高二上学期数学期末考试模拟试题

高二数学上学期期末考试模拟试题一、选择题：（每题5分，共60分） 1、若a<1,那么 （ D ）（A ）a1>1, (B)|a|<1, (C)a 2<1, (D)a 3<1 2、若a,b 为实数，且a+b=2,则3a +3b 的最小值为（ B ） （A ）18， （B ）6， （C ）23， （D ）243 3、与不等式xx --23≥0同解的不等式是 （ B ） A 、（x-3）(2-x)≥0 B 、0<x-2≤1 C 、32--x x≥0 D 、(x-3)(2-x)>0 4、直线3x+2y+6=0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则 （ C ）(A)k=－23,b=3 (B)k=－32,b=-2 (C)k=－23,b=-3 (D) k=－32,b=-3 5、如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么a 等于 （ B ） （A ）－3， （B ）－6， （C ）－23， （D ）32 6. 直线1y kx =+被圆22(1)2x y +-=所截得的弦AB 的长等于（ D ）A ．2B ．4C ．2 D ．227、和直线3x –4y+5=0关于x 轴对称的直线方程是 （ B ）（A ）3x+4y –5=0, (B)3x+4y+5=0, (C)-3x+4y –5=0, (D)-3x+4y+5=0 8、直线y=x+23被曲线y=21x 2截得线段的中点到原点的距是（ D ）（A ）29 （B ）29 （C ）429 （D ）229 9、直线y=x –1上的点到圆x 2+y 2+4x –2y+4=0上的点的最近距离是 （ C ）（A ）22 （B ）2－１ （C ）22－１ （D ）110、椭圆252x +92y =1上一点p 到一个焦点的距离为5，则p到另一个焦点的距离为（ A ）（A ）5 （B ）6 （C ）4 （D ）1011、双曲线： 的准线方程是191622=-x y （ D ）（Ａ）y=±716 (B)x=±516 (C)X=±716(D)Y=±516 12、抛物线：y=4ax 2的焦点坐标为 （ B ） （A ）（a 41，0） （B ）（0, a 161）(C)(0, -a 161) (D) (a161,0) 二、填空题：（每题4分，共16分）13、若不等式ax 2+bx+2>0的解集是（–21,31），则a-b= -10 .14、由x ≥0,y ≥0及x+y ≤4所围成的平面区域的面积为 8 . 15、已知圆的方程⎩⎨⎧-=+=θθsin 43cos 45y x 为（θ为参数），则其标准方程为（x-5）2+(y-3)2=42,16、已知双曲线162x -92y =1，椭圆的焦点恰好为双曲线的两个顶点，椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则椭圆的方程为 1352222=+y x三、解答题：（74分）17、如果a ，b +∈R ，且a ≠b ，求证： 422466b a b a b a +>+（12分）17、证明：(a ）422466()b a b a b +-+)()())(()()()()222224422224224426246>+-=--=---=-+-=b a b a b a b a b a b b a a b a b b a a于是422466422466,0)()b a b a b a b a b a b a +>+>+-+即 18. 解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<． 18.解：0a =时，解得x ＞1；0a ≠时，1()(1)0a x x a--<，……………………4分若a ＞1，则解集为：1(,1)a，………………………………6分若1a =，则解集为：φ，………………………………8分若0＜a ＜1，则解集为：1(1,)a ，………………………………10分若a ＜0，则解集为：1(,)(1,)a-∞⋃+∞，………………………………12分 综上，略………………………………13分19、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作线段PP 1，求线段PP 1中点M 的轨迹方程。

【必考题】高二数学上期末模拟试卷带答案一、选择题1．如图，ABC ∆和DEF ∆都是圆内接正三角形，且//BC EF ，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在ABC ∆内”，B 表示事件“豆子落在DEF ∆内”，则(|)P B A =（ ）A ．33B ．3 C ．13D ．232．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率 分布直方图如图所示则下列说法正确的是（ ）A ．频率分布直方图中a 的值为 0.040B ．样本数据低于130分的频率为 0.3C ．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D ．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数不相等3．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．320B ．720C ．316D ．254．如图是把二进制的数11111化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．4i >？B ．5i >？C ．4i ≤？D ．5i ≤？5．2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（ ）A ．45B ．47C ．48D ．636．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．10072015B ．10082017C ．10092019D ．101020217．如果数据12,,,n x x x L 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（ ） A ．x ，28B ．52x +，28C ．52x +，2258⨯D ．x ，2258⨯8．执行如图的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为( )A ．5k <？B ．5k ≥？C ．6k <？D ．6k ≥？9．执行如图的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框（ ）A ．4k <B ．5k <C ．6k <D ．7k <10．设数据123,,,,n x x x x L 是郑州市普通职工*(3,)n n n N ≥∈个人的年收入，若这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变11．根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 关于x 的线性回归方程是9944y x =+$，则表中m 的值为( ) x 8 10 1112 14 y2125m2835A ．26B ．27C ．28D ．2912．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )A ．92，94B ．92，86C ．99，86D ．95，91二、填空题13．我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为R 的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是__________．14．执行如图所示的程序框图若输人x 的值为3，则输出y 的值为______．15．若(9)85a =，(5)301b =，(2)1001c =，则这三个数字中最大的是___ 16．为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在(单位：分钟)内的学生人数为____．17．下图是华师一附中数学讲故事大赛7位评委给某位学生的表演打出的分数的茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是____________.18．如图所示的程序框图，输出的S 的值为( )A ．12 B ．2 C ．1- D ．12- 19．一组样本数据按从小到大的顺序排列为：1-，0，4，x ，y ，14，已知这组数据的平均数与中位数均为5，则其方差为__________．20．在区间[,]-ππ内随机取出两个数分别记为a 、b ，则函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为__________．三、解答题21．已知一个口袋有3个白球，1个黑球，这些球除颜色外全部相同，现将口袋中的球随机逐个取出，并依次放入编号为1，2，3，4的抽屉内. （1）求编号为2的抽屉内放黑球的概率；（2）口袋中的球放入抽屉后，随机取出两个抽屉中的球，求取出的两个球是一黑一白的概率.22．2018年中秋节到来之际，某超市为了解中秋节期间月饼的销售量，对其所在销售范围内的1000名消费者在中秋节期间的月饼购买量(单位：g)进行了问卷调查，得到如下频率分布直方图：()1求频率分布直方图中a的值；()2以频率作为概率，试求消费者月饼购买量在600g1400g～的概率；()3已知该超市所在销售范围内有20万人，并且该超市每年的销售份额约占该市场总量的5%，请根据这1000名消费者的人均月饼购买量估计该超市应准备多少吨月饼恰好能满足市场需求(频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表)？23．甲，乙两人玩摸球游戏，每两局为一轮，每局游戏的规则如下：甲，乙两人均从装有4只红球、1只黑球的袋中轮流不放回摸取1只球，摸到黑球的人获胜，并结束该局.（1）若在一局中甲先摸，求甲在该局获胜的概率；（2）若在一轮游戏中约定：第一局甲先摸，第二局乙先摸，每一局先摸并获胜的人得1分，后摸井获胜的人得2分，未获胜的人得0分，求此轮游戏中甲得分X的概率分布及数学期望.24．某公司为研究某产品的广告投入与销售收入之间的关系，对近五个月的广告投入x （万元）与销售收入y（万元）进行了统计，得到相应数据如下表：广告投入x（万元）91081112销售收入y（万元）2123212025（1）求销售收入y关于广告投入x的线性回归方程y bx a=+$$$．（2）若想要销售收入达到36万元，则广告投入应至少为多少.参考公式：()()()121ni iiniix x y ybx x∧==--=-∑∑，ˆˆ•a yb x=-25．如下图是某校高三（1）班的一次数学知识竞赛成绩的茎叶图（图中仅列出[50,60)，[90,100)的数据）和频率分布直方图.（1）求分数在[50,60)的频率及全班人数； （2）求频率分布直方图中的,x y ；（3）若要从分数在[80,100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90,100)之间的概率.26．甲乙两人同时生产内径为25.41mm 的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出 5 件（单位：mm ） , 甲：25.44，25.43， 25.41，25.39，25.38 乙：25.41，25.42， 25.41，25.39，25.42. 从生产的零件内径的尺寸看、谁生产的零件质量较高．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】如图所示，作三条辅助线，根据已知条件，这些小三角形全等，ABC ∆包含9 个小三角形，同时又在DEF ∆内的小三角形共有6 个，所以(|)P B A =6293= ，故选D. 2．C解析：C 【解析】 【分析】由频率分布直方图得的性质求出0.030a =；样本数据低于130分的频率为：0.7；[)80,120的频率为0.4，[)120,130的频率为0.3.由此求出总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.41203123.30.3-+⨯≈分；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等． 【详解】由频率分布直方图得：()0.0050.0100.0100.0150.0250.005101a ++++++⨯=，解得0.030a =，故A 错误；样本数据低于130分的频率为：()10.0250.005100.7-+⨯=，故B 错误；[)80,120的频率为：()0.0050.0100.0100.015100.4+++⨯=， [)120,130的频率为：0.030100.3⨯=．∴总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.412010123.30.3-+⨯≈分，故C 正确； 样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等， 总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等，故D 错误．故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.3．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案． 【详解】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236⨯=种选择； 如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有236⨯=种选择，得到第5球独占一盒的选择有4(66)48⨯+=种，第二类，第5球不独占一盒，先放14-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436⨯=，根据分类计数原理得，不同的方法有364884+=种．而将五球放到4盒共有2454240C A ⨯=种不同的办法，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率84724020P == 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．4．C解析：C 【解析】 【分析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】根据程序框图：1,1S i ==；3,2S i ==；7,3S i ==；15,4S i ==；31,5S i ==，结束. 故选：C . 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.5．A解析：A 【解析】 【分析】由茎叶图确定所给的所有数据，然后确定中位数即可. 【详解】各数据为：12 20 31 32 34 45 45 45 47 47 48 50 50 61 63， 最中间的数为：45，所以，中位数为45． 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查茎叶图的阅读，中位数的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．C解析：C【解析】 【分析】首先确定流程图的功能为计数111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯L 的值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果. 【详解】由题意结合流程图可知流程图输出结果为111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯L ， 11(2)111(2)2(2)22n n n n n n n n +-⎛⎫=⨯=- ⎪+++⎝⎭Q，111113355720172019S ∴=++++⨯⨯⨯⨯L 11111111123355720172019⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1110091220192019⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 本题选择C 选项. 【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．7．