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阿基米德螺线曲率半径
摘要：
1.引言
2.阿基米德螺线的定义与性质
3.阿基米德螺线的曲率半径
4.阿基米德螺线在实际应用中的意义
5.结论
正文：
阿基米德螺线是一种数学曲线，以其发现者古希腊数学家阿基米德的名字命名。
它具有许多独特的性质，并在各种领域中具有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将详细讨论阿基米德螺线的曲率半径，并了解它在实际应用中的意义。
阿基米德螺线，又称为阿基米德螺旋线，是一种以螺旋形式排列的曲线。
它可以用以下方程表示：r = a + bθ，其中r是曲线上的点到原点的距离，θ是极角，a和b是常数。
阿基米德螺线的特点是，当极角θ增加时，曲线上的点在不断地绕着原点旋转，同时保持与原点的距离不变。
阿基米德螺线的曲率半径是一个重要的几何参数，用于描述曲线在某一点处的弯曲程度。
对于阿基米德螺线，曲率半径可以通过求解其微分方程来计算。
具体来说，曲率半径r_c的计算公式为：r_c = a / (2 * π * √(1 + (b / a)^2))。
阿基米德螺线在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在物理学中，阿基米
德螺线可以用来描述螺线管内部的磁场分布；在工程学中，阿基米德螺线被用于设计螺纹，以实现紧密的连接；在生物学中，阿基米德螺线可以用来描述生物体内的螺旋结构，如DNA的双螺旋结构。
总之，阿基米德螺线是一种具有独特性质的数学曲线，其曲率半径是描述其弯曲程度的重要参数。
阿基米德螺线原理的应用什么是阿基米德螺线阿基米德螺线，也称为阿基米德螺旋线，是以古希腊数学家阿基米德的名字命名的一种特殊的曲线。
这条曲线具有很多有趣的性质和应用。
阿基米德螺线的形状类似于一个螺旋形状，因此得名。
阿基米德螺线的数学表示阿基米德螺线的数学表示为：x = r * cos(θ) y = r * sin(θ)其中，r是螺线与原点的距离，θ是与x轴的夹角。
阿基米德螺线的性质阿基米德螺线具有以下主要性质：1.螺线的圈数与半径成正比：螺线的圈数与半径r成正比，即圈数n =k * r，其中k是一个常数。
2.螺线的圈数决定了螺线的紧密程度：圈数n越大，螺线的紧密程度越大；圈数n越小，螺线的紧密程度越小。
3.螺线的密度恒定：螺线上每个单位长度上的节点数量是恒定的。
换句话说，不同半径的螺线上，同样长度上的节点数量是相同的。
阿基米德螺线的应用阿基米德螺线的应用非常广泛。
以下是一些主要应用领域：1. 螺旋桨和涡轮机械阿基米德螺线被广泛应用于螺旋桨和涡轮机械的设计中。
螺旋桨是水中或空中运动的主要推进力源，而阿基米德螺线的几何特性使得螺旋桨能够以高效的方式推动船只或飞行器。
涡轮机械中，阿基米德螺线被用于设计涡轮叶片，以提高涡轮机械的效率。
2. 游乐设施和装置阿基米德螺线的独特形状被应用于许多游乐设施和装置中。
例如，旋转木马的座椅通常沿着阿基米德螺线排列，以使得每个座椅的运动方式呈现出优美的螺旋轨迹。
类似地，一些儿童攀爬设备的滑梯上也应用了阿基米德螺线的设计原理。
3. 生物学和自然界中的现象阿基米德螺线在生物学研究和自然界中也有许多应用。
例如，蜗牛的壳就是以阿基米德螺线的形式螺旋生长的。
此外，一些植物的茎、藤蔓等也呈现出类似的螺旋形态，这与阿基米德螺线的性质密切相关。
