2020-2021郑州市高一数学上期末试卷及答案

2020-2021学年河南省天一大联考高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.过点(−1,3)且斜率为12的直线在x轴上的截距为()A. −8B. −7C. −72D. 722.已知全集U=R，集合A={0,1，2，3，4，5}，B={x∈R|x>3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A. {0,1，2}B. {1,2}C. {0,1，2，3，4}D. {0,1，2，3}3.下列四组函数中，表示相等函数的一组是()A. f(x)=x，g(x)=lg10xB. f(x)=x2−1x+1，g(x)=x−1C. f(x)=√x2，g(x)=(√x)2D. f(x)=1，g(x)=x04.设点P(1,1，1)关于原点的对称点为P′，则|PP′|=()A. √3B. 2√3C. 2√5D. 65.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是()A. 2πB. 3πC. 4πD. 16π6.已知a=ln2，b=√2，c=log21e，则()A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. b>a>c7. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，BC 1⊥AC ，且AC =12BC ，则直线B 1C 1与平面ABC 1所成的角的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8. 若函数y =log 2(x 2−ax +3a)在(2,+∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,4]B. (−∞,4)C. (−4,4]D. [−4,4]9. 若a 2+b 2=c 2(c ≠0)，则直线ax +by +c =0被圆x 2+y 2=2所截得的弦长为( )A. √22B. √2C. 2D. 2√210. 已知函数f(x)=(m 2−m −5)x m 2−6是幂函数，对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1≠x 2，满足f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，若a ，b ∈R ，且a +b >0，则f(a)+f(b)的值( )A. 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断11. 已知点(x,y)是曲线y =√4−x 2上任意一点，则y−2x−3的取值范围是( )A. (0,2)B. [0,2]C. [−23,0]D. [0,23]12. 已知函数f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0，若f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)(x 1,x 2,x 3,x 4互不相等)，则x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围是( )(注：函数ℎ(x)=x +1x 在(0,1]上单调递减，在(1,+∞)上单调递增)A. (−12,0)B. [−12,0]C. [0,12)D. (0,12]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 函数f(x)=√x−2−1的定义域为______ ．14. 已知函数f(x)={log 2x(x >0)(12)x (x ≤0)，若f(a)=4，则a = ______ ．15. 圆O 1：x 2+y 2−2x +4y −20=0与圆O 2：x 2+y 2+4x −8y −16=0的公切线条数是______ ． 16. 已知函数f(x)=ln(1+|x|)−11+|x|，若f(log a 3)≥f(1)(a >0且a ≠1)，则a 的取值范围为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设集合A ={y|y =(12)x ,−2≤x ≤0}，B ={x|0≤lnx ≤1}，C ={x|t +1<x <2t,t ∈R}．(Ⅰ)求A ∩B ；(Ⅱ)若A ∩C =C ，求t 的取值范围．18.已知直线l经过两直线l1：3x−y+12=0，l2：3x+2y−6=0的交点，且与直线x−2y−3=0垂直．(Ⅰ)求直线l的方程；(Ⅱ)若第一象限内的点P(a,b)到x轴的距离为2，到直线l的距离为2√5，求a+b的值．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，点M是棱PD的中点．(Ⅰ)求证：PB//平面ACM；(Ⅱ)求三棱锥P−ACM的体积．20.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当年销售利润不超过100万元时，按年销售利润的5%进行奖励；当年销售利润超过100万元时，若超出A万元，则奖励log2(A+1)万元，没超出部分仍按5%进行奖励.记奖金为y万元，年销售利润为x万元．(Ⅰ)写出y关于x的函数解析式；(Ⅱ)如果业务员小张获得了10万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？21.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=√2AB，E为CC1的中点．(Ⅰ)证明：AC1//平面BDE；(Ⅱ)证明：平面BDE⊥平面ACC1；(Ⅲ)求二面角E−BD−C的大小．22.已知圆C：x2+y2−2x−4y+1=0．(Ⅰ)若过点A(0,5)的直线l与圆C相切，求直线l的斜率；(Ⅱ)从圆C外一点P向该圆引一条切线，切点为M，若|PM|=|PA|，求|PM|最小时点P的坐标．