【新教材】新人教A版必修一 函数与方程 教案

第一节函数与方程第二课时教学设计(一)整体设计教学内容分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本(A版)》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解．本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解，这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位．学生学习情况分析学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系，初步掌握了函数与方程的转化思想．但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题．设计理念倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，强调数学的内在本质，注意适度形式化；在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的合理整合．教学目标通过具体实例理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用；能借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生能够初步了解逼近思想；体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程．教学重点与难点教学重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．教学过程(一)创设情境，提出问题问题1：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆.10 km长，大约有200多根电线杆呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维，形成学生再创造的欲望．注意学生解题过程中出现的问题，及时引导学生思考，从二分法查找的角度解决问题．学情预设学生独立思考，可能出现以下解决方法：思路1：直接一个个电线杆去寻找．思路2：通过先找中点，缩小范围，再找剩下的一半的中点．老师从思路2入手，引导学生解决问题：如图，维修工人首先从中点C检查．用随身带的话机向两个端点测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD 段中点E 来查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，如此查下去，不用几次，就能把故障点锁定在一两根电线杆附近．师：我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件)．在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围(即二分法思想)．设计意图从实际问题入手，利用计算机演示用二分法思想查找故障发生点，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法，说明二分法原理源于现实生活，并在现实生活中广泛应用．(二)师生探究，构建新知问题2：假设电话线故障点大概在函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点位置，请同学们先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？1．利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，通过具体的函数图象帮助学生理解闭区间上的连续函数，如果两个端点的函数值是异号的，那么函数图象就一定与x 轴相交，即方程f (x )＝0在区间内至少有一个解(即上节课的函数零点存在性定理，为下面的学习提供理论基础)．引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．2．我们已经知道，函数f (x )＝ln x ＋2x －6在区间(2,3)内有零点，且f (2)<0，f (3)>0.进一步的问题是，如何找出这个零点？合作探究：学生先按四人小组探究．(倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性)生：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．师：如何有效缩小根所在的区间？生1：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．生2：是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的范围？ 师：很好，一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，可以得到零点的近似值．其实“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围．但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下，“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便．因此，为了方便，下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．引导学生分析理解求区间(a ，b )的中点的方法x ＝a ＋b 2. 合作探究：(学生2人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程．四人小组中的两组比较缩小零点所在范围的结果．)步骤一：取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f (2.5)≈－0.084<0.由f (3)>0，得知f (2.5)·f (3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内．步骤二：取区间(2.5,3)的中点 2.75，用计算器算得f (2.75)≈0.512>0.因为f (2.5)·f (2.75)<0，所以零点在区间(2.5,2.75)内．结论：由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了．如果重复上述步骤，在一定精确度下，我们可以在有限次重复上述步骤后，将所得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值．引导学生利用计算器边操作边认识，通过小组合作探究，得出教科书上的表3—2，让学生有更多的时间来思考与体会二分法实质，培养学生合作学习的良好品质．学情预设学生通过上节课的学习知道这个函数的零点就是函数图象与x 轴的交点的横坐标，故它的零点在区间(2,3)内．进一步利用函数图象通过“取中点”逐步缩小零点的范围，利用计算器通过将自变量改变步长很快得出表3—2，找出零点的大概位置．设计意图从问题1到问题2，体现了数学转化的思想方法，问题2有着承上启下的作用，使学生更深刻地理解二分法的思想，同时也突出了二分法的特点．通过问题2让学生掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．问题3：对于其他函数，如果存在零点是不是也可以用这种方法去求它的近似解呢？引导学生把上述方法推广到一般的函数，经历归纳方法的一般性过程之后得出二分法及用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤．对于在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．注意引导学生分化二分法的定义：一是二分法的适用范围，即函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断；二是用二分法求函数的零点近似值的步骤．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：1．确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；2．求区间(a，b)的中点c；3．计算f(c)：(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c〔此时零点x0∈(a，b)〕；(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c〔此时零点x0∈(c，b)〕；4．判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.学情预设学生思考问题3举出二次函数外，对照步骤观察函数f(x)＝ln x＋2x－6的图象去体会二分法的思想．结合二次函数图象和标有a、b、x0的数轴理解二分法的算法思想与计算原理．设计意图以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化难点、解决重点，给学生“数学创造”的体验，有利于学生对知识的掌握，并强化对二分法原理的理解．学生在讨论、合作中解决问题，充分体会成功的愉悦．让学生归纳一般步骤有利于提高学生自主学习的能力，让学生尝试由特殊到一般的思维方法．利用二分法求方程近似解的过程，用图表示，既简约又直观，同时能让学生初步体会算法的思想．(三)例题剖析，巩固新知例借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精确度0.1)两人一组，一人用计算器求值，一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和过程，教师点评．本例鼓励学生自行尝试，让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐．此例让学生体会用二分法来求方程近似解的完整过程，进一步巩固二分法的思想方法．思考问题1：用二分法只能求函数零点的“近似值”吗？问题2：是否所有的零点都可以用二分法来求其近似值？教师有针对性的提出问题，引导学生回答，学生讨论，交流.反思二分法的特点，进一步明确二分法的适用范围以及优缺点，指出它只是求函数零点近似值的“一种”方法.设计意图及时巩固二分法的解题步骤，让学生体会二分法是求方程近似解的有效方法．解题过程中也起到了温故转化思想的作用．(四)尝试练习，检验成果1．下列函数中能用二分法求零点的是( )设计意图让学生明确二分法的适用范围．2．用二分法求图象是连续不断的函数y＝f(x)在x∈(1,2)内零点近似值的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则函数的零点落在区间( )A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定设计意图让学生进一步明确缩小零点所在范围的方法．3．借助计算器或计算机，用二分法求方程x＝3－lg x在区间(2,3)内的近似解．(精确度0.1)设计意图进一步加深和巩固对用二分法求方程近似解的理解．答案：略(五)课堂小结，回顾反思学生归纳，互相补充，老师总结：1．理解二分法的定义和思想，用二分法可以求函数的零点近似值，但要保证该函数在零点所在的区间内是连续不断的；2．用二分法求方程的近似解的步骤．设计意图帮助学生梳理知识，形成完整的知识结构．同时让学生知道理解二分法定义是关键，掌握二分法解题的步骤是前提，实际应用是深化．(六)课外作业1．[书面作业]课本习题3.1A组3、4、5；2．[知识链接]本节阅读与思考“中外历史上的方程求解”．3．[课外思考]：如果现在地处学校附近的地下自来水管某处破裂了，那么怎么找出这个破裂处，要不要把水泥板全部掀起？板书设计3．1.2 用二分法求方程的近似解1．二分法的定义2．用二分法求函数的零点近似值的步骤3．用二分法求方程的近似解教学反思这节课既是一堂新课又是一堂探究课．整个教学过程，以问题为教学出发点，以教师为主导，学生为主体，设计情境激发学生的学习热情，激励学生去取得成功，顺应合理的逻辑结构和认知结构，符合学生的认知规律和心理特点，重视思维训练，发挥学生的主体作用，注意数学思想方法的溶入渗透，满足学生渴望的奖励结构．整个教学设计中，特别注重以下几个方面：(1)重视学生的学习体验，突出他们的主体地位．训练了他们用从特殊到一般，再由一般到特殊的思维方式解决问题的能力．不断加强他们的转化类比思想．(2)注重将用二分法求方程的近似解的方法与现实生活中的案例联系起来，让学生体会数学方法来源于现实生活，又可以解决现实生活中的问题．(3)注重学生参与知识的形成过程，动手、动口、动脑相结合，使他们“听”有所思，“学”有所获，增强学习数学的信心，体验学习数学的乐趣．(4)注重师生之间、同学之间互动，注重他们之间的相互协作，共同提高．。

“方程的根与函数的零点”教学设计(1)一、内容和内容解析本节课是在学生学习了《基本初等函数（Ⅰ）》的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求方程的近似解》做准备．从教材编写的顺序来看，《方程的根与函数的零点》是必修1第三章《函数的应用》一章的开始，其目的是使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系．利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的．方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”，建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想”，是本章渗透的主要数学思想．从知识的应用价值来看，通过在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体会符号化、模型化的思想，体验从系统的角度去思考局部问题的思想．基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．二、目标和目标解析1．通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，2．零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。

而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。

3．通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关系．掌握函数零点存在性的判断．4．在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．三、教学问题诊断分析1.零点概念的认识．零点的概念是在分析了众多图象的基础上，由图象与轴的位置关系得到的一个形象的概念，学生可能会设法画出图象找到所有任意函数的可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图象都能具体的描绘出，所以在概念的接受上有一点的障碍．2.零点存在性的判断．正因为f（a）·f（b）＜0且图象在区间[a，b]上连续不断，是函数f（x）在区间[a，b]上有零点的充分而非必要条件，容易引起思维的混乱就是很自然的事了．3.零点（或零点个数）的确定．学生会作二次函数的图象，但是要作出一般的函数图象（或图象的交点）就比较困难，而在这一节课最重要的恰恰就是利用函数图象来研究函数的零点问题．这样就在零点（或零点个数）的确定上给学生带来一定的困难．基于上述分析，确定本节课的教学难点是：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．四、教学支持条件分析考虑到学生的知识水平和理解能力，教师可借助计算机工具和构建现实生活中的模型，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性．通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，在函数与方程的联系中体验数形结合思想、转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．五、教学过程设计（一）引入课题问题引入：求方程3x2＋6 x－1=0的实数根。