C解析：C 【解析】根据平均数的概念，其平均数为52x +，方差为2258⨯，故选C.8．C解析：C 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】由题意，模拟程序的运算，可得k 1=，a 1=满足判断框内的条件，执行循环体，a 6=，k 3= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 33=，k 5= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 170=，k 7=此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出a的值为170．则分析各个选项可得程序中判断框内的“条件”应为k6<？故选：C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．C解析：C【解析】由程序框图可知a=4a+1=1,k=k+1=2;a=4a+1=5,k=k+1=3;a=4a+1=21,k=k+1=4;a=4a+1=85,k=k+1=5;a=4a+1=341;k=k+1=6.要使得输出的结果是a=341,判断框中应是“k<6?”.10．B解析：B【解析】∵数据x1，x2，x3，…，x n是郑州普通职工n(n⩾3,n∈N∗)个人的年收入，而x n+1为世界首富的年收入则x n+1会远大于x1，x2，x3，…，x n，故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到x n+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大.故选B11．A解析：A【解析】【分析】首先求得x的平均值，然后利用线性回归方程过样本中心点求解m的值即可．【详解】由题意可得：810111214115x++++==，由线性回归方程的性质可知：99112744y=⨯+=，故21252835275m++++=，26m∴=．故选：A．【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与y 之间的关系，这条直线过样本中心点．12．B解析：B【解析】由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B.二、填空题13．【解析】∵阴影部分面积为∴飞镖落在黑色部分的概率为故答案为点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度面积体积等时应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时关键是试验的全部结果构成的区域和事件发解析：2【解析】∵阴影部分面积为221141262222R R R ππ⎛⎫-⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭∴飞镖落在黑色部分的概率为22222R R ππ=-故答案为22π- 点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．14．63【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】解：模拟程序的运行可得x=3y=7不满足条件|解析：63【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得x=3y=7不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=7，y=15不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=15，y=31不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=31，y=63此时，满足条件|x-y|＞31，退出循环，输出y 的值为63．故答案为63．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15．【解析】【分析】将三个数都转化为10进制的数然后比较大小即可【详解】故最大【点睛】本题考查了不同进制间的转化考查了学生的计算能力属于基础题解析：a【解析】【分析】将三个数都转化为10进制的数，然后比较大小即可。

2023-2024学年辽宁省丹东市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．抛物线28x y =的准线方程为（）A ．1y =-B ．=2y -C ．=1x -D ．2x =-【正确答案】B【分析】由抛物线定义即可求.【详解】由定义可知，抛物线28x y =的准线方程为422y =-=-.故选：B.2．学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现仅剩的3个社团供4名同学选择，则不同的选择方法有（）A ．34A 种B ．34C 种C ．34种D ．43种【正确答案】D【分析】由分步计数乘法原理即可求解【详解】由题意可得，每名同学共有3种选择，故不同的选择方法有43种故选：D3．已知椭圆过点()0,2，焦点分别为()10,1-F ，()20,1F ，则椭圆的离心率为（）A ．12BC．2D【正确答案】A【分析】由题可得椭圆方程，后可得椭圆离心率.【详解】设椭圆方程为22221y x a b +=，右焦点为(),0c ，由题有.2222411aa b c ⎧=⎪⎨⎪-==⎩则2a =，故离心率为12c e a ==.故选：A4．已知空间向量()2,1,4a =-- ，()1,1,2b =- ，()7,5,c m =-- 若，a ，b，c 共面，则实数m 的值为（）A ．14-B ．6C ．10-D ．12【正确答案】A【分析】根据向量共面，建立方程组，解得答案.【详解】由a ，b ，c 共面，可设a xb yc =+ ，则271542x yx yx my -=-⎧⎪=--⎨⎪-=+⎩，由2715x y x y -=-⎧⎨=--⎩，解得1712112x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入第三个方程可得：174612m -=-+，解得14m =-.故选：A.5．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是1DD 的中点，则二面角11E B C C --的平面角的正切值为（）A ．1B ．5C ．2D．【正确答案】C【分析】由题可得1EC C ∠为二面角11E B C C --的平面角，后结合题目条件可得答案.【详解】如图，因几何体为正方体，则11B C ⊥面11C CDD ，1C C ⊂面11C CDD ，则111B C C C ⊥，又1C E ⊂平面11C CDD ，则111B C C E ⊥，故1EC C ∠即为二面角11E B C C --的平面角.过E 做直线1C C 垂线，交1C C 于F ，则F 为1C C 中点.故112tan EFEC F C F∠==.故选：C6．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离等于a ，则双曲线C 的渐近线方程为（）A0y ±=B．0x =C ．0x y ±=Dy ±=【正确答案】C【分析】由点到直线距离公式可得a b ，间关系，据此可得答案.【详解】由题，双曲线的一条渐近线的方程为by x a =，右焦点为(),0c ，a b a =⇒=，故渐近线方程为0x y ±=.故选：C7．如图所示为某公园景观的一隅，是由ABCDE 五处区域构成，现为了美观要将五处区域用鲜花装饰，要求相邻区域种植不同色的鲜花，有4种颜色鲜花可供选用，则不同的装饰方案数为（）A ．216B ．144C ．128D ．96【正确答案】B【分析】依次确定区域B 、A 、D 、C 、E 的选法种数，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】区域B 有4种颜色鲜花可供选择，区域A 有3种颜色鲜花可供选择，区域D 有3种颜色鲜花可供选择，区域C 、E 各有2种颜色鲜花可供选择，由分步乘法计数原理可知，不同的装饰方案数为43322144⨯⨯⨯⨯=种.故选：B.8．已知圆22:16O x y +=与圆22:86160C x y x y ++++=交于A ，B 两点，则四边形OACB 的面积为（）A ．12B ．6C ．24D ．245【正确答案】A【分析】由两圆标准方程得圆心坐标和半径，由()4,0A -和()4,3C --可知OA AC ⊥，则四边形OACB 的面积1222OAC S S OA AC ==⨯⋅⋅ ，计算即可.【详解】圆22:16O x y +=，圆心坐标为()0,0O ，半径14r =，圆22:86160C x y x y ++++=化成标准方程为()()22439x y +++=，圆心坐标为()4,3C --，半径23r =，圆O 与圆C 都过点()4,0-，则()4,0A -，如图所示，又()4,3C --，∴OA AC ⊥，由对称性可知，OB BC ⊥，4OA OB ==，3AC BC ==，则四边形OACB 的面积12243122OAC S S OA AC ==⨯⋅⋅=⨯= .故选：A 二、多选题9．20件产品中有18件合格品，2件次品，从这20件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法表述正确的是（）A ．12219C C ⋅B ．1221218218C C C C ⋅+⋅C ．332018C C -D ．1221219218C C C C ⋅-⋅【正确答案】BCD【分析】直接法：抽出的3件产品中至少有1件次品有两种可能：恰有1件次品和恰有2件次品，运即可算求解；间接法：法一：20件产品中任意抽取3件的抽法减去没有次品（全为合格品）的抽法；法二：先抽取1件次品，再从剩余的19件中任取2件，减去重复一次的情况（2个次品）.【详解】直接法：抽出的3件产品中至少有1件次品有如下可能：抽出的3件产品中恰有1件次品的抽法12219C C ⋅；抽出的3件产品中恰有2件次品的抽法21218C C ⋅；故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为1221218218C C C C ⋅+⋅，A 错误，B 正确；间接法：法一：这20件产品中任意抽取3件的抽法为320C ，抽出的3件产品中没有次品（全为合格品）的抽法为318C ，故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为332018C C -，C 正确；法二：先抽取1件次品，再从剩余的19件中任取2件，抽法为12219C C ⋅，但2个次品的情况重复一次，抽出2个次品的抽法为21218C C ⋅，故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为1221219218C C C C ⋅-⋅，D 正确；故选：BCD.10．若2022220220122022(1)x a a x a x a x -=++++ ，则（）A ．01a =B ．12022a =C ．1220221a a a +++=- D ．012320221a a a a a -+-++= 【正确答案】AC【分析】对ACD ，由赋值法可判断；对B ，由二项式展开项通项公式可求.【详解】对A ，令0x =得01a =，A 对；对B ，由二项式展开项通项公式可得第2项为()1120212202211C 120222022T x x a x a =-=-=⇒=-，B 错对C ，令1x =得0122022122022001a a a a a a a a +++=++=-+⇒=-+，C 对；对D ，令=1x -得0123220222022a a a a a -+-++=，D 错.故选：AC.11．已知直线:2410l kx y k --+=，则下列表述正确的是（）A ．当2k =时，直线的倾斜角为45B ．当实数k 变化时，直线l 恒过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．当直线l 与直线240x y +-=平行时，则两条直线的距离为1D ．直线l 与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4【正确答案】ABD【分析】A 选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误；B 选项，将直线方程整理为()4120k x y -+-=，由此可得直线所过定点；C 选项，由题可得1k =-，后由平行直线距离公式可判断选项；D 选项，分别令0x y =，，可得直线与y 轴，x 轴交点为1402,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，140,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.则围成三角形面积为1141422k k ⎛⎫-⋅⋅- ⎪⎝⎭，后由基本不等式可判断选项.【详解】A 选项，当2k =时，直线方程为2270x y --=，可得直线斜率为1，则倾斜角为45 ，故A 正确；B 选项，由题可得()4120k x y -+-=，则直线过定点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，故B 正确；C 选项，因直线l 与直线240x y +-=平行，则221828k k k =-⎧⇒=-⎨-+≠⎩，则直线方程为：250x y --+=，即250x y +-=.则l 与直线240x y +-=之间的距离为5=，故C 错误；D 选项，分别令0x y =，，可得直线与y 轴，x 轴交点为1402,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，140,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又交点在两坐标轴正半轴，则14020140kk k-⎧>⎪⎪⇒<⎨⎪->⎪⎩.故围成三角形面积为()1141142424224k k k k ⎛⎫-⋅⋅-=+-+≥+= ⎪-⎝⎭，当且仅当144k k-=-，即14k =-时取等号.即面积最小值为4，故D 正确.故选：ABD.12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点，且满足BE BA λ=，[]0,1λ∈，BF BC μ=，[]0,1μ∈．则（）A ．当1λμ==时，正方体各棱与平面1D EF 夹角相等B ．当12λ=时，存在μ使得直线1B D 与平面1D EF 垂直C ．当12μ=时，满足12ED EF =的点E 有且只有两个D ．当12λμ==时，异面直线EF 与1B D 的距离为2【正确答案】AD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量解决夹角、距离、平行等问题.【详解】以D 为原点，1,,DA DC DD的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有()0,0,0D ，()10,0,2D ，()12,2,2B ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，当1λμ==时，()2,0,0E ，()0,2,0F ,()12,0,2D E =- ，()10,2,2D F =-，设平面1D EF 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则11220220n D E x z n D F y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1z =，则()1,1,1n = ，()10,0,2DD = ，()2,0,0DA = ，()0,2,0DC = ，故1113cos ,23DD n DD n DD n ⋅==⨯⋅，同理3cos ,cos ,3DA n DC n == 由此可得正方体各棱与平面1D EF 夹角相等，A 正确；当12λ=时，()2,1,0E ，()12,1,2D E =- ，()12,2,2B D =--- ，则114240B D D E ⋅=--+≠ ，即1D E 与1B D不垂直，所以直线1B D 与平面1D EF 不垂直，B 错误；当12μ=时，()1,2,0F ，设()()2,,002E b b ≤≤，由12ED EF =()2222222212b b ++=+-，化简得2316120b b -+=，21643120∆=-⨯⨯>，121643b b +=>，所以这样点E 不可能有两个，C 错误；当12λμ==时，()2,1,0E ，()1,2,0F ，EF 的中点为33,,022G ⎛⎫⎪⎝⎭，1DB 的中点为()1,1,1H ，11,,122HG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,0EF =-，()12,2,2DB = ，则11022HG EF ⋅=-+= ，11120HG DB ⋅=+-= ，所以HG 是异面直线EF 与1B D 的公垂线段，且()2221161222HG ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以异面直线EF 与1B D 的距离为62，D 正确.