2021年高三3月线上考试数学试题

2021年高三3月月考（一模）数学（理）试题含答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.若复数则=（）A．3 B.2 C． D．2.已知集合，集合B为函数的定义域，且A∪B=R，那么m的值可以是（）A．﹣1 B．0C．1D．23．设向量与满足:在方向上的投影为，与垂直，则（）A． B． C． D．4.设中变量x，y满足条件，则z的最小值为（）A．2B．4C．8D．165.已知不重合的直线m、l和平面，，,则是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件6．已知对任意的实数，直线都不与曲线相切．则实数的取值范围为( )A. B. C. D.7．某三棱锥的三视图如图所示，其中左视图中虚线平分底边，则该三棱锥的所有面中最大面的面积是( )否是输入m 输出S 结束 S =0,i =1 S =S +ii =i +2 i<m 开始A ．2B ．C ．2D ． 8．阅读如图所示的程序框图，若输入m=xx ，则输出等于() A ．10072 B.10082 C ．10092 D ．xx 29.函数y=sin φ取最小正值时所得偶函数为，则函数的部分图象可以为( )10．设、是双曲线：（，）的两个焦点，是上一点，若，且△最小内角的大小为，抛物线：的准线交双曲线所得的弦长为4,则双曲线的实轴长为（ ）A ．6B ．2C ．D ．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0.若函数只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A. B. C. D.左（侧）视图12.已知是定义在上的函数的导函数，且满足，则不等式的解集为( ) A. B. C. D.第Ⅱ卷（13-21为必做题，22-24为选做题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2021年高三3月份模拟考试数学（理）试题含解析一.选择题1．（5分）（xx•滕州市校级模拟）已知z=，则z的共轭复数为（） A． 2﹣i B． 2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解析】：解：z====﹣2+i，则z的共轭复数=﹣2﹣i．故选：C．【点评】：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．（5分）集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩（∁B）=（）RA．{x|x＞1} B．{x|x≥1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}【考点】：交、并、补集的混合运算．【分析】：根据补集和交集的意义直接求解．【解析】：解：C R B={X|x≥1}，A∩C R B={x|1≤x≤2}，故选D．【点评】：本题考查集合的基本运算，较简单．3．（5分）某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）A．92+14π B．82+14π C．92+24π D．82+24π【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，下面是棱长为5，4，4的长方体；上面是一个半圆柱，其轴截面与长方体的上面重合．据此即可得出该几何体的表面积．【解析】：解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，下面是棱长为5，4，4的长方体；上面是一个半圆柱，其轴截面与长方体的上面重合．∴该几何体的表面积=5×4×3+4×4×2+π×22+2π×5=92+14π．故选A．【点评】：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．4．（5分）曲线y=x3﹣2x在点（1，﹣1）处的切线方程是（）A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y+2=0 D．x+y﹣2=0【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：先求导公式求出导数，再把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程再化为一般式．【解析】：解：由题意得，y′=3x2﹣2，∴在点（1，﹣1）处的切线斜率是1，∴在点（1，﹣1）处的切线方程是：y+1=x﹣1，即x﹣y﹣2=0，故选A．【点评】：本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线斜率是该点处的导数值，以及直线方程的点斜式和一般式．5．（5分）设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若a∥b，a∥α，则b∥α B．若α⊥β，a∥α，则a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，则a∥α D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β【考点】：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】：证明题；综合法．【分析】：A选项a∥b，a∥α，则b∥α，可由线面平行的判定定理进行判断；B选项α⊥β，a∥α，则a⊥β，可由面面垂直的性质定理进行判断；C选项α⊥β，a⊥β，则a∥α可由线面的位置关系进行判断；D选项a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β，可由面面垂直的判定定理进行判断；【解析】：解：A选项不正确，因为b⊂α是可能的；B选项不正确，因为α⊥β，a∥α时，a∥β，a⊂β都是可能的；C选项不正确，因为α⊥β，a⊥β时，可能有a⊂α；D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的．故选D【点评】：本题考查线面平行、线面垂直以及面面垂直的判断，主要考查空间立体的感知能力以及组织相关知识进行判断证明的能力．6．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A．