人教版高中数学教材必修一《方程的根与函数的零点》教学设计

一、《方程的根与函数的零点》二、教学目标：1. 了解方程的根与函数的零点的概念及关系；2. 掌握求解一元二次方程的方法；3. 学会利用函数的零点判断方程的解的情况；4. 能够运用方程的根与函数的零点解决实际问题。

三、教学重点与难点：1. 重点：方程的根与函数的零点的概念及关系，求解一元二次方程的方法；2. 难点：利用函数的零点判断方程的解的情况，运用方程的根与函数的零点解决实际问题。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生思考方程与函数之间的关系；2. 利用数形结合法，让学生直观地理解函数的零点与方程的根；3. 运用实例分析法，培养学生解决实际问题的能力。

五、教学内容：1. 方程的根与函数的零点的概念介绍；2. 求解一元二次方程的公式法与因式分解法；3. 利用函数的零点判断方程的解的情况；4. 方程的根与函数的零点在实际问题中的应用实例。

教案内容依次按照教学步骤、教学活动、教学评价进行设计。

六、教学步骤：1. 引入新课：通过回顾前面的知识，引导学生思考方程与函数之间的关系，引出本节课的主题——方程的根与函数的零点。

2. 讲解概念：讲解方程的根与函数的零点的概念，让学生理解两者之间的关系。

3. 求解一元二次方程：引导学生学习求解一元二次方程的公式法与因式分解法，并通过例题让学生掌握这两种方法。

4. 利用函数的零点判断方程解的情况：讲解如何利用函数的零点判断方程的解的情况，并通过图形让学生直观地理解。

5. 实际问题应用：通过实例分析，让学生学会运用方程的根与函数的零点解决实际问题。

七、教学活动：1. 小组讨论：让学生分组讨论方程的根与函数的零点之间的关系，并分享各自的观点。

2. 例题讲解：让学生上台演示求解一元二次方程的过程，并讲解解题思路。

3. 函数零点判断：让学生通过图形判断给定方程的解的情况。

4. 实际问题解决：让学生分组讨论实际问题，并运用方程的根与函数的零点找出解决方案。

八、教学评价：1. 课堂提问：通过提问了解学生对equation 的根与function 的零点的概念的理解程度。

《方程的根与函数的零点》的教学设计教学内容：《人教课标A版数学必修I》的第三章3.1.1方程的根与函数的的零点。

教学目标：知识和技能目标：掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。

过程与方法目标：由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想。

情感、态度、价值观目标：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．在教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣，在数学教学中培养学生的辨证思维的思想，以及分析问题解决问题的能力。

教材分析：函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是出等数学与高等数学的连接纽带。

在现实生活实践中，函数与方程都有着十分的应用，在注重理论与实践相结合的今天，有着无可替代的作用，在加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一。

因此函数与方程在高一乃止整个高中数学教学中，占有非常重要的地位。

本节课要求学生通过对二次函数的图象的研究，去判断一元二次方程根的存在性以及根的个数，近而了解函数的零点与一元二次方程根的联系。

它既揭示了初中两大知识方程与函数的内在联系，是对本章函数知识的加深与总结，同时也是对函数知识的总深拓展。

把函数在解方程中加以应用，从而还可以渗透中学的重要数学思想：方程与函数的思想，数形结合的思想。

教学重点难点：1.重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。

2.难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。

教学方法：采用以学生活动为主，自主探究，师生互动的教学方法。

教学流程：一、创设情境、引出问题：1.渗透数学文化：在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月。

方程的根与函数的零点一、教材地位和作用本节课是普通高中实验教科书人教A版必修1第三章第一单元第一节，是后继学习二分法的理论准备。

学生通过了解函数零点与方程根的联系，从而把求方程根的问题转化为求函数零点的问题。

作为函数应用的第一课时，就是要让学生认识到函数与其他数学知识的联系，让学生用函数的图象这个“形”来研究方程的根这个“数”，深刻体会“以形助数”的思想方法二、学情分析（1）知识基础：学生已经熟练掌握一次、二次方程的求解方法，掌握了一些基本初等函数图象的画法，并能从图象中获取一定信息，这是学习本节课的知识基础。

（2）心理准备：公式法求解高次、超越方程的思维受挫是学生学习本节课的内在动机。

三、教学目标1、知识与技能：结合具体的二次函数图象，判断二次方程根的存在性，从而了解函数的零点与方程根的联系，形成函数零点的概念及零点存在的判定方法。

2、过程与方法：在应用函数研究方程的过程中，体会函数与方程思想，数形结合思想以及化归思想；把从特殊函数零点存在的判定方法上升到一般函数，体现了从特殊到一般的研究方法。

3、情感态度价值观：在求解方程根的“山穷水尽”，到研究函数零点的“柳暗花明”，学生了解数学的发展史，感受探究的乐趣。

四、教学重点、难点与关键（1）重点：零点存在定理的发现。

（2）难点：零点存在定理的发现与准确理解。

（3）关键：引导学生运用函数的观点研究方程的根。

五、教法与学法（一）教法设计：本节课借鉴发现教学法，强调教师学生双主体，采用“创设问题情景——师生共同探究——形成概念结论——应用巩固提高”的探究模式，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力（二）学法指导：让学生在自主探究中，学会发现问题并解决问题，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度。

、函数零点的定义：对于函数()y f x =，把使0=的实数x 叫做函数(y f x =_x_ - 1_0 _ - 1 _ - 2_3 _2 _1_4_3_2_1设计理念:本节课借鉴发现教学法，强调教师学生双主体，采用“创设问题情景——师生共同辨析研讨——形成概念结论——应用举例巩固提高”的探究模式，教师真正担当学习情境的创设者，学生探究中的引导者，学生学习中的合作者；而学生则成为新知识的探索者、发现者、建构者，使学生在获得知识的同时，能够掌握学习数学的思维方法、提升进一步学习新知识的能力。

方程的根与函数的零点教案方程的根与函数的零点教案「篇一」知识与技能1．结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；2．结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；3．结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法．过程与方法1．通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；2．通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；3．通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；4．通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力．情感、态度与价值观1．让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；2．培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；3．使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感．教学重点与难点教学重点：零点的概念及零点存在性的判定．教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法．教学的方法与手段授课类型新授课教学方法启发式教学、探究式学习。

方程的根与函数的零点教案「篇二」教学目标：1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

2、理解函数的零点与方程的联系。

3、渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。

教学重点、难点：1、重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法。

2、难点：函数零点存在的条件。

教学过程：1、问题引入探究一元二次方程与相应二次函数的关系。

出示表格，引导学生填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。

一元二次方程方程的根二次函数图像与X轴的交点x2-2x-3=0x1=-1，x2=3y=x2-2x-3（-1，0），（3，0）x2-2x+1=0x1=x2=1y=x2-2x+1（1，0）x2-2x+3=0无实数根y=x2-2x+3无交点（图1-1）函数y=x2-2x-3的图像（图1-2）函数y=x2-2x+1的图像（图1-3）函数y=x2-2x+3的图像归纳：（1）如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴没有交点；（2）如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x轴有交点。

人教版高中必修13.1.1方程的根与函数的零点课程设计1. 课程概述本课程旨在通过学习方程的根与函数的零点，帮助学生掌握方程求解和函数图像的基本方法，并培养学生的数学思维能力和应用能力。

本课程适用于高中数学必修课。

2. 教学目标•掌握根的概念和求解一元二次方程的方法；•掌握函数零点的概念和求解函数零点的方法；•能够应用所学知识解决实际问题；•培养学生的数学思维能力和创新能力。

