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2024年浙江高考数学真题及答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （）A.{1,0}- B.{2,3} C.{3,1,0}-- D.{1,0,2}-2.若1i 1zz =+-，则z =（）A.1i --B.1i-+ C.1i- D.1i+3.已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A.2- B.1- C.1D.24.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A.3m- B.3m -C.3m D.3m5.（）A. B. C. D.6.已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A.(,0]-∞ B.[1,0]- C.[1,1]- D.[0,)+∞7.当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A.(10)100f >B.(20)1000f >C.(10)1000f < D.(20)10000f <二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A.(2)0.2P X >>B.(2)0.5P X ><C.(2)0.5P Y >> D.(2)0.8P Y ><10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x<C.当12x <<时，4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时，(2)()f x f x ->11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A.2a =- B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．13.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC 的面积为3c ．16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为427，求AD ．18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19.设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．参考答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （）A.{1,0}- B.{2,3} C.{3,1,0}-- D.{1,0,2}-【答案】A 【解析】【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2.若1i 1zz =+-，则z =（）A.1i --B.1i-+ C.1i- D.1i+【答案】C 【解析】【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.3.已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.4.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A.3m -B.3m -C.3m D.3m【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin αβαβ的关系，结合tan tan αβ的值可求前者，故可求()cos αβ-的值.【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.5.（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r 的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r =即=，故3r =，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.6.已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A.(,0]-∞ B.[1,0]- C.[1,1]- D.[0,)+∞【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1a a -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤，即a 的范围是[1,0]-.故选：B.7.当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A.3B.4C.6D.8【答案】C 【解析】【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数sin y x =的的最小正周期为2πT =，函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C8.已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A.(10)100f >B.(20)1000f >C.(10)1000f <D.(20)10000f <【答案】B 【解析】【分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A.(2)0.2P X >>B.(2)0.5P X ><C.(2)0.5P Y >>D.(2)0.8P Y ><【答案】BC 【解析】【分析】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC．10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x<C.当12x <<时，4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时，(2)()f x f x ->【答案】ACD 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数()f x 在()1,3上的值域即可判断C；直接作差可判断D.【详解】对A ，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x>，错误；对C，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A.2a =- B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【详解】对于A：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4x a -=，04a -=，解得2a =-，故A 正确.对于24x +=，而2x >-，()24x +=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．【答案】32【解析】【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25b a=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：3213.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e x y x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.【答案】12##0.5【解析】【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC 的面积为3c ．【答案】（1）π3B =（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B=得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【小问1详解】由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得22222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而2sin 2C ==，又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由（1）可得π3B =，2cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ232162sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而623136,4222a cbc +====，由三角形面积公式可知，ABC 的面积可表示为211316233sin 222228ABC S ab C c c c +==⋅⋅= ，由已知ABC 的面积为3+，可得23338c =，所以c =16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】（1）12（2）直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.【解析】【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设()00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx =+，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x -=-，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【小问1详解】由题意得2239941b a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ==.