拱桥问题与运动中的抛物线-课件
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九年级数学上册22.3实际问题与二次函数第2课时拱桥问题与运动中的抛物线习题课件(新版)新人教版
9．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端 3 椅子 B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线 y＝－5x2＋3x＋1 的一部分． (1)求演员弹跳离地面的最大高度； (2)已知人梯高 BC＝3.4 米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离 是 4 米，问这次表演是否成功？请说明理由．
6．你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似 地看做抛物线．如图，正在甩绳的甲、m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距
离1 m，2.5 m处，绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶，已知学 生丙的身高是1.5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如图 所示)( B ) A．1.5 m
1 5．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看做是抛物线 y＝－4x2 ＋bx＋c 的一部分(如图)，其中出球点 B 离地面 O 点的距离是 1 m，球落地点 A 到 O 点的距离是 4 m，那么这条抛物线的解析式是( A ) 1 3 A．y＝－4x2＋4x＋1 1 3 B．y＝－4x2＋4x－1 1 3 C．y＝－4x2－4x＋1 1 3 D．y＝－4x2－4x－1
3．如图为某菜农搭建的一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示， 某菜农身高 1.6 米，则他在不弯腰的情况下，在大棚内左右活动的范围是( B) 5 A. 2 米 B. 5米 C．1.6 米 D．0.8 米
4．(习题 3 变式)一小球被抛出后，距离地面的高度 h(米)与飞行时间 t(秒) 满足下面函数关系式：h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( C ) A．1 米 B．5 米 C．6 米 D．7 米
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
解：(1)∵h＝2.6，球从 O 点正上方 2 m 的 A 处发出， ∴y＝a(x－6)2＋h 过点(0，2)，∴2＝a(0－6)2＋2.6， 1 1 解得 a＝－60，故 y 与 x 的关系式为 y＝－60(x－6)2＋2.6 1 (2)当 x＝9 时，y＝－60(x－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，所以球能越过球网； 1 当 y＝0 时，－60(x－6)2＋2.6＝0，解得 x1＝6＋2 39，x2＝6－2 39(舍去)， 因为 6＋2 39＞18，所以球会出界
苏科版九年级数学下册课件：5.5 第3课时 用二次函数解决抛物线型拱桥问题 教学课件
当你的才华还撑不起你的野心时，你就该努力。心有猛虎，细嗅蔷薇。我TM竟然以为我竭尽全力了。能力是练出来的，潜能是逼出来 的，习惯是养成的，我的成功是一步步走出来的。不要因为希望去坚持，要坚持的看到希望。最怕自己平庸碌碌还安慰自己平凡可贵。
脚踏实地过好每一天，最简单的恰恰是最难的。拿梦想去拼，我怎么能输。只要学不死，就往死里学。我会努力站在万人中央成为别 人的光。行为决定性格，性格决定命运。不曾扬帆，何以至远方。人生充满苦痛，我们有幸来过。如果骄傲没有被现实的大海冷冷拍 下，又怎么会明白要多努力才能走到远方。所有的豪言都收起来，所有的呐喊都咽下去。十年后所有难过都是下酒菜。人生如逆旅， 我亦是行人。驾驭命运的舵是奋斗，不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。失败时郁郁寡欢，这是懦夫的表现。所有 偷过的懒都会变成打脸的巴掌。越努力，越幸运。每一个不起舞的早晨，都是对生命的辜负。死鱼随波逐流，活鱼逆流而上。墙高万 丈，挡的只是不来的人，要来，千军万马也是挡不住的既然选择远方，就注定风雨兼程。漫漫长路，荆棘丛生，待我用双手踏平。不 要忘记最初那颗不倒的心。胸有凌云志，无高不可攀。人的才华就如海绵的水，没有外力的挤压，它是绝对流不出来的。流出来后， 海绵才能吸收新的源泉。感恩生命，感谢她给予我们一个聪明的大脑。思考疑难的问题，生命的意义；赞颂真善美，批判假恶丑。记 住精彩的瞬间，激动的时刻，温馨的情景，甜蜜的镜头。感恩生命赋予我们特有的灵性。善待自己，幸福无比，善待别人，快乐无比， 善待生命，健康无比。一切伟大的行动和思想，都有一个微不足道的开始。在你发怒的时候，要紧闭你的嘴，免得增加你的怒气。获 致幸福的不二法门是珍视你所拥有的、遗忘你所没有的。骄傲是胜利下的蛋，孵出来的却是失败。没有一个朋友比得上健康，没有一 个敌人比得上病魔，与其为病痛暗自流泪，不如运动健身为生命添彩。有什么别有病，没什么别没钱，缺什么也别缺健康，健康不是 一切，但是没有健康就没有一切。什么都可以不好，心情不能不好；什么都可以缺乏，自信不能缺乏；什么都可以不要，快乐不能不 要；什么都可以忘掉，健身不能忘掉。选对事业可以成就一生，选对朋友可以智能一生，选对环境可以快乐一生，选对伴侣可以幸福 一生，选对生活方式可以健康一生。含泪播种的人一定能含笑收获一个有信念者所开发出的力量，大于个只有兴趣者。忍耐力较诸脑 力，尤胜一筹。影响我们人生的绝不仅仅是环境，其实是心态在控制个人的行动和思想。同时，心态也决定了一个人的视野、事业和 成就，甚至一生。每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。