答案和解析1.【答案】B(x+1)，【解析】解：依题意知，该直线方程为y−3=12令y=0，则x=−7．所以直线在x轴上的截距是−7．故选：B．(x+1)，令y=0，即可求得答案．设直线的方程为方程y−3=12本题主要考查了直线的点斜式方程，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为A∩∁U B，∵全集U=R，集合A={0,1，2，3，4，5}，B={x|x>3}，∴∁R B={x|x≤3}，∴A∩∁R B={0,1，2}，故选：A．由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为A∩∁U B，再利用集合的基本运算即可求解．本题主要考查了韦恩图，以及集合的基本运算，是基础题．3.【答案】A【解析】解：A.f(x)=x的定义域为R，g(x)=x，定义域为R，两个函数的定义域和对应法则相同，是相等函数．B.f(x)=x−1(x≠−1)，g(x)=x−1的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是相等函数，C.f(x)=|x|，定义域为{x|x≠0}，g(x)=x(x≥0)，两个函数的定义域和对应法则都不相同，不是相等函数，D.g(x)=1(x≠0)，f(x)=1的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是相等函数，故选：A．分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．本题主要考查相等函数的定义，函数定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，是基础题．4.【答案】B【解析】解：点P(1,1，1)关于原点的对称点为P′的坐标为(−1,−1,−1)，由空间两点间距离公式可得|PP′|=√(1+1)2+(1+1)2+(1+1)2=2√3．故选：B．利用点P与P′关于原点对称，求出P′的坐标，然后利用空间两点间距离公式求解即可．本题考查了空间中点的对称问题，主要考查了空间两点间距离公式的应用，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体；如图所示：设几何体的外接球半径为R，则：(2R)2=(√2)2+12+12，解得R=1，所以S球=4⋅π⋅12=4π．故选：C．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出球的半径，最后求出球的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，锥体和外接球的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：∵0<ln2<lne=1，∴0<a<1，=−log2e<0，∵c=log21e∴b>a>c，利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．7.【答案】A【解析】解：在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，∴AB⊥AC，又AB∩BC1=B，AB⊂平面ABC1，BC1⊂平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1，∵直线B1C1//直线BC，∴∠ABC是直线B1C1与平面ABC1所成的角，∵∠BAC=90°，BC1⊥AC，且AC=12BC，∴∠ABC=30°，∴直线B1C1与平面ABC1所成的角的大小为30°．故选：A．由BC1⊥AC，AB⊥AC，得AC⊥平面ABC1，由直线B1C1//直线BC，得∠ABC是直线B1C1与平面ABC1所成的角，由此能求出直线B1C1与平面ABC1所成的角的大小．本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】D【解析】解：函数y=log2(x2−ax+3a)在(2,+∞)是增函数，令t(x)=x2−ax+3a，由题意知：t(x)在区间(2,+∞)上单调递增且t(x)>0，故有{a2≤2t(2)=4−2a+3a≥0，解得−4≤a≤4，故选：D．由题意知函数f(x)=log2(x2−ax+3a)是由y=log2t和t(x)=x2−ax+3a复合而来，由复合函数单调性结论，只要t(x)在区间(2,+∞)上单调递增且t(x)>0即可．本题主要考查复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，换元法是解决本类问题的根本，属于中档题．【解析】解：圆的圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离为：√a2+b2，因为a2+b2=c2(c≠0)，所以√a2+b2=√a2+b2√a2+b2=1，半弦长为：√(√2)2−12=1，所以直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为：2．故选：C．求出圆心到直线的距离，利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出半弦长，即可求出结果．本题是基础题，考查直线被圆截得的弦长的求法，注意点到直线的距离公式的应用，弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，是快速解题的关键．10.【答案】A【解析】解：由题意得：m2−m−5=1，解得：m=3或m=−2，若对任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2>0，则f(x)在(0,+∞)单调递增，m=3时，f(x)=x3，符合题意，m=−2时，f(x)=1x2，不合题意，故f(x)=x3，由于a，b∈R，且a+b>0，所以a>−b，由于函数为单调递增函数和奇函数，故f(a)>f(−b)，所以f(a)>−f(b)，所以f(a)+f(b)>0，即f(a)+f(b)的值恒大于0，故选：A．