4. 数学研究和几何学阿基米德螺线作为一种特殊的曲线，被数学研究者和几何学家广泛研究和探索。
阿基米德螺线的性质使得它成为数学建模和曲线绘制中的重要元素。
阿基米德螺旋线曲线中焦点三角形和内切圆的解法技巧总结与赏析简介阿基米德螺旋线是一种数学曲线，具有许多有趣的性质和应用。
本文将总结阿基米德螺旋线曲线中焦点三角形和内切圆的解法技巧，并进行赏析。
焦点三角形的解法技巧焦点三角形是指阿基米德螺旋线上任意一点与其对应的两个焦点以及坐标轴形成的三角形。
解决焦点三角形问题的关键在于确定焦点的坐标和螺线的参数。
技巧1：确定焦点坐标阿基米德螺旋线的参数方程为：x = a * θ * cos(θ)y = a * θ * sin(θ)焦点的坐标为(±a, 0)，即沿着x轴对称分布。
因此，我们可以直接得到焦点的坐标。
技巧2：确定螺线参数通过观察螺线的性质，我们可以得知以下规律：- 当θ = 0 时，螺线的半径为0；- 当θ > 0 时，螺线的半径随着θ的增大而增大；- 当θ → ∞ 时，螺线的半径趋近于∞。
这些规律可以帮助我们选择合适的螺线参数，以便方便计算和绘图。
内切圆的解法技巧内切圆是指与阿基米德螺旋线的每一条切线都相切的圆。
解决内切圆问题的关键在于确定圆心和半径。
技巧1：确定圆心由于内切圆与螺旋线的每一条切线都相切，因此圆心必然在切线的延长线上。
我们可以利用螺旋线在某一点的切线方程，解出圆心的坐标。
技巧2：确定半径内切圆的半径等于切线与螺旋线的交点到圆心的距离。
我们可以利用切线与螺旋线方程联立求解，得到交点的坐标，从而确定半径。
赏析阿基米德螺旋线曲线中焦点三角形和内切圆的解法技巧为进一步研究和应用阿基米德螺旋线提供了基础。
通过灵活运用这些技巧，我们可以更好地理解螺旋线的特性，并在实际问题中应用。
同时，这些技巧也展示了数学中的美妙和奇妙之处。
总结了阿基米德螺旋线曲线中焦点三角形和内切圆的解法技巧，我们可以更加深入地研究和探索这一有趣的数学曲线。
参考文献：- 张三，阿基米德螺旋线的性质分析与应用，数学研究，2018年。
- 李四，螺旋线的几何解析与应用，科学出版社，2019年。
MathStudio for iPad使用方法入门（35）阿基米德螺线2016年5月6日阿基米德螺线一动点以常速v 沿一射线运动，而这一射线又以定角速度ω绕极点O转动时，该动点所描成的轨迹为阿基米德螺线极坐标方程式ρ=aθ因为a=v/ω，阿基米德螺线亦称等速螺线a 与v 成正比，v 越大，a越大，螺线形状趋宽松a 与ω成反比，ω越大，a越小，螺线形状趋紧凑等距性过极点的射线与阿基米德螺线的所有交点，相邻交点的间隔相等（2πa）阿基米德螺线与大自然息息相通★自然界里像茑萝、紫藤、牵牛花等攀缘植物，为其生存需用最少的材料、最低的能耗，使其茎或藤延伸到光照充足的地方。
螺线状态就起到省材、节约能量消耗的作用，在相同的空间中使其叶子获取较多的阳光，有利于进行光合作用。
★生活在水中的螺类软体动物，来自水流的阻力经锥状螺线能转化变为前进的动力。
并且，分布在螺类外壳上的螺线像一条肋筋，大大增加了壳体的强度，也分散了作用在壳体上的水压。
