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疲劳裂纹扩展规律Paris公式的一般修正及应用

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断裂力学 疲劳裂纹的扩展

断裂力学 疲劳裂纹的扩展
疲劳寿命定义：从某一裂纹尺寸扩展至临界尺寸的裂纹 循环数。
5.2 疲劳裂纹的扩展速率
a
疲劳裂纹扩展的定量表示用 N
或 da
dN
， N 是交变应力循环
次数增量， a 是相应的裂纹长度的增量。
疲劳裂纹扩展速率:
a N
（或
da dN
），表示交变应力每循环
一次裂纹长度的平均增量（mm/次），它是裂纹长度a、应
KK1m axK1m in
其中 K1max、K1min 分别是交变应力最大值和最小值所计算的应 力强度因子。
Paris公式为最基本的公式，许多学者提出了对其的修正方案。主 要有Donahue、Priddle、Walker等。
Paris应力强度因子理论与实验结果符合较好的一种 理论.
第 I 阶段 KI Kth 门槛值
（疲劳裂纹扩展寿命）
其中 Kf(a)为应力强度因子幅度，f ( a ) 是裂纹长
度的函数，c、m为常数。
三. 影响疲劳裂纹扩展速率的因素
虽然Paris公式中只有几个参数，但实际还有其它的影响因素：
1）平均应力 m 的影响：平均应力升高，da/dN升高， 故常在表面做喷丸处理，产生压应力，减小 m 。 2）超载的影响：大载荷时能产生塑性区，然后相当 于卸载，但塑性变形不能恢复，而弹性必须要恢复， 产生压应力，相当于减小 m ，故降低 da/ dN。 3）加载频率的影响。 4）其他因素的影响
dN
式中： 为裂纹尖端张开位移幅度。
2.J积分表达式
da C(J )r dN
C与r是材料常数，J积分写成： J2Y2 de
其中Y为裂纹的几何形状因子。
扩展速率为 1 0 3 mm/每循环.
4）断裂阶段 扩展到 a c 时，失稳导致快速断裂。

Paris公式的修正

Paris公式的修正
的路 径 预 测 问 题． Ｋ ａ ｒ ｉ ｈ ａ ｌ ｏ ｏ等 ］ 、 Ｓ ｕ ｍｉ 等 。 ］ 曾 分别 运用 二 阶 、 一 阶摄 动 方 法 研 究 了 无 限 大平 面
变化 范 围． 其具 体 取 值 取决 于材 料 特 性 和 实 验 的
环境 条件 ， 于是 将其 改 为
一
内受 制 于无 穷远处 多 向拉应 力 的微 弯裂 纹 的扩展 问题 ． Ｙｏ ｉ ｃ ｈ ｉ Ｓ ｕ ｍｉ 等＿ ８ ］ 已计算 出任意 远场 边界 条
ｔ ｅ ｒ ｅ ｌ ｌ 和 Ｒ ｉ ｃ ｅ ｌ ４ 用 同样方 法 得 到 了应 力 强 度 因子
一
（ １ ） ／
这个 公式 出现 后 ， 人 们进 行 了大量 的实 验 ， 发 现 Ａ Ｋ 的 次数 不 应 该 只是 一 个 定数 ， 它有 一 定 的
的 简易 表达 式 ， 研 究 了无 限大 平 面 中半 无 限裂 纹
件、 线弹性 弯 曲延 伸 裂 纹 尖 端 应 力 强 度 因子 的近
ｃ（Байду номын сангаасＡＫ ）
（ ２ ）
这是 著名 的 Ｐ ａ ｒ ｉ ｓ 公式 ． 式 中： Ｃ 为 裂 纹 长度 ；
△ Ｋ 为应 力 强度 因子 变化 幅值 ， △ Ｋ＝ ＝ ＝ Ｋ… 一Ｋ ；
似值 ． Ｗｕ Ｅ 、 Ａｍｅ ｓ ｔ ｏ ｙ和 Ｌ ｅ ｂ ｌ ｏ ｎ ｄ ＿ ｌ 】 ｏ ＿ 也 求 解 出弯 曲延伸裂 纹尖 端应 力 强度 因子 与路径 形 状参 数 的
Ｖｏ ｌ ＿ ３ ７ ＮＯ ． ３
Ｊ ｕ ｎ ．２ ０ １ ３
Ｐ ａ ｒ ｉ ｓ 公 式 的修 正 ＊
杨大鹏ｕ 范 慧 歆
（ 郑 州 职 业 技 术 学 院机 械 工 程 系 ” 郑州

paris law定律

paris law定律

paris law定律巴黎定律（Paris' Law）是一个关于材料疲劳寿命的经验规律，也被称为巴黎公式（Paris' formula）。

它由法国工程师罗贝尔·巴黎（Robert L. Paris）在1961年提出，用来描述材料在交替加载下的疲劳裂纹扩展速率。

巴黎定律表达了裂纹扩展速率（da/dN）和应力强度因子（ΔK）之间的关系，即：da/dN = C(ΔK)m其中，da/dN表示裂纹扩展速率，ΔK表示应力强度因子，C和m 是实验确定的材料常数。

