江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十一函数与方程文含解析苏教版

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课时跟踪检测（四十五）圆与方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若圆的半径为3,圆心与点(2,0）关于点（1,0）对称,则圆的标准方程为________．答案：x2＋y2＝92．在平面直角坐标系xOy中,设点P为圆O：x2＋y2＋2x＝0上任意一点，点Q（2a，a＋3)(a ∈R)，则线段P Q长度的最小值为________．解析：圆O：x2＋y2＋2x＝0，即 (x＋1）2＋y2＝1，表示以(－1，0)为圆心、半径为1的圆,则点Q（2a，a＋3)到圆心(－1，0）的距离d＝2a＋12＋a＋32＝错误!＝错误!，所以当a＝－1时，d取得最小值为5，故线段P Q长度的最小值为5－1.答案:错误!－13．若圆x2＋y2＋2ax－b2＝0的半径为2，则点（a,b）到原点的距离为________．解析:由半径r＝12D2＋E2－4F＝12错误!＝2得，错误!＝2。

所以点(a，b)到原点的距离d＝错误!＝2.答案:24．若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0）关于直线y＝x对称,则圆C的标准方程为________．解析:根据题意得点(1,0）关于直线y＝x对称的点（0,1)为圆心，又半径r＝1，所以圆C 的标准方程为x2＋(y－1）2＝1.答案：x2＋（y－1）2＝15．(2019·兴化月考)经过点（2,0)且圆心是直线x＝2与直线x＋y＝4的交点的圆的标准方程为________．解析:由错误!得错误!即两直线的交点坐标为（2,2)，则圆心坐标为（2,2)．又点(2,0）在圆上,所以半径r＝2，则圆的标准方程为（x－2)2＋（y－2)2＝4。

课时跟踪检测(十一) 函数的图象及其应用[A级保分题准做快做达标]1.若函数y= f(x)的图象如图所示，则函数y=—f(x + 1)的图象大致为()要想由y= f(x)的图象得到y=—f(x+ 1)的图象，需要先将y= f(x)的图象y=- f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y= —f(x+ 1)的图象,中山一中统测)如图所示的函数图象对应的函数可能是()解析：选C 关于x轴对称得到根据上述步骤可知C正确.2. (2018全国卷n )函数e x—e—xf(x) = x2 的图象大致为(解析：选 B ••• y= e x—e八A2 e —ey= x 是偶函数，••• f(x)=是奇函数，图象关于原点对称, 排除A选项.当x= 1时,1 f(1)= e- e>0，排除D选项.又1e—e>1，排除C选项.故选B.3. (20佃—x是奇函数,2x sin xB y= 7TTC. y= (x2—2x)e xxD. y=i7^解析：选C A选项中，当x =—1时，y= 2x—x2—1 = 1—1—1=—3<0，不符题意；Bn . |X . 2 —2X sin —2 sin x 2 选项中，当x=—孑时，y= x+ 4 =2 4+14—2+1n2 —2一—<0,不符题意;4 — 2+ 1D选项中,当x<0时，y=^无意义，不符题意.故选C.4. (2019辽宁重点高中协作校阶段考试)已知f(x) = ：；［—1 ,则下列选项错误的是(②是f(—X)的图象B.A .①是f(x—1)的图象f(|x|)的图象解析：选D作出函数C .③是④是|f(x)|的图象f(x)的图象，如图所示.f(x—1)的图象是由函数f(x)的图象向右平移一个单位长度得到的，A正确；f( —x)的图象与函数f(x)的图象关于y轴对称，B正确；对于f(|x|)的图象，当x>0时，与f(x)的图象相同，当xvO时，与f(x)在［0,1］上的图象关于y轴对称，C正确；因为JiH o\' i ■-•f(x)>0，所以|f(x)|的图象与函数f(x)的图象相同，所以D不正确.故选D.(2019山西四校联考)已知函数f(x)=|x2—1|,若Ovavb且f(a) = f(b)，贝V b的取值范5.围是((0, )(1, 2) D. (1,2)解析：选C 作出函数f(x)= |x2—1|在区间(0, +8)上的图象如图所示，作出直线y= 1,交f(x)的图象于B点，由x2—1= 1可得xB=2, 结合函数图象可得b的取值范围是(1, 2)，故选C.6. (2019汉中模拟)函数f(x)=B. (1 ,+^ )yL1N .7......V . rJ 2 x—1 I •in x的图象大致为7. (2019西安第一中学期中)设函数f(x)= "i3x + 4, x<0,X 2, X 3，满足 f(X 1)= f(X 2)= f(X 3)，贝V X 1+ X 2+ X 3 的取值范围是(A. 131, 6不妨设x 1<x 2<x 3，贝y X 2, x 3关于直线x = 3对称，故x 2+ x 3= 6，且X p 满足—7<x 1<0 ,7 11 则一3+ 6<X 1 + X 2 + X 3<0 + 6, 即卩 X 1+ X 2+ X 3 3 ,8. (2019昆明检测)已知定义在 R 上的函数f(x)是奇函数，且f(x)在(一R, 0)上是减函 数，f(2) = 0, g(x)= f(x + 2)，则不等式 xg(x )w 0 的解集是 _______________________ .解析：如图所示，虚线部分为f(x)的草图，实线部分为g(x )的草图,解析：选Af(2)=sin x = f(x), •••函数f(x)为偶函数，故排除 —1 ；sin 2v 0,故排除 B ,选 A.C 、D ;当 x = 2 时,-2x — 6x + 6, x >0,解析：选D 函数f(x)=*i3x + 4, x<0x 2— 6x + 6, x 》0,的图象如图,若互不相等的实数X i ,311 6 .故选D.x > 0,则 xg(x) w 0?Ig (x 尸 0或 X "0，gx >0,由图可得xg(x)< 0的解集为(一a,— 4] U [-2 ,+s ). 答案：(一a, — 4] U [ — 2,+a )9. (2019合肥质检)对函数f(x),如果存在0,使得f(x °)=— f(— x o ),则称(x o , f(x 。

