阿基米德螺线和三等分角

阿基米德三等分角的证明
阿基米德三等分角的证明是通过构造一个特殊的逆时针旋转等边三角形来实现的。

以下是详细的证明过程：
证明过程：
1.首先，构造一个等边三角形ABC，其中AB=BC=AC。

2.然后，以A为圆心，AB为半径画一条圆弧，与AC相交于D点。

3.再以B为圆心，BC为半径画一条圆弧，与AB相交于E点。

4.连接DE，延长DE与BC相交于F点。

5.观察三角形DEF，可以发现DF与BC平行，并且由于DE与AC相交，根据平行线的性质可知∠BDE=∠C。

6.接下来我们需要证明∠B=∠CDF。

7.由于DF与BC平行，△FBC与△DCF相似。

根据相似三角形的性质，可得BD/BC = CD/CF。

8.由三角形ABC的等边性质可知BD=CD=BC，代入上述等式可得BC/BC = CD/CF。

9.进一步化简可得，1 = CD/CF，即CD=CF。

10.由三角形CDF的等腰性质可知∠CDF=∠CDF，即∠B=∠CDF。

11.通过以上证明可以得出，∠C=∠B=∠CDF。

12.所以，由三角形DEF的角度平分定理可知
∠CDE=∠EDF=∠FDC=1/3∠C。

综上所述，通过构造特殊的逆时针旋转等边三角形，我们成功地证明了阿基米德三等分角。

机械工程中的阿基米德螺线探析阿基米德螺线广泛隐藏于自然界里，葡萄等藤茎植物的触须就是借鉴阿基米德螺线结构的柔韧性，使其紧紧缠绕物体，在恶劣环境中生长；动物世界中的蟒蛇盘绕起来形成的螺线，起到更好的防卫和攻击的作用，在生物微观细胞中，起遗传作用脱氧核糖核酸（DNA）就是规则的螺旋结构，利于节约空间，储存信息；机械仪表中钟表上的发条工作原理也离不开阿基米德螺线。

阿基米德螺线最先运用于灌溉技术，古代埃及人利用尼罗河水灌溉农田，由于河床低，农田地势高，只能用水桶提水灌溉，这样非常浪费劳力体力，于是阿基米德利用阿基米德螺线发明了螺杆，创造了“水往高处流”的奇迹，因此螺杆也是阿基米德螺旋提水器的最初原型。

由于先人不断研究改进，现在其已广泛运用于水利灌溉，机械动力，军事通信等领域。

随着科技快速发展，阿基米德螺线应用与生活实际也愈加紧凑，在此，有必要对其进行更深层的系统研究，现就其基本应用展开探讨，希望阿基米德螺线能不断开拓创新。

1 阿基米德基本简介阿基米德螺线，是一种具有特殊性质的螺旋线，假设点A 从O 点开始以匀速沿着OA 直线方向运动的同时，又以固定的转角速度绕点O 螺旋转动，俯视而看，点A 的轨迹为螺旋状，这种螺线被命名为“阿基米德螺线”,因为远动过程中是匀速运动，因此也可定义为“等速螺线”.如图1 所示。

阿基米德螺线在平面极坐标中的曲线方程：r（θ）= a + b（θ）其中：b 为螺旋系数，单位为mm/°，代表曲线每变化1° 时，曲线直径的变化量；θ为转角，单位为度，代表曲线转过的度数总和；a 为当θ= 0°时的极径，单位为mm.改变数值a 将改变螺线结构，b 是用来控制两相邻螺线间距的常量。

