三年级数学练习（分类枚举）
1、用数字7，8，9可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个
数？
2、往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无
锡、苏州三站。问：铁路部门要为这趟车准备多少种车票？
3、下图中有多少个正方形？
3、用3个2分币、4个5 分币能组成多少种不同的钱数？
4、小华参加数学竞赛。赛题20道，规定答对一题给5分，答错
一题扣2分。小华答完了20道题，小华得了86分，小华答错了几道题？
5、巧算下列各题：①4723-（723＋189）②2356-159-256
③467＋997 ④987-178-222
5、把10只鸽子关在3个同样的笼子里，使得每个笼子里都有鸽子，
可以有多少种不同的放法？
6、用数字5，2，0、9可以组成多少个不同的四位数？分别是哪
几个数？把它们从大到小排列第8个是多少？
7、用数字5，2，8、9可以组成多少个不同的四位数？把它们从
大到小排列第15个是多少？第20个是多少？
8、下图中有多少个三角形？
9、100把钥匙搞乱了，为了使没把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次？
简单枚举 知识要点：简单枚举是一种重要的数学思考方法。运用这种方法解题，关键是分类要全，枚举要清。分类要全是指不能遗漏任何一种可能的类型；枚举要清是指要将每一个符合条件的对象都列举出来。对于容易划分类型、符合条件的对象也不太多时，简单枚举是一种较简便的方法。 经典例题：用数字1、3、4可以组成多少个不同的三位数？ 解：一个三位数由百位数字、十位数字和个位数字组成。我们可以根据百位上数字的不同将它们分成3类： 1、百位上数字是1，有：134，143 2、百位上数字是3，有：314，341 3、百位上数字是4，有：413，431 共有：2+2+2=6（个）或 2×3=6（种） 答：可以组成6个不同的三位数。 小试牛刀： 用数字3，8，9可以组成多少个不同的三位数？ 举一反三： 1、用数字0，2，5可以组成多少个不同的三位数？ 2、现有一张1元、两张5元和一张10元的人民币，一共可以组成多少种不同的币值？ 3、两个整数相除，其中除数是一位数，商是5，余数是6，求被除数是多少？
融会贯通： 用0，2，5，9可以组成多少个能被5整除的三位数？ 综合练习： 1从小华家到学校有3条路可以走，从学校到文峰公园有4条路可以走，从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？ 2、新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售，小名想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同的买法？ 3、从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达，从甲地到丙地有多少种不同的走法？ 4、有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次？
5、6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？ 6、小芳出席由19人参加的联欢会，散会后，每两个人都要我一次手，他们一共握了多少次手？ 7、上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同的机票？ 8、一条公路上，共有8个站点，那么共有多少种不同的车票？ 9、明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的鞋子，最多可搭配成多少种不同的装束？
简单枚举（一） 知识导航 数学问题中有些问题的答案具有多样性，直接解答比较困难，我们可以采用一一列举的方法来解决。像这样通过列举各种情况使问题得到顺利解决的数学方法，我们称之为简单枚举 典型例题1 从小辉家到学校有2条路可以走，从学校到人民公园有3条路可以走，从小辉家经过学校到人民公园，有多少种不同的路线？ 举一反三1 1、从小强家到学校有3条路可以走，从学校到文化宫有2条路可以走，从小强家经过学校到文化宫，有多少不同的路线？ 2、从甲地到乙地，有3条直达公路，从乙地到丙地，有4条直达铁路，从甲地经过乙地到达丙地，有多少种不同的路线？
3、书店有5中不同的电脑书，4种不同的手工书，小希想买一本电脑书和一本手工书，共有多少种不同的组合？ 经典例题2 小雨又4件不同的上衣，2条不同的裤子，如果将上衣和裤子搭配，请问小雨一共有多少种不同的穿法？ 举一反三2 1、小琳有3件不同的体恤，3条不同的裙子，问她一共有多少种不同的穿法？ 2、小鸭、小鸡、小鹅三个动物排成一排，有多少种不同的排法？
3、用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成几种不同的信号？ 典型例题3 小雨又4件不同的上衣，2条不同的裤子，3双不同的鞋子，最多可以搭配成多少种不同的装束？ 举一反三3 1、晓琳有3件不同的上衣，5条不同的裤子，4双不同的鞋子，最多可搭配成多少种不同的装束？ 2、小玲的芭比娃娃有6件不同的体恤，3条不同的牛仔裤，5双不同的鞋子，小玲最多可为芭比娃娃搭配多少种不同的装束？
3、小玉有5支钢笔，3个文具盒，4块橡皮，他要每样选一种送给同桌作为生日礼物，他有多少种不同的选法？ 经典例题4 用2、4、6这三个数字可以组成多少个没有重复数字的两位数？ 举一反三4 1、用1、7、5这三个数字可以组成多少个没有重复数字的两位数？ 2、用2、 3、9、4这四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 3、用6、 4、 5、8这四个数字可以组成多少个没有重复数字的两位数？
枚举法中的字典排列 我明天先吃什么呢？先吃汉堡，不不，还 是 先吃玉米，哎，还是先吃饼干 吧！到底 先吃什么呢？共有多少种不同的吃 法？ 基础例题: 在上一讲中我们学习了简单的枚举法一一直接把所有情况一一列举出来. 接枚举很有可能产生重复或者遗漏， 这时就需要有一些特别的方法来帮助我们枚举出所有情况. 本讲就 但如果问题较为复杂，直 如果我把这三个东西都带回去, 天吃1个，还可以再吃3天呢？
