新人教A必修1数学教学课件：函数的基本性质——奇偶性1

高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
题型三：奇偶性与单调性的联系：
例：已知函数 y f ( x)(x 0)为奇函数，在 x 0,
上为单调增函数，且 f (1) 0 ，则不等式 f (2 x 1) 0 解集为__________.
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变式2：定义在 R 上的函数 f ( x), 对任意 x, y R都有
f ( x y) f ( x) f ( y) 1, 且x 0时，f ( x) 1, f (1) 2
(1)求证：f ( x)是R上的增函数； (2)解不等式： f (3x 1) 7; (3)求证：g ( x) f ( x) 1是奇函数。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
课堂总结：
1：函数奇偶性的定义：
“数”与“形”的特征
2：利用函数的奇偶性求值、求解析式
3：函数奇偶性与单调性的联系： “模拟图像”
-2 -1 0
1 2
x
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
题型二：利用奇偶性求解析式： 例：已知函数
f ( x) ax2 bx c(2a 3 x 1)
b _________ . 是偶函数，则 a _____,
2a 3 1 解：由题意可得：
a 1 解得：
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变式2：已知函数 f ( x)为奇函数，且当 x
f ( x) x3 2 x 2 1,
0时，
则 f (2) _______
则 f (a) _______
在原点处有定义的 f (0) 0 奇函数：
则 f ( x) _______

A.－7
B.－5
C.－3
D.3
解析 ∵f(2 020)＝a×2 0203＋b×2 020－2＝3， ∴a×2 0203＋b×2 020＝5， ∴f(－2 020)＝－a×2 0203－b×2 020－2 ＝－5－2＝－7. 答案 A
一个函数的部分可能 具有奇偶性，注意要 善于观察利用。
课堂精讲
已知 f(a)求 f(－a)，判断 f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性 的函数，利用奇偶性找出 f(a)与 f(－a)的关系即可.
判断函数是非奇非偶函数 ，只需找一适当的不符合 奇偶函数定义的特例即可
解 对任意 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)， 则函数 f(x)为偶函数；
则 f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0， 即 f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)， 则函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
②当 a≠0 时，f(x)＝x2＋ax(x≠0)， 取 x＝1，得 f(1)＝1＋a，取 x＝－1， 得 f(－1)＝1－a，
综上所述，当 a≠0 时， 函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数； 当 a＝0 时，函数 f(x)为偶函数.
课堂精讲
角度 4 含参函数奇偶性的判断 【例 1－4】 判断下列函数的奇偶性：
求证：f(x)为偶函数；
(3)若函数 f(x)的定义域为(－l，l)(l>0)，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数.
(3)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)，
又 F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
可见 f(－x)的定义域也是(－l，l).
G(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]

一看
二找
三判断
看定义域 是否关于 原点对称
找 f x与
f x的
下结
关系
论
函数奇偶性的判断
变式训练1 判断下列函数的奇偶性：——定义法
（1）f x 4 x2 （2）f x x2x 1
x 1
（3）f x 0
按照奇偶性将函数分类为：
①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶函数 ④既奇又偶函数
函数奇偶性的判断 ——图象直观感知
利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以 及复合函数的奇偶性判断.
f x
偶
偶
奇
奇
gx
偶
奇
奇
偶
f x gx
f x gx
f x gx
f g(x)
研究题 借助几何画板绘制大量函数图象并归纳函数的单调
性与函数的奇偶性的关系。来自f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)
不同点
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
补充：奇偶性是函数在其定义域上的整体性质
函数奇偶性的判断
例6 判断下列函数的奇偶性： ——定义法
（1）f x x4
偶函数 （2） f x x5 奇函数
（3）f x x 1
x
奇函数
（4）
f
x
1 x2
偶函数
归纳： 根据定义判断函数的奇偶性的步骤：
f x x2
…
9
4
1
0
14
…
9
gx 2 | x | … -1
0
1
2
1
0
…
-1
f 3 9 f 3 f 2 4 f 2 f 1 1 f 1
几何画板
当自变量取一对相反数时， 相应的两个函数值相等