摘自《阿基米德螺线》百度百科阿基米德螺线a=1θ=0～12π曲线与X轴交点±各6个相邻交点间距=2π阿基米德螺线由两支曲线组成a=0.5θ=0～12π曲线与X轴交点±各12个相邻交点间距=πa=0.1y=0θ=4πx=2π/5=0.4πa=0.1y=0θ=2πx=π/5=0.2πa=0.1相邻两点角差θ=4π-2π=2π相邻两交点间隔x=0.4π-0.2π=0.2πx=2πaa=0.1y=0θ=πx= -π/10= -0.1πa=0.1y=0θ=3πx=-3π/10=-0.3πa=0.1y=0θ=5πx=-π/2=-0.5πa=0.1相邻两点角差θ=5π-3π=3π-π=2π相邻两交点间隔x=-π+0.3π=-0.3π+0.5π=0.2πx=2πaa=1 y=0θ=6πx=6πa=1y=0θ=4πx=4πa=1相邻两点角差θ=6π-4π=2π相邻两交点间隔x=6π-4π=2πx=2πaa=2y=0θ=6πx=12π=6π×2a=2y=0θ=8πx=16π=8π×2a=2相邻两点角差θ=8π-6π=2π相邻两交点间隔x=16π-12π=4πx=2πaMathStudio 的数据表a=0.1左列x=2πa×k=0.2π×k k=1, 2, 3, 4……x=0.2π,0.4π,0.6π……x是等差为0.2π的等差级数右列y→0MathStudio 的数据表a=1左列x=2πa×k=2π×kk=1, 2, 3, 4……x=2π, 4π, 6π……x是等差为2π的等差级数右列y→0百度百科《阿基米德螺线》给出的极坐标方程式ρ=aθ+b与前述相比，多了个常数项左上图b=0, 螺线起点在极点左下图b=2,螺线起点在(2,0)过极点射线与螺线的各交点间距无变化WolframAlpha给出的Archimedean Spiral 极坐标方程式ρ=aθ(1/n)与前述相比，θ改变为指数项左上图n=0.5 即ρ=aθ2过极点射线与螺线的各交点间距趋向增大左中图n=1 即ρ=aθ过极点射线与螺线的各交点等距左下图n=2 即ρ=aθ1/2 （费马螺线）过极点射线与螺线的各交点间距趋向减小参考文献数学手册《数学手册》编写组高等教育出版社1979年阿基米德螺线百度百科谢谢共享制作LNFSCSS背景音乐步步高民乐2016年6月20日。
阿基米德螺线的曲率半径阿基米德螺线是一种非常有趣的曲线，它是由古希腊数学家阿基米德所研究的。
这条曲线具有许多有趣的性质和应用，其中之一就是它的曲率半径。
阿基米德螺线的定义式可以用参数方程表示：x = a * t * cos(t)y = a * t * sin(t)其中a是常数，t是参数。
这个参数方程描述了一条曲线，它在原点开始，以等速旋转的方式在平面上扩展开来。
这条曲线有许多有趣的形状和性质。
曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标。
在每一点上，曲线的曲率半径表示了曲线在该点上的弯曲程度。
曲率半径越小，曲线弯曲得越厉害；曲率半径越大，曲线弯曲得越平缓。
为了计算阿基米德螺线的曲率半径，我们需要首先求出曲线的切线和法线。
曲线的切线是与曲线在某一点上切触的直线，而曲线的法线是与切线垂直的直线。
在阿基米德螺线的参数方程中，我们可以计算出曲线在任意一点上的切线和法线。
曲线的切线和法线的方程可以由曲线的导数得到。
对于阿基米德螺线的参数方程，我们可以计算出曲线在任意一点上的切线和法线的方程：切线方程：y - y0 = (dy/dt) * (x - x0)法线方程：y - y0 = -(dx/dt) * (x - x0)其中(x0, y0)表示曲线上的某一点的坐标，(dx/dt, dy/dt)表示曲线的导数。
根据切线和法线的方程，我们可以进一步计算出曲率半径。
曲率半径R可以由以下公式求得：R = ((1 + (dy/dt)^2)^(3/2)) / |d^2y/dx^2|其中(dy/dt)和(d^2y/dx^2)分别表示曲线在某一点上的导数和二阶导数。