故选：AD三、填空题13．已知异面直线AB 和CD 的方向向量分别为()1,1,1AB = ，()2,0,4CD =-则异面直线AB 和CD 所成角的余弦值为______．【正确答案】15【分析】根据异面直线夹角求余弦值的坐标公式，可得答案.【详解】设异面直线AB 和CD 所成角为θ，则cos 15AB CD AB CD θ⋅===⋅ .故答案为.1514．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在1261年中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除1外，其他每一个数字都是其上一行的左右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为3:5:5，则这一行是第______行．【正确答案】7【分析】设这一行为第()21n n *+∈N 行，且这三个数分别为121C n n -+、21C nn +、121C n n ++，利用组合数公式可得出关于n 的等式，解出n 的值，即可得解.【详解】由题意可知，这一行为第()21n n *+∈N 行，且这三个数分别为121C n n -+、21C nn +、121C n n ++，由题意可得()()()()()1212121!!1!C 3C 1!2!21!25n n n n n n n n n n n n -+++⋅+=⋅==-⋅+++，解得3n =，因此，这一行是第2317⨯+=行.故答案为.715．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，2AB =，14AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒，线段1AC的长度为cos DAB ∠=______．【正确答案】12##0.5【分析】利用空间向量基本定理得到11AC AB AD AA =++，平方后，利用数量积公式列出方程，求出cos DAB ∠.【详解】因为11AC AB AD AA =++，所以()2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅因为2AB AD ==，14AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒，1211AC =，所以444168cos 16cos 16co 0s 6064BAD +++∠++︒︒=，解得.1cos 2BAD ∠=故12四、双空题16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，直线l 与C 在第一象限交于A ，B 两点，直线l 与x 轴和y 轴分别交于M ，N 两点，且MA NB =，点E 为AB 的中点，直线OE 倾斜角的正切值为22，3OE =，则直线l 的方程为______；椭圆C 的离心率为______．【正确答案】2232y =+22【分析】利用几何知识求出直线l 的斜率，利用中点E 坐标求出点M 坐标，即可得出直线l 的方程.设出点,A B 坐标，利用点差法，即可得出椭圆C 的离心率.【详解】由题意，在2222:1(0)x y C a b a b+=>>中，MA NB =，BA BE =，由几何知识得，直线l 与直线OE 关于点E 所在x 轴对称，∵直线OE 22，3OE =∴直线l 的斜率为22-，设(),E E E x y ，则32E E Ey y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩E E x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴E，(0,M∴:2l y =-+设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，122E x x x +==，122E y y y +==∴22221212220x x y y a b --+=，∴()()()()2121221212y y y y b x x x x a +-=-+-，∴22122b a ⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴222a b =，即a =，∴c b ===，∴离心率.2c e a ==故2y =-+2.五、解答题17．已知圆C 的圆心在直线260x y +-=上，且与直线y x =相切于原点．(1)求原点()0,0关于直线260x y +-=对称点的坐标；(2)求圆C 的方程．【正确答案】(1)2412 ,55⎛⎫⎪⎝⎭(2)22(6)(6)72x y -++=【分析】（1）若两点关于直线对称，则两点连线中点在直线上，且两点连线与直线垂直，据此可得答案；（2）因圆C 与直线y x =相切于原点，则圆C 过原点，且圆心在直线y x =-上，又圆心在直线260x y +-=上，可求得圆心坐标与圆的半径.【详解】（1）设原点()0,0关于直线260x y +-=对称点坐标为()00,x y ，则两个点的中点坐标为00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.∵中点在直线260x y +-=上，得到：002120x y +-=①.又过两个对称点的直线与已知直线垂直，∴021y x -⨯=-，得002y x =②.联立①②解得对称点坐标为2412,55⎛⎫⎪⎝⎭；（2）过原点且与直线y x =垂直的直线方程为y x =-，由题圆心在y x =-上.又圆心在直线260x y +-=上，联立直线：62606y x y x y x =-=-⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，即圆心为()6,6-.由题原点在圆C上，则半径r =.22(6)(6)72x y -++=18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC CC ===．(1)求点1B 到平面1ABC 的距离；(2)若点M 是棱BC 的中点，求直线1B M 与平面1ABC 所成角的正弦值．【正确答案】(2)5【分析】如图，建立以C 为原点的空间直角坐标系.（1）求出平面1ABC 的法向量n，设点1B 到面1ABC 的距离为d ，则1n BB d n ⋅= ；（2）设直线1B M 与平面1ABC 成角正弦值为sin θ，则111sin cos ,n B M n B M n B M θ⋅==∣.【详解】（1）因为直三棱柱111ABC A B C -底面三角形ABC 满足：AC BC ⊥，且12AC BC CC ===，则以C 为坐标原点，CA的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -.则B （0，2，0），A （2，0，0），C （0，0，2），1B （0，2，2），()0,1,0M ，()2,2,0AB =- ，()12,0,2C A =- .设面1ABC 的法向量为(),,n x y z =r，则1220220n AB x y n C A x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取()1,1,1n = .又()10,0,2BB = ，设点1B 到面1ABC 的距离为d，则13n BB d n ⋅==.（2）由题可得()10,1,2B M =--，设1B M 与面1ABC 的夹角为θ，则111sin cos ,∣n B M n B M n B M ⋅==θ19．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，且经过点(A ．(1)求C 的方程；(2)O 为坐标原点，过双曲线C 上一动点M （M 在第一象限）分别作C 的两条渐近线的平行线为1l ，2l 且1l ，2l 与x 轴分别交于P ，Q ，求证：OP OQ ⋅为定值．【正确答案】(1)22139x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线渐近线方程以及已知点，联立方程，可得答案；（2）由题意，设出动点，利用点斜式方程，结合直线位置关系，写出直线12,l l 的直线方程，求出,Q P 的坐标，整理OP OQ ⋅的表达式，利用整体思想，可得答案.【详解】（1）∵渐近线为y =，则b a =b =，∴222213x y a a-=，A 在双曲线C 上，得224313a a -=解得23a =，∴曲线C 的标准方程为22139x y -=.（2）设点M 坐标为()00,x y则)100:l y y x x -=-，得P ⎛⎫⎪⎪⎭，则OP =同理：)200:l y y x x -=-，得Q ⎫⎪⎪⎭，则OQ =则220033x y OP OQ -⋅=又∵点M 在曲线C 上，∴2200 139x y -=，∴220039x y -=则2200333x y OP OQ -⋅==，∴得证OP OQ ⋅为定值3．20．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的动直线与C 交于A ，B 两点．(1)若直线AB 的倾斜角为45 ，求弦AB 的长度；(2)设A ，B 两点到x 轴的距离分别为1d ，2d ，求12d d +的最小值．【正确答案】(1)8(2)4【分析】（1）先利用点斜式得到直线方程，接着与抛物线进行联立可得121244y y y y +=⎧⎨=-⎩，然后用弦长公式即可求解；（2）设直线AB 的方程为1x my =+，与抛物线联立可得343444y y my y +=⎧⎨=-⎩，所以12344d d y y ⋅==，然后用基本不等式进行求解即可【详解】（1）由抛物线2:4C y x =可得焦点()1,0F ，当直线倾斜角为45 时，直线AB 的方程为1y x =-，联立214y x y x =-⎧⎨=⎩化简得：2440y y --=，经验证Δ0>成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，此时121244y y y y +=⎧⎨=-⎩，∴128AB y y =-=（2）由题可知，直线AB 的斜率不为0，又焦点()1,0F ，所以设直线AB 的方程为1x my =+，联立214x my y x =+⎧⎨=⎩化简得：2440y my --=，经验证Δ0>成立，设()33,A x y ，()44,B x y ，此时343444y y my y +=⎧⎨=-⎩，由题可得：13d y =，24d y =，则12344d d y y ⋅==，又12d d +≥124d d +≥，当且仅当122d d ==，直线AB 与x 轴垂直，即弦AB 为通径时等号成立，所以12d d +的最小值是4．21．如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC⊥，E 是PB 上的动点．(1)若OE ∥平面PAC ，请确定点E 的位置，并说明理由；(2)若30ABO CBO ∠∠== ，4BO =，当E 是PB 中点，且二面角P AB C --的正切值为32时．求二面角C AE B --的正弦值．【正确答案】(1)E 是BP 中点，理由见解析(2)1113【分析】（1）通过证明POA POB ≅△△，得到OA OB =，再通过线面平行的性质，即可确定点E 的位置.（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面AEB 和面AEC 的法向量，即可求出二面角C AE B --的正弦值.【详解】（1）由题意，E 是BP 中点，理由如下：延长BO 交AC 于点D ，连接PD 、OA ，取AB 中点M ，连接OM .∵PO ⊥面ABC ，∴90∠=∠= POA POB .又∵PA PB =，∴POA POB ≅△△，∴OA OB =.∵M 是AB 中点，∴OM AB ⊥.∵AC AB ⊥，∴OM AC ∥，∴O 是BD 中点.又∵OE ⊂面BPD ，面BPD 面PAC PD =，若OE ∥面PAC ，则由线面平行性质定理得OE PD ∥.∵O 是BD 中点，∴E 是BP 中点.（2）由题意，以A 为坐标原点，AB的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，由（1），可知z 轴在平面AOP 内．∵4BO =，30OBA OBC ∠∠== ，∴28BD OA ==，∴4=AD ，AB =12AC =，∴()2,0O ，()B ，()0,12,0C ，由（1），可得PO ⊥平面ABC ，OM AB ⊥，∴PM AB ⊥，∴PMO ∠为二面角P AB C --的平面角，∴3tan 2PO PMO OM ∠==.又2OM =，∴3PO =，∴()2,3P .∵E 是PB中点，∴32E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴32AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,0AB =，()0,12,0AC = .设平面AEB 的法向量为(),,n x y z =r，则3020n AE y z n AB ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，取()0,3,2n =- ．设平面AEC 的法向量为(),,m a b c=，则302120m AE b c m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，取)6m =- ．设二面角C AE B --的平面角为θ，则sin θ==1113=.22．已知动点P 到点()1,0F 的距离与到直线:4l x =的距离之比为12，记点P 的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程；(2)曲线E 与x 轴正半轴交于点M ，过F 的直线交曲线E 于A ，B 两点（异于点M ），连接AM ，BM 并延长分别交l 于D ，C ，试问：以CD 为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点，若不是，说明理由．【正确答案】(1)22:143x y E +=(2)圆恒过定点()1,0和()7,0【分析】（1）设动点(),P x y12=，化简后可得E 方程；（2）由（1）设:1AB l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，可得1124,2y D x ⎛⎫⎪-⎝⎭，2224,2y C x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，后设以CD 为直径的圆上一点为Q ，由0QC QD ⋅= 可得圆方程，即可得圆所过定点.【详解】（1）设动点(),P x y12=，化简得22:143x y E +=；（2）设:1AB l x my =+，与22143x y +=联立可得：()2234690m y my ++-=，由题Δ0>.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+.又由（1）可得()2,0M ，则()11:22AM y l y x x =--，令4x =，得1124,2y D x ⎛⎫⎪-⎝⎭.同理可得2224,2y C x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭.令以CD 为直径的圆上动点为(),Q x y ，则0QC QD ⋅=.又2121224422,，,y y QC x y QB x y x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ，则()()2212121212224(4)02222y y y y x y y x x x x ⎛⎫-+-++= ⎪----⎝⎭.注意到()()()()()212121212242211134xx my my m y y m y y m --=--=-++=+，()()()1221121222422224234my x y x my y y y m --+-=-+=+.则可得()()2222243640469044m x y y x y my ---+-+=⇒-++-=.因所过定点与参数m 无关，则0y =，则()24901x x --=⇒=或7x =.故圆恒过定点()1,0和()7,0.关键点点睛：本题涉及求轨迹方程，及探究圆是否过定点.对于直线或圆过定点问题，都是先求得直线或圆的表达式，后令含参数的项为0，即可求得所过定点.。