方程有两条不同方向螺线，分别被θ>0 和θ<0 分割，且在极点平稳光滑连接。

如果把其中一条翻转90° /270°，将会得到其对称曲线，这就是另一条螺线。

古希腊三大作图难题北京化工大学 殷光中概述：尺规作图，即只用直尺和圆规作几何图形，其来源于《几何原本》，以后在一个时期内成为数学中的重要研究课题[1]。

古希腊三大作图难题：1.作一立方体，其体积为所知立方体体积的两倍；2.画圆为方，即作一正方形使其面积为已知圆的面积；3.尺规三等分任意角）之一。

众所周知，二等分任意给定角用尺规很容易就能解决。

而充满探索与挑战精神的人们又会想到用尺规如何三等分任意给定角，此后，许多数学家纷投入这一问题的解决。

直到十九世纪，人们才严格证明了三等分任意角仅凭尺规不可能实现。

到此，这一问题才告一段落。

期间，有许多超越了尺规限制的作图方法：比如：希皮阿斯发明的割圆曲线，阿基米德螺线和尼科梅德斯蚌线等[2]。

人们万万也不会想到但他们在潜心研究一些未解决的问题的时候，许多新的发现也会应运而生……1、三等分任意角科学需要大胆的想象,或许引入数学公式可以实现超越尺规而三等分角,于是我想到了倍角的相关公式,引发了以下一系列的思考: 1.1.1 n 倍角的正切值展开通式tan1α=t tan2α=212t t- tan3α=23313t t t --tan4α=4236144tt t t +-- tan5α=42535101105t t t t t +-+-tan6α=64253151516206t t t t t t -+-+- tan7α=64275373521121357t t t t t t t -+--+-tan8α=86427532870281856568t t t t t t t t +-+--+-…… 有如下特征：① 分子分母各项均是“+，-”交替出现，且分子上为t 的奇次幂，分母上为t 的偶次幂。

② 我们将分子分母上相同序项对齐，则分子上的次数比分母上依次高一，且其系数有如下关系： 若tann α=...1......8463422194735231++-+-++-+-t m t m t m t m t n t n t n t n nt ; 则有，tan(n+1) α=...)()(1...)()()1(42121522311-+++--+++-+t m n t m n t m n t m n t n .即：对正相加分别作为下式相应项的分子系数；由下往上左偏相减作为下式相应项的分母系数 。

MathStudio for iPad使用方法入门（36）阿基米德螺线与三等分任意角2016年6月16日★三等分任意角是几何作图三大难题之一，不能只用直尺圆规三等分任意角是早有的定论。

★免除“只用尺规作图”的限制，就能三等分任意角吗？★现在就探讨借助阿基米德螺线来三等分任意角吧直线y=cx=7x c=7X轴与直线夹角φ =tan-1(c)=tan-1(7)=1.4289同心圆C1 ρ1=r1=0.5 r1=0.5同心圆C2 ρ2=r2= 1 r2=1同心圆C3ρ3=r3=1.5 r3=1.5阿基米德螺线ρ=aθ螺线与同心圆C1 的交点P1(x1,y1) , OP1与X轴夹角=θ1螺线与同心圆C2 的交点P2(x2,y2) OP2与X轴夹角=θ2螺线与同心圆C3 的交点P3(x3,y3) OP3与X轴夹角=θ3θ3= φ =1.4289a=ρ3/θ3=r3/tan-1(c)=1.5/1.4289=1.0498计算得θ2=ρ2/a=θ3×ρ2/ρ3=θ3×1/1.5=θ3×2/3=0.9526θ1=ρ1/a=θ3×ρ1/ρ3=θ3×0.5/1.5=θ3×1/3=0.4763首先画出过极点斜率为7的直线其次画出以极点为中心的3个同心圆半径为0.5、1、1.5即同心圆的半径比为1:2:3在同一帧图里再画出与3 