优化探究高考数学一轮复习 75 直线、平面垂直的判定及其性质课时作业 文

课时作业(四十一)第41讲直线、平面垂直的判定与性质时间/ 45分钟分值/ 100分基础热身1.[2017·临沂三模]已知直线a,b,平面α,β,若a⊥α,b⊥β,则“a⊥b”是“α⊥β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.[2017·广东五校一联]设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A. 若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥nB. m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥βC. 若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥βD. 若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n3.已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A. m∥lB. m∥nC. n⊥lD. m⊥n图K41-14.如图K41-1所示,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为.5.设直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,给出下列四个命题:①若m∥α,则l∥m;②若α∥β,则l⊥m;③若l⊥m,则α∥β;④若α⊥β,则l∥m.其中真命题的序号是.能力提升6.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A. α⊥β,且m⊂αB. m∥n,且n⊥βC. α⊥β,且m∥αD. m⊥n,且n∥β7.在矩形ABCD中,AB=1,BC=.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中()A. 存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B. 存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C. 存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D. 对任意位置,三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直图K41-28.如图K41-2所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AB的中点,则点C到平面A1DM 的距离为()A. aB. aC. aD. a9.[2017·大连一模]下列命题中错误的是()A. 如果平面α外的直线a不平行于平面α,则平面α内不存在与a平行的直线B. 如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么直线l⊥平面γC. 如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面βD. 一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交图K41-310.[2017·成都石室中学二诊]如图K41-3所示,在正四棱锥S-ABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时,给出下列四个结论:①EP⊥AC;②EP∥BD;③EP ∥平面SBD;④EP⊥平面SAC.其中恒成立结论的序号为 ()A. ①③B. ③④C. ①②D. ②③④图K41-411.如图K41-4所示,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的正投影,给出下列结论:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是.图K41-512.如图K41-5所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF= 时,CF⊥平面B1DF.13.(15分)[2017·渭南二检]如图K41-6所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E,F分别是线段AB,BC的中点.(1)证明:PF⊥FD;(2)若PA=1,求点E到平面PFD的距离.图K41-614.(15分)[2017·济南二模]如图K41-7所示,三角形PCD所在的平面与等腰梯形ABCD所在的平面垂直,AB=AD=CD,AB∥CD,CP⊥CD,M为PD的中点.(1)求证:AM∥平面PBC;(2)求证:平面BDP⊥平面PBC.图K41-7难点突破15.(10分)[2017·郑州二模]如图K41-8所示,在高为1的等腰梯形ABCD中,AM=CD=AB=1,M 为AB的一个三等分点.现将△AMD沿MD折起,使平面AMD⊥平面MBCD,连接AB,AC.(1)在AB边上是否存在点P,使AD∥平面MPC?(2)当点P为AB边的中点时,求点B到平面MPC的距离.图K41-8课时作业(四十一)1. C[解析] 由a⊥α,α⊥β,得a∥β或a⊂β,又b⊥β,所以a⊥b;反之若a⊥b,则α⊥β也成立.2. B[解析] 若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m与n相交、平行或异面,故A错误;∵m⊥α,m∥n,∴n⊥α,又∵n∥β,∴α⊥β,故B正确;若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α与β平行或相交,故C错误;若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n或m,n异面,故D错误.3. C[解析] ∵α∩β=l,∴l⊂β,又∵n⊥β,∴n⊥l.4. 4[解析] ∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,则△PAB,△PAC为直角三角形.又BC⊥AC,且AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC.因此△ABC,△PBC也是直角三角形.5.②[解析] 因为l⊥α,m∥α,所以l⊥m,①为假命题;因为l⊥α,α∥β,所以l⊥β,又m⊂β,所以l⊥m,②为真命题;由l⊥m,直线m⊂平面β,不能推出直线l垂直于平面β,所以不能得到α∥β,③为假命题;对于④,直线l与m还可以相交或异面,④为假命题.6. B[解析] α⊥β,且m⊂α⇒m⊂β,或m∥β,或m与β相交,故A不正确;m∥n,且n⊥β⇒m⊥β,故B正确;α⊥β,且m∥α⇒m⊂β,或m∥β,或m与β相交,故C不正确;由m⊥n,且n∥β,知m⊂β或m∥β或m与β相交,故D不正确.7.B[解析] 当AC=1时,因为CD=1,AD=,所以AC2+CD2=AD2,即AC⊥CD,又BC⊥CD,BC∩AC=C,所以CD⊥平面ACB,所以CD⊥AB.故选B.8. A[解析] 设点C到平面A1DM的距离为h,则由已知,得DM=A1M==a,A1D=a,=×a×=a2.连接CM,CA1,则S△CDM=a2,由=,得·h=S△CDM·a,即a2·h=a2·a,所以h=a,即点C到平面A1DM的距离为a,故选A.9.C[解析] 如果平面α外的直线a不平行于平面α,则a与α相交,则α内不存在与a 平行的直线,故A正确;如图所示,α⊥γ,α∩γ=a,β⊥γ,β∩γ=b,α∩β=l,在γ内取一点P,过P作PA⊥a于A,作PB⊥b于B,由面面垂直的性质可得PA⊥l,PB⊥l,则l⊥γ,故B正确;如果平面α⊥平面β,那么平面α内的直线l与平面β有三种位置关系:l∥β,l⊂β,l 与β相交,故C错误;一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交,故D正确.故选C.10. A[解析] 如图所示,记AC与BD的交点为O,连接EM,EN.对于①,在正四棱锥S-ABCD中,AC⊥BD,SO⊥底面ABCD,∴SO⊥AC.∵SO∩BD=O,∴AC⊥平面SBD.∵E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,∴EM∥BD,MN∥SD,而EM∩MN=M,∴平面EMN∥平面SBD,∴AC⊥平面EMN,∴AC⊥EP.故①正确.对于②,由异面直线的定义可知,当点P不与点M重合时,EP与BD是异面直线,EP∥BD不恒成立,因此②不正确.对于③,由①可知,平面EMN∥平面SBD,∴EP∥平面SBD,因此③正确.对于④,由①可得,EM⊥平面SAC,若EP⊥平面SAC,则EP∥EM,与EP∩EM=E矛盾,因此当P与M不重合时,EP与平面SAC不垂直,即④不正确.故选A.11.①②③[解析] 由题意知PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.又AC⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AF.∵AF⊥PC,BC∩PC=C,∴AF⊥平面PBC,∴AF⊥PB,AF⊥BC.又AE⊥PB,AE∩AF=A,∴PB⊥平面AEF,∴PB⊥EF.故①②③正确.12.a或2a [解析] 由题意易知B1D⊥平面ACC1A1,所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥DF即可.令CF⊥DF,设AF=x,则A1F=3a-x.由Rt△CAF∽Rt△FA1D,得=,即=,整理得x2-3ax+2a2=0,解得x=a或x=2a.13.解:(1)证明:连接AF,则AF=,又DF=,AD=2,∴DF2+AF2=AD2,∴DF⊥AF.∵PA⊥平面ABCD,∴DF⊥PA,又PA∩AF=A,∴DF⊥平面PAF,又PF⊂平面PAF,∴DF⊥PF.(2)连接EP,ED,EF.∵S△EFD=S矩形ABCD-S△BEF-S△ADE-S△CDF=2-=,∴V三棱锥P-EFD=S△EFD·PA=××1=.设点E到平面PFD的距离为h,则由V三棱锥E-PFD=V三棱锥P-EFD,得S△PFD·h=×·h=,解得h=,即点E到平面PFD的距离为.14.证明:(1)取PC的中点N,连接MN,BN,如图所示.∵N为PC的中点,M为PD的中点,∴MN∥CD,MN=CD,又AB∥CD,AB=CD,∴MN∥AB,MN=AB,∴四边形ABNM是平行四边形.∴AM∥BN,又∵AM⊄平面PBC,BN⊂平面PBC,∴AM∥平面PBC.(2)在等腰梯形ABCD中,取CD的中点T,连接AT,BT.∵AB=CD,AB∥CD,∴AB∥DT,AB=DT,∴四边形ABTD为平行四边形.又AB=AD,∴四边形ABTD为菱形,∴AT⊥BD.同理,四边形ATCB为菱形,∴AT∥BC,又AT⊥BD,∴BC⊥BD.∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,CP⊥CD, ∴CP⊥平面ABCD,又BD⊂平面ABCD,∴CP⊥BD,又∵BC⊥BD,BC∩CP=C,∴BD⊥平面PBC,又BD⊂平面BDP,∴平面BDP⊥平面PBC.15.解:(1)当AP=AB时,有AD∥平面MPC.理由如下.如图所示,连接BD交MC于N,连接NP.在梯形MBCD中,DC∥MB,∴==.∵在△ADB中,=,∴AD∥PN.∵AD⊄平面MPC,PN⊂平面MPC,∴AD∥平面MPC.(2)∵平面AMD⊥平面MBCD,平面AMD∩平面MBCD=DM,AM⊂平面AMD,AM⊥DM,∴AM⊥平面MBCD.∴V三棱锥P-MBC=×S△MBC×=××2×1×=.在△MPC中,MP=AB=,MC=,PC==,∴S△MPC=××=,∴点B到平面MPC的距离d===.。

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课时分层作业四十五直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题（每小题5分，共25分)1.（2015·北京高考）设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β"是“α∥β”的( ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C。

充分必要条件D。

既不充分也不必要条件【解析】选B。

当m∥β时,可能α∥β，也可能α与β相交.当α∥β时,由m⊂α可知,m∥β。

因此，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件。

2.（2018·惠州模拟）PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B两点的任一点,则下列关系不正确的是（）A。

PA⊥BC B。

BC⊥平面PACC。

AC⊥PB D。

PC⊥BC【解析】选C.由PA⊥平面ACB⇒PA⊥BC,故A不符合题意;由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC=A，可得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC,故B,D不符合题意；无法判断AC⊥PB，故C符合题意。

3。

（2018·石家庄模拟）已知平面α，β,直线l，若α⊥β，α∩β=l,则( )A。

垂直于平面β的平面一定平行于平面αB。

一、填空题1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的________条件．解析：若直线l⊥平面α，由定义，l垂直α内任意直线，所以l与α内无数条直线都垂直．若l与α内无数条相互平行的直线垂直，则不能得出l与平面α垂直．所以“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要不充分条件．答案：必要不充分2．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)解析：若l⊥α，则l垂直于平面α内的任意直线，故l⊥m且l⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α.答案：充分不必要3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β；③若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β.则其中正确命题的序号为________．解析：②中可能有m∥β，故②不正确．答案：①③④4．已知平面α，β，γ，直线l，m满足α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么：①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(填序号)．解析：由条件知α⊥γ，γ∩α＝m，l⊂γ，l⊥m，则根据面面垂直的性质定理有l⊥α，即②成立；又l⊂β，根据面面垂直的判定定理有α⊥β，即④成立．答案：②④5.如图所示，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．解析：由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，又AC⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确，④错．答案：①②③6．正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是________．解析：∵BD1⊥平面AB1C，当P点在线段B1C上时，AP⊂平面AB1C，∴AP⊥BD1. 答案：线段B1C7．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．解析：为了得到本题答案，必须对5个图形逐一进行判别．对于给定的正方体，l 位置固定，截面MNP 变动，l 与面MNP 是否垂直，可从正、反两方面进行判断．在MN ，NP ，MP 三条线中，若有一条不垂直l ，则可判定l 与面MNP 不垂直；若有两条与l 都垂直，则可断定l ⊥面MNP ；若有l 的垂面∥面MNP ，也可得l ⊥面MNP .答案：①④⑤8．如图，平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD ＝________.解析：取BC 中点E ，连结ED 、AE ，∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC .∵平面ABC ⊥平面BDC ，∴AE ⊥平面BCD .∴AE ⊥ED .在Rt △ABC 和Rt △BCD 中，AE ＝ED ＝12BC ＝22a ，∴AD ＝AE 2＋ED 2＝a . 答案：a9．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 的中。