第11章 算法复数推理与证明 第2讲A 组 基础关1．(2018·榆林模拟)已知复数z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，则z 1z 2＝( ) A ．8－6i B ．8＋6i C ．－8＋6i D ．－8－6i 答案 B解析 z 1z 2＝6－8i －i＝(6－8i)·i＝8＋6i.2．(2019·青岛模拟)在复平面内，复数z ＝4－7i2＋3i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B 解析 z ＝4－7i2＋3i＝4－7i2－3i13＝－13－26i 13＝－1－2i ，其共轭复数z ＝－1＋2i对应的点(－1,2)在第二象限．3．(2018·河南省天一大联考)已知复数z ＝2－3i ，若z 是复数z 的共轭复数，则z ·(z ＋1)＝( )A ．15－3iB ．15＋3iC ．－15＋3iD ．－15－3i答案 A解析 依题意，z ·(z ＋1)＝(2－3i)(3＋3i)＝6＋6i －9i ＋9＝15－3i.4．(2019·广东测试)若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1 答案 C解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a －2＝0，a ≠0，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝2－i 1－2i 1＋2i1－2i＝－3i3＝－i.故选C.5．已知m 为实数，i 为虚数单位，若m ＋(m 2－4)i>0，则m ＋2i2－2i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1 答案 A解析 因为m ＋(m 2－4)i>0，所以m ＋(m 2－4)i 是实数，所以⎩⎨⎧m >0，m 2－4＝0，故m ＝2.所以m ＋2i 2－2i＝2＋2i 2－2i ＝1＋i1－i＝i. 6．(2018·成都市第二次诊断性检测)若虚数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx的最大值是( )A.32B.33C.12 D.3 答案 D解析 因为(x －2)＋y i 是虚数， 所以y ≠0，又因为|(x －2)＋y i|＝3， 所以(x －2)2＋y 2＝3.因为y x是复数x ＋y i 对应点的斜率，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝tan ∠AOB ＝3，所以y x 的最大值为 3.7．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )． 对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，则b ＝0且a ≠0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∈/ R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒/a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B.8．(2017·天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．答案 －2解析 ∵a ∈R ，a －i2＋i＝a －i2－i 2＋i 2－i ＝2a －1－a ＋2i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2.9．(2018·合肥模拟)设z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．答案 1解析 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝－1＋c i ， 因为z 2＝z 1－i z 1，所以－1＋c i ＝(a ＋b i)－i(a －b i)＝(a －b )＋(b －a )i ，所以⎩⎨⎧a －b ＝－1，b －a ＝c ，所以c ＝1，所以z 2的虚部为1.10．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 20221＋i ，则复数z 在复平面内对应点的坐标为________．答案 (0,1)解析 因为i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0， 而2022＝4×505＋2，所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 20221＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i1＋i＝－1＋i1－i 1＋i1－i ＝2i2＝i ，对应的点为(0,1)．B 组 能力关1．(2018·华南师大附中模拟)欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知e a i 为纯虚数，则复数sin2a ＋i1＋i在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 由题意得e a i＝cos a ＋isin a 是纯虚数，所以⎩⎨⎧cos a ＝0，sin a ≠0，所以sin2a ＝2sin a cos a ＝0，sin2a ＋i 1＋i ＝i 1＋i ＝i 1－i 2＝1＋i 2，其在复平面内对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12在第一象限． 2．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i的“错位共轭”复数为( )A ．－36－12iB ．－32＋32iC.36＋12i D.32＋32i 答案 D解析 由(z －i)⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12i ＝1，可得z －i ＝132－12i ＝32＋12i ，所以z ＝32＋32i.故选D.3．(2019·西安模拟)已知方程x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R )有实根b ，且z ＝a ＋b i ，则复数z 等于( )A ．2－2iB ．2＋2iC ．－2＋2iD ．－2－2i答案 A解析 由题意得b 2＋(4＋i)b ＋4＋a i ＝0， 整理得(b 2＋4b ＋4)＋(a ＋b )i ＝0，所以⎩⎨⎧ b ＋22＝0，a ＋b ＝0，所以⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2，所以z ＝2－2i.4．已知复数z 在复平面内对应的点在第三象限，则z 1＝z ＋|z |在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 令z ＝a ＋b i(a <0，b <0)，则|z |＝a 2＋b 2>|a |，z 1＝z ＋|z |＝(a 2＋b 2＋a )－b i ，又a 2＋b 2＋a >0，－b >0，所以z 1在复平面内对应的点在第一象限．5．已知复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i(a ∈R )的对应点在复平面的第二象限，则|1＋a i|的取值范围是________．答案 [1，5)解析 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎨⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2.所以|1＋a i|＝1＋a 2∈[1，5)．6．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7解析 由复数相等的充要条件，可得⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.。

2.5二次函数与幂函数、函数与方程挖命题【考情探究】的难度.函数与方程是江苏必考内容,主要考查运用零点存在性定理求函数在某区间的零点个数、运用函数图象判定函数的零点个数、根据函数的零点个数(或方程根的个数)求参数的范围等.破考点【考点集训】考点一幂函数的图象及性质1.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点,则f(4)的值等于.答案2.(2019届江苏宜兴官林中学检测)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·-(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n=.答案 1考点二二次函数的图象和性质1.已知函数f(x)=x2-6x+8,xÎ[1,a],并且函数f(x)的最小值为f(a),则实数a的取值范围是.答案(1,3]2.(2019届江苏白蒲高级中学检测)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的是.答案①④考点三函数与方程1.函数f(x)=e x+x-2的零点有个.答案 12.(2018江苏溧阳高级中学检测)函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是.答案-∞-炼技法【方法集训】方法一幂函数图象与性质的求解策略1.正整数p使得函数f(x)=x p-2在(0,+∞)上是减函数,则函数的单调递减区间是.答案(-∞,0),(0,+∞)2.已知幂函数f(x)=-,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是.答案(3,5)方法二求函数零点个数的解题策略1.(2018江苏板浦高级中学检测)函数f(x)=x·lg(x+2)-1的图象与x轴的交点有个.答案 22.(2019届江苏东台中学检测)函数f(x)=log2x-x+2的零点个数为.答案 2方法三已知函数零点求参数的范围的常用方法1.函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是.答案2.(2019届江苏南通第三中学检测)已知函数f(x)=2mx2-x-1在区间(-2,2)上恰有一个零点,则实数m的取值范围是.答案-过专题【五年高考】A组自主命题·江苏卷题组∈其中集合1.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上, f(x)=D=-∈,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是.答案82.(2014江苏,13,5分,0.48)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时, f(x)=-.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.答案则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数3.(2015江苏,13,5分,0.27)已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=--为.答案 4B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一二次函数与幂函数1.(2017北京文,11,5分)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.答案2.(2015四川改编,9,5分)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为.答案183.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+的最小值为.答案-2考点二函数与方程1.(2018课标全国Ⅰ理改编,9,5分)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是.答案[-1,+∞)2.(2018天津理,14,5分)已知a>0,函数f(x)=--若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.答案(4,8)3.(2018课标全国Ⅲ理,15,5分)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为.答案 34.(2017山东理改编,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是.答案(0,1]∪[3,+∞)5.(2017课标全国Ⅲ理改编,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=.答案6.(2016山东,15,5分)已知函数f(x)=-其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案(3,+∞)7.(2016天津,14,5分)已知函数f(x)=-(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是. 答案8.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=---①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.答案①-1②∪[2,+∞)C组教师专用题组1.(2009新课标改编)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为.答案 62.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.答案(0,1)∪(9,+∞)3.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.答案(-∞,0)∪(1,+∞)4.(2016课标全国Ⅱ改编,12,5分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x 1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则=.答案m【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共50分)1.(2018江苏常熟高三期中调研)已知幂函数y=-(m∈N*)在(0,+∞)上是增函数,则实数m的值是. 答案 12.(2018江苏海安中学阶段测试)若幂函数f(x)=xα的图象经过点,则其单调减区间为.答案(0,+∞)3.(2019届江苏侯集中学检测)函数f(x)=lg x+的零点是.答案4.(2018江苏启东中学检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=.答案x2+2x+15.(2018江苏姜堰中学高三期中)函数f(x)=log2(3x-1)的零点为.答案6.(2019届江苏海门中学检测)已知函数f(x)=x2-2x+2的定义域和值域均为[1,b],则b=.答案 27.(2019届江苏南通中学检测)若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则实数a的取值集合为.答案{-3,3}8.(2019届江苏海安中学检测)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(x)-x的零点为.答案-1,-29.(2019届江苏启东汇龙中学检测)若幂函数f(x)的图象经过点,则函数g(x)=+f(x)在上的值域为.答案10.(2019届江苏南通大学附属中学检测)已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是.答案x1<x2<x3二、解答题(共30分)11.(2019届江苏启东检测)已知函数f(x)=x2+ax+2,a∈R.(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求不等式f(x)≥1-x2的解集;(2)若函数g(x)=f(x)+x2+1在区间(1,2)上有两个不同的零点,求实数a的取值范围. 解析(1)因为不等式f(x)≤0的解集为[1,2],所以a=-3,于是f(x)=x2-3x+2.由f(x)≥1-x2得1-x2≤x2-3x+2,解得x≤或x≥1,所以不等式f(x)≥1-x2的解集为或.(2)函数g(x)=2x2+ax+3在区间(1,2)上有两个不同的零点,则--解得-5<a<-2.所以实数a的取值范围是(-5,-2).12.(2019届江苏常州第一中学检测)已知值域为[-1,+∞)的二次函数f(x)满足f(-1+x)=f(-1-x),且方程f(x)=0的两个实根x1,x2满足|x1-x2|=2.(1)求f(x)的表达式;(2)函数g(x)=f(x)-kx在区间[-1,2]上的最大值为f(2),最小值为f(-1),求实数k的取值范围.解析(1)由f(-1+x)=f(-1-x),可得f(x)的图象关于直线x=-1对称.设f(x)=a(x+1)2+h=ax2+2ax+a+h(a≠0).由函数f(x)的值域为[-1,+∞),可得h=-1.根据根与系数的关系可得x1+x2=-2,x1x2=1+,所以|x1-x2|=-=-=2,解得a=1,所以f(x)=x2+2x.(2)由题意得函数g(x)在区间[-1,2]上单调递增,又g(x)=f(x)-kx=x2-(k-2)x.所以g(x)的对称轴方程为x=-,则-≤-1,即k≤0,故k的取值范围为(-∞,0].。

