复数与复变函数-难题解答

复变函数疑难问题分析复变函数疑难问题分析1. 设zz z f 1sin )(2=，{}11|<-=z z D 。

1）函数)(z f 在区域D 中是否有⽆限个零点？2）若上⼩题的答案是肯定的，是否与解析函数零点的孤⽴性相⽭盾？为什么？答：有⽆限个零点。

可以具体写出其所以零点；不⽭盾。

因为这⽆限多个零点均为孤⽴零点；不可以展开为洛朗级数。

因为0=z 为⾮孤⽴的奇点。

2. “函数sin z 在z 平⾯上是有界的”是否正确？sin z 在z 平⾯上⽆界。

这是因为sin 2iz iz e e z i --=，令(0)z iy y =<，则|sin |||()2iz ize e z y i--=→∞→-∞ 3. “函数z e 为周期函数” 是否正确？z e 是以2k i π为周期的函数。

因为z C ?∈，221z k i z k i z z e e e e e ππ+==?=，k 为整数4. “()f z z =是解析函数” 是否正确？()f z z =在z 平⾯上不解析。

因为()f z z x iy ==-，所以(,)u x y x =，(,)v x y y =- 所以1u x ?=?，1v y ?=-?，0u y ?=?，0v x= 但是11u v x y ??=≠-=??，所以(,)u x y ，(,)v x y 在z 平⾯上处处不满⾜..C R -条件所以()f z z =在z 平⾯上不解析。

5.根据教材中建⽴起球⾯上的点（不包括北极点N ）复平⾯上的点间的⼀⼀对应，试求解下列问题。

（1）复球⾯上与点(1)22对应的复数；（2）复数1+i 与复球⾯上的那个点；（3）简要说明如何定义扩充复平⾯。

解：（1）建⽴空间直⾓坐标系（以O 点为原点，SON 为z 轴正半轴），则过点P 与点(0,0,2)N 的直线⽅程为21z -==-。

当0z =时，x y ==，所以,,1)22对应。

（2）复数1i +的空间坐标为(1,1,0)。

第一篇 复变函数第一章 复数与复变函数1. 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模与幅角.（1） 72)52)(43(ii i −+；（2） .4218i i i +−2. 当x ，y 等于什么实数时，等式i iiy x +=+−++135)3(1 成立？3.证明：（1）;2z z z = （2）1122,z z z z = .02≠z4.求下列各式的值： （1）();35i −（2）().131i +−5.求方程083=+z 的所有根.6.设1z ,2z ,3z 三点适合条件0321=++z z z ，证明1z ,2z ,3z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点.7.指出下列各题中点z 的轨迹或所在的范围：（1）;65=−z（2）;12≥+i z（3）.i z i z −=+8.描述下列不等式所确定的区域，并指出它是有界的还是无界的： （1）;32≤≤z（2）.141+<−z z9.将方程tt z 1+=（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出.第一章 复习题1.单项选择题（1）设iy x z +=，y x ≠||，4z 为实数，则（ ）.A ．0=xy B.0=+y x C ．0=−y x D.022=−y x（2）关于复数幅角的运算，下列等式中正确的是（ ）. A ．Argz Argz 22= B.z z arg 2arg 2=C ．2121arg arg )arg(z z z z += D.2121)(Argz Argz z z Arg += （3）=+31i （ ）.A ．ie 62πB.ie 62π−C ．ie 62π± D.i e62π±（4）2210<++<i z 表示（ ）. A ．开集、非区域 B.单连通区域 C ．多连通区域 D.闭区域（5）z i z f =−1，则()=+i f 1（ ）.A ．1 B.21i+ C ．21i− D.i −1 （6）若方程1−=z e ，则此方程的解集为（ ）.A ．空集 B.π)12(−=k z ，（k 为整数） C ．i k z π)12(−= D. πi z =2.对任何复数22,z z z =是否一定成立？3. 解方程.0)1(22=−++i z z4. 求)(i Ln −，)43(i Ln +−和它们的主值.5. 求i e 21π−，i i e41π+，i 3和ii )1(+值.第二章 导数1．下列函数何处可导?何处解析? (1) ();2iy x z f −=(2) ().22y ix xy z f +=2.指出下列函数()z f 的解析性区域，并指出其导数.(1) ();22iz z z f +=(2) ();112−=z z f（3）(),dcz baz z f ++=（d c ,中至少有一个不为0）.3.设()2323lxy x i y nx my +++为解析函数，试确定l 、m 、n 的值.4.证明：如果()z f 在区域D 内解析，并满足下列条件之一，那么是常数. （1）()z f 恒取实值. （2）)(z f 在区域D 内解析. （3）()z f 在区域D 内是一个常数.5.应用导数的定义讨论下列函数的是否存在？（1）())Re(z z f =；（2）())Im(z z f =.6.证明；,sin z e z 在复平面上任一点都不解析.第二章 复习题1.单项选择题（1）函数()z f w =在点0z 可导是可微的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（2）函数()z f w =在点0z 可导是连续的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（3）函数()),(),(y x iv y x u z f +=，则在()00,y x 点，v u ,均可微是函数()z f 在点0z 可微的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（4）函数()22ix xy z f −=，那么（ ）. A ．()z f 处处可微 B. ()z f 处处不可导 C ．()z f 仅在原点可导 D. ()z f 仅在x 轴上可导（5）若,0,,00,),(222222=+≠++=y x y x y x xy y x u ，,),(xy y x v =()iv u z f +=，则()z f （ ）.A ．()z f 仅在原点可导 B. ()z f 处处不可导C ．()z f 除原点外处处可导 D. ()z f 处处可微（6）若()()y x y i xy x z f 233333+−+−=， 那么()z f （ ）.A ．()z f 仅在原点可导且()00=′f B. ()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322+−=′ C ．()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322−−=′ D. ()z f 处处解析且()xy i x y z f 63322+−=′ （7）函数()z z z f = ，则（ ）. A ．()z f 在全平面解析 B. ()z f 仅在原点解析C ．()z f 仅在原点可导但不解析 D. ()z f 处处不可导（8）设()34−=′z z f ，且()i i f 31−=+，则()=z f （ ）.A ． i z z −−322 B. i z z 3322+− C ．i z z 43322+−+ D. i z z 43322−+− 2.指出函数112+z 的解析性区域，并求导数.3.如果0z 是()z f 的奇点，而()z g 在0z 解析，那么0z 是否是())(z g z f +和())(z g z f 的奇点.4.若()iv u z f +=是区域D 内的解析函数，那么在D 内v +iu 是否也是解析函数.第三章 积分1.沿下列路径计算积分∫Czdz Re .（1）自原点至1+i 的直线段；（2）自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至1+i ；（3）自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平向右至1+i .2.分别沿y =x 与2x y =计算积分()∫++i dz iy x102的值.3计算积分dz zzC∫，其中C 为正向圆周，2=z .4.计算下列积分 ，其中C 为正向圆周，1=z . （1）;21dz z C ∫− （2）;4212dz z z C ∫++（3）;cos 1dz zC ∫ （4）;211dz z C∫−（5）;dz ze Cz ∫（6）().)2(21dz i z z C∫−+5.沿指定曲线正向计算下列积分：（1）dz z C ∫−21，C ：12=−z ；（2）dz a z C ∫−221，C: a a z =−；（3）,3dz z zC ∫− C ：2=z ；（4）()()dz z z C∫++41122，C ：23=z ；（5）dz zzC ∫sin ，C ：1=z ； （6）dz z zC∫−22sin π，C ：2=z .6.计算下列各题： （1）∫−ii z dz e ππ32；（2）∫−iizdz ππ2sin ；（3）.)(0∫−−iz dz e i z7.计算下列积分：（1）dz i z z C ∫+++2314，C ：4=z ，正向； （2）dz z iC ∫+122，C ：61=−z ，正向； （3）,cos 213dz z zC C C ∫+= 1C ：2=z ，正向，2C ：3=z ，负向；（4）dz i z C ∫−1，C 为以i 56,21±±为顶点的正向菱形； （5）()dz a z eC z∫−3；其中a 为1≠a 的任何复数，C ：1=z ，正向.9. 设C 为不经过a 与a −的简单正向闭曲线，a 为不等于0的任何复数，试就a 与a −跟C 的各种不同位置，计算积分dz a z zC ∫−22的值.第三章 复习题1.单项选择题.（1）设C 为θi e z =，θ从2π−到2π的一段，则=∫Cdz z （ ）.A ．i B.2i C ．-2i D.- i（2）设C 是从0=z 到i z +=1的直线段，则=∫Cdz z （ ）.A ．1+i B.21i+ C ．i e4π− D. ie 4π（3）设C 为θi e z =，θ从0到π的一段，则=∫Czdz arg （ ）.A ．i 2−−π B. π− C ．i 2+π D. i 2−π（4）设C 为t i z )1(−=，t 从1到0的一段，则=∫Cdz z （ ）.A ．1 B.-1 C ．i D.- i（5）设C 为1=z 的上半部分逆时针方向，则=−∫Cdz z )1(（ ）.A ．2i B.2 C ．-2i D.- 2（6）设C 为θi e z 21=，正向，则=−∫C z dz e e zsin （ ）.A ．sin1 B.e i 1sin 2π C ．e i 1sin 2π− D.0（7）=++∫=dz z z z 12221（ ）.A ．i π2 B.i π2− C ．0 D.π2 （8）设C 为沿抛物线12−=x y 从()0,1−到()0,1的弧度，则=+∫C dz z )1sin(（ ）.A ．0 B.2cos − C ．12cos − D. 12cos − （9）=++∫=+dz z z e z z 232)1(232（ ）. A ．0 B.i π32C ．i π2 D. i π2−（10）=++∫=dz z z zz 121682cos π（ ）A ．0 B.i π C ．i π− D. i π2.（11）=+∫=dz z zz 221（ ）.A ．0 B.i π2 C ．i π2− D. i π（12）=∫=dz z e z z12（ ）.A ．i π2 B. i π C ．0 D. π （13）1322z z z e dz ==∫（ ）.A ．i π2 B. i π16 C ．i π8 D. i π4 2.计算()∫Γ−=dz z z e I z12，其中Γ是圆环域：221≤≤z 的边界.3.（1）证明：当C 为任何不经过原点的闭曲线时，则;012=∫dz zC（2）沿怎样的简单闭曲线有;012=∫dz z C（3）沿怎样的简单闭曲线有.0112=++∫dz z z C4.设(),4ζζζπd ze zf C ∫−=其中C ：2=z ，试求()i f ，()i f −及()i f 43−的值.5.计算()22,2z Ce z I dz z =+∫其中C ：.1=z6.()()∫=−=12,ζζζdz z e z f z()1≠z ，求().z f ′第四章 级数1.判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：();11∑∞=n nni()∑∞=2;ln 2n nni();8)56(30∑∞=+n n ni().2cos 40∑∞=n n in2.求下列幂级数的收敛半径：()为正整数）；p nz n p n(,11∑∞=()∑∞=12;)!(2n nn z nn()∑∞=+0;)1(3n nnz i().41∑∞=n n n iz e π3.把下列各函数展开成z 的幂级数，并指出它们的收敛半径： ();1113z +();)1(1223z +();cos 32z();4shz();5chz().sin 622z e z4.求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径： ();1,1110=+−z z z()();110,10,1122<−<<<−z z z z()()(),2113−−z z;21,110+∞<−<<−<z z()()为中心的圆环域内；在以i z i z z =−,142第四章 复习题1.单项选择题：()().112的收敛半径为幂级数∑∞=n nin z e0.A 1.B 2.C ∞.D()()∑∞=1.1sin 2n nnz n 的收敛半径为幂级数0.A 1.B e C . ∞.D()()()∑∞=−1.13n n n z i 的收敛半径为幂级数1.A 21.B 2.C 21.D()()()∑∞=+12.434n n n z i 的收敛半径为幂级数5.A 51.B 5.C 51.D ()()∑∞=1.!5n nn z n 的收敛半径为幂级数1.A ∞.B 0.C e D .()()∑∞−∞=−=>=n nne a z za z z.,0,6721则设!71.A !71.−B !91.C !91.−D()∑∞==−10,2.2n nn z z a 收敛，能否在幂级数 .3发散而在=z().1.32的和函数求n n z n n ∑∞=−.0cos 1.40处的泰勒展开式在求=−∫z d zζζζ上的罗朗展开在求函数11sin .512>−∫=ζζζζz d z .式第五章 留数1.判断下列函数奇点的类型，如果是极点，指出它的阶数：()();11122+z z();sin 23z z();11323+−−z z z()();1ln 4zz +();511−z e()().1162−z e z()..2在有限奇点处的留数求下列各函数z f();2112zz z −+();1242z e z −()();113224++zz();cos 4zz();11cos5z−().1sin 62zz3.计算下列各积分（利用留数，圆周均取正向）.();sin 123∫=z dz z z()();12222dz z e z z∫=−()();,cos 1323为整数m dz z zz m∫=−();tan 43∫=z zdz π().521111∫=−−z z dz ze点？并是下列各函数的什么奇判断∞=z .4.的留数求出在∞();121z e();sin cos 2z z −().3232zz+()[]的值，如果：求∞,Re 5.z f s()();112−=z ez f z()()()().41124−+=z z z z f6.计算下列各积分，C 为正向圆周：()()()∫=++Cz C dz zzz ;3:,211342215().2:,1213=+∫z C dz e z z zC7.计算下列积分：();sin 351120θθπd ∫+()();0,cos sin 2202>>+∫b a d b a θθθπ()()∫+∞∞−+;11322dx x()∫+∞∞−++.54cos 42dx x x x第五章 复习题1.单项选择题：()().1sin101的是函数zz = 本性奇点.A 可去奇点.B 一级奇点.C 非孤立奇点.D()().0,1cos Re 2=z z s0.A 1.B 21.C 21.−D()()()().,11Re 32=+−i z i z s 4.i A 4.i B − 41.C 41.−D()().0,1Re 44=−−z e s z !31.A !31.−B !41.C !41.−D()()()∫=−=+21.,15z n n n dz z z 为正整数0.A i B π2. i n C π2. niD π2.()()∫=−=11.6z zz dz zei e A 1.−π i B π2. i e C 12.−π i D π2.−()()∫==−25.117z dz z 0.A i B π2. i C π25. i D π52.2.判断zz e 1+的孤立奇点的类型，并求其留数.3.计算n dz z z z n,1cos 1∫=是正整数.4.计算积分∫=−+114.1z z dz5.计算积分∫+πθθ20.cos 2d6.计算∫+∞+04.11dx x7.计算∫+∞+02.42cos dx x x复变函数总复习题一、单项选择题：(1) 函数z w ln =在i e z =处的值为（）. (k 为整数)A. ()i k 12+πB. ()i k π12+C. i k π2D. i k π+212(2) 设积分路径C 为从原点到i +2的直线段, 则积分()=∫Cydz .A. 21i− B. 21i +C. i +1D. i −1(3) 1=z 是函数1ln 2−z z的( ).A. 可去奇点B. 极点C. 本性奇点D. 非孤立奇点 (4) 设()33iy x z f −=, 则()z f 在复平面上( ).Ａ. 处处可导 B. 仅在0=z 处解析 C. 处处不可导 D. 仅在0=z 处可导(5) ()()=−∫=−dz z e z iz211221. A.21i+ B. i +1 C. ()i e i +−12π D. 2π−(6) 函数21z e z+以∞=z 为( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(7) 0=z 是ze z 111−−的( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(8) 由2121>−z 与2123>−i z 所确定的点集是( ).A. 开集、非区域 Ｂ. 单连通区域 C. 多连通区域 D. 闭区域(9) ()=+−∫=dz z z z z z 122sin cos 1. A. 0 B. i π2 C. i π D. i π3二、填空题：1. =i e π9 .2.=+∫=dz z z 12121. 3. 设()()z z z f Im =, 则()=′0f .4. 级数()()()∑∞=+−+−0124121n n nz n 的收敛范围为 .5. 函数z 211−在+∞<<z 21内的罗朗展式为 . 6.()=−∫=dz z z 12 .7. 级数()∑∑∞=∞=+−12121n n n n n nn z z 的收敛范围是 .8. ()2236z z z z z f ++−=, ()()=∞,Re z f s .9. =−1,1sin Re z z s ;=−1,11sin Re z z s .三、解答下列各题:1. 已知()(),21i i z −+= 求()Re z .2. 求2122lim 1z zz z z z →+−−−.3. 讨论()2z z f =在0=z 处的可导性及解析性.4. 讨论()()yx i x y x z f 322322−++−−=的解析性, 并求出在解析点处的导数.5. 计算()12CIi z dz =+−∫, 其中C 为连接01=z , 12=z 和i z +=13, 从1z 至2z 至3z 的折线段.6. 将z 2sin 展开为z 的幂级数.7. 求级数()n n nn z n 214302+++∑∞=的收敛圆, 并讨论在47−=z 和49−=z 处的收敛性.8. 求()242−=z z z f 在3<z 内所有留数之和.9. 求函数z cot 在它所有有限孤立奇点处的留数.10. 求()()222aze zf ibz+=在ai −处的留数,(a , b 为实数).11. 计算积分()()dz z e z zI z z∫=−+−=232189.12. 计算积分dz z z I z ∫=++=2365112.13. 计算积分dz z z I z ∫=+−=22211.14. 计算积分dz z z e i I z z∫=++=2241221π.15. 计算积分()dx axx I ∫∞++=02222, ()0>a .四、证明题:1. 证明()=≠+=0,00,22z z yx xyz f 在0=z 处不连续.2. 证明0→z 时, 函数()()22Re zz z f =的极限不存在.第二篇 积分变换1. 设() >≤=1,01,1t t t f , 试算出()ωF , 并推证:>=<=∫∞+1,01,41,2cos sin 0t t t d t ππωωωω. (提示()t f 为偶函数)2. 求矩形脉冲函数()≤≤=其它,00,τt A t f 的傅氏变换.3. 求()><−=1,01,1222t t t t f 的傅氏积分. 4. 求()2sin tt f = 的拉氏变换.5. 求()≥<≤−<≤=4,042,120,3t t t t f 的拉氏变换.6. 求下列函数的拉氏逆变换:(1) ()221as s F +=;(2) ()441a s s F −=答案第一章：,2295,135.3,13Im ,5.3Re )1.(1=+−=−=−=z i z z z ).(,23arctan ,10||,31,3Im ,1Re )2();(,)12()726arctan(arg Z k k Argz z i z z z Z k k z ∈+−==+=−==∈++=ππ.11,1.2==y x().2,1,0,2)2(;16316)1.(43275.06=−−+k ei k iπ5..31,2,31i i −−+7.（1）以z =5为圆心，6为半径的圆；（2）以z =-2i 为圆心，1为半径的圆周及圆周的外部；（3）i 和i 两点的连线的中垂线. 8.（1）圆环形闭区域，有界； （2）中心在,1517−=z 半径为158的圆周的外部区域，无界. 9．xy =1。