⾼中数学⼆次函数与⼀元⼆次⽅程教案新课标⼈教版必修1（A）⼆次函数与⼀元⼆次⽅程（2）三维⽬标⼀、知识与技能1.会⽤函数图象的交点解释⽅程的根的意义.2.继续了解函数的零点与对应⽅程根的联系.3.理解在函数的零点两侧函数值乘积⼩于0这⼀结论的实质.⼆、过程与⽅法1.体验并理解函数与⽅程的相互转化的数学思想⽅法.2.通过探究、思考，培养学⽣理性思维能⼒以及分析问题、解决问题的能⼒.三、情感态度与价值观通过现代信息技术的合理应⽤，转变学⽣对数学学习的态度，加强学⽣对数形结合、分类讨论等数学思想的进⼀步认识.教学重点“在函数的零点两侧函数值乘积⼩于0”的理解.教学难点“在函数的零点两侧函数值乘积⼩于0”的理解.教具准备多媒体课件、投影仪.教学过程⼀、创设情景，引⼊新课师：观察⼆次函数f（x）=x2－2x－3的图象（如下图），我们发现函数f（x）=x2－2x－3在区间［－2，1］上有零点.计算f（－2）与f（1）的乘积，你能发现这个乘积有什么特点?在区间［2，4］上是否也具有这种特点呢?引导学⽣探究，可以发现，在区间［－2，1］的端点上，f（－2）＞0，f（1）＜0，即f（－2）·f （1）＜0，函数f（x）=x2－2x－3在区间（－2，1）内有零点x=－1，它是⽅程x2－2x－3=0的⼀个根.同样，在区间［2，4］的端点上，f（2）＜0，f（4）＞0，即f（2）·f（4）＜0，函数f（x）=x2－2x－3在（2，4）内有零点x=3，它是⽅程x2－2x－3=0的另⼀个根.我们能从⼆次函数的图象看到零点的性质：1.⼆次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是⼆重零点），函数值变号.例如，函数y=x2－x－6的图象在零点－2的左边时，函数值取正号，当它通过第⼀个零点－2时，函数值由正变负，再通过第⼆个零点3时，函数值⼜由负变正.2.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.师：对任意函数，结论也成⽴吗?同学们可以任意画⼏个函数图象，观察图象，看看是否得出同样的结论.⼆、讲解新课1.零点的性质如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图象是连续不断的⼀条曲线，并且有f（a）·f （b ）＜0，那么，函数y =f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ），使得f （c ）=0，这个c 也就是⽅程f （x ）=0的根.求⽅程f （x ）=0的实数根，就是确定函数y =f （x ）的零点.⼀般地，对于不能⽤公式法求根的⽅程f （x ）=0来说，我们可以将它与函数y =f （x ）联系起来，利⽤函数的性质找出零点，从⽽求出⽅程的根.2.应⽤举例【例1】教科书P 102例1.本例是考查函数零点的个数.通过它要让学⽣认识到函数的图象及其基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作⽤.（1）函数f （x ）=ln x +2x －6的图象可以让学⽣利⽤计算器或计算机画出.通过观察教科书上的图3.1－3，发现函数的图象与x 轴有⼀个交点，从⽽对函数有⼀个零点形成直观的认识.（2）教科书上的表3－1，可以让学⽣⽤计算器或计算机得出，使学⽣通过动⼿实践获得对表3－1的认同感.通过观察表3－1，结合图象3.1－3，不难得出函数的⼀个零点在区间（2，3）内.（3）要说明函数仅有⼀个零点，除上述理由外，还必须说明函数在其定义域内是单调的.可以由增（减）函数的定义证明函数在（0，+∞）上是增函数，也可以由g （x ）=ln x 、h （x ）=2x －6在（0，+∞）上是增函数，说明函数f （x ）=g （x ）+h （x ）在（0，+∞）上是增函数.【例2】已知函数f （x ）=ax 2+bx +1具有以下性质：①对任意实数x 1≠x 2，且f （x 1）=f （x 2）时，满⾜x 1+x 2=2；②对任意x 1、x 2∈（1，+∞），总有f （221x x +）＞2)()(21x f x f +. 则⽅程ax 2+bx +1=0根的情况是A.⽆实数根B.有两个不等正根C.有两个异号实根D.有两个相等正根⽅法探究：（1）本题由条件①，知函数f （x ）的对称轴为x =1；由条件②，知函数f （x ）是凸函数，即a ＜0；再由函数f （x ）的表达式，知f （x ）的图象过点（0，1）.根据这三点，可画出函数f （x ）的草图，如下图，发现函数f （x ）与x 轴交点的位置，可知f （x ）=0有两个异号实根，故应选C.（2）由条件②，知函数f （x ）的图象开⼝向下，即a ＜0.⼜由x 1x 2=a1＜0，可知 f （x ）=0有两个异号实根，故应选C.⽅法技巧：解析（2）的求解过程明显⽐解析（1）简捷，但却不如解析（1）直观，⽤数形结合思想解题可以使问题变得直观清晰，便于理解.但不难发现，如果解析（1）中的三个函数语⾔之中有1个没有转化（或错误地转化）为图形语⾔，那么本题就可能会错选.⽤数形结合思想解题，要注意由数到形，由形到数转化过程的等价性.【例3】研究⽅程|x 2－2x －3|=a （a ≥0）的不同实根的个数.⽅法探究：纯粹从解⽅程⾓度来考虑，必须研究两个⽅程，讨论相当⿇烦.从函数图象⾓度分析，只需研究函数y =|x 2－2x －3|与y =a 的图象的交点的个数.解：设y =|x 2－2x －3|和y =a ，利⽤Excel 、图形计算器或其他画图软件，分别作出这两个函数的图象，它们的交点的个数，即为所给⽅程实根的个数.如下图，当a =0或a ＞4时，有两个实根；当a =4时，有三个实根；当0＜a ＜4时，有四个实根.⽅法技巧：有关实根个数的题⽬，通常都采⽤数形结合思想.做这类题⽬，必须遵循两个步骤：⼀是构造两个熟悉的函数，⼆是画出图象，关键点画图要准确.【例4】设⼆次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ＞0），⽅程f （x ）－x =0的两个根x 1，x 2满⾜0＜x 1＜x 2＜a 1. （1）当x ∈（0，x 1）时，求证：x ＜f （x ）＜x 1；（2）设函数f （x ）的图象关于直线x =x 0对称，求证：x 0＜21x . ⽅法探究：由于已知⼆次⽅程f （x ）－x =0的两个根，因此新出现的⼆次函数f （x ）－x 应有双根式、⼀般式两种表现形式.故本题⼀定是在此进⾏问题设置，解题的关键就是恰当地把握好两种形式的转化.证明：（1）∵x 1，x 2是⽅程f （x ）－x =0的两根，且f （x ）=ax 2+bx +c （a ＞0），∴f （x ）－x =a （x －x 1）（x －x 2）=a （x 1－x ）（x 2－x ）.∵0＜x 1＜x 2，且x 1＜x 2＜a1，a ＞0，∴a （x 1－x ）（x 2－x ）＞0，即f （x ）－x ＞0，a （x 1－x ）（x 2－x ）＜a ·a 1（x 1－x ）=x 1－x ，即f （x ）－x ＜x 1－x .故0＜f （x ）－x ＜x 1－x ，即x ＜f （x ）＜x 1.（2）∵f （x ）－x =ax 2+（b －1）x +c ，且f （x ）－x =0的两根为x 1，x 2，∴⼆次函数f （x ）－x =0的对称轴为x =221x x +=－a b 21-. ∴21x =－a b 2+a21－22x . ⼜由已知，得x 0=－a b 2，∴21x =x 0+a21－22x . ⼜∵x 2＜a 1，∴a 21－22x ＞0. 故21x =x 0+a21－22x ＞x 0，即x 0＜21x . ⽅法技巧：函数与⽅程思想的恰当转化，是解决本题的关键，这种思想⽅法的转化往往是多次的.三、课堂练习教科书P 103练习题1.（1）（2），2.（1）（2）.解答：1.（1）令f（x）=－x2+3x+5，作出函数f（x）的图象，它与x轴有两个交点，所以⽅程－x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.（2）2x（x－2）=－3可化为2x2－4x+3=0，令f（x）=2x2－4x+3，作出函数f（x）的图象，它与x轴没有交点，所以⽅程2x（x－2）=－3⽆实根.2.（1）作出函数图象，因为f（1）=1＞0，f（1.5）=－2.875＜0，所以f（x）=－x3－3x+5在区间（1，1.5）上有⼀个零点.⼜因为f（x）是（－∞，+∞）上的减函数，所以f（x）=－x3－3x+5在区间（1，1.5）上有且只有⼀个零点.（2）作出函数图象，因为f（3）＜0，f（4）＞0，所以f（x）=2x·ln（x－2）－3在区间（3，4）上有⼀个零点.⼜因为f（x）=2x·ln（x－2）－3在（2，+∞）上是增函数，所以f（x）在（2，+∞）上有且仅有⼀个（3，4）上的零点.四、课堂⼩结1.本节学习的数学知识：零点的性质：在函数的零点两侧函数值乘积⼩于0；零点的确定.2.本节学习的数学⽅法：归纳的思想、函数与⽅程思想、数形结合思想.五、布置作业补充题：1.定义在区间［－c，c］上的奇函数f（x）的图象如下图所⽰，令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是A.若a＜0，则函数g（x）的图象关于原点对称B.若a=－1，－2＜b＜0，则函数g（x）有⼤于2的零点C.若a≠0，b=2，则函数g（x）有两个零点D.若a≥1，b＜2，则函数g（x）有三个零点2.⽅程x2－2mx+m2－1=0的两根都在（－2，4）内，则实数m的取值范围为________.3.已知⼆次函数f（x）=x2+2（p－2）x+3p，若在区间［0，1］内⾄少存在⼀个实数c，使得f（c）＞0，则实数p的取值范围是________.板书设计3.1.1⽅程的根与函数的零点（2）⼆次函数零点的性质零点的性质例1例2例3例4课堂练习课堂⼩结。

