广东省深圳市红岭中学2015-2016学年高二上学期第一学段统一考试数学文试题 Word版无答案[ 高考]

2015-2016学年广东省深圳市宝安区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题：“∃x∈R，x2+x﹣1＞0”的否定为（）A．∀x∈R，x2+x﹣1＜0B．∀x∈R，x2+x﹣1≤0C．∃x∉R，x2+x﹣1=0D．∃x∈R，x2+x﹣1≤02．（5分）抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．B．（﹣1，0）C．D．3．（5分）设a=3x2﹣x+1，b=2x2+x，则（）A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a≤b4．（5分）已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则角B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°或120°D．60°5．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知x+3y﹣1=0，则关于2x+8y的说法正确的是（）A．有最大值8B．有最小值2C．有最小值8D．有最大值2 7．（5分）等差数列{a n}共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n的值是（）A．3B．5C．7D．98．（5分）在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形9．（5分）已知数列{a n}，如果a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1，…，是首项为1，公比为的等比数列，则a n=（）A．（1﹣）B．（1﹣）C．（1﹣）D．（1﹣）10．（5分）已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（）A．e B．﹣e C．D．﹣11．（5分）已知f（x）=x2+2x•f′（1），则f′（0）=（）A．0B．﹣4C．﹣2D．212．（5分）下列各式中最小值为2的是（）A．B．+C．D．sinx+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若数列{a n}成等比数列，其公比为2，则=．14．（5分）给出平面区域为图中四边形ABOC内部及其边界，目标函数为z=ax ﹣y，若当且仅当x=1，y=1时，目标函数z取最小值，则实数a的取值范围是．15．（5分）已知F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线时，双曲线的离心率e=．16．（5分）有以下几个命题：①已知a、b、c∈R，则“a=b”的必要不充分条件是“ac=bc”；②已知数列{a n}满足a1=2，若a n+1：a n=（n+1）：n（n∈N*），则此数列为等差数列；③f′（x0）=0是函数y=f（x）在点x=x0处有极值的充分不必要条件；④若F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+，（a∈R+，a为常数），则点P的轨迹是椭圆．其中正确的命题序号为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．（10分）已知p：x＜﹣2或x＞10；q：1﹣m≤x≤1+m2；¬p是q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．18．（10分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且．（1）求A；（2）若，求bc的值，并求△ABC的面积．19．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，（n∈N*）．（1）求证：数列为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）设，数列{b n b n+2}的前n项和T n，求证：．20．（12分）已知函数f（x）=x2+2alnx．（1）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；（2）若函数g（x）=+f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．21．（12分）设椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点坐标为（2，0），离心率为．（1）求这个椭圆的方程；（2）若这个椭圆左焦点为F1，右焦点为F2，过F1且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF2的面积．22．（14分）设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的两个极值点．（1）若x1=﹣1，x2=2，求函数f（x）的解析式；（2）若，求b的最大值．．2015-2016学年广东省深圳市宝安区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题：“∃x∈R，x2+x﹣1＞0”的否定为（）A．∀x∈R，x2+x﹣1＜0B．∀x∈R，x2+x﹣1≤0C．∃x∉R，x2+x﹣1=0D．∃x∈R，x2+x﹣1≤0【解答】解：根据特称命题的否定是全称命题．得命题的否定是：∀x∈R，x2+x ﹣1≤0，故选：B．2．（5分）抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．B．（﹣1，0）C．D．【解答】解：∵在抛物线y=﹣2x2，即x2=﹣y，∴p=，=，∴焦点坐标是（0，﹣），故选：D．3．（5分）设a=3x2﹣x+1，b=2x2+x，则（）A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a≤b【解答】解：∵a=3x2﹣x+1，b=2x2+x，∴a﹣b=x2﹣2x+1=（x﹣1）2≥0，∴a≥b，故选：C．4．（5分）已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则角B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°或120°D．60°【解答】解：∵，∴==，∵b＞a，B∈[0°，180°），∴B=60°或120°．故选：C．5．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但{a n}不是递增数列，充分性不成立．若a n=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D．6．（5分）已知x+3y﹣1=0，则关于2x+8y的说法正确的是（）A．有最大值8B．有最小值2C．有最小值8D．有最大值2【解答】解：∵x+3y﹣1=0，∴x+3y=1，∴2x+8y=2x+23y≥2=2（当且仅当x=3y=时取“=”）．故选：B．7．（5分）等差数列{a n}共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n的值是（）A．3B．5C．7D．9【解答】解：设数列公差为d，首项为a1，奇数项共n+1项，其和为S奇===（n+1）a n+1=4，①偶数项共n项，其和为S偶===na n+1=3，②得，，解得n=3故选：A．8．（5分）在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解答】解：由题意，即sinBsinC=1﹣cosCcosB，亦即cos（C ﹣B）=1，∵C，B∈（0，π），∴C=B，故选：A．9．（5分）已知数列{a n}，如果a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1，…，是首项为1，公比为的等比数列，则a n=（）A．（1﹣）B．（1﹣）C．（1﹣）D．（1﹣）【解答】解：由题意a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=故选：A．10．（5分）已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（）A．e B．﹣e C．D．﹣【解答】解：∵y=lnx，∴y'=，设切点为（m，lnm），得切线的斜率为，所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm=×（x﹣m）．它过原点，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e，∴k=．故选：C．11．（5分）已知f（x）=x2+2x•f′（1），则f′（0）=（）A．0B．﹣4C．﹣2D．2【解答】解：因为f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，可得f′（1）=2+2f′（1），∴f′（1）=﹣2，∴f′（x）=2x+2f′（1）=2x﹣4，当x=0，f′（0）=﹣4．故选：B．12．（5分）下列各式中最小值为2的是（）A．B．+C．D．sinx+【解答】解：A.=+＞2，不正确；B．ab＜0时，其最小值小于0，不正确；C.==+≥2，当且仅当=1时取等号，满足题意．D．sinx＜0时，其最小值小于0，不正确．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若数列{a n}成等比数列，其公比为2，则=．【解答】解：∵数列{a n}成等比数列，其公比为2，则===，故答案为：．14．（5分）给出平面区域为图中四边形ABOC内部及其边界，目标函数为z=ax ﹣y，若当且仅当x=1，y=1时，目标函数z取最小值，则实数a的取值范围是．【解答】解：由可行域可知，直线AC的斜率==﹣1，直线AB的斜率==﹣，当直线z=ax﹣y的斜率介于AC与AB之间时，A（1，1）是该目标函数z=ax﹣y的唯一最优解，所以﹣1＜a＜﹣故答案为：．15．（5分）已知F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线时，双曲线的离心率e=．【解答】解：以线段F1F2为边作正△MF1F2，则M在y轴上，可设|F1F2|=2c，则M（0，c），又F1（﹣c，0），则边MF1的中点为（﹣，c），代入双曲线方程，可得，﹣=1，由于b2=c2﹣a2，e=，则有e2﹣=4，即有e4﹣8e2+4=0，解得，e2=4，由于e＞1，即有e=1．故答案为：1．16．（5分）有以下几个命题：①已知a、b、c∈R，则“a=b”的必要不充分条件是“ac=bc”；②已知数列{a n}满足a1=2，若a n+1：a n=（n+1）：n（n∈N*），则此数列为等差数列；③f′（x0）=0是函数y=f（x）在点x=x0处有极值的充分不必要条件；④若F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+，（a∈R+，a为常数），则点P的轨迹是椭圆．其中正确的命题序号为①②．【解答】解：若“a=b”成立，则“ac=bc”成立，但“ac=bc”成立时，“a=b”不一定成立，故“a=b”的必要不充分条件是“ac=bc”，故①为真命题；数列{a n}满足a1=2，若a n+1：a n=（n+1）：n，可得：a n+1﹣a n=a n，当n=1时，a2=4，若数列{a n}为等差数列则d=2，此时a n=2n，a n+1﹣a n=2，满足要求，故②为真命题；f′（x0）=0是函数y=f（x）在点x=x0处有极值的必要不充分条件，故③错误；动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+≥6，则点P的轨迹是椭圆或线段，故④错误；故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．（10分）已知p：x＜﹣2或x＞10；q：1﹣m≤x≤1+m2；¬p是q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：∵p：x＜﹣2，或x＞10；q：1﹣m≤x≤1+m2∴¬p：﹣2≤x≤10﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵¬p⇒q∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又∵q 推不出¬p∴m≠3∴m的取值范围为（3，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．（10分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且．（1）求A；（2）若，求bc的值，并求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵A、B、C为△ABC的三个内角，且cosBcosC﹣sinBsinC=cos （B+C）=，∴B+C=，则A=；（2）∵a=2，b+c=4，cosA=﹣，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc，即12=16﹣bc，解得：bc=4，则S=bcsinA=×4×=．△ABC19．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，（n∈N*）．（1）求证：数列为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）设，数列{b n b n+2}的前n项和T n，求证：．【解答】证明：（1）由得：，且，∴数列是以1为首项，以2为公差的等差数列；（2）由（1）得：，故；（3）由得：，∴，从而：，则T n=b1b3+b2b4+…+b n b n+2===．20．（12分）已知函数f（x）=x2+2alnx．（1）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；（2）若函数g（x）=+f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）…（2分）由已知f'（2）=1，解得a=﹣3．…（4分）（2）由得，由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，则g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立．即在[1，2]上恒成立．…（9分）令，在[1，2]上，所以h（x）在[1，2]为减函数.，所以．…（13分）21．（12分）设椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点坐标为（2，0），离心率为．（1）求这个椭圆的方程；（2）若这个椭圆左焦点为F1，右焦点为F2，过F1且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF2的面积．【解答】解：（1）设椭圆的方程为，由题意，a=2，=，∴c=，b=1，∴椭圆的方程为．（2）左焦点F1（﹣，0），右焦点F2（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AB的方程为y=x+．由，消x得5y2﹣2y﹣1=0．∴y1+y2=，y1y2=﹣，∴|y1﹣y2|==．∴S=+=+△ABF2===．22．（14分）设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的两个极值点．（1）若x1=﹣1，x2=2，求函数f（x）的解析式；（2）若，求b的最大值．．【解答】解：（1）∵f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0），∴f'（x）=3ax2+2bx﹣a2（a＞0）依题意有，∴．解得，∴f（x）=6x3﹣9x2﹣36x．．