第一章 复数与复变函数§习题2．设12,,...,n z z z 是任意n 个复数，证明：11||||n nkkk k z z ==≤∑∑，并给出不等式中等号成立的条件.（提示：可以用数学归纳法证明.等号成立的条件是12,,...,n z z z 线性相关）. 3(Re Im )Re Im .z z z z z +≤≤+证明：设z a ib =+，则Re z a =，Im z b =，||z =.由题2知，z a bi a b ≤+=+故22222222222||2222a ab ba b a b a b ab z +++++==+≤+=，(Re Im )Re Im .z z z z z +≤≤+4．若12||,0z z λλ=>，证明：21212||z z z z λλ-=-. 证明：不妨设22221210.z z z z λ≠=则2222212122121112z z z z z z z z z z z z λλ-=-=-=-即有21212||z z z z λλ-=-成立.5．设|a |<1，证明：若|z|=1，则11z aaz-=-.证明：由1z =得1zz =故11z a z azz z az az -=-=-=-即证之.6．设|a |<1，|z|<1.证明：11z aaz-<-.证明：提示：（11z aaz-<-⇔2222||2Re ||12Re ||||;z az a az a z -+<-+而2222221||||||||(1||)(1||)0;a z a z a z --+=-->）7．设12,,...,n z z z ，12,,...,n ωωω是任意2n 个复数，证明复数形式的Lagrange 等式：22221111()(),nnnk j j jj j j k j j j j k nz z z z ωωωω===≤<≤=--∑∑∑∑并由此推出Cauchy 不等式：222111nnnj jj j j j j z z ωω===⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 证明：提示（记1212......n n z z z A ωωω⎛⎫= ⎪⎝⎭，1112'2212...det det()0.........n n n n z z z z z AA z ωωωωωω⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪=≥ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭， 2det det ||jk jj j k k j j k kk z z z z z z ωωωωωω⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则原式=210k j j k j k n z z ωω≤<≤-≥∑.(1) 另外，21111122221211...det det .........n njj j j j n nnn j j j n j j n z z z z z z z z z ωωωωωωωωω====⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ 222111()()0nnnjjj jj j j zz ωω====-≥∑∑∑.（2）由（1）=（2）可得证.§习题1． 把复数1cos sin z i θθ=++写成三角形式. 解：1111112222221()2Re (2cos )2i i i i i i i z e e eeeeeθθθθθθθθ-=+=+==.2． 问取何值时有(1)(1)nni i +=-. 解：提示（41,1,1k ii i k N i+==∈-）3． 证明：1sinsin()22cos ,2sin2nk n k θθθθ=++=∑ 01coscos()22sin ,2sin2nk n k θθθθ=-+=∑ 证明：由于(1)201sin121sin 2in i n nik i k n e ee e θθθθθθ+=+-==-∑，则即可得0cos Re nnikk k k e θθ===∑∑，sin nnikk k k im e θθ===∑∑.4． 证明：123z z z ∆和123ωωω∆同向相似的充分必要条件为112233111z z z ωωω=0. 证明：提示（123z z z ∆和123z z z ∆同向相似,a b C ⇔∃∈，使得(1,2,3)k k az b k ω=+=111122223333111,,111w z w z w a z b w z w z w z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇔=+⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关1122331det 10.1z w z w z w ⇔=）5． 设12z z ≠，证明：z 位于以1z 和2z 为端点的开线段上，当且仅当存在(0,1)λ∈，使得12(1)z z z λλ=+-；证明：z 位于以1z 和 2z 为端点的开线段上⇔210,()k z z k z z ∃>-=-210,11z z k z k k⇔∃>=+++ 12(0,1),(1),()1kz z z kλλλλ⇔∃∈=++=+. 6． 图是三个边长为1的正方形，证明：2AOD BOD COD π∠+∠+∠=.E A B C解：以O 为原点，OD 为X 轴，OE 为Y 轴，建立坐标系.设123,,OA z OB z OC z →→→=== 则1231,2,3z i z i z i =+=+=+，从而123arg()arg(1)(2)(3)arg(10)z z z i i i i =+++=. 因为i 是单位向量，它的辐角为2π，即2AOD BOD COD π∠+∠+∠=.10．证明：22221212122(||),z z z z z z ++-=+并说明等式的几何意义.证明：222222121211221122||||||2Re ||||2Re ||z z z z z z z z z z z z ++-=+++-+ 22122(||||)z z =+几何意义是：平行四边形两对角线长的平方和等于它的各边长的平方和.11．设1,...,n z z 是单位圆周（以原点为中心、半径为1的圆周）上的n 个点，如果1,...,n z z 是正n 边形的n 个顶点，证明：1nkk z=∑=0.证明：记12...n z z z C ω=+++∈，设该正n 边形的一个圆心角为θ，0θπ<<.由复数乘法几何意义及正n 边形对称性，0i e θωωω=⇒=，即证之.13.设1z ，2z ，3z ，4z 是单位圆周上的四个点，证明：这四个点是一矩形顶点的充要条件为12340z z z z +++=.证明：提示（先为菱形，连线为直径对点则是矩形）14.设L 是由方程0azz z z d ββ+++=所确定的点的轨迹，其中a ，d 是实数，β是复数.证明：（i ）当a =0，β≠0时，L 是一直线；（ii ）当a ≠0，20ad β->时，L 是一圆周.并求出该圆周的圆心和半径.证明：（i ）令22d λβ=，则2d λββ=，故原方程为()()0z z βλββλβ+++=，即Re ()0z βλβ+=，即z λβ+与β垂直，从而轨迹是一条通过点λβ-，与β垂直的直线.（ii ）记220ad λβ=->，则2ad ββλ=-，原式22220()()a zz a z a z ad az az az ββββλβλ⇔+++=⇔++=⇔+=即证之.§习题1. 证明：在复数的球面表示下，z 和1z的球面像关于复平面对称. 证明：设z x iy =+其球面对应的坐标为21232221,,1(1)1z z z z z x x x zi z z -+-===+++.而1z球面像对应的坐标为 1122211'1111z z z zz z x x z z z+++====+++, 2222211'1(1)(1)(1)z z z zz z x x i z i z i z---====+++, 222332221111'1111z z zx x z z z---====-+++, 从而有'''112233,,x x x x x x ===-，故z 和1z的球面像关于复平面对称.2. 证明：在复数的球面表示下，z 和ω的球面像是直径对点当且仅当z ω=-1. 证明：⇐设z x iy =+，由1z ω=-得11,z zωω=-=-， 由于z 对应的球面像为21232221,,1(1)1z z z z z x x x zi z z -+-===+++，ω对应的球面像为123',','x x x ，计算可得：11,2233'','x x x x x x =-=-=-，故z 和ω的球面像是直径对点.⇒由球面表示的几何意义知，,z ω位于通过竖坐标轴的平面与xoy 平面交点上，从而,z ω必与原点共线，则,0z ωλλ=->，由33'x x =，易知1λ=.3. 证明：在复数的球面表示下, ∞C 中的点z 和ω的球面像间的距离为.证明：设z 和w 的球面像的坐标为()123,,x x x 和()123',','x x x ， 则()()()()222112233112233'''22'''x x x x x x x x x x x x -+-+-=-++，112233'''x x x x x x ++()()()()()()()()22221111z z z z z z ωωωωωω++--++-+=++()()()()2222211211zz z ωωω++--=++故(),d z ω==4. 证明：在复数的球面表示下，若a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭是二阶酉方阵，则∞C 的变换w= az bcz d ++诱导了球面绕球心的一个旋转. 证明：先证(),,,z w c d z w ∀∈=，一定有(),,az b aw b d d z w cz d cw d ++⎛⎫=⎪++⎝⎭. 而()()22222222()det 11a b az b aw bz w cz d cw dc d az bcz daw bcw daz b aw b cz d cw d ⎛⎫++-- ⎪++⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++++++++++⎪⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，由a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭是二阶酉方阵知，()()222det 1,11||1,11a b a c a b z z az b cz d z z z c d c d b d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++===+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 类似的有222||1,aw b cw dw +++=+故原式=()()()()()()2222221111ad bc z w z wz w z z ---=++++，故(),,az b aw b d d z w cz d cw d ++⎛⎫=⎪++⎝⎭成立，从而诱导变换是一个等距.又等距变换的行列式是a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的连续函数且只取1±两个值，而二阶酉方阵全体是连通的，从而行列式为常数. 取a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭=1001⎛⎫⎪⎝⎭，此时诱导变换是恒等变换，行列式为1，故此常数为1，从而此等距变换为旋转.1. 设0(,0]z ∉-∞，0n z ≠，n N ∀∈.证明：复数列{}n z 收敛到0z 的充要条件是0lim n n z z →∞=和0limarg arg n n z z →∞=.证明：因为00(,0],0,..arg z s t z δπδπδ∉-∞∃>->>-+， 由不等式 0000||||||||arg arg n n z z z z z z z -≤-+-即得充分性 由不等式00||||||n z z z z -≥- 及 0000arg arg ||||||2||sin 2n n z z z z z z z --+-≥并注意0arg arg 222n z z δδππ--+<<-，可得必要性.2. 设z x iy =+∈C ,证明：()lim 1cos sin nx n z e x i y n →∞⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.（提示：分开证明实部与虚部收敛即可.）2． 设E ⊂C 是非空点集，,z w ∈C .证明：()(),,d z E d E z ωω-≤-成立，而()()(),,,d z E d E d z E ωω-≤-不成立.证明：,E ξ∀∈有 (,)inf ||||||||Ed z E z z z z ξξξωω∈=-≤-≤-+-||(,)||d z E z ωξω⇒-≥--，取下确界得(,)inf ||(,)||Ed E d z E z ξωωξω∈=-≥--，即(,)(,)||d z E d E z ωω-≤-（1）同样可得(,)(,)||d E d z E z ωω-≤-（2） 因此由（1）（2）可得结论成立.反例：令{1},2,1E z ω===.则(,)d z E =1，(,)d E ω=0，(,)d z E ω-=03. 指出下列点集的内部、边界、闭包和导集： (i) N ={k: k 为自然数}；解：内部：空集；边界：N ；闭包：N ={k: k 为自然数}；导集：空集. (ii) E={1k: k 为自然数}： 解：内部：空集；边界：E ⋃{}0；闭包：E = E ⋃{}0；导集：{0}. (iii) D=B(1,1) (1,1)B ⋃-;解：内部：D=B(1,1) (1,1)B ⋃-; 边界：{:|1|1D z z ∂=∈-=C 或|1|1}z +=；闭包：{:|1|1D z z =∈-≤C 或|1|1}z +≤；导集：'{:|1|1D z z =∈-≤C 或|1|1}z +≤； (iv) G={z ∈C : 12z <≤};解：内部：{:1||2}oG z z =∈<<C ；边界：；{:||2G z z ∂=∈=C 或||1}z =闭包：{:1||2}G z z =∈≤≤C ；导集：'{:1||2}G z z =∈≤≤C ；(v) C .解：内部：C ；边界：空集；闭包：C ；导集：C .4.指出下列点集中哪些是开集，哪些是闭集，哪些是紧集：(i) Z={k: k 为自然数}；解：闭集，非开集，非紧集；(ii) E 为有限集；解：紧集；(iii) D={}:Im 0\k k z z F ∞=-∞⎛⎫∈>⋃ ⎪⎝⎭C ， {}:,01k z z k iy y F =∈=+≤≤C ； 解：开集； (iv) G=B(0,1)\ 1:1k k ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为自然数; 解：非开，非闭，非紧；(v) C \B ()R ∞，;解：紧集.8. 设D 是开集，F D ⊂是非空紧集，证明：（i ）(),0;d F D ∂>(ii) ()()1210,,,,...,,,nn k k d F D F z z z F B z D δδ=∂⊂⋃⊂对任意<<存在中的点使得并且()()1,,,n k k d B z D d F D δδ=⎛⎫∂≥∂- ⎪⎝⎭⋃. 证明：（1）由定理1.5.6可得（2）(,),k B z ζδ∀∈成立(,)(,)(,)(,)||k k d F D d D d z D d D z ζζζδ∂-∂≤∂-∂≤-< 即(,)(,)d D d F D ζδ∂>∂-，即n1((,),)inf (,)(,)k k d B z D d D d F D δζδ=⋃∂=∂≥∂-1.满足下列条件的点z 所组成的点集是什么？如果是域，说明它是单连通域还是多连通域？ （i ）Re 1;z =实部是1的直线， 不是域(ii) Im 5z <-;虚部小于-5的开平面， 单连通域 (iii) 5;z i z i -++=椭圆曲线 不是域 (iv) 2;z i i -≤-闭圆盘 单连通域(v) ()arg 1;6z π-=半射线 不是域 (vi) 11,Im ;2z z <>开弓形 单连通域 (vii) 12;1z z -≤+圆盘外无界闭区域 (viii) 0arg .4z iz i π-<<+左半平面（不含虚轴）与以（-1，0为半径的闭圆盘外部之交多连通域3.证明紧集的连续像为紧集.证明：任取()f E 的开覆盖{}U u =，则11(){()}fU f u --=是E 的一个开覆盖，因为E 为紧集，存在有限个开集11111121(),(),...,()(),..()n n k k f u f u f u f U s t E fu -----=∈⊂⋃，故1()k k f E u ∞=⊂⋃，从而()f E 是紧集..将紧集换成闭集，结论不一定成立.反例：取[1,),E =∞令1().f x x =则()(0,1]f E =不闭.5. 证明：若f 在域D 上一致连续，则对任意()00,lim .z z z D f z →∈∂存在 证明：因为f 在域D 上一致连续，故0,ε∀>∃0δ>， 对D 上任意的1,2z z ，只要122,z z δ-<有()12f z z ε-<. 因此120,(,)z z D B z δ∀∈⋂，有()12f z z ε-<，由Cauchy 收敛原理，极限存在.。