3. 教学内容3.1 方程的根•根的概念和性质；•一元二次方程的求解方法；•实数系和复数系解。

3.2 函数的零点•零点的定义和性质；•求解函数的零点方法；•实际问题的应用。

4. 教学方法本课程采用讲授与练习相结合的教学方法。

在讲授过程中，通过丰富的例题和思维导图来让学生更好地掌握知识点和方法，同时强调学生的思考和自主探究。

在练习环节中，采用课堂练习和课后作业相结合的方式，巩固所学内容。

5. 教学重点和难点5.1 教学重点•根的概念和性质；•一元二次方程的求解方法；•函数零点的求解方法。

5.2 教学难点•实数系和复数系解；•实际问题的应用。

6. 教学过程6.1 导入（5分钟）通过“根”这个生活中常见的概念引入本课程的学习内容，并简单介绍本课程的目标和重点。

6.2 正文（40分钟）6.2.1 方程的根1.根的概念和性质（10分钟）•介绍“根”的概念，并通过例题让学生掌握根的性质。

2.一元二次方程的求解方法（20分钟）•介绍一元二次方程的基本形式和求解方法，并通过例题演示求解过程。

3.实数系和复数系解（10分钟）•简单介绍实数系和复数系解的概念，并通过例题演示求解过程。

6.2.2 函数的零点1.零点的定义和性质（10分钟）•介绍零点的概念和性质，并通过例题让学生掌握求解零点的基本方法。

2.求解函数的零点方法（20分钟）•介绍函数求解零点的常见方法，并通过例题演示求解过程。

3.实际问题的应用（10分钟）•引入实际问题，并通过例题让学生掌握把函数零点的求解应用到实际问题中的方法。

3.1.1方程的根与函数的零点[学习目标] 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函数的零点与方程的根的联系.知识点一函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.思考函数的零点是点吗？答函数y＝f(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的解，即函数的零点是一个实数.知识点二函数的零点、方程的根、函数图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.知识点三函数零点的判定定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.思考(1)若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0一定成立吗？(2)若函数f(x)在[a，b]上有f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)上一定没有零点吗？答(1)不一定.可能y＝f(x)在x＝a或y＝b处无定义；即使有定义，也可能f(a)·f(b)>0.如函数y＝(x－1)2在(0,2)内有零点，但f(0)·f(2)>0.(2)不一定，如y＝(x－1)2，在[0,2]上f(0)·f(2)>0，但f(x)在(0,2)上有零点1.题型一求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f (x )＝1－log 2(x ＋3)； (3)f (x )＝2x －1－3； (4)f (x )＝x 2＋4x －12x －2.解 (1)解方程f (x )＝x 2＋7x ＋6＝0，得x ＝－1或x ＝－6，所以函数的零点是－1，－6. (2)解方程f (x )＝1－log 2(x ＋3)＝0，得x ＝－1， 所以函数的零点是－1.(3)解方程f (x )＝2x －1－3＝0，得x ＝log 26， 所以函数的零点是log 26.(4)解方程f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝0，得x ＝－6，所以函数的零点为－6.反思与感悟 求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.跟踪训练1 函数y ＝x －1的零点是( ) A.(1,0) B.0 C.1 D.不存在 答案 C解析 令y ＝x －1＝0，得x ＝1，故函数y ＝x －1的零点为1. 题型二 判断函数零点所在区间例2 已知函数f (x )＝x 3－x －1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是( ) A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1) 答案 C解析 ∵f (0)＝－1<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝5>0，f (3)＝23>0，f (4)＝59>0. ∴f (1)·f (2)<0，此零点一定在(1,2)内.反思与感悟 1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象. 2.要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 ，若f (x )图象在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上必有零点，若f (a )·f (b )＞0，则f (x )在(a ，b )上不一定没有零点.跟踪训练2 函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A.(－2，－1) B.(－1,0) C.(0,1) D.(1,2)答案 C解析 ∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)·f(1)＜0，∴f(x)在(0,1)内有零点.题型三判断函数零点的个数例3判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数.解方法一函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x 与y＝3－x2的图象交点个数.在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点.从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点.方法二由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，所以f(1)·f(2)＜0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个.反思与感悟判断函数零点个数的方法：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一直角坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数.跟踪训练3函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数为()A.1B.2C.0D.不能确定答案B解析如图所示，分别作出y＝ln x，y＝x－2的图象，可知两函数有两个交点，即f(x)有两个零点.题型四一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的区间根问题例4关于x的方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范围.解方法一(应用求根公式)方程x2－2ax＋4＝0的两根为x ＝2a ±4a 2－162＝a ±a 2－4，要使两根均大于1，只需较小根a －a 2－4>1即可. 解得2≤a <52.方法二 (应用根与系数的关系)设x 1，x 2为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根， 则有x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝4.①要使原方程x 2－2ax ＋4＝0的两根x 1，x 2均大于1， 则需满足⎩⎪⎨⎪⎧(x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，Δ≥0.将①代入上述不等式组，解得2≤a <52.方法三 (应用二次函数的图象) 设f (x )＝x 2－2ax ＋4，图象如图所示. 由图可知⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f (1)>0，－－2a 2>1，解得2≤a <52.反思与感悟 1.在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑以下四个方面：(1)Δ与0的关系；(2)对称轴与所给端点值的关系；(3)端点的函数值与零的关系；(4)开口方向. 2.设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的两个实数根，则x 1，x 2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表所示.根的分布图象等价条件x 1<x 2<k⎩⎨⎧ Δ>0f (k )>0－b 2a <kk <x 1<x 2⎩⎨⎧Δ>0f (k )>0－b 2a >kx 1<k <x 2f(k)<0x 1，x 2∈(k 1，k 2)⎩⎨⎧Δ≥0f (k 1)>0f (k 2)>0k 1<－b 2a <k2x 1，x 2(x 1≠x 2)中有且仅有一个在(k 1，k 2)内f (k 1)·f (k 2)<0或f (k 1)＝0，k 1<－b 2a <k 1＋k 22或f (k 2)＝0，k 1＋k 22<－b2a<k 2跟踪训练4 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1有两个零点x 1，x 2，且x 1∈(0,1)，x 2∈(－4，－2)，求a 的取值范围.解 ∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的图象是连续的且两点x 1，x 2满足x 2∈(－4，－2)，x 1∈(0,1).∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)·f (1)<0⇒3a ＋1<0，f (－4)·f (－2)<0⇒8a ＋1<0⇒a <－13.∴a 的取值范围为a <－13.数形结合思想例5 已知关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是_____. 答案 1解析 如图所示，由图象知直线y ＝1与y ＝|x 2－4x ＋3|的图象有三个交点，则方程|x 2－4x ＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a ＝1.反思与感悟 求解这类问题可先将原式变形为f (x )＝g (x )，则方程f (x )＝g (x )的不同解的个数等于函数f (x )与g (x )图象交点的个数，分别画出两个函数的图象，利用数形结合的思想使问题得解.跟踪训练5 当m 为何值时，方程x 2－4|x |＋5＝m 有4个互不相等的实数根？ 解 令f (x )＝x 2－4|x |＋5，作出其图象，如图所示，由图象可知，当1<m <5时，方程x 2－4|x |＋5＝m 有4个互不相等的实数根.1.函数y ＝4x －2的零点是( ) A.2 B.(－2,0) C.⎝⎛⎭⎫12，0 D.12 答案 D解析 令y ＝4x －2＝0，得x ＝12.∴函数y ＝4x －2的零点为12.2.对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)＜0，则( ) A.方程f (x )＝0一定有实数解 B.方程f (x )＝0一定无实数解 C.方程f (x )＝0一定有两实数解 D.方程f (x )＝0可能无实数解 答案 D解析 ∵函数f (x )的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)＜0，但未必函数y ＝f (x )在(－1,3)上有实数解.3.方程2x －x 2＝0的解的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C解析 在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 及y ＝x 2的图象，可看出两图象有三个交点，故2x －x 2＝0的解的个数为3.4.已知函数f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比0大，一个零点比0小，则实数a 的取值范围为________. 答案 (－∞，2)解析 由题意可知f (0)＝a －2<0，解得a <2.1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.2.方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标.3.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.一、选择题1.下列图象表示的函数中没有零点的是( )答案 A解析 B ，C ，D 的图象均与x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图象与x 轴没有交点，故函数没有零点.2.函数f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10)的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C解析 ∵f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10) ＝(x －1)(x ＋5)(x －2)，∴由f (x )＝0得x ＝－5或x ＝1或x ＝2.3.下列区间中，存在函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点的是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2，e)D.(3,4) 答案 B解析 f (1)＝ln 2－2<0，f (2)＝ln 3－1>0，故在区间(1,2)上存在函数f (x )的零点.4.已知函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的，且满足f (a )·f (b )<0(a ，b ∈R ，a <b )，则函数f (x )在(a ，b )内( ) A.有且只有一个零点 B.至少有一个零点 C.无零点 D.