根据幂函数的定义求出m的值，根据函数的单调性确定m的值，结合幂函数的性质判断f(a)+f(b)的值即可．本题考查了函数的单调性，考查幂函数的性质，是一道基础题．11.【答案】B【解析】解：曲线y =√4−x 2表示以原点为圆心，半径为2的上半个圆，y−2x−3的几何意义是半圆上的点与P(3,2)连线的斜率，如图：A(0,2)，B(2,0)，k PA =0，k PB =2−03−2=2， 所以y−2x−3的取值范围是[0,2]． 故选：B ．画出图形，利用直线的斜率，转化求解即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，直线的斜率的求法，是基础题．12.【答案】D【解析】解：作出函数f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0的图象，如图，x =12或2时，f(x)=1，令t =f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，设x 1<x 2<x 3<x 4，则有x 1+x 2=−2，x 3⋅x 4=1，且12≤x 3<1， 故x 1+x 2+x 3+x 4=−2+x 3+x 4=−2+x 3+1x 3，因为函数ℎ(x)=x +1x 在(0,1]上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， 故x 3+1x 3的最小值趋近于1+11=2，最大值等于12+112=52．x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围是(0,12]， 故选：D ．画出函数f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0的图象，利用f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，转化求解x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档题．13.【答案】{x|x ≥2且x ≠3}．【解析】解：要使函数有意义，则{x >0x −2≥0√x −2≠1，即{x >0x ≥2x ≠3，即x ≥2且x ≠3，即函数的定义域为{x|x ≥2且x ≠3}．故答案为：{x|x ≥2且x ≠3}．根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，是基础题．14.【答案】−2或16．【解析】解：当a >0时，f(a)=log 2a =4，解得a =16；当a ≤0时，f(a)=(12)a =4，解得a =−2，所以a =−2或a =16．故答案为：−2或16．利用分段函数的解析式，分a >0和a ≤0两种情况，列出关于a 的方程，求解即可．本题考查了分段函数的求值问题，对于分段函数，一般会运用分类讨论或是数形结合的方法进行求解． 15.【答案】2【解析】解：圆O 1：x 2+y 2−2x +4y −20=0的标准方程是：(x −1)2+(y +2)2=25，其圆心坐标是(1,−2)，半径是5；圆O 2：x 2+y 2+4x −8y −16=0的标准方程是(x +2)2+(y −4)2=36，其圆心坐标是(−2,4)，半径为6， 6−5<O 1O 2=√(1+2)2+(−2−4)2=3√5<5+6，∴两个圆相交，所以圆O 1：x 2+y 2−2x +4y −20=0与圆O 2：x 2+y 2+4x −8y −16=0的公切线条数是2． 故答案是：2．判断两个圆的位置关系，然后判断公切线条数．本题考查两个圆的位置关系，两个圆相离公切线4条，相交2条，外切3条，内切1条．16.【答案】[13,1)∪(1,3]【解析】解：因为函数f(−x)=ln(1+|−x|)−11+|x|=ln(1+|x|)−11+|x|=f(x)，所以f(x)为偶函数，则只需考虑x >0时f(x)的单调性．因为y =ln(x +1)和y =−1x+1在(0,+∞)都是递增函数，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，若f(log a 3)≥f(1)，则|log a 3|≥1，所以{log a 3≥1log a 3≤−1， 解得13≤a <1或1<a ≤3，所以a 的取值范围为[13,1)∪(1,3]．故答案为：[13,1)∪(1,3]．先判断出函数为偶函数，然后研究x >0时函数的单调性，得到f(x)的单调性区间，利用偶函数的性质和单调性将不等式转化为对数不等式，再求出a 的取值范围．本题考查了函数的单调性以及奇偶性，解题的关键是判断出函数的单调性，属基础题． 17.【答案】解：∵(Ⅰ)集合A ={y|y =(12)x ,−2≤x ≤0}={y|1≤y ≤4}，B ={x|0≤lnx ≤1}={x|1≤x ≤e}，∴A ∩B ={x|1≤x ≤e}；(Ⅱ)∵集合A ={y|1≤y ≤4}，C ={x|t +1<x <2t,t ∈R}，A ∩C =C ，∴C ⊆A ，当C =⌀时，t +1≥2t ，解得t ≤1，当C ≠⌀时，{t +1<2tt +1≥12t ≤4，解得1<t ≤2．综上，t 的取值范围是(−∞,2]．【解析】(Ⅰ)求出集合A ，B ，再求出A ∩B ；(Ⅱ)由A ∩C =C ，得C ⊆A ，当C =⌀时，t +1≥2t ，当C ≠⌀时，{t +1<2t t +1≥12t ≤4，由此能求出t 的取值范围．本题考查交集及其运算，考查交集、子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 18.【答案】解：(Ⅰ)联立方程组可得{3x −y +12=03x +2y −6=0，解得x =−2，y =6，故交点A 的坐标为(−2,6)， 直线x −2y −3=0的斜率为12，又直线l 与直线x −2y −3=0垂直，故直线l 的斜率为−2，设所求直线l 的方程为y −6=−2(x +2)，即2x +y −2=0；(Ⅱ)因为点P(a,b)在第一象限，故a >0，b >0，P 到x 轴的距离为2，所以b =2，故P(a,2)，又P(a,2)到直线l 的距离为2√5，所以|2a+2−2|√22+12=2√5，解得a =5，所以a +b =7．