2017-2018学年人教版高中数学必修一全册教案【湖南用】

2017-2018学年高中数学 全一册学案 湘教版选修2-24．1.1 问题探索——求自由落体的瞬时速度[学习目标]1．理解并掌握平均速度的概念．2．通过实例的分析，经历平均速度过渡到瞬时速度的过程． [知识链接]1．一物体的位移s 与时间t 满足函数关系s ＝t 2，则在时间段[1,2]内的平均速度v ＝________.答案 v ＝22－122－1＝3.2．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间(3,3＋d )中，相应的平均速度等于________． 答案 v ＝3＋d 2＋3－32－33＋d －3＝6＋d .[预习导引]1．伽利略通过实验得到的自由落体的下落距离s 和时间t 有近似的函数关系，其关系是s ＝4.9t 2. 2．瞬时速度(1)在t 0时刻的瞬时速度即指在时刻t 0＋d ，当d 趋于0时，时间段[t 0，t 0＋d ]内的平均速度． (2)若物体的运动方程为s ＝f (t )，则物体在任意时刻t 的瞬时速度v (t )就是平均速度v (t ，d )＝f t ＋d －f t d在d 趋于0时的极限.要点一 求平均速度例1 已知一物体做自由落体运动，运动的方程为s ＝12gt 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求：(1)物体在t 0到t 0＋d 这段时间内的平均速度v .(2)物体在t ＝10 s 到t ＝10.1 s 这段时间内的平均速度．解 (1)s (t 0＋d )－s (t 0)＝12g (t 0＋d )2－12gt 20＝gt 0d ＋12gd 2，在t 0到 t 0＋d 这段时间内，物体平均速度为v (t 0，d )＝gt 0d ＋12gd 2d＝gt 0＋12gd .(2)由(1)知：t 0＝10 s ，d ＝0.1 s ， 平均速度为10g ＋12g ×0.1＝10.05g (m/s)．规律方法 物体的运动方程是s (t )，则从t ＝t 1到t ＝t 2的平均速度是v (t ，d )＝s t 2－s t 1t 2－t 1.跟踪演练1 已知物体运动方程为s (t )＝2t 2＋2t (位移单位：m ，时间单位：s)，求： (1)物体在运动前3 s 内的平均速度； (2)物体在2 s 到3 s 内的平均速度． 解 (1)物体在前3 s 内的位移为：s (3)－s (0)＝2×32＋2×3－0＝24(m)，故前 3 s 内的平均速度为s 3－s 03＝243＝8(m/s)．(2)物体在2 s 到3 s 内的位移为s (3)－s (2)＝24－(2×22＋2×2)＝12(m)．故物体在2 s 到3 s 这段时间内的平均速度为s 3－s 23－2＝12(m/s)．要点二 求瞬时速度例2 已知一物体做自由落体运动，s ＝12gt 2(位移单位：m ，时间单位：s ，g ＝9.8 m/s 2)．(1)计算t 从3 s 到3.1 s,3.01 s,3.001 s 各段时间内平均速度； (2)求t ＝3 s 时的瞬时速度．解 (1)当t 在区间[3,3.1]时，d ＝3.1－3＝0.1(s)，s (3.1)－s (3)＝12g ×3.12－12g ×32＝2.989(m)， v 1＝s 3.1－s 3d ＝2.9890.1＝29.89(m/s)．同理，当t 在区间[3,3.01]时，v 2＝29.449(m/s)，当t 在区间[3,3.001]时，v 3＝29.404 9(m/s)． (2)物体在[3,3＋d ]上的平均速度是：s 3＋d －s 3d＝12g 3＋d2－12g ×32d ＝12g (6＋d )当d →0时，上式表达式值为3g ，即物体在3 s 时的瞬时速度为3g ＝29.4(m/s)． 规律方法 平均速度即位移增量与时间增量之比s t ＋d －s td，而瞬时速度为平均速度在d →0时的极限值，二者有本质区别．跟踪演练2 枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s 2，枪弹从枪口中射出时所用的时间为1.6×10－3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． 解 运动方程为s ＝12at 2.v (t ，d )＝12a t ＋d2－12at 2d＝12ad 2＋atd d ＝12ad ＋at .当d 趋于0时，12ad ＋at 的极限为at .a ＝5.0×105 m/s 2，t ＝1.6×10－3 s ，∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为5×105×1.6×10－3m/s ， 即800 m/s.1．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋d ]内相应的平均速度为( )A ．2d ＋4B ．－2d ＋4C ．2d －4D ．－2d －4答案 D解析 v (1，d )＝4－21＋d2－4＋2×12d＝－4d ＋2d 2d＝－2d －4.2．已知物体位移s 与时间t 的函数关系为s ＝f (t )．下列叙述正确的是( ) A ．在时间段[t 0，t 0＋d ]内的平均速度即是在t 0时刻的瞬时速度B ．在t 1＝1.1，t 2＝1.01，t 3＝1.001，t 4＝1.000 1，这四个时刻的速度都与t ＝1时刻的速C．在时间段[t0－d，t0]与[t0，t0＋d](d>0)内当d趋于0时，两时间段的平均速度相等D．以上三种说法都不正确答案 C解析两时间段的平均速度都是在t0时刻的瞬时速度．3．已知s＝12gt2，从3秒到3.1秒的平均速度v＝________.答案 3.05g解析v＝12g·3.12－12g·323.1－3＝3.05g.4．如果质点M的运动方程是s＝2t2－2，则在时间段[2,2＋d]内的平均速度是________．答案8＋2d解析v(2，d)＝s2＋d－s2d＝8＋2d.1．平均速度与瞬时速度的区别与联系平均速度是运动物体在某一段时间内位移的平均值，即用时间除位移得到，而瞬时速度是物体在某一时间点的速度，当时间段越来越小的过程中，平均速度就越来越接近一个数值，这个数值就是瞬时速度，可以说，瞬时速度是平均速度在时间间隔无限趋于0时的“飞跃”．2．求瞬时速度的一般步骤设物体运动方程为s＝f(t)，则求物体在t时刻瞬时速度的步骤为：(1)从t到t＋d这段时间内的平均速度为f t＋d－f td，其中f(t＋d)－f(t)称为位移的增量；(2)对上式化简，并令d趋于0，得到极限数值即为物体在t时刻的瞬时速度.一、基础达标1．设物体的运动方程s＝f(t)，在计算从t到t＋d这段时间内的平均速度时，其中时间的增量d( )A．d>0 B．d<0C．d＝0 D．d≠02．一物体运动的方程是s ＝2t 2，则从2 s 到(2＋d ) s 这段时间内位移的增量为( )A ．8B ．8＋2dC ．8d ＋2d 2D ．4d ＋2d 2答案 C解析 Δs ＝2(2＋d )2－2×22＝8d ＋2d 2.3．一物体的运动方程为s ＝3＋t 2，则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A ．4.11 B ．4.01 C ．4.0 D ．4.1 答案 D解析 v ＝3＋2.12－3－220.1＝4.1.4．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的方程为s ＝18t 2，则t ＝2时，此木块水平方向的瞬时速度为( )A ．2B ．1 C.12 D.14答案 C解析 Δs Δt ＝182＋Δt 2－18×22Δt ＝12＋18Δt →12(Δt →0)．5．质点运动规律s ＝2t 2＋1，则从t ＝1到t ＝1＋d 时间段内运动距离对时间的变化率为________． 答案 4＋2d 解析 v ＝21＋d2＋1－2×12－11＋d －1＝4＋2d .6．已知某个物体走过的路程s (单位：m)是时间t (单位：s)的函数：s ＝－t 2＋1. (1)t ＝2到t ＝2.1； (2)t ＝2到t ＝2.01； (3)t ＝2到t ＝2.001.则三个时间段内的平均速度分别为________，________，________，估计该物体在t ＝2时的瞬时速度为________．答案 －4.1 m/s －4.01 m/s －4.001 m/s －4 m/s7．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时，需在2 s 内完成刹车，其位移 (单位：m)关于时间(单位：s)的函数为：s (t )＝－3t 3＋t 2＋20，求：(1)开始刹车后1 s 内的平均速度； (2)刹车1 s 到2 s 之间的平均速度； (3)刹车1 s 时的瞬时速度． 解 (1)刹车后1 s 内平均速度v 1＝s 1－s 01－0＝－3×13＋12＋20－201＝－2(m/s)．(2)刹车后1 s 到2 s 内的平均速度为：v 2＝s 2－s 12－1＝－3×23＋22＋20－－3×13＋12＋201＝－18(m/s)．(3)从t ＝1 s 到t ＝(1＋d )s 内平均速度为：v 3＝s 1＋d －s 1d＝－31＋d3＋1＋d2＋20－－3×13＋12＋20d＝－7d －8d 2－3d3d＝－7－8d －3d 2→－7(m/s)(d →0)即t ＝1 s 时的瞬时速度为－7 m/s. 二、能力提升8．质点M 的运动方程为s ＝2t 2－2，则在时间段[2,2＋Δt ]内的平均速度为( ) A ．8＋2Δt B ．4＋2Δt C ．7＋2Δt D ．－8＋2Δt答案 A 解析 Δs Δt＝22＋Δt2－2－2×22－2Δt＝8＋2Δt .9．自由落体运动的物体下降的距离h 和时间t 的关系式为h ＝12gt 2，则从t ＝0到t ＝1时间段内的平均速度为________，在t ＝1到t ＝1＋Δt 时间段内的平均速度为________，在t ＝1时刻的瞬时速度为________． 答案 12g g ＋12g Δt g解析1 2 g×12－12g×021－0＝12g.12g1＋Δt2－12g×12Δt＝g＋12gΔt.当Δt→0时，g＋12gΔt→g.10．自由落体运动的物体下降距离h和时间t的关系式为h＝12gt2，t＝2时的瞬时速度为19.6，则g＝________.答案9.8解析12g2＋Δt2－12g×22Δt＝2g＋12gΔt.当Δt→0时，2g＋12gΔt→2g.∴2g＝19.6，g＝9.8.11．求函数s＝2t2＋t在区间[2,2＋d]内的平均速度．解∵Δs＝2(2＋d)2＋(2＋d)－(2×22＋2)＝9d＋2d2，∴平均速度为Δsd＝9＋2d.12．甲、乙二人平时跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图①、②所示．问：(1)甲、乙二人平时跑步哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得快(设Δs为s的增量)?解(1)由题图①在(0，t]时间段内，甲、乙跑过的路程s甲<s乙，故有s甲t<s乙t即在任一时间段(0，t]内，甲的平均速度小于乙的平均速度，所以乙比甲跑得快．(2)由题图②知，在终点附近[t－d，t)时间段内，路程增量Δs乙>Δs甲，所以Δs乙d>Δs甲d即快到终点时，乙的平均速度大于甲的平均速度，所以乙比甲跑得快．