概率论与随机过程第1章1-3节

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(二)频率的性质 设随机试验E；A，B为E的二个随机事件,则 n次试验中的频率具有下列性质: (1) 0≤ fn(A) ≤1； (2) fn(S)＝1； fn(φ)=0。 (3) 若A，B互不相容，即 AB＝φ，则有 fn(A∪B)＝fn(A)＋fn(B)。
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《概率论与随机过程》
主讲：邹君妮 时间：07-08学年秋
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课程要求
课程性质：专业基础课(数学课) 必修 考核形式：闭卷考试 成绩组成：
卷面成绩 80% 平时成绩 20％ 1、课后作业 10％ 2、出勤/课堂表现 10％
参考教材：《概率论与数理统计》(第三版) 盛骤 谢式千 潘承毅 编，高等教育出版社
∞
3. 若事件A与事件B同时发生，则称 该事件为事件A与事件B的积，记 为A∩B或AB。 类似的,可定义Ak (k=1,2,…)的积为
k =1
A
B S
∩ Ak = A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ Ak ∩ ...
∞
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4. 若事件A发生而事件B不发生，这一事件称为事件A与事件 B的差，记为 A-B。 注意：若B为一闭集， 则A-B事件将不包含 A B AB B的边界。 S S
6只球，其中4白2红，任取1只为白球的事件。 200 139 0.695 300 198 0.660 400 261 0.653 500 337 0.674 600 401 0.668
n
100 69 0.690
f n (H )
结论：一个随机试验E的随机事件A，在 n 次试验中出现 的频率 fn (A) , 当试验的次数 n 逐渐增多时，它在一个常 数附近摆动，而逐渐稳定于这个常数，这个常数是客观 存在的。这个常数的客观存在性揭示了隐藏在随机现象 背后的规律性，这种规律性就是通常所说的 统计规律 性。 19
5. 若事件A与事件B不能同时发生，则称事件A与事件B是互 不相容的，或互斥的，记为AB=Ф。 例:基本事件就是互不相容的。 推论: 若在试验中，事件A与事件B必然有一个发生，且仅 A 有一个发生，即事件A与事件B满足： ∪B= S, AB=φ ，则称 事件A与事件B互逆，又称A与B互为对立事件,记为 __ __ A = B ( 或 B = A )。 13
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x(t )
+∞
−∞
∫
h(t ) H (ω )
y (t ) = x(t ) ∗ h(t )
x(t ) dt < ∞
X (ω )
Y (ω ) = X (ω ) H (ω )
2、研究非确定性或随机性信号的重要性
实际意义 随机信号的特征：
不能先验确定的随机性，即自变量与函数值非一一对应； 可无限持续的能量无限性，条件不满足； 可能具有互相影响的波及性或关联性。
则A={2,4,6}，A就是S3的子集。 如事件B: “点数小于3” 其子集为 B={1,2} 由此可知：试验E中的事件A是样本空间S的子 集，而且事件A发生就是：当且仅当子集中的一 个基本事件发生。
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，
事件之间的关系与事件之间的运算：
设试验E的样本空间为S；A，B，Ak ( k=1,2,…)是E的 事件，也是S的子集。 1. 若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事 件A，记为B ⊃ A或A ⊂ B。 若事件B包含事件A，事件A B 也包含事件B，即B ⊃A 且A ⊃ B， 则称事件A与事件B相等，记为 A A=B.