（2）∵f'（x）=3ax2+2bx﹣a2（a＞0），依题意，x1，x2是方程f'（x）=0的两个根，且，∴（x1+x2）2﹣2x1x2+2|x1x2|=8．∴，∴b2=3a2（6﹣a）∵b2≥0，∴0＜a≤6设p（a）=3a2（6﹣a），则p′（a）=﹣9a2+36a．由p'（a）＞0得0＜a＜4，由p'（a ）＜0得a ＞4．即：函数p （a ）在区间（0，4]上是增函数， 在区间[4，6]上是减函数，∴当a=4时，p （a ）有极大值为96， ∴p （a ）在（0，6]上的最大值是96， ∴b 的最大值为．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．yxo（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2015-2016学年广东省深圳中学高三（上）段测数学试卷（理科）（2）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项符合要求．1．（5分）命题∀x∈R，tanx≠1，的否定是（）A．∀x∉R，tanx≠1 B．∀x∈R，tanx=1C．∃x0∉Rtanx0=1 D．∃x0∈R，tanx0=12．（5分）设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c3．（5分）由曲线y=x2，y=x围成的封闭图形的面积为（）A．1 B．C．D．4．（5分）点（1，2）到直线y=x﹣2的距离为（）A．B．C．D．5．（5分）在等比数列{a n}中，a3+a4=4，a2=2，则公比q等于（）A．﹣2 B．1或﹣2 C．1 D．1或26．（5分）设的最小正周期为π，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．B．C．D．7．（5分）已知三个点A（0，0），B（2，0），C（4，2），则△ABC的外心的纵坐标是（）A．B．3 C．D．48．（5分）若变量x，y满足约束条件，则点（3，4）到点（x，y）的最小距离为（）A．3 B． C．D．9．（5分）已知θ是第一象限角，且，则的值是（）A．B．C．D．10．（5分）异面直线l与m所成的角为，异面直线l与n所成的角为，则异面直线m 与n所成角的范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]11．（5分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D为AA1的中点．M、N分别是BB1、CC1上的动点（含端点），且满足BM=C1N．当M，N运动时，下列结论中不正确的是（）A．平面DMN⊥平面BCC1B1B．三棱锥A1﹣DMN的体积为定值C．△DMN可能为直角三角形D．平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，]12．（5分）已知x1，x2是方程e﹣x+2=|lnx|的两个解，则（）A．0＜x1x2＜B．＜x1x2＜1 C．1＜x1x2＜e D．x1x2＞e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．满分20分．13．（5分）记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y=lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x ∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为．14．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4=．15．（5分）向量满足||=|+|=|2+|=1，则|=．16．（5分）四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB，AC，AD两两垂直，，则四面体ABCD．体积的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，2c2﹣2a2=b2（1）求的值；（2）若a=1，tanA=，求△ABC的面积S．18．（12分）设{a n}是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，a22+a23=a28+a23，S7=7（Ⅰ）求{a n}的通项公式（Ⅱ）若1+2log2b n=a n+3（n∈N*），求数列{a n b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．20．（12分）已知f（x）=e x﹣x2+b，曲线y=f（x）与直线y=ax+1相切于点（1，f（1））（1）求a，b的值；（2）求证：当x＞0时，e x+（2﹣e）x﹣1≥x2．21．（12分）设函数f（x）=mlnx+﹣（1）若m≤0，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求m的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所傲的第一题记分．做题时请写清题号．22．（10分）如图，已知AB为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C作半圆的切线CF，过点A作CF的垂线，垂足为D，AD交半圆于点E，连结EC，BC，AC．（Ⅰ）证明：AC平分∠BAD；（Ⅱ）若AB=3，DE=，求△ABC的面积．23．已知曲线C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上的点的距离的最小值是此时点P的坐标．24．已知函数f（x）=|x+a|+2|x+1|．（Ⅰ）当a=﹣1时，求不等式f（x）＞5的解集；（Ⅱ）若f（x）＞|x+1|+3a﹣7恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年广东省深圳中学高三（上）段测数学试卷（理科）（2）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项符合要求．1．（5分）（2015秋•罗湖区校级月考）命题∀x∈R，tanx≠1，的否定是（）A．∀x∉R，tanx≠1 B．∀x∈R，tanx=1C．∃x0∉Rtanx0=1 D．∃x0∈R，tanx0=1【分析】利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题∀x∈R，tanx≠1，的否定是：∃x0∈R，tanx0=1．故选：D【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，注意量词的变化．2．（5分）（2015•唐山二模）设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c【分析】利用对数函数与指数函数、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log3π＞1，0＜b=logπ3＜1，c=cos3＜0，∴a＞b＞c．故选：D．【点评】本题考查了对数函数与指数函数、三角函数的单调性，属于基础题．3．（5分）（2015•昌平区三模）由曲线y=x2，y=x围成的封闭图形的面积为（）A．1 B．C．D．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可【解答】解：由题意封闭图形如图，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx=（x2﹣x3）|=；∴曲边梯形的面积是；故选：D．【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数4．（5分）（2015秋•罗湖区校级月考）点（1，2）到直线y=x﹣2的距离为（）A．B．C．D．【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点（1，2）到直线y=x﹣2的距离d==．故选：B．【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（5分）（2015•丰台区一模）在等比数列{a n}中，a3+a4=4，a2=2，则公比q等于（）A．﹣2 B．1或﹣2 C．1 D．1或2【分析】由题意可得q的一元二次方程，解方程可得．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a3+a4=4，a2=2，∴a3+a4=2q+2q2=4，∴q2+q﹣2=0，解得q=1或q=﹣2故选：B【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及一元二次方程的解法，属基础题．6．（5分）（2015秋•罗湖区校级月考）设的最小正周期为π，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．B．C．D．【分析】利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，根据函数的最小正周期求解ω，将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；【解答】解：函数化解可得：f（x）=2sin（ωx﹣）∵最小正周期为π，即T=，∴ω=2．则f（x）=2sin（2x﹣）由可得．∴f（x）的一个单调递减区间（，）．故选C．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用根据周期求解出解析式是解决本题的关键．属于基础题．7．（5分）（2015秋•罗湖区校级月考）已知三个点A（0，0），B（2，0），C（4，2），则△ABC 的外心的纵坐标是（）A．B．3 C．D．4【分析】设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，利用待定系数法求出△ABC的外接圆方程，由此能求出△ABC的外心的纵坐标．【解答】解：设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵A（0，0），B（2，0），C（4，2），∴，解得D=﹣2，E=﹣6，F=0，∴x2+y2﹣2x﹣6y=0，∴△ABC的外心的纵坐标是．故选：B．【点评】本题考查三角形外心的纵坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．8．（5分）（2017•荔湾区校级模拟）若变量x，y满足约束条件，则点（3，4）到点（x，y）的最小距离为（）A．3 B． C．D．【分析】由约束条件作出可行域，再由点到直线的距离公式求得点（3，4）到点（x，y）的最小距离．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，点（3，4）到点（x，y）的最小距离为P（3，4）到直线x+y﹣4=0的距离．为．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．9．（5分）（2017•荔湾区校级模拟）已知θ是第一象限角，且，则的值是（）A．B．C．D．【分析】根据同角三角函数的基本关系求出sinθ与tanθ的值，再由二倍角公式化简，然后代值计算得答案．【解答】解：∵θ是第一象限角，且，∴sinθ=，∴tanθ==3；∴===．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了同角三角函数的基本关系以及二倍角公式的应用，是基础题..10．（5分）（2015•唐山三模）异面直线l与m所成的角为，异面直线l与n所成的角为，则异面直线m与n所成角的范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【分析】如图所示，把直线m，n分别平移，可得异面直线m与n所成角的范围．【解答】解：如图所示，把直线m，n分别平移，可得异面直线m与n所成角的范围是：[，]．故选：B．【点评】本题考查了异面直线的夹角、平移法，考查了空间想象能力与推理能力，属于中档题．11．（5分）（2015•温州三模）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D为AA1的中点．M、N分别是BB1、CC1上的动点（含端点），且满足BM=C1N．当M，N运动时，下列结论中不正确的是（）A．平面DMN⊥平面BCC1B1B．三棱锥A1﹣DMN的体积为定值C．△DMN可能为直角三角形D．平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，]【分析】由BM=C1N，得线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，由DO⊥平面BCC1B1，可得平面DMN⊥平面BCC1B1；由△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，得到三棱锥A1﹣DMN的体积为定值；利用反证法思想说明△DMN不可能为直角三角形；平面DMN与平面ABC平行时所成角为0，当M与B重合，N与C1重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大．【解答】解：如图，当M、N分别在BB1、CC1上运动时，若满足BM=C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，而DO⊥平面BCC1B1，∴平面DMN⊥平面BCC1B1，A正确；当M、N分别在BB1、CC1上运动时，△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，∴棱锥N﹣A1DM的体积不变，即三棱锥A1﹣DMN的体积为定值，B正确；若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BC1，而此时DM，DN的长大于BB1，∴△DMN不可能为直角三角形，C错误；当M、N分别为BB1，CC1中点时，平面DMN与平面ABC所成的角为0，当M与B重合，N 与C1重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大，为∠C1BC，等于．∴平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，]，D正确．故选：C．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了棱柱的结构特征，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．12．（5分）（2017•荔湾区校级模拟）已知x1，x2是方程e﹣x+2=|lnx|的两个解，则（）A．0＜x1x2＜B．＜x1x2＜1 C．1＜x1x2＜e D．x1x2＞e【分析】利用函数与方程的关系，将方程转化为两个函数的交点问题，结合对数函数的和指数函数的图象和性质，进行推理即可．【解答】解：设y=e﹣x+2，y=|lnx|，分别作出两个函数的图象如图：不妨设x1＜x2，则由图象知0＜x1＜1，x2＞1，则+2=|lnx1|=﹣lnx1，+2=|lnx2|=lnx2，两式相减得﹣=lnx2+lnx1=ln（x1x2）∵y=e﹣x为减函数，∴＜，即﹣=ln（x1x2）＜0，则0＜x1x2＜1，∵0＜﹣lnx1＜1，∴lnx1＞﹣1，可得x1＞∵x2＞1，∴x1x2＞，综上＜x1x2＜1；故选：B．【点评】本题主要考查函数零点的概念，函数零点和方程解的关系，方程f（x）=g（x）的解和函数f（x）与g（x）交点的关系，对数的运算，以及对数函数的单调性．利用数形结合结合对数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．满分20分．13．（5分）（2015•南京三模）记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y=lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3] ．