宁夏银川一中2015届高三第三次模拟考试数学文试题 Word版含答案

宁夏银川一中2015届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合M={x|2x≤4}，N={x|x（1﹣x）＞0}，则C M N=（）A．（﹣∞，0）∪[1，+∞] B．（﹣∞，0）∪[1，2] C．（﹣∞，0]∪[1，2] D．（﹣∞，0]∪[1，+∞]2．（5分）已知复数z=1+i+i2+i3+…+i2015，则化简得z=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．1+i3．（5分）S n为等差数列{a n}的前n项和，a2+a8=6，则S9=（）A．B．27 C．54 D．1084．（5分）关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D．5．（5分）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．66．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x＞0”B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”D．命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题7．（5分）能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（）A．f（x）=4x3+x B． C．D．f（x）=e x+e﹣x8．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．9．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=b1=1，，则数列的前10项的和为（）A．B．C．D．10．（5分）函数y=sin4x+cos4x是（）A．最小正周期为，值域为[，1]的函数B．最小正周期为，值域为[，1]的函数C．最小正周期为，值域为[，1]的函数D．最小正周期为，值域为[，1]的函数11．（5分）如图，矩形A n B n C n D n的一边A n B n在x轴上，另外两个顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），记矩形A n B n C n D n的周长为a n，则a2+a3+…+a10=（）A．208 B．216 C．212 D．22012．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数 f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．（5分）在△ABC中，已知内角，边，则△ABC的面积S的最大值为．15．（5分）已知，数列的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式为b n=n﹣8，则b n S n的最小值为．16．（5分）在技术工程中，经常用到双曲正弦函数shx=和双曲余弦函数chx=．其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正、余函数有cos（x+y）=cosxcosy﹣sinxsiny成立，而关于双曲正、余弦函数满足cb（x+y）=chxchy+shxshy．请你类比正弦函数和余弦函数关系式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新关系式．三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=．（1）求a n与b n；（2）设数列{c n}满足c n=|b n﹣a5|，求{c n}的前项和T n．18．（12分）已知函数（ω＞0，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．（Ⅰ）求函数f（x）的达式；（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角．且满足2a=4asinC﹣csinA，求c的值．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．20．（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．21．（12分）已知函数g（x）=x3+（a﹣2）x2，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）﹣h（x）．（1）当a∈R时，讨论函数f（x）的单调性．（2）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＜a．若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，△AB C是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．一、选修4-4；坐标系与参数方程．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D 依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．一、选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．宁夏银川一中2015届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合M={x|2x≤4}，N={x|x（1﹣x）＞0}，则C M N=（）A．（﹣∞，0）∪[1，+∞] B．（﹣∞，0）∪[1，2] C．（﹣∞，0]∪[1，2] D．（﹣∞，0]∪[1，+∞]考点：补集及其运算．专题：集合．分析：求出M与N中不等式的解集确定出M与N，根据全集M求出N的补集即可．解答：解：由M中不等式变形得：2x≤4=22，即x≤2，∴M=（﹣∞，2]，由B中不等式变形得：x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1，即N=（0，1），则∁M N=（﹣∞，0]∪[1，2]．故选：C．点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知复数z=1+i+i2+i3+…+i2015，则化简得z=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的周期性、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：∵i4=1，∴复数z=1+i+i2+i3+…+i2015===0．故选：A．点评：本题考查了复数的周期性、等比数列的前n项和公式，属于基础题．3．（5分）S n为等差数列{a n}的前n项和，a2+a8=6，则S9=（）A．B．27 C．54 D．108考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据所给的项a2，a8的下标特点，和所求和的下标特点，可以根据等差数列性质，利用a2+a8=2a5，求出a5，而S9=9a5，问题获解．解答：解：根据等差数列性质，可得a2+a8=2a5=6，∴a5=3，根据等差数列和的性质可得，S9=9a5=27．故选：B．点评：本题考查等差数列通项公式，求和计算．合理利用性质求解，应是本题的立意所在．4．（5分）关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），利用根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，再利用基本不等式即可得出．解答：解：∵关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），∴△=16a2﹣12a2=4a2＞0，又a＞0，可得a＞0．∴x1+x2=4a，，∴=4a+==，当且仅当a=时取等号．∴的最小值是．故选：C．点评：本题考查了一元二次不等式解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、根与系数的关系、基本不等式的性质，属于基础题．5．（5分）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．6考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由•=（）•，再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出•的值．解答：解：由题意得 AB=3，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=+=0+||•||cos45°=×3×3×=3，故选B．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，注意向量和的夹角等于45°这一条件的运用．6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x＞0”B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”D．命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：A中全称命题的否定是特称命题，并且一真一假；B中原命题与逆否命题是同真同假，写出它的逆否命题再判定真假；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”转化为“（）min≥a max在x∈[1，2]上恒成立”；D、写出原命题的逆命题再判定真假．解答：A、“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x0∈R，e x≤0”；∴命题错误；B、∵x=2且y=1时，x+y=3是真命题；∴若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（）min≥a max在x∈[1，2]上恒成立”，命题错误；D、“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是：“f（x）=ax2+2x﹣1有一个零点时，a=﹣1”，∵f（x）有一个零点时，a=﹣1或a=0；∴命题错误．故选：B．点评：本题通过命题真假的判定考查了简单的逻辑关系的应用，是基础题．7．（5分）能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（）A．f（x）=4x3+x B． C．D．f（x）=e x+e﹣x考点：奇偶性与单调性的综合．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：由“和谐函数”的定义及选项知，该函数若为“和谐函数”，其函数须为过原点的奇函数，由此逐项判断即可得到答案．解答：解：由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．A中，f（0）=0，且f（x）为奇函数，故f（x）=4x3+x为“和谐函数”；B中，f（0）=ln=ln1=0，且f（﹣x）=ln=ln=﹣ln=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，所以f（x）=ln为“和谐函数”；C中，f（0）=tan0=0，且f（﹣x）=tan=﹣tan=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，故f（x）=tan为“和谐函数”；D中，f（0）=e0+e﹣0=2，所以f（x）=e x+e﹣x的图象不过原点，故f（x））=e x+e﹣x不为“和谐函数”；故选D．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生对新问题的分析理解能力及解决能力，属中档题．8．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．解答：解：∵sin2α=，∴cos2（α+）=[1+cos（2α+）]=（1﹣sin2α）=×（1﹣）=．故选A点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．9．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=b1=1，，则数列的前10项的和为（）A．B．C．D．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题．分析：根据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列{a n}与{b n}的通项公式，进而表达出的通项公式并且可以证明此数列为等比数列，再利用等比数列前n项和的公式计算出答案即可．解答：解：由题意可得，所以数列{a n}是等差数列，且公差是2，{b n}是等比数列，且公比是2．又因为a1=1，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．所以=b 1•22n﹣2=22n﹣2．设c n=，所以c n=22n﹣2，所以，所以数列{c n}是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n项和的公式得：其前10 项的和为．故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的定义，以及它们的通项公式与前n项和的表示式．10．（5分）函数y=sin4x+cos4x是（）A．最小正周期为，值域为[，1]的函数B．最小正周期为，值域为[，1]的函数C．最小正周期为，值域为[，1]的函数D．最小正周期为，值域为[，1]的函数考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：利用平方关系与二倍角的正弦将y=sin4x+cos4x化为y=1﹣×sin22x，再利用降幂公式可求得y=+×cos4x，从而可求其周期和值域．解答：解：∵y=sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x=1﹣×sin22x=1﹣×=+×cos4x，∴其周期T==，其值域为[，1]故选：C．点评：本题考查三角函数的周期性、值域及其求法，突出考查二倍角的正弦与余弦，降幂是关键，属于中档题．11．（5分）如图，矩形A n B n C n D n的一边A n B n在x轴上，另外两个顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），记矩形A n B n C n D n的周长为a n，则a2+a3+…+a10=（）A．208 B．216 C．212 D．220考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：依题意，可求得C n（n，n+），D n（，n+）从而可求得a n=4n；继而可求得a2+a3+…+a10的值．解答：解：∵点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上，∴C n（n，n+）；依题意知，D n（，n+）；∴|A n B n|=n﹣（n≥2，n∈N+），∴a n=2（n﹣）+2（n+）=4n．∴a n+1﹣a n=4，又a1=4，∴数列{a n}是首项为4，公差为4的等差数列，∴a2+a3+…+a10===216．故选：B．点评：本题考查数列的求和，求得a n=4n是关键，考查分析推理与运算能力，属于中档题．12．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数 f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4考点：函数的值．专题：压轴题；新定义．分析：首先弄清关于原点对称的点的特点，进而把问题转化为求方程的根的个数，再转化为求函数φ（x）=2e x+x2+2x零点的个数即可．解答：解：设P（x，y）（x＜0），则点P关于原点的对称点为P′（﹣x，﹣y），于是，化为2e x+x2+2x=0，令φ（x）=2e x+x2+2x，下面证明方程φ（x）=0有两解．由x2+2x≤0，解得﹣2≤x≤0，而＞0（x≥0），∴只要考虑x∈[﹣2，0]即可．求导φ′（x）=2e x+2x+2，令g（x）=2e x+2x+2，则g′（x）=2e x+2＞0，∴φ′（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，而φ′（﹣2）=2e﹣2﹣4+2＜0，φ′（﹣1）=2e﹣1＞0，∴φ（x）在区间（﹣2，0）上只存在一个极值点x0．而φ（﹣2）=2e﹣2＞0，φ（﹣1）=2e﹣1﹣1＜0，φ（0）=2＞0，∴函数φ（x）在区间（﹣2，﹣1），（﹣1，0）分别各有一个零点．也就是说f（x）的“姊妹点对”有两个．故选B．点评：本题考查了函数的零点，善于转化及熟练利用导数判断方程的根的个数是解决问题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为8．