﹣3 B．﹣6 C． 3 D． 6【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：先画出可行域，得到角点坐标．再利用z的最大值为12，通过平移直线z=x+y得到最大值点A，求出k值，即可得到答案．【解析】：解：可行域如图：由得：A（k，k），目标函数z=x+y在x=k，y=k时取最大值，即直线z=x+y在y轴上的截距z最大，此时，12=k+k，故k=6．∴得B（﹣12，6），目标函数z=x+y在x=﹣12，y=6时取最小值，此时，z的最小值为z=﹣12+6=﹣6，故选B．【点评】：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．7．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A． 1 B．C．D．【考点】：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由图象可得A=1，由周期公式可得ω=2，代入点（，0）可得φ值，进而可得f（x）=sin（2x+），再由题意可得x1+x2=，代入计算可得．【解析】：解：由图象可得A=1，=，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），代入点（，0）可得sin（+φ）=0∴+φ=kπ，∴φ=kπ﹣，k∈Z又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴sin（2×+）=1，即图中点的坐标为（，1），又，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），∴x1+x2=×2=，∴f（x1+x2）=sin（2×+）=，故选：D【点评】：本题考查三角函数的图象与解析式，属基础题．8．（5分）在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A．24种B．48种C．96种D．144种【考点】：计数原理的应用．【专题】：计算题．【分析】：本题是一个分步计数问题，A只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，程序B和C实施时必须相邻，把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列．【解析】：解：本题是一个分步计数问题，∵由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果∵程序B和C实施时必须相邻，∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果根据分步计数原理知共有2×48=96种结果，故选C．【点评】：本题考查分步计数原理，考查两个元素相邻的问题，是一个基础题，注意排列过程中的相邻问题，利用捆绑法来解，不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列．9．（5分）函数f（x）=ln（x2+2）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：研究函数性质，选择与之匹配的选项．【解析】：解：因为定义域为R，且f（﹣x）=f（x），所以函数为偶函数，排除C项；又f（0）=ln2＞0，排除A、B两项；只有D项与之相符．故选：D．【点评】：本题考查了函数的性质与识图能力，属基础题，一般先观察四个选项的不同，再差别函数对应的性质，即得正确选项．10．（5分）如图，从点M（x0，4）发出的光线，沿平行于抛物线y2=8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l：x﹣y﹣10=0上的点N，经直线反射后又回到点M，则x0等于（）A． 5 B． 6 C．7 D．8【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由题意可得抛物线的轴为x轴，抛物线的焦点F（1，0），MP所在的直线方程为y=4，从而可求P（2，4），Q（2，﹣4），N（6，﹣4），确定直线MN的方程，可求答案．【解析】：解：由题意可得抛物线的轴为x轴，F（2，0），∴MP所在的直线方程为y=4在抛物线方程y2=8x中，令y=4可得x=2，即P（2，4）从而可得Q（2，﹣4），N（6，﹣4）∵经抛物线反射后射向直线l：x﹣y﹣10=0上的点N，经直线反射后又回到点M，∴直线MN的方程为x=6故选：B．【点评】：本题主要考查了抛物线的性质的应用，解决问题的关键是要熟练掌握相关的性质并能灵活应用．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知向量=（2，1），=（﹣1，k），若⊥，则实数k=2．【考点】：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由向量垂直可得=2×（﹣1）+1×k=0，解关于k的方程可得．【解析】：解：∵=（2，1），=（﹣1，k），且⊥，∴=2×（﹣1）+1×k=0，解得k=2故答案为：2．【点评】：本题考查数量积与向量垂直的关系，属基础题．12．（5分）（xx•上海）圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=3．【考点】：点到直线的距离公式．【分析】：先求圆心坐标，然后求圆心到直线的距离即可．【解析】：解：圆心（1，2）到直线3x+4y+4=0距离为．故答案为：3【点评】：考查点到直线距离公式，圆的一般方程求圆心坐标，是基础题．13．（5分）如图是某算法的程序框图，若任意输入[1，19]中的实数x，则输出的x大于49的概率为．【考点】：程序框图．【专题】：概率与统计；算法和程序框图．【分析】：根据框图的流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件n≤3，求出输出x的值，再根据输出的x大于49，求出输入x的范围，根据几何概型的概率公式计算．【解析】：解：由程序框图知：第一次运行x=2x﹣1，n=2；第二次运行x=2×（2x﹣1）﹣1．n=2+1=3；第三次运行x=2×[2×（2x﹣1）﹣1]﹣1，n=3+1=4，不满足条件n≤3，程序运行终止，输出x=8x﹣（4+2+1）=8x﹣7，由输出的x大于49，得x＞7，∴输入x∈（7，19]，数集的长度为12，又数集[1，19]的长度为18，∴输出的x大于49的概率为．