高中数学24函数与方程教案新人教A版必修1教案标题：高中数学函数与方程教案教学内容：函数与方程教材版本：新人教A版必修1教学目标：1.了解函数的定义与性质；2.学习函数的表示方法与函数的图像；3.掌握一元一次方程与一元二次方程的解法；4.能解决实际问题中的函数与方程相关的计算问题。

教学重点：1.函数的定义与性质；2.函数的表示方法与函数的图像；3.一元一次方程与一元二次方程的解法。

教学难点：1.函数的性质和函数的图像的关系；2.一元二次方程的解法。

教学准备：1.教师准备：教材必修1教材、多媒体设备；2.学生准备：课前预习教材内容。

教学过程：第一步：导入（5分钟）教师通过提问导入主题，引发学生的思考，激发兴趣。

教师：同学们，你们知道什么是函数吗？怎样表示一个函数呢？学生：函数是输入和输出之间的关系，通常用x表示自变量，y表示因变量。

函数可以通过一张图来表示。

教师：非常好！正是这样。

我们今天的主题就是函数与方程。

让我们一起来学习吧。

第二步：概念解释与讲解（15分钟）教师通过投影仪，呈现教材中关于函数的定义与性质的内容，并进行解释和讲解。

教师：请同学们看一下幻灯片上的内容。

函数的定义是什么？学生：函数是一个集合，其中每一个输入值都恰好对应一个输出值。

教师：非常好！函数的性质有哪些？学生：函数有定义域、值域、图像和奇偶性等性质。

教师：很好，函数的图像与具体函数的关系是什么？学生：函数的图像是函数的集合在坐标系中的表示，可以通过函数图像来判断函数的性质。

第三步：讲解函数表示方法及函数图像（20分钟）教师通过实例讲解函数的表示方法与函数图像的绘制。

教师：请同学们看一下幻灯片上的例子。

根据函数的定义域和表达式，我们可以如何表示一个函数？学生：可以用输入输出表、映射图、解析式等方法表示。

教师：非常好！接下来我们来练习一下画函数的图像。

同学们看这个例子，请问这是一个什么样的函数图像？学生：这是一个抛物线的图像。

教师：是的，抛物线是一种常见的函数图像，由一元二次方程表示。

3.1 函数与方程[教学目标]1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．2．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解得常用方法．3．在用“二分法”求方程近似解的过程中，使学生进一步体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．[教学要求]教科书注重从学生已有的基础（一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质）出发，从具体（一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系）到一般，揭示方程的根与对应函数的零点之间的关系．在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔．教科书不仅希望学生在数学知识上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中介绍中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献，这一内容可以在教学过程中适当进行处理．由于方程的近似解一般都涉及较复杂的计算，在利用“二分法”求方程近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，要解决这一困难，需要恰当地使用信息技术工具．建议在教学中要适时地使用计算器或者计算机，注意体现技术使用的必要性．多数函数应用问题也涉及较复杂的数据，因此，建议较多地运用信息技术工具，课本专门安排了两个“信息技术应用”，教师可适当地指导学生进行学习．教学中要加强知识间的联系，具体体现在结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系，提高学生对函数的广泛应用，以及函数与其他数学内容有机联系的认识．课本在3.1.1方程的根与函数的零点中，选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系，作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系．实施教学时，应该给学生提供探究情境，让学生自己发现并归纳出结论“一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标”．给出函数零点的概念后，要让学生明确“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切的联系，但不能将它们混为一谈．之所以介绍通过求函数的零点求方程的根，是因为函数的图象和性质，为理解函数的零点提供了直观的认识，并为判定零点是否存在和求出零点提供了支持，这就使方程的求解与函数的变化形成联系，有利于分析问题的本质．通过研究一元二次方程的根及相应的函数图象与x 轴交点的横坐标的关系，导出函数的零点的概念；以具体函数在某闭区间上存在零点的特点，探究在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；以求具体方程的近似解介绍二分法并总结其实施步骤等，都体现了从具体到一般的认识过程．教学时，要注意让学生通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，并用准确的数学语言表达出来．这里要特别注意引导学生从联系的观点理解有关内容，沟通函数、方程、不等式以及算法等内容，使学生体会知识之间的联系．例如，结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根之间的关系；根据具体函数的图象，能借助计算器用二分法求相应方程的近似解，为算法的学习作准备，另外，还要特别注意信息技术的使用．课本通过第87页的“探究”，让学生观察对应的二次函数在区间端点上的函数值之积的特点，引导学生发现连续函数在某区间上存在零点的判定方法．教学时，可让学生多举一些例子加以认识，如用计算器或计算机多画一些函数(不一定是二次函数)的图象进行观察与概括．教科书上给出的下述结论，只要求学生理解并会应用，而不需给出证明．如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根．[教学重点]用“二分法”求方程的近似解．[教学难点]如何处理复杂的数值计算；如何恰当使用计算器．[教学时数]3课时[教学过程]第一课时3.1.1方程的根与函数的零点（1）新课导入讨论：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 数的图象有什么关系？先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型．方程0322=--x x 与函数322--=x x y ；方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ；方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y ； 再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图．通过讨论得出：（课本第87页）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两不同根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个重根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴一个交点，且其横坐标就是根；一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 无实数根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴没有交点；总之，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标．点明本节课题：方程的根与函数的零点新课进展一、函数的零点对于函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点（zero point ）．显然，函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根，也就是函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标．方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．课堂例题例1 利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）0532=++-x x ；（2）3)2(2-=-x x ；课堂练习（课本第88页练习1）利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（3）442-=x x ； （4）532522+=+x x x ．布置作业利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）0532=+--x x ；（2）03322=+-x x ；（3）1322-=x x ．第二课时3.1.1方程的根与函数的零点（2）复习导入通过提问复习上节课主要学习内容．问：方程的根与函数的零点之间具有怎样的关系？答：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．问：如何用方程的根与函数的零点之间关系判断方程在某区间是否有根？参与讨论并阅读课本第91页《中外历史上的方程求解》．新课进展二、函数零点存在的条件1．探究观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象（图：课本第87页图3.1-2），我们发现函数32)(2--=x x x f 在区间]1,2[-上有零点．计算)2(-f 与)1(f 的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间]4,2[上是否也具有这种特点呢？经过讨论，可以发现：0)1()2(<⋅-f f ，函数32)(2--=x x x f 在区间)1,2(-内有零点1-=x ，它是方程0322=--x x 的一个根．同样地，0)4()2(<⋅f f ，函数32)(2--=x x x f 在区间)4,2(内有零点3=x ，它是方程0322=--x x 的另一个根．课堂练习画出二次函数2)(2+--=x x x f 的图象，观察函数2)(2+--=x x x f 在区间]0,5[-上是否有零点．计算)5(-f 与)0(f 的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间]4,0[上是否也具有这种特点呢？2．概括一般地，我们有：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根．3．应用课堂例题例1 （课本第88页例1）求函数62ln )(-+=x x x f 的零点的个数．解答：见课本第88页课堂练习1．课本第88页练习22．已知函数13)(3+-=x x x f ，问该函数在区间)1,2(--内是否有零点？解：因为01)2(<-=-f ，03)1(>=-f ，所以0)1()2(<-⋅-f f ，又函数13)(3+-=x x x f 是连续的曲线，所以)(x f 在区间)1,2(--内有零点．本课小结如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内至少有一个零点，即相应的方程0)(=x f 在区间),(b a 内至少有一个实数解．4．布置作业课本第92页习题3.1A 组第1、2题；课本第112页复习参考题A 组第1题．第三课时3.1.2用二分法求方程的近似解新课导入讨论：对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 可以用公式求根，但没有公式可用来求方程062ln =-+x x 的根．联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？上节课我们已经知道，函数62ln )(-+=x x x f 在区间（2，3）内有零点，问题是：如何找出这个零点呢？如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．下面介绍一种求近似解的方法．新课进展一、二分法我们知道，函数)(x f 的图象与直角坐标系中x 轴交点的横坐标就是方程0)(=x f的解，利用上节课学过的函数零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解．1．在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5；2．用计算器计算084.0)5.2(-≈f ，因为0)3()5.2(<⋅f f ，所以零点在区间)3,5.2(内；3．再取区间)3,5.2(中点 2.75，用计算器计算512.0)75.2(≈f ，因为0)75.2()5.2(<⋅f f ，所以零点在区间)75.2,5.2(内．4．重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值．本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出（课本第89页表3-2）．当精确度为0.01时，由于0078125.053125.25390625.2=-01.0<，所以，我们可将53125.2=x 作为函数62ln )(-+=x x x f 零点的近似值，也即方程062ln =-+x x 根的近似值．对于在区间],[b a 上连续不断且0)()(<⋅b f a f 的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ）．二、二分法的计算步骤给定精确度ε，用二分法求函数)(x f 零点近似值的步骤如下：1．确定区间],[b a ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε；2．求区间),(b a 的中点c ；3．计算)(c f ；4．判断：（1）若0)(=c f ，则c 就是函数的零点；（2）若0)()(<⋅c f a f ，则令c b =（此时零点),(0c a x ∈）；（3）若0)()(<⋅b f c f ，则令c a =（此时零点),(0b c x ∈）．5．判断：区间长度是否达到精确度ε？即若ε<-b a ，则得到零点近似值；否则重复2——5．说明：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．由于都是重复性的工作，所以可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算．阅读课本第93页《借助信息技术求方程的近似解》．课堂例题例1 （课本第90页例2）例2 求方程03323=-+x x 的一个近似解（误差不超过0.1）．课堂练习课本第91页练习1、2题本课小结1．二分法的理论依据是什么？二分法的理论依据是：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续不断，且0)()(<⋅b f a f ，那么一定存在),(b a c ∈，使0)(=c f ．2．二分法的实施要点是什么？二分法寻找零点的过程是将一个含有零点的区间],[b a 平分为两个小区间，判断哪个小区间内含有零点，再将该小区间平分，……，通过n 次的平分、判断，使零点存在于一个长度na b l 2-=的小区间．当n 适当大时，l 满足精确度的允许范围，于是小区间内的值可作为函数零点的近似值．布置作业课本第92页习题3.1A 组3、4、5题；课本第92页习题3.1B 组1、2、3题．。