主要介绍两种枚举的方法：字典排列法和树形图法. 首字母相同的单词都在一起 同学们可以翻一下英汉字典，不难发现字典中单词排列的规律：整本字典按首字母从 a 到z 排列, 在首字母相同的单词中, 再按照第2个字母从a 到z 的顺序排列, 然后是
个字母，第4个字母所谓“字典排列法”，就是指在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出 3各一次可以组成多少个不同的三位数？用字典排列法枚举时，每个位置都勒* 按从小到大排列，枚举的顺序是：123, 132, 213, 231 , 312, 321 .下面我们用字典排列法来解决几个 问题. 例题1 .卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物，三人找到 的宝物数量共有多少种不同的可能？（可能有人没有发现宝物） 分析：每个人最少找到几件宝物？最多呢？ 练习： 1.老师准备了6个笔记本奖励萱萱、小高和墨莫三人，每人至少得到1本笔记本，请问：老师有 多少种不同的奖励方法？ 例题2 ?老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8 ?如果两个同学写出的3 个自然数相同，只是顺序不一样，则算是同一种写法?试问：同学们最多能得出多少种不同的写法？ 分析：注意顺序不同算一种写法，也就是三个数分别为（1、2、5）、（2、5、1 ）和（5、1、2）都 算同一种写法. 练习： 2.三个大于0的整数之和（数与数可以相同）等于10，共有多少组这样的三个数? 用字典排序法枚举的时候，判断题目要求到底是“交换顺序后算作两种”还是“交换顺序后仍然是同一种”非常关键?往往题目中要求“交换顺序后仍然是同一种”，那么枚举的每个结果里就没有明确 的顺序关系；反之，那么枚举时要注意每个结果中应该都符合一定的顺序关系. 在求解计数问题时，审题非常关键?往往一字之差就会有天壤之别. 枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举很容易出现重复或者遗 漏.这时就需要预先把所有情形分成若干小类，针对每一小类进行枚举. 例题3 如下图所示，有7个按键，上面分别写着：1、2、3、4、5、6、7这七个数字?请 问： （1）从中选出2个按键，使它们上面的数字的差等于2, 一共有多少种选法？ ftp f 1ft 0
第20讲简单枚举 一、知识要点 枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。 二、精讲精练 【例题1】从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？ 【思 路导航】为 了帮助理解题 意，我们可以 画出如上示意图。 我们把小华的不同走法一一列举如下： 根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走①路 有4种不同走法，走②路有4种不同走法，走③路也有4种 不同走法，共有4×3=12种不同走法。 练习1：1.从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到 丙地有2条铁路直达。从甲地到丙地有多少种不同走法？ 2.新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售。小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同买法？ 3.明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的鞋子。最多可搭配成多少种不同的装束？ 【例题2】用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？ 【思路导航】要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举。可以看出，红色信号灯排在第一个位置时，有两种不同的信号， 绿色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，黄色信号 灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，因而共有3个2 种不同排列方法，即2×3=6种。 练习2：1.用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？○○○ 2.用数字1、2、 3.可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？ 3.用2、3、5、7四个数字，可以组成多少个不同的四位数？
教师姓名学科数学上课时间年月日---学生姓名年级三年级 课题名称枚举法 教学目标1、做到不重补漏，把复杂的问题简单化； 2、按照一定的规律，特点去枚举； 3、从思想上认识到枚举的重要性。 教学重点枚举法 教学过程 枚举法 【课题引入】 枚举法是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，根据问题要求，一一枚举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一枚举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。枚举法是一种常见的数学方法，当然枚举法也存在一些问题，那就是容易遗漏掉一些情况，所以应用枚举法的时候选择什么样的标准尤其重要。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意一下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。 【例题学习】 例1：用数字1、3、4可以组成多少个不同的三位数？ 【即时练习】 1、用0、3、5可以组成多少个不同的三位数?