【分析】根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，即A（﹣3，2），由x﹣a＞0，得x＞a，即B=（a，+∞），若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，即a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3]【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的关系的应用，比较基础．14．（5分）（2015•唐山二模）设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4=．【分析】a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2015•唐山三模）向量满足||=|+|=|2+|=1，则|=．【分析】将已知等式平方，展开变形得到，|2=﹣2．【解答】解：因为||=|+|=|2+|=1，所以||2=|+|2=|2+|2=1，展开整理得到，|2=﹣2，所以|=；故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积公式的运用以及向量模的求法；属于基础题．16．（5分）（2017•荔湾区校级模拟）四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB，AC，AD两两垂直，，则四面体ABCD．体积的最大值为．【分析】由题意，•=c2=2，则a2+b2+2=16，利用基本不等式，可得ab≤7，利用体积公式，即可求出四面体ABCD体积的最大值．即可求出四面体体积的最大值．【解答】解：由题意，•=c••=c2=2，∵a2+b2+c2=16，∴a2+b2=14≥2ab，∴ab≤7，∴四面体ABCD体积V=×abc=ab≤，∴四面体ABCD体积的最大值，故答案为：【点评】本题考查四面体ABCD体积的最大值，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2015秋•罗湖区校级月考）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，2c2﹣2a2=b2（1）求的值；（2）若a=1，tanA=，求△ABC的面积S．【分析】（1）利用余弦定理结合2c2﹣2a2=b2得到ccosA﹣acosC=，代入得答案；（2）利用正弦定理把（1）结论中边转化成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理，可求得sinCcosA=3sinAcosC，进而求得tanC和tanA的关系，求得tanC，得到C．再由正弦定理求出边c，则三角形面积可求．【解答】解：（1）∵2c2﹣2a2=b2，∴ccosA﹣acosC==，∴=；（2）由（1）和正弦定理以及sinB=sin（A+C），得2sinCcosA﹣2sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC，即sinCcosA=3sinAcosC，又cosAcosC≠0，∴tanC=3tanA=1，故C=45°．由tanA=，得cotA=3，∴sinA=，cosA=．又a=1，∴，解得．又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=．∴△ABC的面积S=．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．解题的关键是对正弦定理和余弦定理能熟练灵活的运用，是中档题．18．（12分）（2015•邯郸一模）设{a n}是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，a22+a23=a28+a23，S7=7（Ⅰ）求{a n}的通项公式（Ⅱ）若1+2log2b n=a n+3（n∈N*），求数列{a n b n}的前n项和T n．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（II）1+2log2b n=a n+3（n∈N*），可得1+2log2b n=2n﹣1，．a n b n=（2n﹣7）×2n﹣1，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵a22+a23=a28+a23，∴（a4﹣a2）（a4+a2）=（a3+a5）（a3﹣a5），化为2d×2a3=﹣2d×2a4，d≠0，∴a3=﹣a4．∵S7=7，∴S7==7a4=7，解得a4=1，∴a3=﹣1，d=2．∴a n=a4+（n﹣4）×2=2n﹣7．（Ⅱ）∵1+2log2b n=a n+3（n∈N*），∴1+2log2b n=2n﹣1，∴．∴a n b n=（2n﹣7）×2n﹣1，∴数列{a n b n}的前n项和T n=﹣5×1﹣3×2﹣1×22+1×23+…+（2n﹣7）×2n﹣1，2T n=﹣5×2﹣3×22﹣1×23+1×24+…+（2n﹣7）×2n，∴﹣T n=﹣5+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣7）×2n=﹣5+﹣（2n﹣7）×2n=﹣5+2n+1﹣4﹣（2n﹣7）×2n，∴T n=（2n﹣9）×2n+9．【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2015•唐山二模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD 是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取PD边中点E，连接AE，EM，根据MN⊥CD容易得到CD⊥AE，而根据已知条件可以说明PO⊥平面ABCD，从而得到CD⊥PO，这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到AD⊥CD；（Ⅱ）取BC中点F，连接OF，由（Ⅰ）便可知道OA，OF，OP三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴，可设AB=2，这样即可求得图形中一些点的坐标．从而求出向量的坐标，这时候设平面PBD的法向量为，根据即可求出的坐标，若设MN和平面PBD所成角为θ，从而根据sinθ=即可求得答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN；∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE；∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD；又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD；∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO；故CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD；∴CD⊥AD，即AD⊥CD；（Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得▱ABCD是正方形；取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），E（﹣，0，）；=（2，2，0），=（1，0，）；设平面PBD的法向量，则：；∴；∴，取z=1，∴；==（，0，﹣）；设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则：sinθ=|cos＜，＞|==．【点评】考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．20．（12分）（2015秋•罗湖区校级月考）已知f（x）=e x﹣x2+b，曲线y=f（x）与直线y=ax+1相切于点（1，f（1））（1）求a，b的值；（2）求证：当x＞0时，e x+（2﹣e）x﹣1≥x2．【分析】（1）求导数，由题设得a﹣f'（1）=e﹣2，a+1﹣f（1）=e﹣1+b，即可求a，b的值；（2）由（1）得，f（x）=e x﹣x2，设g（x）=e x+（2﹣e）x﹣1﹣x2，x＞0，则g'（x）=e x﹣2x+2﹣e，设h（x）=g'（x），则h'（x）=e x﹣2，确定函数的单调性，即可证明结论．【解答】（1）解：f'（x）=e x﹣2x．由题设得a=f'（1）=e﹣2，a+1=f（1）=e﹣1+b．故a=e﹣2，b=0．…（4分）（2）证明：由（1）得，f（x）=e x﹣x2，设g（x）=e x+（2﹣e）x﹣1﹣x2，x＞0．则g'（x）=e x﹣2x+2﹣e，设h（x）=g'（x），则h'（x）=e x﹣2，当x∈（0，ln2）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（ln2，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，又h（0）=3﹣e＞0，h（1）=0，且0＜ln2≤1，h（ln2）＜0，所以∃x0∈（0，1），h（x0）=0所以当x∈（0，x0）或x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0；当x∈（x0，1）时，g'（x）＜0，故g（x）在（0，x0）和（1，+∞）单调递增，在（x0，1）单调递减，又g（0）=g（1）=0，所以g（x）=e x﹣x2﹣（e﹣2）x﹣1≥0，即当x＞0时，e x+（2﹣e）x﹣1≥x2．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查构造法的运用，属于中档题．21．（12分）（2015•保定二模）设函数f（x）=mlnx+﹣（1）若m≤0，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求m的取值范围．【分析】（1）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；（2）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．…（2分）当m≤0时，mx﹣e x＜0，所以当0＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；…（3分）x＞2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．综上：f（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（2，+∞）．…（4分）（2）若m≤0时，由（1）知，函数f（x）在（0，2）内单调递增，故f（x）在（0，2）内不存在极值点；…（6分）当m＞0时，设函数g（x）=mx﹣e x（x∈（0，2））．因为g′（x）=m﹣e x，①当0＜m≤1时，x∈（0，2），g′（x）＜0，∴g（x）＜g（0）=﹣1，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点．…（8分）②当m＞1时，x∈（0，lnm）时，g′（x）＞0，函数y=g（x）单调递增，x∈（lnm，+∞）时，g′（x）＜0，函数y=g（x）单调递减，∴函数y=g（x）的最大值为g（lnm）=m（lnm﹣1）．…（9分）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点．当且仅当解得e＜m＜．综上所述，函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，m的取值范围为（e，）．…（12分）【点评】本题考查了导数在求函数的单调区间，和极值，运用了等价转化思想．是一道导数的综合应用题．属于中档题．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所傲的第一题记分．做题时请写清题号．22．（10分）（2015•邯郸二模）如图，已知AB为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C作半圆的切线CF，过点A作CF的垂线，垂足为D，AD交半圆于点E，连结EC，BC，AC．（Ⅰ）证明：AC平分∠BAD；（Ⅱ）若AB=3，DE=，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）证明∠BAC=∠CAD，即可证明：AC平分∠BAD；（Ⅱ）证明△DCE∽△CAB，则，求出BC，即可求△ABC的面积．【解答】（Ⅰ）证明：由CD为半圆O的切线，根据弦切角定理得∠DCA=∠CBA，又因为∠CDA=∠BCA=90°，得∠BAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD；…（5分）（Ⅱ）解：由CD为半圆O的切线，根据弦切角定理得∠DCE=∠CDA，又因为∠CAD=∠CAB，所以∠DCE=∠CAB，可得△DCE∽△CAB，则，又因为EC=BC，AB=3，DE=，．…（10分）所以BC=，即S△ABC【点评】本题考查弦切角定理，考查三角形相似的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．（2015•邯郸二模）已知曲线C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上的点的距离的最小值是此时点P的坐标．【分析】（Ⅰ）把椭圆的参数方程变形，然后平方作和求得普通方程，展开两角和的余弦，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ求得直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设P（cosφ，sinφ），由点到直线的距离公式得到距离，利用三角函数的最值求得答案．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方作和得，∴曲线C1的普通方程为；由ρcos（θ+）=2，得，即，即．∴曲线C2的直角坐标方程为；（Ⅱ）设P（cosφ，sinφ），由题意知，点P到直线C2距离为=，当φ=﹣时，d取最小值，此时点P（，）．【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，训练了点到直线的距离公式的应用，考查了三角函数最值的求法，是基础题．24．（2015•邯郸二模）已知函数f（x）=|x+a|+2|x+1|．（Ⅰ）当a=﹣1时，求不等式f（x）＞5的解集；（Ⅱ）若f（x）＞|x+1|+3a﹣7恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=﹣1时，不等式f（x）＞5等价变形，可得结论；（Ⅱ）若f（x）＞|x+1|+3a﹣7恒成立，即为|x+a|+|x+1|＞3a﹣7|恒成立，利用|x+a|+|x+1|≥|a﹣1|，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，不等式f（x）＞5可化为或或，…（3分）解得x＜﹣2或x＞，∴不等式f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣2或x＞}．…（5分）（Ⅱ）原不等式即为|x+a|+|x+1|＞3a﹣7|恒成立，∵|x+a|+|x+1|≥|a﹣1|，…（8分）∴|a﹣1|＞3a﹣7，解得a＜3…（10分）【点评】本题考查绝对值不等式，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．=。

