2020中考数学《线段与角》专题复习考点讲解(含答案)

中考数学复习考点知识归类讲解专题26 二次函数中的有关线段、角的问题知识对接考点一、与线段有关的问题类型一:已知共线的线段关系-----------------转化为A字型或8字型类型二: 已知不共线的两条线段关系---------利用三角函数解决问题类型三:等腰+直角-----------构造中点直角三角形类型四:利用已知线段构造可解的三角形-考点二、与角有关的问题类型一:与已知直线成定角问题类型二:倍角问题(倍角与半角之间的转化)类型三:转化为基本图形类型四:2∠A+3∠B=180°---------转化为等腰的问题专项训练一、单选题1．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线1122y x=+上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A ．a ≤﹣2B ．a ＜98 C ．1≤a ＜98或a ≤﹣2 D ．﹣2≤a ＜982．抛物线()230y ax ax b a =++<，设该抛物线与x 轴的交点为()5,0A -和B ，与y 轴的交点为C ，若ACO CBO ∆∆∽，则tan CAB ∠的值为（ ）A B C D 3．如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿A→B→C 方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 作EF⊥AE 交CD 于点F ，设点E 运动路程为x ，CF ＝y ，如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，给出下列结论：①a＝3；②当CF ＝14时，点E 的运动路程为114或72或92，则下列判断正确的是( )A ．①②都对B ．①②都错C ．①对②错D ．①错②对4．抛物线2y x bx c =++（其中b ，c 是常数）过点A (2，6)，且物线的对称轴与线段21y x =-()13x ≤≤有交点，则c 的值不可能是（）A ．5B ．7C ．10D ．145．如图，在平面直角坐标系中，直线334y x =-+分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，在线段AB 上取一点C ，过C 作CD y ⊥轴于D ，CE x ⊥轴于E ，连结DE ，当DE 最短时，点C 的坐标为（）A ．32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3458,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3648,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,06．已知A 、B 两点的坐标分别为()3,4-、()0,2-，线段AB 上有一动点(),M m n ，过点M 作x 轴的平行线交抛物线2(1)2y a x =-+于()11,P x y 、()22,Q x y 两点．若12x m x <≤，则a 的取值范围为（）A ．342a -≤<- B ．342a -≤≤- C ．302a -≤< D ．302a -<< 7．如图①，在矩形ABCD 中，当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 上移动时，直角边MP 始终经过点A ，设直角三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q ．在运动过程中线段BP 的长度为x ，线段CQ 的长为y ，y 与x 之间的函数关系如图②所示．则AB 的长为（）A ．2.25B ．3C ．4D ．68．若直线y ＝n 截抛物线y ＝x 2+bx +c 所得线段AB ＝4，且该抛物线与x 轴只有一个交点，则n 的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．25D ．49．抛物线2y x bx c =++（其中b ，c 是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段21y x =-（13x ≤<）有交点，则c 的值不可能是（）A ．5B ．7C ．10D ．1410．如图，C 是线段AB 上一动点，△ACD ，△CBE 都是等边三角形，M ，N 分别是CD ，BE 的中点，若AB ＝4，则线段MN 的最小值为（）A B C D 二、填空题11．如图，Rt ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，点D 在边AC 上运动（与点A 、C 不重合），以D 为圆心，DA 长为半径的D 与AB 相交于点E ，线段BE 的中垂线交BC 于点F ，则DF 长的最小值等于______．12．已知抛物线265y x x =-+-的顶点为P ，对称轴l 与x 轴交于点A ，N 是PA 的中点．M (),m n 在抛物线上，M 关于直线l 的对称点为B ，M 关于点N 的对称点为C ．当13m ≤≤时，线段BC 的长随m 的增大而发生的变化是：______．（“变化”是指增减情况及相应m 的取值范围）13．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,2，点B 的坐标为()4,2．若抛物线23()2y x h k =--+（h 、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且12CD AB =，则k 的值为_________．14．已知二次函数y＝﹣x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若点M在y 轴上，且满足∠BCO＋∠BMO＝∠ACO，则M点的坐标为_______．15．若抛物线y＝x2﹣2x与x轴分别交于A、B两点，则线段AB的长为_____．三、解答题16．已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-6，0）、B（2，0）和C（0，3），点D是该抛物线在第四象限上的一个点，连接AD、AC、CD，CD交x轴于E．（1）求这个抛物线的解析式；（2）当S△DAE=14S△ACD时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得△PAD中的一个角等于2∠BAD?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线2y ax bx c=++经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当BCD ∆的面积为3时，求点D 的坐标；（3）过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，是否存在点D ，使得CDE ∆中的某个角等于ABC ∠的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26y ax ax a =--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的对称轴及线段AB 的长．（2）若点C 的坐标为()0,3-，点P 在抛物线上，连接PA 后满足PAB CAB ∠=∠，将直线BC 上下平移，平移后的直线与抛物线交于1B ，1C 两点（1C 在1B 的左侧），若以点1B ，1C ，P 为顶点三角形是直角三角形，求平移后的直线解析式．（3）若0a >，且在抛物线上存在点N ，使得90ANB ∠=︒，直接写出a 的取值范围．19．如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线22y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0C ，与y 轴交于点B ．（1）求地物线的解析式．（2）如图2，点P 为拋物线第四象限上一点，AP 交y 轴于Q ，设点P 的横坐标为t ，求线段BQ 的长d 与t 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．20．如图，已知抛物线y =ax 2+2x +c 与y 轴交于点A （0，6），与x 轴交于点B （6，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点的坐标；（2）点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，是否存在以点A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P 从A 点出发沿线段AB 上方的抛物线向终点B 移动时，点P 到直线AB 的距离为d ，求d 的最大时点P 的坐标．21．已知二次函数()214ay ax a x =+-+． （1）若二次函数图象的对称轴为直线1x =，求a 的值；（2）当2x ≥时，y 随x 的增大而减小，求a 的取值范围；（3）已知()1,0A -，()2,0B ，若二次函数的图象与线段AB 只有一个交点，求a 的取值范围．22．已知函数y＝1ax2﹣2x+2a﹣1（a为常数）．（1）当函数图象与y轴交于点（0，1）时，①求a的值．②直线y＝m与函数图象交于A、B两点，当AB＝3 时，求m的值．（2）当a＞0，x≥2 时，函数图象上的最低点到直线y＝a距离为 1，求a的取值范围．（3）函数图象与直线x＝2a交于点P，把点P向左平移 4 个单位得到点Q，以PQ为直角边作等腰直角三角形RPQ，点R与抛物线顶点始终在PQ两侧，线段QR与函数图象交于点G，1tan3GPR∠=时，直接写出a的值．23．若抛物线223y ax ax=++对应方程2230ax ax++=的一个根为6x=-．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若抛物线与x轴的一个交点是A（左交点），与y轴交于点C，点P是线段OA 上一动点，过点P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，设CPQ的面积为S，求S的最大值及取得最大值时点P的坐标；（3）若点B是抛物线与x轴的另一个交点，点D，M在线段AB上，点N在线段AC上，,DCB CDB CD∠=∠是MN的垂直平分线，求点M的坐标．。

2020年中考数学人教版专题复习：尺规作图基本作图1．最基本、最常用的尺规作图，通常称为基本作图．2．基本作图有五种：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）作一条线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线．典例精析典例1如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是A．AD=BD B．BD=CDC．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC【答案】D【解析】∵MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°，∵∠ACB=90°，∴CD=BD，∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED，∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．故选D．典例2如图，已知∠MAN，点B在射线AM上．（1）尺规作图：①在AN上取一点C，使BC=BA；②作∠MBC的平分线BD，（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求证：BD∥AN．1 2【解析】（1）①以B点为圆心，BA长为半径画弧交AN于C点；如图，点C即为所求作；②利用基本作图作BD平分∠MBC；如图，BD即为所求作；（2）先利用等腰三角形的性质得∠A=∠BCA，再利用角平分线的定义得到∠MBD=∠CBD，然后根据三角形外角性质可得∠MBD=∠A，最后利用平行线的判定得到结论．∵AB=AC，∴∠A=∠BCA，∵BD平分∠MBC，∴∠MBD=∠CBD，∵∠MBC=∠A+∠BCA，即∠MBD+∠CBD=∠A+∠BCA，∴∠MBD=∠A，∴BD∥AN．拓展1．根据下图中尺规作图的痕迹，可判断AD一定为三角形的A．角平分线B．中线C．高线D．都有可能2．（1）请你用尺规作图，作AD平分∠BAC，交BC于点D（要求：保留作图痕迹）；（2）∠ADC的度数．复杂作图利用五种基本作图作较复杂图形．典例精析典例2如图，在同一平面内四个点A，B，C，D．（1）利用尺规，按下面的要求作图．要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论．①作射线AC；②连接AB，BC，BD，线段BD与射线AC相交于点O；③在线段AC上作一条线段CF，使CF=AC–BD．（2）观察（1）题得到的图形，我们发现线段AB+BC>AC，得出这个结论的依据是__________．【答案】见解析．【解析】（1）①如图所示，射线AC即为所求；②如图所示，线段AB，BC，BD即为所求；③如图所示，线段CF即为所求；（2）根据两点之间，线段最短，可得AB+BC>AC．故答案为：两点之间，线段最短．拓展3．作图题：学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形来．比如给定一个△ABC，可以这样来画：先作一条与AB相等的线段A′B′，然后作∠B′A′C′=∠BAC，再作线段A′C′=AC，最后连接B′C′，这样△A′B′C′就和已知的△ABC一模一样了．请你根据上面的作法画一个与给定的三角形一模一样的三角形来．（请保留作图痕迹）同步测试1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是A．用尺规作一条线段等于已知线段B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角D．不能确定2．下列作图属于尺规作图的是A．画线段MN=3 cmB．用量角器画出∠AOB的平分线C．用三角尺作过点A垂直于直线l的直线D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠α3．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．下列叙述正确的是A ．BH 垂直平分线段ADB ．AC 平分∠BAD C ．S △ABC =BC ·AHD ．AB =AD4．如图，点C 在∠AOB 的OB 边上，用尺规作出了∠AOB =∠NCB ，作图痕迹中，弧FG 是A ．以点C为圆心，OD 为半径的弧 B ．以点C 为圆心，DM 为半径的弧 C ．以点E 为圆心，OD 为半径的弧 D ．以点E 为圆心，DM 为半径的弧5．如图，△ABC 中，∠C =90°，∠CAB =50°．按以下步骤作图：①以点A 为圆心，小于AC 长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点E 、F ； ②分别以点E 、F 为圆心，大于EF 长为半径画弧，两弧相交于点G ； ③作射线AG 交BC 边于点D ． 则∠ADC 的度数为A ．65°B ．60°C ．55°D ．45°6．如图，△ABC 为等边三角形，要在△ABC 外部取一点D ，使得△ABC 和△DBC 全等，下面是两名同学做法： 甲：①作∠A 的角平分线l ；②以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交l 于点D ，点D 即为所求；12乙：①过点B作平行于AC的直线l；②过点C作平行于AB的直线m，交l于点D，点D即为所求．A．两人都正确B．两人都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD=BC，∠A=35°，则∠C=__________．8．如图，在△ABC中，AB=A C．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为__________度．9．按要求用尺规作图（要求：不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）已知：线段AB；求作：线段AB的垂直平分线MN．10．如图，已知△ABC，∠BAC=90°，（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于D点（保留作图痕迹，不写作法）（2）若∠C=30°，求证：DC=DB．。

中考数学复习考点知识讲解与专题训练第14讲 线、角、相交线与平行线知识梳理1. 线段和直线(1) 直线公理： 经过两点有且只有一条直线.(2) 线段公理： 两点之间，线段最短．连接两点的__线段的长度__叫做这两点间的距离．(3) 直线、射线、线段的主要区别：(4) 线段的中点：若点C 是线段AB 的中点，则AB BC AC 21==；AB =2AC =2B C ．2.对顶角一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线,则称这两个角是对顶角,对顶角相等.3.角及其平分线(1) 定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．角的分类：①角按大小可以分为周角、平角、钝角、直角、锐角．②1周角=2平角=4直角；1°=60′；1′=60″．1；∠AOB=2(2) 角的平分线：若OC平分∠AOB，则AOB∠=AOC∠∠BOC=2∠AOC=2∠BOC．4.余角、补角及性质：5. 相交线①．对顶角与邻补角：②. 垂线及性质：6. 平行线7.命题、定理5年真题命题点1 余角与补角1．（3分）（2017•广东）已知∠A＝70°，则∠A的补角为（A）A．110°B．70°C．30°D．20°命题点2平行线的性质及判定（4分）（2019•广东）如图，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2＝105°．2．3．（3分）（2018•广东）如图，AB∥CD，则∠DEC＝100°，∠C＝40°，则∠B的大小是（B）A．30° B．40°C．50°D．60°3年模拟1．（2020•禅城区一模）如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（B）A．点动成线B．两点确定一条直线C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短2．（2020•白云区一模）一个角是60°，则它的余角度数为（A）A．30° B．40°C．90°D．120°3．（2019•金平区一模）已知∠A与∠B的和是90°，∠C与∠B互为补角，则∠C比∠A大（C）A．180°B．135° C．90°D．45°（2020•福田区模拟）如图，下列条件中，能判定DE∥AC的是（C）4．A．∠EDC＝∠EFC B．∠AFE＝∠ACD C．∠3＝∠4 D．∠1＝∠25．（2020•英德市一模）如图，∠1＝∠2，∠D＝50°，则∠B的度数为（D）A．50° B．40°C．100° D．130°6．（2019•花都区一模）如图，直线a∥b，点A、B分别在直线a、b上，∠1＝45°，若点C在直线b上，∠BAC＝105°，且直线a和b的距离为3，则线段AC的长度为（D）A．3√2B．3√3C．3 D．67．（2020•深圳模拟）下列命题正确的是（C）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是正方形C．16的平方根是±4D．有两条边对应相等的两个直角三角形全等8．（2019•顺德区三模）计算：18°30′＝18.5 °．9．（2020•金平区模拟）如图，现将一块含有60°角的三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝∠2，那么∠1的度数为60°．10．（2020•靖江市一模）命题“对顶角相等”的逆命题是假命题（填“真”或“假”）．。