2019—2020学年新人教A版必修一函数与方程学案1．函数的零点(1)函数零点的定义函数y＝f(x）的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2）几个等价关系方程f(x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图像与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．（3）函数零点的判定(零点存在性定理)若函数y＝f（x）在闭区间[a，b］上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反，即f（a）·f(b)〈0，则在区间（a，b)内，函数y＝f（x）至少有一个零点，即相应的方程f（x)＝0在区间（a，b）内至少有一个实数解．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a〉0)的图像与零点的关系知识拓展有关函数零点的结论（1）若连续不断的函数f(x）在定义域上是单调函数,则f（x）至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．（3）连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号,也可能不变号．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×"）（1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．(×）(2)函数y＝f(x)在区间（a，b）内有零点(函数图像连续不断)，则f(a）·f（b）〈0。

(×）(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0）在b2－4ac<0时没有零点．（√）（4）f（x）＝x2，g(x）＝2x，h(x）＝log2x，当x∈(4，＋∞)时,恒有h（x)<f（x)〈g(x)．（√)题组二教材改编2．函数f（x）＝ln x－错误!的零点所在的大致区间是（）A．(1，2) B．(2,3)C.错误!和(3，4) D．(4，＋∞）答案B解析∵f（2）＝ln 2－1〈0，f(3）＝ln 3－错误!〉0且函数f(x）的图像连续不断，f（x)为增函数，∴f（x）的零点在区间(2,3）内．3．若函数f（x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间（n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________。

第一节函数与方程第三课时教学设计(二)整体设计教学内容分析本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学1》人教A版第三单元第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系．教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系．然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解．它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念．求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据．学生学习情况分析同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”．设计理念本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程．教学目标1．理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程；2．体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；3．体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法使问题得到解决的快乐．教学重点与难点教学重点：能够借用计算器用二分法求相应方程的近似解，根所在区间的确定及逼近的思想．教学难点：对二分法的理论支撑的理解，区间长度的缩小．教学过程1．教学基本流程图1．大家都看过李咏主持的〈幸运52〉吧，今天咱也试一回(出示游戏)．2．竞猜中，“高了”、教学反思1．本节课有两条线，明线：“从生活实际、从学生熟知的现实生活、从学生喜爱的游戏——“竞猜商品的价格”入手，引导学生进入深层的思考——如何才能更快更好地赢得游戏？与学生一道进行新知识的探索过程——二分法的得来；再将二分法充分地运用在函数零点的求解上；最后将二分法求解函数零点的过程程序化”；暗线：“生活实际(特殊)——二分法的理论(一般)——二分法的应用(特殊)”．让学生经历知识的形成与应用过程，培养发现问题、提出问题、解决问题的能力，体现数学的基础性、时代性、典型性和可接受性，体会数学来自生活，应用于生活的最高境界，感受数学之美．2．引入课题的方式，(1)从生活中的常见现象——“商品价格的竞猜”引入；(2)开门见山——“继续前面的研究”引入．(附录1)解：设f(x)＝ln x＋2x－6，x∈(2,3)，先取区间的中点，再计算中点的函数我们可以将x ＝2.531 25作为函数f (x )＝ln x ＋2x －6零点的近似值，也即方程ln x ＋2x －6＝0根的近似值．(附录2)二分法求解方程f (x )＝0〔或g (x )＝h (x )〕近似解的基本步骤：①画图或利用函数值的正负，确定初始区间(a ，b )，验证f (a )·f (b )<0；②求区间(a ，b )的中点x 1(x 1＝a ＋b 2)； ③计算f (x 1)：若f (x 1)＝0，则x 1就是函数f (x )的零点，x 1就是f (x )＝0的根，计算终止；若f (a )f (x 1)<0，则选择区间(a ，x 1)；若f (a )f (x 1)>0，则选择区间(x 1，b )；④循环操作②、③，直到当区间的精确度达到事先指定的精确度ε(若是要求精确到ε，两端点精确到同一个近似值时才终止计算)．(附录3)1．练习：(1)应用计算器，求方程x 3＋3x －1＝0的一个正的近似解．(2)应用计算器，求方程2x ＋x ＝4的近似解．(3)用二分法判断方程2x ＝x 2的根的个数( )A ．1B ．2C ．3D ．4(4)方程lg(x ＋4)＝10x 的根的情况是( )A ．仅有一根B ．有一正根一负根C ．有两负根D ．无实根2．思考：(1)从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为几个？(2)一天，泉州七中校区与现代中学(分校)校区的电缆线路出了故障(相距大约10 km)，电工是怎样检测的呢？答案：略。

人教版数学高一上册函数与方程2023教案【教案】教学目标：1. 熟练掌握函数概念和基本性质；2. 理解函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性等；3. 掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的定义和基本性质；4. 能够解一元一次方程、一元二次方程以及简单的指数方程和对数方程；5. 能够运用函数和方程解决实际问题。

教学重点：1. 函数的概念和基本性质；2. 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的定义和基本性质；3. 一元一次方程、一元二次方程以及简单的指数方程和对数方程的解法。

教学难点：1. 函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性的理解和运用；2. 一元二次方程的解法。

教学过程：【第一课时】函数的概念与性质一、概念1. 引入函数的概念，从实际生活中的例子引导学生理解函数的概念；2. 介绍函数的定义和函数的自变量、因变量的概念。

二、性质1. 函数的定义域和值域的概念和计算方法；2. 函数的奇偶性和单调性的概念和判定方法；3. 函数的图象和特点的认识。

【第二课时】一次函数与二次函数一、一次函数1. 介绍一次函数的定义和一次函数图象的性质；2. 通过例题引导学生掌握一次函数的基本性质。

二、二次函数1. 介绍二次函数的定义和二次函数图象的性质；2. 通过例题引导学生掌握二次函数的基本性质。

【第三课时】指数函数与对数函数一、指数函数1. 介绍指数函数的定义和指数函数图象的性质；2. 通过例题引导学生掌握指数函数的基本性质。

二、对数函数1. 介绍对数函数的定义和对数函数图象的性质；2. 通过例题引导学生掌握对数函数的基本性质。

【第四课时】一元一次方程与一元二次方程一、一元一次方程1. 回顾一元一次方程的定义和解法；2. 引入一元一次方程的实际应用问题，通过解方程解决问题。

二、一元二次方程1. 引入一元二次方程的定义和解法；2. 通过例题引导学生掌握一元二次方程的解法。

【第五课时】函数与方程的综合运用一、综合运用1. 综合运用函数和方程解决实际问题；2. 引导学生思考如何将实际问题转化为数学模型，并通过函数和方程求解。

教学准备1. 教学目标一．教学目标情感态度和价值观目标：培养探索问题的能力和合作交流的精神，体会数学在实际生活中的应用价值，感受精确与近似的相对统一。

知识与技能目标：能够借助计算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解二分法的步骤和思想。

过程与方法目标：进一步体会方程和函数的转化思想，在应用二分法求解方程的近似解的过程中，体会算法的思想和“逐步逼近”的思想。

2. 教学重点/难点二．教学重点掌握用二分法求给定方程的近似解三．教学难点二分法的概念，精确度的概念，二分法实施步骤中的算法思想3. 教学用具4. 标签教学过程（2）下面的这些方程:、、能用我们以前的方法求解吗？2.展示学习目标3.复习回顾上节课的知识要点（1）方程的根与函数零点之间的等价关系的根可以转化为函数零点存在性定理4.两个生活情境问题（1）找假币：有八枚硬币，其中有一枚硬币是假币，假币的质量要比真币的质量小。

可以使用天平作为工具，要想把这枚假币找出来，最少可以称量几次？如何操作？（2）猜价格：播放中央电视台经济频道《购物街》节目中“猜价格”的视频片段。

思考：两个生活情境你有什么启发？5.（1）通过两个生活实例，结合零点存在定理，可以发现：我们可以用“取中点”的方法来逐步缩小零点所在的区间，从而把函数的零点逼近出来。

小组合作探究，利用这个思想方法，借助计算器，逐步缩小函数的零点所在的区间。

（2）计算何时终止？提出“精确度”的概念。

（3）讨论探究：为什么只要区间长度，就可以把区间内的任何一个数作为零点的近似值。

（4）展示探究结果6.给出二分法的定义和二分法的操作步骤，并用口诀的方式帮助学生记忆二分法的操作步骤：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断。

7.分别从二分法的概念，二分法的操作步骤两个方面给出两类题型：8.当堂完成下面的题目9.（1）提问：这节课你有什么收获？（2）课件展示本节课的知识框架，并对本节课的重点内容和难点内容加以强调。