2、用4、7、8这三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数，它们有哪些？其中最大的数和最小的数各是多少？ 【例题学习】 例2、用0，2，5，9可以组成多少个是5的倍数的三位数？ 【即时练习】 1、从1、 2、 3、 4、 5、6这些数中，任取两个数，使其和不能被3整除，则有_______种取法。 2、从l～9这9个数码中取出3个，使它们的和是3的倍数，则不同取法有_______种。 3、小明的两个口袋中各有6张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，……，6。从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算上面所写两数的乘积，那么，其中能被6整除的不同乘积有_____个。
1.使学生掌握加法原理的基本内容； 2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别； 3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则． 加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致． 一、加法原理概念引入 生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决． 例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？ 分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法． 在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数． 二、加法原理的定义 一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做 法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是 加法原理． 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”． 分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则： ① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； ② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法． 只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确． 运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”． 三、加法原理解题三部曲 1、完成一件事分N 类； 2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）； 3、类类相加 枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏． 7-1-1.加法原理之分类枚举 知识要点 教学目标
7-1-1.加法原理之分类枚举（一） 教学目标 1.使学生掌握加法原理的基本内容； 2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别； 3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则． 加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致． 知识要点 一、加法原理概念引入 生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决． 例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？ 分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法． 在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数． 二、加法原理的定义 一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理． 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”． 分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则： 1完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； 2分别属于不同两类的两种方法是不同的方法． 只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确． 运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”． 三、加法原理解题三部曲 1、完成一件事分N 类； 2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）； 3、类类相加 枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．