懒惰像生锈一样，比操劳更消耗身体。所有的胜利，与征服自己的胜利比 起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道挫折其实就是迈向成功所应缴的学费。在这个尘世上， 虽然有不少寒冷，不少黑暗，但只要人与人之间多些信任，多些关爱，那么，就会增加许多阳光。一个能从别人的观念来看事情，能 了解别人心灵活动的人，永远不必为自己的前途担心。当一个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个有价值的人。没有人富有得可以 不要别人的帮助，也没有人穷得不能在某方面给他人帮助。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里 缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。今天做别人不愿做的事，明天就能做别人做不到的事。到了一定年龄，便要学会寡言，每一 句话都要有用，有重量。喜怒不形于色，大事淡然，有自己的底线。趁着年轻，不怕多吃一些苦。这些逆境与磨练，才会让你真正学 会谦恭。不然，你那自以为是的聪明和藐视一切的优越感，迟早会毁了你。无论现在的你处于什么状态，是时候对自己说：不为模糊 不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力。世界上那些最容易的事情中，拖延时间最不费力。崇高的理想就像生长在高山上的鲜花。 如果要搞下它，勤奋才能是攀登的绳索。行动是治愈恐惧的良药，而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。海浪的品格，就是无数次被礁石击 碎又无数闪地扑向礁石。人都是矛盾的，渴望被理解，又害怕被看穿。经过大海的一番磨砺，卵石才变得更加美丽光滑。生活可以是 甜的，也可以是苦的，但不能是没味的。你可以胜利，也可以失败，但你不能屈服。越是看起来极简单的人，越是内心极丰盛的人。
22.3.3抛物线形问题课件 2024-2025学年人教版数学九上
∴y=-0.04x2.
随堂练习
2. 如图所示，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，OM宽度为
16米，其顶点P到OM的距离为8米．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式；
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中
的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明．
A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－
D(m，－
2
m ＋m＋3)．
m2＋m＋3)，
知识讲解
知识点1 利用二次函数解决拱桥问题
【例 2】如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分
和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O点为
原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求出这条抛物线的函数关系式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，
A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
知识讲解
知识点1 利用二次函数解决拱桥问题
【例 2】如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分
因为此二次函数的图象开口向下．
所以当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.
知识讲解
知识点2 利用二次函数解决轨迹问题
利用二次函数解决轨迹问题的步骤:
首先要建立适当的平面直角坐标系，构造函数模型，将已知数据
转化为点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式
随堂练习
2. 如图所示，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，OM宽度为
16米，其顶点P到OM的距离为8米．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式；
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中
的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明．
A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－
D(m，－
2
m ＋m＋3)．
m2＋m＋3)，
知识讲解
知识点1 利用二次函数解决拱桥问题
【例 2】如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分
和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O点为
原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求出这条抛物线的函数关系式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，
A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
知识讲解
知识点1 利用二次函数解决拱桥问题
【例 2】如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分
因为此二次函数的图象开口向下．
所以当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.