一、单选题1．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为()222210,0x y a b a b -=>>F A OAF △2的等边三角形（为原点），则双曲线的离心率为（ ）． O ABC ．4D ．2【答案】D【分析】根据等边三角形的性质，结合双曲线的渐近线方程、离心率公式进行求解即可. 【详解】因为是边长为2的等边三角形，所以，显然渐近线的倾斜角为， OAF △2c =by x a=60︒因此有， 2222222tan 6033422b cb ac a a c a c a e a a︒=⇒=⇒-=⇒=⇒=⇒==故选：D2．已知，，，则点C 到直线的距离为（ ） ()1,2,0A ()3,1,2B ()2,0,4C AB A ．2B C ．D ．【答案】B【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算C 到直线AB 的距离．【详解】因为，，()2,1,2AB =- ()1,2,4AC =-所以在方向上的投影数量为． AC AB 4||AB AC AB ⋅==设点C 到直线的距离为d，则 AB d ===故选：B.3．若平面α∥β，且平面α的一个法向量为n ＝，则平面β的法向量可以是（ ）1(2,1,)2-A ．B ．(2，－1，0)11(1,,)24-C ．(1，2，0) D ．1(,1,2)2【答案】A 【解析】略4．在中，已知，，且a ，b 是方程的两个根，，则ABC BC a =AC b =213400x x -+=60C =︒（ ）AB =A ．3 B ．7C D ．49【答案】B【分析】利用余弦定理即可求解.【详解】因为a ，b 是方程的两个根，所以. 213400x x -+=13,40a b ab +==由余弦定理，.7c ====即7. AB =故选：B5．抛物线的焦点坐标为（ ）．22y x =A ．B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】将已知抛物线方程整理成标准形式，从而可求出焦点坐标.【详解】由可得，焦点在轴的正半轴上，设坐标为， 22y x =212x y =y 0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭则，解得，所以焦点坐标为.122p =14p =10,8⎛⎫⎪⎝⎭故选：C.6．已知抛物线上的点到其准线的距离为，则（ ） 2:(0)C y mx m =>(,2)A a 4m =A ．B ．C ．D ．148184【答案】C【分析】首先根据抛物线的标准方程的形式，确定的值，再根据焦半径公式求解. 2p【详解】，， 21x y m=()0m >因为点到的准线的距离为，所以，得．(,2)A a C 41244m+=18m =故选：C7．若变量满足约束条件则的最小值为（ ）,x y 50,20,4,x y x y y +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩32z x y =-A ． B ．C ．D ．5-72-52-2-【答案】A【分析】首先根据题意画出不等式组表示的可行域，再根据的几何意义求解即可. z 【详解】不等式组表示的可行域如图所示：， 50144x y x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩()1,4A 由得， 32z x y =-322zy x =-表示直线的轴截距的倍， z 322zy x =-y 2-当直线过时，取得最小值，. 322zy x =-()1,4A z min 385=-=-z 故选：A8．在中，若，，，则等于（ ） ABC a =10c =30A =︒B A ．105° B ．60°或120° C ．15° D ．105°或15°【答案】D【分析】得到或，即可得到10sin C =sin C =45C =135 或.105B = 15【详解】，所以 10sin C =sin C =又因为，，所以或. 0180C ︒<< c a >45C = 135 所以或. 105B = 15 故选：D9．如图，某公园内有一个半圆形湖面，为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点O C ，，，满足，在扇形和四边形区域内种植荷花，在扇形D E 2AOD DOE AOC ∠=∠=∠AOC ODEB 区域内修建水上项目，并在湖面上修建，作为观光路线，则当取得最大值COD DE EB DE EB +时，（ ）sin AOC ∠=A B C ．D ．1214【答案】D【分析】设，利用三角恒等变换、余弦定理求得的表达式，结合二次函数的性AOC α∠=DE EB +质求得正确答案.【详解】设，则， AOC α∠=2,π4AOD DOE BOE αα∠=∠=∠=-，则、为正数. ππ04π,0,0242ααα<<<<<<sin αcos 2α在三角形中，由余弦定理得：ODE 2sin DE α====，在三角形中，由余弦定理得：BOE，()22cos 2212sin EB αα=====-所以,()222sin 212sin 4sin 2sin 2DE EB αααα+=+-=-++由于，所以当时，取得最小值， sin α⎛∈ ⎝()21sin 244α=-=⨯-DE EB +也即时，取得最小值. 1sin 4AOC ∠=DE EB +故选：D10．记数列的前n 项和为，，数列是公差为7的等差数列，则的最小项为{}n a n S 598S ={}2nn S {}n a （ ） A ． B ． C ． D ．2-1516-1-14【答案】C【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式，再探讨其最{}2nn S {}n a 小项作答.【详解】依题意，，因数列是公差为7的等差数列，则559232368S =⨯={}2n n S ，55227(5)71n n S S n n =+-=+因此，当时，，而不满足上式， 712n n n S +=2n ≥117176137222n n n n n nn n n a S S --+--=-=-=114a S ==当时，，即当时，， 2n ≥11167137720222n n n n n n n n a a +++----=-=3n ≥1n n a a +>于是当时，数列是递增的，而，，则，3n ≥{}n a 214a =-31a =-min 3()1n a a ==-所以的最小项为. {}n a 1-故选：C二、填空题11．已知等比数列中，，公比，则__________. {}n a 12a =2q =2a =【答案】4【分析】根据等比数列的通项公式，即可求解.21a a q =【详解】由题意，等比数列中，，公比，则. {}n a 12a =2q =21224a a q ==⨯=故答案为：.4【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算问题，考查了计算能力，属于容易题.12．设a >0，若对于任意正数m ，n ，都有m +n =7，则满足的a 的取值范围是11411a m n ≤+++___________. 【答案】[1，+∞）【分析】由题意结合均值不等式首先求得的最小值，然后结合恒成立的条件得到关于a 1411m n +++的不等式，求解不等式即可确定实数a 的取值范围． 【详解】解：∵m +n =7，∴（m +1）+（n +1）=9，则， ()()()()411414111111551111199119m n m n m n m n m n +⎡⎤+⎛⎫+=++++⨯=++≥⨯=⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎣⎦当且仅当，即m =2，n =5时取等号， ()41111m n m n ++=++∴，∵a >0，∴a ≥1， 11a≤∴a 的取值范围是[1，+∞）， 故答案为：[1，+∞）.13．在中，已知，，则_________.ABC 120B =︒AC 2AB =BC =【答案】3【分析】设角，，所对的边分别为，，，利用余弦定理得到关于的方程，解方程即A B C a b c a 可求得的值，从而得到的长度．a BC 【详解】解：设角，，所对的边分别为，，， A B C abc 结合余弦定理，可得， 219422cos120a a =+-⨯⨯⨯︒即，解得或（舍去）， 22150a a +-=3a =5a =-所以． 3BC =故答案为：．314．已知双曲线过左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于P ，Q 两点，以()222210,0x y a b a b -=>>P ，Q ，则双曲线的离心率为________. 【答案】32【分析】不妨取，分别计算两点到渐近线的距离，根据22,,b b P c Q c a a ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0bx ay -=12,r r 求解即可.12r r +=【详解】代入可得，x c =-()222210,0x ya b a b -=>>2b y a=±不妨取，渐近线方程为，22,,b b P c Q c a a ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0bx ay -=设圆P 和圆Q 的半径分别为，12,r r∵圆P 和圆Q 均与双曲线的同—条渐近线相切，, 2212,bc b bc b r rcc+-∴，，即， 122rr b ∴+==b a =离心率， ∴32e ====故答案为：32【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查了数形结合思想和运算能力，属于中档题.三、解答题15．（1）已知数列{an }满足a 1＝－1，an ＋1＝an ＋，n ∈N *，求通项公式an ； 1n(n 1)+（2）设数列{an }中，a 1＝1，an ＝an －1(n ≥2)，求通项公式an .1(1n-【答案】（1）an ＝－(n ∈N*)；（2）an ＝ (n ∈N*)． 1n 1n【分析】（1）由已知条件可得an ＋1－an ＝，然后利用累加法可求出通项公式an .111(1)1n n n n =-++（2）由an ＝an －1，可得＝，然后利用累乘法可求出通项公式1(1)n -1n n a a -1n n -【详解】（1）∵an ＋1－an ＝， 1n(n 1)+∴a 2－a 1＝； 112⨯a 3－a 2＝； 123⨯a 4－a 3＝； 134⨯… an －an －1＝.1(1)n n-以上各式累加得，an －a 1＝＋＋…＋112⨯123⨯1(1)n n -＝＋＋…＋＝1－. 1(1)2-11(23-11()1n n --1n ∴an ＋1＝1－， 1n∴an ＝－(n ≥2)． 1n又∵n ＝1时，a 1＝－1，符合上式， ∴an ＝－(n ∈N*)． 1n（2）∵a 1＝1，an ＝an －1(n ≥2)，1(1)n-∴＝， 1n n a a -1n n-an ＝×××…×××a 1＝×××…×××1＝.1n n a a -12n n a a --23n n a a --32a a 21a a 1n n -21n n --32n n --23121n又∵n ＝1时，a 1＝1，符合上式，∴an ＝(n ∈N*)． 1n16．等差数列满足，.{}n a 1210a a +=432a a -=（1）求的通项公式.{}n a （2）设等比数列满足，，求数列的前n 项和. {}n b 23b a =37b a ={}n b 【答案】（1）；（2）.22n a n =+224n +-【解析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可；（2）根据条件计算，从而求出，利用23,b b 1,b q 等比数列前项和公式即可求出. n n s 【详解】解：()∵是等差数列，1{}n a ， 121431021022a a a d a a d +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩∴解出，， 2d =14a =∴1(1)n a a d n =+-422n =+-.22n =+()∵，2232328b a ==⨯+=，3727216b a ==⨯+=是等比数列，{}n b ， 322b q b ==∴b 1=421(1)4(12)24112n n n n b q s q +--===---17．记中，角的对边分别为，已知. ABC ,,A B C ,,a bc cos cos tan a B b A A +=(1)求；A (2)若，求的面积. 2,a b ==ABC 【答案】(1)6A π=【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和求解即可；（2）根据余弦定理可得或，再根据面积公式求解即可2c =4c =【详解】（1）由正弦定理可得，故，因sin cos sin cos tan A B B A C A +=()sin tan A B C A +=为，故，故，又，故A B C π++=()sintan sin A B C AC +==tan A =()0,A π∈6A π=（2）根据余弦定理可得，故，.当(22222c =+-⨯()()240c c --=2c =4c =时，；当时，2c=111sin 2222ABC S bc A ==⨯⨯= 4c =，故111sin 4222ABC S bc A ==⨯⨯= ABC18．已知O 为坐标原点，双曲线C ：（，P 在双曲线22221x y a b-=0a >0b >C 上，点，分别为双曲线C 的左右焦点，.1F 2F ()2124PF PF -=(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点，，设直线PA ，PB 的斜率分别为，.证明：为定值.()1,0A -()10B ,1k 2k 12k k 【答案】(1)2212y x -=(2)证明见解析【分析】(1)根据题意和双曲线的定义求出，结合离心率求出b ，即可得出双曲线的标准方程； 1a =(2)设，根据两点的坐标即可求出、，化简计算即可. ()00,P x y 1k 2k 【详解】（1）由题知： 122PF PF -=由双曲线的定义知：， 22a =1a =又因为，所以 e ca==c =2222b c a =-=所以，双曲线C 的标准方程为2212y x -=（2）设，则()00,P x y 220012y x -=因为，，所以， ()1,0A -()10B ,0101y k x =+0201y k x =-所以 220000122200002111112y y y y k k x x x y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪+--⎛⎫⎝⎭⎝⎭+- ⎪⎝⎭19．若椭圆E ：过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点.22221(0)x y a b a b +=>>(1)求椭圆E 的方程；(2)不过原点O 的直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆E 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的最大值以及此时直线的方程.l 【答案】(1)2213x y +=(2)，此时直线的方程为OAB l y x =【分析】首先求出抛物线与双曲线的焦点坐标，即可得到、，再由，即可求出，b c 222c a b =-2a 即可求出椭圆方程；（2）将直线方程和椭圆方程联立组成方程组，然后求解得到的值，并通过求解得到点到直||AB O 线的距离，即可得到含有的表达式，进而求解得出最大值．