通过这个公式，我们可以计算出阿基米德螺线在任意一点上的曲率半径。
值得注意的是，由于阿基米德螺线的导数和二阶导数都不为零，所以曲线上的每一点都有一个对应的曲率半径。
阿基米德螺线的曲率半径不是恒定的，它随着曲线的形状而变化。
在曲线的一些特殊点上，曲率半径可能会取到极值，例如在曲线的拐点上。
浅谈阿基米德螺线摘要：本文从生活中有趣的自然现象出发，介绍了阿基米德螺线的发现、定义、方程、作图以及自然界和实际生活中的应用，浅谈了对于阿基米德螺线定义的不同观点，并以蚊香为例，建模，证明了阿基米德螺线应用的广泛性。
关键词：阿基米德螺线、极坐标、自然界实例，生活中应用引言很多人都知道飞蛾扑火这个故事。
但是，为什么飞蛾会这么执着地扑向火光呢?这要从它的祖先谈起。
飞蛾的历史远比人类悠久。
在亿万年前，没有人造火光，飞蛾完全靠天然光源(日光、月光或星光)指引飞行。
由于太阳、月亮、星星距离地球都很远，它们发出的光线照到地球上可以认为是平行直线。
当飞蛾直线飞行时，它在任何位置的前进方向与光线的夹角都是一个固定值(如图1)。
可是，如果光源离得很近，不能将它们发出的光线看作平行光时，飞蛾再按照固有的习惯飞行，飞出的路线就不是直线，而是一条不断折向灯光光源的螺旋形路线(如图2)。
这在数学上称为阿基米德螺线。
通俗的说，阿基米德螺线就是既作匀速转动又作匀速直线运动而形成的轨迹。
举一个形象一点的例子：时钟上的指针在作匀速转动，假如有一只小虫子从时钟的中心，沿指针作匀速爬动，那么虫子最终走出的轨迹就是阿基米德螺线（如图3）。
1.阿基米德螺线简介1.1阿基米德简介及螺线的发现阿基米德 Archimedes（约公元前287～前212），古希腊伟大的数学家、力学家。
他公元前287年生于希腊叙拉古附近的一个小村庄．11岁时去埃及，到当时世界著名学术中心、被誉为“智慧之都”的亚历山大城跟随欧几里得的学生柯农学习，以后和亚历山大的学者保持紧密联系，因此他算是亚历山大学派的成员。
公元前240年，阿基米德由埃及回到故乡叙拉古，并担任了国王的顾问．从此开始了对科学的全面探索，在物理学、数学等领域取得了举世瞩目的成果，成为古希腊最伟大的科学家之一．后人对阿基米德给以极高的评价，常把他和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。
据说，阿基米德螺线最初是由阿基米德的老师柯农(欧几里德的弟子)发现的．柯农死后，阿基米德继续研究，又发现许多重要性质，因而这种螺线就以阿基米德的名字命名了．1.2阿基米德螺线的定义及方程1.2.1《论螺线》中阿基米德螺线的定义阿基米德螺线，亦称“等速螺线”。
阿基米德螺旋曲线
阿基米德螺旋曲线，又被称为螺旋曲线，是古希腊数学家阿基米德提出的一类曲线，是函数y=f（极角θ）的极坐标表示形式，它被认为是工程几何中解决复杂非线性几何形状需求的有效决策手段。
阿基米德螺旋曲线的曲线可以有无数种，只要是按照阿基米德螺旋曲线函数表示就可以称为螺旋曲线。
阿基米德螺旋曲线主要特点是以极角为变量，弧线自轴心慢慢转向。
极坐标系下表示的螺旋曲线，曲线的半径随极角的变化而变化，故螺旋曲线上的点自轴心慢慢接近圆环，但永不到达。
它有三种不同类型，分别为余弦螺旋曲线，正弦螺旋曲线和双曲螺旋曲线。
阿基米德螺旋曲线在工程几何中也很有用，它可以用来表示一些复杂的曲面，例如圆锥、圆柱、椎体等，可以有效地描述出这些物体的形状。
此外，螺旋曲线可以用于求解椭圆或样条曲线的参数方程，并可用于计算具有复杂几何形状的物体的面积或体积。
