复数与复变函数

复变函数知识点总结复变函数是数学中重要的概念，它在分析学、微分几何、数学物理等领域都有着广泛的应用。

本文将对复变函数的基本概念、性质和常见定理进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握复变函数的相关知识。

1. 复数与复变函数。

复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为z=x+iy，其中x为实部，y为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。

复数可以用平面上的点来表示，称为复平面，实部x对应横坐标，虚部y对应纵坐标。

复变函数是定义在复平面上的函数，通常表示为f(z)，其中z为复数变量。

2. 复变函数的导数与解析函数。

与实变函数类似，复变函数也有导数的概念，称为复导数。

如果一个函数在某点处可导，并且在该点的邻域内处处可导，那么称该函数在该邻域内解析。

解析函数具有很多良好的性质，比如在其定义域内可以展开成幂级数。

3. 共轭与调和函数。

对于复数z=x+iy，其共轭复数定义为z的实部不变，虚部取相反数，记为z=x-iy。

对于复变函数f(z)，如果它满足柯西-黎曼方程，即满足一阶偏导数存在且连续，并且满足偏导数的连续性条件，那么称f(z)为调和函数。

4. 柯西-黎曼方程与全纯函数。

柯西-黎曼方程是复变函数理论中的重要定理，它建立了解析函数与调和函数之间的联系。

柯西-黎曼方程指出，如果复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某点处可导，那么它满足柯西-黎曼方程，即u和v满足一阶偏导数的连续性条件。

满足柯西-黎曼方程的函数称为全纯函数，也称为解析函数。

5. 柯西积分定理与留数定理。

柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理之一，它指出如果f(z)在闭合区域内解析，并且沿着闭合区域的边界进行积分，那么积分结果为0。

留数定理是计算闭合曲线积分的重要方法，它将积分结果与函数在奇点处的留数联系起来，从而简化了积分的计算。

6. 应用领域。

复变函数在物理学、工程学、经济学等领域都有着重要的应用，比如在电路分析中的传输线理论、振动理论中的阻尼比计算、流体力学中的势流与涡流等方面都需要用到复变函数的知识。