无法确定有无零点答案 B解析 函数y ＝f (x )在定义域内连续，且满足f (a )·f (b )<0，故函数f (x )在(a ，b )内至少有一个零点.5.若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是( ) A.－1和16B.1和－16C.12和13D.－12和3答案 B解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3＝a ，2×3＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝6，∴g (x )＝6x 2－5x －1，∴g (x )的零点为1和－16，故选B.6.函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上的零点( ) A.至多有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有一个 D.一个也没有答案 C解析 若a ＝0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是一次函数，由已知f (1)·f (2)<0，得只有一个零点；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，若有两个零点，则应有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾.故仅有一个零点. 二、填空题7.若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，则a ＝__________. 答案 0或－14解析 a ＝0时，f (x )只有一个零点－1， a ≠0时，由Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.8.设x 0是方程ln x ＋x ＝4的根，且x 0∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 答案 2解析 令f (x )＝ln x ＋x －4， 且f (x )在(0，＋∞)上递增， ∵f (2)＝ln 2＋2－4＜0， f (3)＝ln 3－1＞0.∴f (x )在(2,3)内有解，∴k ＝2.9.函数f (x )＝x 2－2x ＋a 在区间(－2,0)和(2,3)内各有一个零点，则实数a 的取值范围是_____.答案 (－3,0)解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋a 在区间(－2,0)和(2,3)内各有一个零点，由二次函数图象的性质，知⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)>0，f (0)<0，f (2)<0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧8＋a >0，a <0，a <0，3＋a >0，解得－3<a <0.10.如果函数f (x )＝ax －b 有一个零点是3，那么函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点是______. 答案 0，－1解析 由f (x )＝ax －b 有零点3，即3a －b ＝0，b ＝3a . ∴bx 2＋3ax ＝0，即3ax 2＋3ax ＝0， ∴x ＝0或x ＝－1. 三、解答题11.已知函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，求函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点. 解 由题意得x 2－ax －b ＝0有两根2和3，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2＋3，－b ＝2×3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6，∴g (x )＝－6x 2－5x －1.令g (x )＝0，得6x 2＋5x ＋1＝0即(2x ＋1)(3x ＋1)＝0，得x ＝－12，或x ＝－13.∴g (x )的零点为－12，－13.12.已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4 ，求下列条件下，实数a 的取值范围. (1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内. 解 (1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1， 结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 ⎩⎪⎨⎪⎧(－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a ＞0，a ＞1.解得2≤a ＜52.(2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f (1)＝5－2a ＜0，解得a ＞52.(3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内， 结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝4＞0，f (1)＝5－2a ＜0，f (6)＝40－12a ＜0，f (8)＝68－16a ＞0，解得103＜a ＜174.13.已知二次函数f (x )满足：f (0)＝3；f (x ＋1)＝f (x )＋2x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝f (|x |)＋m (m ∈R )，若函数g (x )有4个零点，求实数m 的取值范围. 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝3， ∴c ＝3，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3. f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋3 ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋(a ＋b ＋3)， f (x )＋2x ＝ax 2＋(b ＋2)x ＋3， ∵f (x ＋1)＝f (x )＋2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋2，a ＋b ＋3＝3，解得a ＝1，b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋3.(2)由(1)，得g (x )＝x 2－|x |＋3＋m ，在平面直角坐标系中，画出函数g (x )的图象，如图所示，由于函数g (x )有4个零点，则函数g (x )的图象与x 轴有4个交点. 由图象得⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ＞0，114＋m ＜0，解得－3＜m ＜－114，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，－114.。