课时跟踪检测（五） 函数的单调性与最值一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·如皋中学月考)函数f (x )＝|x 2－2x ＋2|的增区间是________． 解析：因为函数f (x )＝|x 2－2x ＋2|＝|(x －1)2＋1|＝(x －1)2＋1， 所以函数f (x )＝|x 2－2x ＋2|的增区间是[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)2．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14， 结合图象知，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.答案：143．(2018·徐州质检)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：因为y ＝⎝⎛⎭⎫13 x 和y ＝－log 2(x ＋2)都是[－1,1]上的减函数，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13 x －log 2(x ＋2)是在区间[－1,1]上的减函数，所以最大值为f (－1)＝3.答案：34．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足f (2x －1)＜f (5)的x 的取值范围是________． 解析：因为偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，且f (2x －1)＜f (5)，所以|2x －1|＞5，即x ＜－2或x ＞3. 答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)5．若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1,2]上是减函数，所以a ≤1. 又g (x )＝(a ＋1)1－x在[1,2]上是减函数．所以a ＋1＞1，所以a ＞0.综上可知0＜a ≤1. 答案：(0,1]6．(2019·海门中学高三检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)成立，那么实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )满足对任意x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)成立， ∴函数f (x )在定义域上是增函数， 则满足⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，2－a ＋1≤a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，a ＞1，a ≥32，解得32≤a ＜2.答案：⎣⎡⎭⎫32，2二保高考，全练题型做到高考达标 1．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析：f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a ，因为函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0，－2a ≤－2，解得a ≥1.答案：[1，＋∞)2．(2019·江阴高三检测)设a ＞0且a ≠1，函数f (x )＝log a |ax 2－x |在[3,5]上是单调增函数，则实数a 的取值范围为______________．解析：∵a ＞0且a ≠1，函数f (x )＝log a |ax 2－x |＝log a |x ·(ax －1)|在[3,5]上是单调增函数， ∴当a ＞1时，y ＝x ·(ax －1)在[3,5]上是单调增函数，且y ＞0，满足f (x )是增函数； 当0＜a ＜1时，要使f (x )在[3,5]上是单调增函数，只需⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，3≥12a，5＜1a ，解得16≤a ＜15.综上可得，a ＞1或16≤a ＜15.答案：⎣⎡⎭⎫16，15∪(1，＋∞)3．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x ＞2时，h (x )＝－x ＋3是减函数，所以h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.答案：14．(2018·徐州一模)已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，当函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在区间[a ，b ]上同时递增或者同时递减时，把区间[a ，b ]叫做函数y ＝f (x )的“不动区间”，若区间[1,2]为函数f (x )＝|2x －t |的“不动区间”，则实数t 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，所以g (x )＝f (－x )＝|2－x －t |.因为区间[1,2]为函数f (x )＝|2x －t |的“不动区间”，所以函数f (x )＝|2x －t |和函数g (x )＝|2－x －t |在[1,2]上单调性相同，因为y ＝2x －t 和函数y ＝2－x －t 的单调性相反，所以(2x －t )(2－x－t )≤0在[1,2]上恒成立， 即2－x ≤t ≤2x 在[1,2]上恒成立，解得12≤t ≤2.答案：⎣⎡⎦⎤12，25．(2018·金陵中学月考)定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，所以函数在[－2,2]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，2a －2＜a 2－a .所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a ＜1或a ＞2，所以0≤a ＜1.答案：[0,1)6．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)， f (－3)的大小关系为____________(用“＜”表示)．解析：因为f (x )是偶函数， 所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 所以f (π)＞f (3)＞f (2)，所以f (－2)＜f (－3)＜f (π)． 答案：f (－2)＜f (－3)＜f (π)7．(2018·苏州高三暑假测试)已知函数f (x )＝x ＋a x (a ＞0)，当x ∈[1,3]时，函数f (x )的值域为A ，若A ⊆[8,16]，则a 的值等于________．解析：因为A ⊆[8,16]，所以8≤f (x )≤16对任意的x ∈[1,3]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤16x －x 2，a ≥8x －x 2对任意的x ∈[1,3]恒成立，当x ∈[1,3]时，函数y ＝16x －x 2在[1,3]上单调递增，所以16x －x 2∈[15,39]，函数y ＝8x －x 2在[1,3]上也单调递增，所以8x －x 2∈[7,15]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤15，a ≥15，即a 的值等于15.答案：158．若函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解析：函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m ＞0，即m ＜14.若a ＞1，则函数f (x )在[－1,2]上的最小值为1a＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，12＝m ，与m ＜14矛盾；当0＜a ＜1时，函数f (x )在[－1,2]上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116.所以a ＝14.答案：149．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ， 设0＜x 1＜x 2，则x 1x 2＞0，x 2－x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫a －1x 2－⎝⎛⎭⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＞0， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意a －1x ＜2x 在(1，＋∞)上恒成立， 设h (x )＝2x ＋1x，则a ＜h (x )在(1，＋∞)上恒成立． 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1＜x 2， h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－1x 1x 2.因为1＜x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，所以2－1x 1x 2＞0， 所以h (x 1)＜h (x 2)，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 故a ≤h (1)，即a ≤3，所以实数a 的取值范围是(－∞，3]． 10．(2019·江阴期中)设函数f (x )＝ax ＋b 1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫13＝310.(1)求函数f (x )的解析式；(2)用单调性定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式f (|t |－1)＋f (t 2)＜f (0)． 解：(1)因为f (x )＝ax ＋b1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数， 所以f (0)＝b ＝0，所以f (x )＝ax1＋x 2，而f ⎝⎛⎭⎫13＝13a 1＋19＝310， 解得a ＝1，所以f (x )＝x1＋x 2，x ∈(－1,1)．(2)证明：任取x 1，x 2∈(－1,1)且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22). 因为x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，又因为x 1，x 2∈(－1,1)，所以1－x 1x 2＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以函数f (x )在(－1,1)上是增函数．(3)由题意，不等式f (|t |－1)＋f (t 2)＜f (0)可化为f (|t |－1)＋f (t 2)＜0，即f (t 2)＜－f (|t |－1)， 因为f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数， 所以f (t 2)＜f (1－|t |)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜t 2＜1，－1＜1－|t |＜1，t 2＜1－|t |，解得1－52＜t ＜5－12且t ≠0， 所以该不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是____________．解析：因为f (9)＝f (3)＋f (3)＝2，所以由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)， 因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x (x －8)≤9，解得8＜x ≤9.答案：(8,9]2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0.(1)证明：f (x )为单调递减函数；(2)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解：(1)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＞x 2， 则x 1x 2＞1，由于当x ＞1时，f (x )＜0， 所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0，因此f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (2)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， 所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得， f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1， 所以f (9)＝－2.所以f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。