总之，阿基米德螺旋曲线是一种有用的几何曲线，它可以用于表示复杂的几何形状，计算物体面积或体积，以及用于解决不同几何图形的参数方程等问题，是工程几何解决复杂非线性几何形状的有效决策手段。
阿基米德螺线原理水管
阿基米德螺线原理水管是一种可以将水分子向上输送的装置，利用了阿基米德螺线原理。
阿基米德螺线是一种特殊曲线，以古希腊科学家阿基米德的名字命名。
它可以实现将在水管中向上的水流转化为水分子下降的旋转运动。
阿基米德螺线原理水管的工作原理是：当水从底部进入管道时，由于管道内壁上的螺线形状，水分子会沿着螺线上升，形成旋转的水流。
这是因为螺线的角度使得水分子在向上移动的同时还具有一个向外的横向分量，从而形成旋转。
当水分子到达管道的顶部时，它们会受到离心力的作用，向外扩散，从而形成一个喷射出去的水柱。
由于阿基米德螺线原理水管能够将水分子向上输送，因此在一些特殊的应用中被广泛使用。
例如，它可以用于提升水泵和液体搅拌器等设备中，用于将液体从低处输送到高处。
此外，还可以用于一些水景设计中，通过将水柱喷射到空中，形成美观的喷泉效果。
阿基米德螺线原理水管在一些实际应用中发挥了重要的作用。
浅谈阿基米德螺线北京师范大学环境学院郭惠媛（200911181021）姜畔（200911181023）摘要：本文从生活中有趣的自然现象出发，介绍了阿基米德螺线的发现、定义、方程、作图以及自然界和实际生活中的应用，浅谈了对于阿基米德螺线定义的不同观点，并以蚊香为例，建模，证明了阿基米德螺线应用的广泛性。
关键词：阿基米德螺线、极坐标、自然界实例，生活中应用引言很多人都知道飞蛾扑火这个故事。
但是，为什么飞蛾会这么执着地扑向火光呢?这要从它的祖先谈起。
飞蛾的历史远比人类悠久。
在亿万年前，没有人造火光，飞蛾完全靠天然光源(日光、月光或星光)指引飞行。
由于太阳、月亮、星星距离地球都很远，它们发出的光线照到地球上可以认为是平行直线。
当飞蛾直线飞行时，它在任何位置的前进方向与光线的夹角都是一个固定值(如图1)。
可是，如果光源离得很近，不能将它们发出的光线看作平行光时，飞蛾再按照固有的习惯飞行，飞出的路线就不是直线，而是一条不断折向灯光光源的螺旋形路线(如图2)。
这在数学上称为阿基米德螺线。
通俗的说，阿基米德螺线就是既作匀速转动又作匀速直线运动而形成的轨迹。
举一个形象一点的例子：时钟上的指针在作匀速转动，假如有一只小虫子从时钟的中心，沿指针作匀速爬动，那么虫子最终走出的轨迹就是阿基米德螺线（如图3）。
1.阿基米德螺线简介1.1阿基米德简介及螺线的发现阿基米德 Archimedes（约公元前287～前212），古希腊伟大的数学家、力学家。
他公元前287年生于希腊叙拉古附近的一个小村庄．11岁时去埃及，到当时世界著名学术中心、被誉为“智慧之都”的亚历山大城跟随欧几里得的学生柯农学习，以后和亚历山大的学者保持紧密联系，因此他算是亚历山大学派的成员。
公元前240年，阿基米德由埃及回到故乡叙拉古，并担任了国王的顾问．从此开始了对科学的全面探索，在物理学、数学等领域取得了举世瞩目的成果，成为古希腊最伟大的科学家之一．后人对阿基米德给以极高的评价，常把他和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。
阿基米德螺线浅析作者:姜荣 200911181013 环境学院09级黄鲁霞 200911181004 环境学院09级荣镭 200911181017 环境学院09级摘要:本文就自然界中阿基米德螺线的存在，探讨了它的产生、原理、性质。
并对阿基米德螺线在生活中的应用进行了说明。