第一章㊀复数与复变函数复变函数的定义域和值域均取自复数域．因此,在展开主要内容之前,有必要系统地学习复数的概念及相关性质．第一节㊀复数及其代数运算㊀㊀一㊁复数的概念定义１．１㊀形如z ＝x ＋i y 或z ＝x ＋y i 的数称为复数,其中x ,y 为两个实数,分别称为复数z 的实部和虚部,并记为x ＝R e (z ),y ＝I m (z )．i 称为虚数单位,满足i ２＝－１显然,当虚部y ＝０时,复数z 就是实数;当实部x ＝０且虚部y ʂ０时,复数z ＝i y 称为纯虚数;两个复数z １＝x １＋i y １与z ２＝x ２＋i y ２相等,当且仅当z １,z ２实部㊁虚部分别对应相等,即x１＝x ２,y １＝y ２;称复数x －i y 为复数x ＋i y 的共轭,记为．㊀㊀二㊁复数的四则运算记z １＝x １＋i y １,z ２＝x ２＋i y ２,则两个复数的和、差与乘积的定义如下z １ʃz ２＝(x １ʃx ２)＋i (y １ʃy ２)㊀㊀㊀(１１)z １z ２＝(x １x ２－y １y ２)＋i (x １y ２＋x ２y １)(１２)当z ２ʂ０时,可以定义除法z １z ２＝x １＋i y １x ２＋i y ２＝x １x ２＋y １y ２x ２２＋y ２２＋i x ２y １－x １y ２x ２２＋y ２２(１３)㊀㊀三㊁复数的运算性质由复数四则运算的定义,不难验证以下的复数的运算性质:(１)封闭性,即复数的四则运算的结果仍是一个复数;(２)加法交换律,即z １＋z ２＝z ２＋z １;(３)加法结合律,即(z １＋z ２)＋z ３＝z １＋(z ２＋z ３);(４)乘法对加法的分配律,即z １(z ２＋z ３)＝z １z ２＋z １z ３;(５)乘法交换律与结合律,即z １z ２＝z ２z １及(z １z ２)z ３＝z １(z ２z ３)．(６)共轭运算的性质z １ʃz ２＝１ʃ２z １z ２＝１２z １z ２æèçöø÷＝１２()＝z z ＋＝２xz－＝２yi (读者自行证明)例１ １㊀设z １,z ２是两个复数,证明:如果z １＋z ２及z １z ２都是实数,那么z １,z ２或者都是实数,或者是共轭复数．证㊀设z １＝x １＋i y １,z ２＝x ２＋i y ２,则z １＋z ２＝(x １＋x ２)＋i (y １＋y ２),㊀z １z ２＝(x １x ２－y １y ２)＋i (x １y ２＋x ２y １)由题设知y １＋y ２＝０㊀及㊀x １y ２＋x ２y １＝０(１)当y １＝０时,y ２＝０,这时z １,z ２为实数;(２)当y １ʂ０时,y １＝－y ２,从而由第二式得x １＝x ２,这时z １和z ２为共轭复数．㊀证毕．注㊀当z １＝２时,z １z ２＝x ２１＋y ２１．例１ ２㊀设z ＝１－２i ３＋４i ,求及z ．解㊀z ＝(１－２i )(３－４i )(３＋４i )(３－４i )＝－５－１０i ２５＝－１５－２５i所以＝－１５＋２５i ,㊀z ＝－１５æèçöø÷２＋－２５æèçöø÷２＝１５第二节㊀复数的几何表示㊀㊀一、复平面一个复数x ＋i y 可完全由一对有序数组(x ,y )所确定．因此,我们在平面上可 ２ 复变函数与积分变换(第二版)图１１建立直角坐标系,使得复数x ＋i y 与平面上的点(x ,y )一一对应(图１１)．由于实数x (y ＝０)对应于横坐标轴上的点,纯虚数i y (x ＝０,y ʂ０)对应于纵坐标轴上的点,故将平面直角坐标系中的横坐标轴改称实轴,纵坐标轴改称虚轴,并称这个平面为复平面,或z 平面．㊀㊀二㊁复数的点表示引入复平面后,复数与平面之间建立了一一对应,从而复数的许多结果得到了几何直观的解释．为方便起见,复数z 和复平面上的点z 可等同叙述,如{z |I m z ＞０}㊀与㊀{z |０ɤR e z ɤ１,０ɤI m z ɤ１}分别表示上半平面和以０,１,１＋i ,i 为顶点的正方形．图１２㊀I m z ＞０㊀㊀㊀㊀图１３㊀０ɤR e z ɤ１,０ɤI m z ɤ１图１４㊀㊀三㊁复数的向量表示如果把复数z ＝x ＋i y 的实部和虚部作为平面向量在两坐标轴上的投影,则复数z ＝x ＋i y 可用平面向量O z ң＝{x ,y }表示(图１４)．向量O z ң的模称为复数z 的模,记为|z |＝r ＝x ２＋y ２(１４)它是点z 到原点的距离,即向量O z ң的长度．由模的定义易得|x |ɤ|z |,㊀|y |ɤ|z |,㊀|z |ɤ|x |＋|y |,㊀z z ＝|z |２(１５)定义１．２㊀当z ʂ０时,以实轴正向为始边,以复数z 对应的向量O z ң为终边的角称为复数z 的辐角,记为A r g z ．令A r g z ＝θ,则由向量的性质可得x ＝|z |c o s θ,㊀y ＝|z |s i n θ,㊀t a n θ＝y x (１６) ３ 第一章㊀复数与复变函数需要指出的是,任何一个不为０的复数均有无穷多个辐角,若θ１为z 的一个辐角,则A r g z ＝θ１＋２k π㊀(k ɪZ )(１７)都是z 的辐角．在复数z (ʂ０)的辐角中,满足－π＜θ０ɤπ的辐角θ０称为复数z 的辐角主值,记为θ０＝ar g z ．当z ＝０时,O z ң表示零向量,其辐角不定．非零复数z ＝x ＋i y 的辐角主值ar g z 可以由下式确定a r g z ＝a r c t a n y x ,当x ＞０π＋a r c t a n y x ,当x ＜０,y ＞０－π＋a r c t a n y x ,当x ＜０,y ＜０π当x ＜０,y ＝０π２当x ＝０,y ＞０－π２当x ＝０,y ＜０ìîíïïïïïïïïïïïïïï(１８)将复数视为向量时,复数的加减法遵循平行四边形法则或三角形法则(图１５)．㊀图１５从三角形法则,可以得到以下的三角不等式|z １＋z ２|ɤ|z １|＋|z ２|㊀(１９)|z １－z ２|ȡ||z １|－|z ２||(１１０)㊀㊀四、复数的乘方与开方设z 为一个复数,由(１４)和(１６)式可知,z 可以表示为４ 复变函数与积分变换(第二版)z ＝r (c o s θ＋i s i n θ)(１１１)其中r 表示复数z 的模,θ为复数z 的辐角,(１１１)式称为复数z 的三角表达式．利用欧拉公式e i θ＝c o s θ＋i s i n θ(１１２)我们可以把复数z 表示为z ＝r e iθ(１１３)这称为复数的指数表达式,易知此时＝re －i θ．利用复数的指数表达式,我们很容易计算出复数z 的乘除法公式和乘方公式:设z １＝r １(c o s θ１＋i s i n θ１),z ２＝r ２(c o s θ２＋i s i n θ２),则㊀z １z ２＝r １r ２[c o s (θ１＋θ２)＋i s i n (θ１＋θ２)]㊀或㊀z １z ２＝r １r ２e i (θ１＋θ２)(１１４)z ２z １＝r ２r １[c o s (θ２－θ１)＋i s i n (θ２－θ１)]㊀或㊀z １z ２＝r ２r １e i (θ２－θ１)(r １ʂ０)(１１５)z n ＝z z ︸n 个＝r e i θ r e i θ r e i θ n 个＝r n e i nθ(１１６)或z n ＝r n (c o s n θ＋i s i n n θ)(１１７)如果定义z －n ＝１z n ,那么当n 为复整数时,(１１６)和(１１７)式也是成立的．由(１１１)和(１１７)式,当r ＝１时可以导出著名的棣莫弗公式(c o s θ＋i s i n θ)n ＝c o s n θ＋i s i n n θ(１１８)将此式的左端展开,再分为实部和虚部,就可以得到n 倍角公式．例如,令n ＝３,由于㊀(c o s θ＋i s i n θ)３＝[c o s ２θ－s i n ２θ＋i (c o s θs i n θ＋c o s θs i n θ)](c o s θ＋i s i n θ)＝c o s ３θ－３c o s θs i n ２θ＋i (３c o s ２θs i n θ－s i n ３θ)所以有c o s ３θ＝c o s ３θ－３c o s θs i n ２θs i n ３θ＝３c o s ２θs i n θ－s i n ３θ再来考虑开方运算．对于一个复数z １,如果有另一个复数z ２及一个正整数n,使得z n ２＝z １,则z ２称为z １的一个n 次方根．下面给出求z １的n 次方根公式．设已知５ 第一章㊀复数与复变函数z １＝r (co s θ＋i s i n θ)其n 次方根z ２＝ρ(c o s φ＋i s i n φ),下面来计算ρ和φ．由于z n ２＝z １,所以有[ρ(c o s φ＋i s i n φ)]n ＝r (c o s θ＋i s i n θ)即得ρn (c o s n φ＋i s i n n φ)＝r (c o s θ＋i s i n θ)所以ρ＝r １n ,㊀n φ＝θ＋２k π(k ɪZ )故知z ２＝r １n c o s θ＋２k πn ＋i s i n θ＋２k πn æèçöø÷(１１９)注意到当k 取连续的n 个整数,例如１,２, ,n 时,可以得到φ的n 个值,其中任意两个值相差不超过２π．因此,z ２至少可以取n 个值．当k 的取值超过n 个时,必有φ的两个值,其差为２π的整数倍．因此,z ２至多取n 个值．因此,当z １ʂ０时,z２可以恰好取n 个值,且z ２＝|z １|１n c o s a r g z １＋２k πn ＋i s i n a r g z １＋２k πn æèçöø÷(k ＝０,１, ,n －１)(１２０)例１ ３㊀设z １＝１＋i ,z ２＝１＋３i ,求A r g z １z ２æèçöø÷．解㊀z １＝１＋i ＝２c o s π４＋i s i n π４æèçöø÷＝２e π４i z ２＝１＋３i ＝２c o s π３＋i s i n π３æèçöø÷＝２e π３i 所以A r g z １z ２æèçöø÷＝A r g ２e π４i ２e π３i æèçöø÷＝A r g ２２e －π１２i æèçöø÷＝－π１２＋２k π㊀(k ɪZ )例１ ４㊀求:(１)４－１;㊀㊀㊀㊀㊀(２)５１＋i ．解㊀(１)因为－１＝c o s π＋i s i n π,所以４－１＝c o s π＋２k π４＋i s i n π＋２k π４㊀(k ＝０,１,２,３) ６ 复变函数与积分变换(第二版)即４－１有４个不同的值,分别为ω０＝co s π４＋i s i n π４＝２２(１＋i )ω１＝co s π＋２π４＋i s i n π＋２π４＝２２(－１＋i )ω２＝co s π＋４π４＋i s i n π＋４π４＝２２(－１－i )ω３＝c o s π＋６π４＋i s i n π＋６π４＝２２(１－i )(２)因为１＋i ＝２c o s π４＋i s i n π４æèçöø÷,所以５１＋i ＝１０２æèççc o s π４＋２k π５＋i s i n π４＋２k π５öø÷÷㊀(k ＝０,１,２,３,４)即５１＋i 有５个不同的值,分别为ω０＝１０２c o s π２０＋i s i n π２０æèçöø÷ω１＝１０２c o s ９π２０＋i s i n ９π２０æèçöø÷ω２＝１０２c o s １７π２０＋i s i n １７π２０æèçöø÷ω３＝１０２c o s ２５π２０＋i s i n ２５π２０æèçöø÷ω４＝１０２c o s ３３２０π＋i s i n ３３２０πæèçöø÷它们是内接于以原点为中心㊁１０２为半径的圆的内接正五边形的５个顶点．注意:在复数范围内,方程z ３－１＝０有３个不同的根,分别为１,㊀－１２＋３２i ,㊀－１２－３２i 第三节㊀无穷远点和复球面㊀㊀一、无穷远点为了使复数运算在许多情况下是可以进行的,我们不但要讨论有限复数,还要７ 第一章㊀复数与复变函数讨论一个特殊的 复数 无穷大,记为ɕ,它是由下式ɕ＝１０来定义的,它和有限数的四则运算定义如下:a ＋ɕ＝ɕ＋a ＝ɕ㊀㊀㊀㊀㊀(a ʂɕ)ɕ－a ＝ɕ,㊀a －ɕ＝ɕ(a ʂɕ)a ɕ＝ɕ a ＝ɕ㊀(a ʂ０)a ɕ＝０,㊀ɕa ＝ɕ㊀(a ʂɕ)a ０＝ɕ㊀(a ʂ０)为避免矛盾,对于ɕʃɕ,０ ɕ,ɕɕ,００均无规定．对于复数ɕ,其实部㊁虚部及辐角均无意义,其模规定为＋ɕ．对于其他的每个复数z ,都有|z |＜＋ɕ．在复平面上,没有一个确定的点与ɕ相对应,但可以设想复平面上有一个理想点与它对应,此点称为无穷远点．我们规定复平面上只有一个无穷远点．复平面加上无穷远点称为扩充复平面,也称闭平面．扩充复平面上的每一条直线都通过无穷远点．为了使无穷远点的存在得到直观解释,黎曼特别创造了复数的球面表示法．图１６㊀㊀二、复球面以复平面的原点为球心,作半径为１的球．从原点引垂直于复平面的直线为z 轴,交球面于N 和S ,分别称为北极和南极,如图１６所示．对复平面上的任一点z ,从起点N 引过z 的射线,交球面于P ;反之,由起点N 出发,过球面上任一点P 的射线交复平面于一点,记为z ．这样,我们就建立了球面上的点(除N 外)与复平面上点的一一对应,从而可以用球面上的点(除N 外)来表示复数．应当注意到,以这样的方式建立的一一对应中,复平面内并无一个点与球面上的N 点对应．由于当z 的模|z |无限变大时,P 就无限接近N ,为使复平面上的点与球面上的点都能一一对应,我们在复平面上增加 无穷远点 ,使之与球面上的N 点对应．这样,扩充复平面就与球面之间建立了一一对应,这个球面称为复球面,其上 ８ 复变函数与积分变换(第二版)的N 点就是 无穷远点 ．第四节㊀复平面上的点集㊀㊀一㊁邻域㊁开集复平面上以z ０为圆心㊁r 为半径的圆面(不包括圆周)称为z ０的r 邻域,记为U (z ０,r ),则U (z ０,r )＝{z ||z －z ０|＜r }称U .(z ０,r )＝{z |０＜|z －z ０|＜r }为z ０的去心r 邻域．设D 为复平面上的点集．㊀如果存在z ０的某个邻域U (z ０,r )使得U (z ０,r )⊂D ,则称z ０为D 的一个内点．D 的所有内点构成D 的内部,记为i n t D ．如果z ０的任一邻域中,既有D 中点也有D 的余集中的点,则称z ０为D 的一个边界点．D 的所有边界点构成D 的边界,记为ƏD ．如果D ＝i n t D ,则称D 为一个开集;如果ƏD ⊂D ,则称D 为一个闭集．例如:|z －i |＜２为开集,|z －i |ɤ２为闭集．㊀㊀二㊁区域定义１．３㊀设D 为复平面上的点集,如果D 满足:(１)D 是一个开集;(２)D 中任何两点都可以用完全包含于D 内的一条折线连接起来(这个性质称为D 的连通性)则称D 为复平面上的一个区域．D ɣƏD 称为闭区域,记为D ．如果区域D 可以包含在一个圆周之中,则称该区域为有界区域,否则称为无界区域．例１ ５㊀复平面上,满足r １＜|z －z ０|＜r ２(r １＜r ２)的所有点构成一个有界区域(图１７),其边界为圆周|z －z ０|＝r １和|z －z ０|＝r ２称这样的区域为圆环域．例１ ６㊀复平面上满足R e (z )ȡ１的所有点构成一个无界的闭区域(图１８)．９ 第一章㊀复数与复变函数图１７㊀㊀㊀图１８㊀㊀三、平面曲线的复值函数形式我们知道,一个参数方程x＝x(t)y＝y(t){㊀(tɪ[α,β])在几何上表示一条平面曲线,而复值函数z＝x(t)＋i y(t)㊀(tɪ[α,β])(１２１)在复平面上表示的也是这条平面曲线．例如z＝R(c o s t＋i s i n t)(R＞０,０ɤtɤ２π)表示以原点为圆心㊁R为半径的圆,而z＝t＋i t２(－１ɤtɤ１)则表示一段抛物线．若在(１１７)中,x,y均为t的连续函数,则称平面曲线z＝x(t)＋i y(t)为连续曲线;若xᶄ(t),yᶄ(t)在tɪ[α,β]上都连续,且xᶄ２(t)＋yᶄ２(t)ʂ０,tɪ[α,β],则称平面曲线为光滑的;光滑曲线上每点皆有切线,且切线是连续变化的;若曲线由若干段光滑曲线连接而成,则称曲线为分段光滑的．设C:z＝z(t)(αɤtɤβ)为一条连续曲线,z(α)与z(β)分别称为C的起点和终点．对于满足α＜t１＜β,αɤt２ɤβ的t１,t２,当t１ʂt２且有z(t１)＝z(t２)时, z(t１)称为曲线C的重点．没有重点的连续曲线C称为简单曲线或若当曲线．如果简单曲线的起点和终点重合,即z(α)＝z(β),则称曲线C为简单闭曲线．由此即知,简单曲线自身不会相交．如图１９所示．图１９０１ 复变函数与积分变换(第二版)。

第一讲 复数与复变函数复变函数论的出发点是复数．复数的基本定义及结论每个复数z 具有iy x +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，x ,y 分别记作z x Re =，z y Im =．复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等．复数的四则运算定义为：)()()()(21212211b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)()())((122121212211b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++22222112222221212211)()(b a b a b a i b a b b a a ib a ib a +-+++=++复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C ．C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面．复数的模定义为：22||y x z +=；复数的辐角定义为：i x yz π2arctanArg +=；复数的共轭定义为：iy x z -=；复数的三角表示定义为：)sin (cos ||Argz i Argz z z +=；在复平面中，我们可以定义一些基本集合．设),0(, +∞∈∈r C a ，a 的r -邻域),(r a U 定义为},,|| |{C z r a z z ∈<-设E a C E ∈⊂,为E 的极限点，若E r a U r ⋂>∀),(,0中有无穷个点；E a ∈为E 的内点，若0>∃r ，使得E r a U ⊂),(．开集：所有点为内点的集合；闭集: 开集的余集我们称为闭集．区域：1、D 是开集；2、D 中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于D ．复变函数的定义：设C G⊂，如果对于G 中任意以点z ，有确定的复数w 同它对应，则称在G 上定义了一个复变函数，记为)(z f w =．注1 此定义与传统的定义不同，没有明确指出是否只有一个w 和z 对应；注2 同样可以定义函数的定义域与值域； 注3 复变函数等价于两个实变量的实值函数． 复变函数的极限：设函数)(z f w =在集合E 上确定，0z 是E 的一个聚点，a 是一个复常数．如果任给0>ε，可以找到一个与ε有关的正数0)(>=εδδ，使得当E z ∈，并且δ<-<||00z z 时，ε<-|)(|a z f ，则称a 为函数)(z f 当z 趋于0z 时的极限，记作：)()()(lim 0,0z z A z f A z f Ez z z →→=∈→当或复变函数连续性的定义： 如果)()(lim 00z f z f z z =→成立，则称)(z f 在0z 处连续；如果)(z f 在E 中每一点连续，则称)(z f 在E 上连续.如果),(),()(y x iv y x u z f +=，000iy x z +=，)(z f 在0z 处连续的充要条件为：，，),(),(lim),(),(lim00,,00,,0000y x v y x v y x u y x u y y x x y y x x ==→→→→复变函数的导数: 设函数)(z f w =在点z 的某邻域内有定义，zz ∆+0是邻域内任意一点，对于)()(00z f z z f w -∆+=∆，如果极限z z f z z f z wz z ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，为复数A ，则称)(z f 在0z 处可导，极限A 称为)(z f 在0z 处的导数，记作:)('0z z dz dw z f =或.解析函数： 如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称)(z f 在0z 处解析；如果)(z f 在区域D 内处处解析，则我们称)(z f 在D 内解析，也称)(z f 是D 的解析函数．导数的四则运算：)(')()()(')]'()([)(')('))'()((z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f +=±=±[]2)]([)(')()()(')()('z g z g z f z g z f z g z f -=.关于解析函数的定义，有下面的注解：注解1 解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解2 函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析．注解3 闭区间上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析； 注解4 解析性区域；注解5 四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法则等可以推广到复变函数求导的情形. 关于函数的解析性，有著名的Cauchy-Riemann 条件：函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充要条件是：1、实部),(y x u 和虚部),(y x v 在D 处可微；2、),(y x u 和),(y x v 满足：柯西-黎曼条件（简称C-R 方程）x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ ,关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：注解1 解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是C-R 方程的一组解； 注解2 解析函数的导数形式更简洁. 基本初等函数： 指数函数： 对于复数iy x z+=，定义)sin (cos exp y i y e z e w x z +===为指数函数由此有Euler 公式： y i y e iysin cos +=；指数函数的基本性质：1、函数ze w =在整个复平面内有定义并且解析，z z e e =)'(；2、指数函数ze w =是实指数函数在复平面上的解析推广；3、定义得 ,2,1,02||±±=+==k k y Arge e e z x z ，π4、0≠ze；5、指数函数的代数性质（加法定理）：2121z z z z e e e +=；6、指数函数是周期i π2为的周期函数；7、指数函数的几何性质：对数函数：对数函数的基本性质：定义复对数函数是指数函数的反函数：满足方程)0(≠=z z e w 函数)(z f w =称为对数函数，记为z w Ln =.注解 1、由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为i π2 的周期函数，所以对数函数必然是多值函数；注解 2、0 iArg |z |ln Lnz ≠+==z z,w .多值函数的单值化：、由于iArgz z z +=||ln Ln ，而是Argz 通常正数的自然 对数，Argz 是多值函数，所以对数函数的多值性是由于幅角函数的多值性引起的，每两个函数值相差的整数倍；、象Argz 一样，取主值arg z ，则得到Ln z 的一个单值分支，记为ln z ，也称为Ln z 的主值，即z i z z arg ln ln +=，所以，,...)2,1,0(2ln ln ±±=+=k k z z π注解：当0>=x z 时，主值x z ln ln =就是实变量的对数函数. 对数函数的基本性质：1、对数函数的定义域为整个复平面去掉原点，是一个多值解析函数；2、对数函数的代数性质：Ln Ln )/Ln(2121z z z z -= Ln Ln )Ln(2121z z z z +=3、对数函数的解析性质：对数函数的主值分支在除去原点和负实数轴的复平面上解析，并且有：z zz 1d d ln =4、对数函数的几何性质： 幂函数的定义：利用对数函数，可以定义幂函数：设a 是任何复数，则定义z 的a 次幂函数为：z a ae z Ln =当a 为正实数，且0=z 时，还规定0=az .幂函数的基本性质： 1、对应于对数函数的多值性，幂函数一般是一个多值函数； 2、当a 是正整数时，幂函数是一个单值函数；3、当n 1=α（当n 是正整数）时，幂函数是一个n 值函数； 4、当n 1=α（当n 是正整数）时，幂函数是一个n 值函数； 5、当q p a =是有理数时，幂函数是一个q 值函数； 6、当a 是无理数时，幂函数是一个无穷值多值函数三角函数三角函数的定义：利用Euler 公式，我们有：y i y eiysin cos +=，y i y e iysin cos -=-，所以定义2iziz e e -+和ie e iziz 2--分别为复变量的余弦函数z cos 和正弦函数z sin .三角函数的基本性质：1、z cos 和z sin 是单值函数；2、z cos 和z sin 是以π2为周期的周期函数；3、z cos 是偶函数，z sin 是奇函数；4、212121sin cos cos sin )sin(z z z z z z ±=± 212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z =±；5、;1cos sin22=+z z6、z cos 和z sin 在整个复平面解析，并且有：.cos )'(sin ,sin )'(cos z z z z =-=第二讲 利用积分研究解析函数----复变函数的积分设C 是复平面一条光滑简单曲线，其起点为A ，终点为B 。