《方程的根与函数的零点》教学设计一、创设情境问题引入：求方程01532=-+x x 的实数根． 变式：求方程01535=-+x x 的实数根． 数学史上，人们曾希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果，1824年挪威年仅22岁的数学家阿贝尔（N.H.Abel ，1802-1829）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解．五次以上的高次方程不能用代数运算来求解，我们就必须寻求新的角度——函数来解决这个方程的问题．【设计意图】从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究．通过对数学史的讲解，培养学生学习数学的兴趣，开门见山地提出利用函数思想解决方程根的问题．二、新知探究1．零点的概念问题1：求方程0322=--x x 的实数根，并画出函数322--=x x y 的图象． 1-，3具有多重角色，它能够使这个方程成立，也能够使这个函数的函数值为0，它又是函数图象与x 轴交点的横坐标．这样1-，3就把函数与方程联系到一起了，在方程里，1-，3叫做方程的实数根，在函数里，它能够使得函数值为0，我们就称它为函数的零点．定义：对于函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点（zero point ）．【设计意图】以学生熟悉一元二次方程和二次函数图象为平台，观察方程和函数形式上的联系，得出函数零点的概念．问题2：下列函数的零点分别多少？（1）38y x =-；（2）(1)(2)(3)y x x x =---；（3）221y x x =-+；（4）223y x x =-+． 结论：方程0)(=x f 有实数根0x ⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点坐标为)0,(0x ⇔函数)(x f y =有零点0x ．【设计意图】通过练习，使学生进一步理解函数零点的概念，强调求函数的零点可转化为求方程的根或求函数图象与x 轴的交点．2．函数零点的判定问题3：如图是某地0～12时的气温变化图，中间一部分看不清楚，假设气温是连续变化的，请将图形补充成完整的函数图象．这段时间内，是否一定有某时刻的气温为 0C？/h为什么？（展示学生解答）因为气温是连续不断的，并且0时的温度是－4 C ，12时的温度是8 C ，所以这两点之间一定会通过0 C ．问题4：满足什么条件，函数)(x f y =在))(,()),(,(b f b B a f a A 间的图象与x 轴一定有交点？ 图象是连续不断的，端点值异号()()0f a f b ⋅<．【设计意图】从现实生活中的问题，让学生体会动与静的关系，整体与局部的关系．将现实生活中的问题抽象成数学模型，由图形语言转化为数学语言，培养学生的观察能力和提取有效信息的能力．零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根．下面我们对这个定理做更深入的探讨．问题5：如果函数的图象不是连续不断的，结论会不会一定成立？不一定．（用反比例函数来演示）问题6：若函数)(x f y =在),(b a 内有零点，一定有0)()(<⋅b f a f 吗？不一定．（32)(2--=x x x f ，可以发现在区间]4,2[-上有零点，但0)4()2(>⋅-f f ．） 函数存在零点，端点函数值不一定异号．问题7：满足定理条件，函数)(x f y =在区间),(b a 内有几个零点？至少有一个．（用函数(1)(2)(3)(4)y x x x x =----的图象说明）．【设计意图】使学生准确理解零点存在性定理，强调结论不能随便改动．三、新知应用1．回扣：观察下表，分析函数153)(5-+=x x x f 在定义域内是否存在零点？分析：函数153)(5-+=x x x f 图象是连续不断的，又因为0)1()0(<⋅f f ，所以在区间)1,0(上必存在零点．引申：函数在定义域上是不是只有一个零点吗？（通过几何画板作图帮助了解零点的情况．） 函数)(x f y =在区间),(b a 上存在零点且单调，则零点唯一．【设计意图】初步应用定理来判断函数零点存在问题．引导学生探索判断函数零点的方法，通过作出)(,x f x 的对应值表，来寻找函数值异号的区间；借助几何画板作出函数的图象分析零点问题，并对函数有一个零点形成直观认识，为例2判断函数零点的个数作好准备．2．例题：求函数62ln )(-+=x x x f 的零点个数．分析：用计算器或计算机作出)(,x f x 的对应值表和图象．由表可知，0)3(,0)2(><f f ，则0)3()2(<⋅f f ，说明函数)(x f 在区间)3,2(内有零点． 结合函数)(x f 的单调性，)(x f 的零点仅有一个．如果没有计算器或计算机，如何来找呢？在定义域(0,)+∞上找特殊点进行估值：(1)40f =-<，(2)ln 22ln 210f e =-<-=-<，01ln 3ln )3(>=>=e f ，0)3()2(<⋅f f ．结论：图象连续的单调函数若存在零点，则零点唯一．【设计意图】学生应用例题1方法来解决例题2的零点存在性问题，并结合函数的单调性判断零点的个数问题．3．练习：求函数3()35f x x x =--+的零点个数．【设计意图】通过练习使学生进一步理解函数零点个数的判定方法，形成运用定理解决问题的能力．四、达标测试1．若函数b ax x x f --=2)(的两个零点是2和3，则ab =＿＿＿．2．已知函数)(x f 图像是连续不断的，且有如下对应值表：则函数至少有零点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．设0x 是方程04ln =-+x x 的根，则0x 在下列哪个区间内 ( )A ．)2,1(B ．)3,2(C ．)4,3(D ．)5,4(4．函数1()e 4x f x x -=+-的零点有＿＿＿个．答案：1．－30 2．C 3．B 4．1【设计意图】通过达标测试，使学生充分理解本课所学知识，检测学生对知识的掌握程度．五、课堂小结一个概念 一个结论 一个例题六、课后作业课本88P 练习2 92P 习题A 1，2．七、下节预告我们已经可以利用求根公式来求一些方程的根，对于没有公式解的方程，我们借助函数的零点能估计方程的根所处的大致区间，能不能求出方程的根呢？这就是我们下节课学习的内容――用二分法求方程的近似解．。

