【精讲优练课】人教版高中数学必修1练习:1.1.1.2 集合的表示(含答案解析)
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2022-2022年高一必修一第1章1.1.2 集合的基本关系数学题带答案和解析(人教A版)填空题已知集合M={x|2m<x<m+1},且M=∅,则实数m的取值范围是____.【答案】m≥1【解析】∵M=∅,∴2m≥m+1,∴m≥1.故答案为m≥1解答题判断下列集合间的关系:(1)A={x|x-3>2},B={x|2x-5≥0};(2)A={x∈Z|-1≤xB(2) B A.【解析】试题分析:(1)利用一元一次不等式的解法分别求出集合A和集合B,由此能得到集合A是集合B的真子集.(2)A={x∈Z|-1≤x},∴利用数轴判断A、B的关系.如图所示,A B.(2)∵A={x∈Z|-1≤xA.选择题如果集合A={x|x≤},a=,那么()A. a∉AB. {a}AC. {a}∈AD. a⊆A【答案】B【解析】a=,∴a∈A,A错误.由元素与集合之间的关系及集合与集合之间的关系可知,C、D错,B正确.故选B点睛:本题考查了元素与集合,集合与集合的关系,元素与集合之间用属于∈,不属于∉的符号;集合与集合之间用包含于⊆,真包含,不包含相等=,的符号表示.解答题已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=-,n∈Z},P ={x|x=+,p∈Z},试确定M,N,P之间的关系.【答案】M P=N.【解析】试题分析:M={x|x=m+,m∈Z}={x|x=,m ∈Z}={x|x=,m∈Z}M表示3的偶数倍加1除以6的数;N ={x|x=,n∈Z}={x|x=,n∈Z}={x|x=,n-1∈Z},N表示3的整数倍加1除以6的数;P={x|x=+,p∈Z}={x|x=,p∈Z},P表示3的整数倍加1除以6的数即可得出结论.试题解析:∵M={x|x=m+,m∈Z}={x|x=,m∈Z}={x|x=,m∈Z},N={x|x=,n∈Z}={x|x=,n∈Z}={x|x=,n-1∈Z},P={x|x=+,p∈Z}={x|x=,p∈Z},比较3×2m+1,3(n-1)+1与3p+1可知,3(n-1)+1与3p+1表示的数完全相同,∴N=P,3×2m+1只相当于3p+1中当p为偶数时的情形,∴M P=N.综上可知M P=N.解答题设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠∅且B⊆A,求实数a、b的值.【答案】a=-1,b=1, a=b=1, a=0,b=-1【解析】试题分析:集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠∅且B⊆A,∵B中元素是关于x的方程x2-2ax+b=0的根,且B⊆{-1,1},∴关于x的方程x2-2ax+b=0的根只能是-1或1,但要注意方程有两个相等根的条件是Δ=0.∵B={x|x2-2ax+b=0}⊆A={-1,1},且B≠∅,∴B={-1}或B={1}或B={-1,1},分情况进行讨论即可.试题解析:∵B中元素是关于x的方程x2-2ax+b=0的根,且B⊆{-1,1},∴关于x的方程x2-2ax+b=0的根只能是-1或1,但要注意方程有两个相等根的条件是Δ=0.∵B={x|x2-2ax+b=0}⊆A={-1,1},且B≠∅,∴B={-1}或B={1}或B={-1,1}.当B={-1}时,Δ=4a2-4b=0且1+2a+b=0,解得a=-1,b=1.当B={1}时,Δ=4a2-4b=0且1-2a+b=0,解得a=b=1.当B={-1,1}时,有(-1)+1=2a,(-1)×1=b,解得a=0,b=-1.综上:a=-1,b=1;或a=b=1;或a=0,b=-1选择题集合P={3,4,5},Q={6,7},定义P*Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},则P*Q的子集个数为()A. 7B. 12C. 32D. 64【答案】D【解析】集合P*Q的元素为(3,6),(3,7),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7),共6个,故P*Q的子集个数为26=64.故选D选择题若集合A⊆{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则这样的集合A 有()A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】D【解析】集合{1,2,3}的子集共有8个,其中至少含有一个奇数的有{1},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},共6个.故选D选择题设A={x|-1a},若A B,则a的取值范围是()A. {a|a≥3}B. {a|a≤-1}C. {a|a>3}D. {a|aB,画出数轴如图可求得a≤-1,注意端点能取否得-1是正确求解的关键.故选B填空题集合⊆{(x,y)|y=3x+b},则b=____.【答案】2【解析】得,代入y=3x+b得b=2.故答案为2选择题已知集合M={(x,y)|x+y0}和P={(x,y)|xM B. M P C. M=P D. M P【答案】C【解析】∴M=P.故选C填空题已知集合A={1,2,m3},B={1,m},B⊆A,则m=____.【答案】0或2或-1【解析】由B⊆A得m∈A,所以m=m3或m=2,所以m=2或m=-1或m=1或m=0,又由集合中元素的互异性知m≠1.所以m =0或2或-1.故答案为0或2或-1填空题已知集合{2x,x+y}={7,4},则整数x=___,y=____.【答案】25【解析】由集合相等的定义可知或解得或,又x,y∈Z.故x=2,y=5.故答案为2,5选择题已知集合A={x|x是三角形},B={x|x是等腰三角形},C={x|x 是等腰直角三角形},D={x|x是等边三角形},则()A. A⊆BB. C⊆BC. D⊆CD. A⊆D【答案】B【解析】∵等腰直角三角形必是等腰三角形,∴C⊆B.故选B选择题下列命题中,正确的有()①空集是任何集合的真子集;②若A B,B C,则A C;③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集;④如果不属于B的元素也不属于A,则A⊆B.A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④【答案】C【解析】空集只是空集的子集而非真子集,故①错;②真子集具有传递性;故②正确;③若一个集合是空集,则没有真子集,故③错;④由韦恩(Venn)图易知④正确,故选C.选择题已知集合A={1,2},B={x|ax-2=0},若B⊆A,则a的值不可能是()A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】试题分析:由B={x|ax﹣2=0},且B⊆A,故讨论B的可能性,从而求a.解:∵B={x|ax﹣2=0},且B⊆A,∴若B=∅,即a=0时,成立;若B={1},则a=2,成立;若B={2},则a=1,成立;故a的值有0,1,2;故不可能是3;故选D.选择题若{1,2}={x|x2+bx+c=0},则()A. b=-3,c=2B. b=3,c=-2C. b=-2,c=3D. b=2,c=-3【答案】A【解析】由条件知,1,2是方程x2+bx+c=0的两根,由韦达定理得b=-3,c=2.故选A选择题集合A={(x,y)|y=x}和B=,则下列结论中正确的是()A. 1∈AB. B⊆AC. (1,1)⊆BD. ∅∈A【答案】B【解析】B=={(1,1)},而A={(x,y)|y=x},B 中的元素在A中,所以B⊆A故选B.选择题下列四个集合中,是空集的是()A. {0}B. {x|x>8,且x<5}C. {x∈N|x2-1=0}D. {x|x>4}【答案】B【解析】选项A、C、D都含有元素.而选项B无元素,故选B.填空题已知集合A={1,2},B={x|ax-2=0},若B⊆A,则实数a的所有可能值构成的集合为____.【答案】{0,1,2}【解析】∵B⊆A,∴B=∅,{1}或{2}.当B=∅时,a=0;当B={1}时,a=2,当B={2}时,a=1.∴a∈{0,1,2}.故答案为{0,1,2}11。
