二元函数的极限与连续

1 / 151.二元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ⊂上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限,记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限．２.二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=．例１ 求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→.解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即()()221,1,21limy x y x +→=31.2 / 152．2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求00x y →→解: 00x y →→00x y →→=0x y →→=001.4x y →→==-例4 ()()22220,0,321)31)(21(lim yx y x y x +-++→．解:原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →=+()(22,0,0limx y →=+11022=+=．2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数．在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y→,有sin(,)(,)u x y u x y;2(,)1cos(,)2u x yu x y-;[]ln1(,)(,)u x y u x y+；tan(,)(,)u x y u x y;arcsin(,)(,)u x y u x y；arctan(,)(,)u x y u x y(,)1u x yn;(,)1(,)u x ye u x y-；同一元函数一样,等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例５求xy→→解: 当x→,0y→时，有0x y+→11()2x y+，所以1()2lim1.2xyxyx yx y→→→→+=+=这个例子也可以用恒等变形法计算,如:1.2xyxyxy→→→→→→===3 / 154 / 152.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广．例6 求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+．解: 先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→,所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例７ 求 0sin()limx y axy x →→极限.解: 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →,所以 sin()1xy xy→,再利用极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1＝a ．这个例子也可以用等价无穷小代换计算,如: 当 0x →,y a →时，0xy → ,sin()xy xy ．5 / 15所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===２.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8 求0011)sin cos x y y x y →→解: 因为00)0x y y →→= 是无穷小量, 11sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解 原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦ 是有界量，又 32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以 ， 22232(3)(2)lim0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- ． 虽然这个方法计算实际问题上不那么多用,但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .２.６利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算,6 / 15从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。

§2.3 二元函数的极限与连续定义设二元函数在点的某邻域内有意义, 若存在常数A,,当（即）时，都有则称A是函数当点趋于点时的极限,记作或或或。

必须注意这个极限值与点趋于点的方式无关,即不论P 以什么方向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向。

只要P与充分接近, 就能使与A 接近到预先任意指定的程度。

注意：点P趋于点点方式可有无穷多种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。

图8-7同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限存在,但不相等, 则可以判定在该点极限不存在。

这是判断多元函数极限不存在的重要方法之一。

一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。

例如若有, 其中求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理来计算。

例4 求。

解由于而,根据夹逼定理知 ,所以例5求（a≠0)。

解。

例6求。

解由于且,所以根据夹逼定理知. 例7 研究函数在点处极限是否存在。

解当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于（0，0）的极限，有,。

很显然，对于不同的k值，可得到不同的极限值,所以极限不存在,但。

注意：的区别, 前面两个求极限方式的本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的极限,我们称为求二重极限。

例8 设函数。

它关于原点的两个累次极限都不存在,因为对任何,当时,的第二项不存在极限；同理对任何时,的第一项也不存在极限,但是, 由于, 因此由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。

由例8可知,二重极限存在,但二个累次极限不存在。

我们有下面的结果:定理1若累次极限和二重极限都存在,则三者相等（证明略）。

推论若存在但不相等,则二重极限不存在。

定义设在点的某邻域内有意义,且,则称函数在点处连续,记上式称为函数(值)的全增量。

二元函数极限存在与连续的重要关系
二元函数极限是数学分析中的基本概念之一。

在计算二元函数极限时，往往需要先判断函数值在极限点处是否存在。

如果函数值在极限点处存在，并且极限值等于函数值，那么函数在此点处连续。

进一步地，若一个二元函数在某个点处连续，那么在这个点的一个领域内，其函数值和极限值的距离可以尽量小地变小，也就是说，这个领域内函数值和极限值十分接近。

这个概念叫做“函数的ε-δ连续性”。

换言之，二元函数极限的存在与连续是密不可分的，有了二元函数极限存在，才能推导出连续的性质。

在实际中，我们可以通过计算二元函数化简，利用极限的四则运算法则计算极限，进而判断函数值在极限点处是否存在，然后验算连续性。

总之，对于任何一道二元函数极限的计算题，正确判断函数值是否存在于极限点，判断函数是否连续，都是非常关键的。

只有确保二元函数极限存在，函数连续才能够更好地发挥其重要作用。

二元函数求极限的连续函数判定方法在数学中，二元函数是指含有两个自变量的函数。

在许多问题中，我们需要求二元函数的极限。

而判断一个二元函数在某一点处是否连续也是十分重要的。

本文将介绍二元函数求极限的连续函数判定方法。

一、二元函数的极限定义设二元函数为f(x, y)，当(x, y)不断靠近点(x0, y0)时，如果f(x, y)的极限存在，并且与(x0, y0)无关，则称f(x, y)在点(x0, y0)处有极限，记作：lim (x,y)->(x0,y0) f(x,y) = L其中L是一个实数。

