函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性题型目录一览①函数的奇偶性②函数奇偶性的应用③函数的周期性④函数的对称性⑤函数性质的综合应用一、知识点梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= -f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，-x也在定义域内(即定义域关于原点对称)．2.函数的对称性(1)若函数y=f(x+a)为偶函数，则函数y=f(x)关于x=a对称．(2)若函数y=f(x+a)为奇函数，则函数y=f(x)关于点(a，0)对称．(3)若f(x)=f(2a-x)，则函数f(x)关于x=a对称．(4)若f(x)+f(2a-x)=2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．3.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做f(x)的最小正周期.1【常用结论】1.奇偶性技巧(1)若奇函数y=f(x)在x=0处有意义，则有f(0)=0；(2)对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×(÷)奇=偶；奇×(÷)偶=奇；偶×(÷)偶=偶.(3)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数f(x)=ma x+1a x-1(x≠0)或函数f(x)=m a x-1a x+1．②函数f(x)=±(a x-a-x)．③函数f(x)=log a x+mx-m=log a1+2mx-m或函数f(x)=log a x-mx+m=log a1-2mx+m④函数f(x)=log a(x2+1+x)或函数f(x)=log a(x2+1-x)．注意：关于①式，可以写成函数f(x)=m+2ma x-1(x≠0)或函数f(x)=m-2ma x+1(m∈R)．偶函数：①函数f(x)=±(a x+a-x)．②函数f(x)=log a(a mx+1)-mx2．③函数f(|x|)类型的一切函数．2.周期性技巧3.函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a，x=b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4(b-a).4.对称性技巧(1)若函数y=f(x)关于直线x=a对称，则f(a+x)=f(a-x)．(2)若函数y=f(x)关于点(a，b)对称，则f(a+x)+f(a-x)=2b．(3)函数y=f(a+x)与y=f(a-x)关于y轴对称，函数y=f(a+x)与y=-f(a-x)关于原点对称．二、题型分类精讲真题刷刷刷一、单选题1(2021·全国·高考真题)下列函数中是增函数的为()A.f x =-xB.f x =23x C.f x =x2 D.f x =3x 【答案】D【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，f x =-x为R上的减函数，不合题意，舍.对于B，f x =23x为R上的减函数，不合题意，舍.对于C，f x =x2在-∞,0为减函数，不合题意，舍.对于D，f x =3x为R上的增函数，符合题意，故选：D.2(2021·全国·统考高考真题)设函数f(x)=1-x1+x，则下列函数中为奇函数的是()A.f x-1-1 B.f x-1+1 C.f x+1-1 D.f x+1+1【答案】B【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得f(x)=1-x1+x=-1+21+x，对于A，f x-1-1=2x-2不是奇函数；对于B，f x-1+1=2x是奇函数；对于C，f x+1-1=2x+2-2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f x+1+1=2x+2，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.3(2021·全国·高考真题)设f x 是定义域为R的奇函数，且f1+x=f-x.若f-1 3=13，则f53=()A.-53B.-13C.13D.53【答案】C【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得f53的值.【详解】由题意可得：f53=f1+23=f-23=-f23 ，而f23=f1-13=f13 =-f-13=-13，故f53=13.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.4(2021·浙江·统考高考真题)已知函数f(x)=x2+14,g(x)=sin x，则图象为如图的函数可能是()A.y=f(x)+g(x)-14B.y=f(x)-g(x)-14C.y =f (x )g (x )D.y =g (x )f (x )【答案】D【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解.【详解】对于A ，y =f x +g x -14=x 2+sin x ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，y =f x -g x -14=x 2-sin x ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，y =f x g x =x 2+14sin x ，则y =2x sin x +x 2+14 cos x ，当x =π4时，y =π2×22+π216+14 ×22>0，与图象不符，排除C .故选：D .5(2022·全国·统考高考真题)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像，则该函数是()A.y =-x 3+3xx 2+1 B.y =x 3-xx 2+1C.y =2x cos x x 2+1D.y =2sin x x 2+1【答案】A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设f x =x 3-x x 2+1，则f 1 =0，故排除B ;设h x =2x cos x x 2+1，当x ∈0,π2 时，0<cos x <1，所以h x =2x cos x x 2+1<2xx 2+1≤1，故排除C ;设g x =2sin x x 2+1，则g 3 =2sin310>0，故排除D .