1.1 集合的概念第2课时 集合的表示基 础 练巩固新知 夯实基础1.(多选题)下列各组中M ,P 表示不同集合的是( )A .M ={3,-1},P ={(3,-1)}B .M ={(3,1)},P ={(1,3)}C .M ={y |y =x 2+1,x ∈R },P ={x |x =t 2+1,t ∈R }D .M ={y |y =x 2-1,x ∈R },P ={(x ,y )|y =x 2-1,x ∈R }2.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y =1,x 2-y 2=9的解集是( ) A .(-5,4) B .(5,-4) C .{(-5,4)}D .{(5,-4)}3.集合{(x ,y )|y =2x -1}表示( )A .方程y =2x -1B .点(x ,y )C .平面直角坐标系中的所有点组成的集合D .函数y =2x -1图象上的所有点组成的集合4.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示,其中正确的是( ) A.{}x |x 是小于18的正奇数 B.{}x |x =4k +1,k ∈Z ,且k <5C.{}x |x =4t -3,t ∈N ,且t ≤5D.{}x |x =4s -3,s ∈N *,且s ≤55.集合M ={(x ,y )|xy <0,x ∈R ,y ∈R }是 ( )A .第一象限内的点集B .第三象限内的点集C .第四象限内的点集D .第二、四象限内的点集 6.集合{x ∈N |x 2+x -2=0}用列举法可表示为________.7.有下面四个结论:∈0与{0}表示同一个集合;∈集合M ={3,4}与N ={(3,4)}表示同一个集合;∈方程(x -1)2(x -2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};∈集合{x |4<x <5}不能用列举法表示.其中正确的结论是________(填写序号).8.用列举法表示下列集合:(1)⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫62-x ∈Z ,x ∈Z ; (2){(x ,y )|y =3x ,x ∈N 且1≤x <5}.能 力 练综合应用 核心素养9.已知x ,y 为非零实数,则集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m =x |x |+y |y |+xy |xy |为( ) A .{0,3} B .{1,3} C .{-1,3} D .{1,-3}10.已知集合A ={}x |x =2m -1,m ∈Z ,B ={}x |x =2n ,n ∈Z ,且x 1,x 2∈A ,x 3∈B ,则下列判断不正确的是( )A .x 1·x 2∈AB .x 2·x 3∈BC .x 1+x 2∈BD .x 1+x 2+x 3∈A11.(多选题)若集合A ={x |kx 2+4x +4=0,x ∈R }只有一个元素,则实数k 的值为( )A .0B .1C .2D .312.(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为( )A .{x |x =2k -1,k ∈N }B .{x |x =2k +1,k ∈N ,k ≥2}C .{x |x =2k +3,k ∈N }D .{x |x =2k +5,k ∈N }13.已知集合A ={1,2,3},B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x +y ∈A },则B 中所含元素的个数为________.14.定义集合A -B ={x |x ∈A ,且x ∈B },若集合A ={x |2x +1>0},集合B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x -23<0,则集合A -B ________.15.设集合A ={1,a ,b },B ={a ,a 2,ab },且A =B ,求a 2014+b 2014.16.已知集合A ={x |ax 2-3x +2=0}.(1)若A 中只有一个元素,求集合A ;(2)若A 中至少有一个元素,求a 的取值范围.【参考答案】1.ABD 解析: 选项A 中,M 是由3,-1两个元素构成的集合,而集合P 是由点(3,-1)构成的集合;选项B 中,(3,1)与(1,3)表示不同的点,故M ≠P ;选项D 中,M 是二次函数y =x 2-1,x ∈R 的所有因变量组成的集合,而集合P 是二次函数y =x 2-1,x ∈R 图象上所有点组成的集合.故选ABD .2.D 解析:解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =1,x 2-y 2=9,得⎩⎪⎨⎪⎧x =5,y =-4,故解集为{(5,-4)},选D. 3. D 解析: 集合{(x ,y )|y =2x -1}的代表元素是(x ,y ),x ,y 满足的关系式为y =2x -1,因此集合表示的是满足关系式y =2x -1的点组成的集合,故选D.4.D 解析:对于x =4s -3,当s 依次取1,2,3,4,5时,恰好对应的x 的值为1,5,9,13,17.5.D 解析:因xy <0,所以有x >0,y <0;或者x <0,y >0.因此集合M 表示的点集在第四象限和第二象限.6. {1} 解析: 由x 2+x -2=0,得x =-2或x =1. 又x ∈N ,∈x =1.7.∈ 解析:{0}表示元素为0的集合,而0只表示一个元素,故∈错误;∈集合M 是实数3,4的集合,而集合N 是实数对(3,4)的集合,不正确;∈不符合集合中元素的互异性,错误;∈中元素有无穷多个,不能一一列举,故不能用列举法表示.8.解:(1)因为62-x∈Z ,所以|2-x |是6的因数, 则|2-x |=1,2,3,6,即x =1,3,4,0,-1,5,-4,8.所以原集合可用列举法表示为{-4,-1,0,1,3,4,5,8}.(2)因为x ∈N 且1≤x <5,所以x =1,2,3,4,其对应的y 的值分别为3,6,9,12.所以原集合可用列举法表示为{(1,3),(2,6),(3,9),(4,12)}.9.C 解析:当x >0,y >0时,m =3,当x <0,y <0时,m =-1-1+1=-1.当x ,y 异号,不妨设x >0,y <0时,m =1+(-1)+(-1)=-1.因此m =3或m =-1,则M ={-1,3}.10.D 解析:∈集合A 表示奇数集,集合B 表示偶数集,∈x 1,x 2是奇数,x 3是偶数,∈x 1+x 2+x 3为偶数.11.AB 解析:集合A 中只有一个元素,即方程kx 2+4x +4=0只有一个根.当k =0时,方程为一元一次方程,只有一个根;当k ≠0时,方程为一元二次方程,若只有一个根,则Δ=16-16k =0,即k =1.所以实数k 的值为0或1.12.BD 解析:选项A ,C 中,集合内的最小奇数不大于4.13.3 解析:根据x ∈A ,y ∈A ,x +y ∈A ,知集合B ={(1,1),(1,2),(2,1)},有3个元素.14.{x |x ≥2} 解析: A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >-12,B ={x |x <2}, A -B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >-12且x ≥2={x |x ≥2}. 15.解: ∈A =B ,∈⎩⎪⎨⎪⎧ a 2=1,ab =b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2=b ,ab =1.解方程组得,⎩⎪⎨⎪⎧ a =-1,b =0或⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =1,或a =1,b 为任意实数. 由集合元素的互异性得a ≠1,∈a =-1,b =0,故a 2014+b 2014=1.16.解:(1)因为集合A 是方程ax 2-3x +2=0的解集,则当a =0时,A ={23},符合题意;当a ≠0时,方程ax 2-3x +2=0应有两个相等的实数根,则Δ=9-8a =0,解得a =98,此时A ={43},符合题意. 综上所述,当a =0时,A ={23},当a =98时,A ={43}. (2)由(1)可知,当a =0时,A ={23}符合题意;当a ≠0时,要使方程ax 2-3x +2=0有实数根, 则Δ=9-8a ≥0,解得a ≤98且a ≠0.综上所述,若集合A 中至少有一个元素,则a ≤98.。
1.1.2集合间的基本关系一、A组1.(2016·浙江温州十校联合体高一期中)如果A={x|x>-1},那么正确的结论是()A.0⊆AB.{0}∈AC.{0}⊆AD.⌀∈A解析:∵0∈A,∴{0}⊆A.答案:C2.已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则()A.A⊆BB.C⊆BC.D⊆CD.A⊆D解析:正方形是邻边相等的矩形.答案:B3.定义集合运算A◇B={c|c=a+b,a∈A,b∈B},若A={0,1,2},B={3,4,5},则集合A◇B的子集个数为()A.32B.31C.30D.14解析:∵A={0,1,2},B={3,4,5},又A◇B={c|c=a+b,a∈A,b∈B},∴A◇B={3,4,5,6,7}.∵集合A◇B中共有5个元素,∴集合A◇B的所有子集的个数为25=32.故选A.答案:A4.已知集合A={2,-1},B={m2-m,-1},且A=B,则实数m=()A.2B.-1C.2或-1D.4解析:∵A=B,∴m2-m=2,即m2-m-2=0,∴m=2或m=-1.答案:C5.已知集合A={x|1≤x<4},B={x|x<a},若A⊆B,则实数a的取值集合是()A.{a|a≥4}B.{a|a>4}C.{a|a≤4}D.{a|a<4}解析:将集合A表示在数轴上(如图所示),要满足A⊆B,表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边,所以所求a的取值集合为{a|a≥4}.