3.1函数与方程新人教A版必修1优秀教案第三章函数的应用本章教材分析函数的应用是学习函数的一个重要方面.学生学习函数的应用,目的就是利用已有的函数知识分析问题和解决问题.通过函数的应用,对完善函数的思想，激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力，增强实践的能力等，都有很大的帮助.本章主要内容：函数与方程、函数模型及其应用、实习作业和小结.在函数与方程这一节中课本从学生最熟悉的二次函数入手，通过研究方程的根与函数的零点的关系，使函数的图象与性质得到充分的应用，同时也展现了函数和方程的密切关系.求函数零点的近似解不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情.在函数模型及其应用这一节中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查的重点.本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“函数方程思想”“数形结合思想”“转化思想”,从而提高自己的数学能力.因此应从三个方面把握本章：(1)知识间的联系;(2)数学思想方法;(3)认知规律.本章教学时间约需9课时，具体分配如下(仅供参考)：3.1函数与方程约3课时3.2函数模型及其应用约4课时实习作业约1课时本章复习约1课时3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点整体设计教学分析函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着有机联系.课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想和“转化”思想.本节充分体现了函数图象和性质的应用.因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法.另外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物.三维目标1.让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点.2.通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界.3.通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性,体会这些给他们带来的快乐.重点难点根据二次函数图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数;函数零点的概念.课时安排2课时教学过程第1课时方程的根与函数的零点导入新课思路1.(情景导入)据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲,再到大喜的过程(领先则喜，落后即悲).请问：整场足球比赛出现几次“比分相同”的时段?学生思考或讨论回答：三次:(1)开场;(2)由领先到落后必经过“比分相同”时段;(3)由落后到领先必经过“平分”时段. 教师点拨：足球比赛有“落后”“领先”“比分相同”,函数值有“负”“正”“零”,函数图象与足球比赛一样跌宕起伏.由此导入课题,为后面学习埋好伏笔.思路2.(事例导入)(多媒体动画演示)一枚炮弹从地面发射后，炮弹的高度随时间变化的函数关系式为h=20t-5t2,问炮弹经过多少秒回到地面？炮弹回到地面即高度h=0，求方程20t-5t2=0的根,得t=4秒.如图3-1-1-1.图3-1-1-1思路3.(直接导入)教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点.推进新课新知探究提出问题①求方程x2-2x-3=0的根，画函数y=x2-2x-3的图象.②求方程x2-2x+1=0的根，画函数y=x2-2x+1的图象.③求方程x2-2x+3=0的根，画函数y=x2-2x+3的图象.④观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系?⑤如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，它们之间有什么关系?⑥归纳函数零点的概念.⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路:问题①:先求方程的两个根，找出抛物线的顶点,画出二次函数的图象(图3-1-1-2).问题②:方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图3-1-1-3).问题③:方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图象的关键(图3-1-1-4).问题④:方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标都是实数.问题⑤:对于其他函数这个结论正确吗？问题⑥:函数的零点是一个实数.问题⑦:可以利用“转化思想”.问题⑧:足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图象穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：①方程的两个实数根为-1，3.②方程的实数根为1.③方程没有实数根.④方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标.⑤一元二次方程根的个数，就是二次函数图象与x轴交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数.a.当Δ>0时，一元二次方程有两个不等的实根x1、x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0);b.当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0);c.当Δ<0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点.⑥一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.⑦方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.⑧观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间［-2,1］上有零点.计算f(-2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零.在区间［2,4］同样如此.可以发现，f(-2)f(1)<0,函数y=x2-2x-3在区间(-2，1)内有零点x=-1，它是方程x2-2x-3=0的一个根.同样地，f(2)f(4)<0，函数y=x2-2x-3在(2，4)内有零点x=3,它是方程x2-2x-3=0的另一个根.图3-1-1-2 图3-1-1-3 图3-1-1-4应用示例思路1例1已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a分别满足下列条件，求实数a的取值范围.(1)函数有两个零点;(2)函数有三个零点;(3)函数有四个零点.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.因为函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数不易讨论，所以可转化为方程|x2-2x-3|-a=0根的个数来讨论，即转化为方程|x2-2x-3|=a的根的个数问题,再转化为函数f(x)=|x2-2x-3|与函数f(x)=a交点个数问题.解：设f(x)=|x2-2x-3|和f(x)=a分别作出这两个函数的图象(图3-1-1-5)，它们交点的个数，即函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数.图3-1-1-5(1)若函数有两个零点，则a=0或a>4.(2)若函数有三个零点，则a=4.(3)函数有四个零点,则0<a<4.变式训练1.判断函数y=|x-1|-2零点的个数.解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数,作出函数图象(图3-1-1-6)，图3-1-1-6函数y=|x-1|-2的图象与x 轴有两个交点，所以函数y=|x-1|-2有两个零点.2.求证：函数f(x)=2x 2-3x-2有两个零点.证法一:因为一元二次方程2x 2-3x-2=0的判别式Δ=32+4×2×2=25>0,所以一元二次方程2x 2-3x-2=0有两个不相等的实根，所以函数f(x)=2x 2-3x-2有两个零点. 证法二:因为一元二次方程2x 2-3x-2=0可化为(2x+1)(x-2)=0,所以一元二次方程2x 2-3x-2=0有两个不相等的实根x 1=2,x 2=21 . 所以函数f(x)=2x 2-3x-2有两个零点.证法三:因为函数f(x)=2x 2-3x-2的图象是一条开口向上的抛物线，且顶点在x 轴的下方,即f(0)=-2<0,所以函数f(x)=2x 2-3x-2有两个零点.如图3-1-1-6.图3-1-1-7点评：判断函数零点个数可以结合函数的图象. 方法：零点函数方程的根两图象交点.数学思想：转化思想和数形结合思想.例2若关于x 的方程3x 2-5x+a=0的一根在(-2，0)内，另一个根在(1，3)内，求a 的取值范围. 活动：学生自己思考或讨论，再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案).教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正,并及时评价.如果用求根公式与判别式来做，运算量很大,能否将问题转化？借助二次函数的图象，从图象中抽出与方程的根有关的关系式，使得问题解答大大简化.引导学生画出函数的图象观察分析.解：设f(x)=3x 2-5x+a,则f(x)为开口向上的抛物线,如图3-1-1-8：图3-1-1-8因为f(x)=0的两根分别在区间(-2，0)、(1，3)内，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>-,0)3(,0)1(,0)0(,0)2(f f f f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<+-<>+.012,02,0,022a a a a 故所求a 的取值范围是-12<a<0. 变式训练关于x 的方程x 2-ax+a 2-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2,求实数a 的取值范围. 解：设f(x)=x 2-ax+a 2-7,图象为开口向上的抛物线(如图3-1-1-9).因为方程x 2-ax+a 2-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2,所以函数f(x)=x 2-ax+a 2-7的零点一个大于2，另一个小于2.即函数f(x)=x 2-ax+a 2-7的图象与x 轴的两个交点在点(2，0)的两侧.只需f(2)<0,即4-2a+a 2-7<0,所以-1<a<3.图3-1-1-9思路2例1若方程2ax 2-x-1=0在(0，1)内有解，求实数a 的取值范围.活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：①有解包括有一解和有两解，要分类讨论.②用一般解法固然可以，若结合函数图象观察分析，可以找到捷径.③有两种情况：a.a=0;b.a≠0,Δ≥0.解：令f(x)=2ax 2-x-1，(1)当方程2ax 2-x-1=0在(0，1)内恰有一个解时，f(0)·f(1)<0或a ≠0且Δ=0,由f(0)·f(1)<0,得(-1)(2a-2)<0,所以a>1.由Δ=0,得1+8a=0,a=81-∴方程为41-x 2-x-1=0,即x=-2∉(0,1)(舍去).综上可得a>1. (2)当方程2ax 2-x-1=0在(0，1)内有两个解时，则⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<<>>>0)41(,1410,0)1(,0)0(,0a f a f f a 或⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧><<<<<,0)41(,1410,0)1(,0)0(,0af a f f a 容易解得实数a 不存在.综合(1)(2),知a>1.变式训练若方程ax 2+3x+4a=0的根都小于1，求实数a 的取值范围.解：(1)当a=0时，x=0满足题意.(2)当a≠0时，设f(x)=ax 2+3x+4a.方法一:若方程ax 2+3x+4a=0的根都小于1，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-≥-=∆,0)1(,123,01692af a a ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<>-<>≤≤-,6.00,5.10,4343a a a a a 或或∴0<a≤43. 综上(1)(2),得0≤a≤43. 方法二:若方程ax 2+3x+4a=0的根都小于1，则⎪⎩⎪⎨⎧>--<+≥-=∆,0)1)(1(,2,016921212x x x x a ∴⎪⎩⎪⎨⎧>++-<+≥-=∆,01)(,2,01692121212x x x x x x a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++<-≥-=∆,0134,23,01692a a a 解得0<a≤43. 综上(1)(2),得0≤a≤43. 点评：有两种方法:(1)结合函数图象利用函数符号列不等式组.(2)代数方法，利用根与系数关系结合判别式列不等式组.例2设二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根为x 1、x 2,满足0<x 1<x 2<a1. (1)当x ∈(0,x 1)时，求证：x<f(x)<x 1；(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x 0对称，求证：x 0<21x . 活动：根据方程与函数关系，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.因为方程f(x)-x=0的两个根为x 1、x 2，可考虑把f(x)-x 设为双根式，然后判断其符号，再考虑二次函数的双根与二次函数对称轴的关系.证明:(1)∵x 1、x 2是方程f(x)-x=0的两个根，且0<x 1<x 2<a1， ∴当x ∈(0,x 1)时,有f(x)-x=a(x-x 1)(x-x 2)=a(x 1-x)(x 2-x)>0,即f(x)-x>0.又∵f(x)-x=a(x 1-x)(x 2-x)<a·a 1(x 1-x)=x 1-x,即f(x)-x<x 1-x,故0<f(x)-x<x 1-x,即x<f(x)<x 1.(2)∵f(x)-x=ax 2+(b-1)x+c,且f(x)-x=0的两个根为x 1、x 2,∴二次函数f(x)-x 的对称轴为x=221x x +=a b 21--.∴21x =22122x a a b -+-. 又由已知，得x 0=a b 2-，∴21x =x 0+2212x a -. 又∵x 2<a 1,∴2212x a ->0.故21x =x 0+2212x a ->x 0,即x 0<21x . 变式训练1.已知二次函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x),且其两零点分别为x 1、x 2,求x 1+x2.解：∵对任意x 都有f(3-x)=f(3+x)，∴函数f(x)的图象上有两点(3-x,y)、(3+x,y)关于x=3对称.∴二次函数f(x)的对称轴为x=3.∵x 1、x 2为二次函数f(x)的两个零点，∴x 1+x 2=6.2.若函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x)，且函数f(x)有6个零点，求所有零点的和.解：同理函数f(x)的对称轴为x=3，∴3(x 1+x 2)=18.点评：①二次函数的双根与二次函数解析式的关系是：若二次项系数为a,两个根为x 1、x 2,则二次函数解析式为f(x)=a(x-x 1)(x-x 2).②二次函数的双根与二次函数对称轴的关系是：二次函数f(x)的对称轴为x=221x x +. 总之：二次函数的双根是联系函数与方程的桥梁和纽带，应仔细体会、准确把握. 知能训练讨论函数y=e x +4x-4的零点的个数.活动：鼓励学生说出自己的见解，并说明理由.函数零点问题是函数的重要应用，离不开函数的图象和性质.(1)利用f(a)f(b)<0及函数的单调性.(2)作出y=e x 和y=4-4x 的图象，把函数y=e x +4x-4的零点的个数转化为方程e x =4-4x 根的个数，再转化为上述两函数图象交点的个数. 解：(方法一)利用计算机作出x ，f(x)的对应值表：x0 1 f(x) -3 2.71828由表和图可知，f(0)<0,f(1)>0,则f(0)f(1)<0，这说明f(x)在区间(0,1)内有零点,由于函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.(方法二)作出y=e x 和y=4-4x 的图象(图3-1-1-10),即可直观地看出零点的个数为1.图3-1-1-10总结点评：讨论函数零点个数问题是函数的重要应用，由于函数与方程的特殊关系，所以这个问题常用的方法是：(1)解方程;(2)画图象;(3)利用f(a)f(b)<0及函数的单调性;同时这些方法是有机联系的.拓展提升1.2007山东青岛高三教学质量检测,理19已知m ∈R ,设P:x 1和x 2是方程x 2-ax-2=0的两个根,不等式|m-5|≤|x 1-x 2|对任意实数a ∈［1，2］恒成立；Q ：函数f(x)=3x 2+2mx+m+34有两个不同的零点,求使P 和Q 同时成立的实数m 的取值范围.