2020版高考数学一轮复习 课后限时集训4 函数及其表示 理(含解析)北师大版

课后限时集训(五十一) 曲线与方程(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．若方程x 2＋y 2a＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( )A ．任意实数a 方程表示椭圆B ．存在实数a 方程表示椭圆C ．任意实数a 方程表示双曲线D ．存在实数a 方程表示抛物线B [当a ＞0且a ≠1时，该方程表示椭圆；当a ＜0时，该方程表示双曲线；当a ＝1时，该方程表示圆．故选B ．]2．已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OP →＝12(OF 1→＋OQ →)(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆D [因为点P 满足OP →＝12(OF 1→＋OQ →)，所以点P 是线段QF 1的中点，设P (x ，y )，由于F 1为椭圆C ：x 216＋y 210＝1的左焦点，则F 1(－6，0)，故Q (2x ＋6，2y )，由点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，得点P 的轨迹方程为2x ＋6216＋2y 210＝1，故点P 的轨迹为椭圆．故选 D ．]3．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4y B ．y 2＝3x C ．x 2＝2yD ．y 2＝4xA [设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)． ∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ， ∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .故选A.]4. 设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2D [如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，PM ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1，又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2，即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.] 5．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y225＝1 B ．4x 221＋4y225＝1C.4x 225－4y221＝1 D ．4x 225＋4y221＝1D [因为M 为AQ 垂直平分线上一点， 则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1.则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y221＝1.]二、填空题6．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________．(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0) [设A (x ，y )，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2. ∴|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋y 24＝3， 化简得(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点构成三角形， ∴A 不能落在x 轴上， 即y ≠0.]7．一条线段的长等于6，两端点A ，B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上滑动，P 在线段AB 上且AP →＝2PB →，则点P 的轨迹方程是________．4x 2＋y 2＝16 [设P (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝36.因为AP →＝2PB →，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 3，y ＝2b3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，代入a 2＋b 2＝36，得9x 2＋94y 2＝36，即4x 2＋y 2＝16.]8．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．x 24＋y 23＝1(y ≠0) [设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，所以|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．]三、解答题9.如图所示，已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与点B (2,0)，分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．(1)△PAB 的周长为10；(2)圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；(2)圆P 与圆A 外切，且与直线x ＝1相切(P 为动圆圆心)．[解] (1)根据题意，知|PA |＋|PB |＋|AB |＝10，即|PA |＋|PB |＝6＞4＝|AB |，故P 点轨迹是椭圆，且2a ＝6,2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.因此其轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．(2)设圆P 的半径为r ，则|PA |＝r ＋1，|PB |＝r ， 因此|PA |－|PB |＝1.由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支，且2a ＝1,2c ＝4，即a ＝12，c ＝2，b ＝152，因此其轨迹方程为4x 2－415y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12.(3)依题意，知动点P 到定点A 的距离等于到定直线x ＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p ＝4.因此其轨迹方程为y 2＝－8x .10．已知动点M 到定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4 2. (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交曲线C 于不同于N 的两点A ，B ，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值．[解] (1)由椭圆的定义，可知点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，42为长轴长的椭圆． 由c ＝2，a ＝22，得b ＝2.故动点M 的轨迹C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k x ＋1得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0.Δ＝[4k (k －2)]2－4(1＋2k 2)(2k 2－8k )＞0，则k ＞0或k ＜－47.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k k －21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k1＋2k2.从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋k －4x 1＋x 2x 1x 2＝2k －(k －4)4k k －22k 2－8k ＝4. 当直线l 的斜率不存在时，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－142， 所以k 1＋k 2＝4. 综上，恒有k 1＋k 2＝4.B 组 能力提升1．已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线C [以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，则N (x,0)．因为MN →2＝λAN →·NB →，所以y 2＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2＋y 2＝λa 2， 当λ＝1时，轨迹是圆；当λ＞0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ＜0时，轨迹是双曲线； 当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M 的轨迹不可能是抛物线．]2．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B ．4x 29＋y 2＝1(y ≠0)C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y23＝1(y ≠0)C [依题意知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x 0，y 0)，G (x ，y )，则由三角形重心坐标关系可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－1＋13，y ＝y3，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y .代入x 204＋y 203＝1得重心G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1(y ≠0)．]3．若过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1，l 2分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为________．x ＋y －1＝0 [当直线l 1的斜率存在时，l 2的斜率也存在，设直线l 1的方程是y －1＝k (x－1)，则直线l 2的方程是y －1＝－1k(x －1)，所以直线l 1与x 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0，l 2与y轴的交点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1k ，设AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ，两式相加消去k ，得x ＋y ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠12，即x ＋y －1＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠12，所以AB 中点M 的轨迹方程为x ＋y －1＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠12.