分析】根据对数函数单调性得到，再得到，，比较出大小.()ln ln20<32b=10,2a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【详解】因为在上单调递增，故，lny x=()0,∞+()()ln2ln1,ln e0,1∈=所以，()ln ln2ln10<=而，，32223log log22b===11ln20,22a⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭故.c a b<<故答案为：c<a<b四、双空题16．若，则的值域为______，关于x的方程恰有4个不同()2log,022,2x xf xxx<<⎧⎪=⎨≥⎪⎩()f x()12f x t-=的解a，b，c，d，则的取值范围为______.+++a b c d【答案】(],1-∞()8,+∞【分析】先根据函数单调性得到的值域，画出的图像，不妨设，()f x()12y f x=-2a b c d<<<<列出方程，求出，，由基本不等式求出和的取值范围，进而求出答案.2ab=221c d+=a b++c d【详解】当时，.当时，.02x<<()2log,1y x=∈-∞2x≥(]20,1yx=∈∴的值域为.()f x(],1-∞画出的图象，如下：()12y f x=-故当时，恰有4个不同的解，10,2t⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()12f x t-=不妨设 2a b c d <<<<由可得： 22112121log log 2222a b c d -=-=-=-， 22112112log log 2222a b c d -=-=-=-∴，，2ab =221c d+=∵a b +≥=，()2222448d c c d c d c d c d ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当时取等号，a b ==4c d ==∵，故两个不等式等号均取不到， 2a b c d <<<<∴， 8a b c d +++>∴. ()8,a b c d +++∈+∞故答案为：，.(],1-∞()8,+∞【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性，结合基本不等式进行解决.五、解答题17．已知集合，集合.{}260A x x x =--≥{}13B x m x m =≤+≤+(1)若，求；1m =()A B R ð(2)若，求实数m 的取值范围. A B A ⋃=【答案】(1) {}|03x x ≤<(2)或 4m ≤-4m ≥【分析】（1）解一元二次不等式得集合，再根据集合的补集与交集运算即可；A （2）由已知确定集合间的关系为，又可得，列不等式即可求得实数m 的取值范围.B A ⊆B ≠∅【详解】（1）因为或，所以.{}260{|2A x x x x x =--≥=≤-3}x ≥{}R 23A x x =-<<ð又因为，所以， 1m ={}03B x x =≤≤则； (){}R |03A B x x ⋂=≤<ð（2）因为，所以. A B A ⋃=B A ⊆因为且{}13B x m x m =≤+≤+B ≠∅所以或，即实数m 的取值范围为或. 22m +≤-13m -≥4m ≤-4m ≥18．已知.()()()()sin cos 2sin 2tan f ππαααπααπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-+(1)化简；()f α(2)已知，且. 求的值.0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭162f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭sin α【答案】(1) ()f αcos α=-(2) 1sin 2α=【分析】（1）由诱导公式即商数关系化简即可； （2）由整体法，结合角的范围求得，即可求值.α【详解】（1）()()()()sin cos 2sin 2tan f ππαααπααπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-+()sin sin sin tan αααα=-cos α=-（2）解法一：因为，所以，1cos 662f ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭又因为，所以，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭20,63ππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以即. 所以. 63ππα+=6πα=1sin 2α=解法二：因为，所以，1cos 662f ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭又因为，所以，所以0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭20,63ππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin 6πα⎛⎫+=⎪⎝⎭所以sin sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122=-⨯. 12=19．已知函数（且）. ()2log 2a x f x x+=-0a >1a ≠(1)判断函数的奇偶性，并证明()f x (2)若求实数a 的取值范围. 112f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭【答案】(1)奇函数，证明见解析(2) ()30,1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】(1)先求函数定义域，再结合进行判断；()()0f x f x -+= (2)将代入，再对对数函数的底数进行分类讨论求解即可. 151=log ,1log 23a a f a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【详解】（1）令得，故函数的定义域为， 202x x+>-22x -<<()f x ()2,2-∵对于，()2,2x ∀∈- ()()22log log 22a a x x f x f x x x-+-+=++- 22log 22a x x x x -+⎛⎫=⋅ ⎪+-⎝⎭log 10a ==∴， 且 ()()f x f x -=-()20log 02af ==∴是奇函数.， ()f x （2）由， 151=log ,1log 23a a f a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可化为， 112f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭51log log 3a a a >若，则，∴， 01a <<513a <305a <<若，则，∴，∴ 1a >5103a>>35a >1a >综上，的取值范围是. a ()30,1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭20．如图，函数的图象经过，，()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<P ⎛ ⎝π,04M ⎛⎫- ⎪⎝⎭三点. 30π,4N ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式；()f x (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的，得到图象.