三、探究与创新13．质量为10 kg 的物体按照s (t )＝3t 2＋t ＋4的规律做直线运动，求运动开始后4秒时物体的动能． 解s Δt ＋4－s 4Δt＝3Δt ＋42＋Δt ＋4＋4－3×42＋4＋4Δt＝3Δt ＋25，当Δt →0时，3Δt ＋25→25. 即4秒时刻的瞬时速度为25.∴物质的动能为12mv 2＝12×10×252＝3 125(J)4．1.2 问题探索——求作抛物线的切线[学习目标]理解并掌握如何求抛物线的切线． [知识链接]1．设函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋d 时，函数的改变量Δy 为________． 答案 f (x 0＋d )－f (x 0)2．函数y ＝x 2在x ＝1处的切线斜率k ＝________. 答案 Δy Δx ＝1＋Δx2－12Δx ＝2＋Δx →2(Δx →0)．[预习导引]求曲线上点P 处切线斜率的方法设P (u ，f (u ))是函数y ＝f (x )的曲线上的任一点，则求点P 处切线斜率的方法是： (1)在曲线上取不同于P 的点Q (u ＋d ，f (u ＋d ))，计算直线PQ 的斜率k (u ，d )＝f u ＋d －f ud.(2)在所求得的PQ 的斜率的表达式k (u ，d )中，让d 趋于0，如果k (u ，d )趋于确定的数值k (u )，则k (u )就是曲线在P 处的切线斜率.要点一 有关曲线的割线斜率的探索例1 点P (3,9)为抛物线y ＝x 2上的一点，A 1(1,1)，A 2(2,4)，A 4(4,16)，A 5(5,25)为抛物线上另外四点．(1)分别求割线PA 1，PA 2，PA 4，PA 5的斜率；(2)若A (x 0，x 20)为曲线y ＝x 2上异于P 的动点，当A 逐渐向P 趋近时，说明割线斜率的变化情况．解 (1)k PA 1＝1－91－3＝4，k PA 2＝4－92－3＝5，k PA 4＝16－94－3＝7，k PA 5＝25－95－3＝162＝8. (2)当A 沿曲线趋近于P 点时，x 0的值趋近于3，不妨设x 0＝3＋d (d ≠0)，当x 0→3时，d →0，则k PA ＝x 20－9x 0－3＝x 0＋3＝(3＋d )＋3＝6＋d ，当d →0时，k PA →6，表明随A 点无限趋近于P ，割线PA 的斜率无限趋近于6.规律方法 割线向切线逼近的过程是从有限到无限的过程，也是d 趋于0的过程，这一过程实现了从割线到切线质的飞跃．跟踪演练1 已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为函数y ＝x 3曲线上两不同点． (1)当x 1＝1，x 2＝2时，求k AB ；(2)求当x 1＝x 0，x 2＝x 0＋d 时，A 、B 两点连线斜率k AB .解 (1)k AB ＝f x 2－f x 1x 2－x 1＝23－132－1＝7.(2)k AB ＝f x 2－f x 1x 2－x 1＝x 0＋d 3－x 3d＝3x 20d ＋3x 0d 2＋d3d＝3x 20＋3x 0d ＋d 2.要点二 有关切线方程的探索例2 已知曲线方程为y ＝f (x )＝x 3＋2x ，求曲线在点P (1,3)处的切线方程． 解 f (x 0＋d )－f (x 0)＝f (1＋d )－f (1) ＝(1＋d )3＋2(1＋d )－(13＋2×1) ＝3d ＋3d 2＋d 3＋2d ＝5d ＋3d 2＋d 3.则k (1，d )＝5d ＋3d 2＋d 3d＝5＋3d ＋d 2，当d →0时，k (1)＝5，则切线方程为y －3＝5(x －1)即5x －y －2＝0. 规律方法 求曲线上点(x 0，y 0)处切线方程的步骤： (1)求割线斜率；(2)求切线斜率；(3)求切线方程．跟踪演练2 求y ＝f (x )＝x 2－1在x ＝1处的切线斜率及切线方程． 解 f (x 0＋d )－f (x 0)＝f (1＋d )－f (1)＝(1＋d )2－1－(12－1)＝d 2＋2d ，d 2＋2dd＝d ＋2→2(d →0)， 即在x ＝1处切线斜率为2. ∵f (1)＝0，∴切线方程为y ＝2(x －1)， 即2x －y －2＝0. 要点三 求切点坐标例3 在曲线y ＝4x 2上求一点P 使得曲线在该点处的切线分别满足下列条件： (1)平行于直线y ＝x ＋1； (2)垂直于直线2x －16y ＋1＝0； (3)倾斜角为135°.解 设f (x )＝4x 2且P 点坐标为(u ，f (u ))．在曲线上取另一点Q (u ＋d ，f (u ＋d ))，计算直线PQ 的斜率k (u ，d )＝f u ＋d －f ud＝4u ＋d2－4u2d＝8u ＋4d .在所求得的斜率表达式中让d 趋于0，表达式趋于8u ，所以P 点处切线斜率为8u . (1)因为切线与直线y ＝x ＋1平行，所以8u ＝1. ∴u ＝18，f (u )＝116.即P (18，116)．(2)因为切线与直线2x －16y ＋1＝0垂直， 所以8u ·(－2－16)＝－1，∴8u ·18＝－1.∴u ＝－1，f (u )＝4，即P (－1,4)．(3)因为切线倾斜角为135°，所以8u ＝tan 135°＝－1，u ＝－18，f (u )＝116，即P (－18，116)．规律方法 解答此类题目，切点横坐标是关键信息，因为切线斜率与之密切相关．同时应注意解析几何知识的应用，特别是直线平行、垂直、倾斜角与斜率关系等知识． 跟踪演练3 在抛物线y ＝x 2上求一点P ，使点P 到直线y ＝4x －5的距离最小． 解 设P 点坐标为(u ，f (u ))，在抛物线上另取一点Q (u ＋d ，f (u ＋d ))． 直线PQ 的斜率k (u ，d )＝f u ＋d －f ud＝u ＋d 2－u 2d＝2u ＋d ，在所求得的斜率表达式中让d 趋于0，表达式趋于2u,所求过P 点处切线斜率为2u ，当过P 点的切线与直线y ＝4x －5平行时，P 点到直线y ＝4x －5的距离最小， 所以2u ＝4，u ＝2.∵P 点在抛物线y ＝x 2上，∴f (u )＝4， ∴所求P 点坐标为(2,4).1．一物体作匀速圆周运动，其运动到圆周A 处时( ) A ．运动方向指向圆心O B ．运动方向所在直线与OA 垂直 C ．速度与在圆周其他点处相同 D ．不确定 答案 B2．若已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上的一点(1,1)及邻近一点(1＋d,1＋Δy )，则Δyd等于( )A ．1B ．2＋dC ．4＋2dD ．4＋d 答案 C 解析 Δy d ＝21＋d2－1－2×12－1d＝4＋2d .3．过曲线y ＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．答案 1解析 由平均变化率的几何意义知，k ＝2－11－0＝1.4．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋d ，－2＋Δy )，则Δy d＝________.解析 Δy ＝f (－1＋d )－f (－1) ＝－(－1＋d )2＋(－1＋d )－(－2) ＝－d 2＋3d .∴Δy d ＝－d 2＋3d d＝－d ＋3.答案 －d ＋31．求曲线y ＝f (x )上一点(x 0，y 0)处切线斜率的步骤 (1)作差求函数值增量Δy ，即f (x 0＋d )－f (x 0)． (2)化简Δyd，用x 0与d 表示化简结果．(3)令d →0，求Δyd的极限即所求切线的斜率．2．过某点的曲线的切线方程要正确区分曲线“在点(u ，v )处的切线方程”和“过点(u ，v )的切线方程”．前者以点(u ，v )为切点，后者点可能在曲线上，也可能不在曲线上，即使在曲线上，也不一定是切点．3．曲线的割线与切线的区别与联系曲线的割线的斜率反映了曲线在这一区间上上升或下降的变化趋势，刻画了曲线在这一区间升降的程度，而曲线的切线是割线与曲线的一交点向另一交点逼近时的一种极限状态，它实现了由割线向切线质的飞跃．一、基础达标1．已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( ) A ．2B ．4C ．6＋6d ＋2d 2D ．6答案 B2．已知曲线y ＝12x 2－2上的一点P (1，－32)，则过点P 的切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．165°答案 B3．如果曲线y ＝2x 2＋x ＋10的一条切线与直线y ＝5x ＋3平行，则切点坐标为( )A ．(－1，－8)B ．(1,13)C ．(1,12)或(－1,8)D ．(1,7)或(－1，－1)答案 B4．曲线y ＝x －2在点P (3,1)处的切线斜率为( ) A ．－12 B ．0 C.12 D ．1答案 C 解析3＋Δx －2－3－2Δx＝Δx ＋1－1Δx ＝1Δx ＋1＋1.当Δx →0时，1Δx ＋1＋1→12.5．若曲线y ＝x 2＋1在曲线上某点处的斜率为2，则曲线上该切点的坐标为________． 答案 (1,2)6．曲线y ＝x 2＋2在点P (1,3)处的切线方程为________． 答案 2x －y ＋1＝0 解析1＋Δx2＋2－12＋2Δx＝Δx ＋2，当Δx →0时，Δx ＋2→2.所以曲线y ＝x 2＋2在点P (1,3)处的切线斜率为2，其方程为y －3＝2(x －1)． 即为2x －y ＋1＝0.7．抛物线y ＝x 2在点P 处的切线与直线2x －y ＋4＝0平行，求点P 的坐标及切线方程． 解 设点P (x 0，y 0)，f x 0＋d －f x 0d ＝x 0＋d2－x 2d ＝d ＋2x 0，d →0时，d ＋2x 0→2x 0.抛物线在点P 处的切线的斜率为2x 0，由于切线平行于2x －y ＋4＝0，∴2x 0＝2，x 0＝1，即P 点坐标为(1,1)，切线方程为y －1＝2(x －1)，即为2x －y －1＝0. 二、能力提升8．曲线y ＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝xC ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2答案 A 解析－1Δx ＋1－－11Δx＝1－1Δx ＋1Δx ＝1Δx ＋1，当Δx →0时，1Δx ＋1→1.曲线y ＝－1x在点(1，－1)处的切线的斜率为1，切线方程为y ＋1＝1×(x －1)，即y ＝x －2.9．曲线f (x )＝x 2＋3x 在点A (2,10)处的切线的斜率为________． 答案 7 解析 f 2＋Δx －f 2Δx＝2＋Δx2＋32＋Δx －22＋3×2Δx＝Δx ＋7，当Δx →0时，Δx ＋7→7，所以，f (x )在A 处的切线的斜率为7.10．曲线f (x )＝x 2＋3x 在点A 处的切线的斜率为7，则A 点坐标为________． 答案 (2,10)解析 设A 点坐标为(x 0，x 20＋3x 0)， 则f x 0＋Δx －f x 0Δx＝x 0＋Δx2＋3x 0＋Δx －x 20＋3x 0Δx＝Δx ＋(2x 0＋3)，当Δx →0时，Δx ＋(2x 0＋3)→2x 0＋3， ∴2x 0＋3＝7，∴x 0＝2.x 20＋3x 0＝10.A 点坐标为(2,10)．11．已知抛物线y ＝x 2＋1，求过点P (0,0)的曲线的切线方程． 解 设抛物线过点P 的切线的切点为Q (x 0，x 20＋1)．