2015-2016学年广东省深圳市红岭中学高一（上）第一次段考数学试卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给了的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果A={x|x＞﹣1}，那么正确的结论是（）A．0⊆A B．{x}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A2．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，4，5}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{4} B．{1，5} C．{2，3} D．{1，2，3，5}3．关于函数f（x）=x3﹣x的奇偶性，正确的说法是（）A．f（x）是奇函数但不是偶函数B．f（x）是偶函数但不是奇函数C．f（x）是奇函数又是偶函数D．f（x）既不是奇函数也不是偶函数4．设函数f（x）=，则f（）=（）A．B．﹣C．D．165．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．，g（x）=x B．f（x）=x，C．f（x）=x，D．f（x）=lnx2，g（x）=2lnx6．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（）A．y=100x B．y=log100x C．y=x100D．y=100x7．已知，则a，b，c之间的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b8．当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）=7+a x﹣1的图象恒过点P，则P点的坐标是（）A．（1，8）B．（1，7）C．（0，8）D．（8，0）10．若函数在区间（﹣∞，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，则a=（）A．1 B．﹣1 C．±1D．不存在11．函数f（x）=的零点的情况是（）A．仅有一个或0个零点B．有两个正零点C．有一正零点和一负零点 D．有两个负零点12．若f（x）和g（x）都是定义在R上的奇函数，且F（x）=f（g（x））+2在（0，+∞）上有最大值8，则在（﹣∞，0）上，F（x）有（）A．最小值﹣8 B．最大值﹣8 C．最小值﹣6 D．最小值﹣4二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．幂函数f（x）的图象过点（4，2），则f（x）的解析式是．14．设函数f（x）=﹣x2+2x+3，x∈[0，3]的最大值和最小值分别是M，m，则M+m= ．15．已知，则f（）= ．16．给出下列四个判断：①在定义域上单调递减；②函数f（x）=2x﹣x2恰有两个零点；③函数有最大值1；④若奇函数f（x）满足x＜0时，f（x）=x2+x，则x＞0时，f（x）=﹣x2+x．其中正确的序号是．三.解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（1）计算：；（2）计算：．18．已知全集U=R，A={x|﹣4≤x≤2}，B={x|﹣1＜x≤3}，P={x|x≤0，或x≥}，Q={x|a﹣2＜x＜a+2}．（1）求A∩B；（2）求（∁U B）∪P；（3）若A∩B⊆Q，求实数a的取值范围．19．（1）求函数的定义域；（2）求函数（a＞0，且a≠1）的值域．20．已知函数f（x）=log2x+ax+2．（1）当a=0时，求函数f（x）的零点；（2）当a=1时，判断函数f（x）在定义域内的零点的个数并给出代数证明．21．已知函数为奇函数，及lg2=0.3010，lg2.015=0.3043．（1）求实数a的值；（2）证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数；（3）求最小的正整数n，使得f（1+0.01×2n）+f（﹣2016）＜f（0）．22．给定函数f（x），若对于定义域中的任意x，都有f（x）≥x恒成立，则称函数f（x）为“爬坡函数”．（1）证明：函数f（x）=x2+1是爬坡函数；（2）若函数f（x）=4x+m•2x+1+x+2m2﹣4是爬坡函数，求实数m的取值范围；（3）若对任意的实数b，函数都不是爬坡函数，求实数c的取值范围．2015-2016学年广东省深圳市红岭中学高一（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给了的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果A={x|x＞﹣1}，那么正确的结论是（）A．0⊆A B．{x}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A【考点】集合的包含关系判断及应用；元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】元素和集合之间用“∈”表示，集合间用“⊆”、“⊇”等表示．【解答】解：0是元素，A是集合，0⊆A是错误的；{x}表示集合与A不能用“∈”，∅是集合，与集合A之间不能用“∈”，又0∈A，故选：D．【点评】本题主要考查元素与集合的关系，集合与集合的关系，属于基础题．2．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，4，5}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{4} B．{1，5} C．{2，3} D．{1，2，3，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】对应思想；转化法；集合．【分析】根据题意求出∁U B，即可求出A∩∁U B．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，4，5}，B={2，3，4}，∴∁U B={1，5}，∴A∩∁U B={1，5}．故选：B．【点评】本题考查了集合之间的交、并、补的混合运算问题，是基础题目．3．关于函数f（x）=x3﹣x的奇偶性，正确的说法是（）A．f（x）是奇函数但不是偶函数B．f（x）是偶函数但不是奇函数C．f（x）是奇函数又是偶函数D．f（x）既不是奇函数也不是偶函数【考点】函数奇偶性的判断．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x，∴f（﹣x）=﹣x3+x=﹣（x3﹣x）=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数但不是偶函数，故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4．设函数f（x）=，则f（）=（）A．B．﹣C．D．16【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数，逐步求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（2）=4+2﹣2=4，f（）=f（）=1﹣=．故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．5．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．，g（x）=x B．f（x）=x，C．f（x）=x，D．f（x）=lnx2，g（x）=2lnx【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．【解答】解：A．f（x）=|x|，两个函数的对应法则不同，所以A不是同一函数．B．f（x）的定义域为R，而g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所以定义域不同，所以B不是同一函数．C．g（x）=x，两个函数的定义域和对应法则一致，所以C表示同一函数．D．f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），而g（x）的定义域为（0，+∞），所以定义域不同，所以D不是同一函数．故选：C．【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．6．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（）A．y=100x B．y=log100x C．y=x100D．y=100x【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，底数大于1的指数函数增长最快．【解答】解：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y=100x增长速度最快．故选D．【点评】本题主要考查幂函数、指数函数、对数函数的增长速度的快慢，属于基础题．7．已知，则a，b，c之间的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【考点】对数值大小的比较．【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数与对数函数的性质，即可比较a、b、c的大小．【解答】解：∵a=＜=1，且a＞0；b=＞30=1，c=log3＜log1=0；∴c＜a＜b，即b＞a＞c．故：B．【点评】本题考查了利用指数函数与对数函数的图象与性质比较函数值大小的应用问题，是基础题目．8．当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．【专题】压轴题；数形结合．【分析】先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果【解答】解：∵函数y=a﹣x与可化为函数y=，其底数大于1，是增函数，又y=log a x，当0＜a＜1时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减．故选C．【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．9．已知函数f（x）=7+a x﹣1的图象恒过点P，则P点的坐标是（）A．（1，8）B．（1，7）C．（0，8）D．（8，0）【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】根据指数函数的性质，我们易得指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点，再根据函数图象的平移变换法则，求出平移量，进而可以得到函数图象平移后恒过的点A的坐标．【解答】解：由指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点而要得到函数y=7+a x﹣1（a＞0，a≠1）的图象，可将指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象向右平移1个单位，再向上平移7个单位．则（0，1）点平移后得到（1，8）点．点P的坐标是（1，8）．故选A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象与性质，其中根据函数y=7+a x﹣1（a＞0，a≠1）的解析式，结合函数图象平移变换法则，求出平移量是解答本题的关键．10．若函数在区间（﹣∞，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，则a=（）A．1 B．﹣1 C．±1D．不存在【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由题意得到f（x）的对称轴为x=1，且a＜0，再根据对称轴公式代值求出a的值．【解答】解：∵函数在区间（﹣∞，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，∴函数f（x）的对称轴为x=1=，且a＜0，解的a=﹣1，故选：B．【点评】本题考查二次函数图象特征和单调性，以及不等式的解法，属于基础题．11．函数f（x）=的零点的情况是（）A．仅有一个或0个零点B．有两个正零点C．有一正零点和一负零点 D．有两个负零点【考点】函数的零点．【专题】作图题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】作函数y=log2（x+4）与y=2x的图象，从而化函数的零点情况为函数的图象的交点的情况，从而解得．【解答】解：作函数y=log2（x+4）与y=2x的图象如下，，∵函数y=log2（x+4）与y=2x的图象有两个交点，且在y轴的两侧，故选：C．【点评】本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用．12．若f（x）和g（x）都是定义在R上的奇函数，且F（x）=f（g（x））+2在（0，+∞）上有最大值8，则在（﹣∞，0）上，F（x）有（）A．最小值﹣8 B．最大值﹣8 C．最小值﹣6 D．最小值﹣4【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由奇函数的定义可得，f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=﹣g（x），令h（x）=f（g（x）），可得h（x）也为R上的奇函数，由题意可得h（x）在（0，+∞）上有最大值6，则h（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣6，即可得到答案．【解答】解：f（x）和g（x）都是定义在R上的奇函数，即有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=﹣g（x），令h（x）=f（g（x）），h（﹣x）=f（g（﹣x））=f（﹣g（x））=﹣f（g（x））=﹣h（x），即h（x）为R上的奇函数．由F（x）在（0，+∞）上有最大值8，即h（x）在（0，+∞）上有最大值6，则h（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣6，则F（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣6+2=﹣4．故选D．【点评】本题考查函数的性质和运用，考查奇函数的定义和性质，考查运算能力，属于基础题．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．幂函数f（x）的图象过点（4，2），则f（x）的解析式是．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的概念设f（x）=xα，将点的坐标代入即可求得α值，从而求得函数解析式．【解答】解：设f（x）=xα，∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），∴4α=2∴α=．这个函数解析式为．故答案为：．【点评】本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题．14．设函数f（x）=﹣x2+2x+3，x∈[0，3]的最大值和最小值分别是M，m，则M+m= 4 ．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】计算题；函数思想；配方法；函数的性质及应用．【分析】先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值【解答】解：f（x）=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，x∈[0，3]∴抛物线的对称轴为x=1，x=1时y有最大值4，∴x=3时y有最小值﹣9+6+3=0．∴M+m=4+0=4故答案为：4．【点评】本题是一道有关二次函数图象性质的题，考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用．15．已知，则f（）= 1 ．【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知条件利用函数的性质和有理数指数幂性质求解．【解答】解：∵，∴f（）=f（2﹣1）=+3=1．故答案为：1．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．16．给出下列四个判断：①在定义域上单调递减；②函数f（x）=2x﹣x2恰有两个零点；③函数有最大值1；④若奇函数f（x）满足x＜0时，f（x）=x2+x，则x＞0时，f（x）=﹣x2+x．其中正确的序号是③④．