故选：A.6(2021·全国·统考高考真题)已知函数f x 的定义域为R，f x+2为偶函数，f2x+1为奇函数，则()A.f-12=0 B.f-1 =0 C.f2 =0 D.f4 =0【答案】B【分析】推导出函数f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f1 =0，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数f x+2为偶函数，则f2+x=f2-x，可得f x+3=f1-x，因为函数f2x+1为奇函数，则f1-2x=-f2x+1，所以，f1-x=-f x+1，所以，f x+3=-f x+1=f x-1，即f x =f x+4，故函数f x 是以4为周期的周期函数，因为函数F x =f2x+1为奇函数，则F0 =f1 =0，故f-1=-f1 =0，其它三个选项未知.故选：B.7(2022·全国·统考高考真题)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1，则22k=1f(k)=()A.-3B.-2C.0D.1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的f1 , f2 ,⋯,f6 的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为f x+y+f x-y=f x f y ，令x=1,y=0可得，2f1 =f1 f0 ，所以f0 =2，令x=0可得，f y +f-y=2f y ，即f y =f-y，所以函数f x 为偶函数，令y=1得，f x+1+f x-1=f x f1 =f x ，即有f x+2+f x =f x+1，从而可知f x+2=-f x-1，f x-1=-f x-4，故f x+2=f x-4，即f x =f x+6，所以函数f x 的一个周期为6．因为f2 =f1 -f0 =1-2=-1，f3 =f2 -f1 =-1 -1=-2，f4 =f-2=f2 =-1，f5 =f-1=f1 =1，f6 =f0 =2，所以一个周期内的f1 +f2 +⋯+f6 =0．由于22除以6余4，所以22k=1f k=f1 +f2 +f3 +f4 =1-1-2-1=-3．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由f x+y+f x-y=f x f y ，联想到余弦函数和差化积公式cos x+y+cos x-y=2cos x cos y，可设f x =a cosωx，则由方法一中f0 =2,f1 =1知a=2,a cosω=1，解得cosω=12，取ω=π3，所以f x =2cos π3x，则f x+y+f x-y=2cosπ3x+π3y+2cosπ3x-π3y=4cosπ3x cosπ3y=f x f y ，所以f x =2cos π3x符合条件，因此f(x)的周期T=2ππ3=6，f0 =2,f1 =1，且f2 =-1,f3 =-2,f4 =-1,f5 =1,f6 =2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，由于22除以6余4，所以22k=1f k=f1 +f2 +f3 +f4 =1-1-2-1=-3．故选：A．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.8(2022·全国·统考高考真题)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则22k=1f k =()A.-21B.-22C.-23D.-24【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到f(x)+f(x-2)=-2，从而得到f3 +f5 +⋯+f21=-10，f4 +f6 +⋯+f22=-10，然后根据条件得到f(2)的值，再由题意得到g3 =6从而得到f1 的值即可求解.【详解】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，所以g2-x=g x+2，因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+2)-f(x-2)=7，即g(x+2)=7+f(x-2)，因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，代入得f(x)+7+f(x-2)=5，即f(x)+f(x-2)=-2，所以f 3 +f 5 +⋯+f 21 =-2 ×5=-10，f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-2 ×5=-10.因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (0)+g (2)=5，即f 0 =1，所以f (2)=-2-f 0 =-3.因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +4)-f (x )=7，又因为f (x )+g (2-x )=5，联立得，g 2-x +g x +4 =12，所以y =g (x )的图像关于点3,6 中心对称，因为函数g (x )的定义域为R ，所以g 3 =6因为f (x )+g (x +2)=5，所以f 1 =5-g 3 =-1.所以∑22k =1f (k )=f 1 +f 2 +f 3 +f 5 +⋯+f 21 +f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-1-3-10-10=-24.故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.9(2021·全国·统考高考真题)设函数f x 的定义域为R ，f x +1 为奇函数，f x +2 为偶函数，当x ∈1,2 时，f (x )=ax 2+b ．若f 0 +f 3 =6，则f 92=()A.-94B.-32C.74D.52【答案】D【分析】通过f x +1 是奇函数和f x +2 是偶函数条件，可以确定出函数解析式f x =-2x 2+2，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】[方法一]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路一：从定义入手．f 92=f 52+2 =f -52+2 =f -12 f -12=f -32+1 =-f 32+1 =-f 52-f 52=-f 12+2 =-f -12+2 =-f 32所以f 92=-f 32 =52．