第一章 复数与复变函数一、选择题1．当iiz -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π=+z arc ，65)2(π=-z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+- 3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ）（A ）2 （B ）i 31+（C ）i -3 （D ）i +3７．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43 ９．满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ）221=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a azaz （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．00)Im()Im(lim0z z z z x x --→（ ）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（ ）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为 ６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线 的内部７．方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线９．对于映射zi =ω，圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10．=+++→)21(lim 421z z iz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22.五、设复数i z ±≠，试证21z z+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM . 六、对于映射)1(21zz +=ω，求出圆周4=z 的像. 七、试证１.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+； ２.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>. 九、设iy x z +=，试证y x z y x +≤≤+2.十、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性：1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f .第二章 解析函数一、选择题：1．函数23)(z z f =在点0=z 处是( )（A ）解析的 （B ）可导的（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 （D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )（A ）xyi y x 222-- （B ）xyi x +2（C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x +5．函数)Im()(2z z z f =在=z 处的导数( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常 数=a ( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( )（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数 8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数（D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 9．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．i i 的主值为( )（A ）0 （B ）1 （C ）2πe （D ）2π-e11．z e 在复平面上( )（A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析 （C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平面上处处解析 （B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的13．设α为任意实数，则α1( )（A ）无定义 （B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 23π-15．设α是复数，则( )（A ）αz 在复平面上处处解析 （B ）αz 的模为αz（C ）αz 一般是多值函数 （D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍 二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(lim2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是3．导函数xv i x u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为 4．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f 5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f 6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数i i 的模为 9．=-)}43Im{ln(i10．方程01=--z e 的全部解为 三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iy x z +=的解析函数，若记)2,2()2,2(),(iz z z z iv i z z z z u z z w -++-+=，则0=∂∂z w．四、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设023=+-ze zw w ，求22,dzwd dz dw . 六、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.七、已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(.八、设s 和n 为平面向量，将s按逆时针方向旋转2π即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数，则有s v n u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,（s ∂∂与n∂∂分别表示沿s ,n 的方向导数）. 九、若函数)(z f 在上半平面内解析，试证函数)(z f 在下半平面内解析. 十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章 复变函数的积分一、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2( )（A ）i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6561+ 2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π （B ）2iπ- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz zzc c c 212sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π4 4．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc 2)1(cos ( ) （A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( )（A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( )（A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）17．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)( ( )（A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定 8．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰c z dz ze （ ）（A ）21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( ) （A ）i π22 （B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22- 10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰cdz i a zz 2)(cos ( ) （A ）ie π2 （B ）eiπ2 （C ）0 （D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定 12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）积分⎰=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关 （B ）2)(22≤+⎰cdz iy x,其中c 为连接i -到i 的线段（C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析 （D ）若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz +2 （B ） ic iz +2 （C ）c z +2 （D ）ic z +2 14．下列命题中，正确的是( )（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 （C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内的调和函数 （D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v -（C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰cdz z 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-⎰c dz z z z 22)4(233．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ，则=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，则5．设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰c zdz i z e 5)(π 6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ，那么)(z f 在B 内8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为9．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为 三、计算积分 1.⎰=+-R z dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.⎰=++22422z z z dz． 四、设)(z f 在单连通域B 内解析，且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证１．在B 内处处有0)(≠z f ；=+⎰cdz zzz２．对于B 内任意一条闭曲线c ，都有0)()(=''⎰cdz z f z f 五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析，若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-，则),2,1()(!)()( =≤n rr M n a fnn . 六、求积分⎰=1z zdz z e ，从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e .七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数b a ,，试求极限⎰=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =（刘维尔Liouville 定理）.八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析，且2)0(,1)0(='=f f ，试计算积分⎰=+122)()1(z dz zz f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值.九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明222222222))(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f y z f x z f +'=∂+∂+∂+∂.十、若)(22y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(.第四章 级 数一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ，则n n a ∞→lim ( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)231(n ni （B ）∑∞=+1!)43(n n n i （C ） ∑∞=1n n n i （D ）∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B ） ∑∞=+1)1(1n n in（B ）∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n n n i （D ）∑∞=-12)1(n nnn i 4．若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定 5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R ==6．设10<<q ，则幂级数∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( )（A ）q （B ）q1（C ）0 （D ）∞+ 7．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) （A ） 1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为 （A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z -（D ）z +11ln(D) z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n nn z c ，那么幂级数∑∞=0n n n z c 的收敛半径=R ( )（A ）∞+ （B ）1 （C ）2π（D ）π 10．级数+++++22111z z z z的收敛域是( ) （A ）1<z （B ）10<<z （C ）+∞<<z 1 （D ）不存在的11．函数21z 在1-=z 处的泰勒展开式为( ) （A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n（B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-⎰c dz z z z f 20)()(( )(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π （D ）)(20z f i 'π14．若⎩⎨⎧--==-+= ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) （A ）3141<<z （B ）43<<z （C ）+∞<<z 41 （D ）+∞<<z 3115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题 1．若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为 ． 2．设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是 ． 3．幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=0)()(n n nz z cz f 成立，其中=n c ．5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 ． 6．设幂级数∑∞=0n nnz c的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为 ．7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为 ． 8．函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为 ． 9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R ． 10．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 ．三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式． 四、试证明 1．);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2．);1()1(1)3(<-≤-≤-z ze e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析，∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1．)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++⎰ξξξξξπξ.2．)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f r n n n <<-=-⎰=++ξξξξπξ）。