则x0＋Δx2＋1－x 20＋1Δx＝Δx ＋2x 0.Δx →0时，Δx ＋2x 0→2x 0.∴x 20＋1－0x 0－0＝2x 0，∴x 0＝1或x 0＝－1.即切点为(1,2)或(－1,2)．所以，过P (0,0)的切线方程为y ＝2x 或y ＝－2x .即2x －y ＝0或2x ＋y ＝0. 三、探究与创新12．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切，求切点的坐标及a 的值． 解 设切点A (x 0，y 0)，x 0＋d3－x 0＋d2＋1－x 30－x 20＋1d＝3x 20d ＋3x 0d 2＋d 3－2x 0d －d2d＝3x 20－2x 0＋(3x 0－1)d ＋d 2→3x 20－2x 0(d →0)． 故曲线上点A 处切线斜率为3x 20－2x 0，∴3x 20－2x 0＝1， ∴x 0＝1或x 0＝－13，代入C 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－13，y 0＝2327代入直线l ，当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝1时，a ＝0(舍去)，当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－13，y 0＝2327时，a ＝3227，即切点坐标为(－13，2327)，a ＝3227.4．1.3 导数的概念和几何意义[学习目标]1．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点上的导数的方法． 2．理解导数的几何意义． [知识链接]曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))的切线与导数的关系．答 函数f (x )在点x 0处有导数，则在该点处函数f (x )的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f (x )的曲线在点x 0处有切线，而函数f (x )在该点处不一定可导，如f (x )＝x 在x ＝0处有切线，但它不可导．即若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的导数f ′(x 0)不存在，但有切线，则切线与x 轴垂直．若f ′(x 0)存在，且f ′(x 0)>0，则切线与x 轴正向夹角为锐角；f ′(x 0)<0，切线与x 轴正向夹角为钝角；f ′(x 0)＝0，切线与x 轴平行． [预习导引]1．函数在自变量的某个区间上的平均变化率函数f (x )在x ＝u 处步长为d 的差分为f (u ＋d )－f (u )，差商为f u ＋d －f ud，它表示函数在自变量的某个区间上的平均变化率，它反映了自变量在某个范围内变化时，函数值变化的总体的快慢． 2．导数的概念设函数f (x )在包含x 0的某个区间上有定义，如果比值f x 0＋d －f x 0d在d 趋于0时(d ≠0)趋于确定的极限值，则称此极限值为函数f (x )在x ＝x 0处的导数或微商，记作f ′(x 0)，上述定义可简述为f x 0＋d －f x 0d→f ′(x 0)(d →0)．当x 0是f (x )的定义区间中的任意一点，所以也可以就是x ，而f ′(x )也是x 的函数，叫作f (x )的导函数或一阶导数．有时也可记作f ′(x )＝f x ＋d －f xd.3．导数的几何意义函数f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.要点一 导数的概念例1 设函数f (x )(x ∈R )可导，则当d 趋于0时，f 1＋d －f 13d趋于( )A ．f ′(1) B．3f ′(1) C.13f ′(1) D．f ′(3)答案 C 解析 原式＝13·f1＋d －f 1d，当d 趋于0时，f 1＋d －f 1d趋于f ′(1)．故原式趋于13f ′(1)，故选C.规律方法 在利用导数定义求函数在某点处导数值时，往往采用凑项的方法凑成定义的形式再解决．跟踪演练1 已知f (x )在x ∈R 时处处可导，若f ′(1)＝1，则d →0时，f 1＋2d －f 1d的值为( )A.12 B ．2 C ．f ′(2) D．f ′(12) 答案 B要点二 求函数某一点处的导数 例2 已知f (x )＝1x，求f ′(1)．解f1＋d －f 1d ＝11＋d －1d＝－d 1＋d d ＝－11＋d，由于d →0时，－11＋d→－1，故f ′(1)＝－1.规律方法 差分式化成分子和分母极限都在的情形(但分母极限不能为0)，如果分母极限为0，则从分母中分离出导致分母趋于0的因式，与分子约分消去，便可得出正确结论． 跟踪演练2 已知f (x )＝x (x >0)，求f ′(1)． 解f 1＋d －f 1d ＝1＋d －1d ＝dd1＋d ＋1，＝11＋d ＋1，当d →0时，11＋d ＋1→12，故f ′(1)＝12.要点三 求函数的导函数例3 求函数f (x )＝4x2的导函数f ′(x )，并求f ′(2)．解 f x ＋d －f x d＝4x ＋d2－4x 2d＝－4d 2x ＋d x2x ＋d 2d＝－42x ＋dx 2x ＋d 2. 当d →0时，－42x ＋d x 2x ＋d 2趋于－8x x 4＝－8x 3.即f ′(x )＝－8x3.∴f ′(2)＝－1.规律方法 求某一点x 0处的导数值f ′(x 0)，可先求出导函数f ′(x )，再赋值求解f ′(x 0)．跟踪演练3 求函数f (x )＝x ＋1x的导函数f ′(x )及f ′(1)．解f x ＋d －f xd＝1x ＋d ＋x ＋d －1x －x d＝－dx x ＋d ＋dd ＝1－1xx ＋d， 当d →0时，1－1x x ＋d →1－1x2，∴f ′(x )＝1－1x 2，∴f ′(1)＝1－112＝0.要点四 利用导数求切线方程 例4 已知曲线C ：y ＝x 2，(1)求曲线C 在点(1,1)处的切线方程， (2)求过点(1,0)且与曲线C 相切的直线的方程．解 (1)f x ＋d －f x d ＝x ＋d 2－x 2d＝2x ＋d .当d →0时，2x ＋d →2x ， ∴f ′(x )＝2x ，f ′(1)＝2， ∴曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)点(1,0)不在曲线y ＝x 2上．设过点(1,0)与曲线C 相切的直线其切点为(x 0，x 20)， 则切点处的斜率为2x 0.切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0) (*) 又因为此切线过点(1,0)．∴－x 20＝2x 0(1－x 0)，解得x 0＝0或x 0＝2，代入(*)式得过点(1,0)与曲线 C ：y ＝x 2相切的直线方程为y ＝0或4x －y －4＝0.规律方法 本题主要考查了导数的几何意义以及直线方程的知识，若求某点处的切线方程，此点即为切点，否则除求过二次曲线上的点的切线方程外，不论点是否在曲线上，均需设出切点．跟踪演练4 求曲线f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线的方程．解 由于点(－2，－1)恰好在曲线f (x )＝2x上，所以曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f(x)＝2x在点(－2，－1)处的导数．而f′(－2)＝f－2＋d－f－2d＝2－2＋d＋1d＝1－2＋d＝－12，故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－12(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.1．f(x)在x＝x0处可导，则limh→0f x0＋h－f x0h( )A．与x0、h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0、h均无关答案 B2．若f(x0)－f(x0－d)＝2x0d＋d2，下列选项正确的是( )A．f′(x)＝2 B．f′(x)＝2x0C．f′(x0)＝2x0D．f′(x0)＝d＋2x0答案 C3．已知函数y＝f(x)图象如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是( )A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定答案 A4．在曲线f(x)＝x2＋x上取一点P(1,2)，则在区间[1,1＋d]上的平均变化率为________，在点P(1,2)处的导数f′(1)＝________.答案3＋d 31．求导数的步骤主要有三步：(1)求函数值的增量：Δy ＝f (x 0＋d )－f (x 0)； (2)求平均变化率：Δy d＝fx 0＋d －f x 0d；(3)取极限：f ′(x 0)＝ Δy d.2．导数的几何意义(1)对于函数y ＝f (x )在x 0处的导数是表示在x 0处函数值变化快慢的一个量，其几何意义为在x ＝x 0处的切线的斜率．(2)f ′(x )是指随x 变化，过曲线上的点(x ，f (x ))的切线斜率与自变量x 之间的函数.一、基础达标1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交答案 B2．已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定答案 B解析 分别作出A 、B 两点的切线，由题图可知k B >k A ，即f ′(x B )>f ′(x A )． 3．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则在点A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2解析 在点A 处的切线的斜率即为曲线y ＝2x 2在x ＝2时的导数，由导数定义可求y ′＝4x ，∴f ′(2)＝8. 答案 C4．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能为( ) A ．f (x )＝(x －1)2＋3(x －1) B ．f (x )＝2(x －1) C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1 答案 A解析 分别求四个选项的导函数分别为f ′(x )＝2(x －1)＋3；f ′(x )＝2；f ′(x )＝4(x －1)；f ′(x )＝1.5．抛物线y ＝x 2＋x ＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________，该切线方程为____________． 答案 3 3x －y ＋1＝0解析 Δy ＝(1＋d )2＋(1＋d )＋2－(12＋1＋2)＝3d ＋d 2，故y ′|x ＝1＝li m d →0 Δyd＝lim d →0(3＋d )＝3. ∴切线的方程为y －4＝3(x －1)， 即3x －y ＋1＝0.6．若曲线y ＝x 2－1的一条切线平行于直线y ＝4x －3，则这条切线方程为____________． 