奠定了实数理论的基础。
康托尔实数理论。
康托尔与梅雷从完备性着眼提出定义实数的另一种方法。
例如：2 可以用有理数序列{1, 1.4，1.41,1.414，…}去逼近。
因为这个序列是有理数的柯西序列，所以考虑到用有理数的柯西序列来定义实数。
但2还可以用另外的有理数柯西序列来定义，因此，必须引入等价关系。
设∞=∞=11}{,}{n n n n a β是有理数的两个柯西序列，如果对每个正有理数r，存在自然数N，使得当n≥N 时，有-r<αn -βn <r 则∞=1}{n n a ～∞=1}{n n β这是一个等价关系。
有理数的柯西序列的集关于这个等价关系的类，称为实数。
一切实数构成的集，记为R。
对有理数α，令序列{α，α…}所在的等价类（仍记为有理数α）与之对应，就把有理数嵌入到实数中。
不是有理数的实数，称为无理数。
§2.7 2.7 复数复数复数复数是形如x+iy 的数，其中x 和y 都是实数，i 是虚数单位（即满足关系i 2= -1的数，也可记作1−）。
从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的形成。
解一元二次方程就遇到负数开平方的问题，如：x 2+1=0。
G.卡尔诺在《大法》（1545）中阐述一元三次方程解法时，发现难以避开复数。
吉拉尔认为复数至少可以作为代数方程的形式解。
也有不少数学家不承认复数，例如笛卡儿。
事实上，“虚数”这个称呼就始自笛卡儿，他认为这个数是“虚幻的”。
关于复数及代数运算的几何表示，是18世纪末到19世纪30年代由C.韦塞尔、J.B.阿尔根和C.F.高斯等人建立的。
高斯引进了“复数”这一名词。
复数的一般形式是z=x+iy，其中x 和y 分别称为z 的实部和虚部，记作x=Rez，y=Imz。
如果Imz=0，那么z=Rez=0是实数；如果Imz≠0，那么z 称为虚数；如果Imz≠0，而Rez=0，那么z 称为纯虚数。
两复数z 1和z 2相等就是它们的实部和虚部分别相等，记作z 1=z 2。