【小问2详解】法一：3312032APk -==--，则直线AP 的方程为132y x =-+，即260x y +-=，2AP ==，由（1）知22:1129x y C +=，设点B 到直线AP 的距离为d，则5352d ==，则将直线AP 沿着与AP 垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，5=，解得6C =或18C =-，当6C =时，联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得03x y =⎧⎨=-⎩或332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，当()0,3B -时，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭时，此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，当18C =-时，联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y -+=，227421172070∆=-⨯⨯=-<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，设()00,B x y，则220012551129x y =⎪+=⎪⎩，解得00332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或0003x y =⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离5d =，设(),3sin B θθ，其中[)0,2θ∈π1255=，联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 21sin 2θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B -，16392PAB S =⨯⨯= ，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠-，解得0x =或22443k x k -=+，0k ≠，12k ≠-，令22443k x k -=+，则2212943k y k -+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，5=，解得32k =，此时33,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则得到此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->，且AP k k ≠，即12k ≠-，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩，A 到直线PB距离192PAB d S ==⋅ ，12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =-+，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭，且12k ≠-，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k----==++，则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为7，求AD ．【答案】（1）证明见解析【解析】【分析】（1）先证出AD ⊥平面PAB ，即可得AD AB ⊥，由勾股定理逆定理可得BC AB ⊥，从而//AD BC ，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，根据三垂线法可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即可求得tan DFE ∠=AD的长度表示出,DE EF ，即可解方程求出AD ．【小问1详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥，根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．【小问2详解】如图所示，过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即42sin 7DFE ∠=，即tan DFE ∠=因为AD DC ⊥，设AD x =，则CD =，由等面积法可得，42DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以2EF =，故242tan 4DFE x∠==x =AD =．18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．【答案】（1）2-（2）证明见解析（3）23b ≥-【解析】【分析】（1）求出()min 2f x a '=+后根据()0f x '≥可求a 的最小值；（2）设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，可证(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断()12f =-即2a =-，再根据()2f x >-在()1,2上恒成立可求得23b ≥-.【小问1详解】0b =时，()ln2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，【小问2详解】()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .【小问3详解】因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.19.设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．【答案】（1）()()()1,2,1,6,5,6（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据(),i j -可分数列的定义即可；（2）根据(),i j -可分数列的定义即可验证结论；（3）证明使得原数列是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个，再使用概率的定义.【小问1详解】首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.【小问2详解】由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.【小问3详解】定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈.设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.31/31而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>=++++++++.这就证明了结论.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.。
数学（文科）姓名准考据号本试卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分 3 至 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
请考生按规定用笔将全部试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50 分）注意事项1.答题前，考生务势必自己的姓名、准备考据号用黑色笔迹的署名笔或钢笔分别填写在试卷个答题纸规定的地点上。
2.每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。
不可以答在试题卷上。
参照公式：一、选择题：本大题共10 小题，每题选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
（ 1）若 P { x x 1}, Q{ x x1} ，则（A）P Q（B）Q 5 分，共P50 分。
在每题给也的四个（C）C R P Q（D）Q C R P（ 2）若复数（ A） 13i z 1i ， i 为虚数单位，则（B） 33i(1 i ) z（ C） 3 i （D）3x+2y-5 ≥ 0（）若实数 x， y 知足不等式组2 x y ≥0,则3x： y 的最小值是3 + -7 4x≥0, y≥ 0(A)13 (B)15 (C)20 (D)28（ 4）若直线 l 不平行于平面a，且 l a ，则(A) a 内存在直线与异面(B) a 内不存在与l平行的直线(C) a 内存在独一的直线与l平行(D) a 内的直线与l都相交（5）在ABC 中，角A,B,C, 所对的边分别为 a,b,c. 若a cos A b sin B，则s i nA c oAs 2c oBs1 1(C) -1(A)- (B)2 2(D) 1（ 6）若a,b为实数，则“0 ab 1 ”是“ b 1”的a(A) 充足而不用要条件(B)必需而不充足条件(C)充足必需条件(D)既不充足也不用要条件（ 7）几何体的三视图如下图，则这个几何体的直观图能够是（ 8）从已有 3 个红球、 2 个白球的袋中任取 3 个球，则所取的 3 个球中起码有 1个白球的概率是（A ）1（B ）3（C ）310 105（ D ） 910（ 9）已知椭圆x 2y 2 （ ＞ ＞ ）与双曲线C 2 : x 2y 2 1 有公共的焦点，C 1 :a 2b 21 a b 04C 2 的一条渐近线与 C 1C 2 的长度为直径的圆订交于 A ，B 两点。
绝密★考试完毕前2021年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数 学〔文科〕本试题卷分选择题与非选择题两局部。
全卷共5页，选择题局部1至2页，非选择题局部3至5页。
总分值150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题答案涂、写在答题纸上。
