2016浙江G12高三十二校联考数学理

浙江省名校新高考研究联盟2016届第二次联考 理科数学 参考答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分,满分40分。

1．C 2．B 3．A 4．C 5． B6．A7．D8．C二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。

多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分。

9．1(0,)4；110．奇函数；()0,211．7,12ππ12．1603；64+13．[]1,914．4+15三、解答题：本大题共5小题，共74分。

16．解（Ⅰ）ABC 中22212a b c =+，∴2221sin sin sin 2A B C =+， 即2215sin sin 32A B -= 从而1cos 21cos 2152232A B ---=即15cos 2cos 216B A -=15cos[()()]cos[()()]16A B A B A B A B ∴+---++-=152sin()sin()16∴+-=A B A Bsin()sin A B C +==sin()∴-=A B （Ⅱ）由已知22225(1)110(2)2a b a b ab ⎧=+⎪⎨=+-⎪⎩ 将（1）代入（2）得104a b b =-（3）将（3）代入（1）得2220317b b +=，22543b b ==或（b =0a <舍去）故32a b =⎧⎨=⎩17．解（Ⅰ）当0b =时令()2()2g x f x x ax ==-当0a ≤时，()g x 在[0,1]上单调递增(1)122M g a ==-=，12a ∴=-； 当0a >时，max{(1),()}M g g a =，当(1)122g a =-=时，32a =检验符合题意， 当22()22g a a a =-=时，[]0,1a =故舍去；1322a ∴=-或（Ⅱ）当12M ≤时有()()102112f f ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，即121122b a b ⎧≤⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩1122112101111222b a a a b ⎧-≤-≤⎪⎪⇒-≤-≤⇒≤≤⎨⎪-≤-+≤⎪⎩ 18．解（I ）证法一：取AB 中点O ，线段BE 的中点M ，连接AM ，DM ，则由AE =AB 得AM BE ⊥,四边形COMD 为平行四边形，可得MD =OCAM =AD ==222AD AM MD =+，AM DM ⊥,AM DBE ∴⊥平面，∴平面DBE ⊥平面A BE证法二：以AB 中点为原点O ，过O 在平面A BE 内作Ox⊥直线 OB 为x 轴，OC 为z (1,0,0)B ，D ,(1,2,0)E -设平面DBE 的法向量为(,,)n x y z =，则 (,,)(1,1,0)0(,,)(0n BE x y z n BD x y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩取1x =，则(1,1,0)n =又平面A BE 的一个法向量为(0,0,1)m =(1,1,0)(0,0,1)0n m ==，n m ∴⊥ ， ∴平面DBE ⊥平面A BE ；（II ）（建系如上证法二）设平面ADF 的法向量为1111(,,)n x y z =，平面BAD的法向量为2222(,,)n x y z =E22222222(,,)(2,0,0)0(,,)0n BA x y z n AD x y z ⎧=-=⎪⎨==⎪⎩可取21)n =- 设(1,,0)F a a -，则11111111(,,)(2,,0)0(,,)0n AF x y z a a n AD x y z ⎧=-=⎪⎨==⎪⎩取1(,n a a =- 故二面角B -DA -F 的余弦值1212cos n n n n θ====⋅ 45a ∴=，BF =19．解：（Ⅰ）由2213142a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩得2,1a b ==，椭圆的方程为2214x y += （Ⅱ）设直线OA ：(0)y kx k =≠，则OB ： 1y x k =-，可得22441A x k =+，B x mk =-∴A OA ==B OB ==12AOB S OA OB ∆∴==点O 到直线AB的距离d ====，要使得d 为定值，2244m m =+243m ∴=，0,m m >∴=1d =。

2016届高三测试卷数 学(理科)姓名______________ 准考证号______________本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页。

满分150分, 考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共40分)注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式： 球的表面积公式24πS R =球的体积公式343πV R =其中R 表示球的半径 柱体的体积公式 V =Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式 V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 台体的体积公式()1213V h S S =其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．直线1y =+的倾斜角是A.π6B. π3C. 2π3D.5π62．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的 体积等于A ．10 cm 3B ．20 cm 3C ．30 cm 3D ．40 cm 33．已知,a b 为异面直线．对空间中任意一点P ，存在过点P 的 直线A. 与,a b 都相交B. 与,a b 都垂直C. 与a 平行，与b 垂直D. 与,a b 都平行4．为得到函数π2sin(2)4y x =+的图象，只需将函数2cos2y x =的图象A. 向左平移π4单位B. 向右平移π4单位C. 向左平移π8单位D. 向右平移π8单位5．已知(),(),()f x g x h x 为R 上的函数，其中函数()f x 为奇函数，函数()g x 为偶函数，则 A. 函数(())h g x 为偶函数 B. 函数(())h f x 为奇函数 C. 函数(())g h x 为偶函数D. 函数(())f h x 为奇函数6．命题“0x ∃∈R ，010x +<或2000x x ->”的否定形式是A. 0x ∃∈R ，010x +≥或2000x x -≤B. x ∀∈R ，10x +≥或20x x -≤C. 0x ∃∈R ，010x +≥且2000x x -≤D. x ∀∈R ，x 27．如图，A ，F 分别是双曲线2222C 1 (x ya a b-=：顶点、右焦点，过F 的直线l 与C 和y 轴分别交于P ，Q 两点．若AP ⊥AQ ，则CA B C ． D ．8．已知函数()()2()ka x f x a -=∈R ，且(1)(3)f f >，(2)(3)f f >．A. 若1k =，则12a a -<-B. 若1k =，则12a a ->-C. 若2k =，则12a a -<-D. 若2k =，则12a a ->-非选择题部分 (共110分)注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上, 不能答在试题卷上。