当l 1的斜率不存在时，AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12， 适合x ＋y －1＝0，综上可知，AB 中点的轨迹方程为x ＋y －1＝0.]4．(2019·泉州模拟)在△ABC 中，O 是BC 的中点，|BC |＝32，△ABC 的周长为6＋3 2.若点T 在线段AO 上，且|AT |＝2|TO |.(1)建立适当的平面直角坐标系，求点T 的轨迹E 的方程；(2)若M ，N 是射线OC 上不同的两点，|OM |·|ON |＝1，过点M 的直线与E 交于点P ，Q ，直线QN 与E 交于另一点R .证明：△MPR 是等腰三角形．[解] (1)如图，以O 为坐标原点，以BC →的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy .依题意得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫322，0.由|AB |＋|AC |＋|BC |＝6＋32， 得|AB |＋|AC |＝6.因为|AB |＋|AC |＝6＞|BC |，所以点A 的轨迹是以B ，C 为焦点，6为长轴长的椭圆(除去长轴端点)，所以点A 的轨迹方程为x 29＋2y 29＝1(x ≠±3)．设A (x 0，y 0)，T (x ，y )，依题意知OT →＝13OA →，所以(x ，y )＝13(x 0，y 0)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y .又x 209＋2y 209＝1，所以3x29＋23y 29＝1，即x 2＋2y 2＝1，所以点T 的轨迹E 的方程为x 2＋2y 2＝1(x ≠±1)．(2)证明：设M (m,0)(m ≠1)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m，0，Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，R (x 3，y 3)．由题意得直线QM 不与坐标轴平行， 因为k QM ＝y 1x 1－m，所以直线QM 的方程为y ＝y 1x 1－m(x －m )，与x 2＋2y 2＝1联立并整理可得，(m 2＋1－2mx 1)x 2－2m (1－x 21)x ＋(2mx 1－x 21－m 2x 21)＝0， 由根与系数的关系得x 1x 2＝2mx 1－x 21－m 2x 21m 2＋1－2mx 1，同理，x 1x 3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1m x 1－x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＋1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1m x 1＝2mx 1－m 2x 21－x 211＋m 2－2mx 1＝x 1x 2， 所以x 2＝x 3或x 1＝0， 当x 2＝x 3时，PR ⊥x 轴；当x 1＝0时，由x 1＋x 2＝2m 1－x 21m 2＋1－2mx 1，得x 2＝2mm 2＋1， 同理，x 3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＋1＝2mm 2＋1＝x 2， ∴PR ⊥x 轴．因此|MP |＝|MR |，故△MPR 是等腰三角形．。

【16份】2020版高考数学北师大版（理）一轮复习高考大题专项目录2019年5月高考大题专项一函数与导数的综合压轴大题突破1利用导数求极值、最值、参数范围1.已知函数f(x)=(x-k)e x.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.2.(2018山东潍坊一模,21)已知函数f(x)=a ln x+x2.(1)若a=-2,判断f(x)在(1,+∞)上的单调性;(2)求函数f(x)在[1,e]上的最小值.3.(2018山东师大附中一模,21)已知函数f(x)=(x-a)e x(a∈R).(1)当a=2时,求函数f(x)在x=0处的切线方程;(2)求f(x)在区间[1,2]上的最小值.4.(2018辽宁抚顺3月模拟,21改编)已知函数f(x)=ax-2ln x(a∈R).若f(x)+x3>0对任意x∈(1,+∞)恒成立,求a的取值范围.5.设函数f(x)= x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.6.(2018江西南昌一模,21改编)已知函数f(x)=e x-aln x-e(a∈R),其中e为自然对数的底数.若当x∈[1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.参考答案高考大题专项练参考答案高考大题专项一函数与导数的综合压轴大题突破1利用导数求极值、最值、参数范围1.解(1)由题意知f'(x)=(x-k+1)e x.令f'(x)=0,得x=k-1.当x∈(-∞,k-1)时,f'(x)<0,当x∈(k-1,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)的递减区间是(-∞,k-1),递增区间是(k-1,+∞).(2)当k-1≤0,即k≤１时,f(x)在[0,1]上递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;当0<k-1<1,即1<k<2时,f(x)在[0,k-1]上递减,在[k-1,1]上递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-e k-1;当k-1≥1,即k≥２时,f(x)在[0,1]上递减,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.综上,当k≤１时,f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)=-k;当1<k<2时,f(x)在[0,1]上的最小值为f(k-1)=-e k-1;当k≥２时,f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.2.解(1)当a=-2时,f'(x)=2x-=,由于x∈(1,+∞),故f'(x)>0,∴f(x)在(1,+∞)递增.(2)f'(x)=2x+=,当a≥０时f'(x)≥0,f(x)在[1,e]上递增,∴f min(x)=f(1)=1.当a<0时,由f'(x)=0解得x=±(负值舍去),设x0=.若≤1,即a≥-2,也就是-2≤a<0时,x∈[1,e],f'(x)>0,f(x)递增,∴f min(x)=f(1)=1.若1<<e,即-2e2<a<-2时,x∈[1,x0],f'(x)≤0,f(x)递减,x∈[x0,e],f'(x)≥0,f(x)递增.故f min(x)=f(x0)=-+a ln =.若≥e,即a≤-2e2时,x∈[1,e],f'(x)<0,f(x)递减.∴f min(x)=f(e)=e2+a.综上所述:当a≥-2时,f(x)的最小值为1;当-2e2<a<-2时,f(x)的最小值为;当a≤-2e2时,f(x)的最小值为e2+a.3.解(1)设切线的斜率为k.因为a=2,所以f(x)=(x-2)e x,f'(x)=e x(x-1).所以f(0)=-2,k=f'(0)=e0(0-1)=-1.所以所求的切线方程为y=-x-2,即x+y+2=0.(2)由题意得f'(x)=e x(x-a+1),令f'(x)=0,可得x=a-1.①若a-1≤1,则a≤2,当x∈[1,2]时,f'(x)≥0,则f(x)在[1,2]上递增.所以f(x)min=f(1)=(1-a)e.②若a-1≥2,则a≥3,当x∈[1,2]时,f'(x)≤0,则f(x)在[1,2]上递减.所以f(x)min=f(2)=(2-a)e2.③若1<a-1<2,则2<a<3,所以f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(1,a-1) a-1 (a-1,2)f'(x) -0 +f(x) 递减极小值递增所以f(x)的递减区间为[1,a-1],递增区间为[a-1,2].所以f(x)在[1,2]上的最小值为f(a-1)=-e a-1.综上所述:当a≤２时,f(x)min=f(1)=(1-a)e;当a≥３时,f(x)min=f(2)=(2-a)e2;当2<a<3时,f(x)min=f(a-1) =-e a-1.4.解由题意f(x)+x3>0,即a>-x2+对任意x∈(1,+∞)恒成立,记p(x)=-x2+,定义域为(1,+∞),则p'(x)=-2x+=, 设q(x)=-2x3+2-2ln x,q'(x)=-6x2-,则当x>1时,q(x)递减,所以当x>1时,q(x)<q(1)=0,故p'(x)<0在(1,+∞)上恒成立,所以函数p(x)=-x2+在(1,+∞)上递减,所以当x>1时,p(x)<p(1)=-1,得a≥-1,所以a的取值范围是[-1,+∞).5.解(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f'(0)=4,g'(0)=4.而f'(x)=2x+a,g'(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1).设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2ke x(x+1)-x2-4x-2,则F'(x)=2ke x(x+2)-2x-4=2(x+2)(ke x-1).由题设可得F(0)≥0,即k≥１.令F'(x)=0得x1=-ln k,x2=-2.①若1≤k<e2,则-2<x1≤０.从而当x∈(-2,x1)时,F'(x)<0;当x∈(x1,+∞)时,F'(x)>0.即F(x)在(-2,x1)递减,在(x1,+∞)递增.故F(x)在[-2,+∞)的最小值为F(x1).。

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题04函数及其表示最新考纲1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).基础知识融会贯通1．函数与映射于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 2.(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 【知识拓展】 简单函数定义域的类型(1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .重点难点突破【题型一】函数的概念【典型例题】若函数y ＝f （x ）的定义域为M ＝{x |﹣2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f （x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除； 对B 满足函数定义，故符合；对C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定； 对D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定． 故选：B ．【再练一题】下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．B ．y ＝arcsin （sin x ）和y ＝sin （arcsin x ）C ．y ＝x 和y ＝arccos （cos x ）D．y＝x（x∈{0，1}）和y＝x2（x∈{0，1}）【解答】解：A．y＝log22x＝x，函数的定义域为R，y x，函数的定义域为{x|x＞0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数B．y＝sin（arcsin x）的定义域为[﹣1，1]，y＝arcsin（sin x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．C．y＝arccos（cos x）的值域是[，]，y＝x的值域是R，不是相同函数．D．