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】数形结合；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】根据函数的性质分别进行判断即可．【解答】解：①在定义域上单调递减，错误，比如﹣1＜1，但f（﹣1）＞f（1）不成立，故①错误；②由f（x）=2x﹣x2=0得2x=x2，分别作出函数y=2x和y=x2的图象，由图象知两个函数有3个交点，即函数f（x）=2x﹣x2恰有3个零点；故②错误，③函数≤（）0=1，即函数有最大值1；故③正确，④若奇函数f（x）满足x＜0时，f（x）=x2+x，则x＞0时，﹣x＜0，即f（﹣x）=x2﹣x=﹣f（x），即f（x）=﹣x2+x，x＜0．故④正确，故正确是结论是③④，故答案为：③④【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，函数的零点以及函数奇偶性的应用，综合性较强．三.解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（1）计算：；（2）计算：．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】（1）直接利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．（2）利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（1）==+1+=4．…（5分）（2）==．…（10分）【点评】本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用，是基础题．18．已知全集U=R，A={x|﹣4≤x≤2}，B={x|﹣1＜x≤3}，P={x|x≤0，或x≥}，Q={x|a﹣2＜x＜a+2}．（1）求A∩B；（2）求（∁U B）∪P；（3）若A∩B⊆Q，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；分析法；集合．【分析】（1）直接由集合A、B，则A∩B可求；（2）由集合B求出∁U B，则（∁U B）∪P可求；（3）由A∩B⊆Q，列出不等式组，解不等式组则答案可求．【解答】解：（1）∵U=R，A={x|﹣4≤x≤2}，B={x|﹣1＜x≤3}，P={x|x≤0，或x≥}，Q={x|a﹣2＜x＜a+2}，∴A∩B={x|﹣4≤x≤2}∩{x|﹣1＜x≤3}={x|﹣1＜x≤2}；（2）∵∁U B={x|x≤﹣1或x＞3}，∴（∁U B）∪P═{x|x≤﹣1或x＞3}∪{x|x≤0，或x≥}={x|x≤0或x≥}；（3）∵A∩B⊆Q，∴，解得0＜a≤1．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题．19．（1）求函数的定义域；（2）求函数（a＞0，且a≠1）的值域．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意得，从而求函数的定义域；（2）由配方法可得﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4≤4，再讨论a以确定对数函数的单调性，从而求值域．【解答】解：（1）由题意得，，解得，0＜x≤5，且x≠4，∴函数f（x）的定义域是（0，4）∪（4，5]；（2）∵t=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4≤4，①当0＜a＜1时，f（x）≥log a4，即函数的值域是[log a4，+∞）；②当a＞1时，f（x）≤log a4，即函数的值域是（﹣∞，log a4]．【点评】本题考查了函数的定义域与值域的求法，同时考查了分类讨论的思想应用及配方法与单调性的应用．20．已知函数f（x）=log2x+ax+2．（1）当a=0时，求函数f（x）的零点；（2）当a=1时，判断函数f（x）在定义域内的零点的个数并给出代数证明．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】方程思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】（1）由a=0，解方程log2x+2=0，可得零点；（2）求得f（1）＞0，f（）＜0，判断f（x）的单调性，再由零点存在定理，即可判断零点的个数．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=log2x+2=0，即log2x=﹣2，解得，∴函数f（x）的零点是；（2）当a=1时，f（x）=log2x+x+2，∵f（1）=（log21+1+2）=3＞0，，且f（x）的图象在定义域内连续，∴f（x）在区间内有一个零点，又∵f（x）在定义域内单调递增，故f（x）在定义域内恰有一个零点．【点评】本题考查函数的零点的求法和判断，注意运用方程的思想和函数零点存在定理，考查运算能力，属于中档题．21．已知函数为奇函数，及lg2=0.3010，lg2.015=0.3043．（1）求实数a的值；（2）证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数；（3）求最小的正整数n，使得f（1+0.01×2n）+f（﹣2016）＜f（0）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质，利用f（0）=0，即可求实数a的值；（2）利用函数单调性的定义即可证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数；（3）根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化求解即可．【解答】解：（1）由f（0）=0，求得…（3分）（2）由（1）可知，设x1，x2∈[1，+∞），设x1＜x2，则…（4分），∵1≤x1＜x2，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在区间[1，+∞）上是减函数；…（7分）（3）∵f（x）为奇函数，∴f（0）=0，f（﹣2016）=﹣f（2016），…（8分）所以原式可化为f（1+0.01×2n）＜f（2016），由（2）可知函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，且1+0.01×2n＞1，∴1+0.01×2n＞2016，即2n＞201500，…（10分）两边取对数，得nlg2＞lg2.015+5，即0.3010n＞5.3043，解得n＞17.62，故最小的正整数n的值为18．…（12分）【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明，利用定义法是解决本题的关键．22．给定函数f（x），若对于定义域中的任意x，都有f（x）≥x恒成立，则称函数f（x）为“爬坡函数”．（1）证明：函数f（x）=x2+1是爬坡函数；（2）若函数f（x）=4x+m•2x+1+x+2m2﹣4是爬坡函数，求实数m的取值范围；（3）若对任意的实数b，函数都不是爬坡函数，求实数c的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【专题】综合题；新定义；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用定义直接判断f（x）﹣≥0恒成立即可；（2）由题意可知，4x+m•2x+1+2m2﹣4≥0恒成立，利用换元思想，设2x=t，则t＞0，上式变为t2+2mt+2m2﹣4≥0，分别讨论对称轴，求出函数的最小值即可；（3）由题意可知，对任意的实数b，存在x，使得，相当于f （x）﹣x=0有两不相等的实根，得出，即b2﹣b+1﹣4c＞0对任意的实数b恒成立，在利用二次函数的性质可知．【解答】解：（1）∵，∴f（x）≥x恒成立，即得函数f（x）=x2+1是爬坡函数；…（3分）（2）由题意可知，4x+m•2x+1+x+2m2﹣4≥x恒成立，∴4x+m•2x+1+2m2﹣4≥0恒成立．设2x=t，则t＞0，上式变为t2+2mt+2m2﹣4≥0，设g（t）=t2+2mt+2m2﹣4=（t+m）2+m2﹣4（t＞0）①若﹣m＞0，则，解得m≤﹣2；②若﹣m≤0，则g（0）=2m2﹣4≥0，解得；综上所述，m的取值范围是m≤﹣2或；…（9分）（3）由题意，对任意的实数b，存在x，使得，即，故，即b2﹣b+1﹣4c＞0对任意的实数b恒成立，∴，解得．…（14分）【点评】考查了新定义类型的解题方法，应紧扣定义，用到了二次函数对称轴的讨论和最值问题的转换．。

2015-2016学年广东省深圳高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={x|x2=2}，B={1，，2}，则A∩B=（）A．{}B．{2}C．{﹣，1，，2}D．{﹣2，1，，2}2．（5分）函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）3．（5分）在同一个坐标系中画出函数y=a x，y=sinax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）5．（5分）已知平面向量，，，=（﹣1，1），=（2，3），=（﹣2，k），若（+）∥，则实数k=（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣86．（5分）记等差数列的前n项和为S n，若S3=6，S5=25，则该数列的公差d=（）A．2 B．3 C．6 D．77．（5分）已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则xy的最大值是（）A．B．C．4 D．88．（5分）直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（）A．1 B．2 C．4 D．4二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，满分10分9．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为．10．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．三、解答题：共1小题，共10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．（10分）已知函数f（x）=sinx﹣2sin2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．四、选择题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的12．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件13．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．214．（5分）曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（）A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．1515．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l 1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2 C．D．3五、填空题：本大题共2小题，每小题5分，满分10分16．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2=2的右焦点重合，则p的值为．17．（5分）已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序号是．六、解答题：共5小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：已知c＞0，当x∈[1，2]时，函数f（x）=x+恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c 的取值范围．19．（12分）设函数f（x）=﹣x3+2ax2﹣a2x（x∈R），其中a∈R（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）的极大值和极小值．20．（12分）河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，且其离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若F为椭圆C的右焦点，椭圆C与y轴的正半轴相交于点B，经过点B的直线与椭圆C相交于另一点A，且满足=2，求点A的坐标．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（a﹣1）x（a＜0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数f（x）=F（x）的图象为曲线C．设点A（x 1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①x0=；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．2015-2016学年广东省深圳高中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={x|x2=2}，B={1，，2}，则A∩B=（）A．{}B．{2}C．{﹣，1，，2}D．{﹣2，1，，2}【解答】解：A={x|x2=2}={﹣，}，B={1，，2}，则A∩B={}，故选：A．2．（5分）函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：∵y=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），y′=，∴由y′≤0得：0＜x≤1，∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1]．故选：B．3．（5分）在同一个坐标系中画出函数y=a x，y=sinax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：正弦函数的周期公式T=，∴y=sinax的最小正周期T=；对于A：T＞2π，故a＜1，因为y=a x的图象是减函数，故错；对于B：T＜2π，故a＞1，而函数y=a x是增函数，故错；对于C：T=2π，故a=1，∴y=a x=1，故错；对于D：T＞2π，故a＜1，∴y=a x是减函数，故对；故选：D．4．（5分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）【解答】解：∵f（x）=﹣log2x，∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C．5．（5分）已知平面向量，，，=（﹣1，1），=（2，3），=（﹣2，k），若（+）∥，则实数k=（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8【解答】解：∵=（﹣1，1），=（2，3），∴+=（1，4），若（+）∥，则，即k=﹣8，故选：D．6．（5分）记等差数列的前n项和为S n，若S3=6，S5=25，则该数列的公差d=（）A．2 B．3 C．6 D．7【解答】解：由题意可得S3=3a1+d=6，S5=5a1+d=25，联立解得a1=﹣1，d=3，故选：B．7．（5分）已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则xy的最大值是（）A．B．C．4 D．8【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x+y=1，∴xy==，当且仅当2x=y＞0，2x+y=1，即，y=时，取等号，此时，xy的最大值是．故选：B．8．（5分）直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（）A．