复数与复变函数复数和复变函数是数学中重要的概念，它们在许多学科领域都有广泛的应用。

本文将从复数的定义入手，介绍复数的运算法则以及复变函数的概念和性质。

一、复数的定义和运算法则复数是由一个实数和一个虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a 为实部，b为虚部，i为虚数单位。

复数的运算法则包括加法、减法、乘法和除法。

下面分别介绍这些运算法则。

加法：两个复数相加的结果是实部相加，虚部相加。

例如，(a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i。

减法：两个复数相减的结果是实部相减，虚部相减。

例如，(a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i。

乘法：两个复数相乘的结果是实部的乘积减去虚部的乘积，并加上实部和虚部的乘积。

例如，(a+bi)×(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。

除法：两个复数相除的结果是将被除数乘以除数的共轭，再除以除数的模的平方。

例如，(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。

二、复变函数的概念和性质复变函数是指定义在复数域上的函数，即其自变量和函数值都是复数。

复变函数有许多特殊性质，下面介绍其中的几个重要性质。

1. 解析性：复变函数在其定义域上处处可导，并满足柯西-黎曼方程。

2. 互补性：如果复变函数的实部和虚部是某个函数的共轭，那么该函数是解析函数。

3. 幂级数展开：复变函数可以用幂级数展开表示，这为研究复变函数提供了便利。

4. 含有极点：复变函数的定义域上可能存在极点，即函数在某些点上无穷大。

5. 解析延拓：如果复变函数在某个定义域上是解析的，那么可以通过解析延拓将其定义域扩展到更广的范围。

三、复数与复变函数的应用复数和复变函数在许多科学和工程领域都有广泛的应用。

下面列举几个常见的应用领域。

1. 电工电子学：复数可以用来描述交流电的电压和电流，复变函数可以用来分析电路的性能和响应。

复数与复变函数
复数和复变函数是数学中非常重要的概念，它们在许多领域都有广泛的应用。

在本文中，我们将介绍复数的基本概念、复变函数的定义以及它们在数学中的应用。

复数的基本概念
复数是由实数部分和虚数部分组成的数，可以表示为a + bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i² = -1。