【解析】(Ⅰ)联立方程组求出交点的坐标，然后利用垂直，求出斜率，由点斜式求出直线方程即可； (Ⅱ)由P 在第一象限，得到a >0，b >0，利用P 到x 轴的距离为2和到直线l 的距离为2√5，列式求解a 和b ，即可得到答案．本题考查了直线方程的应用，涉及了两条直线交点的求解、两条直线垂直关系的应用、点斜式直线方程的应用、点到直线距离公式的应用，属于中档题．19.【答案】(Ⅰ)证明：如图，连接BD 交AC 于O ，则O 为BD 中点，连接OM ，∵M 是棱PD 的中点，∴OM//PB ，∵OM ⊂平面ACM ，PB ⊄平面ACM ，∴PB//平面ACM ；(Ⅱ)解：∵M 是棱PD 的中点，∴V P−ACM =V D−ACM =V M−ACD =12V P−ACD ，∵PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =1，底面ABCD 为正方形，∴V P−ACM =V D−ACM =V M−ACD =12V P−ACD =12×12×12×1×1×1=18．【解析】(Ⅰ)连接BD 交AC 于O ，连接OM ，可得OM//PB ，再由直线与平面平行的判定可得PB//平面ACM ； (Ⅱ)由M 是棱PD 的中点，可得V P−ACM =V D−ACM =V M−ACD =12V P−ACD ，再由棱锥体积公式求解．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意可知，当销售利润x ≤100万元时，y =5%x =0.05x ，当销售利润x >100万元时，y =100×0.05+log 2[(x −100)+1]，所以y 关于x 的函数关系式为y ={0.05x,x ≤1005+log 2(x −99),x >100， (2)因为小张的奖金为10万元，设其销售的利润为x 万元，①当x ≤100时，10=0.05x ，解得x =200>100，所以不符题意，②当x >100时，则10=5+log 2(x −99)，解得x =131，故小张的年销售利润为131万元．【解析】(1)由题意对销售利润分类讨论，即小于等于100和大于100时分别建立函数关系式；(2)由(1)分类讨论即可求解．本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，考查了分段函数的性质，属于中档题．21.【答案】(Ⅰ)证明：设底面正方形的对角线AC 与BD 交于点O ，则O 为AC的中点，又E 为CC 1的中点，所以AC 1//OE ，因为AC 1⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以AC 1//平面BDE ；(Ⅱ)证明：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，CC 1⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，又AC 与BD 为正方形ABCD 的对角线，则BD ⊥AC ，又AC ∩CC 1=C ，AC ，CC 1⊂平面ACC 1，所以BD ⊥平面ACC 1，又BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ACC 1；(Ⅲ)解：因为E 为CC 1的中点，所以DE =BE ，又BC =CD ，O 为BD 的中点，所以OE ⊥BD ，OC ⊥BD ，故∠EOC 即为二面角E −BD −C 的平面角，不妨设长方体的底面边长为2，则CE =√2，OC =√2，在Rt △EOC 中，OC =EC ，所以∠EOC =45°，故二面角E −BD −C 的大小为45°．【解析】(Ⅰ)利用中位线定理得到AC 1//OE ，由线面平行的判定定理即可证明；(Ⅱ)利用长方体的几何性质可得CC 1⊥底面ABCD ，利用线面垂直的性质定理可得CC 1⊥BD ，由正方形的几何性质可得BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理可得BD⊥平面ACC1，由面面垂直的判定定理即可证明；(Ⅲ)利用等腰三角形中线就是高，可得OE⊥BD，OC⊥BD，从而得到∠EOC即为二面角E−BD−C的平面角，在Rt△EOC中求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在求解二面角的时候，本题选择了定义法求解，即利用二面角的定义找到二面角的平面角，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，圆C：x2+y2−2x−4y+1=0，即(x−1)2+(y−2)2=4，其圆心为(1,2)，半径r=2，若过点A(0,5)的直线l与圆C相切，直线l的斜率必定存在，设其斜率为k，则切线l的方程为y=kx+5，即kx−y+5=0，则有√1+k2=2，解可得：k=3±2√63，即直线l的斜率为3±2√63．(Ⅱ)设P(x,y)，PM为圆C的切线，则CM⊥PM，因为|CP|2=(x−1)2+(y−2)2，|CM|2=4，所以|PM|2=(x−1)2+(y−2)2−4，因为|PA|2=x2+(y−5)2，且|PM|=|PA|，所以x2+(y−5)2=(x−1)2+(y−2)2−4，即x=3y−12，所以|PM|2=10y2−82y+169，所以当y=4110时，|PM|最小，此时P点坐标为(310,41 10).【解析】(Ⅰ)求出圆心和半径，根据题意可知直线l斜率存在，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得直线l的斜率；(Ⅱ)设P(x,y).由切线的性质可得：CM⊥PM，利用|PM|=|PO|，可得x=3y−12，利用二次函数的性质可求|PM|最小时y的值，从而可求得点P的坐标．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于中档题．。