选择题局部〔共50分〕考前须知：1．答题前，考生务必将自己姓名、准考证号用黑色字迹签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式：球外表积公式 棱柱体积公式球体积公式 其中S 表示棱柱底面积，h 表示棱柱高334RV π=棱台体积公式其中R 表示球半径 )(312211S S S S h V ++=棱锥体积公式 其中S 1、S 2分别表示棱台上、下底面积，13V Sh = h 表示棱台高其中S 表示棱锥底面积，h 表示棱锥高 如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求.1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，那么UAB =〔 〕A ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x >1． B 【命题意图】本小题主要考察了集合中补集、交集知识，在集合运算考察对于集合理解与掌握程度，当然也很好地考察了不等式根本性质．【解析】 对于{}1U C B x x =≤，因此UA B ={|01}x x <≤．2．“0x >〞是“0x ≠〞〔 〕A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2． A 【命题意图】本小题主要考察了命题根本关系，题中设问通过对不等关系分析，考察了命题概念与对于命题概念理解程度． 【解析】对于“0x >〞⇒“0x ≠〞；反之不一定成立，因此“0x >〞是“0x ≠〞充分而不必要条件．3．设1z i =+〔i 是虚数单位〕，那么22z z+=〔 〕A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i--3．D 【命题意图】本小题主要考察了复数运算与复数概念，以复数运算为载体，直接考察了对于复数概念与性质理解程度． 【解析】对于2222(1)1211z i i i i zi+=++=-+=++ 4．设,αβ是两个不同平面，l 是一条直线，以下命题正确是〔 〕A ．假设,l ααβ⊥⊥，那么l β⊂B ．假设//,//l ααβ，那么l β⊂C ．假设,//l ααβ⊥，那么l β⊥D ．假设//,l ααβ⊥，那么l β⊥4．C 【命题意图】此题主要考察立体几何线面、面面位置关系，通过对平行与垂直考察，充分调动了立体几何中根本元素关系． 【解析】对于A 、B 、D 均可能出现//l β，而对于C 是正确． 5．向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．假设向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，那么c =〔 〕A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39D ．77(,)93--5．D 【命题意图】此题主要考察了平面向量坐标运算，通过平面向量平行与垂直关系考察，很好地表达了平面向量坐标运算在解决具体问题中应用． 【解析】不妨设(,)C m n =，那么()1,2,(3,1)a c m n a b +=+++=-，对于()//c a b +，那么有3(1)2(2)m n -+=+；又()c a b ⊥+，那么有30m n -=，那么有77,93m n =-=-6．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．假设2AP PB =，那么椭圆离心率是〔 〕A ．32 B ．22 C ．13 D ．126．D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合考察，既表达了几何与向量交汇，也表达了数形结合巧妙应用．【解析】对于椭圆，因为2AP PB =，那么12,2,2OA OF a c e =∴=∴= 7．某程序框图如下图，该程序运行后输出k 值是〔 〕A ．4B ．5C ．6D ．77．A 【命题意图】此题考察了程序语言概念与根本应用，通过对程序语言考察，充分表达了数学程序语言中循环语言关键．【解析】对于0,1,1k s k ==∴=，而对于1,3,2k s k ==∴=，那么2,38,3k s k ==+∴=，后面是113,382,4k s k ==++∴=，不符合条件时输出4k =．8．假设函数2()()a f x x a x=+∈R ，那么以下结论正确是〔 〕A ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数B ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数C ．a ∃∈R ，()f x 是偶函数D ．a ∃∈R ，()f x 是奇函数8．C 【命题意图】此题主要考察了全称量词与存在量词概念与根底知识，通过对量词考察结合函数性质进展了交汇设问． 【解析】对于0a =时有()2f x x =是一个偶函数9．三角形三边长分别为3,4,5，那么它边与半径为1圆公共点个数最多为〔 〕A ．3B ．4C ．5D ．6 9．C 【命题意图】此题很好地考察了平面几何知识，全面而不失灵活，考察方法上面要求平实而不失灵动，既有切线与圆位置，也有圆移动【解析】对于半径为1圆有一个位置是正好是三角形内切圆，此时只有三个交点，对于圆位置稍一右移或其他变化，能实现4个交点情况，但5个以上交点不能实现．10．a 是实数，那么函数()1sin f x a ax =+图象不可能．．．是〔 〕10．D 【命题意图】此题是一个考察三角函数图象问题，但考察知识点因含有参数而丰富，结合图形考察使得所考察问题形象而富有深度．【解析】对于振幅大于1时，三角函数周期为2,1,2T a T aππ=>∴<，而D 不符合要求，它振幅大于1，但周期反而大于了2π．非选择题局部〔共100分〕考前须知：1．用黑色字迹签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2019年高考浙江卷数2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 {|2}S x x =≥，}5|{≤=x x T ，则S T =I （ ）A. ]5,(-∞B. ),2[+∞C. )5,2(D.]5,2[ 【答案】D 【解析】试题分析：依题意[2,5]S T =I ，故选D. 点评：本题考查结合的交运算，容易题.2. 设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“BD AC ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不成分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：若四边形ABCD 为菱形，则对角线BD AC ⊥；反之若BD AC ⊥，则四边形比一定是平行四边形，故“四边形ABCD 为菱形”是“BD AC ⊥”的充分不必要条件，选A. 点评：本题考查平行四边形、 菱形的性质，充分条件与必要条件判断，容易题. 3. 某几何体的三视图（单位：cm ）若图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 372cm B. 390cm C. 3108cm D. 3138cm 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图知，原几何体是由一个长方体与一个三棱柱组成， 其体积为)(90343216432cm V =⨯⨯⨯+⨯⨯=，故选B. 点评：本题考查根据三视图还原几何体，求原几何体的体积，容易题.A.向右平移12π个单位长 B.向右平移4π个单位长 C.向左平移12π个单位长 D.向左平移4π个单位长 【答案】C 【解析】试题分析：因为)43sin(23cos 3sin π+=+=x x x y ，所以将函数x y 3sin 2=的图象向左平移12π个单位长得函数3()12y x π=+，即得函数x x y 3cos 3sin +=的图象，选C.点评：本题考查三角函数的图象的平移变换， 公式)4sin(2cos sin π+=+x x x 的运用，容易题.5.已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ） A.2- B. 4- C. 6- D.8- 【答案】B 【解析】试题分析：由02222=+-++a y x y x 配方得a y x -=-++2)1()1(22， 所以圆心坐标为)1,1(-，半径a r -=22，由圆心到直线02=++y x 的距离为22|211|=++-， 所以a -=+2)2(222，解得4-=a ，故选B.点评：本题考查直线与圆相交，点到直线的距离公式的运用，容易题. 6.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ） A.若n m ⊥，α//n ，则α⊥m B.若β//m ，αβ⊥，则α⊥mC.若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥mD.若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m 【答案】C 【解析】试题分析：对A ，若n m ⊥，α//n ，则α⊂m 或α//m 或α⊥m ，错误； 对B ，若β//m ，αβ⊥，则α⊂m 或α//m 或α⊥m ，错误； 对C ，若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥m ，正确；对D ，若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m 或α⊂m 或α//m ，错误. 故选C.点评：本题考查空间中的线线、线面、面面的闻之关系，容易题.7.已知函数c bx ax x x f +++=23)(，且3)3()2()1(0≤-=-=-<f f f ，则（ ） A.3≤c B.63≤<c C. 96≤<c D.9>c试题分析：设k f f f =-=-=-)3()2()1(，则一元二次方程0)(=-k x f 有三个根1-、2-、3-， 所以)3)(2(1()(+++=-x x x a k x f ， 由于)(x f 的最高次项的系数为1，所以1=a ，所以966≤+=<k c . 点评：本题考查函数与方程的关系，中等题.8.在同一坐标系中，函数)0()(>=x x x f a，x x g a log )(=的图象可能是（ ）【答案】D 【解析】试题分析：对A ，没有幂函数的图象，；对B,)0()(>=x x x f a中1>a ，x x g a log )(=中10<<a ，不符合题题；对C ，)0()(>=x x x f a 中10<<a ，x x g a log )(=中1>a ，不符合题题；对D ，)0()(>=x x x f a中10<<a ，x x g a log )(=中10<<a ，符合题题；故选D.点评：本题考查幂函数与对数函数的图象判断，容易题.9.设θ为两个非零向量a 、b 的夹角，已知对任意实数t ，||t a b +的最小值为1（ ） A.若θ确定，则 ||a 唯一确定 B.若θ确定，则 ||b 唯一确定 C.若||a 确定，则 θ唯一确定 D.