(精选3份合集)2020届深圳市新安中学高考数学模拟试卷

2019-2020学年广东省深圳市高考模拟考试数学（文科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣2，1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣1，0，1}2．若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z1=2﹣i，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知函数f（x）=，则f（﹣2016）=（）A．e2B．e C．1 D．4．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A．10 B．11 C．12 D．135．已知a，b，c为△ABC的三个角A，B，C所对的边，若3bcosC=c（1﹣3cosB），sinC：sinA=（）A．2：3 B．4：3 C．3：1 D．3：26．已知=（﹣2，1），=（k，﹣3），=（1，2），若（﹣2）⊥，则||=（）A．B．C．D．7．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A．2 B．4 C．D．8．自圆C：（x﹣3）2+（y+4）2=4外一点P（x，y）引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则点P轨迹方程为（）A．8x﹣6y﹣21=0 B．8x+6y﹣21=0 C．6x+8y﹣21=0 D．6x﹣8y﹣21=09．若如图的框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=9 B．k≤8 C．k＜8 D．k＞810．如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）A．1 B．C．D．211．设F为双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．312．若直线l：y=kx﹣1与曲线C：f（x）=x﹣1+没有公共点，则实数k的最大值为（）A．﹣1 B．C．1 D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若函数（x∈R）为奇函数，则ab= ．14．已知实数x，y满足，目标函数z=3x+y+a的最大值为4，则a= ．15．已知函数f（x）=asinxcosx﹣sin2x+的一条对称轴方程为x=，则函数f（x）的最大值为．16．当x∈（0，1）时，函数f（x）=e x﹣1的图象不在函数g（x）=x2﹣ax的下方，则实数a 的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinB=﹣bsin（A+）．（1）求A；（2）若△ABC的面积S=c2，求sinC的值．18．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi （单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得， =20， =184， =720．1）求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程；2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： =， =．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，，点D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）求三棱锥C1﹣BDC的体积．20．已知F1，F2分别是椭圆C：的两个焦点，且|F1F2|=2，点在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与以原点为圆心，b为半径的圆相切于第一象限，切点为M，且直线l与椭圆交于P、Q两点，问|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值；如不是，说明理由．21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p ＞0）．（1）设t为参数，若x=﹣2+t，求直线l的参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数p的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求实数m的值；（2）若不等式f（x）≤2y++|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，求实数a的最小值．2019-2020学年广东省深圳市高考模拟考试数学（文科）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣2，1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣1，0，1}【考点】交集及其运算．【分析】把A中元素代入y=|x|﹣3中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：把x=﹣2，﹣1，0，1，2，3，分别代入y=|x|﹣3得：y=﹣3，﹣2，﹣1，0，即B={﹣3，﹣2，﹣1，0}，∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣2，﹣1，0}，故选：C．2．若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z1=2﹣i，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由z1=2﹣i，复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，求出z2，然后代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵z1=2﹣i，复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，∴z2=﹣2﹣i．∴==，则复数在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．故选：B．3．已知函数f（x）=，则f（﹣2016）=（）A．e2B．e C．1 D．【考点】分段函数的应用．【分析】由已知条件利用分段函数的性质先由函数的周期性求出f，再由指数的性质能求出结果．【解答】解：∵f（x）=，∴当x＞2时，函数是周期函数，周期为5，f（﹣2016）=f=f（1）=e，故选：B．4．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】茎叶图．【分析】利用平均数求出m的值，中位数求出n的值，解答即可．【解答】解：∵甲组学生成绩的平均数是88，∴由茎叶图可知78+86+84+88+95+90+m+92=88×7，∴m=3又乙组学生成绩的中位数是89，∴n=9，∴m+n=12．故选：C．5．已知a，b，c为△ABC的三个角A，B，C所对的边，若3bcosC=c（1﹣3cosB），sinC：sinA=（）A．2：3 B．4：3 C．3：1 D．3：2【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由3bcosC=c（1﹣3cosB）．利用正弦定理可得3sinBcosC=sinC（1﹣3cosB），化简整理即可得出．【解答】解：由正弦定理，设，∵3bcosC=c（1﹣3cosB）．∴3sinBcosC=sinC（1﹣3cosB），化简可得 sinC=3sin（B+C）又A+B+C=π，∴sinC=3sinA，∴因此sinC：sinA=3：1．故选：C．6．已知=（﹣2，1），=（k，﹣3），=（1，2），若（﹣2）⊥，则||=（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】求出向量﹣2，利用向量的垂直，数量积为0，列出方程求解向量，然后求解向量的模即可．【解答】解： =（﹣2，1），=（k，﹣3），=（1，2），﹣2=（﹣2﹣2k，7），（﹣2）⊥，可得：﹣2﹣2k+14=0．解得k=6，=（6，﹣3），所以||==3．故选：A．7．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A．2 B．4 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图还原得到原几何体，分析原几何体可知四个面中直角三角形的个数，求出直角三角形的面积求和即可．【解答】解：由三视图可得原几何体如图，∵PO⊥底面ABC，∴平面PAC⊥底面ABC，而BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AC．该几何体的高PO=2，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，∠ACB为直角．所以该几何体中，直角三角形是底面ABC和侧面PBC．PC=，∴，，∴该四面体的四个面中，直角三角形的面积和．故选：C．8．自圆C：（x﹣3）2+（y+4）2=4外一点P（x，y）引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则点P轨迹方程为（）A．8x﹣6y﹣21=0 B．8x+6y﹣21=0 C．6x+8y﹣21=0 D．6x﹣8y﹣21=0【考点】轨迹方程．【分析】由题意画出图象，根据条件和圆的切线性质列出方程化简，求出点P的轨迹方程【解答】解：由题意得，圆心C（3，﹣4），半径r=2，如图：因为|PQ|=|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2+r2=|PC|2，所以x2+y2+4=（x﹣3）2+（y+4）2，即6x﹣8y﹣21=0，所以点P在直线6x﹣8y﹣21=0上，故选D．9．若如图的框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=9 B．k≤8 C．k＜8 D．k＞8【考点】程序框图．【分析】运行程序框图，确定条件．【解答】解：如图：K1098s11120可知，10，9时条件成立，8时不成立．故选D．10．如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）A．1 B．C．D．2【考点】球内接多面体．【分析】设AB=a，BB1=h，求出a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，利用导数，得到该正四棱柱体积的最大值，即可得出结论．【解答】解：设AB=a，BB1=h，则OB=a，连接OB1，OB，则OB2+BB12=OB12=3，∴=3，∴a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，∴V′=6﹣6h2，当0＜h＜1时，V′＞0，1＜h＜时，V′＜0，∴h=1时，该四棱柱的体积最大，此时AB=2．故选：D．11．设F为双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得交点坐标，利用点到直线的距离公式可知： =，即可求得4a2=3c2，利用双曲线的离心率即可求得双曲线的离心率．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）渐近线方程y=±x，由OF的垂直平分线为x=，将x=，代入y=x，则y=，则交点坐标为（，），由（，），到y=﹣x，即bx+ay=0的距离d===，解得：c=2b=2，即4a2=3c2，则双曲线的离心率e==，故选：B．12．若直线l：y=kx﹣1与曲线C：f（x）=x﹣1+没有公共点，则实数k的最大值为（）A．﹣1 B．C．1 D．【考点】函数的图象．【分析】直线l：y=kx﹣1与曲线f（x）=x﹣1+没有公共点，则x﹣1+=kx﹣1无解，可化为k=1+，设g（x）=1+，求导，研究此函数的单调性即可解决【解答】解：若直线l：y=kx﹣1与曲线f（x）=x﹣1+没有公共点，则x﹣1+=kx﹣1无解，∵x=0时，上述方程不成立，∴x≠0则x﹣1+=kx﹣1可化为k=1+，设g（x）=1+，∴g′（x）=∴g′（x）满足：在（﹣∞，﹣1）上g′（x）＞0，在（﹣1，0）上g′（x）＜0，在（0，+∞）上g′（x）＜0，∴g（x）满足：在（﹣∞，﹣1）上递增，在（﹣1，0）上递减，在（0，+∞）上递减，g（﹣1）=1﹣e，而当x→+∞时，g（x）→1，∴g（x）的图象：∴g（x）∈（﹣∞，1﹣e]∪（1，+∞）无解时，k∈（1﹣e，1]，=1，∴kmax故选：C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若函数（x∈R）为奇函数，则ab= 2016 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用f（0）=0，即可得出结论．【解答】解：∵函数（x∈R）为奇函数，∴f（0）==0，∴ab=2016，故答案为2016．14．已知实数x，y满足，目标函数z=3x+y+a的最大值为4，则a= ﹣3 ．【考点】简单线性规划．【分析】由题意，不等式组，表示一个三角形区域（包含边界），求出三角形的三个顶点的坐标，目标函数z=3x+y+a的几何意义是直线的纵截距，由此可求得结论．【解答】解：由题意，不等式组，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为（0，2），（1，0），（，2）目标函数z=3x+y的几何意义是直线的纵截距由线性规划知识可得，在点A（，2）处取得最大值4．3×+2+a=4，解得a=﹣3故答案为：﹣3．15．已知函数f（x）=asinxcosx﹣sin2x+的一条对称轴方程为x=，则函数f（x）的最大值为 1 ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性．【分析】本题运用离对称轴远近相同的点函数值相等求出a值，再求三角函数的最值．【解答】解：f（x）=，∵是对称轴，f（0）=f（），∴，∴，最大值为1．故答案为1．16．当x∈（0，1）时，函数f（x）=e x﹣1的图象不在函数g（x）=x2﹣ax的下方，则实数a 的取值范围是[2﹣e，+∞）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由已知得f（x）﹣g（x）=e x﹣x2+ax﹣1≥0对x∈（0，1）恒成立，从而， =（）=h（x）对于x∈（0，1）恒成立，进而a≥h（x）max（e x﹣x﹣1），由导数性质得h（x）是增函数，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵当x∈（0，1）时，函数f（x）=e x﹣1的图象不在函数g（x）=x2﹣ax的下方，∴f（x）﹣g（x）=e x﹣x2+ax﹣1≥0对x∈（0，1）恒成立，∴e x﹣x2+ax﹣1≥0，∴=h（x）对于x∈（0，1）恒成立，∴a≥h（x），max=（）（e x﹣x﹣1），令t（x）=e x﹣x﹣1，x∈（0，1），t′（x）=e x﹣1＞0对x∈（0，1）恒成立，∴t（x）≥t（0）=0，∴h′（x）＞0恒成立，h（x）是增函数，=h（1）=，∴h（x）max∴实数a的取值范围是[2﹣e，+∞）．故答案为：[2﹣e，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinB=﹣bsin（A+）．（1）求A；（2）若△ABC的面积S=c2，求sinC的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得tanA=﹣，结合范围A∈（0，π），即可计算求解A 的值．（2）由（1）可求sinA=，利用三角形面积公式可求b=，利用余弦定理可求a=，由正弦定理即可计算求解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵asinB=﹣bsin（A+）．∴由正弦定理可得：sinAsinB=﹣sinBsin（A+）．即：sinA=﹣sin（A+）．可得：sinA=﹣sinA﹣cosA，化简可得：tanA=﹣，∵A∈（0，π），∴A=…6分（2）∵A=，∴sinA=，∵由S=c2=bcsinA=bc，可得：b=，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=7c2，可得：a=，由正弦定理可得：sinC=…12分18．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi （单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得， =20， =184， =720．1）求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程；2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： =， =．【考点】线性回归方程．【分析】1）利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出b，a，然后求出线性回归方程： =bx+a；2）通过x=7，利用回归直线方程，推测该家庭的月储蓄．【解答】（本小题满分12分）解：1）由题意知n=10，，又，，由此得， =2﹣0.3×8=﹣0.4，故所求线性回归方程为=0.3x﹣0.4．2）将x=7代入回归方程，可以预测该家庭的月储蓄约为=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，，点D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）求三棱锥C1﹣BDC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由题设证明BC⊥平面ACC1A1，可得DC1⊥BC，再由已知可得∠ADC=∠A1DC1=45°，得∠CDC1=90°，即C1D⊥DC，结合线面垂直的判定得DC1⊥平面BDC，从而得到平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）由等积法可得三棱锥C1﹣BDC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：由题意知BC⊥CC1，BC⊥AC，AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又∵DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．∵∠ADC=∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°，即C1D⊥DC．∵DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又∵DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC．（Ⅱ）解：由，得AA1=4，所以AD=2，所以．所以Rt△CDC1的面积，所以．20．已知F1，F2分别是椭圆C：的两个焦点，且|F1F2|=2，点在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与以原点为圆心，b为半径的圆相切于第一象限，切点为M，且直线l与椭圆交于P、Q两点，问|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值；如不是，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由|F1F2|=2，点在该椭圆上，求出a=2，，由此能出椭圆C的方程．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），推导出．连接OM，OP，由相切条件推导出，由此能求出|F2P|+|F2Q|+|PQ|为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵F1，F2分别是椭圆C：的两个焦点，且|F1F2|=2，点在该椭圆上．由题意，得c=1，即a2﹣b2=1，①又点在该椭圆上，∴，②由①②联立解得a=2，，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），，，∴．连接OM，OP，由相切条件知：，∴，∴．同理可求得，∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=2+2=4为定值．21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算g′（1），求出a的值，从而求出g（x）的递减区间即可；（2）问题转化为对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），根据函数的单调性求出a的最小值即可．