线段、射线、直线线段 射线 直线端点个数 两个一个 没有 延伸情况 没有延伸向一个方向延伸 向两个方向延伸 长度 有长度可以测量 没有长度不能测量 没有长度不能测量 表示方法 ①用表示两个端点的大写字母（无序） ②用一个小写字母 用两个大写字母，其中表示端点的字母写在前面（有序） ①用直线上表示任意两个点的大写字母（无序）②用一个小写字母表示1、线段的性质：两点之间，线段最短。

2、两点间的距离：连接两点之间的线段的长度。

三、直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线。

四、线段的长短比较方法：度量法和叠合法五、画一条线段等于已知线段：1、画一条线段等于已知线段是用直尺和圆规的第一个基本作图，直尺的作用是画直线、射线或线段，圆规的作用是画弧、截取等长的线段。

2、常见的作图语言：①作射线××；②在射线××上截取××=××；③在线段××上截取××=××；则××就是所要求作的××。

说明：作图时用的直尺是没有刻度的，因此作图的痕迹要保留。

六、线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点。

如图所示点C 是线段AB 的中点，则有①AB=2AC=2BC ，②AC=BC=21AB 。

七、线段的和、差、倍、分的计算：1、逐段计算：求线段的长度，主要围绕线段的和差倍分展开。

若每一条线段的长度均已确定，所求问题可迎刃而解。

2、整体转化：巧妙转化是解题的关键，首先将所求的线段转化为两条线段的和或差，然后再通过线段的中点的等量关系进行替换，将未知线段转化为已知线段。

3、构造方程：利用各段线段的比值及中点关系建立起方程，求出未知数的值。

注意：有关线段长度的计算如果没有图形，题中又没有明确的点的位置，应该全面考虑，注意条件中的图形的多样性，防止漏解。

专题41 线段、角与相交线聚焦考点☆温习理解一、线段、射线、直线1．线段的基本性质在所有连结两点的线中，线段最短．2．直线的基本性质经过两点有一条而且只有一条直线．二、角与角的计算1．角的基本概念由两条有公共端点的射线组成的图形叫做角；如果一个角的两边成一条直线，那么这个角叫做平角；等于90°的角是直角；大于直角小于平角的角是钝角，小于直角的角是锐角．2．角的计算与换算1周角＝360度，1平角＝180度，1直角＝90度，1度＝60分，1分＝60秒．3．余角、补角及其性质(1)互为补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角 .(2)互为余角：如果两个锐角的和是一个直角，那么这两个角互为余角．(3)性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等．4．角平分线(1)角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．(2)性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等；角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.三、相交线1．邻补角、对顶角及其性质(1)如图所示，直线a，b相交，形成四个角．图中的邻补角有∠1和∠2，∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4；图中的对顶角有∠1和∠3，∠2和∠4.(2)性质：邻补角互补；对顶角相等．2．垂线及其性质(1)垂线：当两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．(2)性质：①在同一平面内，过一点有一条而且只有一条直线垂直于已知直线；②一般地，连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．(3)直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．3．线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．名师点睛☆典例分类考点典例一、线段与直线的性质【例1】如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线．能解释这一实际应用的数学知识是( )A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．垂线段最短D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】A．考点：直线的性质：两点确定一条直线．【点睛】本题考查了线段的性质，牢记线段的性质是解题关键．【举一反三】把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是( )A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．两点之间线段最短D．三角形两边之和大于第三边【答案】C．考点：线段的性质：两点之间线段最短．考点典例二、度分秒的换算．【例2】计算：50°－15°30′＝ .【答案】34°30′【解析】试题分析：根据度化成分乘以60，可得度分的表示方法，根据同单位的相减，可得答案．试题解析：原式=49°60′-15°30′=34°30′．考点：度分秒的换算．【点睛】此类题是进行度、分、秒的加法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．【举一反三】1.把15°30′化成度的形式，则15°30′＝度．【答案】15.5.【解析】试题分析：根据度、分、秒之间的换算关系，先把30′化成度，即可求出答案．试题解析：∵30′=0.5度，∴15°30′=15.5度；考点：度分秒的换算．2.把角度化为度、分的形式，则20.5°＝20° .【答案】30′【解析】试题分析：1°=60′，可得0.5°=30′，由此计算即可．试题解析：20.5°=20°30′．考点：度分秒的换算．考点典例三、角平分线的性质与应用【例3】如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线．如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为( )A．50° B．60° C．65° D．70°【答案】D．考点：角的计算；角平分线的定义．【点睛】在遇到相交线问题时，会产生对顶角和邻补角；在遇到角平分线问题时，会产生相等的角或角的倍分关系.灵活运用这些性质，会给解题带来方便，在中考命题中，通常与三角形的内角和定理或特殊三角形的性质结合在一起考查.【举一反三】（2015.山东滨州第6题，3分）如图，直线AC∥BD， AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，那么∠BAO与∠ABO之间的大小关系一定为( )A.互余B.相等C.互补D.不等【答案】A考点：平行线的性质，角平分线，互为余角考点典例四、余角与补角【例3】（2015·湖南株洲）已知∠α＝35°，那么∠α的余角等于( )A、35°B、55°C、65°D、145°【答案】B【解析】试题分析：互余的两个角和为90°，从而解得考点：互余两个角的性质【点睛】此题主要考查了互为余角的性质，正确记忆互为余角的定义是解决问题的关键．【举一反三】（2015.山东济南，第3题,3分）如图，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2的度数是（）A． 35°B． 45°C． 55°D． 70°【答案】C【解析】试题分析：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，所以∠2+∠1=90°，∵∠1=35°，∴∠2=55°，故选：C．考点：1.余角和补角；2.垂线．课时作业☆能力提升一、选择题1.（2015·黑龙江绥化）将一副三角尺按如图方式进行摆放，∠1、∠2不一定互补的是（）【答案】D考点：互补.2.如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm【答案】B.【解析】试题分析：∵AB=10cm，BC=4cm，∴AC=AB﹣BC=6cm，又点D是AC的中点，∴AD=12AC=3m，故选B.考点:两点间的距离．3.（2015.山东菏泽第2题，3分）将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）A．140° B．160° C．170° D．150°【答案】B．考点：直角三角形的性质．4.（2014·苏州）已知∠α和∠β是对顶角，若∠α＝30°，则∠β的度数为【】A．30° B．60° C．70° D．150°【答案】A.【解析】试题分析：∵∠α和∠β是对顶角，∴∠α=∠β.∵∠α=300，∴∠β=300.故选A.考点：对顶角的性质.5.若∠α=30°，则∠α的余角等于度.【答案】60.【解析】试题分析：直接根据余角的概念和特殊角的三角函数值作答：∠α的余角等于60度1 2 .考点：1. 余角的概念.6.（2015·湖北鄂州，6题，3分）如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD 的平分线F P相交于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF=（）度．A．70 B．65 C．60 D．55【答案】A.考点：1.平行线的性质；2.三角形内角和定理．7.如图，直线AB、CD相交于O，射线OM平分∠AOC,ON⊥OM,若∠AOM =350，则∠CON的度数为【】(A) .350 (B). 450 (C) .550（D). 650【答案】C．【解析】试题分析：由射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，得出∠MOC=35°，由ON⊥OM，得出∠CON=∠MON-∠MOC 得出答案：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，∴∠MOC=35°.∵ON⊥OM，∴∠MON=90°.∴∠CON=∠MON-∠MOC=90°-35°=55°．故选C．考点：1.垂线的定义；2.对顶角的性质；3.邻补角的意义．8. (2015.河北省，第8题，3分)如图，AB//EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝（）A.120°B.130°C.140°D.150°【答案】C【解析】试题分析：如图，延长DC交直线AB于点M，∵AB∥EF，CD⊥EF，∴∠AMC=90°，∴∠ACD=50°＋90°=140°.故选：C考点:平行线的性质，三角形的外角性质9.如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线.如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为【】A．50°B．60°C．65°D．70°【答案】D．考点：1.角的计算；2.角平分线的定义．10.（2015.山东泰安，第5题）（3分）如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（）A．122° B．151° C．116° D．97°【答案】B．【解析】试题分析：∵AB∥CD，∠1=58°，∴∠EFD=∠1=58°，∵FG平分∠EFD，∴∠GFD=12∠EFD=12×58°=29°，∵AB∥CD，∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°．故选B．考点：平行线的性质．11.如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方位角是（）A．北偏西30° B．北偏西60°C．东偏北30°D．东偏北60°【答案】B．考点：方向角．12.将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有（）A． 4个B．3个 C．2个 D．1个【答案】C．【解析】试题分析：由互余的定义、平行线的性质，利用等量代换求解即可．试题解析：∵斜边与这根直尺平行，∴∠α=∠2，又∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠α=90°，又∠α+∠3=90°∴与α互余的角为∠1和∠3．故选：C ．考点：平行线的性质；余角和补角．13.（2015·湖北黄冈，5题，3分）如图，a ∥b ，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【答案】D ．【解析】试题分析：∵a ∥b ，∠3=40°，∴∠1+∠2=180°﹣40°=140°，∠2=∠4，∵∠1=∠2，∴∠2=12×140°=70°，∴∠4=∠2=70°．故选D ． 14.若∠α的补角为76°28′，则∠α= ．【答案】103°32′【解析】试题分析：根据互为补角的概念可得出∠α=180°-76°28′．试题解析：∵∠α的补角为76°28′，∴∠α=180°-76°28′=103°32′考点：余角和补角；度分秒的换算．15.(2015·湖北荆门，6题，3分)如图，m ∥n ，直线l 分别交m ，n 于点A ，点B ，AC ⊥AB ，AC 交直线n 于点C ，若∠1=35°，则∠2等于（ ）A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C．【解析】试题分析：如图，∵AC⊥AB，∴∠3+∠1=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣35°=55°，∵直线m∥n，∴∠3=∠2=55°，故选C．考点：平行线的性质．16. (2015.陕西省，第4题，3分)如图，AB//CD,直线EF分别交直线AB、CD于点E、F,若∠1=46°30′，则∠2的度数为（）A.43°30′B.53°30′C.133°30′D.153°30′【答案】C考点：平行线的性质、补角的定义.。

中考数学复习《角、相交线与平行线》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 线段【命题规律】主要考查：①两点之间线段最短；②两点确定一条直线这两个基本事实．【命题预测】与图形的变换中立体图形的侧面展开结合，求两点之间的最短距离，另外也会与对称性结合，考查两线段和的最小值．1. 如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( )A. 垂线段最短B. 经过一点有无数条直线C. 经过两点，有且仅有一条直线D. 两点之间，线段最短1. D第1题图第2题图2. 如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D.则图中能表示点到直线距离的线段共有( )A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条2. D【解析】AD是点A到直线BC的距离；BA是点B到直线AC的距离；BD是点B到直线AD的距离；CA是点C到直线AB的距离；CD是点C到直线AD的距离，共5条，故答案为D.命题点2 角、余角、补角及角平分线【命题规律】主要考查：①角度的计算(度分秒之间的互化)；②余角、补角的计算；③角平分线的性质．【命题预测】角、余角、补角及角平分线等基本概念是图形认识的基础，应给予重视．3. 下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( )3. B4. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为________．4. 3【解析】如解图，过点P作PD⊥OA于点D，∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，∴PD＝PC，∵PC＝3，∴PD＝3，即点P到点OA的距离为3.5. 1.45°＝________′.5. 87【解析】∵1°＝60′，∴0.45°＝27′，∴1.45°＝87′.6. 已知∠A＝100°，那么∠A的补角为________度．6. 80【解析】用180度减去已知角，就得这个角的补角．即∠A的补角为：180°－100°＝80°.命题点3 相交线与平行线【命题规律】考查形式：①三线八角中同位角、内错角、同旁内角的识别或计算，有时综合对顶角、邻补角求角度；②综合角平分线、垂线求角度；③综合三角形的相关知识求角度；④根据角的关系判断两直线的关系．【命题预测】平行线性质是认识图形的基础知识，也是全国命题的潮流和方向．7. 如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是( )A. 同位角B. 内错角C. 同旁内角D. 对顶角7. B【解析】根据相交线的性质及角的定义可知∠1与∠2的位置关系为内错角，故选B.第7题图第8题图第9题图8. 如图，已知a、b、c、d四条直线，a∥b，c∥d，∠1＝110°，则∠2等于( )A. 50°B. 70°C. 90°D. 110°8. B【解析】如解图，∵a∥b，∴∠3＋∠4＝180°，∵c∥d，∴∠2＝∠4，∵∠1＝∠3，∴∠2＝180°－∠1＝70°，故本题选B.9. 如图，在下列条件中，不能．．判定直线a与b平行的是( )A. ∠1＝∠2B. ∠2＝∠3C. ∠3＝∠5D. ∠3＋∠4＝180°9. C【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误A∵∠1＝∠2，即同位角相等，两直线平行，∴a∥b √B∵∠2＝∠3，即内错角相等，两直线平行，∴a∥b √∵∠3、∠5既不是a与b被第三直线所截的同位角，也不是内错角，×C∴∠3＝∠5，不能够判定a与b平行D∵∠3＋∠4＝180°，即同旁内角互补，两直线平行，∴a∥b √10. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝50°，那么∠2的度数是( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°10. B 【解析】如解图，∠1＋∠3＝90°，∴∠3＝90°－∠1＝90°－50°＝40°，由平行线性质得∠2＝∠3＝40°.11. 如图所示，AB ∥CD ，EF ⊥BD ，垂足为E ，∠1＝50°，则∠2的度数为( )A . 50°B . 40°C . 45°D . 25°11. B 【解析】∵EF ⊥BD ，∠1＝50°，∴∠D ＝90°－50°＝40°，∵AB ∥CD ，∴∠2＝∠D ＝40°.第10题图 第11题图 第12题图 第13题图12. 如图，AB ∥CD ，直线EF 与AB ，CD 分别交于点M ，N ，过点N 的直线GH 与AB 交于点P ，则下列结论错误的是( )A . ∠EMB ＝∠END B . ∠BMN ＝∠MNC C . ∠CNH ＝∠BPGD . ∠DNG ＝∠AME12. D 【解析】A.两直线平行，同位角相等，∴∠EMB ＝∠END ；B.两直线平行，内错角相等，∴∠BMN ＝∠MNC ；C.两直线平行，同位角相等，∴∠CNH ＝∠APH ，又∠BPG ＝∠APH ，∴∠CNH ＝∠BPG ；D.∠DNG 和∠AME 无法推导数量关系，故不一定相等，答案为D.13. 如图，直线a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠P＝________°.13. 75 【解析】如解图，过点P 作PH ∥a ∥b ，∴∠FPH ＝∠1，∠EPH ＝∠2，又∵∠1＝45°，∠2＝30°，∴∠EPF ＝∠EPH ＋∠HPF ＝30°＋45°＝75°.命题点4 命 题【命题概况】命题考查的知识点比较多，一般几个知识点结合考查，考查形式有：①下面说法错误(正确)的是；②写出命题…的逆命题；③能说明…是假命题的反例．【命题趋势】命题为新课标新增内容，考查知识比较综合，是全国命题点之一．14. (2016宁波)能说明命题“对于任何实数a ，|a|＞－a”是假命题的一个反例可以是( )A . a ＝－2B . a ＝13C . a ＝1D . a ＝ 214. A 【解析】由于一个正数的绝对值是它本身，它的相反数是一个负数，所以当a ＝13，1，2时，|a |>－a 总是成立，当a ＝－2时，|－2|＝2＝－(－2)，此时|a |＝－a ，故本题选A.15. 写出命题“如果a ＝b ，那么3a ＝3b”的逆命题．．．：________________________． 15. 如果3a ＝3b ，那么a ＝b 【解析】命题由条件和结论构成，则其逆命题只需将原来命题的条件和结论互换即可，即将结论作为条件，将条件作为结论. ∵命题“如果a ＝b ，那么3a ＝3b ，”中条件为“如果a ＝b ”，结论为“那么3a ＝3b ”，∴其逆命题为“如果3a ＝3b ，那么a ＝b ”．中考冲刺集训一、选择题1. 如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，若∠ADC＝35°，则∠1的度数为( )A. 65°B. 55°C. 45°D. 35°第1题图第2题图第3题图2. 如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E.若∠C＝50°，则∠AED＝( )A. 65°B. 115°C. 125°D. 130°3. 如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是( )A．75°36′B．75°12′C．74°36′D．74°12′二、填空题4. 如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝50°，则∠A＝________.第4题图第5题图第6题图5. 如图，直线CD∥EF，直线AB与CD、EF分别相交于点M、N，若∠1＝30°，则∠2＝________．6. 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放．若∠EMB＝75°，则∠PNM等于________度．7. 如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD.若∠1＝54°，则∠2＝________°.第7题图第8题图第9题图8. 如图，AB∥CD∥EF，若∠A＝30°，∠AFC＝15°，则∠C＝________．9.如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝________．答案与解析：1. B【解析】∵DA⊥AC，∠ADC＝35°，∴∠ACD＝90°－∠ADC＝90°－35°＝55°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠ACD＝55°，故选B.2. B【解析】∵AB∥CD，∴∠C＋∠CAB＝180°，∵∠C＝50°，∴∠CAB＝130°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝12∠CAB＝65°.又∵AB∥CD，∴∠AED＋∠EAB＝180°，∴∠AED＝180°－∠EAB＝180°－65°＝115°.3. B【解析】根据平面镜反射原理可知，∠ADC＝∠ODE，∵DC∥OB，∴∠ADC＝∠AOE，∴∠ODE＝∠AOE＝37°36′，∴∠DEB＝∠ODE＋∠AOE＝37°36′＋37°36′＝75°12′，故选B.4. 50°5. 30°6. 307. 72【解析】∵CD∥AB，∴∠CBA＝∠1＝54°，∠ABD＋∠CDB＝180°，∵CB平分∠ABD，∴∠DBC＝∠CBA＝54°，∴∠CDB＝180°－54°－54°＝72°，∴∠2＝∠CDB＝72°.8. 15°【解析】由两直线平行，内错角相等，可得∠A＝∠AFE＝30°，∠C＝∠CFE，由∠AFC＝15°，可得∠CFE＝∠C＝∠AFE－∠AFC＝15°.第9题解图9. 2【解析】如解图，过点P作PE⊥OB于点E，∵OP平分∠AOB，∴PD＝PE，∠AOB＝2∠AOP＝30°，∵PC∥OA，∴∠ECP＝∠AOB＝30°，∴PE＝12PC＝2，∴PD＝PE＝2.。