2016届浙江省金丽衢十二校高三上第一次联考理科数学试卷一、选择题（每题５分，共40分）1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．0y = B ．sin 2y x = C ．lg y x x =+ D ．22x x y -=+2．设两直线1l ：(3)453m x y m ++=-与2l ：2(5)8x m y ++=，则“12//l l ”是“1m <-”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．要得到函数cos(4)3y x π=-的图象，只需要将函数sin(4)2y x π=+的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）3cm ．A ．23 B ．2 C ．5．设a ，b R ∈，定义：||(,)2a b a b M a b ++-=，||(,)2a b a b m a b +--=，下列式子错误的是（ ）A ．(,)(,)M a b m a b a b +=+B ．(||,||)||||m a b a b a b +-=-C ．(||,||)||||M a b a b a b +-=+D ．((,),(,))(,)m M a b m a b m a b =6．设m R ∈，实数x ，y 满足23603260x m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若|2|18x y +≤，则实数m 的取值范围是（ ）A ．36m -≤≤B ．3m ≥-C ．6667m -≤≤ D ．332m -≤≤ 7．若函数()f x 是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有21[()]213xf f x +=+，则2(log 3)f =（ ）A ．1B ．45 C ．12D ．0 8．如图，AB 是平面α外固定的斜线段，B 为斜足，若点C 在平面α内运动，且CAB ∠等于直线AB 与平面α所成的角，则动点C 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线二、填空题（多空题每题6分，单空题每题４分，共36分）9．已知全集U R =，集合{|2}A x x =≥，{05}B x =≤<，则A B = ，()U C A B = ．10．函数2()4sin cos 2cos 1f x x x x =+-的最小正周期为 ，最大值为 ．11．若抛物线28x y =的焦点与双曲线221y x m-=的一个焦点重合，则m = ． 12．设函数3|l o g (1)|,10()tan(), 012x x f x x x π+-<≤⎧⎪=⎨<<⎪⎩，则[(1)]3f f -= ，若1()()2f a f <，则实数a 的取值范围是 ．13．已知过点(,0)(0)P t t >的直线l 被圆C ：222440x y x y +-+-=截得弦AB 长为4，若直线l 唯一，则该直线的方程为 ．14．已知(){}f n n是等差数列，(1)2f =，(2)6f =，则()f n = ，数列{}n a 满足1()n n a f a +=， 11a =，数列1{}1n a +的前n 项和为n S ，则201520161S a += ．15．如图，在三棱锥中D ABC -中，已知2AB =，3AC BD ⋅=-，设AD a =，BC b =，CD c =，则21c ab +的最小值为 ．三、解答题（共74分）16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为边BC 上的高，已知6AD =，1b =． （1）若23A π=，求c ； （2）求1c c+的最大值． 17．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面A B C D ，底面A B C D 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=，2AB AD DC ===E ，F 分别为PD ，PB 的中点．（1）求证：//CF 平面PAD ；（2）若直线PA 与平面CEF 的交点为G ，且1PG =，求截面CEF 与底面ABCD 所成锐二面角的大小．18．已知函数2()log ()x a f x a t =+，其中0>a 且1≠a ． （1）当2a =时，若x x f <)(无解，求t 的范围；（2）若存在实数m ，n （m n <），使得[],x m n ∈时，函数()f x 的值域都也为[],m n ，求t 的范围．19．已知点M 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点，椭圆C 的离心率为12． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点00(,)P x y 是定点，直线l ：1()2y x m m R =+∈交椭圆C 于不同的两点A ，B ，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求点P 的坐标，使得12k k +恒为0．20．已知23123()n n n f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，且(1)(1)nn f n -=-⋅，n =1，2，3，…． （1）求1a ，2a ，3a ； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）当7k >且*k N ∈时，证明：对任意*n N∈都有1212222311112n n n n k a a a a ++-+++⋯>++++成立．参考答案1．C 【解析】试题分析：A ：0y =既是奇函数，又是偶函数；B ：sin 2y x =是奇函数；C ：lg y x x =+的定义域为(0,)+∞，不关于原点对称，既不是奇函数，又不是偶函数；D ：()22x x y f x -==+其定义域为R 关于原点对称，且()()22()x x f x f x ----=+=，故为偶函数，故选C ． 考点：函数的奇偶性判定． 2．A 【解析】试题分析：若12//l l ，则(3)(5)421m m m ++=⨯⇒=-或7-，经检验，当1m =-时，1l 与2l 重合，∴7m =-，故是充分不必要条件，故选A ．考点：1．两直线的位置关系；2．充分必要条件． 3．B 【解析】试题分析：sin(4)cos 42y x x π=+=，而c o s (4)c o s [4()]312x x ππ-=-，∴应向右平移12π个单位，故选B ．考点：1．诱导公式；2．三角函数的图象变换． 4．D 【解析】试题分析：根据三视图可知，该几何体为如下三棱锥P ABC -，∴其体积11141332V Sh ==⋅⋅=D ．考点：1．三视图；2．空间几何体的体积． 5．B 【解析】试题分析：∵, (,), a a bM a b b a b≥⎧=⎨<⎩，, (,), b a bm a b a a b≥⎧=⎨<⎩，∴((,),(,m M a b m a b m a b =，D 正确；(,)(,)M a b m a b a b +=+，A 正确；(||,||)m a b a b +-==||, 0||||||, 0a b ab a b a b ab +<⎧⎨-=+≥⎩，B错误；(||,||)M a b a b +-== ||||||, 0||||||, 0a b a b ab a b a b ab +=+≥⎧⎨-=+<⎩，C 正确；故选B ． 考点：函数型新定义问题． 6．A 【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组23603260x m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩所表示的区域，由题意可知，不等式组所表示的区域应为|2|18x y +≤所表示的平面区域的子集，从而可知36m -≤≤，故选A ．考点：线性规划的运用．【思路点睛】线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．归纳起来常见的命题角度有：1．求线性目标函数的最值；2．求非线性目标的最值；3．求线性规划中的参数，本题即利用区域的包含，求解参数的取值范围． 7．C 【解析】试题分析：∵()f x 是R 上的单调函数，且21[()]213x f f x +=+，∴2()21xf x t +=+（t 为常数），2()21x f x t =-+，又∵1()3f t =，∴21213t t -=+，令2()21x g x x =-+，显然()g x 在R上单调递增，而1(1)3g =，∴1t =，∴22log 3221()1(log 3)121212xf x f =-⇒=-=++，故选C ．考点：1．函数的解析式；2．函数的性质．【思路点睛】求函数解析式常用的方法：1．待定系数法；2．换元法(换元后要注意新元的取值范围)；3．配凑法；4．解方程组法；而函数单调性的应用比较广泛是每年高考的重点和热点内容，归纳起来常见的命题角度有：1．求函数的值域或最值；2．比较两个函数值或两个自变量的大小；3．解函数不等式或方程；4．求参数的取值范围或值． 8．D 【解析】试题分析：如下图所示，作AO α⊥，垂足为O ，连结BO ，在α内过O 作OB 的垂线，建立空间直角坐标系，由题意得，设ABO CAB θ∠=∠=，||AB a =，(,,0)C x y ，∴(0,0,sin )A a θ，(0,cos ,0)B a θ， ∴(,,sin )AC x y a θ=- ，(0,cos ,sin )AB a a θθ=- ，∴cos ||||AC ABAC AB θ⋅==⋅22222222222cos (cos sin )cos (sin )ay a a x y a θθθθθ=⇒+=++⇒2422222sin sin 2sin cos cos x a y a a θθθθθ=+-，∴点C 的轨迹方程是抛物线，故选D ．考点：立体几何中的动态问题．【思路点睛】在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题，也可利用空间直角坐标系求出轨迹方程，即可知其对应的轨迹类型，对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性． 9．{|0}x x ≥，{|02}x x ≤<． 【解析】试题分析：∵{|2A x x=≥，{05}B x =≤<，∴{|0A B x x =≥ ，(){|02}U C A B x x =≤< ．考点：集合的运算．10．π 【解析】试题分析：2()4sin cos 2cos 12sin 2cos2)f x x x x x x x ϕ=+-=+=+，1tan 2ϕ=，∴最小正周期22T ππ== 考点：1．三角恒等变形；2．三角函数的性质． 11．3． 【解析】试题分析：∵抛物线28x y =的焦点坐标为(0,2)，∴2123m m +=⇒=．考点：抛物线，双曲线的标准方程． 12．1，21(,)32-．【解析】试题分析：∵110--<，∴311)|g(11)|2f-=-+=，∴1[1)]()2f f f-==tan14π=；若10x-<≤：1331()()log(1)1log(1)1132f a f a a a-<⇒-+<⇒+>-⇒+>⇒23a-<≤；若01x<<：11()()tan()10222f a f a aπ<⇒<⇒<<，故实数a的取值范围是21(,)32-．考点：1．分段函数；2．分类讨论的数学思想．13．220x y+-=．【解析】试题分析：将圆C的方程化为标准方程：22(1)(2)9x y-++=，∴圆心(1,2)C-，半径3r=，又由题意可知，圆心C到直线l=∴所有满足题意的直线l为圆D：22(1)(2)5x y-++=的切线，又∵直线l唯一，∴点P在圆D上，∴2(1)452t t-+=⇒=或0（舍），该切线方程为(21)(1)(2)(02)5220x y x y--+++=⇒+-=，即直线l的方程为220x y+-=．考点：1．直线，圆的方程；2．直线与圆的位置关系．14．2n n+，1．【解析】试题分析：设公差为d，由题意得(2)(1)32121f fd=-=-=，∴2()2(1)1()f nn f n n nn=+-⋅⇒=+，∴21111111111 ()(1)(1)11n n n n n nn n n n n n n na f a a a a aa a a a a a a a+++ ==+=+⇒==-⇒=-+++，∴12231111111111111111n n n n n n S S a a a a a a a a a a +++=-+-+⋅⋅⋅+-=-⇒+==，∴2015201611S a +=．考点：1．等差数列的通项公式；2．数列求和．【方法点睛】裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和，裂项相消法求和或利用其证明不等式是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列{}n a 的通项公式或通项公式，达到求解目的． 15．2． 【解析】试题分析：设AD a = ，CB b = ，DC c = ，∵2AB =，∴2222||4a b c a b c ++=⇒+++2()4a b b c c a ⋅+⋅+⋅= ，又∵3A CB D ⋅=-，∴2()()33a c bc a b b c c a +⋅--=-⇒⋅+⋅+， ∴22222222(3)=42a b c c c a b +++-⇒=++，∴22222211a b ab ab ab +++≥=++，当且仅当a b =时，等号成立，即21c ab +的最小值是2．考点：1．空间向量的数量积；2．不等式求最值．【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势． 16．（1）1c =；（2）4． 【解析】 试题分析：（1）利用三角形的面积计算结合余弦定理可以得到a ，c ；（2）仿照（1）的过程可以将1c c+用A 的三角函数式表示出来，再利用三角恒等变形以及三角函数的性质即可求解．试题解析：（1）∵11sin 22S bc A a AD ABC ==⋅∆，即126c a ⋅=，即23c a =，根据余弦定理2222cos A a b c bc =+-，有21312()2c c c =+-⋅-，即2(1)0c -=，即1c =；（2）∵211226S BC AD a ABC =⋅=∆，又∵11sin sin 22S AC AB A c A ABC =⋅⋅=∆，∴2sin 6c A =，则2sin a A =，又∵22211sin cos 22c ac AA cc+-+-==，∴12cos 4sin()6c A A A c π+=+=+，当3A π=时，有max 1()4c c +=． 考点：1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形．17．（1）详见解析；（2）4π． 【解析】试题分析：（1）取PA 的中点Q ，连接QF ，QD ，可证明四边形QFCD 是平行四边形，再由线面平行的判定即可得证；（2）首先利用将平面CEF 与PA 的交点作出，再利用1PG =可求得PA 的长度，从而建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，即可求解． 试题解析：（1）取PA 的中点Q ，连接QF ，QD ，∵F 是PB 的中点，∴//QF AB 且12QF AB =， ∵ 底面A B C D 为直角梯形，90CDA BDA ∠=∠=，2AB AD DC ===，即//CD AB ，12CD AB =，∴//QF CD 且QF CD =，∴ 四边形QFCD 是平行四边形， ∴//FC QD ，又∵FC ⊄平面PAD ，QD ⊂平面PAD ，∴ //FC 平面PAD ；（2）取PC 的中点M ，连接AC ，EM ，FM ，QM ，QM EF N = ，连接CN 并延长交PA 于G ，已知1PG =，∵//CF 平面APD ，且平面CEF 平面APD EG =，∴//CF EG ，又∵//CF DQ ，∴ //EG DQ ，又∵ E 为中点，∴ G 为PQ 中点，∴44PA PG ==，建立直角坐标系如图所示，(0,0,0)A，B，C，D，E，F ，则平面ABCD 的法向量为1(0,0,1)n =，(CE =，(CF =-，设平面CEF 的法向量为2(,,)n x y z = ，则有2200CE n CF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2020y z z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨取z =，则1x =，1y =，即2(1,1n =，∴121212cos ,122||||n n n n n n ⋅<>===⨯⋅4π，∴截面ECF 与底面ABCD 所成锐二面角的大小为4π．考点：1．线面平行的判定和性质；2．空间向量求空间角．18．（1）14t ≥；（2）104t <<．【解析】试题分析：（1）分析题意可知，不等式无解等价于222x x t +≥恒成立，参变分离后即再进一步等价为2max (22)x x t ≥-+，即可求解；（2）分析函数的单调性，可知其为单调递增函数，换元令0k a u =>，从而可将问题等价转化为二次方程根的分布，列得关于t 的不等式即可求解．试题解析：（1）∵222log (2)log 2x x t x +<=，∴222xx t +<无解，等价于222xxt +≥恒成立，即222()xxt g x ≥-+=恒成立，即max ()t g x ≥，求得21max 1()(1)224g x g --=-=-+=，∴14t ≥；（2）∵2()log ()xa f x a t =+是单调增函数，∴()()f m m f n n =⎧⎨=⎩，即22m m n na t aa t a+=+=⎧⎪⎨⎪⎩，问题等价于关于k 的方程20kk aa t -+=有两个不相等的解，令0k a u =>，则问题等价于关于u 的二次方程20u u t -+=在(0,)u ∈+∞上有两个不相等的实根，即1212000u u u u +>⋅>∆>⎧⎪⎨⎪⎩，即014t t ><⎧⎪⎨⎪⎩，得104t <<．考点：1．恒成立问题；2．二次方程的根的分布；3．转化的数学思想． 19．（1）22143x y +=；（2）3(1,)2P 或3(1,)2P --．【解析】试题分析：（1）根据题意以及椭圆方程中222a b c =+的关系式，建立方程组，即可求解；（2）将直线方程与椭圆方程联立消去y 后可得2230x mx m ++-=，再由韦达定理以及120k k +=可得到关于0x ，0y 的一个方程，再根据恒成立的条件即可得到关于0x ，0y 的方程，从而求解．试题解析：（1）由题意，b =12c a =， 又∵222a c b -=，∴1c =，2a =，∴所求的椭圆方程：22143x y +=；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，把12y x m =+代入椭圆方程化简得：2230x mx m ++-=，∴22224(3)31204m m m m ∆=--=-+>⇒<，又∵122123x x m x x m +=-⎧⎨=-⎩，∴221213222()y y m m x x +=+=+，而10201210200y y y y k k x x x x --+=+=--，∴10202010()()()()0y y x x y y x x --+--=，即1222()()y x y x x y y++-+-， ∴12210001201211()()2()()022x m x x m x x y y x x x y y ++++-+-+=， ∴121200012012()2()()0x x m x x x y y x x x y y +++-+-+=，∴3()2302m y x xy +-+-=， ∴000000310232302x y x y x y =⎧⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪-=⎩⎩或00132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴3(1,)2P 或3(1,)2P --． 考点：1．椭圆的标准方程；2．直线与椭圆的位置关系；3．定点问题．【思路点睛】1．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．2．求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 20．（1）11a =，23a =，35a =；（2）21n a n =-；（3）详见解析． 【解析】试题分析：（1）根据条件(1)(1)n n f n -=-⋅，分别赋值令1n =，2n =，3n =即可求解；（2）利用已知条件中的(1)(1)n n f n-=-⋅，从而可得1111231(1)(1)(1)(1)n n n n f a a a a n -----=-+-++-=-⋅- ，2n ≥，再将两式相减即可求解；（3）将待证不等式中不等号左边的式子进行首尾配对，再利用基本不等式的变形当0x >，0y >时，x y +≥11x y +≥，11()()4x y x y ++≥，累加，放缩，即可得证． 试题解析：（1）由11(1)1f a -=-=-得11a =，由212(1)2f a a -=-+=，得23a =， 又∵3123(1)3f a a a -=-+-=-，∴35a =；（2）由题得：123(1)(1)(1)nnn n f a a a a n -=-+-++-=-⋅ ， 1111231(1)(1)(1)(1)n n n n f a a a a n -----=-+-++-=-⋅- ，2n ≥，两式相减得：1(1)(1)(1)(1)(1)(21)n n n n n a n n n --=-⋅---=--，得当2n ≥时，21n a n =-，又11a =符合，∴21n a n =-（*n N ∈）；（3）令12n n a b n +==，则12111111121111n n n nk S b n n n nk b b b ++-==++++++-++++ ， ∴111111112()()()()112231S n nk n nk n nk nk n=++++++++-+-+-- …………(*)当0x >，0y >时，x y +≥11x y +≥，∴11()()4x y x y ++≥， ∴114x y x y+≥+，当且仅当x y =时等号成立，上述(*)式中，7k >，0n >，1n +，2n +，……，1nk -全为正，∴44444(1)21122311n k S n nk n nk n nk nk nn nk ->++++=+-++-++--++- ，∴2(1)2(1)2232(1)2(1)1117121k k S k k k n-->>=->-=++++-，得证． 考点：1．数列的通项公式；2．放缩法证明不等式．【思路点睛】解决数列综合题常见策略有：1．关注数列的通项公式，构造相应的函数，考察该函数的相关性质（单调性、值域、有界性、切线）加以放缩；2．重视问题设问的层层递进，最后一小问常常用到之前的中间结论；3．数学归纳法．。

数学试卷（理工类）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸大将姓名、座位号、准考据号等填写清楚。

2.本试卷共有 23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。

一. 填空题 (本大题满分 56 分）本大题共有14 题，只需求直接填写结果，每题填对得4分，不然一律得零分 .1．函数f ( x) x( x) 的反函数是 f(x)_____________ .2、已知a, b, a 和 b 的夹角为，则 a b___________.3、幂函数y f ( x)的图象过点 (, ) ，则 f ( )_________ .4、方程log ( x)log(x) 的解为_______________.5、若直线l的一个法向量n( , ) ，若直线 l 的一个方向向量 d( ,) ，则 l 与 l的夹角 =.(用反三角函数表示 ).6、直线l : x y交圆 x y于 A、 B两点，则AB _______.7、已知,, 且tan()，则 cos.8、无量等比数列a n的前 n 项和为S n，若 S, S，则 lim S n_______ .n9、已知f ( x) kx x 有两个不一样的零点，则实数k 的取值范围是.10、已知a、b、c是ABC 中A、B、 C 的对边，若 a, A，ABC 的面积为，则ABC 的周长为.11 、奇函数f (x)的定义域为 R ，若f ( x)为偶函数，且 f ( )，则f () f () _______.___12、已知等比数列a n的前 n 项和为S n，若S , S , S成等差数列，且a a a，若 S n，则 n 的取值范围为.13、设m R, 过定点A的动直线 x my和过定点 B 的动直线mx y m交于点P，则PA PB 的最大值是.14、设x表示不超出x的最大整数，如,.. 给出以下命题：①对随意的实数x ，都有 x x x ；②对随意的实数x, y ，都有x y x y ；③ lglg lg lg lg；④若函数 f ( x)x x，当 x, n (n N * ) 时，令 f (x)的值域为A，记会合A中元素个数为 a n，则a n的最小值为. 此中全部真命题的序号为.n二．选择题( 本大题满分20个结论是正确的，选对得15、数列a n的前n项和为分）本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，此中有且只有一5 分，不然一律得零分.S n n ，则 a 的值为（）A 、B、C、D、 6416、a是直线ax y a和x(a) y a平行且不重合的（）A、充足非必需条件B、必需非充足条件C、充要条件D、既不充足又不用要条件17 、将f ( x)si n x 的图象右移 () 个单位后得到 g( x) 的图象.若满足f (x )g(x )的x , x，有x x 的最小值为，则的值为（）A、B、C、D、18、已知函数e x mx 、 x 、x R ，总有 f ( x )、f ( x2 )、f ( x3 ) 为f ( x)，若对随意e x某一个三角形的边长，则实数m 的取值范围是（）A、,B、 ,C、 ,D、,三．解答题 (本大题满分74 分 ) 本大题共有 5 题，解答以下各题一定写出必需的步骤. 19．（此题共 2 小题，满分12 分。

