人教版高中数学必修1 第三章函数与方程 同步教案

“方程的根与函数的零点”教学设计(1)一、内容和内容解析本节课是在学生学习了《基本初等函数（Ⅰ）》的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求方程的近似解》做准备．从教材编写的顺序来看，《方程的根与函数的零点》是必修1第三章《函数的应用》一章的开始，其目的是使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系．利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的．方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”，建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想”，是本章渗透的主要数学思想．从知识的应用价值来看，通过在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体会符号化、模型化的思想，体验从系统的角度去思考局部问题的思想．基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．二、目标和目标解析1．通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，2．零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。

而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。

3．通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关系．掌握函数零点存在性的判断．4．在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．三、教学问题诊断分析1.零点概念的认识．零点的概念是在分析了众多图象的基础上，由图象与轴的位置关系得到的一个形象的概念，学生可能会设法画出图象找到所有任意函数的可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图象都能具体的描绘出，所以在概念的接受上有一点的障碍．2.零点存在性的判断．正因为f（a）·f（b）＜0且图象在区间[a，b]上连续不断，是函数f（x）在区间[a，b]上有零点的充分而非必要条件，容易引起思维的混乱就是很自然的事了．3.零点（或零点个数）的确定．学生会作二次函数的图象，但是要作出一般的函数图象（或图象的交点）就比较困难，而在这一节课最重要的恰恰就是利用函数图象来研究函数的零点问题．这样就在零点（或零点个数）的确定上给学生带来一定的困难．基于上述分析，确定本节课的教学难点是：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．四、教学支持条件分析考虑到学生的知识水平和理解能力，教师可借助计算机工具和构建现实生活中的模型，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性．通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，在函数与方程的联系中体验数形结合思想、转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．五、教学过程设计（一）引入课题问题引入：求方程3x2＋6 x－1=0的实数根。

学生姓名 性别 年级 学科 数学 授课教师上课时间 年 月 日第（ ）次课 共（ ）次课课时：2课时教学课题 人教版 必修1第三章函数与方程 同步教案教学目标 （1）了解函数的零点与方程根的联系（2）能判断方程根的存在性（3）理解好零点、图像与x 轴的交点、方程的解之间的转化联系教学重点与难点 零点、图像与x 轴的交点、方程的解之间的转化联系与画分段函数的图像教学过程（一）函数与方程知识梳理1、函数零点的定义（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。

（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。

因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。

函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点（3）变号零点与不变号零点①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。

②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。

③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。

2、函数零点的判定（1）零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数)(x f y =在区间(),a b 内有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。

（2）函数)(x f y =零点个数（或方程0)(=x f 实数根的个数）确定方法① 代数法：函数)(x f y =的零点⇔0)(=x f 的根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

第一节函数与方程第四课时教学设计(三)整体设计三维目标知识与技能：1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件；2．借助科学计算器，掌握运用二分法求满足一定精确度要求的简单方程近似解的方法．过程与方法：1．了解数学上的逼近思想、极限思想；2．体验二分法的算法思想，培养自主探究的能力，为学习算法做准备．情感、态度与价值观：1．通过了解数学家的史料来提高数学素养，并增强学习数学的兴趣；2．体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；3．通过具体实例的探究，归纳发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程．教学重点与难点教学重点：二分法的基本思想的理解，运用二分法求函数零点的近似值的步骤和过程；教学难点：精确度概念的理解及恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．教材分析本节课在学生应用数形结合的数学思想指导下学习了方程的根与对应函数零点之间的关系的基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求方程近似解步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容做准备．教科书不仅希望学生在数学思想与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生通过了解古今中外数学家求方程的解的史料来渗透数学文化，提高数学素养．学情分析学生基础较好，学生学习的主动性较强，所以通过一节课掌握用二分法求方程的近似解的方法，体验二分法中的逼近思想、算法思想．但在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力．信息技术分析多媒体教室及几何画板4.06中文版、Visual Basic 6.0简体中文版应用程序．教学方法动手操作、分组讨论、合作交流、课后实践．教学过程教学设计流程图创设情境导入——由模仿中央电视台节目“幸运52”中的猜价游戏导入新课，提出二分法的思想↓例题回顾——回顾例题，复习零点存在性定理，提出新问题：能不能求出零点《几何画板》演示↓合作探究——借助《几何画板》软件探究用二分法求方程的近似解↓师生小结——总结出用二分法求方程近似解的步骤↓学以致用——学生借助科学计算器，用二分法求方程的近似解↓数学文化——介绍数学家求方程的近似解的历史↓知识迁移——利用Visual Basic编写程序，渗透算法思想教学设计理念1．倡导积极主动、勇于探索的学习方式．2．鼓励学生自主探究、合作交流．3．注重信息技术与数学课程的整合．4．体现数学的文化价值．教学情境设计一、创设情境，导入新课问题情境：中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，价格在500～1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了．设计意图1．创设学生熟悉的游戏情境，制造悬念，引发学生的学习兴趣，并在教师的指导下设计猜价方案．2．在学生设计猜价方案的基础上，提出设计此方案的思想后引入“二分法”，水到渠成．师生活动：师：表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际中，游戏的报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？请学生思考后，提问学生用你的猜价方案猜手机价格？生：猜价方案区间中点(取整) 高低[500,1 000] 750 低了[750,1 000] 875 高了[750,875] 812 低了[812,875] 843 低了[843,875] 859 高了[843,859] 851 ok师：用几何画板配合学生演示猜价的过程后，提问此方案的设计思想(附图一)．生：关键是取区间的中点，不断地缩小价格所在的区间．师：此方法在数学上称作“二分法”，并在黑板上板书，从而引入课题．二、例题回顾人教A版3.1.1节例1求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点的个数？方程ln x＋2x－6＝0的实数解的个数？问题1：如何来确定函数零点的存在性，即方程的实数解的存在性？问题2：f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内有零点，如何找出？设计意图通过例题回顾，引导学生将找方程的实数解与找对应函数的零点的问题等同起来，体会数学模型之间的转换．师生活动：师：借助几何画板直观演示(附图二)函数零点所在区间，并复习零点存在性定理后，让学生思考问题2，提示学生回顾猜价方案的思想．生：使用科学计算器进行计算，思考，交流思路．师：提问学生．生：1.取(2,3)的中点2.5，发现f(2.5)·f(3)<0，所以零点在(2.5,3)内．2．以此类推，发现零点所在的区间在不断缩小．三、合作探究问题1：零点存在区间的大小能说明什么问题？问题2：你能够总结出使零点存在的区间越来越小的规律吗？问题3：当我们能够将零点所在的区间不断地缩小时，怎样确定零点的近似值？ 设计意图1．让学生在教师的指导下学会发现问题、分析问题，初步体会极限思想．2．引导学生从具体的实例出发，总结出一般性的规律，符合学生的思维意识，并让学生充分体会二分法思想．3．引导学生将函数零点的近似值求出来，让学生体会精确度的作用．师生活动：1．师：借助几何画板(附图三)引导学生思考，并让学生交流、讨论．生：零点存在区间越小，区间两端点越接近该区间的实数解．2．师：说明让零点存在区间越来越小是解决问题的关键，请思考问题2.生：分组交流．生：经合作整理，规律如下：每次将区间二等分，留下区间端点函数值符号相反的区间．师：实质是根据什么定理？生：零点存在性定理．3．师：顺势让学生思考问题3后，指出给定精确度ε，只要将上述步骤进行有限次重复后即区间两端点差的绝对值小于ε，则区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．几何画板直观演示(附图四)．四、师生小结你能说出二分法的意义及用二分法求函数y ＝f (x )零点近似值的步骤吗？1．二分法的意义对于在区间[a ，b ]上连续不断且满足f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下：几何画板分布演示(附图五)．设计意图引导学生小结二分法的适用条件及求方程近似解的具体步骤，培养学生从特殊到一般的思想，体验解决问题的成就感．师生活动：师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤．师：分析关键词：f (a )·f (b )<0、m ＝a ＋b 2、精确度ε、|a －b |<ε的意义． 生：结合求函数f (x )＝ln(x )＋2x －6在区间(2,3)内的零点，理解二分法的算法思想与计算原理．五、学以致用问题1：实际生活中有没有利用到二分法的思想方法的例子呢？试举例．问题2：借助计算器或计算机用二分法求方程2x ＋3x ＝7的近似解．(精确度0.1)设计意图1．培养学生联系实际的能力，让学生体会数学与实际生活的密切联系．2．培养学生的动手能力，让学生逐步掌握运用二分法求方程近似解的思想方法，并使学生的认识不断加深．师生活动：1．师：让学生讨论，学生思考联想实际生活，尝试举出运用二分法的例子．生：电力工人检测电线，找故障．2．(1)学生利用科学计算器动手操作、进行小组交流，老师作课堂巡视指导．(2)师借助几何画板分布，直观演示(附图六)．六、数学文化阅读本节阅读与思考“中外历史上的方程求解”．设计意图让学生感受数学文化方面的熏陶，增强数学素养．七、知识迁移问题：回忆用二分法求方程的近似解的步骤中，缩小零点所在的区间的步骤是否可以进行重复，如果给定精确度后重复的步骤是否是有限次的？设计意图初步介绍算法思想，为必修3的算法教学埋下伏笔．师生活动：师：如果一种计算方法对某一类问题都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到唯一的结果，我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法．它的优点是一种通法，更大的优点是，它可以让计算机来实现．例如我们可以编写用二分法求方程的近似解的程序，快速地求出一个函数的零点．程序框图及程序(附图七)八、课堂小结问题：本节课学习了哪些知识、方法、思想？设计意图学生在回顾、总结、反思的过程中，将所学的知识条理化、系统化，使自己的认知结构更趋合理．注重数学方法的提炼，可使学生逐渐把经验内化为能力．师生活动：师：引导学生从知识、方法两方面进行总结后板书：1．要找方程的实数解可先利用函数的连续性判定方程实数解的存在性，再利用二分法求方程的近似解；2．二分法的意义；3．二分法求方程的近似解的步骤；4．逼近、极限、二分法．教学设计附图：区间中点(取整) 高低[500,1 000] 750 低了[750,1 000] 875 高了[750,875] 812 低了[812,875] 843 低了[843,875] 859 高了[843,859] 851 课题附图一附图二附图三附图四二次法求解方程近似解的基本步骤：(精确度ε)1．利用计算或作图的方法，确定初始区间[a ，b ]；2．验证f (a )·f (b )<0；3．求区间(a ，b )的中点c ＝a ＋b 2； 4．计算f (c )：(1)若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；(2)若f (a )·f (c )<0，则令b ＝c 〔此时零点X 0∈(a ，c )〕；(3)若f (c )·f (b )<0，则令a ＝c 〔此时零点X 0∈(c ，b )〕；5．判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点的近似值a (或b )；否则重复3～4.附图五附图六附visual basic 程序Private Sub Command1_Click()Dim a As SingleDim b As SingleDim d As Singlea＝InputBox(“a”，“区间左端点”)b＝Input Box(“b”，“区间右端点”)d＝InputBox(“d”，“精确度”)Text1.Text＝aText2.Text＝bText3.Text＝dfa＝2^a＋3]教学反思1．创设有趣且适合学生认知的问题情境，调动课堂气氛，提高学生的学习兴趣，鼓励每个学生动手、动口、动脑，积极参与数学的学习过程．2．教学中以问题为主线，重视二分法概念的形成，培养学生的探究意识，增强学生的问题意识，提高发现和解决问题的能力．3．在整个教学过程中，教师注意发挥学生的主体性，给学生留下充分的时间与空间，让学生分组交流、合作探究．在课堂上，学生不仅学会了有条理地表述自己的观点，还学会了相互接纳、互助与赞赏，并不断对自己和别人的想法进行批判和反思．学生间的多向交流，可以使他们从多角度得出问题解决的途径．4．重视知识的形成过程，注重思维方法，注重探索方法，让学生主动获取知识，让学生在学习过程中去体验数学和经历数学．这样才能体现“思想方法比知识更重要”这一新的教学价值观．5．在教学中适当介绍数学家的奋斗历史，从而渗透数学文化，增强学生的数学素养．不足之处1．在分组交流，学生合作探究解决问题上显得经验不足，不够老到．2．在使用《几何画板》演示教学内容时，学生学习《几何画板》基本操作的实际水平与本节课知识运用所要求的水平不符．可以在课外花点时间让学生学习数学常用的几种软件，从而提高学生的动手能力．。