线段和角题型练概念：直线：一条向两端无限延伸的笔直的线，射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线，线段：直线上两点和他们之间的部分叫作线段，这两个点叫线段的端点．性质：1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线．2.两点确定一条直线．3.两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．题型一：直线射线线段的性质例1.下列说法正确的是（），则P是线段AB的中点A.射线PA和射线AP是同一条射线B.若AP BPC.直线ab，cd相交于点PD.两点确定一条直线【详解】解：A、射线PA和射线AP不是同一条射线，故本选项错误；B、如果P、A、B三点不在同一直线上，那么P不是线段AB的中点，故本选项错误；C、直线ab，cd的写法不对，故本选项错误；D、两点确定一条直线，故本选项正确；故选D．变式11.下列说法中，错误的是（）A.射线AB和射线BA是同一条射段B.经过两点只能作一条直线C.经过一点可以作无数条直线D.两点之间，线段最短【答案】A【解析】【分析】直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案．【详解】解：A、射线AB和射线BA不是同一条射线，故此选项错误，符合题意；B、经过两点只能作一条直线，正确，不合题意；C、经过一点可以作无数条直线，正确，不合题意；D、两点之间，线段最短，正确，不合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了线段的性质以及直线的性质，正确把握相关性质是解题关键．题型二：直线交点个数问题n条直线相交，最多有1＋2＋3＋…＋（n﹣1）＝(1)2n n个交点，然后计算求解即可．例2.平面上有,,,A B C D四点，经过任意两点画一条直线，最多能画（）条直线．A.3B.4C.5D.6【详解】解：如图，平面上有,,,A B C D四点，经过任意两点画一条直线，所有直线有：直线AB、直线AC、直线AD、直线BC、直线BD、直线CD，共六条，即最多能画6条直线，故选：D．变式22.如图，两条直线相交，有一个交点．三条直线相交，最多有三个交点，四条直线相交，最多有六个交点，当有10条直线相交时，最多有多少个交点（）A.60B.50C.45D.40【答案】C 【解析】【分析】根据交点个数的变化规律：n条直线相交，最多有1+2+3+…+(n﹣1)=(1)2n n-个交点，然后计算求解即可．【详解】解：两条直线相交，最多一个交点，三条直线相交，最多有三个交点，1+2=3=3(31)2-，四条直线相交，最多有六个交点，1+2+3=6=4(41)2-，……∴n条直线相交，最多有1+2+3+…+(n﹣1)=(1)2n n-个交点，故10条直线相交，最多有1+2+3+…+9=10(101)2-=5×9=45个交点，故选：C．【点睛】本题考查了图形的变化规律探究，在相交线的基础上，着重培养学生的观察，猜想归纳的能力，掌握从特殊到一般的方法，找出变化规律是解答的关键．题型三：线段的和差当几条线段是首尾相连且位于同一直线上的线段时，线段的和差结果也是一条线段，此时可以利用延长法和截补法进行计算．例3.如图，线段AB＝5.C，D，E分别为线段AB（端点A，B除外）上顺次三个不同的点，图中所有的线段和等于26，则CE＝_____．【详解】解：由已知得：AC＋AD＋AE＋AB＋CD＋CE＋CB＋DE＋DB＋EB＝26，即（AC＋CB）＋（AD＋DB）＋（AE＋EB）＋AB＋（CD＋DE）＋CE＝AB＋AB＋AB＋AB ＋CE＋CE＝4AB＋2CE＝26，∵AB＝5，∴4×5＋2CE＝26，∴CE＝3，故答案为：3变式33.已知：如图，点,C D 在线段AB 上，点D 是AB 中点，1,123AC AB AB ==．求线段CD 长【答案】2【解析】【分析】根据中点的定义以及题意，分别求出线段AD 与线段AC 的长度，即可得出结论．【详解】∵D 为线段AB 的中点，∴AD =12AB =12×12=6，∵AC =13AB ，∴AC =13×12=4，∴CD =AD -AC =6-4=2．【点睛】本题考查线段中点相关的计算，理解中点的定义，掌握线段中的计算法则是解题关键．题型四：线段的中点和n 等分点点M 将线段AB 分成相等的两条线段AM 与MB ，点M 叫做线段AB 的中点．类似的还有线段的三等分点、四等分点等．①线段的中点例4.1如图，已知AB ＝10cm ，点E 、C 、D 在线段AB 上，且AC ＝6cm ，点E 是线段AC 的中点，点D 是线段BC 的中点．（1）求BD 的长；（2）求DE 的长．【详解】解：（1）∵AB ＝10cm ，且AC ＝6cm ．∴BC ＝AB ﹣AC ＝4cm ．∵点D 是线段BC 的中点．∴BD ＝CD ＝12BC ＝2cm ．（2）∵点E 是线段AC 的中点．∴EC ＝12AC ＝3cm ．∴DE ＝EC ＋CD ＝5cm ．变式4.14.如图，C 是线段AB 上的一点，且13,5AB CB ==，M 、N 分别是AB 、CB 的中点，则线段MN 的长是_____________．【答案】4【解析】【分析】根据中点定义可得到AM =BM =12AB ，CN =BN =12CB ，再根据图形可得NM =BM -BN ，即可得到答案．【详解】解：∵M 是AB 的中点，∴AM =BM =12AB =6.5，∵N 是CB 的中点，∴CN =BN =12CB =2.5，∴MN =BM -BN =6.5-2.5=4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了求两点间的距离，解题的关键是根据条件理清线段之间的关系．②线段的n 等分点例4.2若线段AB ＝12cm ，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段AC 的三等分点，则线段BD 的长为（）A .2cm 或4cmB .8cmC .10cmD .8cm 或10cm【详解】解：∵C 是线段AB 的中点，AB ＝12cm ，∴AC ＝BC ＝12AB ＝12×12＝6（cm ），点D 是线段AC 的三等分点，①当AD ＝13AC 时，如图，BD ＝BC ＋CD ＝BC ＋23AC ＝6＋4＝10（cm ）；②当AD ＝23AC 时，如图，BD ＝BC ＋CD ′＝BC ＋13AC ＝6＋2＝8（cm ）．所以线段BD 的长为10cm 或8cm ，故选：D ．变式4.25.已知线段20AB =，14AM BM =，点P 、Q 分别是AM 、AB 的中点．（1）如图，当点M 在线段AB 上时，则PQ 的长为___________．（2）当点M 在直线AB 上时，则PQ 的长为__________．【答案】(1).8(2).8或403【解析】【分析】（1）根据AB 的长度以及AM 、BM 之间的关系，可得出AM 和BM 的长度，再由P 、Q 分别为AM 、AB 的中点，即可得出AP 、AQ 的长，再利用PQ=AQ-AP 即可得出答案；（2）由（1）可得当M 在线段AB 上时PQ 的值，当M 在线段AB 外时，根据AM 和BM 的关系可得出两者的长度，再由P 、Q 分别为AM 、AB 的中点，即可得出AP 、AQ 的长，再利用PQ=AQ+AP 即可得出答案.【详解】解：（1）如图，当点M 在线段AB 上时20AB = ,14AM BM =,145AM AB ∴==,4165BM AB ==, 点P 、Q 分别是AM 、AB 的中点,122AP AM ∴==,1102AQ AB ==,1028PQ AQ AP ∴=-=-=,故答案为：8.（2）由（1）得：当点M 在线段AB 上时，8PQ =；当点M 在线段AB 外时，如图：20AB = ,14AM BM =,132044AB BM AM BM BM BM ∴=-=-==,803BM ∴=,203AM = 点P 、Q 分别是AM 、AB 的中点,11023AP AM ∴==,1102AQ AB ==,10401033PQ AQ AP ∴=+=+=,故答案为：8，403.【点睛】本题考查线段长度的计算以及中点的应用，解题时注意“数形结合”数学思想的应用，考虑多种情况分析.题型五：角的四则运算角也是一种基本的几何图形．度、分、秒是常用的角的度量单位．把一个周角360°等分，每一份就是一度的角，记作1°；把1度的角60等分，每份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每份叫做1秒的角，记作1″．例5.计算：（1）用度表示30936'''︒=________________．（2）计算901840292139'''︒-︒-︒=_______________．（结果用度、分、秒表示）【详解】解：（1）30936309.630.16''''︒=︒=︒；（2）901840292139'''︒-︒-︒＝49492139''︒-︒＝2810'︒变式56.计算：70281529'''︒+︒=_______．183627326''''''︒-︒=__________．【答案】(1).852829'''︒(2).11356'''︒【解析】【分析】根据角度运算法则求解即可，注意角度的运算中，进率为60．【详解】70281529852829''''''︒+︒=︒；183627326183562732611356'''''''''''''''︒-︒=︒-︒=︒；故答案为：852829'''︒；11356'''︒．【点睛】本题考查角度的运算，注意运算法则以及进率是解题关键．题型六：角的比较角的大小与边的长短没有关系．角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，相反，张开的越小，角则越小．常用角的比较方法1、测量法：即用量角器量两个角的度数，角的度数越大，角越大．2、叠合法：移动一个角使它的顶点和一条边与另一个角的顶点和一边重合，而其余的边在重合边的同侧，通过不重合两边的位置来判断两个角的大小．例6.如图所示，如果∠AOD＞∠BOC，那么下列说法正确的是（）A.∠AOB＜∠CODB.∠AOB＞∠CODC.∠AOB＝∠CODD.∠AOB与∠COD的大小关系不能确定【详解】解：因为∠AOD与∠BOC中都包含∠BOD，所以都减去它，不等式仍成立，∵∠AOD＞∠BOC，∴∠AOD－∠BOD＞∠BOC－∠BOD，即∠AOB＞∠COD．故选B．变式67.如图，下列各式中错误的是（）A.∠AOC＝∠1＋∠2B.∠AOC＝∠AOD－∠3C.∠1＋∠2＝∠3D.∠AOD－∠1－∠3＝∠2【答案】C【解析】【分析】结合图形根据角的和差关系逐项作出判断即可求解．【详解】解：A.∠AOC＝∠1＋∠2，判断正确，不合题意；B.∠AOC＝∠AOD－∠3，判断正确，不合题意；C.∠1＋∠2＝∠AOC，∠AOC与∠3不一定相等，判断错误，符合题意；D.∠AOD－∠1－∠3＝∠2判断正确，不合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了根据图形确定角的和差关系，理解题意并结合图形作出判断是解题关键．题型七：三角板中的角度直角三角板一共只有两种：一种是内角为30°，60°，90°的三角板，另一种是内角为45°，45°，90°的三角板．在没有做特殊说明的情况下，默认所有三角板均符合以上特征．例7.将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45︒角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则1∠的度数为（）A .75︒B .60︒C .45︒D .85︒【详解】解：如图，由题意可得：245∠=︒，360∠=︒根据三角形的内角和为180︒可得：123180∠+∠+∠=︒∴118023180456075=︒--=︒-︒-︒=︒∠∠∠故答案选：A变式78.如图，将一副三角板的直角顶点重合，按如图所示摆放，则AOD BOC ∠+∠=______．【答案】180︒【解析】【分析】利用角的和差转化运算即可．【详解】解：∵AOD BOC∠+∠()AOB BOD COD BOD =++-∠∠∠∠AOB BOD COD BOD =∠+∠+∠-∠AOB COD =∠+∠9090180=︒+︒=︒故答案为：180︒【点睛】本题主要考查了三角板角度的计算，熟悉掌握三角板的度数是解题的关键．题型八：角平分线与角的n 等分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．类似的，还有角的三等分线……①角平分线例8.1如图，∠AOB ＝12∠BOD ，OC 平分∠AOD ，下列四个等式中正确的是（）①∠BOC ＝13∠AOB ；②∠DOC ＝2∠BOC ；③∠COB ＝12∠BOA ；④∠COD ＝3∠COB ．A .①②B .②③C .③④D .①④【详解】解：因为∠AOB ＝12∠BOD ，所以∠AOB ＝13∠AOD ，因为OC 平分∠AOD ，所以∠AOC ＝∠DOC ＝12∠AOD ，所以∠BOC ＝∠AOC －∠AOB ＝12∠AOD －13∠AOD ＝16∠AOD ＝12∠AOB ，故①错误，③正确；因为∠DOC ＝12∠AOD ，∠BOC ＝16∠AOD ，所以∠DOC ＝3∠BOC 故②错误，④正确．变式8.19.如图，射线OE ，OA ，OD 均在BOC ∠内部，且0180BOC ︒<∠<︒．OE 平分BOC ∠，OD 平分AOC ∠．请从A ，B 两题中任选一题作答．我选择______．A ．若30AOC ∠=︒，130BOC ∠=︒，则DOE ∠的度数为______︒．B ．若AOB α∠=︒，则DOE ∠的度数为______︒．（用含α的式子表示）【答案】(1).A 或B (2).50°(3).2α︒【解析】【分析】A ：根据角平分线的定义得到∠COE ，∠COD 的度数，再利用角的和差计算结果；B ：根据角平分线的定义得到∠COE =12∠BOC ，∠COD =12∠AOC ，再利用角的和差计算结果．【详解】解：A 题：∵OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∴∠BOE =∠COE =12∠BOC ，∠AOD =∠COD =12∠AOC ，又∵∠AOC =30°，∠BOC =130°，∴∠DOE =∠COE -∠COD=12∠BOC -12∠AOC =12（∠BOC -∠AOC ）=12×（130°-30°）=50°；B 题：∵OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∴∠BOE =∠COE =12∠BOC ，∠AOD =∠COD =12∠AOC ，又∵∠AOB =∠BOC -∠AOC ，∴∠DOE =∠COE -∠COD=12∠BOC -12∠AOC =12（∠BOC -∠AOC ）=12∠AOB =2α︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．②角的n 等分线例8.2如图，OC 平分∠AOB ，OD 为∠BOC 内一条射线，且∠AOD ＝2∠BOD ．（1）若已知∠AOB ＝120°，试求∠COD 的度数；（2）若已知∠COD ＝18°，试求∠AOB 的度数；【详解】解：（1）∵∠AOB ＝120°，OC 平分∠AOB ，∴∠AOC ＝∠COB ＝60°，又∵∠AOD ＝2∠BOD ，∵∠AOD ＋∠BOD ＝120°，∴2∠BOD＋∠BOD＝120°，∴∠BOD＝40°，∴∠COD＝∠BOC－∠BOD＝60°－40°＝20°，（2）∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠COB＝1AOB 2∠，∵∠AOD＝2∠BOD，∴∠AOD＋∠BOD＝∠AOB，∴∠BOD＝1AOB 3∠，∵∠COD＝∠BOC－∠BOD＝1AOB2∠－1AOB3∠＝18°，∴∠AOB＝6×18°＝108°．变式8.210.如图，AB是一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，∠DOE=13∠BOD，∠COE=72°，则∠EOB=（）A.36°B.72°C.108°D.120°【答案】B【解析】【分析】设∠DOE=x，根据题意得到∠BOE=2x，∠AOC=∠COD=72°﹣x，再根据平角为180度，得到2×（72°﹣x）+3x=180°，解得x=36°，即可得到∠BOE的度数．【详解】解：如图，设∠DOE=x，∵∠DOE=13∠BOD，∴∠BOE=2x，又∵OC是∠AOD的平分线，∠COE=72°，∴∠AOC=∠COD=72°﹣x；∴2×（72°﹣x）+3x=180°，解得x=36°，∴∠BOE=2x=2×36°=72°．故选B ．题型九：余角和补角的性质如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．等角（同角）的补角（余角）相等．例9.如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，12740'∠=︒，则2∠的余角是（）A .1720'︒B .3220︒'C .3320'︒D .5820︒'【详解】解：由题意可得：∠2＋∠EAC ＝90°∴∠2的余角是∠EAC∴∠EAC ＝601602740'3220'︒-∠=︒-︒=︒故选：B ．变式911.已知∠AOB ＝50°，∠BOC 与∠AOB 互为余角，则∠AOC 的度数等于__．【答案】90°或10°【解析】【分析】根据互余的两个角的和为90°解得40BOC ∠=︒，再分两种情况讨论解题即可．【详解】解： ∠BOC 与∠AOB 互为余角，90BOC AOB ∴∠+∠=︒ ∠AOB ＝50°，90905040BOC AOB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒分两种情况讨论，如图：1190AOC AOB BOC ∴∠=∠+∠=︒，22504010AOC AOB BOC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：90°或10°．【点睛】本题考查余角的性质，涉及分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．实战练12.下列语句正确的有（）（1）线段AB 就是A 、B 两点间的距离；（2）画射线10cm AB =；（3）A ，B 两点之间的所有连线中，线段AB 最短；（4）如果AB BC =，那么B 是AC 的中点．A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】A 【解析】【分析】根据两点间的距离，射线的定义与性质，线段的中点的定义，对各小题分析判断即可得解．【详解】解：因为线段AB 的长度是A 、B 两点间的距离，所以（1）错误；因为射线没有长度，所以（2）错误；因为两点之间，线段最短．即A ，B 两点之间的所有连线中，最短的是A ，B 两点间的距离，所以（3）正确；因为点A 、B 、C 不一定共线，所以（4）错误．综上所述，正确的有1个．故选：A ．【点睛】本题考查的是线段、射线的定义与性质，线段的中点，两点间的距离，要求学生准确把握概念与性质是解决本题的关键．13.如图所示，2条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多能有3个交点，4条直线相交最多能有6个交点，5条直线相交最多能有10个交点，……，n （n ≥2，且n 是整数）条直线相交最多能有（）A.()23n -个交点B.()36n -个交点C.()410n -个交点D.()112n n -个交点【答案】D 【解析】【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：()112n n -【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2=3个交点；4条直线相交有1+2+3=6个交点；5条直线相交有1+2+3+4=10个交点；6条直线相交有1+2+3+4+5=15个交点；…n 条直线相交有1+2+3+4+…+（n-1）=()112n n -故选：D【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有()112n n -个交点．