若()f x 1212()g x ，求函数的单调增区间. ()()28πh x f x g x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+()h x 【答案】(1) ()πsin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)，. πππ,π44k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈【分析】（1）求出函数的最小正周期，进而得到，带入特殊点坐标，得到，求出函2π1Tω==π4ϕ=数解析式；（2）求出，整体法求出的单调增区间. ()(),g x h x ()h x 【详解】（1）由图可得函数的最小正周期 ()f x ππ3224π4T ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴ 2π1Tω==又函数过点，且图象在该点附近单调递增， ()f x π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，即， ()2Z 4ππk k ϕ-+=∈()π2πZ 4k k ϕ=+∈又∵，∴， 0πϕ<<π4ϕ=∵过点， ()f x ⎛ ⎝∴，即 πsin 4A =1A =∴； ()πsin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的得到()f x 1212. ()1πsin 224g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴ ()2π1cos 2π1π1π4sin sin 2sin 2824224x h x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12x =+令，得：， ππ2π22π22k x k -+≤≤+Z k ∈ππππ44k x k -+≤≤+Z k ∈所以的单调增区间为，. ()h x πππ,π44k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈21．某公司近五年的年利润（单位：千万元）列表如下： 年份 1 2 3 4 5年利润（千万元） 1.08 1.50 2.25 3.52 4.96为了描述从第1年开始年利润y 随年份x 的变化关系，现有以下三种模型供选择：①，②，③.（以上各式均有，） a y b x=+2y ax b =+x y b a =-0a >0b >(1)请你从这三个函数模型中去掉一个与表格数据不吻合的函数模型并简要说明理由，再利用表格中第2年和第3年的数据对剩下的两种模型进行建模，求出这两种模型下第五年的公司利润，并说明哪个模型更好；(2)利用（1）中较好的模型，预计该公司第几年的年利润会超过10亿元？（参考数据，）lg 20.3010≈lg30.4771≈【答案】(1)答案见解析(2)预计第13年该公司的利润会超过10亿元【分析】（1）函数模型①是减函数，而所给数据表明函数是增函数，排除模型①；利用表格中第2年和第3年的数据求出用模型②和模型③的方程，当时，求出模型②和模型③中的年利润5x =与表中数据对比即可得出答案.（2）利用模型③得：，解指数不等式即可得出答案.131002x -⎛⎫> ⎪⎝⎭【详解】（1）去掉模型①，理由：函数模型①是减函数，而所给数据表明函数是增函数.若用模型②，则 ∴， 4 1.59 2.25a b a b +=⎧⎨+=⎩0.150.9a b =⎧⎨=⎩∴；20.150.9y x =+若用模型③，则 ∴， 23 1.52.25b a b a ⎧⋅=⎨⋅=⎩3223a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴. 2332xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭当时，利用模型②得，利用模型③得 5x = 4.65y =81 5.062516y ==，，4.96 4.650.31-=5.0625 4.960.1025-=0.310.1025>所以模型③更好.（2）利用模型③得： 131002x -⎛⎫> ⎪⎝⎭两边取对数得 ()31lg22x ->∴ 221112.36lg3lg20.47710.3010x >+≈+≈--所以预计第13年该公司的利润会超过10亿元.22．已知函数，其中a 为常数.()245f x x ax =-+(1)若对，恒成立，求实数a 的取值范围； 1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()121f x ≤≤(2)若方程在内有且只有三个互异实数解，求实数a 的取值范围. ()2sin 0f x =5π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】(1)[]0,8(2) 2192a ≤<【分析】（1）参变分离得到对恒成立，由函数单调性和基本不等式16444x a x x x -≤≤+1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦求出和的最值，得到实数的取值范围； ()164g x x x=-()44h x x x =+a （2）解法一：换元后得到，问题等价于且；或且；或2450t at -+=11t =212t <<101t <<212t <<且，分三种情况数形结合得到实数a 的取值范围；112t <<22t =解法二：换元后得到，问题等价于且；或且；或2450t at -+=11t =212t <<101t <<212t <<且，先考虑和，再考虑，，得到实数的取值范围.112t <<22t =11t =22t =101t <<212t <<a 【详解】（1），恒成立， 1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()121f x ≤≤即对恒成立， 16444x a x x x -≤≤+1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦因为在上单调递增， ()164g x x x =-1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，()()max 20g x g ==今，由基本不等式可知，当且仅当时取等号， ()44h x x x=+448x x +≥1x =所以，()min 8h x =所以，即实数的取值范围是.08a ≤≤a []0,8（2）解法一：今，则方程即，2sin t x =()2sin 0f x =2450t at -+=设，是方程的两根，1t ()212t t t <2450t at -+=则方程在内有且只有三个实数解等价于且； ()2sin 0f x =5π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭11t =212t <<或且；或且101t <<212t <<112t <<22t =今，对称轴为，且， ()245m t t at =-+8a t =1254t t =①当且时，，解得； 11t =212t <<()()219022120128Δ800m a m a a a ⎧=-=⎪=->⎪⎪⎨<<⎪⎪=->⎪⎩9a =②当且时，，解得； 101t <<212t <<()()()0519022120m m a m a ⎧=⎪=-<⎨⎪=->⎩2192a <<③当且时，与相矛盾，不合题意； 112t <<22t =1254t t =综上，实数的取值范围为. a 2192a ≤<解法二：今，则方程即，2sin t x =()2sin 0f x =2450t at -+=设，是方程的两根，令. 1t ()212t t t <2450t at -+=()245m t t at =-+若，则，，当时，有一个实数解，有两个实数解， 11t =9a =254t =5π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2sin 1x =52sin 4x =则方程在有两个实数解； ()2sin 0f x =5π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭若，则，， 22t =212a =158t =当时，有一个实数解，有一个实数解， 5π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2sin 2x =52sin 8x =则方程在有两个实数解，不合题意； ()2sin 0f x =5π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭此外，要使方程在有三个实数解，只需，， ()2sin 0f x =5π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭101t <<212t <<则，解得； ()()()0519022120m m a m a ⎧=⎪=-<⎨⎪=->⎩2192a <<综上，实数的取值范围为. a 2192a ≤<【点睛】复合函数零点问题处理策略：考虑关于的方程的根的个数，在解决此类问x ()0g f x =⎡⎤⎣⎦题时，分两层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使其等式成立，第二层()g x ()f x 是结合第一层的值，求出对应的的值，求出零点的个数.()f x x。