个同心圆相交的阿基米德螺线a=r3/atan(c)=1.0498P3P2P1P3的数据X3=0.211Y3=1.486θ3=1.429（弧度）=1.429×180/π=81.9°r3=sqrt(X32 +y32)=sqrt(0.2112+1.4862)=1.5OP 2的数据X 2=0.579Y 2=0.816θ2=0.953（弧度）=0.953×180/π=54.603°r 2=sqrt(X 22 +y 22)=sqrt(0.5792+0.8162)=1P 2OP 1的数据X 1=0.445Y 1=0.229θ1=0.476（弧度）=0.476×180/π=27.30°r 1=sqrt(X 12 +y 12)=sqrt(0.4452+0.2292)=0.5θ1 : θ2 : θ3 = 27.3 : 54.6 : 81.9= 1 : 2 : 3P 1OMultiPlot 画出的图形放大图的Table得不到数据从以上的例子，可以得出用MathStudio演示借助阿基米德螺线三等分任意角的方法1. 以角定直线待三等分的角φ（以弧度为单位），X轴为底边，另一边为y=tan(φ) * x 的直线2. 以直线定同心圆3个以极点为圆心的同心圆半径比=3 : 2 : 1r 3 =φr 2 =2φ/3r 1 =φ/33. 以圆定螺线ρ=aθa = r 3/φ=14. 螺线与3个同心圆相交于3点，过极点画出与此3点连线三等分任意角φ完成下面再看直线在第2、第4象限的2个例子角φ的另一边在第2象限三个同心圆的半径分别为1、2、3阿基米德螺线a=1P 3的数据X 3=-2.979Y 3=0.405θ3=3（弧度）=3×180/π=171.89°r 3=sqrt(X 32 +y 32)=sqrt(-2.9792 +0.4052)=3P 3OP 2的数据X 2=-0.833Y 2=1.819θ2=2（弧度）=2×180/π=114.59°r 2=sqrt(X 22 +y 22)=sqrt(-0.8332 +1.8192)=2P 2OP 1的数据X 1=0.538Y 1=0.850θ1=1（弧度）=1×180/π=57.30°r 1=sqrt(X 12 +y 12)=sqrt(0.5382 +0.852)=1OP 1θ1 : θ2 : θ3 = 57.3 : 114.6 :171.9= 1 : 2 : 3角φ的另一边在第4象限三个同心圆的半径分别为2、4、6阿基米德螺线a=1P 1的数据X 1=-0.833Y 1=1.819θ1=2（弧度）=2×180/π=114.59°r 1=sqrt(X 12 +y 12)=sqrt(-0.8332 + 1.8192)=2OP 1P 2的数据X 2=-2.593Y 2=-3.057θ2=4（弧度）=4×180/π=229.18°r 2=sqrt(X 22 +y 22)=sqrt(-2.5932 +-3.0572)=4OP 2P 3的数据X 3=5.774Y 3=-1.649θ3=6（弧度）=6×180/π=343.77°r 3=sqrt(X 32 +y 32)=sqrt(5.7742 + -1.6492)=6OP 3θ1 : θ2 : θ3= 114.6 : 229.2 : 343.8= 1 : 2 : 3PolarPlot 同一帧图里阿基米德螺线a=13个同心圆半径比=1:2:3步长=2 0点起左列数据为x 值右列数据为y值红色框内第1行x1, y1第2行x2, y2第3行x3, y3与前图对照，基本符合阿基米德螺线三等分任意角程序清单输入待三等分的角度φ=13π/17=2.402弧度=137.647°θ1=0.81弧度=46.41°手指触屏取值有时误差偏大θ2=1.61弧度=92.25°θ3=2.401弧度=137.57°根据前面的演示，可以确信：借助阿基米德螺线三等分任意角是可以实现的。