y＝x对应的点为（0，0），（1，1），y＝x2对应的点为（0，0），（1，1），两个函数是同一函数，故选：D．思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同．【题型二】函数的定义域问题命题点1求函数的定义域【典型例题】若函数f（x）ln（x+1），则函数g（x）＝f（x）+f（﹣x）的定义域为（）A．（﹣1，2] B．（﹣1，1）C．（﹣2，2）D．[﹣2，2]【解答】解：解得，﹣1＜x≤2；∴要使g（x）有意义，则：；解得﹣1＜x＜1；∴g（x）的定义域为（﹣1，1）．故选：B．【再练一题】已知函数f（x）的定义域为（1，2），则函数f（x2）的定义域是（）A．（1，2）B．（1，4）C．R D．（，﹣1）∪（1，）【解答】解：∵数f（x）的定义域为（1，2），∴由1＜x2＜2，得x＜﹣1或1＜x．即函数f（x2）的定义域是（，﹣1）∪（1，）．故选：D．命题点2已知函数的定义域求参数范围【典型例题】设函数f（x）．（1）当a＝5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝5时，f（x），由|x﹣1|+|x﹣2|﹣5≥0，得或或，解得：x≥4或x≤﹣1，即函数f（x）的定义域为{x|x≤﹣1或x≥4}．（2）由题可知|x﹣1|+|x﹣2|﹣a≥0恒成立，即a≤|x﹣1|+|x﹣2|恒成立，而|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）+（2﹣x）|＝1，所以a≤1，即a的取值范围为（﹣∞，1]．【再练一题】函数的定义域为R，则实数k的取值范围是．【解答】解：函数的定义域为R，∴关于x的不等式2kx2﹣kx0恒成立，k＝0时，不等式为0恒成立；k≠0时，应满足△＝k2﹣4×2k0，解得0＜k＜3，综上，实数k的取值范围是[0，3）．故答案为：[0，3）．思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域． (3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．【题型三】求函数解析式【典型例题】 已知函数f （2）＝x +45，则f （x ）的解析式为（ ）A ．f （x ）＝x 2+1 B ．f （x ）＝x 2+1（x ≥2） C ．f （x ）＝x 2 D ．f （x ）＝x 2（x ≥2）【解答】解：；∴f （x ）＝x 2+1（x ≥2）． 故选：B ．【再练一题】若函数f （x ）对于任意实数x 恒有f （x ）﹣2f （﹣x ）＝3x ﹣1，则f （x ）等于（ ） A ．x +1B ．x ﹣1C ．2x +1D ．3x +3【解答】解：函数f （x ）对于任意实数x 恒有f （x ）﹣2f （﹣x ）＝3x ﹣1， 令x ＝﹣x ，则：f （﹣x ）﹣2f （x ）＝3（﹣x ）﹣1． 则：，解方程组得：f （x ）＝x +1． 故选：A ．思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式； (4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【题型四】分段函数命题点1 求分段函数的函数值 【典型例题】已知函数，则的值是（）A．﹣1 B．3 C．D．【解答】解：由题意可得，f（） 1∴f（f（））＝f（﹣1）＝3﹣1故选：C．【再练一题】设f（x）则使得f（m）＝1成立的m值是（）A．10 B．0，10 C．0，﹣2，10 D．1，﹣1，11 【解答】解：当m＜1时，f（m）＝（m+1）2＝1∴m＝﹣2或m＝0当m≥1时，f（m）＝4 1∴m＝10综上：m的取值为：﹣2，0，10故选：C．命题点2分段函数与方程、不等式问题【典型例题】已知f（x）则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是（）A．[﹣2，1] B．（﹣∞，﹣2] C．D．【解答】解：①当x+2≥0时，即x≥﹣2，f（x+2）＝1由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x+x+2≤5∴x即﹣2≤x当x+2＜0即x＜﹣2时，f（x+2）＝﹣1由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x﹣（x+2）≤5即﹣2≤5∴x＜﹣2综上，不等式的解集为{x|x}故选：D．【再练一题】函数，若f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等，则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（10，12）C．（5，6）D．（20，24）【解答】解：函数的图象如图：∵f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等∴a∈（0，1），b∈（1，10），c∈（10，12）∴由f（a）＝f（b）得|lga|＝|lgb|，即﹣lga＝lgb，即ab＝1∴abc＝c由函数图象得abc的取值范围是（10，12）故选：B．思维升华(1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．基础知识训练1．下列图象中可作为函数图象的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵函数要求对应定义域P中任意一个x都有唯一的y值与之相对应，也就是说函数的图象与任意直线x＝c（c∈P）只有一个交点；选项A、B、D中均存在直线x＝c，与图象有两个交点，故不能构成函数；故选：C．2．下列四个图象中，不能作为函数图象的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个自变量x的值，都有唯一的函数值y与其对应，故函数的图象与直线x＝a至多有一个交点，图C中，当﹣2＜a＜2时，x＝a与函数的图象有两个交点，不满足函数的“唯一性”，故C不是函数的图象.故选：C．3．函数的定义域为A．B．C．D．【答案】D【解析】解：要使函数有意义，则：；解得，且；该函数的定义域为：．故选：D．4．已知函数,则的定义域为A．B．C．D．【答案】B【解析】解：要使f（x）有意义，则4﹣x＞0；∴x＜4；∴f（x）的定义域为（﹣∞，4）；∴函数g（x）满足：；∴x＜2，且x≠1；∴g（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，2）．故选：B．5．函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，解得x≥0且x≠1．∴函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．故选：C．6．已知函数，则( )A．1 B．C．D．【答案】D【解析】依题意，故，解得.故，所以.故选D. 7．已知f（）=，则f（x）的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由可知，函数的定义域为{x|x≠0，x≠﹣1}，将x换为，代入上式得：f（x），故选：D．8．设f（x）=，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，=f（x），A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，=f（x），D正确；故选：A．9．已知函数，则满足的t的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】函数，可得时，递增；时，递增，且，可得在R上为增函数，由，即，解得，即t的范围是．故选：C．10．已知函数，则函数的零点个数为A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，，据此可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，由函数的解析式易知函数在区间上单调递减，绘制函数图像如图所示，注意到，故方程的解：，则原问题转化为求方程时解的个数之和，由函数图像易知满足题意的零点个数为7个.本题选择B选项.11．定义在上的奇函数，当时，则关于的函数的所有零点之和为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为当时，，即时，，当时，，当时，，画出时，的图象，再利用奇函数的对称性，画出时的图象，如图所示：则直线的图象有5个交点，则方程共有5个实根，最左边两根之和为，最右边两根之和为，因为时，，所以，又，所以，所以中间的一个根满足，即，解得，所以所有根的和为，故选A.12．设函数，若，则实数a的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】解：当时，不等式可化为，即，解得；当时，不等式可化为，所以．故的取值范围是，故选C．13．若函数的值域是，则实数a的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，要使的值域是，则当时，恒成立，即，若，则不等式不成立，当时，则由，则，，即，故选：D．14．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，, 则（）A．4 B．-4 C．D．【答案】B【解析】结合奇函数的概念，可知，所以，故选B。

课后限时集训(五)(建议用时：40分钟) A 组 基础达标一、选择题1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |C [函数f (x )＝－1x ＋1的递增区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故在(0，＋∞)上是增函数，故选C ．]2．(2019·湖北八校联考)设函数f (x )＝2xx －2在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m 2M＝( )A ．23B ．38C ．32D ．83D [f (x )＝2x x －2＝x －＋4x －2＝2＋4x －2，则函数f (x )在[3,4]上是减函数，从而f (x )max ＝f (3)＝2＋43－2＝6， f (x )min ＝f (4)＝2＋44－2＝4， 即M ＝6，m ＝4，所以m 2M ＝166＝83，故选D.]3．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的递减区间是( ) A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C ．⎝⎛⎦⎥⎤－1，32 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 D [要使函数有意义需4＋3x －x 2＞0， 解得－1＜x ＜4，∴定义域为(－1,4)．令t ＝4＋3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254.则t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4上递减的， 又y ＝ln t 在⎝⎛⎦⎥⎤0，254上递增的，∴f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4.]4．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0 C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0 D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0B [函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在区间(1，＋∞)上是增函数，且f (2)＝log 22＋11－2＝0，从而f (x 1)＜0，f (x 2)＞0，故选B.]5．