考点11 函数与方程1．（江苏省连云港市2025届高三上学期期中考试）已知为正常数，，若使，则实数的取值范围是_______.【答案】（2，＋∞）【解析】由于，函数在上单调递增，当时有最小值为.在时，函数为增函数，要使存在，使得，则需，解得.2．（江苏省徐州市2025届高三上学期期中质量抽测）已知函数，若有三个零点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】（1）＝0时，，只有一个零点，不合题意；（2）＜0时，，＞0，在R上单调递增，所以，不行能有3个解，也不合题意。

（3）＞0时，，得画出函数：的图象，如图：当时有三个零点，其中有唯一的零点，有两个零点，即在有两个零点.，＝0，得x=x 在（0，）递减，在（，）递增，＜0，解得：3．（江苏省南通市2025届高三模拟练习卷）已知()f x 是定义在R上且周期为32的周期函数，当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()121f x x =--．若函数()log a y f x x =-(1a >)在()0,∞+上恰有4个互不相同的零点，则实数a的值__． 【答案】72【解析】当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，得12,02()1211322,22x x f x x x x ⎧<<⎪⎪=--=⎨⎪-≤≤⎪⎩ ，且()f x 是定义在R 上且周期为32的周期函数， 函数()log a y f x x =-(a ＞1)在(0，+∞)上恰有4个互不相同的零点，∴函数()y f x =与log a y x =(a ＞1)在(0，+∞)上恰有4个不同的交点，分别画出两函数图象如图所示，由图可知，当x ＝72时，有72log a ＝1，所以a =72.故答案为：724．（江苏省镇江市2025届高三考前三模）已知函数ln ,0()21,0xx x f x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数()y f x x a =+-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】()2,+∞【解析】由()0y f x x a =+-=得：()f x x a =-+∴函数()0y f x x a =+-=有且只有一个零点等价于：()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交点画出函数()ln ,021,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩的图象如下图：y x a =-+的图象经过点()0,2A 时有2个交点，平移y x =-，由图可知，直线与y 轴的交点在A 点的上方时，两图象只有1个交点， 在A 点下方时，两图象有2个交点2a ∴>，即()2,a ∈+∞本题正确结果：()2,+∞5．（2024年江苏省高考数学试卷）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当(0,2]x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】当(]0,2x ∈时，()2()11,f x x =--即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(0,9]上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心（1，0）到直线20kx y k -+=的距离为1，2211k kk +=+，得24k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点（1,1）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满意()()f x g x =在(0,9]上有8个实根的k 的取值范围为1234⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 6．（江苏省扬州中学2025届高三4月考试）已知函数31,0()2,0ax x f x x ax x x -≤⎧=⎨-+->⎩的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围______. 【答案】0a <或2a >【解析】（1）当0a <时，()f x 在(,0]-∞上单调递减，又(0)1f =-，所以函数()f x 的图象经过其次、三象限，当0x >时，33(1)2,2()(1)2,02x a x x f x x a x x ⎧---=⎨-++<<⎩，所以223(1),2()3(1),,02x a x f x x a x ⎧--=⎨-+<<⎩'，①若1a -时，()0f x '>恒成立，又当0x +→时，()2f x →，所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；②若10a -<<时，()0f x '>在[2,)+∞上恒成立，当02x <<时，令()0f x '=，解13x =<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在2⎫⎪⎪⎭上单调递增，又(2210f a ⎛=+=-> ⎝ 所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；（2）当0a =时，()f x 的图象在(,0)-∞上，只经过第三象限，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 的图象在(0,)+∞上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当0a >时，()f x 在(,0)-∞上单调递增，故()f x 的图象在(,0)-∞上只经过第三象限，所以()f x 在(0,)+∞上的最小值min ()0f x <，当02x <<时，令()0f x '=，解得x =2<时，即11a <时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为21f ⎛= ⎝，令2102211f a a ⎛=<⇒>∴<< ⎝.211a ≥⇒≥时，则()f x 在02x <<时，单调递减，当2x ≥时，令()0f x '=，解得x =21113a <⇒≤<，()f x 在(2,)+∞上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为(2)82f a =-，令8204a a -<⇒>，所以1113a ≤<；若12133a a -≥⇒≥，()f x 在12,3a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为12(1)12333a a a f ⎛⎫---=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 明显2(1)12033a a ----<，故13a ≥；结上所述：0a <或2a >.7．（江苏省七市2025届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三其次次调研考试）定义在R 上的奇函数满意，且在区间上，则函数的零点的个数为___．【答案】5 【解析】由题知函数的周期为4，又函数为奇函数，∴，即故f(x)关于（2,0）中心对称，又g(x)=为偶函数，则画出f(x)与g(x)在同一个坐标系的图像如图所示：故交点有5个 故答案为58．（江苏省南通市通州区2024-2025学年第一学期高三年级期末考试）已知函数若函数有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是______．【答案】【解析】由数有且只有一个零点，等价为数，即有且只有一个根，即函数与，只有一个交点，作出函数的图象如图：，，要使函数与，只有一个交点，则，故答案为：．9．（江苏省南通市基地学校2025届高三3月联考）已知函数有三个不同的零点，则实数m的取值范围是____．【答案】【解析】当时，且在上单调递增有且仅有一个零点当时，须要有两个零点当时，当时，恒成立，即单调递增，不合题意；当时，令，解得：当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，本题正确结果：.10．（江苏省南通市三县（通州区、海门市、启东市)2025届高三第一学期期末联考）函数有3个不同零点，则实数a的取值范围____【答案】【解析】解：当x＜﹣1时，由f（x）＝0得x2﹣2ax＝0,得a，∵x＜﹣1，∴a且此时函数f（x）只有一个零点，要使f（x）有3个不同零点，则等价为当x≥﹣1时，f（x）＝0有且只有2个不同的零点，由f（x）＝e x﹣|x﹣a|＝0得e x＝|x﹣a|，作出函数g（x）＝e x和h（x）＝|x﹣a|在x≥﹣1的图象如图，当x≥a时，h（x）＝x﹣a，当h（x）与g（x）相切时，g′（x）＝e x，由g′（x）＝e x＝1得x＝0，此时g（0）＝1，即切点坐标为A（0，1），此时h（0）＝0﹣a＝1，得a＝﹣1，当x＝﹣1时，g（﹣1），当直线h（x）＝x﹣a经过点B（﹣1，）时，﹣1﹣a，则a＝﹣1，要使e x＝|x﹣a|在x≥﹣1时，有两个不同的交点，则直线h（x）＝x﹣a应当在过A和B的直线之间，则﹣1a＜﹣1，即实数a的取值范围是[﹣1，﹣1），故答案为：[﹣1，﹣1）.11．