§8.4 直线、平面垂直的判定与性质A级基础达标1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n2．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β4．已知如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABCDEF.则下列结论不正确的是()A．CD∥平面P AFB．DF⊥平面P AFC．CF∥平面P ABD．CF⊥平面P AD5．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则() A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l6．已知P为△ABC所在平面外一点，且P A，PB，PC两两垂直，则下列命题：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．7．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若a∥α，b∥β，且α∥β，则a∥b；②若a⊥α，且a⊥β，则α∥β；③若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；④若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β.上面命题中，所有真命题的序号是________．8．如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有________(写出全部正确命题的序号)．①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABD⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.10．如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求四棱锥S－ABCD的高．B级知能提升1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是()A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β2．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF3．如图，P A⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．4．如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，BE ⊥平面ABCD ，DF ∥BE ，且DF ＝2BE ＝2，EF ＝3.(1)证明：平面ACF ⊥平面BEFD .(2)若cos ∠BAD ＝15，求几何体ABCDEF 的体积．5．如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD ＝CD .(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形，AB ＝BD ，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．——★ 参 考 答 案 ★——A级基础达标1．『答案』C『解析』∵α∩β＝l，∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.故选C.2．『答案』B『解析』由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l ⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件，故选B.3．『答案』B『解析』对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；易知B正确；对于C，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错误；对于D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系不确定，故D错误．故选B.4．『答案』D『解析』A中，因为CD∥AF，AF⊂平面P AF，CD⊄平面P AF，所以CD∥平面P AF成立；B中，因为ABCDEF为正六边形，所以DF⊥AF，又因为P A⊥平面ABCDEF，所以P A⊥DF，又因为P A∩AF＝A，所以DF⊥平面P AF成立；C中，因为CF∥AB，AB⊂平面P AB，CF⊄平面P AB，所以CF∥平面P AB；而D中CF与AD不垂直．故选D.5．『答案』D『解析』若α∥β，则m∥n，这与m、n为异面直线矛盾，所以A不正确，α与β相交．将已知条件转化到正方体中，易知α与β不一定垂直，但α与β的交线一定平行于l，从而排除B，C.故选D.6．『答案』3『解析』如图所示．∵P A⊥PC，P A⊥PB，PC∩PB＝P，∴P A⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴P A⊥BC.同理PB⊥AC，PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.7．『答案』②③④『解析』①中a与b可能相交或异面，故不正确．②垂直于同一直线的两平面平行，正确．③中存在γ，使得γ与α，β都垂直．④中只需直线l⊥α且l⊄β就可以．8．『答案』③『解析』 由AB ＝CB ，AD ＝CD 知AC ⊥DE ，AC ⊥BE ，从而AC ⊥平面BDE ，故③正确．9．证明：(1)∵P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥P A .又CD ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ， 故CD ⊥平面P AC ，AE ⊂平面P AC . 故CD ⊥AE .(2)∵P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，故P A ＝AC . ∵E 是PC 的中点，故AE ⊥PC . 由(1)知CD ⊥AE ，由于PC ∩CD ＝C ， 从而AE ⊥平面PCD ，故AE ⊥PD . 易知BA ⊥PD ，故PD ⊥平面ABE .10．(1)证明：如图，取AB 的中点E ，连接DE ，DB ， 则四边形BCDE 为矩形，∴DE ＝CB ＝2， ∴AD ＝BD ＝ 5.∵侧面SAB 为等边三角形，AB ＝2， ∴SA ＝SB ＝AB ＝2. 又SD ＝1，∴SA 2＋SD 2＝AD 2，SB 2＋SD 2＝BD 2，∴∠DSA ＝∠DSB ＝90°，即SD ⊥SA ，SD ⊥SB ，SA ∩SB ＝S ， ∴SD ⊥平面SAB .(2)解：设四棱锥S －ABCD 的高为h ，则h 也是三棱锥S －ABD 的高． 由(1)，知SD ⊥平面SAB .由V S －ABD ＝V D －SAB ，得13S △ABD ·h ＝13S △SAB ·SD ，∴h ＝S △SAB ·SDS △ABD.又S △ABD ＝12AB ·DE ＝12×2×2＝2，S △SAB ＝34AB 2＝34×22＝3，SD ＝1，∴h ＝S △SAB ·SD S △ABD ＝3×12＝32.故四棱锥S －ABCD 的高为32. B 级 知能提升1．『答案』 C『解析』 对于C 项，由α∥β，a ⊂α可得a ∥β，又b ⊥β，得a ⊥b .故选C.2．『答案』 B『解析』 根据折叠前、后AH ⊥HE ，AH ⊥HF 不变，∴AH ⊥平面EFH ，B 正确；∵过A 只有一条直线与平面EFH 垂直，∴A 不正确；∵AG ⊥EF ，EF ⊥GH ，AG ∩GH ＝G ，∴EF ⊥平面HAG ，又EF ⊂平面AEF ，∴平面HAG ⊥平面AEF ，过H 作直线垂直于平面AEF ，一定在平面HAG 内，∴C 不正确；由条件证不出HG ⊥平面AEF ，∴D 不正确．故选B. 3．『答案』 ①②④『解析』 ①AE ⊂平面P AC ，BC ⊥AC ，BC ⊥P A ⇒AE ⊥BC ，故①正确；②AE ⊥PC ，AE ⊥BC ⇒AE ⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ⇒AE ⊥PB ，AF ⊥PB ，EF ⊂平面AEF ⇒EF ⊥PB ，故②正确；③若AF ⊥BC ⇒AF ⊥平面PBC ，则AF ∥AE 与已知矛盾，故③错误；由②可知④正确． 4．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，∵BE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴BE ⊥AC .∴AC ⊥平面BEFD ，AC ⊂平面ACF . ∴平面ACF ⊥平面BEFD .(2)解：设AC 与BD 的交点为O ，AB ＝a (a >0)， 由(1)得AC ⊥平面BEFD ， ∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥BD ， ∵DF ∥BE ，∴DF ⊥BD ，∴BD 2＝EF 2－(DF －BE )2＝8，∴BD ＝22， ∴S 四边形BEFD ＝12(BE ＋DF )·BD ＝32，∵cos ∠BAD ＝15，∴BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝85a 2＝8，∴a ＝5，∴OA 2＝AB 2－OB 2＝3，∴OA ＝3， ∴V ABCDEF ＝2V A －BEFD ＝23S 四边形BEFD ·OA ＝2 6.5．(1)证明：如图，取AC 的中点O ，连接DO ，BO .因为AD ＝CD ， 所以AC ⊥DO .又由于△ABC 是正三角形， 所以AC ⊥BO .从而AC ⊥平面DOB ，又BD ⊂平面DOB ， 故AC ⊥BD . (2)解：连接EO .由(1)及题设知∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO . 在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2.又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°. 由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝12AC .又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝12BD .故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.。

课时作业48 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则“l∥m”是“α⊥β”的( )A．充要条件 B．必要条件C．充分条件 D．既不充分又不必要条件解析：若l∥m，则m⊥平面α，由面面垂直的判定定理可知α⊥β，反过来，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，又因为m⊂β，所以l与m可能平行，异面或相交，所以“l ∥m”是“α⊥β”的充分条件，故选C.答案：C2．已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，直线m⊂平面α，直线n⊥平面β，给出命题：①n⊥m⇒α∥β；②n∥m⇒α⊥β；③α∥β⇒n⊥m；④α⊥β⇒n∥m.其中正确命题为( )A．①③ B．②③C．②④ D．①④解析：由直线n⊥面β，n∥m⇒m⊥面β，又因为直线m⊂平面α，所以α⊥β，②对，由题意，再结合α∥β⇒n⊥α⇒n⊥m，③对，故选B.答案：B3．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β( )A．不存在 B．有且只有一对C．有且只有两对 D．有无数对解析：过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b 确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.故选D.答案：D4．如图所示，b ，c 在平面α内，a ∩c ＝B ，b ∩c ＝A ，且a ⊥b ，a ⊥c ，b ⊥c ，若C ∈a ，D ∈b (C ，D 均异于A ，B )，则△ACD 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：因为a ⊥b ，b ⊥c ，a ∩c ＝B ，所以b ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC ，故△ACD 为直角三角形．答案：B5．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为( )A.12B ．1 C.32D ．2 解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋22，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66.由面积相等得66×x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12.答案：A6．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S —ABC 的体积为( )A.33B.233 C.433 D.533解析：如图所示，由题意知，在棱锥S —ABC 中，△SAC ，△SBC 都是等腰直角三角形，其中AB ＝2，SC ＝4，SA ＝AC ＝SB ＝BC ＝2 2.取SC 的中点D ，易证SC 垂直于面ABD ，因此棱锥S —ABC 的体积为两个棱锥S —ABD 和C —ABD 的体积和，所以棱锥S —ABC 的体积V ＝13SC ·S △ADB ＝13×4×3＝433.答案：C 二、填空题7．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为________． 解析：设BD 与AC 交于点O ，连接D 1O ，∵BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1成的角．∵AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，DD 1∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面DD 1B ，平面DD 1B ∩平面ACD 1＝OD 1，∴DD 1在平面ACD 1内的射影落在OD 1上，故∠DD 1O 为直线DD 1与平面ACD 1所成的角，设正方体的棱长为1，则DD 1＝1，DO ＝22，D 1O ＝62，∴cos ∠DD 1O ＝DD 1D 1O ＝63， ∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为63. 答案：638．假设平面α∩平面β＝EF ，AB ⊥α，CD ⊥β，垂足分别为B ，D ，如果增加一个条件，就能推出BD ⊥EF ，现有下面四个条件：①AC ⊥α；②AC 与α，β所成的角相等；③AC 与BD 在β内的射影在同一条直线上；④AC ∥EF .其中能成为增加条件的是________．(把你认为正确的条件序号都填上)解析：如果AB 与CD 在一个平面内，可以推出EF 垂直于该平面，又BD 在该平面内，所以BD ⊥EF .故要证BD ⊥EF ，只需AB ，CD 在一个平面内即可，只有①③能保证这一条件．答案：①③9．如图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上．点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．解析：点P 到直线CC 1的距离等于点P 在面ABCD 上的射影到点C 的距离，点P 在面ABCD 内的射影落在线段DE 上设为P ′，问题等价求为P ′C 的最小值，当P ′C ⊥DE 时，P ′C 的长度最小，此时P ′C ＝2×122＋1＝255. 答案：255三、解答题10．(2014·某某卷)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，DD 1，BB 1，A 1B 1，A 1D 1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.解：(1)连接AD1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，P ，Q 分别为线段AB ，CD 的中点，EP ⊥平面ABCD . (1)求证：DP ⊥平面EPC .(1)问在EP 上是否存在点F 使平面AFD ⊥平面BFC ？若存在，求出FP AP的值． 解：(1)因为EP ⊥平面ABCD ，所以EP ⊥DP ，又四边形ABCD 为矩形，AB ＝2BC ，P ，Q 为AB ，CD 的中点， 所以PQ ⊥DC ，且PQ ＝12DC ，所以DP ⊥PC .因为EP ∩PC ＝P ，所以DP ⊥平面EPC .(2)如图，假设存在F 使平面AFD ⊥平面BFC ， 因为AD ∥BC ，AD ⊄平面BFC ，BC ⊂平面BFC ， 所以AD ∥平面BFC ，所以AD 平行于平面AFD 与平面BFC 的交线l . 因为EP ⊥平面ABCD ，所以EP ⊥AD ，而AD ⊥AB ，AB ∩EP ＝P ， 所以AD ⊥平面FAB ，所以l ⊥平面FAB ，所以∠AFB 为平面AFD 与平面BFC 所成二面角的平面角． 因为P 是AB 的中点，且FP ⊥AB ， 所以当∠AFB ＝90°时，FP ＝AP ， 所以当FP ＝AP ，即FPAP＝1时，平面AFD⊥平面BFC.1．如右图，在三棱锥P—ABC中，点E，F分别是棱PC，AC的中点．(1)求证：PA∥平面BEF；(2)若平面PAB⊥平面ABC，PB⊥BC，求证：BC⊥PA.解：(1)在△PAC中，E、F分别是PC、AC的中点，所以PA∥EF，又PA⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，所以PA∥平面BEF.(2)在平面PAB内过点P作PD⊥AB，垂足为D.因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊂平面PAB，所以PD⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以PD⊥BC，又PB⊥BC，PD∩PB＝P，PD⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA.2．(2014·某某卷)如图所示，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝30°，AF ⊥PC 于点F ，EF ∥CD ，交PD 于点E .(1)证明：CF ⊥平面ADF ； (2)求二面角D —AF —E 的余弦值．解：(1)证明：PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂面PCD ， ∴平面PCD ⊥平面ABCD ， 平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，AD ⊂平面ABCD ，AD ⊥CD ，∴AD ⊥平面PCD ， CF ⊂平面PCD ，∴CF ⊥AD ，又AF ⊥PC ，∴CF ⊥AF ， AD ，AF ⊂平面ADF ，AD ∩AF ＝A ，∴CF ⊥平面ADF .(2)解法1：过E 作EG ∥CF 交DF 于G ，∵CF ⊥平面ADF ， ∴EG ⊥平面ADF ，过G 作GH ⊥AF 于H ，连EH ， 则∠EHG 为二面角D —AF —E 的平面角，设CD ＝2， ∵∠DPC ＝30°，∴∠CDF ＝30°，从而CF ＝12CD ＝1，CP ＝4，∵EF ∥DC ，∴DE DP ＝CF CP ，即DE 23＝122，∴DE ＝32，还易求得EF ＝32，DF ＝3， 从而EG ＝DE ·EFDF＝32·323＝34，易得AE ＝192，AF ＝7，EF ＝32，∴EH ＝AE ·EF AF ＝192·327＝31947， 故HG ＝319472－342＝6347，∴cos ∠EHG ＝GH EH ＝6347·47319＝25719.解法2：分别以DP ，DC ，DA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设DC ＝2， 则A (0,0,2)，C (0,2,0)，P (23，0,0)，设CF →＝λCP →，则F (23λ，2－2λ，0)，DF →⊥CF →，可得λ＝14，从而F (32，32，0)，易得E (32，0,0)，取面ADF 的一个法向量为n 1＝12CP →＝(3，－1,0)， 设面AEF 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，利用n 2·AE →＝0，且n 2·AF →＝0，得n 2可以是(4,0，3)，从而所求二面角的余弦值为n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝432×19＝25719.。

