第03讲-函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)

第03讲 函数的性质一、奇偶性与周期性 （一）知识归纳： 1．奇偶性：①定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数； f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数.如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数.②简单性质：1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称.2）函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. 2．周期性：①如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数.注意：f (x+T )= f (x )常常写作),2()2(T x f T x f -=+若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期. ②若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )（ω≠0）是周期函数，且周期为||ωT .（二）学习要点：1．奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具人这种性质.判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性.如果要证明一个函数不具有奇偶性质，可以在定义域内找到一对非零实数a 与－a ，验证f (a )±f (－a )≠0.2．学习函数的周期性的重点是能运用周期性的定义证明一个函数是周期函数，或运用定义解决周期函数的有关问题，而且大量的问题是以抽象函数的形式出现.求一个周期函数的最小正周期是十分困难的问题，只有在后面三角函数的学习中会出现一些非常简单问题.【例1】讨论下述函数的奇偶性：);111(1)()3(;)0)(1(1)0(0)0)(1(1)()2(;22116)()1(222+-+-=⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=>++=++=x x og x f x x x n x x x x n x f x f xxx);0(||)()4(22≠-+-=a aa x x a x f 常数[解析] （1）函数定义域为R ，)(2211614161211161222116)(x f x f xx x x x xx x x x x =++=++•=++=++=----， ∴f (x )为偶函数；（另解）先化简：14414116)(++=++=-x x xx x f ，显然)(x f 为偶函数； 从这可以看出，化简后再解决要容易得多. （2）须要分两段讨论：①设);()1(1111)1(1)(,0,0x f x x n xx n x x n x f x x -=-+-=-+=++=-∴<-∴> ②设)()1(1111)1(1)(,0,0x f x x n xx nx x n x f x x -=-+--=-+-=--+-=-∴>-∴<③当x =0时f (x )=0，也满足f (－x )=－f (x )；由①、②、③知，对x ∈R 有f (－x ) =－f (x )， ∴f (x )为奇函数；（3）10101222=⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-x x x ，∴函数的定义域为1±=x ， ∴f (x )=log 21=0(x =±1) ，即f (x )的图象由两个点 A （－1，0）与B （1，0）组成，这两点既关于y 轴对称，又关于原点对称，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数； （4）∵x 2≤a 2, ∴要分a >0与a <0两类讨论，①当a >0时，)],,0()0,[(||a a aa x ax a -⇒⎩⎨⎧≠+≤≤-函数的定义域为xx a x f a x 22)(,0||-=∴>+∴，∴当a >0时，f (x )为奇函数；,2,2,2)(,0||2122ax a x a x x a x f a x -==---=∴<+称的两点取定义域内关于原点对 )(,0,03353)2()2(x f a a f af 时当<∴≠±=-± 既不是奇函数，也不是偶函数. [评析]判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）.【例2】解答下述问题：（I ）已知定义在R 上的函数y= f (x )满足f (2+x )= f (2－x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )=2x －1，求x ∈[－4，0]时f (x )的表达式.[解析]由条件可以看出，应将区间[－4，0]分成两段考虑： ①若x ∈[－2，0]，－x ∈[0，2]，∵f (x )为偶函数， ∴当x ∈[－2，0]时，f (x )= f (－x )=－2x －1,②若x ∈[－4，－2) ， ∴4+ x ∈[0，2)，∵f (2+x )+ f (2－x )， ∴f (x )= f (4－x )，∴f (x )= f (－x )= f [4－（－x ）]= f (4+x )=2（x +4）－1=2x +7; 综上，.)02(12)24(72)(⎩⎨⎧≤<---≤=≤-+=x x x x x f（II ）已知f (x )的图象关于直线x =a 对称，又关于点（m ,n ）对称（m ≠a ），求证：f (x )是周期函数.[证明] 用第4讲所学的公式将两个条件表示出来，并反复运用这两个条件.由条件得⎩⎨⎧--=-=⇒⎩⎨⎧=-+-=)2(2)()2()(2)2()()2()(x m f n x f x a f x f n x m f x f x a f x f ， )),(4()]24(2[)24()))]22((2(2[2)]22([2)]2(2[2)2(2)(m a x f x a m a f x a m f m a x m f n n m a x f n x m a f n x m f n x f -+=---=--=-+---=-+-=---=--=∴ ∵a ≠m , ∴f (x )是周期T=4（a －m ）的周期函数.（Ⅲ）已知定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (x+1)=－f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )=3－x －1，求 )321(log 31f 的值. [解析] ∵f (x+2)=－f (x+1)= f (x ) ， ∴f (x )是周期为2的周期函数，.81491813213)321(log 8132log 3281log 811log 321log 4321log 4,321log ,13)4()]4([)4()(,]4,3[,,2)(,140041,43,4321log 3,2713218118132log 31331313131314313-=-=-=∴==-=-=-=-=-=--=-=∈∴≤-≤⇒≤-≤-∴≤≤<<∴<<-f x x x f x f x f x f x x f x x x x 时当时当且为偶函数周期为令[评析] 运用数学定义解决问题是学习“奇偶性”与“周期性”的最基本的能力，应熟练训练这种能力.【例3】设函f (x )的定义域关于原点对称，且满足①)()(1))(()(122121x f x f x x f x x f -+=-，②存在正常数a ，使得f (a )=1；求证：（I ）f (x )是奇函数； （II ）f (x )是周期4a 的周期函数. [解析] （I ）令x =x 1－x 2,)(1)(1)(111)(2121)(21)2(,1)(21)(11)()()(1)()()]([)()()(),()()()(1))(()()(1)()()()(211221211212x f x f x f x f a x f a x f x f x f x f x f a f a f x f a x f a x f II x f x f x x f x f x f x x f x f x f x f x f x x f x f -=+-=++--=+-=+∴+-=--+-=--+-=--=+∴-=--=-+-=-+=-=-∴ 为奇函数)(),()2(1)4(x f x f a x f a x f ∴=+-=+∴是周期为4a 的周期函数.[评析] 通过例3（II ）的解答，我们学习了一种很好的解题方法，由于4a 与条件中的a 很难直接挂上钩，因此考虑到逐步逼近结论的方法：由a →2a →4a ，这是值得很好学习的数学思想方法. 二、单调性： （一）知识归纳：1．定义：如果函数y= f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时，①都有f (x 1)< f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间 ；②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.2．设复合函数y= f [g(x )],其中u =g(x ) , A 是y= f [g(x )]定义域的某个区间，B 是映射g : x →u =g(x ) 的象集，①若u =g(x ) 在 A 上是增（或减）函数，y= f (u )在B 上也是增（或减）函数，则函数y= f [g(x )]在A 上是增函数；②若u =g(x )在A 上是增（或减）函数，而y= f (u )在B 上是减（或增）函数，则函数y= f [g(x )]在A 上是减函数.3．若函数y= f (x )在定义域l 内的某个区间上可导 ， ①若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上是增函数； ②若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上是减函数. （二）学习要点：1．单调性是函数学习中非常重要的内容，应用十分广泛，由于新教材增加了“导数”的内容，所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高，因此解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决.注意，在上面第2小点中，关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析，严格的解答还是应该运用定义或求导解决.2．注意“函数f (x )的单调递增（或递减）区间是D ”与“函数f (x )在区间上单调递增（或递减）“，这是两类不同的问题，从导数知识出发，更容易理解这两类问题：①函数f (x )的单调递增（减）区间是D ⇔不等式f ′(x )>0（<0）的解集是区间D ； ②函数f (x )在区间D 内单调递增（减）⇔不等式f ′(x )>0（<0）对于x ∈D 恒成立. 【例1】解答下述问题：（I ）讨论函数)0,0()(>>+=b a xbax x f 的单调性. [解析] ∵函数的定义域为),,0()0,(+∞-∞),,(),()(;000)(;0)()(22222+∞--∞∴<<<<-⇒<<'>-<⇒>>'-=-='aba b x f ab x x ab a b x x f abx a bx a b x x f x bax x b a x f 与的单调递增区间是或得令或得令求导).,0()0,(ab a b 与而单调递减区间是-（注）这个函数的单调性十分重要，应用非常广泛，它的图象如图所示. （II ）.2)(ax x x f -+=[解析] f (x ) 的定义域是),2[+∞-，,22221221)(++-=-+='x x a a x x f①当a ≤0时，)),,2((0)(+∞-∈>'x x f 而f (x )在端点x =2连续， ∴当a ≤0时，f (x )在定义域),2[+∞-内为增函数；②当a >0时，令;2411)2(41220)(22-<⇒<+⇒<+⇒>'ax x a x a x f 令2410)(2->⇒<'ax x f ； ∴当a >0时f (x )的单调递增区间是),241,2[2-a 而单调递减区间是).,241(2+∞-a[评析] 例1 求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题，但必须注意，如果函数的解析式含有参数，而且参数的取值影响函数的单调区间，这时必须对参数的取值进行分类讨论.