1 B．2 C．4 D．4【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y=0，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆的圆心坐标是C（1，2），半径r=．圆心C到直线x+2y﹣5+=0的距离为d=．所以直线直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为．故选：C．二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，满分10分9．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为．【解答】解：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为点A（1，0）到直线2x﹣y=0距离，即为所求，由点到直线的距离公式得：d==，则区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值等于．故答案为：．10．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为2．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，在Rt△BCE中，BC=，在Rt△BCD中，BD=，在Rt△ACD中，AD=2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．三、解答题：共1小题，共10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．（10分）已知函数f（x）=sinx﹣2sin2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin2=sinx﹣2×=sinx+cosx﹣=2sin（x+）﹣∴f（x）的最小正周期T==2π；（2）∵x∈[0，]，∴x+∈[，π]，∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]，∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：﹣．四、选择题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的12．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行，∴a2=1，解得a=±1，当a=1时，两直线方程分别为x+y﹣1=0与直x+y+5=0，满足两直线平行．当两直线方程分别为﹣x+y﹣1=0与直x﹣y+5=0满足平行，a=1或a=﹣1，∴“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的充分不必要条件．故选：A．13．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．2【解答】解：双曲线2x2﹣y2=8，可化为∴a=2，∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选：B．14．（5分）曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（）A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．15【解答】解：∵y=x3+11∴y'=3x2则y'|x=1=3x2|x=1=3∴曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线方程为y﹣12=3（x﹣1）即3x﹣y+9=0令x=0解得y=9∴曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是9故选：C．15．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2 C．D．3【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=则d1+d2=a2+1=当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选：B．五、填空题：本大题共2小题，每小题5分，满分10分16．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2=2的右焦点重合，则p的值为4．【解答】解：∵双曲线x2﹣y2=2的标准形式为：∴a2=b2=2，可得c==2，双曲线的右焦点为F（2，0）∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2=2的右焦点重合，∴=2，可得p=4故答案为：417．（5分）已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序号是②③．【解答】解：求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．∴a＜1＜b＜3＜c设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9∴b+c=6﹣a∴bc=9﹣a（6﹣a）＜∴a2﹣4a＜0∴0＜a＜4∴0＜a＜1＜b＜3＜c∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0故答案为：②③六、解答题：共5小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：已知c＞0，当x∈[1，2]时，函数f（x）=x+恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c 的取值范围．【解答】解∵指数函数y=c x数为减函数，∴0＜c＜1，即p真时，0＜c＜1．函数f（x）=x+＞对x∈[1，2]恒成立，由对勾函数的性质可知f（x）=x+在x∈[1，2]上单调递增，所以f（x）min=f（1）=，＜，得c＞，即q真时，c＞，∵p∨q为真，p∧q为假，∴p、q一真一假．①p真q假时，0＜c≤；②p假q真时，c≥1．故c的取值范围为0＜c≤或c≥1．19．（12分）设函数f（x）=﹣x3+2ax2﹣a2x（x∈R），其中a∈R（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）的极大值和极小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=﹣x3+2x2﹣x，得f（2）=﹣2，f′（x）=﹣3x2+4x﹣1，f'（2）=﹣5，所以，曲线y=﹣x3+2x2﹣x在点（2，﹣2）处的切线方程是y+2=﹣5（x﹣2），整理得5x+y﹣8=0；（Ⅱ）f（x）=﹣x3+2ax2﹣a2x，f′（x）=﹣3x2+4ax﹣a2=﹣（3x﹣a）（x﹣a），令f′（x）=0，解得或x=a，由于a=3，即有x=1或x=3．当x＞3或x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当1＜x＜3时，f′（x）＞0，f（x）递增．因此，函数f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣4，函数f（x）在x=3处取得极大值f（3）=0．20．（12分）河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？【解答】解：建立平面直角坐标系，设拱桥型抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0）．…（2分）将B（4，﹣5）代入得p=1.6，∴x2=﹣3.2y，…（6分）当船两侧与抛物线接触时不能通过，设点A（2，y A），由22=﹣3.2 y A，得y A=﹣1.25，…（10分）因为船露出水面的部分高0.75米，…（12分）所以h=|y A|+0.75=2米．…（14分）答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行．…（16分）21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，且其离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若F为椭圆C的右焦点，椭圆C与y轴的正半轴相交于点B，经过点B的直线与椭圆C相交于另一点A，且满足=2，求点A的坐标．【解答】解：（1）因为椭圆C经过点，所以．①因为椭圆C的离心率为，所以，即a2=2b2．②联立①②解得，a2=2，b2=1．所以椭圆C的方程为．（2）由（1）得，椭圆C的方程为，所以F（1，0），B（0，1）．设A（x0，y0），则．③因为，且，所以x0﹣（y0﹣1）=2，即y0=x0﹣1．④联立③④解得，或，所以A（0，﹣1）或．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（a﹣1）x（a＜0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数f（x）=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①x0=；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．…（1分）由已知得，．…（2分）（1）当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（3分）（2）当a＜0时，①当时，即a＜﹣1时，令f'（x）＞0，解得或x＞1；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；…（4分）②当时，即a=﹣1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…（5分）③当时，即﹣1＜a＜0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（6分）综上所述，（1）当a＞0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（2）当a＜﹣1时，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；（3）当a=﹣1时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；（4）当﹣1＜a ＜0时，函数f （x ）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（7分）（Ⅱ）假设函数f （x ）存在“中值相依切线”．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线y=f （x ）上的不同两点，且0＜x 1＜x 2， 则，．==…（8分）曲线在点M （x 0，y 0）处的切线斜率k=f'（x 0）==，…（9分）依题意得：=．化简可得：=，即==．…（11分）设（t ＞1），上式化为：，即．…（12分）令，=．因为t ＞1，显然g'（t ）＞0，所以g （t ）在（1，+∞）上递增， 显然有g （t ）＞2恒成立．所以在（1，+∞）内不存在t ，使得成立．综上所述，假设不成立．所以，函数f （x ）不存在“中值相依切线”．…（14分）。

高 二 教 学 质 量 监 测数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损. 之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在信息栏填写自己的考号，并用2B 铅笔填涂相应的信息点.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

3．非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。

4．考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损，考试结束后，将答题卡交回。

5．考试不可以使用计算器.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个．．．．选项符合题意）1．“21x >”是“1x >”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要2．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆的形状是 A ．钝角三角 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定3．下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）A ．2214y x -= B ．2214x y -= C ．2212y x -= D ．2212x y -= 4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S = A ．48 B ．36 C ．42 D ．312016.01.205．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，则m=A ．3B ．23C ．38 D ．32 6. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内极值点有A. 1个B. 2个 C ．3个 D. 4个7．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z ，若“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，则满足条件的x 为A ．{x|x ≥3或x ≤－1，x ∈Z}B ．{x|－1≤x ≤3，x ∈Z}C ．{0，1，2}D ．{－1，0，1，2，3}8．在C ∆AB 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若C S ∆AB =6a b +=，cos cos 2cos C a b cB +A=，则c =A． B．．4 D．9．已知数列{}n a 中11a =，2112a =+，31123a =++，411234a =+++，…1123....nn a =++++…，则数列{}n a 的前n 项的和n s =A ．21n n + B ．1n n + C ．1n n + D ．221nn + 10. 若x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-,0,1,0x y x y x 则y x z 2+=的最大值为A. 0B. 1C.23D. 2 11．函数3239y x x x =--(22)x -<<有A ．极大值5，无极小值B ．极小值﹣27，无极大值C ．极大值5，极小值﹣27D ．极大值5，极小值﹣1112．如图，1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为 A ．4 B ．7 C ．332 D ．3第II 卷 非选择题（满分90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．抛物线28y x =的焦点坐标是___________________14．在三角形ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知060A =,1b =，a = ．15．设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =____________.16．递减等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：510S S =，欲使n S 最大，则n = ．