3.1 函数与方程[教学目标]1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．2．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解得常用方法．3．在用“二分法”求方程近似解的过程中，使学生进一步体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．[教学要求]教科书注重从学生已有的基础（一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质）出发，从具体（一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系）到一般，揭示方程的根与对应函数的零点之间的关系．在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔．教科书不仅希望学生在数学知识上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中介绍中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献，这一内容可以在教学过程中适当进行处理．由于方程的近似解一般都涉及较复杂的计算，在利用“二分法”求方程近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，要解决这一困难，需要恰当地使用信息技术工具．建议在教学中要适时地使用计算器或者计算机，注意体现技术使用的必要性．多数函数应用问题也涉及较复杂的数据，因此，建议较多地运用信息技术工具，课本专门安排了两个“信息技术应用”，教师可适当地指导学生进行学习．教学中要加强知识间的联系，具体体现在结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系，提高学生对函数的广泛应用，以及函数与其他数学内容有机联系的认识．课本在3.1.1方程的根与函数的零点中，选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系，作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系．实施教学时，应该给学生提供探究情境，让学生自己发现并归纳出结论“一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标”．给出函数零点的概念后，要让学生明确“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切的联系，但不能将它们混为一谈．之所以介绍通过求函数的零点求方程的根，是因为函数的图象和性质，为理解函数的零点提供了直观的认识，并为判定零点是否存在和求出零点提供了支持，这就使方程的求解与函数的变化形成联系，有利于分析问题的本质．通过研究一元二次方程的根及相应的函数图象与x 轴交点的横坐标的关系，导出函数的零点的概念；以具体函数在某闭区间上存在零点的特点，探究在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；以求具体方程的近似解介绍二分法并总结其实施步骤等，都体现了从具体到一般的认识过程．教学时，要注意让学生通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，并用准确的数学语言表达出来．这里要特别注意引导学生从联系的观点理解有关内容，沟通函数、方程、不等式以及算法等内容，使学生体会知识之间的联系．例如，结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根之间的关系；根据具体函数的图象，能借助计算器用二分法求相应方程的近似解，为算法的学习作准备，另外，还要特别注意信息技术的使用．课本通过第87页的“探究”，让学生观察对应的二次函数在区间端点上的函数值之积的特点，引导学生发现连续函数在某区间上存在零点的判定方法．教学时，可让学生多举一些例子加以认识，如用计算器或计算机多画一些函数(不一定是二次函数)的图象进行观察与概括．教科书上给出的下述结论，只要求学生理解并会应用，而不需给出证明．如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根．[教学重点]用“二分法”求方程的近似解．[教学难点]如何处理复杂的数值计算；如何恰当使用计算器．[教学时数]3课时[教学过程]第一课时3.1.1方程的根与函数的零点（1）新课导入讨论：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 数的图象有什么关系？先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型．方程0322=--x x 与函数322--=x x y ；方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ；方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y ； 再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图．通过讨论得出：（课本第87页）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两不同根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个重根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴一个交点，且其横坐标就是根；一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 无实数根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴没有交点；总之，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标．点明本节课题：方程的根与函数的零点新课进展一、函数的零点对于函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点（zero point ）．显然，函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根，也就是函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标．方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．课堂例题例1 利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）0532=++-x x ；（2）3)2(2-=-x x ；课堂练习（课本第88页练习1）利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（3）442-=x x ； （4）532522+=+x x x ．布置作业利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）0532=+--x x ；（2）03322=+-x x ；（3）1322-=x x ．第二课时3.1.1方程的根与函数的零点（2）复习导入通过提问复习上节课主要学习内容．问：方程的根与函数的零点之间具有怎样的关系？答：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．问：如何用方程的根与函数的零点之间关系判断方程在某区间是否有根？参与讨论并阅读课本第91页《中外历史上的方程求解》．新课进展二、函数零点存在的条件1．探究观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象（图：课本第87页图3.1-2），我们发现函数32)(2--=x x x f 在区间]1,2[-上有零点．计算)2(-f 与)1(f 的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间]4,2[上是否也具有这种特点呢？经过讨论，可以发现：0)1()2(<⋅-f f ，函数32)(2--=x x x f 在区间)1,2(-内有零点1-=x ，它是方程0322=--x x 的一个根．同样地，0)4()2(<⋅f f ，函数32)(2--=x x x f 在区间)4,2(内有零点3=x ，它是方程0322=--x x 的另一个根．课堂练习画出二次函数2)(2+--=x x x f 的图象，观察函数2)(2+--=x x x f 在区间]0,5[-上是否有零点．计算)5(-f 与)0(f 的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间]4,0[上是否也具有这种特点呢？2．概括一般地，我们有：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根．3．应用课堂例题例1 （课本第88页例1）求函数62ln )(-+=x x x f 的零点的个数．解答：见课本第88页课堂练习1．课本第88页练习22．已知函数13)(3+-=x x x f ，问该函数在区间)1,2(--内是否有零点？解：因为01)2(<-=-f ，03)1(>=-f ，所以0)1()2(<-⋅-f f ，又函数13)(3+-=x x x f 是连续的曲线，所以)(x f 在区间)1,2(--内有零点．本课小结如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内至少有一个零点，即相应的方程0)(=x f 在区间),(b a 内至少有一个实数解．4．布置作业课本第92页习题3.1A 组第1、2题；课本第112页复习参考题A 组第1题．第三课时3.1.2用二分法求方程的近似解新课导入讨论：对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 可以用公式求根，但没有公式可用来求方程062ln =-+x x 的根．联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？上节课我们已经知道，函数62ln )(-+=x x x f 在区间（2，3）内有零点，问题是：如何找出这个零点呢？如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．下面介绍一种求近似解的方法．新课进展一、二分法我们知道，函数)(x f 的图象与直角坐标系中x 轴交点的横坐标就是方程0)(=x f的解，利用上节课学过的函数零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解．1．在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5；2．用计算器计算084.0)5.2(-≈f ，因为0)3()5.2(<⋅f f ，所以零点在区间)3,5.2(内；3．再取区间)3,5.2(中点 2.75，用计算器计算512.0)75.2(≈f ，因为0)75.2()5.2(<⋅f f ，所以零点在区间)75.2,5.2(内．4．重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值．本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出（课本第89页表3-2）．当精确度为0.01时，由于0078125.053125.25390625.2=-01.0<，所以，我们可将53125.2=x 作为函数62ln )(-+=x x x f 零点的近似值，也即方程062ln =-+x x 根的近似值．对于在区间],[b a 上连续不断且0)()(<⋅b f a f 的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ）．二、二分法的计算步骤给定精确度ε，用二分法求函数)(x f 零点近似值的步骤如下：1．确定区间],[b a ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε；2．求区间),(b a 的中点c ；3．计算)(c f ；4．判断：（1）若0)(=c f ，则c 就是函数的零点；（2）若0)()(<⋅c f a f ，则令c b =（此时零点),(0c a x ∈）；（3）若0)()(<⋅b f c f ，则令c a =（此时零点),(0b c x ∈）．5．判断：区间长度是否达到精确度ε？即若ε<-b a ，则得到零点近似值；否则重复2——5．说明：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．由于都是重复性的工作，所以可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算．阅读课本第93页《借助信息技术求方程的近似解》．课堂例题例1 （课本第90页例2）例2 求方程03323=-+x x 的一个近似解（误差不超过0.1）．课堂练习课本第91页练习1、2题本课小结1．二分法的理论依据是什么？二分法的理论依据是：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续不断，且0)()(<⋅b f a f ，那么一定存在),(b a c ∈，使0)(=c f ．2．二分法的实施要点是什么？二分法寻找零点的过程是将一个含有零点的区间],[b a 平分为两个小区间，判断哪个小区间内含有零点，再将该小区间平分，……，通过n 次的平分、判断，使零点存在于一个长度na b l 2-=的小区间．当n 适当大时，l 满足精确度的允许范围，于是小区间内的值可作为函数零点的近似值．布置作业课本第92页习题3.1A 组3、4、5题；课本第92页习题3.1B 组1、2、3题．。

