勾股定理(毕氏定理

勾股定理知识点总结大全一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是指：在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方和。

具体表达方式是：设直角三角形的两个直角边分别为a、b，斜边为c，则有a²+b²=c²。

这就是著名的毕达哥拉斯定理，也是勾股定理的核心概念。

二、勾股定理的证明1. 几何证明勾股定理有多种证明方法，其中有几何证明是最常见的。

几何证明主要通过图形的构造和变换，利用几何形状的属性，从而证明勾股定理。

常见的几何证明方法包括利用正方形、相似三角形、垂直平分线、圆的性质等，通过构造等辅助图形，最终得到a²+b²=c²的结论。

2. 代数证明另外，勾股定理也可以通过代数方法进行证明。

代数证明主要通过变换方程、化简运算，利用数学公式和规律，从而得到a²+b²=c²的结论。

通过几何和代数两种证明方法，可以更全面地理解勾股定理的内涵和外延，为后续的学习和应用打下坚实的基础。

三、勾股定理的性质1. 勾股三元数根据勾股定理，我们可以找到很多满足a²+b²=c²的整数解组，这样的整数解组叫做勾股三元数。

例如：3²+4²=5²、5²+12²=13²、9²+40²=41²等。

勾股三元数的性质是研究勾股定理的重要方面，它们具有很多有趣的特性和规律，对于数论的研究有着重要的意义。

2. 勾股定理的逆定理对于一个三元数组(a, b, c)，如果它满足a²+b²=c²，则称它是勾股三元数。

而勾股定理的逆定理表明，每个整数对(a, b)，都可以构成一个勾股三元数。

这个逆定理的证明非常复杂，它涉及到模运算、费马大定理、椭圆曲线等高深的数学知识，是数论和代数学研究的重要课题之一。

3. 勾股定理的推广在直角三角形外，勾股定理也有很多推广成立的情况。

数学勾股定理的公式总结数学勾股定理的公式总结勾股定理在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理(Pythagoras Theorem)。

数学公式中常写作a^2+b^2=c^2 在任何一个直角三角形(Rt△)中(等腰直角三角形也算在内)，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方，这就叫做勾股定理。

即勾的长度的平方加股的长度的平方等于弦的长度的平方。

[1]如果用a,b,c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么a+b=c;.简介这个定理在中国又称为“商高定理”(相传大禹治水时，就会运用此定理来解决治水中的计算问题)，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理”。

(毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”)。

他们发现勾股定理的时间都比中国晚(中国是最早发现这一几何宝藏的国家)。

目前初二学生开始学习，教材的证明方法大多采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。

勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果用a、b和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a^2+b^2=c^2。

勾股定理内容直角三角形(等腰直角三角形也算在内)两直角边(即“勾”“股”短的为勾，长的`为股)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。