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即A（5，2）将A的坐标代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．即z=2x﹣y的最大值为8．故答案为：8点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14．（5分）在△ABC中，已知内角，边，则△ABC的面积S的最大值为．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据余弦定理结合三角形的面积公式以及基本不等式，即可求出结论．解答：解：由余弦定理，得12=b2+c2﹣bc．又S=bcsinA=bc；而b2+c2≥2bc⇒b c+12≥2bc⇒bc≤12，（当且仅当b=c时等号成立）所以S=bcsinA=bc≤3．即△ABC的面积S的最大值为：3．故答案为：3．点评：本题为三角函数公式的应用题目，属于中档题．解决本题的关键在于根据余弦定理以及基本不等公式得到bc≤12．15．（5分）已知，数列的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式为b n=n﹣8，则b n S n的最小值为﹣4．考点：定积分；数列的函数特性；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意，先由微积分基本定理求出a n再根据通项的结构求出数列的前n项和为S n，然后代入求b n S n的最小值即可得到答案解答：解：a n=（2x+1）dx=（x2+x）=n2+n∴==﹣∴数列{ }的前n项和为S n=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=又b n=n﹣8，n∈N*，则b n S n=×（n﹣8）=n+1+﹣10≥2 ﹣10=﹣4，等号当且仅当n+1=，即n=2时成立，故b n S n的最小值为﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查微积分基本定理及数列的求和，数列的最值等问题，综合性强，知识转换快，解题时要严谨认真，莫因变形出现失误导致解题失败．16．（5分）在技术工程中，经常用到双曲正弦函数shx=和双曲余弦函数chx=．其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正、余函数有cos（x+y）=cosxcosy﹣sinxsiny成立，而关于双曲正、余弦函数满足cb（x+y）=chxchy+shxshy．请你类比正弦函数和余弦函数关系式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新关系式sh2x﹣ch2=﹣1，ch2x﹣sh2x=1．考点：类比推理．专题：计算题；推理和证明．分析：注意到双曲正弦函数和双曲余弦函数平方后的相同项，即可得到新的关系式．解答：解：sh2x=（e2x+﹣2）ch2x=（e2x++2）∴sh2x﹣ch2=﹣1∴ch2x﹣sh2x=1故答案为：sh2x﹣ch2=﹣1，ch2x﹣sh2x=1点评：本题为开放题型，考查类比推理，考查分析问题、解决问题的能力．三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=．（1）求a n与b n；（2）设数列{c n}满足c n=|b n﹣a5|，求{c n}的前项和T n．考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，由已知条件，列出方程组，分别求出等差数列的公差和等比数列的公比，由此能求出a n与b n．（2）由（1）及c n=|b n﹣a5|，推导出c n=|3n﹣1﹣15|=，由此利用分组求和法能求出{c n}的前项和T n．解答：（本题满分14分）解：（1）∵等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=，等差数列{a n}中，a1=3，∴，即，解得q=3，或q=﹣4（舍），d=3，∴a n=3n，（7分）（2）∵c n=|b n﹣a5|，∴c n=|3n﹣1﹣15|=，∴当n≤3时，=，当n≥4时，T n=﹣15n+2T3=．∴．（14分）点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意公组求和法的合理运用．18．（12分）已知函数（ω＞0，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．（Ⅰ）求函数f（x）的达式；（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角．且满足2a=4asinC﹣csinA，求c的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，根据函数的周期求ω，把所给的点的坐标代入求出Φ的值，从而确定出函数的解析式．（Ⅱ）根据条件2a=4asinC﹣csinA，由正弦定理求得sinC的值，可得cosC的值，再由余弦定理求得c的值．解答：解：（Ⅰ）由于．（2分）∵最高点与相邻对称中心的距离为=，则，即T=π，（3分）∴，∵ω＞0，∴ω=2．（4分）又f（x）过点，∴，即，∴．（5分）∵，∴，∴．（6分）（Ⅱ）2a=4asinC﹣csinA，由正弦定理可得 2sinA=4sinAsinC﹣sinCsinA，解得．（8分）又∵，∴．（9分）又，，∴b=6，（11分）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=21，∴．（12分）点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式、正弦定理和余弦定理的应用，两个向量的数量积的定义，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．考点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和．专题：计算题；压轴题．分析：（1）化简构造新的数列，进而证明数列是等比数列．（2）根据（1）求出数列的递推公式，得出a n，进而构造数列，求出数列的通项公式，进而求出前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）由已知：，∴，（2分）∴，又，∴，（4分）∴数列是以为首项，为公比的等比数列．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，∴．（8分）设，①则，②由①﹣②得：，（10分）∴．又1+2+3+…．（12分）∴数列的前n项和：．（14分）点评：此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前n项和的方法．20．（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：（1）令f′（x）=0，即可求得a值；（2）f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，即b=ln（x+1）﹣x2+x在区间[0，2]上有两个不同的实根，问题可转化为研究函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值情况．利用导数可以求得，再借助图象可得b的范围．解答：解：（1）f′（x）=﹣2x﹣1，∵f′（0）=0，∴a=1．（2）f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x所以问题转化为b=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上有两个不同的解，从而可研究函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值情况．∵g′（x）=﹣，∴g（x）的增区间为[0，1]，减区间为[1，2]．∴g max（x）=g（1）=+ln2，g min（x）=g（0）=0，又g（2）=﹣1+ln3，∴当b∈[﹣1+ln3，+ln2）时，方程有两个不同解．点评：本题考查函数在某点取得极值的条件及方程根的个数问题，注意函数与方程思想、数形结合思想的运用．21．（12分）已知函数g（x）=x3+（a﹣2）x2，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）﹣h（x）．（1）当a∈R时，讨论函数f（x）的单调性．（2）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＜a．若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）通过讨论a的范围，从而得出函数的单调性；（2）先假设存在实数a，满足题意，通过讨论x1，x2的大小，得不等式组，求出a无解，从而得出结论．解答：解：（1）f（x）=x2+（a﹣2）x﹣2alnx（x＞0），f′（x）=x+a﹣2﹣=（x＞0），①当a＞0时，f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数．②当﹣2＜a≤0时，f（x）在（0，﹣a）上是增函数；在（﹣a，2）是减函数；在（2，+∞）上是增函数．③当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．④当a＜﹣2时，f（x）在（0，2）上是增函数；在（2，﹣a）上是减函数；在（﹣a，+∞）上是增函数．（2）假设存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＜a恒成立，当x1＞x2时，等价于 f（x2）﹣f（x1）＜a（x1﹣x2）即f（x2）+ax2＜f（x1）+ax1恒成立．令g（x）=f（x）+ax=x2﹣2alnx﹣2x+2ax，只要g（x）在（0，+∞）上恒为增函数，所以g′（x）≥0恒成立即可．又g′（x）=x﹣﹣2+2a=，只要x2+（2a﹣2）x﹣2a≥0在（0，+∞）恒成立即可．设h（x）=x2+（2a﹣2）x﹣2a，则由△=4（a﹣1）2+8a=4a2+4＞0及得，a∈∅，当x1＜x2时，等价于 f（x2）﹣f（x1）＞a（x1﹣x2）即f（x2）+ax2＞f（x1）+ax1恒成立，g（x）在（0，+∞）上恒为增函数，所以g′（x）＞0恒成立即可，a∈∅，综上所述，不存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2时，都有＜a．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了求参数的范围问题，考查了导数的应用，是一道综合题．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；直线与圆．分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．解答：解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．一、选修4-4；坐标系与参数方程．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D 依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．考点：椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：综合题；压轴题．分析：（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．解答：解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]点评：本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．一、选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．考点：函数零点的判定定理；带绝对值的函数．专题：计算题．分析：①当a=1时，f（x）=，把和的解集取并集，即得所求．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5，作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．解答：解：①当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+x﹣5=．由解得x≥2；由解得x≤﹣4．∴f（x）≥0的解为{x|x≥2或x≤﹣4}．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5．作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f（x）有两个不同的零点．故a的取值范围是（﹣2，2）．点评：本题考查函数零点的判定定理，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于基础题．- 21 -。

宁夏银川一中2015届高三上学期第三次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合M={x|2x≤4}，N={x|x（1﹣x）＞0}，则C M N=（）A．（﹣∞，0）∪[1，+∞] B．（﹣∞，0）∪[1，2] C．（﹣∞，0]∪[1，2] D．（﹣∞，0]∪[1，+∞]2．（5分）已知复数z=1+i+i2+i3+…+i2015，则化简得z=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．1+i3．（5分）S n为等差数列{a n}的前n项和，a2+a8=6，则S9=（）A．B．27 C．54 D．1084．（5分）关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D．5．（5分）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．66．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x＞0”B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）min在x∈[1，2]上恒成立”D．命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题7．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=b1=1，，则数列的前10项的和为（）A．B．C．D．8．（5分）关于函数f（x）=2（sinx﹣cosx）cosx的四个结论：P1：最大值为；P2：最小正周期为π；P3：单调递增区间为[kπ﹣，kπ+π]，k∈Z；P4：函数y=f（x）的一条对称轴是x=其中正确的有（）A．1 个B．2个C．3个D．4个9．（5分）下列三个不等式中，恒成立的个数有（）①x+≥2（x≠0）；②＜（a＞b＞c＞0）；③＞（a，b，m＞0，a＜b）．A．3 B．2 C．1 D．010．（5分）已知x＞1，y＞1，且lnx，，lny成等比数列，则xy的最小值是（）A．1 B．C．e D．211．（5分）能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（）A．f（x）=4x3+x B． C．D．f（x）=e x+e﹣x12．（5分）函数的图象上关于原点对称的点有（）对．A．0 B．2 C．3 D．无数个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．（5分）数列{a n}中，a1=1，a n+1=，（n∈N+），则a5=．15．（5分）已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，f′（x）是f（x）的导函数，则f（）=．16．（5分）在△ABC中，BC=，AC=2，△ABC的面积为4，则AB的长为．三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．18．（12分）已知函数（ω＞0，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．（Ⅰ）求函数f（x）的达式；（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角．且满足2a=4asinC﹣csinA，求c的值．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣x+2．（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）若对x＞0，有f′（x）≥x﹣成立，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，f（x）＜恒成立，求实数m的取值范围．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．一、选修4-4；坐标系与参数方程．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D 依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．