若||b 确定，则 θ唯一确定 【答案】D 【解析】试题分析：依题意，对任意实数t ，1||≥+t a b 恒成立，所以1cos ||||2)(≥⋅⋅⋅++θb a b a 22t t 恒成立，，若θ为定值，则当||b 为定值时二次函数才有最小值. 故选B.点评：本题考查平面向量的夹角、模，二次函数的最值，难度中等.10.如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 刀枪面对而距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角），若m AB 15=，m AC 25=，ο30=∠BCM ，则θtan 的最大值是（ ）A.530 B. 1030 C.934 D. 935试题分析：由勾股定理知，20=BC ，过点P 作BC P P ⊥'交BC 于P '，连结P A '， 则P A P P ''=θtan ，设m P B ='，则m P C -='20，因为ο30=∠BCM ， 所以222252033225)20(33tan mm m m +-⋅=+-=θ，所以当0=x 时去的最大值341520=， 故θtan 的最大值为9343334=⨯. 考点：本题考查函数的奇函数的性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等.二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11.设已知i 是虚数单位，计算21(1)ii -=+________.【答案】1122i -- 【解析】试题分析：因为211111(1)2222i i i i i i --+===--+-. 点评：本题考查复数的运算，容易题.12.若、y 满足和240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则y x +的取值范围是________.【答案】2 【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图中ABC ∆，令y x z +=，解方程组24010x y x y +-≤⎧⎨--≤⎩得)1,2(C ，解方程组101x y x --≤⎧⎨≥⎩得)0,1(B ，平移直线y x z +=经过点C 使得z 取得最大值，即312=+=Max z ，当直线y x z +=经过点)0,1(B 使得z 取得最小值，即101min =+=z ， 故y x +的取值范围是]3,1[.点评：本题考查不等式组表示的平面区域，求目标函数的最值，容易题.13.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________.【答案】6 【解析】试题分析：当0=S ，1=i ，则第一次运行1102=+⨯=S ，211=+=i ； 第二次运行4112=+⨯=S ，312=+=i ； 第三次运行11342=+⨯=S ，413=+=i ； 第四次运行264112=+⨯=S ，514=+=i ；第五次运行50575262>=+⨯=S ，615=+=i 终止循环， 故输出6=i .点评：本题考查程序框图，直到型循环结构，容易题.14.在三张奖劵中有一、二等各一张，另有一张无奖，甲乙两人各抽取一张，两人都中奖的概率为 . 【答案】31 【解析】试题分析：基本事件的总数是6123=⨯⨯，甲乙两人各抽取一张，两人都中奖只有2种情况，由古典概型公式知，所求的概率3162==p . 点评：本题考查古典概型，容易题.15.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,0,22)(22x x x x x x f ，若2))((=a f f ，则=a .【答案】4 【解析】试题分析：若0≤a ，无解；若0>a ，解得2±=a .故2±=a 点评：本题考查分段函数，复合函数，容易题.16.已知实数a 、b 、c 满足0=++c b a ，1222=++c b a ，则a 的最大值为为_______.【答案】332 【解析】所以1)]([222=+-++b a b a ，所以0122222=-++a ab b ，故实数a 的最大值为332. 点评：本题考一元二次方程的根的判别式，容易题.17. 设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于A 、B ，若)0,(m P 满足||||PB PA =，则双曲线的离心率是 .【答案】25 【解析】试题分析：由双曲线的方程数知，其渐近线方程为x a b y =与x aby -=，分别与直线03=+-m y x 联立方程组，解得)3,3(b a bm b a am A ----，)3,3(ba bmb a am B ++-，由||||PB PA =，设AB 的中点为E ， 因为PE 与直线03=+-m y x 垂直，所以)(8822222a cb a -==，所以25=e . 点评：本题考查双曲线的性质、渐近线与离心率，中等题.。
绝密★考试完毕前2021年一般高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数 学〔文科〕本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页。
总分值150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将全部试题答案涂、写在答题纸上。
选择题部分〔共50分〕考前须知：1．答题前，考生务必将自己姓名、准考证号用黑色字迹签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式：球外表积公式 棱柱体积公式 24S R π= V Sh=球体积公式 其中S 表示棱柱底面积，h 表示棱柱高334R V π=棱台体积公式其中R 表示球半径 )(312211S S S S h V ++=棱锥体积公式 其中S 1、S 2分别表示棱台上、下底面积，13V Sh = h 表示棱台高其中S 表示棱锥底面积，h 表示棱锥高 假如事务,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求.1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，那么UAB =〔 〕A ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x >1． B 【命题意图】本小题主要考察了集合中补集、交集学问，在集合运算考察对于集合理解和驾驭程度，当然也很好地考察了不等式根本性质． 【解析】 对于{}1U C B x x =≤，因此UA B ={|01}x x <≤．2．“0x >〞是“0x ≠〞〔 〕A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2． A 【命题意图】本小题主要考察了命题根本关系，题中设问通过对不等关系分析，考察了命题概念和对于命题概念理解程度．【解析】对于“0x >〞⇒“0x ≠〞；反之不肯定成立，因此“0x >〞是“0x ≠〞充分而不必要条件．3．设1z i =+〔i 是虚数单位〕，那么22z z+=〔 〕A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i--3．D 【命题意图】本小题主要考察了复数运算和复数概念，以复数运算为载体，干脆考察了对于复数概念和性质理解程度． 【解析】对于2222(1)1211z i i i i z i+=++=-+=++ 4．设,αβ是两个不同平面，l 是一条直线，以下命题正确是〔 〕A ．假设,l ααβ⊥⊥，那么l β⊂B ．假设//,//l ααβ，那么l β⊂C ．假设,//l ααβ⊥，那么l β⊥D ．假设//,l ααβ⊥，那么l β⊥ 4．C 【命题意图】此题主要考察立体几何线面、面面位置关系，通过对平行和垂直考察，充分调动了立体几何中根本元素关系．【解析】对于A 、B 、D 均可能出现//l β，而对于C 是正确．5．向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．假设向量c 满意()//+c a b ，()⊥+c a b ，那么c =〔 〕A ．77(,)93B ．77(,)39--C ．77(,)39D ．77(,)93--5．D 【命题意图】此题主要考察了平面对量坐标运算，通过平面对量平行和垂直关系考察，很好地表达了平面对量坐标运算在解决详细问题中应用．【解析】不妨设(,)C m n =，那么()1,2,(3,1)a c m n a b +=+++=-，对于()//c a b +，那么有3(1)2(2)m n -+=+；又()c a b ⊥+，那么有30m n -=，那么有77,93m n =-=-6．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．假设2AP PB =，那么椭圆离心率是〔 〕A ．32 B ．22 C ．13 D ．126．D 【命题意图】对于对解析几何中与平面对量结合考察，既表达了几何与向量交汇，也表达了数形结合奇妙应用．【解析】对于椭圆，因为2AP PB =，那么12,2,2OA OF a c e =∴=∴= 7．某程序框图如下图，该程序运行后输出k 值是〔 〕 A ．4 B ．5 C ．6 D ．77．A 【命题意图】此题考察了程序语言概念和根本应用，通过对程序语言考察，充分表达了数学程序语言中循环语言关键．【解析】对于0,1,1k s k ==∴=，而对于1,3,2k s k ==∴=，那么2,38,3k s k ==+∴=，后面是113,382,4k s k ==++∴=，不符合条件时输出4k =． 8．假设函数2()()af x x a x=+∈R ，那么以下结论正确是〔 〕 A ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数 C ．a ∃∈R ，()f x 是偶函数 D ．a ∃∈R ，()f x 是奇函数8．C 【命题意图】此题主要考察了全称量词与存在量词概念和根底学问，通过对量词考察结合函数性质进展了交汇设问．【解析】对于0a =时有()2f x x =是一个偶函数9．三角形三边长分别为3,4,5，那么它边与半径为1圆公共点个数最多为〔 〕 A ．3 B ．4 C ．5 D ．69．C 【命题意图】此题很好地考察了平面几何学问，全面而不失敏捷，考察方法上面要求平实而不失灵动，既有切线与圆位置，也有圆挪动【解析】对于半径为1圆有一个位置是正好是三角形内切圆，此时只有三个交点，对于圆位置稍一右移或其他改变，能实现4个交点状况，但5个以上交点不能实现． 10．a 是实数，那么函数()1sin f x a ax =+图象不行能．．．