(2019·三门峡模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，x 2，x ≥2，若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)B [易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，x 2，x ≥2是定义域R 上是增加的．∵f (a ＋1)≥f (2a －1)，∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2. 故实数a 的取值范围是(－∞，2]，故选B.] 二、填空题6．(2019·上饶模拟)函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上的最大值是________．32 [法一：易知y ＝－x ，y ＝1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上递减的，∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上递减的，∴f (x )max ＝f (－2)＝32.法二：函数f (x )＝－x ＋1x 的导数为f ′(x )＝－1－1x2.易知f ′(x )＜0，可得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上递减的， 所以f (x )max ＝2－12＝32.]7．(2019·长春模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________．(－∞，1] [因为函数f (x )在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.] 8．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )＞f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．(－3，－1)∪(3，＋∞) [由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＞0，a ＋3＞0，a 2－a ＞a ＋3，解得－3＜a ＜－1或a ＞3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1；因为x ∈[－5,5]，所以x ＝1时，f (x )取最小值1；x ＝－5时，f (x )取最大值37.(2)f (x )的对称轴为x ＝－a .因为f (x )在[－5,5]上是单调函数，所以－a ≤－5，或－a ≥5，所以实数a 的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上是增加的；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上是减少的，求a 的取值范围． [解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，－2)上是增加的． (2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数， 又f (x )在(1，＋∞)上是减少的，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值范围是(0,1]．B 组 能力提升1．(2019·唐山模拟)函数y ＝2－xx ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．[1,2)D ．[－1,2)D [函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3x ＋1－1，在x ∈(－1，＋∞)时，函数y 是减函数，在x＝2时，y ＝0；根据题意x ∈(m ，n ]时，y 的最小值为0，∴m 的取值范围是－1≤m ＜2.故选D.]2．若函数f (x )＝|2x ＋a |的递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.－6 [f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x ＜－a2.∵函数的递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a2，＋∞， ∴－a2＝3，∴a ＝－6.]3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞1，0，x ＝1，－1，x ＜1，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．[0,2) [g (x )＝x 2f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞2，0，x ＝2，－x 2，x ＜2，当x ＜2时，g (x )＝－x 2，因此g (x )的递减区间为[0,2)．] 4．已知函数f (x )＝2x －a x的定义域为(0,1](a 为实数)． (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0,1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x，任取1≥x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2. 因为1≥x 1＞x 2＞0， 所以x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0.所以f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在(0,1]上递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f (x )的值域为(－∞，1]．(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0,1]上递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ；当a ＜0时，f (x )＝2x ＋－ax，当－a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0,1]上递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当－a2＜1，即a ∈(－2,0)时，y ＝f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，－a 2上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a2，1上递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a .。

【30份】2020版高考数学北师大版（理）一轮复习课时规范练目录课时规范练1集合的概念与运算 (2)课时规范练2不等关系及简单不等式的解法 (5)课时规范练3命题及其关系、充要条件 (11)课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (15)课时规范练5函数及其表示 (20)课时规范练6函数的单调性与最值 (24)课时规范练7函数的奇偶性与周期性 (30)课时规范练8幂函数与二次函数 (35)课时规范练9指数与指数函数 (40)课时规范练10对数与对数函数 (45)课时规范练11函数的图像 (50)课时规范练12函数与方程 (55)课时规范练13函数模型及其应用 (61)课时规范练14导数的概念及运算 (68)课时规范练15导数与函数的小综合 (72)课时规范练16定积分与微积分基本定理 (78)课时规范练17任意角、弧度制及任意角的三角函数 (82)课时规范练18同角三角函数的基本关系及诱导公式 (88)课时规范练19三角函数的图像与性质 (94)课时规范练20函数y=A sin(ωx+φ)的图像及应用 (102)课时规范练21两角和与差的正弦、余弦与正切公式 (112)课时规范练22三角恒等变换 (121)课时规范练23解三角形 (129)课时规范练24平面向量的概念及线性运算 (137)课时规范练25平面向量基本定理及向量的坐标表示 (143)课时规范练26平面向量的数量积与平面向量的应用 (149)课时规范练27数系的扩充与复数的引入 (154)课时规范练28数列的概念与表示 (158)课时规范练29等差数列及其前n项和 (163)课时规范练30等比数列及其前n项和 (169)2019年5月课时规范练1集合的概念与运算基础巩固组1.(2018厦门外国语学校一模,2)已知集合A={x|y=lg(x-1)},B={x||x|<2},则A∩B=()A.(-2,0)B.(0,2)C.(1,2)D.(-2,2)2.已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则?U A=()A.(-2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)3.(2018百校联盟四月联考,1)设集合A={-1,0,1,2},B={y|y=2x,x∈A},则A∪B中元素的个数为()A.5B.6C.7D.84.设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=()A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)5.(2018北京101中学3月模拟,1)已知集合A={x|x(x-2)<0},B={x|ln x>0},则A∩B是()A.{x|x>0}B.{x|x>2}C.{x|1<x<2}D.{x|0<x<2}6.设集合M={-4,-3,-2,-1,0,1},N={x∈R|x2+3x<0},则M∩N=()A.{-3,-2,-1,0}B.{-2,-1,0}C.{-3,-2,-1}D.{-2,-1}7.(2018山东济南二模,1)设全集U=R,集合A={x|x-1≤0},集合B={x|x2-x-6<0},则下图中阴影部分表示的集合为()A.{x|x<3}B.{x|-3<x≤1}C.{x|x<2}D.{x|-2<x≤1}8.已知全集U=R,A={0,1,2,3},B={y|y=2x,x∈A},则(?U A)∩B=()A.(-∞,0)∪(3,+∞)B.{x|x>3,x∈N}C.{4,8}D.[4,8]9.(2018湖南衡阳一模,1)已知集合A={x|(x+1)(x-3)<0},B={x|y=ln x},则A∩B=()A.{0,3}B.(0,3)C.(-1,3)D.{-1,3}10.已知集合A={x|x(x-4)<0},B={0,1,5},则A∩B=.11.已知集合A={x|log2x≤2},B={x|x<a},若A?B,则实数a的取值范围是.12.设A,B是全集I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足A?B的B的个数为.综合提升组13.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x<a},若A?B,则实数a的取值范围是()A.(-1,+∞)B.[-1,+∞)C.(3,+∞)D.[3,+∞)14.(2018河北衡水中学十模,1)已知全集U=Z,A={0,1,2,3},B={x|x2=2x},则A∩(?U B)=()A.{1,3}B.{0,2}C.{0,1,3}D.{2}15.已知全集U=R,集合A={x|x(x+2)<0},B={x||x|≤1},则如图阴影部分表示的集合是()A.(-2,1)B.[-1,0]∪[1,2)C.(-2,-1)∪[0,1]D.[0,1]16.已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A?B,则实数a-b的取值范围是.