故答案为：．【点评】：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键．14．（5分）已知x，y均为正实数，且xy=x+y+3，则xy的最小值为9．【考点】：基本不等式．【专题】：创新题型．【分析】：已知条件提供了和与积的关系，要求的是积的范围，可以考虑将和转化为积，再求积的范围；也可以一元二次方程的韦达定理去研究．【解析】：解：∵x，y均为正实数，且xy=x+y+3∴xy=x+y+3≥2+3 （当x=y时取等号）即（）2﹣2﹣3≥0∴（+1）（﹣3）≥0∵x，y均为正实数∴+1＞0∴﹣3≥0 即xy≥9故xy的最小值为9．【点评】：本题主要是用基本不等式解题，关键在于化归转化思想的运用．本题还可以尝试消元利用函数求最值．15．（5分）如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数①y=﹣x3+x+1；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=e x+1；④f（x）=．以上函数是“H函数”的所有序号为②③．【考点】：函数单调性的性质．【专题】：新定义；函数的性质及应用．【分析】：不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．【解析】：解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①y=﹣x3+x+1；y'=﹣3x2+1，则函数在定义域上不单调．②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；y’=3﹣2（cosx+sinx）=3﹣2sin（x+）＞0，函数单调递增，满足条件．③y=e x+1为增函数，满足条件．④f（x）=．当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为②③，故答案为：②③．【点评】：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知向量=（sin（2x+），sinx），=（1，sinx），f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=2，，若sin（A+C）=2cosC，求b 的大小．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦定理．【专题】：三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】：（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性，结合函数的定义域，即可得到结论；（Ⅱ）由，可得A，利用两角和与差的三角函数以及正弦定理结合sin（A+C）=2cosC，即可求边b的长．【解析】：解：（Ⅰ）==…（4分）所以f（x）递减区间是．…（5分）（Ⅱ）由和得：…（6分）若，而又，所以∵0＜C＜π，所以若，同理可得：，显然不符合题意，舍去．…（9分）∴…（10分）由正弦定理得：…（12分）【点评】：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简与三角函数的性质，考查正弦定理以及两角和与差的三角函数的运用，正确化简函数是关键．17．（12分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E（X）．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C92种结果，而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有C n2种结果，列出概率使它等于已知，解关于n的方程，舍去不合题意的结果．（2）用X表示取球终止时取球的总次数，由题意知X的可能取值为1，2，3，4，结合变量对应的事件，用等可能事件的概率公式做出结果，写出分布列和期望．【解析】：解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C92种结果而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有C n2种结果设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，由题意知=，即，化简得n2﹣n﹣30=0．解得n=6或n=﹣5（舍去）故袋中原有白球的个数为6．（2）用X表示取球终止时取球的总次数，由题意，X的可能取值为1，2，3，4．；；；P（X=4）=．∴取球次数X的概率分布列为：∴所求数学期望为E（X）=1×+2×+3×+4×=．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，是一个综合题，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，要引起注意．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，E、F分别为BD、PD的中点，EA=EB=AB=1，PA=2．（Ⅰ）证明：PB∥面AEF；（Ⅱ）求面PBD与面AEF所成锐角的余弦值．【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】：空间向量及应用．【分析】：（Ⅰ）由题设条件推导出EF∥PB，由此能证明PB∥面AEF．（Ⅱ）由题设条件推导出∠ABE=60°，∠ADE=∠DAE，从而得到BA⊥AD．分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立坐标系，利用向量法能求出面PBD与面AEF所成锐角的余弦值．【解析】：（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵E、F分别为BD、PD的中点，∴EF∥PB…（2分）∵EF⊂面AEF，PB⊄面AEF∴PB∥面AEF…（4分）（Ⅱ）解：∵EA=EB=AB=1∴∠ABE=60°又∵E为BD的中点∴∠ADE=∠DAE∴2（∠BAE+∠DAE）=180°解得∠BAE+∠DAE=90°，∴BA⊥AD…（6分）∵EA=EB=AB=1，∴，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立坐标系由题设条件知：∴…（8分）设、分别是面PBD与面AEF的法向量则，∴又，∴…（11分）∴．