小学数学新版一年级上册 小学数学版一年级上册分类 分类（一） 一、教学目标： 1.引导学生观察商场实物的摆放情况，初步感知分类的意义；通过操作学会分类的方法。 2.通过分一分、看一看培养学生的操作能力、观察能力、判断能力、语言表达能力。 3.培养学生合作交流的意识。 4.让学生体会到生活中处处有数学。 二、教学重难点： 学会物体进行分类的方法。 教具、学具准备： 录像，商品柜台及相应物品，学具袋(6袋不同的物品)。 三、教学过程： （一）创设情境，探求新知 1.感知分类： (1)播放录像①商场外景镜头。 (2)播放录像②商场物品远景镜头。 提问：你看到了什么？发现了什么？引导学生说出，商场是把一样的物品放在了一起。 2.明确分类 (1)播放录像③商场物品近景镜头(文具柜台第一层是文具盒；第二层是练习本；第三层是笔。一位售货员阿姨正在往柜台里分类摆放文具。) 提问：你看到了什么？发现了什么？ 引导学生说出：阿姨是把一样的东西放在了一起。 像阿姨这样，把一样的东西放在一起就叫分类。(板书课题) 学生结合所看录像说说什么是分类。 (2)猜一猜 继续观看录像从而猜测阿姨拿的物品会放到哪一层？使学生进一步明确要把同一类的物品放
在一起。 （二）巩固发展，体验分类 1.摆一摆。出示商品柜台，引导学生以小组为单位把相应物品分类摆放在柜台里。 学生汇报物品是如何摆放的，教师从而明确分类的必要性——通过分类使每种物品看得更清楚了，也为我们的生活提供了许多方便。 2.分一分，完成做一做。 （1）教师导语，说明以小组为单位进行分类活动。 （2）小组活动，组内互相交流是怎样分的，体验分类的方法。 （3）汇报交流.教师巡视指导，同时注意学生中分类的不同方法。 3.练习题 (1)第1题。启发学生圈一圈，并说一说是怎样圈的？为什么这样圈？ (2)第2题。指导学生独立完成。订正时，将学生的作品展示出来。启发说出：前、后4辆车是同一类的。 (3)第3题。教师说明题意，学生互相交流，使学生明确其中一个与其他三个不是同类。 4.补充练习：每组一袋物品，明确要求：先议一议怎样分，哪一组分得又快、又准确。然后汇报说明。 5.淘气的房间这么乱，怎么来帮他整理呢？
三年级奥数(简单枚举) 【专题简析】 枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。 【典型例题】 【例1】从小华家到学校有3条路可以走，从学校到岐江公园有4条路可以走，从小华家到岐江公园，有几种不同的走法？ 【试一试】 1. 从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路可以直达，从甲地到丙地有多少种不同的走法？ 2. 新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售，小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同的买法？ 【例2】把4个同样的苹果放在两个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？ 【试一试】 1．把5个同样的苹果放在两个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？ 2．把7个同样的苹果放在三个同样的盘子里，不允许有的盘子空着不放，问共
有多少种不同的分法？ 【例3】从1～6这六个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于7，能有多少种取法？ 【试一试】 1．从1～9这九个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于10，能有多少种取法？ 2．从1～19这十九个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于20，能有多少种取法？ 【例4】一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？ 【试一试】 1．一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？ 2．把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？ 【例5】有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多 少次电话？ 【试一试】 1．6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？
第九讲 有序枚举与其它组合方法 主要方法： 1.标数法 标数法是用来解决最短路线问题的方法。 如：从A 点出发去B 点，问最短的路线有多少条？ A B 116 方法：1.先确定大方向，即向右和向下 2.标出各条线段的小箭头 3.一行一行的标数，得出到达每个点的路线数 2.树形图 树形图能形象直观，条理分明，简炼易懂的表示出所有可能的情形。特别适用于找出所有的情形或结果的题目。 如：暑假里，一个学生在A 、B 、C 三个城市游览。他今天在这个城市，明天就到另一个城市。假如他第一天在A 市，第五天又回到A 市，问他有几种不同的游览方案？ [分析]根据游览要求，第二天可能是B市或C市，若为B市，第三 天可能是A市或C市；若为C市，第三天可能是A市或B市 如此考虑，极有可能会把自己弄糊涂了。但画一个树形图，则会清晰明了地显示出所有的游览方案。 [方法]共有6种不同的游览方案，可以用下面的树形图表示：
3.分类枚举 分类枚举就是依据一定的标准把题目的答案分为几种类型，一一列举出来。分类枚举的方法主要用来解决一些排列组合的问题，列举时要有序分类，保证答案既不遗漏又不重复。 例题：把10只鸽子关在3个同样的笼子里，使得每个笼子里都有鸽子，可以有多少种不同的放法？ 【分析】：这里笼子都是同样的，因此3只笼子是无序的。 因为10÷3=3……1，根据题中条件，可得鸽子最少的那个笼子里的鸽子不多于3只，不少于1只，我们可以这样分为三类： 【方法】 1、鸽子最少的那个笼子里有1只鸽子，共有4种放法：①1只、1只、8只； ②1只、2只、7只；③1只、3只、6只；④1只、4只、5只。 2、鸽子最少的那个笼子里有2只鸽子，共有3种放法：①2只、2只、6只； ②2只、3只、5只；③2只、4只、4只。 3、鸽子最少的那个笼子里有3只鸽子，共有1种放法：①3只、3只、4只。 所以共有放法：4+3+1=8（只）。