14.在开会前，工作人员进行会场布置在主席台上由两人拉着一条绳子然后以“准绳”为基准摆放茶杯这样做的理由是（）A.两点之间线段最短B.两点确定一条直线C.两点之间，直线最短D.过一点可以作无数条直线【答案】B 【解析】【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线可得答案．【详解】解：由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是两点确定一条直线，故选：B ．【点睛】此题主要考查了直线的性质，关键是掌握两点确定一条直线．15.在锐角AOB ∠内部由O 点引出3种射线，第1种是将AOB ∠分成10等份；第2种是将AOB ∠分成12等份；第3种是将AOB ∠分成15等份，所有这些射线连同OA ､OB 可组成的角的个数是（）A.595B.406C.35D.666【答案】B 【解析】【分析】设锐角=AOB α∠，第1种中间由9条射线，每个小角为10α，第2种中间由11条射线，每个小角为12α，第3种中间由14条射线，每个小角为15α，利用AOB∠内部的三种射线与OA 形成的角相等求出重合的射线，第一种第m 被倍小角为10m α，第二种n 倍小角12n α，与第三种p 倍小角15p α相同，则=101215m n p =，先看三种分法中无同时重合的，再看每两种分法重合情况，第1种,第2种,共重合1条，第1种,第3种，共重合4条，，第2种,第3种,共重合2条，在AOB ∠中一共有射线数29条射线，29条射线分成的小角最多28个，所有角=1+2+3+…+28求和即可．【详解】设锐角=AOB α∠第1种是将AOB ∠分成10等份；中间由9条射线，每个小角为10α，第2种是将AOB ∠分成12等份；中间由11条射线，每个小角为12α，第3种是将AOB ∠分成15等份，中间由14条射线，每个小角为15α，设第1种,第2种，第3种中相等的角的射线重合为1条，第一种第m 倍小角为10m α，第二种n 倍小角12n α，与第三种p 倍小角15p α相同则=101215m n p=，先看三种分法中同时重合情况::10:12:15m n p =除OA ，OB 外没有重合的，再看每两种分法重合情况第1种,第2种,:5:6m n =，第一种第5条与第二种第6条重合，共重合1条，第1种,第3种，:2:3m p =，m=2，4，6，8,与P=3，6，9，12重合，共重合4条，第2种,第3种,:4:5n p =,n=4，8与p=5，10重合，共重合2条，在AOB ∠中一共有射线数=2+9+11+14-1-2-4=29条射线，29条射线分成的所有角=1+2+3+…+28=()12828+1=4062⨯⨯个角．故选择：B ．【点睛】本题考查射线分角问题，不同角的个数求法，掌握掌握三种分法中排出重合射线的条数是解题关键．16.下列说法中，正确的有（）①两条射线组成的图形叫角；②两点之间，直线最短；③同角（或等角）的余角相等；④连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B 【解析】【分析】由角的概念判断①，由线段的性质判断②，由补角与余角的性质判断③，由两点间的距离概念判断④，从而可得答案．【详解】解：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，故①说法错误，不符合题意，两点之间，线段最短，故②说法错误，不符合题意；同角（或等角）的余角相等，故③说法正确，符合题意；连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离，故④说法正确，符合题意；故选：.B 【点睛】本题考查的是角的概念，线段的性质，补角与余角的性质，两点间的距离，掌握以上知识是解题的关键．17.如图所示，点A 、O 、E 在一条直线上，90BOD AOC ∠=∠=︒，那么下列各式中错误的是（）A.AOB COD ∠=∠B.BOC DOE ∠=∠C.AOB BOC ∠=∠D.COE BOD∠=∠【答案】C 【解析】【分析】根据角的和与差进行比较，BOD BOC AOC BOC ∠-∠=∠-∠，即AOB COD ∠=∠；利用90AOC COE BOD ∠=∠=∠=︒，选项D 正确，再减去共同角COD ∠，可得BOC DOE ∠=∠，由此得到正确选项．【详解】∵90BOD AOC ∠=∠=︒∴BOD BOC AOC BOC ∠-∠=∠-∠即AOB COD ∠=∠，所以A 正确；∵90BOD AOC ∠=∠=︒∴90AOC COE BOD ∠=∠=∠=︒，所以D 正确；∴BOD COD COE COD ∠-∠=∠-∠即BOC DOE ∠=∠，所以B 正确．故选C ．【点睛】考查角的和与差的知识点，学生要掌握等量代换的方法找到相等的角，熟悉了解角的和与差是解题的关键．18.如图，90AOB ∠=︒，AOC ∠为AOB ∠外的一个锐角，且40AOC ∠=︒，射线OM 平分BOC ∠，ON 平分AOC ∠，则MON ∠的度数为（）．A.45︒B.65︒C.50︒D.25︒【答案】A【解析】【分析】根据题意，先求得∠COB 的值；OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，则可求得∠AOM 、∠AON 的值；∠MON=∠AOM+∠AON ，计算得出结果．【详解】∵∠AOB=90°，且∠AOC=40°，∴∠COB=∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，∵OM 平分∠BOC ，∴∠BOM=12∠BOC=65°，∴∠AOM=∠AOB-∠BOM=25°，∵ON 平分∠AOC ，∴∠AON=12∠AOC=20°，∴∠MON=∠AOM+∠AON=45°．∴∠MON 的度数是45°．故选：A ．【点睛】本题考查了余角的计算，角的计算，角平分线的定义．首先确立各角之间的关系，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化是解题的关键．19.火车往返于A 、B 两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有不同的车票______种．【答案】30．【解析】【分析】根据每条线段就有两种车票，每两点就是一条线段，可得答案．【详解】车票从左到右有：AC、AD、AE、AF、AB，CD、CE、CF、CB，DE、DF、DB，EF、EB，FB，15种从右到左有：BF、BE、BD、BC、BA，FE、FD、FC、FA，ED、EC、EA，DA、DC，CA，15种．火车往返于A、B两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有30种不同的车票．故答案为：30．【点睛】本题考查了线段的数法应用，在线段的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复，注意：每条线段有两种车票．20.将一幅三角板的两个直角顶点重合摆放到桌面上，如图，若∠BOC＝3428'︒，则∠AOD＝____．【答案】145°32′【解析】【分析】从图中可以看出，∠AOC=90°-∠BOC，求出∠AOC，再根据∠AOD =∠AOC +∠COD 求出即可【详解】由题意得∠AOB =∠COD =90°∵∠BOC ＝3428'︒∴∠AOC =90°-∠BOC =90°-3428'︒=5532︒′∴∠AOD =∠AOC +∠COD =5532︒′+90°=145°32′故答案为145°32′【点睛】本题考查了角的计算，属于基础题，关键是正确利用各个角之间的关系．21.如图，已知∠DAE=∠EAF ，∠BAD=∠CAF ，则下列结论：①AD 平分BAF ∠；②AF 平分DAC ∠；③AE 平分DAF ∠；④AF 平分EAC ∠；⑤AE 平分BAC ∠.正确的有__________．（只填序号）【答案】③⑤【解析】【分析】根据∠DAE=∠EAF ，∠BAD=∠CAF 得到AE 分别是∠DAF 和∠BAC 的角平分线，即可求解.【详解】∵∠DAE=∠EAF ，∴AE 是∠DAF 的角平分线，∵∠BAD=∠CAF∴∠BAD+∠DAE=∠CAF+∠EAF ，即∠BAE=∠CAE,∴AE 是∠BAC 的角平分线故③⑤正确，故填：③⑤.【点睛】此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是数轴角平分线的性质与判定.22.①2330︒'=_______°；②0.5°=______′=______″【答案】(1).23.5(2).30(3).1800【解析】【分析】根据160'︒=，1'60''=进行单位换算即可求解.【详解】①302330'2330'23()23.560︒=︒+=︒+︒=︒；②0.50.560'30'︒=⨯=，0.530'3060''1800''︒==⨯=，故答案为：23.5；30；1800.【点睛】本题主要考查了度分秒的单位换算，熟练掌握单位换算技巧及单位之间的进率是解决此类问题的关键.23.24.38︒=______度______分______秒.【答案】(1).24(2).22(3).48【解析】【分析】根据大单位化小单位乘以进率，其中进率为60，即可得出结果.【详解】24.38︒240.38=︒+︒2422.8'=︒+24220.8''=︒++242248'''=︒++242248'''=︒.【点睛】本题考查了度分秒之间的换算，掌握其中进率为60是关键，大单位化小单位应乘以进率是核心.24.如图，已知点B 在线段AC 上，9AB =，6BC =，P 、Q 分别为线段AB 、BC 上两点，13BP AB =，13CQ BC =，则线段PQ 的长为_______．【答案】7【解析】【分析】根据已知条件算出BP 和CQ ，从而算出BQ ，再利用P A =BP +BQ 得到结果．【详解】解：∵AB =9，BP =13AB ，∴BP =3，∵BC =6，CQ =13BC ，∴CQ =2，∴BQ =BC -CQ =6-2=4，∴PQ =BP +BQ =3+4=7，故答案为：7．【点睛】本题考查了两点间距离，线段的和差，熟练掌握线段上两点间距离的求法，灵活运用线段的和差倍分关系解题是关键．25.如图，O 是直线AB 上一点，OC 为一条射线，射线OM 平分∠AOC ，若∠AOC ＝76°，则∠BOM 等于__________．【答案】142︒【解析】【分析】根据角平分线的定义求出∠AOM 的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．【详解】解：∵∠AOC =76°，射线OM 平分∠AOC ，∴∠AOM =12∠AOC =12×76°=38°，∴∠BOM =180°-∠AOM =180°-38°=142°，故答案为：142°．【点睛】本题考查角平分线，熟知角平分线的性质是解题的关键．26.如图，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段AB 上，且13AD AB =．（1）若4cm AD =，求线段CD 的长．（2）若3cm CD =，求线段AB 的长．【答案】（1）1.5cm ；（2）18cm【解析】【分析】（1）先求出AB 的长，再结合线段中点的定义求出AC 的长，进而即可求（2）设AB =x cm ，则13AD x =cm ，根据线段的中点的定义，列出方程，进而即可求解．【详解】（1）∵13AD AB =，AD =4cm ，∴AB =3×4=12cm ，∵点C 是线段AB 的中点，∴AC =12AB =11262⨯=cm ，∴CD =AC -AD =6-4=2cm ；（2）设AB =x cm ，则13AD x =cm ，∵点C 是线段AB 的中点，∴AB =2（AD +CD ），即x =2（13x +3），解得：x =18，∴AB =18cm ．【点睛】本题主要考查线段的和差倍分以及一元一次方程的应用，利用一元一次方程解决问题，是解题的关键．27.A ，B 两地相距a 千米，C 地在AB 的延长线上，且3BC a =千米，D 是A 、C 两地的中点．（1）求AD 长（结果用含a 的代数式表示）．（2）若90BD =千米，求a 的值．（3）甲、乙两车分别从A 、D 两地同时出发，都沿着直线AC 匀速去C 地，经4小时甲追上乙．当甲追上乙后甲马上原路返回，甲返回行驶1小时时发现甲车距D 地50千米，已知600a =千米，求乙车行驶的平均速度【答案】（1）2=3AD a 千米；（2）270a =千米；（3）乙车平均速度为50km/h 或503km/h 【解析】【分析】（1）由题意易得43AC a =千米，进而根据点D 是A 、C 的中点可求解；（2）由（1）23AD a =千米，则有2133BD a a a =-=千米，然后由BD=90千米可求（3）由题意易得22600=40033AD a ==⨯km ，11600=20033BC a ==⨯km ，进而可得1小时内甲比乙多行驶100km ，设乙速度为xkm /h ，则甲速度为（x ＋100）km /h ，然后可得甲距离A 为()()()41001003300x x x +-+=+km ，则可分①甲在D 地左50km ，②甲在D 地右50km ，最后列方程进行求解即可．【详解】解：（1）AB a = 千米，3BC a =千米，43AC a ∴=千米， D 是A 、C 两地的中点，1223AD AC a ∴==千米；（2）由（1）23AD a =千米，BD AB AD =- ，2133BD a a a ∴=-=千米，90BD = 千米，1=903a ∴=270a ∴（3）600a = ，22600=40033AD a ∴==⨯km ，11600=20033BC a ==⨯km ，由题甲、乙之间相距400km ，4小时后甲追上乙，∴1小时内甲比乙多行驶100km ，∴设乙速度为xkm /h ，则甲速度为（x ＋100）km /h ，由题知，甲返回行驶了1h ，∴甲距离A 为()()()41001003300x x x +-+=+km ，甲车距D 地50km ，∴甲可能在D 地左50km 或右50km ，①甲在D 地左50km ，此时甲距离A 为5040050=350AD -=-，3300350x +=，解得：503x =，②甲在D 地右50km ，此时甲距离A 为5040050=450AD +=+，3300450x +=，解得：50x =，综上所述：乙车平均速度为50km/h 或503km/h ．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用及线段的和差关系，熟练掌握一元一次方程的应用及线段的和差关系是解题的关键．培优练28.如图，从点O 引出6条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，且120AOB ∠=︒，OF 平分BOC ∠，OE 平分AOD ∠，135EOF ∠=︒．（1）若BOF m ∠=︒，则AOE ∠=_________︒（用含m 的代数式表示）；（2）求COD ∠的度数．【答案】（1）（105-m ）；（2）45°【解析】【分析】（1）利用周角的定义，根据∠AOE =360°-∠AOB -∠EOF -∠BOF 得出结果；（2）设∠BOF =α，∠AOE =β，根据角平分线的定义得到∠COF =∠BOF =α，∠DOE =∠AOE =β，求出∠BOF +∠AOE =105°，根据∠EOF 得到α+β+∠COD =150°，结合α+β=105°即可求出结果．【详解】解：（1）∵∠AOB =120°，∠EOF =135°，∠BOF =m °，∴∠AOE =360°-∠AOB -∠EOF -∠BOF=360°-120°-135°-m °=（105-m ）°；（2）设∠BOF =α，∠AOE =β，∵OF 平分∠BOC ，OE 平分∠AOD ，∴∠COF =∠BOF =α，∠DOE =∠AOE =β，∵∠EOF =∠COF +∠DOE +∠COD =150°，∠BOF +∠AOE =360°-∠AOB -∠EOF =360°-120°-135°=105°，∴α+β+∠COD =150°，α+β=105°，∴∠COD =150°-（α+β）=45°．【点睛】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，求角度的方法一般是转化为角的和、差计算．29.如图，已知80,AOB OC ∠=︒为AOB ∠所在平面内一条射线，OD 平分AOC ∠，OE 平分BOC ∠．（1）如图1，当OC 在AOB ∠内部时，则DOE ∠=_______度（直接写出结果）；（2）如图2，当OC 在AOB ∠外部时，求DOE ∠的度数；（3）如图3，射线OA 和OB 所在的直线分别为直线AM 和直线BN ，当OC 在MON ∠内部时，根据题意画出符合要求的图形，并求出DOE ∠的度数．【答案】（1）40︒；（2）40DOE =︒∠；（3）画图见解析，140DOE ∠=︒【解析】【分析】（1）由OD 平分AOC ∠，OE 平分BOC ∠，可得11,,22DOC AOC COE BOC ∠=∠∠=∠再利用()12DOE DOC COE AOC BOC ∠=∠+∠=∠+∠，从而可得答案；（2）由OD 平分,AOC OE ∠平分BOC ∠，可得11,22DOC AOC EOC COB ∠=∠∠=∠再利用DOE DOC EOC ∠=∠-∠，从而可得答案；（3）如图所示，由OD 平分,AOC OE ∠平分BOC ∠，可得11,22DOC AOC EOC COB ∠=∠∠=∠再求解36080280,BOC COA ∠+∠=︒-︒=︒再利用1()2DOE DOC EOC AOC BOC ∠=∠+∠=∠+∠，从而可得答案．【详解】解：（1） OD 平分AOC ∠，OE 平分BOC ∠，11,,22DOC AOC COE BOC ∴∠=∠∠=∠()1140,22DOE DOC COE AOC BOC AOB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒故答案为：40︒（2）OD 平分,AOC OE ∠平分BOC ∠，11,22DOC AOC EOC COB ∴∠=∠∠=∠DOE DOC EOC∠=∠-∠ 11111()804022222DOE AOC COB AOC COB AOB ∴∠=∠-∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒（3）如图所示．OD 平分,AOC OE ∠平分BOC ∠，11,22DOC AOC EOC COB ∴∠=∠∠=∠80AOB ∠=︒36080280,BOC COA ∴∠+∠=︒-︒=︒1()1402DOE DOC EOC AOC BOC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，周角的含义，掌握角平分线的含义与角的和差是解题的关键．30.如图，已知点C 在线段AB 上，点D 、E 分别在线段AC 、BC上，（1）观察发现：若D 、E 分别是线段AC 、BC 的中点，且12AB =，则DE =_______；（2）拓展探究；若2AD DC =，2BE CE =，且10AB =，求线段DE 的长；（3）数学思考：若AD kDC =，BE kCE =（k 为正数），则线段DE 与AB 的数量关系是________．【答案】（1）6；（2）103；（3）()1AB k DE =+【解析】【分析】（1）根据中点的定义，结合线段的和、差计算即可（2）利用线段之间的和、差关系倍数关系计算即可（3）结合（2）的求解，再利用线段之间的和、差关系倍数关系计算即可【详解】（1）D Q 、E 为线段AC ，BC 的中点11,22DC AC CE BC ∴==()12DC CE AC BC ∴+=+,DE DC CE AB AC BC=+=+ 12DE AB ∴=1211262AB DE =∴=⨯= （2）2,2AD DC BE CE== AB AD DC CE BE =+++ ，()223AB DC DC CE CE DC CE ∴=+++=+10,AB DE DC CE==+ 3310103DE ABDE DE ∴=∴=∴=（3）,AD kDC BE kCE== AB AD DC CE BE =+++ ，DE DC CE=+()()1AB kDC DC CE kCE k DC CE ∴=+++=++()1k DE AB∴+=【点睛】本题考查了线段n 等分点的有关计算，掌握线段之间和、差倍数关系是解题关键．。