2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上所有的点，求A和B的交集。

答案：A={(-∞,1]}。

B={2}。

A∩B=A={(-∞,1]}2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2)，求函数的定义域。

答案：分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)，所以函数的定义域为x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。

3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行，求m的值。

答案：两条直线平行，说明它们的斜率相等，即m=2.4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二，第四象限，求a、b、c应满足的条件。

答案：第一象限中x>0.y>0，所以ax+by+c>0；第二象限中x0，所以ax+by+c0.y<0，所以ax+by+c<0.综上所述，应满足ab<0.bc<0.5.已知两条不同的直线m和n，两个不同的平面α和β，判断下列命题中正确的是哪个。

答案：选项A是正确的。

因为如果m与α垂直，n与β平行，那么m和n的夹角就是α和β的夹角，所以m和n垂直。

6.已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径。

答案：设底面半径为r，侧面的母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl。

根据题意，πrl=6π，所以l=6/r。

而侧面展开图是一个半圆，所以底面周长为2πr，即底面直径为2r，所以侧面母线长l=πr。

将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中，得到r=2.7.已知两条平行线答案：两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。

我们可以先求出l2上的一点，比如(0,7/8)，然后带入l1的方程，得到距离为3/5.8.已知函数y=ax-1/(3x^2+5)，如果它的图像经过定点P，求点P的坐标。

答案：点P的坐标为(1,2)。

因为当x=1时，y=a-1/8，所以a=17/8.又因为当x=2时，y=1/13，所以17/8×2-1/13=2，解得a=17/8，所以y=17x/8-1/(3x^2+5)，当x=1时，y=2.9.已知a=3/5，b=1/3，c=4/3，求a、b、c的大小关系。