创新应用组17.已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(?R B)=R,则实数a的取值范围是()A.a≤1B.a<1C.a≥2D.a>218.若集合A={x|x2+4x+k=0,x∈R}中只有一个元素,则实数k的值为.参考答案课时规范练1集合的概念与运算1.C由题意,可知A={x|x>1},B={x|-2<x<2},∴A∩B={x|1<x<2},表示为区间即(1,2),故选C.2.C因为A={x|x<-2或x>2},所以?U A={x|-2≤x≤2}.故选C.3.B因为A={-1,0,1,2},B=,所以A∪B=-1,0,,1,2,4,A∪B中元素的个数为 6.4.D由(x-2)(x-3)≥0,解得x≥３或x≤2,所以S={x|x≤２或x≥3}.因为T={x|x>0},所以S∩T={x|0<x≤２或x≥3},故选D.5.C由题意,集合A={x|x(x-2)<0}={x|0<x<2},B={x|ln x>0}={x|x>1},所以A∩B={x|1<x<2}.故选C.6.D集合M={-4,-3,-2,-1,0,1},N={x∈R|x2+3x<0}={x|-3<x<0},∴M∩N={-2,-1}.故选D.7.D由题意可得:A={x|x≤1},B={x|-2<x<3},∴A∩B={x|-2<x≤1},故选 D.8.C∵全集U=R,A={0,1,2,3},B={y|y=2x,x∈A}={1,2,4,8},∴(?U A)∩B={4,8}.故选 C.9.B A={x|-1<x<3},B={x|x>0},所以A∩B=(0,3),故选 B.10.{1}A={x|x(x-4)<0}=(0,4),所以A∩B={1}.11.(4,+∞)由log2x≤2,得0<x≤4,即A={x|0<x≤4},而B={x|x<a},由于A?B,则a>4.12.4因为A={1,2}且A?B,所以B={1,2}或B={1,2,3}或B={1,2,4}或B={1,2,3,4}.13.C由题意,A=[-1,3],B=(-∞,a),∵A?B,∴a>3,∴a的取值范围是(3,+∞).14.A∵全集U=Z,A={0,1,2,3},B={x|x2=2x},∴?U B={x|x∈Z,且x≠0,且x≠2},∴A∩（?U B)={1,3}.故选 A.A∪B).15.C由题意可知阴影部分对应的集合为(?U(A∩B))∩（∵A={x|-2<x<0},B={x|-1≤x≤1},∴A∩B={x|-1≤x<0},A∪B={x|-2<x≤1},∵?U(A∩B)={x|x<-1或x≥0},∴(?U(A∩B))∩（A∪B)={x|0≤x≤１或-2<x<-1}.故选 C.16.(-∞,-2]集合A={x|4≤２x≤16}={x|22≤２x≤２4}={x|2≤x≤4}=[2,4].因为A?B,所以a≤2,b≥４.所以a-b≤２-4=-2.故实数a-b的取值范围是(-∞,-2].17.C∵A∪(?R B)=R,∴B?A,∴a≥2,故选C.18.4由题意x2+4x+k=0有两个相等的实根,∴Δ＝16-4k=0,解得k=4.2019年5月课时规范练2不等关系及简单不等式的解法基础巩固组1.已知a,b∈R,下列命题正确的是()A.若a>b,则|a|>|b|B.若a>b,则C.若|a|>b,则a2>b2D.若a>|b|,则a2>b22.函数f(x)=的定义域是()A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(1,3)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,3)3.已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系为()A.a<b≤cB.b≤c<aC.b<c<aD.b<a<c4.使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件是()A.x≥0B.x<0或x>2C.x∈{-1,3,5}D.x≤-或x≥35.若函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围为()A.[-4,0]B.[-4,0)C.(-4,0)D.(-∞,4]∪{0}。

课后限时集训(五十)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标1. (2019·泉州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝32.(1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值． [解] (1)∵点A 在抛物线C 上，|AO |＝|AF |＝32，∴p 4＋p 2＝32，∴p ＝2， ∴C 的方程为x 2＝4y .(2)设直线方程为y ＝kx ＋b ，代入抛物线方程，可得x 2－4kx －4b ＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，∴y 1＋y 2＝4k 2＋2b ， ∵线段PQ 的中点的纵坐标为1，∴2k 2＋b ＝1，△OPQ 的面积S ＝12·b ·16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2·b 3＋b 2(0＜b ≤1)，设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b ＞0，故函数单调递增， ∴b ＝1时，△OPQ 的面积的最大值为2.2．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．[解] (1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1. 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.① 因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.②联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24. 所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2·12·|OF |·|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.3．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值． [解] (1)由题意知3a 2＋14b2＝1，又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.①设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0－λy 0)． 因为x 204＋y 20＝1，又－λx 0216＋－λy 024＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2.① 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2k 2＋4－m 2m 21＋4k2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k2＝t .将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.② 由①②可知0＜t ≤1， 因此S ＝2－t t ＝2－t 2＋4t .故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由①知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.B 组 能力提升1．(2019·南昌市调研测试卷)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点(2，－2)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．[解] (1)椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0,2)，2a ＝2＋0＋2＋＋2＝42，所以a ＝22，b ＝2，即椭圆C 的方程是y 28＋x 24＝1.(2)若直线l 垂直于x 轴，则点E (0,22)，F (0，－22)，OE →·OF →＝－8. 若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋2， 点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到(2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0， 则x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，x 1x 2＝－42＋k2，所以OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝－4－4k 22＋k 2＋－8k 22＋k 2＋4＝202＋k 2－8，因为0<202＋k 2≤10，所以－8<OE →·OF →≤2，综上所述，OE →·OF →的取值范围是[－8,2]．2．(2019·南宁模拟)已知点P (0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的左右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于MN 以为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围．[解] (1)由题意题意△ABP 是等腰直角三角形，a ＝2，B (2,0)， 设Q (x 0，y 0)，由PQ →＝32QB →，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝65，y 0＝－45，代入椭圆方程，解得b 2＝1， ∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在，方程为y ＝kx －2，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，由直线l 与E 有两个不同的交点，则Δ＞0， 即(－16k )2－4×12×(1＋4k 2)＞0，解得k 2＞34，由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k2，由坐标原点O 位于MN 为直径的圆外， 则OM →·ON →＞0，即x 1x 2＋y 1y 2＞0，则x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2)＝(1＋k 2)x 1x 2－2k ×(x 1＋x 2)＋4 ＝(1＋k 2)121＋4k 2－2k ×16k 1＋4k2＋4＞0，解得k 2＜4， 综上可知：34＜k 2＜4，解得32＜k ＜2或－2＜k ＜－32，∴直线l 斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 3．已知椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．(1)若ED →＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值．[解] (1)由题设条件可得，椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB 的方程为x ＋2y －2＝0.设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＝4，解得x 2＝－x 1＝21＋4k2.①由ED →＝6DF →，得(x 0－x 1，k (x 0－x 1))＝6(x 2－x 0，k (x 2－x 0))，即x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，∴x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2. 由D 在AB 上，得x 0＋2kx 0－2＝0，∴x 0＝21＋2k .∴21＋2k ＝1071＋4k2，化简，得24k 2－25k ＋6＝0， 解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式可知，点E ，F 到AB 的距离分别为d 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝＋2k ＋1＋4k2＋4k2，d 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝＋2k －1＋4k2＋4k2，又|AB |＝22＋12＝5，∴四边形AEBF 的面积为 S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝12×5×＋2k ＋4k2＝＋2k 1＋4k2＝21＋4k 2＋4k1＋4k2＝21＋4k 1＋4k2＝21＋44k ＋1k≤21＋424k ·1k＝22，当且仅当4k ＝1k (k >0)，即k ＝12时，等号成立．故四边形AEBF 面积的最大值为2 2.。