山东省泰安市肥城市第三中学高考数学一轮复习函数与方程教案学习内容学习指导即时感悟学习目标：1、结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程的联系，判断一元二次方程根的存在性和根的个数。

2、根据函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解。

3、体会数形结合、函数与方程、分类讨论的数学思想。

学习重点：函数的零点与方程的联系，用二分法求相应方程的近似解。

学习难点：理解函数的零点与方程的联系，用二分法求相应方程的近似解。

回顾﹒预习1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个c也就是f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系⊿>0 ⊿=0 ⊿<0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与x轴的交点零点个数3.二分法(1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)用二分法求函数零点近似值的步骤：课前自测1．若函数f (x )＝ax －b (b ≠0)有一个零点3，那么函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点是 ( C )A ．0B ．－1C ．0，－1D ．0,1 2．函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( B ) 3、方程125x x +-=的解所在区间（ B ）A (0,1)B (1,2)C (2,3) D(3,4) 4、函数()xx x f 1-=的零点个数 （ C ） A 0 B 1 C 2 D 无零点5、用二分法求方程0523=--x x 在区间[]3,2内的根，取区间的中点1x =2.5，则下一个有根区间是 (2，2.5)。

3.1.1 方程的根与函数的零点第二课一、教学目标：① 进一步巩固函数零点的概念，会求基本初等函数的零点；② 掌握方程的根与函数零点之间的等价关系，体会函数方程的转化思想； ③ 对函数零点，零点所在的区间及零点个数各题型有所思有所为。

二、课前预习：（务必课前总结）1、我们学习过的那些函数？它们的图像特点？①一次函数()0y kx b k =+≠：0k >时，是一条递增的直线；0k <时，是一条递减的直线。

b 是图像与y 轴交点的纵坐标，如0b =时，直线过原点。

②二次函数 ③指数函数 ④对数函数 ⑤幂函数2、默写函数零点定理与函数零点存在性定理三、教学过程探讨1：求函数()324f x x x =--+的零点。

探讨2：解决下列两个问题，并试图发现问题中的共性①确定正整数k 的值，使得函数()324f x x x =--+在区间(),1k k +上存在零点。

②试画出函数3y x =与24y x =-+的图像，并分析两个图像交点情况。

你所发现的共性：找出一个数0x 作为函数()324f x x x =--+零点的近似值。

（精度为0.1） 课堂练习：判断下列函数的零点个数①()22f x x x =-+②()lg 2f x x x =-+ ③()2log 2xf x x =+④()()2ln 23f x x x =-- ⑤()32221f x x x x =--+ 课后练习： 1.函数6)(2-+=x x x f 的零点为2.函数2)(+=ax x f 在区间)2,1(-上有零点，则a 的取值范围是3.函数11ln )(--=x x x f 的零点的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.设函数3y x =与22xy -=的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是 （ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，5.根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间为))(1,(N k k k ∈+，则k 的值为 ；6、函数()11f x x =-的图像与函数()31y x =-的图像所有交点的横坐标之和等于 （ ） A. 2 B.4 C.6 D8.7、已知函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且实数0a b c <<<满足()()()0f a f b f c <，若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是 （ ） A. 0x a < B. 0x c < C. 0x b > D. 0x c >8、确定正整数k 的值，使得函数()237xf x x =+-在区间(),1k k +上存在零点，并确定零点的一个近似值。

第一节函数与方程第三课时教学设计(二)整体设计教学内容分析本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学1》人教A版第三单元第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系．教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系．然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解．它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念．求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据．学生学习情况分析同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”．设计理念本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程．教学目标1．理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程；2．体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；3．体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法使问题得到解决的快乐．教学重点与难点教学重点：能够借用计算器用二分法求相应方程的近似解，根所在区间的确定及逼近的思想．教学难点：对二分法的理论支撑的理解，区间长度的缩小．教学过程1．教学基本流程图1．大家都看过李咏主持的〈幸运52〉吧，今天咱也试一回(出示游戏)．2．竞猜中，“高了”、教学反思1．本节课有两条线，明线：“从生活实际、从学生熟知的现实生活、从学生喜爱的游戏——“竞猜商品的价格”入手，引导学生进入深层的思考——如何才能更快更好地赢得游戏？与学生一道进行新知识的探索过程——二分法的得来；再将二分法充分地运用在函数零点的求解上；最后将二分法求解函数零点的过程程序化”；暗线：“生活实际(特殊)——二分法的理论(一般)——二分法的应用(特殊)”．让学生经历知识的形成与应用过程，培养发现问题、提出问题、解决问题的能力，体现数学的基础性、时代性、典型性和可接受性，体会数学来自生活，应用于生活的最高境界，感受数学之美．2．引入课题的方式，(1)从生活中的常见现象——“商品价格的竞猜”引入；(2)开门见山——“继续前面的研究”引入．(附录1)解：设f(x)＝ln x＋2x－6，x∈(2,3)，先取区间的中点，再计算中点的函数我们可以将x ＝2.531 25作为函数f (x )＝ln x ＋2x －6零点的近似值，也即方程ln x ＋2x －6＝0根的近似值．(附录2)二分法求解方程f (x )＝0〔或g (x )＝h (x )〕近似解的基本步骤：①画图或利用函数值的正负，确定初始区间(a ，b )，验证f (a )·f (b )<0；②求区间(a ，b )的中点x 1(x 1＝a ＋b 2)； ③计算f (x 1)：若f (x 1)＝0，则x 1就是函数f (x )的零点，x 1就是f (x )＝0的根，计算终止；若f (a )f (x 1)<0，则选择区间(a ，x 1)；若f (a )f (x 1)>0，则选择区间(x 1，b )；④循环操作②、③，直到当区间的精确度达到事先指定的精确度ε(若是要求精确到ε，两端点精确到同一个近似值时才终止计算)．(附录3)1．练习：(1)应用计算器，求方程x 3＋3x －1＝0的一个正的近似解．(2)应用计算器，求方程2x ＋x ＝4的近似解．(3)用二分法判断方程2x ＝x 2的根的个数( )A ．1B ．2C ．3D ．4(4)方程lg(x ＋4)＝10x 的根的情况是( )A ．仅有一根B ．有一正根一负根C ．有两负根D ．无实根2．思考：(1)从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为几个？(2)一天，泉州七中校区与现代中学(分校)校区的电缆线路出了故障(相距大约10 km)，电工是怎样检测的呢？答案：略。