l d m OAB S 【详解】（1）解：抛物线的焦点为，双曲线的焦点为或，依24x y =()0,1221x y -=())题意可得，所以，所以椭圆方程为；1b c =⎧⎪⎨=⎪⎩222c a b =-23a =2213x y +=（2）解：根据题意，设点，，，，联立直线方程与椭圆方程可得，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 2233x y y x m ⎧+=⎨=+⎩消去得，，y 2246330x mx m ++-=即得，，1232mx x +=-212334m x x -=则由相交弦长公式可得 ||AB=又由点到直线距离公式可得，点到直线的距离即为， OAB|dm =所以， 111||||224OAB S d AB m ∆=⋅⋅==当且仅当，即时，的方程为 22m =m =OAB l y x =20．正项数列的前项和满足：{}n a n n S 222(1)()0n n S n n S n n -+--+=（1）求n S （2）求数列的通项公式 {}n a n a （3）令，求数列的前项和 2221(1)n nn b n a +=+{}n b n n T 【答案】（1）；（2）；（3） 2n S n n =+2n a n =()211141n ⎛⎫ ⎪-⎪+⎝⎭第 11 页 共 11 页【分析】（1）将所给式子因式分解，即可得解；（2）根据计算可得； 11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）由（2）可得，再利用裂项相消法计算可得； ()2211141n b n n ⎡⎤=-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦【详解】解：因为222(1)()0n n S n n S n n -+--+=所以()201()n n S n n S ⎤+⎣⎦+⎡-=所以或2n S n n =+1n S =-因为各项均为正数，所以；{}n a 2n S n n =+（2）因为，当时，当时，，所以2n S n n =+1n =211112S a =+==2n ≥()()1211n S n n -=-+-，当时也成立，所以 ()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦1n =2n a n =2n a n =（3）因为，所以 2221(1)n n n b n a +=+()2222211114(1)41n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦所以 ()2222222211111111111141242343441n T n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-+-++-⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎣⎦ ()()2222222221111111111114122334411n n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+-+-+-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭。

高二上学期(xuéqī)期末模拟考试数学范围：直线和圆、圆锥曲线满分是：160分时间是：120分钟一、填空题：〔本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分．请把答案填写上在答题纸．．．相应位置上〕1．假设直线的倾斜角为，那么 = ▲．2. 两条直线和互相垂直，那么等于▲ . 3．假设抛物线的焦点坐标为，那么抛物线的HY方程是▲．4. 点到直线的间隔等于，且在不等式表示的平面区域内，那么点的坐标是▲．5. 过点M且被圆截得弦长为的直线的方程为▲．6．假设实数满足的最大值是▲．7．圆上一点到直线的间隔的最小值为▲．C yxOAB〔第148．方程(fāngchéng) 的曲线是焦点在轴上的双曲线，那么的取值范围是 ▲ ． 9．经过点，渐近线方程为的双曲线的方程为 ▲ ．10．椭圆的离心率为，那么双曲线的离心率为▲． 11. 设是椭圆上一点，为焦点，，那么▲ ．12. 椭圆的中心为，右焦点为、右顶点为，右准线与轴的交点为，那么的最大值为 ▲ ．13. ：圆M ： ，直线的倾斜角为，与圆M 交于两点，假设(O 为原点)，那么l 在x 轴上的截距为 ▲ ．14.如图，在平面直角坐标系中，点A 为椭圆：〔〕的左顶点(dǐngdiǎn)，在椭圆E上，假设四边形为平行四边形，且，那么椭圆E的离心率等于▲．中学2021-2021年度第一学期期末模拟考试范围：直线和圆、圆锥曲线满分是：160分时间是：120分钟一．填空题〔本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分.请将答案填在相应的横线上〕1、________________________________2、______________________________3、________________________________4、______________________________5、________________________________6、______________________________7、________________________________ 8、______________________________9、 10、11、 12、13、 14、二、解答(jiědá)题〔本大题一一共6小题，一共计90分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．〕15．〔此题满分是14分〕〔1〕直线过直线和的交点，且与直线垂直，求直线l的方程．〔2〕求经过点，和直线相切，且圆心在直线上的圆方程．16．〔此题满分是14分〕三点(sān diǎn).(1)求以为焦点且过点P的椭圆的HY方程；(2)设点关于直线的对称点分别为求以为焦点且过点的双曲线的HY方程.17．〔此题满分是15分〕某企业消费A、B两种产品，消费每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种劳动力〔个〕煤〔吨〕电〔千瓦〕A产品 3 9 4B产品10 4 5 消费每吨A产品的利润是7万元，消费每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业消费A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？18．〔此题满分(mǎn fēn)是15分〕如图，直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在x轴上，点P为线段的中点〔1〕求边所在直线方程；〔2〕M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；〔3〕假设动圆过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．19．〔本小题满分是16分〕点，圆C：过点，F点为抛物线的焦点，直线与圆相切. 〔1〕求m的值与抛物线的方程；〔2〕设点，点为抛物线上的一个动点，求的取值范围．20. 〔此题满分(mǎn fēn)是16分〕椭圆E：的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设是圆C上任意一点．〔1〕求圆C的方程；〔2〕假设直线与直线l交于点，且G为线段的中点，求直线FG被圆C 所截弦长；〔3〕在平面上是否存在一点P，使得恒成立？假设存在，求出点P坐标；假设不存在，请说明理由．内容总结。

富阳区新登中学2021-2021学年高二数学上学期期末(qī mò)模拟试题一．选择题〔一共10小题，每一小题4分，一共40分〕1．双曲线=1的渐近线方程为〔〕A．y=±B．y=±x C．y=±x D．y=±x2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，那么直线BC1与EF所成角的余弦值是〔〕A．B．C．D．3．a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①假设a⊥b，a⊥c那么b∥c；②假设a⊥b，a⊥c那么b⊥c；③假设a∥b，b⊥c那么a⊥c．其中正确的个数为〔〕A．0个B．1个C．2个D．3个4．设点P为椭圆上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2=60°，那么△PF1F2的面积为〔〕A．B．C．D．5.对于曲线：上的任意一点P，假如存在非负实数M和m，使不等式恒成立为坐标原点，M的最小值为，m的最大值为，那么的值是A. 3B. 4C. 5D. 136．直线 l1：ax+〔a+2〕y+1=0，l2：x+ay+2=0，那么“l1∥l2〞是“a=﹣1〞的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7．点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，那么|PA|+|PO|的最小值为〔〕A．B．C．6 D．4+28．圆O为Rt△ABC的外接圆，AB=AC，BC=4，过圆心O的直线(zhíxiàn)l交圆O于P，Q两点，那么的取值范围是〔〕A．[﹣8，﹣1] B．[﹣8，0] C．[﹣16，﹣1] D．[﹣16，0]9．三棱锥D﹣ABC，记二面角C﹣AB﹣D的平面角为α，直线DA与平面ABC所成的角为β，直线DA与BC所成的角为γ，那么〔〕A．α≥β B．α≤β C．α≥γ D．α≤γ10．如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，那么点P的轨迹是〔〕A、直线B、抛物线C、椭圆D、双曲线的一支二．填空题〔一共6小题,双空每空3分，单空每空4分，一共30分〕11.直线的斜率为；倾斜角大小为______．12.圆：, 那么圆在点处的切线的方程是___________；过点〔2，2〕的切线方程是 .13．某几何体的三视图如下图〔单位：cm〕，那么该几何体的体积为cm3，该几何体的外表积为cm214．m，n，s，t∈R+，m+n=2，，其中m、n是常数，当s+t取最小值时，m、n对应的点〔m，n〕是双曲线一条弦的中点，那么此弦所在的直线方程为．15．在平面(píngmiàn)直角坐标系xoy中，双曲线的左支与焦点为F的抛物线x2=2py〔p＞0〕交于M，N两点．假设|MF|+|NF|=4|OF|，那么该双曲线的离心率为．16．在三棱锥T﹣ABC中，TA，TB，TC两两垂直，T在底面ABC内的正投影为D，以下命题：①D一定是△ABC的垂心；②D一定是△ABC的外心；③△ABC是锐角三角形其中正确的选项是〔写出所有正确的命题的序号〕三、解答题〔一共4题，50分〕17．〔满分是12分〕抛物线C：y2=2px的焦点坐标为F〔1，0〕，过F的直线l交抛物线C 于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x=﹣2相交于M，N两点．〔Ⅰ〕求抛物线C的方程；〔Ⅱ〕证明△ABO与△MNO的面积之比为定值．18.〔满分(mǎn fēn)是12分〕如下图，四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠ABC=90°SA=2,，BC=1，，∠ACD=60°，E为CD的中点．〔1〕求证：BC∥平面SAE；〔2〕求直线SD与平面SBC所成角的正弦值．19．〔满分是12分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，点E是AD的中点，点F在棱PB上，AD ∥BC，AB⊥AD，PA=PD=2，BC=AD=1，AB=，PC=．〔1〕证明：平面CEF⊥平面PAD；〔2〕设=k〔0＜k＜1〕，且二面角P﹣CE﹣F的大小为30°，务实数k的值．20．〔满分(mǎn fēn)是14分〕对于曲线C上一点T，假设在曲线C上存在异于T的两点，满足|TM|=|TN|，且TM⊥TN，那么称点T为曲线C的“T点〞，△TMN是点T的一个“特征三角形〞．椭圆的一个顶点为B〔0，1〕，A1，A2分别为椭圆G 的左、右顶点．〔 I〕证明：△BA1A2不是点B的“特征三角形〞；〔 II〕当a=2时，点A2是椭圆G的“T点〞，且△A2MN是点A2的“特征三角形〞，求出点M，N的一组坐标；〔 III〕试判断点B是否为椭圆G的“T点〞，假设是，求出其“特征三角形〞的个数；假设不是，请说明理由．高二数学(shùxué)期末复习卷答案一．选择题〔一共10小题，每一小题4分，一共40分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C B B A C B A D A C二．填空题〔一共6小题,双空每空3分，单空每空4分，一共30分〕11.； 12.；x=2或者y=213． , 14．x﹣2y+1=015．．16．①③④三、解答题〔一共4题，50分〕17．〔满分是12分〕抛物线C：y2=2px的焦点坐标为F〔1，0〕，过F的直线l交抛物线C 于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x=﹣2相交于M，N两点．〔Ⅰ〕求抛物线C的方程；〔Ⅱ〕证明△ABO与△MNO的面积之比为定值．【解答】解：〔Ⅰ〕由焦点坐标为〔1，0〕可知，p=2∴抛物线C的方程为y2=4x〔Ⅱ〕当直线l垂直于x轴时，△ABO与△MNO相似，∴．当直线l与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=k〔x﹣1〕，设M〔﹣2，y M〕，N〔﹣2，y N〕，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，由整理(zhěnglǐ)得 k2x2﹣〔4+2k2〕x+k2=0，∵∠AOB=∠MON，∴x1•x2=1．∴．综上18.〔满分是12分〕如下图，四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠ABC=90°，，BC=1，，∠ACD=60°，E为CD的中点．〔1〕求证：BC∥平面SAE；〔2〕求直线SD与平面SBC所成角的正弦值．【解答】证明：〔1〕因为，BC=1，∠ABC=90°，所以AC=2，∠BCA=60°，在△ACD中，，AC=2，∠ACD=60°，由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcos∠ACD解得：CD=4所以AC2+AD2=CD2，所以△ACD是直角三角形，又E为CD的中点(zhōnɡ diǎn)，所以又∠ACD=60°，所以△ACE为等边三角形，所以∠CAE=60°=∠BCA，所以BC∥AE，又AE⊂平面SAE，BC⊄平面SAE，所以BC∥平面SAE．〔2〕由〔1〕可知∠BAE=90°，以点A为原点，以AB，AE，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，那么S〔0，0，2〕，，，．所以，，．设为平面SBC的法向量，那么，即设x=1，那么y=0，，即平面SBC的一个法向量为，所以所以直线SD与平面SBC所成角的正弦值为．19．〔满分(mǎn fēn)是12分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，点E是AD的中点，点F在棱PB上，AD∥BC，AB⊥AD，PA=PD=2，BC=AD=1，AB=，PC=．〔1〕证明：平面CEF⊥平面PAD；〔2〕设=k〔0＜k＜1〕，且二面角P﹣CE﹣F的大小为30°，务实数k的值．【解答】〔1〕证明：由PA=PD=2，点E是AD的中点，∴PA⊥AD，ABCE是矩形，∴EC⊥AD，∵平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD，EC∴PA⊥平面ABCDEC⊂平面ABCD∴PA⊥EC．∵BC=AD=1，AD∥BC，AB⊥AD，∴EC⊥AD，AD⊂平面PAD，∴平面CEF⊥平面PAD．〔2〕由〔1〕可得PA⊥AD，EC⊥AD，PA⊥EC，以E为坐标原点，向量，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方形建立如下图的空间直角坐标系A﹣xyz．E〔0，0，0〕，P〔0，0，〕，C〔0，，0〕，B〔﹣1，，0〕，设F〔x，y，z〕，那么(nà me)=〔x，y，z﹣〕，=〔﹣1，，﹣〕，∵，∴，可得：x=﹣k，y=，z=，即F〔﹣k，，〕，设平面CEF的法向量为〔p，q，r〕，=〔﹣k，，〕，=〔﹣k，，〕∴，即，令r=，那么q=0，p=，即〔，0，〕，PCE的法向量为=〔﹣1，0，0〕，二面角P﹣CE﹣F的大小为30°，即cos30°=||=||=，解得：k=，故得实数k的值是．20．〔满分(mǎn fēn)是14分〕对于曲线C上一点T，假设在曲线C上存在异于T的两点，满足|TM|=|TN|，且TM⊥TN，那么称点T为曲线C的“T点〞，△TMN是点T的一个“特征三角形〞．椭圆的一个顶点为B〔0，1〕，A1，A2分别为椭圆G 的左、右顶点．〔 I〕证明：△BA1A2不是点B的“特征三角形〞；〔 II〕当a=2时，点A2是椭圆G的“T点〞，且△A2MN是点A2的“特征三角形〞，求出点M，N的一组坐标；〔 III〕试判断点B是否为椭圆G的“T点〞，假设是，求出其“特征三角形〞的个数；假设不是，请说明理由．【解答】〔本小题满分是14分〕解：〔I〕证明：，，因为a＞1，所以，即A1B与A2B不垂直．所以△BA1A2不是点B的“特征三角形〞．…〔4分〕〔 II〕当a=2时，椭圆．因为点A2是椭圆G的“T点〞，且△A2MN是点A2的一个“特征三角形〞，不妨设M〔m，n〕，N〔m，﹣n〕〔﹣2＜m＜2〕．由题意得：解得或者〔舍〕所以〔或者〕…．〔8分〕〔III〕点B是椭圆G的“T点〞．不妨设点B的“特征三角形〞为△BPQ．设直线(zhíxiàn)BP的方程为y=kx+1〔k＞0〕，那么直线BQ的方程为，由得〔1+a2k2〕x2+2a2kx=0．因为B〔0，1〕，所以．所以=．同理可得．因为|BP|=|BQ|，所以，即〔k﹣1〕[k2+〔1﹣a2〕k+1]=0．〔1〕所以k=1或者k2+〔1﹣a2〕k+1=0〔2〕．由〔2〕式可得△=〔1﹣a2〕2﹣4=〔a2+1〕〔a2﹣3〕．当时，〔2〕式有两个相等的正根1，所以〔1〕式有三个相等的正根为k=1；当时，〔2〕式有两个不等于1 的正根，所以〔1〕式有三个不相等的正根；当时，〔2〕式无实根，所以〔1〕式只有一个正根为k=1．综上：当时，满足条件的“特征三角形〞有1个．当时，满足条件的“特征三角形〞有3个．…．〔14分〕内容总结（1）②假设a⊥b，a⊥c那么b⊥c。