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（本题满分10分）已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不等的负实根；命题q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根，若“p 或q ”为真，而“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．18．（本题12分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos cos 2cos a C c A b A +=.（1）求A ；（2）若2a b ==求ABC ∆的面积.19．（本题满分12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且1123321,2,10,7a b a b a b ==+=+=． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，记*(1),2nn n S c a n N =+⋅∈，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20．（本题满分12分）解关于x 的不等式22(1)40()ax a x a R -++>∈．21．（本题满分12分）如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A 、B，且||||AB BF =． （1）求椭圆C 的离心率；（2）若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P 、Q 两点，OP OQ ⊥．求直线l 的方程及椭圆C 的方程．22．（本题满分12分）已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a R =-++∈． （1）若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； （2）求()y f x =的单调区间；（3）设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围．高二数学（文科）答案2015.01.20参考答案： 二、填空题13. 1(0,)3214. 15. e 16. 78或 三、解答题17. 解：依题意p ， q 中真假情况为：一真一假， …………1分p 真12120010x x m x x ∆>⎧⎪⇔+=-<⎨⎪=>⎩ ⇔m ＞2，…………3分q 真⇔∆＜0⇔1＜m ＜3，…………5分（1）若p 假q 真，则213≤m m ⎧⎨<<⎩⇔1＜m ≤2；…………7分（2）若p 真q 假，则213≤≥m m m >⎧⎨⎩或⇔m ≥3；…………9分综上所述，实数m 的取值范围为（1，2]∪[3，+∞）． …………10分18. 解：(1) cos cos 2cos a C c A b A += ∴sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=即sin()2sin cos A C B A +=------3分又sin()sin A C B +=，------4分则1cos 2A =，------5分 又 0A π<<，∴3A π=------6分(2) 由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3A π=，------7分得2742c c =+-，即2230c c --=------9分因为0c >，所以3c =，------10分 故ABC ∆面积为1sin 22bc A =.------12分19. 解：（1）由题意得211111027a db q a d b q ⎧++=⎨++=⎩把a 1＝1，b 1＝2代入得212101227d q d q ⎧++=⎨++=⎩消去d 得2q 2－q －6＝0，（2q ＋3）（q －2）＝0， ∵{b n }是各项都为正数的等比数列， ∴q ＝2， d ＝1，∴a n ＝n ，b n ＝2n ． …………6分（2）S n ＝2n ＋1－2，c n ＝a n ·（2n S +1）＝n ·2n设T n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n， 2T n ＝ 1·22＋2·23＋…＋（n －1）·2n＋n ·2n ＋1， 相减，可得T n ＝（n －1）·2n ＋1＋2，…………12分20. 解：原不等式可化为(2)(2)0x ax -->， …………2分 （Ⅰ）当0a =时，2402x x -+>⇒<，解集为(,2)-∞； …………4分 （Ⅱ）当0a <时，对应方程两根为1222,x x a==，由对应二次函数的图象知，解集为2(,2)a； …………6分 （Ⅲ）当0a >时，1222(1)2a x x a a--=-=，由对应二次函数的图象知， ①当1a =时，解集为(,2)(2,)-∞+∞ ； ②当1a >时，解集为2(,)(2,)a-∞+∞ ；③当01a <<时，解集为2(,2)(,)a-∞+∞ ． …………10分 综上：当0a <时，解集为2(,2)a； 当0a =时，解集为(,2)-∞；当01a <<时，解集为2(,2)(,)a-∞+∞ ； 当1a =时，解集为(,2)(2,)-∞+∞ ；当1a >时，解集为2(,)(2,)a-∞+∞ ． …………12分21. 解：（1）由已知|||AB BF =，，222445a b a +=， 222244()5a a c a +-=，∴c e a ==． ………………………… 4分（2）由（1）知224a b =，∴ 椭圆C ：222214x y b b+=．设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为22(0)y x -=-，即220x y -+=．由22222222204(22)4014x y x x b x y bb -+=⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， 即2217321640x x b ++-=．22321617(4)0b b ∆=+⨯->⇔>．123217x x +=-，21216417b x x -=． …… 8分 ∵ OP OQ ⊥，∴ 0OP OQ ⋅=，（或1OP OQ k k ⋅=-）即12120x x y y +=，1212(22)(22)0x x x x +++=，121254()40x x x x +++=． 从而25(164)128401717b --+=，解得1b =，∴ 椭圆C 的方程为2214x y +=． ………………………………12分22. …………1分 （Ⅰ）(1)(3)f f ''=，解得 …………3分①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞．，在区间(0,2)()0f x '>()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞．(2,)+∞上，()0f x '>()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是和(2,)+∞，单调递减区间是 (8)分（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <． 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知， 时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故时，()f x 在2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22l n 0a --<，max ()0f x <，综上所述，ln 21a >-． …………12分。

红岭中学2015－2016学年度第一学期高二年级第一学段统一考试文科数学试卷(说明:本试卷考试时间为120分钟,满分为150分)一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的,请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）1 命题“若x<0,则x<1”的否命题是 （ ） A 若x<0,则x ≥1 B 若x <1,则x<0 C 若x ≥1，则 x 0≥ D 若x ≥0，则 x 1≥2 把黑红白3张纸牌分给甲乙丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ） A ．对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D. 必然事件3掷两颗均匀的骰子，则点数之和为4的概率是（ ） A.121 B.91 C. 21 D. 61 4. 下列命题中，真命题是（ ）A ．0,00≤∈∃x eR x B ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=baD ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 5已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e ＝12，则椭圆的标准方程为 ( )A.x 22＋y 2＝1 B ．x 2＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.y 24＋x 23＝1 6一组数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数和 平均数分别是（ ）A.12和12B.11.5和11.5C.11和11.5D.11.5和127 已知双曲线2219x y a-=的右焦点为13,0)，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．32y x =±B ．94y x =±C ．23y x =±D ．49y x =± 1 7 1 6 4 0 20 9 78 “21a >”是“方程2221x y a+=表示椭圆”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9已知点()P a b ，（0ab ≠）是圆O ：222x y r +=内一点，直线l 的方程为20ax by r ++=，那么直线l 与圆O 的位置关系是 ( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定10. 有人收集了春节期间的平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：平均气温（℃） －2 －3 －5 －6 销售额（万元） 20232730根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y 与平均气温x 之间线性回归方程^^^^2.4y b x a b =+=-的系数，则预测平均气温为－8℃时该商品销售额为（ ）A ．34．6万元B ．35.6万元C ．36.6万元D ．37.6万元11.已知点A B 、分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点与上顶点，点M 为线段AB 的中点，若30MOA ︒∠=，则椭圆的离心率是（ ）A.13B.23C.63D.22312．图l 是某县参加某年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依 次记为1A 、2A 、…、m A (如2A 表示身 高(单位：cm )在[150，155)内的学生人数)． 图2是统计图l 中身高在一定范围内学生人 数的一个算法流程图．现要统计身高在 160～180cm (含160cm ，不含180cm ) 的学生人数，那么在流程图中的判断框 内应填写的条件是（ ）A ．9i <B ．8i <C ．7i <D ．6i <第12题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题．．．．．．．卷．相应位置．．．．． 13 在区间[2,2]-任取一个实数，则该数是不等式21x >解的概率为 14 点P )8,(0x 在抛物线x y 42=上，该抛物线的焦点是F,PF = 15 甲，乙，丙三人随意坐一排座位，甲乙不相邻的概率为16已知直线1:4l y x =，2:4l y x =-，过3(,2)2M 的直线l 与12,l l 分别交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则||AB 等于三解答题：本大题共6小题，共70分，要求写出必要的解答过程17(本小题满分10分）已知命题p:,0],1,0[3≤-∈∀a x x 命题q: ,x R ∃∈满足210x ax ++=,若“p 且⌝q ”是真命题，求实数a 的取值范围。

红岭中学2015-2016学年度第一学期高一年级第二学段统一考试物理试卷（说明：本试卷考试时间为60分钟，满分为100分）第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．伽利略和牛顿都是物理学发展史上最伟大的科学家，巧合的是，牛顿就出生在伽利略去世後第二年。

下列关于力和运动关系的说法中，与他们观点相符的是（）A．物理受的力越大则速度就越大B．力是使用物体产生加速度的原因C．两物体从同一高度做自由落体运动，较轻的物体下落较慢D．力是维持物体运动的原因2．小华乘出租车到车站接人后返回出发地，司机打出全程的发票，如图所示，则此过程中，出租车运动的路程和位移分别是（）A．9.8km，9.8km B．0，0C．0，9.8km D．9.8km，03．如图所示，有两个穿着溜冰鞋的人站在冰面上，当其中一个人A从背后轻轻推另一个人B时，两个人向相反方向运动，这是因为A推B时（）A．A与B之间有相互作用力B．A对B的作用在先，B对A的作用在后C．B对A的作用力小于A对B的作用力D．A对B的作用力和B对A的作用力是一对平衡力4．如图所示，A、B、C三个物体质量相等，它们与传送带间的动摩擦因数相同．三个物体随传送带一起匀速运动，运动方向如图中箭头所示．则下列说法正确的是（）A．三个物体受到的摩擦力都不为零B．三个物体受到的摩擦力都为零C．B、C受到的摩擦力大小相等，方向相同D．B、C受到的摩擦力大小相等，方向相反5．从某一高处释放一小球甲，经过0.5s仍从该高处再释放小球乙，不计空气阻力，则两球都在空中运动的过程（）A．它们间的距离保持不变B．它们间的距离不断增大C．它们间的速度之差不断变小D．它们间的速度之差不断增大6．如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端靠着静止在光滑水平面上的物体A上，开始时弹簧为自由长度，现对物体作用一水平恒力F，在弹簧压缩到最短的过程中，物体的速度和加速度变化情况是（）A．速度增大，加速度减小B．速度减小，加速度增大C．速度先增大后减小，加速度先增大后减小D．速度先增大后减小，加速度先减小后增大二、多选择题（共4小题，每小题6分，共24分，在每小题的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）7．下列所给的图象中能反映做直线运动物体最后回到初始位置的是（）8．图示是幽默大师卓别林一个常用的艺术造型，他身子侧倾，依靠手杖的支持使身躯平衡．下列说法正确的是（）A．水平地面对手杖有磨擦力的作用B．水平地面对卓别林没有磨擦力的作用C．水平地面对手杖的弹力方向沿杆向上D．水平地面对卓别林的作用力方向一定不是竖直向上的9．如图，“神州”系列航天飞船返回舱返回地面的示意图，其过程可简化为：打开降落伞一段时间后，整个装置匀速下降，为确保安全着陆，需点燃返回舱的缓冲火箭，在火箭喷飞过程中返回舱做减速直线运动，则（）A．火箭开始喷气瞬间伞绳对返回舱的拉力增大B．火箭开始喷气瞬间伞绳对返回舱的拉力变小C．返回舱在喷气过程中处于超重状态D．返回舱在喷气过程中处于失重状态10．如图所示，质量为m的小球套在竖起固定的光滑圆环上，在圆环的最高点有一个光滑小孔，一根轻绳的下端系着小球，上端穿过小孔用力拉住，开始时绳与竖直方向夹角为θ小球处于静止状态，现缓慢拉动轻绳，使小球沿光滑圆环上升一小段距离，则下列关系正确的是（）A．