"【赢在高考】高考数学一轮配套练习 7.5 直线、平面垂直的判定及其性质 文 苏教版 "1.PA 垂直于正方形ABCD 所在平面,连接PB 、PC 、PD 、AC 、BD,则下列垂直关系正确的是 ( )①平面PAB ⊥平面PBC ②平面PAB ⊥平面PAD ③平面PAB ⊥平面PCD ④平面PAB ⊥平面PACA.①②B.①③C.②③D.②④答案:A解析:易证BC ⊥平面PAB,则平面PAB ⊥平面PBC;又AD ∥BC,故AD ⊥平面PAB,则平面PAD ⊥平面PAB,因此选A.2.设a 、b 、c 表示三条直线α,、β表示两个平面,则下列命题的逆命题不成立的是( )A.c α⊥,若c β⊥,则α∥βB.b c αα⊂,,若c ∥α,则b ∥cC.b β⊂,若b α⊥,则βα⊥D.b c β⊂,是a 在β内的射影,若b c ⊥,则b a ⊥答案:C解析:C 选项的逆命题为b β⊂,若βα⊥则b α⊥.因为根据平面垂直的性质定理,如果两个平面垂直,其中一个平面内的直线只有垂直于交线的才垂直另一个平面,所以此逆命题不正确.故选C.3.若l 、m 、n 是互不相同的空间直线α,、β是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是( )A.若α∥l n βαβ,⊂,⊂,则l ∥nB.若l αβα⊥,⊂,则l β⊥C.若l n m n ⊥,⊥,则l ∥mD.若l l α⊥,∥β,则αβ⊥答案:D解析:选项A 中,l 除平行n 外,还有异面的位置关系,A 不正确.选项B 中,l 与β的位置关系有相交、平行、在β内三种,B 不正确.选项C 中,l 与m 的位置关系还有相交和异面,C 不正确.故选D.4.已知a 、b 是两条不重合的直线α,、β、γ是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题: ①若a a αβ⊥,⊥,则α∥β;②若αγβγ⊥,⊥,则α∥β;③若α∥a b βαβ,⊂,⊂,则a ∥b;④若α∥a b βαγβγ,⋂=,⋂=,则a ∥b. 其中正确命题的序号有 .答案:①④解析:垂直于同一直线的两平面平行,①正确;α与β也可能相交,②错;a 、b 也可异面,③错;由面面平行性质知,a ∥b,④正确.5.如图,已知矩形ABCD 中,AB=10,BC=6,沿矩形的对角线BD 把△ABD 折起,使A 移到1A 点,且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在边CD 上.求证:1(1)BC A D ⊥;(2)平面1A BC ⊥平面1A BD .证明:(1)∵由于1A 在平面BCD 上的射影O 在边CD 上,∴1A O ⊥平面BCD,又BC ⊂平面BCD,∴1BC A O ⊥,∵1BC CO AO CO O ⊥,⋂=,∴BC ⊥平面1ACD ,又1A D ⊂平面1ACD ,∴1BC A D ⊥.(2)∵ABCD 为矩形,∴11A B A D ⊥.由(1)知11BC A D A B BC B ⊥,⋂=,∴1A D ⊥平面1A BC ,又1A D ⊂平面1A BD .∴平面1A BC ⊥平面1A BD .题组一 线面垂直的判定与性质1.在空间四边形ABCD 中,若AB CD BC AD ⊥,⊥,则对角线AC 与BD 的位置关系为( )A.相交但不垂直B.垂直但不相交C.不相交也不垂直D.无法判断答案:B解析:如图,作AO ⊥平面BCD,由AB CD ⊥,知CD ⊥平面ABO,∴BO CD ⊥.同理DO BC ⊥.∴O 为△BCD 的垂心.∴OC BD ⊥,故BD AC ⊥. 2.若a 、b 是空间两条不同的直线α,、β是空间的两个不同的平面,则a α⊥的一个充分条件是( )A.a ∥βαβ,⊥B.a βαβ⊂,⊥C.a b b ⊥,∥αD.a βα⊥,∥β答案:D解析:只有选项D a βα,⊥,∥a βα⇒⊥. 3.如图,已知ABCD 是矩形,且PA ⊥平面ABCD,下列结论中不正确的是( )A.PB BC ⊥B.PD CD ⊥C.PB BD ⊥D.PA BD ⊥答案:C解析:由线面垂直的判定定理及线面垂直的定义可知A B D .、、正确4.m 、n 是空间两条不同的直线α,、β是两个不同的平面,下面四个命题中,真命题的序号是 .①m n α⊥,∥βα,∥m n β⇒⊥;②m n α⊥,∥m βα,⊥⇒n ∥β;③m n α⊥,∥m β,∥n αβ⇒⊥;④m m α⊥,∥n α,∥own ββ⊥.答案:①④解析:①显然正确;②错误,n 还可能在β内;③错误,n 可能与β相交但不垂直;④正确.5.(2011广东惠州第二次调研4)给定空间中的直线l 及平面α,条件”直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是”直线l 与平面α垂直”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件答案:B题组二 平面与平面垂直的判定与性质6.在正方体ABCD —1111A B C D 中,找一个平面与平面11DA C 垂直,则该平面是 .(写出满足条件的一个平面即可)答案:平面1ABD解析:连接1AD ,在正方形11ADD A 中11AD A D ,⊥,又AB ⊥平面111ADD A A D ,⊂平面11ADD A ,∴1AB A D ⊥.又1AD AB A ⋂=,∴1A D ⊥平面1ABD ,又1A D ⊂平面11DA C ,故平面1ABD ⊥平面11DA C .7.如图,在斜三棱柱ABC —111A B C 中90BAC ,∠=circ 1BC AC ,⊥,则1C 在底面ABC 上的射影H 必在( )A.直线AB 上B.直线BC 上C.直线AC 上D.△ABC 内部答案:A解析:由1AC AB AC BC ⊥,⊥,得AC ⊥平面1ABC AC ,⊂平面ABC,∴平面1ABC ⊥平面1ABC C ,在面ABC 上的射影H 必在二平面交线AB 上.8.如图所示,四边形ABCD 是矩形PA ,⊥平面ABCD,则图中互相垂直的平面共有 …( )A.3对B.4对C.5对D.6对答案:D解析:∵PA ⊥面ABCD,且PA ⊂面PAB PA ,⊂面PAD PA ,⊂面PAC,∴面PAB 和面PAC 和面PAD 都与面ABCD 垂直.又AD PA AD AB ⊥,⊥,∴AD ⊥面PAB.又AD ⊂面PAD,∴面PAB ⊥面PAD.同理可证面PBC ⊥面PAB,面PCD ⊥面PAD.9.在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是正方形MA ,⊥平面ABCD ,PD ∥MA,E 2G F MB PB PC AD PD MA ,==.、、分别为、、的中点且(1)求证:平面EFG ⊥平面PDC;(2)求三棱锥P —MAB 与四棱锥P —ABCD 的体积之比.解:(1)证明:由已知MA ⊥平面ABCD,PD ∥MA,所以PD ⊥平面ABCD.又BC ⊂平面ABCD,所以PD BC ⊥.因为四边形ABCD 为正方形,所以BC DC ⊥.又PD DC D ⋂=,因此BC ⊥平面PDC.在△PBC 中,因为G F PB PC ,、分别为、的中点所以GF ⊥平面PDC.又GF ⊂平面EFG,所以平面EFG ⊥平面PDC.(2)因为PD ⊥平面ABCD,四边形ABCD 为正方形,不妨设MA=1,则PD=AD=2, 所以—8133P ABCD ABCD V S PD =⋅=正方形.由于DA ⊥面MAB,且PD ∥MA,所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离, 三棱锥—112122323P MAB V =⨯⨯⨯⨯=,所以—P MAB V ∶—1P ABCD V =∶4.题组三 直线、平面垂直的综合问题10.在正四面体P —ABC中,D E F AB BC CA ,、、分别是、、的中点下面四个结论不成立的是（）A.BC ∥平面PDFB.DF ⊥平面PAEC.平面PDF ⊥平面ABCD.平面PAE ⊥平面ABC答案:C解析:如图所示,∵BC ∥DF,∴BC ∥平面PDF.∴A 正确.由图形知BC PE BC AE ⊥,⊥, ∴BC ⊥平面PAE.∴DF ⊥平面PAE,∴B 正确.∴平面ABC ⊥平面(PAE BC ⊥平面PAE).∴D 正确.11.正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积为 . 答案:2 解析:如图,底面△BCD 为正三角形,BC=CD=DB=2.∴2AB AC AD ===,又由于AB AD ⊥且AC AD ⊥.∴AD ⊥平面ABC. ∴2311(2)32A BCD D ABC V V --==⨯=. 12.如图,棱柱ABC —111A B C 的侧面11BCC B 是菱形11B C A B ,⊥.(1)证明平面1AB C ⊥平面11A BC ;(2)设D 是11A C 上的点,且1A B ∥平面1B CD ,求1A D ∶1DC 的值. 解:(1)证明:因为侧面11BCC B 是菱形,所以11B C BC ⊥.又已知11B C A B ⊥,且11A B BC B ⋂=,所以1B C ⊥平面11A BC .又1B C ⊂平面1AB C ,所以平面1AB C ⊥平面11A BC .(2)设1BC 交1B C 于点E,连接DE,则DE 是平面11A BC 与平面1B CD 的交线. 因为1A B ∥平面1B CD ,所以1A B ∥DE. 又E 是1BC 的中点,所以D 为11A C 的中点. 即1A D ∶11DC =.。