【典型题】高二数学上期末模拟试题(带答案)一、选择题1．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则(P = ) A ．23B ．12C ．49 D ．292．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率 分布直方图如图所示则下列说法正确的是（ ）A ．频率分布直方图中a 的值为 0.040B ．样本数据低于130分的频率为 0.3C ．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D ．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数不相等3．已知回归方程$21y x =+，而试验得到一组数据是(2,5.1)，(3,6.9)，(4,9.1)，则残差平方和是（ ） A ．0.01B ．0.02C ．0.03D ．0.044．我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的2S =（单位：升），则输入k 的值为A ．6B ．7C ．8D ．95．如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．7k ≥？B ．6k ≥？C ．5k ≥？D ．6k >？6．己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若求得其线性回归方程为 6.5ˆˆyx a =+，其中ˆˆa y bx =-，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（ ） A ．42万元B ．45万元C ．48万元D ．51万元7．某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A ，B 两个贫困县各有15名村代表，最终A 县有5人表现突出，B 县有3人表现突出，现分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是（ ） A ．13B ．47C ．23D ．568．执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，c 依次为()sin sin αα，()cos sin αα，()sin cos αα，其中,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，则输出的x 为( )A ．()cos cos ααB ．()sin sin ααC ．()cos sin ααD ．()sin cos αα9．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是 （ ） A ．310B ．25C ．12D ．3510．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被3sin6y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．136B ．118C ．112D ．1911．设数据123,,,,n x x x x L 是郑州市普通职工*(3,)n n n N ≥∈个人的年收入，若这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变12．2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（ ） A ．25B ．35C ．23D ．15二、填空题13．将函数sin 23cos 2y x x =-的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则5()6g π__________.14．如图，在半径为1的圆上随机地取两点,B E ，连成一条弦BE ，则弦长超过圆内接正BCD ∆边长的概率是__________．15．小明通过做游戏的方式来确定接下来两小时的活动，他随机地往边长为1的正方形内扔一颗豆子，若豆子到各边的距离都大于14，则去看电影；若豆子到正方形中心的距离大于12，则去打篮球；否则，就在家写作业则小明接下来两小时不在家写作业的概率为______.(豆子大小可忽略不计)16．如图是某算法流程图，则程序运行后输出S的值为____．17．根据如图所示算法流程图，则输出S的值是__．18．如图是一个算法流程图，则输出的S的值为______．19．在区间[,]-ππ内随机取出两个数分别记为a 、b ，则函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为__________．20．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________．三、解答题21．某电子科技公司由于产品采用最新技术，销售额不断增长，最近5个季度的销售额数据统计如下表（其中20181Q 表示2018年第一季度，以此类推）： 季度 20181Q 20182Q 20183Q 20184Q 20191Q季度编号x 1 2345销售额y （百万元）4656 67 86 96（1）公司市场部从中任选2个季度的数据进行对比分析，求这2个季度的销售额都超过6千万元的概率；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司20193Q 的销售额.附：线性回归方程：y bx a =+$$$其中()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---⋅==--∑∑∑∑$，$$a y bx=-$ 参考数据：511183i ii x y==∑.22．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等. （1）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（2）若两人分别从甲、乙两个盒子中各摸出一球，规定：两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），这样规定公平吗？请说明理由.23．A B 两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：(1)试估计B 班的学生人数；(2)从A 班和B 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，B 班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量X .规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记1X =-；当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记X 0=；当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记1X =.求随机变量X 的分布列及数学期望.(3)再从A 、B 两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小.（结论不要求证明）24．某单位为了解其后勤部门的服务情况，随机访问了40名其他部门的员工，根据这40名员工对后勤部门的评分情况，绘制了频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100.（1）求a 的值；（2）估计该单位其他部门的员工对后勤部门的评分的中位数；（3）以评分在[)40,60的受访者中，随机抽取2人，求此2人中至少有1人对后勤部门评分在[)40,50内的概率.25．读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”:已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人(1)求,n p 的值;(2)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关?非读书之星 读书之星 总计男女 10 55 总计(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望()E X附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.82826．某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表： 组号 分组频率第1组 [)160,1650.05 第2组[)165,1700.35第3组 [)170,175①第4组 [)175,180 0.20 第5组[]180,1850.10()1求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；()2根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数(结果都保留两位小数)．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可. 【详解】如图所示，01,01x y ≤≤≤≤表示的平面区域为ABCD ， 平面区域内满足23x y +≤的部分为阴影部分的区域APQ ，其中2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为1222233119p ⨯⨯==⨯. 本题选择D 选项.【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.2．C解析：C 【解析】 【分析】由频率分布直方图得的性质求出0.030a =；样本数据低于130分的频率为：0.7；[)80,120的频率为0.4，[)120,130的频率为0.3.由此求出总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.41203123.30.3-+⨯≈分；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等． 【详解】由频率分布直方图得：()0.0050.0100.0100.0150.0250.005101a ++++++⨯=，解得0.030a =，故A 错误；样本数据低于130分的频率为：()10.0250.005100.7-+⨯=，故B 错误；[)80,120的频率为：()0.0050.0100.0100.015100.4+++⨯=， [)120,130的频率为：0.030100.3⨯=．∴总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.412010123.30.3-+⨯≈分，故C 正确； 样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等， 总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等，故D 错误．故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.3．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 因为残差，所以残差的平方和为（5.1－5）2＋（6.9－7）2＋（9.1－9）2＝0.03.故选C.考点：残差的有关计算.4．C解析：C 【解析】分析：执行程序框图，得到输出值4k S =，令24k=，可得8k =. 详解：阅读程序框图，初始化数值1,n S k ==，循环结果执行如下：第一次：14n =<成立，2,22k k n S k ==-=； 第二次：24n =<成立，3,263k k k n S ==-=； 第三次：34n =<成立，4,3124k k k n S ==-=； 第四次：44n =<不成立，输出24kS ==，解得8k =. 故选C.点睛：解决循环结构程序框图问题的核心在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.5．B解析：B 【解析】 【分析】程序运行结果为41S =,执行程序,当6k =时,判断条件成立,当5k =时,判断条件不成立,输出41S =,即可选出答案. 【详解】根据程序框图,运行如下: 初始10,1k S ==,判断条件成立,得到11011S =+=,1019k =-=; 判断条件成立,得到11920S =+=,918k =-=; 判断条件成立,得到20828S =+=,817k =-=; 判断条件成立,得到28735S =+=,716k =-=; 判断条件成立,得到35641S =+=,615k =-=; 判断条件不成立,输出41S =,退出循环,即6k ≥符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了程序框图的识别与判断,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.6．C解析：C 【解析】 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得ˆa，则线性回归方程可求，取6x =求得y 值即可．【详解】()10123425x =++++=，()11015203035225y =++++=，样本点的中心的坐标为()2,22，代入ˆˆa yb x =-，得22 6.529a =-⨯=．y ∴关于x 得线性回归方程为 6.59y x =+．取6x =，可得6.56948(y =⨯+=万元)． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．7．B解析：B 【解析】 【分析】由古典概型及其概率计算公式得：有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=，得解． 【详解】由已知有分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则共有111115*********C C C C ⋅-⋅=种不同的选法，又已知有人表现突出，且B 县选取的人表现不突出，则共有1151260C C ⋅=种不同的选法，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=. 故选：B ． 【点睛】本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，求解时注意与古典概率模型的联系.8．C解析：C 【解析】 【分析】由框图可知程序的功能是输出三者中的最大者，比较大小即可. 