信息光学导论第三章
- 格式：doc
- 大小：393.50 KB
- 文档页数：10
第三章
线性系统概论
◆引言
在信息光学系统中光学装置被看成收集、传递或变换信息的系统。一个光学系统的理想成像，就是将无空间的物体信息传递、变换物空间，在像面上形成不变的物体的像。这样的理想光学系统显然是一线性系统。虽然实际光学成像系统由于不可避免的存在相差，总会产生失真，是非线性的，但在把研究的问题看成线性的而不会引起明显误差，或只在某个小范围满足现行性质时，就可以将其当作现行未提来处理。所以线性系统理论与傅立叶分析方法一样，是研究信息光学中成像系统和信息处理系统的重要理论基础。本章主要介绍线性系统特别是空间不变线性系统的定义、特点和分析方法。
3.1线性系统的基本概念
◆系统及其分类
所谓系统，是指一组相互关联的事物构成的总体。这样的系统可分为物理系统和非物理系统。这里仅讨论物理系统。
如图所示一个物理系统，它是这样的装置，当对其作用一个激励时，他就产生一个响应。
从数学上着眼，很多现象都可抽象为使函数)(xf通过一定的变换，形成)(xg函数的运算过程．这种实现函数变换的运算过程称为系统．这种意义下的系统，既可以是特定功能的
元器件组合，例如电子线路、光学透镜组等，也可以是与实际元件无关的物理现象，如光学系统，通讯系统，管理系统和指挥系统等。
系统论的引入，使得我们在研究一个光学系统时，所关心的是系统对于给定的激励产生什么样的响应，而不去考虑系统内部的具体结构和具体工作原理。线性系统理论是从总体上研究系统输入输出之间的对应关系和他们的共同特性。
◆线性系统的定义及其算符表示
假设一个激励)(1xf作用于某系统产生的响应为)(1xg，而激励)(2xf作用于某系统产生的响应为)(2xg，用符号表示为
)()(),()(2211xgxfxgxf
如果系统满足可加性
)()()()(2121xgxgxfxf
和奇次性（均匀性）
)()(),()(22221111xgcxfcxgcxfc
则这样的系统为线性系统。21,cc为任意常数。
可加性表明，有几个激励函数相加产生的总响应是各个激励单独作用时产生的响应函数之和；奇次性（均匀性）表明，系统有保持比例因子不变的特性。可加性和奇次性是线性系统两个独立性质。只有同时满足这两个性质的系统才是线性系统，两者缺一不可。
描述输入输出之间的数学方程是把一个激励转换为系统的一个响应，这种转换可用一个算子表示为
)}({)(2xfLxg
对于线性系统，则有
)}()({)()(22112211xfcxfcLxgcxgc
◆线性不变系统
对于一个系统，一个输入函数)(xf在不同位置（空间域）或不同时间（时间域）作用于系统，他的响应函数)(xg不一定相同。也就是说，如果激励函数在21,xx分别作用于系统，其响应为),(),,(211xxgxxg，一般为21,,xxx的函数，且函数的形式也不一定相同。
如果一个系统当输入函数的位置移动时，输出函数的形状不变，其输出函数的位置仅产生相应的移动，则这样的系统为位移不变系统。即若
)}({)(2xfLxg
则
)}({)(020xxfLxxg
0x为常数。
一个系统既是线性的，又是位移不变的，则这样的系统称为线性位移不变系统（空不变系统），用算符表示为
)}()({)()(222111222111xxfcxxfcLxxgcxxgc
21,xx为常数。
3.2线性系统分析方法
线性系统的最基本特点就是它对同时作用的几个激励函数的相应等于每个激励函数单独作用时所产生的相应之和。根据这一原理，就可以把线性系统对任意复杂激励的响应用它的某种“基元”的响应表示出来。因此，对线性系统的研究就可以简化为系统对基元函数的响应，而系统对任意函数的响应可用基元函数相应的线性组合来表示。线性系统理论中常用的基元函数有函数，阶跃函数，正、余弦函数以及复指数函数等。
(1)线性基元函数的响应
◆脉冲响应
当系统输入一个用函数表示的脉冲时，其对应的输出称为系统的脉冲响应。如果线性系统对位于0xx出的输入脉冲)(0xx的响应用),(0xxh表示，即
),()}({00xxhxxL
那么，在原点的脉冲输入)(x，其输出为
)0,()}({xhxL
一般来说，),(0xxh和)0,(xh具有不同的函数形式。但对于线性不变系统，由于位移不变形，它对0xx出的输入脉冲)(0xx的响应用可以写成
)0,(),()}({00xhxxhxxL
可见，线性不变系统的脉冲响应仅由观察点x与输入点0x间的间隔决定，而与x、0x单独无关。因此，线性不变系统得脉冲响应可以简化为
),()}({00xxhxxL
和
)()}({xhxL
对于不同的线性系统，脉冲响应的具体表达式不同，分析一个系统，就是求出具体的脉冲响应函数表达式。