第19讲：简单枚举 专题简析：枚举法是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般要根据问题的要求，一一列举问题进行解答，运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；而是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。 【例题1】从小华家到学校有3条路可以走，从学校到文峰公园有四条路可以走。从小华家到文峰公园有几种不同的走法？ 【习题一】1、从甲地到乙地有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达。从甲地到丙地有多少种不同的走法？ 2、新华书店有3种不同的英语辅导书、4种不同的数学辅导书在销售，小明想买一本英语辅导书和一本数学辅导书，共有多少种不同买法？ 3、明明有2件不同的上衣、3条不同的裤子、4双不同的鞋子，最多可搭成多少种不同的装束？ 【例题2】一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？ 【习题二】1、一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？
2、把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？ 3、3个自然数的乘积是18，由这样的3个数所组成的数组有多少个？如（1,2,9）就是其中的一个，而且数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如（1,2,9）和（2,9，1）是同一数组。 【例题3】4个小朋友在寒假中互相打一次电话，他们一共打了多少次电话？ 【习题3】1、6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少场比赛？ 2、小芳出席由19人参加的联欢会，散会后每两人都要握一次手，他们一共握了多少次手？ 3、A，B，C，D，E这五个人一起回答一个问题，结果只有两人答对了，所有可能的回答情况一共有多少种？ 【例题4】一条铁路共有10个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中间至少相隔5个车站），那么这样的车票共有多少种？
小学三年级数学分类枚举知识点讲解 这篇小学三年级数学分类枚举知识点讲解是特地为大家整理的，希望对大家有所帮助! 小芳为了给灾区儿童捐款，把储蓄罐里的钱全拿了出来。她想数数有多少钱。小朋友，你知道小芳是怎么数的吗?小芳是个聪明的孩子，她把钱按1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元等分类去数。所以很快就数好了。 小芳数钱，用的就是分类枚举的方法。这是一种很重要的数学思考方法，在很多问题的思考过程中都发挥了很大的作用。下面就让我们一起来看看它的本领吧! 经典试题 例[1] 下图中有多少个三角形？ 分析我们可以根据图形特征将它分成3类： 第一类： 有6个; 第2类： 有6个; 第3类： 有3个; 解 6+6+3=15(个)图中有15个三角形。 例[2]下图中有多少个正方形？ 分析根据正方形边长的大小，我们将它们分成4类。
第1类：由1个小正方形组成的正方形有24个; 第2类：由4个小正方形组成的正方形有13个; 第3类：由9个小正方形组成的正方形有 4个; 第4类：由16个小正方形组成的正方形有1个。 解 24+13+4+1=42。图中有42个正方形。 例[3] 在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数：分别是哪几个数？ 分析根据两粒珠子的位置，我们可将它们分成3类： 第1类：两粒珠子都在上档，可以组成505，550; 第2类：两粒珠子都在下档，可以组成101，110，200; 第3类：一粒在上档，另一粒在下档，可以组成510，501，150，105，600。 解可以表示101，105，110，150，200，501，505，510，550，600共10个三位数。 例[4] 用数字7，8，9可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？ 分析根据百位上数字的不同，我们可以将它们分成三类：第1类：百位上的数字为7，有789，798; 第2类：百位上的数字为8，有879，897; 第3类：百位上的数字为9，有978，987。 解可以组成789，798，879，897，978，987共6个三位数。例[5] 往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠
4、简单枚举 上图中，整个平面被分成了几个部分？ 枚举，词典里的意思是“一一列举”顾名思义，“枚举法”就是把所有可能的情况一一列举出来，然后数一下总共有几种情况，虽然枚举法看上去很简单，但当情况复杂时，想要不重漏地枚举出所有情况就有一定难度了，需要同学们有严谨的思维。 对于简单的题目，直接按题意一条条地枚就可以了，由于情况较少，枚举出所有情况还是比较容易的，先来看一道简单的题目。 例题1 小明、小红、小亮三个人去看电影，他们买了3个相邻座位的票，他们三人的座位顺序一共有多少种不同的安排方法？ 分析：如果小明在最左边的话，有几种安排方法？ 练习 1、（1）用0、1、2这三个数字各一次，一共能组成多少个不同的三位数？（2）用3、5、6、7这四个数字各一次，一共能组成多少个不同的三位数？
当满足条件的方法数较多时，为了达到不重不漏的目的，往往会按照一定的顺序来枚举，可能是“从前往后”、“从大到小”等等。 例题2 （1）老师给了小红14个相同的练习本，如果小红把这些本子全都分给了小李和小高，并且每人都要分到练习本，共有几种不同的分法？ （2）老师给了小红14个相同的练习本，如果小红只需要把这些本子分成2堆，又有多少种分法？ 分析：仔细审题，两个小题之间有什么区别？ 在例题2中，同样是把练习本分成两部分，第（1）小题中给小李10本，小高4本是一种情况，而给小李4本，小高10本又是另一种情况，但到了第（2）小题里，一堆10本、一堆4本和一堆4本，一堆10本是同一种情况，我们可以说第（1）小题是“有顺序”的情况，而第（2）小题是“无顺序”，在枚举时尤其要注意这一点，究竟什么时候是“有顺序”，什么时候是“无顺序”。 练习 2、老师把9颗糖分给阿呆阿瓜两个人，每人都有糖，那么一共有多少种不同的分法？