一、选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．宁夏银川一中2015届高三上学期第三次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合M={x|2x≤4}，N={x|x（1﹣x）＞0}，则C M N=（）A．（﹣∞，0）∪[1，+∞] B．（﹣∞，0）∪[1，2] C．（﹣∞，0]∪[1，2] D．（﹣∞，0]∪[1，+∞]考点：补集及其运算．专题：集合．分析：求出M与N中不等式的解集确定出M与N，根据全集M求出N的补集即可．解答：解：由M中不等式变形得：2x≤4=22，即x≤2，∴M=（﹣∞，2]，由B中不等式变形得：x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1，即N=（0，1），则∁M N=（﹣∞，0]∪[1，2]．故选：C．点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知复数z=1+i+i2+i3+…+i2015，则化简得z=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的周期性、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：∵i4=1，∴复数z=1+i+i2+i3+…+i2015===0．故选：A．点评：本题考查了复数的周期性、等比数列的前n项和公式，属于基础题．3．（5分）S n为等差数列{a n}的前n项和，a2+a8=6，则S9=（）A．B．27 C．54 D．108考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据所给的项a2，a8的下标特点，和所求和的下标特点，可以根据等差数列性质，利用a2+a8=2a5，求出a5，而S9=9a5，问题获解．解答：解：根据等差数列性质，可得a2+a8=2a5=6，∴a5=3，根据等差数列和的性质可得，S9=9a5=27．故选：B．点评：本题考查等差数列通项公式，求和计算．合理利用性质求解，应是本题的立意所在．4．（5分）关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），利用根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，再利用基本不等式即可得出．解答：解：∵关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），∴△=16a2﹣12a2=4a2＞0，又a＞0，可得a＞0．∴x1+x2=4a，，∴=4a+==，当且仅当a=时取等号．∴的最小值是．故选：C．点评：本题考查了一元二次不等式解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、根与系数的关系、基本不等式的性质，属于基础题．5．（5分）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．6考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由•=（）•，再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出•的值．解答：解：由题意得 AB=3，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=+=0+||•||cos45°=×3×3×=3，故选B．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，注意向量和的夹角等于45°这一条件的运用．6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x＞0”B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）min在x∈[1，2]上恒成立”D．命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：A，写出命题“∀x∈R，e x＞0”的否定，判断即可；B，写出原命题的逆否命题，利用原命题与其逆否命题的等价性判断即可；C，利用函数恒成立问题，可知“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”，从而可判断C；D，写出命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题，再判断即可．解答：解：A，命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x≤0”，故A错误；B，命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”的逆否命题为“若x=2且y=1，则x+y=3”为真命题，由二者的等价性知，原命题是真命题，即B正确；C，“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”，故C错误；D，命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为“若函数f（x）=ax2+2x ﹣1只有一个零点，则a=0或a=﹣1”，故D错误．故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的关系、四种命题之间的关系及真假判断，考查函数恒成立问题，属于中档题．7．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=b1=1，，则数列的前10项的和为（）A．B．C．D．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题．分析：根据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列{a n}与{b n}的通项公式，进而表达出的通项公式并且可以证明此数列为等比数列，再利用等比数列前n项和的公式计算出答案即可．解答：解：由题意可得，所以数列{a n}是等差数列，且公差是2，{b n}是等比数列，且公比是2．又因为a1=1，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．所以=b 1•22n﹣2=22n﹣2．设c n=，所以c n=22n﹣2，所以，所以数列{c n}是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n项和的公式得：其前10 项的和为．故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的定义，以及它们的通项公式与前n项和的表示式．8．（5分）关于函数f（x）=2（sinx﹣cosx）cosx的四个结论：P1：最大值为；P2：最小正周期为π；P3：单调递增区间为[kπ﹣，kπ+π]，k∈Z；P4：函数y=f（x）的一条对称轴是x=其中正确的有（）A．1 个B．2个C．3个D．4个考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：原式可化简为f（x）=sin（2x﹣）﹣1，由三角函数的图象与性质即可逐一判断．解答：解：f（x）=2（sinx﹣cosx）cosx=sin2x﹣（1+cos2x）=sin（2x﹣）﹣1关于函数f（x）=2（sinx﹣cosx）cosx的四个结论：P1：最大值为﹣1，故命题不正确；P2：最小正周期为==π，故命题正确；P3：由正弦函数的图象和性质可知，2x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]⇒x∈[kπ﹣，kπ+π]，k∈Z，故命题正确；P4：由正弦函数的图象和性质可知函数y=f（x）的对称轴是2x﹣=+kπ，k∈Z，当k=1时，x=，故命题正确；故选：C．点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于中档题．9．（5分）下列三个不等式中，恒成立的个数有（）①x+≥2（x≠0）；②＜（a＞b＞c＞0）；③＞（a，b，m＞0，a＜b）．A．3 B．2 C．1 D．0考点：基本不等式．专题：应用题．分析：①当x＜0时，x+≥2不成立②由a＞b＞0可知，，由c＞0结合不等式的性质可得③由=，结合已知即可判断解答：解：①当x＜0时，x+≥2不成立②由a＞b＞0可知，，由c＞0结合不等式的性质可得，＜恒成立③由a，b，m＞0，a＜b可知，=＞0可知＞恒成立正确的命题有②③故选B点评：本题主要考查了基本不等式的成立条件的判断及不等式的性质等知识的简单应用，属于基础试题10．（5分）已知x＞1，y＞1，且lnx，，lny成等比数列，则xy的最小值是（）A．1 B．C．e D．2考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：依题意，lnx•lny=，可得lnx•lny=，再利用对数的运算法则结合基本不等式，即可求出xy的最小值．解答：解：依题意，lnx•lny=∴lnx•lny=∴lnxy=lnx+lny≥2=1∴xy≥e∴xy的最小值是e，故选：C．点评：本题考查等比数列的性质，考查基本不等式的运用，比较基础．11．（5分）能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（）A．f（x）=4x3+x B． C．D．f（x）=e x+e﹣x考点：奇偶性与单调性的综合．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：由“和谐函数”的定义及选项知，该函数若为“和谐函数”，其函数须为过原点的奇函数，由此逐项判断即可得到答案．解答：解：由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．A中，f（0）=0，且f（x）为奇函数，故f（x）=4x3+x为“和谐函数”；B中，f（0）=ln=ln1=0，且f（﹣x）=ln=ln=﹣ln=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，所以f（x）=ln为“和谐函数”；C中，f（0）=tan0=0，且f（﹣x）=tan=﹣tan=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，故f（x）=tan为“和谐函数”；D中，f（0）=e0+e﹣0=2，所以f（x）=e x+e﹣x的图象不过原点，故f（x））=e x+e﹣x不为“和谐函数”；故选D．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生对新问题的分析理解能力及解决能力，属中档题．12．（5分）函数的图象上关于原点对称的点有（）对．A．0 B．2 C．3 D．无数个考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：作出函数y=f（x）的图象，并且作出y=f（x）图象位于y轴左侧部分（y=2x2+4x+1）关于原点对称的曲线C，观察函数y=f（x）图象位于y轴右侧（y=）与曲线C的交点的个数，可以得出满足条件的对称点的对数．解答：解：∵函数，∴作出函数y=f（x）图象如右图所示，再作出y=2x2+4x+1位于y轴右侧的图象，使得恰好与函数图象位于y轴左侧部分关于原点对称，记为曲线C（粗线），发现y=与曲线C有且仅有两个交点，∴满足条件的对称点有两对，图中的A、B就是符合题意的点，∴函数的图象上关于原点对称的点有2对．故选：B．点评：本题考查了分段函数的应用，着重考查了分段函数图象的画法，考查了基本初等函数图象的作法．利用函数奇偶性，作出图象一侧关于原点对称图象，再找交点是解决本题的关键．属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为8．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即A（5，2）将A的坐标代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．即z=2x﹣y的最大值为8．故答案为：8点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14．（5分）数列{a n}中，a1=1，a n+1=，（n∈N+），则a5=．考点：数列递推式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用数列递推式，代入计算，即可得出结论．解答：解：∵数列{a n}中，a1=1，a n+1=，∴a2=，a3=，a4=，a5=，故答案为：．点评：本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，比较基础．15．（5分）已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，f′（x）是f（x）的导函数，则f（）=1．考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：函数f（x）=f′（）cosx+sinx，可得+cosx，令x=，可得，即可得出．解答：解：∵函数f（x）=f′（）cosx+sinx，∴+cosx，∴=，解得．∴函数f（x）=（﹣1）cosx+sinx，∴==1．故答案为：1．点评：本题考查了导数的运算法则，属于基础题．16．（5分）在△ABC中，BC=，AC=2，△ABC的面积为4，则AB的长为4或．考点：余弦定理；三角形中的几何计算．专题：解三角形．分析：利用三角形的面积公式，求出，可得cosC=±，利用余弦定理可求AB的长．解答：解：∵BC=，AC=2，△ABC的面积为4，∴4=，∴，∴cosC=±，∴AB2==16，∴AB=4；或AB2==32，∴AB=．∴AB的长为4或．故答案为：4或点评：本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．考点：等比数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+…+log3a n，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到b n的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．故数列{a n}的通项式为a n=．（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，所以数列{}的前n项和为﹣．点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．18．（12分）已知函数（ω＞0，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．（Ⅰ）求函数f（x）的达式；（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角．且满足2a=4asinC﹣csinA，求c的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，根据函数的周期求ω，把所给的点的坐标代入求出Φ的值，从而确定出函数的解析式．（Ⅱ）根据条件2a=4asinC﹣csinA，由正弦定理求得sinC的值，可得cosC的值，再由余弦定理求得c的值．解答：解：（Ⅰ）由于．（2分）∵最高点与相邻对称中心的距离为=，则，即T=π，（3分）∴，∵ω＞0，∴ω=2．（4分）又f（x）过点，∴，即，∴．（5分）∵，∴，∴．（6分）（Ⅱ）2a=4asinC﹣csinA，由正弦定理可得 2sinA=4sinAsinC﹣sinCsinA，解得．（8分）又∵，∴．（9分）又，，∴b=6，（11分）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=21，∴．（12分）点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式、正弦定理和余弦定理的应用，两个向量的数量积的定义，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．考点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和．专题：计算题；压轴题．分析：（1）化简构造新的数列，进而证明数列是等比数列．（2）根据（1）求出数列的递推公式，得出a n，进而构造数列，求出数列的通项公式，进而求出前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）由已知：，∴，（2分）∴，又，∴，（4分）∴数列是以为首项，为公比的等比数列．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，∴．（8分）设，①则，②由①﹣②得：，（10分）∴．又1+2+3+…．（12分）∴数列的前n项和：．（14分）点评：此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前n项和的方法．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣x+2．