【例2】解答下述问题：（I ）设函数f (x )=k x 3+3(k －1)x 2－k 2+1，（1）当k 为何值时，函数f (x )单调递减区间是（0，4）； （2）当k 为何值时，函数f (x )在（0，4）内单调递减. [解析] 对f (x )求导得：f ′(x )=3 k x 2+6（k －1）x ， （1）∵函数f (x )的单调递减区间是（0，4），∴不等式f ′(x )<0的解集为{x |0<x <4}, 得k x 2+2(k －1)x <0， ∴x =0或4是方程k x 2+2(k －1)x =0的两根，将x=4代入得k=31，由二次不等式性质知所求k 值为31. （2）命题等价于k x 2+2(k －1)x <0对x ∈（0，4）恒成立，设g(x )=k x +2(k －1), ∵g(x )为单调函数，.310)4(0)0(≤⇒⎩⎨⎧≤≤k g g 则（或分离变量）)4,0(22∈+<⇔x x k 对恒成立， 记31,31)4()(,)(,22)(≤∴=>∴+=k g x g x g x x g 为单调减函数 . （II ）已知f (x )=x 2+a ,，且f [f (x )]= f (x 2－2),（1）设g (x )= f [f (x )],求g (x )的表达式；（2）设h (x)= g (x )－λf (x )，若h (x )在（0，1）内为减函数，而在（1，+∞）内为增函数，求实数λ的值. [解答] （1）∵f [f (x )]=（x 2+a ）2+a =x 4+2ax 2+a 2+a ,,24,)1,0(0)4(24,)1,0()(,)4(24)(),24()4()2()44()()2(;44)(,2,0402,0)4()2(2,442,44)2()2(23324224242222422424222x x x x x h x x x h x x x x x x h x x x g a a a x a x a a x x a a ax x a x x a x x f >+∈<++∴++='∴++++=--+-=+-=∴-=∴⎩⎨⎧=-=+∴=-++++-=+++∴++-=+-=-λλλλλλ即恒成立对内为减函数在无关与即224,22)1,0(2-≥⇒≥+∴<∈λλx x 时当 ①； 而h (x)在（1，+∞）内为增函数，,24,),1(0)4(2423x x x x <++∞∈>++∴λλ即恒成立对224,22),1(2-≤⇒≤+∴>+∞∈λλx x 时当 ②；由①、②得λ=6.[评析] 上面讨论了函数单调性的两类问题，其中“函数f (x )在区间D 上单调递增（减）”这类问题的难度要大一些，而且题型也非常广泛，应在后面的学习中注意总结经验.【例3】解答下述问题：（I ）已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)=1，设F (x )= f (x )+)(1x f ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论. [解析] 这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决. 在R 上任取x 1、x 2，设x 1<x 2，∴f (x 2)= f (x 1)，],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+=-∵f (x )是R 上的增函数，且f (10)=1，∴当x <10时0< f (x )<1, 而当x >10时f (x )>1; ①若x 1<x 2<5，则0<f (x 1)<f (x 2)<1, ∴0< f (x 1)f (x 2)<1, ∴)()(1121x f x f -<0, ∴F (x 2)< F (x 1)；②若x 2 >x 1>5，则f (x 2)>f (x 1)>1 , ∴f (x 1)f (x 2)>1, ∴)()(1121x f x f ->0, ∴ F (x 2)> F (x 1)； 综上，F (x )在（－∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数. （II ）已知函数f (x )的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），且满足条件： ①f (x ·y)= f (x )+ f (y )， ②f (2)=1， ③当x >1时，f (x )>0， （1）求证：f (x )为偶函数； （2）讨论函数的单调性；（3）求不等式f (x )+ f (x －3)≤2的解集.[解析] （1）在①中令x =y=1, 得f (1)= f (1)+ f (1)⇒ f (1)=0, 令x =y=－1, 得f (1)= f (－1)+ f (－1)⇒ f (－1)=0, 再令y=－1, 得f (－x )= f (x )+ f (－1)⇒ f (x ),∴f (x )为偶函 数； （2）在①中令),()1()1()()1(,1x f xf x f x f f x y -=⇒+==得 先讨论),0()(+∞在x f 上的单调性， 任取x 1、x 2，设x 2>x 1>0， ,1),()1()()()(12121212>=+=-∴x x x x f x f x f x f x f由③知：)(12x x f >0，∴f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x )在（0，+∞）上是增函数，∵偶函数图象关于y 轴对称 ，∴f (x )在（－∞，0）上是减函数；（3）∵f [x (x －3)]= f (x )+ f (x －3)≤2， 由①、②得2=1+1= f (2)+ f (2)= f (4)= f (－4)， 1）若x (x －3)>0 , ∵f (x )在（0，+∞）上为增函数， 由f [x (x －3)] ≤f (4)得;430141304)3(0)3(≤<<≤-⇒⎩⎨⎧≤≤-><⇒⎩⎨⎧-≤->-x x x x x x x x x 或或2）若x (x －3)<0, ∵f (x )在（－∞，0）上为减函数；由f [x (x －3)] ≤f (－4)得 ;30304)3(0)3(<<⇒⎩⎨⎧∈<<⇒⎩⎨⎧-≥-<-x R x x x x x x∴原不等式的解集为：}.43|{}30|{}01|{≤<⋃<<⋃<≤-x x x x x x[评析] 抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点.《训练题》一、选择题1．下述函数中，在]0,(-∞内为增函数的是（ ）A ．y=x 2－2B ．y=x3 C ．y=x --21 D ．2)2(+-=x y 2．下述函数中，单调递增区间是]0,(-∞的是（ ）A ．y=－x1 B ．y=－(x －1) C ．y=x 2－2D ．y=－|x |3．如果f (x )是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上是减函数，那么下述式子中正确的是（ ） A ．)1()43(2+-≥-a a f f B ．)1()43(2+-≤-a a f fC ．)1()43(2+-=-a a f fD ．以上关系均不确定4．函数f (x )、f (x +2)均为偶函数，且当x ∈[0，2]时，f (x )是减函数，设),21(log 8f a =b= f (7.5)，c= f (－5),则a 、b 、c 的大小是（ ）A ．a >b>cB ．a > c > bC ．b>a > cD ．c> a >b5．下列4个函数中：①y=3x －1 ②);10(11log ≠>+-=a a xxy a 且 ③123++=x x x y ④).10)(2111(≠>+-=-a a a x y x 且 则其中既不是奇函数，又不是偶函数的是（ ）A ．①B ．②③C ．①③D ．①④6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足=f (x+2))(1x f -，当2≤x ≤3，f (x )=x ，则f (5.5)=（ ） A ．5.5 B ．－5.5C ．－2.5D ．2.5二、填空题7．设偶函数f (x )在),0[+∞上为减函数，则不等式f (x )> f (2x+1) 的解集是 . 8．已知f (x )与g (x )的定义域是{x|x ∈R ，且x ≠±1}，若f (x )是偶函数，g(x )是奇函 数，且f (x )+g(x )=x-11，则f (x )= ，g(x )= . 9．若函数f (x )=4x 3－ax +3的单调递减区间是)21,21(-，则实数a 的值为 .10．已知定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）的函数f (x )是偶函数，并且在（－∞，0）上是增函数，若f (－3)=0，则不等式)(x f x<0的解集是 . 三、解答题：11．已知∈++=c b a cbx ax x f ,,(1)(2Z ）是奇函数，又f (1)=2，f (2)<3, 求a ,b ,c 的值. 12．设定义在R 上的偶函数f (x )又是周期为4的周期函数，且当x ∈[－2，0]时f (x )为增函数，若f (－2)≥0，求证：当x ∈[4，6]时，| f (x )|为减函数.13．设f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增，且满足f (－a 2+2a －5)<f (2a 2+a +1), 求实数a 的取值范围. 14．若a >0，求函数)),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.15．设函数)0(1)(2>-+=a ax x x f ，（I ）求证：当且仅当a ≥1时f (x )在),0[+∞内为单调函数； （II ）求a 的取值范围，使函数f (x )在区间),1[+∞上是增函数.《答案与解析》一、选择题：1．C 2．D 3．A 4．A 5．C 6．D 二、填空题： 7．x<－1或x>－31; 8．221,11x x x --; 9．3; 10．(－3,0)∪（3，+∞） 三、解答题11．∵f (x )为奇函数，∴f (－x )=－f (x )，.1221)1(,1)(,011222-=⇒=+=∴+=∴=⇒--=+-⇒--+=+-+∴b a b a f bx ax x f c c bx c bx c bx ax c bx ax ,2300232321)12(4,3)2(,1)12()(2<<⇒<-⇒<+-∴<+-=b b b b b f bx x b x f ∵a,b, c, ∈Z ，∴b=1, ∴a =1, 综上 ，a =1, b=1, c=0.12．[证明]这是“抽象”函数问题，应熟练运用奇偶性、周期性、单调性的定义证明. 在[4，6]内任取x 1、x 2，设4≤x 1<x 2≤6,.|)(|,]6,4[|,)(||)(|,0)()(|)(||)(|,64,0)()(),()(,0)()(),()4(,0)2()4()4(,]0,2[)(,04422121212121212112为减函数时故当即有时当内为增函数在x f x x f x f x f x f x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x f f x f x f x f x x ∈>>-=-≤<≤∴≥>∴=-≥->-∴=+≥-≥+->+-∴-≤+-<+-≤-∴13．∵)(x f 为R 上的偶函数，,087)41(212,04)1(52),12()52(),52()]52([)52(222222222>++=++>+-=+-++<+-∴+-=-+--=-+-∴a a a a a a a a f a a f a a f a a f a a f 而不等式等价于∵)(x f 在区间)0,(-∞上单调递增，而偶函数图象关于y 轴对称， ∴)(x f 在区间（0，+∞）上单调递减，,140431252)12()52(22222<<-⇒<-+⇒++>+-++<+-∴a a a a a a a a a f a a f 得由∴实数a 的取值范围是（－4，1）. 14．,121)(ax xx f +-=' ,0)42(0)(,)(22121,0)(222>+-+⇔>'∴+<⇔+<⇔+>>'a x a x x f a x x a x x a x xx f 得令),1(164)42(,0)42(0)(,2222a a a a x a x x f -=--=∆<+-+⇔<' 同样（1）当a .>1时，对x ∈（0，+∞）恒有)(x f '>0，∴当a .>1时，f (x )在（0，+∞）为增函数；（2）当a =1时，f (x )在（0，1）及（1，+∞）内都是增函数，而f (x )在x=1处连续，∴f (x )在（0，+∞）内为增函数；（3）当0<a <1时，△>0，解方程x 2+(2a －4)x +a 2=0.)122,122(,),122()122,0()(,0122,0,122,12221221内为减函数而在内都是增函数与在而显然有得a a a a a a a a x f aa a x x a a x a a x -+----+∞-+----∴>-+-=>-+-=---=15．（I ）a x x x f -+='1)(2，①当;),0[)(,11||1,122上单调递增在时+∞∴≤<+≤+≥x f a x x x x a②当0<a <1时，由f ′(x )<0,得;101022aa x x a x -<≤⇒+<≤由f ′(x )>0得;1122aa x x a x ->⇒+>∴当0<a <1时，f (x )在),1(,)1,0[22+∞--aa aa 而在为减函数，为增函为函数，∴当0<a <1时，f (x )在 ),0[+∞上不是单调函数；（另证）令f (x ) =12212212,00]2)1[(11aa x x a x a x ax x -==⇒=--⇒+=+⇒当0<a <1时，f (x )在 ),0[+∞上存在两点x 1=0 或2212a ax -=使f (x 1)= f (x 2)=1，故f (x )不是单调函数.综上，当且反当a ≥1时f (x )在),0[+∞上为单调函数. （II ）由（I ）①知当a ≥1时f (x )单调递减，不合； 由②知当f (x )在),1[+∞上单调递增等价于：,112≤-aa220≤<∴a ，即a 的取值范围是].22,0(。

第3讲 函数的概念与性质以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏下难度.1.函数的概念概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数三要素 对应关系 y ＝f (x )，x ∈A 定义域 x 的取值范围值域 与x 对应的y 的值的集合{y |y =f (x )|x ∈A }2.同一个函数(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同. (2)结论：这两个函数为同一个函数. 3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法. 4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. 常用结论：1.直线x ＝a (a 是常数)与函数y ＝f (x )的图像至多有1个交点.2.注意以下几个特殊函数的定义域： (1)分式型函数，分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}.(5)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .5.函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数 减函数定义 一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果∀x 1，x 2∈D当x 1＜x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，那么就称函数f (x )在区间D 上单调递增，特别地，当函数f (x )在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x 1＜x 2时，都有f (x 1)≥f (x 2)，那么就称函数f (x )在区间D 上单调递减，特别地，当函数f (x )在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数课堂引入知识梳理自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间.常用结论：1.有关单调性的常用结论在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. 常用结论：1.函数周期性的常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0).(2)若f (x ＋a )＝1f （x ），则T ＝2a (a >0).(3)若f (x ＋a )＝－1f （x ），则T ＝2a (a >0).2.对称性的四个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称. (2)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图像关于点(b ，0)中心对称.(3)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a ＋b2对称；特别地，当a ＝b 时，即f (a ＋x )＝f (a －x )或f (x )＝f (2a －x )时，则y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称.(4)若函数y ＝f (x )满足f (x )＋f (2a －x )＝2b ，则y ＝f (x )的图像关于点(a ，b )对称.特别地，当b ＝0时，即f (a ＋x )＋f (a －x )＝0或f (x )＋f (2a －x )＝0时，则y ＝f (x )的图像关于点(a ，0)对称.3.函数y ＝f (x )(f (x )>0或f (x )<0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反.1．图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是（ ）① ② ③ ④A ．①②B ．①④C ．①②④D ．③④2．函数()021(1)32x f x x x +=+−−的定义域为（ ）A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()2,11,3∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭C ．()2,11,3∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭3．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A ．2()x xf x x−=，()1g x x =− B ．2()f x x =，()2()g x x =C ． 22f x x ，()22g t t ＝－D ．()11f x x x =+⋅−，2()1g x x =−4．给出下列说法：①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应； ②函数的定义域和值域一定都是无限集；③若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素； ④对于任意的一个函数，如果x 不同，那么y 的值也不同； ⑤()f a 表示当x a =时，函数()f x 的值，这是一个常量． 其中说法正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4例题分析模块一：函数的概念5．若函数y =[)0,∞+，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,4 B ．()4,+∞ C ．[]0,4 D ．[)4,+∞6．已知函数()2268f x x x +=++，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()22f x x x =+ B ．()268f x x x =++C ．()24f x x x =+ D ．()286f x x x =++7. 已知函数()f x R ，则m 的取值范围为______．8. 设函数()23f x x =−，()g x ()()⋅f x g x 的定义域为______．9. 已知()123f f x x x ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭，()0x ≠，则()f x 的解析式为________．10. 求下列函数定义域（1）已知函数()f x 的定义域为()0,1，求2()f x 的定义域. （2）已知函数()21f x +的定义域为()0,1，求()f x 的定义域 （3）已知函数()1f x +的定义域为[]2,3−，求2(22)f x −的定义域. （4）设函数()f x 的定义域为[]3,1−，则()()()g x f x f x =+−的定义域.（5）若()f x 的定义域为[]35−，，求()()(25)x f x f x ϕ=−++的定义域11. 设()26f x mx nx =++，已知函数过点()1,3，且函数的对称轴为2x =.(1)求函数的表达式；(2)若[]13,x ∈−，函数的最大值为M ，最小值为N ，求M N +的值.1. 当()0,x ∈+∞时，幂函数()2531m y m m x −−=−−为减函数，则实数m 的值为（ ）A ．2m =B ．1m =−C ．1m =−或2m =D ．152m ±≠2. 设函数2()2(4)2f x x a x =+−+在区间(,3]−∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．7a ≥− B ．7a ≥C ．3a ≥D ．7a ≤−3. 已知函数()246,06,0x x x f x x x ⎧−+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是（ ）A ．()()3,13,−+∞B ．()(),12,3−∞−C ．()()1,13,−+∞D ．()(),31,3−∞−4. 已知()f x 是定义在[2b ，1]b −上的偶函数，且在[2b ，0]上为增函数，则(1)(2)f x f x −的解集为( ) A ．21,3⎡⎤−⎢⎥⎣⎦B ．11,3⎡⎤−⎢⎥⎣⎦C ．[]1,1−D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦例题分析模块二：函数的性质5. 二次函数()22f x ax a =+在区间2,a a −⎡⎤⎣⎦上为偶函数，又()()1g x f x =−，则()0g ，32g ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3g 的大小关系为（ ）A ．3(0)(3)2g g g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．3(0)(3)2g g g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．3(3)(0)2g g g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．3(3)(0)2g g g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭6. 已知()f x 是R 上的奇函数，且(2)(),(1)3f x f x f −==，则(2022)(2023)f f +=（ ） A ．3− B ．1− C ．1 D ．27. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()110f x f x −++=，若()03f =，则()()20222023f f +=（ ）A ．0B ．-3C ．3D ．68. 若定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x −=，在区间()0,1上，有()()()12120x x f x f x −−>⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的图像关于点()1,0成中心对称B ．函数()f x 的图像关于直线2x =成轴对称C ．在区间()2,3上，()f x 为减函数D ．7223f f ⎛⎫⎛⎫−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9. 已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，若()12f x −为奇函数，()12g x +为偶函数，则（ ）A ．()()f x g x +的图像关于直线1x =对称B ．()()f x g x +的图像关于直线1x =对称C ．()()f x g x −的图像关于点()1,0对称D ．()()f x g x −的图像关于点()1,0对称10. 已知定义在R 上的函数113()e e (1)x x f x x x −−=−+−+，满足不等式(4)(23)2f x f x −+−≥，则x 的取值范围是（ ）A ．(,2)−∞B ．(,2]−∞C ．(,2)−∞−D ．(,2]−∞−11. 已知函数()322()(1)ln 2f x a x x x =−+++为R 上的偶函数，则不等式(21)()f x f a −的解集为（ ） A ．[2,2]− B ．[1,2]− C ．[1,1]− D ．