课后限时集训(五)(建议用时：40分钟) A 组 基础达标一、选择题1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |C [函数f (x )＝－1x ＋1的递增区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故在(0，＋∞)上是增函数，故选C ．]2．(2019·湖北八校联考)设函数f (x )＝2xx －2在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m 2M＝( )A ．23B ．38C ．32D ．83D [f (x )＝2x x －2＝x －＋4x －2＝2＋4x －2，则函数f (x )在[3,4]上是减函数，从而f (x )max ＝f (3)＝2＋43－2＝6， f (x )min ＝f (4)＝2＋44－2＝4， 即M ＝6，m ＝4，所以m 2M ＝166＝83，故选D.]3．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的递减区间是( ) A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C ．⎝⎛⎦⎥⎤－1，32 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 D [要使函数有意义需4＋3x －x 2＞0， 解得－1＜x ＜4，∴定义域为(－1,4)．令t ＝4＋3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254.则t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4上递减的， 又y ＝ln t 在⎝⎛⎦⎥⎤0，254上递增的，∴f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4.]4．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0 C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0 D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0B [函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在区间(1，＋∞)上是增函数，且f (2)＝log 22＋11－2＝0，从而f (x 1)＜0，f (x 2)＞0，故选B.]5．(2019·三门峡模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，x 2，x ≥2，若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)B [易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，x 2，x ≥2是定义域R 上是增加的．∵f (a ＋1)≥f (2a －1)，∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2. 故实数a 的取值范围是(－∞，2]，故选B.] 二、填空题6．(2019·上饶模拟)函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上的最大值是________．32 [法一：易知y ＝－x ，y ＝1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上递减的，∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上递减的，∴f (x )max ＝f (－2)＝32.法二：函数f (x )＝－x ＋1x 的导数为f ′(x )＝－1－1x2.易知f ′(x )＜0，可得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上递减的， 所以f (x )max ＝2－12＝32.]7．(2019·长春模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________．(－∞，1] [因为函数f (x )在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.] 8．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )＞f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．(－3，－1)∪(3，＋∞) [由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＞0，a ＋3＞0，a 2－a ＞a ＋3，解得－3＜a ＜－1或a ＞3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1；因为x ∈[－5,5]，所以x ＝1时，f (x )取最小值1；x ＝－5时，f (x )取最大值37.(2)f (x )的对称轴为x ＝－a .因为f (x )在[－5,5]上是单调函数，所以－a ≤－5，或－a ≥5，所以实数a 的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上是增加的；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上是减少的，求a 的取值范围． [解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，－2)上是增加的． (2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数， 又f (x )在(1，＋∞)上是减少的，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值范围是(0,1]．B 组 能力提升1．(2019·唐山模拟)函数y ＝2－xx ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．[1,2)D ．[－1,2)D [函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3x ＋1－1，在x ∈(－1，＋∞)时，函数y 是减函数，在x＝2时，y ＝0；根据题意x ∈(m ，n ]时，y 的最小值为0，∴m 的取值范围是－1≤m ＜2.故选D.]2．若函数f (x )＝|2x ＋a |的递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.－6 [f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x ＜－a2.∵函数的递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a2，＋∞， ∴－a2＝3，∴a ＝－6.]3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞1，0，x ＝1，－1，x ＜1，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．[0,2) [g (x )＝x 2f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞2，0，x ＝2，－x 2，x ＜2，当x ＜2时，g (x )＝－x 2，因此g (x )的递减区间为[0,2)．] 4．已知函数f (x )＝2x －a x的定义域为(0,1](a 为实数)． (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0,1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x，任取1≥x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2. 因为1≥x 1＞x 2＞0， 所以x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0.所以f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在(0,1]上递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f (x )的值域为(－∞，1]．(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0,1]上递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ；当a ＜0时，f (x )＝2x ＋－ax，当－a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0,1]上递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当－a2＜1，即a ∈(－2,0)时，y ＝f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，－a 2上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a2，1上递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a .。