解：由题意知x 1+x 2=a,x 1x 2=-2,∴|x 1-x 2|=21221x 4x -)x (x +=8a 2+. 当a ∈［1,2］时,8a 2+的最小值为3.要使|m-5|≤|x 1-x 2|对任意实数a ∈［1，2］恒成立，只需|m －5|≤3,即2≤m≤8.由已知得Q 中:f(x)=3x 2+2mx+m+34的判别式Δ=4m 2-12(m+34)=4m 2-12m-16>0，得m<-1或m>4. 综上，要使P 和Q 同时成立，只需⎩⎨⎧>-<≤≤,41,82m m m 或解得实数m 的取值范围是(4,8］. 2.如果函数y=f(x)在区间［a,b ］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内是否有零点？可能有几个零点？活动：学生先思考或讨论，再回答.利用函数图象进行探索分析:①有没有零点？②零点的个数是奇数还是偶数？解析:零点个数可以是任意自然数.下面讨论在区间［-3,3］上函数零点个数，(1)可能没有零点如图(图3-1-1-11).图3-1-1-11 图3-1-1-12(2)可能有一个零点如图(图3-1-1-12).(3)可能有两个零点如图(图3-1-1-13).图3-1-1-13 图3-1-1-14(4)可能有三个零点如图(图3-1-1-14).(5)可能有n(n ∈N *)个零点,图略.点评：在区间［-3,3］上函数零点个数可以是任意自然数.借助计算机可以验证同学们的判断，激发学生学习兴趣.课堂小结本节学习了:①零点的概念;②零点的判断方法;③利用函数的单调性证明零点的个数;④零点的应用.学习方法：由特殊到一般的方法.数学思想：转化思想、数形结合思想.作业课本P 88练习1.设计感想本节以事例导入,该事例是学生很感兴趣的话题,发人深思而紧贴本节主题,为后面讲解埋好了伏笔.因为二次函数、二次方程永远是高考的重点,所以本节结合二次函数的图象性质详实讨论了有关二次函数的零点和二次方程的根的问题.本节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结,还搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高.另外,本节目的明确、层次分明、难度适中,对学生可能产生兴趣的问题进行了拓展,希望大家喜欢.第2课时 方程的根与函数的零点复习提出问题①已知函数f(x)=mx 2+mx+1没有零点，求实数m 的范围.②证明函数f(x)=x 2+6x+10没有零点.③已知函数f(x)=2mx 2-x+21m 有一个零点，求实数m 的范围. ④已知函数f(x)=2(m+1)x 2+4mx+2m-1有两个零点，求实数m 的范围.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①因为Δ=m 2-4m<0或m=0,∴0≤m<4.②因为Δ=36-40=-4<0,∴没有零点.③Δ=1-4m 2=0或m=0,∴m=21或m=21 或m=0. ④Δ=16m 2-8(m+1)(2m-1)=-8m+8>0且2(m+1)≠0,∴m<1且m≠-1.导入新课思路1.(情景导入)歌中唱到：再“穿过”一条烦恼的河流明天就会到达，同学们知道生活中“穿过”的含义. 请同学们思考用数学语言是怎样描述函数图象“穿过”x 轴的？学生思考或讨论回答：利用函数值的符号，即f(a)f(b)<0.思路2.(直接导入)教师直接点出课题：这一节我们将进一步巩固有关方程的根与函数的零点的知识，总结求方程的根与函数的零点的方法，探寻其中的规律.推进新课新知探究提出问题①如果函数相应的方程不易求根，其图象也不易画出,怎样讨论其零点?②用数学语言总结判断零点存在性定理,并找出好的理解记忆方法.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①在闭区间［a,b］上，若f(a)f(b)<0，y=f(x)连续，则(a,b)内有零点.②如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.我们把它叫做零点存在性定理.因为闭区间端点符号相反的连续函数在开区间内有零点,可以简记为：“闭端反连(脸)，开内零点.”应用示例思路1例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:因为方程lnx+2x-6=0的根不易求得，函数f(x)=lnx+2x-6的图象不易画出，如果不借助计算机，怎么判断零点个数？可以利用f(a)f(b)<0，及函数单调性.解：利用计算机作出x，f(x)的对应值表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9450 12.0794 14.1972 由表和图3-1-1-15可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)f(3)<0，这说明f(x)在区间(2,3)内有零点.由于函数在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.图3-1-1-15 图3-1-1-16变式训练证明函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点.证明:如图3-1-1-16,因为f(1)=-7,f(10)=3,∴f(1)f(10)<0.∴函数f(x)=lgx+x-8有一个零点.∵y=lgx为增函数，y=x-8是增函数，∴函数f(x)=lgx+x-8是增函数.∴函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点.点评：判断零点的个数:(1)利用零点存在性定理判断存在性;(2)利用单调性证明唯一性. 例2已知函数f(x)=3x +12+-x x , (1)判断函数零点的个数. (2)找出零点所在区间. 解：(1)设g(x)=3x ,h(x)=12+-x x , 作出它们的图象(图3-1-1-17)，两函数图象交点的个数即为f(x)零点的个数. 所以两函数图象有且仅有一个交点，即函数f(x)=3x +12+-x x 有且仅有一个零点.图3-1-1-17(2)因为f(0)=-1,f(1)=2.5,所以零点x ∈(0,1). 变式训练证明函数f(x)=2x +4x-4有且仅有一个零点. 证明:利用计算机作出x ，f(x)的对应值表： x -1 0 1 2 3 4 5 6 7 f(x)-7.5-32816284884172图3-1-1-18由表和图3-1-1-18可知，f(0)<0,f(1)>0,则f(0)f(1)<0，这说明f(x)在区间内有零点.下面证明函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数. 设x 1,x 2∈(-∞,+∞),且x 1<x 2， f(x 1)-f(x 2)=21x+4x 1-4-(22x +4x 2-4)=21x-22x +4(x 1-x 2)=22x (21x-x 2-1)+4(x 1-x 2).∵x 1<x 2，∴x 1-x 2<0,21x-x 2-1<0,22x >0.∴f(x 1)-f(x 2)<0.∴函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数. 则函数f(x)=2x +4x-4有且仅有一个零点.思路2例1证明函数y=2|x|-2恰有两个零点.图3-1-1-19证明:如图3-1-1-19,∵f(-2)=2,f(0)=-1,f(2)=2, ∴f(-2)f(0)<0,f(0)f(2)<0. ∴函数y=2|x|-2有两个零点. 要证恰有两个零点,需证函数y=2|x|-2在(0，+∞)上为单调的，函数y=2|x|-2在(-∞，0)上为单调的. ∵在(0，+∞)上，函数y=2|x|-2可化为y=2x -1, 下面证明f(x)=2x -1在(0，+∞)上为增函数.证明：设x 1,x 2为(0，+∞)上任意两实数，且0<x 1<x 2, ∵f(x 1)-f(x 2)=21x-2-(22x -2)=21x-22x =22x (21x-x 2-1),∵0<x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,21x-x 2<1. ∴22x >0,21x-x 2-1<0. ∴22x (21x-x 2-1)<0.∴f(x 1)-f(x 2)<0. ∴f(x 1)<f(x 2).∴函数y=2|x|-2在(0，+∞)上为增函数.同理可证函数y=2|x|-2在(-∞，0)上为减函数. ∴函数y=2|x|-2恰有两个零点. 变式训练证明函数f(x)=x+x1-3在(0，+∞)上恰有两个零点. 证明:∵f(31)=31,f(1)=-1,f(3)=31,∴f(31)f(1)<0,f(1)f(3)<0.∴函数f(x)=x+x1-3在(0，+∞)上有两个零点.要证恰有两个零点, 需证函数f(x)=x+x 1-3在(0，1)上为单调的，函数f(x)=x+x1-3在(1，+∞)上为单调的. 证明：设x 1,x 2为(0，1)上的任意两实数，且x 1<x 2. ∵f(x 1)-f(x 2)=x 1+11x -3-(x 2+21x -3)=(x 1-x 2)+(11x 21x )=(x 1-x 2)+2112x x x x -=(x 1-x 2)(21211x x x x -),∵0<x 1<x 2<1，∴x 1-x 2<0,2112x x x x -<0.∴(x 1-x 2)(21211x x x x -)>0.∴f(x 1)-f(x 2)>0.∴函数f(x)=x+x 1-3在(0，1)上为减函数. 同理函数f(x)=x+x 1-3在(1，+∞)上为增函数.∴函数f(x)=x+x1-3在(0，+∞)上恰有两个零点(如图3-1-1-20).图3-1-1-20点评：证明函数零点的个数是一个难点和重点，对于基本初等函数可以借助函数图象和方程来讨论.对于较复杂的函数证明函数恰有n 个零点，先找出有n 个，再利用单调性证明仅有n 个.例2已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 有三个零点，分别是0、1、2,如图3-1-1-21， 求证:b<0.图3-1-1-21活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示: 方法一：把零点代入，用a 、c 表示b. 方法二：用参数a 表示函数. 证法一：因为f(0)=f(1)=f(2)=0, 所以d=0,a+b+c=0,4a+2b+c=0.所以a=3b -,c=32- b. 所以f(x)=3b -x(x 2-3x+2)=3b-x(x-1)(x-2).当x<0时，f(x)<0，所以b<0.证法二：因为f(0)=f(1)=f(2)=0,所以f(x)=ax(x-1)(x-2).当x>2时,f(x)>0,所以a>0.比较同次项系数，得b=-3a.所以b<0.变式训练函数y=ax 2-2bx 的一个零点为1，求函数y=bx 2-ax 的零点. 答案:函数y=bx 2-ax 的零点为0、2.点评：如果题目给出函数的零点，这涉及到零点的应用问题. (1)可以考虑把零点代入用待定系数法解决问题. (2)利用零点的特殊性把解析式的设法简单化. 知能训练1.函数f(x)=lgx-2x 2+3的零点一定位于下列哪个区间?( )A.(4,5)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2.若函数f(x)=2mx+4在［-2,1］上存在零点，则实数m 的取值范围是( ) A.［254］ B.(-∞,-2］∪［1,+∞) C.［-1,2］ D.(-2,1) 3.已知函数f(x)=－3x 5－6x ＋1,有如下对应值表：x -2 -1.5 0 1 2 f(x)10944.171-8-107函数y ＝f(x)在哪几个区间内必有零点？为什么？ 答案:1.B 2.B 3.(0，1),因为f(0)·f(1)<0.点评：结合函数图象性质判断函数零点所在区间是本节重点，应切实掌握. 拓展提升方程lnx+2x+3=0根的个数及所在的区间，能否进一步缩小根所在范围？ 分析：利用函数图象(图3-1-1-22)进行探索分析.图3-1-1-22解：(1)观察函数的图象计算f(1)、f(2),知f(x)=lnx+2x+3有零点. (2)通过证明函数的单调性,知f(x)=lnx+2x+3有一个零点x ∈(1,2).请同学们自己探究能否进一步缩小根所在范围？借助计算机可以验证同学们判断，激发学生学习兴趣. 课堂小结(1)学会由函数解析式讨论零点个数，证明零点个数.(2)思想方法：函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想. 作业课本P 88练习2.设计感想如何用数学语言描述“穿过”是本节的关键，本节从导入开始让学生体会数学语言与文字语言的区别,并进一步让学生学会应用数学语言描述零点存在性定理.本节多次用计算机作图来感知函数零点，在零点证明题中又经常用到函数的单调性进行严格证明，所以本节是数与形的完美统一.3.1.2 用二分法求方程的近似解整体设计教学分析求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难.本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用.用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算.在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步.三维目标1.让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法.2.了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想.3.回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣.重点难点用二分法求方程的近似解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情景导入)师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价.生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价.如果低了，每50元上升；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……师：在现实生活中我们也常常利用这种方法.譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障，(相距大约3 500米)电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测,还是按照生3那样来检测呢？生：(齐答)按照生3那样来检测.师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法).思路2.(事例导入)有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好.(让同学们自由发言，找出最好的办法)解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球.第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球.第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？推进新课新知探究提出问题①解方程2x-16=0.②解方程x2-x-2=0.③解方程x3-2x2-x+2=0.④解方程(x2-2)(x2-3x+2)=0.⑤我们知道，函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？⑥“取中点”后，怎样判断所在零点的区间?⑦什么叫二分法?⑧试求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内零点的近似值.⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点.讨论结果：①x=8.②x=-1,x=2.③x=-1,x=1,x=2.④x=2-,x=2,x=1,x=2.⑤如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.〔“取中点”,一般地,我们把x=2ba称为区间(a,b)的中点〕⑥比如取区间(2，3)的中点2.5,用计算器算得f(2.5)<0,因为f(2.5)·f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内.⑦对于在区间［a,b］上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).⑧因为函数f(x)=lnx+2x-6，用计算器或计算机作出函数f(x)=lnx+2x-6的对应值表.x 1 2 3 4 5 6 7 8 9f(x) -4 -1.306 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972 由表可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)·f(3)<0，这说明f(x)在区间内有零点x0，取区间(2，3)的中点x1=2.5,用计算器算得f(2.5)≈-0.084，因为f(2.5)·f(3)<0，所以x0∈(2.5,3).同理,可得表(下表)与图象(如图3-1-2-1).区间中点的值中点函数的近似值(2，3) 2.5 -0.084(2.5,3) 2.75 0.512(2.5,2.75) 2.625 0.215(2.5,2.625) 2.5625 0.066(2.5,2.5625) 2.53-1-2-5 -0.009(2.53-1-2-5,2.5625) 2.546875 0.029(2.53-1-2-5,2.546875) 2.5390625 0.010(2.53-1-2-5,2.5390625) 2.53515625 0.001。