考点12 点、线、面、角一、直线、射线、线段1．直线的性质（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；（3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．2．线段的性质两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．3．线段的中点性质若C是线段AB中点，则AC=BC=12AB；AB=2AC=2BC．4．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．5．垂线的性质（1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；（2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．6．点到直线的距离从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．二、角1．角有公共端点的两条射线组成的图形．2．角平分线（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =12∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．3．度、分、秒的运算方法1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．4．余角和补角（1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；（2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．5．方向角和方位角在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．三、立体图形1．常见的立体图形有：球、柱体和锥体．圆柱和棱柱的区别：圆柱的底面是圆，棱柱的底面是多边形；圆柱的侧面是曲面，棱柱的侧面是四边形；圆锥和棱锥的区别：圆锥的底面是圆，侧面是曲面；棱锥的底面是多边形，侧面是三角形．2．点动成线，线动成面，面动成体，线没有粗细，点没有大小．3．设立体图形的面数为F，顶点数为V，棱数为E，则F+V-E=2．4．正方体的平面展开图有如下11种类型：考向一直线、射线、线段在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面：①按照已知条件画出图形是正确解题的关键；②观察图形，找出线段之间的关系；③简单的问题可通过列算式求出，复杂的问题可设未知数，利用方程解决．典例1 如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理是A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行【答案】B【解析】建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法运用到的数学原理是：两点确定一条直线，故选B．典例2 已知AB=10，C是射线AB上一点，且AC=3BC，则BC的长为A．2.5 B．103C．2.5或5 D．103或5【答案】C【解析】①如图，10×14=2.5；②如图，10×12=5，故选C．1．下列叙述中，①延长直线AB到点C；②延长射线AB到点C；③延长线段AB到点C；④反向延长线段BA到点C；⑤反向延长射线AB到点C，其中正确的有A．1 B．2C．3 D．42．如图，在数轴上有A、B、C、D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A、D两点表示的数分别为-5和6，且AC的中点为E，BD的中点为M，BC之间距点B的距离为13BC的点N，则该数轴的原点为A．点E B．点FC．点M D．点N考向二角1．角平分线必须同时满足三个条件：①是从角的顶点引出的射线；②在角的内部；③将已知角平分．2．类似地，也有角的n等分线，如三等分线，如图，∠1=∠2=∠3=13∠AOD或∠AOD=3∠1=3∠2=3∠3．典例3 一副三角尺按如图所示摆放，已知∠1比∠2的3倍少10°，则∠1的值为A．20°B．70°C．25°D．65°【答案】D【解析】根据图示可知∠1+∠2=90°，根据题意可知∠1=3∠2-10°，所以∠2=（90°+10°）÷4=25°，所以∠1=65°，故选D．【名师点睛】本题考查了互余以及一元一次方程的应用，找到∠1和∠2之间的关系是解决此题的关键． 典例4 如图，要修建一条公路，从A 村沿北偏东75°方向到B 村，从B 村沿北偏西25°方向到C 村．若要保持公路CE 与AB 的方向一致，则∠ECB 的度数为A ．80°B ．90°C ．100°D ．105°【答案】A【解析】如图，由题意可得：AN FB ∥，EC BD ∥，故75NAB FBD ∠=∠=︒，∵25CBF ∠=︒，∴100CBD ∠=︒， 则18010080ECB ∠=-=︒︒︒．故选A ．典例5 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ． （1）若∠AOC =70°，∠DOF =90°，求∠EOF 的度数； （2）若OF 平分∠COE ，∠BOF =15°，若设∠AOE =x °． ①用含x 的代数式表示∠EOF ； ②求∠AOC 的度数．【解析】（1）由对顶角相等可知：∠BOD=∠AOC=70°，∵∠FOB=∠DOF-∠BOD，∴∠FOB=90°-70°=20°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=12∠BOD=12×70°=35°，∴∠EOF=∠FOB+∠BOE=35°+20°=55°．（2）①∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE，∵∠BOE+∠AOE=180°，∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE=∠AOE=x，∵OF平分∠COE，∴∠FOE=12 x．②∵∠BOE=∠FOE-∠FOB，∴∠BOE=12x-15°，∵∠BOE+∠AOE=180°，∴12x-15°+x=180°，解得x=130°，∴∠AOC=2∠BOE=2×（180°-130°）=100°．【名师点睛】本题主要考查的就是角平分线的性质、对顶角的性质以及角度之间的关系，在解决角的问题时，我们一定要将未知的角通过对顶角和角平分线的性质转化为已知的角，然后根据题目中给出的角度进行求解得出答案．对于这种题目还经常会出现一些隐含的条件，我们一定要能够根据题目发现条件．3．计算：18°30′=__________°．4．如图，∠AOB=180°，∠BOC=80°，OD平分∠AOC，∠DOE=3∠COE，求∠BOE．考向三立体图形的平面展开图1．从不同方向看物体，看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线．2．在正方体的平面展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个；展开图中不会出现“田”字形、“凹”字形的形状．典例6 下列各图中，可以是一个正方体的表面展开图的是A．B．C．D．【答案】B【解析】正方体的展开图形共有11种情况，选项中只有B选项符合，故选B．典例7 如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x-y的值为________．【答案】–3【解析】两数互为相反数，和为0．本题应对图形进行分析，可知y对应x，5对应2x–3，由此可得：y=–x，2x–3=–5，解得：x=–1，y=1，∴2x–y=2×（–1）–1=–3．故答案为：–3．5．如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的A．B．C．D．6．如图是一个正方体包装盒的表面积展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填在A、B、C内的三个数依次为A．0，-2，1 B．0，1，2C．1，0，-2 D．-2，0，17．如图是正方体的表面展开图，折叠成正方体后，其中哪两个完全相同__________．1．将如图所示的几何图形，绕直线l旋转一周得到的立体图形A．B．C．D．2．如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是A．B．C．D．3．如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为A．北偏东30°B．北偏东80°C．北偏西30°D．北偏西50°4．如果一个角的余角是50°，那么这个角的度数是A．30°B．40°C．50°D．130°5．将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2不一定互补的是A．B．C．D．6．如图，A，B，C，D是直线L上顺次四点，M，N分别是AB，CD的中点，且MN=6 cm，BC=1 cm，则AD的长等于A．10 cm B．11 cmC．12 cm D．13 cm7．如图，D是AB的中点，E是BC的中点．（1）若AB=3，BC=5，则DE=__________；（2）若AC=8，EC=3，则AD=__________．8．已知∠α和∠β互为补角，且∠β比∠α小30°，则∠β等于__________°．9．如图，一只蜘蛛从长、宽都为3，高为8的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是__________．10．某人下午6点到7点之间外出购物，出发和回来时发现表上的时针和分针的夹角都为110°，此人外出购物共用了__________分钟．11．已知线段AB=12，CD=6，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧）．（1）当D点与B点重合时，AC=__________；（2）点P是线段AB延长线上任意一点，在（1）的条件下，求PA+PB–2PC的值；（3）M、N分别是AC、BD的中点，当BC=4时，求MN的长．12．已知∠AOB=120°，OC、OD过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB．（1）如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，求∠MON的度数；（2）如图②，若∠COD=50°，∠AOC≠∠DOB，求∠MON的度数；（3）如图③，在∠AOB内，若∠COD=α（0°<α<60°），求∠MON的度数．1．（2019·广西北部湾经济区）如图，将下面的平面图形绕直线l 旋转一周，得到的立体图形是A ．B ．C ．D ．2．（2019·甘肃）下列四个几何体中，是三棱柱的为A ．B ．C ．D ．3．（2019·毕节）由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是A ．国B ．的C ．中D ．梦4．（2019·遂宁）如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为2-的面与其对面上的数字之积是A ．12-B ．0C ．8-D ．10-5．（2019·玉林）若2945'α=︒，则α的余角等于 A ．6055'︒B ．6015'︒C ．15055'︒D ．15015'︒6．（2019·怀化）与30°的角互为余角的角的度数是 A ．30°B ．60︒C ．70︒D ．90︒7．（2019·梧州）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是A ．30°B ．60︒C ．90︒D ．120︒8．（2019·湖州）已知6032'α∠=︒，则α∠的余角是 A ．2928'︒B ．2968'︒C ．11928'︒D ．11968'︒9．（2019·淄博）如图，小明从A 处沿北偏东40︒方向行走至点B 处，又从点B 处沿东偏南20︒方向行走至点C 处，则ABC ∠等于A ．130︒B ．120︒C ．110︒D ．100︒10．（2019·常州）如果∠α=35°，那么∠α的余角为__________．11．（2019·日照）如图，已知AB =8 cm ，BD =3 cm ，C 为AB 的中点，则线段CD 的长为__________cm ．1．【答案】C【解析】①直线是无限延伸的，不能延长，故本选项错误； ②射线可以反方向延长，不能延长，故本选项错误； ③延长线段AB 到点C ，故本选项正确； ④反向延长线段BA 到点C ，故本选项正确； ⑤反向延长射线AB 到点C ，故本选项正确．变式拓展故选C．2．【答案】D【解析】∵2AB=BC=3CD，∴设CD=x，则BC=3x，AB=1.5x，∵A、D两点表示的数分别为-5和6，∴AD=11，∴x+3x+1.5x=11，解得x=2，故CD=2，BC=6，AB=3，∵AC的中点为E，BD的中点为M，∴AE=EC=4.5，BM=MD=4，则E点对应的数是-0.5，M点对应的数为2，∵BC之间距点B的距离为13 BC的为点N，∴BN=13BC=2，∴AN=5，∴N点对应的数为0，即为原点，故选D．3．【答案】18.5【解析】18°30′=18.5°，故答案为：18.5．4．【解析】∵∠AOB=180°，∠BOC=80°，∴∠AOC=100°，∵OD平分∠AOC，∴∠COD=12∠AOC=50°，又∵∠DOE=3∠COE，∴∠COE=12∠COD=25°，∴∠BOE=∠BOC-∠COE=55°．5．【答案】D【解析】把正方体展开有四种情况：A是2-2-2型；B是1-4-1型；C是1-4-1型；D是1-4-1型，把这几个图形分别折成正方体，会发现三个阴影的面相邻，但又不在同一列上，而且直角三角形的锐角所在的顶点与呈正方形阴影的面共用一个顶点．只有D是上面正方体的展开图，故选D．6．【答案】A【解析】由正方体展开图的特征，相对的面展开后中间会间隔一个面可知，和A相对的是0，和B相对的是2，和C相对的是-1，所以A、B、C内依次填0、-2、1，故选A．7．【答案】（2）（4）【解析】∵（1）菱形对面是×，正方形对面是※，+对面是；（2）菱形对面是×，对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，X，正方形，菱形）；（3）菱形对面是×，对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，菱形，正方形，X）；（4）菱形对面是×，对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，X，正方形，菱形）．∴两个完全相同的是（2）（4）．故答案是：（2）（4）．【名师点睛】此题考查了立体图形的展开图．培养了学生的立体思维与空间想象能力，注意找同一个基准图形，再将其周围四个图案按照顺时针或逆时针顺序排列．1．【答案】C【解析】绕直线l旋转一周，可以得到的圆台，故选C．2．【答案】B【解析】A、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；B、展开得到，能和原图相对，故本选项正确；C、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；D、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误．故选B．3．【答案】A【解析】如图，AP∥BC，∴∠2=∠1=50°．∠3=∠4–∠2=80°–50°=30°，此时的航行方向为北偏东30°，故选A．考点冲关4．【答案】B【解析】设这个角为x°，由题意得：90-x=50，解得：x=40，故选B．5．【答案】D【解析】A、∵∠1+∠2=360°–90°×2=180°，∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；B、∵∠1=30°+90°=120°，∴∠1+∠2=120°+60°=180°，∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；C、∵∠1=180°–60°=120°，∴∠1+∠2=120°+60°=180°，∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；D、∠1度数无法确定，∠2=60°，所以∠1与∠2不一定互补，故本选项符合题意．故选D．6．【答案】B【解析】∵MN=6 cm，∴MB+CN=6-1=5 cm，AB+CD=10 cm，∴AD=11 cm，故选B．7．【答案】4；1【解析】（1）∵D是AB的中点，E是BC的中点，AB=3，BC=5，∴BD=12AB=32，BE=12BC=52，∴DE=BD+BE=3522+=4，故答案为：4．（2）∵EC=3，E是BC的中点，∴BC=2EC=6，∵AC=8，∴AB=AC-BC=8-6=2，∵D是AB的中点，∴AD=12AB=1，故答案为：1．8．【答案】75【解析】∵∠α和∠β互为补角，且∠β比∠α小30°，∴18030αββα∠+∠=︒⎧⎨∠=∠-︒⎩，解得：∠α=105°，∠β=75°，故答案为：75． 9．【答案】10【解析】如图1，AB =()22383130++=，如图2，AB 226810+=13010>，∴最短路径为10，故答案为：10． 10．【答案】40【解析】设此人外出购物共用了x 分钟，则（6−0.5）x =110+110，解得x =40，所以此人外出购物共用了40分钟，故选D ．11．【解析】（1）当D 点与B 点重合时，AC =AB –CD =6；故答案为：6；（2）由（1）得AC =12AB ，∴CD =12AB ， ∵点P 是线段AB 延长线上任意一点， ∴PA +PB =AB +PB +PB ，PC =CD +PB =12AB +PB ， ∴PA +PB –2PC =AB +PB +PB –2（12AB +PB ）=0； （3）如图1，∵M 、N 分别为线段AC 、BD 的中点，∴AM =12AC =12（AB +BC ）=8， DN =12BD =12（CD +BC ）=5，∴MN =AD –AM –DN =9；如图2，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，∴AM=12AC=12（AB–BC）=4，DN=12BD=12（CD–BC）=1，∴MN=AD–AM–DN=12+6–4–4–1=9．12．【解析】（1）∵OC，OD是∠AOB的三等分线，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=13∠AOB=13×120°=40°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，∴∠MOC=12∠AOC=20°，∠DON=12∠DOB=20°，∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=80°．（2）∵射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB，∴∠MOC=12∠AOC，∠DON=12∠DOB，∴∠MOC+∠DON=12（∠AOC+∠DOB），∵∠AOB=120°，∠COD=50°，∴∠AOC+∠DOB=120°-50°=70°，∴∠MOC+∠DON=35°，∴∠MON=50°+35°=85°．（3）∵射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB，∴∠MOC=12∠AOC，∠DON=12∠DOB，∴∠MOC+∠DON=12（∠AOC+∠DOB），∵∠AOB=120°，∠COD=α，∴∠AOC+∠DOB=120°-α，∴∠MOC+∠DON=60°-12α，∴∠MON=60°-12α+α=60°+12α=120()2+︒α．1．【答案】D【解析】面动成体，直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥，长方形绕一边旋转一周可得圆柱， 那么所求的图形是下面是圆锥，上面是圆柱的组合图形．故选D ． 2．【答案】C【解析】A 、该几何体为四棱柱，不符合题意； B 、该几何体为四棱锥，不符合题意； C 、该几何体为三棱柱，符合题意； D 、该几何体为圆柱，不符合题意．故选C ． 3．【答案】B【解析】相对的面的中间要相隔一个面，“中”字所在的面的对面的汉字是“的”，故选B ． 4．【答案】A【解析】数字为2-的面的对面上的数字是6，其积为2612-⨯=-．故选A ． 5．【答案】B【解析】∵2945'α=︒，∴α的余角等于：9029456015''-︒︒︒=．故选B ． 6．【答案】B【解析】与30︒的角互为余角的角的度数是：60︒．故选B ． 7．【答案】B【解析】∵钟面分成12个大格，每格的度数为30°， ∴钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°，故选B ． 8．【答案】A【解析】α∠的余角为9060322928︒-︒'=︒'，故选A ． 9．【答案】C 【解析】如图，直通中考∵小明从A 处沿北偏东40︒方向行走至点B 处，又从点B 处沿东偏南20︒方向行走至点C 处， ∴40DAB ∠=︒，20CBF ∠=︒， ∵向北方向线是平行的，即AD BE P ， ∴40ABE DAB ∠=∠=︒， ∵90EBF ∠=︒，∴902070EBC ∠=︒-︒=︒，∴4070110ABC ABE EBC ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 故选C ． 10．【答案】55°【解析】∵∠θ=35°，∴它的余角等于90°-35°=55°． 故答案为：55°． 11．【答案】1【解析】∵C 为AB 的中点，AB =8 cm ， ∴BC =12AB =12×8=4（cm ）， ∵BD =3 cm ，∴CD =BC -BD =4-3=1（cm ）， 则CD 的长为1 cm ， 故答案为：1．。