[方法二]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数f x 的周期T =4．所以f 92=f 12 =-f 32 =52．故选：D ．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．二、多选题10(2022·全国·统考高考真题)已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为R ，记g (x )=f (x )，若f 32-2x，g (2+x )均为偶函数，则()A.f (0)=0B.g -12=0 C.f (-1)=f (4)D.g (-1)=g (2)【答案】BC【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于f (x )，因为f 32-2x 为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x①，所以f 3-x =f x ，所以f (x )关于x =32对称，则f (-1)=f (4)，故C 正确；对于g (x )，因为g (2+x )为偶函数，g (2+x )=g (2-x )，g (4-x )=g (x )，所以g (x )关于x =2对称，由①求导，和g (x )=f (x )，得f 32-x =f 32+x ⇔-f 32-x =f 32+x ⇔-g 32-x=g 32+x ，所以g 3-x +g x =0，所以g (x )关于32,0 对称，因为其定义域为R，所以g32=0，结合g(x)关于x=2对称，从而周期T=4×2-32=2，所以g-12=g32 =0，g-1 =g1 =-g2 ，故B正确，D错误；若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知g(x)周期为2，关于x=2对称，故可设g x =cosπx，则f x =1πsinπx+c，显然A，D错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为f32-2x，g(2+x)均为偶函数，所以f32-2x=f32+2x即f32-x=f32+x，g(2+x)=g(2-x)，所以f3-x=f x ，g(4-x)=g(x)，则f(-1)=f(4)，故C正确；函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x=32,x=2对称，又g(x)=f (x)，且函数f(x)可导，所以g32=0,g3-x=-g x ，所以g(4-x)=g(x)=-g3-x，所以g(x+2)=-g(x+1)=g x ，所以g-1 2=g32 =0，g-1 =g1 =-g2 ，故B正确，D错误；若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．三、填空题11(2021·全国·统考高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f x :．①f x1x2=f x1f x2；②当x∈(0,+∞)时，f (x)>0；③f (x)是奇函数．【答案】f x =x 4(答案不唯一，f x =x 2n n ∈N * 均满足)【分析】根据幂函数的性质可得所求的f x .【详解】取f x =x 4，则f x 1x 2 =x 1x 2 4=x 41x 42=f x 1 f x 2 ，满足①，f x =4x 3，x >0时有f x >0，满足②，f x =4x 3的定义域为R ，又f -x =-4x 3=-f x ，故f x 是奇函数，满足③.故答案为：f x =x 4(答案不唯一，f x =x 2n n ∈N * 均满足)四、双空题12(2022·全国·统考高考真题)若f x =ln a +11-x+b 是奇函数，则a =，b =．【答案】-12；ln2．【分析】根据奇函数的定义即可求出．【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性若a =0，则f (x )的定义域为{x |x ≠1}，不关于原点对称∴a ≠0若奇函数的f (x )=ln a +11-x +b 有意义，则x ≠1且a +11-x≠0∴x ≠1且x ≠1+1a，∵函数f (x )为奇函数，定义域关于原点对称，∴1+1a =-1，解得a =-12，由f (0)=0得，ln 12+b =0，∴b =ln2，故答案为：-12；ln2．[方法二]：函数的奇偶性求参f (x )=ln a +11-x +b =ln a -ax +11-x +b =lnax -a -11-x+b f (-x )=ln ax +a +11+x+b∵函数f (x )为奇函数∴f(x)+f(-x)=ln ax-a-11-x +lnax+a+11+x+2b=0∴lna2x2-(a+1)2x2-1+2b=0∴a21=(a+1)21⇒2a+1=0⇒a=-12-2b=ln14=-2ln2⇒b=ln2∴a=-12,b=ln2 [方法三]：因为函数f x =ln a+1 1-x+b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由a+11-x≠0可得，1-xa+1-ax≠0，所以x=a+1a=-1，解得：a=-12，即函数的定义域为-∞,-1∪-1,1∪1,+∞，再由f0 =0可得，b=ln2．即f x =ln-12+1 1-x+ln2=ln1+x1-x，在定义域内满足f-x =-f x ，符合题意．故答案为：-12；ln2．题型一：函数的奇偶性策略方法判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图象法：(3)性质法：在公共定义域内有：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇．1判断下列函数的奇偶性：(1)f x =x4-2x2；(2)f x =x5-x；(3)f x =3x1-x2；(4)f x =x +x．【答案】(1)偶函数(2)奇函数(3)奇函数(4)非奇非偶函数【分析】(1)利用偶函数的定义可判断函数的奇偶性；(2)利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；(3)利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；(4)利用反例可判断该函数为非奇非偶函数.【详解】(1)f x 的定义域为R，它关于原点对称.f-x=-x4-2-x2=x4-2x2=f x ，故f x 为偶函数.(2)f x 的定义域为R，它关于原点对称.f-x=-x5--x=-x5+x=-f x ，故f x 为奇函数.