是〔 〕10．D 【命题意图】此题是一个考察三角函数图象问题，但考察学问点因含有参数而丰富，结合图形考察使得所考察问题形象而富有深度．【解析】对于振幅大于1时，三角函数周期为2,1,2T a Taππ=>∴<，而D不符合要求，它振幅大于1，但周期反而大于了2π．非选择题部分〔共100分〕考前须知：1．用黑色字迹签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）选择题部分（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 {|2}S x x =≥，}5|{≤=x x T ，则S T =I （ ）A. ]5,(-∞B. ),2[+∞C. )5,2(D.]5,2[2. 设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“BD AC ⊥”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不成分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 372cmB. 390cmC. 3108cmD. 3138cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数x y 3cos 2=的图象（ ） A.向右平移12π个单位长 B.向右平移4π个单位长 C.向左平移12π个单位长 D.向左平移4π个单位长 5.已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 4-C. 6-D.8-6.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ）A.若n m ⊥，α//n ，则α⊥mB.若β//m ，αβ⊥，则α⊥mC.若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥mD.若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m7.已知函数c bx ax x x f +++=23)(，且3)3()2()1(0≤-=-=-<f f f ，则（ ）A.3≤cB.63≤<cC. 96≤<cD.9>c 8.在同一坐标系中，函数)0()(>=x x x f a ，x x g a log )(=的图象可能是（ ）9.设θ为两个非零向量a 、b 的夹角，已知对任意实数t ，||t a b +的最小值为1（ ）A.若θ确定，则 ||a 唯一确定B.若θ确定，则 ||b 唯一确定C.若||a 确定，则 θ唯一确定D.若||b 确定，则 θ唯一确定10.如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角），若m AB 15=，m AC 25=，ο30=∠BCM ，则θtan 的最大值是（ ）A. 530B. 1030C.934D. 935非选择题部分（共100分）二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.已知i 是虚数单位，计算21(1)i i -=+________. 12.若实数x 、y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则y x +的取值范围是________.13.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________.14.在三张奖劵中有一、二等各一张，另有1张无奖，甲乙两人各抽取一张，两人都中奖的概率为.15.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,0,22)(22x x x x x x f ，若2))((=a f f ，则=a . 16.已知实数a 、b 、c 满足0=++c b a ，1222=++c b a ，则a 的最大值为为_______. 17. 设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于A 、B ，若)0,(m P 满足||||PB PA =，则双曲线的离心率是 .三．解答题：本大题共5小题，共72分。
数学（文科）试题 选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设}{{}21.4P x x Q x x P Q ==⋂=p p ，则 （A ）{}12x x -p p （B ）{}31x x -p p （C ）{}14x x p p（D ）{}21x x -p p（2）已知函数()()log 1,()1,f x x f a a =+==若则 （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3（3）设i 为虚数单位，则51ii -=+ （A ）23i -- （B ）23i -+（C ）23i - （D ）23i + （4）某程度框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内为（A ）4?k f （B ）5?k f （C ）6?k f （D ）7?k f （5）设1S 为等比数列{}n a 的前n 项和，122280S a a S -==，则 （A ）－11（B ）－8（C ）5（D ）11（6）设0,2x πp p则“x sin 2 x <1”是“x sin x <1”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）若实数x 、y 满足不等式组330,230,10,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则x +y 的最大值为（A ）9（B ）157（C ）1 （D ）715（8）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（A ）33523cm（B ）33203cm （C ）32243cm （D ）31603cm（9）已知x 是函数1()21f x x=+-的一个零点，若20(1,),2(,)a x x x x ∈∈+∞，则（A ）12()0,()0f x f x p p（B ）12()0,()0f x f x p f（C ）12()0,()0f x f x f p（D ）12()0,()0f x f x f f（9）已知x 是函数f (x )=22+11x-的一个零点.若x 1∈(1,x 0)，x 2∈(x 0，+∞)，则 (A)f (x 2)＜0，f (x 2)＜0 (B) f (x 1)＜0，f (x 2)＞0 （C ）f (x 1)＞0，f (x 2)＜0（D ）f (x 1)＞0，f (x 2)＞0（10）设O 为坐标原点，F 1，F 2是双曲线22x a－22y b ＝１（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1P F 2=60°，OP =7a ，则该双曲线的渐近线方程为（A ）x ±3y =0 （B ）3x ±y =0 (C) x ±2y =0(D)2 x ±y =0非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
数学（文科）选择题部分（共50 分）一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共50 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1、设会合 S={x|x>-2},T={x|-4 ≤x≤1}, 则 S∩ T=A 、[-4,+ ∞）B 、（ -2, +∞）C、 [-4,1] D、 (-2,1]2、已知 i 是虚数单位，则 (2+i)(3+i)=A 、5-5iB 、7-5i C、5+5i D、 7+5i3、若α R，则“α =0”是“ sin α<cosα”的A 、充足不用要条件B 、必需不充足条件C、充足必需条件 D 、既不充足也不用要条件4、设 m、 n 是两条不一样的直线，α、β是两个不一样的平面，A 、若 m∥α， n∥α , 则 m∥nB 、若 m∥α， m∥β , 则α∥βC 、若 m∥ n， m⊥α , 则 n⊥αD 、若 m∥α，α⊥β , 则 m⊥β5、已知某几何体的三视图（单位：cm）以下图，则该几何体的体积是A、 108cm3 B 、100 cm 3 C、92cm3 D 、 84cm36、函数 f(x)=sin xcos x+3cos 2x 的最小正周期和振幅分别是2A 、π， 1B 、π， 2C 、 2π， 1D 、 2π， 27、已知 a、 b、 cR，函数 f(x)=ax 2+bx+c .若 f(0)=f(4)>f(1) ，则A 、 a>0,4a+b=0B 、 a<0,4a+b=0C、 a>0,2a+b=0 D 、 a<0,2a+b=08、已知函数y=f(x) 的图像是以下四个图像之一，且其导函数y=f ’(x) 的图像如右图所示，则该函数的图像是（第 8 题图）A B C D1 2x2 2=1 与双曲线 C2 的公共焦点 A 、B9、如图 F 、 F 是椭圆C1：4 +y分别是 C1、 C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF2为矩形，则 C2 的离心率是3 6A 、 2B 、 3 C、2 D 、2 （第 9 题图）10、设 a， bR，定义运算“∧”和“∨”以下：a， a≤ b, b, a≤ b,a∧b= a∨b=a>b.b ， a>b, a,若正数 a、b、 c、 d 知足 ab≥4,c+d ≤ 4, 则A、 a∧ b≥ 2,c ∧ d≤ 2 B 、a∧ b≥ 2,c ∨ d≥ 2C、 a∨ b≥ 2,c ∧ d≤ 2 D 、a∨ b≥ 2,c ∨ d≥ 2非选择题部分（共 100 分）注意事项：1.用黑色笔迹的署名笔或钢笔将答案写在答题纸上，不可以答在试题卷上。
普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）浙江卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{|0}A x x =>，{|12}B x x =-≤≤，则AB =（A ）{|1}x x ≥- （B ）{|2}x x ≤ （C ）{|02}x x <≤ （D ）{|12}x x -≤≤ （2）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 （A ）2π（B ）π （C ）32π （D ）2π（3）已知a ，b 都是实数，那么“22b a >”是“a >b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （4）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则公比q = （A ）21-（B ）2- （C ）2 （D ）21 （5）0,0a b ≥≥,且2a b +=，则 （A ）12ab ≤（B ）12ab ≥ （C ）222a b +≥ （D ）223a b +≤ （6）在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是 （A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274 （7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x xy 的图象和直线21=y 的交点个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（8）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 （9）对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得（A ）,a b αα⊂⊂ （B ）,//a b αα⊂ （C ）,a b αα⊥⊥ （D ）,a b αα⊂⊥A BCD （10）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面区域的面积等于 （A ）12 （B ）4π （C ）1 （D ）2π 二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
.2016 年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题1．（5 分）已知全集 U={ 1，2，3，4，5， 6} ，集合 P={ 1，3，5} ，Q={ 1，2，4} ，则（ ?U P）∪ Q=（）A．{ 1} B．{ 3， 5} C． { 1，2，4，6} D．{ 1，2，3，4，5}2．（5 分）已知互相垂直的平面α，β交于直线 l，若直线 m，n 满足 m∥α，n⊥β，则（）A．m∥ l B．m∥ n C．n⊥l D． m⊥n3．（5 分）函数 y=sinx2的图象是（）A．B．C．D．4．（ 5 分）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A．B．C．D．5．（5 分）已知 a，b＞0 且 a≠1，b≠1，若 log a b＞ 1，则（）A．（a﹣1）（ b﹣ 1）＜ 0 B．（ a﹣ 1）（a﹣b）＞ 0 C．（b﹣ 1）（b﹣a）＜ 0 D ．（ b﹣ 1）（b﹣a）＞ 06．（5 分）已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜ 0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件.．（ 分）已知函数 f （ ）满足：x，x ∈R ．（ ） 7 5 x f （x ）≥ | x| 且 f （ x ）≥ 2．若≤．若b，则 a ≤bAf （ a ）≤ | b| ，则 a bBf （a ）≤ 2．若f （ a ）≥ | b| ，则 a ≥ b．若f （a ）≥ 2 b，则 a ≥bC D8．（ 5 分）如图，点列 {A n } 、{ B n } 分别在某锐角的两边上，且 | A n A n +1| =| A n +1A n +2| ，n n +1 ，n ∈N * ，| B n n +1 n +1 n +2 ， n ≠ n +1 ， ∈* ，（P ≠Q 表示点 P 与 Q 不 A ≠ A B | =| B B | B B n N重 合 ） 若 d n n n，n为 △n n n +1 的 面 积 ， 则 （）=| A B | S A B BA ．{ S n } 是等差数列B ． { S n 2} 是等差数列C ．{ d n } 是等差数列D ．{ d n 2} 是等差数列二、填空题9．（6 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是cm 2，体积是cm 3．10．（ 6 分）已知 a ∈ R ，方程 a 2 x 2+（a+2）y 2+4x+8y+5a=0 表示圆，则圆心坐标是，半径是．11．（6 分）已知 2cos 2x+sin2x=Asin （ωx +φ）+b （A ＞0），则 A= ，b=．12．（ 6 分）设函数 f （x ）=x 3+3x 2+1，已知 a ≠ 0，且 f （x ）﹣ f （ a ） =（ x ﹣b ）（x﹣ a ） 2，x ∈R ，则实数 a= ， b= ．13．（4 分）设双曲线 x 2﹣=1 的左、右焦点分别为 F 1、F 2，若点 P 在双曲线上，且△ F 1 2 为锐角三角形，则| PF 1|+| PF 2| 的取值范围是 ．PF14．（4 分）如图，已知平面四边形 ABCD ，AB=BC=3，CD=1，AD= ，∠ADC=90°，沿直线 AC 将△ ACD 翻折成△ ACD ′，直线 AC 与 BD ′所成角的余弦的最大值是．15．（ 4 分）已知平面向量 ， ，| | =1，| | =2， =1，若 为平面单位向量，则 ||+| | 的最大值是．三、解答题16．（14 分）在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 b+c=2acosB．（1）证明： A=2B；（2）若 cosB= ，求 cosC的值．17．（ 15 分）设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，已知 S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式 a n；（Ⅱ）求数列 {| a n﹣ n﹣2|} 的前 n 项和．18．（ 15 分）如图，在三棱台A BC﹣ DEF中，平面 BCFE⊥平面 ABC，∠ ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（Ⅰ）求证： BF⊥平面 ACFD；（Ⅱ）求直线 BD 与平面 ACFD所成角的余弦值．19．（ 15 分）如图，设抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y轴的距离等于 | AF| ﹣1，（Ⅰ）求 p 的值；（Ⅱ）若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N， AN 与 x 轴交于点 M ，求 M 的横坐标的取值范围．20．（ 15 分）设函数 f （x） =x3+ ， x∈ [ 0，1] ，证明：（Ⅰ）f（x）≥ 1﹣x+x2（Ⅱ）＜ f（x）≤．2016 年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5 分）已知全集 U={ 1，2，3，4，5， 6} ，集合 P={ 1，3，5} ，Q={ 1，2，4} ，则（ ?U P）∪ Q=（）A．{ 1} B．{ 3， 5} C． { 1，2，4，6} D．{ 1，2，3，4，5}【分析】先求出 ?U P，再得出（ ?U P）∪ Q．【解答】解： ?U P={ 2，4，6} ，（?U P）∪ Q={ 2，4，6} ∪{ 1， 2，4} ={ 1，2，4，6} ．故选： C．【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．2．（5 分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（）A．m∥ l B．m∥ n C．n⊥l D． m⊥n【分析】由已知条件推导出l? β，再由 n⊥β，推导出 n⊥l ．【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α，∴m∥β或 m? β或 m 与β相交， l?β，∵ n⊥β，∴n⊥ l．故选： C．【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3．（5 分）函数 y=sinx2的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据函数奇偶性的性质，以及函数零点的个数进行判断排除即可．【解答】解：∵ sin（﹣ x）2=sinx2，∴函数 y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于y 轴对称，排除 A，C；由y=sinx2 =0，则 x2=kπ，k≥0，则x=±，k≥0，故函数有无穷多个零点，排除 B，故选： D．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键．比较基础．4．（ 5 分）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A．B．C．D．【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离．【解答】解：作出平面区域如图所示：∴当直线 y=x+b 分别经过 A，B 时，平行线间的距离相等．联立方程组，解得 A（2，1），联立方程组，解得 B（1，2）．两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1，即 x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0．∴平行线间的距离为d==，故选： B．【点评】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，属于基础题．5．（5 分）已知 a，b＞0 且 a≠1，b≠1，若 log a b＞ 1，则（）A．（a﹣1）（ b﹣ 1）＜ 0 B．（ a﹣ 1）（a﹣b）＞ 0 C．（b﹣ 1）（b﹣a）＜0 D ．（ b ﹣ 1）（b﹣a）＞ 0【分析】根据对数的运算性质，结合a＞ 1 或 0＜a＜1 进行判断即可．【解答】解：若 a＞ 1，则由 log a b＞ 1 得 log a b＞log a a，即 b＞a＞ 1，此时 b﹣ a＞0，b＞1，即（ b﹣1）（ b﹣a）＞ 0，若0＜a＜1，则由 log a b＞1 得 log a b＞log a a，即 b＜a＜1，此时 b﹣a＜0，b＜1，即（ b﹣1）（ b﹣ a）＞0，综上（ b﹣1）（b﹣a）＞ 0，故选： D．