2016年普通高等学校招生全国统一考试 (浙江卷)理科数学第Ⅰ卷一、选择题1．(2016·浙江，1)已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( ) A ．[2,3] B ．(－2,3]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)2．(2016·浙江，2)已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( ) A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥lD ．m ⊥n3．(2016·浙江，3)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0 中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．64．(2016·浙江，4)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 25．(2016·浙江，5)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关6．(2016·浙江，6)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列7．(2016·浙江，7)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( ) A ．m ＞n 且e 1e 2＞1 B ．m ＞n 且e 1e 2＜1 C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜18．(2016·浙江，8)已知实数a ，b ，c ，( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100第Ⅱ卷二、填空题9．(2016·浙江，9)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________． 10．(2016·浙江，10)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.11．(2016·浙江，11)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是______cm 2，体积是________cm 3.12．(2016·浙江，12)已知a ＞b ＞1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.13．(2016·浙江，13)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝______，S 5＝______.14．(2016·浙江，14)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是________．15．(2016·浙江，15)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________． 三、解答题16．(2016·浙江，16)(本题满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．17．(2016·浙江，17)(本题满分15分)如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求二面角B-AD-F 的平面角的余弦值．18．(2016·浙江，18)(本题满分15分)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p ＞q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a )．19．(2016·浙江，19)(本题满分15分)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． 20．(2016·浙江，20)(本题满分15分)设数列{a n }满足|a n －a n ＋12|≤1，n ∈N *. (1)证明：|a n |≥2n －1(|a 1|－2)，n ∈N *；(2)若|a n |≤⎝⎛⎭⎫32n ，n ∈N *，证明：|a n|≤2，n ∈N *.答案解析1.解析 由已知得Q ＝{x |x ≥2或x ≤－2}．∴∁R Q ＝(－2,2)．又P ＝[1,3]，∴P ∪∁R Q ＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]． 答案 B2.解析 由已知，α∩β＝l ，∴l ⊂β，又∵n ⊥β，∴n ⊥l ，C 正确．故选C. 答案 C3.解析 已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ 所示．因为l 与直线x ＋y ＝0平行．所以区域内的点在直线x ＋y －2上的投影构成线段AB ，则|AB |＝|PQ |.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0，解得P (－1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0 解得Q (2，－2)．所以|AB |＝|PQ |＝(－1－2)2＋(1＋2)2＝3 2. 答案 C4.解析 原命题是全称命题，条件为∀x ∈R ，结论为∃n ∈N *，使得n ≥x 2，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D 选项符合． 答案 D5.解析 因为f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋12，其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋12，f (x )的周期为π；b ≠0时，f (x )的周期为2π.即f (x )的周期与b 有关但与c 无关，故选B. 答案 B6.解析 作A 1C 1，A 2C 2，A 3C 3，…，A n C n 垂直于直线B 1B n ，垂足分别为C 1，C 2，C 3，…，C n ，则A 1C 1∥A 2C 2∥…∥A n C n .∵|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，∴|C n C n ＋1|＝|C n ＋1C n ＋2|. 设|A 1C 1|＝a ，|A 2C 2|＝b ，|B 1B 2|＝c ，则|A 3C 3|＝2b －a ，…，|A n C n |＝(n －1)b －(n －2)a (n ≥3)，∴S n ＝12c [(n －1)b －(n －2)a ]＝12c [(b －a )n ＋(2a －b )]，∴S n ＋1－S n ＝12c [(b －a )(n ＋1)＋(2a －b )－(b －a )n －(2a －b )]＝12c (b －a )，∴数列{S n }是等差数列． 答案 A7.解析 由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n .又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1. 答案 A8.解析 由于此题为选择题，可用特值排除法找正确选项． 对选项A ，当a ＝b ＝10，c ＝－110时，可排除此选项； 对选项B ，当a ＝10，b ＝－100，c ＝0时，可排除此选项； 对选项C ，当a ＝10，b ＝－10，c ＝0时，可排除此选项． 故选D. 答案 D9.解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)．准线为x ＝－1，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9. 答案 910.解析 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1 ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，∴A ＝2，b ＝1. 答案2 111.解析 由三视图可知，该几何体为两个相同长方体的组合，长方体的长、宽、高分别为4 cm 、2 cm 、2 cm ，其直观图如下：其体积V ＝2×2×2×4＝32(cm 3)，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为S ＝2(2×2×2＋2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm 2)． 答案 72 3212.解析 设log b a ＝t ，则t ＞1，因为t ＋1t ＝52，解得t ＝2，所以a ＝b 2，①因此a b ＝b a ⇒b 2b＝2b b ，②解得b ＝2，a ＝4. 答案 4 213.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a 1＋1，a 2＋a 1＝4，解得a 1＝1，a 2＝3，当n ≥2时，由已知可得： a n ＋1＝2S n ＋1，① a n ＝2S n －1＋1，②①－②得a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，又a 2＝3a 1， ∴{a n }是以a 1＝1为首项，公比q ＝3的等比数列． ∴S 5＝1－1×351－3＝121.答案 1 12114.解析 设PD ＝DA ＝x ，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°， ∴AC ＝AB 2＋BC 2－2·AB ·BC ·cos ∠ABC ＝4＋4－2×2×2×cos 120°＝23，∴CD ＝23－x ，且∠ACB ＝12(180°－120°)＝30°，∴S △BCD ＝12BC ·DC ×sin ∠ACB ＝12×2×(23－x )×12＝12(23－x )．要使四面体体积最大，当且仅当点P 到平面BCD 的距离最大，而P 到平面BCD 的最大距离为x .则V 四面体PBCD ＝13×12(23－x )x ＝16[－(x －3)2＋3]，由于0＜x ＜23，故当x ＝3时，V 四面体PBCD 的最大值为16×3＝12.答案 1215.解析 由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |， 由于上式对任意单位向量e 都成立． ∴6≥|a ＋b |成立．∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b . 即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.答案 1216.(1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)解 由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，由sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.17.(1)证明 延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ，所以，AC ⊥平面BCFE ，因此BF ⊥AC . 又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK ， 且CK ∩AC ＝C ， 所以BF ⊥平面ACFD .(2)解 方法一 过点F 作FQ ⊥AK 于Q ，连接BQ . 因为BF ⊥平面ACFD ，所以BF ⊥AK ， 则AK ⊥平面BQF ，所以BQ ⊥AK . 所以∠BQF 是二面角B-AD-F 的平面角． 在Rt △ACK 中，AC ＝3，CK ＝2，得FQ ＝31313.在Rt △BQF 中，FQ ＝31313，BF ＝3，得cos ∠BQF ＝34. 所以，二面角B-AD-F 的平面角的余弦值为34. 方法二 如图，延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，则△BCK 为等边三角形．取BC 的中点O ，连接KO ，则KO ⊥BC ，又平面BCFE ⊥平面ABC ，所以KO ⊥平面ABC . 以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz .由题意得B (1,0,0)，C (－1,0,0)，K (0,0，3)，A (－1，－3，0)，E ⎝⎛⎫12，0，32，F ⎝⎛⎭⎫－12，0，32.因此，AC →＝(0,3,0)，AK →＝(1,3，3)，AB →＝(2,3,0)．设平面ACK 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABK 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·m ＝0，AK →·m ＝0，得⎩⎨⎧3y 1＝0，x 1＋3y 1＋3z 1＝0，取m ＝(3，0，－1)；由⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，AK →·n ＝0，得⎩⎨⎧2x 2＋3y 2＝0，x 2＋3y 2＋3z 2＝0，取n ＝(3，－2，3)．于是，cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝34.所以，二面角B-AD-F 的平面角的余弦值为34. 18.解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )＞0， 当x ＞1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以，使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围是[2,2a ]．(2)①设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2，则f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2，所以，由F (x )的定义知m (a )＝min {}f (1)，g (a )，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a ＞2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )≤f (x )≤max {}f (0)，f (2)＝2＝F (2)． 当2<x ≤6时，F (x )≤g (x )≤max {}g (2)，g (6) ＝max {}2，34－8a ＝max {}F (2)，F (6). 当a ≥4时，34－8a ≤2； 当3≤a <4时，34－8a >2，所以M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a ＜4，2，a ≥4.19.解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0， 故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2，因此|AM |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2. 由(1)知|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由于k 1≠k 2，k 1，k 2＞0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝⎛⎭⎫1k 21＋1⎝⎛⎭⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)，① 因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2. 因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2， 由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0<e ≤22.所以离心率的取值范围是(0，22)． 20.证明 (1)由⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1得|a n |－12|a n ＋1|≤1，故|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1≤12n ，n ∈N *， 所以|a 1|21－|a n |2n ＝⎝⎛⎭⎫|a 1|21－|a 2|22＋⎝⎛⎭⎫|a 2|22－|a 3|23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n －1|2n －1－|a n |2n ≤121＋122＋…＋12n －1＜1， 因此|a n |≥2n －1(|a 1|－2)．(2)任取n ∈N *，由(1)知，对于任意m ＞n ，|a n |2n －|a m |2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n ＋1|2n ＋1－|a n ＋2|2n ＋2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a m －1|2m －1－|a m |2m ≤12n ＋12n ＋1＋…＋12m －1＜12n －1， 故|a n |＜⎝⎛⎭⎫12n －1＋|a m |2m ·2n ≤⎣⎡⎦⎤12n －1＋12m ·⎝⎛⎭⎫32m ·2n ＝2＋⎝⎛⎭⎫34m ·2n .从而对于任意m ＞n ，均有|a n |＜2＋⎝⎛⎭⎫34m ·2n . 由m 的任意性得|a n |≤2.① 否则，存在n 0∈N *，有|0n a |＞2，取正整数m 0＞0034||2log 2n n a -且m 0＞n 0，则02n ·⎝⎛⎭⎫340m ＜02n ·034||2log 23()4n a -＝|0n a |－2，与①式矛盾．综上，对于任意n ∈N *，均有|a n |≤2.。