也就是说设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方a+b=c。

勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

推广1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。

即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。

2.勾股定理是余弦定理的特殊情况。

勾股定理定理如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为C，那么a^2+b^2=c^2。

七年级勾股定理知识点归纳随着数学教育的普及和深入，勾股定理作为数学的基础知识已成为七年级数学必备的知识点之一。

在学习勾股定理时，可能会遇到一些问题和难点。

接下来，我们将对七年级勾股定理的知识点进行全面归纳，希望能够帮助大家更好地掌握这一重要知识点。

勾股定理的基本概念勾股定理，也叫做“毕达哥拉斯定理”，是由古希腊数学家毕达哥拉斯发现的一条基本定理，主要是用于描述直角三角形中各边的关系。

在三角形ABC中，若∠C=90度，则c为斜边，a、b为两条直角边，勾股定理的表达式为：c²=a²+b²。

七年级勾股定理知识点的学习方法1. 熟记勾股定理的公式：c²=a²+b²。

2. 学会判断直角三角形：在判断三角形是否是直角三角形时，需要使用勾股定理。

3. 掌握勾股定理的应用：勾股定理除了用于计算直角三角形的三边之外，还可以用于计算三角形的面积、判定三角形是否为等腰三角形等。

4. 多进行练习：要熟练掌握各种场合下的勾股定理应用，需要多进行习题练习。

勾股定理的推导勾股定理是数学家毕达哥拉斯在公元前五世纪发现的，他使用了古希腊的几何学方法来证明这个定理，被誉为“毕氏定理”。

在勾股定理的推导过程中，一般使用几何分析或代数分析的方法。

几何分析方法：使用几何方法来证明勾股定理，主要是通过画图、观察图形的平移、旋转等，得到三角形的各边的关系，从而证明勾股定理的正确性。

代数分析方法：使用代数方法来证明勾股定理，主要是通过利用代数数量的符号和方程来证明三角形三条边的关系，从而证明勾股定理的正确性。

在学习七年级勾股定理时，可以通过结合几何分析和代数分析的方法，来加深对勾股定理的理解和记忆。

勾股定理的应用举例1. 计算三角形的面积：如果三角形三边已知，则可以用勾股定理求出斜边的长度，进而根据海伦公式（面积=sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]）来计算三角形的面积。

勾股定理勾股定理，又称商高定理，西方称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（英文：Pythagorean theorem或Pythagoras's theorem）是一个基本的几何定理，相传由古希腊的毕达哥拉斯首先证明。

据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。

在中国，相传于商代就由商高发现，记载在一本名为《周髀算经》的古书中。

而三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释。

法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。

直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理指出：直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。

也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么A2+ b2= c2勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

一种证明方法的图示：左右两正方形面积相等，各扣除四块蓝色三角形后面积仍相等勾股定理勾股定理的美妙证明证明[广西梁卷明的证法]：如图1,分别以AC、CB、BA为边长作正方形ACNM、正方形CBSQ、正方形BAPR，则易知⊿ABC≌⊿RBS,从而点Q 必在SR上，又把梯形ABNM沿BR方向平移，使点B与点R重合,则梯形ABNM平移至梯形PRQT的位置；显然⊿RSB≌⊿PTA, 如图2，再把⊿RSB沿BA方向平移，使点B与点A重合，则⊿RSB必与⊿PTA重合！故有：正方形ACNM的面积+正方形CBSQ的面积=正方形BAPR的面积，即得： a的平方 + b的平方 = c的平方.勾股定理【梁卷明证法】勾股定理 - 勾股数组勾股数组是满足勾股定理a2+ b2= c2的正整数组(a,b,c)，其中的a,b,c称为勾股数。

例如(3,4,5)就是一组勾股数组。

任意一组勾股数(a,b,c)可以表示为如下形式：a = m−n,b = 2mn,c = m + n，其中勾股定理。

勾股定理公元前500-200年，《周髀算经》的图解《勾股圆方图》勾股定理 - 参考资料勾股定理 - 历史上的勾股定理定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理（毕达哥拉斯定理） 勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

勾股定理是余弦定理的一个特例。

勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。

勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。

(3,4,5)就是勾股数。

也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。

勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。

【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴ ∴.【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。

第1篇一、勾股定理简介勾股定理，又称为毕达哥拉斯定理，是数学中一个重要的几何定理。

它指出，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

这个定理不仅在我国古代数学著作《周髀算经》中有记载，而且在古希腊、印度、埃及等地的数学文献中也有所体现。

勾股定理是解决直角三角形问题的基础，也是许多数学领域的重要工具。

二、勾股定理的证明1. 证明方法一：几何证明如图所示，设直角三角形ABC中，∠C为直角，AC、BC分别为直角边，AB为斜边。

作辅助线CD，使得CD⊥AB于点D。

（1）证明AC²+BC²=AB²由于CD⊥AB，∠ACD和∠BCD都是直角。

因此，三角形ACD和三角形BCD都是直角三角形。

根据直角三角形的性质，有：AC² = AD² + CD²BC² = BD² + CD²将上述两个等式相加，得到：AC² + BC² = (AD² + CD²) + (BD² + CD²)AC² + BC² = AD² + BD² + 2CD²由于AD+BD=AB，将AD+BD替换为AB，得到：AC² + BC² = AB² + 2CD²由于CD是AB的一半，即CD=AB/2，代入上式，得到：AC²+ BC² = AB² + 2(AB/2)²AC² + BC² = AB² + AB²AC² + BC² = 2AB²由于2AB²=AB²，因此：AC² + BC² = AB²（2）证明结论根据上述证明，得出勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理定理
勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是数学中的一条重要定理，它表明在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