【点评】本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．比较基础．6．（5 分）已知函数 f （x ）=x 2+bx ，则 “b＜ 0”是“f（f （x ））的最小值与f （x ）的最小值相等 ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】求出 f （x ）的最小值及极小值点，分别把 “b＜0”和“f（f （x ））的最小值与 f （ x ）的最小值相等 ”当做条件，看能否推出另一结论即可判断．【解答】 解： f （x ）的对称轴为 x=﹣ ， f min （ x ） =﹣ ．（ 1）若 b ＜0，则﹣ ＞﹣，∴当 f （x ）=﹣ 时，f （f （x ））取得最小值 f （﹣） =﹣，即 f （ f （x ））的最小值与 f （x ）的最小值相等．∴“b＜0”是 “f（f （ x ））的最小值与 f （ x ）的最小值相等 ”的充分条件．（ 2）设 f （x ）=t ，则 f （ f （x ））=f （t ），∴ f （t ）在（﹣ ，﹣ ）上单调递减，在（﹣ ，+∞）上单调递增，若 f （ f （x ））=f （t ）的最小值与 f （ x ）的最小值相等，则﹣ ≤﹣ ，解得 b ≤ 0 或 b ≥2．∴“b＜0”不是 “f（f （x ））的最小值与 f （x ）的最小值相等 ”的必要条件． 故选： A ．【点评】 本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题． 7．（5 分）已知函数 f （ x ）满足： f （x ）≥ | x| 且 f （ x ）≥ 2x，x ∈R ．（ ） A ．若 f （ a ）≤ | b| ，则 a ≤bB ．若 f （a ）≤ 2b，则 a ≤bC ．若 f （ ）≥ | b| ，则 ≥D ．若 f （a ）≥ 2 b，则 a ≥ba a b【分析】 根据不等式的性质，分别进行递推判断即可．【解答】 解： A ．若 f （ a ）≤ | b| ，则由条件 f （x ）≥ | x| 得 f （a ）≥ | a| ，即 | a| ≤| b| ，则 a ≤ b 不一定成立，故 A 错误，B ．若 f （ a ）≤ 2b，则由条件知 f （x ）≥ 2x ，即 f （ a ）≥ 2a ，则 2a ≤f （a ）≤ 2b ，则 a ≤b ，故 B 正确，C ．若 f （a ）≥ | b| ，则由条件 f （x ）≥| x| 得 f （a ）≥ | a| ，则| a| ≥| b| 不一定成立，故 C 错误，D ．若 f （ a ）≥ 2b ，则由条件 f （x ）≥2x ，得 f （ a ）≥2a ，则 2a ≥2b ，不一定成立，即 a ≥b 不一定成立，故 D 错误，故选： B ．【点评】本题主要考查不等式的判断和证明， 根据条件， 结合不等式的性质是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．8．（ 5 分）如图，点列 {A n } 、{ B n } 分别在某锐角的两边上，且 | A n A n +1| =| A n +1A n +2| ，n n +1，n ∈N * ，| B n n +1n +1 n +2 ， n ≠ n +1 ， ∈ * ，（P ≠Q 表示点 P 与 Q 不 A ≠ A B | =| B B | B B n N 重 合 ） 若 d n =| A n B n | ， S n为 △ A n B n B n +1 的 面 积 ， 则 （ ）A ．{ S n } 是等差数列B ． { S n 2} 是等差数列C ．{ d n } 是等差数列D ．{ d n 2} 是等差数列【分析】 设锐角的顶点为 O ，再设 | OA 1| =a ， | OB 1| =c ， | A n A n +1| =| A n +1A n +2| =b ，| B n n +1n +1 n +2，由于 ， 不确定，判断 ， 不正确，设△ n n n +1 的底 B | =| B B | =d a c C D A B B 边 B n B n +1 上的高为 h n ，运用三角形相似知识，h n +h n +2=2h n +1，由 S n = d?h n ，可得S n +S n +2=2S n +1，进而得到数列 { S n } 为等差数列．【解答】 解：设锐角的顶点为 O ，| OA 1| =a ， | OB 1 | =c ，| A n A n +1| =| A n +1A n +2| =b ，| B n B n +1| =| B n +1B n +2| =d ，由于 a ，c 不确定，则 { d n } 不一定是等差数列，{ d n 2} 不一定是等差数列，设△ A n B n B n +1 的底边 B n B n +1 上的高为 h n ，由三角形的相似可得= = ，.==，两式相加可得，==2，即有 h n+h n+2=2h n+1，由S n= d?h n，可得 S n +S n+2=2S n+1，即 S n+2S n+1=S n+1S n，数列 { S n} 等差数列．另解：可△ A1B1B2，△ A2B2B3，⋯，A n B n B n+1直角三角形，且A1B1， A2B2，⋯，A n B n直角，即有h n+h n+2=2h n+1，由 S n= d?h n，可得 S n +S n+2=2S n+1，即 S n+2S n+1=S n+1S n，数列 { S n} 等差数列．故： A．【点】本考等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性，考化整理的推理能力，属于中档．二、填空9．（ 6 分）某几何体的三如所示（位： cm），几何体的表面是 80 cm2，体是 40 cm3．【分析】根据几何体的三，得出几何体下部方体，上部正方体的合体，合中数据求出它的表面和体即可．【解答】解：根据几何体的三，得；几何体是下部方体，其和都4，高 2，表面 2×4× 4+2×42=64cm2，体 2× 42=32cm3；上部正方体，其棱2，表面是 6×22 =24 cm2，体 23 =8cm3；所以几何体的表面64+242×22=80cm2，体 32+8=40cm3．故答案为： 80； 40．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题，也考查了空间想象和计算能力，是基础题．10．（ 6 分）已知 a ∈R ，方程 a 2x 2+（a+2）y 2+4x+8y+5a=0 表示圆，则圆心坐标是（﹣ 2，﹣ 4） ，半径是5 ．【分析】 由已知可得 a 2=a+2≠ 0，解得 a=﹣1 或 a=2，把 a=﹣1 代入原方程，配方求得圆心坐标和半径，把a=2 代入原方程，由 D 2+E 2﹣ 4F ＜0 说明方程不表示圆，则答案可求．【解答】 解：∵方程 a 2x 2+（a+2） y 2+4x+8y+5a=0 表示圆，∴ a 2=a+2≠ 0，解得 a=﹣1 或 a=2．当 a=﹣ 1 时，方程化为 x 2 +y 2+4x+8y ﹣ 5=0， 配方得（ x+2） 2+（y+4）2 ，所得圆的圆心坐标为（﹣，﹣ 4 ），半径为 ；=25 25 当 a=2 时，方程化为 ，此时，方程不表示圆，故答案为：（﹣ 2，﹣ 4）， 5．【点评】 本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．11．（6 分）已知 2cos 2x+sin2x=Asin （ ωx +φ）+b （A ＞0），则 A= ，b= 1 ．【分析】 根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案．【解答】 解：∵ 2cos 2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+ （cos2x+ sin2x ）=sin （2x+ ）+1，∴ A= ，b=1， 故答案为： ； 1．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、 两角和的正弦函数的应用， 熟练掌握公式是解题的关键．12．（ 6 分）设函数 f （x ）=x 3+3x 2+1，已知 a ≠ 0，且 f （x ）﹣ f （ a ） =（ x ﹣b ）（x ﹣ a ） 2，x ∈R ，则实数 a= ﹣2 ， b= 1 ．【分析】根据函数解析式化简 f （x ）﹣f （a ），再化简（ x ﹣ b ）（x ﹣a ）2 ，根据等式两边对应项的系数相等列出方程组，求出a、b 的值．【解答】解：∵ f（x）=x3+3x2+1，∴f（x）﹣ f（a）=x3+3x2+1﹣（ a3+3a2+1）=x3+3x2﹣（ a3+3a2）∵（ x﹣ b）（x﹣a）2=（ x﹣b）（x2﹣2ax+a2）=x3﹣（ 2a+b）x2+（a2+2ab）x ﹣a2b，且 f（ x）﹣ f（ a） =（x﹣b）（x﹣a）2，∴，解得或（舍去），故答案为：﹣ 2；1．【点评】本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题．13．（4 分）设双曲线 x2﹣=1 的左、右焦点分别为 F1、F2，若点 P 在双曲线上，且△ F1 2为锐角三角形，则 1 2 的取值范围是．PF | PF |+| PF |【分析】由题意画出图形，以 P 在双曲线右支为例，求出∠ PF2 1 和∠ 1 2 为直F F PF角时 | PF12 的值，可得△ 1 2 为锐角三角形时12 的取值范围．|+| PF | F PF | PF |+| PF |【解答】解：如图，由双曲线 x2﹣=1，得 a2=1，b2=3，∴．不妨以 P 在双曲线右支为例，当PF2⊥x 轴时，把x=2 代入 x2﹣ =1，得 y=±3，即 | PF2| =3，此时 | PF1 2 ，则12；| =| PF |+ 2=5 | PF |+| PF | =8由 PF1⊥ 2 ，得，PF又 | PF1﹣ 2 ，①| | PF | =2两边平方得：，∴ | PF1|| PF2| =6，②联立①②解得：，此时 | PF1|+| PF2| =．∴使△ F1PF2为锐角三角形的 | PF1|+| PF2| 的取值范围是（）．故答案为：（）．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．14．（4 分）如图，已知平面四边形 ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD= ，∠ADC=90°，沿直线 AC 将△ ACD 翻折成△ ACD′，直线 AC 与 BD′所成角的余弦的最大值是．【分析】如图所示，取 AC的中点 O，AB=BC=3，可得 BO⊥AC，在 Rt△ ACD′中，AC= ．