2023-2024学年福建省厦门市高一上学期期末教学质量数学模拟试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章~第五章第4节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合，，且，则（）{}9,3A m ={}2,9B m =A B =m =A. 0B. 3C. D. 3或03±2. 已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的弧长为（ ）1rad 5A. B. 1C. 2D. 4123. “”是“”的（）1a >0a >A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若，，，则（ ）ln x π=51log 3y =12z e -=A. B. C. D. x y z<<z x y<<z y x<<y z x<<5. 函数①；②，；③，中，2πcos 2y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin y x =[]0,2πx ∈sin 2y x =[]π,πx ∈-奇函数的个数为（ ）A 0B. 1C. 2D. 36. 已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的()f x x α=15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭()(3)()g x x f x =-1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦最小值是（ ）A. -1B. -2C -4D. -87. 已知函数则的大致图像是（ ）(),1,ln ,1,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩()2y f x =-A.B.C.D.8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ π()sin (0)4f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ωωπ,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω）A. B. C. D. 59,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦(0,2]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知角与角的终边相同，则角可以是（ ）θ5π3-θA. B. C. D. 7π3-1π34π313π310. 下列说法错误的是（）A. 函数与函数表示同一个函数xy x =1y =B. 若是一次函数，且，则()f x ()()165=+f f x x ()41f x x =-C. 函数的图象与y 轴最多有一个交点()f x D. 函数在上是单调递减函数11y x =+()(),11,-∞--+∞ 11. 下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递减的为（ ）ππ,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭A. B.C.D.cos 2y x=sin y x=cos y x=tan y x=12. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，()f x R ()1f x -()1f x +[]1,1x ∈-，则下列结论正确的是（）()21f x x =-+A. 7324f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 为奇函数()7f x +C.在上为减函数()f x ()6,8D. 方程仅有6个实数解()lg 0f x x +=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知且，则的终边在第__________象限.tan 0x <cos 0x <x 14. 函数的零点为______.()32x f x =-15. 已知一元二次不等式对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是23208kx kx ++>___________．16. 若函数在区间上的最大值为，最小值为，则()()22211x f x x +=+[]2023,2023-M m ______．M m +=四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知为钝角，且.α4cos 5α=-（1）求，的值；sin αtan α（2）求的值sin(π)cos(2π)3πcos tan(π)2αααα-+-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭18. 已知x >0，y >0，且2x +8y -xy =0，求：（1）xy 的最小值；（2）x +y 的最小值..19. 已知定义在上的偶函数，当时，，且.R ()f x 0x ≥()()3x f x a a =-∈R ()326f -=（1）求的值；a （2）求函数的解析式；()f x （3）解不等式：.()2f x >20. 已知函数.π()sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（1）求的最小正周期及单调递增区间；()f x （2）当时，求的最大值和最小值及取得最大值、最小值时x 的值.ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 21. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L 表示每一轮优化时()()00nG L n L Dn =∈N 使用的学习率，表示初始学习率，D 表示衰减系数，n 表示训练迭代轮数，表示衰减0L 0G 速度.已知某个指数衰减的学习率模型，，且当训练迭代轮数为18时，学()102L =018G =习率衰减为.25（1）求该学习率模型的表达式；（2）要使学习率衰减到以下（不含），至少需训练迭代多少轮？（参考数据1515）lg 20.3010≈22.已知函数．424()log 1,()log f x g x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（1）求的定义域，并证明的图象关于点对称；()f x ()f x (2,0)（2）若关于x 的方程有解，求实数a 的取值范围．()()f x g x =数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. A解析：由得，解得或，A B =23m m =3m =0m =当时，，不满足元素的互异性，舍去；3m =39m =当时，成立.0m =A B =故选：A.2. B解析：因为扇形的圆心角为，半径为5，1rad 5所以由弧长公式得扇形的弧长为.1515l r α=⋅=⨯=故选：B.3. D 解析：因为或，11a a >⇔<-1a >又时，不能得出；1a <-0a >时，不能得出；0a >1a <-所以“”是“”的既不充分也不必要条件.1a >0a >故选: D.4. D解析：，，，ln 1π> 51log 03<120e 1-<<.y z x ∴<<故选：D.5. B解析：根据奇函数定义，②中违背了定义域要关于原点对称这一要求，所以排除[]0,2πx ∈②；对于①，，是奇22πcos sin 2y x x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()()()()22sin sin f x x x x x f x -=--=-=-函数；对于③，，是偶函数．sin 2y x=()()sin 2sin 2f x x x f x -=-==故选：B ．