阿基米德螺线定义及方程求解
一、阿基米德螺线的定义及求解。

1. 阿基米德螺线（等速螺线）的定义：
如图1所示，从点O出发的射线l
，绕点O做等角速度的转动，同时点M沿l作等速直线运动，点M的轨迹叫做阿基米德螺线或等速螺线。

2.等速螺线的极坐标方程求解过程。

如图1，取点O为极点，以l的初始位置为极轴，建立极坐标系。

设M 0(ρ0，0)是点M 的初始位置，M 在l 上运动的速度为υ，绕点O 转动的角速度为ω，经过时间t 后，旋转了θ角，点M 到达位置（ρ，θ），根据阿基米德螺线的定义，得
ρ-ρ0=υt, θ=ωt.
这是以时间t 为参数的极坐标参数方程，消去参数t ，得
ρ-ρ0=ωυθ
这就是所求的阿基米德螺线的极坐标方程。

设 ω
υ
=a （a≠0），得ρ=ρ0+aθ.
这是阿基米德螺线的极坐标方程的一般形式，ρ是θ的一次函数。

在特殊情况下，当ρ0=0时，阿基米德螺线的方程变为
ρ=aθ.
以上为阿基米德螺线的定义及方程求解。

我的网店里有阿基米德螺线公式应用实例和用CAXA 电子图板2005 画阿基米德螺线教程。

阿基米德原理公式推导过程三等分角器阿基米德原理是物理学中非常重要的一个原理，而三等分角器则是数学中一个有趣的工具。

让咱们先来聊聊阿基米德原理的公式推导过程。

话说有一天，我正在教室里给学生们讲阿基米德原理。

我拿了一个装满水的大玻璃缸，还有一个金属块。

我先问学生们：“你们猜猜把这个金属块放进水里，会发生啥？”学生们七嘴八舌地说开了，有的说水会溢出来，有的说金属块会沉下去。

然后我就把金属块慢慢地放进水里，果然，水溢出来了一些。

这时候我就告诉他们，溢出来的水的体积就等于金属块的体积。

这就是阿基米德原理的一个小起点。

咱们再深入一点，假设一个物体浸没在液体中。

这个物体受到了向下的重力 G 物，还受到了向上的浮力 F 浮。

根据力的平衡原理，如果物体处于静止状态，那么重力 G 物就等于浮力 F 浮。

那浮力 F 浮到底咋算呢？这就得从液体对物体的压力说起啦。

液体内部的压强是随着深度增加而增大的。

所以物体在液体中不同深度的表面受到的压力是不一样的。

想象一下，这个物体是一个规则的长方体。

它的上下表面面积相等，深度不同。

下表面受到的压力 F 下就比上表面受到的压力 F 上大。

那浮力 F 浮不就是这两个压力的差嘛！经过一番推导，咱们就能得出阿基米德原理的公式：F 浮= ρ 液 gV 排。

其中，ρ 液是液体的密度，g 是重力加速度，V 排是物体排开液体的体积。

再来说说三等分角器。

有一次我在办公室里研究三等分角器，想得那叫一个入神。

旁边的老师都笑我，说我太较真儿了。

三等分角器的原理其实挺巧妙的。

它利用了一些几何图形的特性和比例关系。

比如说，通过构建特定的三角形或者线段比例，来实现角的三等分。

但是呢，三等分角问题在只用尺规作图的情况下是没法完成的。

可这并不妨碍我们通过其他工具或者方法来实现它。

就像在学习和生活中，有时候我们觉得一个问题没法解决，可能只是我们的思路被限制住了。

当我们换个角度，或者借助一些新的工具和方法，说不定就能找到答案。

古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规，这种作图工具的限制使得三大几何作图问题成为数学史上的难解之题．三等分角问题即将任意一个角进行三等分．1837年，法国数学家旺策尔第一个证明了三等分角问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．但如果放宽作图工具的限制，该问题还是可以解决的．阿基米德创立的方法被誉为最简单的方法，他仅利用只有一点标记的直尺和圆规就巧妙地解决了这个问题．三等分角问题的深入研究导致了许多作图方法的发现及作图工具的发明．倍立方体问题即求作一个立方体，使其体积是已知一立方体的两倍，该问题起源于两千年希腊神话传说：一个说鼠疫袭击提洛岛（爱琴海上的小岛），一个预言者宣称己得到神的谕示，须将立方体的阿波罗祭坛的体积加倍，瘟疫方能停息；另一个说克里特旺米诺斯为儿子修坟，要体积加倍，但仍保持立方体的形状．这两个传说都表明倍立方体的问题起源于建筑的需要．1837年，洁国数学家旺策尔证明了倍立方体问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．倍立方体问题的研究促进了圆锥曲线理论的建立和发展．化圆为方问题即求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积．这是历史上最能引起人们强烈兴趣的问题之一，早在公元前5世纪就有许许多多的人研究它．希腊语中甚至有一个专门名词表示“献身于化圆为方问题”．1882年，德国数学家林德曼证明了化圆为方问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题，从而解决了2000多年的悬案．如果放宽作图工具的限制，则开始有多种方法解决这个问题，其中较为巧妙的是文艺复兴时期的著名学者达·芬奇设计的：用一个底与己知圆相等，高为己知圆半径一半的圆柱在平面上滚动一周；所得矩形的面积等于已知圆面积，再将矩形化为等面积的正方形即化圆为方问题的研究促使人们开始用科学的方法计算圆周率的值，对穷竭法等科学方法的建立产生了直接影响．。

阿基米德螺旋曲线
阿基米德螺旋曲线（ArchimedeanSpiral），又称螺旋线，是由古希腊数学家阿基米德于公元前三世纪发明的一种极坐标下的曲线，也是圆周形几何中最为简单的螺旋线。

它可以用几何递增序列来描述，且具有不变形，即椭圆形的性质。

由于具备这种特性，它的形状在科学、工程、审美等不同领域都有着广泛的应用。

阿基米德螺旋曲线可以用正弦函数和余弦函数来描述，公式可以写作：
r=aθ
其中r是极坐标，θ是极轴上的角度，a是螺距（pitch），也是极点到两次折点的距离。

由于阿基米德螺旋曲线具有可变半径和可变轨道角度的特性，因此其可以在不同的应用场景中被广泛使用。

例如，在空间航行技术中，阿基米德螺旋曲线可以帮助飞行器实现不同的飞行路径，从而更加高效地进行航行。

此外，阿基米德螺旋曲线也被广泛应用于渔业，用于捕捞更多的鱼群，而在小型的汽车中，阿基米德螺旋曲线可以用于控制汽车的行走，有效提升汽车的操控性能。

此外，阿基米德螺旋曲线还被广泛应用于审美领域，比如工业设计、建筑设计中都可以看到螺旋曲线的踪影，而且由于它具有可以调整半径和角度的特性，故可以创造出很多美丽而有层次的曲线，使作品更加精美动人。