(3)f x 的定义域为-∞,-1∪-1,1∪1,+∞，它关于原点对称.f-x=-3x1--x2=-f x ，故f x 为奇函数.(4)f1 =1 +1=2,f-1=0，故f1 ≠f-1,f-1≠-f1 ，故f x 为非奇非偶函数.【题型训练】一、单选题1函数f x =2x-12x+1的奇偶性是()A.是奇函数，不是偶函数B.是偶函数，不是奇函数C.既是奇函数，也是偶函数D.非奇非偶函数【答案】A【分析】由奇偶性定义直接判断即可.【详解】∵f x 的定义域为R，f-x=2-x-12-x+1=12x-112x+1=1-2x1+2x=-f x ，∴f x 是奇函数，不是偶函数.故选：A.2已知奇函数f x ，当x>0时，f x =x2+x，则当x<0时，f x =() A.-x2+x B.-x2-x C.x2+x D.x2-x 【答案】A【分析】由x<0得-x>0，代入得f-x，根据奇函数即可求解.【详解】当x<0，则-x>0，则f-x=(-x)2+-x=x2-x，又f x 为奇函数，所以当x<0时，f x =-f-x=-x2+x.故选：A.3若函数f x =log2-x,x<0g x ,x>0为奇函数，则f g2=()A.2B.1C.0D.-1【答案】C【分析】由f x 为奇函数求得g x ，即可由分段函数求值.【详解】函数f x =log2-x,x<0g x ,x>0为奇函数，设x>0，则-x<0，∴f x =g x =-f-x=-log2x，∴g2 =-1，f g2=f-1=0.故选：C.4函数f x =4cos x2x-2-x的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】C【分析】根据函数的奇偶性排除AB，再由特殊值排除D即可得解.【详解】因为f x =4cos x2x-2-x的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，所以f(-x)=4cos(-x)2-x-2x=4cos x2-x-2x=-f(x)，即函数为奇函数，排除AB，当x=2时，f(2)=4cos222-2-2<0，排除D.故选：C二、填空题5函数y=f x 为偶函数，当x>0时，f x =ln x+x-1，则x<0时，f x =．【答案】ln-x-x-1【分析】由偶函数的定义求解．【详解】x<0时，-x>0，f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x)=ln(-x)-x-1，故答案为：ln(-x)-x-1．6f x =x5+100x3+x+1，若f m=-2，则f-m=.【答案】4【分析】令f x =g(x)+1，可得g(x)为奇函数，再根据奇函数的性质求解.【详解】令f x =g x +1,g x =x5+100x3+x,x∈R，则g(-x)=-g(x)，g(x)为奇函数，由f(m)=g(m)+1=-2，解得g(m)=-3，所以g(-m)=3.所以f-m=g(-m)+1=3+1=4.故答案为：4.7已知函数f x 是定义在R上的奇函数，当x>0时，f x =log2x，则f x ≥-2的解集是.【答案】-4,0∪14,+∞【分析】利用奇偶性求出函数f(x)的解析式f(x)=-log2-x,x<00,x=0log2x,x>0，分类讨论即可求解.【详解】当x<0时，-x>0，所以f(-x)=log2-x，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-log2-x，所以当x<0时，f(x)=-log2-x，所以f (x )=-log 2-x ,x <00,x =0log 2x ,x >0，要解不等式f (x )≥-2，只需x >0log 2x ≥-2 或x <0-log 2-x ≥-2 或x =00≥-2，解得x ≥14或-4≤x <0或x =0，综上，不等式的解集为-4,0∪ 14,+∞.故答案为：-4,0∪ 14,+∞.三、解答题8已知函数f x -1 =lgx 2-x(1)求函数f x 解析式；(2)判断函数f x 的奇偶性并加以证明【答案】(1)f (x )=lgx +11-x(2)奇函数，证明见解析【分析】(1)利用换元法，令t =x -1，得f (t )，从而可得f (x )；(2)先求函数定义域，利用奇偶性的定义进行证明.【详解】(1)令t =x -1，则x =t +1，则f (t )=lg t +12-t -1=lg t +11-t，所以f (x )=lg x +11-x.(2)奇函数；证明：定义域为-1,1 ，因为f (-x )=lg 1-x 1+x =-lg x +11-x=-f (x )，所以f (x )为奇函数.9已知函数f x =2x -22x +2．(1)求f -1 +f 3 的值；(2)令g x =f x +1 ，求证：g x 为奇函数；(3)若锐角α满足g 1-sin α +g cos α-1 >0，求α的取值范围．【答案】(1)0(2)证明见解析(3)0,π4【分析】(1)将x =-1和x =3分别代入解析式求解即可；(2)根据奇偶性的定义证明即可；(3)根据奇偶性将不等式化为g 1-sin α >g 1-cos α ，利用单调性定义可证得g x 为R 上的增函数，由此可得sin α<cos α，结合三角函数知识可求得结果.【详解】(1)∵f -1 =12-212+2=-35，f 3 =8-28+2=35，∴f -1 +f 3 =0.(2)g x =f x +1 =2x +1-22x +1+2=2x -12x +1，则g x 的定义域为R ；∵g -x =12x -112x+1=1-2x 1+2x=-g x ，∴g x 为奇函数.(3)由g 1-sin α +g cos α-1 >0得：g 1-sin α >-g cos α-1 =g 1-cos α ；g x =2x -12x +1=2x +1-22x +1=1-22x+1，设x 1<x 2，则g x 2 -g x 1 =1-22x 2+1-1+22x 1+1=22x 2-2x 12x 1+1 2x2+1>0，∴g x 为R 上的增函数，∴1-sin α>1-cos α，即sin α<cos α，又α∈0,π2，∴α∈0,π4 .题型二：函数奇偶性的应用策略方法已知函数奇偶性可以解决的三个问题1若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=x 2-6x ，则f (-1)=()A.-7B.-5C.5D.7【答案】C【分析】求出x <0时的解析式后，代入x =-1可求出结果.【详解】因为f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )=x 2-6x ，所以当x <0时，f (x )=-f (-x )=--x 2-6-x =-x 2-6x ，所以f (-1)=-1+6=5.