（江苏省扬州市2024-2025学年度第一学期期末检测试题）已知函数有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为_______．【答案】或【解析】函数0，得|x+a|a＝3，设g（x）＝|x+a|a，h（x）＝3，则函数g（x），不妨设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，当x＞﹣a时，由f（x）＝0，得g（x）＝3，即x3，得x2﹣3x﹣4＝0，得（x+1）（x﹣4）＝0，解得x＝﹣1，或x＝4；若①﹣a≤﹣1，即a≥1，此时x2＝﹣1，x3＝4，由等差数列的性质可得x1＝﹣6，由f（﹣6）＝0，即g（﹣6）＝3得62a＝3，解得a，满意f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有一解．若②﹣1＜﹣a≤4，即﹣4≤a＜1，则f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3＝4，所以有x1，x2是﹣x2a＝3的两个解，即x1，x2是x2+（2a+3）x+4＝0的两个解．得到x1+x2＝﹣（2a+3），x1x2＝4，又由设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2＝x1+4，解得：a＝﹣1（舍去）或a＝﹣1．③﹣a＞4，即a＜﹣4时，f（x）＝0最多只有两个解，不满意题意；综上所述，a或﹣1．12．（江苏省苏州市2025届高三上学期期末学业质量阳光指标调研）设函数，若对随意(，0)，总存在[2，)，使得，则实数a的取值范围_______．【答案】【解析】由题意，对随意(，0)，总存在[2，)，使得，即当随意(，0)，总存在[2，)，使得，当时，，当时，函数，当，此时，符合题意；当时，时，，此时最小值为0，而当时，的导数为，可得为微小值点，可得的最小值为或，均大于0，不满意题意；当时，时，的最小值为0或，当时，的导数为，可得为微小值点，且为最小值点，可得的最小值为，由题意可得，解得，综上可得实数的范围是.13．（江苏省苏州市2025届高三上学期期末学业质量阳光指标调研）设函数，若方程有三个相异的实根，则实数k的取值范围是_______．【答案】【解析】由题意，若方程，即有三个相异的实根，即函数和的图象由三个不同的交点，如图所示，又由直线和必有一个交点，所以0>，则与的图象有两个交点，联立方程组，整理得，由，解得或，所以实数的取值范围是.14．（江苏省无锡市2025届高三上学期期末考试）已知直线与函数的图象恰有四个公共点，，，，则__________．【答案】-2【解析】直线y＝a(x+2)过定点（－2,0），如下图所示，由图可知，直线与余弦函数图象在x4处相切，且∈，即a(x4+2)＝－cos，所以，a＝又，即直线的斜率为：a＝，因此a＝＝，即＋＝＋＝－－2＝－2.故答案为：－2.15．（江苏省南通市2025届高三年级阶段性学情联合调研）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】函数有三个不同的零点等价于的图象与直线有三个不同交点，作出函数的图象：由图易得：故答案为：.16．（江苏省常州市2025届高三上学期期中教学质量调研）已知函数，若关于x的函数有6个不同的零点，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】作出的函数图象如右：设，则当或时，方程只有1解，当或时，方程有2解，当时，方程有3解，当时，方程无解．关于的函数有6个不同的零点，关于的方程在上有两解，，解得．故答案为17．（江苏省镇江市2025届高三上学期期中考试）已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数m的取值范围是__________．【答案】m＜﹣3【解析】令t=f（x），则原函数等价为y=2t2+3mt+1﹣2m，作出函数f（x）的图象如图，图象可知：当t＜0时，函数t=f（x）有一个零点；当t=0时，函数t=f（x）有三个零点；当0＜t＜1时，函数t=f（x）有四个零点；当t=1时，函数t=f（x）有三个零点；当t＞1时，函数t=f（x）有两个零点．要使关于x的函数y=2f2（x）+3mf（x）+1﹣2m有6个不同的零点，则方程2t2+3mt+1﹣2m=0有两个根t1，t2，且0＜t1＜1，t2＞1或t1=0，t2=1，令g（t）=2t2+3mt+1﹣2m，则由根的分布可得，将t=1，代入g（t）=0得m=﹣3，此时2t2﹣9t+7=0的另一个根为t=，不满意t1=0，t2=1，若0＜t1＜1，t2＞1，则即解得m＜﹣3，故答案为：m＜﹣3.18．（盐城市2025届高三年级第一学期期中模拟考试）已知函数，若在区间上有且只有2个零点，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】当0⩽x⩽1时,=0，易知x=0不是方程=0的解，故m=−x在(0,1]上是减函数，故m−1=−；即m时,方程f(x)=0在[0,1]上有且只有一个解，当x>1时，令mx+2=0得,m=−，故−2<m<0，即当−2<m<0时,方程f(x)=0在(1,+∞)上有且只有一个解，综上所述,若f(x)在区间[0,+∞)上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是．19．已知函数f(x)＝x m－2x且f(4)＝72.(1)求m的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)推断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并赐予证明．【答案】（1）m＝1（2）奇函数（3）见解析【解析】解：(1)∵f(4)＝72，∴4m－24＝72，∴m＝1.(2)由(1)知f(x)＝x－2x，∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝－x ＋2x ＝－(x －2x)＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数．(3)函数f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，证明如下：设x 1>x 2>0， 则f(x 1)－f(x 2)＝x 1－12x －(x 2－22x )＝(x 1－x 2)(1＋122x x )，因为x 1>x 2>0， 所以x 1－x 2>0,1＋122x x >0. 所以f(x 1)>f(x 2)．所以函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数．20．（江苏省苏州市2025届高三上学期期末学业质量阳光指标调研）已知函数(a ，bR)．（1）当a ＝b ＝1时，求的单调增区间；（2）当a≠0时，若函数恰有两个不同的零点，求的值；（3）当a ＝0时，若的解集为(m ，n)，且(m ，n)中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围．【答案】（1）f （x ）的单调增区间是和（2）（3）【解析】（1）当a ＝b ＝1时，，令，解得或所以f （x ）的单调增区间是和（2）法一：，令，得或， 因为函数f （x ）有两个不同的零点，所以或，当时，得a ＝0，不合题意，舍去： 当时，代入得即，所以.法二：由于，所以，由得，，设，令，得，当时，，h(x)递减：当时，,递增当时，，单调递增当时, 的值域为R故不论取何值，方程有且仅有一个根；当时，，所以时，方程恰有一个根－2，此时函数恰有两个零点-2和1．（3）当时，因为，所以设，则，当时，因为，所以在上递增，且，所以在上，，不合题意：当时，令，得，所以在递增，在递减，所以，要使有解，首先要满意，解得. ①又因为，，要使的解集（m,n）中只有一个整数，则即解得. ②设,则,当时，,递增：当时，,递减所以,所以,所以由①和②得，.21．（江苏省苏州市2025届高三调研测试）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若方程在区间(0,+)上有实数解，求实数a的取值范围；（3）若存在实数，且，使得，求证：．【答案】（1）函数的单调减区间为和，单调增区间为．（2）（3）见解析【解析】（1）当时，当时，，则，令，解得或（舍），所以时，，所以函数在区间上为减函数.当时，，，令，解得，当时，，当时，，所以函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，且.综上，函数的单调减区间为和，单调增区间为．（2）设，则，所以，由题意，在区间上有解，等价于在区间上有解.记，则，令，因为，所以，故解得，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数在处取得最小值.要使方程在区间上有解，当且仅当，综上，满意题意的实数a的取值范围为.（3）由题意，，当时，，此时函数在上单调递增，由，可得，与条件冲突，所以. 令，解得，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增.若存在，，则介于m，n之间，不妨设，因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，，由，，可得，故，又在上单调递减，且，所以．所以，同理．即解得，所以.。