巴黎定律的应用范围广泛，特别是在航空航天、汽车、船舶等工程领域中的组件寿命评估和设计中。

通过使用巴黎定律，工程师可以更准确地预测材料的疲劳寿命，从而避免可能引发事故的裂纹扩展。

为了更好地理解巴黎定律，我们需要了解一些相关的概念和背景知识。

首先，疲劳是指在交替加载下，材料在承受应力时会发生的逐渐积累的损伤。

这种损伤在裂纹形式上表现为裂纹的扩展，最终导致材料的断裂。

在实际工程中，疲劳断裂是一种常见的失效形式，因此研究疲劳寿命和裂纹行为对于确保工程结构的安全运行至关重要。

其次，应力强度因子ΔK定义为一个与裂纹尺寸和应力场有关的无量纲参数。

简单来说，它是用来刻画应力强度随着裂纹扩展的变化情况，它是裂纹长度的函数。

应力强度因子ΔK的大小与材料中的应力集中程度有关。

最后，巴黎定律中的疲劳裂纹扩展速率da/dN描述了单位时间内裂纹长度的增长。

通过实验测量不同应力强度因子ΔK下的裂纹长度扩展速率，可以得到材料的da/dN-ΔK曲线，然后依据巴黎定律的指数关系，可以得到C和m两个参数。

巴黎定律的形式化表达为一阶微分方程，通过积分可以得到裂纹长度随时间的变化。

这使得我们可以通过已知应力条件和裂纹初始长度，来预测裂纹的扩展情况，从而评估材料的疲劳寿命。

除了材料的特性，巴黎定律还受到一些外部因素的影响，例如温度、湿度、环境气氛等。

因此，在应用巴黎定律进行寿命评估时，还需要考虑这些因素的影响。

疲劳裂纹扩展与寿命计算

疲劳裂纹扩展与寿命计算

下午3时34分43秒
28
4.2 高载峰值的影响
29
• 在恒幅加载 ( 恒定)过程中，如突然受到一高载
作用，随后又以原先的恒福载荷加载，这个高载值 称为高载峰值。
• 若在恒幅交变载荷疲劳试验过程中施加一个高载峰 值载荷，则会使在接着继续进行的恒幅循环中的疲 劳裂纹扩展速率显著降低，甚至可以降低到零，这 表明高载对疲劳裂纹扩展有延缓或停滞作用。
0
ac da a0 c(KⅠ) n
Nc

1 c
2 n2
(
ac

[( ac
n 1
)2
1]
ac )n a0
(n 2)

或

Nc
下午3时34分43秒

11
c ( )2
ln ac a42 0
(n 2)

5.1 等幅循环载荷下的裂纹扩展寿命
• 例题1：
某压力容器的层板上有一长度为2a=42mm的周向
Nc dN
0
ac
c a0
da K I
n
ac
da
a0 2 1010 KI
3

da
3
2 1010 2

3
ac da
a0 3
穿透直裂纹；容器每次升压和降压时 =100
MPa ；由材料的断裂韧性计算出的临界裂纹尺寸 ac = 225mm ；由实验得到的裂纹扩展速率表达式 为da/dN = 2 10-10 (KI )3 。试计算容器的裂纹 扩展寿命和经5000次循环后的裂纹尺寸。
下午3时34分43秒
43
例题1解
44
续发生了一千多起断裂事故。其中238艘完全毁

第四章 断裂力学在疲劳裂纹扩展中的应用-文档资料

第四章 断裂力学在疲劳裂纹扩展中的应用-文档资料

需要说明的是：严格说来，由于材料都有缺陷（先天或后天产生的）无缺陷的
材料几乎不存在。一般在交变应力下，材料在破坏前总会有裂纹扩展的阶段。
§ 4-1-2 疲劳裂纹扩展速率的描述
疲劳裂纹扩展速率da/dN的概念
在疲劳裂纹扩展中，若在同样的应力幅下，循环△N次，裂纹的扩展量为△a，则
一次应力循环的裂纹扩展量为△a/△N (m/cycle),称此为裂纹扩展率，在极限情况， 裂纹扩展率用的da/dN 表示。da/dN可以用于常幅疲劳，也可以用于非常幅的疲劳
§ 4-3 断裂力学在疲劳设计中的应用
利用应力强度因子概念建立的裂纹扩展速率da/dN与△K的关系提供了用断裂力学 方法估算疲劳裂纹扩展寿命的方法，也使疲劳损伤容限设计成为可能。 众说周知，工程上所用的构件，由于冶炼、锻造、加工、制备、运输、装配等环 节，往往构件中已经存在某种缺陷或裂纹。这种情况下受疲劳载荷的构件的使用寿命 是由疲劳裂纹扩展寿命决定的，只要知道了载荷大小及缺陷或裂纹的性质和几何，就 可以通过试样来确定裂纹扩展的规律，从而利用 Paris公式或其它公式估算构件的寿 命，也可以从已知初始缺陷（裂纹）的大小和所要求的寿命，估算临界裂纹尺寸或临 界应力，还可以在所控制的疲劳寿命与临界裂纹尺寸下设计所允许的初始的缺陷（裂 纹）的大小。 公式推导：
§ 4-2 疲劳设计方法
1、无限寿命设计(Infinite life design)
● 基于S-N曲线或P-Ｓ-Ｎ曲线的设计
无限寿命设计是将构件的疲劳寿命设计为：许用应力幅在疲劳极限应力幅之下（最 早由铁路设计师提出－车轴的设计）。注意此时的构件的《许用应力幅》是其材料的疲 为尺寸系数( 1) ; 劳极限应力幅乘以若干修正系数，即许用 [ 1 ] 1 这里， 为应力集中系数 ( 1) ， 为表面质量系数，一般也小于1；这些具体数值可以 查阅相关手册。这主要用于 HCF。 ● 基于裂纹扩展门槛值ΔKth 的设计(发展中） 若考虑构件含有可能的裂纹，其疲劳载荷设计在疲劳裂纹扩展的门槛值之下

材料力学之材料疲劳分析算法：断裂力学模型：高温下的材料疲劳与断裂.Tex.header

材料力学之材料疲劳分析算法：断裂力学模型：高温下的材料疲劳与断裂.Tex.header

材料力学之材料疲劳分析算法：断裂力学模型：高温下的材料疲劳与断裂1 材料力学之材料疲劳分析算法：断裂力学模型：高温下的材料疲劳与断裂1.1 绪论1.1.1 材料疲劳的基本概念材料疲劳是指材料在反复加载和卸载的循环应力作用下，即使应力低于材料的屈服强度，也会逐渐产生损伤，最终导致材料断裂的现象。

疲劳分析是材料力学中的一个重要分支，它研究材料在动态载荷下的性能和寿命，对于预测和防止工程结构的疲劳失效至关重要。

1.1.2 断裂力学的引入断裂力学是研究材料裂纹扩展和断裂行为的学科，它基于能量平衡原理，通过计算裂纹尖端的应力强度因子（SIF）和材料的断裂韧性，来预测裂纹的稳定性及其扩展路径。