第1章 复数与复变函数1.1 复数及复平面1-1若1||1,n nz z z ω==+（n 是正整数），则（）. （A ）Re()0ω=（B ）Im()0ω=（C ）arg()0ω=（D ）arg()πω=解由||1z =知1z z=，因此1n n n n z z z z+=+为实数，故Im()0ω=. 选（B ）||1z =时n z =1/.n n z z =1-23311()()22n n--+=（）. （A ）(1)2n -（B ）1(1)2n --（C ）2 （D ）2-解2i π3e =2i π3e =知，等式中两项皆为1. 选（C ）1-3i |(1e )|n θ+=（）.（A ）2cos2n nθ（B ）2sin2n nθ（C ）/222(1cos )n n θ+（D ）/222(1sin )n n θ+解i 222|1e |(1cos )sin 2(1cos )θθθθ+=++=+故i /22|(1e )|2(1cos ).n nn θθ+=+选（C ）本题容易错选(A)项，因为2(1+2cos )4cos 2θθ=得i |1e |θ+=2cos .2θ错在cos 2θ应加上绝对值.1-442max{|i |||1}z z z +≤=（）. （A（BC（D ）2 解由4242|i |||||2,z z z z +≤+≤而当i4e z π=时，πi4i π2422e 1,i ie 1,|i |2z z z z ==-==-+=，故最大值为2.选（D ）用不等式确定最大值是常用方法. 1-5对任意复数12,z z ，证明不等式121212||||||||||||.z z z z z z -≤±≤+证1121212*********|||()|||||||||||||||||z z z z z z z z z z z z z z z -=+-≤+-=+=+-≤++故1212||||||z z z z -≤+，同理2112||||||z z z z -≤+ 即121212||||||||z z z z z z -+≤-≤+ 也就是1212||||||||.z z z z -≤+证2（代数法）设i (1,2)k k k z x y k =+= 则只要证222121122||||2||||||z z z z z z +≤++即只要证1212x x y y +≤1） 只要证2222212121122()()()x x y y x y x y +≤++ 此不等式等价于22221221112220x y x y x y x y +-≥由于,k k x y 皆是实数，上式左边是完全平方式，故此不等式成立，也就是1212||||||z z z z +≤+成立，以下同证1.证3（三角法）.设12i i 1122e ,e ,z r z r θθ==则2221211221122||(cos cos )(sin sin )z z r r r r θθθθ+=+++222212*********cos()2r r r r r r r r θθ=+-≤+ 21212()(||||)r r z z =+=+即1212||||||z z z z +≤+成立，以下同证1.1-6 当1||≤z 时，求||α+nz 的最大与最小值，n 是正整数，a 是复常数. 解1（代数法）.由1-5题知.||1||||||||||||αα+≤+≤+≤-a z z z z n n n我们知道，当1||=nz ，且向量n z 与α夹角为0°时右边不等式等号成立.故||α+nz 的最大值是.||1α+对左边不等式，要分情况讨论.（1）若1||>α，则.1||||||||-≥-≥+αααnnz z 等号当,1||=z 且nz 与α方向相反时成立.这时最小值是.1||-α（2）若1||≤α，则由0||≥+αn z ，当α-=nz 时等号成立，最小值为0.总之，不论α为何复数，|1|+nz 的最大值是||1α+；而当1||>α时，最小值为1||-α.当1||≤α时，最小值为0.解2 （几何法）.我们仅就1||>α加以证明.由1||≤z 知1||≤nz 。

第一章复数与复变函数一、判断题。

1. i4=-1.（）2.两个复数之间可以比较大小。

（）3.任何复数都可以用三角表示。

（）4.区域D的内点一定是极限点。

5.若尔当曲线一定把复平面分为三部分。

（）6.复变函数一定是单值函数。

（）7.arg（1+2i）＞arg(1-2i).( )8.设f(z)= 1z−1,则f(z)在点z=1处一定不连续。

（）9.复数列{z n}n=1∞的极限为z0,则z0一定是复数集合{z n|n=1,2,…}的聚点。

（）10.复球面上点与扩充复平面上点一定存在一一对应关系。

（）11.limZ→0Z|Z|不存在。

（）12.在z平面内，中心为i，半径为1的圆方程为|z-i|=1.（）二、选择题。

1．当z=1+i1−i时，z100+z75+z50的值等于（）。

A.iB.-1C.1D.-12.设复数z满足arg(z+2)=π3,那么z=（）。

A.-1+√3i B .-√3+i C.-12+√32i D.-√32+12i３.复数z=tanθ-i(π2＜θ<π)的三角表示式是（）。

Ａ.secθ[cos（π２＋θ)＋ｉsin（π２＋θ）］Ｂ. secθ[cos（３π２＋θ)＋ｉsin（３π２＋θ）］Ｃ．－secθ[cos（３π２＋θ)＋ｉsin（３π２＋θ）］Ｄ. -secθ[cos（π２＋θ)＋ｉsin（π２＋θ）］４.若z为非零复数，则|z2−z̅2|与2z z̅的关系是（）。

A.|z2−z̅2|≥2z z̅B.|z2−z̅2|=2z z̅C.|z2−z̅2|≤2z z̅D.不能比较大小。

5.设x,y为实数，z1=x+√11+iy, z2=x−√11+iy,且有|z1|+|z2|=12,则动点（x,y）的轨迹是（）。

A．圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线6.一个复数为1-√3i，则该复数关于x轴对称的复数是（）。

A. 1+√3iB.1-√3iC.√3-iD.√3-i7.使得z2=|z2|成立的复数z是（）。

复变函数复习题详细答案复变函数复习题详细答案如下：1. 复数的代数形式和几何解释复数 \( z = a + bi \) 可以表示为平面上的一个点 \( (a, b) \)，其中 \( a \) 是实部，\( b \) 是虚部。

复数的模 \( |z| \) 表示该点到原点的距离，即 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)。

2. 复数的运算两个复数 \( z_1 = a + bi \) 和 \( z_2 = c + di \) 的加法和乘法运算如下：\[ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \]\[ z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \]3. 复数的共轭和模复数 \( z = a + bi \) 的共轭为 \( \overline{z} = a - bi \)，模为 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)。

4. 复数的指数形式复数 \( z \) 可以表示为指数形式 \( z = re^{i\theta} \)，其中\( r = |z| \) 是模，\( \theta \) 是 \( z \) 的辐角，满足\( \cos\theta = \frac{a}{r} \) 和 \( \sin\theta = \frac{b}{r} \)。

5. 复数的对数复数 \( z \) 的对数定义为 \( \log z = \log r + i\theta \)，其中 \( r = |z| \)，\( \theta \) 是 \( z \) 的主辐角。

6. 复数的导数设 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) 是复函数，其中 \( z = x +iy \)，则 \( f(z) \) 的导数为：\[ f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partialv}{\partial x} \]前提是 \( u \) 和 \( v \) 的偏导数满足柯西-黎曼方程。