课时跟踪检测（五十四） 古典概型一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是________.解析：由列举法得，基本事件共10个，满足条件的事件共6个，所以概率为610＝35. 答案：352．(2018·苏锡常镇一模)从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为________．解析：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，基本事件总数n ＝6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有(1,2)，(2,4)，共2个，所以这两个数的和为3的倍数的概率P ＝26＝13. 答案：133．(2019·盐城模拟)从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取出2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为________．解析：从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取出2个数，基本事件总数n ＝15，所取2个数的和能被3整除包含的基本事件有(1,2)，(1,5)，(2,4)，(3,6)，(4,5)，共5个，所以所取2个数的和能被3整除的概率P ＝515＝13. 答案：134．(2018·苏北四市一模)现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是________.解析：把这三张卡片排序有“中国梦”，“中梦国”，“国中梦”，“国梦中”，“梦中国”，“梦国中”，共有6种，能组成“中国梦” 的只有1种，故所求概率为16. 答案：165．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为________．解析：因为(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i ，所以要使其为实数，须n 2＝m 2，即m ＝n .由已知得，事件的总数为36，m ＝n ，有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)共6个，所以所求的概率P ＝636＝16.答案：16 6．(2018·苏州期末)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为________．解析：设基本事件为(a ，b )，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，共有6×6＝36个．满足a ＋b ＝7的解有6组：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，所以P ＝636＝16. 答案：16二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·南通调研)100张卡片上分别写有1,2,3，…，100.从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率为________．解析：从100张分别写有1,2,3，…，100的卡片中任取1张，基本事件总数n ＝100，所取这张卡片上的数是6的倍数包含的基本事件有1×6,2×6，…，16×6，共16个，所以所取卡片上的数是6的倍数的概率为16100＝425. 答案：4252．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为________．解析：如图，在正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF ，BCDE ，ABCF ，CDEF ，ABCD ，ADEF ，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P ＝615＝25.答案：253．(2019·张家港模拟)若先后抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，点P (m ，n )落在区域|x －2|＋|y －2|≤2内的概率为________．解析：由题意可得，基本事件n ＝36.当m ＝1时，1≤n ≤3，故符合条件的基本事件有3个；当m ＝2 时，1≤n ≤4，故符合条件的基本事件有4个；当m ＝3时，1≤n ≤3，故符合条件的基本事件有3个；当m ＝4时，n ＝2，故符合条件的基本事件有1个．故符合条件的基本事件共11个，所以所求概率为1136. 答案：11364．(2018·南京一模)甲盒子中有编号分别为1,2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3,4,5,6的4个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为________．解析：由题意得，从甲、乙两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，共有2×4＝8种情况，编号之和大于6的有(1,6)，(2,5)，(2,6)，共3种，所以取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为38. 答案：385．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a ＞b ，b ＜c 时，称该三位自然数为“凹数”(如213,312等)，若a ，b ，c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是________．解析：由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个．所以共有4×6＝24个．当b ＝1时，有214,213,312,314,412,413，共6个“凹数”；当b ＝2时，有324,423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率P ＝6＋224＝13. 答案：136．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为________．解析：对函数f (x )求导可得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要满足题意需x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a 2－b 2)＞0，即a ＞b .又(a ，b )的取法共有9种，其中满足a ＞b 的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P ＝69＝23. 答案：237．有红心1,2,3,4和黑桃5这五张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌均为红心的概率是________．解析：从红心1,2,3,4和黑桃5这五张扑克牌中随机抽取两张，基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种不同的取法，抽到的牌均为红心的事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种不同的取法，则所求的概率P ＝610＝35.答案：358．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2表示，其中A 1，A 2，A 3的数学成绩优秀，B 1，B 2的物理成绩优秀，C 1，C 2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A 1和B 1不全被选中的概率为________．解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．设“A 1和B 1不全被选中”为事件N ，则其对立事件N 表示“A 1和B 1全被选中”，由于N＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，所以P (N )＝212＝16，由对立事件的概率计算公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56. 答案：569．(2019·南通调研)某奶茶公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的奶茶共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 奶茶，另外2杯为B 奶茶，公司要求此员工一一品尝后，从5杯奶茶中选出2杯奶茶．若该员工2杯都选A 奶茶，则评为优秀；若2杯选中1杯A 奶茶，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A 和B 两种奶茶没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率．解：(1)假设3杯A 奶茶为A 1，A 2，A 3,2杯B 奶茶为B 1，B 2，则从五杯奶茶中任选两杯的所有可能结果为：A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 1，A 3B 2，B 1B 2，共10种结果.记“此人被评为优秀”为事件M ，则事件M 包含的所有结果为：A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3，共3种结果，所以此人被评为优秀的概率P (M )＝310. (2)记“此人被评为良好及以上”为事件N ，则事件N 包含的所有结果为：A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 1，A 3B 2，共9种结果，所以此人被评为良好及以上的概率P (N )＝910. 10．一个均匀的正四面体四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c .(1)记z ＝(b －3)2＋(c －3)2，求z ＝4的概率；(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根a ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解：(1)因为是投掷两次，因此基本事件(b ，c )共有4×4＝16种．当z ＝4时，(b ，c )的所有取值为(1,3)，(3,1)，共2种，所以z ＝4的概率P ＝216＝18. (2)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0，即b ＋c ＝1，不成立．②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以b ＝1，c ＝2.③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以b ＝3，c ＝4.综上所述，(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)．所以方程为“漂亮方程”的概率P ＝316. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．从集合A ＝{－2，－1,2}中随机选取一个数记为a ，从集合B ＝{－1，1,3}中随机选取一个数记为b ，则直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率为________．解析：从集合A ，B 中随机选取后组合成的数对有(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9种，要使直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限，则需a ＞0，b ＞0，共有2种满足，所以所求概率P ＝29. 答案：292．设集合A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1,2}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上一个点P (a ，b )，设“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (0≤n ≤4，n ∈N)，若事件C n 的概率最大，则n 的值为________．解析：由题意知，点P 的坐标的所有情况为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共9种．当n ＝0时，落在直线x ＋y ＝0上的点的坐标为(0,0)，共1种；当n ＝1时，落在直线x ＋y ＝1上的点的坐标为(0,1)和(1,0)，共2种；当n ＝2时，落在直线x ＋y ＝2上的点的坐标为(1,1)，(2,0)，(0,2)，共3种；当n ＝3时，落在直线x ＋y ＝3上的点的坐标为(1,2)，(2,1)，共2种；当n ＝4时，落在直线x ＋y ＝4上的点的坐标为(2,2)，共1种．因此，当C n 的概率最大时，n ＝2.答案：23.(2019·昆山检测)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x ，y .奖励规则如下：①若xy ≤3，则奖励玩具一个；②若xy ≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解：用数对(x ，y )表示儿童参加活动两次记录的数，则基本事件空间Ω与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N,1≤x ≤4,1≤y ≤4}一一对应，因为S 中元素个数是4×4＝16，所以基本事件总数n ＝16.(1)记“xy ≤3”为事件A .则事件A 包含的基本事件共有5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P (A )＝516，即小亮获得玩具的概率为516. (2)记“xy ≥8”为事件B ，“3＜xy ＜8”为事件C .则事件B 包含的基本事件共有6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以P (B )＝616＝38.事件C 包含的基本事件共有5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P (C )＝516. 因为38＞516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．。

