第四章钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算本章学习要点：1、掌握单筋矩形截面、双筋矩形截面和T形截面承载力的计算方法；2、了解配筋率对受弯构件破坏特征的影响和适筋受弯构件在各阶段的受力特点；3、熟悉受弯构件正截面的构造要求。
§4-1 概述一、受弯构件的定义同时受到弯矩M和剪力V共同作用，而轴力N可以忽略的构件（图4-1）。
梁和板是土木工程中数量最多，使用面最广的受弯构件。
梁和板的区别：梁的截面高度一般大于其宽度，而板的截面高度则远小于其宽度。
受弯构件常用的截面形状如图4-2所示。
图4-1二、受弯构件的破坏特性正截面受弯破坏：沿弯矩最大的截面破坏，破坏截面与构件的轴线垂直。
斜截面破坏：沿剪力最大或弯矩和剪力都较大的截面破坏。
破坏截面与构件轴线斜交。
进行受弯构件设计时，要进行正截面承载力和斜截面承载力计算。
图4-3 受弯构件的破坏特性§4-2 受弯构件正截面的受力特性一、配筋率对正截面破坏性质的影响配筋率：为纵向受力钢筋截面面积A s与截面有效面积的百分比。
sAbh式中sA——纵向受力钢筋截面面积。
b——截面宽度，h——截面的有效高度（从受压边缘至纵向受力钢筋截面重心的距离）。
构件的破坏特征取决于配筋率、混凝土的强度等级、截面形式等诸多因素，但配筋率的影响最大。
受弯构件依配筋数量的多少通常发生如下三种破坏形式：1、少筋破坏当构件的配筋率低于某一定值时，构件不但承载力很低，而且只要其一开裂，裂缝就急速开展，裂缝处的拉力全部由钢筋承担，钢筋由于突然增大的应力而屈服，构件立即发生破坏。
图4-4 受弯构件正截面破坏形态2、适筋破坏当构件的配筋率不是太低也不是太高时，构件的破坏首先是受拉区纵向钢筋屈服，然后压区砼压碎。
钢筋和混凝土的强度都得到充分利用。
破坏前有明显的塑性变形和裂缝预兆。
3、超筋破坏当构件的配筋率超过一定值时，构件的破坏是由于混凝土被压碎而引起的。
受拉区钢筋不屈服。
破坏前有一定变形和裂缝预兆，但不明显，。
当混凝土被压碎时，破坏突然发生，钢筋的强度得不到充分发挥，破坏带有脆性性质。
由上所述，受弯构件的破坏形式取决于受拉钢筋和受压混凝土相互抗衡的结果。
当受压混凝土的抗压强度大于受拉钢筋的抗拉能力时，钢筋先屈服；反之，当受拉钢筋的抗拉能力大于受压区混凝土的抗压能力时，受压区混凝土先压碎。
﹡少筋破坏和超筋破坏都具有脆性性质，破坏前无明显预兆，破坏时将造成严重后果，材料的强度得不到充分利用。
在设计时不能将受弯构件设计成少筋构件和超筋构件，只能设计成适筋构件。
二、适筋受弯构件截面受力的三个阶段1、第一阶段——截面开裂前的阶段当荷载很小时，截面上的内力很小，应力和应变成正比，截面上的应力分布为直线。
这种受力阶段为第Ⅰ阶段，如图4-5（a）所示。
当荷载不断增大时，截面上的内力也不断增大，受拉区混凝土出现塑性变形，受拉区的应力图形呈曲线。
当荷载增大到某一数值时，受拉区边缘的混凝土可以得到其实际的抗拉极限应变值。
截面处在开裂前的临界状态。
此时为Ⅰa阶段，如图4-5（b）。
2、第二阶段——从截面开裂到纵向受拉钢筋开始屈服混凝土开裂，截面上发生应力重分布，裂缝处混凝土不再承受拉应力，钢筋图4-5 梁在各受力阶段的应力、应变分布的拉应力突然增大，受压区混凝土出现明显的塑性变形，应力图形呈曲线，这个受力阶段称为第Ⅱ阶段，如图4-5（c）。
当荷载增加到某一数值时，受拉区纵向钢筋达到其屈服强度。
这种受力状态为Ⅱa阶段，如图4-5（d）。
3、第三阶段——破坏阶段受拉区钢筋屈服后，截面承载力没明显增加，但塑性变形发展很快，裂缝迅速开展，并向受压区延伸。