第五节直线、平面垂直的判定及性质垂直的判定与性质(1)掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理．(2)掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．知识点一直线与平面垂直1．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图1所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.2．直线与平面垂直的性质定理自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．图形语言：如图2所示．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.易误提醒斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线，而不是线段．必记结论(1)直线与平面垂直的定义常常逆用，即a⊥α，b⊂α⇒a⊥b.(2)若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．[自测练习]1．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，且l⊥b”是“l⊥α”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：由线面垂直的判定定理知，充分性不成立，由线面垂直的性质定理知，必要性成立，故选C.答案：C2．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交解析：由a⊥b，a⊥α知b⊂α或b∥α，但直线b不与α相交．答案：C知识点二平面与平面垂直1．平面与平面垂直的判定(1)两个平面垂直的定义如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β.(2)两个平面垂直的判定定理自然语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．图形语言：如图1所示．符号语言：AB⊥β，AB⊂α⇒α⊥β.图12．平面与平面垂直的性质自然语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．图形语言：如图2所示．图2符号语言：α⊥β，α∩β＝CD，AB⊂α，AB⊥CD⇒AB⊥β.易误提醒平面和平面垂直的判定定理的两个条件：l⊂α，l⊥β，缺一不可．必记结论(1)两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况，正方体中任意相邻的两个面都是互相垂直的；(2)由定理可知，要证明平面与平面垂线，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直；(3)面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．[自测练习]3．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是() A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ解析：利用相关定理逐个判断．A中m与α的位置关系不确定，故错误；B中α，β可能平行或相交，故错误；由面面垂直的判定定理可知C正确；D中β，γ平行或相交，故错误，选C.答案：C4．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两垂直的共有________对．解析：因为AD⊥AB，AD⊥P A且P A∩AB＝A，可得AD⊥平面P AB.同理可得BC⊥平面P AB、AB⊥平面P AD、CD⊥平面P AD，由面面垂直的判定定理可得，平面P AD⊥平面P AB，平面PBC⊥平面P AB，平面PCD⊥平面P AD，平面P AB⊥平面ABCD，平面P AD⊥平面ABCD，共有5对．答案：5考点一直线与平面垂直的判定与性质|1．在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是()A．若l∥α，m⊥l，则m⊥αB．若l⊥m，m⊥n，则m∥nC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若l⊥α，l∥a，则a⊥α解析：易知选项A不正确；选项B，从m⊥n就可以看出结论是错误的；选项C中，若b⊂α，则C不正确；选项D是正确的．答案：D2．(2016·丽水一模)在四面体ABCD中，下列条件不能得出AB⊥CD的是()A．AB⊥BC且AB⊥BDB．AD⊥BC且AC⊥BDC．AC＝AD且BC＝BDD．AC⊥BC且AD⊥BD解析：A.∵AB ⊥BD ，AB ⊥BC ，BD ∩BC ＝B ，∴AB ⊥平面BCD ，∵CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD .B.设A 在平面BCD 内的射影为O ，则AO ⊥平面BCD ，∵AD ⊥BC ，AC ⊥BD ，∴O 为△BCD 的垂心，连接BO ，则BO ⊥CD ，又AO ⊥CD ，AO ∩BO ＝O ，∴CD ⊥平面ABO ，∵AB ⊂平面ABO ，∴AB ⊥CD .C.取CD 中点G ，连接BG ，AG .∵AC ＝AD 且BC ＝BD ，∴CD ⊥BG ，CD ⊥AG ， ∵BG ∩AG ＝G ，∴CD ⊥平面ABG ，∵AB ⊂平面ABG ，∴AB ⊥CD ，故选D. 答案：D3．(2015·高考重庆卷)如图，三棱锥P -ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，∠ABC ＝π2，点D ，E 在线段AC 上，且AD ＝DE ＝EC ＝2，PD ＝PC ＝4，点F 在线段AB 上，且EF ∥BC .(1)证明：AB ⊥平面PFE ；(2)若四棱锥P -DFBC 的体积为7，求线段BC 的长．解：(1)证明：由DE ＝EC ，PD ＝PC 知，E 为等腰△PDC 中DC 边的中点，故PE ⊥AC . 又平面P AC ⊥平面ABC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，PE ⊂平面P AC ，所以PE ⊥平面ABC ，从而PE ⊥AB .因∠ABC ＝π2，EF ∥BC ，故AB ⊥EF .从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ⊥平面PFE . (2)设BC ＝x ，则在Rt △ABC 中， AB ＝AC 2－BC 2＝36－x 2， 从而S △ABC ＝12AB ·BC ＝12x 36－x 2.由EF ∥BC 知，AF AB ＝AE AC ＝23，得△AFE ∽△ABC ，故S △AFE S △ABC＝⎝⎛⎭⎫232＝49，即S △AFE ＝49S △ABC .由AD ＝12AE ，得S △AFD ＝12S △AFE ＝12·49S △ABC ＝29S △ABC ＝19x 36－x 2，从而四边形DFBC 的面积为S DFBC ＝S △ABC －S △AFD ＝12x 36－x 2－19x 36－x 2＝718x36－x2.由(1)知，PE⊥平面ABC，所以PE为四棱锥P-DFBC的高．在Rt△PEC中，PE＝PC2－EC2＝42－22＝2 3.V P-DFBC＝13·S DFBC·PE＝13·718x36－x2·23＝7，故得x4－36x2＋243＝0，解得x2＝9或x2＝27，由于x>0，可得x＝3或x＝3 3.所以，BC＝3或BC＝3 3.证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理．(2)利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．(4)利用面面垂直的性质．考点二平面与平面垂直的判定与性质|(2015·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．[解](1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED. 又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝32x，GB＝GD＝x2.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝3 2x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝2 2x.由已知得，三棱锥E-ACD的体积V E-ACD＝13×12AC×GD×BE＝624x3＝63.故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝ 6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3＋2 5.证明面面垂直的主要方法①利用判定定理．在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边上的中线垂直于底边，勾股定理的逆定理等．②用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角．③客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．(2015·佛山一中期中考试)如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥底面ABC，∠BCA＝90°，AP ＝AC，点D，E分别在棱PB，PC上，且BC∥平面ADE.(1)求证：DE⊥平面P AC；(2)当二面角A-DE-P为直二面角时，求A-BCED与P-AED的体积比．解：(1)证明：∵BC∥平面ADE，BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面ADE＝DE，∴BC ∥ED，∵P A⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，∴P A⊥BC，又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC，∵P A与AC是平面P AC内的两条相交直线，∴BC⊥平面P AC，又BC∥ED，∴DE⊥平面P AC.(2)由(1)知，DE⊥平面P AC，∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角，∴∠AEP＝90°，即AE⊥PC，∵AP＝AC，∴E是PC的中点，∴ED 是△PBC的中位线，DE⊥AC，又PC∩DE＝E，∴AE⊥平面PCD，∴V A-BCEDV A-PDE＝13S四边形BCED·AE13S△PED·AE＝S四边形BCEDS△PED＝3.考点三平行与垂直的综合问题|空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点，归纳起来常见的命题探究角度有：1．以多面体为载体考查平行与垂直的证明．2．探索性问题中的平行与垂直问题．3．折叠问题中的平行垂直问题．探究一平行与垂直关系的证明1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.证明：(1)连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)连接AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC ∩CC 1＝C ，所以BD ⊥平面ACC 1. 而AC 1⊂平面ACC 1，所以BD ⊥AC 1. 因为M ，N 分别是A 1B 1，A 1D 1的中点， 则易知MN ∥BD ，从而MN ⊥AC 1. 同理可证PN ⊥AC 1.又PN ∩MN ＝N ， 所以直线AC 1⊥平面PQMN .探究二 探索性问题中的平行与垂直问题2.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1＝2，M ，N 分别为AC ，B 1C 1的中点．(1)求线段MN 的长； (2)求证：MN ∥平面ABB 1A 1；(3)线段CC 1上是否存在点Q ，使A 1B ⊥平面MNQ ？说明理由． 解：(1)连接CN .因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC ， 所以AC ⊥CC 1. 因为AC ⊥BC ， 所以AC ⊥平面BCC 1B 1.因为MC ＝1，CN ＝CC 21＋C 1N 2＝5，所以MN ＝ 6.(2)证明：取AB 中点D ，连接DM ，DB 1.在△ABC 中，因为M 为AC 中点，所以DM ∥BC ，DM ＝12BC .在矩形B 1BCC 1中，因为N 为B 1C 1中点，所以B 1N ∥BC ，B 1N ＝12BC .所以DM ∥B 1N ，DM ＝B 1N .所以四边形MDB 1N 为平行四边形，所以MN ∥DB 1. 因为MN ⊄平面ABB 1A 1，DB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以MN ∥平面ABB 1A 1.(3)线段CC 1上存在点Q ，且Q 为CC 1中点时，有A 1B ⊥平面MNQ . 证明如下：连接BC 1.在正方形BB 1C 1C 中易证QN ⊥BC 1.又A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1C 1⊥QN ，从而NQ ⊥平面A 1BC 1. 所以A 1B ⊥QN .同理可得A 1B ⊥MQ ，所以A 1B ⊥平面MNQ .故线段CC1上存在点Q，使得A1B⊥平面MNQ.探究三折叠问题中的平行与垂直关系3．(2015·高考四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH.因为ABCD-EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.平行与垂直的综合应用问题的处理策略(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．(2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐含量的垂直关系．7.平行与垂直综合问题的答题模板【典例】(12分)(2015·高考山东卷)如图，三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.[思维点拨](1)法一：证明四边形DFCG为平行四边形，结合H为BC的中点可得HM ∥BD，进而得BD∥平面FGH；法二：利用四边形HBEF为平行四边形，证明平面ABED ∥平面FGH，进而得BD∥平面FGH.(2)先证明CB⊥平面ECH，进而得平面BCD⊥平面EGH.[规范解答](1)证明：法一：连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF-ABC 中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，(3分)则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD.又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，(4分)所以BD∥平面FGH.(5分)法二：在三棱台DEF-ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BE∥HF.(2分)在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点．所以GH∥AB.(3分)又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.(4分)淘宝店铺：漫兮教育因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(5分)(2)连接HE，GE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB，由AB⊥BC，得GH⊥BC.(7分)又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形(9分)所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.(11分)又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.(12分)[模板形成]由图形特征分析平行条件↓创设线面平行的条件↓利用判定定理或面面平行证明线面平行↓分析条件中平行与垂直的关系↓选定并证明线面垂直↓利用面面垂直的判定证明面面垂直A组考点能力演练1．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β，其中正确的命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：①中，α∥β，且m⊥α，则m⊥β，因为l⊂β，所以m⊥l，所以①正确；②中，α⊥β，且m⊥α，则m∥β或m⊂β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，可能相交，所以②不正确；③中，m⊥l，且m⊥α，l⊂β，则α与β可能平行，可能相交，所以③不正确；④中，m∥l，且m⊥α，则l⊥α，因为l⊂β，所以α⊥β，所以④正确，故选B.答案：B2．设α，β，γ为不同的平面，m、n、l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件为() A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α解析：对于A，α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，根据面面垂直的性质定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；对于B，α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于C，α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m 与β不一定垂直，故不正确；对于D，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，则m⊥β，故正确，故选D.答案：D3.如图，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE ＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.答案：C4.如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°解析：A中，△A1BD为等边三角形，∴其四心合一，∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各顶点的距离相等，∴A正确；∵CD1∥BA1，CB1∥DA1，CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B正确；连接AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理，AC1⊥BA1，∴AC1⊥平面A1BD，∴A、H、C1三点共线，∴C正确，故选D.答案：D5.如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC 上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC1∩平面ABC＝AB，∴点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A.答案：A6．四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥P-ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有________对．解析：由题意可得P A ⊥BC ，P A ⊥CD ，AB ⊥PD ，BD ⊥P A ，BD ⊥PC ，AD ⊥PB ，即互相垂直的异面直线共有6对．答案：67．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ，∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥BD . 又P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ， ∴BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD . 而PC ⊂平面PCD ， ∴平面MBD ⊥平面PCD . 答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)8．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝5，BC ＝4，AC ＝3，M 是AB 边上的点，P 是平面ABC 外一点．给出下列四个命题：①若P A ⊥平面ABC ，则三棱锥P -ABC 的四个面都是直角三角形； ②若PM ⊥平面ABC ，且M 是AB 边的中点，则有P A ＝PB ＝PC ； ③若PC ＝5，PC ⊥平面ABC ，则△PCM 面积的最小值为152；④若PC ＝5，P 在平面ABC 上的射影是△ABC 内切圆的圆心，则点P 到平面ABC 的距离为23.其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)解：由题意知AC ⊥BC ，对于①，若P A ⊥平面ABC ，则P A ⊥BC ，又P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ，因此该三棱锥P -ABC 的四个面均为直角三角形，①正确；对于②，由已知得M 为△ABC 的外心，所以MA ＝MB ＝MC .∵PM ⊥平面ABC ，则PM ⊥MA ，PM ⊥MB ，PM ⊥MC ，由三角形全等可知P A ＝PB ＝PC ，故②正确；对于③，要使△PCM 的面积最小，只需CM 最短，在Rt △ABC 中，(CM )min ＝125，∴(S △PCM )min ＝12×125×5＝6，故③错误；对于④，设P 点在平面ABC 内的射影为O ，且O 为△ABC 的内心，由平面几何知识得△ABC 的内切圆半径r ＝1，且OC ＝2，在Rt △POC 中，PO ＝PC 2－OC 2＝23，∴点P 到平面ABC 的距离为23，故④正确．答案：①②④9．(2016·扬州中学模拟)如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC ∩EF ＝O .沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接P A ，PB ，PD ，得到如图2的五棱锥P -ABFED ，且PB ＝10.(1)求证：BD ⊥平面POA ； (2)求四棱锥P -BFED 的体积．解：(1)证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点， ∴BD ∥EF .∵ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ， ∴EF ⊥AC ，∴翻折后EF ⊥AO ，EF ⊥PO ，∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO ∩PO ＝O ， ∴EF ⊥平面POA ， ∴BD ⊥平面POA .(2)设AO ∩BD ＝H ，连接BO ，∵ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∵∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形，∴BD ＝4，BH ＝2，HA ＝23，HO ＝PO ＝3， 在Rt △BHO 中，BO ＝BH 2＋HO 2＝7， 在△PBO 中，BO 2＋PO 2＝10＝PB 2， ∴PO ⊥BO ，∵PO ⊥EF ，EF ∩BO ＝O ，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED ，又梯形BFED 的面积为S ＝12(EF ＋BD )·HO ＝33，∴四棱锥P -BFED 的体积V ＝13S ·PO ＝13×33×3＝3.10.如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，P A⊥平面ABCD，P A＝1.(1)求证：AB∥平面PCD；(2)求证：BC⊥平面P AC；(3)若M是PC的中点，求三棱锥M-ACD的体积．解：(1)证明：∵AB∥CD，CD⊂平面PDC，AB⊄平面PDC，∴AB∥平面PDC.(2)证明：在直角梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，∴AE＝DC＝1，又AB＝2，∴BE＝1，在Rt△BEC中，∠EBC＝45°，∴CE＝BE＝1，CB＝2，在Rt△ACE中，AC＝AE2＋CE2＝2，∴AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC.又P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥P A，而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.(3)∵M是PC的中点，∴M到平面ADC的距离是P到平面ADC的距离的一半．∴V M-ACD＝13S△ACD×⎝⎛⎭⎫12P A＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×12＝112.B组高考题型专练1．(2015·高考安徽卷)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行．．．，则在α内不存在．．．与β平行的直线D．若m，n不平行．．．，则m与n不可能．．．垂直于同一个平面解析：A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确．答案：D2．(2014·高考广东卷)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC ＝PC＝2.按图(2)折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M -CDE的体积．解：(1)证明：PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，MD⊂平面ABCD，MD⊥CD，∴MD⊥平面PCD，CF⊂平面PCD，∴CF⊥MD，又CF⊥MF，MD，MF⊂平面MDF，MD∩MF＝M，∴CF⊥平面MDF.(2)∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，又易知∠PCD＝60°，∴∠CDF＝30°，从而CF＝12CD ＝12，∵EF∥DC，∴DEDP＝CFCP，即DE3＝122，∴DE＝3，∴PE＝33，S CDE＝1CD·DE＝3，MD＝ME2－DE2＝PE2－DE2＝⎝⎛⎭⎫3342－⎝⎛⎭⎫342＝62，∴V M -CDE＝13S△CDE·MD＝13·38·62＝216.3．(2015·高考陕西卷)如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC ＝12AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE 的位置，得到四棱锥A1-BCDE.(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1-BCDE 的体积为362，求a 的值． 解：(1)证明：在图1中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .即在图2中，BE⊥A 1O ，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC ，又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC . (2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)可得A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE ， 即A 1O 是四棱锥A 1-BCDE 的高． 由图1知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2. 从而四棱锥A 1-BCDE 的体积为V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3，由26a 3＝362，得a ＝6.4.(2015·高考广东卷)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.(1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离．解：(1)证明：∵长方形ABCD 中，BC ∥AD ， 又BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ， ∴BC ∥平面PDA .(2)证明：取CD 的中点H ，连接PH ， ∵PD ＝PC ，∴PH ⊥CD .又∵平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，∴PH ⊥平面ABCD . 又∵BC ⊂平面ABCD ，∴PH ⊥BC . 又∵长方形ABCD 中，BC ⊥CD ， PH ∩CD ＝H ，∴BC ⊥平面PDC . 又∵PD ⊂平面PDC ，∴BC ⊥PD . (3)连接AC .由(2)知PH 为三棱锥P -ADC 的高．淘宝店铺：漫兮教育∵PH ＝PD 2－⎝⎛⎭⎫12CD 2＝42－32＝7， S △ADC ＝12·AD ·CD ＝12×3×6＝9，∴V P -ADC ＝13·S △ADC ·PH ＝13×9×7＝37. 由(2)知BC ⊥PD ， 又∵AD ∥BC ， ∴AD ⊥PD ，∴S △PDA ＝12·PD ·AD ＝12×4×3＝6.设点C 到平面PDA 的距离为h . ∵V C -PDA ＝V P -ADC ， ∴13·S △PDA ·h ＝37， ∴h ＝37＝37×6＝372.。