[0,1]12. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()22f x x =−+ .若对任意的[]1,2x ∈−，()()f x a f x +>成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,2B ．()()0,2,6−∞C ．()2,0−D ．()()2,06,−+∞13. 已知函数()f x 是定义域为R 的函数，()()20f x f x ++−=，对任意1x ，[)21,x ∈+∞()12x x <，均有()()210f x f x −>，已知a ，b ()a b ≠为关于x 的方程22230x x t −+−=的两个解，则关于t 的不等式()()()0f a f b f t ++>的解集为（ ） A ．()2,2− B ．()2,0− C ．()0,1 D ．()1,214. 已知函数()y f x =的定义域为R ，且函数(1)=−y f x 的图像关于点(1,0)对称，对于任意的x ，总有(2)(2)f x f x −=+成立，当(0,2)x ∈时，2()21f x x x =−+，函数2()g x mx x=+（x ∈R ），对任意x ∈R ，存在t ∈R ，使得()()f x g t >成立，则满足条件的实数m 构成的集合为（ ） A ．1{|}4≤m mB ．1{|}4<m mC ．1{|0}4<≤m mD ．1{|}4>m m15. 已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x 都有()()22f x f x +=−，且()()f x f x −=，下列结论正确的是________.(填序号) ①()f x 的图像关于直线2x =对称； ②()f x 的图像关于点()20,对称； ③()f x 的最小正周期为4； ④()4y f x =+为偶函数．16. 已知函数()|1|||f x x x t =++−的图像关于2x =对称，则t 的值是_______17. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()f x 为奇函数，其图像关于直线2x =对称．当[]0,4x ∈时，()24f x x x =−，则()2022f =____.18. 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =−+． (1)求0x <时，函数()f x 的解析式；(2)若函数()f x 在区间[1,2]a −−上单调递增，求实数a 的取值范围．19. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线1x =对称. (1)求证：()f x 是周期为4的周期函数；(2)若()()01f x x x =≤≤，求[]5,4x ∈−−时，函数()f x 的解析式.1. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时()2f x x =，对任意的[]1,1x a a ∈−+，恒有()()23f x a f x +≥，则实数a 的最大值为_____．2. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x −++=，当[]1,0x ∈−时，()22f x x x =+，若()0f x x b −−≥对一切R x ∈恒成立，则实数b 的最大值为______．3. 已知函数29,1()438,12x ax x f x x a x x ⎧−+≤⎪=⎨+−+>⎪⎩，若()()1f x f ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．例题分析模块三：函数不等式恒成立问题4. 已知函数()22121x f x x ⎛⎫=− ⎪+⎝⎭若对任意的[]3,3m ∈−，都有()()10f ma f a m +−+≥恒成立，则实数a 的取值范围为______．5. 已知函数()f x 的定义域()(),00,D =−∞+∞∪，对任意的1x ，2x D ∈，都有()()()12123f x x f x f x =+−，若()f x 在()0,+∞上单调递减，且对任意的[)9,t ∈+∞，()f m >−恒成立，则m 的取值范围是______．6. 已知函数f (x )对∀x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x ＜0时，f (x )＞0，且f (1)＝－2. (1)证明函数f (x )在R 上的奇偶性； (2)证明函数f (x )在R 上的单调性；(3)当x ∈[1，2]时，不等式f (x 2－mx )＋f (x )＜4恒成立，求实数m 的取值范围.7. 已知奇函数()2121x x a f x ⋅−=+的定义域为[]2a b −−，.(1)求实数,a b 的值；(2)当[]12x ∈，时，()220x mf x ++>恒成立，求m 的取值范围.1. 函数21(1)y x x =−<−的反函数是___________.2. 函数2()3f x x x =−的单调增区间是___________.3. 设2()1x f x x =−，1()x g x x−=，则()()f x g x ⋅=__________﹒ 4. 若函数()f x 的定义域为[]22−,，则函数(21)f x −的定义域是___________. 5. 函数2()2(1)2f x ax a x =+−+在(,4]−∞上为严格减函数，则a 的取值范围是_________． 6. 若函数2()f x x x a =−+的定义域是R ，则实数a 的取值范围是________.7. 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()24f x x ax =−+．若()y f x =的值域为R ，则实数a 的取值范围是______．8. 函数223211x x y x −−=−的值域是___________.师生总结随堂检测9. 若函数()f x 是定义在()0,∞+上的严格增函数，且对一切x ，0y >满足()()x f f x f y y⎛⎫=− ⎪⎝⎭，则不等式()()1322⎛⎫+−< ⎪⎝⎭f x f f x 的解集为___________.10. 已知()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x −=++，则()()22f g +=___________.11. 已知3a >−，且函数[]()33,y x b x a ∈=+−是奇函数，则a b +=___________.12. 已知函数1x x a y =++−的图像关于直线1x =对称，则该函数的最小值是___________. 13. 已知函数()f x 满足：任意给定x ∈R ，都有(3)(1)f x f x +=−，且任意1x ，[)22,x ∈∞＋，()()12120f x f x x x −<−（12x x ≠），则下列结论正确的题号是___________．（1）()2514f a a f ⎛⎫−++≤ ⎪⎝⎭；（2）任意给定x ∈R ，()()2f x f ≤；（3）()()03f f >； （4）若()()1f m f >−，则15m −<<． 14. 已知函数()()2,0,1,0,x a x f x x a x x ⎧−≤⎪=⎨++>⎪⎩若()0f 是函数()f x 的最小值，则实数a 的取值范围为_________．15. 已知函数()800x x f x x x a x ⎧−<⎪=⎨⎪−≥⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在[]22,1x ∈−−，使得()()12f x f x a ⋅≥，则实数a 的取值范围为___________.16. 已知函数()y f x =与()y g x =的图像关于y 轴对称，当函数()y f x =与()y g x =在区间[,]a b 上都是严格增函数或都是严格减函数时，就把区间[,]a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”．若区间[1,2]是函数2()y x a =−的“不动区间”，则实数a 的取值范围为________．1. 下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ） A ．()f x x =，()2g x x = B ．()2f x x =，()()2g x x =C ．()211x f x x −=−，()1g x x =+D ．()11f x x x =+⋅−，()21g x x =−2. 设函数()f x 的定义域为R ．则“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要3. 函数y =f (x )与函数y =g (x )的图像如图1和图2，则函数y =f (x )∙g (x )的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 函数11()f x x=，211()()f x x f x =+，…，11()()n n f x x f x +=+，…，则函数2018()f x 是（ ）A ．奇函数但不是偶函数B ．偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数巩固练习5. 定义在R 上的函数()f x ，若存在R a ∈且0a ≠，使得()()()f x a f x f a +>+恒成立，则称()f x 具有“P 性质”.已知()1f x 是R 上的增函数，且()10f x ≤恒成立；()2f x 是R 上的减函数，且存在00x <，使得()200f x =，则（ ） A ．()1f x 和()2f x 都具有“P 性质”B ．()1f x 不具有“P 性质”，()2f x 具有“P 性质”C ．()1f x 具有“P 性质”，()2f x 不具有“P 性质”D ．()1f x 和()2f x 都不具有“P 性质”6. 已知函数()()()2151Z m f x m m x m +=−+∈为幂函数，且为奇函数.(1)求m 的值，并确定()f x 的解析式；(2)令()()g x f x =y g x 在1,12x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦的值域.7. 已知函数2()1ax bf x x +=+是定义在(1,1)−上的奇函数，且12()25f =. (1)求a ，b 的值；(2)用定义证明()f x 在(1,1)−上是增函数； (3)解不等式：(1)()0f t f t −+<.8. 已知函数()221x f x x−=．(1)求函数()y f x =的值域；(2)若不等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，求实数k 的最大值；(3)设()()1g x t f x =⋅+（11,x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0m n >>，0t >），若函数()y g x =的值域为[]23,23m n −−，求实数t 的取值范围．9. 设()y f x =的定义域是[]1,1−，在区间[]0,1上是严格减函数；且对任意1x ，[]21,1x ∈−，若[]121,1x x ±∈−，则()()()()1212122f x x f x x f x f x ++−=． (1)求证：函数()y f x =是一个偶函数； (2)求证：对于任意的[]1,1x ∈−，()1f x ≥−．(3)若16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()232f x f x ≥−．。