故选：C2若函数f x =ax 2+bx +3a +b a -1≤x ≤2a 是偶函数，则a 、b 的值是()A.a =0，b =0B.a 不能确定，b =0C.a =0，b 不能确定D.a =13,b =0【答案】D【分析】根据定义域关于原点对称，求得a =13，再根据f -x =f x ，求得b 的值，即可求解.【详解】因为函数f x =ax 2+bx +3a +b a -1≤x ≤2a 是偶函数，可得a -1+2a =0，解得a =13，即f x =13x 2+bx +1+b ，又由f -x =13x 2-bx +1+b ，因为函数f x 为偶函数，则f -x =f x ，即13x 2+bx +1+b =13x 2-bx +1+b ，解得b =0.故选：D .3偶函数f x x ∈R 满足：f -4 =f 1 =0，且在区间0，3 与3，+∞ 上分别递减和递增，使f x <0的取值范围是()A.-∞，-4 ∪4，+∞B.-4，-1 ∪1，4C.-∞，-4 ∪-1，0D.-∞，-4 ∪-1，0 ∪1，4【答案】B【分析】根据题中所给条件，可画出符合全部条件的函数图象辅助做题.【详解】根据题目条件，想象函数图象如下:因为f-4=f1 =0，f x 为偶函数，所以f4 =f-1=0，所以当-4<x<-1和1<x<4时，f x <0，故选：B.【题型训练】一、单选题1(2023·全国·高三专题练习)若函数f x =2x+a2x-a为奇函数，则实数a的值为()A.1B.2C.-1D.±1【答案】D【分析】根据题意可得f-x+f(x)=0，计算可得a=±1，经检验均符合题意，即可得解.【详解】由f(x)为奇函数，所以f-x+f(x)=2-x+a2-x-a+2x+a2x-a=1+a⋅2x1-a⋅2x+2x+a2x-a=0，所以2⋅2x-2a2⋅2x=0，可得a2=1，解得a=±1，当a=-1时，f(x)的定义域为R，符合题意，当a=1时，f(x)的定义域为-∞,0∪0,+∞符合题意，故选：D2(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x3+1,x>0ax3+b,x<0为偶函数，则2a+b=()A.3B.32C.-12D.-32【答案】B【分析】利用偶函数的性质直接求解即可.【详解】由已知得，当x>0时，则-x<0，即f x =x3+1，f-x=-ax3+b，∵f x 为偶函数，∴f-x=f x ，即x3+1=-ax3+b，∴a=-1，b=1，∴2a+b=2-1+1=32，故选：B.3(2023·安徽·校联考模拟预测)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=e x+x+m，则f(-1)=()A.eB.-eC.e+1D.-e-1【答案】B【分析】由定义在R上的奇函数有f0 =0，求出m的值，再由f(-1)=-f(1)可得出答案.【详解】函数f(x)为R上的奇函数，则f0 =e0+0+m=0，解得m=-1f(-1)=-f(1)=-e+1-1=-e故选：B4(2023·全国·高三专题练习)定义在R上的偶函数f x 在区间0,+∞上单调递增，若f1 < f ln x，则x的取值范围是()A.e,+∞B.1,+∞C.-∞,-e∪e,+∞D.0,1 e∪e,+∞【答案】D【分析】根据偶函数及单调性解不等式即可.【详解】由题意，ln x>1，则x>e或x∈0,1 e.故选:D.5(2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习)已知偶函数f x 在-∞,0上单调递增，则f3-2x>f1 的解集是()A.-1,1B.1,+∞C.-∞,2D.1,2【答案】D【分析】利用偶函数的对称性可得|3-2x|<1，即可求解集.【详解】由偶函数的对称性知：f x 在-∞,0上递增，则在(0,+∞)上递减，所以|3-2x|<1，故-1<3-2x<1，可得1<x<2，所以不等式解集为1,2.故选：D6(2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0,+∞)上单调递减，且f(3)=0，则不等式(2x-5)f(x-1)<0的解集为()A.(-∞,-2)∪52,4B.(4,+∞)C.-2,52∪(4,+∞) D.(-∞,-2)【答案】C【分析】依题意作函数图像，根据单调性和奇偶性求解.【详解】依题意，函数的大致图像如下图：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，在[0,+∞)上单调递减，且f (3)=0，所以f (x )在(-∞,0]上单调递增，且f (-3)=0，则当x >3或x <-3时，f (x )<0；当-3<x <3时，f (x )>0，不等式(2x -5)f (x -1)<0化为2x -5>0f (x -1)<0 或2x -5<0f (x -1)>0 ，所以2x -5>0x -1>3或2x -5>0x -1<-3 或2x -5<0-3<x -1<3 ，解得x >4或x ∈∅或-2<x <52，即-2<x <52或x >4，即原不等式的解集为-2,52∪(4,+∞)；故选：C .二、多选题7(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 在区间-5,5 上是偶函数，在区间0,5 上是单调函数，且f 3 <f 1 ，则()A.f (-1)<f (-3)B.f 0 >f (-1)C.f (-1)<f 1D.f (-3)>f 5【答案】BD【分析】根据函数的单调性和奇偶性直接求解.【详解】函数f x 在区间0,5 上是单调函数，又3>1，且f 3 <f 1 ，故此函数在区间0,5 上是减函数．由已知条件及偶函数性质，知函数f x 在区间-5,0 上是增函数．对于A ，-3<-1，故f (-3)<f (-1)，故A 错误；对于B ，0>-1，故f 0 >f -1 ，故B 正确；对于C ，f -1 =f 1 ，故C 错误；对于D ，f -3 =f 3 >f 5 ，故D 正确．故选:BD .8(2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ，f x +1 为奇函数，且对∀x ∈R ，f x +4 =f -x 恒成立，则()A.f x 为奇函数B.f 3 =0C.f 12=-f 52D.f 2023 =0【答案】BCD【分析】根据函数定义换算可得f x 为偶函数，根据偶函数和奇函数性质可知f x 为周期函数，再根据函数周期性和函数特殊值即可得出选项.