高中数学人教版必修1函数与方程教学设计一设计思想：函数与方程是中学数学的重要内容，是衔接初等数学与高等数学的纽带，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，是具体事例与抽象思想相结合的体现，在教学过程中，我采用了自主探究教学法。

通过教学情境的设置，让学生由特殊到一般，有熟悉到陌生，让学生从现象中发现本质，以此激发学生的成就感，激发学生的学习兴趣和学习热情。

在现实生活中函数与方程都有着十分重要的应用，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。

二教学内容分析：本节课是《普通高中课程标准》的新增内容之一，选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》第94-95页的第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的的零点。

本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。

之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数”思想。

总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。

三教学目标分析：知识与技能：1.结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；2.结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法情感、态度与价值观：1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；2.培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；3.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感教学重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。

课题：§3.1.1方程的根与函数的零点理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，零点的概念及存在性的判定．零点的确定．⑴方程0322=--x x 与函数322--=x x y⑵方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y⑶方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．⑴函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．⑵函数零点的求法：求函数)(x f y =的零点：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．⑶二次函数的零点： )0(2≠++=a c bx ax y ．① △＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．② △＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．③ △＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．二、函数零点存在性定理⑴零点存在性的探索观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：在区间]1,2[-上有零点______； =-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）．在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞）．观察下面函数)(x f y =的图象在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）．在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）．在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？⑵零点存在性定理如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有)(a f ·)(b f ＜0，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根。

人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习本文没有明显的格式错误和问题段落。

以下是小幅度改写后的文章：本教案旨在帮助学生掌握高中数学中重要的等式性质与不等式性质，这是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用。

同时，等式性质与不等式性质也为学生以后顺利研究基本不等式起到重要的铺垫。

教学目标包括掌握等式性质与不等式性质及其推论，能够运用其解决简单的问题，进一步掌握比较法比较实数的大小，以及通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。

教学重点是掌握不等式性质及其应用，难点则是不等式性质的应用。

为此，我们采用以学生为主体的诱思探究式教学，精讲多练的教学方法，借助多媒体等教学工具，引导学生独立思考、小组讨论，充分发挥学生的主动性和创造性。

在教学过程中，我们通过情景导入，引导学生观察和思考现实生活中的相等关系和不等关系；通过预课本，引入新课，让学生自主思考和探究不等式的基本性质、比较多项式大小的方法以及重要不等式等内容；通过典例分析和举一反三，帮助学生更好地应用不等式性质解决实际问题。

最后，我们希望通过本教案的教学，能够培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数据分析和数学建模等方面的素养，提高学生的数学思维水平和解决实际问题的能力。

已知2<a<3，-2<b<-1，要求2a+b的取值范围。

首先，可以将2a+b拆开，得到2a+b<6-2=4，即2a+b的上界为4.然后，将2a+b拆开，得到2a+b>2×2+(-1)=3，即2a+b的下界为3.因此，2a+b的取值范围为3<2a+b<4.基本不等式”是必修1的重要内容。

它是在研究不等关系和不等式性质，掌握不等式性质的基础上对不等式的进一步研究。

同时，它也是为了以后研究选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用。

2.7函数与方程【知识要点】1、 函数形如y=f （x ）=2ax bx c ++，方程形如：2ax bx c ++=0 ；所以我们把函数f （x ）=0的解叫做方程2ax bx c ++=0的根。

一般地，方程f （x ）=0的实数根又叫做y=f （x ）的零点；以二次函数f （x ）=2ax bx c ++为例说明：2、 零点：对于在区间（a ，b ）上连续的函数f （x ），若存在f （a ）·f （b ）< 0，那么 一定存在0(,)x a b ∈使得0()0f x =成立。

（注意是存在，不是唯一）【解题方法】一、求零点1、紧抓定义，对于在区间（a ，b ）上连续的函数f （x ），若存在f （a ）·f （b ）< 0，那么，一定存在0(,)x a b ∈使得0()0f x =2、 对于求零点的此类题目，我们都可以采用数形结合的方法来解题，具体到题目，我们可以通过题目的已知，大致画出函数的草图，通过图象更直观地去判断。

[数形结合:数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。

数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。

]【知识应用】【J 】例1、求证：一元二次方程25310xx +-=有两个不相等的实数根。

证法1：已知一元二次方程，∆=234*5*(1)290--=>∴方程25310x x +-=有两个不相等的实数根。

证法2： 设f （x ）=2531x x +-由已知a=5>0，二次函数开口向上，且知f （0）=-1<0， ∴ f （x ）=2531x x +-的图象与x 轴有两个不同的交点，即方程25310x x +-=有两个不相等的实数根。

【新教材】3.1.1 函数的概念（人教A版）函数在高中数学中占有很重要的比重，因而作为函数的第一节内容，主要从三个实例出发，引出函数的概念.从而就函数概念的分析判断函数，求定义域和函数值，再结合三要素判断函数相等.课程目标1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。

2.掌握判定函数和函数相等的方法。

3.学会求函数的定义域与函数值。

数学学科素养1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；2.逻辑推理：相等函数的判断；3.数学运算：求函数定义域和求函数值；4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。

重点：函数的概念，函数的三要素。

难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是怎样定义的？高中又是怎样定义？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本60-65页，思考并完成以下问题1. 在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？2. 如何用区间表示数集？3. 相等函数是指什么样的函数？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个属x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3．其它区间的表示四、典例分析、举一反三题型一 函数的定义例1 下列选项中(横轴表示x 轴,纵轴表示y 轴),表示y 是x 的函数的是( )【答案】D解题技巧：（判断是否为函数）1.（图形判断）y 是x 的函数,则函数图象与垂直于x 轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象.2.（对应关系判断）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系；“一对多”的不是函数关系. 跟踪训练一1.集合A={x|0≤x ≤4},B={y|0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( )【答案】C题型二 相等函数例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f(x)=(√x )2,g(x)=√x 2;(2)y=x 0与y=1(x ≠0);(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z). 【答案】见解析【解析】:(1)因为函数f(x)=(√x )2的定义域为{x|x≥0},而g(x)=√x 2的定义域为{x|x ∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y=x 0要求x ≠0,且当x ≠0时,y=x 0=1,故y=x 0与y=1(x ≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 解题技巧：(判断函数相等的方法) 定义域优先原则1.先看定义域，若定义域不同，则函数不相等.2.若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相等. 跟踪训练二1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)=x 2-x x,g(x)=x-1;②f(x)=√x x,g(x)=√x;③f(x)=√(x +3)2,g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x 0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t ≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 【答案】⑤【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数; ②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数. 题型三 区间例3 已知集合A={x|5-x ≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A ∩B 用区间可表示为 . 【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5] 【解析】∵A={x|5-x ≥0},∴A={x|x ≤5}. ∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x ≠±3}. ∴A ∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x ≤5}, 即A ∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]. 解题技巧：（如何用区间表示集合）1.正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.2.用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示. 跟踪训练三1.集合{x|0<x<1或2≤x ≤11}用区间表示为 .2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a 的取值范围用区间表示为 . 【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b. ∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3, ∴实数a 的取值范围是(-∞,3). 题型四 求函数的定义域 例4 求下列函数的定义域: (1)y=(x+2)|x |-x; (2)f(x)=x 2-1x -1−√4-x .【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0) (2) (-∞,1)∪(1,4]【解析】(1)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{x +2≠0,|x |-x ≠0,即{x ≠-2,|x |≠x ,解得x<0,且x ≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{4-x ≥0,x -1≠0,即{x ≤4,x ≠1.故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4]. 解题方法（求函数定义域的注意事项）(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;(2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;(3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合; (4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集). 跟踪训练四1.求函数y=√2x +3√2-x1x的定义域.2.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域. 【答案】(1) {x |-32≤x <2,且x ≠0} (2) [-1,32]【解析】(1)要使函数有意义,需{2x +3≥0,2-x >0,x ≠0,解得-32≤x<2,且x ≠0,所以函数y=√2x +3−1√2-x+1x的定义域为{x |-32≤x <2,且x ≠0}.(2)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4. 故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4, ∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤32. ∴函数f(2x+1)的定义域是[-1,32]. 题型五 求函数值（域） 例5 (1)已知f(x)＝11+x(x ∈R ，且x ≠－1)，g(x)＝x 2＋2(x ∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________. (2)求下列函数的值域：①y ＝x ＋1； ②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝3x−11+x ； ④y ＝2x －√x −1. 【答案】（1）1317 （2）① R ② [2,6) ③ {y|y ∈R 且y≠3} ④ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞ 【解析】(1) ∵f (x)＝11＋x ，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g (x)＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6， ∴f ( g(2))＝f (6)＝11＋6＝17.(2) ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R.②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y|y ∈R 且y≠3}．④(换元法)设t ＝x －1，则t≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.解题方法（求函数值（域)的方法）1.已知f(x)的表达式时,只需用数a 替换表达式中的所有x 即得f(a)的值.2.求f(g(a))的值应遵循由内到外的原则.3. 求函数值域常用的4种方法（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法或二次函数图像求其值域；（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为 “反比例函数类”的形式，便于求值域；（4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f （x ）=ax+b+√cx +d （其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0）型的函数常用换元法. 跟踪训练五1.求下列函数的值域：(1)y ＝ √2x +1 ＋1；(2)y ＝1−x 21+x 2. 【答案】(1) [1，＋∞) (2) (－1,1]【解析】(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1，所以0＜21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]． 所以所求函数的值域为(－1,1]. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 七、作业课本67页练习、72页1-5本节课主要通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，尤其在求抽象函数定义域时，先根据特殊函数的规律总结一般规律.。

第三章 函数的应用3-1 函数与方程§3.1.1方程的根与函数的零点一、教学目标1． 知识与技能①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．②培养学生的观察能力．③培养学生的抽象概括能力．2． 过程与方法①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．②让学生归纳整理本节所学知识．3． 情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．二、教学重点、难点重点 零点的概念及存在性的判定．难点 零点的确定．三、学法与教学用具1． 学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。

2． 教学用具：投影仪。

四、教学设想(一)创设情景，揭示课题1、提出问题：一元二次方程 a x 2+bx+c=0 (a ≠0)的根与二次函数y=a x 2+bx+c(a ≠0)的图象有什么关系？2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：（用投影仪给出）①方程0322=--x x 与函数322--=x x y②方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y③方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？（二） 互动交流 研讨新知函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点． 函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标． 即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．函数零点的求法：求函数)(x f y =的零点：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：①代数法；②几何法．2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．3．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：① 在区间]1,2[-上有零点______； =-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f ·)1(f _____0（＜或＞＝）．② 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞＝）． （Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象① 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞＝）． ② 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞＝）． ③ 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞＝）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．（三）、巩固深化，发展思维1．学生在教师指导下完成下列例题例1、求函数f(x)=㏑x ＋2x －6的零点个数。

【考纲要求】1．结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 【命题规律】函数与方程是高考题中一定出现的，一般是在选择题或填空题中考查，在解答题中也会出现与零点有关的问题。

【典型高考试题变式】 (一）判断零点所在的区间例1。

【2014北京卷】已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ) A.()0,1 B.()1,2 C 。

()2,4 D.()4,+∞ 【答案】C【名师点睛】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键。

判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断;当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断;当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．【变式1】【改变例题中的函数式】函数的零点位于下列哪个区间（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】∵函数，∴f （1)=1，f （2）=,∴f(1）f （2）＜0，再根据函数零点的判定定理可得函数的零点一定位于区间(1，2），故选B.【变式2】【改变例题中的结论】已知函数()26log f x x x=-的零点的区间是(,1)(Z)k k k +∈，则k 的值为__________。

【答案】3【解析】作图可知函数()f x 的零点所在的区间是(3,4)，所以3k =.(二)判断函数零点的个数例2.【2014福建卷】函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的零点个数是__________。

【答案】2【解析】令220x -=得，2x =±，只有2x =-符合题意；令26ln 0x x -+=得，62ln x x -=，在同一坐标系内，画出62,ln y x y x =-=的图象,观察知交点有1个，所以零点个数是2.学&科网【名师点睛】对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 【变式1】【改变例题中的函数式】函数则方程的根的个数是A ． 2个B ． 3个C ． 4个D ． 5个 【答案】B【变式2】【改变例题的结论】函数22,0()1ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩的零点之和为__________。