第一章 复数与复变函数§习题2．设12,,...,n z z z 是任意n 个复数，证明：11||||n nkkk k z z ==≤∑∑，并给出不等式中等号成立的条件.（提示：可以用数学归纳法证明.等号成立的条件是12,,...,n z z z 线性相关）. 3(Re Im )Re Im .z z z z z +≤≤+证明：设z a ib =+，则Re z a =，Im z b =，||z =.由题2知，z a bi a b ≤+=+故22222222222||2222a ab ba b a b a b ab z +++++==+≤+=，(Re Im )Re Im .z z z z z +≤≤+4．若12||,0z z λλ=>，证明：21212||z z z z λλ-=-. 证明：不妨设22221210.z z z z λ≠=则2222212122121112z z z z z z z z z z z z λλ-=-=-=-即有21212||z z z z λλ-=-成立.5．设|a |<1，证明：若|z|=1，则11z aaz-=-.证明：由1z =得1zz =故11z a z azz z az az -=-=-=-即证之.6．设|a |<1，|z|<1.证明：11z aaz-<-.证明：提示：（11z aaz-<-⇔2222||2Re ||12Re ||||;z az a az a z -+<-+而2222221||||||||(1||)(1||)0;a z a z a z --+=-->）7．设12,,...,n z z z ，12,,...,n ωωω是任意2n 个复数，证明复数形式的Lagrange 等式：22221111()(),nnnk j j j j j j k j j j j k nz z z z ωωωω===≤<≤=--∑∑∑∑并由此推出Cauchy 不等式：222111nnnj jj j j j j z z ωω===⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 证明：提示（记1212......n n z z z A ωωω⎛⎫= ⎪⎝⎭，1112'2212...det det()0.........n n n n z z z z z AA z ωωωωωω⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪=≥ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭， 2det det ||jk jj j k k j j k kk z z z z z z ωωωωωω⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则原式=210k j j k j k n z z ωω≤<≤-≥∑.(1) 另外，21111122221211...det det .........n njj j j j n nnn j j j n j j n z z z z z z z z z ωωωωωωωωω====⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ 222111()()0nnnjjj jj j j zz ωω====-≥∑∑∑.（2）由（1）=（2）可得证.§习题1． 把复数1cos sin z i θθ=++写成三角形式. 解：1111112222221()2Re (2cos )2i i i i i i i z e e eeeeeθθθθθθθθ-=+=+==.2． 问取何值时有(1)(1)nni i +=-. 解：提示（41,1,1k ii i k N i+==∈-）3． 证明：1sinsin()22cos ,2sin2nk n k θθθθ=++=∑ 01coscos()22sin ,2sin2nk n k θθθθ=-+=∑ 证明：由于(1)201sin121sin 2in i n nik i k n e ee e θθθθθθ+=+-==-∑，则即可得0cos Re nnikk k k e θθ===∑∑，sin nnikk k k im e θθ===∑∑.4． 证明：123z z z ∆和123ωωω∆同向相似的充分必要条件为112233111z z z ωωω=0. 证明：提示（123z z z ∆和123z z z ∆同向相似,a b C ⇔∃∈，使得(1,2,3)k k az b k ω=+=111122223333111,,111w z w z w a z b w z w z w z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇔=+⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关1122331det 10.1z w z w z w ⇔=）5． 设12z z ≠，证明：z 位于以1z 和2z 为端点的开线段上，当且仅当存在(0,1)λ∈，使得12(1)z z z λλ=+-；证明：z 位于以1z 和 2z 为端点的开线段上⇔210,()k z z k z z ∃>-=-210,11z z k z k k⇔∃>=+++ 12(0,1),(1),()1kz z z kλλλλ⇔∃∈=++=+. 6． 图是三个边长为1的正方形，证明：2AOD BOD COD π∠+∠+∠=.E A B C解：以O 为原点，OD 为X 轴，OE 为Y 轴，建立坐标系.设123,,OA z OB z OC z →→→=== 则1231,2,3z i z i z i =+=+=+，从而123arg()arg(1)(2)(3)arg(10)z z z i i i i =+++=. 因为i 是单位向量，它的辐角为2π，即2AOD BOD COD π∠+∠+∠=.10．证明：22221212122(||),z z z z z z ++-=+并说明等式的几何意义.证明：222222121211221122||||||2Re ||||2Re ||z z z z z z z z z z z z ++-=+++-+ 22122(||||)z z =+几何意义是：平行四边形两对角线长的平方和等于它的各边长的平方和.11．设1,...,n z z 是单位圆周（以原点为中心、半径为1的圆周）上的n 个点，如果1,...,n z z 是正n 边形的n 个顶点，证明：1nkk z=∑=0.证明：记12...n z z z C ω=+++∈，设该正n 边形的一个圆心角为θ，0θπ<<.由复数乘法几何意义及正n 边形对称性，0i e θωωω=⇒=，即证之.13.设1z ，2z ，3z ，4z 是单位圆周上的四个点，证明：这四个点是一矩形顶点的充要条件为12340z z z z +++=.证明：提示（先为菱形，连线为直径对点则是矩形）14.设L 是由方程0azz z z d ββ+++=所确定的点的轨迹，其中a ，d 是实数，β是复数.证明：（i ）当a =0，β≠0时，L 是一直线；（ii ）当a ≠0，20ad β->时，L 是一圆周.并求出该圆周的圆心和半径.证明：（i ）令22d λβ=，则2d λββ=，故原方程为()()0z z βλββλβ+++=，即Re ()0z βλβ+=，即z λβ+与β垂直，从而轨迹是一条通过点λβ-，与β垂直的直线.（ii ）记220ad λβ=->，则2ad ββλ=-，原式22220()()a zz a z a z ad az az az ββββλβλ⇔+++=⇔++=⇔+=即证之.§习题1. 证明：在复数的球面表示下，z 和1z的球面像关于复平面对称. 证明：设z x iy =+其球面对应的坐标为21232221,,1(1)1z z z z z x x x zi z z -+-===+++.而1z球面像对应的坐标为 1122211'1111z z z zz z x x z z z+++====+++, 2222211'1(1)(1)(1)z z z zz z x x i z i z i z---====+++, 222332221111'1111z z zx x z z z---====-+++, 从而有'''112233,,x x x x x x ===-，故z 和1z的球面像关于复平面对称.2. 证明：在复数的球面表示下，z 和ω的球面像是直径对点当且仅当z ω=-1. 证明：⇐设z x iy =+，由1z ω=-得11,z zωω=-=-，由于z 对应的球面像为21232221,,1(1)1z z z z z x x x zi z z -+-===+++，ω对应的球面像为123',','x x x ，计算可得：11,2233'','x x x x x x =-=-=-，故z 和ω的球面像是直径对点.⇒由球面表示的几何意义知，,z ω位于通过竖坐标轴的平面与xoy 平面交点上，从而,z ω必与原点共线，则,0z ωλλ=->，由33'x x =，易知1λ=.3. 证明：在复数的球面表示下, ∞C 中的点z 和ω的球面像间的距离为.证明：设z 和w 的球面像的坐标为()123,,x x x 和()123',','x x x ， 则()()()()222112233112233'''22'''x x x x x x x x x x x x -+-+-=-++，112233'''x x x x x x ++()()()()()()()()22221111z z z z zzωωωωωω++--++-+=++()()()()2222211211zz z ωωω++--=++故(),d z ω==4. 证明：在复数的球面表示下，若a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭是二阶酉方阵，则∞C 的变换w= az bcz d ++诱导了球面绕球心的一个旋转. 证明：先证(),,,z w c d z w ∀∈=，一定有(),,az b aw b d d z w cz d cw d ++⎛⎫=⎪++⎝⎭.而()()22222222()det 11a b az b aw bz w cz d cw dc d az bcz daw bcw daz b aw b cz d cw d ⎛⎫++-- ⎪++⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++++++++++⎪⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，由a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭是二阶酉方阵知， ()()222det 1,11||1,11a b a c a b z z az b cz d z z z c d c d b d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++===+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 类似的有222||1,aw b cw dw +++=+故原式=()()()()()()2222221111ad bc z w z wz w z z ---=++++，故(),,az b aw b d d z w cz d cw d ++⎛⎫=⎪++⎝⎭成立，从而诱导变换是一个等距.又等距变换的行列式是a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的连续函数且只取1±两个值，而二阶酉方阵全体是连通的，从而行列式为常数. 取a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭=1001⎛⎫⎪⎝⎭，此时诱导变换是恒等变换，行列式为1，故此常数为1，从而此等距变换为旋转.§习题1. 设0(,0]z ∉-∞，0n z ≠，n N ∀∈.证明：复数列{}n z 收敛到0z 的充要条件是0lim n n z z →∞=和0limarg arg n n z z →∞=.证明：因为00(,0],0,..arg z s t z δπδπδ∉-∞∃>->>-+， 由不等式 0000||||||||arg arg n n z z z z z z z -≤-+-即得充分性 由不等式00||||||n z z z z -≥- 及 0000arg arg ||||||2||sin 2n n z z z z z z z --+-≥并注意0arg arg 222n z z δδππ--+<<-，可得必要性.2. 设z x iy =+∈C ,证明：()lim 1cos sin nx n z e x i y n →∞⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.（提示：分开证明实部与虚部收敛即可.）§习题2． 设E ⊂C 是非空点集，,z w ∈C .证明：()(),,d z E d E z ωω-≤-成立，而()()(),,,d z E d E d z E ωω-≤-不成立.证明：,E ξ∀∈有 (,)inf ||||||||Ed z E z z z z ξξξωω∈=-≤-≤-+-||(,)||d z E z ωξω⇒-≥--，取下确界得(,)inf ||(,)||Ed E d z E z ξωωξω∈=-≥--，即(,)(,)||d z E d E z ωω-≤-（1）同样可得(,)(,)||d E d z E z ωω-≤-（2） 因此由（1）（2）可得结论成立.反例：令{1},2,1E z ω===.则(,)d z E =1，(,)d E ω=0，(,)d z E ω-=03. 指出下列点集的内部、边界、闭包和导集： (i) N ={k: k 为自然数}；解：内部：空集；边界：N ；闭包：N ={k: k 为自然数}；导集：空集. (ii) E={1k: k 为自然数}：解：内部：空集；边界：E ⋃{}0；闭包：E = E ⋃{}0；导集：{0}. (iii) D=B(1,1) (1,1)B ⋃-;解：内部：D=B(1,1) (1,1)B ⋃-; 边界：{:|1|1D z z ∂=∈-=C 或|1|1}z +=；闭包：{:|1|1D z z =∈-≤C 或|1|1}z +≤；导集：'{:|1|1D z z =∈-≤C 或|1|1}z +≤； (iv) G={z ∈C : 12z <≤};解：内部：{:1||2}oG z z =∈<<C ；边界：；{:||2G z z ∂=∈=C 或||1}z =闭包：{:1||2}G z z =∈≤≤C ；导集：'{:1||2}G z z =∈≤≤C ；(v) C .解：内部：C ；边界：空集；闭包：C ；导集：C .4.指出下列点集中哪些是开集，哪些是闭集，哪些是紧集：(i) Z={k: k 为自然数}； 解：闭集，非开集，非紧集；(ii) E 为有限集； 解：紧集；(iii) D={}:Im 0\k k z z F ∞=-∞⎛⎫∈>⋃ ⎪⎝⎭C ， {}:,01k z z k iy y F =∈=+≤≤C ；解：开集； (iv) G=B(0,1)\ 1:1k k ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为自然数; 解：非开，非闭，非紧； (v) C \B ()R ∞，; 解：紧集.8. 设D 是开集，F D ⊂是非空紧集，证明： （i ）(),0;d F D ∂>(ii) ()()1210,,,,...,,,nn k k d F D F z z z F B z D δδ=∂⊂⋃⊂对任意<<存在中的点使得并且()()1,,,n k k d B z D d F D δδ=⎛⎫∂≥∂- ⎪⎝⎭⋃. 证明：（1）由定理1.5.6可得（2）(,),k B z ζδ∀∈成立(,)(,)(,)(,)||k k d F D d D d z D d D z ζζζδ∂-∂≤∂-∂≤-< 即(,)(,)d D d F D ζδ∂>∂-，即n1((,),)inf (,)(,)k k d B z D d D d F D δζδ=⋃∂=∂≥∂-§习题1.满足下列条件的点z 所组成的点集是什么如果是域，说明它是单连通域还是多连通域 （i ）Re 1;z =实部是1的直线， 不是域(ii) Im 5z <-;虚部小于-5的开平面， 单连通域 (iii) 5;z i z i -++= 椭圆曲线 不是域 (iv) 2;z i i -≤- 闭圆盘 单连通域(v) ()arg 1;6z π-=半射线 不是域(vi) 11,Im ;2z z <>开弓形 单连通域 (vii)12;1z z -≤+ 圆盘外无界闭区域 (viii) 0arg.4z i z i π-<<+左半平面（不含虚轴）与以（-1，0为半径的闭圆盘外部之交 多连通域§习题3.证明紧集的连续像为紧集.证明：任取()f E 的开覆盖{}U u =，则11(){()}fU f u --=是E 的一个开覆盖，因为E 为紧集，存在有限个开集11111121(),(),...,()(),..()n n k k f u fu f u f U s t E fu -----=∈⊂⋃，故1()k k f E u ∞=⊂⋃，从而()f E 是紧集..将紧集换成闭集，结论不一定成立.反例：取[1,),E =∞令1().f x x=则()(0,1]f E =不闭.5. 证明：若f 在域D 上一致连续，则对任意()00,lim .z z z D f z →∈∂存在证明：因为f 在域D 上一致连续，故0,ε∀>∃0δ>， 对D 上任意的1,2z z ，只要122,z z δ-<有()12f z z ε-<.因此120,(,)z z D B z δ∀∈⋂，有()12f z z ε-<，由Cauchy 收敛原理，极限存在.。