6. D解析：因为幂函数的图像过点，所以，得，()f x x α=15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭155α=1α=-所以，则显然在区间上单调递增，1()f x x =3()(3)()1g x x f x x =-=-1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以所求最小值为.11983g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭故选：D 7. A解析：函数，则(),1,ln ,1,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩()()2,1,2ln 2, 1.x x y f x x x -⎧≥⎪=-=⎨--<⎪⎩根据复合函数的单调性，当时，函数单调递减；1x ≥()2f x -当时，函数单调递增，只有A 符合1x <()2f x -故选：A.8. C解析：由题意得，则，π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππππ,4244x ωωπω⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦则，，πππππ,π2π,2π24422k k ωω⎡⎤⎡⎤++⊆-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z k ∈当时，由，解得，又，故；0k =πππ242πππ42ωω⎧+≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩3124ω-≤≤0ω>104ω<≤当时，由，得无解，同理当时，无解.1k =ππ3π242π5ππ42ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩ω2,Z k k ≥∈ω故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. BD解析：依题意，5π2π,3k k θ=-+∈Z 当时，，1k =π3θ=当时，，3k =13π3θ=所以BD 选项符合，AC 选项不符合.故选：BD 10. ABD解析：A ：函数的定义域为，函数的定义域为R ，xy x =(,0)(0,)-∞+∞ 1y =所以这两个函数不表示同一个函数，故A 符合题意；B ：设，则，()(0)f x kx b k =+≠2(())()()f f x f kx b k kx b b k x kb b =+=++=++又，所以，解得或，(())165f f x x =+2165k kb b ⎧=⎨+=⎩41k b =⎧⎨=⎩453k b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩所以或，故B 符合题意；()41f x x =+5()43f x x =--C ：由函数的定义知，函数图象至多与y 轴有一个交点，故C 不符合题意；D ：函数在上是单调递减函数，故D 符合题意.11y x =+(,1),(1,)-∞--+∞故选：ABD11. BD解析：作出函数的图象，如图1，显然A 错误；cos 2y x =作函数图象，如图2，故B 正确；sin y x=作函数图象，如图3，故C 错误；cos y x=作函数图象，如图4，故D 正确.tan y x=故选：BD 12. BD 解析：因为为偶函数，所以，()1f x +()()11f x f x +=-+所以，即，(11)((1)1)f x f x -+=--+()(2)f x f x =-+因为为奇函数，所以，()1f x -()()11f x f x -=---所以，即，(31)((3)1)f x f x -+-=---+-(2)(4)f x f x -+=--所以，所以，()(4)f x f x =--(4)(44)(8)f x f x f x -=---=--所以，所以，即函数的一个周期为.()(8)f x f x =-(8)()f x f x +=()f x 8在中，令，得，()(2)f x f x =-+72x =7732222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在中，令，得，()()11f x f x -=---12x =-3111222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又，所以，故A 错误；1131244f ⎛⎫-=-+=⎪⎝⎭73132224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，所以，(8)()f x f x +=()()71f x f x +=-所以，从而为奇()()()()()711187f x f x f x f x f x -+=--=--=--+=-+()7f x +函数，故B 正确；因为在区间上是增函数，且的一个周期为，()21f x x =-+(1,0)-()f x 8所以在上单调递增，在上不为减函数.故C 错误；()f x ()7,8()6,8因为为奇函数，所以的图象关于点对称，()1f x -()f x (1,0)-因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，()1f x +()f x 1x =又当时，，[]1,1x ∈-()21f x x =-+作出与的大致图象，如图所示.()f x lg y x =-其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点，lg y x =-lg121-<-故方程仅有6个实数解，故D 正确.()lg 0f x x +=故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.二解析：由，得角的终边所在的象限是第二、四象限，tan 0x <x 因为，所以角的终边在第二、三象限或轴非正半轴上，cos 0x <x x 由于上述条件要同时成立，所以的终边在第二象限；x 故答案为：二14. 3log 2解析：令，则，即，()320x f x =-=32x =3log 2x =所以函数的零点为.()32x f x =-3log 2故答案为：3log 215. {}03k k <<解：因为不等式为一元二次不等式，所以，23208kx kx ++>0k ≠又一元二次不等式对一切实数x 都成立，23208kx kx ++>所以有，解得，即，22034208k k k >⎧⎪⎨∆=-⨯⨯<⎪⎩003k k >⎧⎨<<⎩03k <<所以实数k 的取值范围是，{}03k k <<故答案为：．{}03k k <<16. 4解析：因为，()()222222124242111x x x x f x x x x +++===++++令，则，()[]24,2023,20231x g x x x =∈-+()()2f x g x =+又因为，所以函数为奇函数，()()()()224411x x g x g x x x ---===-+-+()g x 因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0，即，()g x []2023,2023-max min ()()0g x g x +=所以．max min ()2()24M m g x g x +=+++=故答案为：4四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （1）解：因为为钝角，α所以，3sin 5α===故.3sin 35tan 4cos 45ααα===--（2）原式.sin cos sin tan αααα-+=-+将，，代入，3sin 5α=4cos 5α=-3tan 4α=-得原式.342855332754--==--18. （1）∵， ， ，0x >0y >280x y xy +-=∴，当且仅当时取等号，28xy x y =+≥=28x y =8≥∴，当且仅当时取等号，64xy ≥416x y ==故的最小值为64.xy （2）∵，则 ，28x y xy +=281y x +=又∵， ，0x >0y >∴，2828()(101018x y x y x y y x y x +=++=++≥+=当且仅当时取等号，212x y ==故的最小值为18.x y +19. （1）因为是定义在上的偶函数，且，()f x R ()326f -=所以，即，()()3326f f =-=3326a -=解得.1a =（2）当时，，0x ≥()31x f x =-设，则，则，0x <0x ->()()31x f x f x -=-=-故()31,031,0x x x f x x -⎧-<=⎨-≥⎩（3）由是偶函数，等价于，即，()f x ()2f x >()2f x >312x->得，得，解得或，33x >1x >1x <-1x >故的解集是.()2f x >()(),11,-∞-⋃+∞20. （1）因为，π()sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以函数的周期，2ππ2T ==令,πππ2π22πZ 232k x k k -+≤+≤+∈，得,5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈所以函数的最小正周期为，单调递增区间为.π5ππ[π,π],Z 1212k k k -++∈（2）当时，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦则，ππ5π2636x -≤+≤故当，即时，；ππ236x +=-π4x =-min 11()122f x =-+=当，即当时，.