教学资料范本2020中考数学考点总动员系列专题24线段角与相交线含解析-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新中考数学考点总动员系列专题24线段角与相交线含解析聚焦考点☆温习理解一、线段、射线、直线1．线段的基本性质在所有连结两点的线中，线段最短．2．直线的基本性质经过两点有一条而且只有一条直线．二、角与角的计算1．角的基本概念由两条有公共端点的射线组成的图形叫做角；如果一个角的两边成一条直线，那么这个角叫做平角；等于90°的角是直角；大于直角小于平角的角是钝角，小于直角的角是锐角．2．角的计算与换算1周角＝360度，1平角＝180度，1直角＝90度，1度＝60分，1分＝60秒．3．余角、补角及其性质(1)互为补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角 .(2)互为余角：如果两个锐角的和是一个直角，那么这两个角互为余角．(3)性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等．4．角平分线(1)角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．(2)性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等；角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.三、相交线1．邻补角、对顶角及其性质(1)如图所示，直线a，b相交，形成四个角．图中的邻补角有∠1和∠2，∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4；图中的对顶角有∠1和∠3，∠2和∠4.(2)性质：邻补角互补；对顶角相等．2．垂线及其性质(1)垂线：当两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．(2)性质：①在同一平面内，过一点有一条而且只有一条直线垂直于已知直线；②一般地，连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．(3)直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．3．线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．名师点睛☆典例分类考点典例一、线段与直线的性质【例1】如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线．能解释这一实际应用的数学知识是( )A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．垂线段最短D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】A．考点：直线的性质：两点确定一条直线．【点睛】本题考查了线段的性质，牢记线段的性质是解题关键．【举一反三】把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是( )A ．两点确定一条直线B ．垂线段最短C ．两点之间线段最短D ．三角形两边之和大于第三边【答案】C ．【解析】考点：线段的性质：两点之间线段最短．考点典例二、度分秒的换算．【例2】（河北省××市××区20xx-20xx 学年期末）计算：①33°52′+21°54′=________；②18.18°=________°________′________″．【答案】 55°46′； 18； 10； 48【解析】试题解析：①原式54106'5546'==o o，②18.18180.18.︒=+o o 故答案为：①②5546'o，18,10,48. 【点睛】①根据度分秒的加法：相同单位相加，满60时向上一单位进1，可得答案； ②根据大单位化小单位乘以进率，可得答案．【举一反三】1. 下面等式成立的是（ ）A ．83.5°=83°50′B ．37°12′36″=37.48°C ．24°24′24″=24.44°D ．41.25°=41°15′【答案】D【解析】试题分析：进行度、分、秒的加法、减法计算，注意以60为进制．A 、83.5°=83°50′，错误；B 、37°12′=37.48°，错误；C 、24°24′24″=24.44°，错误；D 、41.25°=41°15′，正确．故选D ．考点：度分秒的换算．2. 秒_________度．2700=【答案】34 【解析】试题分析：，所以.160'3600"==o 270032700"()()36004==o o考点：时间单位的换算.3．（××市秀山县20xx-20xx 学年七年级上学期八校联考）计算：48°39′+67°33′= ______ ．【答案】116°12′【解析】原式=48°39′+67°33′=115°72′=116°12′.即答案为：116°12′.考点典例三、角平分线的性质与应用【例3】（20xx 湖南省娄底）如图，直线AB∥CD，AE 平分∠CAB．AE 与CD 相交于点E ，∠ACD=40°，则∠BAE 的度数是（ ）A. 40°B. 70°C. 80°D. 140°【答案】B【解析】试题解析：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠BAC=180°，∵∠ACD=40°，∴∠BAC=180°-40°=140°，∵AE平分∠CAB，∴∠BAE=∠BAC=×140°=70°，1 2 1 2故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，比较简单；做好本题要熟练掌握两直线平行①内错角相等，②同位角相等，③同旁内角互补；并会书写角平分线定义的三种表达式：若AP平分∠BAC，则①∠BAP=∠PAC，②∠BAP=∠BAC，③∠BAC=2∠BAP．1 2【举一反三】（山东省××市兰××县20xx-20xx学年七年级下学期期末）如图，AD是∠EAC 的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C的度数为（）A. 50°B. 40°C. 30°D. 20°【答案】C考点典例四、余角与补角【例3】（××市××区20xx-20xx学年联考）已知∠α与∠β互余，且∠α=35°18，，则∠β=________.【答案】54°42'【解析】∵∠α与∠β互余，∴∠α+∠β=90°，∴∠β=90°-∠α=90°-35°18′=54°42′，故答案为：54°42′.考点：互余两个角的性质【点睛】此题主要考查了互为余角的性质，正确记忆互为余角的定义是解决问题的关键．【举一反三】已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．（1）如图①,当∠BOC=70°时，求∠DOE的度数；（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕点O旋转时，∠DOE的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数．【答案】（1）45°；（2），不变，∠DOE=45°【解析】考点：角平分线的性质课时作业☆能力提升一、选择题1.将一副三角尺按如图方式进行摆放，∠1、∠2不一定互补的是（）【答案】D【解析】试题分析：根据互余、互补的定义结合图形判断A 中∠1与∠2互补；根据互补的定义和平行线的性质可得B 中，∠1与∠2互补；根据直角三角形的性质和四边形的内角和可得C 中∠1与∠2互补；根据图形可知∠1与∠2都是小于直角的锐角，所有D 中的∠1与∠2一定不互补，故选：D.考点：互补.2. （20xx 河池第2题）如图，点在直线上，若，则的大小是（）O AB ο60=∠BOC AOC ∠A ．B ．C ．D ．ο60ο90ο120ο150【答案】C.考点：邻补角的概念.3. 已知∠AOB=60°,其角平分线为OM,∠BOC=20°，其角平分线为ON ，则∠MON 的大小为A ．20°B ．40°C ．20°或40°D ．10°或30°【答案】C【解析】试题分析：本题需要分两种情况进行讨论，当射线OC 在∠AOB 外部时，∠MON=∠BOM+∠BON=30°+10°=40°；当射线OC 在∠AOB 内部时，∠MON=∠BOM －∠BON=30°－10°=20°．考点：角平分线的性质、角度的计算4. （20xx 年河北省××市××区中考数学模拟）下列图形中，∠2＞∠1的是（ ）A. B. 平行四边形C. D.【答案】C【解析】试题解析：A中∠1与∠2为对顶角，∴∠1=∠2；B中平行四边形的对角相等，∴∠1=∠2；C中根据三角形任意一个外角大于与之不相邻的任意一内角，∴∠2＞∠1．D中根据平行线的性质得到∠1=∠2，故选C．5. （××市××区20xx-20xx学年联考）将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD=110°则∠BOC=（）A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°【答案】C【解析】∵∠AOB=90°，∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOC+∠BOD=90°，∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD=180°，∵∠AOD=∠AOC+∠BOC+∠BOD，∴∠AOD+∠BOC=180°，∵∠AOD=110°，∴∠BOC=70°，故选C.6. （20xx甘肃庆阳第6题）将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2为（）A．115°B．120°C．135°D．145°【答案】C．【解析】试题解析：如图，由三角形的外角性质得，∠3=90°+∠1=90°+45°=135°，∵直尺的两边互相平行，∴∠2=∠3=135°．故选C．考点：平行线的性质；余角和补角．7. （20xx湖南常德第2题）若一个角为75°，则它的余角的度数为（）A．285°B．105°C．75°D．15°【答案】D．【解析】试题分析：它的余角=90°﹣75°=15°，故选D．考点：余角和补角．8. （20xx山东烟台第5题）某城市几条道路的位置关系如图所示，已知，与的夹角为，若与的长度相等，则的度数为（）CDAB//AE AB048CF EF CA． B． C． D．048040030024【答案】D．【解析】试题解析：∵AB∥CD，∴∠1=∠BAE=48°，∵∠1=∠C+∠E，∵CF=EF，∴∠C=∠E，∴∠C=∠1=×48°=24°．1 2 1 2故选D．考点：等腰三角形的性质；平行线的性质．9.如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线.如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为【】A．50°B．60°C．65°D．70°【答案】D．考点：1.角的计算；2.角平分线的定义．10. （20xx贵州黔东南州第2题）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（）A．120°B．90°C．100°D．30°【答案】C．【解析】试题解析：∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣20°=100°，故选：C．考点：三角形的外角性质．11.如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB 的方位角是（）A．北偏西30°B．北偏西60°C．东偏北30°D．东偏北60°【答案】B．【解析】试题分析：根据垂直，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得答案．试题解析：∵射线OB与射线OA垂直，∴∠AOB=90°，∴∠1=90°-30°=60°，故射线OB的方位角是北偏西60°，故选：B．考点：方向角．12.将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C．【解析】试题分析：由互余的定义、平行线的性质，利用等量代换求解即可．试题解析：∵斜边与这根直尺平行，∴∠α=∠2，又∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠α=90°，又∠α+∠3=90°∴与α互余的角为∠1和∠3．故选：C．考点：平行线的性质；余角和补角．13.如图，a∥b，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4 等于（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D．【解析】试题分析：∵a∥b，∠3=40°，∴∠1+∠2=180°﹣40°=140°，∠2=∠4，∵∠1=∠2，∴∠2=×140°=70°，∴∠4=∠2=70°．故选D．1 214. （20xx湖北孝感第2题）如图，直线，直线与直线分别交于点，射线直线，则图中互余的角有（）a b P c,a b,D E DF⊥c1∠A．个 B．个 C．个 D．个4321【答案】A【解析】试题分析：∵射线DF⊥直线c，∴∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，即与∠1互余的角有∠2，∠3，又∵a∥b，∴∠3=∠5，∠2=∠4，∴与∠1互余的角有∠4，∠5，∴与∠1互余的角有4个，故选A．考点：1.平行线的性质；2.余角15. （20xx广西百色第5题）如图，为的平分线，下列等式错误的是（）AM BAC∠A． B． C. D．12BAC BAM∠=∠BAM CAM∠=∠2BAM CAM∠=∠2CAM BAC∠=∠【答案】C【解析】试题分析：∵AM为∠BAC的平分线，∴∠BAC=∠BAM，∠BAM=∠CAM，∠BAM=∠CAM，2∠CAM=∠BAC．1 2故选C．考点：角平分线的定义．16. （20xx江苏盐城第12题）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= °．【答案】120°.【解析】试题解析：由三角形的外角的性质可知，∠1=90°+30°=120°.考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．17.（××市××区20xx-20xx学年七年级下学期期末）如图，线段，点为中点，点为中点，在线段上取点，使，则线段的长为_________.12AB=C AB D BCAB E13 CE AC=DE 【答案】1cm或5cm（2）如图2，当点E在点C的左侧时，∵线段，点为中点，12AB=C AB∴AC=BC=6，又∵点为中点，，D BC13 CE AC=∴CD=3，CE=2，∴DE=CD+CE=3+2=5.综上所述，DE的长为1或5.点睛：题目中没有说明点E在点C的哪一侧，因此必须分两种情况讨论：（1）点E在点C的右侧；（2）点E在点C的左侧.18. （浙江省××市李兴贵中学20xx-20xx学年七年级上册期末模拟）已知∠AOE是平角，OD平分∠COE，OB平分∠AOC，∠DOE：∠BOC=2：3，求∠DOC，∠BOC的度数．【答案】∠DOC=36°，∠BOC=54°【解析】试题分析：利用平角的定义结合角平分线的性质得出∠BOC= 12 ∠AOC，∠DOC= 12 ∠COE，进而利用∠DOE：∠BOC=2：3求出答案．试题解析：如图所示：∵∠AOE是平角，OD平分∠COE，OB平分∠AOC，∴∠BOC= ∠AOC，∠DOC= ∠COE，∴∠BOD= （∠AOC+∠COE）=90°，∵∠DOE：∠BOC=2：3，∴∠DOC：∠BOC=2：3，∴∠DOC= ×90°=36°，∠BOC= ×90°=54°．。