第十一讲分类枚举 知识点：分类枚举是数学上一种重要的思考方法，在很多问题中都要用到这种方法，这样思考的关键是做到有序思考，不重复，不遗漏。 例1：袋子中装有黑、红、白三中颜色的小球各1个，每次从中摸出2个球，可能出现哪几种情况？ 同步练习 1、盘子里有水果梨子、香蕉、苹果各一个，小红每次只能取2个，她有几种不同的方法？ 2、袋子中装有红、黄、蓝、绿四种颜色的小球各一个，每次从中摸出2个球，可能有哪几种取法？ 3、甲乙丙三个小朋友，每两人之间握一次手，一共要握多少次手？ 例2：用3、5、6这三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 同步练习 1、用4、7、8这三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 2、用5、0、9这三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数，其中最大的是多少？最小的呢？ 3、小华、小明、小林3人站成一排照相，有多少种不同的排法？ 例3：从玲玲家到学校有2条路可以走，从学校到电影院有3条路可以走，从玲玲家到电影院有几种不同的走法？ 同步练习 1、小明有3件衬衫和2条裤子，可以搭配出几种不同的穿着？ 2、从学校到公园有3条路可以走，从公园道展览馆有4条路可以走，从学校到展览馆有几种不同的走法？
3、书架上有5本不同的画报，8本不同的报刊，如果每次从书架上任取一本画报和一本报刊，共有多少 种不同的取法？ 例4：往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州，无锡，苏州三站。问：铁道部门要为这趟车准备多少种车票？ 同步练习 1、3个小朋友过圣诞节互相寄节日贺卡，一共寄了多少张贺卡？ 2、汽车往返于甲乙丙丁4个车站之间，问：管理部门要为这趟汽车准备多少种车票？ 3、5个小朋友互相寄信表示问候，一共寄了多少封信？ 课后巩固 一、填空题 1、用3、4、9可组成（）个数字不重复的三位数，其中最大是（），最小是（） 2、文具店有3种不同的书包，4种不同的文具，妈妈想给亮亮买一个书包和一个文具盒，共有（）种不同买法。 3、中、韩、日、泰进行四国排球邀请赛，每两队打一场，按积分排名次，一共赛（）场。 4、像18＋81=99这样，十位数字与个位数字顺序颠倒的一对两位数叫做倒序数。和在100以内的倒序数有（）对。 二、解答题 1、用数字5、6、7、9组成的不含重复数字的四位数有多少个？ 2、从北京到济南的特快列车，中途停靠5个车站，有几种不同的车票？ 3、小华有4双不同的鞋子，3双不同的袜子，最多可以搭配成多少种不同的穿法？ 4、用2张面值3角和2张面值5角的邮票搭配，一共可以组成多少种不同的邮资？ 5、6个队进行篮球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？
第14讲：简单枚举 专题分析： 枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律的进行枚举。 例1：新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售。小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同买法？ 【思路点拨】英1——数1，英1——数2，英1——数3，英1——数4； 英2——数1，英2——数2，英2——数3，英2——数4； 英3——数1，英3——数2，英3——数3，英3——数4。3×4 = 12（种） 例2：用2、3、5、7四个数字，可以组成多少个不同的四位数？ 【思路点拨】 分别是：2357、2375、2537、2573、2735、2753； 3257、1275、3527、3572、3725、3752； 5237、5273、5327、5372、5723、5732； 7235、7253、7325、7352、7523、7532 答：可以组成24个不同的四位数。 例3：一条公路上，共有8个站点。如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔3个车站），那么共有多少种不同的车票？ 【思路点拨】 如图，按要求可以有票的种类是： ①⑤、①⑥、①⑦、①⑧、②⑥、②⑦、②⑧、③⑦、③⑧、④⑧； ⑧④、⑧③、⑧②、⑧①、⑦③、⑦②、⑦①、⑥②、⑥①、⑤①。 （4+3+2+1）×2 = 20（种）
拓展训练： 1、用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？ 2、一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？ 3、把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？ 4、上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同的机票？ 5、在长江的某一航线上共有6个码头，如果每个起点终点只许用一种船票（中间至少要相隔2个码头），那么这样的船票共有多少种？
分类枚举 小芳为了给灾区儿童捐款，把储蓄罐里的钱全拿了出来。她想数数有多少钱。小朋友，你知道小芳是怎么数的吗？小芳是个聪明的孩子，她把钱按1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元等分类去数。所以很快就数好了。 小芳数钱，用的就是分类枚举的方法。这是一种很重要的数学思考方法，在很多问题的思考过程中都发挥了很大的作用。下面就让我们一起来看看它的本领吧！ 典型例题 例[1]下图中有多少个三角形？ 分析我们可以根据图形特征将它分成3类： 第一类：有6个； 第2类：有6个；