数f(x)=x3+3x,x∈[-4,4)既不是奇函数也不是偶函数.
(5)函数的定义域关于原点对称.因为f(-x)=f(x)=-f(x)=0,所以函数f(x)既是奇函
数又是偶函数..
例4 下列图像表示的函数中具有奇偶性的是 ( B )
A
B
C
D
[解析] 选项A中的图像不关于原点或y轴对称,故排除;
选项C,D中的图像对应的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;
于 y轴 对称.
例1 用偶函数的定义判断函数 =







− ≤ ≤ 是不是偶函数.
解：因为 − = (−) = = 恒成立，所以 是偶函数.
正解：因为定义域 −, 不关于坐标原点对称，所以 不是偶函数.
实际上，若画出此函数图象(如下图)，则图象不关于y轴对称，所以不是偶函数.
选项B中的图像关于y轴对称,其对应的函数是偶函数.故选B.
偶函数
定义
奇函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果
∀x∈I,都有-x∈I,且 f(-x)=f(x) ,那么 ∀x∈I,都有-x∈I,且 f(-x)=-f(x) , 那么
函数f(x)就叫作偶函数.
奇函数的图象关于 原点 对称.
根据奇函数的定义或图象特征，若函数 为奇函数， 等于多少？
若 = 在奇函数 的定义域内，则 − = − ⇒ = .但是不

能说奇函数一定有 = ，因为 = 可能不在定义域内.(例如 = .)


例2 用奇函数的定义判断函数 = − ≤ ≤ 是不是奇函数.

1、图象关于y轴成轴对称
一个函数不是奇函数就是偶函数，这个说法是否正确，理由是什么？
1、图象关于y轴成轴对称 1、图象关于y轴成轴对称
-3 -2 -1 0 1 2 3
1、图象关于y轴成轴对称
1、图象关于y轴成轴对称
定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)=f(-x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(even function)。
一个函数不是奇函数就是偶函数，这个说法是否 定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)=-f(-x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)。
定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)=f(-x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(even function)。
4、快速判断函数奇偶性的技巧
4、快速判断函数奇偶性的技巧
4、快速判断函数奇偶性的技巧
相加时，奇+奇=奇，偶+偶=偶
3、判断函数的奇偶性的两种方法
2、判断函数的奇偶性 1、利用函数的奇偶性求解析式
4、快速判断函数奇偶性的技巧
相加时，奇+奇=奇，偶+偶=偶
3、判断函数的奇偶性的两种方法
4、快速判断函数奇偶性的技巧 请分别举例说明这四类函数 请分别举例说明这四类函数
4、快速判断函数奇偶性的技巧
2、定义域关于原点对称
奇函数 定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)=-f(-x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)。
1、利用函数的奇偶性求解析式 2、定义域关于原点对称
2、定义域关于原点对称
1、图象关于y轴成轴对称
偶函数
非奇非偶函数 奇函数

(3)函数f(x)＝x＋1的定义域是R，
当x∈R时，－x∈R，
∵f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，
f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，(x∈R)
∴f(x)＝x＋1既不是奇函数，也不是偶函数．
(4)因为函数的定义域关于原点不对称， 存在3∈[－1,3]，而－3∈/[－1,3]． ∴f(x)＝x2，x∈[－1,3]既不是偶函数，也1.3 函数的基本性质
1.3.3 函数的奇偶性
栏 目 链 接
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
栏
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.
目 链
接
栏 目 链 接
基础 梳理
1．奇偶性定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有
f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内
解析：(1)函数f(x)＝x＋x3＋x5的定义域为R.
当x∈R，－x∈R.
∵f(－x)＝－x－x3－x5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)．
∴f(x)＝x＋x3＋x5为奇函数．
栏
(2)函数f(x)＝x2＋1的定义域为R，当x∈R，－x∈R.
目 链
∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，
接
∴f(x)＝x2＋1是偶函数．
题型二奇偶函数的图象及应用 例2(1)奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过点( )
栏 目 链 接
(2)设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图 象如图所示，则不等式0的解集是________．
解析：(1)根据奇函数图象的特征：奇函数的图象关于原点
对称，知点(a，f(a))在其图象上，则它关于原点的对称点(－a，

因为对于定义域内的每一个x，都有
f (x) x 1 (x 1) f (x),
x
x
所以，函数 f (x) x为奇1函数. x
(4)函数 f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点
对称，故函数 f(x)不具有奇偶性.
【变式练习】
（1）判断函数 f (x) 1 x3 5x 的奇偶性.
1.函数f(x)=x2，x∈［-1，2］是( C )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
【提示】∵x∈［-1,2］，不关于原点对称.
2.如果定义在区间［3-a，5］上的函数f(x)是偶 函数，则a=____8___. 【解析】∵f(x)是偶函数，∴函数f(x)的定义域关于 原点对称，∴3-a+5=0，∴a=8
.由于
(2)由于奇函数的图象关于 坐标原点对称，只要在函数 图象上找点作出这些点关于 坐标原点的对称点，描点即 可作出函数在整个定义域上 的图象.如图
【提升总结】
用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的一般步骤是： （1）先求函数的定义域，由于在函数奇偶性的定义中都是 x和-x对应出现，故具备奇偶性的函数的定义域区间一定关 于坐标原点对称，如果求出函数的定义域不是关于坐标原 点对称的，则这个函数不具备奇偶性. （2）验证f(-x)=f(x) ，或者f(-x)=-f(x). （3）根据函数奇偶性的定义得出结论.
叫做偶函数. 例如，下图：
对定义域内 任意的自变
量x都有
f (x) f (x)
探究点2 奇函数的定义
已知f(x)=x³, 求f(0),f(-1),f(1), f(-2),f(2)及f(-x),并画出它的图象.
解: f(0)=0,f(-1)=(-1)³=-1，f(1)=1，

必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
(2)判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法： ①定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函 数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称， 则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f( －x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性． ②图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为 奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶 函数．
1．3.2 奇偶性
第1课 时 函数奇偶性的概念
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
1.结 合具体函数，了解
函数奇偶性的含义； 1.对 函数奇偶性概念
2.掌握判断函数奇偶性的 的理解．(难 点)
方法；
2.函数奇偶性的判定方
3.了解函数奇偶性与图 法．(重点)
象的对称性之间的关系.
必修1 第一章 集合与函数的概念
定义
一般地，如果对 一般地，如果
于函数f(x)的定 对 于函数f(x)的
义 域内任意一个 定义域内任意
x，都_有__f(_－__x_)_＝_ 一个x，都有
_f(_x_)_，那么函数 _f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)，
f(x)就叫做偶函 那么函数f(x)就
数.
叫做奇函数.
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
定义 域
图象 特征
关于原点对称
关于y轴 对 称
关于点对称
与单 调性 关系
在对称区间上， 单 调 性相反
在对称区间上， 单 调 性相同
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
1．函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)的奇偶性是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 解析： 函数定义域不关于原点对称，所以函 数是非奇非偶函数． 答案： C

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函数的基本性质 ——奇偶性
讲授新课
1.奇函数、偶函数的定义 奇函数：设函数y＝f(x)的定义域为D，如 果对D内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)， 则这个函数叫奇函数.
偶函数：设函数y＝g(x)的定义域为D，如 果对D内的任意一个x，都有g(－x)＝g(x)， 则这个函数叫做偶函数.
上的奇函数，又f(x)在(0,＋∞)上是减函 数，且f(x)＜0，试判断函数 F ( x) 1
f (x)
在(－∞，0)上的单调性，并给出证明.
课堂小结
1.奇函数、偶函数的定义； 2.奇函数、偶函数图象的对称性； 3.判断函数奇偶性的步骤和方法.
课后作业
1．阅读教材P.33-P.36； 2．《习案》：作业11.
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点
对称，则这个函数关于原点对称且这
个函数为奇函数；
(错)
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义
域关于坐标原点对称.
(对)
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对
称，则这个函数为偶函数；
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.
练习
2.判断下列论断是否正确
练习
1.判断下列函数的是否具有奇偶性 (1)f(x)＝x＋x3；(奇)(2)f(x)＝－x2；
(3)h(x)＝x3＋1；
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]；
(5)f(x)＝(x＋1)(x－1)；
(6)g(x)＝x(x＋1)；
(7) h( x) x 3 x ；
(8) k( x)
1 x2 1.
4.如果函数f(x)、g(x)为定义域相同的 偶函数，试问F(x)＝f(x)＋g(x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？