∴面PBD与面AEF所成锐角的余弦值为．…（12分）【点评】：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．19．（12分）在数列{a n}（n∈N*）中，其前n项和为S n，满足2S n=n﹣n2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（k为正整数），求数列{b n}的前2n项和T2n．【考点】：数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）由，求出，再由a n=S n﹣S n﹣1，能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，由此利用分组求和法和裂项求和法能求出数列{b n}的前2n项和T2n．【解析】：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题设得：，∴∴a n=S n﹣S n﹣1=1﹣n（n≥2）…（2分）当n=1时，a1=S1=0，∴数列{a n}是a1=0为首项、公差为﹣1的等差数列，∴a n=1﹣n．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：…（6分）∴T2n=b1+b2+b3+…+b2n=[1•20+3•2﹣2+5•2﹣4+7•2﹣6…+（2n﹣1）•22﹣2n]=…（9分）设T=1+3•2﹣2+5•2﹣4+7•2﹣6+…+（2n﹣1）•22﹣2n，则2﹣2•T=2﹣2+3•2﹣4+5•2﹣6+7•2﹣8+…+（2n﹣3）•22﹣2n+（2n﹣1）•2﹣2n，两式相减得：整理得：…（11分）∴．…（12分）【点评】：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要注意分组求和法和裂项求和法的合理运用．20．（13分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣x．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间．设g（x）=（f′（x）+1）（x2﹣1），试问函数g（x）在（1，+∞）上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由．【考点】：导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】：综合题；导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）的最小值；（Ⅱ）假设函数g（x）存在保值区间[a，b]，可得方程（x2﹣1）e x=x有两个大于1的相异实根．设φ（x）=（x2﹣1）e x﹣x（x＞1），证明φ（x）在（1，+∞）上单增，可得φ（x）在区间（1，+∞）上至多有一个零点，与方程（x﹣1）2e x=x有两个大于1的相异实根矛盾，即可得出结论．【解析】：解：（Ⅰ）求导数，得f'（x）=e x﹣1．令f'（x）=0，解得x=0．…（2分）当x＜0时，f'（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；当x＞0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．故f（x）在x=0处取得最小值f（0）=0．…（6分）（Ⅱ）函数g（x）在（1，+∞）上不存在保值区间，证明如下：假设函数g（x）存在保值区间[a，b]，由g（x）=（x2﹣1）e x得：g'（x）=（x2+2x﹣1）e x因x＞1时，g'（x）＞0，所以g（x）为增函数，所以即方程（x2﹣1）e x=x有两个大于1的相异实根…（9分）设φ（x）=（x2﹣1）e x﹣x（x＞1），则φ'（x）=（x2+2x﹣1）e x﹣1因x＞1，φ'（x）＞0，所以φ（x）在（1，+∞）上单增所以φ（x）在区间（1，+∞）上至多有一个零点…（12分）这与方程（x﹣1）2e x=x有两个大于1的相异实根矛盾所以假设不成立，即函数h（x）在（1，+∞）上不存在保值区间．…（13分）【点评】：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查新定义，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）设F1，F2分别是椭圆D：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2作倾斜角为的直线交椭圆D于A，B两点，F1到直线AB的距离为3，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4．（Ⅰ）求椭圆D的方程；（Ⅱ）已知点M（﹣1，0），设E是椭圆D上的一点，过E、M两点的直线l交y轴于点C，若，求λ的取值范围；（Ⅲ）作直线l1与椭圆D交于不同的两点P，Q，其中P点的坐标为（﹣2，0），若点N（0，t）是线段PQ垂直平分线上一点，且满足=4，求实数t的值．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）AB的方程为：，由F1到直线AB的距离为3，可求c，结合连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4，即可求出求椭圆D的方程；（Ⅱ）由，可得e的坐标，代入椭圆方程，即可求λ的取值范围；（Ⅲ）分类讨论，写出线段PQ垂直平分线方程，利用=4，结合韦达定理，即可求实数t的值．