第三章函数的应用教学设计一、教学内容解析函数是描述事物运动变化规律的基本数学模型，在社会学、经济学和物理学领域有着广泛的应用．本章的基本内容是函数与方程和利用函数解决实际问题．函数与方程的紧密联系表达在函数f(x)的零点与相应方程f(x)＝0的实根的联系上．不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律．例如，一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数就是常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型．函数模型的应用，一方面是利用函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．用函数模型解决实际问题的过程中，往往涉及复杂的数据处理．在处理复杂数据的过程中，需要大量使用信息技术．因此在函数应用的学习中要注意充分发挥信息技术的作用．本章既加深了学生对已学过的基本初等函数定义、图象、性质的理解，又能够让学生进一步体验函数是描述客观事物变化规律的基本数学模型、初步形成用函数观点理解和处理现实社会中的问题的意识和能力．二、目标和目标解析(1)通过本节课的教学活动，使学生进一步理解和掌握本章知识，体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．(2)让学生养成对学过的知识和方法及时归纳整理的习惯，培养学生运用所学知识分析问题、认识问题和解决问题的能力．(3)创设问题情境，引导学生归纳总结本章知识和方法，师生共同探究应用它们解决简单问题的步骤与方法，体会数学建模的基本思想．(4)通过学习，感受数学在社会生活中的应用价值，培养学生学习数学的兴趣，发展学生的数学应用意识，提高学生的数学素养．三、教学问题诊断分析本节课之前学生已经系统学习了一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数和简单的幂函数，对于函数的概念、图象及性质有了一定程度的理解．并通过本章的学习，对于函数与方程的紧密联系以及建立函数模型解决实际问题有了一定的体验．初步感受到了函数与方程、转化与化归、数形结合的数学思想和方法，增强了数学应用意识．但是学生对动态和静态的认识还比较薄弱，对函数和方程的区别和联系认识还不够深刻，对应用函数的思想方法分析解决问题还不够熟练．因此，在教学过程中应该适当创设问题情境，尽可能多的给学生动手实践的机会，让学生从亲身体验中理解和掌握知识和方法．此外，由于学生总结归纳的能力还不够，在自己独立完成归纳任务时还有一些困难，学生还不能从一定高度去体会和感悟数学学习中的一些思想，这就需要老师适当的引导和帮助．四、教学支持条件分析本节课内容的教学中会有大量的复杂计算，需要精确的作出图象．而要方便的作出函数的图象，把学生从烦琐的计算和画图中解脱出来，将精力集中在本章知识结构的归纳和建立函数模型解决实际问题的研究上，就必须充分的利用计算机中的函数工具软件。

教学准备1. 教学目标一．教学目标情感态度和价值观目标：培养探索问题的能力和合作交流的精神，体会数学在实际生活中的应用价值，感受精确与近似的相对统一。

知识与技能目标：能够借助计算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解二分法的步骤和思想。

过程与方法目标：进一步体会方程和函数的转化思想，在应用二分法求解方程的近似解的过程中，体会算法的思想和“逐步逼近”的思想。

2. 教学重点/难点二．教学重点掌握用二分法求给定方程的近似解三．教学难点二分法的概念，精确度的概念，二分法实施步骤中的算法思想3. 教学用具4. 标签教学过程（2）下面的这些方程:、、能用我们以前的方法求解吗？2.展示学习目标3.复习回顾上节课的知识要点（1）方程的根与函数零点之间的等价关系的根可以转化为函数零点存在性定理4.两个生活情境问题（1）找假币：有八枚硬币，其中有一枚硬币是假币，假币的质量要比真币的质量小。

可以使用天平作为工具，要想把这枚假币找出来，最少可以称量几次？如何操作？（2）猜价格：播放中央电视台经济频道《购物街》节目中“猜价格”的视频片段。

思考：两个生活情境你有什么启发？5.（1）通过两个生活实例，结合零点存在定理，可以发现：我们可以用“取中点”的方法来逐步缩小零点所在的区间，从而把函数的零点逼近出来。

小组合作探究，利用这个思想方法，借助计算器，逐步缩小函数的零点所在的区间。

（2）计算何时终止？提出“精确度”的概念。

（3）讨论探究：为什么只要区间长度，就可以把区间内的任何一个数作为零点的近似值。

（4）展示探究结果6.给出二分法的定义和二分法的操作步骤，并用口诀的方式帮助学生记忆二分法的操作步骤：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断。

7.分别从二分法的概念，二分法的操作步骤两个方面给出两类题型：8.当堂完成下面的题目9.（1）提问：这节课你有什么收获？（2）课件展示本节课的知识框架，并对本节课的重点内容和难点内容加以强调。

《方程的根与函数的零点》教案教材：人教A版教材必修1一、教材分析（一）内容《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理，是一节概念课．（二）地位函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起．本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要．（三）教学目标1．通过观察二次函数的图像，准确判断一元二次方程根的存在性及根的个数，描述函数的零点与方程的根的关系．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．2.通过研究具体的二次函数再到研究一般的函数，让学生经历“类比→归纳→应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法．3.在函数与方程的联系中体验数形结合思想与转化思想的意义与价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．（四）重点、难点重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．难点：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．二、学情分析高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图像已经有了一个比较系统的认识与理解．特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位．三、教法、学法与教学手段在教法上，本次课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。

2019-2020年新人教a版高中数学（必修1）3.1《函数与方程》教案2篇一、内容和内容解析本节课是在学生学习了《基本初等函数（Ⅰ）》的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求方程的近似解》做准备．从教材编写的顺序来看，《方程的根与函数的零点》是必修1第三章《函数的应用》一章的开始，其目的是使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系．利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的．方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”，建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想”，是本章渗透的主要数学思想．从知识的应用价值来看，通过在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体会符号化、模型化的思想，体验从系统的角度去思考局部问题的思想．基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．二、目标和目标解析1．通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，2．零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。

而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。

3．通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关系．掌握函数零点存在性的判断．4．在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．三、教学问题诊断分析1.零点概念的认识．零点的概念是在分析了众多图象的基础上，由图象与轴的位置关系得到的一个形象的概念，学生可能会设法画出图象找到所有任意函数的可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图象都能具体的描绘出，所以在概念的接受上有一点的障碍．2.零点存在性的判断．正因为f（a）·f（b）＜0且图象在区间[a，b]上连续不断，是函数f（x）在区间[a，b]上有零点的充分而非必要条件，容易引起思维的混乱就是很自然的事了．3.零点（或零点个数）的确定．学生会作二次函数的图象，但是要作出一般的函数图象（或图象的交点）就比较困难，而在这一节课最重要的恰恰就是利用函数图象来研究函数的零点问题．这样就在零点（或零点个数）的确定上给学生带来一定的困难．基于上述分析，确定本节课的教学难点是：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．四、教学支持条件分析考虑到学生的知识水平和理解能力，教师可借助计算机工具和构建现实生活中的模型，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性．通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，在函数与方程的联系中体验数形结合思想、转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．五、教学过程设计（一）引入课题问题引入：求方程3x2＋6 x－1=0的实数根。