2016年宁波市高三“十校”联考数学（理科）说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.台体的体积公式：121()3V h S S =，其中1S 、2S 分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高.球的表面积公式：24S R π=,球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设a R ∈,则“1a <”是“11a>” （ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2. 已知集合2{|120}M x x x =+-≤，{|3,1}x N y y x ==≤，则集合{|x x M ∈且}x N ∉为 （ ▲ ） A . (0,3] B ．[4,3]- C ．[4,0)- D ．[4,0]- 3．如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ▲ ） A．BC. D4.已知抛物线24x y =，过焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点（点A 在第一象限），若直俯视图正视图侧视图线l 的倾斜角为30o ，则||||AF BF 等于 （ ▲ ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．325．已知命题p ：函数2()|2cos 1|f x x =-的最小正周期为π；命题q ：若函数(2)f x -为奇函数，则()f x 关于(2,0)-对称.则下列命题是真命题的是 （ ▲ ） A ．p q ∧ B ． p q ∨ C ．()()p q ⌝⌝∧ D ．()p q ⌝∨6. 设n S 是公差为(0)d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误．．的是（ ▲ ） A ．若0d <，则数列{}n S 有最大项 B ．若数列{}n S 有最大项，则0d <C ．若数列{}n S 是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0n S >D ．若对任意*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列7．已知O 为三角形ABC 内一点，且满足(1)0OA OB OC λλ++-=u u u r u u u r u u u r r，若OAB △的面积与OAC △的面积比值为13，则λ的值为 （ ▲ ） A .32B . 2C . 13D .128.已知函数24()(0)1xf x x x x x =--<-,2()2(0),R g x x bx x b =+->∈.若()f x 图象上存在,A B 两个不同的点与()g x 图象上,A B ''两点关于y 轴对称，则b 的取值范围为（ ▲ ）A ．(5)--+∞，B ．5)+∞，C ．(51)-，D ．51)， 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、 填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．9.已知圆22:250M x y x +++-=，则圆心坐标为 ▲ ；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为 ▲ .10. 已知单调递减的等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项，则公比q = ▲ ，通项公式为n a = ▲ . 11.已知函数21()cos cos ,R 2f x x x x x =--∈，则函数()f x 的最小值为 ▲ ， 函数()f x 的递增区间为 ▲ .12. 已知实数,m n ，且点(1,1)在不等式组2,22,1.mx ny ny mx ny +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域内，则2m n +的取值范围为 ▲ ，22m n +的取值范围为 ▲ . 13. 已知,(0,)2x y π∈，且有2sin x y =，tan x y =，则cos x = ▲ . 14. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过2F 的直线交双曲线的右支于,P Q 两点，若112||||PF F F =，且223||2||PF QF =，则该双曲线的离心率为 ▲ . 15.如图，正四面体ABCD 的棱CD 在平面α上，E 为棱BC 的中点.当正四面体ABCD 绕CD 旋转时，直线AE 与平面α所成最大角的正弦值为 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且向量(54,4)m a c b =-u r与向量(cos ,cos )n C B =r共线.（Ⅰ）求cos B ；（Ⅱ）若5b c a c ==<，，且2AD DC =u u u r u u u r，求BD 的长度.αA B C D E17．（本题满分15分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为1CC 和1A B 的中点，11A D CC ⊥，侧面11ABB A 为菱形且160oBAA ∠=，112AA A D ==，1BC =．（Ⅰ）证明：直线MD ∥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角1B AC A --的余弦值． 18．（本题满分15分）对于函数()f x ，若存在区间[,]()A m n m n =<，使得{|(),}y y f x x A A =∈=，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．已知函数2()2(,R)f x x ax b a b =-+∈.（Ⅰ）若01b a ==，，()|()|g x f x =是“可等域函数”，求函数()g x 的“可等域区间”； （Ⅱ）若区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间”，求a 、b 的值.19．（本题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右顶点12,A A ，椭圆上不同于12,A A 的点P ,1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49-，12PA A △面积最大值为6.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；1B1C1ACBADM（Ⅱ）若椭圆E 的所有弦都不能被直线:(l y k x =- 20．（本题满分15分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足13n n S n r a =+. （Ⅰ）若1=2a ，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设*211(N )n n b n a -=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证：231n nT n ≥+.2016年宁波高三“十校”联考数学（理科）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． 1．B 2. D 3．C 4. A 5．B 6. C 7．A 8．D二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算． 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9. (1,-， 0x += 10.12，611232()2n n n a --==⋅ 11. 2-，[,](Z)63k k k ππππ-++∈ 12.3[,4]2，[1,4]13.12 14. 7515三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且向量(54,4)m a c b =-u r与向量(cos ,cos )n C B =r共线.（Ⅰ）求cos B ；（Ⅱ）若5b c a c ==<，，且2AD DC =u u u r u u u r，求BD 的长度.解：（Ⅰ）(45,5)m a c b =-Q 与(cos ,cos )n C B =r共线，54cos 5sin 4sin 4cos 4sin a c C A Cb B B--∴==4sin cos 4cos sin 5sin cos B C B C A B ∴+= 4sin()4sin 5sin cos B C A A B ∴+==Q 在三角形ABC △中，sin 0A ≠4cos 5B ∴=……………………………………………………7分（Ⅱ）5b c a c ==<，且4cos 5B =2222cos a c ac B b ∴+-=即242525105a a ∴+-⋅⋅=解得35a a ==或（舍）……………………………………………9分2AD DC =u u u r u u u r Q 1233BD BA BC ∴=+u u ur u u u r u u u r22222141214122c 2cos 99339933BD BA BC BA BC a a c B ∴=++⋅⋅•=++⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r将3a =和5c =代入得：21099BD =u u u r=3BD ∴……………………………………………14分 17．（本题满分15分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为1CC 和1A B 的中点，11A D CC ⊥，侧面11ABB A 为菱形且160oBAA ∠=，112AA A D ==，1BC =．（Ⅰ）证明：直线MD ∥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角1B AC A --的余弦值．解：∵11A D CC ⊥，且D 为中点，11AA A D =∴ 111AC AC AC ==， 又 11,2BC AB BA ===， ∴ 1,CB BA CB BA ⊥⊥，又 1BA BA B =I ，∴CB ⊥平面11ABB A ， 取1AA 中点F ，则1BF AA ⊥，即1,,BC BF BB 两两互相垂直， 以B 为原点，1,,BB BF BC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图，1B1C1ACADM1A∴11113(2,0,0),(0,0,1),(1,3,0),(1,3,0),(2,0,1),(1,0,1),(,,0)2B C A A C D M -5分 （Ⅰ）设平面ABC 的法向量为(,,)x y z =m ，则30BA x y ⋅=-+=u u u rm ，0BC z ⋅==u u u rm ，取(3,1,0)=m ， ∵ 13(,,1)22MD =-u u u u r ，330022MD ⋅=-+=u u u u r m ， ∴ MD ⊥u u u u rm ，又MD ⊄平面ABC ， ∴直线MD ∥平面ABC ． …… 9分（Ⅱ）设平面1ACA 的法向量为111(,,)x y z =n ，1(1,3,1),(2,0,0)AC AA =-=u u u r u u u r， 11130AC x y z ⋅=-+=u u u rm ，110AA x ⋅==u u u r m ， 取(0,1,3)=n ，又由（Ⅰ）知平面ABC 的法向量为(3,1,0)=m ，设二面角1B AC A --为θ， ∵ 二面角1B AC A --为锐角，∴11cos ||||||224θ⋅===⋅⋅m n m n ，∴ 二面角1B AC A --的余弦值为14． ………… 15分 18．（本题满分15分）对于函数()f x ，若存在区间[,]()A m n m n =<，使得{|(),}y y f x x A A =∈=，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．已知函数2()2(,R)f x x ax b a b =-+∈.（Ⅰ）若01b a ==，，()|()|g x f x =是“可等域函数”，求函数()g x 的“可等域区间”；（Ⅱ）若区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间”，求a 、b 的值.解：（Ⅰ）01b a ==，，2()|2|g x x x =-是“可等域函数”22()|2|=|(1)1|0g x x x x =---≥Q ，0n m ∴>≥结合图象，由()g x x =得0,1,3x = 函数()g x 的“可等域区间”为[0,1],[0,3] 当12m n ≤≤≤时，()1g x ≤，不符合要求y（此区间没说明，扣1分）……………………7分 （Ⅱ）222()2()f x x ax b x a b a =-+=-+-因为区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间，所以11a +>即0a >当01a <≤时，则(1)1(1)1f f a a =⎧⎨+=+⎩得12a b =⎧⎨=⎩；…………………………10分当12a <≤时，则()1(1)1f a f a a =⎧⎨+=+⎩无解；………………………………12分当2a >时，则()1(1)1f a f a =⎧⎨=+⎩得2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.…………………………15分 19．（本题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右顶点12,A A ，椭圆上不同于12,A A 的点P ,1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49-，12PA A △面积最大值为6.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若椭圆E 的所有弦都不能被直线:(l y k x =-解：（Ⅰ）由已知得12(,0),(,0)A a A a -,(,)P x y ，1A P Q ,2A P 两直线的斜率之积为49-122249A P A P y y b k k x a x a a ∴==-=--+g g 12PA A △的面积最大值为1262a b ⋅⋅=所以32a b =⎧⎨=⎩所以椭圆E 的方程为：22194x y +=…………………………6分 （Ⅱ）假设存在曲线E 的弦CD 能被直线:(1)l y k x =-垂直平分当0k =显然符合题 …………8分xO当0k ≠时，设(,),(,)C C D D C x y D x y ，CD 中点为00(,)T x y 可设CD ：1y x m k=-+ 与曲线22194x y E +=：联立得：2229(4)189360m x x m k k+-+-=， 所以0∆>得222490k m k -+>……（1）式…………………………10分 由韦达定理得：0218249C D kmx x x k +==+，所以02949km x k =+，代入1y x m k=-+得202449k my k =+ 00(,)T x y 在直线:(1)l y k x =-上，得2549km k =+……（2）式…………………12分将（2）式代入（1）式得：24925k +<，得24k <，即22k -<<且0k ≠……14分 综上所述，k 的取值范围为(,2][2,)k ∈-∞-+∞U .20．（本题满分15分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足13n n S n r a =+. （Ⅰ）若1=2a ，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设*211(N )n n b n a -=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证：231n nT n ≥+...;. 解：（Ⅰ）令1n =，得113r +=，所以23r =， ……………1分 则12()33n n S n a =+，所以1111()(2)33n n S n a n --=+≥， 两式相减，得11(2)1n n a n n a n -+=≥-， ……………3分 所以324123134511231n n a a a a n a a a a n -+⋅⋅=⋅⋅-L L ，化简得1(1)(2)12n a n n n a +=≥⋅， 所以2(2)n a n n n =+≥， ……………6分又12a =适合2(2)n a n n n =+≥，所以2n a n n =+. ……………7分（构造常数列等方法酌情给分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知21(21)2n a n n -=-⋅，所以211111(21)2212n n b a n n n n-===---， 11223+1T ∴=≥不等式成立 11111111(2)123456212n T n n n∴=-+-+-++-≥-L 111111*********=1232242123212n T n n n n ∴=++++-+++++++-+++L L L L （）（）111122n T n n n∴=+++++L ……………………………………10分 111111112()()()()122212121n T n n n n n k n k n n ∴=+++++++++++-+-++L L 1131421()(21)31n n k n k n k n k n ++=≥+-++-++Q （仅在12n k +=时取等号） 4231n n T n ∴≥+即结论231n n T n ≥+成立………………………………15分 （数学归纳法按步骤酌情给分）。

浙江省温州市2016届高三返校联考数学（理科）试题卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名；2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：球的表面积公式24SR π=，其中R 表示球的半径． 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径．柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．台体的体积公式121()3V h S S =+，其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．第I 卷(选择题 共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合}5,3,2{=A ，集合{}1,3,4,6,7B =， 则集合B C A U =（ ）A ．}3{B ．{}2,5C ．}5,3,2{D ．}8,5,3,2{2．直线1:(1)10l a x y -+-=和2:320l x ay ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A ．12 B ．32C ．14 D ．343．已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．设2:<x p ，1log :2<x q ，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积是（ ）A ．4B ．8C ．34 D ．38 6．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，其中*N n ∈，则下列命题错误的是（ ） A ．若0>n a ，则n S 0>B ．若n S 0>，则0>n aC ．若0>n a ，则}{n S 是单调递增数列D ．若}{n S 是单调递增数列，则0>n a7．若实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤-0040x y x y x ，则|34||28|x y x y +-+++的最小值是（ ）A ．11B ．12C ．16D ．188．已知⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=1|,)1(log |1,222)(2x x x x f x ，则方程2)]([=x f f 实数根的个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：（本大题共7小题, 前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分。