答案 4x －y －5＝0 解析 ∵f ′(x )＝f x ＋d －f xd＝x ＋d2－1－x 2－1d＝2xd ＋d2d＝(2x ＋d )＝2x .设切点坐标为(x 0，y 0)，则由题意知f ′(x 0)＝4，即2x 0＝4，∴x 0＝2，代入曲线方程得y 0＝3，故该切线过点(2,3)且斜率为4.所以这条切线方程为y －3＝4(x －2)，即4x －y －5＝0. 7．求曲线y ＝x 3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积． 解 ∵f ′(3)＝f 3＋d －f 3d＝3＋d3－33d＝(d 2＋9d ＋27)＝27，∴曲线在点(3,27)处的切线方程为y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.此切线与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)． ∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×2×54＝54.二、能力提升8．曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x ＋5 C ．y ＝3x ＋5 D ．y ＝2x答案 A解析－Δx ＋13＋3Δx ＋12－－13＋3×12Δx＝－Δx 2＋3.Δx →0时，－Δx 2＋3→3.∴f ′(1)＝3.即曲线在(1,2)处的切线斜率为3. 所以切线方程为y －2＝3(x －1)，即y ＝3x －1.9．函数y ＝f (x )图象在M (1，f (1))处的切线方程为y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 由已知切点在切线上． ∴f (1)＝12×1＋2＝52.切线的斜率f ′(1)＝12.∴f (1)＋f ′(1)＝3.10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程为x －y ＋1＝0，则a ，b 的值分别为________，________. 答案 1 1解析 ∵点(0，b )在切线x －y ＋1＝0上， ∴－b ＋1＝0，b ＝1.又f 0＋Δx －f 0Δx ＝Δx 2＋a Δx ＋b －b Δx＝a ＋Δx ，∴f ′(0)＝a ＝1.11．已知曲线y ＝x 3＋1，求过点P (1,2)的曲线的切线方程． 解 设切点为A (x 0，y 0)，则y 0＝x 30＋1.x 0＋Δx3＋1－x 30＋1Δx ＝Δx 3＋3x 20Δx ＋3x 0Δx2Δx＝Δx 2＋3x 0Δx ＋3x 20.∴f ′(x 0)＝3x 20，切线的斜率为k ＝3x 20.点(1,2)在切线上，∴2－(x 30＋1)＝3x 20(1－x 0)．∴x 0＝1或x 0＝－12.当x 0＝1时，切线方程为3x －y －1＝0， 当x 0＝－12时，切线方程为3x －4y ＋5＝0.所以，所求切线方程为3x －y －1＝0或3x －4y ＋5＝0. 12．求抛物线y ＝x 2的过点P (52，6)的切线方程．解由已知得，Δyd＝2x＋d，∴当d→0时，2x＋d→2x，即y′＝2x，设此切线过抛物线上的点(x0，x20)，又因为此切线过点(52，6)和点(x0，x20)，其斜率应满足x20－6x0－52＝2x0，由此x0应满足x20－5x0＋6＝0.解得x0＝2或3.即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4)，(3,9)．所以切线方程分别为y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)．化简得4x－y－4＝0,6x－y－9＝0，此即是所求的切线方程．三、探究与创新13．求垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程．解设切点为P(a，b)，函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x.故切线的斜率k＝y′|x＝a＝3a2＋6a＝－3，得a＝－1，代入y＝x3＋3x2－5得，b＝－3，即P(－1，－3)．故所求直线方程为y＋3＝－3(x＋1)，即3x＋y＋6＝0.4．2 导数的运算4．2.1 几个幂函数的导数4．2.2 一些初等函数的导数表[学习目标]1．理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概念求导数的方法．2．掌握常见函数的导数公式．3．灵活运用公式求某些函数的导数．[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y ＝f (x )的导数？ 答 (1)计算ΔyΔx ，并化简；(2)观察当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值； (3)ΔyΔx 趋近于的定值就是函数y ＝f (x )的导数． [预习导引]常见基本初等函数的导数公式： (1)(c )′＝0(c 为常数函数)； (2)(x α)′＝αxα－1(α≠0)；(3)(e x)′＝e x；(4)(a x)′＝a x(ln_a )(a >0，a ≠1)； (5)(ln x )′＝1x(x >0)；(6)(log a x )′＝1x ln a(a >0，a ≠1，x >0)； (7)(sin x )′＝cos_x ； (8)(cos x )′＝－sin x ； (9)(tan x )′＝1cos 2x； (10)(cot x )′＝－1sin 2x.要点一 幂函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝x2 011；(2)y ＝1x3；(3)y ＝4x 3.解 (1)y ′＝(x2 011)′＝2 011x2 011－1＝2 011x2 010.(2)y ′＝(x －3)′＝－3x－3－1＝－3x －4＝－3x4.(3)y ′＝＝344x.规律方法 对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y ＝1x4可以写成y ＝x －4，y ＝5x 3＝等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误． 跟踪演练1 求曲线y ＝13x 2在点P (27，19)处的切线斜率．解 ∵y ＝13x 2＝，∴，∴y ′|x ＝27＝－23×＝－23×＝－236，故所求切线的斜率k ＝－2729. 要点二 利用导数公式求函数的导数 例2 求下列函数的导数(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝5x 3；(5)y ＝log 3x .解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x )′＝5xln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4； (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝＝355x2；(5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. 规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；(3)y ＝x x ；(4).解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 2；(3)∵y ＝x x ＝，∴y ′＝；(4) y ′＝1x ln13＝－1x ln 3. 要点三 利用导数公式求曲线的切线方程例3 (1)求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程． 解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y －12＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即2x ＋3y －32－π3＝0. 规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．跟踪演练3 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解 ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. ∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ．6 D ．9 答案 C解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C.12xD.32 答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πB ．[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1，∴αl ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化．一、基础达标1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2xln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．②③④正确． 2．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B.3．已知f (x )＝x a，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A 解析 f ′(x )＝axa －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4.4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．5．曲线y ＝9x在点M (3,3)处的切线方程是________．答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x2，∴y ′|x ＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为：y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.6．若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________. 答案 64解析∴曲线在点处的切线斜率，∴切线方程为．令x ＝0得；令y ＝0得x ＝3a .∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·＝18，∴a ＝64.7．求下列函数的导数：(1) y ＝7x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝log 2x 2－log 2x . 