作 D′E⊥AC，垂足为 E，D′ E= ． CO= ，CE= = ， EO=CO﹣CE= ．过点 B 作 BF∥AC，作 FE∥BO 交 BF于点 F，则 EF⊥AC．连接 D′F．∠FBD′为直线 AC与 BD′所成的角．则四边形 BOEF为矩形，BF=EO= ．EF=BO= ．则∠ FED′为二面角 D′﹣CA﹣ B 的平面角，设为θ．利用余弦定理求出2D′F的最小值即可得出．【解答】解：如图所示，取AC的中点 O，∵ AB=BC=3，∴ BO⊥AC，在 Rt△ACD′中，=．作 D′E⊥AC，垂足为 E，D′E==．CO= ， CE== =，∴EO=CO﹣ CE= ．过点 B 作 BF∥ AC，作 FE∥BO 交 BF于点 F，则 EF⊥ AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与 BD′所成的角．则四边形 BOEF为矩形，∴ BF=EO=．EF=BO==．则∠ FED′为二面角 D′﹣CA﹣B 的平面角，设为θ．2 ﹣×则 D′F+ cos θ= ﹣5cos θ≥， cos θ =1时取= 2等号．∴ D′B的最小值= =2．∴直线 AC与 BD′所成角的余弦的最大值 ===．也可以考虑利用向量法求解．故答案为：．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．15．（ 4 分）已知平面向量，，| | =1，| | =2，=1，若为平面单位向量，则 | |+| | 的最大值是．【分析】由题意可知， | |+| | 为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，由此可知，当与共线时，| |+| | 取得最大值，即．【解答】解： | |+| | = ，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值．∴= ．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题．三、解答题16．（14 分）在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 b+c=2acosB．（1）证明： A=2B；（2）若 cosB= ，求 cosC的值．【分析】（ 1）由 b+c=2acosB，利用正弦定理可得： sinB+sinC=2sinAcosB，而 sinC=sin （A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入化简可得： sinB=sin（A﹣B），由 A，B∈（ 0，π），可得 0＜A﹣B＜π，即可证明．（ II）cosB= ，可得 sinB= ．cosA=cos2B=2cos ﹣，．利B 1 sinA=用cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB即可得出．【解答】（1）证明：∵ b+c=2acosB，∴ sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin（A+B） =sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣ cosAsinB=sin（ A﹣ B），由 A，B∈（ 0，π），∴0＜ A﹣ B＜π，∴ B=A﹣B，或 B=π﹣（ A﹣B），化为 A=2B，或 A=π（舍去）．∴A=2B．（ II）解： cosB= ，∴ sinB==．cosA=cos2B=2cosB﹣1=，sinA==．∴ cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（ 15 分）设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，已知 S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式 a n；（Ⅱ）求数列 {| a n﹣ n﹣2|} 的前 n 项和．【分析】（Ⅰ ）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列 { a n} 是公比 q=3 的等比数列，即可求通项公式 a n；（Ⅱ）讨论 n 的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{| a n﹣n﹣2|} 的前 n 项和．【解答】解：（Ⅰ）∵ S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，解得 a1=1，a2=3，当 n≥2 时， a n+1=2S n+1，a n=2S n﹣1+1，两式相减得 a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，即a n+1 =3a n，当 n=1 时， a1=1，a2=3，满足 a n+1=3a n，∴=3，则数列 { a n} 是公比 q=3 的等比数列，则通项公式 a n=3n﹣1．（Ⅱ）a n﹣ n﹣ 2=3n﹣1﹣ n﹣2，设b n=| a n﹣ n﹣ 2| =| 3n﹣1﹣n﹣2| ，则b1=| 30﹣ 1﹣ 2| =2， b2=| 3﹣2﹣2| =1，当 n≥3 时， 3n﹣1﹣n﹣2＞0，则b n=| a n﹣ n﹣ 2| =3n﹣1﹣n﹣2，此时数列 {| a n﹣n ﹣2|}的前n项和n ﹣T =3+=，则 T n==．【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{ a n } 是等比数列是解决本题的关键．求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和．18．（ 15 分）如图，在三棱台A BC﹣ DEF中，平面 BCFE⊥平面 ABC，∠ ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（Ⅰ）求证： BF⊥平面 ACFD；（Ⅱ）求直线 BD 与平面 ACFD所成角的余弦值．【分析】（Ⅰ）根据三棱台的定义，可知分别延长 AD，BE，CF，会交于一点，并设该点为K，并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK，进而得出 BF⊥ AC．而根据条件可以判断出点 E，F 分别为边 BK，CK的中点，从而得出△ BCK 为等边三角形，进而得出 BF⊥CK，从而根据线面垂直的判定定理即可得出 BF⊥平面 ACFD；（Ⅱ）由 BF⊥平面 ACFD便可得出∠ BDF为直线 BD 和平面 ACFD所成的角，根据条件可以求出BF=，DF=，从而在Rt△BDF中可以求出BD的值，从而得出cos∠BDF的值，即得出直线BD和平面 ACFD所成角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF 相交于一点K，如图所示：∵平面BCFE⊥平面 ABC，且 AC⊥BC；∴AC⊥平面 BCK， BF? 平面 BCK；∴BF⊥AC；又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；∴△ BCK为等边三角形，且F 为 CK的中点；∴BF⊥CK，且 AC∩CK=C；∴BF⊥平面 ACFD；（Ⅱ）∵ BF⊥平面 ACFD；∴∠ BDF是直线 BD和平面 ACFD所成的角；∵F 为 CK中点，且 DF∥AC；∴DF为△ ACK的中位线，且 AC=3；∴；又；∴在 Rt△ BFD中，，cos；即直线 BD和平面 ACFD所成角的余弦值为【点评】考查三角形中位线的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定定理，线面角的定义及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义．19．（ 15 分）如图，设抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于 | AF| ﹣1，（Ⅰ）求 p 的值；（Ⅱ）若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N， AN 与 x 轴交于点 M ，求 M 的横坐标的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得 p 值；（Ⅱ）设出直线AF 的方程，与抛物线联立，求出B 的坐标，求出直线AB，FN的斜率，从而求出直线 BN 的方程，根据 A、M、N 三点共线，可求出 M 的横坐标的表达式，从而求出 m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于 A 到直线 x= ﹣ 1 的距离，由抛物线定义得，，即 p=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为y2=4x，F（1，0），可设（ t2，2t ），t ≠0，t≠± 1，∵ AF不垂直 y 轴，∴设直线 AF： x=sy+1（s≠0），联立，得 y2﹣4sy﹣4=0．y1y2=﹣4，∴ B（），又直线 AB 的斜率为，故直线FN的斜率为，从而得 FN：，直线BN：y=﹣，则 N（），设 M （m， 0），由 A、M、N 三点共线，得，于是 m==，得m＜0或m＞2．经检验， m＜0 或 m＞2 满足题意．∴点 M 的横坐标的取值范围为（﹣∞，0）∪（ 2， +∞）．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属中档题．20．（ 15 分）设函数 f （x） =x3+，x∈[ 0，1]，证明：（Ⅰ）f（x）≥ 1﹣x+x2（Ⅱ）＜f（x）≤．【分析】（Ⅰ ）根据题意， 1﹣ x+x2﹣x3=，利用放缩法得≤，即可证明结论成立；（Ⅱ）利用 0≤x≤1 时 x3≤x，证明 f（ x）≤，再利用配方法证明f（ x）≥，结合函数的最小值得出f（x）＞，即证结论成立．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为 f （x）=x3+ ，x∈[ 0，1] ，且 1﹣x+x2﹣x3= =，所以≤，所以 1﹣x+x2﹣ x3≤，即f（ x）≥ 1﹣x+x2；（Ⅱ）证明：因为0≤x≤1，所以 x3≤x，所以 f （x） =x3+ ≤x+ =x+ ﹣ + = + ≤；由（Ⅰ）得， f（x）≥ 1﹣x+x2= + ≥ ，且 f（）=+ = ＞，所以 f （x）＞；综上，＜ f（x）≤．【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目．。