答案:A6.能正确表示集合M={x|0≤x≤2}和集合N={x|x2-2x=0}的关系的Venn图是()解析:解x2-2x=0,得x=2或x=0,则N={0,2}.又M={x|0≤x≤2},则N⫋M,故M和N对应的Venn 图如选项B所示.答案:B7.已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B⊆A,则实数m=.解析:集合A,B中均含有元素3,由B⊆A,得B中另一元素m2一定与A中元素-1,2m-1中的一个相等.又-1<0,m2≥0,则m2=2m-1,解得m=1.答案:18.若A=,B={(x,y)|y=ax2+1},且A⊆B,则a=.解析:A=={(2,-1)},∵A⊆B,∴-1=a×22+1,∴a=-.答案:-9.已知集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A=B,求实数a,b的值.解:∵A=B,且1∈A,∴1∈B.若a=1,则a2=1,这与集合中元素的互异性矛盾,∴a≠1.若a2=1,则a=-1或a=1(舍去).∴A={1,-1,b},∴b=ab=-b,即b=0.若ab=1,则a2=b,得a3=1,即a=1(舍去).故a=-1,b=0.10A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.(1)若A⫋B,求a的取值范围;(2)若B⊆A,求a的取值范围.解:(1)若A⫋B,由图可知,a>2.(2)若B⊆A,由图可知,1≤a≤2.二、B组1.若x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=,则集合A,B间的关系为()A.A⫋BB.A⫌BC.A=BD.A⊆B解析:∵B=={(x,y)|y=x,且x≠0},∴B⫋A.答案:B2.已知集合A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3<x<5},则能使A⊇B成立的实数a的取值集合是()A.{a|3<a≤4}B.{a|3≤a≤4}C.{a|3<a<4}D.⌀解析:∵A⊇B,∴解得3≤a≤4.经检验知当a=3或a=4时符合题意.故3≤a≤4.答案:B3.若B={1,2},A={x|x⊆B},则A与B的关系是()A.A∈BB.B∈AC.A⊆BD.B⊆A解析:∵B的子集为{1},{2},{1,2},⌀,∴A={x|x⊆B}={{1},{2},{1,2},⌀},∴B∈A.答案:B4.已知集合M={x|x2+2x-8=0},N={x|(x-2)(x-a)=0},若N⊆M,则实数a的值是.解析:M={x|x2+2x-8=0}={2,-4}.当a≠2时,N={x|(x-2)(x-a) =0}={2,a}.∵N⊆M,∴a=-4.当a=2时,N={x|(x-2)(x-a)=0}={2},此时N⊆M,符合题意.答案:-4或25.如果集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0},P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P的关系为.解析:因为xy>0,所以x,y同号.又因为x+y<0,所以x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点.而集合P也表示第三象限内的点,故M=P.答案:M=P6.知集合A=,B=,C=,则集合A,B,C之间的关系是.解析:∵A=,B==,C=,又{x|x=6m+1,m∈Z}⫋{x|x=3n+1,n∈Z},∴A⫋B=C.答案:A⫋B=C7.(2016·贵州凯里一中高一期中)集合A={x|ax2-2x+2=0},集合B={y|y2-3y+2=0},如果A⊆B,求实数a的取值集合.解:化简集合B得B={1,2}.由A⊆B,知若a=0,则A={x|-2x+2=0}={1}⊆B.若a≠0,当Δ=4-8a<0,即a>时,A=⌀⊆B;当Δ=4-8a=0,即a=时,A={2}⊆B;当Δ=4-8a>0,即a<,且a≠0时,必有A={1,2},所以1,2均为关于x的方程ax2-2x+2=0的实根,即a-2+2=0,4a-4+2=0,这是不可能的.所以实数a的取值集合为.8A={x|-1≤x≤6},B={x|m-1≤x≤2m+1},且B⊆A.(1)求实数m的取值集合;(2)当x∈N时,求集合A的子集的个数.解:(1)①当m-1>2m+1,即m<-2时,B=⌀符合题意.②当m-1≤2m+1,即m≥-2时,B≠⌀.由B⊆A,借助数轴(如图所示),得解得0≤m≤.所以0≤m≤.经验证知m=0和m=符合题意.综合①②可知,实数m的取值集合为.(2)∵当x∈N时,A={0,1,2,3,4,5,6},∴集合A的子集的个数为27=128.。
课时2 集合的表示对应学生用书P3知识点一用列举法表示集合1.用列举法表示集合{(x,y)|(x+1)2+|y-1|=0,x,y∈R}为________.答案{(-1,1)}解析因为(x+1)2≥0,|y-1|≥0,所以(x+1)2=0且|y-1|=0,故有x=-1且y=1,因此答案为{(-1,1)}.2.已知集合A={x|x〈5且x∈N*},B={(a,b)|a+b2=1,b∈A},试用列举法表示集合B=________.答案{(0,1),(-3,2),(-8,3),(-15,4)}解析∵x∈N*,且x<5,∴x=1,2,3,4,∴A={1,2,3,4}.又∵a +b2=1,且b∈A,∴当b=1时,a=0;当b=2时,a=-3;当b=3时,a=-8;当b=4时,a=-15.∴B={(0,1),(-3,2),(-8,3),(-15,4)}.知识点二用描述法表示集合3.将集合“正奇数的全体”用描述法表示正确的是( )A.{x|x=2n+1,n∈N*}B.{x|x=2n-1,n∈N*}C.{x|x=2n-1,n∈Z}D.{x|x=2n+1,n∈Z}答案B解析A项中没有1;C,D两项表示奇数集.4.用描述法表示图中阴影部分(含边界)内的点构成的集合.解用描述法表示为错误!≤y≤1,且xy≥0错误!。
知识点三集合表示法的应用5.设错误!∈错误!,则集合xx2-错误!x-a错误!中所有元素之积为________.答案9 2解析∵错误!∈错误!,∴错误!-错误!a-错误!=0,∴a=-错误!,当a=-错误!时,方程x2-错误!x-a=0的判别式Δ=错误!2-4×错误!=错误!>0,所以集合xx2-错误!x-a=0的所有元素的积为方程的两根之积,等于错误!。
故答案为错误!。
6.已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R},若A中只有一个元素,求a的值.解应根据a是否为0分两种情况进行讨论:①a=0,此时A=错误!,符合题意;②a≠0,则必须且只需Δ=4-4a=0,即a=1.所以a=0或a=1.易错点忽略元素形式而出错7.下列说法:①集合{x∈N|x3=x}用列举法可表示为{-1,0,1};②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R};③方程组错误!的解集为{x=1,y=2}.其中说法正确的个数为( )A.3 B.2 C.1 D.0易错分析①易忽略代表元素x∈N,导致判断错误;②出错是对常用数集的符号理解不到位;③出错是对“方程组的解为有序实数对"这一点认识不到位.答案D正解由x3=x,即x(x-1)(x+1)=0,得x=0或x=1或x=-1,因为-1∉N,故集合{x∈N|x3=x}用列举法可表示为{0,1}.故①不正确.集合表示中的符号“{}”已包含“所有”“全体"等含义,而符号“R”表示所有的实数组成的集合,故实数集正确表示应为{x|x 为实数}或R。
新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.2集合的基本关系练习含解析新人教B版必修第一册1.1.2 集合的基本关系最新课程标准:(1)在具体情境中,了解空集的含义.(2)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.知识点一子集文字语言符号语言图形语言对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集对任意元素x∈A,必有x∈B,则A⊆B(或B⊇A),读作A包含于B或B包含A状元随笔“A是B的子集”的含义是:集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,即任意x∈A都能推出x∈B.知识点二真子集一般地,如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A称为集合B的真子集,记作A B(或B A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”).状元随笔在真子集的定义中,A B首先要满足A ⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A.知识点三集合相等一般地,如果集合A和集合B的元素完全相同,则称集合A与集合B相等,记作A=B,读作“A等于B”.由集合相等的定义可知:如果A⊆B且B⊆A,则A=B;反之,如果A=B,则A⊆B且B⊆A.知识点四子集、真子集的性质根据子集、真子集的定义可知:(1)对于集合A,B,C,如果A⊆B,B⊆C,则A⊆C;(2)对于集合A,B,C,如果A B,B C,则A C.[基础自测]1.集合{0,1}的子集有( )A.1个 B.2个C.3个 D.4个解析:集合{0,1}的子集为∅,{0},{1},{0,1}.答案:D2.下列各组中的两个集合M和N,表示相等集合的是( )A.M={π},N={3.141 59}B.M={2,3},N={(2,3)}C.M={x|-1<x≤1,x∈N},N={1}D.M={1,3,π},N={π,1,|-3|}解析:选项A中两个集合的元素互不相等,选项B中两个集合一个是数集,一个是点集,选项C中集合M={0,1},只有D是正确的.答案:D3.已知集合A={x|-1-x<0},则下列各式正确的是( )A.0⊆A B.{0}∈AC.∅∈A D.{0}⊆A解析:集合A={x|-1-x<0}={x|x>-1},所以0∈A,{0}⊆A,D正确.答案:D4.已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B⊆A,则实数m=________.解析:∵B⊆A,∴2m-1=m2,∴m=1.答案:1题型一集合间关系的判断[经典例题]例1 (1)下列各式中,正确的个数是( )①{0}∈{0,1,2};②{0,1,2}⊆{2,1,0};③∅⊆{0,1,2};④∅={0};⑤{0,1}={(0,1)};⑥0={0}.A.1 B.2C.3 D.4(2)指出下列各组集合之间的关系:①A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};②A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};③M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}.【解析】(1)对于①,是集合与集合的关系,应为{0}{0,1,2};对于②,实际为同一集合,任何一个集合是它本身的子集;对于③,空集是任何集合的子集;对于④,{0}是含有单元素0的集合,空集不含任何元素,并且空集是任何非空集合的真子集,所以∅{0};对于⑤,{0,1}是含有两个元素0与1的集合,而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合,所以{0,1}与{(0,1)}不相等;对于⑥,0与{0}是“属于与否”的关系,所以0∈{0}.故②③是正确的,应选B.(2)①集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.②等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故A B.③方法一两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于n∈N*,因此集合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故N M.方法二由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},所以N M.【答案】(1)B (2)见解析根据元素与集合、集合与集合之间的关系直接判断①②③④⑥,对于⑤应先明确两个集合中的元素是点还是实数.方法归纳判断集合间关系的方法(1)用定义判断首先,判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B,若是,则A⊆B,否则A不是B 的子集;其次,判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A,若是,则B⊆A,否则B 不是A的子集;若既有A⊆B,又有B⊆A,则A=B.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍.跟踪训练1 (1)若集合M={x|x2-1=0},T={-1,0,1},则M与T的关系是( ) A.M T B.M TC.M=T D.MT(2)用Venn图表示下列集合之间的关系:A={x|x是平行四边形},B={x|x是菱形},C={x|x是矩形},D={x|x是正方形}.解析:(1)因为M={x|x2-1=0}={-1,1},又T={-1,0,1},所以M T.(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系,再画Venn图.如图答案:(1)A (2)见解析学习完知识点后,我们可以得到B ⊆A,C ⊆A,D ⊆A,D ⊆B,D ⊆C.题型二子集、真子集及个数问题[教材P11例1]例2 写出集合A={6,7,8}的所有子集和真子集.【解析】如何才能一个不漏地写出这个集合的所有子集呢?注意到集合A含有3个元素,因此它的子集含有的元素个数为0,1,2,3.可依下列步骤来完成此题:(1)写出元素个数为0的子集,即∅;(2)写出元素个数为1的子集,即{6},{7},{8};(3)写出元素个数为2的子集,即{6,7},{6,8},{7,8};(4)写出元素个数为3的子集,即{6,7,8}.集合A的所有子集是∅,{6},{7},{8},{6,7},{6,8},{7,8},{6,7,8}.在上述子集中,除去集合A本身,即{6,7,8},剩下的都是A的真子集.状元随笔写出集合的子集时易忘∅,真子集是在子集的基础上去掉自身.教材反思1.求集合子集、真子集个数的三个步骤2.若集合A 中含有n 个元素,集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.跟踪训练 2 (1)已知集合A ={x ∈R |x 2-3x +2=0},B ={x ∈N |0<x <5},则满足条件A CB 的集合C 的个数为( )A .1B .2C .3D .4(2)已知集合A ={x ∈R |x 2=a },使集合A 的子集个数为2个的a 的值为( ) A .-2 B .4C .0D .以上答案都不是解析:(1)由x 2-3x +2=0,得x =1或x =2,所以A ={1,2}.由题意知B ={1,2,3,4},所以满足条件的C 可为{1,2,3},{1,2,4}.(2)由题意知,集合A 中只有1个元素,必有x 2=a 只有一个解; 若方程x 2=a 只有一个解,必有a =0. 答案:(1)B (2)C状元随笔 (1)先用列举法表示集合A ,B ,然后根据A C B 确定集合C.(2)先确定关于x 的方程x 2=a 解的个数,然后求a 的值. 题型三 根据集合的包含关系求参数[经典例题]例3 已知集合A ={x |1<ax <2},B ={x |-1<x <1},求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围. 【解析】 (1)当a =0时,①A =∅,满足A ⊆B .(2)当a >0时,A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a<x <2a . 又∵B ={x |-1<x <1},且A ⊆B ,∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥-1,2a ≤1.②∴a ≥2.(3) 当a <0时,A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a<x <1a .③ ∵A ⊆B ,∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥-1,1a ≤1.∴a ≤-2.综上所述,a 的取值范围是{a |a =0,或a ≥2,或a ≤-2}.状元随笔 ①欲解不等式1<ax<2,需不等号两边同除以a ,而a 的正负不同时,不等号的方向不同,因此需对a 分a =0,a>0,a<0进行讨论.②A ⊆B 用数轴表示如图所示:(a>0时)由图易知,1a 和2a 需在-1与1之间.当1a =-1,或2a=1时,说明A 与B 的某一端点重合,并不是说其中的元素能够取到端点,如2a =1时,A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x<1,x 取不到1. ③a<0时,不等式两端除以a ,不等号的方向改变. 方法归纳(1)分析集合关系时,首先要分析、简化每个集合.(2)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示.(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”,尤其是集合中含有字母参数时,初学者会想当然认为非空集合而丢解,因此分类讨论思想是必需的.跟踪训练3 设集合A ={x |x 2-8x +15=0},B ={x |ax -1=0}. (1)若a =15,试判定集合A 与B 的关系.(2)若B ⊆A ,求实数a 的取值集合.解析:(1)由x 2-8x +15=0得x =3或x =5,故A ={3,5},当a =15时,由ax -1=0得x=5.所以B ={5},所以B A .(2)当B =∅时,满足B ⊆A ,此时a =0;当B ≠∅,a ≠0时,集合B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ,由B ⊆A 得1a=3或1a =5,所以a =13或a =15. 综上所述,实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,13,15.状元随笔 (1)解方程x 2-8x +15=0,求出A ,当a =15时,求出B ,由此能判定集合A与B 的关系.(2)分以下两种情况讨论,求实数a 的取值集合.①B=∅,此时a =0; ②B≠∅,此时a≠0.易错点 忽略空集的特殊性致误例 设M ={x |x 2-2x -3=0},N ={x |ax -1=0},若N ⊆M ,求所有满足条件的a 的取值集合.【错解】 由N ⊆M ,M ={x |x 2-2x -3=0}={-1,3}, 得N ={-1}或{3}.当N ={-1}时,由1a=-1,得a =-1.当N ={3}时,由1a =3,得a =13.故满足条件的a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,13.【正解】 由N ⊆M ,M ={x |x 2-2x -3=0}={-1,3}, 得N =∅或N ={-1}或N ={3}. 当N =∅时,ax -1=0无解,即a =0. 当N ={-1}时,由1a=-1,得a =-1.当N ={3}时,由1a =3,得a =13.故满足条件的a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,0,13.【易错警示】错误原因纠错心得错解忽略了N =∅这种情况 空集是任何集合的子集,解这类问题时,一定要注意“空集优先”的原则课时作业 2一、选择题1.能正确表示集合M ={x |x ∈R 且0≤x ≤1}和集合N ={x ∈R |x 2=x }关系的Venn 图是( )解析:N={x∈R|x2=x}={0,1},M={x|x∈R且0≤x≤1},∴N M.答案:B2.已知集合A={1,2,3},B={3,x2,2},若A=B,则x的值是( )A.1 B.-1C.±1 D.0解析:由A=B得x2=1,所以x=±1,故选C.答案:C3.已知集合A={-1,0,1},则含有元素0的A的子集的个数为( )A.2 B.4C.6 D.8解析:根据题意,含有元素0的A的子集为{0},{0,1},{0,-1},{-1,0,1},共4个.答案:B4.设A={x|2<x<3},B={x|x<m},若A⊆B,则m的取值范围是( )A.m>3 B.m≥3C.m<3 D.m≤3解析:因为A={x|2<x<3},B={x|x<m},A⊆B,将集合A,B表示在数轴上,如图所示,所以m≥3.答案:B二、填空题5.已知集合:(1){0};(2){∅};(3){x|3m<x<m};(4){x|a+2<x<a};(5){x|x2+2x+5=0,x∈R}.其中,一定表示空集的是________(填序号).解析:集合(1)中有元素0,集合(2)中有元素∅,它们不是空集;对于集合(3),当m<0时,m>3m,不是空集;在集合(4)中,不论a取何值,a+2总是大于a,故集合(4)是空集;对于集合(5),x2+2x+5=0在实数范围内无解,故为空集.答案:(4)(5)6.已知集合A={1,3,5},则集合A的所有子集的元素之和为________.解析:集合A的子集分别是:∅,{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5}.注意到A中的每个元素出现在A的4个子集,即在其和中出现4次.故所求之和为(1+3+5)×4=36.答案:36 7.若集合A{1,2,3},且A 中至少含有一个奇数,则这样的集合有________个.解析:若A 中含有一个奇数,则A 可能为{1},{3},{1,2},{3,2};若A 中含有两个奇数,则A ={1,3}.答案:5 三、解答题 8.已知{1,2}⊆A{1,2,3,4},写出所有满足条件的集合A .解析:∵{1,2}⊆A ,∴1∈A,2∈A . 又∵A {1,2,3,4},∴集合A 中还可以有3,4中的一个, 即集合A 可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4}.9.已知M ={2,a ,b },N ={2a,2,b 2},且M =N ,试求a 与b 的值. 解析:方法一 根据集合中元素的互异性,有⎩⎪⎨⎪⎧a =2a ,b =b 2,或⎩⎪⎨⎪⎧a =b 2,b =2a ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =0b =1或⎩⎪⎨⎪⎧a =0,b =0,或⎩⎪⎨⎪⎧a =14,b =12.再根据集合中元素的互异性,得⎩⎪⎨⎪⎧a =0,b =1,或 ⎩⎪⎨⎪⎧a =14,b =12.方法二 ∵两个集合相同,则其中的对应元素相同.∴⎩⎪⎨⎪⎧a +b =2a +b 2,a ·b =2a ·b 2,即⎩⎪⎨⎪⎧a +b (b -1)=0, ①ab (2b -1)=0. ②∵集合中的元素互异, ∴a ,b 不能同时为零.当b ≠0时,由②得a =0或b =12.当a =0时,由①得b =1或b =0(舍去). 当b =12时,由①得a =14.当b =0时,a =0(舍去).∴⎩⎪⎨⎪⎧a =0,b =1,或⎩⎪⎨⎪⎧a =14,b =12.[尖子生题库]10.已知集合A ={x |-3≤x ≤4},B ={x |2m -1<x <m +1},且B ⊆A .求实数m 的取值范围. 解析:∵B ⊆A ,(1)当B =∅时,m +1≤2m -1, 解得m ≥2. (2)当B ≠∅时, 有⎩⎪⎨⎪⎧-3≤2m -1,m +1≤4,2m -1<m +1,解得-1≤m <2. 综上得m ≥-1.即实数m 的取值范围为[-1,+∞).。
课后训练基础巩固.已知集合M={1},N={1,2,3},则有()A.M<N B.M∈NC.N⊆M D.M N2.已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是()3.已知集合A={x|x是菱形},B={x|x是正方形},C={x|x是平行四边形},那么A,B,C之间的关系是()A.A⊆B⊆C B.B⊆A⊆CC.A B⊆C D.A=B⊆C4.若集合A={x|0≤x<3,x∈Z},则集合A的子集个数为()A.5 B.6 C.7 D.85.下列关系式中正确的个数为()①{a,b}⊆{a,b};②{a,b}={b,a};③∅{0};④0∈{0};⑤∅∈{0};⑥∅={0};⑦∅⊆∅.A.3 B.4 C.5 D.66.设集合A={x|x>1},B={x|x>a},且A⊆B,则实数a的取值范围是()A.a<1 B.a≤1C.a>1 D.a≥17.已知集合A={-1,3,2m-1},B={3,m2},若B⊆A,则实数m=__________.8.已知集合1|,42kM x x k⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z,1|,24kN x x k⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z,则M与N的关系是__________.9.设集合A={-1,1},B={x|x2-2ax+b=0},若B≠∅,且B⊆A,求实数a,b的值.能力提升10.已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的取值是()A.1 B.-1C.0,1 D.-1,0,111.已知{1,2}⊆A{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为()A.5 B.6C.7 D.812.已知集合A={x|x=a2+1,a∈N},B={y|y=b2-4b+5,b∈N},则有()A.A=B B.A⊆BC.B⊆A D.A B13.若x∈A,1x∈A,就称A是“亲密组合”集合,则集合111,0,,,1,2,3,432M⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中,是“亲密组合”集合的个数为__________.14.已知集合A ={x |2a -2<x ≤a +2},B ={x |-2≤x <3},且A ⊆B ,求实数a 的取值范围.15.(压轴题)已知集合A ={x |0<x -a ≤5},|62a B x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭. (1)若A ⊆B ,求实数a 的取值范围;(2)若B ⊆A ,求实数a 的取值范围;(3)A 与B 能否相等?若能,求出a 的值,若不能,请说明理由.错题记录参考答案1.D 点拨:∵1∈{1,2,3},∴{1}{1,2,3}.故选D .2.B 点拨:∵N ={x |x 2+x =0}={-1,0},∴N M .故选B .3.B 点拨:集合A ,B ,C 之间的关系如图.4.D 点拨:A ={x |0≤x <3,x ∈Z }={0,1,2}.因为含有n 个元素的集合的所有子集个数为2n ,所以A 的子集个数为23=8.5.C 点拨:由子集的含义知{a ,b }⊆{a ,b },{a ,b }={b ,a }(无序性),∅{0},∅⊆∅都成立;由元素与集合的关系知0∈{0}.而∅与{0}是两个不同的集合,故⑤⑥不正确.6.B 点拨:如图,∵A ⊆B ,∴a ≤1.7.1 点拨:∵B ⊆A ,又m 2≠-1,∴m 2=2m -1,或m 2=3(舍去,不满足集合中元素的互异性),即m 2-2m +1=0,得m =1,经检验,符合题意. 8.M N 点拨:∵11212,424244k k k k +++=+=, ∴12|,4k M x x k +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ,2|,4k N x x k +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z . 由于1+2k 是奇数,k +2是整数,故M N .9.解:由B ≠∅,且B ⊆A 知B ={-1}或B ={1}或B ={-1,1}.当B ={-1}时,有2120440a b a b ++=⎧⎨∆=-=⎩,,解之得a =-1,b =1; 当B ={1}时,有2120440a b a b -+=⎧⎨∆=-=⎩,,解之得a =1,b =1; 当B ={-1,1}时,有112(1)1a b -+=⎧⎨-⨯=⎩,,解之得a =0,b =-1. 综上可知,a =-1,b =1或a =1,b =1或a =0,b =-1.10.D 点拨:∵集合A 有且仅有2个子集,∴A 仅有一个元素,即方程ax 2+2x +a =0(a ∈R )仅有一个根.当a =0时,方程化为2x =0,∴x =0,此时A ={0},符合题意.当a ≠0时,Δ=22-4·a ·a =0,即a 2=1,∴a =±1.此时A ={-1},或A ={1},符合题意.∴a =0或a =±1.11.C 点拨:符合条件的集合A 有:{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},共7个.12.A 点拨:对任意y ∈B ,有y =b 2-4b +5=(b -2)2+1.∵b ∈N ,∴(b -2)2∈N .令b -2=c ,则y =c 2+1,c ∈N ,∴y ∈A .∴B ⊆A .对任意x ∈A ,有x =a 2+1,a ∈N .不妨令a =b -2,则x ∈B ,∴A ⊆B .因此A =B ,应选A .13.15 点拨:按照“亲密组合”集合的定义,符合条件的集合有{-1},{1},1,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭,{-1,1},11,,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭,11,,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭,11,,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭,11,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭,11,1,,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭,11,1,,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭,11,3,,232⎧⎫⎨⎬⎩⎭,111,,3,,232⎧⎫-⎨⎬⎩⎭,111,,3,,232⎧⎫-⎨⎬⎩⎭,111,1,,3,,232⎧⎫-⎨⎬⎩⎭,共15个.14.解:由已知A ⊆B .(1)当A =∅时,应有2a -2≥a +2⇔a ≥4.(2)当A ≠∅时,由A ={x |2a -2<x ≤a +2},B ={x |-2≤x <3}, 得22222223a a a a -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩⇔4001.1.a a a a <⎧⎪≥⇔≤<⎨⎪<⎩综合(1)(2)知,所求实数a 的取值范围是{a |0≤a <1,或a ≥4}.15.解:由题意知A ={x |a <x ≤a +5},则(1)若A ⊆B ,则256a a a ⎧≥-⎪⎨⎪+≤⎩⇔01a a ≥⎧⎨≤⎩⇔0≤a ≤1. 此时所求a 的取值范围是{a |0≤a ≤1}.(2)若B ⊆A ,则2a -≥6,或,256,a a a ⎧≤-⎪⎨⎪+≥⎩ 解得a ≤-12,或01a a ≤⎧⎨≥⎩,,故a ≤-12.故B ⊆A 时,a 的取值范围是{a |a ≤-12}.(3)若A =B ,即{x |a <x ≤a +5}=|62a x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭, 则,256,a a a ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩即01.a a =⎧⎨=⎩, 这不可能同时成立.因此A ≠B .。
第2课时集合的表示课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.1.列举法把集合的元素____________出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.2.描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为__________.不等式x-7<3的解集为__________.所有偶数的集合可表示为________________.一、选择题1.集合{x∈N+|x-3<2}用列举法可表示为()A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}2.集合{(x,y)|y=2x-1}表示()A.方程y=2x-1B.点(x,y)C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合D.函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合3.将集合表示成列举法,正确的是()A.{2,3} B.{(2,3)}C.{x=2,y=3} D.(2,3)4.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为()A.{1,1} B.{1}C.{x=1} D.{x2-2x+1=0}5.已知集合A={x∈N|-3≤x≤3},则有()A.-1∈A B.0∈AC.3∈A D.2∈A6.方程组的解集不可表示为()A.B.C.{1,2} D.{(1,2)}二、填空题7.用列举法表示集合A={x|x∈Z,86-x∈N}=______________.8.下列各组集合中,满足P=Q的有________.(填序号)①P={(1,2)},Q={(2,1)};②P={1,2,3},Q={3,1,2};③P={(x,y)|y=x-1,x∈R},Q={y|y=x-1,x∈R}.9.下列各组中的两个集合M和N,表示同一集合的是________.(填序号)①M={π},N={3.141 59};②M={2,3},N={(2,3)};③M={x|-1<x≤1,x∈N},N={1};④M={1,3,π},N={π,1,|-3|}.三、解答题10.用适当的方法表示下列集合①方程x(x2+2x+1)=0的解集;②在自然数集内,小于1 000的奇数构成的集合;③不等式x-2>6的解的集合;④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合.11.已知集合A={x|y=x2+3},B={y|y=x2+3},C={(x,y)|y=x2+3},它们三个集合相等吗?试说明理由.能力提升12.下列集合中,不同于另外三个集合的是()A.{x|x=1} B.{y|(y-1)2=0}C.{x=1} D.{1}13.已知集合M={x|x=k2+14,k∈Z},N={x|x=k4+12,k∈Z},若x0∈M,则x0与N的关系是()A.x0∈NB.x0∉NC.x0∈N或x0∉ND.不能确定1.在用列举法表示集合时应注意:①元素间用分隔号“,”;②元素不重复;③元素无顺序;④列举法可表示有限集,也可以表示无限集,若元素个数比较少用列举法比较简单;若集合中的元素较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的情况下,也可以用列举法表示.2.在用描述法表示集合时应注意:(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么),是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式?(2)元素具有怎样的属性?当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷惑.第2课时集合的表示知识梳理1.一一列举 2.描述法 {x |x <10} {x ∈Z |x =2k ,k ∈Z }作业设计1.B [{x ∈N +|x -3<2}={x ∈N +|x <5}={1,2,3,4}.]2.D [集合{(x ,y )|y =2x -1}的代表元素是(x ,y ),x ,y 满足的关系式为y =2x -1,因此集合表示的是满足关系式y =2x -1的点组成的集合,故选D.]3.B [解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =5,2x -y =1.得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =3. 所以答案为{(2,3)}.]4.B [方程x 2-2x +1=0可化简为(x -1)2=0,∴x 1=x 2=1,故方程x 2-2x +1=0的解集为{1}.]5.B6.C [方程组的集合中最多含有一个元素,且元素是一对有序实数对,故C 不符合.]7.{5,4,2,-2}解析 ∵x ∈Z ,86-x∈N , ∴6-x =1,2,4,8.此时x =5,4,2,-2,即A ={5,4,2,-2}.8.②解析 ①中P 、Q 表示的是不同的两点坐标;②中P =Q ;③中P 表示的是点集,Q 表示的是数集.9.④解析 只有④中M 和N 的元素相等,故答案为④.10.解 ①∵方程x (x 2+2x +1)=0的解为0和-1,∴解集为{0,-1};②{x |x =2n +1,且x <1 000,n ∈N };③{x |x >8};④{1,2,3,4,5,6}.11.解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同,所以它们是互不相同的集合.理由如下: 集合A 中代表的元素是x ,满足条件y =x 2+3中的x ∈R ,所以A =R ;集合B 中代表的元素是y ,满足条件y =x 2+3中y 的取值范围是y ≥3,所以B ={y |y ≥3}.集合C 中代表的元素是(x ,y ),这是个点集,这些点在抛物线y =x 2+3上,所以C ={P |P 是抛物线y =x 2+3上的点}.12.C [由集合的含义知{x |x =1}={y |(y -1)2=0}={1},而集合{x =1}表示由方程x =1组成的集合,故选C.]13.A [M ={x |x =2k +14,k ∈Z },N ={x |x =k +24,k ∈Z },∵2k +1(k ∈Z )是一个奇数,k +2(k ∈Z )是一个整数,∴x 0∈M 时,一定有x 0∈N ,故选A.]。
1.1.2 集合的表示方法课时过关·能力提升1下列集合中,不同于另外三个集合的是()A.{x|x=2 017}B.{y|(y-2 017)2=0}C.{x=2 017}D.{2 017}A,B,D中都只有一个元素“2017”,故它们都是相同的集合;而选项C中虽然只有一个元素,但元素是等式x=2017,而不是实数2017,故此集合与其他三个集合不同.2集合A={1,3,5,7,…}用描述法可表示为()A.{x|x=n,n∈N}B.{x|x=2n-1,n∈N}C.{x|x=2n+1,n∈N}D.{x|x=n+2,n∈N}A是所有正奇数的集合,因此用描述法可表示为{x|x=2n+1,n∈N}.3用列举法表示集合P={a|a的倒数是它本身}正确的是() A.P={1} B.P={-1}C.P={1,-1,0}D.P={1,-1}a的倒数是它本身,所以a=1,解得a=1或-1.故P={1,-1}.4下列说法正确的是()A.{⌀}是空集B.∈∈ 是有限集C.{x∈Q|x2+x+2=0}是空集D.{1,2},{2,1}是不同的集合1,…此时∈N,3故集合∈∈ 是无限集;选项D中,两个集合是同一个集合,集合中的元素与顺序无关;选项C 中,方程x2+x+2=0的判别式Δ<0,故其解集是⌀.5定义集合A-B={x|x∈A,且x∉B},若A={1,3,5,7,8},B={3,5,8},则A-B等于()A.{3,5,8}B.{1,3,5}C.{5,7,8}D.{1,7}A-B是由属于集合A且不属于集合B的元素构成的,因此只含有两个元素1和7,即A-B={1,7}.6下列各组集合中,M,P表示同一个集合的是()A.M={3,-1},P={(3,-1)}B.M={(3,1)},P={(1,3)}C.M={y|y=x2-1,x∈R},P={x|x=t2-1,t∈R}D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R}A中,M是由3,-1两个元素构成的集合,而集合P是由点(3,-1)构成的集合;选项B中,(3,1)与(1,3)表示不同的点,故M≠P;选项D中,M是二次函数y=x2-1,x∈R的所有因变量构成的集合,而集合P是二次函数y=x2-1,x∈R图象上的所有点构成的集合.7若集合A={1,2,3},集合B={y|y=3x,x∈A},则B= .x=1,2,3时,y=3,6,9,故B={3,6,9}.8用描述法表示集合1,3,3,5,…为.1,∈9集合A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},若点P(2,3)∈A,且P(2,3)∉B同时成立,则m,n满足的条件应为.A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},点P(2,3)∈A,且P(2,3)∉B同时成立, 所以有2×2-3+m>0成立,且2+3-n≤0不成立,即m>-1成立,且n≥5不成立.所以有m>-1成立,且n<5成立.1,n<510有下列说法:①任意一个集合的正确的表示方法都是唯一的;②集合{0,-1,2,-2}与集合{-2,-1,0,2}是同一个集合;③若集合P是满足不等式0≤ x≤1的x的集合,则这个集合是无限集;④已知a∈R,则a∉Q;⑤集合{x|x=2k-1,k∈Z}与集合{y|y=2s+1,s∈Z}表示的是同一个集合.其中正确说法的序号是.,应注意对照所学的相应概念对各种说法进行逐一判断.因为集合{1}也可以表示为{x|x-1=0},所以①是错误的;④中当a为实数时,a有可能是有理数,所以④是错误的;从无限集、集合中元素的无序性来分析,可知②③是正确的;而⑤中的两个集合,它们都表示由全体奇数组成的集合,故两个集合表示的是同一个集合,即⑤是正确的.11用适当的方法表示下列对象构成的集合: (1)绝对值不大于2的所有整数;(2)方程组1,--1的解;(3)函数y=1图象上的所有点.因为|x|≤ ,且x∈Z,所以x的值为-2,-1,0,1,2.所以绝对值不大于2的所有整数组成的集合为{-2,-1,0,1,2}.(2)解方程组1,--1,得0,1故用列举法表示方程组1,--1的解集为{(0,1)}.(3)函数y=1图象上的点可以用坐标(x,y)表示,其满足的条件是y=1,所以用描述法表示为,1.★12已知A={x|x2+px+q=x},B={x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+1},当A={2}时,求集合B.A={2}的含义,一是2∈A,即方程x2+px+q=x有解x=2;二是x=2是x2+px+q=x的两个相等的实根.A={2},得x=2是方程x2+px+q=x的两个相等的实根,从而有, -1 -0,解得-3,从而B={x|(x-1)2-3(x-1)+4=x+1}.解方程(x-1)2-3(x-1)+4=x+1,得x=3±.故B={3-,3+}.。
[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.集合{x∈N+|x-3<2}用列举法可表示为()A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}解析:∵x-3<2.∴x<5,又∵x∈N+,∴x=1,2,3,4.答案:B2.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是()A.{x|-3<x<11,x∈Z}B.{x|-3<x<11}C.{x|-3<x<11,x=2k,k∈N}D.{x|-3<x<11,x=2k,k∈Z}解析:偶数集为{x|x=2k,k∈Z},则大于-3且小于11的偶数所组成的集合为{x|-3<x<11,x=2k,k∈Z}.答案:D3.下面对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示,其中正确的一个是()A.{x|x是小于18的正奇数}B.{x|x=4k+1,k∈Z,k<5}C.{x|x=4t-3,t∈N,t<5}D.{x|x=4s-3,s∈N*,s<6}解析:集合中的元素除以4余1,故可以用4k+1(0≤k≤4,k∈Z)或4k-3(1≤k≤5,k∈Z)来表示.答案:D4.下面四个命题:(1)集合N中的最小元素是1.(2)方程(x-1)3(x +2)(x-5)=0的解集含有3个元素.(3)0∈∅.(4)满足1+x>x的实数组成的集合为R.其中正确命题的个数是()A.0 B.1C.2 D.3解析:(1)集合N中的最小元素是0,错误;(2)重复的元素按1个记,正确;(3)空集中不含有任何元素,错误;(4)1+x>x恒成立的解集。
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课时提升作业(二)
集合的表示
(25分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2015·绵阳高一检测)集合{x|-3≤x≤3,x∈N}用列举法表示应是()
A.{1,2,3}
B.{0,1,2,3}
C.{-2,-1,0,1,2}
D.{-3,-2,-1,0,1,2,3}
【解析】选B.{x|-3≤x≤3,x∈N}表示-3到3的所有自然数,即0,1,2,3.
【补偿训练】集合A={x2,3x+2,5y3-x},B={周长为20cm的三角形},C={x|x-3<2,x∈Q},D={(x,y)|y=x2-x-1}.其中用描述法表示的集合的个数为()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.集合A为列举法,集合B,C,D均为描述法表示集合,其中集合B省略了代表元素和竖线.
2.(2015·北京高一检测)方程组的解集是()
A.{x=1,y=1}
B.{1}
C.{(1,1)}
D.{(x,y)|(1,1)}
【解析】选C.方程组的解集中元素应是有序数对形式,排除A,B,而D中描述形式不对,排除D,故选C.
3.下列集合中恰有2个元素的集合是()
A.{x2-x=0}
B.{y|y2-y=0}
C.{x|y=x2-x}
D.{y|y=x2-x}
【解析】选B.显然A中只有一个元素,B中有两个元素分别是0和1,C选项中指的是满足y=x2-x中x的取值的集合,有无数个,D中指的是满足y=x2-x中y的取值的集合,也有无数个.
4.(2015·南昌高一检测)若1∈{x,x2},则x=()
A.1
B.-1
C.0或1
D.0或1或-1
【解析】选B.因为1∈{x,x2},所以x=1或x2=1,当x=1时,x2=1与集合中元素具有互异性矛盾,故应舍去;当x2=1时,x=-1或x=1(舍去),故x=-1.
5.下列集合表示同一集合的是()
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
C.M={4,5},N={5,4}
D.M={1,2},N={(1,2)}
【解析】选C.A中M是点集,N是点集,但两个点是两个不同的点;B中M是点集,N是数集;D 中M是数集,N是点集,故选C.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知集合A={x|x2=a,x∈R},则实数a的取值范围是.
【解析】因为x∈R,所以x2=a≥0,即a≥0,所以a的取值范围是a≥0.
答案:a≥0
7.(2015·汉中高一检测)若集合A={1,2,3,4},集合B={y|y=x-1,x∈A},将集合B用列举法表示为.
【解析】x=1时,y=0;x=2时,y=1;x=3时,y=2;x=4时,y=3,故集合B可用列举法表示为{0,1,2,3}. 答案:{0,1,2,3}
8.设A={4,a},B={2,ab},若A与B相等,则a+b=.
【解析】两个集合相等,则两集合的元素完全相同,则有a=2,ab=4,将a=2代入ab=4,得b=2.所以a+b=4.
答案:4
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2015·重庆高一检测)用适当的方法描述下列集合,并指出所含元素的个数.
(1)大于0且小于10的奇数构成的集合.
(2)不等式x-3≥1的解集.
(3)抛物线y=x2上的点构成的集合.
【解题指南】解答本题的关键是先看元素的个数是有限还是无限,然后确定使用哪种方法. 【解析】(1)用列举法表示为{1,3,5,7,9}.集合中有5个元素.
(2)用描述法表示为{x|x≥4}.集合中有无数个元素.
(3)用描述法表示为{(x,y)|y=x2}.抛物线上的点有无数个,即该集合中的元素个数有无数个. 【补偿训练】用适当的方法表示下列集合:
(1)所有被3整除的整数.
(2)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值构成的集合B.
【解析】(1){x|x=3n,n∈Z}.
(2)B={x|x=|x|,x∈Z}.
10.已知集合A={x|ax2-3x-4=0,x∈R},若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.
【解析】当a=0时,A=;
当a≠0时,关于x的方程ax2-3x-4=0应有两个相等的实数根或无实数根,
所以Δ=9+16a≤0,即a≤-.
故所求的a的取值范围是a≤-或a=0.
【延伸探究】本题中将条件“至多有一个元素”改为“有两个元素”,其他不变,则a的取值是什么?
【解析】因为A中有两个元素,所以关于x的方程ax2-3x-4=0有两个不等的实数根,
所以即a>-且a≠0.
(20分钟40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示,其中正确的一个是()
A.{x|x是小于18的正奇数}
B.{x|x=4k+1,k∈Z,且k<5}
C.{x|x=4t-3,t∈N,且t≤5}
D.{x|x=4s-3,s∈N*,且s≤5}
【解析】选D.A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外,还有3,7,11,15;B中k可取负数,多了若干元素;C中t=0时多了-3这个元素,只有D是正确的.
2.(2015·德州高一检测)用描述法表示下图所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是()
A.{-2≤x≤0且-2≤y≤0}
B.{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y≤0}
C.{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y<0}
D.{(x,y)|-2≤x≤0或-2≤y≤0}
【解析】选B.由图可知,阴影部分的点的横坐标满足-2≤x≤0,纵坐标满足-2≤y≤0,所以所表示的集合为{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y≤0}.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.已知集合M={x|(x-a)(x2-ax+a-1)=0}中各元素之和为3,则实数a的值为.
【解析】解x-a=0得x=a,设x1,x2为方程x2-ax+a-1=0的两根,则x1+x2=a,
由题意a+a=3,a=.
答案:
4.(2015·南通高一检测)A={1,2,3},B={1,2},定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},则集合A+B中元素的最大值是.
【解析】①当x1=1时,若x2=1,则x1+x2=2;若x2=2,则x1+x2=3;
②当x1=2时,若x2=1,则x1+x2=3;若x2=2,则x1+x2=4;
③当x1=3时,若x1=1,则x1+x2=4;若x2=2,则x1+x2=5.
综上可知,A+B={2,3,4,5},所以A+B中元素的最大值是5.
答案:5
【补偿训练】已知集合P={4,5,6},Q={1,2,3}.定义P⊖Q={x|x=p-q,p∈P,q∈Q},则集合P⊖Q的所有元素之和为.
【解析】当p=4,q=1,2,3时,p-q=3,2,1;
当p=5,q=1,2,3时,p-q=4,3,2;
当p=6,q=1,2,3时,p-q=5,4,3.
所以P⊖Q={1,2,3,4,5},其所有元素之和为1+2+3+4+5=15.
答案:15
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.设集合B=.
(1)试判断元素1和2与集合B的关系.
(2)用列举法表示集合B.
【解析】(1)当x=1时,=2∈N;
当x=2时,=∉N,所以1∈B,2∉B.
(2)因为∈N,所以0<2+x≤6,且2+x∈N*,
当x=0时,=3∈N;当x=1时,=2∈N;
当x=2时,=∉N;当x=3时,=∉N;
当x=4时,=1∈N.所以集合B={0,1,4}.
6.(2014·福建高考改编)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:
①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,试写出所有符合条件的有序数组(a,b,c,d).
【解析】若只有①对,即a=1,则b≠1不正确,所以b=1,与集合元素互异性矛盾,不符合题意; 若只有②对,则有序数组为(3,2,1,4),(2,3,1,4);
若只有③对,则有序数组为(3,1,2,4);
若只有④对,则有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).
【补偿训练】(2014·福建高考改编)已知集合=,且下列三个关系:①a≠2,②b=2,③c≠0有且只有一个正确,求100a+10b+c的值.
【解析】若a≠2正确,则b=2不正确,即b≠2,所以c=2.但是c≠0不正确,所以c=0,矛盾;
若b=2正确,则a≠2不正确,所以a=2,与集合元素互异性矛盾,不符合题意;
若c≠0正确,则a≠2不正确,故a=2.又c≠0,所以c=1.故b=0.符合题意.所以a=2,b=0,c=1.
所以100a+10b+c=201.
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