在材料疲劳分析中，断裂力学模型可以用来评估疲劳裂纹的扩展速率，从而预测材料在特定载荷条件下的寿命。

1.1.3 高温对材料性能的影响高温环境对材料的性能有显著影响，主要体现在材料的强度、塑性、韧性以及疲劳寿命的降低。

高温下，材料的微观结构会发生变化，如晶粒长大、相变等，这些变化会直接影响材料的力学性能。

此外，高温还会加速裂纹的扩展，使得材料的疲劳寿命大大缩短。

因此，在高温环境下进行材料疲劳分析时，必须考虑温度对材料性能的影响。

1.2 材料疲劳分析算法1.2.1 断裂力学模型在高温下的应用在高温条件下，断裂力学模型需要进行适当的修正，以考虑温度对材料断裂韧性的影响。

一种常用的方法是使用温度依赖的断裂韧性数据，通过插值或拟合技术，将断裂韧性与温度的关系表达为函数形式。

例如，可以使用Arrhenius方程来描述断裂韧性随温度的变化规律。

1.2.1.1 示例代码：使用Arrhenius方程拟合断裂韧性数据1.2.2 高温下的疲劳裂纹扩展算法高温下的疲劳裂纹扩展算法通常基于Paris公式进行修正，以考虑温度对裂纹扩展速率的影响。

修正后的Paris公式可以表示为：da/dN=C(T)ΔK m其中，da/dN是裂纹扩展速率，ΔK是应力强度因子范围，C(T)和m是与温度相关的材料常数。

焊接结构疲劳裂纹形成与扩展寿命预测

焊接结构疲劳裂纹形成与扩展寿命预测

由K1决定，因此把K1称为应力强度因子。应力强度因子K1
决定于裂 纹的形状和尺寸，也决定于应力的大小。如对无
限大平板内中心含有穿透K1=
,由此可知线弹性断
裂力学并不象传统力学那样，单纯用应力大小来描述裂 纹
尖端的应力场，而是同时考虑应力与裂纹形状及尺寸的综
合影响。
• 由公式可知，当 时
，此时裂纹尖端处的应
口根部的应变集中系数 Kt 是切口最大局部应变 与名义应变 e 之比。当切
口根部局部应力应变在弹性范围内时，理论应力集中系数 Kt 和 K ，Kt 均
相等。然而，当切口局部进入塑性状态以后，这种关系就不成立了，但是，
切口局部的塑性应变要受到周围弹性区的制约，通过有限元法的塑性理论
分析 Neuber 得出了如下关系式：
sin 2
cos 2
cos
3
2
其中张开型应力强度因子 Kt a 是描述裂纹尖端应力强度的主导参量。 对于一些其它裂纹体的应力强度因子通常可用下式表示：
Kt M a
• 由上述裂纹尖端应力场可知，如给定裂纹尖端某点的位置 时，裂纹尖端某点的应力、位移和应变完全由K1决定，如
将应力写成一般通式
• 即可更清楚地看出，裂纹尖端应力应变场的强弱程度完全
强弱程度的力学参量， 可以推断当应力增大时，K1也 逐渐增加， 当K1达到某一临界值时，带裂纹的构件就断裂了。这一临界值 便称为断裂韧性Kc或K1c。 应当注意，K1和Kc或K1c是不同的。 • K1是受外界条件影响的反映裂纹尖端 应力场强弱程度的力学 度量，它不仅随外加应力和裂纹长度的变化而变化，也和裂纹 的形状类型，以及加载方式有关，但它和材料本身的固有性能 无关。而断裂韧性 Kc和K1c则是反映材料阻止裂纹扩展的能力， 因此是材料本身的特性。Kc和K1c不 同点在于,Kc是平面应力状 态下的断裂韧性，它和板材或试样厚度有关，而当板材厚度增 加到达到平面应变状态时断裂韧性就趋于一稳定 的最低值，这 时便与板材或试样的厚度无关了，我们称为K1c，或平面应变的 断裂韧性，它才真正是一材料常数，反映了材料阻止裂纹扩展 的能力。 • 我们通常测定的材料断裂韧性，就是平面应变的断裂韧性K1c。 而建立的断裂判据也是以K1c为标准的，因为 它反映了最危险 的平面应变断裂情况。从平面应力向平面应变过渡的板材厚度 取决 于材料的强度，材料的屈服强度越高，达到平面应变状态 的板材厚度越小。

疲劳裂纹扩展规律Paris公式的一般修正及应用_倪向贵

疲劳裂纹扩展规律Paris公式的一般修正及应用_倪向贵
NI Xiang -gui , LI Xin -liang , WANG Xiu -xi ( CAS Key Laboratory of Mechanical Behavior and Design of Materials , University of Science &Technology of China , Hefei 230026 , China) Abstract : The paper has reviewed the Paris law for fatigue crack propagation , the relationship between the Paris equation and the traditional stress fatigue S -N curve of material , and the common process of calculating the lifetime for fatigue crack propagation . The general modification and application of the Paris law in engineering is discussed , and the different forms and characteristics of modification are analyzed and explicated . The modification and application in the elastoplastic fracture mechanics and the continuum damage mechanics is briefly introduced . It has been shown that , the appropriate modification forms should be adopted for different problems in engineering . Key words : fatigue crack ; propagation rate ; the Paris law

混凝土单轴拉伸疲劳试验中paris公式参数的确定

混凝土单轴拉伸疲劳试验中paris公式参数的确定

混凝土单轴拉伸疲劳试验中paris公式参数
的确定
混凝土单轴拉伸疲劳试验中的Paris公式参数是指确定混凝土疲劳寿命与载荷水平之间关系的参数。

Paris公式是一个经验公式，通常表示为：
da/dN = C*(Δσ)^m
其中，da/dN是裂纹扩展速率，Δσ是应力范围，N是循环次数，C和m是Paris公式的参数。

确定Paris公式参数的一种常见方法是使用曲线拟合技术，根据试验结果得到的裂纹扩展速率和应力范围的数据点进行曲线拟合。

通常使用最小二乘法匹配实验数据和公式，以确定最佳的C和m值，以最准确地描述材料的疲劳性能。

拓展:
除了曲线拟合方法外，还可以使用其他方法来确定Paris公式参数。

其中一种常见的方法是使用线性回归分析。

这种方法通过将Paris
公式进行对数化处理，将其转化为线性方程，然后通过线性回归分析来确定C和m的值。

还可以使用有限元分析等数值模拟方法来确定Paris公式参数。

这种方法利用计算机模拟技术，将疲劳试验过程转化为数学模型，并通过调整参数值来与实验数据匹配，从而得到最佳的参数值。

需要注意的是，Paris公式的参数值通常是针对特定的材料和试验条件确定的，不同材料和试验条件的参数值可能存在差异。

因此，在确定Paris公式参数时，应根据具体的材料和试验条件进行适当的修正和调整，以确保参数值的准确性和适用性。

疲劳断裂分析

疲劳断裂分析

Nc
C ( F
1
)m (0.5m
1)
(
1 a 0.5m1
0

1 a 0.5m1
c
)
m2
1
ln( ac )
C(F )m a0
m 2
5.12
特别注意：此公式应用于应力比R=0的情况
5.3 损伤容限分析方法
③ 疲劳裂纹扩展寿命预测公式的应用
已知载荷条件Δσ，初始裂纹尺寸a0，临界裂纹尺 寸ac，估算剩余寿命Nc ;
门槛值ΔKth=5.5MPam1/2,断裂韧性Kc=104MPam1/2，疲
劳裂纹扩展速率da/dN=6.9*10-12（ΔK）3m/cycle，
试估算此裂纹板的寿命。
解：由题意可知a0、C、m,经分析需要求出应力强度因 子幅值ΔK、临界裂纹长度ac ，即可求解。
5.3 损伤容限分析方法
③ 疲劳裂纹扩展寿命预测公式的应用
ac