（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）若对x＞0，有f′（x）≥x﹣成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）当a=1时，f（x）=x3﹣x2﹣x+2，f′（x）=（x﹣1）（3x+1），分段讨论f（x）单调性即可求出函数f（x）的极值；（2）由已知可得3x2﹣2ax﹣1≥|x|﹣对∀x∈R成立，当x＞0时，2a+1≤3x+，故可求得a≤．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x3﹣x2﹣x+2，f′（x）=3x2﹣2x﹣1=（x﹣1）（3x+1），令f′（x）=0，解得x1=﹣，x2=1．当f′（x）＞0时，得x＞1或x＜﹣；当f′（x）＜0时，得﹣＜x＜1．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣）﹣（﹣，1） 1（1，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）单调递增极大单调递减极小单调递增∴当x=﹣时，函数f（x）有极大值，f（x）极大值=f（﹣）=2，当x=1时函数f（x）有极小值，f（x）极小值=f（1）=1（2）∵f′（x）=3x2﹣2ax﹣1，∴对∀x∈R，有f′（x）≥|x|﹣成立，即有3x2﹣2ax﹣1≥|x|﹣对∀x∈R成立，当x＞0时，有3x2﹣（2a+1）x+≥0，即2a+1≤3x+，对∀x∈（0，+∞）恒成立，∵3x+≥2=2，当且仅当x=时等号成立，∴2a+1≤2故a≤．点评：本题主要考察了利用导数研究函数的极值，导数的综合应用，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，f（x）＜恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）求导函数，利用函数在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2，建立方程组，即可求a，b的值；（II）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，恒成立，等价于恒成立，求出函数的最值，即可求实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵，∴∵点（1，f（1））在直线x+y=2上，∴f（1）=1，∵直线x+y=2的斜率为﹣1，∴f′（1）=﹣1∴有，∴（Ⅱ）由（Ⅰ）得由及x＞0，可得令，∴，令h（x）=1﹣x﹣lnx，∴，故h（x）在区间（0，+∞）上是减函数，故当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，当x＞1时，h（x）＜h（1）=0从而当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0∴g（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，故g（x）max=g（1）=1要使成立，只需m＞1故m的取值范围是（1，+∞）．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；直线与圆．分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．解答：解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．一、选修4-4；坐标系与参数方程．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D 依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．考点：椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：综合题；压轴题．分析：（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．解答：解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]点评：本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．一、选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．考点：函数零点的判定定理；带绝对值的函数．专题：计算题．分析：①当a=1时，f（x）=，把和的解集取并集，即得所求．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5，作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．解答：解：①当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+x﹣5=．由解得x≥2；由解得x≤﹣4．∴f（x）≥0的解为{x|x≥2或x≤﹣4}．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5．作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f（x）有两个不同的零点．故a的取值范围是（﹣2，2）．点评：本题考查函数零点的判定定理，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于基础题．。

宁夏银川市普通高中2015届高三教学质量检测数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x ∈N| 0≤x≤5}，={1，3，5}，则集合B=A ．{2，4}B ．{2，3，4)C ．{0，1，3}D ．{0,2，4)2．若复数z 满足(1一i)z=4i ，则复数z 对应的点在复平面的A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知α为第二象限角，sin α=53，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα的值等于 A ．10334+ B ．10334-C ．10433- D ．10334--4．从集合A={-1，l ，2}中随机选取一个数记为k ，从集合B={-2，l ，2}中随机选取一个数记为b ，则直线y=kx+b 不经过第三象限的概率为 A ．92 B ．31 C ．94 D ．95 5．如下图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是A ．πB ．3πC ．3D ．33π 6．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，则该双曲线的离心率为A ．332 B ．3C ．2或332 D ．332或3 7．若x ，y 满足约束条件,40040⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+x y x y x 则z=3x —y 的最小值是A ．－5B ．－4C ．－3D ．－28．某程序框图如图所示，运行该程序时，输出的S 值是 A ．44 B ．70 C ．102D ．1409．在△ABC 中，若向量BA ，BC 的夹角为60o ，BC =2BD ，且AD=2。

∠ADC=120o+= A ．23B ．26C ．27D ．610．已知定义在R 上的奇函数f(x)的图象关于直线x=2对称，且x ∈[0,2]时，f(x)=log 2(x+1)，则f (7)= A ．-1 B ．1 C ．-3 D ．3 11．设a ，b ，c 表示三条直线，βα,表示两个平面，则下列命题中逆题不成立的是 A ．c ⊥α，若c ⊥β，则α∥β B ．b ⊂α，c ⊄α，若c ∥α，则b ∥cC ．b ⊂β，若b ⊥α，则β⊥αD ．a ，b ⊂α，p b a =⋂，c ⊥a ，c ⊥b ，若α⊥β，则c ⊂β12．一个大风车的半径为8m ，12min 旋转一周，它的最低点Po 离地面2m ，风车翼片的一个端点P 从P o 开始按逆时针方向旋转，则点P 离地面距离h(m)与时间f(min)之间的函数关系式是 A ．106sin 8)(+-=t t h πB ．106cos8)(+-=t t h πC ．86sin8)(+-=t t h πD ．86cos8)(+-=t t h π第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．如下图，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是____．14．若M 是抛物线y 2=4x 上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，直线FM 的倾斜角为60o ，则|FM|= 。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学 (银川一中第三次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}06|2<-+∈=x x R x M ，{}2|1||≤-∈=x R x N . 则N M =A ．(-3，-2]B ．[-2，-1)C ．[-1，2)D ．[2，3) 2．设i 是虚数单位，复数iai-+21为纯虚数，则实数a 为 A. 2 B. -2 C.21- D.21 3．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为21”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 4．已知2)tan(-=-απ,则=+αα2cos 2cos 1A ．-3 B. 52 C ．3 D. 25- 5．如右图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有 A ．11种 B ． 12种 C ．20种 D ． 21种6．已知O 是坐标原点，点A （-1,1）, 若点M （x,y ）为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则OA ·OM 的取值范围是A ．[0，1]B ． [0，2]C ．[－1，0]D ．[－1，2] 7．执行如图所示的程序框图,则输出的结果为A ．2B ．1C ．21D ．1-8．变量X 与Y 相对应的一组数据为（10，1）， （11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5） 变量U 与V 相对应的一组数据为（10，5），理科数学试卷 第1页(共6页)（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则 A ．210r r << B ． 210r r <<C ． 210r r <<D ．21r r =9．在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别是c b a ，，. 若223sin 2sin ,2B C a b bc =-=,则角A 等于 A ．6πB ．3π C ．32π D ．65π 10. 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积为（单位：m 2）A.π）（2411+ B. π）（2412+ C.π）（2413+ D. π）（2414+ 11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，设A ，B 为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，直线AB12．已知函数,cos sin 3sin )(2R x x x x f ∈⋅+=αωωω，又　,21)(-=αf 21)(=βf . 若βα-的最小值为43π，则正数ω的值为A. 21B. 31 C. 41 D. 51第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量=1），=（0，-1），=（k.若2-与共线，则k=______________.14．若曲线）（R 1∈+=ααx y 在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.15．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数．当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为________________.16．如图，在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝3，PB ＝2，PC ＝1.设M 是底面ABC 内的一点，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m 、n 、p 分别是三棱锥M —PAB 、三棱锥M —PBC 、三棱锥M —PCA 的体积．若),,21()(y x M f =，且81≥+yax 恒成立，则正实数a 的最小值为________．三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项13,0a d =≠公差,其前n 项和为n S ,且1413,,a a a 分别是等比数列{}n b 的第2项,第3项,第4项.(I)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;理科数学试卷 第3页(共6页)(II)证明1211113.34n S S S ≤++⋅⋅⋅+< 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为32的菱形， 且∠BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝2 6，M ，N 分 别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN ∥平面ABCD ；(2) 过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值．19．（本小题满分12分）甲、乙、丙三位同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分,笔试和面试均合格者将成为该校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三位同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三位同学能通过笔试的概率分别是0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是0.5,0.6,0.75.(1)求甲、乙、丙三位同学中至少有两位同学通过笔试的概率; (2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望)(X E . 20．（本小题满分12分）已知椭圆）（012222>>=+b a by a x 的一个焦点与抛物线x y 342=的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点F 构成正三角形．(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m,0)，使PE →·QE →恒为定值？若存在，求出E 的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数2ln )(x x a x f += (a 为实常数) .(1)当4-=a 时,求函数)(x f 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值; (2)当[]e x ,1∈时,讨论方程()0=x f 根的个数. (3)若0>a ,且对任意的[]12,1,x x e ∈,都有()()212111x x x f x f -≤-,求实数a的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形， AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE. （1）证明：∠D＝∠E;（2）设AD 不是圆O 的直径，AD 的中点为M ， 且MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形.23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴。