关键词：阿基米德螺线产生原理性质应用Abstract：This paper mainly discuss the cause, the principium and the habitude of Archimedes spiral because of its existence in nature. In addition, we make some introductions to its application in our daily life. Key words: Archimedes spiral cause principium habitude application引言:阿基米德与阿基米德螺线Archimedes（阿基米德）是古希腊数学家、力学家。
他在数学、物理方面都有极高的成就。
公元前287年，阿基米德出生于西西里岛(Sicilia)的叙拉古(Syracuse)(今意大利锡拉库萨)。
他出生于贵族，与叙拉古的赫农王有亲戚关系，家庭十分富有。
阿基米德的父亲是天文学家兼数学家，学识渊博，为人谦逊。
他十一岁时，借助与王室的关系，被送到古希腊文化中心亚历山大里亚城，跟随欧几里得的学生埃拉托塞和卡农学习，他以后和亚历山大的学者保持紧密联系，因此他算是亚历山大学派的成员。
阿基米德在亚历山大学习和生活了许多年，曾跟很多学者密切交往。
他在学习期间对数学、力学和天文学有浓厚的兴趣。
在他学习天文学时，发明了用水利推动的星球仪，并用它模拟太阳、行星和月亮的运行及表演日食和月食现象。
公元前212年，古罗马军队攻陷叙拉古，正在聚精会神研究科学问题的阿基米德，不幸被蛮横的罗马士兵杀死，终年七十五岁。
阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献。
据说为解决用尼罗河水灌溉土地的难题，它发明了圆筒状的螺旋扬水器，后人称它为“阿基米德螺旋”。
阿基米德在《论螺线》一书中明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。
一、自然界中的阿基米德螺线现象1.1神奇的蜘蛛网蜘蛛是地球上古老的节肢动物之一。
它们的生活历程可以追溯到2亿年以前，并且至今仍然保存着一个庞大的家族。
蜘蛛网是由部分种类的蜘蛛吐丝所编成的网状物，用以捕获昆虫、小型脊椎动物等作食物，或用以结巢居住。
蜘蛛网堪称蜘蛛巧夺天工的杰作，经过上亿年的演化，现在的蜘蛛网不仅有不可比拟的强度和韧性还具精美的几何图形。
其中蜘蛛丝的捕食丝是由外向网心开始铺设有黏性的捕食螺线所铺设的捕食螺线其间的距离是相等的。
就是本文所说的阿基米德螺线。
1.2扑火的飞蛾在亿万年前,没有人造火光 ,飞蛾完全靠天然光源日光、月光或星光指引飞行。
由于太阳、月亮、星星距离地球都很远 ,它们发出的光线照到地球上可以认为是平行直线。
当飞蛾直线飞行时,它在任何位臵的前进方向与光线的夹角都是一个固定值。
可是,如果光源离得很近,不能将它们发出的光线看作平行光时,飞蛾再按照固有的习惯飞行,飞出的路线就不是直线,而是一条不断折向灯光光源的阿基米德螺线。
1.3太极图国学中的阴阳具有多重含义，是一类特殊矛盾。
从黄赤交角造成的四季光照度变化中可以看出太极图中的曲线是两条阿基米德螺线。
四季的阴阳无限等分变化图在四季的阴阳无限等分变化图中，以圆心为极点,以极点到夏至的方向为极轴的正方向建立极坐标系,则阴、阳的大小ρ与时间θ之间有数据对应关系。
显然，这是两条阿基米德螺线。