⼈教统编部编版⾼中数学必修⼀A版第三章《函数概念与性质》全章节教案教学设计（含章末综合复习）【新教材】⼈教统编版⾼中数学必修⼀A版第三章教案教学设计3.1《函数的概念及其表⽰》教材分析：课本从引进函数概念开始就⽐较注重函数的不同表⽰⽅法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表⽰⽅法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两⽅⾯的结合得到更充分的表现，使学⽣通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想⽅法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作⽤．在研究图象时，⼜要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的⼀种推⼴，这与传统的处理⽅式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学⽣将更多的精⼒集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到⼀般的思维过程．教学⽬标与核⼼素养：课程⽬标1、明确函数的三种表⽰⽅法；2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的⽅法表⽰函数；3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应⽤.数学学科素养1.数学抽象：函数解析法及能由条件求出解析式；2.逻辑推理：由条件求函数解析式；3.数学运算：由函数解析式求值及函数解析式的计算；4.数据分析：利⽤图像表⽰函数；5.数学建模：由实际问题构建合理的函数模型。

教学重难点：重点：函数的三种表⽰⽅法，分段函数的概念.难点：根据不同的需要选择恰当的⽅法表⽰函数，什么才算“恰当”？分段函数的表⽰及其图象．课前准备：多媒体教学⽅法：以学⽣为主体，采⽤诱思探究式教学，精讲多练。

教学⼯具：多媒体。

教学过程：⼀、情景导⼊初中已经学过函数的三种表⽰法：列表法、图像法、解析法，那么这三种表⽰法定义是？优缺点是？要求：让学⽣⾃由发⾔，教师不做判断。

⽽是引导学⽣进⼀步观察.研探. ⼆、预习课本，引⼊新课阅读课本67-68页，思考并完成以下问题1.表⽰两个变量之间函数关系的⽅法有⼏种？分别是什么？2.函数的各种表⽰法各有什么特点？3.什么是分段函数？分段函数是⼀个还是⼏个函数？4.怎样求分段函数的值？如何画分段函数的图象？要求：学⽣独⽴完成，以⼩组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

教学准备1. 教学目标教学目的：掌握两种思想：函数方程思想；数形结合思想，三种题型：求函数零点、确定零点个数、求零点所在区间。

2. 教学重点/难点重难点：1、函数方程思想；数形结合思想2、求函数零点、确定零点个数、求零点所在区间。

3. 教学用具4. 标签教学过程【环节一：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想教师活动：请同学们思考这个问题。

解方程：学生活动：回答，思考解法。

教师活动：第四个方程我们没有学过它的解法，通过这节课的学习我们来解决这个问题。

上一章我们学习了基本初等函数，这节课我们就通过研究函数来解决方程根的问题。

画出前三个方程相应函数的图象，并求出图象和x轴交点.学生活动：动手画图并求解。

教师活动：用屏幕显示方程的根、函数的图象以及函数图象与x轴交点的坐标。

观察三者之间的关系。

学生活动：观察图象，思考作答。

得到方程的实数根是函数图象与x轴交点的横坐标，是使函数值为零的x的结论。

教师活动：我们就把使f（x）=0的实数x称做函数的零点．设计意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求的热情．通过回顾一次函数、二次函数、指数函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫．【环节二：形成概念，升华认知】引入零点定义，确认等价关系教师活动：这是我们本节课的第一个知识点。

板书函数零点的定义。

教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？学生活动：思考作答。

教师活动：这是我们本节课的第二个知识点。

板书方程的根与函数零点的等价关系。

在屏幕上显示：函数y=f(x)有零点方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点教师活动：强调方程与函数的思想。

教师活动：屏幕显示函数图象，指出这几个函数的零点是？学生活动：对比定义回答。

教师活动：强调：零点就是使函数值为0的实数而不是点！教师活动：对于函数y=f(x)有零点，从“数”的角度理解，就是方程f(x)=0有实根，从“形”的角度理解，就是图象与x轴有交点。

函数与方程
【教学目标】
结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。

【重点难点】
①根据二次函数图象与轴的交点的个数判断一元二次方程根的个数；
②函数零点的概念；
③函数的零点与方程根的联系。

【教学过程】
一、情景设置
1．如何判断方程x2-2x-3=0根的，个数并求其根？
2．任给一个方程f(x)=0〔不一定是一元二次方程〕，又如何判断其根的个数？
3．什么是函数的零点？
4．函数的零点与方程的根之间有什么关系？
5．怎样判断函数是否有零点？
二、教学精讲
例1．①函数f(x)=mx2+mx+1没有零点，某某数m的X围。

②函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1有两个零点，某某数m的X围。

例2．求函数f(x)=Inx+2x-6的零点的个数。

例3．函数f(x)=|x2-2x-3|-a分别满足以下条件，某某数a的取值X围。

①函数有两个零点；
②函数有三个零点；
③函数有四个零点。

三、探索研究
四、课堂练习
①判断函数y=|x -1|-2零点的个数.
②证明函数f(x)=x+1x
-3在(0,+∞)上恰有两个零点。

提示：f(13)=13，f(1)=-1，f(3)=13，∴f(13
)f(1)<0，f(1)f(3)<0， ∴函数f(x)=x+1x
-3在(0,+∞)上有两个零点． 以下只要用单调性定义证明f(x)=x+1x
-3在(0,1)，(1,+∞)上五、本节小结 【教学后记】。

