2005-2006第二学期概率论与随机过程

大学2015～2016学年秋季学期本科生课程自学报告课程名称：《概率论与随机过程》课程编号：07275061报告题目：大数定律和中心极限定理在彩票选号的应用学生：学号：任课教师：成绩：评阅日期：随机序列在通信加密的应用2015年10月10日摘 要：大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，较多文献给出了不同条件下存在的大数定律和中心极限订婚礼，并利用大数定律与中心极限定理得到较多模型的收敛性。

但对于他们的适用围以及在实际生活中的应用涉及较少。

本文通过介绍大数定律与中心极限定理，给出了其在彩票选号方面的应用，使得数学理论与实际相结合，能够让读者对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有更深刻的理解。

1. 引言在大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，起源于十七世纪，发展到现在，已经深入到了社会和科学的许多领域。

从十七世纪到现在，很多国家对这两个公式有了多方面的研究。

长期以来，在大批概率论统计工作者的不懈努力下，概率统计的理论更加完善，应用更加广泛，如其在金融保险业的应用，在现代数学中占有重要的地位。

本文主要通过对大数定律与中心极限定理的分析理解，研究探讨了其在彩票选号中的应用，并给出了案例分析，目的旨在给出大数定律与中心极限定理应用对实际生活的影响，也对大数定律与中心极限定理产生更深刻的理解。

2. 自学容小结与分析2.1 随机变量的特征函数在对随机变量的分析过程中，单单由数字特征无法确定其分布函数，所以引入特征函数。

特征函数反映随机变量的本质特征，可唯一的确定随机变量的分布函数、随机变量X 的特征函数定义为：定义1 ][)()(juX jux e E dx e x p ju C ==⎰+∞∞-(1)性质1 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积。

性质1意味着在傅立叶变换之后，时域的卷积变成频域的相乘，这是求卷积的简便方法。

类比可知求独立随机变量之和的分布的卷积，可化为乘法运算，这样就简便了计算，提高了运算效率。

上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线7．设}0,{≥n X n 是具有三个状态0，1，2的齐次马氏链，一步转移概率矩阵为,4/14/304/12/14/104/14/3210210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P 初始分布0(0){}13,0,1,2i p P X i i ====试求(1)}1,0{20==X X P ；(2)}1{2=X P ；(3)0135{1,1,1,2}P X X X X ====．8. 考虑随机电报信号．信号)(t X 由只取I +或I -的电流给出(图1画出了)(t X 的一条样本曲线)．这里2/1})({})({=-==+=I t X P I t X P ，而正负号在区间),(τ+t t 内变化的次数),(τ+t t N 是随机的，且假设),(τ+t t N 服从泊松分布，亦即事件}),({k t t N A k =+=τ的概率为,)()(λτλτ-=e kA P k k ,2,1,0=k ．其中0>λ是单位时间内变号次数的数学期望，试讨论)(t X 的平稳性．图1上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线概率论与随机过程试题参考答案（A ）一、计算题（共8小题，每小题满分10分，共80分）1. 由题意大家是围圆桌就座，所以只要这些人就座的相对位置一样，那么就是相同的就坐方式.因此a 位男士和b 位女士不同的就座方式共有:()!1)!(-+=++b a ba b a 种当2a b +=，只有一种就坐方式，因此所求概率1P =；当2a b +>时，把甲乙两人看作一人，则()1-+b a 人的就座方式共为()!2-+b a 种;又甲乙两人的不同就座方式为2种，所以甲乙两人坐在一起的概率为:2(2)!2(1)!(1)a b P a b a b ⨯+-==+-+-. 2. 随机变量X 的所有可能取值为3，4，5. 而且35110P X C =1(=3)=，2335310C C P X C =11(=4)=，2435610C C P X C =11(=5)=.因此345~136101010X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3()()0;<=≤=当时，X F X P X x 134()()(3)10≤<=≤===当时，;X F X P X x P X 445()()(3)(4);10≤<=≤==+==当时，X F X P X x P X P X 5()()(3)(4)(5)1≥=≤==+=+==当时，X F X P X x P X P X P X .所求分布函数为0,3;1,34;10()4,45;101, 5.x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩3. 因为X 与Y 相互独立，所以()()()⎩⎨⎧>≤≤=⋅=-其他,00,10,,y x e y f x f y x f y Y X由卷积公式得()()()()dx x z f x f dx x z x f z f Y X Z -⋅=-=⎰⎰+∞∞-+∞∞-,又由已知可知，当⎩⎨⎧>-≤≤010x z x ，亦即⎩⎨⎧<≤≤zx x 10时，上述积分的被积函数不等于零，即可得()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥≥-=⋅>-=⋅=------⎰⎰0001,111,11010z z e dx e z e e dx e z f z zx z z x z Z4. XY的分布律为Y X ⋅所以0831831)(=⨯+⨯-=X E ，0831831)(=⨯+⨯-=Y E ，0821821)(=⨯-⨯=XY E ， 故Cov(,)()()()0X Y E XY E X E Y =-=，即X 和Y 是不相关的。