【解答】解：（1）∵g（x）=（3﹣a）x﹣（2﹣a）﹣2lnx，∴g′（x）=3﹣a﹣，∴g′（1）=1﹣a，又g（1）=1，∴1﹣a==﹣1，解得：a=2，由g′（x）=3﹣2﹣=＜0，解得：0＜x＜2，∴函数g（x）在（0，2）递减；（2）∵f（x）＜0在（0，）恒成立不可能，故要使f（x）在（0，）无零点，只需任意x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），则l′（x）=，再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），则m′（x）=＜0，故m（x）在（0，）递减，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，从而f′（x）＞0，于是l（x）在（0，）递增，∴l（x）＜l（）=2﹣4ln2，故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数y=f（x）在上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p ＞0）．（1）设t为参数，若x=﹣2+t，求直线l的参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数p的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，利用极坐标与直角坐标的互化公式即可化为直角坐标方程．由x=﹣2+t，可得y=x﹣2=﹣4+t，即可得出直线l的参数方程．（2）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），即可化为直角坐标方程．把直线l的参数方程代入可得：t2﹣（8+2p）t+8p+32=0．不妨设|MP|=t1，|MQ|=t2．|PQ|=|t1﹣t2|=．利用|PQ|2=|MP|•|MQ|，即可得出．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，化为直角坐标方程：x﹣y﹣2=0．∵x=﹣2+t，∴y=x﹣2=﹣4+t，∴直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），可得直角坐标方程：y2=2px．把直线l的参数方程代入可得：t2﹣（8+2p）t+8p+32=0．∴t1+t2=（8+2p），t1t2=8p+32．不妨设|MP|=t1，|MQ|=t2．|PQ|=|t1﹣t2|===．∵|PQ|2=|MP|•|MQ|，∴8p2+32p=8p+32，化为：p2+3p﹣4=0，解得p=1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求实数m的值；（2）若不等式f（x）≤2y++|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，求实数a的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）求得不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集，再结合不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求得m的值．（2）由题意可得g（x）=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于2y+，再利用绝对值三角不等式求得g（x）的最小值为4，可得4≤2y+恒成立，再利用基本不等式求得2y+的最小值为2，可得2≥4，从而求得a的范围．【解答】解：（1）∵不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），即|2（x+）﹣1|≤2m+1 的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．由|2x|≥2m+1，可得2x≥2m+1，或2x≤﹣2m﹣1，求得 x≥m+，或x≤﹣m﹣，故|2（x+）﹣1|≤2m+1 的解集为（﹣∞，﹣m﹣]∪[m+，+∞），故有m+=2，且﹣m﹣=﹣2，∴m=．（2）∵不等式f（x）≤2y++|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，∴|2x﹣1|≤2y++|2x+3|恒成立，即|2x﹣1|﹣|2x+3|≤2y+恒成立，故g（x）=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于2y+．∵|2x﹣1|﹣|2x+3|≤|2x﹣1﹣（2x+3）|=4，∴4≤2y+恒成立，∵2y+≥2，∴2≥4，∴a≥4，故实数a的最小值为4．。

2020年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．设（1+i）z=4−2i1−i，则z的共轭复数z=（）A．4﹣2i B．4+2i C．2﹣i D．2+i2．设集合U＝R，A＝{x|x2＞3x}，B＝{x|x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|0≤x≤2}C．{x|x＜0}D．{x|2＜x≤3} 3．下列函数中为奇函数的是（）A．y＝x2−1x B．y＝2x+2﹣xC．y＝cos（x+π2）D．y＝|lnx|4．珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》.2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，算盘每档各珠均如最左档一样位置；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”．例如，当百位档一个上珠，十位档一个下珠和个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是515．现选定“个位档”“十位档”和“百位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其所有可能表示的三位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为（）A．18B．14C．12D．345．已知π是圆周率，e为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）A．lnπ＞ln3＞log3e B．lnπ＞log3e＞ln3C．ln3＞log3e＞lnπD．ln3＞lnπ＞log3e6．已知直线l经过A（1，3）和B（﹣1，﹣1）两点，若将直线l绕点A按逆时针方向旋转π4后到达直线1'的位置，则l '的方程为（ ）A ．x ﹣y +2＝0B ．3x +y ﹣6＝0C ．2x ﹣y +5＝0D ．3x +y +4＝07．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．9πB ．22π3C ．28π3D ．34π38．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1=2ana n +2，则a 2020＝（ ） A ．22019B ．11010C ．22021D ．110119．已知圆锥的底面半径为2，高为4√2，则该圆锥的内切球表面积为（ ） A ．4πB ．4√2πC ．8√2πD ．8π10．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，将函数f （x ）的图象向右平移π4个单位后，所得到的图象对应的函数为（ ）A ．y ＝2sin （2x −π3） B ．y ＝2sin （12x −π3）C ．y ＝2sin （2x −5π6） D ．y ＝2sin （12x −5π6）11．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，棱长为4，BB 1的中点为M ，过D 、M 、C 1三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为（ ） A ．18B ．6√10C ．12√2D ．3612．已知函数f （x ）={|log 2x +2|，0＜x ≤13−√x ，x ＞1，若存在互不相等的正实数x 1、x 2、x 3，满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），其中x 1＜x 2＜x 3，则x 3•f （x 1）的最大值为（ ） A ．14B ．4C ．9D ．36二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量a →、b →，若a →=（1，2），a →∥b →，a →⊥（a →+b →），则|b →|＝ ．14．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，b =√3，sin C =√3sin B ，则△ABC 的面积为 ．15．某地为了解居民的每日总用电量y （万度）与气温x （°C ）之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表：气温X （°C ） 19 13 9 ﹣1 每日总用电量y （（万度）24343864经分析，可用线性回归方程y ^=−2x +a 拟合y 与X 的关系．据此预测气温为14°C 时，该地当日总用电量y （万度）为 ． 16．设F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点，过F 作圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为M ，切线与渐近线y =bax 相交于点N ，若|MN |＝2|MF |，则C 的离心率为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝15，且a 1，a 3，a 11成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝a n •（56）n ，试问数列{b n }是否存在最大项？若存在，求出最大项序号n 的值；若不存在，请说明理由．18．为了推动青少年科技活动的蓬勃开展，培养青少年的创新精神和实践能力，提高青少年的科技素质．某市开展“青少年科技创新大赛”活动．已知参加该活动的学生有1000人，其中男生600人，女生400人，为了解学生在该活动中的获奖情况是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取了100名学生的参赛成绩，其频率分布直方图如图：（1）该活动规定：成绩不低于60分的参赛学生可获奖，低于60分的参赛学生不能获奖．请将参赛学生获奖和不获奖的人数填入如表的列联表，并判断能否有90%以上的把握认为“参赛学生是否获奖与性别有关”？获奖 不获奖 合计 男生 女生 合计100（2）估计这100名学生的参赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．P （K 2≥k ）0.40 0.25 0.15 0.10 k0.7081.3232.0722.70619．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，侧面BCC 1B 1为正方形，底面ABC 为正三角形，BC 1∩B 1C ＝O ，A 1B 1＝A 1C ．（1）求证：B 1C ⊥平面A 1BC 1；（2）若BC ＝2，求点C 到平面A 1B 1C 1的距离．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，且椭圆C 过点（0，﹣1）．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l ：y ＝x +m （m ＞0）与椭圆C 交于A 、B 两点，点O 为坐标原点，在椭圆C 上是否存在一点P ，满足OP →+OA →+OB →=0→？若存在，求△ABP 的面积；若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝cos x +a4x 2﹣a ．（1）当a ＝1时，求曲线y ＝f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程； （2）当a ≥1时，求证：对任意的x ∈[0，2]，f （x ）≤0．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧BĈ，AD ̂和线段AB ，CD 四部分组成，在极坐标系Ox 中，A （2，π3），B （1，2π3），C （1，4π3），D （2，−π3），弧BC ̂，AD ̂所在圆的圆心分别是（0，0），（2，0），曲线是弧BC ̂，曲线M 2是弧AD ̂． （1）分别写出M 1，M 2的极坐标方程：（2）点E ，F 位于曲线M 2上，且∠EOF =π3，求△EOF 面积的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x2+2﹣t|+|2x+t﹣3|（x＞0）．（1）若f（1）＝2，求实数t的取值范围；（2）求证：f（x）≥2．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设（1+i）z=4−2i1−i，则z的共轭复数z=（）A．4﹣2i B．4+2i C．2﹣i D．2+i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵（1+i）z=4−2i 1−i，∴z=4−2i(1−i)(1+i)=2−i，则z=2+i．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．设集合U＝R，A＝{x|x2＞3x}，B＝{x|x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|0≤x≤2}C．{x|x＜0}D．{x|2＜x≤3}【分析】可解出集合A，然后进行交集、补集的运算即可．解：A＝{x|x＜0，或x＞3}；∴∁U A＝{x|0≤x≤3}；∴（∁U A）∩B＝{x|0≤x≤2}；故选：B．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．3．下列函数中为奇函数的是（）A．y＝x2−1x B．y＝2x+2﹣xC．y＝cos（x+π2）D．y＝|lnx|【分析】根据题意，依次分析选项中函数是否是奇函数，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x2−1x，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），即函数y＝x2−1x既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；对于B，y＝2x+2﹣x，其定义域为R，有f（﹣x）＝f（x），函数y＝2x+2﹣x为偶函数，不符合题意；对于C，y＝cos（x+π2）＝﹣sin x，是其定义域为R，有f（﹣x）＝﹣f（x），则函数y＝cos（x+π2）是奇函数，符合题意；对于D，y＝|lnx|，其定义域为（0，+∞），既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．4．珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》.2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，算盘每档各珠均如最左档一样位置；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”．例如，当百位档一个上珠，十位档一个下珠和个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是515．现选定“个位档”“十位档”和“百位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其所有可能表示的三位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为（）A．18B．14C．12D．34【分析】列举所有可能表示的三位数，在其所有可能表示的三位数中随机取一个数，这个数能被3整除包含的三位数的个数，由此能求出这个数能被3整除的概率．解：选定“个位档”“十位档”和“百位档”，规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），所有可能表示的三位数有：111，115，151，515，155，515，551，555，共8个，则在其所有可能表示的三位数中随机取一个数，这个数能被3整除包含的三个数有：111，555，共2个， ∴这个数能被3整除的概率为p =28=14． 故选：B ．【点评】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．已知π是圆周率，e 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ） A ．ln π＞ln 3＞log 3e B ．ln π＞log 3e ＞ln 3 C ．ln 3＞log 3e ＞ln πD ．ln 3＞ln π＞log 3e【分析】利用对数函数的性质求解．解：∵函数对数y ＝lnx 和y ＝log 3x 在（0，+∞）上单调递增，且π＞3＞e ， ∴ln π＞ln 3＞lne ＝1，又∵log 3e ＜log 33＝1， ∴ln π＞ln 3＞log 3e ， 故选：A ．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．6．已知直线l 经过A （1，3）和B （﹣1，﹣1）两点，若将直线l 绕点A 按逆时针方向旋转π4后到达直线1'的位置，则l '的方程为（ ）A ．x ﹣y +2＝0B ．3x +y ﹣6＝0C ．2x ﹣y +5＝0D ．3x +y +4＝0【分析】直线l 的斜率为k AB =−1−3−1−1=2，设l '的斜率为k ，由题意得k ＜0，则tan π4=|2−k||1+2k|，求出l '的斜率，由此能求出l '的方程．解：∵直线l 经过A （1，3）和B （﹣1，﹣1）两点， ∴直线l 的斜率为k AB =−1−3−1−1=2， 将直线l 绕点A 按逆时针方向旋转π4后到达直线1'的位置，设l '的斜率为k ，由题意得k ＜0， 则tan π4=|2−k||1+2k|，解得k ＝﹣3或k =13（舍），∴l '的方程为y ﹣3＝﹣3（x ﹣1），即3x +y ﹣6＝0． 故选：B ．【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线方程、直线夹角公式等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9πB．22π3C．28π3D．34π3【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出直观图的体积．解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为上面为一个半径为2的半球，下面为底面半径为2，高为3的半圆柱体．如图所示：故V=12×π×22×3+23×π×23=34π3．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 8．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1=2a na n +2，则a 2020＝（ ） A ．22019B ．11010C ．22021D ．11011【分析】由a n +1=2ana n +2可得1a n+1−1a n =12，又a 1＝2，所以数列{1a n }是首项为12，公差为12的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求出结果．解：∵a n +1=2ana n+2，∴1a n+1=a n +22a n ，即1a n+1=12+1a n，∴1a n+1−1a n=12，又∵a 1＝2，∴数列{1a n}是首项为12，公差为12的等差数列，∴1a n=12+(n −1)×12=12n ，∴a n =2n，∴a 2020=22020=11010， 故选：B ．【点评】本题主要考查了数列的递推式，以及等差数列的通项公式，是中档题． 9．已知圆锥的底面半径为2，高为4√2，则该圆锥的内切球表面积为（ ） A ．4πB ．4√2πC ．8√2πD ．8π【分析】先由题设条件求出圆锥的轴截面，再求其内切圆的的半径，即为圆锥内切球的半径，最后解决其表面积问题．解：如图所示：△PAB 为圆锥的轴截面，且AB ＝2R ＝4，OP ＝4√2， 在直角三角形POA 中，PA =√(4√2)2+4=6．设△PAB 内切圆的半径为r ， ∵S △PAB =12×AB ×PO ＝8√2=12（PA +PB +AB ）•r =12（12+4）•r ， ∴r =√2即为圆锥的内切球的半径．故其表面积为4πr 2＝8π． 故选：D ．【点评】本题主要考查圆锥的内切球问题，属于基础题．10．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，将函数f （x ）的图象向右平移π4个单位后，所得到的图象对应的函数为（ ）A ．y ＝2sin （2x −π3） B ．