1

( Kc
F max
)2
5.7
式中：F-构件几何形状系数； Kc-材料断裂韧性
5.3 损伤容限分析方法
② 基本公式 仅考虑主要控制因素ΔK作用时：
da / dN f (K ) C(K )m
5.8
K Kmax Kmin F a
5.9
da C(F a)m
5.3 损伤容限分析方法-疲劳裂纹扩展寿命分析方法
1.基于Paris公式的疲劳裂纹扩展寿命预测公式
① 疲劳裂纹扩展寿命：由初始裂纹长度a0扩展到临界 裂纹长度ac，所经历的载荷循环次数Nc，称为疲劳裂
纹扩展寿命。
前提：确定给定载荷条件下，构件发生断裂的临界裂纹

ansys_paris公式_单位_解释说明以及概述

ansys_paris公式_单位_解释说明以及概述

ansys paris公式单位解释说明以及概述1. 引言1.1 概述本文旨在探讨和解释ANSYS Paris公式及其相关概念，该公式是疲劳寿命估计方法中的一个重要工具。

ANSYS Paris公式是用于预测金属材料在应力循环载荷下的疲劳寿命的一种经验公式。

它能够提供有关材料损伤积累和剩余寿命的信息，尤其对于工程领域中需要进行耐久性评估的结构件和机械零件具有重要意义。

1.2 文章结构本文将按照以下结构进行组织：引言、ANSYS Paris公式、解释ANSYS Paris 公式的关键要点、实例分析与案例研究、结论与展望。

每个部分将详细论述相关内容，以确保读者对ANYS Paris公式有全面准确的了解。

1.3 目的通过本文，读者将了解到ANSYS Paris公式的定义、单位解释说明以及其在工程实践中的背景和应用领域。

同时，我们还将深入探讨该公式的主要组成部分、参数含义以及推导方法和理论基础。

此外，本文还将通过实例分析与案例研究，对ANSYS Paris公式在实际工程中的应用进行详细解析，并与其他疲劳寿命估算方法进行比较研究。

最后，我们还将总结本文的主要发现和结论，并展望ANSYS Paris公式未来的发展方向以及可能的改进方向。

通过阅读本文，读者将获得对ANSYS Paris公式深入了解并能够应用于相关工程领域的能力。

2. ANSYS Paris公式2.1 定义ANSYS Paris公式是一种用于估算金属材料的疲劳寿命的计算公式。

它基于形变控制下的应力幅与寿命之间的关系，被广泛应用于工程实践中。

2.2 单位解释说明在使用ANSYS Paris公式时，需要对其中涉及的单位进行解释说明。

以下是一些常见单位的含义：- 应力（Stress）：指物体内部受到外力作用导致变形产生的单位面积上的力。

常用单位有兆帕（MPa）和帕斯卡（Pa）。

- 应力幅（Stress amplitude）：表示在疲劳载荷周期内应力强度极值之间的差值，通常以MPa或Pa为单位。

疲劳裂纹扩展相关概念要点

疲劳裂纹扩展相关概念要点
对于没有宏观裂纹的试件，在交变应力作用下，也可能 萌生裂纹，最后裂纹扩展直到断裂。
因此，疲劳破坏时的应力远比静载荷破坏应力低，而且 疲劳破坏时一般都没有明显的塑性变形，对工程结构的危 害很大，这是要努力避免的。
统计结果表明，在各种机械零件的断裂事故中，大约有 80%以上是由于疲劳失效引起的。
3、疲劳破坏过程
在低振幅下观察到 13 107 cm / 次 ，而在高振幅下为 13 102 cm / 次
Paris等对A533钢在室温下，针对 R Kmin Kmax 0.1 的情况 收集了大量数据，总结除了著名的经验公式，帕里斯公式。
二、疲劳裂纹扩展速率
Paris（帕里斯）公式（1963年）
da C（K）m dN
五、影响疲劳裂纹扩展速率的因素
压应力在随后的加载过程中将抵消掉一部分外加的张应力，所 以裂纹顶端的有效应力强度因子幅就小于外加的实际张应力， 裂纹的扩展速率也因而减慢；经过一定次数的循环以后，随着 裂纹的不断扩展而穿越过载峰引起的大塑变区以后，此项闭合 效应才会消失，裂纹的扩展速率也重新恢复到正常状态。
值 Kth 当 K 低于Kth
疲劳裂纹不扩展或扩 展速率极其缓慢
da 10-7 mm/ 循环 dN 在室温及R=0.1条件下A533钢 的疲劳裂纹扩展曲线
图4-4
二、疲劳裂纹扩展速率 图4-4
第二阶段 ：中速率裂纹扩展区
疲劳裂纹扩展遵循幂函数规律，也就是疲劳裂纹扩展率可以用
应力强度幅值 K 的幂函数表示，这就是目前采用的Paris公式。
疲劳裂纹的萌生从宏观而言，总是起源于应力集中区、 高应变区、强度最弱的基体、结构拐角、加工切削裂焊缝、 腐蚀坑等区域。从微观而言可分为滑移带开裂、晶界开裂、 非金属夹杂（或第二相）与基体界面开裂三种机制。