第5讲 直线、平面垂直的判定与性质)1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理(1)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO 就是斜线AP 与平面α所成的角．②线面角θ的范围：θ∈⎣⎢⎡⎥⎤0，π2．(2)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角α­l ­β或二面角P ­AB ­Q ．②二面角的平面角如图，过二面角α­l ­β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO ⊥l ，AO ⊥l ，则∠AOB 就叫做二面角α­l ­β的平面角．③二面角的范围设二面角的平面角为θ，则θ∈． ④当θ＝π2时，二面角叫做直二面角．1．辨明三个易误点(1)注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交． (2)注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”．(3)注意对平面与平面垂直性质的理解． 2．学会三种垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．1．(2016·高考浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥nC 因为α∩β＝l ，所以l ⊂β，又n ⊥β，所以n ⊥l .2.教材习题改编线段AB 的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB 所在直线与平面α所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°C 如图，AC ⊥α，AB ∩α＝B ，则BC 是AB 在平面α内的射影，则BC ＝12AB ，所以∠ABC ＝60°，它是AB 与平面α所成的角．3．(2017·邢台摸底考试)已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β且m ⊥αB ．α⊥β且m ∥αC ．m ∥n 且n ⊥βD ．m ⊥n 且n ∥βC 依题意，对于A ，注意到直线m 可能位于平面β内，因此选项A 不正确；对于B ，注意到直线m 可能位于平面β内且与它们的交线平行，因此选项B 不正确；对于C ，由定理“若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”得知，C 正确；对于D ，注意到直线m 可能位于平面β内，因此选项D 不正确．综上所述，选C.4．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)若α⊥β，因为α∩β＝m ，b ⊂β，b ⊥m ，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b ⊥α，又a ⊂α，所以a ⊥b ；反过来，当a ∥m 时，因为b ⊥m ，且a ，m 共面，一定有b ⊥a ，但不能保证b ⊥α，所以不能推出α⊥β.充分不必要5.教材习题改编P 为△ABC 所在平面外一点，且PA 、PB 、PC 两两垂直，则下列命题：①PA ⊥BC ；②PB ⊥AC ；③PC ⊥AB ；④AB ⊥BC ，其中正确的个数是________．如图所示．因为PA ⊥PC ，PA ⊥PB ，PC ∩PB ＝P ， 所以PA ⊥平面PBC . 又因为BC ⊂平面PBC ， 所以PA ⊥BC .同理，PB ⊥AC ，PC ⊥AB ．但AB 不垂直于BC .3线面垂直的判定与性质(高频考点)直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，属中档题．高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查常有以下两个命题角度：(1)证明线面垂直；(2)证明线线垂直．(2016·高考浙江卷)如图，在三棱台ABC DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．【解】(1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD．(2)因为BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角．在Rt△BFD中，BF＝3，DF＝32，得cos∠BDF＝217，所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为217.角度一 证明线面垂直1.(2015·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD ．(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ­ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积．(1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ． 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE . 故AC ⊥平面BED ． 又AC ⊂平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面BED ．(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x . 由已知得，三棱锥E ­ACD 的体积V 三棱锥E ­ACD ＝13×12·AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63，故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E ­ACD 的侧面积为3＋2 5.角度二 证明线线垂直2.如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE .(1)在四棱锥P ­ABCD 中， 因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，因为AC ⊥CD ，且PA ∩AC ＝A ， 所以CD ⊥平面PAC ，而AE ⊂平面PAC ， 所以CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA . 因为E 是PC 的中点，所以AE ⊥PC . 由(1)知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ， 所以AE ⊥平面PCD ．而PD ⊂平面PCD ，所以AE ⊥PD ． 因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥AB ． 又因为AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD ． 又因为AB ∩AE ＝A ，所以PD ⊥平面ABE .面面垂直的判定与性质(2016·高考四川卷)如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD ．(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD ．【解】 (1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点．理由如下： 因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM ， 所以四边形AMCB 是平行四边形， 从而CM ∥AB ．又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ，所以CM ∥平面PAB ．(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明：由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交．所以PA ⊥平面ABCD ， 从而PA ⊥BD ． 连接BM ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ． 所以四边形BCDM 是平行四边形． 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB ．又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB ． 又BD ⊂平面PBD ， 所以平面PAB ⊥平面PBD ．(1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)． (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．1．如图，将边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE 翻折，连接AC ，FD ，形成如图所示的多面体，且AC ＝ 6.证明：平面ABEF ⊥平面BCDE .在正六边形ABCDEF 中，连接AC ，BE ，交点为G ，易知AC ⊥BE ，且AG ＝CG ＝3，在多面体中，由AC ＝6，知AG 2＋CG 2＝AC 2，故AG ⊥GC ，又GC ∩BE ＝G ，GC ，BE ⊂平面BCDE ， 故AG ⊥平面BCDE ，又AG ⊂平面ABEF ，所以平面ABEF ⊥平面BCDE .2.(2017·云南省第一次统一检测)如图，四棱锥P ­ABCD ，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC ＝60°的菱形，M 为PC的中点．(1)求证：PC ⊥AD ；(2)求点D 到平面PAM 的距离．(1)证明：法一：取AD 中点O ，连接OP ，OC ，AC ， 依题意可知△PAD ，△ACD 均为正三角形， 所以OC ⊥AD ，OP ⊥AD ，又OC ∩OP ＝O ，OC ⊂平面POC ，OP ⊂平面POC ， 所以AD ⊥平面POC ，又PC ⊂平面POC ，所以PC ⊥AD ．法二：连接AC ，AM ，DM ，依题意可知△PAD ，△ACD 均为正三角形， 又M 为PC 的中点，所以AM ⊥PC ，DM ⊥PC ， 又AM ∩DM ＝M ，AM ⊂平面AMD ，DM ⊂平面AMD ， 所以PC ⊥平面AMD ，又AD ⊂平面AMD ，所以PC ⊥AD ．(2)由题意可知，点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离， 由(1)可知PO ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD ，即PO 为三棱锥P ­ADC 的高． 在Rt △POC 中，PO ＝OC ＝3，PC ＝6，在△PAC 中，PA ＝AC ＝2，PC ＝6，边PC 上的高AM ＝PA 2－PM 2＝102， 所以S △PAC ＝12PC ·AM ＝12×6×102＝152，设点D 到平面PAC 的距离为h ，由V D ­PAC ＝V P ­ACD 得 13S △PAC ·h ＝13S △ACD ·PO ， 又S △ACD ＝34×22＝3， 所以13×152·h ＝13×3×3，解得h ＝2155，所以点D 到平面PAM 的距离为2155.空间位置关系的综合应用(2016·高考北京卷)如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点．在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．【解】(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB．又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.理由如下：如图，取PB中点F，连接EF，CE，CF.又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.又因为PA⊄平面CEF，且EF⊂平面CEF，所以PA∥平面CEF.线线平行(垂直)、线面平行(垂直)和面面平行(垂直)是空间中三种基本平行(垂直)关系，它们之间可以相互转化，其转化关系如下：(2016·高考山东卷)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF，因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB．(2)设FC的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB．在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI ∥平面ABC . 因为GH ⊂平面GHI ， 所以GH ∥平面ABC .)——立体几何中的翻折问题(本题满分12分)如图(1)，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图(2)中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1­BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1­BCDE 的体积为362，求a 的值．(1)(2)(1)证明：在题图(1)中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .(2分)即在题图(2)中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，(3分) 从而BE ⊥平面A 1OC .(4分)又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .(6分) (2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)可得A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE .即A 1O 是四棱锥A 1­BCDE 的高．(9分) 由题图(1)知，A 1O ＝AO ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2，(10分) 从而四棱锥A 1­BCDE 的体积为V ＝13S ·A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3. 由26a 3＝362，得a ＝6.(12分)解决由平面图形翻折为空间图形问题的关键是看翻折前后线面位置关系的变化情况，根据翻折的过程，把翻折前后一些线线位置关系中没有变化和发生变化的量准确找出来，这些不变和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征．另外，在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，常通过三角形的中位线找平行线．1．“直线a 与平面M 内的无数条直线都垂直”是“直线a 与平面M 垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B 根据直线与平面垂直的定义知“直线a 与平面M 内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a 与平面M 垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件．2.如图，O 为正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B 1O 垂直的是( )A ．A 1DB ．AA 1C ．A 1D 1D ．A 1C 1D 由题易知A 1C 1⊥平面BB 1D 1D ．又B 1O ⊂平面BB 1D 1D ，所以A 1C 1⊥B 1O .3．(2017·九江模拟)如图，在三棱锥D ­ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的是( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BCDC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDE D ．平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ACD ⊥平面BDEC 因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理，DE ⊥AC ，由于DE ∩BE ＝E ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE .故选C.4．已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是( )A ．l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥mB ．l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l ⊥m ，l ⊥nC ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，且l ⊥mD ．l ⊂α，l ∥m ，且m ⊥βD 对于A ，l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥m ，如图(1)，α，β不垂直；对于B ，l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l ⊥m ，l ⊥n ，如图(2)，α，β不垂直；对于C ，m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，且l ⊥m ，直线l 没有确定，则α，β的关系也不能确定；对于D ，l ⊂α，l ∥m ，且m ⊥β，则必有l ⊥β，根据面面垂直的判定定理知，α⊥β.5．(2017·河北名师俱乐部模拟)在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，BA ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，PA ＝3，PA ⊥底面ABCD ，E 是棱PD 上异于P ，D 的动点，设PEED＝m ，则“0<m <2”是“三棱锥C ­ABE 的体积不小于1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B 过E 点作EH ⊥AD ，H 为垂足，则EH ⊥平面ABCD ．因为VC ­ABE ＝V E ­ABC ，所以三棱锥C ­ABE 的体积为23EH .若三棱锥C ­ABE 的体积不小于1，则EH ≥32，又PA ＝3，所以PE ED＝m ≤1，故选B ．6.如图，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E ，要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为( )A.12 B ．1 C.32D ．2A 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1＝ 2.设Rt △AA 1B 1的斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋（2）2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66. 由面积相等得66×x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12.7.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，∠ABC ＝60°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB 上的一个动点，则PM 的最小值为________．作CH ⊥AB 于H ，连接PH .因为PC ⊥平面ABC ，所以PH ⊥AB ，PH 为PM 的最小值，等于27.278.如图所示，在四面体ABCD 中，AB ，BC ，CD 两两垂直，且BC ＝CD ＝1.直线BD 与平面ACD 所成的角为30°，则线段AB 的长度为________．如图，过点B 作BH ⊥AC ，垂足为点H ，连接DH .因为CD ⊥AB ，CD ⊥BC ，所以平面ACD ⊥平面ABC ，所以BH ⊥平面ACD ． 所以∠BDH 为直线BD 与平面ACD 所成的角． 所以∠BDH ＝30°， 在Rt △BDH 中，BD ＝2， 所以BH ＝22. 又因为在Rt △BHC 中，BC ＝1，所以∠BCH ＝45°. 所以在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝1. 19．(2016·高考全国卷甲)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n，结论正确．由平面与平面平行的定义知命题③正确．由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．②③④10．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，l⊄α，则l⊥α.其中正确命题的序号是________．若平面α、β、γ两两相交于三条直线，则有交线平行，故①不正确．因为a、b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．由面面垂直的性质定理知③正确．当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不能得出l⊥α，④错误．②③11.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS.所以SD⊥BD．又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD ⊥BD ，又SD ∩AC ＝D ， 所以BD ⊥平面SAC .12．(2017·南昌市第一次模拟测试)如图，四棱锥S ­ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ＝1，DC ＝SD ＝2，M ，N 分别为SA ，SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE ＝2EB ．(1)证明：MN ∥平面ABCD ； (2)证明：DE ⊥平面SBC .(1)连接AC ，因为M ，N 分别为SA ，SC 的中点，所以MN ∥AC ，又MN ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ．所以MN ∥平面ABCD ．(2)连接BD ，因为BD 2＝12＋12＝2，BC 2＝12＋(2－1)2＝2，BD 2＋BC 2＝2＋2＝4＝DC 2，所以DB ⊥BC ，又SD ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ， 所以SD ⊥BC ，因为SD ∩DB ＝D ，所以BC ⊥平面SDB ， 因为DE ⊂平面SDB ，所以BC ⊥DE ， 又SB ＝SD 2＋DB 2＝4＋2＝6， 当SE ＝2EB 时，EB ＝63， 在△EBD 与△DBS 中，EB BD＝632＝33，DB BS ＝26＝33， 所以EB BD ＝DBBS，又∠EBD ＝∠DBS ，所以△EBD ∽△DBS ， 所以∠DEB ＝∠SDB ＝90°，即DE ⊥SB ， 因为SB ∩BC ＝B ， 所以DE ⊥平面SBC .13．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ∶BC ∶AB ＝2∶3∶4，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将四边形ADFE 沿直线EF 进行翻折，给出下列四个结论：①DF ⊥BC ；②BD ⊥FC ；③平面BDF ⊥平面BCF；④平面DCF ⊥平面BCF ，则上述结论可能正确的是( )A．①③B．②③C．②④D．③④B 对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，则①不成立；对于②，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，所以②正确；对于③，当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；对于④，因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以④不成立．14.点P在正方体ABCD­A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列四个命题：①三棱锥A­D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DB⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________．连接BD交AC于点O，连接DC1交D1C于点O1，连接OO1，则OO1∥BC1.所以BC1∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，所以三棱锥P­AD1C的体积不变．又VP­AD1C＝VA­D1PC，所以①正确．连接A1B，A1C1，因为平面A1C1B∥平面AD1C，A1P⊂平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，②正确．由于DB不垂直于BC1，显然③不正确；连接B1D，由于DB1⊥D1C，DB1⊥AD1，D1C∩AD1＝D1，所以DB1⊥平面AD1C，DB1⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，④正确．①②④15．(2016·高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.(1)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D．又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.16.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点．(1)求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．(1)证明：在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD．(2)证明：如图，连接PG.因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，所以PG⊥AD．由(1)知，BG⊥AD，又PG∩BG＝G，所以AD⊥平面PGB．因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB．(3)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD．证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF.在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE.而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，PB⊂平面PGB，GB⊂平面PGB，PB∩GB＝B，所以平面DEF∥平面PGB．因为BG⊥平面PAD，PG⊂平面PAD，所以BG⊥PG. 又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G，所以PG⊥平面ABCD．又PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD．。