【详解】因为f x +1 为奇函数，所以f 1-x =-f 1+x ，故f x +2 =-f -x ,f 2-x =-f x ,又f x +4 =f -x ，所以f 2+x =f 2-x ，故f x +2 =-f -x =-f x ，所以f -x =f x ，f x 为偶函数，A 错误；f x +1 为奇函数，所以f 1 =0，f 2+x =f 2-x ，所以f 3 =f 1 =0，B 正确；f 52=f 32 ，又f x 的图象关于点1,0 对称，所以f 32 =-f 12 ，所以f 12=-f 52 ，C 正确；又f x +4 =f -x =f x ，所以f x 是以4为周期的函数，f (2023)=f (505×4+3)=f (3)=0，D 正确．故选：BCD ．三、填空题9(2023·广东潮州·统考二模)已知函数f x =lnx +1x -1+m +1(其中e 是自然对数的底数，e ≈2.718⋯)是奇函数，则实数m 的值为.【答案】-1【分析】利用奇函数的性质可得出f -x +f x =0，结合对数运算可得出实数m 的值.【详解】对于函数f x =lnx +1x -1+m +1，x +1x -1>0，解得x <-1或x >1，所以，函数f x 的定义域为-∞,-1 ∪1,+∞ ，因为函数f x 为奇函数，则f -x =-f x ，即f -x +f x =0，即ln -x+1-x-1+ln x+1x-1+2m+2=ln x-1x+1+ln x+1x-1+2m+2=2m+2=0，解得m=-1.故答案为：-1.10(2023·河南周口·统考模拟预测)已知函数f x 是定义在R上的偶函数，f x 在0,+∞上单调递减，且f3 =0，则不等式f x-2x<0的解集为.【答案】-1,0∪5,+∞【分析】由题意和偶函数的性质可知函数f(x)在[0,+∞)上为减函数，在(-∞,0]上为增函数，结合f(3)=f(-3)=0，分类讨论当x<0、x>0时，利用函数的单调性解不等式即可.【详解】因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递减所以f(x)在(-∞,0]上为增函数，由f(3)=0，得f(-3)=0，f(x-2)x<0，当x<0时，f(x-2)>0=f(-3)，有x-2<0x-2>-3，解得-1<x<0；当x>0时，f(x-2)<0=f(3)，有x-2>0x-2>3，解得x>5，综上，不等式f(x-2)x<0的解集为(-1,0)∪(5,+∞).故答案为：(-1,0)∪(5,+∞).11(2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习)定义在R上的函数f x ,g x ，满足f2x+3为偶函数，g x+5-1为奇函数，若f1 +g1 =3，则f5 -g9 =.【答案】1【分析】根据f2x+3为偶函数、g x+5-1为奇函数的性质，利用赋值法可得答案.【详解】若f2x+3为偶函数，g x+5-1为奇函数，则f-2x+3=f2x+3，g-x+5-1=-g x+5+1，令x=1，则f-2×1+3=f2×1+3，即f1 =f5 ，令x=4，则g-4+5-1=-g4+5+1，即g1 -1=-g9 +1，又因为f1 +g1 =3，所以f5 -g9 =f1 +g1 -2=1.故答案为：1.12(2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中)已知函数f x 的定义域为R ，若f x +1 -2为奇函数，且f 1-x =f 3+x ，则f 2023 =.【答案】2【分析】推导出函数f x 为周期函数，确定该函数的周期，计算出f 1 的值，结合f 1 +f 3 =4以及周期性可求得f 2023 的值.【详解】因为f x +1 -2为奇函数，则f -x +1 -2=-f x +1 -2 ，所以，f 1+x +f 1-x =4，在等式f 1+x +f 1-x =4中，令x =0，可得2f 1 =4，解得f 1 =2，又因为f 1-x =f 3+x ，则f 1+x +f 3+x =4，①所以，f x +3 +f x +5 =4，②由①②可得f x +5 =f x +1 ，即f x +4 =f x ，所以，函数f x 为周期函数，且该函数的周期为4，所以，f 2023 =f 4×505+3 =f 3 =4-f 1 =2.故答案为：2.题型三：函数的周期性策略方法函数周期性的判断与应用1若函数f (x )满足f (x +2)=f (x )，则f (x )可以是()A.f (x )=(x -1)2B.f (x )=|x -2|C.f (x )=sin π2xD.f (x )=tan π2x【答案】D【分析】根据周期函数的定义，结合特例法进行判断求解即可.【详解】因为f (x +2)=f (x )，所以函数的周期为2.A ：因为f (1)=0,f (3)=4，所以f (1)≠f (3)，因此函数的周期不可能2，本选项不符合题意；B ：因为f (2)=0,f (4)=2，所以f (2)≠f (4)，因此函数的周期不可能2，本选项不符合题意；C ：该函数的最小正周期为：2ππ2=4，因此函数的周期不可能2，本选项不符合题意；D ：该函数的最小正周期为：ππ2=2，因此本选项符合题意，故选：D2若定义域为R 的奇函数f (x )满足f (2-x )=f (x )，且f (3)=2，则f (4)+f (1)=()A.2B.1C.0D.-2【答案】D【分析】根据函数f x 为R 的奇函数和f x 满足f (2-x )=f (x )，得到函数T =4，再结合f 3 =2求解.【详解】因为函数f x 为R 的奇函数，所以f -x =-f x ，又f x 满足f (2-x )=f (x )，所以f 2-x =-f -x ，即f 2+x =-f x ，所以f 4+x =f x ，即T =4，因为f (3)=2，f (0)=0，所以f (4)=0，f 3 =-f 1 =2，所以f (4)+f (1)=-2故选：D3已知定义在R 上的奇函数，f x 满足f (x +2)=-f (x )，当0≤x ≤1时，f x =x 2，则f 2023 =()A.2019B.1C.0D.-1【答案】D【分析】根已知条件求出f x 的周期，根据周期性以及奇函数，结合已知条件即可求解.【详解】因为f x 满足f(x+2)=-f(x)，所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f x 是周期为4的函数，当0≤x≤1时，f x =x2，所以f1 =1，又因为f x 是奇函数，f2023=-f1 =-1，=f3 =f-1=f4×505+3故选：D.【题型训练】一、单选题1(2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测)函数y=f(x)是定义在R上奇函数，且f(4-x)=f(x)，f( -3)=-1，则f(15)=()A.0B.-1C.2D.1【答案】B【分析】通过已知计算得出函数是周期为8的周期函数，则f15=f7 ，根据已知得出f(7) =f(-3)=-1，即可得出答案.