这个定理由古希腊数学家毕达哥拉斯发现，被认为是古希腊数学中最重要的发现之一，对于后来的数学和科学发展产生了深远的影响。

在中国，勾股定理的发现也有着悠久的历史。

早在商周时期，古人就已经掌握了勾股定理的方法，但直到宋代，才由数学家李冶正式写成《海岛算经》中的一章，将勾股定理的证明方法系统化、完善化。

此后，勾股定理在中国数学中得到了广泛的应用，成为了数学教育中必不可少的一部分。

勾股定理的证明方法有很多种，其中最著名的是欧几里得证明法。

欧几里得证明法是将直角三角形的三边平方之和表示为两个完全平方数之差的形式，然后利用数学归纳法证明，从而得出勾股定理的结论。

这种证明方法简洁明了，易于理解，成为了勾股定理证明的经典方法之一。

除了数学中的应用，勾股定理在物理学、工程学、计算机科学等领域中也有着广泛的应用。

例如在物理学中，勾股定理被用来计算物体的速度、加速度等物理量；在工程学中，勾股定理被用来计算建筑物的结构稳定性等问题；在计算机科学中，勾股定理被用来计算图形的距离和角度等等。

总之，勾股定理是数学中的一条重要定理，不仅有着悠久的历史和丰富的证明方法，而且在各个领域中都有着广泛的应用。

它的
发现和研究不仅是古代数学家的杰作，也是现代数学和科学发展的重要里程碑。

勾股定理（毕达哥拉斯定理） 是一个，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

是的一个特例。

约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的之一。

“”是勾股定理最基本的公式。

勾股数组方程a 2+b 2=c 2的正整数组(a ,b ,c )。

(3,4,5)就是。

也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理命题1如果的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。

勾股定理的逆定理命题2如果的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。

【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o，∴ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o.∴EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴∴.【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b ，所以面积相等.即，整理得.【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o.∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 ∴.∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。

三角形勾股定理公式勾股定理，又称商高定理，西方称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（英文：Pythagorean theorem 或Pythagoras's theorem ）是一个基本的几何定理，相传由古希腊的毕达哥拉斯首先证明。

据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称百牛定理”在中国，相传于商代就由商高发现，记载在一本名为《周髀算经》的古书中。

而三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释。

法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。

公式在平面一个直角三角形上用直线a的平方+直线B的平方二斜线C的平方这就是勾股定理经典证明方法细讲方法一：作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D E、F在一条直线上.过C作AC 的延长线交DF于点P.••• D、E、F 在一条直线上，且Rt △ GEF 也Rt △ EBD,••• / EGF = / BED••• / EGF + / GEF = 90°,••• / BED + / GEF = 90°，••• / BEG =180 — 90° = 90 °又••• AB = BE = EG = GA = c ，••• ABEG是一个边长为c的正方形.••• / ABC + / CBE = 90°••• Rt △ ABC也Rt △ EBD,••• / ABC = / EBD.••• / EBD + / CBE = 90°即 / CBD=90又••• / BDE = 90°,/ BCP = 90BC = BD = a.••• BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG!—个边长为b的正方形.设多边形GHCB的面积为S,则J••• BDPC的面积也为S, HPFG勺面积也为S由此可推出：a A2+b A2=c A2方法二作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF, AE为边长做正方形FCJI和AEIG••• EF=DF-DE=b-a EI=b ,••• FI=a ,G,I,J在同一直线上，-CJ=CF=a CB=CD=c/ CJB = / CFD = 90° ,••• Rt △ CJB 也Rt △ CFD ,同理,Rt △ ABG^ Rt △ ADE••• Rt △ CJB 也Rt △ CFD 也Rt △ ABG也Rt △ ADE•••/ ABG = / BCJ,v/ BCJ +/ CBJ= 90° ,•••/ ABG +Z CBJ= 90° ,v/ ABC= 90••• G,B,I,J在同一直线上,所以a A2+b A2=c A2勾股数的相关介绍①观察3, 4, 5;5, 12, 13;7, 24, 25;…发现这些勾股数都是奇数，且从 3 起就没有间断过。