y ＝2sin （12x −π3）C ．y ＝2sin （2x −5π6） D ．y ＝2sin （12x −5π6）【分析】直接利用函数的图象的应用求出函数f （x ）的关系式，进一步利用图象的变换的应用求出结果．解：根据函数的图象：A ＝2，T =2(5π12+π12)=π， 所以ω＝2．当x =−π12时，函数取得最小值，故2×(−π12)+φ=2kπ−π2，解得φ＝2k π−π3，k ∈Z ， 当k ＝0时，φ=−π3． 故f （x ）＝2sin （2x −π3），所以把f （x ）＝2sin （2x −π3）的图象向右平移π4个单位得到g （x ）=2sin(2x −π2−π3)=2sin(2x −5π6)， 故选：C ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，棱长为4，BB 1的中点为M ，过D 、M 、C 1三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为（ ） A ．18B ．6√10C ．12√2D ．36【分析】取AB 中点N ，连结DN ，MN ，推导出MN ∥DC 1，且MN =12DC 1＝2√2，DN ＝C 1M ＝2√5，从而过D 、M 、C 1三点的平面截正方体为两部分的截面图形为等腰梯形DNMC 1，由此能求出截面图形的面积． 解：取AB 中点N ，连结DN ，MN ，∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，棱长为4，BB 1的中点为M ， ∴MN ∥DC 1，且MN =12DC 1＝2√2，DN ＝C 1M ＝2√5，∴过D 、M 、C 1三点的平面截正方体为两部分的截面图形为等腰梯形DNMC 1， ∴截面图形的面积为：S =12(4√2+2√2)×√(2√5)2−(√2)2=18．故选：A ．【点评】本题考查截面图形的面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．12．已知函数f （x ）={|log 2x +2|，0＜x ≤13−√x ，x ＞1，若存在互不相等的正实数x 1、x 2、x 3，满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），其中x1＜x2＜x3，则x3•f（x1）的最大值为（）A．14B．4C．9D．36【分析】作出图象，可得1＜x3＜9，结合条件得到x3•f（x1）＝x3•f（x3）＝x3•（3−√x3），换元构造函数g（t）＝3t2﹣t3，利用导数求得其最大值即可解：作出函数f（x）的图象如图：由图可得，1＜x3＜9，且有f（x1）＝f（x3），则x3•f（x1）＝x3•f（x3）＝x3•（3−√x3），其中1＜x3＜9，令t=√x3，则t∈（1，3），g（t）＝x3•f（x1）＝t2（3﹣t）＝3t2﹣t3，所以当g‘（t）＝6t﹣3t2＝0，解得t＝2，即当t∈（1，2）时，g（t）单调递增，t∈（2，9）时，g（t）单调递减，则g（t）＝x3•f（x1）最大4值为g（2）＝3×4﹣8＝4，故选：B．【点评】本题考查分段函数的图象及运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量a→、b→，若a→=（1，2），a→∥b→，a→⊥（a→+b→），则|b→|＝√5．【分析】由题意利用两个向量平行、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出结果．解：∵平面向量a→、b→，若a→=（1，2），a→∥b→，故可设b→=（λ，2λ）．∵a→⊥（a→+b→），∴a→⋅(a→+b→)=a→2+a→⋅b→=5+（λ+4λ）＝0，求得λ＝﹣1，则|b→|=√λ2+4λ2=√5|λ|=√5，故答案为：√5．【点评】本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．14．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，b =√3，sin C =√3sin B ，则△ABC 的面积为 √112．【分析】由正弦定理化简已知等式可得c 的值，利用余弦定理可求cos C ，根据同角三角函数基本关系式可求sin C 的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解． 解：∵a ＝2，b =√3，sin C =√3sin B ， ∴由正弦定理可得c =√3b ＝3，∴cos C =a 2+b 2−c 22ab =4+3−92×2×√3=−√36，可得sin C =√1−cos 2C =√336，∴S △ABC =12ab sin C =12×2×√3×√336=√112．故答案为：√112． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15．某地为了解居民的每日总用电量y （万度）与气温x （°C ）之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表：气温X （°C ） 19 13 9 ﹣1 每日总用电量y （（万度）24343864经分析，可用线性回归方程y ^=−2x +a 拟合y 与X 的关系．据此预测气温为14°C 时，该地当日总用电量y （万度）为 32 ．【分析】求出样本中心，代入回归直线方程，求出a ，然后求解该地当日总用电量． 解：由题意可知：x =19+13+9−14=10，y =24+34+38+644=40， 所以40＝﹣2×10+a ，解得a ＝60． 线性回归方程y ^=−2x +60， 预测气温为14°C 时， 可得y ＝﹣28+60＝32． 故答案为：32．【点评】本题考查回归直线方程的求法，是基本知识的考查，基础题．16．设F 为双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左焦点，过F 作圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为M ，切线与渐近线y =ba x 相交于点N ，若|MN |＝2|MF |，则C 的离心率为 √3 ．【分析】先在Rt △OMF 中求出|MF |的长和tan ∠MFO ，从而得到直线MN 的方程，将其与渐近线方程y =b ax 联立，解得点N 的坐标，再在Rt △OMF 中，由三角形的等面积法求得M 的纵坐标，由于|MN |＝2|MF |，所以|NF||MF|=3=y N y M=c 2b −a，最后结合b 2＝c 2﹣a 2和e =ca 即可求得离心率．解：根据题意，作出如图所示的图形，F （﹣c ，0），|OM |＝a ，在Rt △OMF 中，|MF |=√|OF|2−|OM|2=√c 2−a 2=b ，tan ∠MFO ═|OM||MF|=ab，∴直线MN 的方程为y =ab （x +c ），联立{y =a b (x +c)y =b a x ，解得{x =a 2c b 2−a 2y =abc b 2−a 2，∴y N =abc b 2−a 2， 由三角形的等面积法可知，y M =abc．∵|MN |＝2|MF |，∴|NF||MF|=3=y N y M=c 2b −a ，又b 2＝c 2﹣a 2，∴c =√3a ，离心率e =ca =√3． 故答案为：√3．【点评】本题考查双曲线中的渐近线、离心率等几何性质，还涉及直线与圆的位置关系、两条直线的交点坐标等知识点，考查学生综合运用知识的能力和运算能力，属于中档题． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝15，且a 1，a 3，a 11成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝a n •（56）n ，试问数列{b n }是否存在最大项？若存在，求出最大项序号n 的值；若不存在，请说明理由．【分析】本题第（1）题先通过等差数列的求和公式和等差中项的性质可计算出a 2＝5，再设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），将a 1，a 3，a 11均表示成a 2与d 的表达式，根据等比中项的性质列出算式，即可计算出公差d 的值，即可计算出等差数列{a n }的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{b n }的通项公式，然后假设数列{b n }存在最大项，则有{b n ≥b n+1b n ≥b n−1，代入通项公式列出不等式组，化简整理并计算出n 的取值范围，再判断出n 的值是否存在即可判断数列{b n }是否存在最大项． 解：（1）由题意，可知 S 3=3(a 1+a 3)2=3⋅2a 22=3a 2＝15，解得a 2＝5， 设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），则a 1＝5﹣d ，a 3＝5+d ，a 11＝5+（11﹣2）•d ＝5+9d ， ∵a 1，a 3，a 11成等比数列，∴a 32＝a 1•a 11，即（5+d ）2＝（5﹣d ）（5+9d ）， 整理，得d 2﹣3d ＝0， 解得d ＝0（舍去），或d ＝3， ∴a n ＝5+（n ﹣2）•3＝3n ﹣1，n ∈N*．（2）由（1）知，b n ＝a n •（56）n ＝（3n ﹣1）•（56）n ，依题意，假设数列{b n }存在最大项，则有{b n ≥b n+1b n ≥b n−1，即{(3n −1)⋅(56)n ≥(3n +2)⋅(56)n+1(3n −1)⋅(56)n ≥(3n −4)⋅(56)n−1， 化简，得{6(3n −1)≥5(3n +2)5(3n −1)≥6(3n −4)， 解得163≤n ≤193，∵n ∈N*，∴n ＝6，故数列{b n }存在最大项，且取得最大项时n 的值为6．【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的相关计算，以及通过计算不等式组的方法找到数列的最大项．考查了转化与化归思想，方程思想，以及不等式的运算能力，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18．为了推动青少年科技活动的蓬勃开展，培养青少年的创新精神和实践能力，提高青少年的科技素质．某市开展“青少年科技创新大赛”活动．已知参加该活动的学生有1000人，其中男生600人，女生400人，为了解学生在该活动中的获奖情况是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取了100名学生的参赛成绩，其频率分布直方图如图：（1）该活动规定：成绩不低于60分的参赛学生可获奖，低于60分的参赛学生不能获奖．请将参赛学生获奖和不获奖的人数填入如表的列联表，并判断能否有90%以上的把握认为“参赛学生是否获奖与性别有关”？获奖 不获奖 合计 男生 女生 合计100（2）估计这100名学生的参赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．P （K 2≥k ）0.40 0.25 0.15 0.10 k0.7081.3232.0722.706【分析】（1）先利用分层抽样的方法得到抽取的100名学生中男生、女生的人数，再结合频率分布直方图求出男生中获奖的人数和不获奖的人数，女生中获奖的人数和不获奖的人数，完成列联表即可，计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）用每组的区间中点值乘以该组的频率依次相加，分别求出男生的平均成绩和女生的平均成绩，再求平均值即可求出结果．解：（1）由题意可知，抽取的100名学生中男生有6001000×100=60人，女生有40人，所以男生中获奖的人数为：2×0.0125×20×60＝30人，不获奖的人数为60﹣30＝30人， 女生中获奖的人数为：（0.0125+0.0075）×20×40＝16人，不获奖的人数为40﹣16＝24人，所以2×2列联表如下：获奖 不获奖 合计 男生 30 30 60 女生 16 24 40 合计4654100所以K 的观测值：K 2=100(30×24−30×16)246×54×40×60≈0.966＜2.706；所以没有90%以上的把握认为“参赛学生是否获奖与性别有关”；（2）男生得分的平均值的估计值为：10×0.0025×20+30×0.0075×20+50×0.0150×20+70×0.0125×20+90×0.0125×20＝60（分），女生得分的平均值的估计值为：10×0.0050×20+30×0.0100×20+50×0.0150×20+70×0.0125×20+90×0.0075×20＝53（分），所以这100名学生的参赛成绩的平均数的估计值为：60+532=56.5（分）．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是中档题． 19．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，侧面BCC 1B 1为正方形，底面ABC 为正三角形，BC 1∩B 1C ＝O ，A 1B 1＝A 1C ．（1）求证：B 1C ⊥平面A 1BC 1；（2）若BC ＝2，求点C 到平面A 1B 1C 1的距离．【分析】（1）由侧面BCC1B1为正方形，得B1C⊥BC1，再由已知可得B1C⊥A1O，由直线与平面垂直的判定可得B1C⊥平面A1BC1；（2）由（1）知，A1O⊥B1C，再由已知可得A1C1＝A1C，再证明三角形全等可得∠A1OC1＝∠A1OC＝90°，得到A1O⊥平面BB1C1C，求出多面体A1﹣BB1C1C的体积，得到棱柱的体积，设点C到平面A1B1C1的距离为h，由棱柱体积列式求得点C到平面A1B1C1的距离．【解答】（1）证明：如图，∵侧面BCC1B1为正方形，∴B1C⊥BC1，又A1B1＝A1C，O为B1C的中点，∴B1C⊥A1O，又BC1∩A1O＝O，∴B1C⊥平面A1BC1；（2）解：由（1）知，A1O⊥B1C，由侧面BCC1B1为正方形，底面ABC为正三角形，A1B1＝A1C，得A1C1＝A1C，在△A1OC与△A1OC1中，由A1C1＝A1C，OC＝OC1，A1O＝A1O，得△A1OC≌△A1OC1，可得∠A1OC1＝∠A1OC＝90°，∴A1O⊥平面BB1C1C，得A1O⊥BC1．由BC＝2，得BC1=B1C=2√2，A1O=√2．∴多面体A1﹣BB1C1C的体积V=1×2×2×√2=4√23，3=2√2．由等积法可得V ABC−A1B1C1设点C到平面A1B1C1的距离为h，由S△ABC×h=1×2×2×√32×h=2√2，解得h=2√63．2∴点C 到平面A 1B 1C 1的距离为2√63．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了推理能力与计算能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，且椭圆C 过点（0，﹣1）． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l ：y ＝x +m （m ＞0）与椭圆C 交于A 、B 两点，点O 为坐标原点，在椭圆C 上是否存在一点P ，满足OP →+OA →+OB →=0→？若存在，求△ABP 的面积；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点代入椭圆可得b ，利用离心率以及a 2＝b 2+c 2即可求出a ，则有椭圆方程；（2）联立直线与椭圆，利用根与系数关系表示出P 的坐标，代入椭圆即可求出m 的值．解：（1）由题得e =c a =√22，所以c 2=12a 2，将（0，﹣1）代入得到b 2＝1，结合a 2＝b 2+c 2， 解得a 2＝2，c 2＝1，故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =x +m x 2+2y 2=2， 整理得3x 2+4mx +2m 2﹣2＝0，则x 1+x 2=−4m 3，x 1x 2=2m 2−23， 所以y 1+y 2＝x 1+x 2+2m =2m 3， 若有OP →+OA →+OB →=0→，即有OP →=−（OA →+OB →）＝﹣（−4m 3，2m 3）＝（4m 3，−2m 3）， 又因为P 在椭圆上，故（4m 3）2+2（−2m 3）2＝2，解得m ＝±√32，所以直线l ：y ＝x ±√32，经计算可得点P 到直线l 的距离d =|32√3|√2=34√6， 则S △ABP =12×d •|AB |=12×34√6•√1+1•(233)2−4×(−16)=34√6． 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程的求法，注意讨论直线的斜率，以及联立直线方程和椭圆方程运用韦达定理和判别式大于0，同时考查向量加法的坐标运算，属于中档题．21．已知函数f （x ）＝cos x +a 4x 2﹣a ．（1）当a ＝1时，求曲线y ＝f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程；（2）当a ≥1时，求证：对任意的x ∈[0，2]，f （x ）≤0．【分析】（1）根据导数和的几何意义，即可求出切线方程；（2）根据导数和函数单调性及最值，即可求出．解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝cos x +14x 2﹣1，则f ′（x ）＝﹣sin x +12x ，∴切线的斜率k ＝f ′（π）=π2，∵f （π）＝﹣2+π24， ∴曲线y ＝f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程为y +2−π24=π2（x ﹣π），即2πx ﹣4y ﹣8﹣π2＝0．证明：（2）当a ≥1时，f ′（x ）＝﹣sin x +a2x ，当x ∈[0，2]时，sin x ≥0，则﹣sin x ≤0，a 2≥0， ∴f ′（x ）＝﹣sin x +a2x ≤0，在[0，2]上恒成立，∴f （x ）在[0，2]上单调递增，∴f （x ）≤f （2）＝cos2+a ﹣a ＝cos2＜0，故对任意的x ∈[0，2]，f （x ）≤0．【点评】本题考查了导数和几何意义和导数和函数的最值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧BĈ，AD ̂和线段AB ，CD 四部分组成，在极坐标系Ox 中，A （2，π3），B （1，2π3），C （1，4π3），D （2，−π3），弧BC ̂，AD ̂所在圆的圆心分别是（0，0），（2，0），曲线是弧BĈ，曲线M 2是弧AD ̂． （1）分别写出M 1，M 2的极坐标方程：（2）点E ，F 位于曲线M 2上，且∠EOF =π3，求△EOF 面积的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用三角形的面积公式和极径的应用及三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．曲线是弧BĈ， 解：（1）由题意可知：M 1的极坐标方程为ρ=1(2π3≤θ≤4π3)． 记圆弧AD 所在圆的圆心（2，0）易得极点O 在圆弧AD 上．设P （ρ，θ）为M 2上任意一点，则在△OO 1P 中，可得ρ＝4cos θ（−π3≤θ≤π3）． 所以：M 1，M 2的极坐标方程为ρ=1(2π3≤θ≤4π3)和ρ＝4cos θ（−π3≤θ≤π3）． （2）设点E （ρ1，α），点F （ρ2，α−π3），（0≤α≤π3），所以ρ1＝4cos α，ρ2=4cos(α−π3)．所以S △EOF =12ρ1⋅ρ2⋅sin π3=4√3cosα(cosαcos π3+sinαsin π3)=2√3sin(2α+π6)+√3． 由于0≤α≤π3，所以12≤sin(2α+π6)≤1． 故S △EOF ∈[2√3，3√3]．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．一、选择题23．已知f（x）＝|x2+2﹣t|+|2x+t﹣3|（x＞0）．（1）若f（1）＝2，求实数t的取值范围；（2）求证：f（x）≥2．【分析】（1）利用绝对值不等式的性质可得（3﹣t）（t﹣1）≥0，解出即可；（2）利用绝对值不等式及基本不等式即可得证．解：（1）∵f（1）＝|3﹣t|+|t﹣1|≥|3﹣t+t﹣1|＝2，取等号的条件为（3﹣t）（t﹣1）≥0，解得1≤t≤3，即实数t的取值范围为[1，3]；（2）证明：易知f(x)=|x2+2−t|+|2x+t−3|≥|x2+2−t+2x+t−3|=|x2+2x−1|，∵x＞0，∴x2+2x =x2+1x+1x≥3√x2⋅1x⋅1x3=3，∴|x2+2x−1|≥2，∴f（x）≥2．【点评】本题以绝对值不等式，均值不等式和二次不等式为载体，考查不等式的求解及证明，分类讨论思想，及数学抽象，逻辑推理等数学核心素养，难度不大．。

2020年广东省深圳市高考文科数学模拟试卷
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．设集合A＝{0，3}，B＝{m+2，m2+2}，若A∩B＝{3}，则集合A∪B的子集的个数为（）A．3B．4C．7D．8
2．在复平面内，复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．圆心为点（3，4）且过点（0，0）的圆的方程是（）
A．x2+y2＝25B．x2+y2＝5
C．（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25D．（x+3）2+（y+4）2＝25