第3有3个； 解 6+6+3=15（个） 图中有15个三角形。 例[2]下图中有多少个正方形？ 分析根据正方形边长的大小，我们将它们分成4类。 第1类：由1个小正方形组成的正方形有24个； 第2类：由4个小正方形组成的正方形有13个； 第3类：由9个小正方形组成的正方形有 4个； 第4类：由16个小正方形组成的正方形有1个。 解24+13+4+1=42。 图中有42个正方形。 例[3]在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数：
分别是哪几个数？ 分析根据两粒珠子的位置，我们可将它们分成3类： 第1类：两粒珠子都在上档，可以组成505，550； 第2类：两粒珠子都在下档，可以组成101，110，200； 第3类：一粒在上档，另一粒在下档，可以组成510，501，150，105，600。 解可以表示101，105，110，150，200，501，505，510，550，600共10个三位数。 例[4] 用数字7，8，9可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？ 分析根据百位上数字的不同，我们可以将它们分成三类：第1类：百位上的数字为7，有789，798； 第2类：百位上的数字为8，有879，897； 第3类：百位上的数字为9，有978，987。 解可以组成789，798，879，897，978，987共6个三位数。
小学二年级数学简单枚举练习题 1. 一条公路上，共有8个站点，如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔3个车站），那么共有多少种不同的车票？ 2. 李老师要把19颗星星分给两个小朋友，每个小朋友都要分到，可以怎么分？共有几种分法？ 3. 用1元、2元和5元币中的两张，一共可以组成几种不同的钱数？ 4. 三个自然数的乘积是24，问由这样的三个数所组成的数组有多少个?如(1，2，12)就是其中的一个，而且要注意数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如(1，2，12)和(2，12，1)是同一数组. 5. 在10和31之间有多少个数是3的倍数? 6. 6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少场比赛？ 7. 一条公路上，共有10个站点，如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔5个车站），那么这样的车票共有多少种？ 8. 上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同的机票？ 9. 小娟出席由10人参加的生日会，散会后，每两人都要握一次手，他们一共握了多少次手？ 10. 幼儿园张老师要把14颗糖分给两个小朋友，每个小朋友都要分到，可以怎么分？共有几种分法？ 11. 一条公路上，共有12个站点，如果每个起点到终点只用一种车票（中间至
少相隔6个车站），那么这样的车票共有多少种？ 12. 有4位小朋友，寒假中每两人都互通一次电话，他们一共打了多少次电话？ 13. 用1、2、3三个数字可以组成多少不同的三位数？分别是哪几个数？ 14. 明明要到文具店买东西，他看到了两个非常漂亮的文具盒和三支笔，如果要挑选一个笔盒和一支笔，请问有多少种不同的挑法？ 15. 一个学习小组有五个人，如果每个人都与其余的人握一次手，问：五个人总共握了几次手？ 16. 用红、黄、蓝三种颜色涂三个圆圈，每个圆圈的颜色都不一样，一共有多少种不同的涂法？ 17. 小淘气跟妈妈爸爸外出游玩时要带两个球和三条绳子，妈妈只许他拿走一条绳子和一个球，问他有几种挑法？ 18. 用红、黄、绿三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？
简单枚举 【一】从小华家到学校有2条路可以走，从学校到岐江公园有3条路可以走，从小华家到岐江公园，有几种不同的走法？ 练习 1、丽丽有红、蓝、黑帽子各一顶，红、蓝、黑围巾各一条。冬天，丽丽每天戴一顶帽子、 围一条围巾，有几种不同的搭配方式？ 2、新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物，小明想买一种英语书和一种数学 读物，共有多少种不同的买法？ 【二】把4个同样的苹果放在两个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？ 练习 1、把5个同样的苹果放在两个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？ 2、把7个同样的苹果放在三个同样的盘子里，不允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？ 【三】从1~6这六个数中，每次取2个数，这两个数的和都必须大于7，能有多少种取法？ 练习 1、从1~4这四个数中，如果每次取2个数，要使两个数的和都大于5，能有多少种取法？
2、从1~7这七个数中，任取两个和大于8的数，能有多少种取法？ 【四】一个长方形花圃的周长是18米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个花圃的面积有多少种可能值？ 练习 1、一个长方形的周长是12厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？ 2、把10个彩色气球分成数量不同的3堆，共有多少种不同的分法？ 【五】中、日、韩、美进行四国足球赛，每两队踢一场。按积分排名次，一共要踢多少场？ 练习 1、五个同学参加乒乓球赛，每两个人都要比赛一场，一共要赛多少场？ 2、某学校乒乓球队员8人，其中女队员6人，现在要组成双打混合队去参加比赛，有几种组队方法？ 【六】往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站，问：铁路部门要为这趟车准备多少种车票？ 练习 1、上海、北京、天津、广州四个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同的机票？