3・1函数与方程新人教A版必修1优秀教案第三章函数的应用本章教材分析函数的应用是学习函数的一个重要方而.学生学习函数的应用,目的就是利用C有的函数知识分析问题和解决问题.通过函数的应用，对完善函数的思想，激发应用数学的意识，培养分析问题、解决问题的能力，增强实践的能力等，都有很大的帮助.本章主要内容：函数与方程、函数模型及其应用、实习作业和小结.在函数与方稈这一节屮课木从学生最熟悉的二次函数入手，通过研究方程的根与函数的零点的关系，使函数的图象与性质得到充分的应用，同时也展现了函数和方稈的密切关系.求函数零点的近似解不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情.在函数模型及其应用这一节中让学生近距离接近社会生活,从生活屮学习数学，使数学在社会生活屮得到应用和提高，让学生体会到数学是有川的，从而培养学生的学习兴趣f数学建模”也是高考考杏的重点.木章还是数学思想方法的载体，学生在学习屮会经常用到“函数方稈思想数形结合思想杠转化思想",从而提高H己的数学能力.因此应从三个方血把握木章：(1)知识间的联系;(2)数学思想方法;(3)认知规律. 木章教学时间约需9课时，具体分配如下(仅供参考)：3.13.1.1方程的根与函数的零点整体设计教学分析函数作为高中的重点知识有着广泛应川，与其他数学内容有着有机联系.课木选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图彖与x轴的交点的横坐标Z间的关系作为木节内容的入口，貝意图是让学生从熟悉的环境屮发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.木节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；木节体现的数学思想是:“数形结合”思想和“转化”思想.木节充分体现了函数图象和性质的应用.1大I此，把握课木要从三个方面入手：新I口知识的联系，学生认知规律，数学思想方法.另外，木节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物.三维目标1.让学生明确“方稈的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方稈根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点.2.通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今示学习中利用这一规律探索更多的未知世界.3.通过木节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带来的快乐.重点难点根据二次函数图彖与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数;函数零点的概念.课时安排2课时教学过程第1课时方程的根与函数的零点导入新课思路1・（情1景导入）据新华社体冇记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲，再到大喜的过稈（领先则喜，落后即悲）.请问:整场足球比赛岀现几次“比分相同''的时段?学生思考或讨论回答：三次:⑴开场;⑵由领先到落后必经过“比分相同”时段;（3）由落后到领先必经过“平分”时段. 教师点拨:足球比赛有“落后'”领先叫匕分相同”,函数值有“负正”“零",函数图象与足球比赛一样跌宕起伏•由此导入课题，为后面学习埋好伏笔.思路2・（事例导入）（多媒体动呦演示）•枚炮弹从地血发射后，炮弹的高度随时间变化的函数关系式为h=20t-5t2,|nJ炮弹经过多少秒回到地面？炮弹回到地面即高度h=0,求方程20t-5t2=0的根，得t=4秒.如图3-1-1-1.思路3・（肓接导入）教师岚接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点.推进新课新知探究提出问题①求方程X2-2X-3=0的根,画函数y=x2-2x-3的图象.②求方稈X2-2X+1=0的根，画函数y=x2・2x+l的图象.③求方程X2-2X+3=0的根，画函数y=x2-2x+3的图象.④观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系？⑤如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图彖与x轴交点的个数，它们之间有什么关系？⑥归纳函数零点的概念.⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再冋答，经教师提示、点拨，对I叫答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路：问题①:先求方稈的两个根，找出抛物线的顶点側出二次函数的图象（图3-I-1-2）. 问题②:方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上（图3-1-1-3）.问题③:方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是曲二次函数图彖的关键(图 3-1-1-4).问题④:方稈的根与函数的图象和x 轴交点的横坐标都是实数. 问题⑤:对于其他函数这个结论正确吗？ 问题⑥:函数的零点是一个实数. 问题⑦:可以利用“转化思想，问题⑧:足球比赛屮从落麻到领先是否一定经过“平分"？由此能占找出判断函数是否有零点 的方法？函数图彖穿过x 轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：①方程的两个实数根为・1, 3. ② 方程的实数根为1. ③ 方程没有实数根.④ 方程的根就是函数的图象与x 轴交点的横坐标.⑤ 一元二次方程根的个数，就是二次函数图象与x 轴交点的个数，可以用判别式来判定一元 二次方稈根的个数a 当△>()时，一元二次方稈有两个不等的实根X|、X2,相应的二次函数 的图彖与X 轴有两个交点(X],0)、(X2,0)；b.当A=0时，一元二次方程有两个相等的实根XLX2, 相应的二次函数的图象与x 轴有唯一的交点(x h O);c.当△<()时，一元二次方程没有实根，相 应的二次函数的图象与x 轴没有交点.⑥ 一般地，对于函数y=f(x),我们把使f(x)=O 的实数x 叫做函数y=f(x)的零点. ⑦ 方程f(x)=O 有实根O 函数y=f(x)的图象与x 轴有交点O 函数y=f(x)有零点.⑧ 观察二次函数f!x)=x 2-2x-3的图象，我们发现函数f(x)=x 2-2x-3在区间[-2,1] 上有零点.计算f (・2)与f(l)的乘积，发现这个乘积特点是小于零.在区间[2,4]同样如此.可以发现，f(-2)f(l)<0,函数y=x 2-2x-3在区间(・2, 1)内有零点x=-l,它是方稈 X 2-2X -3=0的一个根.同样地,f(2)f(4)<0,函数y=x 2-2x-3在(2, 4)内有零点x=3,它是方程 X 2-2X -3=0的另一个根.应用示例思路1例1已知函数f(x)=|x 2-2x-3|-a 分别满足下列条件，求实数a 的取值范围.(1) 函数有两个零点； (2) 函数有三个零点； (3) 函数有四个零点.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再冋答，教师点拨、提示并及时评价学生.因为 函数f(x)=|x 2-2x-3|-a 的零点个数不易讨论,所以可转化为方程|x 2-2x-3|-a=0根的个数来讨论, 即转化为方程|x 2-2x-3|=a 的根的个数问题，再转化为函数f(x)=|x 2-2x-3|与函数f(x)=a 交点个数 问题.解：设f(x)=|x 2-2x-3|和f(x)=a 分别作出这两个函数的图象(图3-1-1-5),它们交点的个数，即 函数f(x)=|x 2-2x-3|-a 的零点个数.y\\ /3 ;/ 2I1 1 1 1■ 一 2-10 1 2 x-1图 3-1-1-4图3-1-1-5(1)若函数有两个零点，则a=0或a>4.(2)若函数有三个零点，则a=4.⑶函数有四个零点，则0<a<4.变式训练1.判断函数y=|x-l|-2零点的个数.解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数，作出函数图彖(图3-1-1-6),函数y=|x-l|-2的图象与x轴有两个交点，所以函数y=|x-l|-2有两个零点.2.求证：函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.证法一:因为一元二次方程2X2-3X-2=0的判别式23‘+4><2><2=25>0,所以一元二次方程2X2-3X-2=0有两个不相等的实根，所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点. 证法二:因为一元二次方程2X2-3X-2=0可化为(2x+l)(x・2)=0,所以一元二次方稈2X2-3X-2=0有两个不相等的实根X|=2,x2=- —.2所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.证法三:因为函数f(x)=2x2-3x-2的图彖是一条开口向上的抛物线，且顶点在x轴的下方，即f(0)=-2<0,所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.如图3-1-1-6.点评：判断函数零点个数可以结合函数的图彖.方法：零点函数方程的根两图象交点.数学思想：转化思想和数形结合思想.例2若关于x的方程3x'・5x+a=0的一根在(・2, 0)内,另一个根在(1, 3)内,求a的取值范围. 活动：学生白己思考或讨论，再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案).教师在学生屮巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正,并及时评价.如果用求根公式与判别式来做，运算量很大，能否将问题转化？借助二次函数的图象，从图象屮抽出与方稈的根有关的关系式，使得问题解答大大简化.引导学生画出函数的图象观察 分析.解：设f(x)=3x 2-5x+a,则f(x)为开口向上的抛物线，如图3-1-1-8：因为f(x)=O 的两根分别在区间(・2, 0)、(1, 3)内,思路2例]若方程2农％匸0在(0, 1)内有解,求实数a 的取值范围.活动：学生先思考或讨论，再冋答.教师根据实际，可以提示引导: ①有解包括有一解和有两解，要分类讨论.② 用一般解法固然可以，若结合函数图象观察分析，可以找到捷径. ③ 有两种情况：a.a=0;b.a^0,A>0.解:令 f(x)=2ax 2-x-l,⑴当方程2ax 2-x-l=0在(0, 1)内恰有一个解时，f(0)-f(l)<0或妙0且△=(), 由 R0)・f(l)v0,得(・l)(2a ・2)<0,所以 a>l .由 20,得 l+8a=0,a=--8・•・方程为- -x 2-x-l= 0,即x=-2电(0,1)(舍却•综上可得a>l. 4 (2)当方程2ax2・x ・l=0在(0, 1)内有两个解时,则/(-2) > 0,22 + a > 0,所以 /(0)< 0, / ⑴ < 0,/(3) > °，即"V °’故所求a 的取值范囤是-12<a<0. —2 + a < 0,12 + a 〉0. 变式训练关于x 的方稈x 2-ax+a 2-7=0的两个根一个大于2,另一个小于2,求实数a 的収值范序I. 解：设f(x)=x 2-ax+a 2-7,图彖为开口向上的抛物线(如图3-1-1-9). 因为方程x 2-ax+a 2-7=0的两个根一个大于2,另一个小于2, 所以函数f(x)=x 2-ax+a 2-7的零点一个大于2,另一个小于2.即函数f(x)=x 2-ax+a 2-7的图象与x 轴的两个交点在点(2, 0)的两侧. 只需 fi[2)<0,即 4・2a+a 「7<0,所以-l<a<3.a > 0, /（0） > 0, /（I ） > 0, 0v 丄<1,或<4a /（丄）< 0 4aa < 0, /（0）< o, /（l ）<0, 0<丄<1,4a /（丄）> 0, 4a容易解得实数a 不存在. 