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定义：斜线和它在平面内的射影的夹角 叫做斜线与平面所成的角(或斜线和平面 的夹角).
?1 ?
O
?2
B
?
m
M
知识点二：向量角和直线与平面所成的角的关系？
设直线l和平面? 所成的角为?，l 的方向向量为a,? 的法向量为n
l
l
? =90 - a , n
an
α
θ
l
an
θ
α
l
或?= a,n -90
? sin? ? ?cosa,n
a
θ
n
α
a
n
α
θ
? sin? ? cosa,n
典例分析
解：以A为坐标原点，过 A且与AB垂直的直线 AM
为x轴，以AB为y轴，以AA1所在直线为 z轴， 建立如图的空间直角坐标系
??
A
:
AM
,
AB,
AA1
??，则A
?0,0,0
?,
C
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?
?
3a a ? 2 , 2 ,0 ???
? C1 ????
3a 2
A1
B1
又因为
? ? AC1 ?
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2
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a 2
2
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2
2a ? 3a n
? 1A
x
则
cos
AC1 , n
?
AC1 ? n AC1 ? n
??1 2
C
By y B
sin ? ? cos
AC 1 , n
1 ?
2Байду номын сангаас
又因为 ?
?
???0，?2 ???，所以 ?
=?
6
课堂小结：
利用空间向量求解线面成角的一般步骤：
1、建立适当的空间直角坐标系，确 定点的坐标 2、分别求出直线的方向向量和平面 的法向量 3、利用公式计算两向量夹角的余弦 值的绝对值，即为线面角的正弦值
义县高级中学 录制
知识点一：直线与平面所成角的定义
如图，已知OA是平面α的斜线段，O是斜足，线段AB 垂直于α，B
是垂足，则直线OB是斜线OA在平面α内的正射影。OM是平面α内
过O点的任意一条直线，OA与OB的夹角为
为 。?易知 ?1 ? ?
，?O1A与OM的夹角
斜线和它在平面内射影所成的角，是斜线和这个
A
平面内所有直线所成的角中最小的角 .
人教B版 数学选修2-1(高二上学期)
3.2.3 直线与平面的夹角
义县高级中学 佟艳超
复习回顾
直线的方向向量 与平面的法向量
l
A
α
(1)如果一条直线与一个平面垂直， 那么这条直线与平面的夹角为 90°. (2)如果一条直线与一个平面平行 或在平面内，规定这条直线与平面 的夹角为0°. (3)如何定义平面的一条斜线与平面 的夹角呢？
3a , a , 22
? 2a ???
则 AC 1
?
? ?? ?
?
3a , a , 22
? 2 a ???
z A1
C1 B1
Ax
C
B
y
y
aB
aC
2
3a
2A x
典例分析
易知平面ABB1A1的一个法向量为n ? ?1,0,0 ?
z
C1
AC1 ? n ? ?
3a 2
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a 2
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