课时跟踪检测(十二) 函数与方程一、题点全面练1．设f ()是区间[－1,1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，则方程f ()＝0在区间[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根解析：选C ∵f ()在区间[－1,1]上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0， ∴f ()在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上有唯一的零点．∴方程f ()＝0在区间[－1,1]内有唯一的实数根．2．(2018·濮阳一模)函数f ()＝ln(2)－1的零点位于区间( ) A ．(2,3) B ．(3,4) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选D ∵f ()＝ln(2)－1是增函数，且是连续函数，f (1)＝ln 2－1＜0，f (2)＝ln 4－1＞0，∴根据函数零点的存在性定理可得，函数f ()的零点位于区间(1,2)上． 3．(2019·南宁模拟)设函数f ()＝ln －2＋6，则f ()零点的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选B 令f ()＝0，则ln ＝2－6，令g ()＝ln (＞0)，h ()＝2－6(＞0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f ()零点的个数，容易看出函数f ()零点的个数为2，故选B.4．已知函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－log 3，若0是函数y ＝f ()的零点，且0＜1＜0，则f (1)的值( )A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0解析：选A 因为函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－log 3在(0，＋∞)上是减函数，所以当0＜1＜0时，有f (1)＞f (0)．又0是函数f ()的零点，因此f (0)＝0，所以f (1)＞0，即f (1)的值恒为正值，故选A.5．(2018·黄山一模)已知函数f ()＝e ||＋||.若关于的方程f ()＝有两个不同的实根，则实数的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)解析：选B 方程f ()＝化为方程e ||＝－||.令y ＝e ||，y ＝－||，y ＝－||表示过点(0，)，斜率为1或－1的平行折线系，折线与曲线y ＝e ||恰好有一个公共点时，有＝1，如图．若关于的方程f ()＝有两个不同的实根，则实数的取值范围是(1，＋∞)．6．若方程ln ＋－4＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈，且b －a ＝1)上有一根，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 方程ln ＋－4＝0的根为函数f ()＝ln ＋－4的零点．f ()的定义域为(0，＋∞)，f ()在定义域上单调递增．因为f (2)＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3－1＞0，所以f ()在区间(2,3)有一个零点，则方程ln ＋－4＝0在区间(2,3)有一根，所以a ＝2，b ＝3.故选B.7．(2019·哈尔滨检测)若函数f ()＝2＋a ＋b 的两个零点是－1和2，则不等式af (－2)＞0的解集是________．解析：函数f ()＝2＋a ＋b 的两个零点是－1和2，即－1,2是方程2＋a ＋b ＝0的两根，可得－1＋2＝－a ，－1×2＝b ，解得a ＝－1，b ＝－2.f ()＝2－－2，af (－2)＞0，即42＋2－2＜0，解得－1＜＜12.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，128．已知函数f ()＝⎩⎨⎧2x －2－1，x ≥0，x ＋2，x ＜0，g ()＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，1x，x ＜0，则函数f (g ())的所有零点之和是________．解析：由f ()＝0，得＝2或＝－2，由g ()＝2，得＝1＋3，由g ()＝－2，得＝－12，所以函数f (g ())的所有零点之和是－12＋1＋3＝12＋ 3.答案：12＋ 39．已知y ＝f ()是定义域为R 的奇函数，当∈[0，＋∞)时，f ()＝2－2. (1)写出函数y ＝f ()的解析式；(2)若方程f ()＝a 恰有3个不同的解，求实数a 的取值范围． 解：(1)设＜0，则－＞0，所以f (－)＝2＋2.又因为f ()是奇函数， 所以f ()＝－f (－)＝－2－2.所以f ()＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.(2)方程f ()＝a 恰有3个不同的解，即y ＝f ()与y ＝a 的图象有3个不同的交点．作出y ＝f ()与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f ()＝a 恰有3个不同的解，只需－1＜a ＜1，故实数a 的取值范围为(－1,1)．10．(2019·济南月考)已知二次函数f ()的最小值为－4，且关于的不等式f ()≤0的解集为{|－1≤≤3，∈R}．(1)求函数f ()的解析式； (2)求函数g ()＝f xx－4ln 的零点个数． 解：(1)因为f ()是二次函数，且关于的不等式f ()≤0的解集为{|－1≤≤3，∈R}， 所以f ()＝a (＋1)(－3)＝a 2－2a －3a ，且a ＞0. 所以f ()min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f ()的解析式为f ()＝2－2－3.(2)因为g ()＝x 2－2x －3x －4ln ＝－3x－4ln －2(＞0)，所以g ′()＝1＋3x 2－4x＝x －1x －3x 2.令g ′()＝0，得1＝1，2＝3.当变化时，g ′()，g ()的取值变化情况如下.当0＜≤3时，g ()≤g (1)＝－4＜0.又因为g ()在(3，＋∞)上单调递增，因而g ()在(3，＋∞)上只有1个零点．故g ()在(0，＋∞)上只有1个零点．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．(2018·德州期末)设函数f ()是定义在R 上的奇函数，当＞0时，f ()＝e ＋－3，则f ()的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 因为函数f ()是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，即0是函数f ()的一个零点，当＞0时，f ()＝e ＋－3为增函数．因为f (1)＝e 1＋1－3＝e －2＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14＋14－3＝e 14－114＜0，所以当＞0时，f ()有一个零点．根据对称性知，当＜0时，函数f ()也有一个零点．综上所述，f ()的零点的个数为3.2．(2019·六安模拟)已知函数f ()＝2m 2－－1在区间(－2,2)上恰有一个零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，38B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－38，18C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－38，18D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－18，38 解析：选D 当m ＝0时，函数f ()＝－－1有一个零点＝－1，满足条件．当m ≠0时，函数f ()＝2m 2－－1在区间(－2,2)上恰有一个零点，需满足①f (－2)·f (2)＜0或②⎩⎨⎧f 20，－2＜14m＜0或③⎩⎨⎧f 20，0＜14m ＜2.解①得－18＜m ＜0或0＜m ＜38；②无解；解③得m ＝38.综上可知－18＜m ≤38，故选D.3．(2019·沧州质检)已知定义在R 上的函数f ()满足：①f ()＋f (2－)＝0；②f (－2)＝f (－)；③当∈[－1,1]时，f ()＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，0]，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，x ∈0，1]，则函数y ＝f ()－⎝ ⎛⎭⎪⎫12||在区间[－3,3]上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选A 由①f ()＋f (2－)＝0可得f ()的图象关于点(1,0)对称；由②f (－2)＝f (－)可得f ()的图象关于直线＝－1对称．如图，作出f ()在[－1,1]上的图象，再由对称性，作出f ()在[－3,3]上的图象，作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12||在[－3,3]上的图象，由图象观察可得它们共有5个交点，即函数y ＝f ()－⎝ ⎛⎭⎪⎫12||在区间[－3,3]上的零点个数为5.故选A.4．函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|－1|＋2cos π(－4≤≤6)的所有零点之和为________．解析：可转化为两个函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|－1|与y ＝－2cos π在[－4,6]上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于＝1对称，所以两个函数在＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在＝1两侧分别有5个交点，所以5×2＝10.答案：10(二)难点专练——适情自主选5．已知函数f ()＝⎩⎨⎧－x 2－2x ＋3，x ≤1，ln x ，x ＞1，若关于的方程f ()＝－12恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，e C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e e 解析：选D 若关于的方程f ()＝－12恰有4个不相等的实数根，则y ＝f ()的图象和直线y ＝－12有4个交点．作出函数y ＝f ()的图象，如图，故点(1,0)在直线y ＝－12的下方．∴×1－12＞0，解得＞12.当直线y ＝－12和y ＝ln 相切时，设切点横坐标为m ，则＝ln m ＋12m ＝1m ，∴m ＝ e.此时，＝1m ＝e e ，f ()的图象和直线y ＝－12有3个交点，不满足条件，故所求的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e e ，故选D. 6．(2018·兰州一模)已知定义在R 上的函数y ＝f ()对任意的都满足f (＋2)＝f ()，当－1≤＜1时，f ()＝sin π2，若函数g ()＝f ()－log a ||至少有6个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15∪[5，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤17，15∪(5,7) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫17，15∪[5,7) 解析：选A 当a ＞1时，作出函数y ＝f ()与函数y ＝log a ||的图象，如图所示．结合图象可知⎩⎨⎧log a |－5|＜1，log a |5|＜1，故a ＞5；当0＜a ＜1时，作出函数f ()与函数y ＝log a ||的图象，如图所示．结合图象可知⎩⎨⎧log a |－5|≥－1，log a |5|≥－1，故0＜a ≤15.故选A.。