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫7x 3′＝＝377x4.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)∵y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e 答案 D解析 y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，y 0＝e x 0，k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝______.答案 1解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a＝1，∴a ＝1.10．点P 是曲线y ＝e x上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________． 答案22解析 根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1. ∵y ′＝(e x )′＝e x，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22. 11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值． 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1， 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1， 所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.三、探究与创新13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝－sin x .4．2.3 导数的运算法则[学习目标]1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和四则运算求简单函数的导数． 3．了解复合函数的概念，理解复合函数的求导法则．4．能求简单的复合函数的导数．(仅限于形如f (ax ＋b )的导数)． [知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f (x )＝5和g (x )＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f (x )与g (x )的和、差、积、商的导数呢？ 答 利用导数的运算法则． [预习导引] 1．导数的运算法则 (1)(cf (x ))′＝cf ′(x )；(2)(f (x )＋g (x ))′＝f ′(x )＋g ′(x )； (3)(f (x )－g (x ))′＝f ′(x )－g ′(x )； (4)(f (x )g (x ))′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (5)(1f x)′＝－f ′xf x 2(f (x )≠0)；(6)(g x f x )′＝f x g ′x －g x f ′xf x2(f (x )≠0)． 2．一般地，若y ＝f (u )，u ＝g (x )，则y ′x ＝f u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的积.要点一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1) y ＝x 3－2x ＋3； (2)y ＝(x 2＋1)(x －1)； (3)y ＝3x－lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2. (2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1， ∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x－lg x 是函数f (x )＝3x与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f ′(x )＝3xln 3，g ′(x )＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得 (3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3xln 3－1x ln 10. 规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪演练1 求下列函数的导数： (1)y ＝5－4x 3；(2)y ＝3x 2＋x cos x ； (3)y ＝e x·ln x ；(4)y ＝lg x －1x2.解 (1)y ′＝－12x 2；(2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x ； (3)y ′＝e xx＋e x·ln x ；(4)y ′＝1x ln 10＋2x3. 要点二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数： (1)y ＝ln(x ＋2)； (2)y ＝sin 4x4＋cos 4x4；解 (1)y ＝ln u ，u ＝x ＋2∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(x ＋2)′＝1u ·1＝1x ＋2.(2)∵y ＝sin 4x4＋cos 4x4＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x .规律方法 应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面： (1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导． (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导． (4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤． 跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝e 2x ＋1；(2)y ＝(x －2)2.解 (1)y ＝e u，u ＝2x ＋1，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋1.(2)法一 ∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4， ∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′＝1－4×＝1－2x.法二 令u ＝x －2，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝2(x －2)·(x －2)′＝。

新人教版高中数学必修一精品教案全册课题：1.1集合的含义及表示内容分析：1．集合是中学数学的一个重要的基本概念的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主教科书给出的“一般地，某些指定”这句话，只是对集合概念的描述性说明教学过程：一、复习引入：1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；2．教材中的章头引言；3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）；4．“物以类聚”，“人以群分”；5．教材中例子（P4）二、讲解新课：阅读教材第一部分，问题如下：（1）有那些概念？是如何定义的？（2）有那些符号？是如何表示的？（3）集合中元素的特性是什么？（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合N，{}N=,2,1,0（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+{} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}0±±Z=1，2，，（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,{}整数与分数Q=（5）实数集：全体实数的集合记作R{}数R=数轴上所有点所对应的注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数（2）非负整数集内排除0的集N*或N+、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作Aa∉4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……⑵“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合 例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条 件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或 23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}例 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？答：不是}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值（三） 有限集与无限集1、有限集2、无限集3、空集记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x课 题：1.2子集 全集 补集内容分析在研究数的时候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等（大于或小于）关系，而对于集合而言，类似的关系就是“包含”与“相等”关系本节讲子集，先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系，并引出子集的概念，然后，对比集合的“包含”与“相等”关系，得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质 本节课讲重点是子集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别教学过程：一、复习引入：（1）回答概念：集合、元素、有限集、无限集、空集、列举法、描述法、（2）用列举法表示下列集合：①}022|{23=+--x x x x {-1，1，2}②数字和为5的两位数} {14，23，32，41，50} （3）用描述法表示集合：}51,41,31,21,1{ }5,1|{*≤∈=n N n n x x 且 （4）集合中元素的特性是什么？