◆复指数函数的响应
当线性不变系统输入为复指数函数xfe0 2时，)(0xx
),(}{0 20fxgeLxf
式中0f为任意实参数。若输入为位移形式)( 200xxfe，则由线性性质可得
),(}{}{}{0 2 2 2)( 20000000fxgeeLeLeLxfxfxfxxf
由位移不变性得到
),(}{00)( 200fxxgeLxxf
因此有
),(),(0 20000fxgefxxgxf
函数),(00fxxg是),(0fxg位移形式，它们一般是复函数。
把),(0fxg表示成复数形式
)),(),(,( i000xfefxHfxg
其中),(0fxH和),(0fx分别为),(0fxg的振幅函数和相位函数。并由此得到
)),(),(),( i000000xxfefxxHfxxg
00000 2),( i0),( i00000),(),(),(),(xfixfxxfeefxHefxxHfxgfxxg
即
000000002),(),( 1),(),(xffxfxxfxHfxxH
分析上式可见，复指数函数激励在不同点作用于线性不变系统所产生的响应函数振幅处处相等，因此振幅函数必然与x无关，仅与参量0f有关；而又不同点输出的相位函数的增量为一常量，这说明相位函数是为之x的线性函数。因此，输出函数),(0fxg应具有的形式为
xfiefHfxg0 200)(),(
对线性不变系统有
xfixfiefHeL00 20 2)(}{
显然，线性不变系统的输入为复指数函数时，输出也为复指数函数，输出函数的形式不变，只有振幅的变化。这种输出保持输入形式不变的函数称为系统的特征函数，线性不变系统的特征函数就是复指数函数。
一般来说，如果一个线性不变系统的特征函数为),(0fx，当系统的输入也是),(0fx时，则对应的输出为
),()()},({000fxfHfxL
)(0fH为一复比例稀疏，它表示系统特征函数所对应的输出与该特征函数之比，而与空间位置x无关，仅取决于参量0f的大小。它可用复数形式表示为
)( i000)()(,fefAfH
式中)(0fA为复振幅，表示输出函数的衰减或增益；)(0f为位相，表示输出函数沿轴x位移量的大小。这样
),()()},({0)(000fxefAfxLfi
众所周知，复指数函数xfe0 2是正、余弦函数xf0 2sin和xf0 2cos的一种表示形式。显然，参量0f表示频率。由于0f取值的任意性，实际上它是频率变量。因此复比例常数表征系统对特征函数的传递特性。通常把)(fH称为线性不变系统的传递函数（频率响应），而把)(fA和)(f称为振幅传递函数和相位传递函数。
◆余弦函数的响应
当线性不变系统的传递函数)(fH是厄米函数时，即)()(fHfH时，系统对余弦函数的响应仍为余弦函数。设输入函数为fx 2cos，则输出为 )]2)((2cos[)( ])[(21 ])([21])([21 ])()([21 )}(21{}2{cos 2)( 2)( 2 2 2 2 2 2ffxffAeeeefAefHefHefHefHeeLfxLfxififxififxifxifxifxifxifxi
这表明，满足一定条件的线性不变系统，当输入为余弦函数时，其输出仍为同频率的余弦函数，只不过输出的振幅为)(fA，且产生一个相移ff2/)(。
（2）线性系统的空间域和频率域的分析方法
线性系统的分析方法一般分为空间域和频率与分析方法，他们都是建立在叠加原理基础上的。
◆空间域的分析方法
空间域分析方法的要点是用一个空间变量函数，即脉冲响应函数)(xh来表征系统的特性的。对任一复杂函数)(xf，用脉冲分割法将其分为基元函数的组合，这些基元函数可用)(x函数来表示。各基元相应的线性组合就是)(xf的响应)(xg。
对于一个实际的线性系统，脉冲响应函数)(xh应满足
这一条件对系统的要求是：当输入函数有界时，输出函数必须有界。
设一个复杂的输入函数)(xf可以近似表示为如图所示的n个窄脉冲之河。我们考虑第i个窄脉冲，该脉冲坐标为ix，宽度为ix，高度为)(ixf，该脉冲的面积为iixxf)(。当0ix时，)(ixf就是强度等与脉冲面积的函数，而该函数位于ixx处，即
)()()(iiiixxxxfxf
这样输入函数就可以分解为函数的组合
iiiiiixxxxfxfxf)()()()(
当上式所示的输入作用于系统时，由线性系统的其次行可得其输出)(xgi为脉冲响应的iixxf)(倍，即
),()()(iiiixxhxxfxg
若系统为线性不变系统，则
)()()(iiiixxhxxfxg
由叠加原理，)(xf对应输出)(xg分别为 dxxh)(