【优化探究】2017届高考数学一轮复习第七章第五节直线、平面垂直的判定及性质课时作业理新人教A版A组考点能力演练1．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m ⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β，其中正确的命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：①中，α∥β，且m⊥α，则m⊥β，因为l⊂β，所以m⊥l，所以①正确；②中，α⊥β，且m⊥α，则m∥β或m⊂β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，可能相交，所以②不正确；③中，m⊥l，且m⊥α，l⊂β，则α与β可能平行，可能相交，所以③不正确；④中，m∥l，且m⊥α，则l⊥α，因为l⊂β，所以α⊥β，所以④正确，故选B.答案：B2．设α，β，γ为不同的平面，m、n、l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件为( ) A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α解析：对于A，α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，根据面面垂直的性质定理可知，缺少条件m ⊂α，故不正确；对于B，α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于C，α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于D，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，则m⊥β，故正确，故选D.答案：D3.如图，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.答案：C4.如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的是( )A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°解析：A中，△A1BD为等边三角形，∴其四心合一，∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各顶点的距离相等，∴A正确；∵CD1∥BA1，CB1∥DA1，CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B正确；连接AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理，AC1⊥BA1，∴AC1⊥平面A1BD，∴A、H、C1三点共线，∴C正确，故选D.答案：D5.如图所示，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC1∩平面ABC＝AB，∴点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A.答案：A6．四棱锥P­ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥P­ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有________对．解析：由题意可得PA ⊥BC ，PA ⊥CD ，AB ⊥PD ，BD ⊥PA ，BD ⊥PC ，AD ⊥PB ，即互相垂直的异面直线共有6对．答案：67．如图所示，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ，∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥BD .又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC ，∴BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD .而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)8．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝5，BC ＝4，AC ＝3，M 是AB 边上的点，P 是平面ABC 外一点．给出下列四个命题：①若PA ⊥平面ABC ，则三棱锥P ­ABC 的四个面都是直角三角形；②若PM ⊥平面ABC ，且M 是AB 边的中点，则有PA ＝PB ＝PC ；③若PC ＝5，PC ⊥平面ABC ，则△PCM 面积的最小值为152； ④若PC ＝5，P 在平面ABC 上的射影是△ABC 内切圆的圆心，则点P 到平面ABC 的距离为23. 其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)解：由题意知AC ⊥BC ，对于①，若PA ⊥平面ABC ，则PA ⊥BC ，又PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥PC ，因此该三棱锥P ­ABC 的四个面均为直角三角形，①正确；对于②，由已知得M 为△ABC 的外心，所以MA ＝MB ＝MC .∵PM ⊥平面ABC ，则PM ⊥MA ，PM ⊥MB ，PM ⊥MC ，由三角形全等可知PA ＝PB ＝PC ，故②正确；对于③，要使△PCM 的面积最小，只需CM 最短，在Rt△ABC 中，(CM )min ＝125，∴(S △PCM )min ＝12×125×5＝6，故③错误；对于④，设P 点在平面ABC 内的射影为O ，且O 为△ABC 的内心，由平面几何知识得△ABC 的内切圆半径r ＝1，且OC ＝2，在Rt △POC 中，PO ＝PC 2－OC 2＝23，∴点P 到平面ABC 的距离为23，故④正确．答案：①②④9．(2016·扬州中学模拟)如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC ∩EF ＝O .沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2的五棱锥P ­ABFED ，且PB ＝10.(1)求证：BD ⊥平面POA ；(2)求四棱锥P ­BFED 的体积．解：(1)证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴BD ∥EF .∵ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，∴EF ⊥AC ，∴翻折后EF ⊥AO ，EF ⊥PO ，∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO ∩PO ＝O ，∴EF ⊥平面POA ，∴BD ⊥平面POA .(2)设AO ∩BD ＝H ，连接BO ，∵ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∵∠DAB ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∴BD ＝4，BH ＝2，HA ＝23，HO ＝PO ＝3，在Rt △BHO 中，BO ＝BH 2＋HO 2＝7，在△PBO 中，BO 2＋PO 2＝10＝PB 2，∴PO ⊥BO ，∵PO ⊥EF ，EF ∩BO ＝O ，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ，∴PO ⊥平面BFED ，又梯形BFED 的面积为S ＝12(EF ＋BD )·HO ＝33，∴四棱锥P ­BFED 的体积V ＝13S ·PO ＝13×33×3＝3.10.如图，已知四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ABC ＝45°，DC ＝1，AB ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1.(1)求证：AB ∥平面PCD ；(2)求证：BC ⊥平面PAC ；(3)若M 是PC 的中点，求三棱锥M ­ACD 的体积．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，CD ⊂平面PDC ，AB ⊄平面PDC ，∴AB ∥平面PDC .(2)证明：在直角梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则四边形ADCE 为矩形，∴AE ＝DC ＝1，又AB ＝2，∴BE ＝1，在Rt △BEC 中，∠EBC ＝45°，∴CE ＝BE ＝1，CB ＝2，在Rt △ACE 中，AC ＝AE 2＋CE 2＝2，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴BC ⊥AC .又PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥PA ，而PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC .(3)∵M 是PC 的中点，∴M 到平面ADC 的距离是P 到平面ADC 的距离的一半．∴V M ­ACD ＝13S △ACD ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12PA ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×12＝112. B 组 高考题型专练1．(2015·高考安徽卷)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行．．．，则在α内不存在．．．与β平行的直线 D ．若m ，n 不平行．．．，则m 与n 不可能．．．垂直于同一个平面 解析：A 中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A 错误；B 中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B 错误；C 中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C 错误；D 中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确．答案：D2．(2014·高考广东卷)如图(1)，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2.按图(2)折叠：折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF.(1)证明：CF ⊥平面MDF ；(2)求三棱锥M ­CDE 的体积．解：(1)证明：PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，MD ⊂平面ABCD ，MD ⊥CD ，∴MD ⊥平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，∴CF ⊥MD ，又CF ⊥MF ，MD ，MF ⊂平面MDF ，MD ∩MF ＝M ，∴CF ⊥平面MDF .(2)∵CF ⊥平面MDF ，∴CF ⊥DF ，又易知∠PCD ＝60°，∴∠CDF ＝30°，从而CF ＝12CD ＝12， ∵EF ∥DC ，∴DE DP ＝CF CP ，即DE 3＝122，∴DE ＝34，∴PE ＝334，S △CDE ＝12CD ·DE ＝38， MD ＝ME 2－DE 2＝PE 2－DE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3342－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝62， ∴V M ­CDE ＝13S △CDE ·MD ＝13·38·62＝216. 3．(2015·高考陕西卷)如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图2中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1­BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1­BCDE 的体积为362，求a 的值． 解：(1)证明：在图1中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .即在图2中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC ，又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)可得A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE ，即A 1O 是四棱锥A 1­BCDE 的高．由图1知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2. 从而四棱锥A 1­BCDE 的体积为V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3，由26a 3＝362，得a ＝6.4.(2015·高考广东卷)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.(1)证明：BC ∥平面PDA ；(2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离．解：(1)证明：∵长方形ABCD 中，BC ∥AD ，又BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，∴BC ∥平面PDA .(2)证明：取CD 的中点H ，连接PH ，∵PD ＝PC ，∴PH ⊥CD .又∵平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，∴PH ⊥平面ABCD . 又∵BC ⊂平面ABCD ，∴PH ⊥BC .又∵长方形ABCD 中，BC ⊥CD ，PH ∩CD ＝H ，∴BC ⊥平面PDC .又∵PD ⊂平面PDC ，∴BC ⊥PD .(3)连接AC .由(2)知PH 为三棱锥P ­ADC 的高．∵PH ＝PD 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12CD 2＝42－32＝7，S △ADC ＝12·AD ·CD ＝12×3×6＝9， ∴V P ­ADC ＝13·S △ADC ·PH ＝13×9×7＝37. 由(2)知BC ⊥PD ，又∵AD ∥BC ，∴AD ⊥PD ，∴S △PDA ＝12·PD ·AD ＝12×4×3＝6. 设点C 到平面PDA 的距离为h . ∵V C ­PDA ＝V P ­ADC ，∴13·S △PDA ·h ＝37， ∴h ＝3713·S △PDA ＝3713×6＝372.。