【解析】：解：（Ⅰ）设F1，F2的坐标分别为（﹣c，0），（c，0），其中c＞0由题意得AB的方程为：∵F1到直线AB的距离为3，∴有，解得…（2分）∴a2﹣b2=c2=3…①由题意知：，即ab=2…②联立①②解得：a=2，b=1，∴所求椭圆D的方程为…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆D的方程为设E（x1，y1），C（0，m），∵，∴（x1，y1﹣m）=λ（﹣1﹣x1，﹣y1），∴…（7分）又E是椭圆D上的一点，则∴解得：或λ≤﹣2…（9分）（Ⅲ）由P（﹣2，0），设Q（x1，y1）根据题意可知直线l1的斜率存在，可设直线斜率为k，则直线l1的方程为y=k（x+2）把它代入椭圆D的方程，消去y，整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0由韦达定理得，则，y1=k（x1+2）=∴线段PQ的中点坐标为，（1）当k=0时，则有Q（2，0），线段PQ垂直平分线为y轴于是由，解得：…（11分）（2）当k≠0时，则线段PQ垂直平分线的方程为y﹣由点N（0，t）是线段PQ垂直平分线的一点，令x=0，得：于是由，解得：代入，解得：综上，满足条件的实数t的值为或．…（14分）【点评】：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．30475 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卜人入州八九几市潮王学校二中2021届高三3月线上考试数学〔文〕试题本卷须知：2．第I 卷每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在套本套试卷上无效。

3．第二卷必须用0.5毫米黑色签字笔答题，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来之答案，然后再写上新之答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求答题之答案无效。

第I 卷选择题〔一共60分〕一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的)1．集合{2,1,1,4}A =--，2{|,}B y y x x A ==∈，那么集合A B 中的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．32．复数z 满足111i 24i 105z =+-，那么复数z 的一共轭复数为 A ．34i -B ．34i +C ．34i --D ．34i -+3．“2cos 1sin 24θθ=-〞是“tan 2θ=-〞的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．向量,m n 满足||=2||=1，m n ，假设3|||-=+m n m n ，那么向量n 在m方向上的投影为A ．14B ．12C ． 2D ．45．九章算术是中国古代数学专著，全书采用问题集的形式，收有246个与消费、生活实 践有联络的应用问题，其中“均赋粟〞问题讲的是古代劳动人民的赋税问题．现拟编试题如下，甲、乙、丙、丁四县向国家交税，那么甲必须第一个交且乙不是第三个交的概率为A ．16B ．112C ．18D ．1106．运行如下列图的程序框图，假设判断框中填写上80i <，那么输出 的a 的值是 A ．1-B ．52-C ．4-D ．257．实数,x y 满足约束条件5,320,210,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-+≤⎩那么31()2x y z +=的最小值为 A ．12048B ．11024C ．1512D ．12568．如图，网格纸上小正方形的边长为1，右图画出的是某几 何体的三视图，那么该几何体的外表积为 A ．20π8+B ．20π8222++C ．20π822++D ．20π8422++9．：抛物线2:2(0)C y px p =>，焦点为F ，过抛物线C 上一点P 作其准线l 的垂线，垂足为Q ，假设PQF ∆为正．三角形，且34=∆PFQ S ，那么抛物线C 的方程为 A ．24y x =B ．24y x =或者212y x =C ．212y x =D ．x y 22=或者x y 62=10．现将“□〞和“○〞按照如下规律从左到右进展排列：假设每一个“□〞或者“○〞占1个位置，即上述图形中，第1位是“□〞，第4位是“○〞，第7位是 “□〞，那么在第2021位之前〔不含第2021位〕，“○〞的个数为A ．1970B ．1971C ．1972D ．197311．假设1(1,2)x ∀∈，2(1,2)x ∃∈，使得311221ln 3x x mx mx =+-，那么正实数m 的取值范围为A ．3(3ln 2,)2-+∞B ．3[3ln 2,)2-+∞ C ．[33ln 2,)-+∞ D ．(33ln 2,)-+∞12．函数122131)(23+-+=x x x x f ，假设函数)(x f 在]3,2[2-a a 上存在最小值，那么a 的 取值范围是 A ．)2,21(B ．]2,21[C ．)3,1(-D ．)2,(--∞第II 卷〔非选择题一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．将答案填写上在题中的横线上〕13．函数22log ,0,()22,0,x x f x x x x >⎧=⎨--≤⎩那么()1f x >的解集为_________．14．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的间隔为3，且双曲线右支上的一点P 到两焦点的间隔之差是虚轴长的43倍，那么双曲线C 的HY 方程为_________． 15．正项等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，假设762244a a ⋅=，那么12T 的最大值为_________．16．函数π()cos()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的局部图象如以下列图所示，假设3π(,4)4A是函数()f x 图象的一个最高点，15π(,0)4B -，将函数()f x 的图象向右平移π4个单位后得到函数()g x 的图象，那么当(π,2π)x ∈-时，函数()g x 的值域为_________．三、解答题〔本大题一一共7小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕 17．〔本小题总分值是12分〕ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6b =，42cos 7B =．〔1〕假设30A =，求ABC △的面积；〔2〕假设点M 在线段BC 上，连接AM ，假设4CM =，27AM =，求c 的值．