中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.角平分线的定义：角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

2.角平分线的性质：①平分角。

②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。

3.角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。

4.角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。

如图①。

②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。

如图②。

③连接OP，OP即为角的平分线。

5.线段的垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。

6.垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。

②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

7.垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。

8.垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。

如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。

如图②练习题1、（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．2、（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S △ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3、（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．4、（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD ＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5、（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．33．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．34．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．。

第14讲 线段、角、相交线和平行线1．线段与直线 (1)两个基本事实：直线的基本事实：两点确定一条直线； 线段的基本事实：两点之间线段最短．(2)两点间距离：连接两点的线段，叫做两点之间的距离．(3)线段的中点：如图，点C 把线段AB 分成相等的两段AC 与BC ，点C 叫做线段AB 的中点，即AC ＝BC ＝12AB.(4)线段的和与差：如图，点C 是线段AB 上一点，则AC ＋BC ＝AB ，AC ＝AB －BC ，BC ＝AB －AC.2．角及角平分线(1)1周角＝_2_平角＝__4_直角＝ 360° ， 1°＝__60′，1′＝60_″.(2)小于直角的角叫做_锐角_；大于直角而小于平角的角叫做钝角； 度数是90°的角叫做直角．(3)余角：两个角的和等于90°时，称这两个角互为余角；同角(或等角)的余角_相等_． 补角：两个角的和等于180°时，称这两个角互为补角；同角(或等角)的补角相等．(4)角平分线：①从一个角的顶点引出一条射线，把这个角平分成相等的两个角，这条射线叫这个角的角平分线；②角平分线上的点，到角两边的距离_相等_；到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