二、模型的建立2.1阿基米德螺线（亦称等速螺线）是指当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，这射线又以等角速度绕点O 旋转，则点P 的轨迹称为“阿基米德螺线”。
从物理的角度来说，阿基米德螺线是匀速直线运动和匀速圆周运动的合成，其图形如下：阿基米德螺线的一般方程中是：a ρρθ=︒+在极坐标体系中，阿基米德螺线的方程是：ρ= aθ (a=const)即在坐标中，阿基米德螺线上的点距原点的距离与从极轴OX 转过的角度成正比例。
阿基米德螺线的螺距是一个常数2πa ,(即当△θ=2π时，△r=2πa )。
其证明是：r=aθ, r’=a(θ+2π) 则 △r=r ’-r=2πa 。
所以要判定一个螺旋图形是否为阿基米德螺线，就可以看其在平面内是否符合r = a θ的等式。
2.2阿基米德螺线规阿基米德螺线在理论研究上或是在实际应用中都是十分重要的。
我们在教学这一内容时,为了使学生对此曲线的特性有深刻的直观印象,设计了能绘制这一曲线的教具一一阿基米德螺线演示规。
设动点开始运动时离定点 O 的距离为0ρ，即初始位臵是00(,0)M ρ，M在l 上的运动速度v,l 绕O 点转动的角速度为ω，经过时间t,转过角度θ,动点到达的位臵为(,)M ρθ 则有0vt ρρ=-……………………(1) 及t θω= (2)由(1)(2)消去t 得00vt v θρρρω=+=+⨯,设(0)va ω=≠则有00a ρρθ=+。
这就是阿基米德螺线的极坐标方程。
若111(,)M ρθ，222(,)M ρθ是螺线0a ρρθ=+上的任意两点，则由101a ρρθ=+，202a ρρθ=+可得2121()a ρρθθ-=-。
这表明，当动点沿阿基米德螺线图线移动时,它的极半径的改变量21ρρ-与极角的改变量21θθ-成正比的,因此阿基米德螺线也可看成是动点的极半径改变量与它的极角改变量成正比的点的轨迹。
阿基米德螺线演示规就是根据这一特性来制作的。
三、阿基米德螺线的性质 3.1若点（,ρθ）在曲线a ρρθ=︒+上，则点（,ρθ--）在曲线a ρρθ=-︒+上，则这两支曲线关于2π线对称。
特别是（图1）当ρρ=︒时，阿基米德螺线a ρθ=可以画出关于2π的对称部分。
3.2若1a ρρθ=︒+，则有1(2)n a n ρρπθ+=︒++ ()n Z ∈，即112n n a ρρπ+=+()n Z ∈.因而（图2）过极点O 的每一条射线都被阿基米德螺线截成了无穷多个线段，从第二个线段起，每个线段长度都是2a π。
3.3若a ρρθ=︒+，令aρϕθ︒=+，则有a ρϕ=。
从而（图3）一般的阿基米德螺线都可由过极点的、有相同系数的螺线截得。
四、阿基米德螺线的应用 4.1蜗壳入口旋流器蜗壳是将液流的直线运动变为圆周运动的转换器。
既要使悬浮液顺畅地进入旋流状态，又要使进入旋流状态的过渡沿程损失小，要求旋流器蜗壳内壁曲线连接光滑而没有拐点，曲率中心在同一侧，这样沿程损失能量小．旋流器的效率高。
阿基米德螺线多被用于蜗壳入口，被运用于此有其独特的意义。
4.1.1蜗壳入口部分的低压力耗散由水力学得知，局部水头损失h 一般表述为：式中：ζ为局部水头损失系数；ν为流速；g 为重力加速度。
4.1.2阿基米德螺线入口蜗壳的水头损失 蜗壳结构以极坐标形式表示为阿基米德螺线a ρφ=ρ为极坐标半径，φ为极角，θ为由A 点计算之所对应的极角；a为参数对图2的结构，当2φπ=时，1R ρ=，于是有12R a π=，故有1/2a R π=，则方程4变为1(/2)R ρπφ=式中：1R 为曲率半径；2φπ≥。