第五节直线、平面垂直的判定及其性质【最新考纲】 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(4)直线和平面垂直的性质：①垂直于同一个平面的两条直线平行．②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任意直线．③垂直于同一条直线的两平面平行．2．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°．3．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．4．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( )(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．( )(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( ) 答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．下列命题中不正确的是( )A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ.解析：根据面面垂直的性质定理，A项中l⊂β，l∥β或l⊥β.答案：A3．(2015·某某卷)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.( )A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m解析：∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．答案：A4．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵PA⊥平面ABC∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC则△PAB，△PAC为Rt△由BC⊥AC，且AC∩PA＝A∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC因此△ABC，△PBC也是Rt△.答案：4一种关系垂直问题的转化关系．三类证法1．证明线线垂直的方法．(1)定义：两条直线所成的角为90°；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；(4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b. 2．证明线面垂直的方法．(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l⊥m，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)判定定理2：a∥b，a ⊥α⇒b ⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. 3．证明面面垂直的方法．(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β.A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·某某一中期中)设α、β、γ为不同的平面，m 、n 、l 为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件为( )A ．α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥lB ．α∩γ＝m ，α⊥γ，β⊥γC ．α⊥γ，β⊥γ，m ⊥αD ．n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α解析：A 中，缺少条件m ⊂α，不满足面面垂直的性质定理，不正确．在选项B ，C 中，平面α与β可能平行或相交，推不出m⊥β.在D 中，n ⊥α，n ⊥β，则α∥β，根据m⊥α，得m⊥β，D 正确．答案：D2．(经典再现)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l⊥m，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l∥αB ．α⊥β且l⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l解析：根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l ，因此选项D 正确．答案：D3．如图，在正四面体P ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立．．．的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC解析：因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，∴BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B、C均正确．答案：D4．(2014·某某卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．( ) A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析：A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．答案：C5．如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B 的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是( )A．MN∥ABB．MN与BC所成的角为45°C．OC⊥平面VACD．平面VAC⊥平面VBC解析：由圆的性质，BC⊥AC.又VA⊥平面ABC，则VA⊥BC.从而BC⊥平面VAC，平面VAC⊥平面VBC.因此C不正确，D正确．由于MN∥AC，BC⊥AC，所以A，B不正确．答案：D二、填空题6．如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)7．(2016·某某调研)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．解析：取BC的中点E，连接AE，DE，则AE⊥平面BB1C1C.所以∠ADE 为直线AD 与平面BB 1C 1C 所成的角． 设三棱柱的所有棱长为a ， 在Rt △AED 中， AE ＝32a ，DE ＝a 2. 所以tan ∠ADE ＝AE DE ＝3，则∠ADE＝π3.故AD 与平面BB 1C 1C 所成的角为π3.答案：π38．如图所示，在三棱锥D ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的是________(填序号)．①平面ABC⊥平面ABD ； ②平面ABC⊥平面BCD ；③平面ABC⊥平面BDE ，且平面ACD⊥平面BDE ；④平面ABC⊥平面ACD ，且平面ACD⊥平面BDE. 解析：由AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 为AC 中点， 则AC⊥DE，AC ⊥BE ，又DE∩BE＝E ，从而AC⊥平面BDE.所以平面ABC⊥平面BDE ，平面ACD⊥平面BDE ，③正确． 答案：③ 三、解答题9．(2016·某某质检)如图所示，在三棱锥P ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB的中点．已知PA⊥AC，PA ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF ； (2)平面BDE⊥平面ABC.证明：(1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE∥PA. 又因为PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE∥PA，DE ＝12PA＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF. 又PA⊥AC，DE ∥PA ，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE⊥平面ABC.又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE⊥平面ABC.B级能力提升1．如图，在正四棱锥S ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP⊥面SAC中恒成立的为( )A．①③B．③④C．①②D．②③④解析：∵E，M，N是BC，CD，SC的中点，∴EN∥SB，EM∥BD，从而可得EN∥平面SBD，EM∥平面SBD.又EN与EM是平面EMN内的两条相交直线，∴平面EMN∥平面SBD，故EP∥平面SBD，因此③正确，当点P与M不重合时，②不正确．在正四棱锥S ABCD中，AC⊥平面SBD.从而AC⊥平面EMN，由EP⊂平面EMN，得AC⊥EP，①正确．又易知EM⊥平面SAC，因此④不恒成立．答案：A2．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.解析：∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D.为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.答案：a或2a立体几何中的高考热点题型[高考导航]__________________________________1．立体几何初步是高考的重要内容，几乎每年都考查一个解答题，两个选择或填空题，客观题主要考查空间概念，三视图及简单计算；解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即利用定义、公理、定理证明空间线线、线面、面面平行或垂直，并与几何体的性质相结合考查几何体的计算．2．重在考查学生的空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力．考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法．[热点突破]__________________________________热点1 平行、垂直关系的证明与体积的计算(满分现场)以空间几何体(主要是柱、锥或简单组合体)为载体，通过空间平行、垂直关系的论证命制，主要考查公理4及线、面平行与垂直的判定定理与性质定理，常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查，考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想，一般以解答题的形式出现，难度中等．(本小题满分12分)如图所示，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)求证平面ABE⊥平面B 1BCC 1. (2)求证C 1F ∥平面ABE. (3)求三棱锥EABC 的体积．规X 解答：(1)在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，且AB ⊂平面ABC.所以BB 1⊥AB.又因为AB⊥BC，且BB 1∩BC ＝B ① 所以AB⊥平面B 1BCC 1.3分 因为AB ⊂平面ABE ② 所以平面ABE⊥平面B 1BCC 1.4分图1 图2(2)法一 如图1，取AB 中点G ，连接EG ，FG. 因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点， 所以FG∥AC，且FG ＝12AC.因为AC∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG∥EC 1，且FG ＝EC 1.所以四边形FGEC 1为平行四边形.6分 所以C 1F ∥EG.又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， ③ 所以C 1F ∥平面ABE.8分法二 如图2，取AC 的中点H ，连接C 1H ，FH. 因为H ，F 分别是AC ，BC 的中点，所以HF∥AB， 又因为E ，H 分别是A 1C 1，AC 的中点， 所以EC 1綊AH ，所以四边形EAHC 1为平行四边形， 所以C 1H ∥AE.又C 1H ∩HF ＝H ，AE ∩AB ＝A ， ④6分 所以平面ABE∥平面C 1HF ， 又C 1F ⊂平面C 1HF ， 所以C 1F ∥平面ABE.8分(3)解：因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB⊥BC， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.10分 所以三棱锥EABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33. ⑤12分 【满分规则】 (1)本题的易失分点：①在第(1)问中，忽视条件①与②，导致证明线面、面面垂直的判定定理条件不全，进而扣分．②在第(2)问中，作不出辅助线，线面平行证明受阻，或忽视条件③，漏掉线面平行判定定理的条件扣1分．③运算不细心或运算能力差，导致运算结果(如⑤处)错误扣2分． (2)满分规则：①得关键点分：证明立体几何要注意解题规X ，严格按照线面平行、垂直的定理条件要求，有序进行论证说明．②得步骤分：阅卷时，主要看关键步骤、关键点，有则得分，无则扣分，所以解题时要写全关键步骤，不能漏掉，否则扣分．③得运算分：在解题过程中，涉及有关长度、角、面积、体积等计算问题时，一定要细心准确，否则思路正确，由于运算失误而扣分，非常可惜．【构建模板】 第一步：利用线面垂直判定定理，证AB⊥平面B 1BCC 1.第二步：证明平面ABE⊥平面B1BCC1.第三步：根据线面平行判定证明C1F∥平面ABE.第四步：根据体积公式，计算三棱锥E ABC的体积．第五步：检验反思，查关键点，规X步骤．【变式训练】(2015·课标全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E ACD的体积为63，求该三棱锥E ACD的侧面积．(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)解：设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝32x，GB＝GD＝x2.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝32x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝22x.由已知得，三棱锥E ACD的体积V E ACD＝13×12AC·GD·BE＝624x3＝63.故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝ 6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 5. 故三棱锥E ACD的侧面积为3＋2 5.