3．相交线(如图)(1)①邻补角：在一条直线上且互补的一对角，如：∠1与∠4，∠1与∠2，∠6与∠7等 性质：邻补角和为180°.②对顶角：相交线中相对的一组角，如：∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8. 性质：对顶角相等． (2)三线八角：同位角有∠4与∠8，∠1与∠5，∠3与∠7，∠2与∠6； 内错角有∠3与∠5，∠2与∠8； 同旁内角有∠3与∠8，∠2与∠5.(3)①垂线定义：两直线相交所组成的四个角中有一个是直角时，我们称这两条直线互相垂直_，其中一条直线叫另一条直线的_垂线，它们的交点叫垂足；②垂线基本事实：在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③垂线段性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段 最短； ④点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段 ，叫做点到直线的距离；⑤垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 4．平行线(1)在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线；(2)平行线公理：经过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行； 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行； (3)平行线判定与性质：判定定理⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫同位角相等⇔两直线平行内错角相等⇔两直线平行同旁内角 互补 ⇔两直线平行性质定理考点1： 几何图形基本知识【例题1】若C 、D 是线段AB 上两点，D 是线段AC 的中点，AB=10cm ，BC=4cm ，则AD 的长是________ cm ． 【分析】由AB=10cm ，BC=4cm ，可求出AC=AB ﹣BC=6cm ，再由点D 是AC 的中点，则可求得AD 的长． 解析：如图：∵AB=10cm，BC=4cm ，∴AC=AB﹣BC=6cm ，又点D 是AC 的中点，∴AD=AC=3cm ，故答案为：3【同步练】已知线段AB=10cm ，线段BC=4cm ，则线段AC 的长是________ cm ． 解：（1）如图1，点B 在点A 、C 的中间时，，AC=AB+BC=10+4=14（cm）（2）如图2，点C在点A、B的中间时，，AC=AB﹣BC=10﹣4=6（cm）∴线段AC的长是14或6cm．故答案为：14或6．考点2：平行线的判定【例题2】一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC 绕顶点A顺时针旋转∠α(∠α＝∠BAD且0°＜α＜180°)，使两块三角板至少有一组边平行．(1)如图1，α＝15°时，DE∥BC；(2)请你在图2、图3中各画一种符合要求的图形，并写出对应的α的度数和平行线段．图1 图2 图3【解答】解：当α＝60°时，BC∥DA.∵∠BAC＝30°，α＝60°，∴∠DAC＝∠C＝90°.∴∠DAC＋∠C＝180°.∴BC∥DA.当α＝105°时，BC∥EA.∵α＝105°，∠DAE＝45°，∴∠EAB＝60°.∵∠B＝60°，∴∠EAB＝∠B.∴BC∥EA.归纳：已知角的大小，判断两直线平行时：(1)先看已知角是哪两条直线被哪条直线所截得到的，是一对什么角；(2)再看是否满足两直线平行的判定条件，若满足，则平行；否则不平行．考点3：平行线性质【例题3】（2018•重庆）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE 平分∠FGD．若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．【分析】依据三角形内角和定理可得∠FGH=55°，再根据GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根据∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB=55°﹣35°=20°．【解答】解：∵∠EFG=90°，∠E=35°，∴∠FGH=55°，∵GE平分∠FGD，AB∥CD，∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，∵∠FHG是△EFH的外角，∴∠EFB=55°﹣35°=20°．归纳：对于利用平行线性质求角度的问题：(1)通过观察题图和已知条件得出已知和所求的角是否可以直接通过平行线的哪些性质得出；(2)结合两角互余、两角互补、三角形内角和定理、三角形的内外角关系进行求解；(3)若题中提到角平分线，则在解题过程中注意角之间的等量代换．最后根据角之间的等量关系即可求解．一、选择题：1. （2018•邵阳）如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD=160°，则∠BOC的大小为（）A．20° B．60° C．70° D．160°【答案】D【解答】∵∠AOD=160°，∴∠BOC=∠AOD=160°，故选：D．2. （2019•湖北十堰•3分）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（）A．50°B．45°C．40°D．30°【答案】C【解答】解：∵直线AB⊥AC，∴∠2+∠3＝90°．∵∠1＝50°，∴∠3＝90°﹣∠1＝40°，∵直线a∥b，∴∠1＝∠3＝40°，故选：C．3. （2018•孝感）如图，直线AD∥BC，若∠1=42°，∠BAC=78°，则∠2的度数为（）A．42° B．50° C．60° D．68°【答案】C【解答】解：∵∠1=42°，∠BAC=78°，∴∠ABC=60°，又∵AD∥BC，∴∠2=∠ABC=60°，故选：C．4. （2018•铜仁市）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（）A．1cm B．3cm C．5cm或3cm D．1cm或3cm【答案】C【解答】解：当直线c在a、b之间时，∵a、b、c是三条平行直线，而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，∴a与c的距离=4﹣1=3（cm）；当直线c不在a、b之间时，∵a、b、c是三条平行直线，而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，∴a与c的距离=4+1=5（cm），综上所述，a与c的距离为3cm或3cm．故选：C．5. （2019•河北省•3分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（）A．◎代表∠FEC B．@代表同位角C．▲代表∠EFC D．※代表AB【答案】C证明：延长BE交CD于点F，则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC．故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．二、填空题：6. （2019•广西贵港•3分）如图，直线a∥b，直线m与a，b均相交，若∠1＝38°，则∠2＝．【答案】142°【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠2＝∠3，∵∠1+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣38°＝142°．故答案为142°．7. （2018•通辽）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是．【答案】75°30′（或75.5°）．【解答】解：∵CD∥OB，∴∠ADC=∠AOB，∵∠EDO=∠CDA，∴∠EDO=∠AOB=37°45′，∴∠EDB=∠AOB+∠EDO=2×37°45′=75°30′（或75.5°），故答案为75°30′（或75.5°）．8. （2019•甘肃•3分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）A．48°B．78°C．92°D．102°【答案】D【解答】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°，∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°．故选：D．9. 如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB=12厘米，点C在线段AB上，且BC=4厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过秒时线段PQ的长为5厘米．【答案】或1或3或9．【解答】解：设运动时间为t秒．①如果点P向左、点Q向右运动，由题意，得：t+2t=5﹣4，解得t=；②点P、Q都向右运动，由题意，得：2t﹣t=5﹣4，解得t=1；③点P、Q都向左运动，由题意，得：2t﹣t=5+4，解得t=9．④点P向右、点Q向左运动，由题意，得：2t﹣4+t=5，解得t=3．综上所述，经过或1或3秒时线段PQ的长为5厘米．故答案为或1或3或9．三、解答题：10. 已知∠α=76°，∠β=41°31′，求：（1）∠β的余角；（2）∠α的2倍与∠β的的差．【分析】（1）根据互为余角的两个角的和为90度可得∠β的余角=90°﹣∠β，将∠β=41°31′代入计算即可；（2）将∠α=76°，∠β=41°31′代入2∠α﹣∠β，然后计算即可．解析：（1）∠β的余角=90°﹣∠β=90°﹣41°31′=48°29′；（2）∵∠α=76°，∠β=41°31′，∴2∠α﹣∠β=2×76°﹣×41°31′=152°﹣20°45′30″11. 已知线段AB=6，在直线AB上取一点P，恰好使AP=2PB，点Q为PB的中点，求线段AQ的长．【解答】解：如图1所示，∵AP=2PB，AB=6，∴PB=AB=×6=2，AP=AB=×6=4；∵点Q为PB的中点，∴PQ=QB=PB=×2=1；∴AQ=AP+PQ=4+1=5．如图2所示，∵AP=2PB，AB=6，∴AB=BP=6，∵点Q为PB的中点，∴BQ=3，∴AQ=AB+BQ=6+3=9．故AQ的长度为5或9．12. 有三个海岛A，B，C，其中C岛在A岛的北偏东60°方向．(1)如图1，若C岛在B岛的南偏东25°方向，求∠BCA的度数；(2)如图2，若C岛在B岛北偏西50°方向上，求C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．图1图2【解答】解：(1)根据题意，得∠DAC＝60°，∠MBC＝25°.∵EG∥AD，∴∠ACG＝∠DAC＝60°.∵BM∥AD，∴BM∥EG.∴∠ECB＝∠CBM＝25°.∴∠BCA＝180°－∠ACG－∠ECB＝95°.(2)过点C作CM∥AD，∴∠ACM＝∠DAC＝60°.∵AD∥BE，∴BE∥CM.∴∠BCM＝∠CBE＝50°.∴∠ACB＝∠ACM＋∠BCM＝110°.13. 如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放(∠MON＝90°) ．(1)将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC?请说明理由；(2)将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM 与∠NOC之间存在怎样的数量关系? 请说明理由．【解析】解：(1)ON平分∠AOC．理由如下：∵∠MON＝90°∴∠BOM+∠AON＝90°∠MOC+∠NOC＝90°又∵ OM平分∠BOC∴∠BOM＝∠MOC∴∠AON＝∠NOC∴ ON平分∠AOC(2)∵∠CON+∠NOB＝60°又∵∠BOM+∠NOB＝90°∴∠BOM＝∠NOC+30°14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）求点C，D的坐标；（2）若在y轴上存在点 M，连接MA，MB，使S△MAB=S平行四边形ABDC，求出点M的坐标．（3）若点P在直线BD上运动，连接PC，PO．①若P在线段BD之间时（不与B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范围；②若P在直线BD上运动，请直接写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．【解答】（1）由平移可知：C（0，2），D（4，2）；（2）∵AB=4，CO=2，∴S平行四边形ABOC=AB•CO=4×2=8，设M坐标为（0，m），∴×4×|m|=8，解得m=±4∴M点的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；（3）①S梯形OCDB=×（3+4）×2=7，当点P运动到点B时，S△POC最小，S△POC的最小值=×3×2=3，S△CDP+S△BOP＜4，当点P运动到点D时，S△POC最大，S△POC的最大值=×4×2=4，S△CDP+S△BOP＞3，所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；②当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，∵CD∥AB，∴CD∥PE∥AB，∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，∴∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO；当点P在线段BD的延长线上时，如图2，作PE∥CD，∵CD∥AB，∴CD∥PE∥AB，∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，∴∠EPO﹣∠EPC=∠BOP﹣∠DCP，∴∠BOP﹣∠DCP=∠CPO；同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP﹣∠BOP=∠CPO．。

线段、角、相交线与平行线【命题趋势】在中考中.直线与线段主要以选择题和填空题形式考查；角及角平分线主要在选择题中考查；平行线常与角度结合考查.以选择题和填空题形式为主。

【中考考查重点】一、角的识别及余角、补角的计算二、平行线的判定三、平行线的性质求角度四、命题考点一：直线和线段 1．（2021春•自贡期末）在墙上要钉牢一根木条.至少要钉两颗钉子．能解释这一实际应用的数学知识是（ ）A ．两点之间线段最短B ．两点确定一条直线C ．直线比线段长D ．两条直线相交.只有一个交点【答案】B【解答】解：在墙上固定一根木条.至少需要钉两颗钉子．能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线．故选：B ．2．（2021春•拱墅区月考）在同一平面内.不重合的三条直线的交点有（ ）个． 两个基本事实1. 线段的基本事实：两点确定一条直线2. 线段的基本事实：两点间线段最短 两点间的距离连接两点间的线段的长度 线段的和与差如图.在线段AC 上取一点B.则有AC=AB+BC ；AB=AC -BC; BC=AC -AB 线段的中点如图.M 是线段AB 的中点.即有AM=BM=AB 21A．1或2B．2或3C．1或3D．0或1或2或3【答案】D【解答】解：因为三条直线位置不明确.所以分情况讨论：①三条直线互相平行.有0个交点；②一条直线与两平行线相交.有2个交点；③三条直线都不平行.有1个或3个交点；所以交点的个数可能为0个或1个或2个或3个．故选：D．3．（2021春•白碱滩区期末）直线l外有一点P.直线l上有三点A、B、C.若P A＝4cm.PB ＝2cm.PC＝3cm.那么点P到直线l的距离（）A．不小于2cm B．大于2cm C．不大于2cm D．小于2cm【答案】C【解答】解：∵P A＝4cm.PB＝2cm.PC＝3cm.∴PB最短.∵直线外一点与直线上点的连线中.垂线段最短.∴P到直线l的距离不大于2cm.故选：C．4．如图.线段AB＝12.点C是它的中点．则AC的长为（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【解答】解：∵线段AB＝12.点C是它的中点.∴AC＝AB＝6.故选：C．度分秒的换算1周角=360°.1平角=180°.1°=60′.1′=60″角的度分秒的进制是60角的分类按大小分：周角（360°）＞平角（180°）＞直角（90°）＞锐角2.余角、补角、角平分线 5．（2021秋•洪山区期末）若一个角比它的余角大30°.则这个角等于（ ）A ．30°B ．60°C ．105°D ．120°【答案】B【解答】解：设这个角为x .则x ﹣（90°﹣x ）＝30°.解得x ＝60°.故选：B ．6．（2021秋•盐池县期末）若∠α的补角是125°24′.则∠α的余角是（ ）A ．90°B ．54°36′C ．36°24′D ．35°24′ 【答案】D【解答】解：∵∠α的补角是125°24′.∴∠α＝180°﹣125°24′＝54°36′.∴∠α的余角是90°﹣54°36′＝35°24′.故选：D ．7．（2021秋•龙江县期末）已知∠AOB ＝100°.过点O 作射线OC 、OM .使∠AOC ＝20°、OM 是∠BOC 的平分线.则∠BOM 的度数为（ ）A ．60°B ．60°或40°C ．120°或80°D ．40° 【答案】B【解答】解：如图1.当OC 在∠AOB 内部时.∵∠AOB ＝100°.∠AOC ＝20°.∴∠BOC ＝80°.∵OM 是∠BOC 的平分线.∴∠BOM ＝40°； 余角1. 概念：如若两个角之和=90°.那么这两个角互为余角；2. 性质：同角（等角）的余角相等 补角3. 1.概念：如若两个角之和=180°.那么这两个角互为补角；性质：同角（等角）的补角相等角平分线1. 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等2. 逆定理：在角的内部.到角两边距离相等的点在角平分线上如图2.当OC在∠AOB外部时.∵∠AOB＝100°.∠AOC＝20°.∴∠BOC＝120°.∵OM是∠BOC的平分线.∴∠BOM＝60°；综上所述：∠BOM的度数为40°或60°.故选：B．8．（2021秋•江汉区期末）如图.在观测站O发现客轮A、货轮B分别在它北偏西50°、西南方向.则∠AOB的度数是（）A．80°B．85°C．90°D．95°【答案】B【解答】解：由题意得：∠AOB＝180°﹣（45°+50°）＝85°.故选：B．9．（2021秋•锦江区校级期末）如图.一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上.若∠BOC＝20°.则∠AOD等于（）A．160°B．140°C．130°D．110°【答案】A【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°.∠BOC＝20°.∴∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠BOC＝90°+90°﹣20°＝160°．故选：A．10．（2021秋•南岗区期末）下列四幅图中.∠1和∠2是对顶角的为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：由对顶角的定义可知.选项B中的∠1与∠2是对顶角.故选：B．11．（2021秋•临江市期末）如图.直线AB、CD相交于点O.OA平分∠EOC.∠EOC＝70°.则∠BOE的度数等于（）图示对顶角性质：对顶角相等如图.∠1与∠3.∠与∠4.∠5与∠7.∠6与∠8邻补角性质：邻补角之和等于180°如图.∠1与∠4.∠2与∠3.∠5与∠8.∠6与∠7 同位角如图。