版高考数学一轮总复习复数与复变函数的典型题目与解析- 题目一：求复数的共轭已知复数 $z=3-2i$，求它的共轭数。

解析：一个复数的共轭是保持实部不变，而虚部变号的复数。

对于复数 $z=3-2i$，它的共轭数为 $\overline{z}=3+2i$。

- 题目二：求复数的模已知复数 $z=4+3i$，求它的模。

解析：复数的模即为复平面上从原点到该复数所对应的向量的长度。

对于复数 $z=4+3i$，可以利用勾股定理计算出其模为$|z|=\sqrt{4^2+3^2}=5$。

- 题目三：复数的运算已知复数 $z_1=2+i$，$z_2=3-4i$，求复数 $z_1+z_2$ 和 $z_1\timesz_2$。

解析：对于复数的加法，只需将实部与虚部分别相加即可。

所以$z_1+z_2=(2+i)+(3-4i)=5-3i$。

对于复数的乘法，先利用分配律进行展开，然后利用 $i^2=-1$ 进行化简。

所以 $z_1\times z_2=(2+i)\times(3-4i)=6-8i+3i-4i^2=10-5i$。

- 题目四：复函数的导数已知函数 $f(z)=2z^2+3z-1$，求它的导数。

解析：对于复变函数，我们和实变函数一样可以利用求导的定义来求导数。

对于函数 $f(z)=2z^2+3z-1$，可以分别对 $z$ 的实部和虚部进行求导。

所以导数 $f'(z)=\frac{d}{dz} (2z^2+3z-1) = 4z+3$。

- 题目五：复数的共轭函数已知复函数 $f(z)=\sin(z)+\cos(z)$，求它的共轭函数 $f^*(z)$。

解析：对于复变函数来说，共轭函数就是将 $f(z)$ 中的 $z$ 替换为其共轭数 $\overline{z}$。

所以$f^*(z)=\sin(\overline{z})+\cos(\overline{z})$。

通过以上的典型题目与解析，我们可以更好地理解和掌握复数与复变函数的相关概念和运算。

第一章复数与复变函数(答案)一、选择题1．当时，的值等于（B ）ii z -+=115075100z z z ++（A ） （B ） （C ） （D ）i i -11-2．设复数满足，，那么（A ）z arg(2)3z π+=5arg(2)6z π-==z （A ） （B ） （C ） （D ）i 31+-i +-3i 2321+-i 2123+-3．复数的三角表示式是（D ）)2(tan πθπθ<<-=i z （A ） （B ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i )]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）（D ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i )]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若为非零复数，则与的关系是（C ）z 22z z -z z 2（A ） （B ）z z z z 222≥-z z z z 222=-（C ） （D ）不能比较大小z z zz 222≤-５．设为实数，且有，则动点y x ,yi x z yi x z +-=++=11,11211221=+z z 的轨迹是（B ）),(y x （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转，对应的复数为，则原向量对应的复数是（A ）3πi 31-（A ） （B ） （C ） （D ）2i 31+i -3i+3７．使得成立的复数是（D ）22z z =z（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数８．设为复数，则方程的解是（B ）z i z z +=+2（A ） （B ） （C ） （D ）i +-43i +43i -43i --43９．满足不等式的所有点构成的集合是（D ）2≤+-iz iz z （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域10．方程所代表的曲线是（C ）232=-+i z （A ）中心为，半径为的圆周 （B ）中心为，半径为２的圆周i 32-2i 32+-（C ）中心为，半径为的圆周　（D ）中心为，半径为２的圆周i 32+-2i 32-11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（B ）（A ） （B ）221=+-z z 433=--+z z （C ） （D ）)1(11<=--a azaz )0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设，则（C ）,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=12()f z z -=（A ） （B ） （C ） （D ）i 44--i 44+i 44-i 44+-13．（D ）000Im()Im()limz z z z z z →--（A ）等于 （B ）等于 （C ）等于 （D ）不存在i i -014．函数在点处连续的充要条件是（C ）),(),()(y x iv y x u z f +=000iy x z +=（A ）在处连续 （B ）在处连续),(y x u ),(00y x ),(y x v ),(00y x （C ）和在处连续（D ）在处连续),(y x u ),(y x v ),(00y x ),(),(y x v y x u +),(00y x15．设且，则函数的最小值为（A ）C z ∈1=z zz z z f 1)(2+-=（A ） （B ） （C ） （D ）3-2-1-1二、填空题1．设，则)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+==z 22．设，则)2)(32(i i z +--==z arg 8arctan -π3．设，则 43)arg(,5π=-=i z z =z i 21+-4．复数的指数表示式为 22)3sin 3(cos )5sin5(cos θθθθi i -+ie θ165．以方程的根的对应点为顶点的多边形的面积为 i z 1576-=６．不等式所表示的区域是曲线（或522<++-z z 522=++-z z ） 的内部1)23()25(2222=+y x ７．方程所表示曲线的直角坐标方程为 1)1(212=----zi iz 122=+y x ８．方程所表示的曲线是连接点 和 的线段的垂i z i z +-=-+22112i -+2i -直平分线９．对于映射，圆周的像曲线为zi =ω1)1(22=-+y x ()2211u v -+=10． =+++→)21(lim 421z z iz 12i -+三、若复数满足，试求的取值范围．z 03)21()21(=+++-+z i z i z z 2+z(（或）)]25,25[+-25225+≤+≤-z 四、设，在复数集中解方程.0≥a C a z z =+22(当时解为或10≤≤a i a )11(-±±)11(-+±a 当时解为)+∞≤≤a 1)11(-+±a 五、设复数，试证是实数的充要条件为或.i z ±≠21zz+1=z Im()0z =六、对于映射，求出圆周的像.)1(21zz +=ω4=z (像的参数方程为．表示平面上的椭圆)π≤θ≤⎪⎩⎪⎨⎧θ=θ=20sin 215cos 217v u w 1)215()217(2222=+v u 七、设，试讨论下列函数的连续性：iy x z +=1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f 2..⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f (1．在复平面除去原点外连续，在原点处不连续；)(z f 2．在复平面处处连续))(z f 第二章 解析函数（答案）一、选择题：1．函数在点处是( B )23)(z z f =0=z（A ）解析的 （B ）可导的（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导2．函数在点可导是在点解析的( B ))(z f z )(z f z （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是( D )（A ）设为实数，则y x ,1)cos(≤+iy x （B ）若是函数的奇点，则在点不可导0z )(z f )(z f 0z （C ）若在区域内满足柯西-黎曼方程，则在内解析v u ,D iv u z f +=)(D （D ）若在区域内解析，则在内也解析)(z f D )(z if D 4．下列函数中，为解析函数的是( C )（A ） （B ）xyi y x 222--xyi x +2（C ） （D ）)2()1(222x x y i y x +-+-33iy x +5．函数在处的导数( A ))Im()(2z z z f =0z =（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于 （D ）不存在1-6．若函数在复平面内处处解析，那么实常)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=数( C )=a （A ） （B ） （C ） （D ）0122-7．如果在单位圆内处处为零，且，那么在内( C ))(z f '1<z 1)0(-=f 1<z ≡)(z f （A ） （B ） （C ） （D ）任意常数011-8．设函数在区域内有定义，则下列命题中，正确的是( C ))(z f D （A ）若在内是一常数，则在内是一常数)(z f D )(z f D （B ）若在内是一常数，则在内是一常数))(Re(z f D )(z f D （C ）若与在内解析，则在内是一常数)(z f )(z f D )(z f D（D ）若在内是一常数，则在内是一常数)(arg z f D )(z f D 9．设，则( A )22)(iy x z f +==+')1(i f （A ） （B ） （C ） （D ）2i 2i +1i 22+10．的主值为( D )ii （A ） （B ） （C ） （D ）012πe 2eπ-11．在复平面上( A )ze （A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析12．设，则下列命题中，不正确的是( C )z z f sin )(=（A ）在复平面上处处解析 （B ）以为周期)(z f )(z f π2（C ） （D ）是无界的2)(iziz e e z f --=)(z f 13．设为任意实数，则( D )αα1（A ）无定义 （B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于114．下列数中，为实数的是( B )（A ） （B ） （C ） （D ）3)1(i -i cos i ln e 23π-15．设是复数，则( C )α（A ）在复平面上处处解析 （B ）的模为αz αz αz（C ）一般是多值函数 （D ）的辐角为的辐角的倍αz αz z α二、填空题1．设，则i f f +='=1)0(,1)0(=-→zz f z 1)(limi +12．设在区域内是解析的，如果是实常数，那么在内是 常数iv u z f +=)(D v u +)(z f D3．导函数在区域内解析的充要条件为 可微且满足x vix u z f ∂∂+∂∂=')(D xvx u ∂∂∂∂, 222222,xvy x u y x v x u ∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂4．设，则2233)(y ix y x z f ++==+-')2323(i f i 827427-5．若解析函数的实部，那么或iv u z f +=)(22y x u -==)(z f ic xyi y x ++-222为实常数ic z +2c 6．函数仅在点处可导)Re()Im()(z z z z f -==z i 7．设，则方程的所有根为 z i z z f )1(51)(5+-=0)(='z f 3,2,1,0),424sin 424(cos 28=π+π+π+πk k i k 8．复数的模为ii ),2,1,0(2L ±±=π-k ek 9．=-)}43Im{ln(i 34arctan -10．方程的全部解为01=--ze),2,1,0(2L ±±=πk i k 三、试证下列函数在平面上解析，并分别求出其导数z 1．（）;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=;sin )(z z f -='2．（）);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=.)1()(ze z zf +='四、已知，试确定解析函数.22y x v u -=-iv u z f +=)(（.为任意实常数）c i z i z f )1(21)(2++-=c 第三章 复变函数的积分（答案）一、选择题：1．设为从原点沿至的弧段，则( D )c x y =2i +1=+⎰cdz iy x )(2（A ）（B ） （C ） （D ）i 6561-i 6561+-i 6561--i 6561+2．设为不经过点与的正向简单闭曲线，则为( D)c 11-dz z z zc ⎰+-2)1)(1(（A ）（B ） （C ） （D ）(A)(B)(C)都有可能2iπ2iπ-03．设为负向，正向，则( B )1:1=z c 3:2=z c =⎰+=dz zzc c c 212sin （A ）（B ） （C ） （D ）i π2-0iπ2iπ44．设为正向圆周，则( C)c 2=z =-⎰dz z zc2)1(cos （A ） （B ） （C ） （D ）1sin -1sin 1sin 2i π-1sin 2i π5．设为正向圆周，则 ( B)c 21=z =--⎰dz z z z c23)1(21cos（A ） （B ） （C ） （D ）)1sin 1cos 3(2-i π01cos 6i π1sin 2i π-6．设，其中，则( A )ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(4≠z ='）i f π(（A ） （B ） （C ） （D ）i π2-1-i π217．设在单连通域内处处解析且不为零，为内任何一条简单闭曲线，则积分)(z f B c B( C )dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)(（A ）于 （B ）等于 （C ）等于 （D ）不能确定i π2i π2-08．设是从到的直线段，则积分（ A ）c 0i 21π+=⎰cz dz ze （A ） (B) (C) (D) 21eπ-21eπ--i e21π+ie21π-9．设为正向圆周，则( A )c 0222=-+x y x =-⎰dz z z c1)4sin(2π（A ）（B ） （C ） （D ）i π22i π20i π22-10．设为正向圆周，则( C)c i a i z ≠=-,1=-⎰cdz i a zz 2)(cos （A ） （B ）（C ） （D ）ie π2eiπ20i i cos 11．设在区域内解析，为内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于．