2020-2021学年河南省天一大联考高一上学期期末数学试题一、单选题1．过点()1,3-且斜率为12的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．8- B ．7-C ．72-D ．72答案：B求出直线方程，令0y =可得结论． 解：由题意直线方程为13(1)2y x -=+，即270x y -+=，令0y =得7x =-， 所以直线在x 轴上截距为7-． 故选：B ．2．已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}3B x R x =∈>，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1,2,3,4D ．{}0,1,2,3答案：D由图可知，阴影部分所表示的集合是()UA B ，根据补集、交集定义即可求出.解：由图可知，阴影部分所表示的集合是()UA B ，{}3B x R x =∈>，{}3U B x R x ∴=∈≤,(){}0,1,2,3U B A ∴⋂=.故选：D.3．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ） A ．()f x x =，()lg10xg x =B ．()211x f x x -=+，()1g x x =-C ．()f x =()2g x =D ．()1f x =，()0g x x =答案：A两个函数是相等函数，需函数的三个要素相同，首先判断函数的定义域，再判断函数的对应关系，若这两点相同，就是相等函数.解：A.两个函数的定义域相同，并且函数()lg10xg x x ==，对应关系也相同，所以两个函数是相等函数；B.函数()211x f x x -=+的定义域是{}1x x ≠-，函数()1g x x =-的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数；C.函数()f x =R ，函数()2g x =的定义域是[)0,+∞，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数；D.函数()1f x =的定义域是R ，函数()0g x x =的定义域是{}0x x ≠，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数； 故选：A4．设点()1,1,1P 关于原点的对称点为P '，则PP '=（ ）A B ．C ．D ．6答案：B根据空间直角坐标系中的对称性写出P '坐标，然后计算线段长．解：由题意(1,1,1)P '---，∴PP '== 故选：B ．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．16π答案：C由三视图还原出原几何体，确定其结构，再求出外接球的半径得球的表面积． 解：由三视图，知原几何体是一个四棱锥P ABCD -，如图，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB ⊥底面ABCD ，由PB ⊥底面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，得PB AD ⊥，又AD AB ⊥，AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而PA ⊂平面PAB ，所以AD PA ⊥，同理DC PC ⊥，同样由PB ⊥底面ABCD 得PB BD ⊥，所以PD 中点O 到四棱锥各顶点距离相等，即为其外接球球心，PD 为球直径，222222PD PB BD PA AD AB =+=++=，∴外接球半径为12ADr ==， 表面积为2414S ππ=⨯=． 故选：C ．点评：关键点点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查棱锥的外接球表面积．解题关键是确定外接球的球心．棱锥的外接球球心在过各面外心（外接圆圆心）且与该面垂直的直线上．6．已知ln 2a =，b =21log c e=，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c >>答案：D根据对数函数的单调性求出,a c 范围即可比较. 解：0ln1ln 2ln 1e =<<=，01a ∴<<，1b =>，22110log log c e=<=， b a c ∴>>.故选：D.7．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ，且12AC BC =，则直线11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案：A证明CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，求出此角后，利用11//B C BC 可得结论， 解：∵90BAC ∠=︒，12AC BC =，∴30CBA ∠=︒， ∵1BC AC ，AB AC ⊥，1BC ABB ，1,BC AB ⊂平面1ABC ，∴AC ⊥平面1ABC ，∴CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，即BC 与平面1ABC 所成的角是30， ∵棱柱中11//B C BC ，∴11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为30， 故选：A ．点评：思路点睛：本题考查求直线与平面所成的角，解题方法是定义法，即过直线一点作平面的垂直，得直线在平面上的射影，由直线与其射影的夹角得直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求出此角．解题过程涉及三个步骤：一作出图形，二证明所作角是直线与平面所成的角，三是计算．8．若函数()()22log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],4-∞ B ．(]4,4-C ．()4,-+∞D ．[)4,4-答案：B令()23x x a g ax -+=，则可得()22240a g a ⎧≤⎪⎨⎪=+>⎩，解出即可. 解：令()23x x a g ax -+=，其对称轴为2a x =， 要使()f x 在[)2,+∞上是增函数，则应满足()22240a g a ⎧≤⎪⎨⎪=+>⎩，解得44a -<≤.故选：B.9．若222+=a b c （0c ≠），则直线0ax by c 被圆222x y +=所截得的弦长为（ ） A ．22B 2C ．2D ．22答案：C求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长．解：∵222+=a b c （0c ≠），圆心O 到直线的距离为1d ==，圆半径为r =所以弦长为2l ===． 故选：C ．10．已知函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若a ，b R ∈，且0a b +>，则()()f a f b +的值（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断答案：A利用幂函数的定义求出m ，利用函数的单调性和奇偶性即可求解． 解：∵函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，∴25=1m m --，解得：m= -2或m=3． ∵对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，∴函数()f x 为增函数， ∴260m ->， ∴m=3（m= -2舍去） ∴()3=f x x 为增函数．