（5）用列举法和描述法分别表示：“与2相差3的所有整数所组成的集合”}3|2||{=-∈x Z x {-1，5}问题：观察下列两组集合，说出集合A 与集合B 的关系（共性）（1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}（2）A=N ，B=Q（3）A={-2，4}，}082|{2=--=x x x B（集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素）二、讲解新课：（一） 子集1 定义：（1）子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一 个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A记作:A B B A ⊇⊆或 ，A ⊂B 或B ⊃A读作：A 包含于B 或B 包含AB A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A注：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合（2）集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何．．一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B（3）真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A真包含于B 或B 真包含A（4）子集与真子集符号的方向不同与同义；与如B A B A A B B A ⊇⊆⊇⊆（5）空集是任何集合的子集Φ⊆A 空集是任何非空集合的真子集Φ A 若A ≠Φ，则Φ A 任何一个集合是它本身的子集A A ⊆（6）易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合如 Φ⊆{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}全集与补集1 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A的补集（或余集），记作A C S ，即C S A=},|{A x S x x ∉∈且2、性质：C S （C S A ）=A ，C S S=φ，C S φ3、全集：如果集合S 集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示课 题：1.3 交集、交集内容分析这小节研究集合的运算，即集合的交与并，本节课的重点是交集与并集的概念，难点是弄清交集与并集的概念，符号之间的区别与联系教学过程：一、复习引入：1．说出A C S2．填空：若全集U={x|0≤x ＜6，X ∈Z}，A={1，3，5}，B={1，4}，那么=A C U {0，2，4} =B C U {0，2，3，5}3．已知B={1，2，5，10}，2}） 4有什么关系？图1图2如上图，集合A 和B 的公共部分叫做集合A 和集合B 的交（图1的阴影部分），集合A 和B 合并在一起得到的集合叫做集合A 和集合B 的并（图2的阴影部分）．观察问题3中A 、B 、C 三个集合的元素关系易知，集合C={1，2}是由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的，即集合C 的元素是集合A 、B 的公共元素，此时，我们就把集合C 叫做集合A 与B 的交集，这是今天我们要学习的一个重要概念.问题：观察下列两组集合，说出集合A 与集合B 的关系（共性）（1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}（2）A=N ，B=Q（3）A={-2，4}，}082|{2=--=x x x B（集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素）二、讲解新课：1．交集的定义一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集． 记作A B （读作‘A 交B ’），即A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e ｝,B={c,d,e,f}.则A B={c,d,e}．2．并集的定义一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A B （读作‘A 并B ’），即A B ={x|x ∈A ，或x ∈B})．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝．3、交集、并集的性质用文图表示(1)若A ⊇B,则A B=B, A B=B(2)若A ⊆B 则A B=A A B=A(3)若A=B,则A A=A A A=A (4)若A,B 相交，有公共元素，但不包含则A B A,A B BA B A, A B B (5) )若A,B 无公共元素，则A B=Φ(学生思考、讨论、分析：从图中你能看出那些结论？)：从图中观察分析、思考、讨论，完全归纳以下性质，并用集合语言证明：1．交集的性质(1)A A=A A Φ=Φ，A B=B A (2)A B ⊆A, A B ⊆B ．2．并集的性质(1)A A=A (2)A Φ=A (3)A B=B A (4)A B ⊇Ａ,A B ⊇B B A (B)A BA联系交集的性质有结论：Φ⊆A B ⊆A ⊆A B ．3. 德摩根律：(C u A) (C u B)= C u (A B),(C u A) (C u B)= C u (A B)(可以用韦恩图来理解)．结合补集，还有①A (C u A)=U, ②A (C u A)= Φ．容斥原理一般地把有限集A 的元素个数记作card(A).对于两个有限集A ，B ，有card(A ∪B)= card(A)+card(B)- card(A ∩B)．三、讲解范例：例1 设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A B.解：A B=｛x|x>-2｝ ｛x|x<3｝=｛x|-2<x<3｝．例2 设A=｛x|x 是等腰三角形｝，B=｛x|x 是直角三角形｝，求A B. 解：A B=｛x|x 是等腰三角形｝ ｛x|x 是直角三角形｝=｛x|x 是等腰直角三角形｝．例3 A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A B.解：A B=｛3,4,5,6,7,8｝．例4设A=｛x|x 是锐角三角形｝，B=｛x|x 是钝角三角形｝，求A B.解：A B=｛x|x 是锐角三角形｝ ｛x|x 是钝角三角形｝=｛x|x 是斜三角形｝．例5设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A ∪B.解：A B=｛x|-1<x<2｝ ｛x|1<x<3｝=｛x|-1<x<3｝．说明：求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示；利用韦恩图表示两个集合的交集，有助于解题例6（课本第12页）设A=｛(x,y)|y=-4x+6｝,B=｛(x,y)|y=5x-3｝,求A B. 解：A B=｛(x,y)|y=-4x+6｝ ｛(x,y)|y=5x-3｝=｛(x,y)|⎩⎨⎧-=+-=3564x y x y ｝=｛(1,2)｝ 注：本题中，(x,y)可以看作是直线上的的坐标，也可以看作二元一次方程的一个解．形如2n （n ∈Z ）的整数叫做偶数，形如2n+1（n ∈Z ）的数叫做奇数，全体奇数的集合叫做奇数集全体偶数的集合叫做偶数集． 交集与并集性质例题例1（课本第12页）设U=｛1,2,3,4,5,6,7,8｝,A=｛3,4,5｝,B=｛4,7,8｝,求C u A, C u B, (C u A) (C u B), (C u A) (C u B), C u (A B) , C u (A B)．解：C u A=｛1,2,6,7,8｝ C u B=｛1,2,3,5,6｝(C u A) (C u B)= C u (A B)=｛1,2,6｝(C u A) (C u B)= C u (A B)=｛1,2,3,5,6,7,8｝例2 已知集合A={y |y=x 2-4x+5},B={x |y=x -5}求A ∩B,A ∪B ．解：A ∩B= {x |1≤x ≤5}, A ∪B=R ．例3 已知A={x |x 2≤4}, B={x |x>a },若A ∩B=Ф,求实数a 的取值范围． 解：a ≧2例4 集合M=｛(x,y) |∣xy ∣=1,x ＞0｝,N=｛(x,y) |xy=-1｝,求M ∪N ． 解：M ∪N=｛(x,y) |xy=-1,或xy=1(x ＞0)｝．例5 已知全集U={x |x 2-3x+2≥0}，A={x ||x-2|>1}，B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥--021x x x ， 求C U A ，C U B ，A ∩B ，A ∩（C U B ），（C U A ）∩解：∵U={x |x 2-3x+2≥0}＝{x|x ≤1或x ≥2}，A={x ||x-2|>1}={x|x<1或x>3}， B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥--021x x x ={x| x ≤1或x>2} ∴C U A={}321≤≤=x x x 或C U B={}2=x xA ∩B=A={x|x<1或x>3}，={x|x<1或x>3}，A ∩（C UB ）=φ（C U A ）∩B={}3212≤<=x x x 或课 题：1.4 逻辑联结词内容分析：学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)．由此，这一大节首先给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的意义，介绍了判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假的方法．接下来，讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法．然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．这一大节的重点是逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．这一大节的难点是对一些代数命题真假的判断．初中阶段，学生只是对简单的推理方法有一定程度的熟悉，并且，相关的技能和能力，主要还是通过几何课的学习获得的，初中代数侧重的是运算的技能和能力，因此，像对代数命题的证明，学生还需要有一个逐步熟悉的过程．教学过程：一、复习引入：命题的概念：可以判断真假的语句叫命题正确的叫真命题，错误的叫假命题例如：①11>5 ②3是15的约数③0.7是整数①②是真命题，③是假命题反例：④3是15的约数吗？⑤x>8都不是命题，不涉及真假(问题) 无法判断真假“这是一棵大树”；“x＜2”．都不能叫命题．由于“大树”没有界定，就不能判断“这是一棵大树”的真假．由于x是未知数，也不能判断“x＜2”是否成立．