函数单调性、奇偶性、周期性与对称性一．主要内容：函数单调性、奇偶性、周期性与对称性二．重点难点：1. 在定义域内讨论函数单调性，并会求单调区间。

2. 运用函数奇偶性定义判断并证明函数具有的奇偶性质。

3. 求周期函数周期，利用函数周期性、对称性，求某一点处函数值，求函数解析式或讨论函数其它性质。

三．具体知识：(一).单调性：1.在定义域范围内，单调区间可开可闭。

2.单调区间是定义域的子区间。

3.一个函数的两个区间都是增区间（或都是减区间），不能将它们写成并集，要画图考虑。

4.证明一个函数的单调性，在大题中，只能用定义法和倒数法。

（但在小题中可以用“增+增=增；减+减=减”）5.只有取倒数和求负数两种情况会改变函数的单调性。

（开根号等不影响其单调性）6.复合函数：内外层函数：同增异减函数相加：增+增=增；减+减=减“同增异减法则”：对于复合函数y=f[g(x)]，若t=g(x)在区间（a,b）上是单调增（减）函数，且y=f(t)在区间(g(a),g(b))（或者g(b)，g(a)）上是单调函数，那么函数y=f[g(x)]在区间（a,b）上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域。

例：7.利用奇偶性求单调性：奇函数在对称区间上，单调性相同。

偶函数在对称区间上，单调性相反。

例：【典型例题】例1.已知是偶函数，而且在，上是减函数，判断在，上是f x f x()()()()00+∞-∞增函数还是减函数，并加以证明。

例2.（）指出的单调区间，并说明在每一区间上的增减性1232f x x x ()=--()（）讨论的单调性2253122y x x =--log例3. ()()讨论函数在，上的单调性。

f x axx a x ()=->∈-21011(二)奇偶性：奇*奇=偶奇+奇=奇偶*偶=偶偶+偶=偶奇*偶=奇奇+偶=非奇非偶奇函数：偶函数：【典型例题】例1. 判断下列函数的奇偶性：（）111f x x x()=+--（）·211 1f x x x x()()=-+ -（）31222f xx x()=-+-（）41010f x x x x x x x ()()()()()=-<+>⎧⎨⎩()（）512f x x x ()lg =++（）·（其中为奇函数，且）61101f x x a a x a a x x ()()()=-+>≠ϕϕ(三) 周期性：关于函数的周期性，下面结论是成立的：（1）若T 为函数f(x)的一个周期，则kT 也是f(x)的周期（k 为非零整数），这就是说，一个函数如果有周期，就有无数多个。