ππ232x +=π12x =max ()2f x =即，此时；，此时.max ()2f x =π12x =min 1()2f x =π4x =-21. （1）由条件可得，指数衰减的模型为，()1812n L n D =当时，，代入可得，解得，18n =()25L n =18182152D =45D =所以该学习率模型的表达式()181425n L n ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（2）由学习率衰减到以下（不含），可得，151518141255n ⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭即，所以，即184255n ⎛⎫< ⎪⎝⎭452log 185n >45218log 5n >，()()452lglg 21lg 22lg 2lg 52lg 21518log 1818181873.9452lg 2lg 52lg 21lg 23lg 21lg 5----=⨯=⨯=⨯=⨯≈----所以，则，即至少需训练迭代74轮.73.9n >74n =22. （1）由题设可得，解得，故的定义域为，410x ->04x <<()f x (0,4)而，4444444()(4)log 1log 1log log 044x x f x f x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故的图象关于点对称．()f x (2,0)（2）法一：因为关于x 的方程即有()()f x g x=4244log 1log log ()x a x ⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭解，故在上有解．41x ax -=+(0,4)x ∈下面求在上有解时实数a 的取值范围．41a x x +=-(0,4)x ∈因为与在区间上都是减函数，4y x =y x =-(0,4)所以函数在区间上也是减函数，4y x x =-(0,4)所以时，的取值范围是．04x <<4xx -(3,)-+∞令，解得．13a +>-4a >-因此，所求实数a 的取值范围是．(4,)-+∞法二：，即，()()f xg x =4244log 1log log ()x a x ⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭因为有解，故在上有解，()()f x g x =4x x a x -=+(0,4)整理得到在上有解，2(1)40x a x ++-=(0,4)设，显然，则或2()(1)4h x x a x =++-(0)40h =-<(4)0,104,2h a >⎧⎪⎨+<-<⎪⎩(4)0,10.2h a >⎧⎪⎨+-≤⎪⎩解得．4a >-故实数a 的取值范围为． (4,)-+∞。

福建省福州市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高一下·虎林期末) 已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）A . 3B . -2C . 2D . 不存在2. （2分）一束光线自点P（﹣1，1，1）发出，被yOz平面反射到达点Q（﹣6，3，3）被吸收，那么光线所走的距离是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高一上·淄博期末) 设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A . 若l⊥α，l∥m，则m⊥αB . 若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC . 若l∥α，m⊂α，则l∥mD . 若l∥α，m∥α，则l∥m4. （2分）有下列四个命题：①函数的值域是；②平面内的动点P到点和到直线的距离相等，则P的轨迹是抛物线；③直线与平面相交于点B，且与内相交于点C的三条互不重合的直线所成的角相等，则；④若，则其中正确的命题的编号是（）A . ①③B . ②④C . ②③D . ③④5. （2分）与圆x2+y2﹣4x+6y+3=0同圆心，且过（1，﹣1）的圆的方程是（）A . x2+y2﹣4x+6y﹣8=0B . x2+y2﹣4x+6y+8=0C . x2+y2+4x﹣6y﹣8=0D . x2+y2+4x﹣6y+8=06. （2分）“a=﹣1”是“直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2017高二下·遵义期末) 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A .B .C . 4D . 88. （2分）设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分）(2017·黄浦模拟) 关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（）A . 若l∥α，α∩β=m，则l∥mB . 若l∥α，m∥α，则l∥mC . 若l⊥α，m∥α，则l⊥mD . 若l∥α，m⊥l，则m⊥α10. （2分）已知, 点是圆上的动点，则点到直线的最大距离是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分）经过点R（﹣2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是________12. （1分）已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为________．13. （1分） (2017高三下·绍兴开学考) 已知点A（﹣1，0），点B（1，0），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是3，则点M轨迹是________．14. （1分） (2016高二下·辽宁期中) 有以下命题：①若f（x）=x3+（a﹣1）x2+3x+1没有极值点，则﹣2＜a＜4；②集合M={1，2，zi}，i为虚数单位，N={3，4}，M∩N={4}，则复数z=﹣4i；③若函数f（x）= ﹣m有两个零点，则m＜．其中正确的是________．三、解答题 (共5题；共41分)15. （10分） (2016高二上·南昌期中) 解答题（1）（1）要使直线l1：（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y=2m与直线l2：x﹣y=1平行，求m的值．（2）直线l1：ax+（1﹣a）y=3与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，求a的值．16. （1分）圆心在直线5x﹣3y=8上，又与两坐标轴相切的圆的方程是________．17. （5分）已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA′的长为10．（1）若侧棱AA′垂直于底面，求该三棱柱的表面积；（2）若侧棱AA′与底面所成的角为60°，求该三棱柱的体积．18. （15分） (2016高二上·长春期中) 已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC= ，AB=1，M是PB的中点．（1）证明：面PAD⊥面PCD；（2）求AC与PB所成的角；（3）求面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值．19. （10分） (2017高一下·泰州期末) 已知圆P过A（﹣8，0），B（2，0），C（0，4）三点，圆Q：x2+y2﹣2ay+a2﹣4=0．（1）求圆P的方程；（2）如果圆P和圆Q相外切，求实数a的值．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共5题；共41分)15-1、15-2、16-1、17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、。