对任意a ，b R ∈，且0a b +>， 则- a b >，∴()()()f a f b f b >-=- ∴()()0f a f b +>． 故选：A点评：(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x 前的系数为1； (2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用．11．已知点(),x y 是曲线y =23y x --的取值范围是（ ） A ．()0,2B ．[]0,2C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：B在平面直角坐标系中作出曲线24y x =-，这是一个半圆，23y x --的几何意义是半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率，由几何意义易得结论． 解：曲线24y x =-是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图，23y x --表示半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率， 由图，20232QB k -==-，当0QA k =时，直线QA 与半圆相切， ∴02PQk ≤≤，即23y x --的取值范围是[0,2]．故选：B ．点评：方法点睛：本题考查分式的取值范围，解题方法是数形结合思想，利用分式的几何意义：23y x --可以表示动点(,)x y 与定点(3,2)连线的斜率，从而作出动点所在曲线，由几何意义易得解．12．已知函数()2log ,0,1,0.x x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩若()()()()1234f x f x f x f x ===（1x ，2x ，3x ，4x 互不相等），则1234x x x x +++的取值范围是（注：函数()1h x x x=+在(]0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增）（ ） A ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦答案：D作出函数()f x 的图象，设1x <2x 0<<3x 1<<4x ，由图象的性质 求得12+2x x =-，341x x ⋅=，再利用双勾函数求得34522x x <+≤，代入可得选项． 解：作出函数()f x 的图象如下图所示：设1x <2x 0<<3x 1<<4x ，且()12+212x x =⨯-=-，当2324log log x x =时，即2324log log x x -=，所以()2324234log +log log 0x x x x ⋅==，所以341x x ⋅=，当2log 1x =时，解得312x =，42x =，所以412x <≤ 设34441t x x x x =+=+，又函数1y x x=+在()1,+∞上单调递增， 所以44111521+2+122t x x =<=+≤=，即34522x x <+≤， 所以123452+22+2x x x x -<+++≤-，即1234102x x x x <+++≤， 故选：D ．点评：关键点点睛：本题考查分段函数的函数值相等的问题，解决的关键在运用运用数形结合的思想，作出函数的图象，求得变量的范围． 二、填空题 13．函数()21f x x =--的定义域为______.答案：[2,3)(3,)⋃+∞． 求得使函数式有意义的x 的范围．解：由题意020210x x x ⎧>⎪-≥⎨⎪-≠⎩，解得2x ≥且3x ≠．故答案为：[2,3)(3,)⋃+∞．14．已知函数()()()2log 0102x x x f x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()4f a =，则a =______.答案：16或-2讨论0a >和0a ≤两种情况讨论，解方程，求a 的值. 解：当0a >时，2log 416a a =⇒=，成立，当0a ≤时，1422aa ⎛⎫=⇒=- ⎪⎝⎭，成立， 所以16a =或2-. 故答案为：16或2-15．圆221:24200O x y x y +-+-=与圆222:48160O x y x y ++--=的公切线条数是______. 答案：2求出圆心距，判断两圆的位置关系后可得化切线的条数．解：圆1O 标准方程是22(1)(2)25x y -++=，1(1,2)O -，半径为5R =，圆2O 标准方程是22(2)(4)36x y ++-=，2(2,4)O -，半径为6r =，又12O O ==∵12R r OO R r -<<+，∴两圆相交，公切线有2条． 故答案为：2．点评：结论点睛：本题考查两圆公切线问题，根据两圆位置关系可得公切线条数： 相离：4条；外切：3条；相交：2条；内切：1条；内含：无公切线． 16．已知函数()()1ln 11f x x x=+-+，若()()log 31a f f ≥（0a >且1a ≠），则a 的取值范围为______.答案：(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭分析出函数()f x 为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，由()()log 31a f f ≥可得出()()log 31a f f ≥，可得出lg lg3a ≤且1a ≠，利用对数函数的单调性解此不等式即可得解.解：函数()()1ln 11f x x x=+-+的定义域为R ， ()()()()11ln 1ln 111f x x x f x x x-=+--=+-=+-+，即函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，函数()()1ln 1ln 1y x x =+=+单调递增，函数21111y x x ==++单调递减，所以，函数()()1ln 11f x x x=+-+在[)0,+∞上单调递增， 由()()log 31a f f ≥可得()()log 31a f f ≥，则log 31a ≥，即lg31lg a≥，可得lg lg3a ≤，所以，1lglg3lg lg33a =-≤≤，解得133a ≤≤且1a ≠.因此，实数a 的取值范围是(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭. 故答案为：(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.点评：方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 三、解答题 17．设集合1,202xA y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}0ln 1B x x =≤≤，{}12,C x t x t t R =+<<∈.（1）求A B ；（2）若AC C =，求t 的取值范围.答案：（1）{}1x x e ≤≤（2）2t ≤.（1）先利用指数函数的单调性和对数函数的单调性，化简集合A,B ，再利用集合的交集运算求解. （2）根据AC C =，则C A ，然后分C =∅和 C ≠∅两种情况讨论求解.