【详解】∵函数y=f(x)是定义在R上奇函数，且f(4-x)=f(x)，∴f4+x=-f x ，=f-x∴f4+4+x=f x ，=f8+x=-f4+x则函数y=f(x)是周期为8的周期函数，则f15=f7 ，=f15-8令x=-3，则f(4+3)=f(-3)=-1，∴f(15)=-1，故选：B.2(2023·江西南昌·校联考模拟预测)已知定义在R上的函数f x 满足f x+3=-f x ，g x =f x -2为奇函数，则f198=()A.0B.1C.2D.3【答案】C【分析】由题意推出函数f x 的周期以及满足等式f x +f-x=4，赋值求得f0 =2，利用函数的周期性即可求得答案.【详解】因为f x+3=-f x ，所以f x+6=-f x+3=f x ，所以f x 的周期为6，又g x =f x -2为奇函数，所以f x -2+f-x-2=0，所以f x +f-x=4，令x=0，得2f0 =4，所以f0 =2,所以f198=f0+6×33=f0 =2，故选：C.3(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的函数f(x)的图像关于y轴对称，且周期为3，又f(-1)=1,f(0)=-2，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2023)的值是()A.2023B.2022C.-1D.1【答案】D【分析】利用f x 的周期，根据函数的奇偶性和已知函数值，结合题意，求解即可.【详解】因为f x 的周期为3；又f-1=1，则f2 =f-1+3=f-1=1；f0 =-2，则f3 =f0+3=f0 =-2；因为函数f(x)在R上的图像关于y轴对称所以f x 为偶函数，故f1 =f-1=1，则f1 +f2 +f3 =0；故f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2023)=674×0+f1 =1.故选：D.4(2023春·贵州·高三校联考期中)已知函数f x 满足f1-x=f5+x，且f x+1是偶函数，当1≤x≤3时，f x =2x+34，则f log236=()A.32B.3 C.398D.394【答案】B【分析】由函数的奇偶性和对称性，得到函数的周期，利用周期和指数式的运算规则求函数值.【详解】由f x+1是偶函数，得f x+1=f-x+1，令x+1=-t，则f-t=f t+2．由f1-x=f5+x，令1-x=-t，则f-t=f t+6，则有f t+2=f t+6，即f x =f x+4，所以函数f x 周期为4．因为5=log232<log236<log264=6，则有1<log236-4<2，所以f log236=f log236-4=f log29 4=2log294+34=94+34=3．故选：B二、多选题5(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R,∀x1,x2∈R,x2-x1=2，都有f x1+f x2=0，且f1 =1，则下列结论正确的是()A.f23=1=1 B.f-23C.f1 +f2 +f3 +f4 +f5 =1D.f x +f x+1+f x+3=0+f x+2【答案】BCD【分析】由∀x1,x2∈R,x2-x1=2，都有f x1=0，得出函数f x 是周期为4的周期函+f x2数，再利用周期性逐一选项分析即可.【详解】由x2-x1=2得x2=x1+2，则f x1=0，+f x1+2故f x1+2+f x1+4=0，所以f x1+4，=f x1所以函数f x 是周期为4的周期函数.对于A,f23=f3 =-f1 =-1,A错误；=f5×4+3对于B,f-23=f1 =1，B正确；=f-6×4+1对于C,f1 +f3 =0,f2 +f4 =0,f5 =f1 =1，所以f1 +f2 +f3 +f4 +f5 =1，C正确；对于D,f x +f x+2+f x+3=0，=0,f x+1所以f x +f x+1=0，D正确.+f x+2+f x+3故选：BCD.6(2023·全国·高三专题练习)已知偶函数f x 满足f x +f2-x=0，下列说法正确的是()A.函数f x 是以2为周期的周期函数B.函数f x 是以4为周期的周期函数C.函数f x+2为偶函数为偶函数 D.函数f x-3【答案】BC【分析】根据函数的奇偶性和周期性确定正确选项.【详解】依题意f x 是偶函数，且f x +f2-x=0，f x =-f2-x，所以A错误.=-f x-2f x =-f x-2=--f x-2-2，所以B正确.=f x-4f x+2，所以函数f x+2为偶函=f-x+2=f-x-2=f x-2+4=f x-2若f x-3是偶函数，则f x-3=f-x-3=f x+3，则函数f x 是周期为6的周期函数，这与上述分析矛盾，所以f x-3不是偶函数.D错误.故选：BC三、填空题7(2023·江西南昌·统考二模)f(x)是以2为周期的函数，若x∈[0,1]时，f(x)=2x，则f(3)=．【答案】2【分析】直接根据函数的周期性求解即可.【详解】因为f(x)是以2为周期的函数，若x∈[0,1]时，f(x)=2x，所以f3 =f1 =2.故答案为：2.8(2023·安徽合肥·二模)若定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)=f(x+1)+f(x-1)，且f(1)= 2，则f(2024)=．【答案】2【分析】利用赋值法及奇函数的定义，结合函数的周期性即可求解.【详解】由f(x)=f(x+1)+f(x-1)，得f(x+1)=f(x+2)+f(x)，所以f(x)-f(x-1)=f(x+2)+f(x)，即-f(x-1)=f(x+2)，于是有-f(x)=f(x+3)，所以-f(x+3)=f(x+6)，即f x =f(x+6).所以函数f(x)的周期为6.因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.令x=1，则f(1)=f(2)+f(0)，解得f(2)=f(1)-f(0)=2，所以f(2024)=f(337×6+2)=f(2)=2.故答案为：2.9(2023秋·江西南昌·高三校联考阶段练习)已知定义在实数集R上的函数f x 满足f6-x=f-x，且当0<x<3时，f x =2a x+b(a>0,b>0)，若f2023=3，则1a+2b的最小值为.【答案】8 3【分析】根据题意求出函数f(x)的周期为6，再利用周期得到2a+b=3，最后利用基本不等【详解】因为函数f x 满足f 6-x =f -x ，所以函数f (x )的周期为6，又因为f 2023 =3，所以f (6×337+1)=f (1)=3，因为当0<x <3时，f x =2a x +b (a >0,b >0)，则有2a +b =3，所以1a +2b =131a +2b (2a +b )=134+b a +4a b≥134+2b a ⋅4a b =83当且仅当b a =4a b，即a =34,b =32时，取等号.