第九章 排队论 (1)..

排队论知识点(一)排队论知识点详解什么是排队论排队论是应用概率论、随机过程和数学统计方法来研究队列系统的数学理论。

队列系统是指一些处理实体以确定的方式到达某个系统，被系统以某种方式处理，然后离开系统的系统模型。

排队论研究的目标是为了通过合理的设计和优化队列系统（如银行服务台、电话交换机等）的结构和参数，提高系统的效率和性能。

排队论的主要概念1. 到达过程到达过程是指实体到达队列系统的时间间隔的随机过程。

根据到达的规律性和随机性不同，到达过程可以分为不可预测的泊松到达过程和可预测的非泊松到达过程。

2. 服务过程服务过程是指队列中的实体被处理的时间间隔的随机过程。

根据服务的规律性和随机性不同，服务过程可以分为不可预测的指数服务过程和可预测的非指数服务过程。

3. 队列长度队列长度是指队列中正在等待服务的实体的个数，也可以看作是在系统中等待服务的实体的数学期望。

4. 平均等待时间平均等待时间是指实体在队列系统中等待服务的平均时间。

5. 利用率利用率是指队列系统中服务设备的利用情况，通常用平均到达率与平均服务率的比值来表示。

排队论的基本模型1. M/M/1模型M/M/1模型是排队论中最简单的模型之一，代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统。

M/M/1模型的到达过程和服务过程都是泊松过程，服务设备能力为1。

2. M/M/C模型M/M/C模型是M/M/1模型的扩展，代表了含有C个服务台和一个队列的排队系统。

到达过程和服务过程仍然是泊松过程，但是服务设备能力为C。

3. M/G/1模型M/G/1模型是M/M/1模型的变体，代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统，但是服务过程是一般分布。

到达过程仍然是泊松过程。

4. G/G/1模型G/G/1模型代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统，到达过程和服务过程都是一般分布。

排队论的应用1. 交通拥堵排队论可以用来研究交通拥堵的原因和解决方案，进一步优化交通网络资源的利用和流量的分配。

运筹学排队论1. 简介排队论是运筹学中重要的一个分支，它研究了在人员、物品或信息流动过程中产生的排队现象，并通过建立数学模型和分析这些模型来探讨和优化系统中的排队行为。

排队论在各个领域都有广泛的应用，如交通运输、电信网络、生产制造等。

2. 排队模型排队论中常用的模型包括M/M/1模型、M/M/s模型、M/G/1模型等。

其中，M表示到达过程的分布，而G表示服务时间的分布。

而数字1或s则表示系统中的服务通道数。

2.1 M/M/1模型M/M/1模型是排队论中最简单的一个模型，它假设到达过程和服务时间都服从指数分布。

该模型中只有一个服务通道。

2.2 M/M/s模型M/M/s模型是M/M/1模型的扩展，它假设到达过程和服务时间仍然服从指数分布，但有s个服务通道。

M/M/s模型适用于有多个并行服务通道的排队系统。

2.3 M/G/1模型M/G/1模型假设到达过程服从泊松分布，而服务时间服从一般分布。

该模型在实际应用中更为常见，因为服务时间往往不服从指数分布。

3. 排队论的性能度量排队论的性能度量是对排队模型进行定量分析和评估的重要手段，常见的性能度量指标包括平均等待时间、平均逗留时间、系统繁忙率等。

3.1 平均等待时间平均等待时间是指在排队系统中，每个顾客平均等待的时间长度。

通过对排队模型的分析和计算，可以得到平均等待时间的具体数值。

3.2 平均逗留时间平均逗留时间是指每个顾客在排队系统中逗留的平均时间长度。

它等于平均等待时间加上服务时间。

3.3 系统繁忙率系统繁忙率是指服务通道在单位时间内处于工作状态的比例。

它可以用来评估系统是否能够满足顾客的需求。

4. 排队论的应用4.1 交通运输排队论在交通运输领域的应用非常广泛。

例如，交通信号灯的控制就可以通过排队论进行优化，以减少车辆的等待时间和交通拥堵。

4.2 电信网络在电信网络中，排队论被用于研究数据包的传输和路由机制。

通过对排队论模型的分析，可以提高网络的传输效率和质量。

排队论主要公式一、状态平衡方程()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=-<≤=++---++--12.10,011.10,010.10,1,01111001111k k k k n n n n n n n p p p p k n p p p μλμλμμλλ当系统状态为可数状态时，将上述第一个式子的k 换成∞，而将第三式去掉。

二、的关系为和q s q s W W L L ,,()()()()00;001;10.20210.2113;10.224.10.23s q q s q s q L W L W W W L L Littie λλμλμ===+=+上述四个式子称为公式。

三、标准的M/M/1模型（1）系统在稳定状态下处于状态n 的概率()()13.10,1,1,1,10<≥-=-=ρρρρn p p n n其中μλρ/=，它是系统的平均到达率与平均服务率之比，称为服务强度或称为话务强度。

（2）系统的运行指标１0系统中的平均顾客数L S 为()14.10;10,10<<-=-==∑∞=ρλμλρρN n S np L02系统中等待的平均顾客数q L 为()()15.10;1121λμρλρρ-=-=-=∑∞=n n q p n L03 顾客在系统中的逗留时间W 的分布及平均逗留时间S W 为()()()[]()1,0,10.161;10.17s F e W E μλωωωωμλ--=-≥==-04 顾客在系统中的等待时间分布及平均等待时间q W 为()()()()()19.10.118.10,0,1λμρλμμλμωρωωλμ-=-=-=≥-=--s q q W W e F//1N M M 四、系统容量有限制（设为）的模型（1）系统在稳态下处于状态n 的概率01系统空闲的概率为()24.10.1,11;1,1110⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠--=+ρρρρN p N02 系统中有n 个客户的概率为()()01,1,1,1110.251,1;1nnn n N N p p N ρρρρρρ⎧-≠≤≤⎪⎪-+==⎨⎪=⎪+⎩其中1,/<=p 此处μλρ的条件可以取消。

M/M/1/∞/∞标准模型M/M/1/N/∞
系统容量有限模型
N=队伍容量+1
M/M/1/∞/m
顾客源有限模型
m=系统只有m+1种状态
M/M/C/∞/m
多服务台模型
单队，并列C个服务台
系统空闲的概率
ρ
系统有n个顾客的概率（顾
客损失率）
系统至少有1个顾客的概率1-
顾客的有效到达率
系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均
顾客数
=
（每位）顾客在店内的平均
逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数λ：每小时到达店内人数
µ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数µ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
排队论公式一
排队论公式二
ρ：系统忙着的概率，ρ：系统忙着的概率，
M/G/1/∞/∞M/D/1/N/∞M//1/∞/m 系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均
顾客数
（每位）顾客在店内的平均
逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数
µ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数E(v):服务时间v的期望
D(v):方差
ρ：系统忙着的概率，λ：每小时到达店内人数
µ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
:服务时间v的期望
D(v):方差
ρ：系统忙着的概率，。