18．〔本小题总分值是12分〕随着夏季的到来，冰枕成为面上的一种热销产品，某厂家为了调查冰枕在当地大学的销售情况，作出调研，并将所得数据统计如下表所示：表一：温度在30℃以下 温度在30℃以上 总计 女生 103040男生 40 20 60总计50 50 100随后在该大学一个小卖部调查了冰枕的出售情况，并将某月的日销售件数〔x 〕与销售天数〔y 〕统计如下表所示：表二：第x 天2 4 6 8 1y 〔件〕3 6 7 10 12〔1〕请根据表二中的数据在以下网格纸中绘制散点图；〔2〕请根据表二中提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； 〔3〕从〔1〕〔2〕中的数据及回归方程我们可以得到，销售件数随着销售天数的增长而增长，但无法判断男、女生对冰枕的选择是否与温度有关，请结合表一中的数据，并自己设计方案来判段是否有9%的可能性说明购置冰枕的性别与温度相关.参考数据及公式：P (K 2≥k 0)0.100 0 k 0061221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx yay b bx x nx ==-=-⋅=-∑∑；22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19．〔本小题总分值是12分〕如下列图，直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为等腰直角三角形，点D 为线段11A B 的中点．〔1〕探究直线1B C 与平面1C AD 的位置关系，并说明理由； 〔2〕假设111112BB A B B C ===，求三棱锥1C ADC -的体积．20．〔本小题总分值是12分〕函数()ln e 1x f x x x =-+．〔1〕求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；〔2〕证明：()sin f x x <在(0,)+∞上恒成立．21．〔本小题总分值是12分〕椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，且椭圆C 的离心率为22，过2F 作x 轴的垂线与椭圆C 交于,A B 两点，且||2AB =，动点,,P Q R 在椭圆C 上．〔1〕求椭圆C 的HY 方程；〔2〕记椭圆C 的左、右顶点分别为12A A 、，且直线12,PA PA 的斜率分别与直线,OQ OR 〔O为坐标原点〕的斜率一样，动点,,P Q R 不与12,A A 重合，求OQR △的面积．请考生从第22、23题中任选一题做答．假设多做，那么按所做的第一题计分．答题时请写清题号． 22．〔本小题总分值是10分〕选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩〔θ为参数〕，以O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos()04ρθ++=． 〔1〕求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程；〔2〕将曲线C 向左平移2个单位，再将曲线C 上所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲 线1C ,求曲线1C 上的点到直线l 的间隔的最小值． 23．〔本小题总分值是10分〕选修4-5：不等式选讲设函数()|2|f x x a =+．〔1〕当1a =时，假设()|32|f x x m +-≥恒成立，务实数m 的取值范围；〔2〕当1a=-时，解不等式1()||2f x x a+-<文数答案及解析1．C 【解析】依题意得，{1,4,16}B =，故{1,4}A B =，应选C ．2．B 【解析】依题意得，111(i)(24i)34i 105z=+-=-，故34i z =+，应选B ． 3．C 【解析】依题意得，22cos cos cos 1sin 22sin cos 2sin 4θθθθθθθ===-，故tan 2θ=-，故 “2cos 1sin 24θθ=-〞是“tan 2θ=-〞的充要条件，应选C ．4．A 【解析】依题意，将3|||-=+m n m n 两边同时平方可得229||6||-=+m n m n ，化简得12⋅=m n ，故向量n 在m 方向上的投影为1||4⋅=m n m ，应选A ． 5．A 【解析】依题意，所有的根本领件为：甲—乙—丙—丁，甲—乙—丁—丙，甲—丙—乙—丁，甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，甲—丁—乙—丙，乙、丙、丁第一个交的情况也各有6种，故总的事件数有24种，其中满足条件的根本领件为：甲—乙—丁—丙，甲—乙—丙—丁，甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，一共4种，故所求概率为41246=，应选A ． 6．A 【解析】运行该程序，第1次循环：1b =-，1a =-，2i =；第2次循环：52b =-， 52a =-，3i =；第3次循环：4b =-，4a =-，4i =；第4次循环：1b =-，1a =-，5i =；…；第79次循环：1b =-，1a =-，80i =，此时完毕循环，输出的a 的值是1-，应选A ．7．A 【解析】作出不等式组5,320,210x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-+≤⎩所表示的平面区域如以下列图中阴影局部所示，要使31()2x y z+=获得最小值，那么3z x y '=+获得最大值，结合图形可知当3z x y '=+过点(3,2)B 时获得最大值max 33211z '=⨯+=，故31()2x y z +=的最小值为1111()22048=，应选A ．8．B 【解析】如图，该几何体是由一个圆柱和两个三棱锥P ABC -，P CDE -组成的，其中圆柱的底面半径为2，高为3，两个三棱锥的底面均是直角边长为2的等腰直角三角形，高均为3，所以所求外表积为22111π22π23π22224232222S =⨯+⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯20π8=++， 应选B ．9．