3福建省高一数学上学期期末联考试题满分 150分 考试时间 120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合2{560}A x x x =-+≤，集合{24}x B x =>，则集合A B =I （ ）A ．{23}x x ≤≤B ．{23}x x ≤<C ． {23}x x <≤D ．{23}x x << 2. 直线3420x y +-=和直线6810x y ++=的距离是( ) A.35 B. 12 C. 310D. 15 3． 已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12⊥l l , 则a 的值为( ) A . 8 B. 2 C. 12-D. 2- 4.已知圆221:460C x y y +--+=和圆222:60C x y y +-=，则两圆的位置关系为( ) A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切5. 幂函数223()(1)mm f x m m x +-=--在(0,)+∞上是减函数，则实数m 的值为（ ）A. 2或1-B. 2C. 1-D. 2-或1 6． 三个数20.60.6,ln 0.6,2a b c ===之间的大小关系是( )A. c a b <<B.c b a <<C. b c a << D ．a c b << 7. 关于不同的直线,m n 与不同的平面,αβ，有下列四个命题：①,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ②,m n αβP P 且αβP ，则m n P ； ③,m α⊥n βP 且αβP ，则m n ⊥； ④,m αP n β⊥且αβ⊥，则m n P ． 其中正确的命题的序号是( )． A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④8. 方程2122xx =+的一个根位于区间（ ） A. 3(1,)2B. 3(,2)2C. 1(0,)2D. 1(,1)29. 已知某几何体的三视图如图所示, 其中俯视图是腰长为2的 等腰梯形, 则该几何体的全面积为( )A . 40+B. 40+10. 奇函数()f x 在(,0)-∞上的解析式是()(1)f x x x =+， 则()f x 在(0,)+∞上有( )A ．最大值14-B ．最大值14 C ．最小值14-D ．最小值1411. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,4AB BC CC ===，90ABC ∠=︒，,E F 分别为111,AA C B 的中点，沿棱柱的表面从点E 到点F 的最短路径的长度为（ ）AC．．12. 已知函数()22(0)()22(0)kx k x f x x ax a x -≥⎧⎪=⎨+--<⎪⎩ ，其中R a ∈，若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数)(122x x x ≠，使得)()(12x f x f =成立，则k 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

高一数学试题一、单选题1. 已知点是角终边上一点，则（ ）1(,1)2P αsin α=A.B.C.D.12【答案】D 【解析】【分析】根据正弦函数的定义进行求解即可. 【详解】因为点是角终边上一点，1(,1)2P α所以sin α==故选：D2. 函数过定点（ ）()3log 12a y x =-+A. B.C.D.()1,0()2,2()1,1()2,0【答案】B 【解析】【分析】根据且求解. (log 100a a =>)1a ≠【详解】因为且， (log 100a a =>)1a ≠所以要求恒过定点，则满足()3log 12a y x =-+解得，所以恒过定点. 113log 12a x y -=⎧⎨=+⎩22x y =⎧⎨=⎩()3log 12a y x =-+()2,2故选：B3. 已知函数，则的值为（ ） ()2log ,(0)3,(0)x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦A. B.C.D.1-3【答案】C【解析】【分析】根据题中函数表达式代入求解即可. 【详解】因为， 211log 122f ⎛⎫==-⎪⎝⎭所以. ()()111332f f f --⎡⎤⎛⎫=-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故选：C 4. 化简的值为（ ）15932log 3-+A. 0 B. 1C.D.5232【答案】B 【解析】【分析】根据指数幂、对数的运算公式进行求解即可. 【详解】， ()111551535591111132log 32log 322122222⎛⎫⨯---⎪-⎝⎭+=+=+=+=+=故选：B5. 三个数，，之间的大小关系是（ ） 20.4a =2log 0.3b =0.62c =A. B.C.D.a cb <<a bc <<b a c <<b<c<a 【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解. 【详解】解：函数是R 上的减函数，而，则， 0.4x y =21>200.40.4<<函数是R 上的增函数，而，则，2x y =00.6<0.621>函数是上的增函数，而，则， 2log y x =(0,)+∞00.31<<2log 0.30<于是得. b a c <<故选：C.6. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原()sin 2f x x =6π来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的值为（ ） ()g x 2g π⎛⎫⎪⎝⎭A.B. C. D.1212-【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数图像平移伸缩变换法则可得，进而可得结果. ()sin(3x x g π=-【详解】函数的图象向右平移个单位长度，()sin 2f x x =6π可得； sin[2()]sin(2)63y x x ππ=-=-再将的图像上每一个点的横坐标变为原来的2倍，sin(23y x π=-可得，即， sin()3y x π=-()sin()3x x g π=-所以. 1sin 262g ππ⎛⎫==⎪⎝⎭故答案为：A 7. 若，且，则（ ）π3cos()25α-=π(,π)2α∈5πtan(4α+=A. B.C.D. 734-3417【答案】C 【解析】【分析】先根据诱导公式化简，再运用平方关系求出进而得到最后运用两角和cos π2α⎛⎫-⎪⎝⎭cos ,αtan ,α的正切公式可求出的值. 5πtan(4α+【详解】依题意ππ34,π,cos()sin ,cos ,2255αααα⎛⎫∈-==∴==-⎪⎝⎭5π5π14tan()tan tan3tan ,4tan ta 4n .5π471αααα++∴=-∴==-⋅故选：C8. 函数的图象大致为（ ）()log 1(1)a f x x a =+>A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】判断出的奇偶性和上的单调性可选出答案. ()f x ()0,∞+【详解】的定义域为， ()log 1a f x x =+{}0x x ≠因为，所以是偶函数， ()()log 1a f x x f x -=-+=()f x 当时，单调递增， ()0,x ∈+∞()log 1(1)a f x x a =+>由此可判断出选A 故选：A二、多选题9. 下列各式中，值为的是（ ） 12A. B. 5πsin62sin 45C.D.122-tan 210 【答案】ABD 【解析】【分析】利用诱导公式、指数幂的运算以及特殊角的三角函数值计算各选项中代数式的值，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，； 5πππ1sinsin πsin 6662⎛⎫=-== ⎪⎝⎭对于B 选项，；221sin 452==对于C 选项，； 122-==对于D 选项，. ()121018030tan 302=+=== 故选：ABD.10. 函数的一个零点所在的区间不可能是（ ） ()ln 34x f x x =+-A. B.C.D.()0,1()1,2()2,3()2e,e【答案】ACD 【解析】【分析】利用零点存在性定理判断零点所在的区间，进而确定不可能的区间即可. 【详解】由题设，函数单调递增，，(0)f →-∞， (1)ln13410f =+-=-<， (2)ln 264ln 220f =+-=+>， (3)ln 394ln 350f =+-=+>， (e)ln e 3e 43(e 1)0f =+-=->，222(e )23e 43e 20f =+-=->综上，零点所在的区间不可能是、、.()0,1()2,3()2e,e 故选：ACD11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭（ ）A. ，， 2A =2ω=π3ϕ=B. 函数的图象关于坐标原点对称π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 函数的图象关于直线对称 ()f x 17π12x =-D. 