Paris公式的修正

Paris公式的修正

Paris公式的修正
杨大鹏;范慧歆;赵耀
【期刊名称】《武汉理工大学学报（交通科学与工程版）》
【年(卷),期】2013(037)003
【摘要】研究含裂纹构件在具有不同循环比与不同加载频率的疲劳载荷作用下Paris公式新的表现形式.运用修正的Paris公式,定量地计算出具有不同循环比与不同加载频率的疲劳载荷作用下直线裂纹和弯曲裂纹的扩展速率.综合考虑了疲劳作用应力,裂纹尖端应力强度因子的变化幅值,总结出修正的Paris公式的适用范围,检验了Paris公式的准确性和实用性.
【总页数】4页(P505-508)
【作者】杨大鹏;范慧歆;赵耀
【作者单位】郑州职业技术学院机械工程系郑州 450121;郑州职业技术学院基础教学部郑州 450121;华中科技大学船舶与海洋工程学院武汉430074
【正文语种】中文
【中图分类】TB301
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1.Q345钢疲劳裂纹扩展Paris公式中参数的统计分布 [J], 解梦莹;安宗文;秦浩星;高建雄
2.疲劳裂纹扩展规律Paris公式的一般修正及应用 [J], 倪向贵;李新亮;王秀喜
3.基于Paris公式的起重机金属结构疲劳寿命估算 [J], 庞瀛洲
4.Paris公式在农业机械实体性贬值中的应用 [J], 张孝元;王蕊
5.基于比例型Paris公式和逆高斯过程的金属疲劳裂纹扩展随机模型 [J], 陈龙;黄天立;周浩
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第十四讲--疲劳裂纹扩展

第十四讲--疲劳裂纹扩展

第十四讲疲劳裂纹扩展上节回顾Dugdale模型（带状屈服模型）裂纹尖端张开位移（COD）无限大板的COD，有限宽板的CODCOD准则J积分，J积分的守恒性，J积分准则平面应力断裂的R阻力曲线1．疲劳裂纹扩展速率疲劳裂纹扩展的定量表示用da/dN，称为裂纹扩展速率，表示每个循环裂纹长度的平均增量。

da/dN-ΔK曲线与S-N、ε-N曲线类似，描述疲劳裂纹扩展规律的曲线为da/dN-ΔK曲线只有在拉伸应力作用下裂纹才能扩展，则疲劳裂纹应力强度因子幅度定义为ΔK = K max-K min R > 0ΔK = K max R < 0基本da/dN-ΔK曲线：R = 0的da/dN-ΔK曲线双对数坐标下da/dN-ΔK曲线的形状疲劳裂纹扩展的三个区域Array一般情况下，da/dN-ΔK曲线在双对数坐标上可分为三个区域1区：低速率区，该区内ΔK的微小降低，da/dN急剧下降。

存在ΔK的一个下限值ΔK th，该值处裂纹扩展速率近似为零，ΔK th称为门槛值。

ΔK th受R的影响较大。

2区：中速裂纹扩展区，裂纹扩展速率一般在10-9~10-5m/C范围内。

中速裂纹扩展区的da/dN-ΔK在双对数坐标上近似为线性关系。

3区：高速扩展区，即K max K C时，裂纹快速扩展，其寿命通常不考虑。

其上限值以铅垂渐近线表示2．裂纹扩展速率公式1）低速率区一般是进行裂纹不扩展设计ΔK < ΔK th2）中速裂纹扩展区，Paris公式Paris 对具有中心穿透裂纹平板拉伸实验数据归纳， 对中速裂纹扩展区（2区）提出的经验关系式m K C dNda)(∆= C ，m ：材料常数m 不随构件的形状和荷载性质（拉伸或弯曲）改变，C 与材料性能相关。

由于存在门槛值ΔKth ，Donahue 等（Donahue ，1972）建议如下修正公式m th K K C dNda)(∆-∆= 3）高速扩展区可由下式估计裂纹扩展速率从2区向3区转变的应力强度因子 ys T E K σ00637.0max =K maxT ：R = 0时的最大循环应力作用下的应力强度因子3．da /dN 的理论公式 塑性钝化模型C. Laird (1967)的观测结果裂纹尖端载循环荷载下出现反复钝化和 重新尖锐化的交替过程。

疲劳裂纹扩展.

疲劳裂纹扩展.

疲劳裂纹扩展.第五章疲劳裂纹扩展§5.1 概述前面介绍的内容为静载荷作用下的断裂准则。

构件在交变应力作用下产生的破坏为疲劳破坏，疲劳破坏的应力远比静载应力低。

一、疲劳破坏的过程1）裂纹成核阶段交变应力→滑移→金属的挤出和挤入→形成微裂纹的核（一般出现于零件表面）。

2）微观裂纹扩展阶段微裂纹沿滑移面扩展，这个面是与正应力轴成45°的剪应力作用面，是许沿滑移带的裂纹，此阶段裂纹的扩展速率是缓慢的，一般为10-5mm每循环,裂纹尺寸＜0.05mm。

3）宏观裂纹扩展阶段裂纹扩展方向与拉应力垂直，为单一裂纹扩展，裂纹尺寸从0.05mm扩展至临a，扩展速率为10-3mm每循环。

界尺寸c4）断裂阶段a时，产生失稳而很快断裂。

当裂纹扩展至临界尺寸c工程上一般规定：①0.1mm～0.2mm裂纹为宏观裂纹；②0.2mm～0.5mm，深0.15mm表面裂纹为宏观裂纹。

N）宏观裂纹扩展阶段对应的循环因数——裂纹扩展寿命。

（pN）以前阶段对应的循环因数——裂纹形成寿命。

（i二、高周疲劳和低周疲劳高周疲劳：当构件所受的应力较低，疲劳裂纹在弹性区内扩展，裂纹的疲劳寿命较长。

（应力疲劳）低周疲劳：当构件所受的局部应力已超过屈服极限，形成较大的塑性区，裂纹在塑性区中扩展，裂纹的疲劳寿命较小。

（应变疲劳）工程中一般规定N≤105为低周疲劳。

f三、构件的疲劳设计1、总寿命法测定S－N曲线（S为交变应力，N为应力循环周次）。

经典的疲劳设计方法是循环应力范围（S－N）曲线法或塑性总应变法来描述导致疲劳破坏的总寿命。

在这些方法中通过控制应力幅或应变幅来获得初始无裂纹的实验室试样产生疲劳破坏所需的应力循环数和应变循环数。

N=Ni +Np(Ni萌生寿命，Np扩展寿命)2、损伤容限法（疲劳设计的断裂力学方法）容许构件在使用期内出现裂纹，但必须具有足够的裂纹亚临界扩展寿命，以保证在使用期内裂纹不会失稳扩展而导致构件破坏。