【详解】由程序框图可知a 、b 、c 中的最大数用变量x 表示并输出， ∵,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭∴0cos α12sin α<<<<， 又()y xsin α=在R 上为减函数，y sin x α=在()0∞+，上为增函数， ∴()sin sin αα＜()cos sin αα，()sin cos αα＜()sin sin αα故最大值为()cos sin αα，输出的x 为()cos sin αα故选：C 【点睛】本题主要考查了选择结构．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．9．D解析：D 【解析】 【分析】甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数2510n C ==，甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含基本事件有6个，由此能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率. 【详解】由题意，所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元、1.83元、2.28元、1.55元、0.62元、5分，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次， 甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为2510n C ==，甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，分别为(1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55),(1.83,2.28),(1.83,1.55),(2.28,1.55)所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为63105p ==，故选D. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，找出基本事件的总数和不低于3元的事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10．B解析：B 【解析】设大圆的半径为R ，则：126226T R ππ==⨯=， 则大圆面积为：2136S R ππ==，小圆面积为：22122S ππ=⨯⨯=，则满足题意的概率值为：213618p ππ==. 本题选择B 选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.11．B解析：B 【解析】∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是郑州普通职工n (n ⩾3,n ∈N ∗)个人的年收入， 而x n +1为世界首富的年收入 则x n +1会远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ， 故这n +1个数据中，年收入平均数大大增大， 但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到x n +1比较大的影响，而更加离散，则方差变大. 故选B12．A解析：A 【解析】分析：根据已知中某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，我们可以计算出两辆车间隔的时间对应的几何量长度为5，然后再计算出乘客候车时间不超过2分钟的几何量的长度，然后代入几何概型公式，即可得到答案 详解：：∵公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过当乘客在上一辆车开走后3分钟内到达候车时间会超过2分钟∴乘客候车时间不超过2分钟的概率为53255P -=＝ ． 故选A .点睛：本题考查的知识点是几何概型，其中计算出所有事件和满足条件的事件对应的几何量的值是解答此类问题的关键二、填空题13．【解析】【分析】先利用辅助角公式将函数的解析式化简根据三角函数的变化规律求出函数的解析式即可计算出的值【详解】由题意可得因此故答案为【点睛】本题考查辅助角公式化简三角函数图象变换在三角图象相位变换的解析：【解析】 【分析】先利用辅助角公式将函数sin 22y x x =-的解析式化简，根据三角函数的变化规律求出函数()y g x =的解析式，即可计算出56g π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值． 【详解】sin 222sin 23y x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭Q ，由题意可得()2sin 22sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此，5552sin 22sin 2sin 22sin 66333g ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯==-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为【点睛】本题考查辅助角公式化简、三角函数图象变换，在三角图象相位变换的问题中，首先应该将三角函数的解析式化为()()sin 0y A x b ωϕω=++≠（或()()cos 0y A x b ωϕω=++≠）的形式，其次要注意左加右减指的是在自变量x 上进行加减，考查计算能力，属于中等题．14．【解析】【分析】取圆内接等边三角形的顶点为弦的一个端点当另一端点在劣弧上时求出劣弧的长度运用几何概型的计算公式即可得结果【详解】记事件{弦长超过圆内接等边三角形的边长}如图取圆内接等边三角形的顶点为解析：13【解析】 【分析】取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一端点在劣弧CD上时，BE BC>，求出劣弧CD的长度，运用几何概型的计算公式，即可得结果.【详解】记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图，取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一端点在劣弧CD上时，BE BC>，设圆的半径为r，劣弧CD的长度是23rπ，圆的周长为2rπ，所以()21323rP Arππ==，故答案为13.【点睛】本题主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 15．【解析】【分析】根据题意画出图形求出写作业所对应的区域面积利用得到结果【详解】由题意可知当豆子落在下图中的空白部分时小明在家写作业大正方形面积；阴影正方形面积空白区域面积：根据几何概型可知小明不在家解析：5π4-【解析】【分析】根据题意画出图形，求出写作业所对应的区域面积，利用()()1P A P A=-得到结果.【详解】由题意可知，当豆子落在下图中的空白部分时，小明在家写作业∴大正方形面积111S =⨯=；阴影正方形面积1111224S =⨯= 空白区域面积：22111244S ππ-⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭根据几何概型可知，小明不在家写作业的概率为：2514S P S π-=-= 本题正确结果：54π- 【点睛】本题考查几何概型中的面积型，属于基础题.16．41【解析】【分析】根据给定的程序框图计算逐次循环的结果即可得到输出的值得到答案【详解】由题意运行程序框图可得第一次循环不满足判断框的条件；第二次循环不满足判断框的条件；第三次循环不满足判断框的条件解析：41 【解析】 【分析】根据给定的程序框图，计算逐次循环的结果，即可得到输出的值，得到答案。

江北中学(zhōngxué)2021-2021学年高二数学上学期期末模拟考试试题(时间是：120分钟分值：150分)一、选择题(本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分)1.偶函数在区间单调递增，那么满足的x取值范围是A. B. C. D.2.函数在的图象大致为A. B.C. D.3.假设将函数的图象向左平移个单位长度，那么平移后的图象的对称轴为A. B.C. D.4.函数的单调递增区间是A. B. C. D.5.假设函数单调递增，那么实数a的取值范围是A. B. C. D.6.等差数列的前n项和为，且，，那么使得取最小值时的n为A. 1B. 6C. 7D. 6或者(huòzhě)77.是奇函数，当时，当时，等于A. B. C. D.8.函数的最小正周期为，假设其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，那么函数的图象A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称9.定义在R上的奇函数满足，且在上，那么A. B. C. D.10.不等式成立的一个必要不充分条件是A. B. 或者C. D. 或者11.假设函数在区间内存在单调递增区间，那么实数a的取值范围是A. B. C. D.12.一动圆P过定点，且与圆N：相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是A. B.C. D.二、填空题(本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分)13.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设，，，那么________．14.设等比数列(děnɡ bǐ shù liè)满足，，那么的最大值为______．15.设向量，，且，那么______．16.三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，，，那么此三棱锥外接球的外表积为______．三、解答题(本大题一一共6个小题，一共70分)17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．〔1〕求角C的大小；〔2〕假设c=，的面积为，求的周长．．〔1〕当a=-2时，求函数的单调区间和极值；〔2〕假设g(x)=f(x)+在上是单调增函数，务实数a的取值范围．，x∈R．〔1〕求函数f(x)的单调区间；〔2〕假设把f(x)向右平移个单位得到函数g(x)，求在区间上的最小值和最大值．20.数列{an}是公比为2的等比数列，且a2，a3+1，a4成等差数列．〔 I〕求数列{an}的通项公式；〔 II〕记bn=an+log2an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．是奇函数．〔Ⅰ〕求a，b的值；〔Ⅱ〕假设对任意的t∈R，不等式f〔t 2 ﹣2t〕+f〔2t 2 ﹣k〕＜0恒成立，求k的取值范围．22.如图，四棱锥(léngzhuī)P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．〔Ⅰ〕证明MN∥平面PAB；〔Ⅱ〕求四面体N-BCM的体积．江北中学高2022级高二〔上〕期末模拟考试高二数学(shùxué) 答案1.【答案】A【解析】【分析】此题考察函数的奇偶性及单调性，同时考察不等式的求解，属于简单题．根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进展转化求解即可．【解答】解：是偶函数，，不等式等价为，在区间单调递增，，解得．应选A．2.【答案】D【解析】【分析】此题考察的知识点是函数的图象，属于根底题．根据函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：，，故函数为偶函数，当时，，故排除A，B；当时，，那么有解为，当时，时， 0,'/>故函数在不是单调的，故排除C，应选D3.【答案】B【解析】【分析】此题考察(kǎochá)函数图象的变换规律的应用及正弦函数的图象性质，属于根底题．由函数图象变换法那么得出平移后的函数的解析式，然后利用正弦函数的性质求解即可．【解答】解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，令，得：，即平移后的图象的对称轴方程为．应选B．4.【答案】D【解析】【分析】此题主要考察复合函数的单调性及对数函数的图象和性质，同时考察二次函数的图象和性质及二次不等式的求解，属于简单题．由得：或者，令，结合复合函数单调性“同增异减〞的原那么，可得答案．【解答】解：由得：或者，即的定义域为或者，令，在内单调递增，而时，为减函数，时，为增函数，故函数的单调递增区间是．应选D．5.【答案】B【解析】【分析】此题考察分段函数的单调性，指数函数的性质，考察学生的计算才能，属于中档题．利用函数的单调性，判断指数函数以及一次函数的单调性，列出不等式求解即可，注意(zhùyì)两段函数在衔接点处的函数值大小的比拟．【解答】解：函数单调递增，所以指数函数、一次函数均单调递增，由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得且，但应当注意两段函数在衔接点处的函数值大小的比拟，即，解得，综上，实数a的取值范围是．应选B．6.【答案】B【解析(jiě xī)】【分析】此题考察等差数列的前n项和，研究等差数列的前n项和的最小值，常用的方法是找出所有的负项，即可得到前n项和的最小值，属于中档题．由题意，可根据，，解出数列的首项和公差，从而求得数列的通项公式，求出所有负数项的个数，即可得出取最小值时n所取的值．【解答】解：设等差数列的公差是d，，，，即，，即，联立得到：，，故有，令，可解得，由此知，数列的前6项为负项，第7项为正项，故取最小值时，n等于6．应选B．7.【答案】A【解析】【分析】此题考察函数解析式的求解及奇函数的性质，属较易题．当时，，由表达式可求得，由奇函数的性质可得与的关系，从而可求出．【解答】解：当时，，那么，又是奇函数，所以当时，．应选A．8.【答案(dáàn)】C【解析】【分析】此题主要考察函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，解得，其图象向左平移个单位后得到的函数为，再根据为奇函数，，，即，又因为，可取，故，当时，，且不是最值，故的图象不关于点对称，也不关于直线对称，故排除A、D，当时，，是函数的最小值点，故的图象不关于点对称，但关于直线对称．应选C．9.【答案】C【解析】【分析】此题考察函数值的求法，指数函数、对数函数的运算与性质，函数的周期性及奇函数性质的综合应用，利用条件求出函数的周期以及利用函数的性质逐步转化自变量是解题的关键(guānjiàn)．由条件和函数周期性的定义求出函数的周期，利用函数的周期性、奇函数的性质和函数的解析式，逐步转化由运算性质求出的值．【解答】解：由得，，所以函数的周期是4，因为是定义在R上的奇函数，且，那么，且在上，，所以．应选C．10.【答案】B【解析(jiě xī)】【分析】此题主要考察充分必要条件，考察不等式解法，属于根底题．解题时，先求出不等式的解集，再根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：解不等式得：或者，不等式成立的一个必要不充分条件可以是：或者，应选B．11.【答案】D【解析】【分析】此题考察了函数的单调性、最值问题，考察导数的应用，属于中档题．求出函数的导数，问题转化为 0'/>在有解，转化为，而在单调递增，求出的范围，从而求出a的范围即可．【解答】解：根据题意得，，在区间内存在单调递增区间，那么 0'/>在内有解，故，令，那么在单调递增，所以，那么，故．应选D．12.【答案】C【解析】【分析】此题考察圆与圆的位置(wèi zhi)关系，考察双曲线的定义，属于中档题．动圆圆心为P，半径为r，圆圆心为N，半径为4，由题意知，动点P到两定点的间隔之差的绝对值为常数4，P在以M、N为焦点的双曲线上，且，，从而可得动圆圆心P 的轨迹方程．【解答】解：动圆圆心为P，半径为r，圆圆心为N，半径为4，由题意知：当动圆与圆N外切时，，，所以当动圆与圆N内切时，，，所以即动点P到两定点的间隔之差的绝对值为常数4，故P在以M、N为焦点的双曲线上，且，，．动圆圆心P的轨迹方程为．应选C．13.【答案】【解析】【分析】此题考察正弦定理的运用，同时考察两角和的正弦公式，以及同角的平方关系的运用，考察运算才能，属于中档题．运用同角的平方关系可得sin A，sin C，再由两角和的正弦公式，可得sin B，运用正弦定理可得，代入计算即可得到所求值．【解答】解：由，，且A，B，，可得：，，，由正弦(zhèngxián)定理可得．故答案为．14.【答案】64【解析】【分析】此题考察数列的通项，数列与函数相结合，属于中档题．求出数列的公比与首项，化简，然后求解最值．