注意：①初中教材中命题的定义是：判断一件事情的句子叫做命题；这里的定义是：可以判断真假的语句叫做命题.②判断命题的关键在于能不能判断其真假，即能不能判断其是否成立；不能判断真假的语句，就不是命题.③与命题相关的概念是开语句例如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.这些语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的.这种含有变量的语句叫做开语句（有的逻辑书也称之为条件命题）.在教学时，不要在判断一个语句是不是命题上下功夫，因为这个工作过于复杂，要求学生能够从正面的例子了解命题的概念就可以了．二、讲解新课：1．逻辑连接词例⑥10可以被2或5整除；（10可以被2整除或10可以被5整除）⑦菱形的对角线互相垂直且平分；（菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分）⑧ 0.5非整数 .( 非“0.5是整数”)逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词2．简单命题与复合命题： 简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题其实，有些概念前面已遇到过如：或：不等式 2x -x -6>0的解集 { x | x<-2或x>3 }且：不等式2x -x -6<0的解集 { x | -2< x<3 } 即 { x | x>-2且x<3 }3．复合命题的构成形式如果用 p, q, r, s ……表示命题，则复合命题的形式接触过的有以下三种：即：p 或q 记作 p ∨q p 且q 记作 p ∧q非p (命题的否定) 记作 ⌝p释义：“p 或q ”是指p,q 中的任何一个或两者.例如，“x ∈A 或x ∈B ”，是指x 可能属于A 但不属于B （这里的“但”等价于“且”），x 也可能不属于A 但属于B ，x 还可能既属于A 又属于B （即x ∈A B ）；又如在“p 真或q 真”中，可能只有p 真，也可能只有q 真，还可能p,q 都为真.“p 且q ”是指p,q 中的两者.例如，“x ∈A 且x ∈B ”，是指x 属于A ，同时x 也属于B （即x ∈A B ）.“非p ”是指p 的否定，即不是p. 例如，p 是“x ∈A ”，则“非p ”表示x 不是集合A 的元素（即x ∈A C U ）.开语句：语句中含有变量x 或y ，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的．这种含有变量的语句叫做开语句(有的逻辑书也称之为条件命题)．也可以把简单的开语句用逻辑联结词“或”、“且”、“非”连结起来，构成复合的开语句(有的逻辑书也称之为复合条件命题)，这里的“或”、“且”、“非”与复合命题中的“或”、“且”、“非”符号与意义相同．在进行命题教学时，要注意命题与开语句的区别，特别在举有关逻辑联结词“或”、“且”、“非”的例子时，容易把两者混淆．例1（课本第26页例1）分别指出下列复合命题的形式及构成它们的简单命题：⑴24既是8的倍数，也是6的被数；⑵李强是篮球运动员或跳高运动员；⑶平行线不相交.解：⑴这个命题是p且q的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数.⑵这个命题是p或q的形式，其中p：李强是篮球运动员，q：李强是跳高运动员.⑶这个命题是非p的形式，其中p：平行线相交.例 2 命题“方程|x|=1的解是x=±1”中，使用逻辑联结词的情况是（）A：使用了逻辑联结词“或”B：使用了逻辑联结词“且”C：使用了逻辑联结词“非”D：没有使用逻辑联结词判断复合命题真假的方法1．“非p”形式的复合命题例1 (1)如果p表示“2是10的约数”，试判断非p的真假.(2) )如果p表示“3≤2”，那么非p表示什么？并判断其真假.解：(1)中p表示的复合命题为真，而非p“2不是10的约数”为假.(2)中p表示的命题“3≤2”为假，非p表示的命题为“3>2”，其显然为真.小结：非p复合命题判断真假的方法当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真，即“非p”形式的2．“p且q”形式的复合命题例2．如果p表示“5是10的约数”，q表示“5是15的约数”，r表示“5是8的约数”，试写出ｐ且ｑ，ｐ且ｒ的复合命题，并判断其真假，然后归纳出其规律.解：p且q即“5是10的约数且是15的约数”为真（p、q为真）；p且r即“5是10的约数且是8的约数”为假（r为假）小结：“p且q”形式的复合命题真假判断当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q 为假可用下表表示3．“p或q”形式的复合命题：例3．如果p表示“5是12的约数”q表示“5是15的约数”，r表示“5是8的约数”，写出，p或r，q或s，p或q的复合命题，并判断其真假，归纳其规律.p或q即“5是12的约数或是15的约数”为真（p为假、q为真）；p或r即“5是12的约数或是8的约数”为假（p、r为假）小结：“p或q”形式的复合命题真假判断当p，q中至少有一个为真时，“p或q”为真；当p，q都为假时，“p 或q”为假. 即“p或q”形式的复合命题，当p与q同为假时为假，其他情像上面三个表用来表示命题的真假的表叫做真值表.在真值表中，是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容.例4（课本第28页例2）分别指出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题的真假：①p：2+2=5，q：3>2；②p：9是质数，q：8是12的约数；③p：1∈{1，2}，q：{1}⊂{1，2}；④p：φ⊂{0}，q：φ={0}.解：①p或q：2+2=5或3>2 ；p且q：2+2=5且3>2 ；非p：2+2≠5.∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.②p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数.∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.③p或q：1∈{1，2}或{1}⊂{1，2}；p且q：1∈{1，2}且{1}⊂{1，2}；非p：1∉{1，2}.∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.④p或q：φ⊂{0}或φ={0}；p且q：φ⊂{0}且φ={0} ；非p：φ⊄{0}.∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.4．逻辑符号“或”的符号是“∨”，“且”的符号是“∧”，“非”的符号是“┐”.例如，“p或q”可记作“p∨q”；“p且q”可记作“p∧q”；“非p”可记作“┐p”.注意：数学中的“或”与日常生活用语中的“或”的区别“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：一是“不可兼有”，即“a或b”是指a，b中的某一个，但不是两者.日常生活中有时采用这一解释.例如“你去或我去”，人们在理解上不会认为有你我都去这种可能.二是“可兼有”，即“a或b”是指a，b中的任何一个或两者.例如“x∈A 或x∈B”，是指x可能属于A但不属于B（这里的“但”等价于“且”），x 也可能不属于A但属于B，x还可能既属于A又属于B（即x∈A∩B）；又如在“p真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还可能p,q都为真.数学书中一般采用这种解释，运用数学语言和解数学题时，都要遵守这一点.还要注意“可兼有”并不意味“一定兼有”.另外，“苹果是长在树上或长在地里”这一命题，按真值表判断，它是真命题，但在日常生活中，我们认为这句话是不妥的.课题：1.5 四种命题内容分析：学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)．由此，这一大节首先讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法．然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．这一大节的重点是充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．这一大节的难点是对一些代数命题真假的判断．初中阶段，学生只是对简单的推理方法有一定程度的熟悉，并且，相关的技能和能力，主要还是通过几何课的学习获得的，初中代数侧重的是运算的技能和能力，因此，像对代数命题的证明，学生还需要有一个逐步熟悉的过程．教学过程：一、复习引入：复习初中学过的命题与逆命题，并举例说明（学生回答，教师整理补充）两个命题，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.例如，(1)同位角相等，两直线平行；条件（题设）：同位角相等；结论：两直线平行它的逆命题就是：(2)两直线平行，同位角相等二、讲解新课：1．引例(3)同位角不相等，两直线不平行；(4)两直线不平行，同位角不相等.比较命题(1)与(3)、(1)与(4)的条件与结论的异同（学生回答，教师整理原命题若p 则q 否命题逆命题若q 则p 逆否命题互为逆否互逆否互为逆否互否互补充）在命题(1)与命题(3)中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们称命题(1)与命题(3)互为否命题；在命题(1)与命题(4)中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们称命题(1)与命题(4)互为逆否命题；（让学生取名字）思考：由原命题怎么得到逆命题、否命题、逆否命题？（学生回答，教师整理补充）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题.2．概括：(1)为原命题 (2)为逆命题(3)为否命题 (4)为逆否命题反问：若(2)为原命题，则(1)(3)(4)各为哪种命题？若(3)为原命题，则(1)(2)(4)各为哪种命题？若(4)为原命题，则(1)(2)(3)各为哪种命题？强调：“互为”的含义3．四中命题的形式若p 为原命题条件，q 为原命题结论（学生回答，教师整理补充）则：原命题：若 p 则 q逆命题：若 q 则 p否命题：若 ⌝p 则 ⌝q逆否命题：若 ⌝q 则 ⌝p4．四种命题的相互关系互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用右下图表示：5．四种命题的真假关系一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：①、原命题为真，它的逆命题不一定为真②、原命题为真，它的否命题不一定为真③、原命题为真，它的逆否命题一定为真6．反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法7．反证法的步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论课题：1.6 充分条件与必要条件内容分析：这一大节通过若干实例，讲述充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．