二、连续函数的定义在二元函数中，如果对于任意给定的(x0, y0)，有：lim (x,y)->(x0,y0) f(x,y) = f(x0, y0)则称f(x, y)在点(x0, y0)处连续。

三、判定方法为了判定一个二元函数在某一点处是否连续，可以使用以下判定方法：1. 逐点判定法对于每一个点(x0, y0)，逐个检查极限的存在与相等性。

首先判定极限存在，即检查：lim (x,y)->(x0,y0) f(x,y)如果该极限存在，则再检查：lim (x,y)->(x0,y0) f(x,y) = f(x0, y0)如果以上两个条件都满足，即可判定f(x, y)在点(x0, y0)处连续。

2. 极限函数法通过求二元函数极限得到一个函数表达式g(x, y)，然后检查g(x, y)在点(x0, y0)处是否连续。

如果g(x, y)在点(x0, y0)处连续，那么原函数f(x, y)在该点也连续。

3. 分析法对于某些特殊的二元函数，可以通过直接观察函数的性质来判断连续性。

例如，对于多项式函数、指数函数、对数函数等常见函数，它们在定义域内都是连续的。

需要注意的是，以上方法都是针对特定点处的连续性判定，对于整个定义域内的连续性则需要逐点检查。

四、举例说明以二元函数f(x, y) = x^2 + y^2为例，来说明上述判定方法的应用。

一、教学目标：通过本节内容的学习，达到以下教学目标与要求：一级目标：熟练掌握二元函数的极限的概念二级目标：掌握二元函数的连续性的概念二、教学内容和重、难点：1. 二元函数的极限2. 二元函数的连续性重点：二元函数的极限难点：二元函数的连续性三、教学方法和教具使用：讲授法。

四、教学过程：10.2 二元函数的极限与连续一、二元函数的极限定义2 设二元函数()f P 的定义域为点集D ，0P 是D 的聚点. 如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式00PP δ<<的一切点P D ∈，都有()f P A ε-<成立，则称A 为二元函数()f P 当0P P →时的极限，记作()0lim .P P f P A →=若点0P 的坐标为()00,x y ，则也可以记为()()()00,,lim ,x y x y f x y A →=，或()00lim ,.x x y y f x y A →→=例1 设()()22221,sin ,f x y x y x y=++求证 ()()(),0,0lim ,0.x y f x y →=证 易知点()0,0为(),f x y 的定义域D 的一个聚点，()()2222221,0sin.f x y x y x y x y-=+≤++ 0ε∀>，取δ=，则当0δ<时，有(),0.f x y ε-<故()()(),0,0lim ,0.x y f x y →=例2 设()242,,x y f x y x y =+证明极限()()(),0,0lim ,x y f x y →不存在. 证 显然，当点(),P x y 沿x 轴趋于点()0,0时，()00lim ,0lim 00;x x f x →→== 当(),P x y 沿抛物线2y x =趋近于点()0,0时，()2222242004201lim lim .2x x y x x y x x x y x x →→=→⋅==++ 而102≠，从而极限()()(),0,0lim ,x y f x y →不存在. 二、二元函数的连续性定义3 设二元函数()f P 的定义域为D ，0P 是D 的聚点且0P D ∈. 如果 ()()00lim P P f P f P →=，则称二元函数()f P 在点0P 处连续.设D 为开区域或闭区域. 如果函数()f P 在D 上各点处都连续，就称()f P 在D 上连续.由不同变量的一元初等函数经过有限次四则运算和复合所得到的函数，称为多元初等函数.（P185）多元初等函数在其定义域内是连续的.例8 求()(),0,0lim x y →解()()()(()(()(,0,0,0,0,0,0,0,011lim lim lim 1lim .2x y x y x y x y xy →→→→+-====定理1 有界闭区域上的连续函数必有最大值和最小值.定理2 有界闭区域上的连续函数可以取得最大值和最小值之间的任何函数值.作业 P187：3.（2）习题选解3.求下列极限（2）00sin lim .x y xyx →→解 00000000sin sin sin lim lim lim lim 100.x x x x y y y y xy xy xy y y x xy xy →→→→→→→→⎛⎫=⋅=⋅=⋅= ⎪⎝⎭。