课后限时集训(六十四)　参数方程(建议用时：60分钟)A 组　基础达标1．已知P 为半圆C ：Error!(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为.AP π3(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M 的极坐标；(2)求直线AM 的参数方程．[解]　(1)由已知，点M 的极角为，π3且点M 的极径等于，π3故点M 的极坐标为.(π3，π3)(2)由(1)知点M 的直角坐标为，A (1,0)．(π6，3π6)故直线AM 的参数方程为Error!(t 为参数)．2．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是Error!(t 是参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.2(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围．[解]　(1)由Error!得y ＝2x ＋6，故直线l 的普通方程为2x －y ＋6＝0.由ρ＝2cos θ，2得ρ2＝2ρcos θ，2所以x 2＋y 2＝2x ，2即(x －)2＋y 2＝2，2故曲线C 的直角坐标方程为(x －)2＋y 2＝2.2(2)根据题意设点M (＋cos φ，sin φ)，222则x ＋y ＝＋cos φ＋sin φ＝＋2sin ，2222(φ＋π4)所以x ＋y 的取值范围是[－2＋，2＋]．223．(2019·新乡模拟)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线M 的直角坐标方程为x －2y ＋2＝0(x ＞0)．(1)以曲线M 上的点与点O 连线的斜率k 为参数，写出曲线M 的参数方程；(2)设曲线C 与曲线M 的两个交点为A ，B ，求直线OA 与直线OB 的斜率之和．[解]　(1)由Error!得Error!故曲线M 的参数方程为Error!.(k 为参数，且k ＞12)(2)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x .将Error!代入x 2＋y 2＝4x 整理得k 2－4k ＋3＝0，∴k 1＋k 2＝4.故直线OA 与直线OB 的斜率之和为4.4．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为2ρsin －3＝0，曲线C 的参数方程是Error!(φ为参数)．(θ＋π6)(1)求直线l 和曲线C 的普通方程；(2)直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |.[解]　(1)直线l 的极坐标方程为2ρsin －3＝0，(θ＋π6)化为ρsin θ＋ρcos θ－3＝0，3即l 的普通方程为x ＋y －3＝0，3由曲线C 的参数方程Error!消去φ，得C 的普通方程为x 2＋y 2＝4.(2)在x ＋y －3＝0中令y ＝0得P (3,0)，3∵k ＝－，33∴倾斜角α＝，5π6∴l 的参数方程可设为Error!即Error!代入x 2＋y 2＝4得t 2－3t ＋5＝0，Δ＝7＞0，3∴方程有两解，又t 1＋t 2＝3，t 1t 2＝5＞0，3∴t 1，t 2同号，故|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝3.35．已知曲线C ：＋＝1，直线l ：Error!(t 为参数)．x 24y 29(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．[解]　(1)曲线C 的参数方程为Error!(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝|4cos θ＋3sin θ－6|55＝，5|5sin θ＋a －6|5(ta n α＝43)则|PA |＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且ta n α＝.dsin 30°25543当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为.2255当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为.2556．已知直线的参数方程为Error!(其中t 为参数，m 为常数)．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线与曲线C 交于A ，B 两点．(1)若|AB |＝，求实数m 的值；152(2)若m ＝1，点P 的坐标为(1,0)，求＋的值．1|PA |1|PB |[解]　(1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ，转化为普通方程可得x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.把Error!代入x 2＋(y －1)2＝1并整理可得t 2－(m ＋)t ＋m 2＝0，(*)3由条件可得Δ＝(m ＋)2－4m 2＞0，解得－＜m ＜.3333设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝m ＋，t 1t 2＝m 2≥0，3|AB |＝|t 1－t 2|＝＝＝，解得m ＝或. t 1＋t 2 2－4t 1t 2 m ＋3 2－4m 21523236(2)当m ＝1时，(*)式变为t 2－(1＋)t ＋1＝0，3t 1＋t 2＝1＋，t 1t 2＝1，3由点P 的坐标为(1,0)知P 在直线上，可得＋＝＋＝＝＝1＋.1|PA |1|PB |1|t 1|1|t 2||t 1|＋|t 2||t 1t 2||t 1＋t 2||t 1t 2|3B 组　能力提升1．已知曲线C 1：Error!(t 为参数)，C 2：Error!(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线C 3：Error!(t π2为参数)距离的最小值．[解]　(1)由C 1消去参数t ，得曲线C 1的普通方程为(x ＋4)2＋(y －3)2＝1.同理曲线C 2的普通方程为＋＝1.x 264y 29C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C 2表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝时，P (－4,4)，又Q (8cos θ，3sin θ)．π2故M ，(－2＋4cos θ，2＋32sin θ)又C 3的普通方程为x －2y －7＝0，则M 到直线C 3的距离d ＝|4cos θ－3sin θ－13|55＝|3sin θ－4cos θ＋13|55＝|5sin(θ－φ)＋13|.55(其中φ满足ta n φ＝43)所以d 的最小值为.8552．平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝.2cos θ1－cos 2θ(1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知与直线l 平行的直线l ′过点M (2,0)，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求|AB |.[解]　(1)由l 的参数方程Error!得其普通方程为x －y －＋1＝0.将x ＝ρcos θ，y ＝33ρsin θ代入直线方程得ρcos θ－ρsin θ－＋1＝0.由ρ＝可得ρ2(1－332cos θ1－cos 2θcos 2θ)＝2ρcos θ，即ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，故曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)∵直线l 的倾斜角为，∴直线l ′的倾斜角也为.又直线l ′过点M (2,0)，∴直π3π3线l ′的参数方程为Error!(t ′为参数)，将其代入曲线C 的直角坐标方程可得3t ′2－4t ′－16＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t ′1，t ′2.由根与系数的关系知t ′1t ′2＝－，t ′1＋163t ′2＝，∴|AB |＝|t ′1－t ′2|＝＝＝.43 t ′1＋t ′2 2－4t ′1t ′2(43)2＋16×434133。

课时规范练6函数的单调性与最值基础巩固组1.(2018北京石景山一模,2)下列函数中既是奇函数,又在区间(0,+∞)上递减的函数为()A.y=B.y=-x3C.xD.y=x+2.已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)内有最小值,则函数g(x)=在区间(1,+∞)内一定()A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数3.设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=()A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}4.已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是()-A.(1,+∞)B.[4,8)C.(4,8)D.(1,8)5.已知函数f(x)=--,则该函数的递增区间为()A.(-∞,1]B.[3,+∞)C.(-∞,-1]D.[1,+∞)6.函数f(x)=x|x|,若存在x∈[1,+∞),使得f(x-2k)-k<0,则k的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C. D.7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内递增.若实数a满足f(log2a)+f(lo a)≤2f(1),则a的取值范围是()A.[1,2]B.C.D.(0,2]8.(2018河南郑州三模,5)若x∈(e-1,1),a=ln x,b=,c=e ln x,则()A.b>c>aB.c>b>aC.b>a>cD.a>b>c9.函数f(x)=在区间[1,2]上的值域为.10.设f(x)是定义在R上的增函数,若f(1-ax-x2)≤f(2-a)对任意a∈[-1,1]恒成立,则x的取值范围为.11.函数f(x)=-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为.综合提升组12.已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若任意x1∈,存在x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是()A.a≤1B.a≥1C.a≤0D.a≥013.(2018百校联盟四月联考,8)已知定义域为R的函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且x≥1时,f(x)=2x+-,若f(log a2a)<6(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是()A.∪(1,2)B.∪(2,+∞)C.∪(1,2)D.∪(2,+∞)14.(2018河北衡水中学金卷十模,9)已知函数f(x)=lg(x+)+2x+sin x,f(x1)+f(x2)>0,则下列不等式中正确的是()A.x1>x2B.x1<x2C.x1+x2<0D.x1+x2>015.已知f(x)表示x+2与x2+3x+2中的较大者,则f(x)的最小值为()A.0B.2C.-D.不存在16.已知函数f(x)=-若函数y=f(x)在区间(a,a+1)内递增,则实数a的取值范围是.创新应用组17.(2018河北衡水中学二调,9)已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,且对任意的x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),若动点P(x,y)满足等式f(x2+2x+2)+f(y2+8y+3)=0,则x+y的最大值为()A.2-5B.-5C.2+5D.518.若f(x)=lo(ax2+2x-1),g(x)=,若不论x2取何值,f(x1)>g(x2)对任意x1∈恒成立,则a的取值范围是()A.--B.--C.-D.--参考答案课时规范练6函数的单调性与最值1.B由题意得,函数y=和函数y=lo x都是非奇非偶函数,排除A、C.