这一大节的重点是充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．关于充分条件、必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜．教学过程：一、复习引入：同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件.二、讲解新课：⒈符号“⇒”的含义前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假.“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作p⇒q，或者q⇐p；如果由p推不出q，命题为假，记作p q.简单地说，“若p则q”为真，记作p⇒q（或q⇐p）；“若p则q”为假，记作p q（或q p）.符号“⇒”叫做推断符号.例如，“若x>0，则x2>0”是一个真命题，可写成：x>0 ⇒x2>0；又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成：两三角形全等⇒两三角形面积相等.说明：⑴“p⇒q”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”.⑵“p⇒q”也可写为“q⇐p”，有时也用“p→q”.⒉什么是充分条件？什么是必要条件？如果已知p⇒q，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.在上面是两个例子中，“x>0”是“x2>0”的充分条件，“x2>0”是“x>0”的必要条件；“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件.⒊充分条件与必要条件的判断1.直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p 的必要条件”.（条件与结论是相对的）例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：⑴ p：x=y；q：x2=y2.⑵ p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等.分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.解：⑴由p⇒q，即x=y⇒x2=y2，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.⑵由p⇒q，即三角形的三条边相等⇒三角形的三个角相等，知p是q的充分条件，q是p的必要条件；又由q⇒p，即三角形的三个角相等⇒三角形的三条边相等，知q也是p。

必修一教案第一章集合与函数概念一.课标要求：本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力.函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识.1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号.2.理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力.4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义.5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集,培养学生从具体到抽象的思维能力.6.理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.8.学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法.9.了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象.10.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.11.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.12.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.13.通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.二.编写意图与教学建议1.教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力.教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.2.教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念.教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。

1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示（2）A级基础巩固一、选择题1．如图所示的程序框图中，输入x＝2，则输出的结果是导学号95064079(B)A．1B．2C．3D．4[解析]输入x＝2后，该程序框图的执行过程是：输入x＝2，x＝2>1成立，y＝2＋2＝2，输出y＝2.2．要解决下面的四个问题，只用顺序结构画不出其算法框图的是导学号95064080(C)n(n＋1)A．利用公式1＋2＋…＋n＝计算1＋2＋…＋10的值2B．当圆面积已知时，求圆的周长C．当给定一个数x时，求其绝对值D．求函数f(x)＝x2－3x－5的函数值[解析]C中要判断x是大于等于0还是小于0，故选项C只用顺序结构画不出其程序框图．13．已知a＝2 ，b＝log 33，运算原理如图所示，则输出的值为导学号95064081(D) 22A．B．2 22－1C．D．2 2＋1 2lg3 a＋1 2＋1 [解析]由a＝2<b＝log 33＝＝2，知a>b不成立，故输出＝.lg 3b 24．如图是计算函数y＝Error!的值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是导学号95064082(A)A．y＝－x，y＝0，y＝x2 B．y＝－x，y＝x2，y＝0C．y＝0，y＝x2，y＝－x D．y＝0，y＝－x，y＝x2[解析]①处x满足x≤－1，则由函数的解析式知，①处应填入y＝－x；②处x满足－1<x≤2，则由函数的解析式知，②处应填入y＝0；③处x满足x>2，则由函数的解析式知，③处应填入y＝x2.二、填空题15．某算法的程序框图如图所示，若输出结果为，则输入的实数x的值是2.2导学号95064083[解析]当x≤1时，y＝x－1≤0，1 ∵输出结果为，∴x>1，1∴log2x＝，2∴x＝2.6．如图所示表示求函数f(x)＝|x－3|的值的算法．请将程序框图补充完整．其中①处应填__x<3？(或x≤3？)__，②处应填__y＝x－3__.导学号95064084三、解答题7．获得学习优良奖的条件如下：导学号95064085(1)所考五门课成绩总分超过460分；(2)每门课都在85分以上；(3)前三门(主课)每门成绩都在95分以上．输入一名学生的五门课的成绩，问他是否符合优良奖的条件，画出这一算法的程序框图．[解析]我们设这名学生的五门课的成绩分别为a、b、c、d、e.设计算法如下：第一步，输入学生五门课的成绩a、b、c、d、e；第二步，计算学生的总成绩S＝a＋b＋c＋d＋e；第三步，若S≥460，则执行第四步，否则执行第十步；第四步，若a≥95，则执行第五步，否则执行第十步；第五步，若b≥95，则执行第六步，否则执行第十步；第六步，若c≥95，则执行第七步，否则执行第十步；第七步，若d≥85，则执行第八步，否则执行第十步；第八步，若e≥85，则执行第九步，否则执行第十步；第九步，输出“该学生获得学习优良奖”；第十步，输出“该学生不获得学习优良奖”．程序框图如图：[解析]程序框图如图所示：B级素养提升一、选择题1．某市出租车的起步价为8元(含3 k m)，超过3km的里程每千米收2.6元，另外每车次超过3 km收燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应的收费系统的程序框图如图所示(此处的x假定为整数)，则(1)处应填导学号95064087(D)A．y＝8＋2.6x B．y＝9＋2.6xC．y＝8＋2.6(x－3) D．y＝9＋2.6(x－3)[解析]当x>3时，y＝8＋2.6(x－3)＋1＝9＋2.6(x－3)，∴(1)处应填y＝9＋2.6(x－3)．2．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是导学号95064088(A)A．2或－2 2 B．2 2或－2 2C．－2或－2 2 D．2或2 2[解析]当x3＝8时x＝2，a＝4，b＝8，b＞a，输出8当x 2＝8时，x＝±2 2，a＝8，b＝±6 2，又a＞b，输出8，所以x＝－2 2，故选A．二、填空题3．下列程序框图的运算结果为__5__.导学号95064089[解析]∵a＝5，S＝1，a≥4，∴S＝1×5＝5，∴输出S的值为5.4．已知函数y＝Error!，下图中表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图．①处应填写__x＜2？__；②处应填写__y＝log2x__.导学号95064090[解析]框图中的①就是分段函数解析式两种形式的判断条件，故填写“x＜2？”．②就是该函数的另一段表达式y＝log2x.三、解答题5．在音乐唱片超市里，每张唱片售价25元，顾客如果购买5张以上(含5张)唱片，则按照九折收费；如果顾客购买10张以上(含10张)唱片，则按照八五折收费．请设计一个完成计费工作的算法，并画出程序框图.导学号95064091[解析]算法如下：S1输入a；S2若a<5，则c＝25a；否则，执行S3；S3若a<10，则c＝22.5a；否则(a≥10)，c＝21.25a.S4输出c.程序框图如图所示：C级能力拔高1．某市劳动保障部门规定：某工种在法定工作时间内，工资为8元/h，加班工资为12元/h.已知某人在一周内工作60 h，其中加班20 h，他每周收入的10%要交纳税金．请设计一个算法，计算此人这周所得净收入，并画出相应的程序框图.导学号95064092[解析]此人一周在法定工作时间内工作40 h，加班20 h，他一周内的净收入等于(40×8＋20×12)×(1－10%)元．算法步骤如下：第一步，令T＝40，t＝20.第二步，计算S＝(8×T＋12×t)×(1－10%)．第三步，输出S.程序框图如图所示：2．阅读如图程序框图，并根据该框图回答以下问题.导学号950640931(1)分别求f(－1)，f(0)，f( )，f(3)的值；2(2)写出函数f(x)的表达式．[解析](1)当x＝－1时，满足x<0，故执行y＝0，1 即f(－1)＝0，同样地，可得f(0)＝1，f( )＝1，2f(3)＝3.(2)算法的功能是求下面函数的函数值：f(x)＝Error!.。