受压区面积减小，受压区混凝土的压应力迅速增大。
这是截面受力的第Ⅲ阶段，如图4-5（e）所示。
在荷载几乎不变的情况下，裂缝进一步急剧开展，受压区混凝土出现纵向裂缝，混凝土被完全压碎，截面发生破坏。
这个受力状态称为第Ⅲa阶段，如图4-5（f）所示。
进行受弯构件截面各受力工作阶段的分析, 可以详细了解截面受力的全过程, 而且为裂缝、变形及承载力的计算提供依据。
﹡截面抗裂验算是建立在第Ⅰa阶段的基础上，即Ia 抗阶段的应力状态是抗裂计算的依据。
﹡构件使用阶段的变形和裂缝宽度验算是建立在第Ⅱ阶段的基础上，即第II 阶段的应力状态是变形和裂缝宽度计算的依据。
﹡截面的承载力是建立在第阶段的基础上，即，第Ⅲa 是承载力计算的依据。
§4-3 受弯构件正截面承载力计算方法一、基本假定以Ⅲa 阶段作为承载力极限状态的计算依据, 并引入基本假定： 1、截面平均应变符合平截面假定 2、不考虑受拉区未开裂砼的抗拉强度； 3、设定受压区砼的 关系 (图4-6)；图4-6 混凝土理想的应力-应变曲线当 0εε≤时，0[1(1)]nc c f εσε=-- 当0c cu εεε<< 时，cc f.12(50)60cu k n f50,0.0020.5(50)10cu k f ε-=+-⨯5,0.0033(50)10cu cu k f ε-=--⨯式中c—— 对应于混凝土应变为c时的混凝土压应力；—— 对应于混凝土压应力刚达到c f 时的混凝土压应变，当计算的小于0.002时取0.002；cu—— 正截面处于非均匀受压时的混凝土极限压应变，当计算的cu小于0.0033时取0.0033；.cu k f —— 混凝土立方体抗压强度标准值；n —— 系数，当计算的n 大于2.0时，应取为2.0。
0,,cun 的取值见表4-10,,cun 的取值 表4-120.002000 cu从表中可以看出，当混凝土的强度等级50C ，0,,cun 均为定值。
当混凝土的强度等级大于50C 时，随着混凝土强度等级的提高，0的值不断增大，而cu的值却不断减小。
表明材料的脆性不断加大。
4、受拉钢筋应力取值钢筋的应力取等于钢筋应变与其弹性模量的乘积，但其绝对值不应大于相应的强度设计值，受力钢筋的极限拉应变取0.01，即s s s y E f σε=≤''''s s s y E f σε=≤,max 0.01s ε=二、单筋矩形截面正截面承载力计算单筋矩形截面：只在截面的受拉区配有纵向受力钢筋的矩形截面。
双筋矩形截面：在截面受拉区和受压区同时配有纵向受力钢筋的矩形截面。
﹡单筋矩形截面为了构造要求，梁的受压区也需要配置纵向钢筋，这种钢筋称为架立钢筋。
架立钢筋：根据构造要求设置，直径小，根数少。
(﹡并非双筋截面)受力钢筋：根据受力要求按计算设置，直径粗，根数多。
1、计算简图图4-8 应力图形的简化计算应力图中用一个等效矩形来代替，等效的原则：（1）两个图形的压应力合力大小相等，（2）合力的作用位置完全相同。
M u M uA s fA s f实际应力图理想应力图计算应力图x xDMDDA s f图4-9 单筋矩形截面受压区混凝土的等效矩形应力图按等效矩形应力图计算的受压区高度x 与按平截面假定确定的受压区高度0x 之间的关系为：10xx系数1和1的取值见表4-2系数1和1表4-2混凝土等级 50C ≤C55 60C 65C 70C 75C 80C 11.00 0.99 0.98 0.97 0.96 0.95 0.94 10.800.790.780.77 o.76 0.75 0.742、基本计算公式0X =∑ 1cy s f bx f A α=0M =∑ 10()2c xM f bx h α=- 或 0()2y s xM f A h =-式中 b ——矩形截面宽度；s A ——受拉区纵向受拉钢筋的截面面积；M ——荷载在该截面上产生的弯矩设计值；0h ——截面的有效高度 0s h ha ；梁的纵向受力钢筋按一排布置时，35h h mm ，梁的纵向受力钢筋按两排布置时，060h hmm ，板的截面有效高度020h h mm ；h ——截面高度；s a ——受拉区边缘到受拉钢筋合力作用点的距离。