又函数y=x+在区间(0,1)上递减,在区间(1,+∞)上递增,排除D,故选B.2.D由题意知a<1,又函数g(x)=x+-2a在[,+∞)内是增加的,故选D.3.B f(x-2)>0等价于f(|x-2|)>0=f(2),∵f(x)=x3-8在[0,+∞)内是增加的,∴|x-2|>2,解得x<0或x>4.4.B由f(x)在R上是增函数,则有-解得4≤a<8.-5.B设t=x2-2x-3,由t≥0即x2-2x-3≥0 解得x≤-1或x≥3.故函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t=x2-2x-3的图像的对称轴方程为x=1,所以函数t在(-∞,-1]上递减,在[3,+∞)上递增.所以函数f(x)的递增区间为[3,+∞).6.D∵x≥0时,f(x)=x2,当x<0时,f(x)=-x2,∴函数f(x)在R上递增.由选项知k>0,∴f(x-2k)-k<0⇔f(x-2k)<f()⇔x-2k<⇔x<2k+,∵存在x∈[1,+∞),使得x<2k+,即x min<2k+,∴1<2k+,解得k>.7.C∵lo a=-log2a,∴f(log2a)+f(lo a)=f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a),原不等式变为2f(log2a ≤2f(1),即f(log2a ≤f(1).又因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)内递增,所以|log2a|≤1 即-1≤log2a≤1 解得≤a≤2.故选C.8.A∵x∈(e-1,1),∴a=ln x∈(-1,0),b=∈(1,2),c=e ln x=x∈(e-1,1),∴b>c>a.9.∵f(x)==-=2-,∴f(x)在区间[1,2]上是增函数,即f(x)max=f(2)=,f(x)min=f(1)=1.故f(x)的值域是.10.(-∞,-1]∪[0,+∞)因为f(x)是R上的增函数,所以1-ax-x2≤2-a,a∈[-1,1].(*)(*)式可化为(x-1)a+x2+1≥0对a∈[-1,1]恒成立.令g(a)=(x-1)a+x2+1.--解得x≥0或x≤-1,则即实数x的取值范围是(-∞,-1]∪[0,+∞).11.3因为y=在R上递减,y=log2(x+2)在区间[-1,1]上递增,所以f(x)在区间[-1,1]上递减.所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.12.C当x∈时,f(x ≥2=4,当且仅当x=2时取等号,∴f(x)min=4.当x∈[2,3]时,g(x)递增,故g(x)min=22+a=4+a.依题意知f(x)min≥g(x)min,解得a≤0.13.B由f(2-x)=f(x),可知f(x)的图像关于直线x=1对称,∵x≥1时,f(x)=2x+-,∴f(x)在[1,+∞)上是增加的.∵f(2)=6,∴f(log a2a)<6⇔f(log a2a)<f(2)⇔|log a2a-1|<|2-1|(因f(x)的图像对称轴为x=1,即自变量到x=1的距离大的函数值大),∴|log a2a-1|<1,即|log a2|<1,解得a>2或0<a<.故选B.14.D函数定义域为R,∵f(x)+f(-x)=lg(x+)+2x+sin x+lg(-x+-)-2x-sin x=lg 1=0,∴函数f(x)是奇函数,由y=lg(x+)在(0,+∞)上是增加的,令y=2x+sin x,由y'=2+cos x>0知,y=2x+sin x在(0,+∞)上是增函数,∴函数f(x)在x≥0时递增,因此f(x)在R上递增.∵f(x1)+f(x2)>0,∴f(x1)>-f(x2),∴f(x1)>f(-x2),∴x1>-x2,即x1+x2>0,故选D.15.A在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=x2+3x+2的图像,由f(x)表示x+2与x2+3x+2中的较大者,可得f(x)的图像如图中实线部分.求f(x)的最小值即求最低点的纵坐标,由图可得,当x=-2时,函数f(x)有最小值0,故选A.16.(-∞,1]∪[4,+∞)画出f(x)=-的图像如图所示,因为函数y=f(x)在区间(a,a+1)内递增,所以a+1≤2或a≥4 解得a≤1或a≥4.故实数a的取值范围是(-∞,1]∪[4,+∞).17.A对任意的x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),令x=0,y=0,都有f(0+0)=f(0)+f(0)⇒f(0)=0,动点P(x,y)满足等式f(x2+2x+2)+f(y2+8y+3)=0,即有f(x2+y2+2x+8y+5)=0=f(0),由函数f(x)是定义在R上的函数, 可得x2+y2+2x+8y+5=0,化为(x+1)2+(y+4)2=12,可令x=-1+2cos α,y=-4+2sin α,α∈ 0 2π则x+y=2(cos α+sin α)-5=2cos--5,当cos-=1即α=时,x+y取得最大值2-5,故选A.18.D∵g(x)==-=2sin,∴g(x2)max=2.f(x1)>g(x2)对任意x1∈恒成立,即f(x1)min>2恒成立;等价于0<a+2x1-1<对任意x1∈恒成立,即-<a<-对任意x1∈恒成立,设p(x1)=-=--1,q(x1)=-=--,∵x1∈,∴∈,∴p(x1)max=--1=-,q(x1)min=-,∴a∈--.故选D.。

【2019最新】精选高考数学一轮复习课时分层训练4函数及其表示理北师大版A组基础达标一、选择题1．(2017·四川巴中中学月考)下列哪个函数与y＝x是同一个函数( ) A．y＝B．y＝2log2xC．y＝D．y＝()3D [y＝x的定义域为R.而y＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，y＝2的定义域为{x|x∈R，且x＞0}，排除A、B；y＝＝|x|的定义域为R，但对应关系与y＝x的对应关系不同，排除C；y＝()3＝x的定义域、对应关系与y＝x的均相同，故选D.] 2．(2017·山西师大附中)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图像可以是( )B [A项，定义域为[－2,0]，D项，值域不是[0,2]，C项，当x＝0时有两个y值与之对应．故选B.]3．(2017·安徽黄山质检)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝( )【导学号：79140021】A．x＋1 B．2x－1C．－x＋1 D．x＋1或－x－1A [设f(x)＝kx＋b，则由f[f(x)]＝x＋2，可得k(kx＋b)＋b＝x＋2，即k2x＋kb＋b＝x＋2，所以k2＝1，kb＋b＝2，解得k＝1，b＝1，则f(x)＝x＋1.故选A.] 4．函数f(x)＝ln＋的定义域为( )A．(－1,1] B．(0,1]C．[0,1] D．[1，＋∞)B [由条件知即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1或x ＞0，x≠0，－1≤x≤1.则x∈(0,1]．所以原函数的定义域为(0,1]．]5．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )A ．－B ．－54 C ．－D ．－14A [由于f(a)＝－3，①若a≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1. 由于2x>0，所以2a －1＝－1无解； ②若a>1，则－log2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－. 综上所述，f(6－a)＝－.故选A.] 二、填空题6．已知函数y ＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y ＝f(x)的定义域为________．[－1,2] [∵y＝f(x2－1)的定义域为[－，]， ∴x∈[－，]，x2－1∈[－1,2]， ∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．]7．已知函数f(x)＝2x ＋1与函数y ＝g(x)的图像关于直线x ＝2成轴对称图形，则函数y ＝g(x)的解析式为________.【导学号：79140022】g(x)＝9－2x [设点M(x ，y)为函数y ＝g(x)图像上的任意一点，点M′(x′，y′)是点M 关于直线x ＝2的对称点，则⎩⎪⎨⎪⎧x′＝4－x ，y′＝y.又y′＝2x′＋1，∴y＝2(4－x)＋1＝9－2x ，即g(x)＝9－2x.]8．(2018·青岛质检)已知函数f(x)＝则f(log2 7)＝________.72[由题意得log27＞2，log2 ＜log24＝2，所以f(log27)＝f(log27－1)＝f ＝2)＝.] 三、解答题9．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x ＋1)－2f(x －1)＝2x ＋17，求f(x)的解析式．[解] 设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，则3f(x ＋1)－2f(x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得∴f(x)＝2x ＋7.10．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1).【导学号：79140023】(1)求f(x)的解析式；(2)在如图2­1­2所示的直角坐标系中画出f(x)的图像．图2­1­2[解] (1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)得解得a ＝－1，b ＝1，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x≥0.(2)f(x)的图像如图．B 组 能力提升11．(2018·石家庄质检(一))设函数f(x)＝若f ＝2，则实数n 为( )A ．－B ．－13 C.D.52D [因为f ＝2×＋n ＝＋n ，当＋n ＜1，即n ＜－时，f ＝2＋n ＝2，解得n ＝－，不符合题意；当＋n≥1，即n≥－时，f ＝log2＝2，即＋n ＝4，解得n ＝，故选D.] 12．具有性质：f ＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f(x)＝x －；②f(x)＝x ＋；③f(x)＝其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①B [对于①，f(x)＝x －，f ＝－x ＝－f(x)，满足；对于②，f ＝＋x ＝f(x)，不满足；对于③，f ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ＝故f ＝－f(x)，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]13．设函数f(x)＝，x≥1，))则使得f(x)≤2成立的x 的取值范围是________.【导学号：79140024】(－∞，8] [当x ＜1时，x －1＜0，ex －1＜e0＝1≤2， ∴当x ＜1时满足f(x)≤2.当x≥1时，x)≤2，x≤23＝8，∴1≤x≤8. 综上可知x∈(－∞，8]．]14．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1. (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数y ＝f(x2－2)的值域．[解] (1)设f(x)＝ax2＋bx ＋c (a≠0)， 由题意可知 整理得∴解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12，c ＝0.∴f(x)＝x2＋x.(2)由(1)知y ＝f(x2－2)＝(x2－2)2＋(x2－2)＝(x4－3x2＋2)＝2－，当x2＝时，y 取最小值－，故函数y ＝f(x2－2)的值域为.。