绳与竖直方向的夹角为θ时，2cos=F mgθB．小球沿光滑圆环上升过程中，轻绳拉力逐渐增大C．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力逐渐增大D．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力大小不变第Ⅱ卷（非选择题，共52分）三、实验题（共18分，每空3分）11．在“探究弹力和弹簧伸长量的关系并测定弹簧的劲度系数”的实验中，实验装置如图实所示．悬挂钩码的重力相当于对弹簧提供了向右恒定的拉力．实验时先测出不挂钩码时弹簧的自然长度，再将5个钩码逐个挂在绳子的下端，每次测出相应的弹簧总长度．有一个同学通过以上实验测量后把6组数据在坐标图中描点，并作出F L-图线．由此图线可得出：（1）该弹簧的原长L=__________cm，（2）劲度系数k=__________N/m．（3）实验结论为：__________________________________________________．12．某同学设计了如图甲所示的装置来探究加速度与力的关系．弹簧秤固定在一合适的木块上，桌面的右边缘固定一个光滑的定滑轮，细绳的两端分别与弹簧秤的挂钩和矿泉水瓶连接．在桌面上画出两条平行线P、Q，并测出间距d．开始时将木块置于P处，现缓慢向瓶中加水，直到木块刚刚开始运动为止，记下弹簧秤的示数F，以此表示滑动磨擦力的大小．再将木块放回原处并按住，继续向瓶中加水后，记下弹簧秤的示数F，然后释放木块，并用秒表记下木块从P运动到Q处的时间t．（1）木块的加速度可以用d和t表示为a=__________．（2）改变瓶中水的质量重复实验，确定加速度a与弹簧秤示数F的关系，图乙中能表示该同学实验结果的是__________．（3）用加水的方法改变拉力的大小与挂钩码的方法相比，它的优点是__________．A ．可以改变滑动磨擦力的大小B ．可以更方便地获取更多组实验数据C ．可以获得最大的加速度以提高实验精度D ．四、计算题（共34分，要有必要的文字说明，原始式和重要的演算步骤，直接写出结论的不能得分）13．（10分）如图所示，为了测定气垫导轨上滑块的加速度，滑块上安装了宽度为3.0cm 的遮光板．滑块向右匀加速直线运动依次通过两个光电门A 和B ．光电门上的黑点处有极细的激光束，当遮光板挡住光束时开始计时，不遮挡光束时停止计时．现记录了遮光板通过第一个光电门的挡光时间为10.30s t ∆=，通过第二个光电门的挡光时间为20.10s t ∆=，光电门从第一次计时结束到第二次计时开始经历的时间为30.30s t ∆=．求（1）遮光板挡住光束的时间内，滑块依次通过两个光电门A 和B 的平均速度各为多大？（2）滑块的加速度精确值为多少？14．（10分）在光滑的水平面上有一个质量为1kg m =的小球，小球与水平轻弹簧及与竖直方向成45θ=︒角的不可伸长的轻绳一端相连，如图所示．此时小球处于静止平衡状态，且水平面对小球的弹力恰好为零，取210m/s g =．求：（1）此时轻弹簧的弹力大小；（2）当烧断轻绳的瞬间，小球的加速度大小和方向．15．（14分）如图甲所示，质量为1kg m =的物体置于倾角为37θ=︒的固定斜面上（斜面足够长），对物体施加平行于斜面向上的恒力0F 作用时间11s t =时撤去拉力，物体运动的部分v t -图象如图乙所示，g 取210m/s ．求：（1）物体与斜面间的动磨擦因数μ和拉力F 的大小；（2）物体在0~5s 内的位移大小．。

深圳外国语学校2015-2016学年度高二第一学期学段（一）考试数学试卷一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分 1．设a ，b ，c R ∈，且a b >，则（ ）A ．ac bc >B ．11a b<C ．33a b >D ．22a b >2．下列函数中，最小值为4的是（ ） A ．()4f x x x=+B ．()4cos cos f x x x=+C ．()343x x f x -=+⨯D ．()lg log 10x f x x =+3．不等式220ax bx +-≥的解集为1|224x ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭≤≤，则（ ）A ．8a =-，10b =-B ．1a =-，9b =C ．4a =-，9b =-D ．1a =-，2b =4．设变量x 、y 满足 1 ,0 , 220 , x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪--⎩≥≥≥则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．以上均不对5．已知{}n a 中，11a =，()11n n na n a +=+，则数列{}n a 的通项公式是（ ） A ．1n a n=B ．21n n a =-C ．n a n =D ．12n n a n+=6．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和n S 取最大值时，n =（ ）A ．3B ．4或5C ．4D ．5或67．若ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且222a c b =-+，则C ∠=（ ）A ．π6 B ．5π6 C ．π4 D ．3π48．设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定9．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若存在*m N ∈，满足29m m S S =，2511m m a m a m +=-，则数列{}n a 的公比数为（ ） A ．2- B ．2C ．3-D ．310．设102x <<，若1212k x x+-≥恒成立，则k 的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分11．数列{}n a 中，若22n S n =-，*n N ∈，则n a =________．12．如图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75︒，距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/小时。

红岭中学2017－2018学年度第一学期高一年级第二学段统一考试数学试卷(说明:本试卷考试时间为150分钟,满分为150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 ．函数y=的定义域是（A ）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(2,)+∞D ．(,2)-∞2.垂直于同一条直线的两条直线一定( D )A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 3.若两直线01=+-y kx 和0=-ky x 相交且交点在第二象限，则k 的取值范围是 A A. )0,1(- B. ]1,0( C. )1,0( D. ),1(+∞4.直线0=-+a ay x 与直线01)32(=---y a ax 互相垂直，则a 的值为( C ) A. 2 B. 3-或1 C. 2或0 D. 1或0 5．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45ｏ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( D )A ．122+B ． 12+ C ． 1 D ． 26. 已知空间两条不同的直线,m n 和两个不同的平面,αβ，则下列命题正确．．的是 ( D ) A ．若//,m n αα⊂，则//m n B ．若,m m n αβ=⊥ ，则n α⊥ C ． 若//,//m n αα，则//m n D ．若//,,m m n αβαβ⊂= ，则//m n7.设b c a <<，如果把函数)(x f y =的图象被两条直线b x a x ==,所截的一段近似地看作一条线段，则下列关系中，)(c f 的最佳近似表示式是 ( C ) A. )]()([21)(b f a f c f +=B. )()()(b f a f c f ⋅=C. )]()([)()(a f b f a b a c a f c f ---+= D. )]()([)()(a f b f ab ac a f c f ----=8．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有 两个动点F E ,，且22=EF ,则下列结论中错误的是 ( D )(A)BE AC ⊥ (B)EF ∥平面ABCD(C)三棱锥BEF A -的体积为定值 (D)△AEF 与△BEF 的面积相等9．已知042422=---+y x y x ，则3332+++x y x 的最大值( B )A ．2B ．417 C ．529 D ．1341310．已知函数()2x xe ef x --=， 1x 、2x 、3x R ∈，且120x x +>， 230x x +>， 310x x +>，则()()()123f x f x f x ++的值 ( B )A.一定等于零．B.一定大于零．C.一定小于零．D.正负都有可能．11.三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC 且PA ＝2，△ABC 是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( C )A ．4π3B ．4πC ．8πD ．20π12．与()()2ln g x x x a =++图象上存在关于y 轴对称的点，则a的取值范围是( A )A. B. C. D.二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.幂函数12(1)m y m x -=-的单调增区间是13. [0,)+∞14．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体 积是 14．π63 15．光线从A （－3，4）点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点D （－1，6），求BC 所在直线的方程 .15. 5-270x y += .16.已知实数y x ,满足0186=-+y x ，则1222+-+y y x 的最小值为 .16.107 三、解答题（共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分)已知函数()log (0a f x x a =>且1)a ≠在区间[12，4]上的最大值与最小值的差为3，求a 的值．17．解：当1a >时，()log a f x x =在(0，＋∞)上为增函数，∴在[12，4]上函数()f x 的最小值，最大值分别为min 11()()log ()22a f x f ==max ()(4)log 4a f x f == ， …………………………………… 3分∴1log 4log ()32a a -=，即log 4log 2log 83a a a +==，而2log 83=， ∴2a =；……………………………………… 5分 当01a <<时，()log a f x x =在(0，＋∞)上为减函数， ∴在[12，4]上函数()f x 的最小值、最大值分别为min ()(4)log 4a f x f ==，max 11()()log ()22a f x f ==，……………… 7分∴1log ()log 432a a -=，即111log ()log ()log ()3248a a a +==，而121log ()38= ∴12a =； ………………………………… 9分综上所述2a =或12a =.……………………………………… 10分18. （本小题满分12分）如下图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥BC 1；(2)求证：AC 1∥平面CDB 1；(3)求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值．[解析] (1)证明：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC .又∵C 1C ⊥AC .∴AC ⊥平面BCC 1B 1. ∵BC 1⊂平面BCC 1B ，∴AC ⊥BC 1.(2)证明：设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，又四边形BCC 1B 1为正方形． ∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE ∥AC 1. ∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1. (3)解：∵DE ∥AC 1，∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角．在△CED 中，ED ＝12AC 1＝52，CD ＝12AB ＝52，CE ＝12CB 1＝22，∴cos ∠CED ＝252＝225.∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为225.19．（本小题满分12分）已知线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且∣AB ∣=2． （1）求线段AB 的中点P 的轨迹C 的方程；（2）求过点M (1，2)且和轨迹C 相切的直线方程． 解: (1) 方法一：设P (x , y ), ∵∣AB ∣=2,且P 为AB 的中点，∴∣OP ∣=1 ……………………2分 ∴点P 的轨迹方程为x 2+y 2=1． ……………………4分 方法二：设P (x , y )， ∵P 为AB 的中点，∴A (2x , 0 ), B (0 , 2y ), ………………………2分 又∵∣AB ∣=2 ∴(2x )2+(2y )2=2化简得点P 的轨迹C 的方程为x 2+y 2=1． ……………4分 (2) ①当切线的斜率不存在时，切线方程为x =1,由条件易得 x =1符合条件; ………………6分②当切线的斜率存在时，设切线方程为 y -2=k (x -1) 即kx -y +2-k =01= 得k =34, ∴切线方程为y -2=34 (x -1)即 3x -4y +5=0综上，过点M (1，2)且和轨迹C 相切的直线方程为： x =1 或3x -4y +5=0 ……………………12分20.（本小题满分12分）已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°， E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且(01).AE AFAC ADλλ==<< （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ， ∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ， ∴CD ⊥平面ABC. 2分 又),10(<<==λλADAF AC AE∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC. 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC. 7分 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴,660tan 2,2===AB BD 8分,722=+=∴BC AB AC 由AB 2=AE ·AC 得,76,76==∴=ACAE AE λ 10分故当76=λ时，平面BEF ⊥平面ACD. 12分 21．（本小题满分12分）2()1ax b f x x +=+是定义在区间(1,1)-上的奇函数，且12()25f = （1）求()f x 解析式； （2）证明()f x 为增函数；（3）求不等式(1)()0f x f x -+<的解。