第一节 二元函数的概念一、 二元函数的概念 1、二元函数——已知变量x 、变量y 及变量z ，当变量x ，y 相互独立的在某范围D 内任取一组确定的值时，若变量z 按照一定的规律f ，总有唯一确定的值与之对应，则称变量z 为变量x ，y 的二元函数，记作)(y x f z ，=。

其中变量x ，y 称为自变量，取值范围D 称为二元函数定义域；二元函数z 也称为因变量，二元函数z 的取值范围G 称为二元函数值域；“f”称为对应关系或函数关系。

2、表达式——①二元显函数)(y x f z ，=；②二元隐函数0)(F =z y x ，，。

3、定义域——D={)(P |)(y x y x ，，}：xy 平面上点的集合，简称平面点集。

平面区域：整个xy 平面或xy 平面上由几条曲线围成的一部分称为平面区域，围成平面区域的曲线称为区域边界； 开区域：不包含边界的区域称为开区域； 闭区域：包含全部边界的区域称为闭区域；半开区域：包含部分边界的区域称为半开半闭区域； 有界区域：不延伸到无穷远处的区域称为有界区域； 无界区域：延伸到无穷远处的区域称为无界区域。

4、函数值——对于二元函数)(y x f z ，=，当自变量x ，y在定义域内取一组数值)(00y x ，时，对应的二元函数值记作)(|0000y x f z y y x x ，===。

5、极值——已知二元函数)(y x f z ，=在点)(00y x ，处及其附近有定义，对于点)(00y x ，处附近很小范围内任意点)(y x ，≠)(00y x ，，若总有)()(00y x f y x f ，，>，则称)(00y x f ，为)(y x f ，的极大值，点)(00y x ，为)(y x f ，的极大值点；反之，若总有)()(00y x f y x f ，，<，则称)(00y x f ，为)(y x f ，的极小值，点)(00y x ，为)(y x f ，的极小值点。

二元函数极限的连续性与间断性分析在数学中，函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值的趋近情况。

而对于二元函数，也可以进行极限的研究。

本文将重点讨论二元函数的极限的连续性与间断性。

一、极限的连续性1.1 连续性的定义在介绍极限的连续性之前，我们先回顾一下函数连续的概念。

对于函数f(x)，若其在某一点x₀的附近，当自变量x趋近于x₀时，函数值f(x)也趋近于f(x₀)，则称函数f(x)在点x₀处连续。

1.2 二元函数的连续性定义对于二元函数f(x, y)，若其在某一点P(x₀, y₀)的某邻域内，当自变量(x, y)趋近于P时，函数值f(x, y)也趋近于f(x₀, y₀)，则称函数f(x, y)在点P处连续。

1.3 连续函数的性质连续函数具有以下性质：- 连续函数在定义域的任意一点都连续。

- 两个连续函数的和、差、积以及商（除去分母为零的点）仍然是连续函数。

- 连续函数的复合函数也是连续函数。

二、极限的间断性2.1 第一类间断点对于二元函数，第一类间断点是指函数在该点处的极限存在，但函数值与极限值不相等的点。

可以继续分为左极限和右极限不等的间断点和左、右极限均等的间断点。

2.2 第二类间断点第二类间断点是指函数在该点处的极限不存在的点。

也可以分为左极限和右极限均不存在的间断点和只有左或右极限不存在的间断点。

2.3 间断点的分类对于二元函数，间断点可以进一步分类为：- 可去间断点：函数在该点的极限存在，但函数值与极限值不相等。

这种间断点可以通过修改函数在该点的定义，让函数在这个点处连续。

- 跳跃间断点：函数在该点的左右极限存在，但左右极限值不相等。

- 无穷间断点：函数在该点的极限不存在。

三、举例分析假设有一个二元函数f(x, y)=xy/(x^2+y^2)，我们来分析它的连续性与间断性。

3.1 连续性分析任意取P(x₀, y₀)，对于该点处的函数值f(x₀, y₀)，我们需要证明当(x, y)趋近于P时，函数f(x, y)的极限也趋近于f(x₀, y₀)。