综合⑴⑵，知a>l.变式训练若方程ax 2+3x+4a=0的根都小于1,求实数a 的取值范围.解：⑴当a=0时,x=0满足题意.(2)当 a 工0 时,设"x)=ax'+3x+4a. 方法一：若方稈ax 2+3x+4a=0的根都小于1,贝9——< a4 4a > 0或a < -1.5, ,\o<a <2.、 ~ 4 a > 0或a < -0.6,△ = 9-16/ >0,_±<!2a ' 妙⑴> 0,综上⑴⑵M 0<a< -.4方法二:若方程ax 2+3x+4a=0的根都小于1,则A = 9 — 16cr > 0, v 兀I + x 2 < 2,（兀[一 1）（兀2 一 1）> °， △ = 9 — 16d~ > 0,X ）+ x 2 < 2,%!x 2 -（X] +X ・2）+ 1 > 0,A = 9-16«2>0,3 3 * --- V 2,解得0<aW —.a44 + - + 1>0,综上⑴⑵，得0<a< -.4点评：有两种方法：(1)结合函数图彖利用函数符号列不等式纽.. (2)代数方法，利用根与系数关系结合判别式列不等式组.例 2 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 f(x)-x=O 的两个根为 x r x?,满足 0<X|<x 2<—. a ⑴当 XW(O,X])时，求证:x<f(x)<xi ；⑵设函数f(x)的图彖关于肓线X=Xo对称，求证：x0<—.2活动：根据方稈与函数关系，学生先思考或讨论后再I川答，教师点拨、提示并及时评价学生. 因为方程f(x)-x=o的两个根为X|、X2,可考虑把f(x)・x设为双根式，然后判断其符号，再考虑二次函数的双根与二次函数对称轴的关系.证明：(1)VX|> X2是方程f(x)-x=O的两个根，且0<X|<X2<—,a・••当xW(O,xJ时,有f(x)-x=a(x-x 1 )(x-x2)=a(x l-x)(x2-x)>0,即f(x)-x>0.又fi(x)-x=a(xrx)(x2-x)<a- — (xi-x)=xi-x,即fi[x)-x<x l-x,故O<fi[x)-x<xi-x,即x<fi(x)<X|.a(2) Vf(x)-x=ax2+(b-l)x+c,K f(x)-x=O 的两个根为x【、x2,・・・二次函数f(x)-x的对称轴为x= 土士2 = 一1.・・・玉=—2 +丄—乞.22a 2 2a 2a 2又由已知，W x()=-—,・*. — =x()+ ——土.2a 2 2a 2又x2< ————土>0.故—=x()+ 丄一土>x(),即x0< —.a la 2 2 2a 2 2变式训练1.已知二次函数f(x)满足f(3・x)=f(3+x),且其两零点分别为Xi、x?,求X|+x2.解：T对任意x都有f(3-x)=f(3+x), /.函数f(x)的图象上有两点(3・x,y)、(3+x,y)关于x=3对称.・・・二次函数f(x)的对称轴为x=3.・・・xi、X2为二次函数f(x)的两个零点，.*.X|+X2=6.2.若函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x),且函数f(x)有6个零点，求所有零点的和.解：同理函数f(x)的对称轴为x=3, /.3(xi+x2)=18.点评：①二次函数的双根与二次函数解析式的关系是：若二次项系数为a,两个根为xi、x2, 则二次函数解析式为f(x)=a(x-xi)(x-x2).②二次函数的双根与二次函数对称轴的关系忌二次函数f(X)的对称轴为x=^.总二次函数的双根是联系函数与方程的桥梁和纽带，应仔细体会、准确把握.知能训练讨论函数y=e x+4x-4的零点的个数.活动：鼓励学生说出H己的见解，并说明理由.函数零点问题是函数的重要应用，离不开函数的图象和性质.⑴利川f(a)f(b)<0及函数的单调性.⑵作出y=e x和y=4-4x的图象，把函数y=e'+4x-4的零点的个数转化为方程e x=4-4x根的个数，再转化为上述两函数图彖交点的个数.解：(方法一)利用计算机作出x, f(x)的对应值表：由表和图可知，f(0)<0,f(l)>0,则f(0)f(l)<0,这说明f(x)在区间(0,1)内有零点，由于函数在定义域(~,炖)内是增函数，所以它仅有一个零点.(方法二)作出尸h和y=4-4x的图象(图3-1-1-10),即可直观地看出零点的个数为1.总结点评：讨论函数零点个数问题是函数的重要应用，由于函数与方程的特殊关系，所以这个问题常用的方法是：⑴解方程;⑵呦图彖;(3)利用fl：a)f(b)<0及函数的单调性;同时这些方法是有机联系的.拓展提升1.2007山东青岛高三教学质量检测，理19已知mWR,设P:x】和x?是方x2 3-ax-2=0的两个根,4不等式|m-5|<|x i-x2|Xt任意实数aG ［1, 2］恒成立;Q：函数f(x)=3x2+2mx+m+ —有两个不同的零点，求使P和Q同时成立的实数m的取值范I韦I.解：由题意知xi+x2=a,X|X2=-2, |xi-x2|= + X2)2-4X(X2 = Va2 + 8.当aw ［1,2］ H、J,Ja： +8的最小值为3.要使|m-5|<|x r x2|^j任意实数泻［1, 2］恒成立,只需|m—5|<3,B|J 2<m<8.4 4由已知得Q 'I l:f(x)=3x2+2mx+m+-的判别式△=4n?・12(m+—)=4n?・12m・16>0,得m<・l 或m>4.f2 < m < 8,综上，要使P和Q同时成立，只需4 / 解得实数m的取值范围是(4,8］ •［m <一 1 或加 > 4,2.如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)>0,那么函数y=f(x)在区间(a ,b)内是否有零点？可能有几个零点？活动：学生先思考或讨论，再冋答•利用函数图象进行探索分析：①有没有零点？②零点的个数是奇数还是偶数？解析:零点个数可以是任意白然数.下血讨论在区间［-3,31上函数零点个数，(1)可能没有零点如图(图3-1-1-11).2 可能有一个零点如图(图3-1-1-12).3 可能有两个零点如图(图3-1-1-13).(4)可能有三个零点如图(图3-1-1-14).(5)可能有n(nGN)个零点,图略.点评：在区间[-3,31 ±函数零点个数可以是任意白然数.借助计算机可以验证同学们的判断, 激发学生学习兴趣.课堂小结木节学习了:①零点的概念;②零点的判断方法;③利用函数的单调性证明零点的个数;④零点的应用.学习方法：由特殊到一般的方法.数学思想：转化思想、数形结合思想.作业课本Pgs练习1.设计感想木节以事例导入，该事例是学生很感兴趣的话题，发人深思而紧贴木节主题，为示面讲解埠好了伏笔•因为二次函数、二次方程永远是高考的重点，所以木节结合二次函数的图象性质详实讨论了有关二次函数的零点和二次方稈的根的问题•木节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结，还搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高•另外，木节目的明确、层次分明、难度适屮，对学生可能产生兴趣的问题进行了拓展，希望大家喜欢.第2课时方程的根与函数的零点复习提出问题①已知函数f(x)=mx2+mx+l没有零点,求实数m的范围.②证明函数f(x)=x2+6x4-10没有零点.③已知函数fl；x)=2mx2-x+ — m有一个零点，求实数m的范围.④已知函数fi[x)=2(m+l)x2+4mx+2m-l有两个零点，求实数m的范围.活动：先让学生动手做题示再冋答，经教师提示、点拨，对冋答正确的学生及时表扬，对冋答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①因为A=m2-4m<0或m=0,二0Wm<4.②因为△=36・40二4<0,・・・没有零点.(3)A= 1 -4m2=0 或m=0, m=—或m= 一丄或m=0._ 2 2④厶=16m2-8(m+1 )(2m-1 )=-8m+8>0 且2(m+1 )#),/. m< 1 且m/-l.导入新课思路1・(情景导入)歌中唱到:再“穿过,，一条烦恼的河流明天就会到达，同学们知道生活中“穿过”的含义.请同学们思考用数学语言是怎样描述函数图象“穿过、轴的？学生思考或讨论冋答：利用函数值的符号，即f(a)f(b)<0.思路2・(直接导入)教师玄接点出课题：这一节我们将进一步巩固有关方程的根与函数的零点的知识，总结求方程的根与函数的零点的方法，探寻其中的规律.推进新课新知探究①如果函数相应的方稈不易求根，其图象也不易画出，怎样讨论其零点？②用数学语言总结判断零点存在性定理,并找出好的理解记忆方法.活动：先让学生动手做题后再冋答，经教师提不、点拨，对冋答正确的学生及时表扬，对冋答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果*①在闭区间［a,b］上,若f(a)f(b)<0, y=f(x)连续，则(a,b)内有零点.②如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在cW(a,b),使得f(c)=O,这个c也就是方程f(x)=O的根. 我们把它叫做零点存在性定理.因为闭区间端点符号相反的连续函数在开区间内有零点，可以简记为：“闭端反连(脸)，开内零占”应用示例思路1例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再冋答，教师点拨、提示：因为方稈lnx+2x-6=0的根不易求得，函数f(x)=lnx+2x-6的图象不易向出，如果不借助计算机，怎么判断零点个数？可以利用f(a)f(b)<0,及函数单调性.解：利用计算机作出x, f(x)的对应值表：由表和图3-1-1-15可知,f(2)<0,f(3)>0,则f(2)f(3)<0,这说明賈x)在区间(2,3)内有零点.由于函变式训练证明函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点. 证明:如图3-1-1-16,0为f(l)=-7,f(10)=3,Af(l)fi［10)<0.・•・函数f(x)=lgx+x-8有一个零点.Vy=lgx为增函数,y=x-8是增函数,・•・函数fi［x)=lgx+x-8是增函数.・•・函数fi［x)=lgx+x-8有且仅有一个零点.点评：判断零点的个数:⑴利用零点存在性定理判断存在性;(2)利用单调性证明唯一性.X— 2 例2已知函数f(x)=3x+-——，x + \(1)判断函数零点的个数.(2)找出零点所在区间.Y— 2解：⑴设g(x)=3\h(x)=-——-,x + 1作出它们的图象(图3-1-1-17),两函数图象交点的个数即为f(x)零点的个数.X— 2 所以两函数图象有且仅有一个交点，即函数f(x)=3"+ —有且仅有一个零点.兀+ 1图3-1-1-17(2)因为f(0)=・l,f(l)=2.5,所以零点泻(0,1). 变式训练x图3-1-1-18由表和图3-1-M8可知，f(O)<O,f(l)>0,则f(0)f(l)<0,这说明f(x)在区间内有零点.下面证明函数在定义域(8,+g)内是增函数.设X b X2^ (-00,4-00),且X02,nx1)-fi[x2)=2X1 +4X|・4・(2 勺+4X2-4)=2V,-2X2 +4(x r x2)=2 V2 (2X, -x2-l)+4(xrx2).Vxi<x2,・•.X|-X2<0,2V,・X2・l<0,2勺>0..•.f(Xi)-f(X2)<0.函数在定义域(4,+8)内是增函数. 则函数f(x)=2x+4x-4有且仅有一个零点.思路2例1证明函数y=2|x!-2恰有两个零点.图3-1-1-19证明:如图3-l-l-19,V f(-2)=2,f(0)=-1 卫2)=2,・•・ f(-2)f(0)<0,f(0)f(2)<0.・・・函数y=2|x!-2有两个零点.要证恰有两个零点，需证函数y=2|x|-2在(0, +©上为单调的，函数y=2|x|-2在(s 0)上为单调的. •・•在(0, +oo)上，函数y=2x|-2可化为y=2x-l, 下面证明f(x)=2x-l在(0, +oo)上为增函数.证明：设X],X2为(0, +oo)上任意两实数，且0<X]<x2,•・・ f(x!)