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学(理科)本试卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至6页.满分150分，考试时间120分钟. 考生注意:1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别书写在试卷和答题纸规定的位置上.2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上书写作答，在本试卷上作答，一律无效.选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{13}P x x =∈R ≤≤，2{4}Q x x =∈R ≥，则()P Q =R( )A . []2,3B . (]2,3-C . [)1,2D . (][),21,-∞-+∞2．已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m α∥，n β⊥，则 ( ) A . m l ∥ B . m n ∥ C . n l ⊥D . m n ⊥2．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域20,0,340,x x y x y -⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则||AB =( )A . 22B . 4C . 32D . 6 4．命题“*x n ∀∈∃∈R N ，，使得2n x >”的定义形式是( )A . *x n ∀∈∃∈R N ，，使得2n x <B . *x n ∀∈∀∈R N ，，使得2n x <C . *x n ∃∈∃∈R N ，，使得2n x <D . *x n ∃∈∀∈R N ，，使得2n x <5.设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期( )A . 与b 有关，且与c 有关B . 与b 有关，但与c 无关C . 与b 无关，且与c 无关D . 与b 无关，但与c 有关6.如图，点列{},{}n n A B 分别在某锐角的两边上，且112||||n n n n A A A A +++=，2n n A A +≠，*n ∈N ，112||||n n n n B B B B +++=，2n n B B +≠，*n ∈N （P Q ≠表示点P 与Q 不重合），若||n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则( )A . {}n S 是等差数列B . 2{}nS 是等差数列 C . {}n d 是等差数列 D . 2{}nd 是等差数列 7. 已知椭圆()212211x m C y m +=>：与双曲线()2222–10n x C y n=>：的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则( )A . 121m n e e >>且B . 121m n e e ><且C . 121m n e e <>且D . 121m n e e <<且 8. 已知实数a ，b ，c .( )A . 若22|||1|a b c a b c +++++≤，则222100a b c ++<B . 若22|||1|–a b c a b c ++++≤，则222100a b c ++<C . 若22|||–1|a b c a b c ++++≤，则222100a b c ++<D . 若22|||–1|a b c a b c ++++≤，则222100a b c ++<非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 9. 若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______. 10. 已知()()2sin 2cos i 20s n x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =________. 11. 某几何体的三视图如图所示（单位:cm ），则该几何体的表面积是______cm 2，体积是______cm 3.12. 已知1a b >>.若log lo 52g a b b a +=，b a a b =，则a = ，b = . 13. 设数列{}n a 的前n 项和为n S 若21421n n S a S n +==+∈*N ，，，则1a = ，5S = .14. 如图，在ABC △中，2120AB BC ABC ==∠=︒，.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD DA PB BA ==，，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .15. 已知向量a ，b ，|a |=1，|b |=2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |+|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是 .-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________三、解答题:本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分14分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2cos b c a B +=. （Ⅰ）证明:2A B =； （Ⅱ）若ABC △的面积2=4aS ，求角A 的大小.17.（本小题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面BCFE ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，BE =1EF FC ==，2BC =，3AC =.（Ⅰ）求证:BF ⊥平面ACFD ；（Ⅱ）求二面角B AD F --的平面角的余弦值.18.（本小题满分15分） 已知3a ≥，函数2{||min 2}1242F x x x ax a =--+-（），，其中,min{}.,p p q q p q p q ⎨⎩=⎧≤，＞， （Ⅰ）求使得等式2242F x x ax a =-+-（）成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（i ）求()F x 的最小值()m a ； （ii ）求()F x 在区间[0,6]上的最大值()M a .19.（本小题满分15分）如图，设椭圆22211x y a a+=（＞）.（Ⅰ）求直线1y kx =+被椭圆截得的线段长（用a ，k 表示）；（Ⅱ）若任意以点0,1A （）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.20.（本小题满分15分）设数列{}n a 满足1||12n n a a +-≤，n ∈*Ν. （Ⅰ）证明：112(||2)n n a a --≥，n ∈*Ν；（Ⅱ）若3||2nn a ≤（），n ∈*Ν，证明：||2n a ≤，n ∈*Ν.2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学答案解析选择题部分一、选择题 1.【答案】B【解析】2{|}{Q x x 4x |x 2x 2}=∈≥=∈≥≤R R 或﹣，即有R{|Q x 2}x 2-=∈<<R ，则R P(Q)23](,=-【提示】运用二次不等式的解法，求得集合Q ，求得Q 的补集，再由两集合的并集运算，即可得到所求 【考点】并集及其运算 2.【答案】C【解析】∵互相垂直的平面α，β交于直线l ，直线m ，n 满足m α∥，∴m β∥，m ⊆β或m ⊥β，l ⊆β，∵n ⊥β，∴n l ⊥．故选：C ． 【提示】由已知条件推导出l ⊆β，再由n ⊥β，推导出n l ⊥ 【考点】直线与平面垂直的判定 3.【答案】C【解析】做出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），区域内的点在直线x y 20+-=上的投影构成线段R Q ''，即SAB ，而R Q RQ ''=，由x 3y 44x y 0-+=⎧⎨+=⎩得x 1y 1=-⎧⎨=⎩，即Q(1,1)-，由x 2x y 0=⎧⎨+=⎩得x 2y 2=⎧⎨=-⎩，即R(2,2)﹣，则AB QR ==故选：C【提示】做出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可 【考点】简单线性规划的应用． 4.【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“x ∀∈R ，n ∃∈*N ，使得2n x ≥”的否定形式是：x ∃∈R ，n ∀∈*N ，使得2n x <.故选：D ．【提示】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【考点】命题的否定． 5.【答案】B【解析】∵设函数2f (x)sin x bsinx c =++，∴c 是图像的纵坐标增加了c ，横坐标不变，故周期与c 无关，当b 0=时，211f (x)sin x bsinx c cos2x c 22=++=-++的最小正周期为2πT π2==，当b 0≠时，11f x cos2x bsinx c 22=-+++（）， ∵y cos2x =的最小正周期为π，y bsinx =的最小正周期为2π， ∴f (x)的最小正周期为2π，故f (x)的最小正周期与b 有关，故选：B. 【提示】根据三角函数的图像和性质即可判断 【考点】三角函数的周期性及其求法． 6.【答案】A【解析】设锐角的顶点为O ，1|OA |a =，1|OB |b =，n n 1n 1n 2A A A |||A b |+++==，n n 1n 1n 2B B B |||B d |+++==，由于a ，b 不确定，则n {d }不一定是等差数列，2n {d }不一定是等差数列，设n n n 1A B B +△的底边n n 1B B +上的高为n h ，由三角形的相似可得n n n 1n 1h OA a (n 1)bh OA a nb+++-==+，n 2n 2n 1n 1h OA a (n 1)bh OA a nb++++++==+， 两式相加可得n n 2n 1h h 2a 2b2h a nb ++++==+，即有n n 2h h 2++=，由n n 1S d h 2=，可得n n 2n 1S S 2S +++=，即为n 2n 1n 1n S S S S +++-=-，则数列n {S }为等差数列．故选：A ．【提示】设锐角的顶点为O ，1|OA |a =，1|OB |b =，n n 1n 1n 2A A A |||A b |+++==，n n 1n 1n 2B B B |||B d |+++==，由于a ，b 不确定，判断C ，D 不正确，设n n n 1A B B +△的底边n n 1B B +上的高为n h ，运用三角形相似知识，n n 2n 1h h 2h +++=，由n n 1S d h 2=，可得n n 2n 1S S 2S +++=，进而得到数列n {S }为等差数列 【考点】数列与函数的综合． 7.【答案】A【解析】∵椭圆2212C y 1,(x 1m ):m +=>与双曲线2222C y 1,(x )m0:n =->的焦点重合，∴满足222c m 1n 1-==+，即22m n 20-=>，∴22m n >，则m n >，排除C ，D 则222c m 1m -=<，222c n 1n =+>，则c m <、c n >，1c e m =，2ce n=， 则212c c c e e m n mn==， 则221222222222222222222c c (e e m n m n (m 1)(n 1)m n (m n )1m m n m n n 111m n )11-+----⎛⎫==⎛⎫= ⎪⎝⎭=+=+> ⎪⎝⎭∴12e e 1>，故选：A ．【提示】根据椭圆和双曲线有相同的焦点，得到222c m 1n 1-==+，即22m n 2-=，进行判断，能得m n>，求出两个离心率，先平方进行化简进行判断即可 【考点】椭圆的简单性质，双曲线的简单性质． 8.【答案】D【解析】A ．设a b 10==，c 110=-，则22a b c ||a c 1||b 0+++++=≤，222a b c 100++>；B ．设a 10=，b 100=-，c 0=，则22a b c ||a b c 0|1|++++-=≤，222a b c 100++>；C ．设a 100=，b 100=-，c 0=，则22a b c a b c 0|||1|+++-=≤+，222a b c 100++>；故选：D ．【提示】本题可根据选项特点对a ，b ，c 设定特定值，采用排除法解答 【考点】命题的真假判断与应用．非选择题部分二、填空题 9.【答案】9【解析】解：抛物线的准线x 1=-，∵点M 到焦点的距离为10，∴点M 到准线x 1=-的距离为10，∴点M 到y 轴的距离为9，故答案为：9【提示】根据抛物线的性质得出M 到准线x 1=-的距离为10，故到y 轴的距离为9 【考点】抛物线的简单性质． 10.【解析】∵22cos x sin2x 1cos2x sin2x +=++1122⎫=+++⎪⎪⎭π2x 14⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴A =b 1=【提示】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案 【考点】两角和与差的正弦函数． 11.【答案】72 32【解析】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm 的小正方体所构成的，则其表面积为222(246)72cm ⨯-=，其体积为34232⨯=，故答案为：72，32【提示】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm 的小正方体所构成的，代入体积公式和面积公式计算即可． 【考点】由三视图求面积、体积 12.【答案】4 2【解析】解：设b t log a =，由a b 1>>知t 1>，代入a b 5log b log a 2+=得15t t 2+=，即22t 5t 20-+=，解得t 2=或1t 2=（舍去），所以b log a 2=，即2a b =，因为b a a b =，所以2b a b b =，则2a 2b b ==，解得b 2=，a 4=， 故答案为：4；2.【提示】设b t log a =并由条件求出t 的范围，代入a b 5log b log a 2+=化简后求出t 的值，得到a 与b 的关系式代入b a a b =化简后列出方程，求出a 、b 的值． 【考点】对数的运算性质． 13.【答案】1 121【解析】由n 1=时，11a S =，可得211a 2S 12a 1=+=+，又2S 4=，即12a a 4+=， 即有13a 14+=，解得1a 1=；由n 1n 1n a S S ++-=，可得n 1n S 3S 1+=+，由2S 4=，可得3S 34113=⨯+=，4S 313140=⨯+=，5S 3401121=⨯+= 故答案为：1，121.【提示】运用n 1=时，11a S =，代入条件，结合2S 4=，解方程可得首项；再由n 1>时，n 1n 1n a S S ++-=，结合条件，计算即可得到所求和．【考点】数列的概念及简单表示法． 14.【答案】12【解析】如图，M 是AC 的中点．①当AD t AM3=<=时，如图，此时高为P 到BD 的距离，也就是A 到BD 的距离，即图中AE ，DM t =，由ADE BDM △∽△，可得h 1， ∴h =，22211t 13(3t)V (23t)1326(3t)1(3t)--=-=-+-+，t ∈ ②当AD t AM 3=>=时，如图，此时高为P 到BD 的距离，也就是A 到BD 的距离，即图中AH ，DM t =，由等面积，可得11AD BM BD AH 22=，∴11t 1(t 22= ∴h =，∴22211t 13(3t)V (23t)1326(3t)1(3t)--=-=-+-+，t ∈综上所述，213(3V 6(3t)--=-，t ∈令[)m 1,2则214m V 6m-=，∴m 1=时，max 1V 2=． 故答案为：12【提示】由题意，ABD PBD △≌△，可以理解为PBD △是由△ABD 绕着BD 旋转得到的，对于每段固定的AD ，底面积BCD 为定值，要使得体积最大，PBD △必定垂直于平面ABC ，此时高最大，体积也最大． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．15.【答案】12【解析】∵(a b)e a e b e a e b e 6+=+≤+≤，∴(a b)e a b 6+=+≤，平方得：22a b 2a b 6++≤，即22122a b 6++≤，则1a b 2≤，故a b 的最大值是12，故答案为：12．【提示】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论 【考点】平面向量数量积的运算． 三、解答题16.【答案】（Ⅰ）由正弦定理得sinB sinC 2sinAcosB +=2sinAcosB sinB sin(A B)sinB sinAcosB cosAsinB =++=++，于是sinB sin(A B)=-又A,B (0,π)∈， 故0A B π<-<，所以B π(A B)=--或B A B =-， 因此A π=（舍去）或A 2B =， 所以，A 2B =（Ⅱ）由2a S 4=得21a absinC 24=，故有1sinBsinC sin2B sinBcosB 2==， 因sinB 0≠，得sinC cosB =．又B,C (0,π)∈，所以C B 2π=±．当πB C 2+=时，πA 2=；当πC B 2-=时，πA 4=．综上，πA 2=或πA 4=．【提示】（Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明A 2B =（Ⅱ）若ABC △的面积2a S 4=，则21a absinC 24=，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A 的大小．【考点】余弦定理，正弦定理．17.【答案】解：（Ⅰ）延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示． 因为平面BCFE ABC ⊥平面，且AC BC ⊥， 所以，AC ⊥平面BCK ， 因此，BF AC ⊥．又因为EFBC ∥，BE EF FC 1===，BC 2=， 所以BCK △为等边三角形，且F为CK 的中点， 则BF CK ⊥，所以BF ⊥平面ACFD ．（Ⅱ）过点F 作FQ AK ⊥，连结BQ ． 因为BF ⊥平面ACK ，所以BF AK ⊥，则AK ⊥平面BQF ， 所以BQ AK ⊥．所以BQF ∠是二面角B AD F --的平面角． 在Rt ACK △中，AC 3=，CK 2=，得FQ 在Rt BQF △中，FQ =BF =，得cos BQF ∠=所以，二面角B AD F --的平面角的余弦值为4．【提示】（Ⅰ）先证明BF AC ⊥，再证明BF CK ⊥，进而得到BF ⊥平面ACFD ． （Ⅱ）先找二面角B AD F --的平面角，再在Rt BQF △中计算，即可得出； 【考点】二面角的平面角及求法，空间中直线与直线之间的位置关系． 18.【答案】解：（Ⅰ）由于a 3≥，故当x 1≤时，22(x 2ax 4a 2)2x 1x 2(a 1)(2x)0-+---=+-->，当x 1>时，2(x 2ax 4a 2)2x 1(x 2)(x 2a)-+---=--．所以，使得等式2F(x)x2ax 4a 2=-+-成立的x 的取值范围为[2,2a]．（Ⅱ）（ⅰ）设函数f (x)2x 1=-，2g(x)x 2ax 4a 2=-+-，则min f (x)f (x)0==，2min g(x)g(a)a 4a 2==-+-，所以，由F(x)的定义知{}m(a)min f (1),g(a)=，即20,3a 2m(a)a 4a 2,a 2⎧≤≤+⎪=⎨-+->+⎪⎩ （ⅱ）当0x 2≤≤时，{}F(x)f (x)max f (0),f (2)2F(2)≤≤==，当2x 6≤≤时，F(x)g(x)max{g(2),g(6)}max{2,348a}max{F(2),F(6)}≤≤=-=．所以，348a,3a 4M(a)2,a 4-≤<⎧=⎨≥⎩． 【提示】（Ⅰ）由a 3≥，讨论x 1≤时，x 1>，去掉绝对值，化简2x 2ax 4a 22x 1-+---，判断符号，即可得到2F(x)x 2ax 4a 2=-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（ⅰ）设f (x)2x 1=-，2g(x)x 2ax 4a 2=-+-，求得f (x)和g(x)的最小值，再由新定义，可得F(x)的最小值；（ⅱ）分别对当0x 2≤≤时，当2x 6<≤时，讨论F(x)的最大值，即可得到F(x)在[0,6]上的最大值M【考点】函数最值的应用，函数的最值及其几何意义．19.【答案】解：（Ⅰ）设直线y kx 1=+被椭圆截得的线段为AP ，由222y kx 1x y 1a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(1a k )x 2a kx 0++=，故1x 0=，22222a k x 1a k =-+．因此2212222a k AP x 1k 1a k =-=++．（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，2k 0>，12k k ≠．由（Ⅰ）知，1AP =2AQ =12=，所以22222222121212(k k )[1k k a (2a )k k ]0-+++-=．由于12k k ≠，1k ，2k 0>得22222212121k k a (2a )k k 0+++-=，因此22221211111a (a 2)k k ⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭①因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是：221a (a 2)1+->，所以a >因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a 2<≤，由c e a ==得，所求离心率的取值范围为0e 2<≤【提示】（Ⅰ）联立直线y kx 1=+与椭圆方程，利用弦长公式求解即可．（Ⅱ）写出圆的方程，假设圆A 与椭圆由4个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任意A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，a 的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围．【考点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合． 20.【答案】解：（Ⅰ）由n 1n a a 12+-≤得n n 11a a 12+-≤，故n n 1n n 1n a a 1222++-≤，n ∈*Ν， 所以1n1223n 1n 1n 1223n 1n 12n 1a a a a a a a a 111122222222222---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+-≤++⋅⋅⋅+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因此n 1n 1a 2(a 2)-≥-．（Ⅱ）任取n ∈*Ν，由（Ⅰ）知，对于任意m n >，n m n n 1n 1n 2m 1m nmnn 1n 1n 2m 1m n n 1m 1n 1a a a a a a a a 1111222222222222+++-+++-+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+-≤++⋅⋅⋅+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故m mm n n nn n 1m n 1m a 11133a 2222222224--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+≤+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦．从而对于任意m n >，均有mn n 3a 224⎛⎫<+ ⎪⎝⎭．由m 的任意性得n a 2≤①否则，存在0n ∈*Ν，有0n a 2>，取正整数00n 03n 4a 2m log 2->且00m n >，则n 003n 040a 2m log 2m n n 3322a 244-⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与①式矛盾．综上，对于任意n ∈*Ν，均有n a 2≤ 【提示】（Ⅰ）使用三角不等式得出n 1n a a 12+-≤，变形得n n 1n n 1na a 1222++-≤，使用累加法可求得n n 11a a 12+-≤，即结论成立； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论得出n m n m n 1a a 1222--<，进而得出mn n 3a 224⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，利用m 的任意性可证n a 2≤ 【考点】数列与不等式的综合。

2016年高考浙江卷数学（理）试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
【答案】A
8.已知实数a，b，c
A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100
B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2<100
C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2<100
D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2<100
【答案】D
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．
【答案】9
11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3.
【答案】72,32
【答案】1,121
14.如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是
E
D
C
B
A
P。