知识讲解
知识点2 利用二次函数解决轨迹问题
利用二次函数解决轨迹问题的步骤:
首先要建立适当的平面直角坐标系，构造函数模型，将已知数据
转化为点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式
景县十中九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第3课时拱桥问题和运动中的抛物线教
第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．一、情境导入某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？二、合作探究探究点一：建立二次函数模型 【类型一】运动轨迹问题某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A (0，209)，B (4，4)，C (7，3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－19(x －4)2＋4.将点C 的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C 在抛物线上，所以此球一定能投中．(2)将x ＝1代入解析式，得y ，所以盖帽能获得成功．【类型二】拱桥、涵洞问题如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2，把点(2，－2)代入，得－2＝a ×22，a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3时，－12x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD －DC －CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M (12，0)和抛物线顶点P (6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB 二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意，分别求出M (12，0)，最大高度为6米，点P 的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P 的横坐标为6，即P (6，6)．(2)设此函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6.因为函数y ＝a (x －6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a (0－6)2＋6，即a ＝－112.所以此函数关系式为y ＝－112(x －6)2＋6＝－112x 2＋x ＋3.(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－112m2＋m＋3)，D(m，－112m2＋m＋3)．即“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－112m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－112m2＋m＋3)＝－16m2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.[圆]说课稿一、教材分析1．教材的地位和作用圆是在学习了直线图形的有关性质的根底上来研究的一种特殊的曲线图形.它是常见的几何图形之一，在初中数学中占有重要地位,中考中分值占有一定比例，与其它知识的综合性较强.本节课的内容是对已学过的旋转及轴对称等知识的稳固,也为本章即将要探究的圆的性质、圆与其它图形的位置关系、数量关系等知识打下坚实的根底。
实际问题与二次函数——拱桥问题 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
(X2,-3)D
解三 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中
的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y a( x 2 )2 2
∵抛物线过点(0,0)
0 a ( 2 )2 2
a 0.5
（3）若正常水位时，有一艘宽8米，高2.5米的小船
能否安全通过这座桥？
C
D
A
20m
B
谈谈你的学习体会
实际问题 抽象 数学问题 运用 问题的解决
转化
数学知识
解题步骤： 1、分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形。 2、根据已知条件建立适当的平面直角坐标系。 3、选用适当的解析式求解。 4、根据二次函数的解析式解决具体的实际问题。
解：如图，以AB所在的直线为x轴， 以AB的垂直平分线为y轴，建立平面 直角坐标系.
∵AB=4 ∴A(-2,0) B(2,0)
∵OC=4.4 ∴C(0,4.4) 设抛物线所表示的二次函数为
y ax2 4.4
∵抛物线过A(-2,0)
4a 4.4 0 a 1.1
∴抛物线所表示的二次函数为 y 1.1x2 4.4
∴这条抛物线所表示的二 次函数为:
y 0.5( x 2 )2 2
当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:
1 0.5( x 2 )2 2
x1 2 6 , x2 2 6
∴这时水面的宽度为:
x2 x1 2 6m
∴当水面下降1m时,水面宽度
增加了 ( 2 6 4 )m
面2m。已知桥洞的拱形是抛物线，（1）求该抛物线的
函数解析式。（2）若水面下降1米，水面宽增加多少米？
拱桥问题与运动中的抛物线PPT精品课件
3、出球小动脉两端连的 都是毛 细血管这与尿 的形成有什么关系？()
提
尿
泌尿系统
(入球小动脉)