疲劳寿命定义为从某一裂纹尺寸扩展至临界尺寸的裂纹循环数。

第5章 疲劳断裂 第3节 疲劳裂纹扩展

第5章 疲劳断裂 第3节 疲劳裂纹扩展

16
疲劳寿命的估算
采用稳定扩展阶段 寿命估算总寿命
17
环境对第2扩展阶段的影响
1968年发现的现象：在潮湿空气中铝合金 能够形成清晰的疲劳条纹，但在真空中却 不能形成疲劳条纹。 1983年发现在真空中铝合金疲劳裂纹扩展 速率低于潮湿空气条件 在2024Al，7075Al，TC4中也有类似现象。 上述材料共同的特点是在潮湿空气中能够 形成氧化膜。
23
新形成的裂纹面附近金属发生弹性恢复
可以解释应力比、瞬时过载对疲劳裂纹扩展的 24 影响
3.2.2 氧化物诱发的裂纹闭合
潮湿气氛在新形成的表面形成氧化物，氧化物诱发裂纹闭合
25
3.2.3 裂纹面粗糙诱发裂纹闭合
应力场强度因子低，裂纹张开角度小； 粗晶粒引起裂纹面呈现锯齿形状； 晶界，第二相，载荷突然变化引起裂纹偏折。
18
19
3.1.3 疲劳裂纹第3阶段扩展
断裂时裂纹长度取决于材料的断裂韧性 此时裂纹长度已经较大，因此δK较大，此时裂纹 扩展速率很快，试验环境对扩展速率影响不大。 断口上有疲劳条纹，还可能有韧窝或结理断裂刻 面，而韧窝或解理断裂对组织敏感，因此这一阶 段扩展速率对材料组织十分敏感。 从机制上有交变应力作用下的塑性锐化机制，也 有单调加载条件下的微孔聚集机制
9
材料的组织
欠时效态： 位错能够剪切GP区， 位错容易运动，滑 移容易进行；容易 形成单滑移；在遇 到晶界后滑移改变 方向；使得裂纹运 动方向改变。 过时效态： 位错只能绕过析出 相，形变时往往形 成双滑移，裂纹扩 展平直。
10
11
欠时效时材料强度较低，但门槛值大。 但材料的强度低，其疲劳强度（σ-1）小。 门槛值适用于疲劳裂纹扩展，尤其是低应力强度因子范围的疲 劳裂纹扩展。 疲劳强度主要适用于疲劳裂纹萌生。

paris方程可以估算疲劳裂纹剩余扩展寿命_概述说明

paris方程可以估算疲劳裂纹剩余扩展寿命_概述说明

paris方程可以估算疲劳裂纹剩余扩展寿命概述说明1. 引言1.1 概述疲劳裂纹是材料在长期使用或受到重复载荷作用下出现的一种常见损伤形式。

这种裂纹扩展不仅会导致结构件的失效，而且可能引发严重的事故。

因此，对疲劳裂纹剩余扩展寿命进行准确估算具有重要意义。

本文将介绍一种被广泛应用于疲劳裂纹剩余扩展寿命估算的方法，即Paris方程。

该方程基于实验数据和理论模型，可以预测材料中存在的疲劳裂纹在经历一定载荷后继续扩展的剩余寿命。

它已经在许多工程领域得到了成功应用和验证。

1.2 文章结构本文共分为5个部分进行阐述。

首先是引言部分，概要介绍了本文讨论的主题和文章结构；其次是Paris方程简介，包括定义、疲劳裂纹剩余扩展寿命概念解释以及应用领域；接着是疲劳裂纹剩余扩展寿命估算方法，其中包括基于Paris方程的理论模型介绍、实验数据处理与分析方法以及实际工程应用案例介绍；然后是实验验证与结果讨论，包括实验设计和参数设置、结果分析与讨论以及可行性与局限性评估；最后是结论与展望，总结研究成果并提出未来研究的建议和展望。

1.3 目的本文的主要目的是探索Paris方程在估算疲劳裂纹剩余扩展寿命中的应用价值，并对其进行全面概述。

通过对该方法的介绍和分析，有助于工程师和科研人员了解如何利用Paris方程进行疲劳裂纹寿命预测，并为相关领域中的工程设计和材料选择提供参考依据。

2. Paris方程简介2.1 Paris方程定义Paris方程是一种用于预测材料疲劳裂纹扩展速率的经验公式，它描述了裂纹长度随时间的增长情况。

该方程由Emmanuel Paris和Stephen S. Murry于1963年提出，并被广泛应用于疲劳寿命评估和结构健康监测领域。

Paris方程的数学形式如下：da/dN = C*(ΔK)^m其中，da/dN表示单位循环数内裂纹长度的增加量，C和m分别表示经验参数，ΔK代表应力强度因子范围。

通常情况下，C和m可通过实验获得或根据材料相关性质进行估算。

疲劳与断裂第八章疲劳裂纹扩展1

疲劳与断裂第八章疲劳裂纹扩展1
第八章 疲劳裂纹扩展
8.1 疲劳裂纹扩展速率 8.2 疲劳裂纹扩展寿命预测 8.3 影响疲劳裂纹扩展的若干因素 8.4 疲劳裂纹扩展速率试验
1
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第八章 疲劳裂纹扩展 （Fatigue crack growth)
研究问题：含裂纹体的疲劳裂纹扩展规律， 疲劳裂纹扩展寿命预测方法。
研
究 裂纹尖端的 LEFM：K 方 应力应变场 EPFM：d
控制a0，可大大提高疲劳裂纹扩展寿命。 高强脆性材料Kc低, ac、Nc小，扩展寿命可不计。
16
17
讨论3：Miner理论用于裂纹扩展阶段
假设尺寸为a0的裂纹，在S1、S2、S3下 经 n1、n2、n3循环后，扩展到aL。
S1下循环n1次
从a0扩展到a1；
S1mn1=
a1 da
a (mm)
1>2> 3
标准 预制疲 恒幅疲 记录 a0 试样 劳裂纹 劳实验 a , N
R=0 N
aN 曲线的斜率，就是裂纹扩展速率da/dN。
二、疲劳裂纹扩展控制参量
给定a， , da/dN ； 给定, a, da/dN 。
K,a 故 K, da/dN
21
如：检查时发现裂纹 ai=10mm, 若不改变检查周期继续使用，则应满足：
m
1
CN[Y (a)
p
]m
1 ( aim / 2-1
-
1 acm / 2为0.086m，
而应写为：
ac=
1
p
(Kc )
max
2
=
1
p
(1 (
-R)Kc