《概率论与随机过程》第三章习题答案3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。

解：由题意可得:()[]()()002121020022222002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()12021202120202120202221202022021012022022202010022222200201021212122112210212212121221212222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。

∴()t X 是平稳过程另解：()[][]0022000000[cos()][cos()][];(,)cos()cos(())cos()cos(())t E A t E A E t E A R t t E A t t E A E t t E X ωΦωΦτωΦωτΦωΦωτΦ⎡⎤=+=+=⨯=⎣⎦⎡⎤⎡⎤+=+++=+++⎣⎦⎣⎦[][][])cos()cos())cos((τωτωτωω0200022222A E t E A E =+Φ++= ∴()t X 是平稳过程3.3 设S(t) 是一个周期为T 的函数，随机变量Φ在（0，T ）上均匀分布，称X(t)=S （t+Φ）,为随相周期过程，试讨论其平稳性及各态遍历性。

概率论与随机过程的起源、应用及在自动化专业上应用1、概率论与随机过程的起源概率论产生于十七世纪，本来是又保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。

早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢 m局就算赢，全部赌本就归谁。

但是当其中一个人赢了 a (a<m)局，另一个人赢了 b(b<m)局的时候，赌博中止。

问：赌本应该如何分法才合理？”后者曾在1642年发明了世界上第一台机械加法计算机。

三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。

近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。

许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的。

概率论和数理统计是一门随机数学分支，它们是密切联系的同类学科。

但是应该指出，概率论、数理统计、统计方法又都各有它们自己所包含的不同内容。

概率论——是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。

数理统计——是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。

使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。

统计方法——是一上提供的方法在各种具体问题中的应用，它不去注意这些方法的的理论根据、数学论证。

概率是随机事件出现的可能性的量度，是研究随机现象数量规律的数学分支。

随机现象是相对于决定性现象而言的。

初等概率论知识体系与随机过程课程之间的区别与联系
初等概率论知识体系与随机过程课程之间的区别与联系
一、概率论知识体系与随机过程课程的不同
1.概率论知识体系是一门学科，强调的是概率模型的建立，概率本质的理解，概率统计数据的应用，概率问题的解决等方面；而随机过程课程则是介绍了随机过程的基本概念、分析及应用等，本质上来说，这是一门应用概率论的课程。

2.概率论知识体系通常涉及的学科领域比较广泛，比如统计学、数学、信息论、信号处理和通信技术等，这些领域紧密相连，往往要求学习者具备相应的知识结构和技能；而随机过程课程的内容比较集中，一般涉及到统计学和数学两个领域。

3.概率论知识体系的学习重点在于掌握概率模型、概率本质、概率统计数据和概率问题解决，同时要求学习者具备较广泛的学科背景；而随机过程课程的重点则主要在于概率论知识的运用，对学科背景的要求可以比较宽松。