函数单调性、奇偶性、周期性◆知识点梳理 一函数的奇偶性：1、定义域关于原点对称 奇函数)(x f 在原点有定义,则0)0(=f ；2、)(x f 是奇函数⇔)()(x f x f -=-⇔)(x f 图像关于原点对称；3、)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔⇔)(x f 图像关于y 轴对称；4、一些判断奇偶性的规律: ①奇±奇=奇,偶±偶=偶②奇×/÷奇=偶,奇×/÷偶=奇,偶×/÷偶=偶二函数的单调性 方法：①导数法； ②规律判断法；③图像法; 1、单调性的定义：)(x f 在区间M 上是增减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时)0(0)()(21><-x f x f2、采用单调性的定义判定法应注意：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断正负； 3、对于已知单调区间求参数范围,一般有以下两种方法： ①转化为恒成立问题,接着用求最值的视角去解决；②先求出该函数的完整单调区间,根据此区间比已知单调区间大去求解; 4、一些判断单调性的规律: ①减 + 减 =减,增 + 增 = 增；②1()()()f x f x f x -与、的单调性相反；三复合函数单调性的判定：定义域优先考虑1、首先将原函数)]([x g f y =分解为基本初等函数： )(x g u =与)(u f y =；2、分别研究两个函数在各自定义域内的单调性；3、根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性; 四函数的周期性1、周期性的定义：若有)()(x f T x f =+,则称函数)(x f 为周期函数,T 为它的一个周期;如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期;2、三角函数的周期①π==T x y :tan ,||:tan ωπω==T x y ②||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y 3、与周期有关的结论：①)()(a x f a x f -=+或(2)()f x a f x += ⇒)(x f 的周期为a 2； ②)()(x f a x f -=+⇒)(x f 的周期为a 2；③1()()f x a f x +=⇒)(x f 的周期为a 2；◆考点剖析一考查一般函数的奇偶性例1、 设函数fx 是定义在R 上的奇函数,若当x ∈0,+∞时,fx ＝lg x ,则满足fx ＞0的x 的取值范围是 .变式1、 若函数(1)()y x x a =+-为偶函数,则a = A ．2- B ．1- C ．1 D ．2变式2、 函数1()f x x x=-的图像关于A ．y 轴对称B ． 直线x y -=对称C ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称二考查函数奇偶性的判别例2、判断下下列函数的奇偶性122(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 224()|3|3x f x x -=--变式3、已知函数0()(2≠+=x xax x f ,常数)a ∈R ． 1讨论函数)(x f 的奇偶性,并说明理由； 变式4、判断下下列函数的奇偶性121()log 1x f x x -=+ 21,0()1,0x x f x x x ->⎧=⎨--≤⎩三考查抽象函数的奇偶性例3、已知函数fx,当x,y ∈R 时,恒有fx+y=fx+fy.求证：fx 是奇函数；变式5A 、若定义在R 上的函数fx 满足：对任意12,x x ∈R 有1212()()()1f x x f x f x +=++,则下列说法一定正确的是Afx 为奇函数 Bfx 为偶函数 C fx+1为奇函数 Dfx+1为偶函数变式5B 、已知函数()f x ,当,x y R ∈时,恒有()()()f x y xf y yf x +=+,求证()f x 是偶函数;三考查一般函数的单调区间暂不讲例4、 设函数1()(01)ln f x x x x x =>≠且,求函数()f x 的单调区间；变式6、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 A. )2,(-∞ B.0,3 C.1,4 D. ),2(+∞四考查复合函数的单调区间 例5、判断函数fx=12-x 在定义域上的单调性.变式7、求函数y=21log 4x-x 2的单调区间.五考查函数单调性的运用例6A 、定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠,有2121()()0f x f x x x -<-.则A (3)(2)(1)f f f <-<B (1)(2)(3)f f f <-<C (2)(1)(3)f f f -<<D (3)(1)(2)f f f <<-变式8、2008全国设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数,且(1)0f =,则不等式()()0f x f x x --<的解集为A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，例6B 、已知函数32()f x x ax ax =+-在区间(1,)+∞上递增,求a 的取值范围;变式9、已知函数0()(2≠+=x xa x x f ,常数)a ∈R ． 1略 2若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数,求a 的取值范围．六考查函数周期性的应用例7、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=,若()15,f =-则()()5f f =__________;变式10、已知函数()f x 满足：()114f =,()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈,则()2010f =_____________.变式11、已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+2=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D2◆方法小结1、注意：单调区间一定要在定义域内,且不可以有“”,只能用“和”,“,”.2、含有参量的函数的单调性问题,可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围,其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式,结合定义域求出参数的取值范围.3、判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称,然后根据奇偶性的定义判断或证明函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性,可以在定义域内找到一对非零实数a 与－a ,验证fa ±f －a ≠0.4、函数的周期性：第一应从定义入手,第二应结合图象理解.◆课后强化1.若函数2()()af x x a x=+∈R ,则下列结论正确的是A ．a ∀∈R ,()f x 在(0,)+∞上是增函数B ．a ∀∈R ,()f x 在(0,)+∞上是减函数C ．a ∃∈R ,()f x 是偶函数D ．a ∃∈R ,()f x 是奇函数2. 下列函数()f x 中,满足“对任意1x ,2x ∈0,+∞,当1x <2x 时,都有1()f x >2()f x 的是A ．()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D ()ln(1)f x x =+ 3.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加,则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是A 13,23B 13,23C 12,23D 12,234.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+,则)25(f 的值是A. 0B. 21C. 1D. 255.已知定义在R 上的奇函数)(x f ,满足(4)()f x f x -=-,且在区间0,2上是增函数,则 .A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<6、已知()f x 在R 上是奇函数,且(4)(),f x f x +=2(0,2)()2,(7)x f x x f ∈==当时，则 A.—2 C.—987、设fx 为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,fx=2x +2x+bb 为常数,则f-1= A 3 B 1 C-1 D-38、给定函数①12y x =,②12log (1)y x =+,③|1|y x =-,④12x y +=,其中在区间0,1上单调递减的函数序号是A ①②B ②③C ③④D ①④9、若函数fx =3x +3-x 与gx =3x -3-x 的定义域均为R,则A ．fx 与gx 均为偶函数 B. fx 为偶函数,gx 为奇函数 C ．fx 与gx 均为奇函数 D. fx 为奇函数,gx 为偶函数 10、11、设函数fx=xe x +ae -x x ∈R 是偶函数,则实数a =________________12、以下4个函数: ①12+=x )x (f ; ②11+-=x x )x (f ; ③2211x x )x (f -+=; ④xxlg )x (f +-=11. 其中既不是奇函数, 又不是偶函数的是 A.①② B. ②③ C. ③④ D. ①②③13、已知函数), x x ( lg x )x (f 122+++=若f a ＝M, 则f －a 等于A. M a -22B. 22a M -C. 22a M -D. M a 22-14、设y ＝f x 是定义在R 上的奇函数, 当x ≥0时, f x ＝x 2－2 x, 则在R 上f x 的表达式为A. )x (x 2--B. ) |x | (x 2-C. ) x (|x |2-D. ) |x | (|x |2- 15．函数1)(+-=x a x f )1,0≠>a a 是减函数,则a 的取值范围是 A ．()1,0∈a B ．(]+∞∈,1a C ．R a ∈ D ．+∈R a 16．函数)(x f 112+-=x x 的单调增区间是 A ．(][)∞+--∞-11, B ．(][)∞+--∞-1,1, C ．(]1,-∞- D ．()()+∞--∞-,11,17．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A (0,1)B 1(0,)3C 11[,)73D 1[,1)718．若fx=-x 2+2ax 与1)(+=x ax g 在区间1,2上都是减函数,则a 的值范围是A ．)1,0()0,1(⋃-B ．]1,0()0,1(⋃-C ．0,1D ．]1,0(19．若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增,则a 的取值范围是A ．)1,41[B ． )1,43[C ．),49(+∞D ．)49,1(20．函数)1lg()(2x x x f ++=是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数 21．函数2222)(x x x f -+-=是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数22．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+<-=)0(,)0(,)(22x x x x x x x f 是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数23．定义在R 上的偶函数fx 满足fx =fx +2,当x ∈3,5时,fx =2－|x －4|,则A ．f sin 6π<f cos 6πB ．f sin1>f cos1C ．f cos 32π<f sin 32πD ．f cos2>f sin224．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数.若)(x f 的最小正周期是π,且当]2,0[π∈x 时,x x f sin )(=,则)35(πf 的值为A ．21-B ．21C ．23-D ．23 25．已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+3=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D226．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数,且0)2(=f ,则方程)(x f =0在区间0,6内解的个数的最小值是A ．5B ．4C ．3D ．227．下列函数既是奇函数,又在区间[]1,1-上单调递减的是 A ()sin f x x =B ()1f x x =-+C ()1()2x x f x a a -=+D 2()ln 2xf x x-=+ 28．若函数fx=121+X , 则该函数在-∞,+∞上是A 单调递减无最小值B 单调递减有最小值C 单调递增无最大值D 单调递增有最大值 29．下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. R x x y ∈-=,3B. R x x y ∈=,sinC. R x x y ∈=,D. R x x y ∈=,)21(30．已知R a ∈,函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数,则a ＝A0 B1 C －1 D ±131．