宁夏银川市一中2008届高三数学(文)三模考试试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2． 选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3． 按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4． 持卡面清洁，不折叠，不破损．5． 选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式：样本数据x 1,x 2,,x n 的标准差 锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=V =31Sh其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式V =ShS=4πR 2,，V=34πR 3其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若bi i i -=⋅-44)2(（其中i 是虚数单位，b 是实数），则b= （ ）A ．-4B ．4C ．-8D ．8 2．命题“设a 、b 、b a bc ac c >>∈则若,,22R ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．在等差数列{a n }中，a 1=13,a 3=12若a n =2，则n 等于 （ ） A ． 23 B ．24 C ．25 D ．264．圆(x-1)2+y 2=1的圆心到直线x-3y=0的距离是 （ ）A ．31 B ．21 C ．22D ．1 5．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是 （ ）侧视图主视图俯视图A ．)32sin(π-=x yB ．62sin(π-=x y C ．)62sin(π+=x yD ．)62sin(π+=x y 6． 已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺 寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是（ ）cm 3． （ ） A ．π+8B ．328π+C ．π+12D ．3212π+7． 已知函数f(x)=(x-a)(x-b) (其中a>b),若f(x)的图像如右图所示,则函数g(x)=a x+b 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．8． 某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：kg ）数据进行整理后分成五组，并绘制频率分布直方图（如图所示）．根据 一般标准，高三男生的体重超过65kg 属于偏胖，低于 55kg 属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、 第五小组的频率分别为0.25、0.20、0.10、0.05，第二 小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体 重正常的频率分别为 （ ） A ．1000,0.50 B ．800,0.50C ．800,0.60D ．1000,0.609． 如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是 （ ）（第16题）A ．41π-B ．4πC ．81π-D ．与a 的取值有关10．设定点A （0,1），动点P(x,y)的坐标满足条件⎩⎨⎧≤≥x y x 0则|PA|的最小值是 （ ）A ．22B ．23C ．1D ．211．设函数n n n f x x f ax x x f m 的前则数列的导数)}(2)(1{,32)()(*N ∈++='+=项和是（ ）A ．1+n n B ．)1(21+-n nC ．)2(2+n nD ．)2)(1(++n n n12．已知双曲线的两个焦点为F 1(-10,0)、F 2(10,0)，M 是此双曲线上的一点，且满足021=⋅MF MF ，2||||21=⋅MF MF ，则该双曲线的方程是（ ） A ．1922=-y x B ．1922=-y x C ．17322=-y x D ．122=-y x第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13．设α是第三象限角，tan α=125，则cos α=______________14．设向量a=(1,x),b=(2,1-x)，若a ·b<0，则实数x 是___________。

一、单选题二、多选题三、填空题四、解答题1.已知向量，点，则点B 的坐标为（ ）A．B．C．D．2. 若向量，，则（ ）A．B ．5C．D ．63. 设是抛物线上的三点，若的重心恰好是该抛物线的焦点，则（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84. 已知实数，，满足，且，则下列不等式中正确的是（ ）A．B．C．D．5. 在矩形中，与相交于点，过点作，垂足为，则A．B．C．D．6. 设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2017)＝5，则f (2018)等于（ ）A ．4B ．3C ．－5D ．57. 对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：，，…，，则正确的说法有（ ）A ．若求得的回归方程为，则变量y 和x 之间具有正的线性相关关系B ．若这组样本数据分别是，，，，则其回归方程必过点C ．若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为.同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为，则模型1的拟合效果更好D ．若用相关指数来刻画回归效果，回归模型3的相关指数，回归模型4的相关指数，则模型3的拟合效果更好8. 已知经过点和的直线的倾斜角，则实数的可能取值有（ ）A ．11B ．12C ．13D ．149. 某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好学生”的人数，则________，________.10. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为______.11.已知，且 ，则的值是________12.若，，则x ＋y ＝________．13. 化简与求值：0.5＋0.1－2＋－3π0＋.宁夏回族自治区银川一中2023届高三三模数学（文）试题(3)宁夏回族自治区银川一中2023届高三三模数学（文）试题(3)14. 如图，一海岛O，离岸边最近点B的距离是，在岸边距点B的点A处有一批药品要尽快送达海岛．已知A和B之间有一条快速路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为，快艇时速为．设点C到点B的距离为x．（参考数据：．）（1）写出运输时间关于x的函数；（2）当点C选在何处时运输时间最短？15. ①圆与直线相切；②圆被直线截得的弦长为；在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解.已知圆经过点，圆心在直线上，且__________.(1)求圆的标准方程；(2)已知圆与圆关于直线对称，过原点的直线交圆于两点，求弦中点的轨迹方程.16. 已知：等差数列满足，前3项和.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.。

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学(银川一中第三次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．集合{}{}2,1,0,1xA y R yB =∈==-，则下列结论正确的是A ．{}0,1AB ⋂=B ．),0(+∞=⋃B AC ．()(),0R C A B ⋃=-∞D ．(){}1,0R C A B ⋂=-2．欧拉公式x i x e ixsin cos +=（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2ie 表示的复数在复平面中位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限侧（左）视图俯视图正（主）视3．已知向量)3,1(),32,0(=-=b a ，则向量在方向上的投影为 A ．3-B ．3-C ．3D ．34．已知函数()sin()(00f x A x x A ωϕωϕ=+∈>>R ，，，则()f x 的解析式是 A ．()2sin(6f x x π=π+ B ．()2sin(2)6f x x π=π+C ．()2sin(3f x x π=π+ D ．()2sin(2)3f x x π=π+5．已知点),(y x 在ABC ∆所包围的阴影区域内（包括边界）， 若有且仅有)2,4(B 是使得y ax z -=取得最大值的最优 解，则实数a 的取值范围为 A. 11<<-a B. 11≤≤-a C.11<≤-aD. 11≤<-a6．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是 A ．π3B ．310πC ．311πD ．π47．执行如图所示的程序框图，输出20152016s =， 那么判断框内应填（ ）A ．2015?k ≤B ．2016?k ≤C ．2015?k ≥D ．2016?k ≥ 8．已知圆222410x y x y +-++=和两坐标轴的公 共点分别为A ，B ，C ，则C ∆AB 的面积为A ．4B ．2 C． D9．已知1sin cos 63παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．518 B ．518- C ．79 D ．79-10．下列四个命题中，正确的有①两个变量间的相关系数r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题“R x ∈∃，使得210x x ++<”的否定是:“对x R ∀∈， 均有210x x ++>” ； ③命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件；④若函数322()3f x x ax bx a =+++在1x =-有极值0， 则2,9a b ==或3,1==b a . A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3个11．已知抛物线24y x =，圆22:(1)1F x y -+=，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点,,,A B C D （如图所示）， 则AB CD ⋅的值正确的是 A ．等于4 B ．最小值是1C ．等于1D ．最大值是412．已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象为一条连续不断的曲线，(1)(1)f x f x +=-，(1)f a =，且当0 < x < 1时，()f x 的导函数()f x '满足：()()f x f x '<，则()f x 在[2015,2016]上的最大值为A ．aB ．0C ．-aD ．2016第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数()()1,03,0xx f x f x x ⎧⎛⎫>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-<⎩，则31log 6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．14．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C 的一条渐近线倾斜角为3π， 则双曲线C 的离心率为 ．15．三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =，C C A =B =，14AA =，则这个球的表面积为 ．16．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题：①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67a a >． 其中正确命题的是 ．三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）在△ABC ，角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 已知.cos 2sin ,31cos B A C == （1）求B tan 的值；（2）若,5=c 求△ABC 的面积. 18．（本小题满分12分）从2016年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据(,)x y （其中x （万元）表示购车价格，y （元）表示商业车险保费）：(8,2150)、(11,2400)、(18,3140)、(25,3750)、(25,4000)、(31,4560)、(37,5500)、(45,6500)，设由这8组数据得到的回归直线方程为：1055y bx =+．（1）求b ；(2) 有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000 辆调查,得到一年中出险次数的频数分布如下(并用相应频率估计车辆2016 年度出险次数的概率):广东李先生2016 年1月购买一辆价值20 万元的新车.根据以上信息,试估计该车辆在2017 年1月续保时应缴交的保费(精确到元),并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担.(假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保）19．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 中，∠ABC = 60°，AC 与BD 相交于点O ， AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AB = AE = 2. （1）求证：BD ⊥平面ACFE ；（2）当直线FO 与平面BED 所成角的大小为45°时，求CF 的长度.20.（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线2x =的焦点. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线2x =与椭圆交于P,Q 两点，P 点位于第 一象限，A,B 是椭圆上位于直线2x =两侧的动点.当点 A,B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，问直线AB 的斜 率是否为定值，请说明理由.21．（本小题满分12分）设函数()ln .f x x x =+ （1）令()()aF x f x x x=+-（03x <≤），若()F x 的图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤21恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22．（本小题满分10分） 选修4 - 1：几何证明选讲如图，EF 是⊙O 的直径，AB ∥EF ，点M 在EF 上，AM 、 BM 分别交⊙O 于点C 、D 。

