光学 第三章

光学精品课程习题解 第三章 几何光学 - 25 -

第三章 几何光学

1．证明反射定律符合费马原理

证明：设界面两边分布着两种均匀介质，折射率为1n和2n（如图所示）。光线通过第一介质中指定的A点后到达同一介质中指定的B点。

（1）反正法：如果反射点为'C，位于ox轴与A和B点所著称的平面之外，那么在ox轴线上找到它的垂足点"C点，.由于'''''',ACACBCBC,故光线'ACB所对应的光程总是大于光线''ACB所对应的光程而非极小值，这就违背了费马原理。故入射面和反射面在同一平面内。

(2)在图中建立坐xoy标系，则指定点A,B的坐标分别为11(,)xy和22(,)xy，反射点C的坐标为(,0)x所以ACB光线所对应的光程为：

222211122[()()]nxxyxxy

根据费马原理，它应取极小值，所以有

111211222221122()()(sinsin)0()()nxxnxxdniidxxxyxxy

即： 12ii

2．根据费马原理可以导出在近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光22(,)Bxy

(,0)cx

'C题1 图 11(,)Axy

x y

o 光学精品课程习题解 第三章 几何光学 - 26 -

线的光程都相等。

证：如图所示，有位于主光轴上的一个物点S发出的光束经薄透镜折射后成一个明亮的实象点'S。设光线SC为电光源S发出的任意一条光线，其中球面AC是由点光源S所发出光波的一个波面，而球面DB是会聚于象点'S的球面波的一个波面，所以有关系式SCSA，''SDSB.因为光程

''''SCEFDSSABSSCCEnEFFDDSSAnABBS

根据费马原理，它们都应该取极值或恒定值，这些连续分布的实际光线，在近轴条件下其光程都取极大值或极小值是不可能的，唯一的可能性是取恒定值，即它们的光程相等。

光学教程第四版

1 1. 证：设两个均匀介质的分界面是平面，它们的折射率为n1

和n2。光线通过第一介质中指定的A点后到达同一介质中指

定的B点。为了确定实际光线的路径，通过A,B两点作平面垂直于界面，OO′是他们的交线，则实际 光线在界面上的反

射点C就可由费马原理来确定（如右图）。

（1） 反正法：如果有一点C′位于线外，则对应于C′，必

可在OO′线上找到它的垂足C′′.由于

CA′>CA′′,BC′>BC′′,故光谱BCA′总是大于光程BCA′′而

非极小值，这就违背了费马原理，故入射面和反射

面在同一平面内得证。

（2） 在图中建立坐oxy标系，则指定点A,B的坐标分

别为（yx

11,）和（yx

22,），未知点C的坐标为（0,x）。

C点在BA′′,之间是，光程必小于C点在BA′′以外的

相应光程，即xxx21<<，于是光程ACB为：

xxnyxxnCBnACnACBn2112

122

1111)()(+−++−=+=

根据费马原理，它应取极小值，即：

(

)()(

)()(

)(1

22

2221

12

1211

1−′=

+−−

−

+−−

=

ACCA

n

yxxxxn

yxxxxn

ACBn

dxd

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2 Qii11=′，

∴0)(1=ACBn

dxd

取的是极值，符合费马原理。故问题得证。

2.(1)证：如图所示，有位于主光轴上的一个物点S发出的光

束

经薄透镜折射后成一个明亮的实象点S′。由于球面AC是由

S点

发出的光波的一个波面，而球面DB是会聚于S′的球面波的

一个

波面，固而SBSC=, BSDS′=′.又Q光程

FDEFnCECEFD++=， 而光程ABnAB=。根据费马原理，它们都应该取极值或恒

定值，

这些连续分布的实际光线，在近轴条件下其光程都取极大值

或

极小值是不可能的，唯一的可能性是取恒定值，即它们的光

程却相等。

由于实际的光线有许多条。我们是从中去两条来讨论，故从

第三章 光学仪器基础

3－1 一个年龄50岁的人，近点距离为－0.4m，远点距离为无限远，试求他的眼睛的调节范围。

解：5.24.011PRAD

3－2 某人在其眼前2m远的物看不清，问需要配怎样光焦度的眼镜才能使其眼恢复正常？另一个人对在其眼前0.5m以内的物看不清，问需要配上怎样光焦度的眼镜才能使其眼恢复正常？

解：第一个人是近视眼，所需眼镜的光焦度为：5.021D

第二个人是远视眼，所需眼镜的光焦度为：25.0125.01D

3－3 迎面而来的汽车的两个头灯其相距为1m，问汽车在离多远时它们刚能为人眼所分辨？假定人眼瞳孔直径为3mm，光在空气中的波长为0.5μm。

解：眼睛的极限分辨角为：radDe336102033.0103105.022.122.1

设汽车在离人眼lm远时刚能被人眼所分辨，则两车灯对人眼所张的角度为：

ell222/1arctan2

∴8.49181elm

3－4 有一焦距为50mm，口径为50mm的放大镜，眼睛到它的距离为125mm，求放大镜的视放大率和视场。

解：视放大率为：550250250f

线视场为：2012552505005002dhymm

∴视场为：62.225010arctan222arctan22fy

3－5 要求分辨相距0.000375mm的二点，用55.0μm的可见光斜照明，试求此显微镜的数值孔径。若要求二点放大后的视角为2，则显微镜的视放大率等于多少？

解：数值孔径为：7333.0000375.000055.05.05.00NA 人眼放在明视距离处直接观察这两点时，其张角为：

6105.1250000375.0tan

∴视放大率为：7.386105.12tantantan6

2-1 在杨氏实验中，用波长为的氦氖激光束垂直照射到间距为1.00mm的两个小孔上，小孔至屏幕的垂直距离为100cm. 试求在下列两种情况下屏幕上干涉条纹的间距： (1)整个装置放在空气中；(2)整个装置放在n=的水中.

解： 设两孔间距为d，小孔至屏幕的距离为D，装置所处介质的折射率为n，则两小孔出射的光到屏幕的光程差为

21()sinxnrrndndD

所以相邻干涉条纹的间距为

Dxdn

（1） 在空气中时，n＝1。于是条纹间距为

10431.06328106.3210(m)1.010Dxd

（2） 在水中时，n＝。条纹间距为

10431.06328104.7510(m)1.0101.33Dxdn

,

2-2 在杨氏干涉装置中，双缝至屏幕的垂直距离为2.00m. 测得第10级干涉亮纹至中央亮纹之间的距离为3.44cm，双缝间距为0.342mm， 试求光源的单色光波长.

解：在杨氏干涉装置中，两束相干光的光程差为:

sinxddD

根据出现亮条纹的条件0k，对第10级亮条纹，k取10，于是有:

010Dxd

带入数据得:

0231021044.310342.0

由此解出:

nm24.5880

|

2-4

因为：jDxddsin

所以：jDxd )(102.24mdjDx

2-5 用很薄的云母片(n=覆盖在双缝干涉实验装置的一条缝上，观察到干涉条纹移动了9个条纹的距离，光源的波长为 nm，试求该云母片的厚度。

解：设云母片厚度为h，覆盖在双缝中的1r光路上，此时两束相干光的光程差为:

21()(1)xrrhnhdnhkD

当没有覆盖云母片，两束相干光的光程差为:

-

21xrrdkD

因为条纹移动了9个，则: