2018版高中数学第二章函数2.2.3待定系数法学案新人教B版必修1(含解析)

待定系数法一、教学目标1、知识目标：使学生掌握用待定系数法求解析式的方法；2、能力目标：（1）尝试分析有关一次、二次函数解析式问题，运用待定系数法求解；（2）培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力。

3、情感目标：（1）通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲；（2）通过合作学习，培养学生团结协作的品质。

二、教学重点与难点重点：用待定系数法求函数解析式；难点：设出适当的解析式并用待定系数法求解析式。

三、教学方法采用实例归纳，自主探究，合作交流等方法；教学中通过列举例子，引导学生进行讨论和交流，并通过创设情境，让学生自主探索。

四、教学过程教学环节教学内容师生互动复习引入例1、已知f(x)是一次函数，且2f(3)－3f(1)＝5，2f(0)－f(-1)＝1,求f(x)的解析式。

教师通过具体例题，回顾解题方法。

概念形成定义：在求一个函数时，如果已知这个函数的一般式，可以先把所求函数设为一般式，其中系数待定，然后根据题设条件求出这些待定系数的方法叫待定系数法.运用待定系数法解题步骤：第一步：设出适当含有待定系数的解析式；第二步：根据已知条件，列出含有待定系数的方程组；第三步：解方程组,得出解析式.练习题1、直线过点P(3，－2)和点Q(－1,2)，求直线解析式。

2、一个正比例函数图象通过点（-3,4），求解析式学生总结得出待定系数法的定义及基本步骤简单练习待定系数法在求解一次函数时的步骤，由学生在黑板上演示。

二次函数在待定系数法中的设法：设法1：已知图象过三个点，可设一般形式c bx ax y ++=2设法2：已知顶点坐标（h,k ）,可设y=a k h x +-2)(,再利用一个独立条件，求a. 设法3：二次函数图像与x 轴有两个交点时，设),)((a 21x x x x y --=再利用一个独立条件求a. 例2 已知一个二次函数()()()()52,41,50,=-=--=f f f x f ，求这个函数。

一、基本知识：待定系数法的定义一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的，可先把所求函数写为一般形式，其中，然后再根据题设条件求出这些．这种通过求来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．二、例题讲解：考点一：求一次函数的解析式例1 若函数y＝kx＋b的图象经过点P(3，－2)和Q(－1,2)，则这个函数的解析式为( ) A．y＝x－1 B．y＝x＋1 C．y＝－x－1 D．y＝－x＋1[小结] 用待定系数法求函数解析式的步骤：(1)根据题设条件，设出含有待定系数的函数解析式的恰当形式．(2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程(组)．(3)解方程(组)，求出待定系数的值(或消去待定系数，从而使问题得到解决)．(4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式．练习：1、已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则f(x)＝________.考点二：求二次函数的解析式ax＋bx＋c的解析式．例2、根据下列条件，求二次函数y＝2(1)图象过点(2,0)，(4,0)，(0,3)；(2)图象顶点为(1,2)并且过点(0,4)；(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．练习：2、若二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值是－1，则它的解析式为________考点三：待定系数法的综合应用例3、(12分)如果函数f (x )＝x 2＋a bx －c (b ，c ∈N *)满足f (0)＝0，f (2)＝2，且f (－2)<21 ，求f (x )的解析式．练习：3．已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174.求f (x )的解析式．方法总结：运用待定系数法的常见设法：(1)正比例函数，设解析式为y ＝kx (k ≠0)．(2)一次函数，设解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．(3)反比例函数，设解析式为y ＝k x (k ≠0)．(4)对于二次函数，①若已知顶点坐标为(h ，k )，则可设顶点式y ＝2)(h x a -＋k (a ≠0)．②若已知对称轴方程为x ＝h ，则可设顶点式y ＝2)(h x a -＋c (a ≠0)．③若已知函数的最大值或最小值为k ，则可设顶点式y ＝2)(h x a -＋k (a ≠0)． ④若已知函数与x 轴只有一个交点(h,0)，则可设交点式y ＝2)(h x a - (a ≠0)． ⑤若已知函数与x 轴有两个交点(1x ,0)，(2x ,0)，则可设交点式y ＝a (x －1x )(x －2x )(a ≠0)．⑥若已知函数图象上两对称点(1x ，m )，(2x ，m )，则可设对称点式y ＝a (x －1x )(x －2x )＋m (a ≠0)．⑦若已知函数图象上的三点，则可设一般式y ＝a 2x ＋bx ＋c (a ≠0)．三、课后练习：1．反比例函数y ＝12x的图象和一次函数y ＝kx －7的图象都经过点P (m,2)，求一次函数的解析式．2．已知y ＝2x －4x ＋h 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上，函求数解析式为.。

必修1 《2.2.3 用待定系数法求函数解析式》教学设计一、指导思想与理论依据（一）指导思想．本次课的教学设计以新课程标准关于数学教学的核心理念为基本遵循，坚持以教师为主导，以学生为主体，以培养能力为基准，采取符合学生学习特点的多样式的学习方法，通过教学内容和教学过程的实施，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，促进学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界．基本依据，主要把握了两个方面的理论：1、新课程标准关于数学整体性的理论．教学中注意沟通各部分之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力．2、新课程标准关于教师教学的理论．教师应该更加关注：1）科学的基本态度之一是疑问，科学的基本精神之一是批判．要注意培养学生科学的质疑态度和批判性的思维习惯；2）提出问题是数学学习的重要组成部分，更是数学创新的出发点．要注意培养学生提出问题的能力；3）在教学中更加关注学生知识的储备、能力水平、思维水平等；4）关注学生的学习态度、学习方法、学习习惯，在思维的最近发展区设计教学内容．二、教学背景分析（一）学习内容分析《用待定系数法求函数解析式》，选自普通高中课程标准实验教材数学必修1第2章第2节．“待定系数法”是数学思想方法中的一种重要的方法，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用．学生对于“待定系数法”的学习渗透在不同的学习阶段，在初中阶段学生学习了正比例函数、反比例函数、一次函数时已经初步学会了用待定系数法求函数解析式；在高一阶段学生进一步学习用待定系数法求函数的解析式，在高二和高三阶段待定系数法还会在数列求和、复数和解析几何中求圆锥曲线方程等内容中进一步涉及．因此这节课的学习既是初中知识的延续和深化，又为后面的学习奠定基础，起着承前启后的作用．另外，待定系数法作为解决数学实际问题的基本方法和重要手段，在其他学科中也有着广泛的应用．（二）学生情况分析对于高一年级学生来说，在初中的时候，学生对于用待定系数法求函数解析式的方法已经有所认识，他们已经积累了一定的学习经验．在高一学习完函数后继续学习用待定系数法求函数解析式，学生已经具备了更多的函数知识，同时，高一的学生已经具备了一定的分析问题、解决问题能力和创新意识，这些对本节课的学习都很有帮助.在今后高中的数学学习中，学生还会继续运用待定系数法解决相关问题．新课标对学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有了更高的要求，在教学中还有待加强相应能力的培养．（三）教学方式与教学手段、技术准备以及前期的教学状况、问题、对策说明针对这节课的特点，本课时我采用启发引导与学生自主探索相结合的教学方法．为了在回顾旧知识的基础上提出新的研究问题，我设计了环环相扣的问题，将探究活动层层深入，让学生展示相应的数学思维过程，使学生有机会经历知识形成的各个阶段，引导学生独立自主地开展思维活动，深入探究，从而创造性地解决问题．围绕本节课所学知识，我设置具有挑战性的开放型问题，采用让学生多角度地自己给出合适的已知条件，并自己解决问题的教学模式，激发学生积极思考，引导学生自主探索与合作交流，提高解决问题的能力，培养一定的创新意识和实践能力．高一的学生在初中已经具备了一定的数学基础，但他们还缺乏体验数学发现和创造的历程，缺乏对知识的更加深刻的认识和理解．在这节课的课堂教学过程中，我通过精心设计问题情境，鼓励学生积极参与数学活动，通过课上积极思考、与别人讨论疑难问题、发表不同意见等方式，激活思维；通过促进学生在心理活动、变化中的同化和顺应，深化思维，使学生既有参与的机会，又有拓展、探索的余地，在获得必要发展的前提下，不同的学生能获得不同的体验．通过引导学生带着问题的主动思考、动手操作、合作交流的探究过程，力求使他们在掌握知识的同时，还能学会研究方法．在教学手段方面，我采用多媒体课件辅助教学．三、教学目标设计（一）知识与能力目标：会用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式；（二）过程与方法目标：通过用待定系数法求函数的解析式，培养学生运算准确的数学能力，体会方程思想；在学生编设问题、根据条件列出方程的过程中，培养学生灵活运用所学知识处理信息、分析问题、解决问题的能力．（三）情感与态度目标：使学生经历把运用知识自己设置问题、处理问题的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，在设置问题和解决问题的过程中获得成功的体验，在学习他人、借鉴他人的过程中感受合作和分享的快乐．正确合理地编设问题，用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式是本节的重点也是难点．四、教学过程与教学资源设计教学过程共分为五个阶段（环节）：1、创设情境启迪思维2、深入探究获得新知3、自主学习拓展提高4、合作共享拓宽思维5、小结反思提升认知教学设计流程图如下：教学过程流程（一)“创设情境启迪思维”阶段1．本阶段需要解决的主要问题复习初中学过的用待定系数法求函数解析式的基本方法，即根据条件设出函数的解析式，再根据条件列出方程并解方程．2．具体教学安排教师通过提问：我们学过了几种函数？它们的解析式各是什么？使学生熟悉今天要用的知识.然后继续用学生熟悉的两个问题将学生引入到本节课要学的知识中：问题1、已知一个正比例函数图象点(1,3)，求这个函数的解析式．问题2、已知一个反比例函数图象过(1,3),求这个函数的解析式．问题给出后，学生回答，老师板书解题过程.同时总结学生的解题思路. 回顾初中学过的待定系数法——先根据条件设出函数的解析式，再根据条件列出方程．设计意图设计问题1和问题2的目的：两道题设计了相同的已知条件，不同的结论，目的是使学生不去关注点的坐标的变化，而是将注意力转移到函数解析式的变化上，为后面的问题的深化埋下伏笔．通过旧有的知识引出新的问题，引导学生在不知不觉中将新知识纳入到旧有的知识网络系统之中，促进学生对新知识的掌握．（二)“深入探究获得新知”阶段1．本阶段需要解决的主要问题这个阶段的教学是本节课的重点内容之一，通过引入两个与前面的例题条件相同，但结论不同的例题，使学生思考，质疑后得出需添加条件，使学生理解待定系数的个数与条件之间的内在联系．探究待定系数法的本质．2．具体教学安排问题3、已知一个一次函数图象过(1,3),试求这个函数解析式.在给出问题3的时候，学生在思考后产生了困惑，继而质疑——能做吗？是不是老师将题目出错了？最后学生意识到：要想解出这个问题，还差一个条件！针对学生的质疑，我设计了三个问题：问题一：“题目哪里出错了？”学生回答：“只给了一个条件，还差一个条件”问题二：“为什么解不出来？”学生回答：“因为一次函数有两个待定系数，而题目只给了一个条件”问题三：“待定系数的个数与已知条件有什么关系？”学生回答：“有几个待定系数，就得有几个条件”进行完上面的讨论后，学生已经对待定系数的个数与条件个数之间的关系有了较为清楚的认识．然后，我将问题改成：“请你添加合适的条件,能使问题解出.”结合学生添加的条件，老师选一道详细板书，同时引导学生归纳待定系数法的解题步骤（设解析式，列方程或方程组，解列方程或方程组），强化解题步骤，形成并提高解题能力．设计意图：设置知识的冲突，由已知条件和所求问题的矛盾引发学生思维的冲突，吸引学生的注意力，在学生的关注中突破重点，并通过质疑引发争论猜测，激发、调动学生学习的积极性和课堂参与的深度．通过问题的创设，使学生自主地意识到待定系数的个数与条件是之间的关系，深刻体会待定系数法解题的关键所在. 培养学生在学习中发现问题解决问题的能力．问题4、已知一个二次函数图象过(1,3), 试求这个函数解析式.由于有了前一个问题的铺垫，学生很快就意识到要想解出问题还需要添加两个条件，在这个环节我设计的问题是：“为什么要再添加两个条件？条件的个数与什么有关？”通过这个问题进一步引导学生揭示待定系数法的本质，学生通过提问领悟到两点：(1)待定系数的个数与已知条件个数之间的一致性；(2).待定系数法的核心就是方程思想的运用．在进行了上面的讨论后，我请学生自己添加合适的条件,能使问题解出．学生编的问题：1、已知一个二次函数图象过(1,3), 对称轴是x=1，顶点是（1，2），求这个函数解析式.学生编的这道题，暴露了这名学生在学习中的问题——对函数的定义理解不够，这也是学生在学习函数时常见的问题．结合这个学生所编的题，指出了问题所在——条件“图象过(1,3), 顶点是（1，2）”，说明当ｘ＝１时，对应着两个函数值3和2，这不符合“对于任意的ｘ，都有唯一的函数值y与之对应”的函数的定义．在我的启发下，这个学生将问题纠正为：已知一个二次函数图象过(1,3), 对称轴是x=2，顶点是（2，2），试求这个函数解析式．我没有马上指出学生出现的问题，而是让这个学生说出解题过程，我在黑板上板书．解：设函数的解析式为在这里我提出问题：条件中对称轴是x=2还没有用，题目就解出来了，说明什么？通过这个问题，引导学生明确：在用待定系数法求函数解析式的时候，所给的条件应该是独立的条件，顶点是（2，2）这个条件中就已经包含对称轴是x=2这个条件了，所以说，对称轴是x=2不是独立条件．在我的在此启发下，学生将问题改为：已知一个二次函数图象过(1,3), 顶点是（2，2），试求这个函数解析式．学生编写的另外两道题：2、已知一个二次函数图象过(1,3),与x轴交点坐标是（2，0），（5，0），试求这个函数解析式.3、已知一个二次函数图象过(1,3) , 过点（-3，3），（3，6），试求这个函数解析式.学生口述解体过程，老师在黑板上板书．学生设计的问题2和3，利用了二次函数的双根式和一般式求解．学生口述解体过程，我在黑板上板书．总结完学生编写的问题后，我向学生提出了了新的问题：4道题中，给出的相同的条件“函数的图象通过点(1,3)”还有什么其他的表达方法？设计意图：考虑到学生设计的问题中的条件用到的都是初中的知识形式，为了引导学生在旧有的知识背景下能运用高中的新知识，我在这个环节设计了问题：将“函数的图象通过点(1,3) ”这个条件换成另外的描述方法，引导学生得到另外的三种表示方法1：当x=1时y=3；2：图象形式给出；3：f(1)=3，我想通过这个问题，引导学生由初中的知识向高中的新知识、新记号靠拢，加强学生对新的函数符号的应用，巩固学生在思维最近发展区的新知．同时，想通过这个问题，使学生对同一个对象能从不同的角度角度认识，去描述，培养学生的认知能力．通过把问题深入，为下一个环节做好知识的铺垫．然后，我让学生用自己的语言总结：什么是待定系数法．待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系时的方法叫做待定系数法．学生用自己的语言总结，会使学生巩固所学的知识，加深学生对问题的概括性的理解．培养学生的归纳概括能力．例题：已知是一次函数，且有，，求这个函数的解析式．学生思考，相互讨论，解答，一名学生到黑板板书解题过程，其他学生在本上练习．老师巡视答疑，评判黑板上的解答．（三)“自主学习拓展提高”阶段1．本阶段需要解决的主要问题这个阶段的教学是本节课的重点内容之一，通过让学生探索所需的已知条件，由学生自主编题，自行设计问题、并解决问题．2．具体教学安排问题5：仿照上面的问题，编写一道用待定系数法求二次函数的解析式的题．在教学中，我组织学生先分组探究，然后全班交流，相互补充，并及时对学生结论进行反馈，评价，在辨析中达成共识．1.已知是二次函数，且有求这个函数的解析式．2.已知是二次函数，且有求这个函数的解析式．3.已知是二次函数，且有求这个函数的解析式．设计意图通过学生自主编题，使不同层次的学生有不同发展；通过学生自己命题，彰显学生个性和创造力，变被动学习为主动学习．从学生编写的例题上看，学生编的问题给出的条件形式单一，思维受到局限，没有新的突破．针对以上问题，我引入了下面的教学环节．（四)“合作共享拓宽思维”阶段1．本阶段需要解决的主要问题通过展示2班的同学编出得角度更新颖的题，开阔6班学生的思维，引发学生的思考.2．具体教学安排展示2班学生编写的问题：1、已知一个二次函数f(x), f(-x)= f(x), f(0)=0, f(1)=1, 求f(x).2、已知一个二次函数f(x), 与y轴的交点（0，1），与x轴只有一个交点，且当x≥- 4时，函数是增函数，当x≤- 4时，函数是减函数，求f(x).看完这两道题，我设计了下面两个问题：问题1：与你设计的问题相比，你觉得哪个条件有新意？问题2：这个条件表达了什么意思？在学生回答后，我指出：实际上，这些条件只是从另外的角度去描述b=0、和对称轴是x=-4这些条件，这些都是旧知识的新的表现形式．设计意图：由于两个班在学习上有差异，通过“交流合作，资源共享”，让学生学会学习．这种方式获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移.（五)“小结反思提升认知”阶段1．本阶段需要解决的主要问题通过学生的自主小结，老师加以引导，理清本节课的知识结构，巩固所学的知识，提炼应用到的数学方法，培养学生的归纳概括能力.2．具体教学安排归纳小结提问1：这节课，学会了什么？有什么收获？学生谈自己的收获．归纳小结提问2：使用待定系数法解题的基本步骤是什么？学生总结：第一步，设出含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出含待定系数的方程或方程组；第三步，解方程或方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.归纳小结提问3：使用待定系数法解题的核心是什么？学生总结，教师补充，巩固本节所学内容，培养学生的归纳概括能力．设计意图：问题1是开放问题，不同水平层次的学生能给出适合自己现实水平的解答，学生可以从不同角度谈收获和体会，学生既可以谈知识、技能上的收获，也可以总结数学的学习方法和研究方法上的收获，透过开放性的问题加深学生对本节课的认识.培养学生对数学学习的积极态度．问题2可以使学生自主完善知识体系，提炼方法，提高解题能力．问题3提升学生的数学思想方法的运用意识．布置作业：1、练习教材第62页练习A第2、5题2、教材第63页练习B第1、2题3、通过学习借鉴其他同学编写的题，自己设计一道用待定系数法求二次函数解析式的题．五、学习效果评价设计（略）六、本次教学设计的特点1、本节课的设计注意了学生科学的质疑态度、批判性的思维习惯的培养，通过设置知识的冲突，调动学生学习的积极性和课堂参与的深度．设计引入问题题组时我是这样设计的：问题1、已知一个正比例函数图象过(1,3)，求这个函数的解析式．问题2、已知一个反比例函数图象过(1,3)，求这个函数的解析式．问题3、已知一个一次函数图象过(1,3)，试求这个函数解析式．问题4、已知一个二次函数图象过(1,3)，试求这个函数解析式．在问题1、2的对比下，通过问题3设置已知条件和所求问题的矛盾，引发学生思维的冲突，学生先是产生了困惑，继而质疑——能做吗？是不是题目出错了？学生在质疑中引发了争论和猜测，形成了一个小的高潮．同时也营造一个共同发展，和谐交流的氛围，通过对话、争论、讨论、研究、质疑、辩论等多种方式的交流，激活学生的思维，使学生主动地参与到数学教学活动中．在教学中，我鼓励学生积极参与数学活动，不仅是行为上的参与，更关注学生思维上的参与，通过个体积极思考、与别人讨论疑难问题、发表不同意见等方式，激活思维；通过促进学生在心理活动、变化中的同化和顺应，深化思维，不断地提高数学思维能力．2、通过学生自主编题，使不同层次的学生有不同发展；通过学生自己命题，彰显学生的个性和创造力，变被动学习为主动学习．因为学生在初中已经学过待定系数法，我这节课采取了学生自主编题，自己解决问题的教学模式，在教学中我努力营造一个共同发展，和谐交流的氛围，通过对话与多种方式的交流，激活学生的思维，使学生主动地参与到数学教学活动中，在编题的过程中引导学生自觉地将函数的奇偶性、单调性、对称性、数学符号的复习、理解，数学语言的使用等知识和技能自然融入其中．学生对自己编题这种学习方式感到很好奇，他们对自己编的题能否解出来，非常感兴趣，也很关注别人编的题自己是否都会解，课堂上他们参与的积极性非常高，通过学生自主编题的成果展示，关注学生情感的发展，关注评价的指导性，不轻易否定学生，在编题的过程中注重知识的生成性，注重引导学生感悟之后的提炼．。

待定系数法教学目标1．了解待定系数法，通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲，培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力。

2．掌握用待定系数法求函数解析式的方法及其应用。

重点难点教学重点：掌握待定系数法。

教学难点：运用待定系数法求函数解析式的方法。

教学过程一、导入新课1、我们在初中曽经见过这样的一条题：已知一次函数y＝f(x)的图象经过点(1,2)和(2，－1)，求一次函数y＝f(x)的解析式。

我们用什么方法？2、待定系数法解题思路：是先根据数量之间的关系所具有的形式，假定一个含有待定的系数的恒等式，然后根据恒等式的性质列出几个方程，解这个方程组，求出各待定系数的值或从方程组中消去这些待定系数，找出原来那些已知系数之间的关系，从而使问题得到解决．3、这节课我们继续学习待定系数法。

二、例题讲解：例1已知函数y＝f（x）的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数f（x）的解析式．【分析】本题可以根据图象的特征分三段研究，第一段和第三段是射线，第二段是抛物线的一部分，利用待定系数法设出每一段的函数解析式，再利用已知点的坐标求出参数，得到本题结论．【解答】解：如图（1）当x≤1时，设f（x）＝k1x+b1，∵图象过点（0，2），（1，1），∴，∴．f（x）＝﹣x+2；（2）当1≤x≤3时，设f（x）＝a（x﹣2）2+2，（a＜0），∵图象过点（1，1），∴a＝﹣1．∴f（x）＝﹣x2+4x﹣2；（3）当x≥3时，设f（x）＝k2x+b2，∵图象过点（3，1），（4，2），∴，∴．f（x）＝x﹣2．综上，．三、变式训练1．已知函数f（x）的图象如图所示，求f（x）的解析式，并指出其定义域和值域．2．根据历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，某种蔬菜的市场售价p与上市时间x的关系图是一条折线（如图），写出这种蔬菜的市场售价与时间的函数解析式p＝p（x）．答案：1、【解答】解；由函数的图象知，当﹣≤x≤0时，f（x）是正比例函数，图象过点（﹣1，2），∴f（x）＝﹣2x；当0＜x≤2时，f（x）是一次函数，图象过点（0，﹣1）、（2，0），∴f（x）＝x﹣1；∴f（x）＝；由图象知，f（x）的定义域为[﹣1，2]；值域为（﹣1，2]2、【解答】解：当x∈[0，200]时，设函数的解析式为y＝kx+b，将（0，300），（200，100）代入得，解得∴y＝﹣x+300当x∈（200，300]时，设函数的解析式为y＝kx+b，将（200，100），（300，300），代入得，解得∴y＝2x﹣300∴p（x）＝四、例题解答：例2、（1）已知f（+1）＝x+2，求f（x）；（2）若二次函数f（x）的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），且函数的最大值为9，求f（x）．【分析】（1）令+1＝t，使用换元法求解即可，（2）使用待定系数法，由条件令二次函数两根式f（x）＝a（x+2）（x﹣4），再将函数的最大值为9代入可求的f（x）．【解答】解：（1）令+1＝t，t≥1，则＝t﹣1，x＝（t﹣1）2，则f（+1）＝x+2即为f（t）＝（t﹣1）2+2（t﹣1）＝t2﹣1，则f（x）＝x2﹣1；（2）由题意设二次函数两根式f（x）＝a（x+2）（x﹣4），则由图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），有图象对称轴为x＝＝1，此时函数的最大值为9，得f（1）＝9，解得a＝﹣1，则f（x）＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+2x+8．五、变式训练：1．求下列函数解析式：（1）已知f（﹣1）＝x+2，求f（x）的解析式；（2）设二次函数y＝f（x）的最小值是4，且f（0）＝f（2）＝6，求f（x）的解析式．答案：解：（1）令﹣1＝t，则＝t+1，x＝（t+1）2，（t≥﹣1），∴由f（﹣1）＝x+2，得：f（t）＝（t+1）2+2（t+1）＝t2+4t+3，（t≥﹣1），∴f（x）＝x2+4x+3，（x≥﹣1）．（2）：∵二次函数y＝f（x）满足f（0）＝f（2），∴二次函数y＝f（x）图象的对称轴为x＝＝1．又∵二次函数y＝f（x）的最小值为4，∴二次函数y＝f（x）图象的顶点坐标为（1，4），开口向上．∴可设二次函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝a（x﹣1）2+4（a＞0）．∵f（0）＝6，∴a＝2．∴f（x）的解析式为f（x）＝2x2﹣4x+6．六、课堂小结：使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步，设出含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出含待定系数的方程或方程组；第三步，解方程或方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决．七、作业：课本本节练习B1、2.例2已知y ＝f(x)是一次函数，且有2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，求这个函数的解析式．解：设f(x)＝kx ＋b(k≠0)，其中k ，b 待定．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2(2k ＋b)－3(k ＋b)＝5，2b －(－k ＋b)＝1， 解得k ＝3，b ＝－2，即这个函数的解析式f(x)＝3x －2.点评：用待定系数法求函数解析式的一般步骤是：(1)设出函数解析式，其中包括待定的系数；(2)把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组．(3)解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数解析式.变式训练设y ＝f(x)是一次函数，且有f[f(x)]＝9x ＋8，求f(x)．解：设此一次函数是f(x)＝ax ＋b ，则f[f(x)]＝af(x)＋b ＝a(ax ＋b)＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝9x ＋8，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝9，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－4. 即函数的解析式为f(x)＝3x ＋2或f(x)＝－3x －4.课堂小结本节课学习了待定系数法及其应用．作业课本本节练习B 1、2.。

2.2.3 待定系数法一． 学习目标1.掌握常用函数的解析式形式；2.掌握待定系数法求解析式的一般步骤；二．知识点1. 待定系数法定义一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式, 可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做_________.2. 利用待定系数法解决问题的步骤：○1确定所求问题含有待定系数解析式. ○2根据_______, 列出一组含有待定系数的方程. ○3解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决. 3. 用待定系数法求二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：○1 一般式：c bx ax y ++=2 （a 、b 、c 为常数，且0≠a ）. ○2 顶点式：k h x a y +-=2)( （a 、b 、c 为常数, 0≠a ）. ○3 交点式：))((21x x x x a y --=（a 、1x 、2x 为常数, 0≠a ）. 要确定二次函数的解析式，就是要确定解析式中的_______， 由于每一种形式中都含有___________，所以用待定系数法求二次函数解析式时，要具备三个独立条件.三．例题例1. 已知一个正比例函数的图象经过点（－3，4），求这个函数的解析表达式 .变式：○1 已知一次函数图象经过点（－4，15），且与正比例函数图象交于点（６，－５），求此一次函数和正比例函数的解析式.○2 若()x f 是一次函数，()[]1516+=x x f f ，求其解析式例2． 根据下列条件，求二次函数c bx ax ++=2y 的解析式.○1图象过点（2，0）、（4，0）及点（0，3）；○2图象顶点为（1，2），并且图象过点（0，4）；○3图象过点（1，1）、（0，2）、（3，5）.四．限时训练1. 已知一次函数k kx y -=是增函数， 则它的图象经过（ ）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第二、三、四象限D. 第一、三、四象限2. 抛物线c bx ax y ++=2 (0≠a ) 和b ax y +=在同一坐标系中如下图，正确的示意图是（ ）3. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象顶点为（2，－1），与y 轴交点坐标为（0，11），则（ ）A. a=1, b=－4, c=－11B. a=3, b=12, c=11C. a=3, b=－6, c=11D. a=3, b=－12, c=114. 已知5+y 与43+x 成正比例， 且当1=x 时，2=y . 则y 与x 的函数关系式______________.5. 已知一次函数)(x f 有89)]([+=x x f f ， 则)(x f 的解析式__________.6. 若函数3)2(2+++=x a x y ，][b a x ,∈的图象关于直线1=x 对称，则b 为__________.7. 已知抛物线经过点（1，3），顶点是（2，2），则其解析式为___________.8. 抛物线与x 轴交于A )(0,2-，B )(0,2, 并且在y 轴上的截距为4，则其方程为_______________.B. C. D. A.9. 二次函数满足)1()1(x f x f -=+， 且在x 轴上的一个截距为－1，在y 轴上的截距为3，则其方程为_______________.10. 在函数c bx ax x f ++=2)(中，若ac b =2，且4)0(-=f ，则该函数有最______值(填“大”或“小”)，且该值为___________.11. 已知)(x f 是一次函数，且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ， 求)(x f ．12. 已知二次函数)(x f 对任意实数t 满足关系式)2()2(t f t f -=+，且)(x f 有最小值9-．又知函数)(x f 的图象与x 轴有两个交点，它们之间的距离为6，求函数)(x f 的解析式．13. 已知)(x f 是二次函数，且552)()2(2++=++x x x f x f .求)(x f 的解析式.。

2.2 一次函数和二次函数自主整理(1)定义:函数y=kx+b(k≠0)叫做一次函数,又叫线性函数;它定义域为R ,值域为R .(2)性质:①函数改变量y 2-y 1与自变量改变量x 2-x 1比值等于常数k;k 大小表示直线与x 轴倾斜程度; ②当k>0时,一次函数为增函数,当k<0时,一次函数为减函数;③当b=0时,一次函数为正比例函数,是奇函数;当b≠0时,一次函数既不是奇函数也不是偶函数;④直线y=kx+b(k≠0)与x 轴交点为(kb -,0),与y 轴交点为(0,b).(1)定义:函数y=ax 2+bx+c(a≠0)叫做二次函数,它定义域为R .(2)性质:①函数图象是一条抛物线,它顶点坐标为(a b 2-,),它对称轴为x=ab 2-. ②当a>0时,抛物线开口向上,函数在x=a b 2-处取得最小值,在区间(-∞,a b 2-］上是减函数,在区间［ab 2-,+∞)上是增函数. ③当a<0时,抛物线开口向下,函数在x=a b 2-处取得最大值,在区间［a b 2-,+∞)上是减函数,在区间(-∞,ab 2-］上是增函数. ④当二次函数图象对称轴与y 轴重合即b=0时二次函数为偶函数,否那么既不是奇函数也不是偶函数.⑤在y=ax 2(a≠0)中,假设a>0,a 越大,抛物线开口越小,a 越小,抛物线开口越大;反之,假设a<0,a 越大,抛物线开口越大,a 越小,抛物线开口越小.总之,y=ax 2(a≠0)中,假设|a|越大,抛物线开口越小,|a|越小,抛物线开口越大.(3)三种形式:①一般式:f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),其中a 是开口方向与大小,c 是y 轴上截距,而a b 2-是对称轴.②顶点式(配方式):f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)是抛物线顶点坐标.h=ab 2 ,k=. ③两根式(因式分解):f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(a≠0),其中x 1、x 2是抛物线与x 轴两个交点横坐标.如果知道一个函数一般形式,可先把所求函数写为一般形式,其中系数待定,然后再根据题设条件求出这些待定系数,这种通过求待定系数来确定变量之间关系式方法称为待定系数法. 高手笔记1.常数函数是较为特殊函数,原因在于在函数解析式y=b 中没有出现自变量x.其实常数函数就是一个多对一映射.注意:当a=0时,函数y=ax 2=0是一个常数函数,其图象即为x 轴.2.式子x=a(a 是一固定常数)虽然含有x,但不能称其为函数,原因在于一个x 对应无穷多个y,不符合函数定义,应将其与y=b 区别开来.3.二次函数是重要根底函数,必须作为重点内容来掌握.应从解析式、定义域、值域、图象、单调性、奇偶性几个方面内容进展把握.4.解决二次函数问题一定要牢牢树立数形结合思想,通过对函数图象分析寻找解决问题思路和分类讨论依据.名师解惑1.如何认识与理解常数函数？剖析:要全面认识一个函数,主要从解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等五个方面来认识,对于常数函数:解析式:当k=0时,y=kx+b 就变成了y=b,这就是常数函数解析式,其中b 是某一固定常数.这个解析式特点在于没有出现自变量x,这也是许多同学对常数函数感到难于理解原因.定义域:自变量x 可以取任意实数.解析式中没有出现x,说明解析式对x 没有要求,可以取任意实数.值域:常数函数值域为{b}.常数函数只有一个函数值b,就是说不管自变量怎么取值,都对应同一个函数值b.图象:因为不管自变量x 取什么值都对应一个函数值b,所以函数图象是平行于x 轴水平直线(特殊情况是x 轴).单调性:因为函数值是固定常数b,没有增减变化,函数图象也是一条水平直线,没有起伏变化,所以常数函数在定义域上没有单调性.奇偶性:定义域为R ,并且f(-x)=f(x)=b,所以一定是偶函数.如果b=0那么既是奇函数又是偶函数.2.如何由函数y=x 2图象变化得到函数y=a·x 2(a≠0)图象？又如何由函数y=ax 2(a≠0)图象变化得到y=a(x+h)2+k(a≠0)图象？再如何由函数y=ax 2(a≠0)图象得到函数y=ax 2+bx+c(a≠0)图象？剖析:(1)二次函数y=a·x 2(a≠0)图象可由y=x 2图象各点纵坐标变为原来a 倍得到,而横坐标保持不变.(2)二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)可由y=ax 2(a≠0)图象向左(或向右)平移|h|个单位,再向上(或下)平移|k|个单位得到.(3)要得到二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)图象,先将其化为y=a(x+h)2+k(a≠0)形式,再通过y=ax 2(a≠0)图象上下左右平移得到.3.二次函数性质常见有哪些综合应用？剖析:(1)关于对称轴问题:假设二次函数f(x)满足f(t+x)=f(t-x),那么f(x)关于直线x=t对称,这一性质对于一般函数也适用.(2)关于二次函数在闭区间上最值问题:当a>0时,f(x)在区间［p,q ］上最大值为M,最小值为m,令x 0=21(p+q). 假设a b 2-<p,那么f(p)=m,f(q)=M; 假设p≤a b 2-<x 0,那么f(ab 2-)=m,f(q)=M; 假设x 0≤a b 2-<q,那么f(p)=M,f(ab 2-)=m; 假设a b 2-≥q,那么f(p)=M,f(q)=m. (3)关于二次方程f(x)=ax 2+bx+c=0实根分布问题:①方程f(x)=0两根中一根比r 大,另一根比r 小a·f(r)<0.②二次方程f(x)=0两根都大于r ⇔③二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根⇔讲练互动【例题1】方程ax-by+c=0(ab≠0)所对应一次函数,当a 、b 满足什么条件时函数为减函数 分析：首先将直线方程化为一次函数y=kx+b 形式,然后根据k>0时函数为增函数,k<0时函数为减函数,进而求得a 、b 所满足条件,即ab<0. 解：把ax-by+c=0整理,得y=b a x+bc , 要使得一次函数为减函数,那么b a <0,即只要a 、b 异号就可以了. 绿色通道处理一次函数问题常把解析式整理成标准形式,然后再求解.变式训练1.直线mx+(m-2)y=3(m≠2,m≠0)所对应一次函数,当函数为增函数时m 满足条件是( )A.0<mB.m<2C.0<m<2解析：把mx+(m-2)y=3整理,得y=x+,要使得一次函数为增函数,那么>0,即只要-m 、m-2同号就可以了,所以易得0<m<2. 答案：C【例题2】二次函数f(x)=ax 2+(2a-1)x+1在区间［23-,2］上最大值为3,求实数a 值. 分析：这是一个逆向最值问题,假设从求最值入手,需分a>0与a<0两大类五种情形讨论,过程烦琐不堪.假设注意到f(x)最值总是在闭区间端点或抛物线顶点处取到,因此先计算这些点函数值,再检验其真假,过程简明.解：(1)令f()=3,得a=21-. 此时抛物线开口向下,对称轴为x=-2,且-2［23-,2］,故a=21-不合题意. (2)令f(2)=3,得a=21,此时抛物线开口向上,对称轴为x=0,闭区间右端点2距离对称轴远些,故a=21符合题意. (3)假设f(23-)=3,得a=32-,此时抛物线开口向下,对称轴为x=47-,闭区间为单调减区间,所以a=-32符合题意. 综上,a=21或a=32-. 绿色通道此题利用特殊值检验法,先计算特殊点(闭区间端点、抛物线顶点)函数值,再检验其真假,思路明了、过程简洁,是解决逆向型闭区间二次函数最值问题一种有效方法.变式训练2.二次函数y=x 2+2ax-3,x∈［1,2］,试求函数最小值.分析：首先观察到函数图象过(0,-3),再考虑对称轴位置,由于对称轴在不同位置会出现不同结果,所以需要分三种情况讨论.解：y=x 2+2ax-3=(x+a)2-a 2-3,当-a∈(2,+∞),即a<-2时,此时函数在［1,2］上为减函数,故此时最小值为f(2)=4a+1; 当-a∈(-∞,1),即a>-1时,函数最小值为f(1)=2a-2;当-a∈［1,2］,即-2≤a≤-1时,函数最小值为f(-a)=-a 2-3.【例题3】二次函数图象过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点,求这个二次函数解析式.分析：是二次函数,且知三个点坐标,所以可以先设出二次函数解析式,用待定系数法求得.解：根据题意设这个二次函数解析式为y=ax 2+bx+c(a≠0),然后将图象所经过三个点坐标分别带入方程,联立三个方程,得解得故f(x)=23x 223-x+1. 绿色通道使用待定系数法解题根本步骤是第一步,设出含有待定系数解析式;第二步,根据恒等条件,列出含待定系数方程或方程组;第三步,解方程或方程组解出待定系数,使问题得到解决.变式训练3.假设f(x)为一次函数,且满足f ［f(x)］=1+2x,那么f(x)解析式为______.解析：f(x)为一次函数,可以使用待定系数法.设f(x)=kx+b,那么f ［f(x)］=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k 2x+kb+b,利用对应系数相等即可求得k=2-,b=2--1或k=2,b=2-1.答案：f(x)=2-x 2--1或f(x)=2x+2-14.〔2007黄冈第一次高三诊断试卷,17〕二次函数f(x)满足条件f(0)=1,及f(x+1)-f(x)=2x.(1)求f(x)解析式;(2)求f(x)在[-1,1]上最值.分析：此题求函数解析式根本方法仍然是待定系数法,但确定待定系数方法是根据代数式恒等对应项系数相等来确定.求函数在给定区间上最值时,要注意对称轴位置.解：(1)由f(0)=1,可设f(x)=ax 2+bx+1.那么由f(x+1)-f(x)=2x,可得2ax+a+b=2x.∴a=1,a+b=0,即b=-1.∴f(x)=x 2-x+1.(2)∵f(x)=x 2-x+1=(x 21-)2+43, 又x∈［-1,1］,∴当x=21时有最小值43,x=-1时有最大值3. 【例题4】二次函数f(x)=ax 2+bx+c,a∈N *,c≥1,a+b+c≥1,方程ax 2+bx+c=0有两个小于1不等正根,那么a 最小值为( )B.3C.4解析：由题意有由于方程有两个小于1不等正根,画图可知0<a b 2-<1,即b 2<4a 2. ∴4ac<b 2<4a 2,即a(a-c)>0.又a∈N *,且c≥1,∴a 最小值为2.答案：A绿色通道一般地,一元二次方程根分布情况问题往往从三个角度加以考虑:Δ符号,对称轴是否在区间内,端点函数值正负.变式训练2+2mx+2m+1=0.假设方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m 范围. 分析：二次方程根问题实质上是讨论二次函数图象与x 轴交点与坐标原点位置关系问题,因此,理解交点及二次函数系数(a ——开口方向,a 、b ——对称轴,c ——图象与y 轴交点)几何意义,掌握二次函数图象特点,是解决此类问题关键.解：条件说明抛物线f(x)=x 2+2mx+2m+1与x 轴交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=.65,21,,21056)2(024)1(02)1(012)0(m m R m m m f m f f m f ∴65-<m<21-. 教材链接1.［探索与研究］设一次函数y=5x-3,取一系列x值,使得每一个x值总是比前一个大2,然后计算对应y值,这一系列函数值之间有什么关系？对任意一个一次函数都有类似性质吗？答:对于一次函数y=5x-3,取一系列x值总是比前一个大2时,那么有与之对应每一个y值总是比前一个大10;对任意一个一次函数y=kx+b(k>0),假设取一系列x值总是比前一个大m 时(m为正整数),那么有与之对应每一个y值总是比前一个大mk.2.［探索与研究］结合课件1207,对一次函数性质进展探索.答:注意强调一次函数定义中一次项系数k≠0这一条件,当k=0时,函数为y=b,它不再是一次函数,它图象是一条与x轴平行直线,通常称为常值函数.函数值改变量y2-y1与自变量改变量x2-x1比值,称作函数x1到x2之间平均变化率,对一次函数来说它是一个常数,等于这条直线斜率.一次函数y=kx+b(k≠0)单调性与一次项系数正负有关,当k>0时,函数为增函数,当k<0时,函数为减函数.理由如下:设x1、x2是任意两个不相等实数,且x1<x2,那么Δx=x2-x1>0,所以Δy=f(x2)-f(x1)=(kx2+b)-(kx1+b)=k(x2-x1)=kΔx.当k>0时,kΔx>0,所以Δy>0,所以f(x)在R上是增函数;当k<0时,同理可证f(x)在R上是减函数.要准确地作出一次函数图象,只要找准图象上两个点即可,这两个点通常是找图象与坐标轴交点.3.［探索与研究］在同一坐标系中,作函数y=x2,y=(x+1)2,y=(x-1)2,y=x2+1,y=x2-1图象,研究它们图象之间关系.答:列表:x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …y=x2…9 4 1 0 1 4 9 …y=(x+1)2… 4 1 0 1 4 9 16 …y=(x-1)2…16 9 4 1 0 1 4 …y=x2+1 …10 5 2 1 2 5 10 …y=x2-1 …8 3 0 -1 0 3 8 …在同一坐标系中画出这五个图,如图2-2-1所示:图2-2-1通过图象,可知后四个图象都可以由y=x2通过左右上下平移得到,y=(x+1)2由y=x2向左平移一个单位得到;y=(x-1)2由y=x2向右平移一个单位得到,y=x2+1由y=x2向上平移一个单位得到,y=x 2-1由y=x 2向下平移一个单位得到.4.［探索与研究］二次函数y=ax 2+bx+c=a(x+a b 2)2+中a 、b 、c 对函数性质与图象各有哪些影响？ 答:二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)中系数a 、b 、c 决定着函数图象和性质.(1)二次项系数a 决定了函数图象开口方向、开口大小和单调性,当a>0时,开口向上,a 越大,开口越小,函数在对称轴两侧先减后增.当a<0时,开口向下,a 绝对值越大开口越小,函数在对称轴两侧先增后减.(2)b 是否为零决定着函数奇偶性.当b=0时,函数为偶函数;当b≠0且c≠0时,函数既不是奇函数也不是偶函数.(3)c 是否为零决定着函数图象是否经过原点.另外,a 和b 共同决定着函数对称轴,a 、b 和c 三者共同决定着函数顶点位置.5.［探索与研究］请同学们自己探索研究一下,给定哪些条件,才能求出一个具体二次函数.答:运用待定系数法求二次函数解析式时,一般可设出二次函数一般形式y=ax 2+bx+c(a≠0),但如果函数对称轴或顶点坐标或最值,那么解析式可设为y=a(x-h)2+k 会使求解比拟方便.具体来说:(1)顶点坐标为(m,n),可设为y=a(x-m)2+n,再利用一个独立条件求a;(2)对称轴方程x=m,可设为y=a(x-m)2+k,再利用两个独立条件求a 与k;(3)最大值或最小值为n,可设为y=a(x+h)2+n,再利用两个独立条件求a 与h;(4)二次函数图象与x 轴只有一个交点时,可设为y=a(x+h)2,再利用两个独立条件求a 与h.。

2.2.3待定系数法学习目标 1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求一元一次函数、一元二次函数及反比例函数解析式.2.掌握待定系数法的特征，会用待定系数法求解综合问题．知识点待定系数法思考1若一个正比例函数y＝kx(k≠0)过点(2,3)．如何求这个函数解析式？思考2在思考1中，求解析式的方法有什么特点？梳理 1.待定系数法定义一般地，在求一个函数时，如果知道________________，先把所求函数写为__________，其中系数待定，然后再根据__________求出这些待定系数．这种通过求________来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．2．几种基本初等函数的解析式(1)正比例函数的一般形式是________________．(2)一次函数的一般形式是________________．(3)反比例函数的一般形式是________________．(4)二次函数有三种常见形式，求解析式时，要根据具体情况，设出适当的形式：①一般式________________，这是二次函数的标准形式；②顶点式________________，其中________是抛物线的顶点；③知两根可设为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根，即抛物线与x轴两交点的横坐标．类型一待定系数法求解析式命题角度1待定系数法求一次函数解析式例1已知f(x)是一次函数，且有2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，求这个函数的解析式．反思与感悟在函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．跟踪训练1已知函数f(x)是一次函数，且有f[f(x)]＝9x＋8，求此一次函数的解析式．命题角度2待定系数法求二次函数解析式例2二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，求这个二次函数的解析式．引申探究若二次函数f(x)满足f(2)＝f(4)＝0，且过点(0,6)，求这个二次函数的最值．反思与感悟二次函数常见的表达式有三种：一般式、顶点式、两根式，选择合适的表达式能起到事半功倍的效果．(1)一般地，若已知函数经过三点，常设函数的一般式；(2)若题目中出现顶点坐标、最大值、对称轴等信息时，我们可考虑函数的顶点式；(3)若题目中给出函数与x轴的交点或二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，可设函数的两根式．跟踪训练2求下列二次函数的解析式．(1)已知y＝f(x)是二次函数，且图象过点(－2,20)，(1,2)，(3,0)；(2)已知二次函数的顶点为(－1，－2)，且图象经过点(2,25)；(3)已知二次函数与x轴交点为(－2,0)，(3,0)，且函数图象经过点(－1,8)．类型二 待定系数法的综合应用例3 如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式，并求该函数的值域．反思与感悟 由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后根据不同区间上的函数类型，利用待定系数法求出相应解析式．跟踪训练3 已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174，求(1)f (x )的解析式；(2)求证f (x )在(12，＋∞)上为增函数．1．已知一个正比例函数的图象过点(2,8)，则这个函数的解析式为( ) A ．y ＝4x B ．y ＝－4x C ．y ＝14xD ．y ＝－14x2．已知一个一次函数的图象过点(1,3)(3,4)，则这个函数的解析式为( ) A ．y ＝12x －52B ．y ＝12x ＋52C ．y ＝－12x ＋52D ．y ＝－12x －523．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过(1,0)，(2,5)两点，则二次函数的解析式为( ) A ．y ＝x 2＋2x －3 B ．y ＝x 2－2x －3 C ．y ＝x 2＋2x ＋3D ．y ＝x 2－2x ＋64．二次函数的图象过原点，且顶点为(1,2)，那么二次函数的解析式为________． 5．如图是二次函数y ＝f (x )的图象，若x ∈[－2,1]，则函数f (x )的值域为________．1．求待定系数的方法——列方程组(1)利用对应系数相等列方程(组)； (2)由恒等的概念用数值代入法列方程(组)； (3)利用定义本身的属性列方程(组)． 2．待定系数法的适用条件要判定一个问题是否能用待定系数法求解，主要看所求的数学问题是否具有确定的数学表达式．例如，求具体函数解析式时即可用待定系数法求解．答案精析问题导学 知识点思考1 ∵函数y ＝kx 过点(2,3)， ∴3＝k ·2，即k ＝32，∴函数为y ＝32x .思考2 先设出(给出)函数解析式的一般形式，再根据已知条件确定解析式中待确定的系数． 梳理1．这个函数的一般形式 一般形式 题设条件 待定系数 2.(1)y ＝kx (k ≠0，k 是常数) (2)y ＝kx ＋b (k ≠0，k ，b 是常数) (3)y ＝kx (k ≠0，k 是常数)(4)①y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) ②y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0) (h ，k ) 题型探究例1 解 设所求的一次函数是f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，其中k ，b 待定. 根据已知条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2(2k ＋b )－3(k ＋b )＝5，2b －(－k ＋b )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧k －b ＝5，k ＋b ＝1， 解此方程组，得k ＝3，b ＝－2. 因此所求的函数是y ＝3x －2.跟踪训练1 解 设该一次函数是y ＝ax ＋b ，由题意得f [f (x )]＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝9x ＋8.因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，ab ＋b ＝8，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－4.所以一次函数为f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4. 例2 解 设二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 方法一 则顶点坐标为⎝⎛⎫－b 2a，4ac －b 24a ，∴⎩⎨⎧－b2a＝2， ①4ac －b24a ＝3， ②又二次函数过点(3,1)， ∴1＝9a ＋3b ＋c .③ 联立方程①②③解方程组， 得：a ＝－2，b ＝8，c ＝－5， ∴二次函数解析式为y ＝－2x 2＋8x －5.方法二 设二次函数顶点式方程为y ＝a (x －2)2＋3， ∵二次函数图象过点(3,1)， ∴1＝a ×1＋3， ∴a ＝－2，∴y ＝－2(x －2)2＋3，即y ＝－2x 2＋8x －5.引申探究 解 设二次函数的两根式为y ＝a (x －2)(x －4)， ∴6＝a ×(－2)×(－4)， ∴a ＝34，∴y ＝34x 2－92x ＋6.当x ＝3时，函数的最小值为－34，无最大值．跟踪训练2 解 (1)设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－2b ＋c ＝20，a ＋b ＋c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝6，∴y ＝x 2－5x ＋6. (2)设y ＝a (x ＋1)2－2， ∴25＝a ×32－2， ∴a ＝3， ∴y ＝3x 2＋6x ＋1. (3)设y ＝a (x ＋2)(x －3)， ∴a ×1×(－4)＝8， ∴a ＝－2， ∴y ＝－2x 2＋2x ＋12.例3 解 设左侧的射线对应的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)，因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1，b ＝2，解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数的解析式为 y ＝－x ＋2(x <1)，同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x >3)． 当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数． 设其方程为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a ＜0)， 由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1， 所以抛物线对应的函数解析式为 y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)． 综上，函数的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 (x ＜1)，－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)，x －2 (x >3)，由图象可知函数的最小值为1，无最大值， 所以，值域为[1，＋∞)．跟踪训练3 (1)解 ∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∴－ax －b x ＋c ＝－ax －bx －c ，∴c ＝0，∴f (x )＝ax ＋bx .又f (1)＝52，f (2)＝174，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174，∴a ＝2，b ＝12.∴f (x )＝2x ＋12x.(2)证明 设x 1，x 2∈(12，＋∞)且x 1＜x 2.则f (x 2)－f (x 1)＝(2x 2＋12x 2)－(2x 1＋12x 1)＝2(x 2－x 1)＋x 1－x 22x 1x 2＝(x 2－x 1)4x 1x 2－12x 1x 2.∵x 2＞x 1＞12，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞14，∴4x 1x 2＞1，∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在(12，＋∞)上是增函数．当堂训练1．A 2.B 3.A 4.y ＝－2x 2＋4x 5．[0,4]。

人教版高中必修1(B版) 2.2.3 待定系数法课程设计一、课程设计背景待定系数法是高中数学中的重要内容，其在二次函数、三角函数、指数函数、对数函数等章节中都有应用。

本课程设计旨在帮助学生全面理解待定系数法的概念和应用，掌握其运用方法，并能熟练应用待定系数法解决实际问题。

二、课程设计目标1.理解待定系数法的概念和特点；2.掌握待定系数法的求解方法；3.熟练掌握待定系数法在实际问题中的应用；4.能够独立运用待定系数法解决相关的数学问题。

三、教学内容1. 待定系数法的概念和基本思想1.待定系数法的定义；2.待定系数法的基本思想；3.待定系数法在数学中的应用。

2. 待定系数法的具体操作1.一般式Ax² + Bx + C的展开式；2.齐次方程Ax² + Bx + C = 0的求解方法；3.非齐次方程Ax² + Bx + C = D的求解方法。

3. 待定系数法的应用实例1.二次函数的相关问题；2.三角函数的相关问题；3.指数函数和对数函数的相关问题。

四、教学方法1. 案例教学法通过实际问题的案例，引导学生理解待定系数法的基本思想和运用方法。

2. 归纳总结法通过对待定系数法的多个应用实例的总结归纳，让学生理解其运用规律。

3. 自主探究法让学生在教师的指导下，自行探究待定系数法的应用方法，并通过练习题提高解题能力。

五、教学评估1. 课堂小测在课堂上设置小测验，检验学生对于待定系数法的理解程度。

2. 作业答辩通过学生的作业答辩，检验学生的解题能力和应用能力。

3. 期末考试期末考试主要测试学生对于待定系数法的掌握程度和应用能力。

六、教学内容的具体实施1. 教材选用人教版高中数学必修1(B版)。

2. 教学时间安排共需12学时，每学时45分钟。

3. 教学资料准备1.教师精心准备的教案，提前打印发给学生；2.与教学内容紧密相关的练习题。

七、教学反思本课程设计在教学过程中，针对学生的理解能力、解题能力和应用能力进行了全方位的提高和训练，取得了较好的教学效果。

f (x) 2x 1 或f (x) 2x 3223待定系数法学案【预习达标】1用待 定系数法解题时，关键步骤是什么？ ________________ 2. 二次函数的解析式有哪些形式？ 【课前达标】 1基本知识填空：(1)、一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可以把所求的函数写为一 般形式，其中 ________________________ ，然后再根据题设条件求出这些待定系数， 这种通过____________ 求 ____________ 来确定 ______________ 的方法，叫待定系数法。

(2)、正比例函数的一般形式为 ________________________________ , 一次函数的一般形式为 ____ . ________________________ ，二次函数的一般形式为 ______________________________ . 2•正比例函数的图象经过(1, 4)点，则此函数的解析式为 ________ ________________ 3. 二次函数的图象的顶点坐标为(1,2),且过(0 , 0)点，则函数解析式为 ___________________参考答案： 2. y 4x 3. y 2(x 1)2 2【典例解析】例1.已知f(x)是一次函数，且 f[(x)] 4x 3，求f(x)。

b 为常数，若 f(x) x 2 4x 3, f (ax b) x 2 10x 24,则5a b ______ 参考答案:例 1 .解：设 f (x) kx b(k 0),即k xkb b 4x 3k 24k 2亠 k 23解得或kb bb 1b3例2.已知二次函数的图象过点( 的解析式。

1 , 4),且与x 轴的交点为(-1 , 0)和(3, 0)，求函数例3 .已知a ,f[ f (x)] k(kx b) b评析：已知函数是一次函数，故设出一般形式，再求相应的系数4 a b c 0 a b c ，解得 a 1,b 3,c30 9a 3bcf(x)x 22x 3f(x) (x 1)(x 3) x 2 2x 3例3.a 1或a 1，所以5a b 2b 3 b 7二、 填空题：3、 直线 y x 2与抛物线 y x 2 2x 的交点坐标为 __________________________________4、 若抛物线y x 2 6x c 的顶点在x 轴上，那么c 的值为 _____________________ , _____ 三、 解答题：5、已知二次函数满足 f(3x 1) 9x 2 6x 5,求f(x)6、设f(x)为定义在实数集上的偶函数，当 x 1时，图象为经过点(-2 , 0)，斜率为1的射线，又 1 x 1时图象是顶点为(0, 2),且过点(-1 , 1)的一段抛物线，求函 数的表达式。

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2.2.3 待定系数法1．了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式．（重点)2．掌握待定系数法的特征及应用,了解待定系数法在函数中的应用．(难点）［基础·初探］教材整理待定系数法阅读教材P61～P62“例1”以上部分内容，完成下列问题．一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式,可先把所求函数写为一般形式,其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）(1)确定一次函数的解析式只需要二个条件即可．( )(2)一个反比例函数的图象过（2，8)点，则其解析式为y＝－错误!.( )（3）一次函数的图象经过点(1,3），(3,4），则其解析式为y＝12x＋错误!.（）【答案】(1)√（2)×（3)√2．若函数y＝kx＋b的图象经过点P(3，－2）和Q（－1，2），则这个函数的解析式为（) A．y＝x－1 B．y＝x＋1C．y＝－x－1 D．y＝－x＋1【解析】把点P（3，－2）和Q(－1,2）的坐标分别代入y＝kx＋b,得错误!解得错误!所以y＝－x＋1，故选D。

2.2.3 待定系数法整体设计教学分析 在初中阶段，学生已经对待定系数法有了认知基础．由于待定系数法是解决数学问题的重要方法，所以本节进一步学习．教材利用实例引入了待定系数法，并且通过两个例题介绍了其应用．值得注意的是本节重点应放在运用待定系数法求函数的解析式上，对于其他方面的应用不必过多延伸．三维目标1．了解待定系数法，通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲，培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力．2．掌握用待定系数法求函数解析式的方法及其应用，提高学生解决问题的能力． 重点难点教学重点：待定系数法及其应用． 教学难点：待定系数法的应用． 课时安排 1课时教学过程 导入新课思路1.已知一次函数y ＝f(x)的图象经过点(1,2)和(2，－1)，求一次函数y ＝f(x)的解析式，我们用什么方法？(待定系数法)教师指出本节课题．思路 2.这节课我们学习求一次函数和二次函数解析式的方法——待定系数法，教师指出本节课题．推进新课 新知探究 提出问题①两个关于x 的一元多项式ax 2－x ＋4与2x 2＋bx ＋c 相等，即任意x ∈R ，总有ax 2－x ＋4＝2x 2＋bx ＋c ，求a ，b ，c 的值.②两个一元多项式相等的条件是什么？ ③已知一次函数y ＝的图象经过点，和，－，求一次函数y ＝的解析式即前面导入中的问题④这种求函数解析式的方法称为什么？ ⑤待定系数法有什么优点？讨论结果：①a＝2，b ＝－1，c ＝4.②两个一元多项式分别整理成标准式(按降幂排列)之后，当且仅当它们对应同类项的系数相等，则称这两个多项式相等．③设f(x)＝kx ＋b(k≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，2k ＋b ＝－1，解得k ＝－3，b ＝5.即f(x)＝－3x ＋5. ④待定系数法．⑤待定系数法的特点是先根据数量之间的关系所具有的形式，假定一个含有待定的系数的恒等式，然后根据恒等式的性质列出几个方程，解这个方程组，求出各待定系数的值或从方程组中消去这些待定系数，找出原来那些已知系数之间的关系，从而使问题得到解决．应用示例思路1例1已知一个二次函数f(x)，f(0)＝－5，f(－1)＝－4，f(2)＝－5，求这个函数．解：设所求函数为f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c 待定．根据已知条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧0＋0＋c ＝－5，a －b ＋c ＝－4，4a ＋2b ＋c ＝5，解此方程组，得a ＝2，b ＝1，c ＝－5.因此所求函数为f(x)＝2x 2＋x －5.点评：求二次函数解析式可用待定系数法，已知图象上任意三点的坐标时，二次函数解析式设为一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)；已知顶点坐标时，二次函数解析式设为顶点式y＝a(x －m)2＋n(a≠0)比较简便；已知抛物线与x 轴的两个交点的坐标，或一个交点的坐标及对称轴方程或顶点的横坐标时，二次函数解析式设为零点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)比例2已知y ＝f(x)是一次函数，且有2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，求这个函数的解析式．解：设f(x)＝kx ＋b(k≠0)， 其中k ，b 待定．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2(2k ＋b)－3(k ＋b)＝5，2b －(－k ＋b)＝1，解得k ＝3，b ＝－2，即这个函数的解析式f(x)＝3x －2.点评：用待定系数法求函数解析式的一般步骤是： (1)设出函数解析式，其中包括待定的系数；(2)把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组． (3)解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数解析式.例1已知f(x)＝ax ＋7，g(x)＝x 2＋2x ＋b ，且f(x)＋g(x)＝x 2＋22x ＋9，试求a 、b 的值．解：f(x)＋g(x)＝ax ＋7＋x 2＋2x ＋b ＝x 2＋(2＋a)x ＋(7＋b)，则⎩⎨⎧2＋a ＝22，7＋b ＝9，解得a ＝2，b ＝2.点评：对任意x∈R ，f(x)＝ax 2＋bx ＋c ＝a′x 2＋b′x＋c′⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝a′，b ＝b′，c ＝c′.例2一根弹簧原长是12厘米，它能挂的重量不超过15 kg ，并且每挂重量1 kg 就伸长0.5厘米，挂后的弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)是一次函数的关系．(1)求y 与x 的函数解析式； (2)写出函数的定义域； (3)画出这个函数的图象． 解：(1)设y ＝kx ＋b(k≠0)．由于弹簧原长是12厘米，则f(0)＝12，所以b ＝12， 每挂重量1kg 就伸长0.5厘米，则k ＝0.5， 所以y 与x 的函数解析式是y ＝0.5x ＋12. (2)[0,15]．(3)图象如下图所示．点评：解决本题的关键是审清题意，读懂题．弹簧原长是12厘米是指当x ＝0时，y ＝12；每挂重量1 kg 就伸长0.5厘米，是指斜率k ＝0.5.知能训练1．已知在x 克a%的盐水中，加入y 克b%的盐水，浓度变为c%，将y 表示成x 的函数关系式( )A ．y ＝c －a c －b xB ．y ＝c －a b －c xC ．y ＝c －b c －a xD ．y ＝b －c c －a x解析：由题意得xa%＋yb%x ＋y ＝c%，解得y ＝c －a b －cx.答案：B2．二次函数的图象过点A(0，－5)，B(5,0)两点，它的对称轴为直线x ＝3，求这个二次函数的解析式．解：∵二次函数的图象过点B(5,0)，对称轴为直线x ＝3，∴设抛物线与x 轴的另一个交点C 的坐标为(x 1,0)，则对称轴：x ＝1＋x 22， 即＋x 12＝3，∴x 1＝1.∴C 点的坐标为(1,0)． 设二次函数解析式为y ＝a(x －1)(x －5)，又∵图象过A(0，－5)，∴－5＝a(0－1)(0－5)，即－5＝5a.∴a＝－1.∴y＝－(x －1)(x －5)＝－x 2＋6x －5. 拓展提升二次函数图象经过点(1,4)，(－1,0)和(3,0)三点，求二次函数的解析式．解法一：设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)， ∵二次函数图象过点(1,4)，(－1,0)和(3,0)， ∴a＋b ＋c ＝4，①a－b＋c＝0，②9a＋3b＋c＝0，③解得a＝－1，b＝2，c＝3，∴函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3.解法二：∵抛物线与x轴相交两点(－1,0)和(3,0)，∴1＝－1＋2.∴点(1,4)为抛物线的顶点．设二次函数解析式为y＝a(x＋h)2＋k，∴y＝a(x－1)2＋4.∵抛物线过点(－1,0)，∴0＝a(－1－1)2＋4，得a＝－1.∴函数的解析式为y＝－1(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.解法三：由题意可知两根为x1＝－1、x2＝3，设二次函数解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，∵函数图象过点(1,4)，∴4＝a(1＋1)(1－3)，得a＝－1.∴函数的解析式为y＝－1(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.课堂小结本节课学习了待定系数法及其应用．作业课本本节练习B 1、2.设计感想本节教学设计中，注重了待定系数法的应用，其理论基础只是简单地作了介绍，这符合课程标准．教师在实际教学中可以对教材适当拓展以适应高考的要求．备课资料待定系数法1．要确定变量间的函数关系，根据所给条件设出某些未定系数，并确定这一关系式的基本表达形式，从而进一步求出表达式中含有的未定系数的方法，叫做待定系数法．其理论依据是多项式恒等原理．也就是依据了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a 值，都有f(a)≡g(a)．或者两个标准多项式中各同类项的系数对应相等．待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出含有未定系数的等式．运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．要判断一个问题是否用待定系数法求解．主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式．如果具有，就可以用待定系数法求解．例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解．使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步，设出含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出含待定系数的方程或方程组；第三步，解方程或方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决．2．运用待定系数法求二次函数的解析式时，一般可设出二次函数的一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，但如果已知函数的对称轴或顶点坐标或最值，则解析式设为y＝a(x－h)2＋k 会使求解比较方便，具体来说：(1)已知顶点坐标为(m，n)，可设y＝a(x－m)2＋n，再利用一个独立条件求a；(2)已知对称轴方程x＝m，可设y＝a(x－m)2＋k，再利用两个独立的条件求a与k；(3)已知最大值或最小值为n，可设y＝a(x＋h)2＋n，再利用两个独立条件求a与h；(4)二次函数的图象与x轴只有一个交点时，可设y＝a(x＋h)2，再利用两个独立条件求a与h.对于用待定系数法求二次函数的解析式，在课堂上要展开讨论，要让学生探索所需的已知条件，然后可由学生自行设计问题、解决问题．。

人教版高中必修1(B版)2.2.3待定系数法教学设计一、教学目标1.了解待定系数法的基本概念及其解题思路；2.掌握通过待定系数法解决一元二次方程组的方法；3.能够在题目中运用待定系数法进行求解。

二、教学重点与难点1.教学重点•学生掌握待定系数法的基本思路；•学生掌握待定系数法解决一元二次方程组的方法；•学生加深对待定系数法的理解。

2.教学难点•学生理解待定系数法的概念；•学生能否独立运用待定系数法解决问题。

三、教学内容及进度安排1. 待定系数法概念及解题思路（1课时）1.待定系数法的基本概念；2.待定系数法的解题思路；3.示例分析及练习。

2. 用待定系数法求解一元二次方程组（3课时）1.一元二次方程组的解法；2.用待定系数法解决一元二次方程组的方法；3.示例分析及练习。

3. 总结与拓展（1课时）1.梳理待定系数法的思路；2.拓展待定系数法在其他问题解决中的应用。

四、教学方法1.归纳法：通过案例讲解待定系数法的应用及求解方法；2.诱导法：通过启发式教学，巧妙引发学生对待定系数法的思考和探索；3.讨论法：在分析解题思路及例题中，鼓励学生提出自己的解法，并讨论其可行性。

五、教学手段1.演示PPT：辅助讲解示范；2.黑板教学：对于关键概念进行强调和梳理；3.练习题：巩固学生对于待定系数法的理解。

六、教学评估方式1.课堂练习：通过对教学内容的练习巩固学生对于待定系数法的掌握情况；2.作业及考核：在教学过程中设置针对性的作业及考核，以全面了解学生对于待定系数法的掌握情况。

七、教学思路与策略待定系数法作为一种高中数学中较为重要的解题方法，需要通过丰富的教学手段和策略，实现教学目标的达成。

在教学过程中，采用诱导和讨论等启发式教学方法，引导学生逐步掌握待定系数法的应用及其解决问题的思路。

进一步通过练习题的巩固，帮助学生深入理解和掌握该方法的本质，同时能够在实际情况中灵活运用。

2.2.3 待定系数法[学习目标] 1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式.2.掌握待定系数法的特征及应用.[预习导引]1.待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.2.正比例函数的一般形式为y ＝kx (k ≠0)，反比例函数的一般形式为y ＝kx(k ≠0)，一次函数的一般形式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，二次函数的一般形式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).要点一 求一次函数的解析式例1 设一次函数f (x )满足f [f (x )]＝4x ＋9，求f (x )的解析式. 解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝a ·f (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b .由f [f (x )]＝4x ＋9，得a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－9.∴f (x )＝2x ＋3或f (x )＝－2x －9.规律方法 设出一次函数解析式，由等量关系列式求解.跟踪演练1 已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x ). 解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则有3f (x ＋1)－2f (x －1) ＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，∴a ＝2，b ＝7，即f (x )＝2x ＋7. 要点二 求二次函数的解析式例2 已知二次函数y ＝f (x )的图象过A (0，－5)，B (5,0)两点，它的对称轴为直线x ＝2，求这个二次函数的解析式.解 方法一 设二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－5＝c ，0＝25a ＋5b ＋c ，－b2a＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝－5.∴所求函数解析式为f (x )＝x 2－4x －5.方法二 设二次函数f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)， 将(0，－5)，(5,0)，代入上式得⎩⎪⎨⎪⎧－5＝4a ＋k ，0＝9a ＋k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，k ＝－9，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －2)2－9， 即f (x )＝x 2－4x －5.方法三 ∵二次函数过点(5,0)，且对称轴为x ＝2， ∴二次函数与x 轴另一交点为(－1,0)， 设二次函数为f (x )＝a (x －5)(x ＋1)(a ≠0)， 将(0，－5)代入得a ＝1， ∴f (x )＝x 2－4x －5.规律方法 用待定系数法求二次函数解析式时，要注意其设法的多样性，由条件选择适当的形式.跟踪演练2 求满足下列条件的二次函数的解析式.(1)已知二次函数的图象经过A (3,0)，B (0，－3)，C (－2,5)三点； (2)已知顶点坐标为(4,2)，点(2,0)在函数图象上； (3)已知y ＝x 2－4x ＋h 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上.解 (1)设所求函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，其中a ，b ，c 待定.根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－3，4a －2b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.因此所求函数为y ＝x 2－2x －3.(2)设所求函数y ＝a (x －4)2＋2(a ≠0)，其中a 待定. 根据已知条件得a (2－4)2＋2＝0，解得a ＝－12，因此所求函数为y ＝－12(x －4)2＋2＝－12x 2＋4x －6.(3)∵y ＝x 2－4x ＋h ＝(x －2)2＋h －4， ∴顶点A (2，h －4)，由已知得(－4)×2－1＝h －4，h ＝－5， ∴所求函数为y ＝x 2－4x －5. 要点三 待定系数法的综合应用例3 如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式，并求该函数的值域.解 设左侧的射线对应的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)，因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1，b ＝2，解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数的解析式为y ＝－x ＋2(x <1)，同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x >3). 当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数. 设其方程为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a ＜0)， 由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1， 所以抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3).综上，函数的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 x ＜1，－x 2＋4x －x，x －x ，由图象可知函数的最小值为1，无最大值， 所以，值域为[1，＋∞).规律方法 由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后根据不同区间上的函数类型，利用待定系数法求出相应解析式.跟踪演练3 已知f (x )是定义在[－6,6]上的奇函数，且f (x )在[－3,3]上是一次函数，在[3,6]上是二次函数，f (6)＝2，又当3≤x ≤6时，f (x )≤f (5)＝3， 求f (x )的解析式.解 因为f (x )在[3,6]上是二次函数，f (x )≤f (5)＝3， 则(5,3)为抛物线的顶点， 所以设f (x )＝a (x －5)2＋3(a ≠0)， 又因为f (6)＝2，代入f (x )得a ＝－1， 所以x ∈[3,6]时，f (x )＝－(x －5)2＋3.当x ＝3时，f (3)＝－1，所以点(3，－1)既在二次函数的图象上又在一次函数的图象上. 又因为f (x )为奇函数，且x ∈[－6,6]，所以f (0)＝0，故可设一次函数式为f (x )＝kx (k ≠0)， 将(3，－1)代入f (x )得k ＝－13.所以一次函数式为f (x )＝－13x .当x ∈[－6，－3]时，－x ∈[3,6]， 所以f (x )＝－f (－x )＝(x ＋5)2－3.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－3，x ∈[－6，－，－13x ，x ∈[－3，3]，－x －2＋3，x ，6].1.已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过(1,0)(2,5)两点，则二次函数的解析式为( ) A.y ＝x 2＋2x －3B.y ＝x 2－2x －3 C.y ＝x 2＋2x ＋3 D.y ＝x 2－2x ＋6 答案 A解析 将(1,0)，(2,5)代入y ＝x 2＋bx ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，①4＋2b ＋c ＝5. ②由①②解得b ＝2，c ＝－3.2.已知一次函数的图象过点(1,3)，(3,4)，则这个函数的解析式为( ) A.y ＝12x －52B.y ＝12x ＋52C.y ＝－12x ＋52D.y ＝－12x －52答案 B解析 设一次函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把点(1,3)，(3,4)代入易知⎩⎪⎨⎪⎧3＝k ＋b ，4＝3k ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝52.3.已知二次函数的图象经过(－1,0)，(1,0)，(2,3)三点，则这个函数的解析式为( ) A.y ＝x 2－1 B.y ＝1－x 2C.y ＝12x 2＋1D.y ＝12x 2－1答案 A解析 设y ＝a (x ＋1)(x －1)(a ≠0)， 将点(2,3)代入得3＝3a ， ∴a ＝1.∴y ＝x 2－1.4.已知某二次函数的图象与函数y ＝2x 2的图象形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( ) A.y ＝2(x －1)2＋3 B.y ＝2(x ＋1)2＋3 C.y ＝－2(x －1)2＋3 D.y ＝－2(x ＋1)2＋3答案 D解析 设所求函数的解析式为y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，由题意可知a ＝－2，h ＝1，k ＝3，故y ＝－2(x ＋1)2＋3.5.已知二次函数f (x )的图象顶点坐标为(1，－2)，且过点(2,4)，则f (x )＝________.答案6x2－12x＋4解析设f(x)＝a(x－1)2－2(a≠0)，因为过点(2,4)，所以有a(2－1)2－2＝4，得a＝6.所以f(x)＝6(x－1)2－2＝6x2－12x＋4.1.求二次函数解析式时，已知函数图象上三点的坐标，通常选择一般式；已知图象的顶点坐标(对称轴和最值)通常选择顶点式；已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，通常选择两根式.2.一般地，函数关系式中有几个待定的系数，就需要有几个独立的条件才能求出函数关系式.。