二、概率论知识体系与随机过程课程的关联
概率论知识体系和随机过程课程是密切相关的学科，它们有着相互补充和支持的作用。

概率论知识体系为随机过程课程中的概率理论带来基本的框架和基础，而随机过程课程则提供了对概率理论的实际应用，从而帮助概率论的应用技术得以更好地发挥。

概率论与随机过程
概率论是一种数学理论，用于研究不确定的事件发生的可能性，或者说是某件事情发生的条件下，其结果发生的可能性。

随机过程是一种时间上变化的随机变量集合。

它是在某一时刻开始，然后不断变化以至于终止时，其值发生改变。

它可以用来描述某些事件概率的变化情况。

概率论和随机过程之间的关系是：概率论提供了一种方法，用于计算随机变量在某一特定时间的可能性，而随机过程则是一种描述随机变量演化情况的方法。

《概率统计与随机过程》课程教学大纲课程编号：课程名称：概率统计与随机过程课程英文名：Probability, statistics and random processes课程类型：本科专业必修课前导课程：高等数学信号与系统教学安排：总学时54学时授课对象：电子信息工程专业本科生所用教材：《概率论与数理统计》盛骤、谢式千、潘承毅编著高等教育出版社 2001版一、教学目的本课程是电子信息工程专业大学本科生的必修课，也是一门专业基础理论课，为本科生学习现代信号与信息处理理论、现代通信理论、控制理论等提供有关概率论、数理统计和随机过程理论等方面的基础理论知识。

二、课程简介该课程是电子信息工程系的一门重要基础课程。

本课程的主要目的在于使学生熟悉和掌握概率、统计和随机过程的基本概念及分析方法，深入了解随机变量的统计特征、数理统计的基本方法、随机过程的平稳性和几类重要的随机过程。

在学习本课程前，学生需要具备高等数学和信号与系统等方面的知识。

本课程主要讲授概率论、数理统计和随机过程的基本理论，有关应用等问题属于控制理论、信号处理、检测与估计理论等，不在本课程讲授范围之内。

三、教学内容第一章概率论的基本概念（7课时）1、引言2、随机试验3、样本空间、随机事件4、频率与概率5、等可能概率（古典概率）6、条件概率7、独立性第二章随机变量及分布（8课时）1、随机变量2、连续型随机变量及其分布律3、随机变量的分布函数4、连续型随机变量及其概率分布5、随机变量的函数的分布第三章多维随机变量及其分布（6课时）1、二维随机变量2、边缘分布3、条件分布4、相互独立的随机变量5、两个随机变量的函数的分布第四章随机变量的数学特征（5课时）1、数学期望2、方差3、协方差及相关函数第五章大数定律及中心极限定理（3课时）1、大数定律2、中心极限定理第六章样本及抽样分布（2课时）1、随机样本2、抽样分布第七章参数估计（6课时）1、点估计2、估计量的评选标准3、区间估计4、正态总体均值与方差的区间估计第八章假设检验（6课时）1、假设检验2、正态总体均值的假设检验3、正态总体方差的假设检验第九章随机过程及其统计描述（3课时）1、随机过程的概念2、随机过程的统计描述3、泊松过程及维纳过程第十章马尔可夫链（3课时）1、马尔可夫过程及其概率分布2、多步转移概率的确定3、遍历性第十一章平稳随机过程（5课时）1、平稳随机过程的概念2、各态历经性3、相关函数的性质4、平稳随机过程的功率谱密度四、教材1、《概率论与数理统计辅导》傅维潼编著清华大学出版社 2001年五、主要教学参考书1、《概率、随机变量与随机过程》周荫清编著北京航空航天大学出版社 1989年2、《随机过程习题集》周荫清、李春升编著北京航空航天大学出版社 1987年3、《概率论》第三册"随机过程" 复旦大学编著人民教育出版社 1981年4、《概率论与数理统计》上、下册中山大学数学系编著人民教育出版社 1980年5、《概率论与数理统计》浙江大学数学系编著人民教育出版社 1979年6、《概率论》第一册"概率论基础" 复旦大学编著人民教育出版社 1979年信息工程学院电子信息工程系（执笔者：赵晓旭）。