银川一中2015届高三第三次模拟考试数学(文科)参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABDBACDACDCB二、填空题：13．2{ 1 2 }2－，， 14.3515. 45- 16. ③④ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）18.证明: (1)连结BD 90BAD ADC ∠=∠= ,3AB a DA a ==所以2BD DC a == E 为BC 中点 所以BC DE ⊥ ……………3分 又因为PD ⊥平面ABCD , 所以BC PD ⊥ 因为DEPD D = ……………4分所以BC ⊥平面PDE ……………5分因为BC ⊂平面PBC ,所以平面PBC ⊥平面PDE ……………6分 (2)当点F 位于PC 三分之一分点(靠近P 点)时, //PA 平面BDF ……………7分连结,AC BD 交于O 点//AB CD ,所以AOB ∆相似于COD ∆又因为12AB DC =，所以12AO OC =从而在CPA ∆中,13AO AC = ……10分 而13PF PC =所以//OF PA ………11分 而OF ⊂平面BDFPA ⊄平面B D F所以//PA 平面BDF ………12分19.解：（Ⅰ）设从高一年级男生中抽出m 人，则45500500400m =+，25m =， ∴ 21820,52025=-==-=y x …………… 2分表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为,,a b c ，尚待改进的2人为,A B ， 则从这5人中任选2人的所有可能结果为：),(b a ，),(c a ，),(c b ，),(B A ，),(A a ，),(B a ，),(A b ，),(B b ，),(A c ，),(B c 共10种 ………………… 4分设事件C 表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”， 则C 的结果为：()()()()()(),,,,,,,,,,,a A a B b A b B c A c B ，共6种……………5分∴63()105P C ==， 故所求概率为35…………………68分 （Ⅱ）∵10.90.1-=，2( 2.706)0.10P K ≥=， 而()2245155151091.1252.706301525208K ⨯-⨯===<⨯⨯⨯…………………11分所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关” …………………12分20.（Ⅰ）由于抛物线24y x = 的焦点坐标为(1,0)，所以1c =，因此221a b =+，……2分因为原点到直线AB ：1x ya b -=的距离为222217ab d a b==+， 解得：224,3a b ==，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．……………………5分（Ⅱ）由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得方程222(43)84120k x kmx m +++-=，（*）……………6分由直线与椭圆相切得0m ≠且2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+-=， 整理得：22430k m -+=，……………………8分男生 女生 总计 优秀 15 15 30 非优秀 10 5 15 总计 252045将222243,34k m m k +=-=代入（*）式得2228160m x kmx k ++=，即2(4)0mx k +=，解得4k x m =-，所以43(,)k P m m-，……10分又1(1,0)F ，所以133441PF m k k k m m==-+--，所以143F Q k mk +=，所以直线1F Q 方程为4(1)3k my x +=-，……………………11分联立方程组4(1)3y kx m k my x =+⎧⎪+⎨=-⎪⎩，得4x =， 所以点Q 在定直线4x =上．……………12分 21.解：（1）()2af x x a x'=--，由题意可得(1)0f '=，解得1a = 经检验，1a =时()f x 在1x =处取得极值，所以1a = (4分) （2）证明：由（1）知，2()ln f x x x x =--令3232511311()()(4)3ln 326326x x x x g x f x x x x =--+-+=-+-- 由33211(1)()333(1)(0)x x g x x x x x x x x--'=-+-=--=>， 可知()g x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数所以()(1)0g x g ≥=，所以32511()4326x x f x x ≥-+-+成立 (8分) （3）由[,)x e ∈+∞知，ln 0x x +>所以()0f x ≥恒成立等价于2ln x a x x ≤+在[,)x e ∈+∞时恒成立令2()ln x h x x x=+，[,)x e ∈+∞，有2(12ln )()0(ln )x x x h x x x -+'=>+， 所以()h x 在[,)e +∞上是增函数，有2()()1e h x h e e ≥=+，所以21e a e ≤+. (12分)22．证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠D=∠CBE ，∵CB=CE ，∴∠E=∠CBE ，∴∠D=∠E ； （2）设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB=MC 知MN ⊥BC ，∴O 在直线MN 上， ∵AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，∴OM ⊥AD ， ∴AD ∥BC ，∴∠A=∠CBE ，∵∠CBE=∠E ，∴∠A=∠E ，由（Ⅰ）知，∠D=∠E ，∴△ADE 为等边三角形23．解：（1）1C ：2)1()1(22=-+-y x ，-------------------2分2C ：a y =，-----------------------------------4分因为曲线1C 关于曲线2C 对称，1=a，2C ：1=y ------5分（2）)4sin(22||πϕ+=OA ；ϕπϕcos 22)2sin(22||=+=OBϕsin 22||=OC ，)4cos(22)43sin(22||πϕπϕ+=+=OD -----------------------8分 24||||||||=⋅+⋅OD OB OC OA -----------------------10分24.解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤，∴32a -=-，∴1a =。

宁夏银川一中2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x＜a}，B={x|1≤x＜2}，且A∪（∁U B）=R，则实数a的取值范围是( ) A．a≤1B．a＜1 C．a≥2D．a＞22．复数所对应的点位于复平面内( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），且a3+a6+a10+a13=32，若a m=8，则m为( ) A．12 B．8 C．6 D．44．下列命题中为真命题的是( )A．若x≠0，则x+≥2B．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1C．“a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件D．若命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＞05．设x＞0，且1＜b x＜a x，则( )A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b6．设M（x0，y0）为抛物线C：y2=8x上一点，F为抛物线C的焦点，若以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则x0的取值范围是( )A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．（0，2）D．（0，4）7．如果下面的程序执行后输出的结果是11880，那么在程序UNTIL后面的条件应为( )A．i＜10 B．i≤10C．i≤9D．i＜98．若k∈，则k的值使得过A（1，1）可以做两条直线与圆x2+y2+kx﹣2y﹣k=0相切的概率等于( )A．B．C．D．不确定9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A．36πB．8πC．πD．π10．设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，m∥n，则n∥α；④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．上述命题中，所有真命题的序号是( )A．③④B．②④C．①②D．①③11．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度12．设函数，其中表示不超过x的最大整数，如=﹣2，=1，=1，若直线y=kx+k（k＞0）与函数y=f（x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是( ) A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a=__________．14．等比数列{a n}的前n项和为S n，若S1，S3，S2成等差数列，则{a n}的公比q=__________．15．若等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，BC=，∠ABC=45°，则•的值为__________．16．已知函数f（x）=e x﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围为__________．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，且c=3．（1）求角C；（2）若向量与共线，求a、b的值．18．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（1）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；（2）求点C到平面ABD的距离．19．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x（℃）10 11 13 12 8 6就诊人数y（人）22 25 29 26 16 12该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？20．已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线AP的倾斜角为，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．21．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）已知x1=（e为自然对数的底数）和x2是函数f（x）的两个不同的零点，求a的值并证明：x2＞．三.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．22．如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（1）求证：∠PEC=∠PDF；（2）求PE•PF的值．23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．24．选修4﹣5；不等式选讲．设不等式|2x﹣1|＜1的解集是M，a，b∈M．（I）试比较ab+1与a+b的大小；（II）设max表示数集A的最大数．h=max，求证：h≥2．宁夏银川一中2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x＜a}，B={x|1≤x＜2}，且A∪（∁U B）=R，则实数a的取值范围是( ) A．a≤1B．a＜1 C．a≥2D．a＞2考点：并集及其运算．专题：集合．分析：根据全集R以及B求出B的补集，由A与B补集的并集为R，确定出a的范围即可．解答：解：∵B={x|1≤x＜2}，∴∁R B={x|x＜1或x≥2}，∵A={x|x＜a}，A∪（∁R B）=R，∴a的范围为a≥2，故选：C．点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．复数所对应的点位于复平面内( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：把给出的等式变形后直接利用复数代数形式的乘除运算化简，得到复数对应点的坐标即可．解答：解：∵．∴复数所对应的点（）在第二象限．故选B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的几何意义，是基础题．3．已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），且a3+a6+a10+a13=32，若a m=8，则m为( ) A．12 B．8 C．6 D．4考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据a3+a6+a10+a13中各项下标的特点，发现有3+13=6+10=16，优先考虑等差数列的性质去解．解答：解：a3+a6+a10+a13=32即（a3+a13）+（a6+a10）=32，根据等差数列的性质得 2a8+2a8=32，a8=8，∴m=8故选：B．点评：本题考查了等差数列的性质．掌握等差数列的有关性质，在计算时能够减少运算量，凸显问题的趣味性．4．下列命题中为真命题的是( )A．若x≠0，则x+≥2B．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1C．“a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件D．若命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＞0考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；推理和证明．分析：对四个命题，分别进行判断，即可得出结论．解答：解：对于A，x＞0，利用基本不等式，可得x+≥2，故不正确；对于B，命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1，正确；对于C，“a=±1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件，故不正确；对于D，命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，故不正确．故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．5．设x＞0，且1＜b x＜a x，则( )A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b考点：指数函数单调性的应用．专题：探究型．分析：利用指数函数的性质，结合x＞0，即可得到结论．解答：解：∵1＜b x，∴b0＜b x，∵x＞0，∴b＞1∵b x＜a x，∴∵x＞0，∴∴a＞b∴1＜b＜a故选C．点评：本题考查指数函数的性质，解题的关键是熟练运用指数函数的性质，属于基础题．6．设M（x0，y0）为抛物线C：y2=8x上一点，F为抛物线C的焦点，若以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则x0的取值范围是( )A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．（0，2）D．（0，4）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由条件|FM|＞4，由抛物线的定义|FM|可由x0表达，由此可求x0的取值范围解答：解：由条件以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，可得|FM|＞4，由抛物线的定义|FM|=x0+2＞4，所以x0＞2故选A．点评：本题考查直线和圆的位置关系、抛物线的定义的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．7．如果下面的程序执行后输出的结果是11880，那么在程序UNTIL后面的条件应为( )A．i＜10 B．i≤10C．i≤9D．i＜9考点：伪代码．专题：常规题型．分析：先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=1×12×11×10×9=11880得到程序中UNTIL后面的“条件”．解答：解：因为输出的结果是132，即s=1×12×11×10×9，需执行4次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＜9．故选D点评：本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．8．若k∈，则k的值使得过A（1，1）可以做两条直线与圆x2+y2+kx﹣2y﹣k=0相切的概率等于( )A．B．C．D．不确定考点：几何概型；直线与圆的位置关系．专题：概率与统计．分析：把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集，然后由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式，让其大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集，最后根据几何概率的定义，求出相切的概率即可．解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x+）2+（y﹣1）2=1+k+k2，所以1+k+k2＞0，解得：k＜﹣4或k＞﹣1，又点（1，1）应在已知圆的外部，把点代入圆方程得：1+1+k﹣2﹣k＞0，解得：k＜0，则实数k的取值范围是k＜﹣4或0＞k＞﹣1．则k的值使得过A（1，1）可以做两条直线与圆x2+2+kx﹣2y﹣k=0 相切的概率等于：P==．故选B．点评：此题考查了几何概型，点与圆的位置关系，二元二次方程为圆的条件及一元二次不等式的解法．理解过已知点总可以作圆的两条切线，得到把点坐标代入圆方程其值大于0是解本题的关键．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A．36πB．8πC．πD．π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图得出该几何体是直三棱锥，且底面是等腰直角三角形，根据直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，由外接球的结构特征，求出它的半径与表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱锥；如图所示；则该直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，设几何体外接球的半径为R，∵底面是等腰直角三角形，∴底面外接圆的半径为1，∴R2=1+1=2，∴外接球的表面积是4πR2=8π．