《方程的根与函数的零点》教学设计【学习目标】1．理解函数零点的意义2．会求简单函数的零点，了解函数零点与方程根的关系【教学流程】一、复习回顾，奠定基础{课件投影}（一） 问题1 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数的图象与x 轴的交点坐标问题2 从上面的表格，你能发现方程的实数根与函数图象和X 轴的交点具有什么样的关系吗？要求：先独立完成，画出标准函数图象，然后小组内部交流答案并派代表展示结果，其它组的同学若有不同意见请及时补充完善.设计意图：从学生熟知的、具体的二次函数入手，设置学生的最近思维发展区，使新知识与原有知识形成联系{课件投影} 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x 轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？（要求：请同学们根据下面的表格，独立完成。

然后小组内部交流意见和解题方法，并派代表展示结果，其它组的同学若有不同意见请及时补充完善.）方 程 x 2－2x+1=0 x 2－2x+3=0 y= x 2－2x －3 y= x 2－2x+1 函 数 函数的 图象 方程的实数x 2－2x －3=0 函数图象与X 轴的y= x 2－2x+3函数的图象函数y= ax 2 +bx+c (a>0)的图象 方程ax 2 +bx+c=0 (a>0)的根 判别式△ =b 2－4ac △＞0 △=0 △＜0设计意图：由具体的一元二次方程和二次函数到一般的一元二次方程和二次函数，既有利于学生掌握知识，又有助于学生抽象思维能力的形成。