)2
解得： ＜159MPa, max=/(1-R)＜176 Mpa

09--裂纹扩展与疲劳裂纹扩展

09--裂纹扩展与疲劳裂纹扩展
10 12
4 10 12
铝 镍
钛
3 3.3
3
10 11
断裂力学
等幅交变荷载下的裂纹扩展寿命
等幅交变荷载是指荷载的最大值与最 小值不随加载循环次数改变的周期性加载 ，如图所示
3 2 2 3 Pb K a a P
K 3 2 4 3 Pb 2 K a a
裂纹扩展稳定性分析
结论：
在位移加载条件下，双臂梁试件永远是稳定 的。而对于恒载荷的情况，裂纹可能失稳， K K 取决于 与a 的相对大小 a
R L R L R L
•
•
确定在给定加载条件下裂纹失稳扩 展的临界应力强度因子的方法
• K-R曲线实质上表示的是裂纹尖端塑性， K 损伤等机制的能量耗散的变化，随着裂 纹的扩展，裂尖的断裂过程区逐渐增大， 意味着裂纹逐渐稳定扩展时材料的阻力 逐渐增大。 Kc • 在给定加载条件下(例如载荷控制的加载)， 在不同的载荷下 可以计算得到一 P 1, P 2, P 3, K a 系列的应力强度因子 随 变化的曲线 K1 a , K2 a ,K-R K3 a , 将这些曲线绘入 曲线的图中，如图所 示。
K P* , a
K P3 , a K P2 , a K P 1, a
a0
a
* • 与K-R曲线相切的点对应的SIF即为裂纹失稳时的SIF K，它对应的载 * 1和P 2，如果它们对应的曲线K a 荷记为P*。对于小于 P的载荷 (如 P ) 与曲 线 KR 的垂直段相交(如 P ) 1和P 2，则裂纹根本就不扩展，如果它们对应的曲 线虽然与 倾斜段相交，则裂纹扩展一定长度后即不再扩展。
a
o
a
b