故答案为：83.四、解答题10(2023·全国·高三专题练习)设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1，x 2∈0,12，都有f (x 1+x 2)=f (x 1)⋅f (x 2)，且f (1)=a >0．(1)求f 12,f 14；(2)证明f (x )是周期函数；(3)记a n =f 2n +12n，求a n ．【答案】(1)f 12 =a 12,f 14=a14(2)证明见解析(3)a n =a12n【分析】(1)根据题意可得f (1)=f 122、f 12 =f 14 2，结合f (1)=a >0即可求解；(2)根据抽象函数的对称性和奇偶性可得f (x )=f (x +2),x ∈R ，即可得出结果；(3)由(1)可得f 12 =f n ⋅12n =f 12n f 12n ⋅⋯⋅f 12n =f 12n n ，结合f 12=a 12和周期为2，即可求解.【详解】(1)因为对任意的x 1,x 2∈0,12，都有f (x 1+x 2)=f (x 1)f (x 2)，所以f (x )=f x 2+x 2 =f x 2 f x2≥0,x ∈[0,1]，又f (1)=f 12+12=f 12 f 12=f 12 2，f 12 =f 14+14 =f 14 f 14=f 14 2，f (1)=a >0，∴f 12 =a 12,f 14=a 14.(2)设y =f (x )关于直线x =1对称，故f (x )=f (1+1-x )，即f (x )=f (2-x ),x ∈R ，又f (x )是偶函数，所以f (-x )=f (x ),x ∈R ，∴f (-x )=f (2-x ),x ∈R ，将上式中-x 以x 代换，得f (x )=f (x +2),x ∈R ，则f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期．(3)由(1)知f (x )≥0,x ∈[0,1]，∵f 12=f n ⋅12n =f 12n +(n -1)⋅12n =f 12n f (n -1)⋅12n=⋯=f 12n f 12n ⋅⋯⋅f 12n =f 12nn ，又f 12 =a 12，∴f 12n=a 12n.∵f (x )的一个周期是2，∴f 2n +12n =f 12n，因此a n =a 12n．题型四：函数的对称性策略方法函数图象的对称性的判断与应用1已知二次函数f x 满足f x +2 =f 2-x ，且f a <f 0 <f 1 ，则实数a 的取值范围是()A.0,2B.-∞,0C.-∞,0 ∪4,+∞D.2,+∞【答案】C【分析】由题意可知，f x 对称轴为x =2，又f x 为二次函数以及已知条件可得f x 的单调性，根据单调性即可求得实数a 的取值范围.【详解】由已知，二次函数f x 对称轴为x=2，所以有f0 =f4 .又f0 <f1 ，所以f x 在-∞,2上单调递增，在2,+∞上单调递减.当a<2时，由f a <f0 ，以及f x 在-∞,2上单调递增，可得a<0；当a≥2时，由f a <f0 =f4 ，可得f a <f4 ，又f x 在2,+∞上单调递减，所以a>4.所以，实数a的取值范围是-∞,0∪4,+∞.故选：C.2函数y=f x 在0,2上是增函数，函数y=f x+2是偶函数，则下列结论正确的是()A.f1 <f52<f72 B.f72 <f1 <f52C.f1 <f72<f52 D.f52 <f1 <f72【答案】B【分析】分析可知函数f x 的图象关于直线x=2对称，可得出f52=f32 ，f72 =f12，利用函数f x 在0,2 上的单调性可得出f12 、f1 、f32 的大小关系，即可得出结果.【详解】因为函数y=f x+2是偶函数，则f2-x=f2+x，所以，函数f x 的图象关于直线x=2对称，因为f52=f32 ，f72 =f12 ，且0<12<1<32<2，因为函数f x 在0,2上为增函数，所以，f12<f1 <f32 ，即f72 <f1 <f52 .故选：B.【题型训练】一、单选题1(2023·全国·高三专题练习)下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是()A.y=1xB.y=lg xC.y=tan xD.y=x3【答案】A【分析】根据反比例函数、对数函数、正切函数和幂函数图象可得结论.【详解】对于A ，y =1x图象关于y =x 、坐标原点0,0 分别成轴对称和中心对称，A 正确；对于B ，y =lg x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，但无对称中心，B 错误；对于C ，y =tan x 关于点k π2,0k ∈Z 成中心对称，但无对称轴，C 错误；对于D ，y =x 3为奇函数，其图象关于坐标原点0,0 成中心对称，但无对称轴，D 错误.故选：A .2(2023·全国·高三专题练习)若f x 的偶函数，其定义域为-∞,+∞ ，且在0,+∞ 上是减函数，则f -2 与f 3 得大小关系是A.f -2 >f 3B.f -2 <f 3C.f -2 =f 3D.不能确定【答案】A【分析】由题意可得f -2 =f 2 ，且f 2 >f 3 ，即可得到所求大小关系．【详解】f (x )是偶函数，其定义域为(-∞,+∞)，且在[0，+∞)上是减函数，则f -2 =f 2 ，且f 2 >f 3 ，则f -2 >f 3 ，故选A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：比较大小，考查运算能力，属于基础题．3(2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测)定义在R 上的函数f x 满足f 2-x =f x ，且f x +2 -1为奇函数，则∑2023k =1f k =()A.-2023 B.-2022C.2022D.2023【答案】D【分析】利用抽象函数的轴对称与中心对称性的性质，得出函数f x 的对称轴和中心对称点及周期，利用相关性质得出具体函数值，即可得出结果.【详解】∵f 2-x =f x ，∴f x 关于x =1对称，∵f x +2 -1为奇函数，∴由平移可得f x 关于2,1 对称，且f 2 =1，∴f (x +2)-1=-f (-x +2)+1，即f (x +2)+f (2-x )=2∵f 2-x =f x ∴f (x +2)+f (x )=2 ∴f (x +4)+f (x +2)=2 上两式比较可得f (x )=f (x +4)。