2016年市高三“十校”联考数学（理科）说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.台体的体积公式：121()3V h S S =，其中1S 、2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高.球的表面积公式：24S R π=,球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设a R ∈,则“1a <”是“11a>”（▲） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2.已知集合2{|120}M x x x =+-≤，{|3,1}x N y y x ==≤，则集合{|x x M ∈且}x N ∉为（▲）A . (0,3]B ．[4,3]-C ．[4,0)-D ．[4,0]-3．如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（▲）A ．BC .D4.已知抛物线24x y =，过焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点（点A 在第一象限），若直线l 的倾斜角为30，则||||AF BF 等于（▲） A ．3B ．52C ．2D ．325．已知命题p ：函数2()|2cos 1|f x x =-的最小正周期为π；命题q ：若函数(2)f x -为奇函数，则()f x 关于(2,0)-对称.则下列命题是真命题的是（▲）A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()()p q ⌝⌝∧ D ．()p q ⌝∨6. 设n S 是公差为(0)d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误．．的是（▲） A ．若0d <，则数列{}n S 有最大项 B ．若数列{}n S 有最大项，则0d <C ．若数列{}n S 是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0n S >D ．若对任意*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列7．已知O 为三角形ABC 一点，且满足(1)0OA OB OC λλ++-=，若OAB △的面积与OAC △的面积比值为13，则λ的值为（▲）A .32B . 2C .13 D . 128.已知函数24()(0)1xf x x x x x =--<-,2()2(0),R g x x bx x b =+->∈.若()f x 图象上存在,A B 两个不同的点与()g x 图象上,A B ''两点关于y 轴对称，则b 的取值围为（▲）A．(5)--+∞，B．5)+∞，C．(51)--，D．51)， 第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．9.已知圆22:250M x y x +++-=，则圆心坐标为▲；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为▲.10.已知单调递减的等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项， 则公比q =▲，通项公式为n a =▲. 11.已知函数21()cos cos ,R 2f x x x x x =--∈，则函数()f x 的最小值为▲，函数()f x 的递增区间为▲.12.已知实数,m n ，且点(1,1)在不等式组2,22,1.mx ny ny mx ny +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域，则2m n +的取值围为▲，22m n +的取值围为▲.13.已知,(0,)2x y π∈，且有2sin x y =，tan x y =，则cos x =▲.14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过2F 的直线交双曲线的右支于,P Q 两点，若112||||PF F F =，且223||2||PF QF =，则该双曲线的离心率为▲. 15.如图，正四面体ABCD 的棱CD 在平面α上，E 为棱BC 的中点.当正四面体ABCD 绕CD 旋转时，直线AE 与平面α所成最大角的正弦值为▲.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且向量(54,4)m a c b =-与向量(cos ,cos )n C B =共线.（Ⅰ）求cos B ；（Ⅱ）若5b c a c ==<，，且2AD DC =，求BD 的长度.17．（本题满分15分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为1CC 和1A B 的中点，11A D CC ⊥，侧面11ABB A 为菱形且160oBAA ∠=，112AA A D ==，1BC =．（Ⅰ）证明：直线MD ∥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角1B AC A --的余弦值．18．（本题满分15分）对于函数()f x ，若存在区间[,]()A m n m n =<，使得{|(),}y y f x x A A =∈=，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．已知函数2()2(,R)f x x ax b a b =-+∈.（Ⅰ）若01b a ==，，()|()|g x f x =是“可等域函数”，求函数()g x 的“可等域区间”；（Ⅱ）若区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间”，求a 、b 的值.1B1C1ACBADM19．（本题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右顶点12,A A ，椭圆上不同于12,A A 的点P ,1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49-，12PA A △面积最大值为6.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若椭圆E 的所有弦都不能被直线:(1)l y k x =-垂直平分，求k 的取值围．20．（本题满分15分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足13n n S n r a =+.（Ⅰ）若1=2a ，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设*211(N )n n b n a -=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证：231n nT n ≥+.2016年高三“十校”联考数学（理科）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． 1．B 2. D3．C 4. A 5．B6. C 7．A8．D二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9.(1,-，0x += 10.12，611232()2n n n a --==⋅ 11. 2-，[,](Z)63k k k ππππ-++∈12.3[,4]2，[1,4]13.12 14.7515.6三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且向量(54,4)m a c b =-与向量(cos ,cos )n C B =共线.（Ⅰ）求cos B ；（Ⅱ）若5b c a c ==<，，且2AD DC =，求BD 的长度. 解：（Ⅰ）(45,5)m a c b =-与(cos ,cos )n C B =共线，54cos 5sin 4sin 4cos 4sin a c C A C b B B--∴==4sin cos 4cos sin 5sin cos B C B C A B ∴+= 4sin()4sin 5sin cos B C A A B ∴+==在三角形ABC △中，sin 0A ≠4cos 5B ∴=……………………………………………………7分（Ⅱ）5b c a c ==<，且4cos 5B =2222cos a c ac B b ∴+-=即242525105a a ∴+-⋅⋅= 解得35a a ==或（舍）……………………………………………9分2AD DC =1233BD BA BC ∴=+22222141214122c 2cos 99339933BD BA BC BA BC a a c B ∴=++⋅⋅•=++⋅⋅⋅⋅将3a =和5c =代入得：21099BD ==3BD ∴……………………………………………14分17．（本题满分15分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为1CC 和1A B 的中点，11A D CC ⊥，侧面11ABB A 为菱形且160oBAA ∠=，112AA A D ==，1BC =．（Ⅰ）证明：直线MD ∥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角1B AC A --的余弦值．1B1C1ACAD解：∵11A D CC ⊥，且D 为中点，112AA A D ==，∴111AC AC AC ==， 又11,2BC AB BA ===，∴1,CB BA CB BA ⊥⊥，又1BABA B =，∴CB ⊥平面11ABB A ，取1AA 中点F ，则1BF AA ⊥，即1,,BC BF BB 两两互相垂直，以B 为原点，1,,BB BF BC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图，∴1111(2,0,0),(0,0,1),((2,0,1),(1,0,1),(2B C A A C D M -5分 （Ⅰ）设平面ABC 的法向量为(,,)x y z =m，则0BA x ⋅=-=m ，0BC z ⋅==m ，取=m，∵1(,2MD =，3002MD ⋅=+=m ， ∴MD ⊥m ，又MD ⊄平面ABC ，∴直线MD ∥平面ABC ．…… 9分（Ⅱ）设平面1ACA 的法向量为111(,,)x y z =n ，1(1,3,1),(2,0,0)AC AA =-=，BMxyz1110AC x z ⋅=+=m ，110AA x ⋅==m，取=n ，又由（Ⅰ）知平面ABC的法向量为=m ，设二面角1B AC A --为θ， ∵二面角1B AC A --为锐角，∴11cos ||||||224θ⋅===⋅⋅m n m n ， ∴二面角1B AC A --的余弦值为14．………… 15分 18．（本题满分15分） 对于函数()f x ，若存在区间[,]()A m n m n =<，使得{|(),}y y f x x A A =∈=，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．已知函数2()2(,R)f x x ax b a b =-+∈. （Ⅰ）若01b a ==，，()|()|g x f x =是“可等域函数”，求函数()g x 的“可等域区间”； （Ⅱ）若区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间”，求a 、b 的值.解：（Ⅰ）01b a ==，，2()|2|g x x x =-是“可等域函数” 22()|2|=|(1)1|0g x x x x =---≥，0n m ∴>≥结合图象，由()g x x =得0,1,3x =函数()g x 的“可等域区间”为[0,1],[0,3]当12m n ≤≤≤时，()1g x ≤，不符合要求（此区间没说明，扣1分）……………………7分（Ⅱ）222()2()f x x ax b x a b a =-+=-+-因为区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间，所以11a +>即0a >xOy当01a <≤时，则(1)1(1)1f f a a =⎧⎨+=+⎩得12a b =⎧⎨=⎩；…………………………10分 当12a <≤时，则()1(1)1f a f a a =⎧⎨+=+⎩无解；………………………………12分当2a >时，则()1(1)1f a f a =⎧⎨=+⎩得2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………………………15分 19．（本题满分15分） 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右顶点12,A A ，椭圆上不同于12,A A 的点P , 1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49-，12PA A △面积最大值为6. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若椭圆E 的所有弦都不能被直线:(1)l y k x =-垂直平分，求k 的取值围． 解：（Ⅰ）由已知得12(,0),(,0)A a A a -,(,)P x y ，1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49- 122249A P A P y y b k k x a x a a ∴==-=--+ 12PA A △的面积最大值为1262a b ⋅⋅= 所以32a b =⎧⎨=⎩所以椭圆E 的方程为：22194x y +=…………………………6分 （Ⅱ）假设存在曲线E 的弦CD 能被直线:(1)l y k x =-垂直平分当0k =显然符合题…………8分当0k ≠时，设(,),(,)C C D D C x y D x y ，CD 中点为00(,)T x y 可设CD ：1y x m k=-+ 与曲线22194x y E +=：联立得：2229(4)189360m x x m k k+-+-=， 所以0∆>得222490k m k -+>……（1）式…………………………10分 由韦达定理得：0218249C D km x x x k +==+， 所以02949km x k =+，代入1y x m k=-+得202449k m y k =+ 00(,)T x y 在直线:(1)l y k x =-上，得2549km k =+……（2）式…………………12分 将（2）式代入（1）式得：24925k +<，得24k <，即22k -<<且0k ≠……14分 综上所述，k 的取值围为(,2][2,)k ∈-∞-+∞.20．（本题满分15分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足13n n S n r a =+. （Ⅰ）若1=2a ，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设*211(N )n n b n a -=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T , 求证：231n n T n ≥+. 解：（Ⅰ）令1n =，得113r +=，所以23r =，……………1分 则12()33n n S n a =+，所以1111()(2)33n n S n a n --=+≥， 两式相减，得11(2)1n n a n n a n -+=≥-，……………3分 所以324123134511231n n a a a a n a a a a n -+⋅⋅=⋅⋅-，化简得1(1)(2)12n a n n n a +=≥⋅， 所以2(2)n a n n n =+≥，……………6分又12a =适合2(2)n a n n n =+≥，所以2n a n n =+. ……………7分（构造常数列等方法酌情给分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知21(21)2n a n n -=-⋅，所以211111(21)2212n n b a n n n n-===---，11223+1T ∴=≥不等式成立 11111111(2)123456212n T n n n∴=-+-+-++-≥- 111111*********=1232242123212n T n n n n ∴=++++-+++++++-+++（）（）111122n T n n n∴=+++++……………………………………10分 111111112()()()()122212121n T n n n n n k n k n n ∴=+++++++++++-+-++ 1131421()(21)31n n k n k n k n k n ++=≥+-++-++（仅在12n k +=时取等号） 4231n n T n ∴≥+即结论231n n T n ≥+成立………………………………15分 （数学归纳法按步骤酌情给分）。

金丽衢十二校2015学年高三第二次联考数学试卷（理科）本试卷分第I 卷和第Il 卷两部分．考试时间120分钟，试卷总分为150分．请考生将所有 试题的答案涂、写在答题纸上．第I 卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是符合题目要求的．1．平行直线l 1：3x+4y -12=0与l 2：6x+8y-15=0之间的距离为(▲)A ．310B ．910C ．35D ．952．命题“∃ a ∈[0，+∞），sina>a ”的否定形式是(▲)A.∀a ∈[0,+∞),sina ≤a B ．∃a ∈[0, +∞),sina ≤aC.∀a ∈（-∞，0），sina ≤aD. ∃a ∈（-∞，0），sina>a3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于(▲)cm 3A ．4+23π B ．4+32π C ．6+23π D ．6+32π 4．若直线，交抛物线C ：y 2=2px(p>0)于两不同点A ，B ，且|AB|=3p ，则线段AB 中点M 到y 轴距离的最小值为(▲)A ．2p B. p C ．32p D. 2p 5．已知ϕ是实数，f(x)=cosx ·cos(x+3π)，则 “3πϕ=”是“函数f(x)向左平移ϕ个单位后关于y 轴对称”的(▲)A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件6．如图，将四边形ABCD 中△ADC 沿着AC 翻折到AD l C ，则翻折过程中线段DB 中点M 的轨迹是(▲)A. 椭圆的一段 B ．抛物线的一段C ．一段圆弧 D.双曲线的一段7．已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ，b>0）虚轴上的端点B(0，b)，右焦点F ，若以B 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点P ，且BP ∥PF ，则该双曲线的离心率为(▲)A 8．已知非零正实数x 1,x 2，x 3依次构成公差不为零的等差数列．设函数f(x)=x ，a ∈{-1，12，2，3}， 并记M={-1，12，2，3}．下列说法正确的是(▲) A ．存在a ∈M ，使得f(x 1)，f(x 2)，f(x 3)依次成等差数列B ．存在a ∈M ，使得f(x 1)，f(x 2)，f(x 3)依次成等比数列C ．当a=2时，存在正数，使得f(x 1)，f(x 2），f(x 1)- 依次成等差数列D.任意a ∈M ，都存在正数>1，使得f(x 1)，f(x 2)，f(x 3)依次成等比数列第II 卷二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．设集合A={x ∈N| 61x +∈N}，B={x|y=ln(x-l)），则A= ▲ ，B= ▲ ，()R A C B =I ▲ ． 10.设函数f(x)=A sin(2x+ϕ)，其中角妒的终边经过点P(-l ，1)，且0<ϕ<π，f(2π)=一2．则ϕ= ▲ ，A= ▲ _ ，f(x)在[-2π，2π]上的单调减区间为 ▲ ． 11．设a>0且a ≠l ，函数为奇函数，则a ▲ ，g(f(2))= ▲ ．12.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=BC=CC 1=2，M 是AC 的中点，则异面直线CB1与C1M 所成角的余弦值为▲ ．13．设实数x ，y 满足x+y-xy ≥2，则|x-2y|的最小值为 ▲ ．14.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a ·c=b ·c=3，|a-b|=|c|=2，则向量a 在向量c 方向上的投影为 ▲ ，a ·b 的最小值为 ▲．15．设f(x)=4x+l +a ·2x +b （a ，b ∈R ），若对于∀x ∈[0，1]，|f(x)|≤12都 成立，则b= ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分。