4．函数f（x）＝ln的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（）A．0B．1C．2D．4
5．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列一定成立的是（）
A．若a3＞0，则a2016＞0B．若a4＞0，则a2017＞0
C．若a3＞0，则S2017＞0D．若a4＞0，则S2016＞0
6．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）
A．A ＝B．A＝2+C．A ＝D．A＝1+
7．三国时期吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四
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2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(2,)-+∞2．已知复数41iz i=+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >， 0>ω， 2πϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，0B ．2，4π C ．2， 3π-D ．2，6π 4．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T （ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 5．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( ) A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种7．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2f x x x=-，则()}{21x f x +>=（ ）A ．{3x x <-或}0x > B ．{0x x <或}2x > C ．{2x x <-或}0x >D ．{2x x <或}4x >8．已知双曲线2222:10,0()x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不重合的动点，若123PA PA k k =， 则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．3C ．4D ．29．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中的元素共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个10．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴于点K ，若11||2||A KB K =，则直线l 的斜率为 A ． 1B 2C ．22D 311．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a 、b 、c ，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=，则（ ）A ．max37a c+-=B ．max37a c-+=C ．min37a c+-= D ．min37a c-+=12．已知AM BN ，分别为圆()221:11O x y ++=与()222:24O x y -+=的直径，则AB MN ⋅的取值范围为（ ） A ．[]0,8B ．[]0,9C ．[]1,8D ．[]1,9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

深圳市2020届普通高中高三年级统一模拟测试数 学（理科）本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则 }3210{，，，=A }032|{2<--=x x x B A B = A ． )3,1(-B ．]3,1(-C ．)3,0(D ．]3,0(2．设，则的虚部为 23i32iz +=-z 3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 8632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 4．记为等差数列的前项和，若，，则为n S {}n a n 23a =59a =6S 5．若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心22221x y a b-=0a >0b >(1,2)-率为6．已知，则tan 3α=-πsin 2()4α+=7．的展开式中的系数为 7)2(xx -3x A ．1-B ．1C ．2-D ．2A ．25B ．23C ．12 D.07A ．36B ．32C ．28 D. 24ABC D.2A ．35B ．35-C ．45D ．45-A ．168B ．84C ．42 D.218．函数的图像大致为()2ln |e 1|xf x x =--9．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某四面体 1的三视图，则该四面体的外接球表面积为AB ． 32πC ．36πD ．48π10．已知动点在以，为焦点的椭圆上，动点在以为圆心，半径长M 1F 2F 2214yx +=N M 为 的圆上，则的最大值为 1||MF 2||NF 11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则O H ABC M BC A ． 33AB AC HM MO +=+B ．33AB AC HM MO +=- C ． 24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-12．已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的π[04，π()sin()(0)6f x x ωω=->3ωω取值个数最多为 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．13．若满足约束条件，则的最小值为 ___________．y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+101022x y x y x y x z 2-=14．设数列的前项和为，若，则___________． {}n a n n S n a S n n -=2=6aA BC DA ．2B ．4C ．8D ．16A ．4B ．3C ． 2 D.1 （第9题图）15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码由，，，，中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验012…9证码称为“递增型验证码”(如)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码0123的首位数字是的概率为___________．116．已知点和点，若线段上的任意一点都满足：经1(,)2M m m -1(,2N n n -()m n ≠MN P 过点的所有直线中恰好有两条直线与曲线相切，则P 21:2C y x x =+(13)x -≤≤的最大值为___．||m n -三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分12分）已知△的内角，，的对边分别为，，，△的面积为，ABC A B C a b c ABC S .222+2a b c S -=（1）求；cos C （2）若，，求. cos sin a B b A c +=a =b18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形， 点，分别1111ABCD A B C D -ABCD M N 在棱，上，且，.1C C 1A A 12C M MC =12A N NA =（1）求证：平面；1//NC BMD （2）若，，， 13A A =22AB AD ==π3DAB ∠=求二面角的正弦值. N BD M --19．（本小题满分12分）已知以为焦点的抛物线过点，直线与交于，两点，F 2:2(0)C y px p =>(1,2)P -l C A B 为中点，且.M AB OM OP OF λ+=u u u r u u u r u u u r （1）当时，求点的坐标；3λ=M （2）当时，求直线的方程. 12OA OB ⋅=u u r u u u rl 20．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期天6≤潜伏期天6>总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？20附：0.05 0.025 0.0103.8415.0246.635，其中. ))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=d c b a n +++=)(02k K P ≥0k21．（本小题满分12分） 已知函数.（其中常数，是自然对数的底数） ()e ln(1)xf x a x =--e=2.718 28⋅⋅⋅（1）若，求函数的极值点个数；a ∈R ()f x （2）若函数在区间上不单调，证明：. ()f x (1,1+e )a-111a a a +>+（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为倾斜xOy 1C ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x t α角），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为x 2C ．θρsin 4=（1）求的直角坐标方程；2C（2）直线与相交于两个不同的点，点的极坐标为，若1C 2C F E ,P π)，求直线的普通方程．PF PE EF +=21C23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知为正数，且满足 证明： ,,a b c 1.a b c ++=（1）； 1119a b c++≥（2） 8.27ac bc ab abc ++-≤理科数学试题答案及评分参考一、选择题1.B2.B3.C4.A5.C6.D7.B8.A9.D10.B11.D12.C12.解析：当πππ462ω->时，即83ω>时，max ()13f x ω==，解得3ω=；当πππ462ω-≤时，即803ω<≤时，max ππ()sin()463f x ωω=-=，令ππ()sin()46g ωω=-，()3h ωω=，如图，易知()y g ω=，()y h ω=的图象有两个交点11(,)A y ω，22(,)B y ω，所以方程ππsin()463ωω-=有两个实根12ωω，，又888()1()393g h =>=，所以易知有1283ωω<<，所以此时存在一个实数1ωω=满足题设，综上所述，存在两个正实数ω满足题设，故应选C.二、填空题：13.3-14.6315.41516.4316.解析：由对称性不妨设m n <，易知线段MN 所在直线的方程为12y x =-，又21122x x x +>-，∴点P 必定不在曲线C 上，不妨设1(,)2P t t -，()m t n ≤≤，且过点P 的直线l 与曲线C 相切于点20001(,)2Q x x x +，易知0|x x PQ y k ='=，即2000011()()221x x t x x t +--+=-，整理得200210x tx --=，（法一）显然00x ≠，所以0012t x x =-，令1()f x x x=-，[1,0)(0,3]x ∈-U ，如图，直线2y t =和函数()y f x =的图象有两个交点，又(1)0f -=，且8(3)3f =，∴8023t ≤≤，即403t ≤≤，∴403m n ≤<≤，∴||m n -的最大值为43，故应填43．（法二）由题意可知013x -≤≤，令2()21f x x tx =--，∴函数()f x 在区间[1,3]-上有两个零点，则2(1)20(3)86013440f t f t t t -=≥⎧⎪=-≥⎪⎨-<<⎪⎪=+>⎩V ，解得403t ≤≤，∴403m n ≤<≤，∴||m n -的最大值为43，故应填43．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，222+2a b c S -=.（1）求cos C ；（2）若cos sin a B b A c +=，a =，求b .解：（1）2221=sin 22S ab C a b c S +-= ，，222sin a b c ab C ∴+-=，…………………………………………………………………2分在△ABC 中，由余弦定理得222sin sin cos 222a b c ab C CC ab ab +-===，sin =2cosC C ∴，…………………………………………………………………………4分又22sin +cos C=1C，25cos C=1cosC=5∴±，，由于(0,π)C ∈，则sin 0C >，那么cosC>0，所以cosC=5.………………………6分（2）（法一）在△ABC 中，由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=，……………7分sin sin[π()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+ ，………………………8分sin cos sin sin sin cos cos sin A B B A A B A B ∴+=+，即sin sin cos sin B A A B =，又,(0,π)A B ∈ ，sin 0B ∴≠，sin =cosA A ，得4A π=.……………………………9分sin sin[π()]sin()B A C A C =-+=+，……………………………………………10分sin sin cos cos sin 252510B AC A C ∴=+=⨯+⨯=，………………11分在△ABC中，由正弦定理得310sin 103sin 22a Bb A==.……………………………12分（法二）cos sin a B b A c += ，又cos cos a B b A c += ，cos sin cos cos a B b A a B b A ∴+=+，…………………………………………………8分即sin cos A A =，又(0,π)A ∈ ，π4A ∴=.……………………………………………9分在△ABC中，由正弦定理得25sin 5sin 22a Cc A===………………………10分cos cos b C A a C =+，325c ∴==.………………………………………………………12分（法三）求A 同法一或法二在△ABC中，由正弦定理得25sin 5sin 22a Cc A===………………………10分又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得2230b b --=，解得1b =-或3b =.所以3b =.……………………………………………………………………………12分（余弦定理2222cos a b c b A =+-，得2430b b -+=，解得1b =或3b =.因为当1b =时，222+-20a b c -=<，不满足cosC>0(不满足222+22a b c S -=-≠)，故舍去，所以3b =）【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理解决三角形问题，检验学生的数学知识运用能力.E GMDN 1D 1C 1B 1A CBAGEMDN1D 1C 1B 1A CBAMDN1D 1C 1B 1A CBA （第18题图）18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点M ，N 分别在棱1C C ，1A A 上，且12C M MC =，12A N NA =.（1）求证：1//NC 平面BMD ；（2）若1322A A AB AD ===，，π3DAB ∠=，求二面角N BD M --的正弦值.解：（1）证明：（法一）如图，连接AC 交BD 于点G ，连接MG ．设1C M 的中点为E ，连接AE ．………2分,G M 是在△ACE 边,CA CE 的中点，∴//MG AE ，……………………………………3分又 12C M MC =，12A N NA =，11//AA CC ，∴四边形1ANC E 是平行四边形，故1//NC AE ，∴1//NC GM ，…………………………………4分 GM ⊂平面BMD ，∴1//NC 平面BMD .…………………………………5分（法二）如图，设E 是1BB 上一点，且12BE B E =，连接1EC .设G 是BE 的中点，连接GM .……………………1分11//BE MC BE MC =，，∴四边形1BEC M 是平行四边形，故1//EC BM ，……2分又 BM ⊂平面BMD ，∴1//EC 平面BMD ，…………………………………3分同理可证//NE AG ，//AG DM ，故//NE DM ，MDN1D 1C 1B 1A CBA ∴//NE 平面BMD ，…………………………………4分又 1EC NE ⊂，平面1NEC ，且1NE C E E = ，∴平面1//NEC 平面BMD ，又1NC ⊂平面1NEC ，所以1//NC 平面BMD .……………5分（2）（法一）设二面角N BD M --为α，二面角N BD A --为β，根据对称性，二面角M BD C--的大小与二面角N BD A --大小相等，故π2αβ=-，sin sin(π2)sin 2αββ=-=.下面只需求二面角M BD C --的大小即可.………7分由余弦定理得2222cos 3BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=，故222AB AD BD =+，AD BD ⊥.……………………8分四棱柱1111ABCD A B C D -为直棱柱，∴1DD ⊥底面ABCD ，1DD BD ⊥，……………………9分又 1,AD D D ⊂平面11ADD A ，1AD D D D = ，BD ∴⊥平面11BDD B ，…………………………………10分ND ⊂ 平面11ADD A ，ND BD ∴⊥，所以二面角N BD A --的大小为NDA ∠，即NDA β∠=，在Rt NAD ∆中，sin 2AN ND β===，…………11分∴π4β=，π2α=，∴二面角N BD M --的正弦值为1.…………………12分（法二）由余弦定理得2222cos 3BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=，故222AB AD BD =+，AD BD ⊥.……………………6分以D 为坐标原点O ，以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.zyxMDN1D 1C 1B1A CBA依题意有(0,0,0)D ，B ，(M -，N ，DB = ，(DM =-，DN =，……7分设平面MBD 的一个法向量为(,,)n x y z=，00n DB n DM⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，00x z=∴-+=⎪⎩，令1x =，则1z =，0y =，(1,0,1)n∴=，……………9分同理可得平面NBD 的一个法向量为(1,0,1)m=-，……10分所以cos ,0||||m nm n m n ⋅<>===，……………11分所以二面角N BD M --的大小为π2，正弦值为1.…12分【命题意图】考察线面平行、线面垂直判定定理等基本知识，考查空间想象能力，计算能力，考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力.19．（本小题满分12分）已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 中点，且OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r.（1）当=3λ时，求点M 的坐标；（2）当12OA OB ⋅=uur uu u r时，求直线l 的方程.解：（1）因为(1,2)P -在22y px =上，代入方程可得2p =，所以C 的方程为24y x =，焦点为(1,0)F ，…………………………………2分设00(,)M x y ，当=3λ时，由3OM OP OF +=uuu r uu u r uu u r，可得(2,2)M ，………………4分（2）（法一）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，由OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r，可得00(1,2)(,0)x y λ+-=，所以0=2y ，所以l 的斜率存在且斜率121212042=1y y k x x y y y -===-+，……………7分可设l 方程为y x b =+，联立24y x by x=+⎧⎨=⎩得22(24)0x b x b +-+=，2244=16160b b b ∆=--->（2），可得1b <，………………………………9分则1242x x b +=-，212x x b =，2121212()4y y x x b x x b b =+++=，所以21212=412OA OB x x y y b b ⋅=++=uur uu u r，…………………………………11分解得6b =-，或2b =（舍去），所以直线l 的方程为6y x =-.