可以看出，阿基米德螺旋曲线是一个非常杰出的数学概念，在多
种用途和领域都得到了广泛的应用。

它不仅可以提高技术性能，更能为艺术设计注入更多灵性，唤起人们对美的感知。

浅谈阿基米德螺线摘要：本文从生活中有趣的自然现象出发，介绍了阿基米德螺线的发现、定义、方程、作图以及自然界和实际生活中的应用，浅谈了对于阿基米德螺线定义的不同观点，并以蚊香为例，建模，证明了阿基米德螺线应用的广泛性。

关键词：阿基米德螺线、极坐标、自然界实例，生活中应用引言很多人都知道飞蛾扑火这个故事。

但是，为什么飞蛾会这么执着地扑向火光呢?这要从它的祖先谈起。

飞蛾的历史远比人类悠久。

在亿万年前，没有人造火光，飞蛾完全靠天然光源(日光、月光或星光)指引飞行。

由于太阳、月亮、星星距离地球都很远，它们发出的光线照到地球上可以认为是平行直线。

当飞蛾直线飞行时，它在任何位置的前进方向与光线的夹角都是一个固定值(如图1)。

可是，如果光源离得很近，不能将它们发出的光线看作平行光时，飞蛾再按照固有的习惯飞行，飞出的路线就不是直线，而是一条不断折向灯光光源的螺旋形路线(如图2)。

这在数学上称为阿基米德螺线。

通俗的说，阿基米德螺线就是既作匀速转动又作匀速直线运动而形成的轨迹。

举一个形象一点的例子：时钟上的指针在作匀速转动，假如有一只小虫子从时钟的中心，沿指针作匀速爬动，那么虫子最终走出的轨迹就是阿基米德螺线（如图3）。

1.阿基米德螺线简介1.1阿基米德简介及螺线的发现阿基米德 Archimedes（约公元前287～前212），古希腊伟大的数学家、力学家。

他公元前287年生于希腊叙拉古附近的一个小村庄．11岁时去埃及，到当时世界著名学术中心、被誉为“智慧之都”的亚历山大城跟随欧几里得的学生柯农学习，以后和亚历山大的学者保持紧密联系，因此他算是亚历山大学派的成员。

公元前240年，阿基米德由埃及回到故乡叙拉古，并担任了国王的顾问．从此开始了对科学的全面探索，在物理学、数学等领域取得了举世瞩目的成果，成为古希腊最伟大的科学家之一．后人对阿基米德给以极高的评价，常把他和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。

据说，阿基米德螺线最初是由阿基米德的老师柯农(欧几里德的弟子)发现的．柯农死后，阿基米德继续研究，又发现许多重要性质，因而这种螺线就以阿基米德的名字命名了．1.2阿基米德螺线的定义及方程1.2.1《论螺线》中阿基米德螺线的定义阿基米德螺线，亦称“等速螺线”。

阿基米德三等分角方法
标题:阿基米德三等分角方法
正文:
阿基米德是一位古代希腊数学家和物理学家,他在公元前3世纪时提出了一种三等分角的方法。

这种方法被称为阿基米德三等分角方法,是一种简单而有效的方法,适用于各种形状的角。

阿基米德三等分角方法的步骤如下:
1. 将一个角分成三个相等的部分。

2. 将其中一个部分旋转180度,使其与另外两个部分重合。

3. 将旋转后的部分与原角再次重合,并将重合部分三等分,得到三个等角。

下面是阿基米德三等分角方法的示例:
假设一个角为120度,我们需要将其分成三个相等的部分。

首先将这个角分成三个60度的部分,然后将其旋转180度,使其与另外两个部分重合。

最后,将重合部分三等分,得到三个等角,每个角为60度÷ 3 = 20度。

这种方法可以用于各种形状的角,例如直角、锐角、钝角等。

此外,阿基米德三等分角方法还可以应用于其他领域,例如物理学和工程学。

拓展:
阿基米德三等分角方法的应用不仅局限于数学和物理学领域,还可以应用于其他领域。

例如,在工程学中,可以使用阿基米德三等分角方法来测量某个角的度数,或者将其用于设计建筑物和道路等。