故选：B．点评：本题考查了根据几何体的三视图求对应的几何体的表面积的应用问题，是基础题目．10．设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，m∥n，则n∥α；④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．上述命题中，所有真命题的序号是( )A．③④B．②④C．①②D．①③考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：①若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故①错误；②若m⊥α，m∥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故②正确；③若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故③错误；④若m⊥α，α∥β，则由直线与平面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．故选：B．点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．11．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象可得A=1，==﹣，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，故f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）．故把f（x）的图象向右平移个单位长度，可得g（x）=sin2x的图象，故选：A．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．12．设函数，其中表示不超过x的最大整数，如=﹣2，=1，=1，若直线y=kx+k（k＞0）与函数y=f（x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是( ) A．B．C．D．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：新定义．分析：画图可知f（x）就是周期为1的函数，且在则实数m的范围为（，+∞）．故答案为：（，+∞）．点评：本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，且c=3．（1）求角C；（2）若向量与共线，求a、b的值．考点：余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简可得sin（2C﹣30°）=1，结合C的范围可求C（2）由（1）C，可得A+B，结合向量共线的坐标表示可得sinB﹣2sinA=0，利用两角差的正弦公式化简可求解答：解：（1）∵，∴∴sin（2C﹣30°）=1∵0°＜C＜180°∴C=60°（2）由（1）可得A+B=120°∵与共线，∴sinB﹣2sinA=0∴sin（120°﹣A）=2sinA整理可得，即tanA=∴A=30°，B=90°∵c=3．∴a=，b=2点评：本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式及两角和的正弦公式、锐角三角函数的综合应用18．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（1）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；（2）求点C到平面ABD的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）取CD的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，可证AD∥EF，又EF⊆平面EFB AD⊄平面EFB，可证AD∥平面EFB．（2）设点C到平面ABD的距离为h，由于可证AD⊥BD，可得，又三棱锥B﹣ACD 的高BC=2，S△ACD=2，由=即可解得点C到平面ABD的距离．解答：（1）取CD的中点F，连结EF，BF，在△AC D中，∵E，F分别为AC，DC的中点，∴EF为△ACD的中位线∴AD∥EF，EF⊆平面EFB，AD⊄平面EFB∴AD∥平面EFB．（2）设点C到平面ABD的距离为h，∵平面ADC⊥平面ABC，且BC⊥AC，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AD，而AD⊥DC•∴AD⊥平面BCD，即AD⊥BD•∴•∴三棱锥B﹣ACD的高BC=2，S△ACD=2，∴=∴可解得：h=2．点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，考查了点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．19．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x（℃）10 11 13 12 8 6就诊人数y（人）22 25 29 26 16 12该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？考点：回归分析的初步应用；等可能事件的概率．专题：计算题；方案型．分析：（Ⅰ）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果．（Ⅱ）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．（Ⅲ）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．解答：解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，设抽到相邻两个月的数据为事件A试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62=15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种∴（Ⅱ）由数据求得，由公式求得b=再由求得a=﹣∴y关于x的线性回归方程为（Ⅲ）当x=10时，y=，||=＜2∴该小组所得线性回归方程是理想的．点评：本题考查线性回归方程的求法，考查等可能事件的概率，考查线性分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目，这种题目可以作为解答题出现在2015届高考卷中．20．已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线AP的倾斜角为，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），F（c，0）．由题意知，解得即可得出．（II）以BD为直径的圆与直线PF相切．由题意可知，c=1，F（1，0），直线AP的方程为y=﹣x﹣2．则点D坐标为（2，﹣4），BD中点E的坐标为（2，﹣2），圆的半径r=2．直线AP的方程与椭圆的方程联立可得7x2+16x+4=0．可得点P的坐标．可得直线PF的方程为：4x﹣3y ﹣4=0．利用点到直线的距离公式可得点E到直线PF的距离d．只要证明d=r．解答：解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），F（c，0）．由题意知，解得．故椭圆C的方程为．（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：由题意可知，c=1，F（1，0），直线AP的方程为y=﹣x﹣2．则点D坐标为（2，﹣4），BD中点E的坐标为（2，﹣2），圆的半径r=2．由得7x2+16x+4=0．设点P的坐标为（x0，y0），则．∵点F坐标为（1，0），直线PF的斜率为，直线PF的方程为：4x﹣3y﹣4=0．点E到直线PF的距离d==2．∴d=r．故以BD为直径的圆与直线PF相切．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、直线与圆相切的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）已知x1=（e为自然对数的底数）和x2是函数f（x）的两个不同的零点，求a的值并证明：x2＞．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：（I）先求函数f（x）的导函数f′（x），并确定函数的定义域，再解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可分别求得函数f（x）的单调增区间和单调减区间，进而利用极值定义求得函数的极值，由于导函数中含有参数a，故为解不等式的需要，需讨论a的正负；（II）将x1=代入函数f（x），即可得a的值，再利用（I）中的单调性和函数的零点存在性定理，证明函数的另一个零点x2是在区间（，）上，即可证明结论解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．求导数，得f′（x）=﹣a=．①若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）是（0，+∞）上的增函数，无极值；②若a＞0，令f′（x）=0，得x=．当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．∴当x=时，f（x）有极大值，极大值为f（）=ln﹣1=﹣lna﹣1．综上所述，当a≤0时，f（x）的递增区间为（0，+∞），无极值；当a＞0时，f（x）的递增区间为（0，），递减区间为（，+∞），极大值为﹣lna﹣1（Ⅱ）∵x1=是函数f（x）的零点，∴f （）=0，即﹣a=0，解得a==．∴f（x）=lnx﹣x．∵f（）=﹣＞0，f（）=﹣＜0，∴f（）•f（）＜0．由（Ⅰ）知，函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，∴函数f（x）在区间（，）上有唯一零点，因此x2＞．点评：本题主要考查了导数在函数单调性和函数极值中的应用，连续函数的零点存在性定理及其应用，分类讨论的思想方法，属中档题三.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．22．如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（1）求证：∠PEC=∠PDF；（2）求PE•PF的值．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：（1）证明P、B、C、E四点共圆、A、B、C、D四点共圆，利用四点共圆的性质，即可证明：∠PEC=∠PDF；（2）证明D，C，E，F四点共圆，利用割线定理，即可求得PE•PF的值．解答：（1）证明：连结BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=∠APE=90°，∴P、B、C、E四点共圆．∴∠PEC=∠CBA．又∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CBA=∠PDF，∴∠PEC=∠PDF﹣﹣﹣﹣（2）解：∵∠PEC=∠PDF，∴F、E、C、D四点共圆．∴PE•PF=PC•PD=PA•PB=2×12=24．﹣﹣﹣﹣点评：本题考查圆的性质，考查四点共圆的判定，考查割线的性质，属于中档题．23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．考点：圆的参数方程；函数的图象与图象变化；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．专题：计算题．分析：（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．（II）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P 到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．解答：解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）所以|AB|==1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d==当sin（）=﹣1时，d取得最小值．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C2的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路．24．选修4﹣5；不等式选讲．设不等式|2x﹣1|＜1的解集是M，a，b∈M．（I）试比较ab+1与a+b的大小；（II）设max表示数集A的最大数．h=max，求证：h≥2．考点：平均值不等式；不等式比较大小；绝对值不等式的解法．专题：压轴题；不等式的解法及应用．分析：（I）解绝对值不等式求出M=（ 0，1），可得 0＜a＜1，0＜b＜1，再由（ab+1）﹣（a+b）=（a﹣1）（b﹣1）＞0可得ab+1与a+b的大小．（II）由题意可得h≥，h≥，h≥，可得h3≥=4，从而证得h≥2．解答：解：（I）由不等式|2x﹣1|＜1 可得﹣1＜2x﹣1＜1，解得 0＜x＜1，从而求得 M=（ 0，1）．由 a，b∈M，可得 0＜a＜1，0＜b＜1．∴（ab+1）﹣（a+b）=（a﹣1）（b﹣1）＞0，∴（ab+1）＞（a+b）．（II）设max表示数集A的最大数，∵h=max，∴h≥，h≥，h≥，∴h3≥=4•≥8，故h≥2．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式的性质以及基本不等式的应用，属于中档题．。

2015年宁夏银川一中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1≤x＜2}，且A∪（∁R B）＝R，则实数a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．a≥2D．a＞22．（5分）复数所对应的点位于复平面内（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），且a3+a6+a10+a13＝32，若a m ＝8，则m为（）A．12B．8C．6D．44．（5分）下列命题中为真命题的是（）A．若x≠0，则x+≥2B．命题：若x2＝1，则x＝1或x＝﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1C．“a＝1”是“直线x﹣ay＝0与直线x+ay＝0互相垂直”的充要条件D．若命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＞05．（5分）设x＞0，且1＜b x＜a x，则（）A．0＜b＜a＜1B．0＜a＜b＜1C．1＜b＜a D．1＜a＜b 6．（5分）设M（x0，y0）为抛物线C：y2＝8x上一点，F为抛物线C的焦点，若以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则x0的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．（0，2）D．（0，4）7．（5分）如果下面的程序执行后输出的结果是11880，那么在程序UNTIL后面的条件应为（）A．i＜10B．i≤10C．i≤9D．i＜98．（5分）若k∈[﹣2，2]，则k的值使得过A（1，1）可以做两条直线与圆x2+y2+kx ﹣2y﹣k＝0相切的概率等于（）A．B．C．D．不确定9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．36πB．8πC．πD．π10．（5分）设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，m∥n，则n∥α；④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．上述命题中，所有真命题的序号是（）A．③④B．②④C．①②D．①③11．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度12．（5分）设函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣1.2]＝﹣2，[1.2]＝1，[1]＝1，若直线y＝kx+k（k＞0）与函数y＝f（x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为2，则实数a的值为．14．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S1，S3，S2成等差数列，则{a n}的公比q＝．15．（5分）若等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，BC＝，∠ABC＝45°，则•的值为．16．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，则实数m的取值范围为．