-f(X2)=2 x, -2-(2 X2 -2)=2 x, -2 紐=2 七(2 x, -x2-l),V 0<X]<x2, /.X|-x产0,2Al・x产1./. 2 V2 >0,2 v,・X2・l<0.：.2X2 (2 v, -x2-l)<0.・・・f(xJ・f(X2)<0.・・・f(X|)<fi[X2).・•・函数y=2|x-2在(0, p)上为增函数. 同理可证函数y=2|x|-2在(s, 0)上为减函数.・•・函数y=2|x-2恰有两个零点.变式训练证明函数f(x)=x+ — -3在(0, +8)上恰有两个零点.证明:Vf(|)=|,f(l)=-l,f(3)=|,1/.f(-)f(l)<0,f(l)fi[3)<0.・・・函数f(x)=x+--3在(0, +oo)上有两个零点.X要证恰有两个零点，需证函数f(x)=x+ — -3在(0, 1)上为单调的,函数f(x)=x4- — -3在(1, +cc)上为单调的. X X证明：设X[,X2为(0, 1)上的任意两实数,且X1<X2.•・• f(X])・f(X2)=X|+ —-3-(X2+ 丄-3)=(X|-X2)+( ---- )=(X|・X2)+ 土— =(X r X2)( —-),x^x2x{x2— Xi X|X?— 1T 0<X|<x2<l, Ax r X2<0, ------ ------ <0. /• (x r x2)( ------ ---- )>0.x t x2x,x2.•.f(X!)-f(X2)>0.・•・函数f(x)=x+--3在(0, 1)上为减函数. 同理函数f(x)=x+丄・3在(1, +8)上为增函数.X・•・函数f(x)=x+-1- -3在(0, +00)上恰有两个零点(如图3-1-1-20).x点评：证明函数零点的个数是一个难点和重点，对于基木初等函数可以借助函数图象和方稈来讨论.对于较复杂的函数证明函数恰有n个零点，先找出有n个，再利用单调性证明仅有n 个.例2已知函数f(x)=ax3+bx24-cx4-d有三个零点,分别是0、1、2,如图3-1-1-21,求证:b<0.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再冋答，教师点拨、提示: 方法一：把零点代入，用a、c表示b.方法二：用参数a表示函数.证法一：因为f(0)=f(l)=f(2)=0,所以d=0,a+b+c=0,4a+2b+c=0.… b 2所以a= ---- £= ------ b.3 3b r b所以f(x)= ---- x(x-3x+2)= ------- x(x-1 )(x-2).当x<0 时，f(x)<0,所以b<0.证法二因为f(0)=f(l)=f(2)=0,所以f(x)=ax(x-l)(x-2).当x>2时,f(x)>0,所以a>0.比较同次项系数，得b=・3a.所以b<0.变式训练函数y=ax2-2bx的一个零点为1,求函数y=bx2-ax的零点. 答案:函数y=bx2-ax的零点为0、2.点评：如果题li给出函数的零点，这涉及到零点的应川问题.(1)可以考虑把零点代入用待定系数法解决问题. ⑵利用零点的特殊性把解析式的设法简单化. 知能训练1.函数f(x)=lgx-2x2+3的零点一定位于下列哪个区间?()A.(4,5)B.(l,2)C.(2,3)D.(3,4)2.若函数f(x)=2mx+4在[・2,1]上存在零点，则实数m的取值范围是()A. [--4]B.(・®・2] U [l,+oo)2C. L-1,2]D.(-2,l)3.已知函数f(x)=—3x> — 6x +1,有如下对应值表：函数y=f(x)在哪儿个区间内必有零点？为什么？答案:1.B 2.B 3.(0, 1),因为f(0)<l)<0.点评：结合函数图彖性质判断函数零点所在区间是木节重点，丿应切实掌握. 拓展提升方程lnx+2x+3=0根的个数及所在的区间，能否进一步缩小根所在范弗I? 分析：利用函数图象(图3-1-1-22)进行探索分析.图3-1-1-22解：⑴观察函数的图象计算f(l)、f(2),知f(x)=lnx+2x+3有零点.(2)通过证明函数的单调性，知f(x)=lnx+2x+3有一个零点xe(l,2).请同学们白己探究能否进一步缩小根所在范I韦I?借助计算机可以验证同学们判断，激发学生学习兴趣.课堂小结(1)学会由函数解析式讨论零点个数，证明零点个数.(2)思想方法：函数方稈思想、数形结合思想、分类讨论思想.作业课本卩88练习2.设计感想如何用数学语言描述“穿过"是本节的关键，本节从导入开始让学生体会数学语言与文字语言的区别，并进一步让学生学会应用数学语言描述零点存在性定理•木节多次用计算机作图来感知函数零点，在零点证明题中又经常用到函数的单调性进行严格证明，所以木节是数与形的完美统一.3丄2用二分法求方程的近似解整体设计教学分析求方程的解是常见的数学问题，这Z前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难•木节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用.用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算.在教学过程屮要让学生体会到人类在方稈求解屮的不断进步.三维目标1.让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法.2.了解用二分法求方稈的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想.3.冋忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣.重点难点用二分法求方程的近似解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1・（情景导入）师：（手拿一款手机）如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价.生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价.如果低了，每50 元上升；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半; 如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前血的价格结合起来取其和的半价……师：在现实生活屮我们也常常利用这种方法.譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障，（相距大约3 500米）电工是怎样检测的呢？是按照生1那样毎隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测，还是按照生3那样来检测呢？生：（齐答）按照生3那样来检测.师：生3的冋答，我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件，区间逼近法）. 思路2・（事例导入）有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好•（让同学们白由发言，找出最好的办法）解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球.第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球.笫三次，两端备放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？推进新课新知探究提出问题①解方程2x-16=0.②解方程X2-X-2=0.③解方稈x '-2x~・x+2=0.④解方程(X L2)(X L3X+2)=0.⑤我们知道，函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2, 3)内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？⑥“取屮点''后，怎样判断所在零点的区间？⑦什么叫二分法？⑧试求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2, 3)内零点的近似值.⑨总结用二分法求函数零点近彳以值的步骤.⑩思考用二分法求函数零点近似値的特点.讨论结果：①x=&②x=・l,x=2.③x=・l,x=l,x=2.④x=-近,x= V2 ,x= 1 ,x=2.⑤如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值•为了方便,我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.(“取中点”，一般地,。

第三章 函数的应用3-1 函数与方程§3.1.1方程的根与函数的零点一、教学目标1． 知识与技能①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．②培养学生的观察能力．③培养学生的抽象概括能力．2． 过程与方法①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．②让学生归纳整理本节所学知识．3． 情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．二、教学重点、难点重点 零点的概念及存在性的判定．难点 零点的确定．三、学法与教学用具1． 学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。

2． 教学用具：投影仪。

四、教学设想(一)创设情景，揭示课题1、提出问题：一元二次方程 a x 2+bx+c=0 (a ≠0)的根与二次函数y=a x 2+bx+c(a ≠0)的图象有什么关系？2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：（用投影仪给出）①方程0322=--x x 与函数322--=x x y②方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y③方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？（二） 互动交流 研讨新知函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点． 函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标． 即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．函数零点的求法：求函数)(x f y =的零点：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：①代数法；②几何法．2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．3．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：① 在区间]1,2[-上有零点______； =-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f ·)1(f _____0（＜或＞＝）．② 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞＝）． （Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象① 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞＝）． ② 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞＝）． ③ 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞＝）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．（三）、巩固深化，发展思维1．学生在教师指导下完成下列例题例1、求函数f(x)=㏑x ＋2x －6的零点个数。