如果)(z f D c D D 在上的值为2，那么对内任一点,( C ))(z f c c 0z )(0z f （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定12．下列命题中，不正确的是( D )（A ）积分的值与半径的大小无关⎰=--ra z dz az 1)0(>r r （B ）,其中为连接到的线段2)(22≤+⎰cdz iy xc i -i （C ）若在区域内有，则在内存在且解析D )()(z g z f ='D )(z g '（D ）若在内解析，且沿任何圆周的积分等于零，则)(z f 10<<z )10(:<<=r r z c 在处解析)(z f 0=z 13．设为任意实常数，那么由调和函数确定的解析函数是 ( D)c 22y x u -=iv u z f +=)((A) （B ） （C ） （D ）c iz +2ic iz +2c z +2ic z +214．下列命题中，正确的是(C)（A ）设在区域内均为的共轭调和函数，则必有21,v v D u 21v v =（B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C ）若在区域内解析，则为内的调和函数iv u z f +=)(D xu∂∂D （D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设在区域内为的共轭调和函数，则下列函数中为内解析函数的是( ),(y x v D ),(y x u D B )（A ） （B ）),(),(y x iu y x v +),(),(y x iu y x v -（C ） （D ）),(),(y x iv y x u -xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1．设为沿原点到点的直线段，则 2c 0=z i z +=1=⎰cdz z 22．设为正向圆周，则c 14=-z =-+-⎰c dz z z z 22)4(23i π103．设,其中，则 0 ⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f 2≠z =')3(f 4．设为正向圆周，则=+⎰cdz zzz c 3=z i π65．设为负向圆周，则 c 4=z =-⎰c z dz i z e 5)(π12iπ6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 平均值7．设在单连通域内连续，且对于内任何一条简单闭曲线都有，)(z f B B c 0)(=⎰cdz z f 那么在内 解析)(z f B 8．调和函数的共轭调和函数为xy y x =),(ϕC x y +-)(21229．若函数为某一解析函数的虚部，则常数 -323),(axy x y x u +==a 10．设的共轭调和函数为，那么的共轭调和函数为 ),(y x u ),(y x v ),(y x v ),(y x u -三、计算积分1.,其中且;⎰=+-R z dz z z z)2)(1(621,0≠>R R 2≠R （当时，； 当时，； 当时，）10<<R 021<<R i π8+∞<<R 202.．（0）⎰=++22422z z z dz四、求积分，从而证明.（）⎰=1z zdz z e πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e i π2五、若，试求解析函数.)(22y x u u +=iv u z f +=)(（（为任意实常数））321ln 2)(ic c z c z f ++=321,,c c c 第四章 级 数（答案）一、选择题：1．设，则( C )),2,1(4)1(L =++-=n n nia n n n n a ∞→lim （A ）等于 （B ）等于 （C ）等于 （D ）不存在01i2．下列级数中，条件收敛的级数为( C )（A ） （B ）∑∞=+1)231(n n i ∑∞=+1!)43(n nn i （C ） （D ）∑∞=1n n n i ∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为(D )（B ） （B ）∑∞=+1)1(1n n i n ∑∞=+-1]2)1([n n n in (C) （D ）∑∞=2ln n n n i ∑∞=-12)1(n n nn i 4．若幂级数在处收敛，那么该级数在处的敛散性为( A )∑∞=0n n nz ci z 21+=2=z （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛（C ）发散 （D ）不能确定5．设幂级数和的收敛半径分别为，则∑∑∞=-∞=01,n n n n nnznc z c∑∞=++011n n n z n c 321,,R R R 之间的关系是( D )321,,R R R （A ） （B ） 321R R R <<321R R R >>（C ） （D ）321R R R <=321R R R ==6．设，则幂级数的收敛半径( D )10<<q ∑∞=02n n n z q =R （A ） （B ）（C ） （D ）q q10∞+7．幂级数的收敛半径( B )∑∞=1)2(2sinn n z n n π=R（A ）（B ） （C ） （D ）122∞+8．幂级数在内的和函数为( A )∑∞=++-011)1(n n n z n 1<z （A ） （B ）)1ln(z +)1ln(z -（D ） (D) z +11lnz-11ln 9．设函数的泰勒展开式为，那么幂级数的收敛半径( C )z e z cos ∑∞=0n n n z c ∑∞=0n nn z c =R （A ） （B ） （C ）（D ）∞+12ππ10．级数的收敛域是( B )L +++++22111z z z z（A ） （B ） （C ） （D ）不存在的1<z 10<<z +∞<<z 111．函数在处的泰勒展开式为( D)21z1-=z （A ）（B ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n （C ） （D ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n )11()1(11<++∑∞=-z z n n n 12．函数，在处的泰勒展开式为( B )z sin 2π=z （A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n nn （C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n （D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n nn 13．设在圆环域内的洛朗展开式为，为内)(z f 201:R z z R H <-<∑∞-∞=-n n nz z c)(0c H 绕的任一条正向简单闭曲线，那么( B )0z =-⎰c dz z z z f 20)()((A) （B ） （C ） （D ）12-ic π12ic π22ic π)(20z f i 'π14．若，则双边幂级数的收敛域为( A )⎩⎨⎧--==-+=L L ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ∑∞-∞=n nn z c （A ）（B ） 3141<<z 43<<z （C ）（D ）+∞<<z 41+∞<<z 3115．设函数在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有个，那么)4)(1(1)(++=z z z z f m ( C )=m （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题1．若幂级数在处发散，那么该级数在处的收敛性为 发散∑∞=+0)(n n ni z ci z =2=z 2．设幂级数与的收敛半径分别为和，那么与之间的关∑∞=0n nnz c∑∞=0)][Re(n n n z c 1R 2R 1R 2R系是 ．12R R ≥3．幂级数的收敛半径∑∞=+012)2(n n nz i =R 224．设在区域内解析，为内的一点，为到的边界上各点的最短距离，那么)(z f D 0z d 0z D 当时，成立，其中d z z <-0∑∞=-=0)()(n n nz z cz f 或=n c ),2,1,0()(!10)(L =n z f n n （）．)0,2,1,0()()(21010d r n dz z z z f irz z n <<=-π⎰=-+L 5．函数在处的泰勒展开式为 ．z arctan 0=z )1(12)1(012<+-∑∞=+z z n n n n 6．设幂级数的收敛半径为，那么幂级数的收敛半径为∑∞=0n nn z c R ∑∞=-0)12(n n n n z c 2R ．7．双边幂级数的收敛域为 ．∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 211<-<z 8．函数在内洛朗展开式为 ．zze e 1++∞<<z 0nn nn z n z n ∑∑∞=∞=+00!11!19．设函数在原点的去心邻域内的洛朗展开式为，那么该洛朗级数z cot R z <<0∑∞-∞=n n nz c收敛域的外半径 ．=R π10．函数在内的洛朗展开式为)(1i z z -+∞<-<i z 1∑∞=+--02)()1(n n n n i z i三、若函数在处的泰勒展开式为，则称为菲波那契(Fibonacci)211z z --0=z ∑∞=0n nn z a {}n a 数列，试确定满足的递推关系式，并明确给出的表达式．n a n a （，)2(,12110≥+===--n a a a a a n n n ）),2,1,0(}251()251{(5111L =--+=++n a n n n 四、求幂级数的和函数，并计算之值.∑∞=12n nz n ∑∞=122n n n （，）3)1()1()(z z z z f -+=6五、将函数在内展开成洛朗级数.)1()2ln(--z z z 110<-<z （）n n nk k z k n z z z z z z )1(1)1(()2ln(111)1()2ln(001-+--=-⋅⋅-=--∑∑∞==+第五章 留 数(答案)一、选择题：1．函数在内的奇点个数为 ( D )32cot -πz z2=-i z （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42．设函数与分别以为本性奇点与级极点，则为函数)(z f )(z g a z =m a z =)()(z g z f 的( B )（A ）可去奇点 （B ）本性奇点（C ）级极点 （D ）小于级的极点m m 3．设为函数的级极点，那么( C )0=z zz e xsin 142-m =m（A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）24．是函数的( D )1=z 11sin)1(--z z (A)可去奇点 （B ）一级极点（C ） 一级零点 （D ）本性奇点5．是函数的( B )∞=z 2323z z z ++(A)可去奇点 （B ）一级极点（C ） 二级极点 （D ）本性奇点6．设在内解析，为正整数，那么( C )∑∞==)(n n n z a z f R z <k =]0,)([Re kz z f s （A ） （B ） （C ） （D ）k a k a k !1-k a 1)!1(--k a k 7．设为解析函数的级零点，那么='],)()([Re a z f z f s ( A )a z =)(z f m (A) （B ） （C ） （D ）m m -1-m )1(--m 8．在下列函数中，的是（ D ）0]0),([Re =z f s （A ）（B ）21)(ze zf z -=z z z z f 1sin )(-=（C ） (D) z z z z f cos sin )(+=ze zf z 111)(--=9．下列命题中，正确的是( C )（A ）设，在点解析，为自然数，则为的)()()(0z z z z f mϕ--=)(z ϕ0z m 0z )(z f 级极点．m （B ）如果无穷远点是函数的可去奇点，那么∞)(z f 0]),([Re =∞z f s （C ）若为偶函数的一个孤立奇点，则0=z )(z f 0]0),([Re =z f s（D ）若，则在内无奇点0)(=⎰c dz z f )(z f c 10． ( A )=∞],2cos[Re 3ziz s （A ） （B ） （C ） （D ）32-32i 32i32-11． ( B)=-],[Re 12i e z s iz （A ） （B ） （C ） （D ）i +-61i +-65i +61i +6512．下列命题中，不正确的是( D)（A ）若是的可去奇点或解析点，则)(0∞≠z )(z f 0]),([Re 0=z z f s （B ）若与在解析，为的一级零点，则)(z P )(z Q 0z 0z )(z Q )()(],)()([Re 000z Q z P z z Q z P s '=（C ）若为的级极点，为自然数，则0z )(z f m m n ≥)]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dzd n z z f s n n nx x +→-=（D ）如果无穷远点为的一级极点，则为的一级极点，并且∞)(z f 0=z )1(zf )1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞13．设为正整数，则( A )1>n =-⎰=211z ndz z (A) （B ） （C ）（D ）0i π2niπ2i n π214．积分( B )=-⎰=231091z dz z z （A ） （B ） （C ） （D ）0i π2105iπ15．积分( C )=⎰=121sin z dz z z （A ） （B ） （C ） （D ）061-3i π-iπ-二、填空题1．设为函数的级零点，那么 9 ．0=z 33sin z z -m =m 2．函数在其孤立奇点处的留数zz f 1cos1)(=),2,1,0(21L L ±±=+=k k z k ππ．=]),([Re k z z f s 2)2()1(π+π-k k3．设函数，则 0 }1exp{)(22zz z f +==]0),([Re z f s 4．设为函数的级极点，那么 ．a z =)(z f m ='],)()([Re a z f z f s m -5．设，则 -2 ．212)(zzz f +==∞]),([Re z f s 6．设，则 ．5cos 1)(z z z f -==]0),([Re z f s 241-7．积分．=⎰=113z zdz e z 12iπ8．积分．=⎰=1sin 1z dz z i π2三、计算积分．()⎰=--412)1(sin z z dz z e z z i π-316四、设为的孤立奇点，为正整数，试证为的级极点的充要条件是a )(z f m a )(z f m ，其中为有限数．b z f a z m az =-→)()(lim 0≠b 五、设为的孤立奇点，试证：若是奇函数，则；a )(z f )(z f ]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=若是偶函数，则．)(z f ]),([Re ]),([Re a z f s a z f s --=。