A 【解析】由34=∆PFQS ，易求4||=PF ，设),(00y x P ，过P 作x 轴的垂线，垂足为A ，那么PFA ∆为︒30的直角三角形，那么220=-px ，320=y ，又由点P 在抛物线C 上，故p x 60=，故pp 622=+，得2=p ，故答案为A 10．B 【解析】记“□，○〞为第1组，“□，○，○，○〞为第2组，“□，○，○，○，○，○〞为第3组，以此类推，可知第k 组一共有2k 个图形，故前k 组一共有(1)k k +个图形，因为44451980201645462070⨯=<<⨯=，所以在前2021位中一共有45个“□〞，从而可知有2021−45=1971个“○〞，应选B ． 11．B 【解析】依题意，整理可得，311221ln 3x x mx mx -=-.设()ln f x x x =-在(1,2)上的 值域为A ，函数31()3g x mx mx=-在(1,2)上的值域为B ，那么A B⊆.当(1,2)x ∈时，1()10f x x'=-<，即函数()f x 在(1,2)上单调递减，故()f x 的值域(ln 22,1)A =--.而2()(1)(1)g x mx m m x x '=-=+-，当0m >时，易知()g x 在(1,2)上是增函数，故()g x 的值域22(,)33m m B =-，因为A B ⊆，所以2ln 223213m m ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，故33(ln 22)3ln 222m ≥--=-，即实数m 的取值范围为3[3ln 2,)2-+∞． 12．A 【解析】a a 232<-，解之得：)3,1(-∈x 应选择A13．(,1)(2,)-∞-+∞【解析】依题意，当0x >时，由2log 1x >，解得2x >；当0x ≤时，由2221x x -->，解得1x <-〔3x >舍去〕.综上所述，不等式()1f x >的解集为(,1)(2,)-∞-+∞．14．221169x y -=【解析】依题意知，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，即0bx ay ±=3=，即3b =.设双曲线C 的左、右焦点分别为12F F 、，那么124||||223PF PF a b -==⋅，解得4a =，故双曲线C 的HY 方程为221169x y -=． 15．1【解析】依题意得，762672442a a a a ⋅=⇒+=，626671212111267()[()]12a a T a a a a a a +=⋅⋅=≤=〔当且仅当671a a ==时取等号〕． 16．(2,4]-【解析】依题意得，4A =，设函数()f x 的最小正周期为T ，那么3π15π32π1()6π4446π3T T ω--=⇒=⇒==，故3π12π()43k k ϕ⨯+=∈Z .因为π||2ϕ<，所以π4ϕ=-，故1π()4cos()34f x x =-，故1ππ1π()4cos[()]4cos()34433g x x x =--=-，因为(π,2π)x ∈-，所以2π1ππ3333x -<-<，所以11πcos()1233x -<-≤，所以2()4g x -<≤，即函数()g x 的值域为(2,4]-．17．【解析】〔1〕因为42cos 7B=，所以7sin 7B =. 因为sin sin b a B A =，所以16sin 237sin 77b A a B ⨯===.〔2分〕 所以142374221sin sin()sin cos cos sin 272714C A B A B A B +=+=+=⨯+⨯=，〔4分〕故ABC △的面积1142219(63)sin 63722142S ab C ++==⨯⨯⨯=.〔6分〕〔2〕在AMC △中，由余弦定理，得2221cos 22AC CM AM CAC CM.〔8分〕 因为C <<π0，所以23sin =C ．〔10分〕 在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C，得321b ．〔12分〕18．【解析】〔1〕散点图如下所示：〔3分〕〔2〕依题意，x2+4+6+8+116(50=)=⨯，y 3+6+7+10+121()765==⨯．，5214163664100220ii x==++++=∑，516244280120272i i i x y ==++++=∑，〔6分〕51522215272567.644ˆ 1.122056405i ii ii x y x ybxx ==--⨯⨯====-⨯-∑∑， ∴ˆˆ7.6 1.161ay bx=-=-⨯=.∴y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.11yx =+.〔8分〕 〔3〕采用HY 性检验的方法进展说明：因为2K 的观测值20100(2001200)16.710.82840605050k ⨯-=≈>⨯⨯⨯，〔10分〕所以有9%的可能性说明购置冰枕的性别与温度相关．〔12分〕19．【解析】〔1〕1B C ∥平面1C AD ，理由如下： 连接1BC ，设11B C BC O =，因为四边形11B BCC 为矩形，所以O 为1B C 的中点．设G 为1AC 的中点，连接,OG DG ，那么OG BA ∥，且12OG BA =．〔2分〕 由得11A B AB ∥，且112B D AB =，所以1B D OG ∥，且1B D OG =．〔4分〕 所以四边形1B OGD 为平行四边形，所以1B O DG ∥，即1B C DG ∥． 因为1B C⊄平面1C AD ，DG ⊂平面1C AD ，所以1B C ∥平面1C AD ．〔6分〕〔2〕由〔1〕可知，1B C ∥平面1C AD ．所以点C 到平面1C AD 的间隔等于点1B 到平面1C AD 的间隔， 所以111C C ADB C AD V V --=．〔8分〕易知11B C ⊥平面11AA B B ，连接1AB ，因为111112BB A B B C ===，所以11111111111111=332B C AD C B AD B AD V V S B C B D BB B C --==⋅⨯⨯⨯⨯△112122323=⨯⨯⨯⨯=．所以三棱锥1C ADC -的体积为23．〔12分〕20．【解析】〔1〕依题意得，()ln 1e x f x x '=+-，又(1)1e f =-，(1)1e f '=-，所以所求切线方程为1e (1e)(1)y x -+=--，即(1e)y x =-.〔3分〕〔2〕依题意，要证()sin f x x <，即证ln e 1sin x x x x -+<，即证ln e sin 1x x x x <+-.