函数在上的值域为 ()f x ππ,124⎛⎤- ⎥⎝⎦(]1,2【答案】ABC 【解析】【分析】最值求，周期求，特殊点求，观察图像找出特征值即可求出函数，后根据的A ωϕ()f x ()f x 性质可作出判断.【详解】A 选项：由图象知； 2A =设的最小正周期为T ，，所以得， ()f x 7ππ3π3T 12644⎛⎫--== ⎪⎝⎭2πT πω==2ω=当时，函数取得最小值，则， 7π12x =()f x ()7ππ22π122k k ϕ⨯+=-∈Z即，()52ππ3k k ϕ=-∈Z 则当时，符合题意．所以，，，所以A 正确． 1k =π3ϕ=2A =2ω=π3ϕ=B 选项：为奇函数，所以B 正确． πππ2sin 22sin 2663f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦C 选项：令，解得，()ππ2π32x k k Z +=+∈()ππ212k x k Z =+∈所以函数图象的对称轴方程为，当时，，所以C 正确． ()f x ()ππZ 212k x k =+∈3k =-17π12x =-D 选项：因为，，，ππ,124x ⎛⎤∈-⎥⎝⎦ππ2,62x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦ππ5π2,366x ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦所以，所以，所以D 不正确． π1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()[]1,2f x ∈故选：ABC12. 已知函数，下列结论正确的是（ ）()()3log 1,11,13x x x f x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩A. 若，则 ()1f a =4a =B. 202320222022f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 若，则或()3f a ≥1a ≤-28a ≥D. 若方程有两个不同的实数根，则 ()f x k =13k ≥【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，分段讨论求解即可；对B ，根据解析式先求出，再求出；对20232022f ⎛⎫⎪⎝⎭20232022f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ，分段讨论解不等式可判断；对D ，画出函数图象，观察图象可得. 【详解】对A ，若，则，解得；1a >()()3log 11f a a =-=4a =若，则，解得，故A 错误；1a ≤()113af a ⎛⎫== ⎪⎝⎭0a =对B ，， 33202320231log 1log 202220222022f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；331log 2022log 20223202311log 32022202220223f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对C ，若，则，解得；1a >()()3log 13f a a =-≥28a ≥若，则，解得，故C 正确；1a ≤()133af a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭1a ≤-对D ，画出的函数图象，()f x 方程有两个不同的实数根等价于与有两个不同的交点，()f x k =()y f x =y k =，则观察图象可得，故D 正确.()113f = 13k ≥故选：BCD三、填空题13. _______． cos40sin70sin40sin160=- 【答案】## 120.5【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式，以及正弦差角公式的应用，可得答案. 【详解】cos40sin70sin40sin160=- ()cos 40sin 70sin 40sin 7090-+=. cos 40sin 70sin 40cos 70-= ()1sin 7040sin 302-==故答案为：. 1214. 计算__________． 1322192log 3log 88-⎛⎫+- ⎪⎝⎭【答案】5 【解析】【分析】利用指数和对数的运算求解. 【详解】解：，1322192log 3log 88-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，2292log 9log 8=+-，282log 99⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭，235=+=故答案为：515. 函数的最小值是___________.()2cos 2cos 1f x x x =-+【答案】0【解析】【分析】先令，则，再将问题转化为关于的二次函数求最小值即可. cos t x =[]1,1t ∈-t 【详解】解：令 ，则， cos t x =[]1,1t ∈-则， 22()21(1)f t t t t =-+=-则函数在上为减函数， ()f t []1,1-则， min ()(1)113120f t f ==⨯-⨯+=即函数的最小值是0， 2cos 2cos 1y x x =-+故答案为：0.16. 九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧《》《》田是由弧和弦所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为，圆心角为，则此弧田的面积AB AB 223π为__________．【答案】43π【解析】【分析】根据给定条件求出三角形面积和扇形面积，结合图形即可计算作答.【详解】依题意，等腰底边，则的面积为AOB A 2(cos6AB OA π==sin16h OA π==AOB A11122AB h ⋅=⨯=而扇形的面积为，则有阴影部分的面积为 21242233ππ⨯⨯=43π-所以此弧田的面积为. 43π故答案为：43π四、解答题17.化简求值：（1）； 3tan()cos(2)sin 2cos()sin()ππαπαααππα⎛⎫-⋅-⋅-+ ⎪⎝⎭--⋅--（2）已知，求的值. tan 2α=sin cos αα⋅【答案】（1）1-（2）25【解析】【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式进行化简求值. （2）利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值. 【小问1详解】原式；()()()sin cos tan cos cos tan cos cos cos 1cos sin sin cos πsin παααααααααααααα⋅-⋅⋅-⋅⋅====--⋅-+⋅-+⎡⎤⎣⎦【小问2详解】 原式．222sin cos tan 2sin cos 1tan 5αααααα===++18. 已知函数，其中且. ()log (3)a f x x =-0a >1a ≠（1）求函数的定义域； ()f x （2）求函数的零点； ()f x （3）比较与的大小.(1)f -(1)f 【答案】（1）；（2）零点为2；（3）答案不唯一，具体见解析 (,3)-∞【解析】 【分析】（1）由真数大于0求解即可；（2）由，可得函数的零点；log 10a =()f x （3）对分类讨论，结合对数函数的单调性求解即可.a【详解】（1）由，得，30x ->3x <所以函数的定义域为；()f x (,3)-∞（2）令，即，()0f x =log (3)0a x -=则，所以，31x -=2x =所以函数的零点为2；()f x （3），(1)log (3(1))log 4a a f -=--=，(1)log (31)log 2a a f =-=当时，函数是增函数，所以，即1a >log a y x =log 4log 2a a >(1)(1)f f ->当时，函数是减函数，所以，即 01a <<log ay x =log 4log 2a a <(1)(1)f f -<【点睛】本题主要考查对数的性质和函数的零点，属于基础题.19. 已知为锐角，αβ，4sin ,cos()5ααβ=+=（1）求的值；cos 2α（2）求的值． sin β【答案】（1）；（2. 725-【解析】【分析】（1）由二倍角公式，结合题意，可直接求出结果；（2）先由题意求出，， 3cos 5α==sin()αβ+==根据，由两角差的正弦公式，即可求出结果.