课时跟踪检测(十一) 函数与方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快１.已知函数f(x）=＼f(2,3x＋１）＋a的零点为1,则实数a的值为______.解析：由已知得ｆ（1)=0,即错误!未定义书签。

＋ａ=0,解得a＝－错误!．答案：－错误!２.已知关于ｘ的方程x２＋mx－6＝0的一个根比2大,另一个根比２小,则实数m的取值范围是＿_____.解析:设函数f（x)＝x２+ｍx－6,则根据条件有f(2）＜0，即4+2m－6<０,解得m<1。

答案:(－∞，1)3.已知函数ｆ(x）＝错误!若ｆ(0)=－2,ｆ（－1）＝1，则函数g（x）=f(x)+x的零点个数为＿____＿．解析：依题意得错误!未定义书签。

由此解得b=-4，c＝－2。

由g（x)＝0得f(ｘ)＋x＝0,该方程等价于错误!ﻩﻩﻩ①或错误!ﻩ②解①得x=2,解②得ｘ=-1或ｘ＝－２.因此,函数g（x）＝f(x)＋x的零点个数为3。

答案：34．(２01９·连云港调研）已知函数f(x）＝＼r(２-ｘ2）－x+b有一个零点,则实数b的取值范围为＿＿_＿____．解析：由已知，函数ｆ(ｘ)＝错误!未定义书签。

－ｘ+b有一个零点，即函数y=x－b和y=错误!的图象有１个交点,如图，其中与半圆相切的直线方程为y=x＋2，过点（0，＼r(2))的直线方程为y＝ｘ＋错误!未定义书签。

，所以满足条件的ｂ的取值范围是b=-2或-＼r（2）＜b≤ 错误!.答案：｛-２}∪(－错误!未定义书签。

,错误!未定义书签。

]５．(2018·苏州质检)已知函数f（ｘ)=错误!ｘ-ｃｏｓx，则f（ｘ)在［0,２π]上的零点个数为_＿＿____＿．解析:作出ｇ(x）＝错误!x与h(x）＝ｃｏs x的图象如图所示,可以看到其在[０,2π］上的交点个数为3,所以函数f（ｘ)在[０,2π］上的零点个数为3．答案:３6.(2018·泰州中学上学期期中)已知函数y=f（x）的周期为2,当ｘ∈[－1，1]时,f（ｘ)＝x２,那么函数y＝f(ｘ)的图象与函数y＝｜lg x|的图象的交点共有_＿______个．解析：在同一直角坐标系中分别作出y=f(x)和y=|lg x|的图象，如图,结合图象知，共有10个交点.答案:10二保高考，全练题型做到高考达标1.设ｘ0为函数ｆ（x)＝２x＋x－2的零点，且x0∈(ｍ，ｎ)，其中m,n为相邻的整数，则m＋n=＿＿_＿_＿__。