第十三讲数学问题常用方法（二） ——枚举法我们在课堂上遇到的数学问题，一般都可以列出算式，然后求出结果。但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它们的算式，似乎无从下手。但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来，或能被分类列举出来，那么问题就可以通过枚举法获得解决。所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。 例1 小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。 【分析与解】：将两枚骰子的点数和分别为7 与8 的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。用a＋b 表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b 的情况。出现7 的情况共有6 种，它们是：1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。出现8 的情况共有5 种，它们是：2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。所以，小明获胜的可能性大。注意，本题中若认为出现7 的情况有1＋6，2＋5，3＋4 三种，出现 8 的情况有2＋6，3＋5，4＋4 也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。 练习1 1.将6 拆成两个或两个以上的自然数之和，共有多少种不同拆法？ 【分析与解】：10 种。6=1＋5=2＋4=3＋3=1＋1＋4=1＋2＋3=2+2+2=1+1+1+3＝1+1+2+2 ＝1+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1。 2.小明有10 块糖，如果每天至少吃3 块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？ 【分析与解】：9 种。一天吃完有1 种：（10）。两天吃完有5 种：（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3）。三天吃完有3 种：（3，3，4），（3，4，3），（4，3，3）。共1+5+3=9（种）。 例2 数一数，右图中有多少个三角形。 【分析与解】：图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好数 清楚。为了避免数数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号（见 右图），然后按照图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、 由3 部分组成的……再一类一类地列举出来。单个的三角形有6 个：1 ，2， 3，5，6，8。由两部分组成的三角形有4 个：（1，2），（2，6），（4，6）， （5，7）。由三部分组成的三角形有1 个：（5，7，8）。由四部分组成的 三角形有2 个：（1，3，4，5），（2，6，7，8）。由八部分组成的三角形 有1 个：（1，2，3，4，5，6，7，8）。总共有6＋4＋1＋2＋1=14（个）。 练习2 1.数数右图中共有多少个三角形？ 【分析与解】：10 个。由一块、两块、三块、四块组成的三角形依次有4， 3，2，1个，共有4＋3＋2＋1＝10（个）。
辅导教案 学员姓名辅导科目奥数 年级三年级授课教师 课题简单枚举 授课时间 教学目标 重点、难点 教学内容 一、知识要点 枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。 二、精讲精练 【例题1】从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4 条路可走。从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？ 【思路导航】为了帮助理解题意，我们可以画出如上示意图。 根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走①路有4种不同走法，走②路有4种不同走法，走③路也有4种不同走法，共有4×3=12种不同走法。 练习1： 1.从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达。从甲地到丙地有多少种不同走法？ 2.新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售。小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同买法？ 3.明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的鞋子。最多可搭配成多少种不同的装束？ 【例题2】用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？ 【思路导航】要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举。可以看出，红色信号灯排在第一个位置时，有两种不同的信号，绿色信号灯排在第一 个位置时，也有两种不同的信号，黄色信号灯排在第一个位置时，也有两 种不同的信号，因而共有3个2种不同排列方法，即2×3=6种。 练习2： 1.用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？○○○