〔4分〕①当01x <≤时，e sin 10xx +->，ln 0x x ≤，故ln e sin 1x x x x <+-，即()sin f x x <.〔6分〕②当1x >时，令()e sin 1ln x g x x x x =+--，那么()e cos ln 1x g x x x '=+--，令()()e cos ln 1x h x g x x x '==+--，那么1()e sin x h x x x'=--，〔8分〕 因为1x >，所以()e 1sin10h x '>-->，所以()h x 在[1,)+∞上单调递增， 故()(1)e cos110h x h >=+->，即()0g x '>， 所以()(1)e sin110g x g >=+->，〔10分〕 即ln e sin 1xx x x <+-，即()sin f x x <.综上所述，()sin f x x <在()0,+∞上恒成立．〔12分〕 21．【解析】〔1〕联立方程得2222,1,x c x y a b=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2b y a =±，故22||2b AB a ==，即21b a=，又2c a =，222ab c -=，所以2,a b c ===，〔3分〕故椭圆C 的HY 方程为22142x y +=.〔4分〕 〔2〕由〔1〕知，12(2,0),(2,0)A A -，设00(,)P x y ，那么1220002000224PAPA y y y k k x x x ⋅=⋅=+--，又2200142x y +=，即22042x y -=-，所以1212PA PA k k ⋅=-，所以1212OQ OR PA PA k k k k ⋅=⋅=-. 当直线QR 的斜率不存在时，直线,OQ OR的斜率分别为22-22- 不妨设直线OQ的方程是2y x =，由22242x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得x =1y =±．取Q，那么1)R -，所以OQR △〔6分〕当直线QR 的斜率存在时，设方程为(0)y kx m m =+≠．由22240y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩得222(21)4240kx kmx m +++-=．因为,Q R 在椭圆C 上，所以2222164(21)(24)0k m k m ∆=-+->，解得22420k m -+>．设11(,)Q x y ,22(,)R x y ,那么122421kmx x k +=-+，21222421m x x k -=+.〔8分〕所以||QR ===．设点O 到直线QR 的间隔为d，那么d =．所以OQR △的面积为12OQRS d QR =⨯⨯=△⋅⋅⋅⋅⋅⋅①．〔10分〕 因为121212OQ OR y y k k x x ⋅==-， 所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m x x x x x x +++++==2224=.24m k m -- 由22241242m k m -=--，得2221k m +=，⋅⋅⋅⋅⋅⋅②．由①②，得OQRS ==△．综上所述，OQR △〔12分〕22．【解析】〔1〕由题意得，曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=，〔2分〕因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为0x y -+=.〔4分〕〔2〕依题意，曲线221:14y C x +=.曲线1C 的参数方程为cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数),设曲线1C 上 任一点(cos ,2sin )P θθ,〔6分〕那么点P 到直线l 的间隔为d ==(其中1tan 2ϕ=-),〔8分〕所以点P 到直线l 1C 上的点到直线l 〔10分〕 23．【解析】〔1〕依题意，()|32||21||32||2132|4f x x x x x x +-=++-≥++-=，〔2分〕因为()|32|f x x m +-≥恒成立，所以4m ≤，即实数m 的取值范围为(,4]-∞.〔4分〕〔2〕依题意，|21||1|2x x -++<，当1x <-时，1212x x ---<，解得23x>-，无解；〔6分〕 当112x -≤≤时，1212x x -++<，解得0x >，故102x <≤；当12x >时，2112x x -++<，解得23x <，即1223x <<.〔8分〕综上所述，当1a =-时，不等式1()||2f x x a+-<的解集为2(0,)3．〔10分。

【详解】若 ,则 ,
又
故选:B.
【点睛】本题考查集合关系,属于基础题.
2.若 ，其中 为虚数单位，则实数 的值为（ ）
A. －2B. －4C. 4D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用复数运算化简,再由实部大于0且虚部等于0列式求解.
【详解】 ,
,即 ,
故选:D.
【点睛】本题考查复数运算,考查复数的基本概念,属于基础题.
【分析】
利用等差中项的性质将 化简为 ,再利用数列求和公式求解即可.
【详解】 ,
故选:C.
【点睛】本题考查了等差中项以及数列求和公式的性质运用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
10.已知倾斜角为 的直线 过定点 ，且与圆 相切，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知 是函数的最小值, 是函数的最大值,则 的最小值就是函数的半周期.【详解】Fra bibliotek任意的 , 成立,
所以 , ,
所以 ,
又 的周期 ,
所以 ,
故选:B.
【点睛】本题主要考查三角函数的性质运用,考查分析理解能力,难度不大
5.在圆 ： 中，过点 的最长弦和最短弦分别为 和 ，则四边形 的面积为（ ）
【答案】A
【解析】
抛物线x2＝－4y的准线为l：y＝1，显然双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，则e＝ .
8.已知二进制数 化为十进制数为 ，若 的展开式中， 的系数为15，则实数 的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】