目标 1 函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性：
(1) f (x)＝x3＋x； 解答：函数定义域为 R，且 f (－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f (x)，所 以该函数是奇函数． (2) f (x)＝|x＋2|＋|x－2|； 解答：函数定义域为 R，且 f (－x)＝|－x＋2|＋|－x－2|＝|x－2|＋|x＋2|＝f (x)，所以 该函数是偶函数．
高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修函第数一的册 奇 第 偶三 性章 优 函 秀数pp的t 课奇件偶性 课件
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判断下列函数的奇偶性： (1) f (x)＝x22＋x 3； 解答： 函数定义域为 R，且 f (－x)＝－－x22＋x 3＝x－2＋2x3＝－f (x)，故该函数是奇函数． (2) f (x)＝x2x－4 1； 解答： 函数定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，且 f (－x)＝－－xx2－4 1＝x2x－4 1＝f (x)， 故该函数是偶函数． (3) f (x)＝(x2－1) x＋1. 解答：函数定义域是{x|x≥－1}，不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．
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目标 2 奇、偶函数图象的应用 已知定义在 R 上的奇函数 f (x)在[0，＋∞)上的图象如
[小题快练]判断正误： 1. 奇函数的图象一定过原点．( × ) 2. 若对于定义域内的任意一个 x，都有 f (x)＋f (－x)＝0，则函数 f (x)是奇函数．( × ) 3. 若函数 f (x)的图象关于 y 轴对称，则该函数是偶函数，若关于原点对称，则该函 数是奇函数．( √ ) 4. 若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数．( × ) 5. 已知偶函数 f (x)在区间[－3，－1]上是减函数，则 f (1)<f (2)<f (－3)． ( √ )

特点吗？
中心对称图形
、
函数图象的美
思考：下列函数图象的美是否也具这样的特点？
() = 2
() = 2 − ||
图象关于y轴对称
你能用符号语言精确地描述这些特征吗？
新知探究
用几何画板探究下列函数的函数值特征
() = 2
() = 2 − ||
(3)几何特征: 函数图象关于y轴对称.
新知探究
用几何画板探究下列函数的函数值特征
() =
() =
1

图像关于原点对称
奇函数的概念和特征
奇函数的概念和特征
一般地，设函数()的定义域为
，如果∀ ∈ ，都有 − ∈ 且
(−) = (),
那么函数()就叫做偶函数
函数图象关于原点对称.
概念理解
函数f(x)=x2, x∈[-2,2]是偶函数吗？ 函数g(x)=x2, x∈[-1,2]是偶函数吗？
y
y
4
4
3
3
2
2
1
–3 –2 –1
o
–1
是
1
2
1
–1
3
o
x
整体性质
奇偶函数的定义域关于原点对称
–1
1
2
3
x
否
判断函数为奇偶函数的前提条件
图象法判断奇偶性
根据奇偶性，
偶函数的特征:
(1)定义域特征：定义域关于原点对称.
(2)代数特征： f(-x)=f(x)
(3)几何特征: 函数图象关于y轴对称.
一般地，设函数()的定义域为
，如果∀ ∈ ，都有 − ∈
且(−) = −(),
那么函数()就叫做奇函数

由①②知,当 x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,都有 f(-x)=-f(x),所
以 f(x)为奇函数.
探索点二
奇、偶函数的图象特征
【例 2】 (1)已知偶函数 y=f(x)的局部图象如图所示,则
f(1) < f(3)(填“>”“<”“=”).
解 析 : 由 题 图 , 知 f(-3)>f(-1), 由 y=f(x) 是 偶 函 数 , 得
内的任意自变量 x,检验 f(-x)与 f(x)的关系.
(4)性质法:
①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;
②奇函数的和、差仍为奇函数;
③奇(偶)数个奇函数的积、
商(分母不为零)为奇(偶)函数;
④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.
【跟踪训练】
1.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x4+2x2;
(4)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
当 x>0 时,-x<0,f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x);
当 x<0 时,-x>0,f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).
综上可知,对于 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有 f(-x)=
f(x),所以 f(x)为偶函数.
定义
一般地,设函数 f(x)的定
义域为 D,如果∀x∈D,都
有-x∈D,且 f(-x)=f(x) ,
那么函数 f(x)就叫做偶函
数
一般地,设函数 f(x)的定
义域为 D,如果∀x∈D,都
有-x∈D,且 f(-x)=-f(x) ,
那么函数 f(x)就叫做奇函
数