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sin C cos C ﹣cos2C＝，且c＝3（1）求角C（2）若向量＝（1，sin A）与＝（2，sin B）共线，求a、b的值．18．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD ＝AB＝2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（1）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；（2）求点C到平面ABD的距离．19．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx+a；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？20．（12分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线AP的倾斜角为，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．21．（12分）设a∈R，函数f（x）＝lnx﹣ax．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）已知x1＝（e为自然对数的底数）和x2是函数f（x）的两个不同的零点，求a的值并证明：x2＞．三.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图，圆O的直径AB＝10，P是AB延长线上一点，BP＝2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（1）求证：∠PEC＝∠PDF；（2）求PE•PF的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．[选修4-5；不等式选讲]24．选修4﹣5；不等式选讲．设不等式|2x﹣1|＜1的解集是M，a，b∈M．（I）试比较ab+1与a+b的大小；（II）设max表示数集A的最大数．h＝max，求证：h≥2．2015年宁夏银川一中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1≤x＜2}，且A∪（∁R B）＝R，则实数a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．a≥2D．a＞2【解答】解：∵B＝{x|1≤x＜2}，∴∁R B＝{x|x＜1或x≥2}，∵A＝{x|x＜a}，A∪（∁R B）＝R，∴a的范围为a≥2，故选：C．2．（5分）复数所对应的点位于复平面内（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵．∴复数所对应的点（）在第二象限．故选：B．3．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），且a3+a6+a10+a13＝32，若a m ＝8，则m为（）A．12B．8C．6D．4【解答】解：a3+a6+a10+a13＝32即（a3+a13）+（a6+a10）＝32，根据等差数列的性质得2a8+2a8＝32，a8＝8，∴m＝8故选：B．4．（5分）下列命题中为真命题的是（）A．若x≠0，则x+≥2B．命题：若x2＝1，则x＝1或x＝﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1C．“a＝1”是“直线x﹣ay＝0与直线x+ay＝0互相垂直”的充要条件D．若命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＞0【解答】解：对于A，x＞0，利用基本不等式，可得x+≥2，故不正确；对于B，命题：若x2＝1，则x＝1或x＝﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1，正确；对于C，“a＝±1”是“直线x﹣ay＝0与直线x+ay＝0互相垂直”的充要条件，故不正确；对于D，命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，故不正确．故选：B．5．（5分）设x＞0，且1＜b x＜a x，则（）A．0＜b＜a＜1B．0＜a＜b＜1C．1＜b＜a D．1＜a＜b【解答】解：∵1＜b x，∴b0＜b x，∵x＞0，∴b＞1∵b x＜a x，∴∵x＞0，∴∴a＞b∴1＜b＜a故选：C．6．（5分）设M（x0，y0）为抛物线C：y2＝8x上一点，F为抛物线C的焦点，若以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则x0的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．（0，2）D．（0，4）【解答】解：由条件以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，可得|FM|＞4，由抛物线的定义|FM|＝x0+2＞4，所以x0＞2故选：A．7．（5分）如果下面的程序执行后输出的结果是11880，那么在程序UNTIL后面的条件应为（）A．i＜10B．i≤10C．i≤9D．i＜9【解答】解：因为输出的结果是132，即s＝1×12×11×10×9，需执行4次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＜9．故选：D．8．（5分）若k∈[﹣2，2]，则k的值使得过A（1，1）可以做两条直线与圆x2+y2+kx ﹣2y﹣k＝0相切的概率等于（）A．B．C．D．不确定【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+）2+（y﹣1）2＝1+k+k2，所以1+k+k2＞0，解得：k＜﹣4或k＞﹣1，又点（1，1）应在已知圆的外部，把点代入圆方程得：1+1+k﹣2﹣k＞0，解得：k＜0，则实数k的取值范围是k＜﹣4或0＞k＞﹣1．则k的值使得过A（1，1）可以做两条直线与圆x2+2+kx﹣2y﹣k＝0 相切的概率等于：P＝＝．故选：B．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．36πB．8πC．πD．π【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱锥；如图所示；则该直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，设几何体外接球的半径为R，∵底面是等腰直角三角形，∴底面外接圆的半径为1，∴R2＝1+1＝2，∴外接球的表面积是4πR2＝8π．故选：B．10．（5分）设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，m∥n，则n∥α；④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．上述命题中，所有真命题的序号是（）A．③④B．②④C．①②D．①③【解答】解：①若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故①错误；②若m⊥α，m∥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故②正确；③若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故③错误；④若m⊥α，α∥β，则由直线与平面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．故选：B．11．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象可得A＝1，＝＝﹣，求得ω＝2．再根据五点法作图可得2×+φ＝π，求得φ＝，故f（x）＝sin（2x+）＝sin2（x+）．故把f（x）的图象向右平移个单位长度，可得g（x）＝sin2x的图象，故选：A．12．（5分）设函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣1.2]＝﹣2，[1.2]＝1，[1]＝1，若直线y＝kx+k（k＞0）与函数y＝f（x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数，∴函数的图象如下图所示：∵y＝kx+k＝k（x+1），故函数图象一定过（﹣1，0）点若f（x）＝kx+k有三个不同的根，则y＝kx+k与y＝f（x）的图象有三个交点当y＝kx+k过（2，1）点时，k＝，当y＝kx+k过（3，1）点时，k＝，故f（x）＝kx+k有三个不同的根，则实数k的取值范围是故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为2，则实数a的值为3．【解答】解：当a＜0时，不等式组所表示的平面区域，如图中的M，一个无限的角形区域，面积不可能为2，故只能a≥0，此时不等式组所表示的平面区域如图中的N，区域为三角形区域，若这个三角形的面积为2，则AB＝4，即点B的坐标为（1，4），代入y＝ax+1得a＝3．故答案为：3．14．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S1，S3，S2成等差数列，则{a n}的公比q＝﹣．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，S1，S3，S2成等差数列，∴依题意有，由于a1≠0，故2q2+q＝0，又q≠0，解得q＝﹣．故答案为：﹣．15．（5分）若等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，BC＝，∠ABC＝45°，则•的值为﹣3．【解答】解：如图，＝＝；过D作DE∥BC，根据已知条件，∠ADC＝135°，∠EDC＝45°；∴∠ADE＝90°；∴；∴．故答案为：﹣3．16．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，则实数m的取值范围为（，+∞）．【解答】解：函数f（x）＝e x﹣mx+1的导数为f′（x）＝e x﹣m，若曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，即有e x﹣m＝﹣有解，即m＝e x+，由e x＞0，则m＞．则实数m的范围为（，+∞）．故答案为：（，+∞）．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sin C cos C ﹣cos2C＝，且c＝3（1）求角C（2）若向量＝（1，sin A）与＝（2，sin B）共线，求a、b的值．【解答】解：（1）∵，∴∴sin（2C﹣30°）＝1∵0°＜C＜180°∴C＝60°（2）由（1）可得A+B＝120°∵与共线，∴sin B﹣2sin A＝0∴sin（120°﹣A）＝2sin A整理可得，即tan A＝∴A＝30°，B＝90°∵c＝3．∴a＝，b＝218．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD ＝AB＝2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（1）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；（2）求点C到平面ABD的距离．【解答】（1）取CD的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，∵E，F分别为AC，DC的中点，∴EF为△ACD的中位线∴AD∥EF，EF⊆平面EFB，AD⊄平面EFB∴AD∥平面EFB．（2）设点C到平面ABD的距离为h，∵平面ADC⊥平面ABC，且BC⊥AC，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AD，而AD⊥DC•∴AD⊥平面BCD，即AD⊥BD•∴•∴三棱锥B﹣ACD的高BC＝2，S＝2，△ACD∴＝∴可解得：h＝．19．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx+a；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？【解答】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，设抽到相邻两个月的数据为事件A，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62＝15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，∴P（A）＝＝；（Ⅱ）由数据求得＝11，＝24，由公式求得＝＝＝，再由＝﹣b，求得＝﹣，∴y关于x的线性回归方程为＝x﹣，（Ⅲ）当x＝10时，＝，|﹣22|＝＜2，当x＝6时，＝，|﹣12|＝＜2，∴该小组所得线性回归方程是理想的．20．（12分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线AP的倾斜角为，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），F（c，0）．由题意知，解得．故椭圆C的方程为．（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：由题意可知，c＝1，F（1，0），直线AP的方程为y＝﹣x﹣2．则点D坐标为（2，﹣4），BD中点E的坐标为（2，﹣2），圆的半径r＝2．由得7x2+16x+4＝0．设点P的坐标为（x0，y0），则．∵点F坐标为（1，0），直线PF的斜率为，直线PF的方程为：4x﹣3y﹣4＝0．点E到直线PF的距离d＝＝2．∴d＝r．故以BD为直径的圆与直线PF相切．21．（12分）设a∈R，函数f（x）＝lnx﹣ax．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）已知x1＝（e为自然对数的底数）和x2是函数f（x）的两个不同的零点，求a的值并证明：x2＞．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．求导数，得f′（x）＝﹣a＝．①若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）是（0，+∞）上的增函数，无极值；②若a＞0，令f′（x）＝0，得x＝．当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．∴当x＝时，f（x）有极大值，极大值为f（）＝ln﹣1＝﹣lna﹣1．综上所述，当a≤0时，f（x）的递增区间为（0，+∞），无极值；当a＞0时，f （x）的递增区间为（0，），递减区间为（，+∞），极大值为﹣lna﹣1（Ⅱ）∵x1＝是函数f（x）的零点，∴f（）＝0，即﹣a＝0，解得a＝＝．∴f（x）＝lnx﹣x．∵f（）＝﹣＞0，f（）＝﹣＜0，∴f（）•f（）＜0．由（Ⅰ）知，函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，∴函数f（x）在区间（，）上有唯一零点，因此x2＞．三.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图，圆O的直径AB＝10，P是AB延长线上一点，BP＝2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（1）求证：∠PEC＝∠PDF；（2）求PE•PF的值．【解答】（1）证明：连结BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝∠APE＝90°，∴P、B、C、E四点共圆．∴∠PEC＝∠CBA．又∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CBA＝∠PDF，∴∠PEC＝∠PDF﹣﹣﹣﹣（5分）（2）解：∵∠PEC＝∠PDF，∴F、E、C、D四点共圆．∴PE•PF＝PC•PD＝P A•PB＝2×12＝24．﹣﹣﹣﹣（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【解答】解：（I）l的普通方程为y＝（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2＝1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）所以|AB|＝＝1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d＝＝[sin（）+2]当sin（）＝﹣1时，d取得最小值．[选修4-5；不等式选讲]24．选修4﹣5；不等式选讲．设不等式|2x﹣1|＜1的解集是M，a，b∈M．（I）试比较ab+1与a+b的大小；（II）设max表示数集A的最大数．h＝max，求证：h≥2．【解答】解：（I）由不等式|2x﹣1|＜1 可得﹣1＜2x﹣1＜1，解得0＜x＜1，从而求得M＝（0，1）．由a，b∈M，可得0＜a＜1，0＜b＜1．∴（ab+1）﹣（a+b）＝（a﹣1）（b﹣1）＞0，∴（ab+1）＞（a+b）．（II）设max表示数集A的最大数，∵h＝max，∴h ≥，h ≥，h ≥，∴h3≥＝4•≥8，故h≥2．第21页（共21页）。