(出球小动脉)
动脉
泌尿系统
泌尿系统
肾脏 形成尿液 输尿管 膀胱 排尿的通道 尿道
人体中的代谢废物有10% 通过皮肤以汗液的形式排出， 有10%通过呼吸系统以气体形 式排出，有80%通过泌尿系统 以尿的形式排出。
22．3 实际问题与二次函数
第3课时 拱桥问题与运动中的抛物线
建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤： (1)根据题意建立适当的___平__面__直__角__坐__标__系________； (2)把已知条件转化为___点__的__坐__标________； (3)合理设出函数___解__析__式___________； (4)利用____待__定__系__数_______法求出函数解析式； (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算．
尿的形成过程
肾小球的滤过
肾小管的重吸收
三、尿的排出及意义
1、排尿途径
肾脏形成尿液→输尿管→膀胱（存储一定量）→尿道→排出体外
2、排尿的意义
①排除废物 ②调节水和无机盐的平衡，维持组织细胞的正常生理功能
2、尿的形成
肾小球的滤过作用
肾小管的重吸收作用
血浆
原尿
尿液
（150升/天）
（1.5升/天）
(葡萄糖、较多的水、无机盐、尿素) (尿素、剩下的水和无机盐)
_肾__小__管__重__吸__收__，__因__而__尿__素__被___浓__缩__。______。
(5)、B中的无机盐为1.6，高于C中的无机盐(0.9)，这是由 于_无__机__盐__只__部__分___被__肾__小__管__重__吸__收_ ，
提
尿
泌尿系统
(入球小动脉)
(出球小动脉)
动脉
泌尿系统
泌尿系统
肾脏 形成尿液 输尿管 膀胱 排尿的通道 尿道
人体中的代谢废物有10% 通过皮肤以汗液的形式排出， 有10%通过呼吸系统以气体形 式排出，有80%通过泌尿系统 以尿的形式排出。
22．3 实际问题与二次函数
第3课时 拱桥问题与运动中的抛物线
建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤： (1)根据题意建立适当的___平__面__直__角__坐__标__系________； (2)把已知条件转化为___点__的__坐__标________； (3)合理设出函数___解__析__式___________； (4)利用____待__定__系__数_______法求出函数解析式； (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算．
尿的形成过程
肾小球的滤过
肾小管的重吸收
三、尿的排出及意义
1、排尿途径
肾脏形成尿液→输尿管→膀胱（存储一定量）→尿道→排出体外
2、排尿的意义
①排除废物 ②调节水和无机盐的平衡，维持组织细胞的正常生理功能
2、尿的形成
肾小球的滤过作用
肾小管的重吸收作用
血浆
原尿
尿液
（150升/天）
（1.5升/天）
(葡萄糖、较多的水、无机盐、尿素) (尿素、剩下的水和无机盐)
_肾__小__管__重__吸__收__，__因__而__尿__素__被___浓__缩__。______。
(5)、B中的无机盐为1.6，高于C中的无机盐(0.9)，这是由 于_无__机__盐__只__部__分___被__肾__小__管__重__吸__收_ ，
第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线
y
y
y
O
x
x
O
x
O
（1）y=ax2
（2）y=ax2+k
（3）y=a(x-h)2+k （4）y=ax2+bx+c
5
合作交流探究新知
利用二次函数解决实物抛物线型问题
例1 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已
知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需
要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少? y
15
反馈练习巩固新知
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=
-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则
球在 4 s后落地.
2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米） 关于水平距离x(米）的函数解析式为 y 1 x2 1 x 3 ，那么
O
x
(-2,-2) ● 4米
● (2,-2)
-3
6
合作交流探究新知
y
解：建立如图所示坐标系,
设二次函数解析式为 y ax2.
O
(-2,-2) ●
-3
x
由抛物线经过点（2，-2），可得
a 1,
2
所以，这条抛物线的解析式为
● (2,-2)
y 1 x2.
2
当水面下降1m时，水面的纵坐标为
y 3. 当 y 3 时，x 6.
A 1.25米
O
17
反馈练习巩固新知
y B
解：如图建立坐标系，设抛物线顶点 为B，水流落水与x轴交于C点.
由题意可知A（ 0，1.25）、
A 1.25
人教版九年级数学上册第 22章 二次函数11 拱桥问题和运动中的抛物线
10．有一座抛物线形状的拱桥，正常水位时，桥下水面宽度 AB 为 20m， 拱顶距离水面 4m.
(1)建立如图所示的直角坐标系， 求出该抛物线的解析式；
解：设 y＝ax2，将(10，－4)代入，得－4＝a·102，∴a＝－215，∴抛物 线的解析式为 y＝－215x2.
(2)在正常水位的基础上，当水位上升 hm 时，桥下水面宽度 CD 为 dm， 求 d 与 h 的函数解析式；
解得
a=－0.2， k=3.5，
所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.
当 x=－2.5时，y=2.25 .
y
故该运动员出手时的高度为2.25m.