二、合作探究 发现规律（一）直观感知，形成思路{课件投影} 1、零点是点吗？2、方程的实数根，函数的零点、函数y=f(x)的图象与x 轴的交点有什么关系？3、求函数零点的方法有几种？（要求：独立思考上面的问题，2分钟后小组讨论给出答案，并说明理由。

其它同学认真聆听，有不同意见及时补充完善）设计意图：让学生自己探究出函数零点的性质，以及函数的零点和方程的根之间的关系，记忆更加深刻{课件投影} 请同学们认真阅读习题，独立完成，2分钟后举手回答下列问题，其它同学如果有不同意见，请补充完善。

《方程的根与函数的零点》教案教材：人教A版教材必修1一、教材分析（一）内容《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理，是一节概念课．（二）地位函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起．本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要．（三）教学目标1．通过观察二次函数的图像，准确判断一元二次方程根的存在性及根的个数，描述函数的零点与方程的根的关系．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．2.通过研究具体的二次函数再到研究一般的函数，让学生经历“类比→归纳→应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法．3.在函数与方程的联系中体验数形结合思想与转化思想的意义与价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．（四）重点、难点重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．难点：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．二、学情分析高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图像已经有了一个比较系统的认识与理解．特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位．三、教法、学法与教学手段在教法上，本次课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。

人教版高中必修13.1.1方程的根与函数的零点教学设计一、教学目标1.了解函数的零点与方程的根的定义及其在实际生活中的应用；2.掌握方程的根与函数的零点的求解方法；3.能够应用所学知识解决实际问题。

二、教学重点1.函数的零点与方程的根的概念；2.方程的根与函数的零点的求解方法。

三、教学难点1.如何将方程转化为函数，从而求得函数的零点；2.如何将函数转化为方程，从而求得方程的根。

四、教学方法1.讲授法：通过讲授基础知识、解题技巧等，让学生掌握相关知识；2.实践法：通过实例演练、课堂讨论等方式，让学生深入理解所学知识并进行实践操作；3.合作学习法：通过小组讨论、合作完成任务等方式，培养学生合作精神和实际操作能力。

五、教学过程1. 导入（5分钟）介绍人教版高中必修13.1.1方程的根与函数的零点的教学内容，引入本课讲授目的和教学重点。

2. 讲授（30分钟）1.介绍函数的零点与方程的根的定义及其在实际生活中的应用；2.讲解方程的根与函数的零点的求解方法；3.通过范例演示，让学生掌握相关解题技巧。

3. 实践（30分钟）1.将给定方程转化为函数，并求出函数的零点；2.将给定函数转化为方程，并求出方程的根；3.学生自主解决实际问题。

4. 合作学习（20分钟）组成小组，进行合作学习，通过合作完成相关任务，培养学生合作精神和实际操作能力。

5. 总结（5分钟）回顾本节课所学内容，概括所学知识点及解题方法，引导学生进行课后巩固和练习。

六、教学工具黑板、白板、笔记本电脑、投影仪等。

七、教学评估1.课堂练习：通过课堂练习，检测学生掌握情况；2.作业与考试：通过作业和考试，评估学生对所学知识的掌握程度。

八、教学后记本节课的教学内容需要结合具体实际问题进行讲解，帮助学生更好地理解相关概念及应用。

在讲解过程中要注意引导学生掌握解题思路，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的实践操作能力。

同时，在教学结束后要及时复习巩固所学内容，并对学生的评估结果进行分析和总结，为下一步的教学提供参考依据。