凸函数性质及其应用
摘 要 本文首先给出了凸函数的几种定义，然后给出了凸函数的几种重要性质，最后举例说明了凸函数在微分学、积分学、及在证明不等式中的应用.
关键词 凸函数的积分性质;凸函数的不等式
Abstract In this article ，first we list several kind of definitions for convex functions ，then we give several important properties of convex functions ; finally we discuss the application of convex functions in differential calculus , integral calculus, and the proof of inequality.
Keywords integral properties of convex functions ; inequality of convex functions
凸函数是一类非常重要的函数,广泛应用于数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领域.本文先给出凸函数的几种等价定义,然后列出重要的相关性质,最后给出在微分学、积分学、以及在证明不等式中应用.
1 凸函数的定义及其相互关系 定义
1 设()f x 在区间I 上有定义,()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅
当:12,,(0,1)x x I λ∀∈∀∈,有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-上式中“≤”改成“<”则是严格凸函数的定义.
定义2 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅当:12,,x x I ∀∈有
1212()().22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
定义3 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅当：
1,2,...,n x x x I ∀∈,有1212......()()......()
.n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫≤
⎪⎝⎭
定义 4 ()f x 在区间I 上有定义,当且仅当曲线()y f x =的切线恒保持在曲线以下,则成
()f x 为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线()f x 为严格凸的.
引理1 定义2与定义3等价.
引理2 若()f x 连续,则定义1，2，3等价.
2 凸函数的性质
定理 1 设()f x 在区间I 上有定义,则以下条件等价（其中各不等式要求对任意,
123,,,x x x I ∈123x x x << 保持成立）：
（i ）()f x 在I 上为凸函数 （1）
（ii ）
2121()()f x f x x x --≤3131()()
f x f x x x -- （2）
(iii)
31323132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- （3）
(iv)
2121()()f x f x x x --≤3232
()()
f x f x x x -- （4）
推论1若()f x 在区间I 上为凸函数，则I 上任意三点123x x x <<，有
2121()()f x f x x x -≤-3131()()f x f x x x -≤-3232
()()
f x f x x x --.
推论2 若()f x 在区间I 上的凸函数，则0,x I ∀∈过0x 的弦的斜率()k x = 00
()()
f x f x x x --是
x 的增函数（若f 为严格凸的,则()k x 严格增）.
推论3 若()f x 是区间I 上的凸函数，则I 上任意四点s()()f t f s t s --()()
f v f u v u
-≤
-. 推论4 若()f x 是区间I 上的凸函数，则对I 上的任一内点x,单侧导数(),()f x f x +-''皆存在，
皆为增函数，且()()f x f x -+''≤ 0
()x I ∀∈这里0
I 表示I 的全体内点组成之集合.（若f 为严格凸
的，则'f +与'
f -为严格递增的）.
证明 因x 为内点,故12,,x x I ∃∈使得12x x x <<,从而（利用推论2）,
1212()()()()
f x f x f x f x x x x x
--≤--.再由推论2所述,当1x 递增时,11()()f x f x x x --也递增.故由单调有
界原理知,如下极限存在且'
f -(x)= 10
1212()()()()
lim
x x f x f x f x f x x x x x
-→--≤--.同理,在此式中，令2x x
→时,可知'()f x +存在,且''()()f x f x -+≤.最后由推论3中的不等式重新取相应的极限,可知'f +与'
f -皆
为增函数.
推论5 若()f x 在区间I 上为凸的，则f 在任一内点x ∈0I 上连续. 事实上由推论4知f +'与f -'存在，所以f 在x 处左右都连续.
定理2 设函数()f x 在区间I 上有定义，则()f x 为凸函数的充要条件是：0
0,x I ∈α∃，使
得x I ∀∈,有()f x 00()()x x f x α≥-+.
证明（必要性）因()f x 为凸函数，由上面的推论4知， 0'
00,()x I f x -∀∈存在且
'000
()()
()f x f x f x x x --→-. 由此任取一'0(),f x α-≥则0x x <时有00()()()f x x x f x α≥-+.
因
''00()f x f x -+≤(),所以对任一α
:
''00()(),f x f x x I
α-+≤≤∀∈恒有
()f x 00()()x x f x α≥-+.
(充分性)设123x x x <<是区间
I
上的任意三点，由已知条件
222,,()()()x f x x x f x αα∀∃≥-+()x I ∀∈,由此令1x x =和3x x =，可以得到
32123212
()()()()
f x f x f x f x x x x x α--≥≥--,由定理1可知()f x 为凸的.
定理3 设()f x 在区间I 上有导数，则()f x 在I 上为凸函数的充要条件是()()f x I '∈x 递增. 证明 （充分性）12,x x I ∀∈,不妨设12x x <及λ∈（0,1）,记12(1)x x x λλ≡+-，则
1212()[(1)]()(1)()f x f x x f x f x λλλλ≡+-≤+-,或12()()(1)()0f x f x f x λλ---≤ (1)
由于()()(1)()f x f x f x λλ=+- (1)式等价于
12[()()](1)[()()]0f x f x f x f x λλ-+--≤ (2)
应用Largrange 定理，12,:,x x εηεη∃<<<使得
''1212[()()](1)[()()]()()(1)()()f x f x f x f x f x x f x x λλλελη-+--=-+--，
但112121[(1)](1)()x x x x x x x λλλ-=+--=--,
212212[(1)]()x x x x x x x λλλ-=+--=-.