﹡s a 的确定（钢筋的混凝土保护层厚度附见录7） 3、基本计算公式的适用条件基本计算公式只适用于适筋梁。
（1） 满足最小配筋率最小配筋率是少筋构件和适筋构件的界限配筋率，它是根据受弯构件的破坏弯矩等于其开裂弯矩确定的。
,minmin''()s f fA A b b h式中 A ——构件的全截面面积；'',f f b h ——分别为截面受压边缘的宽度和高度；,min s A ——按最小配筋率计算的钢筋面积。
﹡min取0.2%和45(%)t y f f 中的较大者。
（2）相对受压区高度b相对界限受压区高度b是适筋构件与超筋构件相对受压区高度的界限值有明显屈服点钢筋配筋的受弯构件 由图4-10 可得：10111bbcuby cuycux x h h所以11bycusf E图4-10 界限配筋时的应变情况当b时，受拉钢筋屈服，为适筋构件。
当b时，受拉钢筋不屈服，为超筋构件。
图4-11无明显屈服点钢筋的受弯构件对于碳素钢、钢绞线、热处理钢筋以及冷轧带肋钢筋等无明显屈服点的钢筋，取对应于残余应变为0.2%时的应力0.2作为条件屈服点，并以此作为这类钢筋的抗拉强度设计值。
对应于条件屈服点0.2时的钢筋应变为0.002y ssf E式中 y f ——无明显屈服点钢筋的抗拉强度设计值；s E ——无明显屈服点钢筋弹性模量。
10.0021bycucusf E最大配筋率：,maxmaxs A bh 由bbx h 和1c y s f bx f A 得,max1max0s c byA fbh f当构件按最大配筋率配筋时，可以求出适筋受弯构件所能承受的最大弯矩为：220max 1001010()(10.5)2b c b c b b sb c h M f b h h f bh f bh ξαξαξξαα=-=-=式中 sb α——截面最大的抵抗矩系数 故限制超筋破坏发生的条件可以是：max max s sb b M M ρρααξξ≤⇔≤⇔≤⇔≤工程实践表明：当在适当的比例时, 梁、板的综合经济指标较好，故梁、板的经济配筋率：实心板= (0.4~0.8)%矩形梁 = (0.6~1.5)% T 形梁= (0.9~1.8)%4、基本公式的应用截面设计：已知：构件的截面尺寸（b h ⨯），材料的强度等级（,c y f f ）以及设计弯矩（M ），求：钢筋面积As = ?实际工程设计时的步骤：由结构力学分析确定弯矩的设计值M• 由跨高比确定截面初步尺寸 • 由受力特性及使用功能确定材性 • 由基本公式, 求x • 验算公式的适用条件bbx x• 由基本公式 (3-2) 求A s• 0sA bh 验算 min•选择钢筋直径和根数, 布置钢筋截面校核：已知：b h ⨯，,c y f f ， A s 求：抗弯承载力Mu = ? 实际工程设计时的步骤：•求x (或)验算适用条件min 0sA bh ρ≥和b ξξ≤ •求M u5、举例：p77 例4-1～4-3三、双筋矩形截面正截面承载力计算 双筋截面通常适用于以下几种情况：（1） 结构或构件承受某种交变的作用（如地震）使截面上的弯矩改变方向； （2） 荷载效应较大, 而提高材料强度和截面尺寸受到限制；（3） 由于某种原因, 已配置了一定数量的受压钢筋（比如连续梁的某些支座截面）。