2016年浙江省金丽衢十二校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）平行直线l1：3x+4y﹣12＝0与l2：6x+8y﹣15＝0之间的距离为（）A．B．C．D．2．（5分）命题“∃a∈[0，+∞），sin a＞a”的否定形式是（）A．∀a∈[0，+∞），sin a≤a B．∃a∈[0，+∞），sin a≤aC．∀a∈（﹣∞，0），sin a≤a D．∃a∈（﹣∞，0），sin a＞a3．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3．A．4+B．4+πC．6+D．6+π4．（5分）若直线l交抛物线C：y2＝2px（p＞0）于两不同点A，B，且|AB|＝3p，则线段AB中点M到y轴距离的最小值为（）A．B．p C．D．2p5．（5分）已知φ是实数，f（x）＝cos x•cos（x+），则“”是“函数f（x）向左平移φ个单位后关于y轴对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）如图，将四边形ABCD中△ADC沿着AC翻折到AD l C，则翻折过程中线段DB 中点M的轨迹是（）A．椭圆的一段B．抛物线的一段C．一段圆弧D．双曲线的一段7．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a，b＞0）虚轴上的端点B（0，b），右焦点F，若以B为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点P，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．8．（5分）已知非零正实数x1，x2，x3依次构成公差不为零的等差数列，设函数f（x）＝xα，α∈{﹣1，，2，3}，并记M＝{﹣1，，2，3}．下列说法正确的是（）A．存在α∈M，使得f（x1），f（x2），f（x3）依次成等差数列B．存在α∈M，使得f（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列C．当α＝2时，存在正数λ，使得f（x1），f（x2），f（x3）﹣λ依次成等差数列D．任意α∈M，都存在正数λ＞1，使得λf（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）设集合A＝{x∈N|∈N}，B＝{x|y＝ln（x﹣l）），则A＝，B＝，A∩（∁R B）＝．10．（6分）设函数f（x）＝A sin（2x+φ），其中角φ的终边经过点P（﹣l，1），且0＜φ＜π，f（）＝﹣2，则φ＝，A＝，f（x）在[﹣，]上的单调减区间为．11．（6分）设a＞0且a≠l，函数f（x）＝为奇函数，则a＝，g （f（2））＝．12．（4分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CC1＝2，AC＝2，M是AC 的中点，则异面直线CB1与C1M所成角的余弦值为．13．（4分）设实数x，y满足x+y﹣xy≥2，则|x﹣2y|的最小值为．14．（6分）已知非零平面向量，，满足•＝•＝3，|﹣|＝||＝2，则向量在向量方向上的投影为，•的最小值为．15．（4分）设f（x）＝4x+1+a•2x+b（a，b∈R），若对于∀x∈[0，1]，|f（x）|≤都成立，则b＝．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin（A﹣B）＝a sin A ﹣b sin B，a≠b．（Ⅰ）求边c；（Ⅱ）若△ABC的面积为1，且tan C＝2，求a+b的值．17．（15分）在几何体ABCDE中，矩形BCDE的边CD＝2，BC＝AB＝1，∠ABC＝90°，直线EB⊥平面ABC，P是线段AD上的点，且AP＝2PD，M为线段AC的中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面ECP；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣P的余弦值．18．（14分）设函数f（x）＝ax2+b，其中a，b是实数．（Ⅰ）若ab＞0，且函数f[f（x）]的最小值为2，求b的取值范围；（Ⅱ）求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy＝l的实数x，y，都有f（x）+f（y）≥f（x）f（y）成立．19．（15分）已知椭圆L：＝1（a，b＞0）离心率为，过点（1，），与x轴不重合的直线，过定点T（m，0）（m为大于a的常数），且与椭圆L交于两点A，B（可以重合），点C为点A关于x轴的对称点．（Ⅰ）求椭圆L的方程；（Ⅱ）（i）求证：直线BC过定点M，并求出定点M的坐标；（ii）求△OBC面积的最大值．20．（15分）设数列{a n}满足：a1＝2，a n+1＝ca n+（c为正实数，n∈N*），记数列{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）证明：当c＝2时，2n+1﹣2≤S n≤3n﹣l（n∈N*）；（Ⅱ）求实数c的取值范围，使得数列{a n}是单调递减数列．2016年浙江省金丽衢十二校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）平行直线l1：3x+4y﹣12＝0与l2：6x+8y﹣15＝0之间的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：平行直线l1：3x+4y﹣12＝0与l2：6x+8y﹣15＝0之间的距离为：＝．故选：B．2．（5分）命题“∃a∈[0，+∞），sin a＞a”的否定形式是（）A．∀a∈[0，+∞），sin a≤a B．∃a∈[0，+∞），sin a≤aC．∀a∈（﹣∞，0），sin a≤a D．∃a∈（﹣∞，0），sin a＞a【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃a∈[0，+∞），sin a＞a”的否定形式是∀a∈[0，+∞），sin a≤a，故选：A．3．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3．A．4+B．4+πC．6+D．6+π【解答】解：由三视图还原原几何体如图，是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，半圆柱的底面半径为1，高为3；直三棱柱底面是等腰直角三角形（直角边为2），高为3．∴V＝．故选：D．4．（5分）若直线l交抛物线C：y2＝2px（p＞0）于两不同点A，B，且|AB|＝3p，则线段AB中点M到y轴距离的最小值为（）A．B．p C．D．2p【解答】解：由题意可得抛物线的准线l：x＝﹣分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H在直角梯形ABDC中，MH＝（AC+BD），由抛物线的定义可知AC＝AF，BD＝BF（F为抛物线的焦点）MH＝（AE+BF）≥AB＝p即AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为p，∴线段AB中点M到y轴距离的最小值为p﹣＝p，故选：B．5．（5分）已知φ是实数，f（x）＝cos x•cos（x+），则“”是“函数f（x）向左平移φ个单位后关于y轴对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：f（x）＝cos x cos（x+）＝cos x（cos x﹣sin x）＝cos2x﹣sin x cos x＝（1+cos2x）﹣sin2x＝cos（2x+）+，故“”是“函数f（x）向左平移φ个单位后关于y轴对称”的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）如图，将四边形ABCD中△ADC沿着AC翻折到AD l C，则翻折过程中线段DB 中点M的轨迹是（）A．椭圆的一段B．抛物线的一段C．一段圆弧D．双曲线的一段【解答】解：如图，过B作AC的垂线BE，过D作AC的垂线DF，连接DE，BF，取BE中点为O，则在△BDE中，OM为△BDE的中位线，则OM＝，当△ADC沿着AC翻折到AD l C时，△DEF翻折到△D1EF，在△BD1E中，OM1为△BD1E 的中位线，则，而翻折过程中，DE＝D1E，∴OM＝OM1，∴翻折过程中线段DB中点M的轨迹是一段圆弧．故选：C．7．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a，b＞0）虚轴上的端点B（0，b），右焦点F，若以B为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点P，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：由题意BF垂直于双曲线的渐近线y＝x，∵k BF＝﹣，∴﹣＝﹣1，∴b2﹣ac＝0，∴c2﹣a2﹣ac＝0，∴e2﹣e﹣1＝0，∵e＞1，∴e＝．故选：D．8．（5分）已知非零正实数x1，x2，x3依次构成公差不为零的等差数列，设函数f（x）＝xα，α∈{﹣1，，2，3}，并记M＝{﹣1，，2，3}．下列说法正确的是（）A．存在α∈M，使得f（x1），f（x2），f（x3）依次成等差数列B．存在α∈M，使得f（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列C．当α＝2时，存在正数λ，使得f（x1），f（x2），f（x3）﹣λ依次成等差数列D．任意α∈M，都存在正数λ＞1，使得λf（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列【解答】解：∵x1，x2，x3依次构成公差不为零的等差数列，∴x2＝，且x1，x2，x3两两不相等．（1）∵当α∈M时，f（x）的变化率随x的变化而变化，∴f（x1），f（x2），f（x3）不可能成等差数列，故A错误；（2）若f（x1），f（x2），f（x3）成等比数列，则x1αx3α＝（）2α，∴x1x3＝（）2，整理得（x1﹣x3）2＝0，∴x1＝x3．与x1，x2，x3依次构成公差不为零的等差数列相矛盾，故B错误．（3）当α＝2时，假设f（x1），f（x2），f（x3）﹣λ依次成等差数列，则x12+x32﹣λ＝2（）2，∴λ＝x12+x32﹣＝＞0．故C正确；（4）假设λf（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列，则λx1αx3α＝（）2α，∴λ＝，∵＝≥1，当且仅当x1＝x3取等号．∴当α＞0时，λ＞1，当α＜0时，λ＜1．故D错误．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）设集合A＝{x∈N|∈N}，B＝{x|y＝ln（x﹣l）），则A＝{0，1，2，5}，B ＝{x|x＞1}，A∩（∁R B）＝{0，1}．【解答】解：由x∈N，∈N，得到x＝0，1，2，5，即A＝{0，1，2，5}，由B中y＝ln（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，∴B＝{x|x＞1}，∁R B＝{x|x≤1}，则A∩（∁R B）＝{0，1}，故答案为：{0，1，2，5}；{x|x＞1}；{0，1}10．（6分）设函数f（x）＝A sin（2x+φ），其中角φ的终边经过点P（﹣l，1），且0＜φ＜π，f（）＝﹣2，则φ＝，A＝2，f（x）在[﹣，]上的单调减区间为[﹣，]．【解答】解：函数f（x）＝A sin（2x+φ），其中角φ的终边经过点P（﹣l，1），且0＜φ＜π，则tanφ＝＝﹣1，∴φ＝．再根据f（）＝A sin（π+）＝﹣A sin＝﹣A＝﹣2，∴A＝2．∴f（x）＝2sin（2x+）．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z．结合x∈[﹣，]，可得减区间为[﹣，]，故答案为：；2；[﹣，]．11．（6分）设a＞0且a≠l，函数f（x）＝为奇函数，则a＝2，g（f （2））＝2﹣．【解答】解：a＞0且a≠l，函数f（x）＝为奇函数，可知f（0）＝0，可得a﹣2＝0，解得a＝2．则函数f（x）＝，g（f（2））＝g（2）＝2﹣．故答案为：2，2﹣．12．（4分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CC1＝2，AC＝2，M是AC的中点，则异面直线CB1与C1M所成角的余弦值为．【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CC1＝2，AC＝2，M是AC的中点，∴BM⊥AC，BM＝＝1，以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作AC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，C（﹣，0，0），B1（0，1，2），C1（﹣，0，2），M（0，0，0），＝（），＝（﹣，0，2），设异面直线CB1与C1M所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线CB1与C1M所成角的余弦值为．故答案为：．13．（4分）设实数x，y满足x+y﹣xy≥2，则|x﹣2y|的最小值为2﹣1．【解答】解：实数x，y满足x+y﹣xy≥2，即为（x﹣1）（y﹣1）≤﹣1，作出曲线（x﹣1）（y﹣1）＝﹣1的图象，由题意可得|x﹣2y|即为曲线上任一点到直线x﹣2y＝0的距离的倍的最小值．可得与曲线相切，且与直线x﹣2y＝0平行的直线距离的倍．设切点为（m，n），由y＝1﹣的导数为y′＝，即有切线的斜率为＝，解得m＝1+（负的舍去），切点为（1+，1﹣），则|x﹣2y|的最小值为|1+﹣2（1﹣）|＝2﹣1．故答案为：2﹣1．14．（6分）已知非零平面向量，，满足•＝•＝3，|﹣|＝||＝2，则向量在向量方向上的投影为，•的最小值为．【解答】解：向量在向量方向上的投影为：；由得，；∴；∵；∴设，设，则；∴；∴；∴；∴；∴的最小值为．故答案为：．15．（4分）设f（x）＝4x+1+a•2x+b（a，b∈R），若对于∀x∈[0，1]，|f（x）|≤都成立，则b＝．【解答】解：f（x）＝4x+1+a•2x+b＝4•（2x）2+a•2x+b，设t＝2x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]，则函数等价y＝4t2+a•t+b，t∈[1，2]，若于∀x∈[0，1]，|f（x）|≤都成立，即于∀t∈[1，2]，|4t2+a•t+b|≤都成立，即﹣≤4t2+a•t+b≤恒成立，设g（t）＝4t2+a•t+b，要使∀a∈R，不等式恒成立，则函数g（t）的对称轴t＝，即﹣＝，即a＝﹣12，此时g（t）＝4t2﹣12t+b，则抛物线开口向上，要使﹣≤4t2+a•t+b≤恒成立，则函数g（t）max，且g（t）min≥﹣，当t＝1或2时，g（t）max＝g（1）＝4﹣12+b＝b﹣8≤，即b≤，当t＝时，g（t）min＝g（）＝b﹣9≥﹣，即b≥，即b＝，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin（A﹣B）＝a sin A ﹣b sin B，a≠b．（Ⅰ）求边c；（Ⅱ）若△ABC的面积为1，且tan C＝2，求a+b的值．【解答】解：（I）在△ABC中，∵2sin（A﹣B）＝a sin A﹣b sin B，a≠b．∴2sin A cos B﹣2cos A sin B＝a sin A﹣b sin B，a≠b．利用正弦定理可得：2a cos B﹣2b cos A＝a2﹣b2，a≠b．由余弦定理可得：﹣2b×＝a2﹣b2，化为：c＝2．（II）∵tan C＝＝2，且sin2C+cos2C＝1，解得sin C＝，cos C＝．∴S△ABC＝sin C＝×＝1，解得ab＝．由余弦定理可得：cos C＝＝＝，∴a2+b2＝6，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝6+2，解得a+b＝＝1．17．（15分）在几何体ABCDE中，矩形BCDE的边CD＝2，BC＝AB＝1，∠ABC＝90°，直线EB⊥平面ABC，P是线段AD上的点，且AP＝2PD，M为线段AC的中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面ECP；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣P的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD、MD，BD∩CE＝F，MD∩CP＝N，连结FN∵矩形BCDE，∴F为BD中点，∵EB⊥平面ABC，∴DC⊥平面ABC，如图，在直角△ACD中，取AP中点Q，连结QM，∵M是AC的中点，∴QM∥CP，又由AP＝2PD，∴QP＝PD，∴DN＝MN，∴FN∥BM，又∵FN⊂平面ECP，而BN⊄平面ECP，∴BM∥平面ECP1．解：（Ⅱ）如图，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BE为z轴，建立空间直角坐标系则B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），E（0，0，2），P（），设平面ACE的法向量＝（x，y，z），∵＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，0，2），∴，取z＝1，得＝（2，2，1），设平面PCE的法向量＝（a，b，c），∵＝（﹣），＝（﹣），∴，取c＝1，得＝（﹣2，2，1），∴cos＜＞＝＝，∴二面角A﹣EC﹣P的余弦值为．18．（14分）设函数f（x）＝ax2+b，其中a，b是实数．（Ⅰ）若ab＞0，且函数f[f（x）]的最小值为2，求b的取值范围；（Ⅱ）求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy＝l的实数x，y，都有f（x）+f（y）≥f（x）f（y）成立．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝ax2+b，∴f[f（x）]＝a3x4+2a2bx2+ab2+b，设t＝x2，当ab＞0，且二次函数y＝a3t2+2a2bt+ab2+b的对称轴t＝﹣＜0，当a＜0时，不满足条件．∴a＞0，b＞0，当t＝0时，函数f[f（x）]取得最小值，即ab2+b＝2，从而ab＝0，得0＜b＜2，即b的取值范围是（0，2）；（Ⅱ）∵xy＝l，∴y＝，则由f（x）+f（y）≥f（x）f（y）得f（x）+f（）≥f（x）f（），即a（x2+）+2b≥ab（x2+）+a2+b2，令t＝x2+，则t≥2，则a（1﹣b）t≥a2+b2﹣2b恒成立，需要a（1﹣b）≥0，此时y＝a（1﹣b）t在[2，+∞）上为增函数，∴2a（1﹣b）≥a2+b2﹣2b，即（a+b）2﹣2（a+b）≤0，得0≤a+b≤2，则实数a，b满足的条件为．19．（15分）已知椭圆L：＝1（a，b＞0）离心率为，过点（1，），与x轴不重合的直线，过定点T（m，0）（m为大于a的常数），且与椭圆L交于两点A，B（可以重合），点C为点A关于x轴的对称点．（Ⅰ）求椭圆L的方程；（Ⅱ）（i）求证：直线BC过定点M，并求出定点M的坐标；（ii）求△OBC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e＝＝，+＝1，a2﹣b2＝c2，解得a＝，b＝1，即有椭圆的方程为+y2＝1；（Ⅱ）（i）证明：由对称性可得直线BC过定点，定点在x轴上，设直线l的方程为x＝ty+m，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），代入椭圆方程x2+2y2＝2，可得（2+t2）y2+2tmy+m2﹣2＝0，即有△＝4t2m2﹣4（2+t2）（m2﹣2）＞0，即为8（t2﹣m2+2）＞0，y1+y2＝﹣，y1y2＝，设BC：y+y1＝（x﹣x1），令y＝0，可得x＝＝＝+m＝+m＝，则直线BC过定点M（，0）；（ii）记△OBC的面积为S，则S＝|OM|•|y2+y1|＝•||＝，由△＞0可得|t|＞（m＞），①若＞＞，即m＞2时，S max＝；②若＜m≤2时，S≤＝，即有S max＝．20．（15分）设数列{a n}满足：a1＝2，a n+1＝ca n+（c为正实数，n∈N*），记数列{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）证明：当c＝2时，2n+1﹣2≤S n≤3n﹣l（n∈N*）；（Ⅱ）求实数c的取值范围，使得数列{a n}是单调递减数列．【解答】解：（Ⅰ）证明：易知a n＞0，∵a n+1＝ca n+，且c＝2，∴{a n}是递增数列，故＝2+＜3，故a n+1＜3a n＜32a n﹣1＜…＜3n a n＝2•3n，故S n≤2（1+3+…+3n﹣1）＝3n﹣l，同理可得，S n≥2+22+23…+2n＝2n+1﹣2，故当c＝2时，2n+1﹣2≤S n≤3n﹣l（n∈N*）成立；（Ⅱ）由a1＝2，a2＝2c+＜2解得，c＜；若数列{a n}是单调递减数列，则＝c+＜1，故a n＞，记t＝，①，又a n+1﹣t＝（a n﹣t）（c﹣），故c﹣＞0；即a n＞，②，由（Ⅰ）a n＞0及从c，t＞0可知，a n+1﹣t＜c（a n﹣t）＜…＜c n（2﹣t），故a n＜c n﹣1（2﹣t）+t，③，由②③两式可得，对任意的自然数n，＜c n﹣1（2﹣t）+t恒成立，故＜t，即＜t2＝，故c＞；当＜c＜时，a n+1﹣a n＝（a n﹣a n﹣1）（c﹣），∵a n+1＝ca n+≥2，∴a n+1a n＞4c＞，故对对任意的自然数n，a n+1﹣a n＜0恒成立；综上所述，实数c的取值范围为＜c＜．。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题35分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．0y = B ．sin 2y x = C ．lg y x x =+ D ．22x x y -=+【答案】C.考点：函数的奇偶性判定．2.设两直线1l ：(3)453m x y m ++=-与2l ：2(5)8x m y ++=，则“12//l l ”是“1m <-”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A. 【解析】试题分析：若12//l l ，则(3)(5)421m m m ++=⨯⇒=-或7-，经检验，当1m =-时，1l 与2l 重合，∴7m =-，故是充分不必要条件，故选A ． 考点：1.两直线的位置关系；2.充分必要条件． 3.要得到函数cos(4)3y x π=-的图象，只需要将函数sin(4)2y x π=+的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位 【答案】B. 【解析】试题分析：sin(4)cos 42y x x π=+=，而c o s (4)c o s [4()]312x x ππ-=-，∴应向右平移12π个单位，故选B ．考点：1.诱导公式；2.三角函数的图象变换．4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）3cm .A ．23 B ．2 C.【答案】D.考点：1.三视图；2.空间几何体的体积． 5.设a ，b R ∈，定义：||(,)2a b a b M a b ++-=，||(,)2a b a b m a b +--=，下列式子错误的是（ ）A.(,)(,)M a b m a b a b +=+B.(||,||)||||m a b a b a b +-=-C.(||,||)||||M a b a b a b +-=+D.((,),(,))(,)m M a b m a b m a b = 【答案】B.考点：函数型新定义问题．6.设m R ∈，实数x ，y 满足23603260x mx y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若|2|18x y +≤，则实数m 的取值范围是（ ）A ．36m -≤≤B ．3m ≥-C ．6667m -≤≤ D ．332m -≤≤【答案】A. 【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组23603260x m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩所表示的区域，由题意可知，不等式组所表示的区域应为|2|18x y +≤所表示的平面区域的子集，从而可知36m -≤≤，故选A ．考点：线性规划的运用．【思路点睛】线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有：1.求线性目标函数的最值；2.求非线性目标的最值；3.求线性规划中的参数，本题即利用区域的包含，求解参数的取值范围.7.若函数()f x 是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有21[()]213xf f x +=+，则2(log 3)f =（ ） A ．1 B ．45C ．12D ．0【答案】C.考点：1.函数的解析式；2.函数的性质．【思路点睛】求函数解析式常用的方法：1.待定系数法；2.换元法(换元后要注意新元的取值范围)；3.配凑法；4.解方程组法；而函数单调性的应用比较广泛是每年高考的重点和热点内容，归纳起来常见的命题角度有：1.求函数的值域或最值；2.比较两个函数值或两个自变量的大小；3.解函数不等式或方程；4.求参数的取值范围或值.∠等于8.如图，AB是平面α外固定的斜线段，B为斜足，若点C在平面α内运动，且CAB直线AB与平面α所成的角，则动点C的轨迹为（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线【答案】D.考点：立体几何中的动态问题．【思路点睛】在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题，也可利用空间直角坐标系求出轨迹方程，即可知其对应的轨迹类型，对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性.二、填空题（本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在题中的横线上．）9.已知全集U R =，集合{|2}A x x =≥，{05}B x =≤<，则AB = ，()U C A B = .【答案】{|0}x x ≥，{|02}x x ≤<. 【解析】试题分析：∵{|2}A x x =≥，{05}B x =≤<，∴{|0}A B x x =≥，(){|02}U C A B x x =≤<．考点：集合的运算．10.函数2()4sin cos 2cos 1f x x x x =+-的最小正周期为 ，最大值为 . 【答案】π考点：1.三角恒等变形；2.三角函数的性质．11.若抛物线28x y =的焦点与双曲线221y x m-=的一个焦点重合，则m = . 【答案】3. 【解析】试题分析：∵抛物线28x y =的焦点坐标为(0,2)，∴2123m m +=⇒=．考点：抛物线，双曲线的标准方程．12.设函数3|log (1)|,10()tan(), 012x x f x x x π+-<≤⎧⎪=⎨<<⎪⎩，则[(1)]3f f -= ，若1()()2f a f <，则实数a 的取值范围是 . 【答案】1，21(,)32-. 【解析】试题分析：∵1103-<-<，∴31(1)|log (11)|332f -=-+=，∴1[(1)]()32f f f -== tan14π=；若10x -<≤：1331()()log (1)1log (1)1132f a f a a a -<⇒-+<⇒+>-⇒+>⇒203a -<≤；若01x <<：11()()tan()10222f a f a a π<⇒<⇒<<，故实数a 的取值范围是21(,)32-．考点：1.分段函数；2.分类讨论的数学思想．13.已知过点(,0)(0)P t t >的直线l 被圆C ：222440x y x y +-+-=截得弦AB 长为4，若直线l 唯一，则该直线的方程为 . 【答案】220x y +-=.考点：1.直线，圆的方程；2.直线与圆的位置关系. 14. 已知(){}f n n是等差数列，(1)2f =，(2)6f =，则()f n = ，数列{}n a 满足1()n n a f a +=， 11a =，数列1{}1n a +的前n 项和为n S ，则201520161S a += . 【答案】2n n +，1. 【解析】试题分析：设公差为d ，由题意得(2)(1)32121f f d =-=-=，∴2()2(1)1()f n n f n n n n=+-⋅⇒=+， ∴21111111111()(1)(1)11n n n n n n n n n n n n n n a f a a a a a a a a a a a a a +++==+=+⇒==-⇒=-+++， ∴12231111111111111111n n n n n n S S a a a a a a a a a a +++=-+-+⋅⋅⋅+-=-⇒+==，∴2015201611S a +=．考点：1.等差数列的通项公式；2.数列求和．【方法点睛】裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和，裂项相消法求和或利用其证明不等式是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列{}n a 的通项公式或通项公式，达到求解目的．15.如图，在三棱锥中D ABC -中，已知2AB =，3AC BD ⋅=-，设AD a =，BC b =，CD c =，则21c ab +的最小值为 .【答案】2.考点：1.空间向量的数量积；2.不等式求最值．【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.(本小题15分) 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为边BC 上的高，已知AD =，1b =. （1）若23A π=，求c ； （2）求1c c +的最大值.【答案】（1）1c =；（2）4．考点：1.正余弦定理解三角形；2.三角恒等变形．17．(本小题15分) 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=，2AB AD DC ===E ，F 分别为PD ，PB 的中点.（1）求证：//CF 平面PAD ；（2）若直线PA 与平面CEF 的交点为G ，且1PG =，求截面CEF 与底面ABCD 所成锐二面角的大小.【答案】（1）详见解析；（2）4π． 【解析】试题分析：（1）取PA 的中点Q ，连接QF ，QD ，可证明四边形QFCD 是平行四边形，再由线面平行的判定即可得证；（2）首先利用将平面CEF 与PA 的交点作出，再利用1PG =可求得PA 的长度，从而建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，即可求解．1y =，即2(1,1n =，∴1212122cos ,122||||n n n n n n ⋅<>===⨯⋅，即两个法向量的夹角为4π，∴截面ECF 与底面ABCD 所成锐二面角的大小为4π.考点：1.线面平行的判定和性质；2.空间向量求空间角．18.(本小题14分) 已知函数2()log ()x a f x a t =+，其中0>a 且1≠a . （1）当2a =时，若x x f <)(无解，求t 的范围；（2）若存在实数m ，n （m n <），使得[],x m n ∈时，函数()f x 的值域都也为[],m n ，求t 的范围. 【答案】（1）14t ≥；（2）104t <<．考点：1.恒成立问题；2.二次方程的根的分布；3.转化的数学思想．19.(本小题15分) 已知点M 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点，椭圆C的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点00(,)P x y 是定点，直线l ：1()2y x m m R =+∈交椭圆C 于不同的两点A ，B ，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求点P 的坐标，使得12k k +恒为0.【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,)2P 或3(1,)2P --．【解析】试题分析：（1）根据题意以及椭圆方程中222a b c =+的关系式，建立方程组，即可求解；（2）将直线方程与椭圆方程联立消去y 后可得2230x mx m ++-=，再由韦达定理以及120k k +=可得到关于0x ，0y 的一个方程，再根据恒成立的条件即可得到关于0x ，0y 的方程，从而求解．试题解析：（1）由题意，b =12c a =， 又∵222a c b -=，∴1c =，2a =，∴所求的椭圆方程：22143x y +=；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，把12y x m =+代入椭圆方程化简得：2230x mx m ++-=，∴22224(3)31204m m m m ∆=--=-+>⇒<，又∵122123x x m x x m +=-⎧⎨=-⎩，∴221213222()y y m m x x +=+=+，而10201210200y y y y k k x x x x --+=+=--，∴10202010()()()()0y y x x y y x x --+--=，即1222()()y x y x x y y++-+-， ∴12210001201211()()2()()022x m x x m x x y y x x x y y ++++-+-+=， ∴121200012012()2()()0x x m x x x y y x x x y y +++-+-+=，∴3()2302m y x xy +-+-=，∴000000310232302x y x y x y =⎧⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪-=⎩⎩或00132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴3(1,)2P 或3(1,)2P --. 考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.定点问题．【思路点睛】1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．2．求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．20.(本小题15分)已知23123()n n n f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，且(1)(1)n n f n -=-⋅，n =1，2，3，….（1）求1a ，2a ，3a ； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）当7k >且*k N ∈时，证明：对任意*n N ∈都有1212222311112n nnn ka a a a ++-+++⋯>++++成立．【答案】（1）11a =，23a =，35a =；（2）21n a n =-；（3）详见解析．试题解析：（1）由11(1)1f a -=-=-得11a =，由212(1)2f a a -=-+=，得23a =，考点：1.数列的通项公式；2.放缩法证明不等式．【思路点睛】解决数列综合题常见策略有：1.关注数列的通项公式，构造相应的函数，考察该函数的相关性质（单调性、值域、有界性、切线）加以放缩；2.重视问题设问的层层递进，最后一小问常常用到之前的中间结论；3.数学归纳法.。