习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+（2）(1)(2)ii i--（3）131ii i--（4）8214i i i-+-解：（1）1323213i zi-==+，因此：32 Re, Im1313 z z==-，232arg arctan,31313z z z i==-=+（2）3(1)(2)1310i i izi i i-+===---，因此，31Re, Im1010z z=-=，131arg arctan,31010z z z iπ==-=--（3）133335122i i iz ii i--=-=-+=-，因此，35Re, Im32z z==-，535,arg arctan,232iz z z+==-=（4）82141413z i i i i i i=-+-=-+-=-+因此，Re1,Im3z z=-=，arg arctan3,13z z z iπ==-=--2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i（2）1-+（3）(sin cos)r iθθ+（4）(cos sin)r iθθ-（5）1cos sin (02)iθθθπ-+≤≤解：（1）2cos sin22ii i eπππ=+=（2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3． 求下列各式的值：（1）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5（6解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin()))66i i ππ=-+-=-+（2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )33)sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-)sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)12)sin(2)]1212ii πθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- （5=11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++1, 0221, 122, 2i k i k i k +=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6=11(2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++88, 0, 1i i e k e k ππ==⎪=⎩4．设12 ,z z i ==-试用三角形式表示12z z 与12z z解：12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5． 解下列方程： （1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=>解：（1）z i += 由此25k iz i e iπ=-=-，(0,1,2,3,4)k=（2）z==11[cos(2)sin(2)]44a k i kππππ=+++，当0,1,2,3k=时，对应的4(1),1),1),)i i i i+-+---6．证明下列各题：（1）设,z x iy=+z x y≤≤+证明：首先，显然有z x y=≤+；其次，因222,x y x y+≥固此有2222()(),x y x y+≥+从而z=≥。

复变函数习题总汇与参考答案第1章 复数与复变函数一、单项选择题1、若Z 1=（a, b ）,Z 2=(c, d),则Z 1·Z 2=（C ）A （ac+bd, a ）B (ac-bd, b)C （ac-bd, ac+bd ）D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0，则N （∞，R ）={ z ：（D ）}A |z|<RB 0<|z|<RC R<|z|<+∞D |z|>R3、若z=x+iy, 则y=(D) A B C D4、若A= ，则 |A|=（C ） A 3 B 0 C 1 D 2二、填空题1、若z=x+iy, w=z 2=u+iv, 则v=（ 2xy ）2、复平面上满足Rez=4的点集为（ {z=x+iy|x=4} ）3、（ 设E 为点集，若它是开集，且是连通的，则E ）称为区域。

2zz +2z z -i z z 2+iz z 2-)1)(4()1)(4(i i i i +--+4、设z 0=x 0+iy 0, z n =x n +iy n (n=1,2,……)，则{z n }以z o 为极限的充分必要条件是 x n =x 0，且 y n =y 0。

三、计算题1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。

解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1 |-1-i|=2、写出复数-i 的三角式。

解：3、写出复数 的代数式。

解：+∞→n lim +∞→n lim ππ45|11|arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限 ππ23sin 23cos i i +=-i i i i i i i i i i i ii i i 212312121)1()1)(1()1(11--=--+-=⋅-++-+=-+-i i i i -+-114、求根式 的值。

解：四、证明题1、证明若 ，则a 2+b 2=1。

复变函数复习题答案1. 复数的代数形式是什么？复数的代数形式为 \( z = a + bi \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是实数，\( i \) 是虚数单位，满足 \( i^2 = -1 \)。

2. 复数的模和辐角的定义是什么？复数 \( z = a + bi \) 的模定义为 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)，辐角定义为 \( \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \)（考虑主值）。

3. 复数的乘法和除法如何进行？两个复数 \( z_1 = a_1 + b_1i \) 和 \( z_2 = a_2 + b_2i \) 的乘法为：\[ z_1 \cdot z_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i \]除法为：\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{a_2^2 +b_2^2} \]4. 复数的共轭是什么？复数 \( z = a + bi \) 的共轭为 \( \overline{z} = a - bi \)。

5. 复数的实部和虚部如何表示？复数 \( z = a + bi \) 的实部表示为 \( \Re(z) = a \)，虚部表示为 \( \Im(z) = b \)。

6. 复数的指数形式和对数形式是什么？复数的指数形式为 \( z = |z|e^{i\arg(z)} \)，对数形式为\( \log(z) = \ln|z| + i\arg(z) \)。

7. 复变函数的导数定义是什么？设 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则导数定义为：\[ f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) -f(z_0)}{\Delta z} \]8. 柯西-黎曼方程是什么？对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，柯西-黎曼方程为：\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \]\[ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partialv}{\partial x} \]9. 复变函数的积分定义是什么？复变函数 \( f(z) \) 在曲线 \( C \) 上的积分定义为：\[ \int_C f(z) \, dz = \int_C (u(x, y) + iv(x, y)) \, (dx + idy) \]10. 留数定理的内容是什么？留数定理指出，对于在简单闭合曲线 \( C \) 内部及其上除了有限个奇点外处处解析的函数 \( f(z) \)，其在 \( C \) 上的积分可以表示为：\[ \int_C f(z) \, dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, z_k) \]其中 \( z_k \) 是 \( f(z) \) 在 \( C \) 内部的奇点，\( \text{Res}(f, z_k) \) 是 \( f(z) \) 在 \( z_k \) 处的留数。

版高考数学一轮总复习复数与复变函数的典型题目与解析思路在高考数学复习中，复数与复变函数是一个重要的考点。

掌握了复数的基本概念和相关运算法则，以及复变函数的性质和常用解法，能够更好地解决复数相关的数学问题。

本文将介绍几道典型的高考复数与复变函数题目，并提供解析思路。

题目1: 已知复数z满足|z-1+i|=√3，则z的坐标为（）。

解析思路：题目中给出了复数z与一个复数1+i的距离关系，我们需要找出满足该条件的z的坐标。

根据题意，可以得到如下关系式：|z-1+i|=√3这里我们可以利用复数的距离公式来解题。

复数z与复数1+i的距离可以表示为：|z-1+i|=|z-(1+i)|=√[(Re(z)-1)^2+(Im(z)-1)^2]其中Re(z)表示复数z的实部，Im(z)表示复数z的虚部。

要使得|z-1+i|=√3，我们需要满足如下方程：[(Re(z)-1)^2+(Im(z)-1)^2]=3进一步展开，整理可得：(Re(z)-1)^2+(Im(z)-1)^2=3这是一个圆的方程，圆心为(1,1)，半径为√3。

由此可知，题目要求的z的坐标只能落在这个圆上。

因此，答案为圆上的所有点。

题目2: 已知复数z满足z^3 + 8 = 0，则z的值为（）。

解析思路：题目给出了一个复数的立方与-8的关系，要求求解这个复数。

我们可以通过以下方法解题。

首先，将z^3 + 8 = 0转化为(z+2)(z^2-2z+4)=0。

由此可得z+2=0 或者 z^2-2z+4=0解得 z=-2 或者z=1±√3i因此，z的值有三个解：-2, 1+√3i, 1-√3i。

题目3: 已知复变函数f(z)=e^z，则f(iπ)的值为（）。

解析思路：题目给出了一个复变函数f(z)=e^z，并要求求解f(iπ)的值。

我们可以通过以下方法解题。

首先，将z=iπ代入f(z)的表达式，得到f(iπ)=e^(iπ)。

利用欧拉公式，将e^(iπ)展开，得到f(iπ)=cos(π)+isin(π)=-1因此，f(iπ)的值为-1。

习题一答案1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（ 1） 1（ ） i3 2i21)(i 2)(i （3）13i（4） i84i 21 ii 1 i 1 3 2i ，解：（ 1） z 32i 13因此： Re z3 , Im z2 ，1313z1 ,arg zarctan 2, z 3 2 i133 13 13 （ 2） zii 3 i(i 1)(i 2) 1 3i10 ，因此， Rez3 ,Im z1 ，10 10z1 ,arg zarctan 1,z3 1 i103 10 10（ 3） z13i i 3 3i3 5i ，i 1 i22因此， Rez3 , Im z5 ，32z34 , arg z arctan 5, z 3 5i2 i 8 4i 213 2 （ 4） z i 1 4i i 1 3i因此， Rez1, Im z 3，z10, arg zarctan3, z 1 3i2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（ 1） i （2） 1 3i（3） r (sin i cos )（ 4）r (cos i sin ) （5）1cos i sin(02 )解：（ 1） icosi sinie 222（ 2） 13i 2(cos2i sin22 i) 2e 333（ 3）（ 4）r (sini cos ) r[cos() i sin()] ( )ire 222r (cosi sin ) r[cos( ) i sin( )] re i（5）1cosi sin2sin22i sin cos222 2sin [cosi sin] 2sin e2i222 23． 求下列各式的值：（1）( 3 i)5（2） (1i )100(1i)100（3）(13i)(cos i sin )（ 4） (cos5i sin 5 )2(1 i )(cos i sin )(cos3 i sin 3 )3（ 5） 3i（6）1 i解：（ 1） ( 3i)5[2(cos() i sin( ))]56 625(cos( 5 ) i sin( 5 ))16( 3 i)6 6（2） (1i )100(1 i)100 (2i )50 ( 2i )50 2(2) 50251(13i )(cos i sin )（ 3）i )(cosi sin )(12[cos() i sin()](cos i sin )3 32[cos( 4 ) i sin( )][cos( ) i sin( )]4 2[cos() i sin( 12 )](cos2 i sin 2 )12(2)i 2[cos(2) i sin(2 )]2e121212（ 4） (cos5i sin 5 )2 (cos3 i sin 3 )3cos10i sin10cos19 i sin19cos( 9 )i sin( 9)（ 5） 3 i3cos i sin2 231i , k 022cos 1(2k ) i sin 1( 2k )31i, k 1 32 3 22 2i, k 2（ 6）1 i2(cosi sin)444ik 0 42[cos 1(2k ) i sin 1(2k )]2e 8,2 424 42e 8 i1, k4． 设 z 11 i , z23 i , 试用三角形式表示 z z 与 z 121 2 z 2解： z 1cos4 i sin , z 2 2[cos( ) i sin( )] ，所以4 6 6z 1 z 2 2[cos( ) i sin()] 2(cos i sin ) ，4 6 4 6 1212 z 1 1) i sin()] 1 5 5 ) z 2 [cos(4(cos i sin 2 6 46 2 12 125． 解下列方程：（ 1） (z i)5 1（2） z 4 a4( a 0)解：（ 1） z i51,由此z51i2k ii ， (k 0,1,2,3,4)e 5（ 2） z4a 44a 4(cos i sin )a[cos 1(2k )i sin 1( 2k )] ，当 k 0,1,2,3时，对应的 444个根分别为：a(1 i ), a ( 1 i), a ( 1 i ),a(1 i)2 2 22 6． 证明下列各题：（1）设 zxxy zxyiy,则2证明：首先，显然有zx 2 y 2x y ；其次，因x 2 y 2 2 x y ,固 此 有2(x 2y 2 ) ( xy )2 ,从而zx2y 2xy 。