O
x
当堂练习
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式 h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过 的时间，则球在 4 s后落地.
＝6m)，小孔顶点 N 距水面 4.5m(即 NC＝4.5m)．当水位上涨刚好淹没小孔
10
时，借助图中的平面直角坐标系，则此时大孔的水面宽度 EF 为
m.
9．某蔬菜塑料大棚及其截面如图所示，曲线部分近似看成抛物线，现 测得 AB＝6m，最高点 D 到地面 AB 的距离为 2.5m，点 O 到墙 BC 的距离 OB＝1m，借助图中的直角坐标系回答下列问题：
解：建立如图所示的坐标系，
根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为 (1，2.25).
数学化
y
●B(1,2.25)
A (0,1.25)
●
D
o
x
●Hale Waihona Puke C设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛 物线表达式为：y=－ (x-1)2+2.25.
1.5 .第1课时 抛物线形二次函数-2024-2025学年九年级数学下册课件(湘教版)
利用二次函数的 图象和性质求解
实际问 题的解
练一练 1.如图是某抛物线形悬索桥的截面示意图， 已知悬索桥两端主塔高100m，主塔之间的距离为900m，试建立适 当的直角坐标系，①求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式.
以桥面所在直线为x轴，桥面的垂直平分线为y轴，建立直
角坐标系.设抛物线解析式为 y ax 2
y 1 3502 60.49m 2025
量x的取值范围是：-450≤x≤450.
当x=450－50=400 y 1 4002 79.01m
2025
知识点❷
例2、某学校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手
时距地面
20 9
米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时
解：如图，建立直角坐标系.
则点C的坐标是（1.5，3.05）， 篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.
y
B(0,3.5)
以点A表示运动员投篮球的出手处.A点坐标为（-2.5，m）
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k
即y=ax2+k.而点B、C在这条抛物线上，所以有
A，
2.25a+k=3.05，
已知主塔高100m，主塔间距离900m，因此A（450，100）
在抛物线上，由此得出
②求距离桥两端主
y
A（450，100）
100 a 4502 1
解得 a 2025
塔分别为100m,50m处
垂直钢索的长.
o
∴函数表达式为 y 1 x2 当x=450－100=350
x
2025
由于主塔间距离为900m,因此自变
3.5m
21.4 第2课时 实物型抛物线及运动中的抛物线问题
问题4 水面下降 1 m，水面宽度增加
多少？
−2 −1
这条抛物线表示的二次函数为 y = 1 x2.
−2
2
当水面下降 1 m 时，水面的纵坐标为 -3. −4
令
1 2
x2
3，解得
x1
6，x2
6.
即水面下降 1 m 时，水面宽度增加 (2 6 4) m.
12 B
知识要点 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际 问题
建立二次 函数模型
利用二次函数的图 象和性质求解
实际问题的解
例2 如图，一名运动员在距离篮球框中心 4 m (水平距 离) 远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行 的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为 2.5 m 时， 篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m．如果篮框中 心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高 度是多少米？
解：建立如图的直角坐标系. 则点 A 的坐标是 (1.5，3.05)， 篮球在最大高度时的位置为 B (0，3.5). 以点 C 表示运动员投篮球的出手处.
y
O
x
设此以 B (0，3.5) 为顶点的抛物线表达式为 y = ax2 + 3.5.
而点 A (1.5，3.05) 在这条抛物线上，
所以有 1.52a + 3.5 = 3.05，解得 a = -0.2.