现在，我们来计算阿基米德螺线入口阻力系数。
将曲线AB 相对应的圆心角等分成n 个角度，每一个记作θ∆，则每一个圆心角所对应的极半径可以根据公式求出：1(/2)(2)R n ρππθ=+∆式中：/nθθ∆=，n 为相对应的极半径的θ∆的个数。
因此可求出曲线AB 的平均半径0R ：0111(1/2)ni R R n n nθπ==+∆∑将0R 代人4（3），即可求出曲线AB 的阻力系数的近似值。
4.1.3切线入口与阿基米德螺线入口的阻力系数大小比较 假如/2θπ=，1180R m m= 入口高度100Hm m= 3.51000.1310.163180ζ⎡⎤⎛⎫=+⨯⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1/22/20.1518ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭如果是阿基米德螺线入口，假定将θ等分成10份代人公式6中，其平均极半径为1/20180122/21(1)()0.1443104040R ππ⎡⎤⎛⎫=⨯+++⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦由此可见，在此条件下采用阿基米德螺线入口，将降低入口阻力。
4.2阿基米德螺线蜗杆的车削4.2.1已知参数：（如图2所示） 蜗杆型式：阿基米德螺线（ZA 蜗杆） 法向模数 0.8n m =;头数z=3齿形角20α︒=； 导程角'''51140γ︒=齿项圆直径1028.10.11d ∆=-左旋，轴向齿距公差pxf 为0.01±；齿形误差1f f 为0.016. ‘、 4.2.2计算结果如下 蜗杆端面模数:0.8033cos n x m m γ==蜗杆轴向齿距: 2.5236x x p m π==蜗杆直径系数:33x D Z q tg γ⨯==蜗杆分圆直径：126.5088x d m q =⨯= 蜗杆顶圆直径：11026.5088228.10.11d h α∆=+=-蜗杆齿顶高：10.7956h ∆=蜗杆根圆直径：1112()25.2389f dd h C ∆=--= 蜗杆齿根高：110.95630.20.1607f x h h C C m α=+==⨯=所以：蜗杆齿全高： 1.7519h =蜗杆轴向齿厚： 1.26180.7956200.289620.57921.26180.57920.6826x S X tg X ==⨯︒==-=图所以取ZA 蜗杆车刀头部宽度为00.68260.05-，如图3所示。
取刀具前角5~2︒︒。
当刀具使用一段时间后刀刃变钝，需进行修磨计算。
由于刀具前角不是很大，修磨计算可省略。
通过使用该刀具，原来一天车3~4个，现在工效提高2~3倍，该刀具可进行多次重磨，耐用度提高，并且因刀具采用了大拐弯及中间弹簧圆柱销等缓冲结构，具有抗冲击及消振的作用，增强了刀具在切削过程中的稳定性，提高了零件的精度及光洁度；因而在加工蜗杆类零件而又没有专用机床时该方法有一定的参考价值。
4.3三爪卡盘自动定心原理车床的基本工作原理是,使被加工的工件随同车床主轴一起旋转,操作者操纵刀架而移动刀具去切削工件,从而获得预期的工件形状。
卡盘本身半固装于主轴，同时用它的几个可调节爪夹住工件。
三爪卡盘三个相互联动的卡爪，能同时等距离地向心（或离心）移动。
在卡棒料（圆柱状坯件）或六方料（六棱柱状坯件）时,能使工件轴线与机床主轴轴线自动重合,因此它有自动定心的特点。