热点2 平面图形折叠成空间几何体问题(真题探源)先将平面图形折叠成空间几何体，再以其为载体研究其中的线、面间的位置关系与计算有关的几何量是近几年高考考查立体几何的一类重要考向，它很好地将平面图形拓展成空间图形，同时也为空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径，是高考深层次上考查空间想象能力的主要方向．(2015·某某卷)如图(1)，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图(2)中△A 1BE的位置，得到四棱锥A 1BCDE.(1)证明：CD⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1BCDE 的体积为362，求a 的值．【命题立意】本题以平面图形的折叠为背景，考查空间垂直关系、棱锥体积的计算．考查学生识图空间想象能力．推理论证能力及数学应用意识，同时考查数学运算求解能力，突出考查方程思想、转化化归思想方法．(1)证明：在图(1)中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE⊥AC.则在图(2)中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，且A 1O ∩OC ＝O. 从而BE⊥平面A 1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A 1OC. (2)解：由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ， 又由(1)可得A 1O ⊥BE ， 所以A 1O ⊥平面BCDE. 即A 1O 是四棱锥A 1BCDE 的高．由图(1)知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC·AB＝a 2， 从而四棱锥A 1BCDE 的体积为V ＝13S ·A 1O ＝13·a 2·22a ＝26a 3. 由26a 3＝362，得a ＝6. 【真题探源】 高考越来越重视教材题目的拓展及相关习题的融合．本题源于人教A 版必修2P 79B 组第1题的改造迁移，两题均考查空间垂直关系的证明、锥体的体积计算．高考真题将折叠“正方形”改造为折叠“直角梯形”为背景．第(2)问中，将教材中“根据正方形边长，求锥体体积”改造为“已知锥体的体积求直角梯形的底边长”．两题求解的关键在于分清翻折前后图形线面位置关系和度量关系的变化情况．试题的导向有利于中学数学教学，要求在高三复习中重视挖潜教材题目的功能，另外真题也和选修2－1P 119页B 组第3题有密切联系．《人教A 版必修2》P 79习题B 组第1题 如图所示，在边长为2的正方形ABCD 中，(1)点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED，△DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于点A′，求证：A′D⊥EF.(2)当BE ＝BF ＝14BC 时，求三棱锥A′EFD 的体积．【变式训练】 已知等边△ABC 的边长为3，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且满足ADDB ＝CE EA ＝12，将△ADE 沿DE 折叠到△A 1DE 的位置，使平面A 1DE ⊥平面BCED ，连接A 1B ，A 1C.(1)证明：A 1D ⊥平面BCED.(2)在线段BD 上是否存在点M ，使得CM∥平面A 1DE ？若存在，求出BM 的长；若不存在，说明理由．(1)证明：在△ABC 中，AD DB ＝CE EA ＝12，得AD ＝CE ＝1，BD ＝AE ＝2，在△ADE 中，∠A ＝60°，AD ＝1，AE ＝2. 由余弦定理得DE ＝3， 于是AE 2＝AD 2＋DE 2.故△ADE 为直角三角形，且DE⊥AD. 因此折叠后DE⊥A 1D. 因为平面A 1DE ⊥平面BCED ， 平面A 1DE ∩平面BCED ＝DE ， A 1D ⊂平面A 1DE ， 所以A 1D ⊥平面BCED.(2)解：存在满足要求的点M 过C 作BD 边的垂线，垂足即为所求的点M. 证明如下：由(1)可知DE⊥AB，于是DE∥CM， 因为CM ⊄平面A 1DE ，DE ⊂平面A 1DE ， 所以CM∥平面A 1DE ，因为△ABC 为等边三角形，且CM⊥BD， 所以BM ＝12BA ＝32.线、面位置关系中的开放存在性问题是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题，是近几年高考命题的热点，常以解答题中最后一问的形式出现，一般有三种类型：(1)条件追溯型．(2)存在探索型．(3)方法类比探索型．(2016·威海模拟)如图所示，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD ，且E ，F 分别为PC ，BD 的中点．(1)求证：EF∥平面PAD ；(2)在线段CD 上是否存在一点G ，使得平面EFG⊥平面PDC ？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．(1)证明：如图所示，连接EF，AC，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且点F为对角线BD的中点．所以对角形AC经过点F，又在△PAC中，点E为PC的中点，所以EF为△PAC的中位线，所以EF∥PA，又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.(2)解：存在满足要求的点G.在线段CD上存在一点G为CD的中点，使得平面EFG⊥平面PDC，因为底面ABCD是边长为a的正方形，所以CD⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，侧面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面PAD.又EF∥平面PAD，所以CD⊥EF.取CD中点G，连接FG、EG.因为F为BD中点，所以FG∥AD.又CD⊥AD，所以FG⊥CD，又FG∩EF＝F，所以CD⊥平面EFG，又CD⊂平面PDC，所以平面EFG⊥平面PDC.1．在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本．2．第(2)问是探索开放性问题，采用了先猜后证，即先观察与尝试给出条件再加以证明，对于命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论．【变式训练】 (2015·某某卷)如图，三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥PABC 的体积；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC⊥BM，若存在点M ，求出PMMC 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由PA⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P ABC 的高．又PA ＝1，所以三棱锥P ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36. (2)在平面ABC 内，过点B 作BN⊥AC，垂足为N. 在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM. 由PA⊥平面ABC 知PA⊥AC，所以MN⊥AC.由于BN∩MN＝N ，故AC⊥平面MBN. 又BM ⊂平面MBN ，所以AC⊥BM.在直角△BAN 中，AN ＝AB·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32，由于MN∥PA，得PM MC ＝AN NC ＝13，故在线段PC 上存在点M ，使得AC⊥BM，且PM MC ＝13.1．(2015·某某卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.(1)解：标出点F、G、H的位置如图所示．(2)解：平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形．所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH，与EG交于点O，连接BD.因为ABCD EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G ，所以DF⊥平面BEG.2．如图所示，ABCD 为矩形，DA ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF⊥平面ACE ，AC 和BD 交于点G.(1)求证：AE∥平面BFD. (2)求三棱锥CBFG 的体积．(1)证明：由题意可得G 是AC 的中点， 因为BF⊥平面ACE ， 所以BF⊥CE，又BC ＝BE ， 所以F 是CE 的中点， 所以FG∥AE，又FG ⊂平面BFD ，AE ⊄平面BFD ， 所以AE∥平面BFD.(2)解：由矩形ABCD 知AD∥BC，且AD⊥平面ABE. 所以BC⊥平面ABE ，则BC⊥AE. 因为B F⊥平面ACE ，所以BF⊥AE， 又BC∩BF＝B ，所以AE⊥平面BCE. 由(1)知G 是AC 的中点，F 是CE 的中点． 所以FG∥AE 且FG ＝12AE ＝1.所以FG⊥平面BCE.在Rt △BCE 中，BF ＝12CE ＝CF ＝2，所以S △CFB ＝12×2×2＝1.所以V CBFG＝V GBCF＝13S △CFB ×FG ＝13×1×1＝13. 3．如图，在边长为1的等边△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图所示的三棱锥ABCF ，其中BC＝22.(1)证明：DE∥平面BCF.(2)证明：CF⊥平面ABF.(3)当AD＝23时，求三棱锥F DEG的体积V F DEG.(1)证明：在等边△ABC中，AD＝AE，所以ADDB＝AEEC，从而在折叠后的三棱锥A BCF中，仍有ADDB＝AEEC，所以DE∥BC，又DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF.所以DE∥平面BCF.(2)证明：在等边△ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥FC，BF＝CF＝12.因为在三棱锥A BCF中，BC＝22，所以BC2＝BF2＋CF2，CF⊥BF.因为BF∩AF＝F，所以CF⊥平面ABF.(3)解：由(1)可知GE∥CF中，结合(2)得GE⊥平面DFG. 由AD＝23，且等边△ABC的边长为1，∴DG＝GE＝12×23＝13，GF＝13×32＝36，则S△DFG＝12DG·GF＝12×13×36＝336.故V棱锥F DEG＝V棱锥E DFG＝13GE·S△DFG＝3324.4．(2015·某某卷)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.(1)求证：BC∥平面PDA ； (2)证明：BC⊥PD；(3)求点C 到平面PDA 的距离．(1)证明：∵四边形ABCD 为长方形，∴BC ∥AD. 又BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ， ∴BC ∥平面PDA.(2)证明：∵BC⊥CD，平面PDC⊥平面ABCD 且平面PDC∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面PDC ， 又PD ⊂平面PDC ， 因此BC⊥PD.(3)解：取CD 的中点E ，连接PE ，AC. ∵PD ＝PC ，∴PE ⊥CD ，∴PE ＝PC 2－CE 2＝42－32＝7.∵平面PDC⊥平面ABCD 且平面PDC∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PDC ， ∴PE ⊥平面ABCD. 由(2)知BC⊥平面PDC. 又AD∥BC，∴AD ⊥平面PDC. 又PD ⊂平面PDC ，∴AD ⊥PD. 设点C 到平面PDA 的距离为h ，则V C PDA＝V PACD，∴13S △PDA ·h ＝13S △ACD ·PE ， ∴h ＝S △ACD ·PE S △PDA ＝12×3×6×712×3×4＝372，故点C 到平面PDA 的距离为372.5．(2016·某某调研)如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，且AB∥EF，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且AD ＝EF ＝AF ＝1，AB ＝2.(1)求证：平面AFC⊥平面CBF ；(2)在线段CF 上是否存在一点M ，使得OM∥平面DAF ？并说明理由． (1)证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ， 平面ABCD∩平面ABEF ＝AB ， ∴CB ⊥平面ABEF ，由AF ⊂平面ABEF ，得AF⊥CB. 又∵AB 是圆O 的直径， ∴AF⊥BF，从而AF⊥平面CBF. ∵AF ⊂平面AFC ， 故平面AFC⊥平面CBF.(2)解：取CF 中点记作M ，设DF 的中点为N ，连接AN ，MN ， 则MN 綊12CD ，又AO 綊12CD ，则MN 綊AO ，∴MNAO 为平行四边形，∴OM ∥AN. 又AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ， ∴OM ∥平面DAF.故在线段CF 上存在点M ，当点M 是CF 的中点时，使得OM∥平面DAF. 6．(2015·某某卷)如图所示，直三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点．(1)证明：平面AEF⊥平面B 1BCC 1；(2)若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°，求三棱锥FAEC 的体积．(1)证明：如图，因为三棱柱ABCA 1B 1C 1是直三棱柱，所以AE⊥BB 1.又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点， 所以AE⊥BC. 因此AE⊥平面B 1BCC 1. 又AE ⊂平面AEF ， 所以平面AEF⊥平面B 1BCC 1.(2)解：设AB 的中点为D ，连接A 1D ，CD. 因为△ABC 是正三角形，所以CD⊥AB. 又三棱柱ABCA 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD⊥AA 1.因此CD⊥平面A 1ABB 1，于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角． 由题设，∠CA 1D ＝45°，所以A 1D ＝CD ＝32AB ＝ 3. 在Rt △AA 1D 中，AA 1＝ A 1D 2－AD 2＝3－1＝2， 所以FC ＝12AA 1＝22.故三棱锥FAEC 的体积V ＝13S △AEC ·FC ＝13×32×22＝612. 命题立意：知识：空间线面、面面垂直关系的证明，直线与平面所成的角以及三棱锥的体积的计算．能力：通过空间线面、面面垂直关系的证明考查空间想象能力和推理论证能力，通过求三棱锥的体积考查运算求解能力．试题难度：中．。