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引
言
本课程在整个专业课程中的作用： 1、本课程之前的课程所涉及和讨论的信号均为确定性信 号：信号的波形或函数表示其变量之间的关系一一对 应。 这些课程的设立主要目的是解决： 分析确知电信号的分量组成，即信号时域，频域表 示，尤其是信号的付氏分析； 电路或系统对一确定的输入信号会产生什么样的作 用，即研究电路与系统的行为； 设计电路或系统对确知电信号处理，以达到预期的 目的。 3
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概率论中的事件与集合论中的集合关系
记号 S Ф e A
____
A A⊂ B
A=B
A∪ B
AB A-B AB= Ф
概率论 样本空间 不可能事件 基本事件 事件 A的对立事件 事件A发生必然导致事件B发生 事件A与事件B 相等 事件A与事件B至少有一个发生 事件A与事件B同时发生 事件A发生而事件B不发生 事件A与事件互不相容
AB
A
B
B -A
证明:由图知:
A ∪ B = A ∪ ( B − A) , 且A ( B − A) = φ B = AB ∪ ( B − A) , 且AB ( B − A) = φ
注：样本空间S包含所有样本点，它在每次试验中都发 生，是必然事件；不可能事件就是空集,记为Ø，不包含 任何样本点。 注意： Ø也是一个子集。
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由于随机事件是由基本事件，或由基本事件合成 的事件，因此随机试验E的随机事件A可以与样 本空间S中的子集构成一一对应关系。
例如：在E3试验中，如事件A：“出现偶数点”
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事件之间的运算定律：
设A，B，C为事件，则有： 1. 交换律： A∪B=B∪A； A∩B=B∩A。 2. 结合律： A∪(B∪C)=(A∪B)∪C; A∩ (B∩C)=(A∩B)∩C。 3. 分配律： A∪(B∩C)=(A∪B) ∩(A∪C); A∩ (B∪C)=(A∩B) ∪(A∩C)。 4. 德·摩根定律: A ∪ B = A ∩ B ， A ∩ B = A ∪ B 。 概率论中事件之间的关系与运算和集合论中集合之间的 关系与运算是一致的。因此可以对事件的分析转化为对集 合的分析，利用集合间的运算来分析事件间的关系。 14
(三) 概率 概率定义: 对随机试验E所对应的样本空间S中的每 一事件A均赋予一实数，记为P(A)，若P(A)满足下列 条件： (1) 非负性：1≥ P(A) ≥0； (2) 规范性：P(S)＝1； (3) 可列可加性：设A1，A2，…,是一列两两互不相 容的事件，即AiAj＝φ，(i≠j), i,j＝1, 2, …,有 P(A1∪A2∪… )＝ P(A1)＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。 概率与频率的关系:
lim f n ( A ) = p ( A ) n→ ∞
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概率的性质 性质1、 对于任一事件A，有 P ( A ) = 1 − P ( A )。 性质2、 P (φ ) = 0 。 性质3、加法公式。对任意两事件A、B， 有 P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB ) 。
S1 : { 0，1，2 } S2 : { (H,T),(H,H),(T,H),(T,T) } S3 : S4 : S5 : { 1，2，3，4，5，6 } { t ＿t≥0} { (x,y) ＿T0<x<y<T1 }
样本空间中的元素是由试验的内容（或目的）确定的。 8
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(二) 样本空间：随机试验E的所有可能结果所组成的集合称作 E的样本空间，记为S。样本空间的元素，即试验E中的每个 结果，称为样本点，记为e。
随机试验 E 样本空间 S {e}
E1 ： 将一枚硬币抛两次, 观察正面出现 的次数； E2 ： 将一枚硬币抛两次,观察正反面的 出现情况； E3： 掷一颗骰子，观察出现的点数； E4 ：在一批灯泡中任意抽取一支,测试 它的寿命(小时)； E5： 记录某 一昼夜的最低温度x和最高 温度y。设这一地区的温度不会小 于T0,不会大于T1。
S
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2. 若事件A与事件B至少有一个发生， 则称该事件为事件A与事件B的和， 记为A ∪ B。 类似的,若事件A1，A2， …，Ak ，…中至少有一个发生，该 事件称为事件A1，A2 ，…，Ak ，… 的和，记为
k =1
A B S
∪ Ak = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ak ∪ ...
H
频率定义: 事件A在 n 次重复试验中出现 n 次，则 比值 nA n称为事件A在 n次重复试验中
A
出现的频率，记为 f n ( A)。即 f n ( A) = nA n 。 17
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表1
实验序号 n=5
抛硬币试验1
n=50 n=500
f n (H )
nH
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 5 1 2 4 2 3 3
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§ 1 随机试验 随机事件 样本空间
(一) 随机试验:E
试验：各种科学实验。对某一事物某个特征的观 察，也认为是一种试验。
随机试验的例子：抛硬币；掷骰子；袋中取不同颜色的球， 测试一批产品的某项质量。
随机试验的特征: 1. 可以在相同条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确 试验的所有可能结果; 3. 每次试验前不能确定哪个结果会出现. 满足上述条件的试验,称为随机试验，记为E.
(三) 随机事件：随机试验E的样本空间S的子集，
称为E的随机事件(简称事件)，记A, B,… 基本事件：随机试验中，由每一种可能结果（一 个样本点）所构成的随机事件，称为基本事件。 必然事件：每次试验中必然发生的。例：掷骰子 试验中,“点数不大于6” 不可能事件：每次试验中都不发生的。例：掷骰 子试验中,“点数大于6”