第八章疲劳裂纹扩展

第八章疲劳裂纹扩展

m≠2
(8-10) m=2
方程(8-8)和(8-9)或(8-10)式, 是疲劳裂纹扩展寿命估算的基本方程。利用这
二个方程，可以按不同的需要，进行抗疲劳断裂设计。
8.2.2 Paris公式的应用
利用前节所述之基本公式，进行抗疲劳断裂设计计算的主要工作包括： ---已知载荷条件Δσ，R，初始裂纹尺寸a0，估算临界裂纹尺寸ac和剩余寿命Nc。 ---已知载荷条件Δσ，R, 给定寿命Nc，确定ac及可允许的初始裂纹尺寸a0。 ---已知a0，ac，给定寿命Nc, 估算在使用工况(R)下所允许使用的最大应力σmax。
度ΔK定义为： ΔK=Kmax-Kmin ΔK=Kmax
R＞0 R＜0
（8-2）
153
___________________________疲劳断裂讲义____________________________
8.1.2 疲劳裂纹扩展速率
由a∼N 曲线中任一裂纹尺寸ai处的斜率，即可知其扩展速率(da/dN)i；同时， 由已知载荷Δσ和ai，还可以计算相应的ΔKi。这样就由由a∼N 曲线得到了一组[ΔKi ，(da/dN)i]数据，进而可绘出da/dN-ΔK曲线。
。对于含裂纹无限大板，f=const.，在恒幅载荷作用下，由Paris公式有：
积分得到：
∫ ∫ aC
da
= N C dN
a0 C ( fΔσ πa ) m 0
⎧
NC
=
⎪⎪C( fΔσ ⎨
⎪
⎪⎩
π
1 )m (0.5m
−
1)
[
a
1
0.5 m 0
−1
−
1 a 0.5m−1
C
]
1
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0 引言
压力容器及管道等工程构件的疲劳特性通常都 与材料性质 、裂纹起始处的几何条件 、应力 - 应变历 程 、环境条件等因素有关 。构件中的裂纹 ,一般可分 为由拉应力造成的张开型 ( Ⅰ型) 、剪应力造成的滑 开型 ( Ⅱ型) 和撕开型 ( Ⅲ型) 。张开型 ( Ⅰ型) 裂纹是 工程中最常见 、最易于引起断裂破坏发生的裂纹 ,也 是工程研究的重点[1] 。断裂力学是研究具有初始缺
(ΔK) ,求出一组 lg (ΔK) i 和对应的 lg ( d a/ d N ) i , 再
(2) 第 Ⅱ阶段 ( Ⅱ区) :裂纹的稳定扩展阶段 (亚 利用线性回归绘制一条曲线 , 此曲线的斜率为即为
临界扩展阶段) ,其应力强度因子范围大于 ΔKth , 在 m ,代入式 (8) 可求 C[8] 。
数与 Paris 公式相同 。也就是说 , 可以将传统的应力
疲劳问题统一到线弹性断裂力学的计算方法之中 ,
同时 Paris 公式中的材料常数也可通过 S - N 曲线
来估算 ,如果精确度要求不是很高 ,就可以节省为获
取材料常数所必须进行的相关实验[6] 。
2 利用 Paris 公式预测疲劳裂纹扩展寿命的一般过 程
Abstract :The paper has reviewed the Paris law for fatigue crack propagation ,the relationship between the Paris equation and the traditional stress fatigue S - N curve of material ,and the common process of calculating the lifetime for fatigue crack propagation. The general modification and application of the Paris law in engineering is discussed ,and the different forms and characteristics of modification are analyzed and explicated. The modifica2 tion and application in the elastoplastic fracture mechanics and the continuum damage mechanics is briefly in2 troduced. It has been shown that , the appropriate modification forms should be adopted for different problems in engineering. Key words :fatigue crack ;propagation rate ;the Paris law
d a/ d N ———裂纹扩展速率
C、m ———材料常数 , 环境因素如温度 、湿度 、
介质 、加载频率等都隐含在常数之
中 ,可由实验数据拟合得到
ΔK ———应力强度因子幅
ΔK = Kmax - Kmin = fΔσ πa
(2)
式中 f ———一般为构件几何与裂纹尺寸的函数
Kmax 、Kmin ———裂纹处应力强度因子的最大 值和最小值
d N 很大 ,疲劳裂纹扩展寿命短 , 其对裂纹扩展寿命 公式 :
的贡 献 通 常 可 以 不 考 虑 。断 裂 发 生 的 条 件 是 由 Kmax < Kc 所控制 , 而由换算关系 ΔK = ( 1 - R) Kmax 可知 ,图 1 的上渐进线为 ΔK = (1 - R) Kc (其中 , Kc 为材料的断裂韧性 , R 为载荷应力比) 。
Δσ改为ΔS ,可得 :
ΔS mN = C1 或 Sma N = C2
(5)
式中 S a ———应力幅 , S a = ΔS / 2
C1 、C2 ———材料常数
式 (5) 即为传统的应力疲劳 S - N 曲线 。
由推导可知 , 若疲劳寿命完全由裂纹扩展所贡
献 ,则 S - N 曲线可由 d a/ d N —ΔK 关系获得 , 且指
(3) 可变换为[1 ] :
∫ ΔσmN =
af
da
a0 C[ f ( a , W , …)
πa ] m
(4)
式中 a0 ———初始裂纹尺寸
ac ———临界裂纹尺寸 ; 以某一状态时的裂纹
尺寸 af ( af > ac) 定义寿命
W ———裂纹板的板宽
由式 (4) 可知 , 右端的积分是一个常数 , 将应力
因子幅 ΔKth , 当应力强度因子范围低于门槛值时 , 据 ,然后估计扩展速率 (d a/ d N) i :
即 ΔK ≤ΔKth ,疲劳裂纹基本不扩展 。这个阶段为疲
(d a/ d N) i = ( ai + 1 - ai) / ( Ni + 1 - Ni)
(7)
劳裂纹的萌生阶段 , 由于疲劳裂纹萌生后的初始扩
d a/ d N = CA (ΔKA) m
d a/ d N = CB (ΔKB ) m
(9)
式中 ΔKA 、ΔKB ———裂纹深处和表面处的应力强
度因子幅
在工程实际应用中 , 一般主要以第 Ⅱ阶段作为 疲劳裂纹扩展寿命的研究区域 。 211 计算临界裂纹扩展尺寸
从初始裂纹长度 a0 扩展到临界裂纹长度 ac , 所经历的载荷循环次数 Nc , 称为疲劳裂纹扩展寿 命 。估算疲劳裂纹扩展寿命 , 必须首先确定构件发 生断裂时的临界裂纹尺寸 ac 。依据线弹性断裂判 据有[1 ] :
过程中 ,介质环境和疲劳应力等因素的缺陷相互影响[5] ,
加剧了对工程设备的破坏 , 所以说对于含缺陷但依
然需要继续服役的工程设备 , 利用 Paris 公式分析预
测其剩余寿命 , 就有着极为重要的现实意义 。在实
验研究和解决工程实际问题当中 , Paris 公式已经有
试 验 研 究
疲劳裂纹扩展规律 Paris 公式的一般修正及应用
倪向贵 ,李新亮 ,王秀喜 (中国科学技术大学 中国科学院材料力学行为和设计重点实验室 ,安徽 合肥 230026)
摘 要 :介绍了疲劳裂纹扩展规律 Paris 公式及其与传统应力疲劳 S - N 曲线的关系 ,分析了计算疲 劳裂纹扩展寿命的一般过程 。阐述了当前 Paris 公式在工程中的一般修正 ,具体描述了不同的修正 形式及其主要特征 ,简要介绍了 Paris 公式在弹塑性断裂力学和连续损伤力学中的修正及应用 。各 种应用实践表明 ,对于不同要求的工程问题要采用相应的修正形式 。 关键词 :疲劳裂纹 ;扩展速率 ; Paris 公式
了很大的发展 ,许多学者对其公式的具体形式做了
大量修正 。本文主要以工程中常见的表面 Ⅰ型裂纹
为研究对象 ,将 Paris 公式在工程中的一般修正及应
用进行了分析梳理 , 以期为进一步发展和应用 Paris
公式提供相应的理论指导 。
线与 Paris 公式之间的关系 。 在恒幅应力 Δσ作用下 ,由 Paris 公式有 : d a/ d N = C (ΔK) m = C[ f ( a , W , …) Δσ πa ] m
(11)
对上述形式进行了相应的实验验证 , 利用影响
中图分类号 :TQ05012 文献标识码 :A 文章编号 :1001 - 4837 (2006) 12 - 0008 - 08
General Modification and Application of the Paris La w for Fatigue Crack Propagation
CA 、CB ———Newman 和 Raju[9] 在实验的基础
上引入的材料常数 CB = 019 mCA 文献[10 ]利用三维有限单元法预测局部应力集
中处的表面裂纹疲劳扩展寿命中 , 在分析裂纹扩展
时简易地提出了下列形式 :
CA = C , CB = 019 mCA
(10)
( CA + CB ) / 2 = C , CB = 019 mCA
NI Xiang - gui ,L I Xin - liang , WANG Xiu - xi (CAS Key Laboratory of Mechanical Behavior and Design of Materials ,University of Science & Technology of China ,Hefei 230026 ,China)
·8 ·
陷的材料和结构在各种环境下裂纹的扩展 、失稳和 止裂的规律 ,以裂纹尺寸大小和裂纹的扩展速率为 结构损伤的判据 , 并用来估算疲劳裂纹的扩展寿 命。
国内外对于疲劳裂纹扩展寿命预测方法的研究 可谓异彩纷呈 ,目前在工程中应用最为广泛的方法 依然是 1963 年由 Paris 和 Erdogan 在实验基础上提 出的 疲 劳 裂 纹 扩 展 公 式 , 这 就 是 著 名 的 Paris 公 式[2] ,它建立了应力强度因子和裂纹扩展速率之间
1 Paris 公式与传统应力疲劳 S - N 曲线的关系
传统的疲劳寿命预测是用由实验获得的应力寿 命 S - N 曲线来描述 , 通过分析可以建立 S - N 曲
图 1 疲劳扩展速率示意
(1) 第 Ⅰ阶段 ( Ⅰ区) : 存在一个门槛应力强度
·9 ·
CPVT 疲劳裂纹扩展规律 Paris 公式的一般修正及应用 Vol231No12 2006
Δσ———为裂纹处应力幅值
刘立名等[3]通过位错动力学理论 、热激活能理
论和速率过程理论严格推证了 Paris 裂纹扩展公式 ,
从物理和数学上定义了公式中的两个实验常数 , 指