……………………………………………12分（法二）设l 的方程为x my n =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩得2440y my n --=，216160m n ∆=+>，………………6分则124y y m +=，124y y n =-，21212()242x x m y y n m n +=++=+，所以2(2,2)M m n m +，…………………………………………………………7分由OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r，得2(21,22)(,0)m n m λ++-=，所以1m =，…………8分所以l 的方程为x y n =+，由16160n ∆=+>可得，1n >-，……………………………………………9分由124y y n =-得221212()16y y x x n ==，所以21212=412OA OB x x y y n n ⋅=+-=uu r uu u r，………………………………………11分解得6n =，或2n =-（舍去），所以直线l 的方程为6y x =-.……………………………………………12分【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系、向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.20．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位:天）]2,0[]4,2(]6,4(]8,6(]10,8(]12,10(]14,12(人数85205310250130155（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期6≤天潜伏期6>天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，．．．．（即概率最大其中潜伏期超过6天的人数最有可能．．．．．）是多少？附：)(02k K P ≥0.050.0250.0100k 3.8415.0246.635))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.解：（1） 5.45131511130925073105205385110001=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=）（x 天.……………………………………………………………………………2分（2）根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期6<天潜伏期6≥天总计50岁以上（含50岁）653510050岁以下5545100总计12080200则212510001080120200)35554565(22=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯=K 2.083≈，………………………………………5分经查表，得 3.8412 2.083<≈K ，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关.……6分（3）由题可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为521000400=，……7分设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X ，则)52,02(~B X ,kk k C k X P -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==02025352)(，0=k ，1，2，…，20，………8分由⎩⎨⎧-=≥=+=≥=)1()()1()(k X P k X P k X P k X P 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-----++-k k k k k k kk k kk k C C C C 121102020291110202025352535253525352，…………10分化简得⎩⎨⎧≥--≥+kk k k 3)12(2)02(2)1(3，解得542537≤≤k ,又N ∈k ,所以8=k ,即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人.…12分【命题意图】以医学案例为实际背景，考查频数分布表，考查平均数，二项分布的随机变量概率最大时的取值；考查分析问题、解决问题的能力；处理数据能力、建模能力和核心素养.21．（本小题满分12分）已知函数()e ln(1)xf x a x =--.（其中常数e=2.71828⋅⋅⋅，是自然对数的底数）（1）若a ∈R ，求函数()f x 的极值点个数；（2）若函数()f x 在区间(1,1+e )a-上不单调，证明：111a a a +>+.解：（1）易知(1)e ()1x x af x x --'=-，1x >，………………………………………1分①若0a ≤，则()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，∴函数()f x 无极值点，即函数()f x 的极值点个数为0；……………………2分②若0a >，（法一）考虑函数(1)e (1)x y x a x =--≥，Q 1(1)e 0a y a a a a a ++=->-=，(1)0y a =-<，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥有零点0x ，且011x a <<+，Q e 0x y x '=>，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥为单调递增函数，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥有唯一零点0x ，∴(1)e ()1x x af x x --'=-亦存在唯一零点0x ，…………………………………4分∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1，……………………5分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1.（法二）易知函数e x y =的图象与1ay x =-(0)a >的图象有唯一交点00(,)M x y ，∴00e 1x ax =-，且01x >，…………………………………………………………………3分∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1，……………………4分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1.（注：第（1）问采用法二作答的考生应扣1分，即总分不得超过4分）（法三）对于0a ∀>，必存在*n N ∈，使得2ln an a->，即2ln na a -<，Q e 1na -<，∴1e 2ln e e e 0nana na a a a a --+--<-<-=，∴1e e e (1e )0e nana nanaa f --+---'+=<，又11e (1)=e 10a aa a f a a++-'+=->，∴函数(1)e ()1x x af x x --'=-有零点，不妨设其为0x ，显然()e (1)1xa f x x x '=->-为递增函数，∴0x 为函数()f x '的唯一零点，…………………………………………………………4分∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1，……………………5分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1.（2）Q 函数()f x 在区间(1,1+e )a-上不单调，∴存在0(1,1+e )a x -∈为函数()f x 的极值点，……………………………………6分∴由（1）可知0a >，且1+e e e (1+e )0eaa aaa f ----⋅-'=>，即1+e e aa a -->，两边取对数得1+e ln a a a -->，即1+e ln a a a -->，………………………………7分（法一）欲证111a a a +>+，不妨考虑证111+e ln 1a a a a -+≥-+，先证明一个熟知的不等式：e 1x x ≥+，令g()e 1x x x =--，则g ()e 1x x '=-，∴g (0)0'=，不难知道函数g()x 的极小值（即最小值）为g(0)0=，∴e 10x x --≥，即e 1x x ≥+，……………………………………………………8分（思路1：放缩思想）∴11e =e 1a a a -≤+，即1e 1a a -≥+，………………………9分又111eaa-≥，∴11e a a -≤，∴11ln a a -≤，即11ln a a ≥-，………………………11分∴111+e ln 1a a aa -+≥-+，∴111a a a +>+.…………………………12分（思路2：构造函数）令1()ln 1a a a ϕ=+-，则22111()a a a a aϕ-'=-=，不难知道，函数()a ϕ有最小值(1)0ϕ=，∴()0a ϕ≥，…………………………10分当0a >时，1e 1e 01(1)ea aaa a a ----=>++，…………………………………………11分∴11ln 1e 01a a a a -+-+->+，即111+e ln 1a a a a -+≥-+，∴111a a a +>+.…………………………………………………………………12分（法二）令()1+e ln x F x x x -=--，则1()e 10x F x x-'=---<，∴函数()F x 为单调递减函数，显然(2)2ln 220F <--<，且()0F a >，∴02a <<，①若01a <<，则1111a a a a +>>+，即111a a a +>+成立；…………………………8分②若12a ≤<，只需证111+e ln 1a a a a -+≥-+，不难证明1114173a a a +≥++，只需证明141+e ln 73a a a -≥-+，…………………………9分令14()e ln 173a G a a a -=-+-+，12a ≤≤，则22198198()e (73)(73)a G a a a a a -'=+->-++，当12a ≤≤时，22219849569(73)(73)a a a a a a -+-=++，显然函数249569y a a =-+在[1,2]上单调递增，且(1)20y =>，∴()0G a '>，即函数()G a 为单调递增函数，………………………………………10分∴当12a ≤<时，212e 5()(1)05e 5eG a G -≥=-=>，即()0G a >，………………11分141+e ln 73a a a -∴≥-+，即111a a a +>+，综上所述，必有111a a a +>+成立.…………………………………………………12分（法三）同（法二）得02a <<，①若01a <<，则1111a a a a +>>+，即111a a a +>+成立；…………………………8分②若12a ≤<，只需证111+e ln 1a a a a -+≥-+，令11()e ln 11a G a a a a -=+-+-+，12a ≤≤，则222111()e e (1)(1)a a a G a a a a ---'=-+≥-++，下证当12a ≤≤时，21e 0(1)aa -->+，即证2e (1)a a <+，即证2e 1aa <+，………9分令2()e 1a H a a =--，12a ≤≤，则21()e 12aH a '=-，当2ln 2a =时，()0H a '=，不难知道，函数()H a 在[1,2ln 2)上单调递减，在(2ln 2,2]上单调递增，∴函数()H a 的最大值为(1)H ，或(2)H 中的较大值，显然(1)20H =-<，且(2)e 30H =-<，∴函数()H a 的最大值小于0，即()0H a <，亦即2e 1a a <+，…………………………10分∴21e 0(1)a a -->+，即()0G a '>，∴函数11()e ln 11a G a a a a -=+-+-+，12a ≤≤单调递增，易知11(1)02eG =->，∴()0G a >，即111+e ln 1a a a a -+≥-+，………………………11分∴当12a ≤<时，有111a a a +>+成立，综上所述，111a a a +>+.…………………………………………………………12分【命题意图】本题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x （t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）直线1C 与2C 相交于F E ,两个不同的点，点P 的极坐标为π)，若PF PE EF +=2，求直线1C 的普通方程．解：（1）由题意得，2C 的极坐标方程为θρsin 4=，所以θρρsin 42=，………………1分又θρθρsin ,cos ==y x ，………………2分代入上式化简可得，0422=-+y y x ，………………3分所以2C 的直角坐标方程4)2(22=-+y x ．………………4分（2）易得点P 的直角坐标为)0,32(-，将⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x 代入2C 的直角坐标方程，可得012)sin 4cos 34(2=++-t t αα，………………5分22π4sin )48=[8sin()]4803ααα∆=+-+->，解得πsin()3α+>πsin()3α+<，不难知道α必为锐角，故π3sin()32α+>，所以ππ2π333α<+<，即π03α<<,………………6分设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t ，则ααsin 4cos 3421+=+t t ，1221=⋅t t ，………………7分所以1t 与2t 同号，由参数t 的几何意义可得，1212π8sin()3PE PF t t t t α+=+=+=+，12EF t t =-==，………………8分所以π28sin()3α⨯=+，两边平方化简并解得πsin()13α+=，所以π2π6k α=+，k ∈Z ,因为π03α<<，所以π6α=，………………9分所以直线1C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=,21,2332t y t x 消去参数t ，可得直线1C 的普通方程为0323=+-y x ．………………10分【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，考察考生的化归与转化能力．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++=证明：（1）1119a b c++≥；（2）8.27ac bc ab abc ++-≤证明：（1）因为()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭3b a c a c ba b a c b c=++++++3≥++（当且仅当13a b c ===时，等号成立）.………………5分（2）（法一）因为,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=，所以1c a b =--，且10a ->，10b ->，10c ->，所以ac bc ab abc++-()a b ab c ab =+-+()1a b ab a b ab=+---+（）(1)(1)()b a a b =--+(1)(1)(1)a b c =---3(1)(1)(1)8327a b c -+-+-⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦，所以8.27ac bc ab abc ++-≤（当且仅当13a b c ===时，等号成立）.………………10分（法二）因为,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=，所以1c a b =--，且10a ->，10b ->，10c ->，()1ac bc ab abc a b c ac bc ab abc ++-=-+++++-()()()()1111a b a c a bc a =-+-+-+-()()11a b c bc =--++⎡⎤⎣⎦()()()111a b c =---()338327a b c -++⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦所以8.27ac bc ab abc ++-≤（当且仅当13a b c===时，等号成立）.………………10分【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察．深圳市2020年普通高中高三年级统一测试数学（理科）试题参考答案第16页共16页。

广东深圳市2020年高考数学（理）模拟试卷年高考数学（理）模拟试卷一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U = R ，A =10x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭，则U A=（ ）． A ．10x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B.｛x | x > 0｝ C.｛x | x ≥0｝ D.1x x ⎧⎨⎩≥0⎭⎬⎫ 2．是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小正周期为π”的”的 ( ) ( )． A ．充分不必要条件．充分不必要条件 B B ．必要不充分条件．必要不充分条件 C C ．充要条件．充要条件 D D ．既不充分也不必要条件．既不充分也不必要条件3 在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为项为 （ ）． A ．25B ．6C ．7D ．84.4.设两个非零向量设两个非零向量12,e e v v 不共线，若12ke e +v v 与12e ke +v v也不共线，则实数k 的取值范围为的取值范围为 （ ）．A ．(,)-∞+∞B ．(,1)(1,)-∞-⋃-+∞C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞ 5.5.曲线曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则，…，则|P |P 2P 4|等于（等于（ ）． A ．π B ．2π C ．3π D ．4π6．右图为函数log n y m x =+ 的图象，其中m ，n 为常数，为常数，则下列结论正确的是（则下列结论正确的是（ ）．A ．m < 0 , n >1B ．m > 0 , n > 1C ．m > 0 , 0 < n <1D ．m < 0 , 0 < n < 1 7．一水池有2个进水口，个进水口，1 1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. .某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）（至少打开一个水口）给出以下3个论断：个论断：①0点到3点只进水不出水；②点只进水不出水；②33点到4点不进水只出水；③点不进水只出水；③ 4 4点到6点不进水不出水点不进水不出水..则一定能确定正确的论断是则一定能确定正确的论断是A ．①．①B B ．①②．①②C C ．①③．①③D D ．①②③．①②③ 8.下列程序执行后输出的结果是( C )A 、-1B 、0C 、1D 、2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案写在横线上）．9、某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图分）的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130-140分数段的人数为90人，则90-100分数段的人数为分数段的人数为n=5 s=0WHILE s<14 s=s+nn=n-1 WAND PRINT n END1010．．0000sin168sin 72sin102sin198+= ．1111．已知．已知i ， j为互相垂直的单位向量，a = i – 2j ， b = i + λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是的取值范围是． 