复数的加法、减法、乘法和除法运算遵循一定的规则，例如：- (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
- (a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
复变函数的定义
复变函数是一种将复数映射到复数的函数，可以表示为f(z) = u(x, y) + iv(x, y)的形式，其中u和v是实值函数，x和y分别是复数z的实部和虚部。

复变函数具有连续性、可导性和解析性等性质，例如：
- 如果一个复变函数在某一点连续，则它在该点的邻域内也连续；
- 如果一个复变函数在某一点可导，则它在该点附近也一定可导；
- 如果一个复变函数在某一点解析，则它在该点附近也一定解析。

复数和复变函数的应用
复数和复变函数在许多领域都有广泛的应用，例如：
- 在物理学中，复数被用来描述波动现象、电磁场等物理量；
- 在工程学中，复数被用来分析电路、信号处理等问题；
- 在计算机科学中，复数被用来设计算法、加密通信等技术；
- 在数学中，复变函数被用来研究微分方程、积分方程等问题。

总之，复数和复变函数是数学中非常重要的概念，它们在许多领域都有广泛的应用。

通过学习和掌握这些概念，我们可以更好地理解和应用数学知识来解决实际问题。

复数与复变函数的性质与变换介绍：复数与复变函数是数学中的重要概念，在多个领域中有广泛的应用。

本文将探讨复数的基本性质，复变函数的定义和性质，以及复变函数在平面变换中的应用。

一、复数的基本性质1. 定义：复数由实部和虚部组成，通常表示为z=a+bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i²=-1。

2. 复数运算：复数加法、减法、乘法和除法的计算规则与实数运算类似，但要注意虚部的处理。

3. 共轭复数：对于复数z=a+bi，其共轭复数表示为z*=a-bi，即实部相同而虚部正负相反。

二、复变函数的定义和性质1. 复变函数的定义：复变函数是将复数集合映射到复数集合的函数。

常见的复变函数包括多项式函数、指数函数、三角函数等。

2. 复变函数的解析性：复变函数满足柯西-黎曼方程，即必须满足柯西-黎曼条件才能解析。

柯西-黎曼条件要求函数的实部和虚部满足偏导数的连续性。

3. 复变函数的调和性：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u和v为实部和虚部，若满足拉普拉斯方程∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0，则函数具有调和性。

4. 积分和保守场：复变函数的积分与实变函数类似，但存在一些特殊性质。

若复变函数f(z)在闭合曲线上的积分为零，则说明该函数是保守场。

三、复变函数的变换与应用1. 平移变换：将复变函数f(z)平移至f(z-a)的形式，其中a为实常数。

平移变换可用于调整函数在平面上的位置。

2. 缩放变换：将复变函数f(z)缩放至kf(z)的形式，其中k为实常数。

缩放变换可用于调整函数的尺度。

3. 旋转变换：将复变函数f(z)旋转θ角度至e^(iθ)f(z)的形式，其中θ为实常数。

旋转变换可用于调整函数的方向。

4. 映射：由复变函数所生成的函数族可以描述多种平面映射，如圆形映射、逆映射等。

这些映射在物理学、工程学和计算机图像处理中有重要应用。

总结：复数与复变函数是数学中重要的概念，具有多样的性质和应用。

第一章 复数与复变函数教学目的和要求：将数域范围扩展到复数域，在新数域下掌握对应的运算法则，熟练掌握复数的各种表示法及其运算，了解区域的概念，理解复变函数及映射的概念，掌握复变函数的极限和连续的概念，理解复球面和无穷远点的概念。

教学重点和难点： 复数的运算和各种表示法 教学内容： 1、复数域：每个复数z 具有iy x +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。

复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。

如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。

复数的共轭定义为：iy x z -=；复数的四则运算定义为：)()()()(21212211b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)()())((122121212211b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++11121221122222222222()()a ib a a b b a b a b ia ib a b a b ++-=++++复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。

2、复平面：C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。

作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R之建立了一个1-1对应。

横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面或w -平面等。

复数可以等同于平面中的向 量。

向量的长度称为复数iyx z +=的模，定义为：22||yx z +=；向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：πk z z 2arg A rg +=（Z k ∈），其中z arg 称为辐角主值，),(y x并且ππ≤<-z arg 。