()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦【详解】（1）因为，所以； 4sin 5α=2327cos 212sin 12525αα=-=-=-（2）因为为锐角，所以，， αβ，0αβ<+<π02πα<<又， 4sin ,cos()5ααβ=+=3cos 5α==，sin()αβ+==所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦3455=+=【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型.20. 已知函数（且）.()()()log 10log 10a a f x x x =+--0a >1a ≠（1）求的定义域；()f x （2）判断的奇偶性，并说明理由；()f x （3）求不等式的解集.()0f x >【答案】（1）()10,10-（2）是奇函数，证明见解析()f x （3）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 1a >(010)，01a <<(–10)0，【解析】【分析】（1）由函数有意义所需条件，求的定义域；()f x （2）由函数奇偶性的定义，判断并证明的奇偶性；()f x （3）分类讨论，根据函数单调性求解不等式.【小问1详解】要使函数有意义，则，解得 ，即函数的定义域为 . 100100x x +>⎧⎨->⎩1010x -<<()f x ()10,10-【小问2详解】是奇函数，理由如下：()f x 由(1)知函数的定义域关于原点对称，()f x ，()()()()()log 10log 10log 10lo [()g 10]a a a a f x x x x x f x -=--+=-+--=-即函数是奇函数。

漳州市2022-2023学年（上）期末高中教学质量检测高一数学试题本试卷共5页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项:1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

1.已知集合U＝{-2，-1，0，1，2，3}，A＝{-1，0，1}，B＝{1，2}，则（A∪B）＝A.{-2，3}B.{-2，1，3}C.{-2，-1，0，3}D.{-2，-1，0，2，3}2.已知角A同时满足sinA＜0，tanA＜0，则角A的终边一定落在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设a＝log20.3，b＝0.8e，c＝e0.8，则a，b，c的大小关系是A.a＞b＞cB.c＞a＞bC.c＞b＞aD.b＞c＞a4.某地通讯公司推出了两种手机资费套餐，如下表所示:已知小明某月国内主叫通话总时长为200分钟，使用国内数据流量为40兆，则在两种套餐下分别需要支付的费用为:______和_____A.75和93B.75.5和93C.76和93D.75.5和98高一数学试题第1页（共5页）5.函数f （x ）＝sin|x |·ln x 2的部分图象大致为6.若函数f （x ）＝2x +a ·2-3x ）是奇函数，则a ＝A .−13B .13 C.-1 D.17.两数f （x ）＝tan （π2x +π3）的单调区间是A.（−53+2k ，13+2k ）（k ∈Z ） B .[−53+2k ，13+2k ]（k ∈Z ）C.（−53+4k ，13+4k ）（k ∈Z ） D .[−53+4k ，13+4k ]（k ∈Z ）8.意大利画家达·芬奇提出:固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为cosh x ＝e x −e −x 2，相应的双曲正弦函数的表达式为sinh x ＝e x +e −x 2.设函数f （x ）＝ ln sinh x cosh x ，若实数m 满足不等式f（3m 2+2m ）＜-ln （1+2e 2−1），则m 的取值范围为A.（-1，13）B.（-1，−23）∪（0，13）C.（−13，1）D.（−23，−13）u （0，1）二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.若函数f （x ）＝x α，则A.f （x ）的图象经过点（0，0）和（1，1）B.当f （x ）的图象经过点（-1，-1）时，f （x ）为奇函数C.当f （x ）的图象经过点（-1，1）时，f （x ）为偶函数D.当α＞0时，存在f （x ）使得f(√3)＜f(√2)10.函数f（x）＝{sin x，sin x≥cos xcos x，sin x<cos x，下列结论正确的是A.f（x）的值域是[−√22，1]B.当且仅当x＝2kπ+π2，k∈z或x＝2kπ，kez时，f（x）有最大值1C.当且仅当x＝2kπ+5π4，k∈z时，f（x）有最小值-1D.当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+3π2，k∈z时，f（x）＞011.函数f（x）＝|x|−3x2−9，下列结论正确是A.f（x）图象关于y轴对称B.f（x）在[0，+∞）上单调递减C.f（x）的值域为（0，13] D.f（x）有最大值12.若函数f（x）＝x sin x,则A.f（x）为偶函数B.存在实数b，使得函数g（x）＝f（x）-b的零点恰有4个C.f（x）在（0，π2）上单调递增 D.方程f（x）＝1在[-2π，2π]内有4个不同的解三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数f（x）＝2log a（2x-1）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为_____.14.已知扇形面积为4，圆心角为2rad，则扇形的周长为_____.15.已知4x＝5y＝10，12x +1y＝_____.16.函数f（x）＝{|log12x|，x>0−2x−x2，x≤0，直线y＝b与f（x）的图象四个交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，则x1+x2＝_____，x1∙x2∙x3∙x4的取值范围是_____.（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）已知集合A＝{x|x2-2x-3＞0}，B＝{x|y＝1√x−1}.（1）求（ A）∩B;（2）设集合C＝{x|a＜x＜a+1}，若A∩C＝∅，求a的取值范围.已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的周期为π，最大值为2，且过点（0，-1）.（1）求f（x）的解析式;（2）求f（x）在区间[0，π2]上的最大值和最小值.19.（12分）在平面直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点P，点P的纵坐标为45.（1）求sinα+cosα和tanα的值;（2）若将射线OP绕点O逆时针旋转π2，得到角β，求sin(β+3π)tan(π+α)cos(π−α)+sin(α+12).20.（12分）①f（ln2）＝52;②f（x）为偶函数;③f（x）的图象经过g（x）＝a x+1的图象所在的定点.从这三个条件中选一个补充在下面问题中，并解答下面的问题.问题:已知函数f（x）＝e x−ae x，a∈R，且____.（1）求f（x）的解析式;（2）判断f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并用定义证明.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.1999年以来，漳州市连续每年11月18日承办海峡两岸花卉博览会，开创了两岸花卉直接交流的先河.近年来，漳州市委、市政府高度重视花卉苗木产业的培育和发展，将花卉苗木产业纳人全市“千百亿产业培育行动计划”，出台了多项扶持政策.某花卉苗木企业积极响应市里号召，决定对企业的某花卉进行一次评估.已知该花卉单价为15元，年销售10万棵.（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少4000棵，要使销售的总收入不低于原收入，该花卉每棵售价最多为多少元？（2）为了抓住此次契机，扩大该花卉的影响力，提高年利润，企业决定立即对该花卉进行种值技术革新和营销策略改革，拟投入x（1≤x≤30）万元作为技改费和宣传费用，每棵售价定为（x+15）元，预估每棵成本为（5+1 x+1）元，销售量与投入费用的函数关系近似为S（x）＝120x+104x2+11x+9万棵.试问:投入多少万元技改费和宣传费能获得最高利润，此时利润是多少万元？（利润＝销售额-成本-技改费和宣传费）22.（12分）已知函数f（x）＝log2(3+2x−x2)(x∈[1，1+√2])，h(x)＝4x-a·2x+1.（1）求f（x）的值域;（2）对∀x1∈[1，1+√2]，∃x2∈[0，1]，使得h（x2）＝f（x1）成立，求a的取值范围.。