若函数fx 是定义在R 上的偶函数,在]0,(-∞上是减函数,且f 2=0,则使得fx <0的x 的取值范围是A -∞,2B 2,+∞C -∞,-2⋃2,+∞D -2,232．设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 A ()()f x f x -是奇函数 B ()()f x f x -是奇函数 C ()()f x f x --是偶函数 D ()()f x f x +-是偶函数33．函数)2(log )(22--=x x x f 的单调增区间是___________,减区间是______________.34. 函数1231)(+--⎪⎭⎫⎝⎛=x x x f 的单调增区间是___________,减区间是______________.35.设fx 是定义在R 上的奇函数,且y=f x 的图象关于直线21=x 对称,则f 1+ f 2+ f 3+ f 4+ f 5=______________.36．若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数,则a = . 37、函数fx =111122+++-++x x x x 的图象 A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线x =1对称38、函数fx 在R 上为增函数,则y =f |x +1|的一个单调递减区间是_________. 39、若fx 为奇函数,且在0,+∞内是增函数,又f －3=0,则xfx <0的解集为_________.40、如果函数fx 在R 上为奇函数,在－1,0上是增函数,且fx +2=－fx ,试比较f 31,f 32,f 1的大小关系______41、已知函数y =fx =cbx ax ++12 a ,b ,c ∈R ,a >0,b >0是奇函数,当x >0时,fx 有最小值2,其中b ∈N 且f 1<25.1试求函数fx 的解析式；2问函数fx 图象上是否存在关于点1,0对称的两点,若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由.42、已知函数()()1011且x x a f x a a a -=>≠+．1判断()f x 的奇偶性；2当1a >时,判断()f x 的单调性,并证明．43、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在[)0,+∞上单调递增,()30f =,则不等式()0f x ≥的解集是 ．44、函数()()212log 23f x x x =-++的单调递减区间是 ．45、若函数()11a f x x x a=+-+是奇函数,则实数a 的值为 ． 46、若函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数,则实数a 、b 的取值范围分别是 ． 47、已知对于任意实数x ,函数()f x 满足()()f x f x -=,若方程()0f x =有2009个实数解,则这2009个实数解之和为 ．◆详细解析 例1、(1,0)(1,)-+∞ 变式1、C 变式2、C例2、解：12222(1),0(1),0()()(1),0(1),0x x x x x x f x f x x x x x x x ⎧⎧---≥-+≤⎪⎪-===⎨⎨--+-<->⎪⎪⎩⎩ 故()f x 为偶函数;2()f x 的定义域由240|3|30x x ⎧-≥⎨--≠⎩确定,解得2206x x x -≤≤⎧⎨≠≠⎩且∴定义域为[2,0)(0,2]-关于原点对称∴()f x x =-∵()()f x f x x-==- 故()f x 为奇函数 变式3、解：1当0=a 时,2)(x x f =,对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，,)()()(22x f x x x f ==-=-, )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时,2()(00)af x x a x x=+≠≠，,取1±=x ,得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，,(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，,∴ 函数)(x f 既不是奇函数,也不是偶函数．变式4、解：1由101x x ->+解得1,1x x <->或,则定义域关于原点对称; ∵222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+--===-=--+-+ ∴()f x 为奇函数 21,01,0()()1,01,0x x x x f x f x x x x x --->--<⎧⎧-===⎨⎨--≤-≥⎩⎩,故()f x 为偶函数;例3、证明： ∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称.∵fx+y=fx+fy,令y=-x,∴f0=fx+f-x.令x=y=0, ∴f0=f0+f0,得f0=0.∴fx+f-x=0,得f-x=-fx, ∴fx 为奇函数. 变式5A 、C变式5B 、证明：令0x y ==,可得(0)0f =；令y x =-,可得()()()f x x xf x xf x -=--即(0)[()()]0f x f x f x =--= 又x R ∈ ∴()()f x f x -- ∴()f x 是偶函数例4、解：'22ln 1(),ln x f x x x +=-其中01x x >≠且若 '()0,f x < 则 1x e >,此时()f x 单调递减,故减区间为1(,1),(1,)e +∞；若 '()0,f x > 则 1x e <,此时()f x 单调递增,故增区间为1(0,)e；变式6、解析()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D 例5、解： 函数的定义域为{x|x ≤-1或x ≥1},则fx=12-x ,可分解成两个简单函数.fx=)(,)(x u x u =x2-1的形式.当x ≥1时,ux 为增函数,)(x u 为增函数.∴fx=12-x 在1,+∞上为增函数.当x ≤-1时,ux 为减函数,)(x u 为减函数,∴fx=12-x 在-∞,-1上为减函数.变式7、解： 由4x-x 2＞0,得函数的定义域是0,4.令t=4x-x 2,则y=21log t.∵t=4x-x 2=-x-22+4,∴t=4x-x 2的单调减区间是2,4,增区间是0,2.又y=21log t 在0,+∞上是减函数,∴函数y=21log 4x-x 2的单调减区间是0,2,单调增区间是2,4.例6、答案:A. 解析:由2121()(()())0x x f x f x -->等价,于2121()()0f x f x x x ->-则()f x 在1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠上单调递增, 又()f x 是偶函数,故()f x 在1212,(0,]()x x x x ∈+∞≠单调递减.且满足*n N ∈时, (2)(2)f f -=, 03>21>>,得(3)(2)(1)f f f <-<,故选A. 变式8、D例6B 、解：∵32()f x x ax ax =+-在区间(1,)+∞上递增 ∴2()320f x x ax a '=+-≥在区间(1,)+∞上恒成立 即2(21)3x a x -≥-在区间(1,)+∞上恒成立 ∵210x ->∴2321x a x ≥--在区间(1,)+∞上恒成立 只要满足2max 3()21x a x ≥-- ∵23333334[(21)](2)321422142x x x x -=--++≤-⨯+=--- ∴3a ≥-变式9、2解：∵)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数 ∴ ()0f x '≥在[2)x ∈+∞，上恒成立即32202a x a x x-≥≤即在[2)x ∈+∞，上恒成立,故只要满足3min (2)a x ≤显然33min (2)2216x =⋅= a ∴的取值范围是(16]-∞，． 例7、解析：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+,所以(5)(1)5f f ==-,则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+;变式10、解析：取x=1 y=0得21)0(=f 法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ,寻得周期为6 法二：取x=n y=1,有fn=fn+1+fn-1,同理fn+1=fn+2+fn 联立得fn+2= —fn-1 所以T=6 故()2010f =f0=21变式11、解析：由()()()()()x f x f x f x f x f =+-=+⇒-=+242由()x f 是定义在R 上的奇函数得()00=f ,∴()()()()002246=-==+=f f f f ,故选择B; 1、答案：C 解析对于0a =时有()2f x x =是一个偶函数2、解析依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减,故由选项可得A 正确;3、答案A 解析由于fx 是偶函数,故fx ＝f|x|∴得f|2x －1|＜f 13,再根据fx 的单调性 得|2x －1|＜13 解得13＜x ＜234、答案A 解析若x ≠0,则有)(1)1(x f xx x f +=+,取21-=x ,则有： )21()21()21(21211)121()21(f f f f f -=--=---=+-= ∵)(x f 是偶函数,则)21()21(f f =- 由此得0)21(=f 于是, 0)21(5)21(]21211[35)121(35)23(35)23(23231)123()25(==+=+==+=+=f f f f f f f 5、解析:因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-,所以(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数, 则)1()25(-=-f f ,)0()80(f f =,)3()11(f f =,又因为)(x f 在R 上是奇函数, (0)0f =,得0)0()80(==f f ,)1()1()25(f f f -=-=-,而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==,又因为)(x f 在区间0,2上是增函数,所以0)0()1(=>f f ,所以0)1(<-f ,即(25)(80)(11)f f f -<<,故选D.6、选A7、答案D8、答案：B9、D ．()33(),()33()x x x x f x f x g x g x ---=+=-=-=-．10、11、解析 gx=e x +ae -x 为奇函数,由g0=0,得a =－1;12、A 13、A 14、B15、B 16、D 17、C 18、D30、A 33.()+∞,2;()1,-∞- 34.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21;⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21, 36.22 37、答案：C 解析：f －x =－fx ,fx 是奇函数,图象关于原点对称.38、解析：令t =|x +1|,则t 在－∞,－1]上递减,又y =fx 在R 上单调递增,∴y =f |x +1|在－∞,－1]上递减.答案：－∞,－1]39、答案：－3,0∪0,3 解析：由题意可知：xfx ＜0⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧><⇔0)(00)(0x f x x f x 或 ⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔3030 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或∴x ∈－3,0∪0,3 40、答案：f 31＜f 32＜f 1 解析：∵fx 为R 上的奇函数∴f 31=－f －31,f 32=－f －32,f 1=－f －1,又fx 在－1,0上是增函数且－31> －32>－1. ∴f －31>f －32>f －1,∴f 31＜f 32＜f 1.41、解：1∵fx 是奇函数,∴f －x =－fx ,即c bx c bx cbx ax c bx ax -=+⇒+-+-=++1122 ∴c =0,∵a >0,b >0,x >0,∴fx =bx x b a bx ax 112+=+≥22b a ,当且仅当x =a1时等号成立,于是22ba =2,∴a =b 2,由f 1＜25得b a 1+＜25即b b 12+＜25,∴2b 2－5b +2＜0,解得21＜b ＜2,又b ∈N ,∴b =1,∴a =1,∴fx =x +x1.2设存在一点x 0,y 0在y =fx 的图象上,并且关于1,0的对称点2－x 0,－y 0也在y =fx 图象上,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=+0020002021)2(1y x x y x x 消去y 0得x 02－2x 0－1=0,x 0=1±2.∴y =fx 图象上存在两点1+2,22,1－2,－22关于1,0对称.42、解：1由()f x 的定义域为R ,关于原点对称()()1111x xx xa a f x f x a a -----===-++得()f x 为R 上的奇函数 2证明：12x x ∀<∈R ,则由1a >得12x x a a <()()()()()()()12121212122121101111x x x x x x x x a a a a f x f x f x f x a a a a ----=-=<⇒>++++ ∴当1a >时,()f x 在R 上单调递增 43、(][),33,-∞-+∞ 44、[)1,3 45、1 46、00且a b >≤ 47、0。