第21章 二次函数与反比例函数
21.4 二次函数的应用
第2课时 实物型抛物线及运动中的抛物线问题
导入新课
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水 面宽 4 m. 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
新课讲授
利用二次函数解决实物型抛物线问题
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炮弹落到地上爆炸了．
9．竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数解析式为
h＝at2＋bt，其图象如图所示．若小球在发射后第2秒与第6秒时的高
度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是( C )
A．第3秒
B．第3.5秒
C．第4.2秒
D．第6.5秒
10．如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在AB位置时，拱顶离水
B．2.816米
C．2.82米
D．2.826米
6．如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB)的
薄壳屋顶．它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m．建立如图的直角 坐标系，则屋顶的轮廓线所在的抛物线的解析式为__y_＝__－__0_.2_x_2_．
知识点4：二次函数在运动中的应用 7．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出 水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y
(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式；(不要求写出自变量x的取值范 围)
(2) 当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
解：(1)∵h＝2.6，球从O点正上方2 m的A处发出，∴y＝a(x－6)2＋h
过点(0，2)，∴2＝a(0－6)2＋2.6，解得a＝－
1 60
.故y与x的关系式为y
＝－610(x－6)2＋2.6
(2)当x＝9时，y＝－
1 60
(x－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，所以球能越过
球网；当y＝0时，－
1 60
(x－6)2＋2.6＝0，解得x1＝6＋2
39，x2＝6－
2 39(舍去)，因为6＋2 39＞18，所以球会出界
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/12021/3/1M onday, March 01, 2021
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/12021/3/1Marc h 1, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/3/12021/3/12021/3/12021/3/1
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)
随时间t(单位：时)的变化满足函数关系h＝－
1 128
(t－19)2＋
8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通
行，请过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋11，由题意得B(8，8)， ∴64a＋11＝8，解得a＝－634，∴y＝－634x2＋11
处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶，则这根铁柱的长为__1_5__m.
第1题图
第2题图
3．如图是一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交 于A，B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E 为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则 DE的长为___4_8___m. 知识点2：二次函数在隧道中的应用 4．某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图如示，以 隧 直道 角横 坐断 标面 系，抛则物该线抛的物顶线点的为解原析点，式以为_抛_物 _y_＝_线_－_的_13_对x_2称__轴__为___y轴_．，建立
面2 m，水面宽为4 m，水面下降1 m后，水面宽为( D )
A．5 m
B．6 m
C. 6 m
D．2 6 m
11．某一型号飞机着陆后滑行的距离y(m)与滑行时间x(s)之间的函数
关系式是y＝60x－1.5x2，该型号飞机着陆后滑行__6_0_0___m才能停下
来．
第9题图
第10题图
12．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯
＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( A )
A．4米
B．3米
C．2米
D．1米
8．军事演习在平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行
的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足y＝－
1 5
x2＋10x.经过___2_5是__1_2_5____米，经过___5_0____秒
第5题图
第4题图
知识点3：二次函数在其他建筑问题中的应用
5．如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门底部地面宽4米，
顶部距地面的高度为4.4米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，
其 装 货 宽 度 为 2.4 米 ， 该 车 要 想 通 过 此 门 ， 装 货 后 的 高 度 应 小 于
(
B)
A．2.80米
22．3 实际问题与二次函数
第3课时 拱桥问题与运动中的抛物线
建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤： (1)根据题意建立适当的___平__面__直__角__坐__标__系________； (2)把已知条件转化为___点__的__坐__标________； (3)合理设出函数___解__析__式___________； (4)利用____待__定__系__数_______法求出函数解析式； (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算．
知识点1：二次函数在桥梁中的应用 1．有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离
水 __y面_＝_4_－_米_21_．5_x在_2_如__图__所__示__的．直角坐标系中，该抛物线的解析式为
2．有一座抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16 m，跨度
为40 m，现把它的图形放在坐标系中(如图)．若在离跨度中心M点5 m
(2)水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的 距离h至多为6米，∴6＝－1128(t－19)2＋8，解得t1＝35， t2＝3，∴35－3＝32(小时)，则需32小时禁止船只通行
14．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离 x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9 m， 高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/12021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月1日星期 一2021/3/12021/3/12021/3/1
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021
149，∴演
员弹跳离地面的最大高度是4.75米
(2)能表演成功．理由：把x＝4代入抛物线解析式得y＝3.4，
即点B(4，3.4)在抛物线y＝－35x2＋3x＋1上，∴能表演成功 13．如图，小河上有一座拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物 线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成．已知河底ED是 水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米， 以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标 系．
顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y＝－
3 5
x2＋3x＋1的
一部分．
(1)求演员弹跳离地面的最大高度；
(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距
离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
解：(1)配方得y＝－
35(x－
5 2
)2＋
19 4
，当x＝
5 2
时，y有最大值
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021 9:05:48 AM
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/12021/3/12021/3/1M ar-211- Mar-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/12021/3/12021/3/1M onday, March 01, 2021