12已知函数()f x ,对任意实数,m n 满足()()(),f m n f m f n +=⋅且 (1)(0),f a a =≠则()f n =()n N +∈. 13符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]208.1,3-=-=π，定义函数{}[]x x x -=，那么下列命题中正确的序号是那么下列命题中正确的序号是 ． （1）函数{}x 的定义域为R ，值域为[]1,0； （2）方程{}21=x ，有无数解；，有无数解；（3）函数{}x 是周期函数；是周期函数； （4）函数{}x 是增函数是增函数. . 14.14.在平面直角坐标系中，已知曲线在平面直角坐标系中，已知曲线c ：2cos sin xy θθ=-+⎧⎨=⎩，（3,[,]22ππθθ∈为参数）则曲线c 关于y=x 对称的曲线方程是对称的曲线方程是三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 1515．．（本题满分12分）分） 已知02cos 22sin=-xx ，（Ⅰ）求x tan 的值；（Ⅱ）求xx x sin )4cos(22cos ⋅+π的值．的值．16．（本题满分13分）分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ． （Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．的分布列和数学期望．17．（本题满分13分）分）如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45o． （Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长； （Ⅱ）（Ⅱ） 求二面角C BD A --的大小；的大小；（Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．的距离． ABCD1A 1B 1C18．（本小题满分14分）分）一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ．（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标；的坐标； （Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．的坐标．19．（本题满分14分）分）已知数列}{n a 满足：,21,121==a a 且*2,0]1)1[(22])1(3[N n a a n n n n ∈=--+--++．（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式；的通项公式；（Ⅱ）设n n n a a b 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；20．（本题满分14分）分）已知函数)0()(>+=t xt x x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64, 2[nn +内总存在1+m 个实数m a a a ,,,21Λ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g Λ成立，求m 的最大值．的最大值．参考答案一、选择题：一、选择题：1. 答案：答案：C. C. {}A |0,U x x C A =<∴=Q ｛x | x ≥0｝,故选C.2.C3. （理）对于(1)n n +中，当n ＝６时，有6721,⨯=所以第２５项是７．选C.4.D5.5.Ａ．Ａ．Ａ． ∵)4cos()4sin(2ππ-+=x x y ＝2sin()sin()1cos(2)1sin 2442x x x x πππ++=-+=+，∴根据题意作出函数图象即得．选A ．6. 答案：Ｄ．当x=1时，时，y y ＝m ,由图形易知由图形易知m<0, 又函数是减函数，所以0<n<1,0<n<1,故选Ｄ．故选Ｄ．故选Ｄ．7.A8.C二、填空题：二、填空题：9.810 1010．答案：．答案：12． 0sin168sin 72sin102sin198+=0sin12cos18cos12sin18sin30+=1.2=11. 答案：),2()2,(21---∞Y .2221+(-2)12121cos , 2.2515(1)5(1)λλλθθλλλλλ⋅--==⇒<≠-⋅+++由是锐角得是锐角得0<0<<1且12.na13. （2）、（3）14.22(2)1(32)x y y ++=-≤≤- 1515．．（本题满分12分）分） 已知02cos 22sin=-xx ，（Ⅰ）求x tan 的值；的值； （Ⅱ）求xx xsin )4cos(22cos ⋅+π的值．的值．解：（Ⅰ）由02cos 22sin =-xx , 22tan =⇒x，………………………2分 342122tan12tan2tan 22-=-⨯=-=∴x xx ． …………………5分（Ⅱ）（Ⅱ） 原式＝原式＝ x x x xx sin )sin 22cos 22(2sin cos 22--xx x x x x x sin )sin (cos )sin )(cos sin (cos -+-= xx x sin sin cos +=…………………10分1cot +=x 1)43(+-= 41=．…………………12分 16．（本题满分13分）分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．的分布列和数学期望． 解：（Ⅰ）x Θ、y 可能的取值为1、2、3， 12≤-∴x ，2≤-x y ，3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ． ……………3分 因此，随机变量ξ的最大值为3．Θ有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，种，92)3(==∴ξP ． 答：随机变量ξ的最大值为4，事件“ξ取得最大值”的概率为91． ………5分（Ⅱ）ξ的所有取值为3,2,1,0．0=ξΘ时，只有2,2==y x 这一种情况，这一种情况，1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况，四种情况，2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况．两种情况．91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，92)2(==ξP ．…………11分 则随机变量ξ的分布列为：的分布列为：ξ0 1 2 3P91 94 92 92 因此，数学期望914923922941910=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． ……………………13分17．（本题满分13分）分）如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45o．（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）（Ⅱ） 求二面角C BD A --的大小；的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．的距离．解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC —111C B A 的侧棱长为x ．取BC 中点E ，连AE ．ABC ∆Θ是正三角形，AE BC ∴⊥．又底面ABC ⊥侧面11BB C C ，且交线为BC ．AE ∴⊥侧面11BB C C ．连ED ，则直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45ADE ∠=o． …………………………22分在AED Rt ∆中，23tan 4514AE EDx ==+o ，解得22x =．……………………33分 ∴此正三棱柱的侧棱长为22． …………………………………………44分 注：也可用向量法求侧棱长．注：也可用向量法求侧棱长．（Ⅱ）解法1：过E 作EF BD ⊥于F ，连AF ，⊥AE Θ侧面,11C C BB ∴AF BD ⊥．AFE ∴∠为二面角C BD A --的平面角．的平面角．…………………………………………………………66分 在BEF Rt ∆中，sin EF BE EBF =∠，又，又22231,sin 32(2)CD BE EBF BD =∠===+， ∴33EF =． A BCD 1A 1B 1C EFGH I又3,AE =∴在AEF Rt ∆中，tan 3AEAFE EF∠==．……………………………………………………88分 故二面角C BD A --的大小为arctan3． ……………………………………………………99分解法2：（向量法，见后）（向量法，见后）（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，⊥BD 平面AEF ,∴平面AEF ⊥平面ABD ，且交线为AF ，∴过E 作EG AF ⊥于G ，则EG ⊥平面ABD ．……………………1010分 在AEF Rt ∆中，2233303103(3)()3AE EF EG AF⨯⨯===+．……………………1212分Q E 为BC 中点，∴点C 到平面ABD 的距离为230210EG =．……………………1313分解法2：（思路）取AB 中点H ，连CH 和DH ，由,CA CB =DA DB =，易得平面ABD ⊥平面CHD ，且交线为DH ．过点C 作CI DH ⊥于I ，则CI 的长为点C 到平面ABD 的距离．离．解法3：（思路）等体积变换:由C ABDA BCDVV--=可求．可求．解法4：（向量法，见后）（向量法，见后） 题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：（Ⅲ）的向量解法：（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系xyz o -． 则(0,0,3),(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0)A B C D --．设1(,,)n x y z =r为平面ABD 的法向量．的法向量．由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,021AD n AB n ρρ 得3230y z x y z ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩． 取1(6,3,1).n =--u r……………………66分又平面BCD 的一个法向量2(0,0,1).n =u u r……………………77分ABCD 1A 1B 1C x yzo∴10101)3()6(1)1,0,0()1,3,6(,cos 222212121=+-+-⨯⋅--=⋅>=<n n n n n n ρρρρρρ． ……………………88分 结合图形可知，二面角C BD A --的大小为10arccos10． ……………………99分（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，1(6,3,1),n =--u r (0,1,3).CA =-u u u r……………………1010分∴点C 到平面ABD 的距离11nn CA dρρ⋅=2221)3()6()1,3,6()3,1,0(+-+---⋅-=＝10302．13分18． （本小题满分14分）分）一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ．（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标；的坐标； （Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．的坐标．解：（Ⅰ）设1F '的坐标为),(n m ，则211-=+m n且032212=+--⋅n m ．……2分解得52,59=-=n m ， 因此，点因此，点 1F '的坐标为)52,59(-． …………………4分 （Ⅱ）11PF F P ='Θ，根据椭圆定义，，根据椭圆定义， 得||||||22121F F PF F P a '=+'=22)052()159(22=-+--=，……………5分 2=∴a ，112=-=b ．∴所求椭圆方程为1222=+y x ．………………………………7分（Ⅲ）22=ca Θ，∴椭圆的准线方程为2±=x ．…………………………8分 设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭圆的右准线的距离．的右准线的距离． 则10105)32()1(2221++=++-=t t t t d ，22-=t d ． 22221)2(225210105-++⋅=-++=t t t t t t d d ，……………………………10分 令22)2(22)(-++=t t t t f )22(<<-t ，则3422)2()86()2()2(2)22()2()22()(-+-=--⋅++--⋅+='t t t t t t t t t f ， Θ当0)(,342<'-<<-t f t ，0)(,234>'<<-t f t ，34-=t ，0)(='t f ． ∴ )(t f 在34-=t 时取得最小值．时取得最小值．………………………………13分 因此，21d d 最小值＝22)34(5=-⋅f ，此时点Q 的坐标为)31,34(-．…………14分 注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．说明：求得的点Q )31,34(-即为切点P ，21d d 的最小值即为椭圆的离心率．的最小值即为椭圆的离心率．19．（本题满分14分）分）已知数列}{na 满足：,21,121==a a 且0]1)1[(22])1(3[2=--+--++n nn n a a，*N n ∈．（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式；的通项公式； （Ⅱ）设nn na ab 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；解：（Ⅰ）经计算33=a，414=a ，55=a ，816=a ． 当n 为奇数时，22+=+nn a a ，即数列}{na 的奇数项成等差数列，的奇数项成等差数列，122)1(112-=⋅-+=∴-n n a an ；当n 为偶数，nn a a 212=+，即数列}{n a 的偶数项成等比数列，的偶数项成等比数列， n n n a a )21()21(122=⋅=∴-．因此，数列}{n a 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧=)()21()( 2为偶数为奇数n n n a n n ．（Ⅱ）Θnn n b )21()12(⋅-=，n n n n n S )21()12()21()32()21(5)21(3211132⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=∴-Λ……（……（11） 1432)21()12()21()32()21(5)21(3)21(1 21+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S Λ…（…（22） （1）、（2）两式相减，）两式相减，得132)21()12(])21()21()21[(2211 21+⋅--++++⋅=n n nn S Λ 11)21()12(211])21(1[2121+-⋅----⋅+=n n n 1)21()32(23+⋅+-=n n ． n n n S )21()32(3⋅+-=∴．20．（本题满分14分）分） 已知函数)0()(>+=t xtx x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 ,0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64, 2[n n +内总存在1+m 个实数个实数 m a a a ,,,21Λ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g Λ成立，求m 的最大值．值．解：（Ⅰ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，Θ 21)(x t x f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x t x t xy--=+-， 又Θ切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x t x t x--=+-， 即02121=-+t tx x，………………………………………………（………………………………………………（11） ………… 2分 同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x．…………（．…………（22） 由（由（11）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，的两根，⎩⎨⎧-=⋅-=+∴.,22121t x x t x x ………………（………………（ * * ） ……………………………………………… 4分 22211221)()(x tx x t x x x MN --++-=])1(1[)(221221x x tx x -+-=])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=，把（把（ * * ）式代入）式代入）式代入,,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ． ……………………5分（Ⅱ）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴01111--+x x t x ＝1222--+x x t x ，即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ， 21x x ≠Θ，1212)(x x x x t =+∴． ………………（………………（33） ………………………… 7 7分 把（把（**）式代入（）式代入（33），解得21=t ． ∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且三点共线，且21=t ． ……………………9分 （Ⅲ）解法1：易知)(t g 在区间]64,2[n n +上为增函数，上为增函数，∴)64()()2(nn g a g g i +≤≤)1,,2,1(+=m i Λ，则)64()()()()2(21nn g m a g a g a g g m m +⋅≤+++≤⋅Λ． 依题意，不等式)64()2(n n g g m +<⋅对一切的正整数n 恒成立，恒成立， …………11分 )64(20)n6420(n 22022022nn m +++<⋅+⋅，即)]64()n64[(n 612n n m +++<对一切的正整数n 恒成立，．1664≥+n n Θ， 3136]1616[61)]64()n64[(n 6122=+≥+++∴n n ， 3136<∴m ．由于m 为正整数，6≤∴m ． ……………………………13分 又当6=m 时，存在221====ma a a Λ，161=+m a，对所有的n 满足条件．满足条件．因此，m 的最大值为6． ……………………………14分解法2：依题意，当区间]64,2[nn +的长度最小时，得到的m 最大值，即是所求值．最大值，即是所求值．1664≥+nn Θ，∴长度最小的区间为]16,2[， …………………11分当]16,2[∈ia)1,,2,1(+=m i Λ时，与解法1相同分析，得)16()2(g g m <⋅，解得3136<m ． ……………………………13分 后面解题步骤与解法1相同（略）．。