解：（1）因为集合{}14A y y =≤≤，{}1B x x e =≤≤， 所以AB {}1x x e =≤≤；（2）因为A C C =，则C A ，当C =∅时，12t t +≥，解得 1t ≤，当 C ≠∅时，则 121124t t t t +<⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，解得 12t <≤，综上：实数t 的取值范围是2t ≤.18．已知直线l 经过两直线1:3120l x y -+=，2:3260l x y +-=的交点，且与直线230x y --=垂直.（1）求直线l 的方程；（2）若第一象限内的点(),P a b 到x 轴的距离为2，到直线l的距离为+a b 的值.答案：（1）220x y +-=；（2）7．（1）求出12,l l 交点坐标，再由垂直得斜率（可设出直线方程），从而得直线方程；（2）由点到直线距离公式列出关于,a b 的方程解之可得．解：（1）由31203260x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得26x y =-⎧⎨=⎩，即两直线交点为()2,6-， 由l 与直线230x y --=垂直，则2l k =-，∴l 方程为62(2)y x -=-+，即220x y +-=；（2）∵第一象限内的点(),P a b 到x 轴的距离为2，所以2b =，0a >，又P 到直线l的距离为=，5a =（∵0a >），∴7a b +=． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，点M 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB平面ACM；（2）求三棱锥P ACM-的体积.答案：（1）证明见解析；（2）23．（1）连接BD交AC于点O，由中位线定理得//OM PB，从而得证线面平行；（2）由M是PD中点，得12M ACD P ACDV V--=，求出三棱锥P ACD-的体积后可得．解：（1）如图，连接BD交AC于点O，连接OM，则O是BD中点，又M是PD中点，∴//OM PB，又PB⊄平面ACM，OM⊂平面ACM，所以//PB平面ACM；（2）由已知12222ACDS=⨯⨯=，11422333P ACD ACDV S PA-=⋅=⨯⨯=△，又M是PD中点，所以1223M ACD P ACDV V--==，所以23P ACM P ACD M ACDV V V---=-=．点评：思路点睛：本题考查证明线面平行，求三棱锥的体积．求三棱锥的体积除掌握体积公式外，还需要注意割补法，不易求体积的三棱锥（或一个不规则的几何体）的体积可通过几个规则的几何体（柱、锥、台等）的体积加减求得．三棱锥的体积还可通过转化顶点，转移底面利用等体积法转化为求其他三棱锥的体积，从而得出结论．20．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当年销售利润不超过100万元时，按年销售利润的5%进行奖励；当年销售利润超过100万元时，若超出A万元，则奖励()2log 1A +万元，没超出部分仍按5%进行奖励.记奖金为y 万元，年销售利润为x 万元.（1）写出y 关于x 的函数解析式；（2）如果业务员小张获得了10万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？答案：（1）()20.05,01005log 99,100x x y x x ≤≤⎧=⎨+->⎩；（2）131 （1）根据题意分别求出0100x ≤≤和100x >时的解析式即可；（2）可判断100x >，利用（1）中解析式即可求出.解：（1）由题可得当0100x ≤≤，0.05y x =，当100x >时，()()221000.05log 10015log 99y x x =⨯+-+=+-，()20.05,01005log 99,100x x y x x ≤≤⎧∴=⎨+->⎩； （2）105>，100x ∴>，则()25log 9910x +-=，解得131x =，所以他的年销售利润是131万元.21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，12AA AB =，E 为1CC 的中点.（1）证明：1//AC 平面BDE ；（2）证明：平面BDE ⊥平面1ACC ；（3）求二面角E BD C --的大小.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4π．（1）设BD C O =，由1//AC OE ，得证线面平行；（2）证明BD ⊥平面1ACC ，可得证面面垂直；（3）证明EOC ∠是二面角E BD C --的平面角，求出此角即可．解：（1）证明：设BD C O =，连接OE ，则O 是AC 中点，又E 是1CC 中点， ∴1//AC OE ，又OE ⊂平面BDE ，1AC ⊄平面BDE ，∴1//AC 平面BDE ．（2）1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴1CC BD ⊥，同理1CC AC ⊥，又正方形中BD CA ⊥，1AC CC C =，1,AC CC ⊂平面1ACC ，∴BD ⊥平面1ACC ，又∵BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面1ACC ；（3）∵BD ⊥平面1ACC ，OE ⊂平面1ACC ，∴BD OE ⊥，∴EOC ∠是二面角E BD C --的平面角， 由已知112CC AA AB ==，而2AC AB =，,E O 分别是1,CC AC 中点， ∴OC CE =，∴4EOC π∠=．即二面角E BD C --的大小为4π．点评：关键点点睛：本题考查证明线面平行，面面垂直，考查求二面角的大小．解题关键是掌握证明线面平行，面面垂直的判定定理，证明时需要满足定理的所有条件，一个都不能少地列举出来才能得出结论，否则证明过程不完整．而求二面角，只要作出二面角的平面角（并证明），然后解三角形即可．22．已知圆22:2410C x y x y +--+=.（1）若过点()0,5A 的直线l 与圆C 相切，求直线l 的斜率；（2）从圆C 外一点P 向该圆引一条切线，切点为M ，若PM PA =，求PM 最小时点P 的坐标.答案：（1）13±；（2）341,1010P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）切线斜率存在，设切线方程为5y kx =+，由圆心到切线的距离等于半径求得k 值得切线方程；（2）设(,)P x y ，由已知求出P 点轨迹方程，得P 轨迹是直线，要使PM 最小，则只要PC 最小，因此只要有PC 与轨迹直线垂直即可，由此可求得P 点坐标．解：（1）圆C 标准方程是22(1)(2)4x y -+-=，圆心为(1,2)C ，半径为2r ， 过A 所作圆C 的切线斜率存在，设切线方程为5y kx =+，即50kx y -+=，2=，解得13k =± （2）设(,)P x y ，则由PM PA =得．=，化简得：3120x y -+=，此即为点P 的轨迹方程，轨迹是直线． 要使得PM 最小，则只要PC 最小即可，所以CP l ⊥，设(,)P m n ，则3120231m n n m -+=⎧⎪-⎨=-⎪-⎩，解得3104110m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．即341,1010P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 点评：关键点点睛：本题考查直线与圆相切问题，考查切线长最短问题．直线与圆相切的一般解法是圆心到切线的距离等于圆的半径，只要设出切线方程，由此列式可求得参数值，切线长最短，根据切线长的求法，只要圆外的点到圆心距离最小，则切线长最短．再利用圆外点的轨迹河得求解方法．。