专题04 函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）知识点1 函数的单调性 1、单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ， 当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递增函数。

当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递减函数。

2、单调性的图形趋势（从左往右）上升趋势 下降趋势3、函数的单调区间若函数y ＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f(x)的单调区间． 4、单调性定义的等价形式:（1）函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x f x f x x .（2）函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x f x f x x .5、定义法证明函数单调性的步骤①取值：设1x ，2x 为该区间内任意的两个值，且12x x <②作差变形：做差()()12f x f x -，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论 ④判断：根据定义做出结论。

模块一、函数的单调性(一)函数的单调性和单调区间定义：1、增函数与减函数的定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A M ⊆，如果取区间M 中的任意两个值1x 、2x ，改变量012>-=∆x x x ，则当0)()(12>-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数；当0)()(12<-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M上是减函数。

2、函数的单调性与单调区间：如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间)。

此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。

[多选] 例1．下列给定函数中，在区间)10(，上单调递减的函数是( )A 、x x f =)(B 、)1(log )(21+=x x g C 、|1|)(-=x x h D 、12)(+=x x w【解析】x x f =)(在)0[∞+，上是增函数，)1(log )(21+=x x g 在)1(∞+-，上是减函数，|1|)(-=x x h 在]1(，-∞上是减函数，12)(+=x x w 在R 上是增函数，则)(x g 和)(x h 在区间)10(，上单调递减的函数，选BC 。

(二)对函数单调性定义的理解1、函数的单调性是局部性质：从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，即单调区间是定义域的子集，是函数的局部特征。

函数的单调性只在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个子区间；如果一个函数在某个区间上是单调的，那么在这个区间的子区间上也是单调的。

但在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。

如函数2x y =的定义域为R ，当)0[∞+∈，x 时是增函数，当]0(，-∞∈x 时是减函数。

2、任意性：①“任意取1x 、2x ”，不能取两个特殊值；②1x 、2x 有大小，通常规定012>-=∆x x x ； ③1x 、2x 必须同属于定义域的某个子区间。

函数的单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性 1．增函数定义设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调增函数．I 称为y=f(x)的单调增区间。

2、减函数定义：设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1) >f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调减函数．I 称为y=f(x)的单调减区间。

注意：（1）函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； （2）必须是对于区间I 内自变量x 的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)（或f(x 1) >f(x 2)），才能说函数y=f(x) 在区间I 上具有单调增减性。

（3）判断函数的单调性：一利用定义，二利用函数的图象，三是利用导数。

（4）利用函数的图象分别指出： 一次函数y=kx+b 、 反比例函数y= kx(k ≠0)、二次函数y=a x 2+bx+c 的单调区间(5) 定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.(6)、利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：① 任取x 1，x 2∈I ，且x 1<x 2； ② 作差f(x 1)－f(x 2)；③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间I 上的单调性）． （7）函数单调性的判定：（1）图象法；（2）定义法 （3导数法） 二、复合函数))((x g f y =单调性的判断：对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性， 当),(b a x ∈ ，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性， 则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同得增，异得减”或“同增异减”.三、单调性的有关结论：1．若f(x), g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x) 函数； 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为 ；3．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。

函数的基本性质知识点总结函数的基本性质基础知识：1.奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称；②设()g x的定义域分别是12,D D，那么在它们f x，()的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2.单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)。

（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

第三讲函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数一、函数的单调性：1、定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D,当x 1<x 2时，都有f(x 1) <f(x 2)，则称f(x)是区间上的增函数，当x 1<x 2时，都有f(x 1)> f(x 2)，则称f(x)是区间上的减函数。

如果函数y= f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y= f(x)在区间D 上具有（严格的）单调性，区间D 称为函数f(x)的单调区间。

()()()()121200f x f x x x -><→-增减 任意x 1,x 2∈D 2、函数单调性的证明方法：通常根据定义，其步骤是：1）任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2 2）作差f(x 1)－ f(x 2)或作商()()()()0112≠x f x f x f ，并变形，（4）判定f(x 1)－ f(x 2)的符号，或比较()()12x f x f 与1的大小， 4）根据定义作出结论。

有时也根据导数。

()()()()//,0D 0D x D f x f x f x f x ∈>⇒<⇒在上递增，在上递减。

（注：逆命题不成立）3、常见函数的单调性：（1） 一次函数y=kx+b （k ≠0） 1）当k>0时，f(x)在R 上是增函数。

2）当k<0时，f(x)在R 上是减函数。

（2） 二次函数y=ax 2+bx+c 1）当a>o 时，函数f(x)的图象开口向上，在（－∞，－a b 2）上是减函数，在[－ab 2，＋∞）上是增函数，2) 当a<0时，函数f(x)的图象开口向下，在（－∞，－a b 2）上是增函数，在[－ab 2，＋∞）是减函数。

（3） 反比例函数y=()0≠k xk 1) 当k>0时，f(x)在（－∞，0）与（0，＋∞）上都是减函数，2) 当k<0时，f(x)在（－∞,0）与（0，＋∞）上都是增函数但要注意在（－∞，0）∪（0，＋∞）上f(x)没有单调性。