2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合，集合，则A. B. C. D.2.下列函数中为奇函数的是A. B. C. D.3.已知复数，则z的共轨复数A. B. C. D.4.已知是圆周率，e为自然对数的底数，则下列结论正确的是A. B.C. D.5.将直线l：绕点按逆时针方向旋转得到直线，则直线的方程为A. B.C. D.6.已知数列为等比数列，若，，则A. B. 8 C. D. 167.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.B.C.D.8.已知过原点O的直线l与曲线C：相切，则l的斜率为A. B. C. D. e9.珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的数术记遗年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”未记数或表示零时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁其它各珠不动，则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为A. B. C. D.10.已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PF的中点，连接OM，则的最小面积为A. 1B.C. 2D. 411.已知定义在R上的函数在上有且仅有3个零点，其图象关于点和直线对称，给出下列结论：；函数在上有且仅有3个极值点；函数在上单调递增；函数的最小正周期是2．其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.12.将边长为5的菱形ABCD沿对角线AC折起，顶点B移动至B处，在以点，A，C，为顶点的四面体中，棱AC、的中点分别为E、F，若，且四面体的外接球球心落在四面体内部，则线段EF长度的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.记为等差数列的前n项和，若，则数列的公差为______．14.某地为了解居民的每日总用电量万度与气温之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表：气温19139每日总用电量万度24343864经分析，可用线性回归方程拟合y与X的关系．据此预测气温为时，该地当日总用电量万度为______．15.已知等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别在边AB，BC上，且，，则的值为______．16.已知点、分别为双曲线C：的左、右焦点，点为C的渐近线与圆的一个交点，O为坐标原点，若直线与C的右支交于点N，且，则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.函数．求函数的最小正周期；已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，求的面积．18.已知三棱柱的所有棱长都相等，平面平面ABC，C.求证：平面；求二面角的余弦值．19.已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为，左顶点为A，过点A的直线l与C交于另一个点M，且与直线交于点N．求椭圆C的方程；是否存在实数t，使得为定值？若存在，求实数t的值；若不存在，请说明理由．20.某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节．已知共有8000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图．规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率；由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值同一组数据用该组区间的中点值代替，且利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于91分的人数；预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：每人的复赛初始分均为100分；参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉即减去一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为；每答对一题加分，答错既不加分也不减分；答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩．已知学生甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？参考数据：；若，则，，．21.已知函数．当时，求的导函数在上的零点个数；若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．22.如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧和线段AB，CD四部分组成，在极坐标系Ox中，，，，，弧所在圆的圆心分别是，，曲线是弧，曲线是弧．分别写出，的极坐标方程：点E，F位于曲线上，且，求面积的取值范围．23.已知．若，求实数t的取值范围；求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，集合，故选：C．求出集合A，集合B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，，其定义域为R，有，且，即函数既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；对于B，，其定义域为R，有，为偶函数，不符合题意；对于C，，其定义域为R，有，为偶函数，不符合题意；对于D，，有，解可得，即其定义域为，有，为奇函数，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，关键是函数奇偶性的定义，属于基础题．3.答案：C解析：解：，复数，的共轨复数．故选：C．直接利用复数运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查了复数的高次乘方运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．4.答案：A解析：解：函数对数和在上单调递增，且，，又，，故选：A．利用对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．5.答案：D解析：解：直线l：绕点按逆时针方向旋转得到直线，设直线的斜率为k，则根据到角公式的应用，，解得，所以直线的方程为，整理得．故选：D．直接利用到角公式的应用和点斜式的应用求出结果．本题考查的知识要点：到角公式的应用，直线方程的确定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.答案：A解析：解：数列为等比数列，若，所以：，由于，所以，整理得．故选：A．直接利用关系式的变换和等比性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：等比数列的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：D解析：解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为上面为一个半径为2的半球，下面为底面半径为2，高为3的半圆柱体．如图所示：故．故选：D．首先把三视图转换为直观图，进一步求出直观图的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：B解析：解：由题意设切点为，，．，由切线过原点得，所以，所以．故选：B．设切点为，然后利用导数求出切线方程，将代入即可求出切点坐标，问题可解．本题考查导数的几何意义与切线的求法，属于基础题．9.答案：C解析：解：选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，规定每档拨动一珠靠梁其它各珠不动，则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，基本事件总数，这个数能被3整除包含的基本事件有：5511，5115，5151，1155，1515，1551，共6个，这个数能被3整除的概率为．故选：C．基本事件总数，利用列举法求出这个数能被3整除包含的基本事件有6个，由此能求出这个数能被3整除的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：B解析：解：设，，设P在x轴上方，由题意可得直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为，联立直线与抛物线的方程，整理可得，，，因为M为PF的中点，所以，所以，所以，故选：B．由题意可得直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程，与抛物线联立球心两根之和及两根之积，可得PF的中点M的纵坐标，由，整理可得由，而为定值可得的面积的最小值本题考查直线与抛物线的综合及均值不等式的应用，属于中档题．11.答案：A解析：解：曲线关于点对称，所以：；又因为其图象关于直线对称，所以：，；由可得：即，；因为数在上有且仅有3个零点，所以，即，；由可得；，，又，；；所以易知；错误；令，则，；令，则可取，1，2；，，；正确；令；；当时，为的一个递增区间，而，在上单调递增，正确；；；错误．综上所述，其中正确的结论为；故选：A．先根据条件求得函数的解析式，再结合三角函数的性质判断选项即可．本题主要考查命题的真假判断以及三角函数的图象和性质，属于中档题目，也是易错题目．12.答案：B解析：解：如图，由已知可得，，且，平面，是AC的中点，到点A、C的距离相等的点位于平面ACF内，同理可知，到点、D的距离相等的点位于平面ACF内，球心O到点A，，C，D的距离相等，球心O位于平面与平面ACF的交线上，即直线EF上．球心O落在线段EF上不含端点E、，显然，由题意，，则，且．，，则，显然，，即．又，．故选：B．由题意画出图形，可证平面，得到球心O位于平面与平面ACF的交线上，即直线EF上，由勾股定理结合，，可得线段EF长度的取值范围．本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，属中档题．13.答案：解析：解：设等差数列的公差为d．，，则数列的公差．故答案为：．利用等差数列的通项公式及求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：32解析：解：由题意可知：，，所以，解得．线性回归方程，预测气温为时，可得．故答案为：32．求出样本中心，代入回归直线方程，求出a，然后求解该地当日总用电量．本题考查回归直线方程的求法，是基本知识的考查，基础题．15.答案：3解析：解：以B为原点，BC和垂直BC的线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，．故答案为：3．以B为原点，BC和垂直BC的线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，再分别写出C、D、E三点坐标，结合平面向量数量积的坐标运算即可得解．本题考查平面向量在几何中的应用，在规则平面多边形中建立坐标系求解可事半功倍，考查学生的运算能力，属于基础题．16.答案：解析：解：如图，由题意可得，直线与圆O相切于点M，且，由双曲线的定义可知，，，且，，即，，又，联立解得，即．故答案为：．由题意画出图形，可得直线与圆O相切于点M，且，再由双曲线的定义及隐含条件列式求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．17.答案：解：，函数的最小正周期；，，，，即，由正弦定理以及可得，由余弦定理可得，可得，，．解析：根据三角函数恒等变换的应用和正弦函数的性质即可求出；先求出A的值，再根据正弦定理余弦定理即可求出b的值，根据三角形的面积公式可得．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：证明：设直线与直线交于点G，连结，四边形是菱形，，，G为的中点，，，平面．解：取BC中点O为坐标原点，如图，分别以OA，OC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设棱柱的棱长为2，则1，，0，，0，，，0，，1，，2，，设平面的一个法向量y，，则，取，得，设平面的一个法向量为b，，则，取，得0，，设二面角的平面角为，则．二面角的余弦值为．解析：设直线与直线交于点G，连结，推导出，，由此能证明平面．取BC中点O为坐标原点，分别以OA，OC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．19.答案：解：由题意可得，即，，，解得，，则椭圆C的方程为；假设存在实数，使得为定值．由题意可得直线l的斜率存在，由，可设直线l的方程为，，联立，可得，由韦达定理可得，即，，即，将代入，可得，则，若为定值，则，解得，此时为定值，所以存在实数，使得为定值．解析：由题意可得，运用椭圆的离心率的公式和a，b，c的关系，解方程可得a，c，进而得到椭圆方程；假设存在实数，使得为定值．可设直线l的方程为，，联立椭圆的方程，运用韦达定理，求得M的坐标，将代入，求得N的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，结合定值，可得所求值．本题以直线和椭圆为载体，其几何关系向量表达为背景，利用方程思想解决几何问题，主要考查椭圆的基本量，直线和椭圆的位置关系，向量的数量积的运算，考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养及思维能力，属于中档题．20.答案：解：由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有：人，其中成绩优良的人数为人，记“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，恰有1人预赛成绩优良”为事件C，则恰有1人预赛成绩优良的概率：．由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：，则，又由，，，估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于91分的人数为：，即全市参赛学生中预赛成绩不低于91分的人数为182．以随机变量表示甲答对的题数，则，且，记甲答完n题所加的分数为随机变量X，则，，依题意为了获取答n题的资格，甲需要“花”掉的分数为：，设甲答完n题的分数为，则，由于，当时，取最大值105，即复赛成绩的最大值为105．若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量n应该是10．解析：求出样本中成绩不低于60分的学生共有40人，其中成绩优良的人数为15人，由此能求出恰有1人预赛成绩优良的概率．样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：，则，由，得，从而，由此能求出估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于91分的人数．以随机变量表示甲答对的题数，则，且，记甲答完n题所加的分数为随机变量X，则，，为了获取答n题的资格，甲需要“花”掉的分数为：，设甲答完n题的分数为，则，由此能求出学生甲期望获得最佳复赛成绩的答题量n的值．本题考查概率、频数、数学期望的求法及应用，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：易知，显然，所以是的一个零点，令，则时，，所以在单调递减，在单调递增，则的最小值为，又，且，所以在上存在唯一零点，则在上亦存在唯一零点，因为是奇函数，所以在上也存在唯一零点，综上所述，当时，的导函数在上的零点个数为3；不等式恒成立，即不等式恒成立，令，则等价于不等式恒成立，若，即时，不等式显然成立，此时，若时，不等式等价于设，当时，，令则，已知，，且，则在，上单调递减，在上单调地增，又，，所以在上恒成立，所以在上单调递减，则，显然函数为偶函数，故函数在上的最大值为1，因此，综上所述，满足题意的实数a的取值范围为．解析：易知，显然，对导函数求导得到，在单调递减，在单调地增，则可得在上存在唯一零点，所以在上亦存在唯一零点，因为是奇函数，所以在上也存在唯一零点，故共3个零点；条件等价于不等式恒成立，令，则等价于不等式恒成立，则若，即时，不等式显然成立，此时，若时，不等式等价于，构造函数，利用导数求得单调性进而可判断a的范围．本题考查函数导数的综合应用，考查利用导数判断函数零点个数，导数求函数单调性，属于难题．22.答案：解：由题意可知：的极坐标方程为．记圆弧AD所在圆的圆心易得极点O在圆弧AD上．设为上任意一点，则在中，可得所以：，的极坐标方程为和设点，点，，所以，．所以．由于，所以．故．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用三角形的面积公式和极径的应用及三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．曲线是弧，本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.答案：解：，取等号的条件为，解得，即实数t的取值范围为；证明：易知，，，，．解析：利用绝对值不等式的性质可得，解出即可；利用绝对值不等式及基本不等式即可得证．本题以绝对值不等式，均值不等式和二次不等式为载体，考查不等式的求解及证明，分类讨论思想，及数学抽象，逻辑推理等数学核心素养，难度不大．。

2020届广东省深圳高中高考数学模拟试卷(6月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 集合A ={x|x 2−4x +3<0}，集合B ={y|y =2x2+1}，则A ∩B =( )A. (1,3)B. ⌀C. (2,3)D. [2,3)2. 设复数z 的共轭复数为z ，且满足z −z =1+i1−i ，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是( )A. 12B. 2C. −12D. −23. 等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3=7，S 6=63，则a 6=( )A. 32B. 16C. 4D. 644. 已知tanθ=2，则2sin(θ+π)+3cos(π−θ)sin(π2+θ)−cos(3π2−θ)=( )A. 7B. −13C. −73D. 15. 如图，随机地在圆内取一点，则该点落到圆内接正三角形内(阴影区域不包括边界)的概率为( )A. π3B. 3√34πC. √34D. 以上全错6. 设i 为虚数单位，则(x −i)6的展开式中含x 4的项为( )A. −15x 4B. 15x 4C. −20ix 4D. 20ix 47. 某养老院在统计不同年龄面的老人对养老院服务的满意情况时，得到具体数据如表所示：年龄 满意程度 60～8080～100满意 12 12 不满意818则下列说法正确的是( )A. 在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为老人的年龄与对服务的满意程度有关B. 在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为老人的年龄与对服务的满意程度无关C. 在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为老人的年龄与对服务的满意程度有关D. 在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为老人的年龄与对服务的满意程度无关8. 设抛物线的顶点在原点，其焦点在x 轴上，又抛物线上的点A(−1,a)与焦点F 的距离为2，则a =( )A. 4B. 4或−4C. −2D. −2或29. 已知△ABC 中，AB =2，BC =3，∠ABC =60°，BD =2DC ，AE =EC ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 1B. −2C. 12 D. −1210. 若方程x 2a −y 2b=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则下列关系成立的是 ( )A. √−b >√aB. √−b <√aC. √b >√−aD. √b <√−a11. 设x 、y 、z 为正数，且2x =3y =5z ，则( )A. 2x <3y <5zB. 5z <2x <3yC. 3y <5z <2xD. 3y <2x <5z12. 在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cosC =19，且acosB +bcosA =2，则△ABC 面积的最大值为( )A. √5B. 8√59 C. 4√39 D. √52二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知数列{a n }满足a n +a n−1=(−1)n(n+1)2⋅(n +1)(n ≥2)，S n 是其前n 项和，若S 2017=−1007−b ，(其中a 1b >0)，则2a 1+3b 的最小值是______．14. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2−c 2=2b 且tanA =3tanC ，则b = ______ ． 15. 一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，圆锥圆锥底面面积是这个球面面积的316，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r.则两个圆锥的体积之和与球的体积之比为______ ．16.已知函数f(x)的周期为4，且x∈(−1,3]时，f(x)={√1−x2,x∈(−1,1]1−|x−2|,x∈(1,3]，若方程mf(x)=x恰有5个实数解(其中m>0)，则m的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB与E.求证(Ⅰ)AB⋅AC=BC⋅AD(Ⅱ)AD3=BC⋅CF⋅BE．18.如图1中矩形ABCD中，已知AB=2，AD=2√2，MN分别为AD和BC的中点，对角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使平面ABNM与平面MNCD所成角为60°，如图2(1)求证：BO⊥DO；(2)求AO与平面BOD所成角的正弦值．19. 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a +y 2b =1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B两点，|AF 1|=3|BF 1|，且|AB|=4，△ABF 2的周长为16 (1)求|AF 2|；(2)若直线AB 的斜率为1，求椭圆E 的方程．20. 某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图；(2)求y 关于x 的线性回归方程． 可能用到公式：{b =i i −x)(y i −y)∑(n x −x)2=∑x i n i=1y i −nxy∑x i 2n i=1−nx2a =y −bx．21. 水以20米 3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．22. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是{x =−1+4ty =3t (t 为参数)，求直线l 与曲线C 相交所截的弦长．23. 如图，有一段长为18米的屏风ABCD(其中AB =BC =CD =6米)，靠墙l 围成一个四边形，设∠DAB =α．(1)当α=60°，且BC ⊥CD 时，求AD 的长；(2)当BC//l ，且AD >BC 时，求所围成的等腰梯形ABCD 面积的最大值．【答案与解析】1.答案：D解析：解：由集合A ={x|x 2−4x +3<0}，集合B ={y|y =2x 2+1}，可得A ={x|1<x <3}，B ={y|y ≥2}， ∴A ∩B =[2,3)． 故选：D ．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了一元二次不等式的解法，指数函数的值域，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．设z =a +bi(a,b ∈R)，z =a −bi ，则z −z =2bi ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简1+i1−i ，再由复数相等的充要条件即可得到b 的值，则答案可求． 解：设z =a +bi(a,b ∈R)，z =a −bi ，则z −z =2bi ．1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=2i 2=i ，即2bi =i ，b =12．则复数z 的虚部是：12． 故选：A ．3.答案：A解析：解：设等比数列{a n }的公比为q ，由题设条件知q ≠1，∵S 3=7=a 1(1−q 3)1−q，S 6=63=a 1(1−q 6)1−q，可解得：a 1=1，q =2 ∴a 6=a 1q 5=32． 故选：A ．先由S 3=7，S 6=63求出首项与公比，再求a 6． 本题主要考查等比数列基本量的运算，属于基础题．解析：解：∵tanθ=2， ∴2sin(θ+π)+3cos(π−θ)sin(π2+θ)−cos(3π2−θ)=−2sinθ−3cosθcosθ+sinθ=−2tanθ−31+tanθ=(−2)×2−31+2=−73．故选：C ．由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简化简求值得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5.答案：B解析：解：设落在阴影部分内接正三角形上的概率是P ，圆的半径为R ， ∵S 圆=πR 2，正三角形的面积S A =3×12×R 2×sin120°=3√34R 2∴P =S A S 圆=3√34．故选B ．先明确是几何概型中的面积类型，分别求三角形与圆的面积，然后求比值即可．本题主要考查几何概型中的面积类型，基本方法是：分别求得构成事件A 的区域面积和试验的全部结果所构成的区域面积，两者求比值，即为概率．6.答案：A解析：解：(x −i)6的展开式的通项为T r+1=C 6r⋅x 6−r ⋅(−i)r ，令6−r =4，求得r =2， 故展开式中含x 4的项为C 62⋅(−i)2⋅x 4=−15x 4，故选：A ．在二项式展开式的通项中，令x 的幂指数等于4，求得r 的值，可得展开式中含x 4的项． 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项，属于基础题．7.答案：A解析：解：依题意，K 2的观测值k =50×(12×18−12×8)220×30×26×24≈1.923>1.323，故在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为老人的年龄与对服务的满意程度有关，计算K 的观测值K 2，对照参照值，得出统计结论．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．8.答案：D解析：解：∵抛物线以x 轴为对称轴，原点为顶点，∴设抛物线方程为y 2=−2px ，(p >0)，其准线方程为x =p2， ∵抛物线上的一点A(−1,a)到焦点的距离为2， ∴点A(−1,a)到准线的距离为2， ∴p2+1=2，解得p =2， ∴抛物线方程为y 2=−4x ． x =−1时，a =2或−2． 故选D ．由已知条件，设抛物线方程为y 2=−2px ，(p >0)，且抛物线上的一点A(−1,a)与焦点F 的距离为2，由此能求出抛物线的标准方程，即可求出a 的值．本题考查抛物线的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线定义的灵活运用．9.答案：C解析：解：∵△ABC 中，AB =2，BC =3，∠ABC =60°，BD =2DC ，AE =EC ，得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−12|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13×9−12×4−16×3×2×cos60°=12． 故选：C ．根据所给数量关系可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入进行化简即可． 本题考查平面向量基本定理，属于中档题．10.答案：A解析：解：方程x 2a−y 2b=1化为方程x 2a+y 2−b=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则a >0，−b >0，且−b >a ，∴√−b >√a >0， 故选A ． 把方程x 2a−y 2b=1化为方程x 2a+y 2−b=1，根据焦点在y 轴上的条件可判断答案．本题考查了椭圆的标准方程．11.答案：D解析：本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1，lgk >0，可得x =lgk lg2，y =lgk lg3，z =lgk lg5，可得3y =lg √33，2x =lg 2，5z =lg √55，比较分母大小即可得出大小关系．另解：x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1，lgk >0.可得x =lgk lg2，y =lgk lg3，z =lgklg5，作商比较可得三个数之间的大小关系． 解：x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1，则lgk >0， 则x =lgk lg2，y =lgk lg3，z =lgklg5． ∴3y =lg √33，2x =lg √2，5z =lg √55． ∵√33=√96>√86=√2，√2=√3210>√2510=√55．∴lg √33>lg √2>lg √55>0． ∴3y <2x <5z ． 故选：D ．另解：x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1，lgk >0， 则x =lgklg2，y =lgklg3，z =lgklg5．∴2x3y =23×lg3lg2=lg9lg8>1，可得2x >3y ，5z 2x =52×lg2lg5=lg25lg52>1，可得5z>2x．综上可得：5z>2x>3y．故选：D．12.答案：D解析：本题考查三角函数关系式的恒等变换，余弦定理和三角形面积的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于一般题．首先利用同角三角函数的关系式求出sin C的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式及基本不等式的应用求出结果．解析：解：△ABC中角A，B，C的对边分别为a、b、c，cosC=19，则．利用同角三角函数的关系式sin2C+cos2C=1，解得sinC=4√59．由于acosB+bcosA=2，利用余弦定理a⋅a2+c2−b22ac +b⋅b2+c2−a22bc=2，解得c=2．所以c2=a2+b2−2abcosC，整理得4=a2+b2−29ab，由于a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，取等号，故4≥169ab，所以ab≤94．则S△ABC=12absinC≤12×94×4√59=√52，所以△ABC面积的最大值为√52．故选D．13.答案：5+2√6解析：解：根据题意，由已知得：a3+a2=3，a5+a4=−5，…a2017+a2016=−2017，把以上各式相加得：S2017−a1=−1008，即：a1−1008=−1007−b，∴a1+b=1，则则2a1+3b=(2a1+3b)(a1+b)=5+2ba1+3a1b≥5+2√2ba1×3a1b=5+2√6，即2a1+3b的最小值是5+2√6，故答案为：5+2√6．由已知递推式得到：a3+a2=3，a5+a4=−5，…a2017+a2016=−2017，累加可求S2017−a1，结合S2017=−1007−b，求得a1+b=1，将其代入2a1+3b中，由基本不等式的性质分析可得答案．本题考查了数列递推式和累加法求数列的和，涉及基本不等式的性质以及应用，属于综合题．14.答案：4解析：解：∵tanA=3tanC，∴sinAcosA =3sinCcosC，即sinA3sinC=cosAcosC，∴a3c =b2+c2−a22bca2+b2−c22ab，整理得：b2=2(a2−c2)，∵a2−c2=2b，∴b2=4b，解得：b=4或b=0(舍去)，则b=4．故答案为：4．已知第二个等式利用同角三角函数间的基本关系化简，再利用正弦、余弦定理化简，整理得到关系式，把第一个等式代入求出b的值即可．此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．15.答案：38 解析：解：球的半径为：R ； 则球的表面积为：4πR 2，圆锥的底面积为：316×4πR 2=34πR 2，两个圆锥的体积和为：13×(34πR 2)×(BO 1+O 1A)=13×(34πR 2)×2R =12πR 3，球的体积为：43πR 3，故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为：12πR 343πR 3=38． 故答案为：38．利用球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出两个圆锥体积的和及球的体积，可得答案．本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中熟练掌握球和圆锥的体积公式，是解答的关键． 16.答案：(√15,6)解析：解：方程mf(x)=x 恰有5个实数解，就是方程f(x)=1m x 恰有5个实数解，在同一个坐标系中画出y =f(x)与y =1m x 的图象如图：当直线y =1m x 过点(6,1)和直线y =1m x 与半圆(x −4)2+y 2=1相切，可得m ∈(√15,6)．故答案为：(√15,6)．画出函数的图象，利用已知条件转化求解直线与半圆的位置关系，推出结果即可．本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是基本知识的考查，中档题． 17.答案：证明：(Ⅰ)在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，∴S △ABC =12AB ⋅AC =12BC ⋅AD∴AB ⋅AC =BC ⋅AD(Ⅱ)在Rt △ADB 中，DE ⊥AB 与E ，由射影定理得：BD 2=BE ⋅AB ，同理在Rt △ADC 中，CD 2=CF ⋅AC ，又∵在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，∴AD 2=BD ⋅CD ，∴AD 4=BD 2⋅CD 2=BE ⋅AB ⋅CF ⋅AC ，又由(I)中AB ⋅AC =BC ⋅AD∴AD 4=BE ⋅BC ⋅CF ⋅AD∴AD 3=BC ⋅CF ⋅BE ．解析：(I)在Rt △ABC 中，根据S △ABC =12AB ⋅AC =12BC ⋅AD ，可得结论；(Ⅱ)根据射影定理可得BD 2=BE ⋅AB ，CD 2=CF ⋅AC ，AD 2=BD ⋅CD ，故AD 4=BD 2⋅CD 2=BE ⋅AB ⋅CF ⋅AC ，结合(I)中结论，可得结论．本题考查的知识点是三角形等积法，射影定理，难度不大，属于基础题．18.答案：方法一：(1)证明：由题设，M ，N 是矩形的边AD 和BC 的中点，所以AM ⊥MN ，BC ⊥MN ， ∵折叠垂直关系不变，∴∠AMD 是平面ABNM 与平面MNCD 的平面角，依题意，所以∠AMD =60°，…(2分)由AM =DM ，可知△MAD 是正三角形，所以AD =√2，在矩形ABCD 中，AB =2，AD =2√2，所以，BD =√6，由题可知BO =OD =√3，由勾股定理可知△BOD 是直角三角形，所以BO ⊥DO …(5分)(2)解：如图1(2)设E ，F 是BD ，CD 的中点，则EF ⊥CD ，OF ⊥CD ，所以CD ⊥面OEF ，OE ⊥CD 又BO =OD ，所以OE ⊥BD ，OE ⊥面ABCD ，OE ⊂面BOD ，平面BOD ⊥平面ABCD过A 作AH ⊥BD ，由面面垂直的性质定理，可得AH ⊥平面BOD ，连接OH ，…(8分)所以OH 是AO 在平面BOD 的投影，所以∠AOH 为所求的角，即AO 与平面BOD 所成角．…(11分)AH 是RT △ABD 斜边上的高，所以AH =2√33，BO =OD =√3， 所以sin∠AOH =23(14分)方法二：空间向量：取MD ，NC 中点P ，Q ，如图2建系，则Q(0,0，0)，B(√62,0，0)，D(0,√22,2)，O(0,−√22,1)，所以BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√62,−√22,1)，DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√2,−1) 所以BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即BO ⊥DO(5分)(2)设平面BOD 的法向量是n⃗ =(x,y,z)， 可得−√62x −√22y +z =0−√2y −z =0，令y =√2可得x =−√6,z =−2所以A n ⃗ =(−√6,√2,−2)又AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√62,−√22,−1)， 设AO 与平面BOD 所成角为θ则sinθ=|cos <AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23(14分)解析：方法一：(1)先判断∠AMD 是平面ABNM 与平面MNCD 的平面角，进一步证明△BOD 是直角三角形，即可知BO ⊥DO ；(2)设E ，F 是BD ，CD 的中点，则EF ⊥CD ，OF ⊥CD ，所以CD ⊥面OEF ，OE ⊥CD ，过A 作AH ⊥BD ，由面面垂直的性质定理，可得AH ⊥平面BOD ，连接OH ，则可证∠AOH 为AO 与平面BOD 所成角；方法二：(1)建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，证明BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可； (2)求出平面BOD 的法向量是n ⃗ =(x,y,z)，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√62,−√22,−1)，再利用向量夹角公式即可求得结论．本题以平面图形的翻折为载体，考查线线垂直，考查线面角，既用传统方法，又用向量方法，两法并举，细细体会．19.答案：解：(1)由|AF 1|=3|F 1B|，|AB|=4，得：|AF 1|=3，|F 1B|=1，因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a =16，|AF 1|+|AF 2|=2a =8，故|AF 2|=2a −|AF 1|=8−3=5，(2)由(1)可设椭圆方程为x 216+y 2b 2=1，F 1(−c,0)，其中c =√16−b 2， 设直线AB 的方程为y =x +c ，即x =y −c ，代入椭圆方程得：b2(y−c)2+16y2=16b2，整理得：(b2+16)y2−2b2cy−b4=0，△=4b4c2+4b4(b2+16)=128b4，y1=2b2c+8√2b22(b2+16)，y2=2b2c−8√2b22(b2+16)，由|AF1|=3|BF1|知y1=−3y2，得2b2c+8b2√2=−3(2b2c−8b2√2)，又由于c=√16−b2解得c=2√2，b2=8所以椭圆的方程为x216+y28=1．解析：(1)利用|AF1|=3|BF1|，且|AB|=4，求出：|AF1|=3，|F1B|=1，根据△ABF2的周长为16，结合椭圆的定义，即可求|AF2|；(2)若直线AB的斜率为1，设直线AB的方程为y=x+c，代入椭圆方程，利用|AF1|=3|BF1|知y1=−3y2，即可求椭圆E的方程．本题考查椭圆的方程与定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.答案：解：(1)散点图如图：(2)x=2+4+5+6+85=5，y=30+40+60+50+705=50，b=2×30+4×40+5×60+6×50+8×70−5×5×5022+42+52+62+82−5×52=6.5，a=50−6.5×5=17.5．回归直线方程为y=6.5x+17.5．解析：(1)根据表中所给的五组数据，得到五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图．(2)先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程．本题考查了线性回归方程的求法及应用，解题的关键是利用最小二乘法求回归直线方程的系数．21.答案：解：设容器中水的体积在t分钟时为V，水深为h则V=20t又V =13πr 2ℎ 由图知r ℎ=630 ∴r =15ℎ ∴V =13π⋅(15)2⋅ℎ3=π75ℎ3∴20t =π75ℎ3， ∴ℎ=31500πt于是ℎ′=31500π⋅ 13⋅t −23． 当ℎ=10时，t =23π，此时ℎ′=5π．∴当ℎ=10米时，水面上升速度为5π米/分．解析：利用平行线分线段成比例定理得到水面的半径与水高的关系；利用圆锥的体积公式求出水深与时间的函数关系；对水深求导数即为水上升的速度．本题考查圆锥的体积公式、平行线分线段成比例定理、对水深求导即为水上升的速度．22.答案：解：曲线C 的极坐标方程是ρ=1，转化为：x 2+y 2=1．直线l 的参数方程是{x =−1+4t y =3t(t 为参数)，转化为：3x −4y +3=0， 则：点(0,0)到直线的距离为d =35，所以：2l =2√12−(35)2=85． 即弦长为：85解析：首先把方程进行转化，进一步利用点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用． 23.答案：解：(1)连接BD ，作BO ⊥AD ，垂足为O ，则AO =3，BO =3√3，BD =6√2，∴OD =√27+72=3√11，∴AD=AO+OD=3+3√11；(2)由题意，梯形的高为6sinα，AD=6+12cosα，∴所围成的等腰梯形ABCD面积S=6+6+12cosα2×6sinα=36sinα(1+cosα)，S′=36(2cosα−1)(cosα+1)，∴0<α<π3，S′>0，π3，<α<π，S′<0，∴α=π3，S取得最大值27√3．解析：(1)连接BD，作BO⊥AD，垂足为O，利用三角函数，结合勾股定理，求AD的长；(2)由题意，梯形的高为6sinα，AD=6+12cosα，所围成的等腰梯形ABCD面积S=6+6+12cosα2×6sinα=36sinα(1+cosα)，利用导数确定单调性，即可求出所围成的等腰梯形ABCD面积的最大值．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。