【解答】解：等比数列满足，，设公比为q，可得，解得，，解得，那么，当或者时，获得最大值：，故答案为64．15.【答案】【解析】【分析】此题考察向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考察计算才能．利用条件，通过数量积判断(pànduàn)两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：，可得．向量，，可得，解得．故答案为．16.【答案】【解析】【分析】此题考察三棱锥的外接球的外表积的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用，属于中档题．以PA，PB，PC为棱构造一个长方体，这个长方体的外接球就是三棱锥的外接球，由此能求出三棱锥的外接球的外表积．【解答】解：如图，PA，PB，PC两两垂直，设，那么，，，，解得，三棱锥，PA，PB，PC两两垂直，且，，，以PA，PB，PC为棱构造一个长方体，那么这个长方体的外接球就是三棱锥的外接球，由题意可知，这个长方体的中心是三棱锥的外接球的球心，三棱锥的外接球的半径为，所以外接球的外表积为．故答案为．17.【答案】解：等式利用正弦定理化简得：，整理得：，，，，又，；由余弦定理得，，，，，，的周长为．【解析】此题考察了正弦(zhèngxián)、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，纯熟掌握定理及公式是解此题的关键．等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sin C不为0求出cos C的值，即可确定出C的度数；利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出的值，即可求的周长．18.【答案】解：Ⅰ函数，函数的定义域为，当时，，，当x变化时，和的值的变化情况如下表：x 1递减极小值递增由上表可知(kě zhī)，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，极小值是．Ⅱ由，得，因为函数为上的单调增函数，那么在上恒成立，即不等式在上恒成立，也即在上恒成立．令，那么，当时，，在上单调递减，．．的取值范围为．【解析】此题考察函数的单调区间和极值的求法，考察导数中的恒成立问题，属于中档题．Ⅰ函数的定义域为，当时，，由此利用导数性质能求出函数的单调区间和极值；Ⅱ由，得，函数为上的单调增函数，那么在上恒成立，即在上恒成立，令，那么，由此利用导数性质即可求出a的取值范围．19.【答案】解：，，令，，得，，可得函数的单调增区间为，；令，，得，，可得函数的单调减区间为，；假设把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，，，．故在区间上的最小值为，最大值为1．【解析】此题主要(zhǔyào)考察三角函数的化简及函数的图象性质和最值，考察了学生的计算才能，培养了学生分析问题与解决问题的才能，属于中档题．利用二倍角公式和辅助角公式，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的单调区间；利用函数的图象变换规律求得的解析式，由x的范围求出的范围，即可利用正弦函数的性质求出的范围．20.【答案】解：由题意可得，即，解得：，数列的通项公式为；，．【解析】此题考察等差数列(děnɡ chā shù liè)的性质和等比数列的通项公式，考察了等比数列的前n项和，属于较易题．由题意可得，由公比为2，把、、用表示，求得，可得数列的通项公式；利用条件转化求出数列的通项公式，然后用分组求和法求解数列的和即可．21.【答案】解：Ⅰ因为是奇函数，所以，即，，又由知，所以，，经检验，时，是奇函数．Ⅱ由Ⅰ知，易知在上为减函数，又因为是奇函数，所以等价于，因为为减函数，由上式可得：，即对一切有：，从而判别式，所以k的取值范围是．【解析】此题主要考察函数奇偶性与单调性的综合应用(yìngyòng)，同时考察一元二次不等式恒成立问题的解决策略，属于中档题．Ⅰ利用奇函数的定义，在中运用特殊值求a，b的值．Ⅱ首先确定函数的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．22.【答案】证明：法一，如图，取PB中点G，连接AG，NG，为PC的中点，，且，又，，且，，且，那么，且，四边形AMNG为平行四边形，那么，平面PAB，平面PAB，平面PAB；法二，在中，过N作，垂足为E，连接ME，在中，由，，得，，，那么，在中，，，由余弦定理得：，，而在中，，，即，，那么平面PAB．由底面ABCD，得，又，，那么平面PAB．，平面平面PAB，那么平面PAB；解：在中，由，，，得．，那么，底面ABCD，平面PAD，平面平面PAD，且平面平面，平面PAD，那么平面平面PAD．在平面PAD内，过A作，交PM于F，连接NF，那么为直线AN与平面PMN所成角．在中，由N是PC的中点，得，在中，由，得，．直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【解析】此题考察直线(zhíxiàn)与平面平行的断定，考察直线与平面所成角的求法，考察数学转化思想方法，考察了空间想象才能和计算才能，是中档题．法一，取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得，且，再由得，且，得到，且，说明四边形AMNG为平行四边形，可得，由线面平行的断定得到平面PAB；法二，证明平面PAB，转化为证明平面平面PAB，在中，过N作，垂足为E，连接ME，由底面ABCD，可得，通过求解直角三角形得到，由面面平行的断定可得平面平面PAB，那么结论得证；由勾股定理得，进一步得到平面平面PAD，在平面PAD内，过A作，交PM于F，连接NF，那么为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．内容总结。

高二上期期末检测模拟试题数学 试题 参考答案一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1、【答案】B2、【答案】D解析：由题意，得存在实数x ，y ，使得AD x AB y AC =+成立，即(5,6,)(2,1,3)(1,4,2)x y λ−=−+−−，所以52,64,32,x y x y x y λ=− −=−+ =− 解得2,1,8,x y λ==− = 故选D. 3、【答案】C解析：由535S S =，且21(21)n n S n a −=−，得()312355a a a a =++，所以120a a +=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()341248a a a a d +−+==，所以121d a ==−，，所以5147a a d =+=. 4、【答案】A 5、【答案】D解析：()57134a a a a +=+，则4q = ，∴4624a q a ==故选：D 6、【答案】D 7、【答案】C小题，共9、【答案】ACD解析：因为数列是一类特殊的函数，其自变量n +∈N ，故数列的图象是一群孤立的点，A 正确；数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…的对应项不一样，故不是同一数列，B 错误； ，…前四项的规律，可知一个通项公式可以是()1nna n n +=∈+N ，C 正确； 10、【答案】ABD解析：当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A 选项正确；设(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(),m n ，则满足212122n mn m − =−+ =+ ，解得：11m n = = ，故点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)，B 正确；当在x 轴和y 轴上截距都等于0时，此时直线为y x =，故C 错误；直线20x y −−=与两坐标轴的交点坐标为()2,0与()0,2−，故与两坐标轴围成的三角形的面积为12222××=，D 正确. 故选：ABD. 11、【答案】BC解析：因为双曲线22:1169x y C −=，所以5c =，又因为12112102022P P F P F S c y y =⋅=⋅⋅= ，所以4P y =，所以选项A 错误；将其代入22:1169x y C −=得2241169x −=，即20||3x =，由对称性，不妨取P 的坐标为20,43，可知2133PF =， 由双曲线定义可知1213372833PF PF ++ 所以121337|||350|33PF PF +=+=，所以选项B 正确； 由对称性，对于上面点P ， 在12PF F 中，12371321033PF c PF =>=>=， 且24012020553PF k −==>−，所以12PF F 为钝角三角形，选项C 正确； 因为122920tan tan 22PF F b S θθ===，所以9πtan tan 2206θ=<=， 即π26θ<，所以12π3F PF θ∠=<，所以选项D 错误（余弦定理也可以解决）； 12、【答案】ABD 解析：作出如图所示图形:对A,由抛物线定义及题意得222sin 302M M py py +==− , 即2212MM py p y+= =−,解得3p =,故A 正确; 对B,3p =,则30,2F,当直线l 的斜率不存在时,显然不合题意,设()11,M x y ,()22,N x y ,设直线l 的方程为y kx =22py =得2690x kx −−=,则12126,9x x k x x +==−, 121322MON S x x =×−=△当且仅当0k =时等号成立,故B 正确;对C,121212123322OM ON x x y y x x kx kx ⋅=+=+++ ()()()221212393919162424k x x k x x k k k =++++=−++⋅+故MON ∠钝角,则不存在直线l ,使得90OMF ONF ∠+∠>°,故C 错误; 对D,26x y =,即216y x =,故13y x ′=,1x ,在点N 2x ,为121x x =−,故相切的两条直线互相垂直,故D 正确.故选:ABD.三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13、【答案】解析：将2220x y x ++=化为标准式得()2211x y ++=，故半径为1； 圆心()1,0−到直线y kx =，由弦长为1可得1=，解得k =.故答案为：.14、【答案】33,84解析：设00(,)P x y ,则有2200143x y +=,即2200443x y −=.①由题意知12(2,0),(2,0)A A −,设直线1PA 的斜率为1k ,直线2PA 的斜率为2k ,则001200,22y y k k x x ==+−, 所以212204y k k x ⋅=−.② 由①②得1234k k ⋅=−.因为2[2,1]k ∈−−,所以1k 的取值范围为33,84,故选B.15、【答案】21nn + 解析：由题意，11a =，当(,1]x n n ∈+时，{}1x n =+，(22{},21x x n n n n ⋅∈+++ ，{{}}x x ⋅的取值依次为2221,2,,21n n n n n n ++++++ ，…，221n n ++，共1n +个，即11n n a a n +=++，由此可得(1)1211123,22(1)1n n n n a n a n n n n + =++++===− ++， 所以1211121n n a a a n +++=+ . 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16、【答案】解析：本题考查抛物线、双曲线的几何性质，直线与抛物线的位置关系.由题意得,02p F，设直线l 的方程为2p x my =+，()11,A x y ，()22,B x y .由22,,2y px p x my = =+消去x 得2220y mpy p −−=，0∆>， 122y y mp ∴+=①，212y y p ⋅=−②.又||(3||AF FB =+，即(3AF FB =+，1122,(3,22p p x y x y∴−−=+−,12(3y y ∴=−+③.将③代入①得21)y mp +=−④，将③代入②得222(3y p +=⑤，再由④⑤解得21m =，故直线l 的斜率1k =±.又抛物线22(0)y px p =>的焦点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的右焦点，2p c ∴=.∴直线l 的方程即为()y k x c =−. 由双曲线的左焦点(,0)c −到直线l的距离2d b =>，解得c >，即222c b >.又222b c a =−,()2222c c a ∴>−,即ce a=<, 又1e >，∴双曲线的离心率e ∈. 17、【答案】(1).依题意得()()12111410,28,a d a d a a d +=+=+因为0d ≠，解得12,2.a d ==所以()2122n a n n =+−×=.(2).由(1)得()2222n n n S n n +==+， 所以211111nS n n n n ==−++. 所以11111111223111n n T nn n n =−+−++−=−=+++…. 解析：18、【答案】（解析:（1）1BB ⊥ 平面ABC ,BC ⊂平面ABC , 1BB BC ∴⊥,平面111//A B C 平面ABC , 1BB ∴⊥平面111A B C , 11B C ⊂ 平面111A B C , 111BB B C ∴⊥11111tan B C C BB BB∴∠==1tan B CB ∠==111C BB B CB ∴∠=∠, 1190CBC B CB ∴∠+∠=°, 即11BC B C ⊥,又111A B BB ⊥,1111A B B C ⊥,1111BB B C B = ,1BB ⊂平面11BCC B ,11C B ⊂平面11BCC B , 11A B ∴⊥平面11BCC B , 111A B BC ∴⊥,1111A B B C B = ,1B C ⊂平面11A B C ,11A B ⊂平面11A B C , 1BC ∴⊥平面11A B C , 1A C ⊂ 平面11A B C ,11BC A C ∴⊥.（2）如图,作1A H AC ⊥于H ,在直角梯形11ABB A 中,得1AA =同理可得1CC =在等腰梯形11ACC A 中,()1112AH AC AC =−=则1A H ==1112A AC S AC A H ∴=⋅=△设B 到平面1A AC 的距离为d , 由11A ABC B A AC V V −−=,1113ABC A AC S BB S d ⋅=⋅△△, 则11ABC A AC S BB dS ⋅=△△又1A B =所以直线1A B 与平面1ACC A =.19、【答案】(1)圆C 的方程为22(3)(1)9x y −+−=或22(3)(1)9x y +++= (2)反射光线所在直线的方程为29150x y +−= 解析：(1)设圆222:()()(0)C x a y b r r −+−=>.由题意，得30a b −=①，||r a =②，227r +=③. 由①得3a b =，则3||r b =，代入③得21b =.当1b =时，3a =，3r =，∴圆22:(3)(1)9C x y −+−=；当1b =−时，3a =−，3r =，∴圆22:(3)(1)9C x y +++=.综上所述，圆C 的方程为22(3)(1)9x y −+−=或22(3)(1)9x y +++=. (2) 圆C 与y 轴正半轴相切， ∴圆22:(3)(1)9C x y −+−=. 设(1,2)M −−关于直线4y x =+的对称点为(,)M x y ′， 则21,1214,22y x y x + =− + −− =+ 解得6,3,x y =− = (6,3)M ′∴−，∴反射光线所在直线的斜率1336k −==+∴反射光线所在直线的方程为23(6)9y x −=−+，即29150x y +−=.20、【答案】 解析：解法一：取CD 的中点T ，连接AT ，可得AT CD ⊥， 所以AB AT ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，故以P A ，AB ，AT 所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图.可得(,0,0)B a ，1,02C a ，1,02D a −，(0,0,)P b . (1)设平面PBD 的法向量为()111,,x y z =m ，因为(,0,)PB a b =− ，3,02BD a a =−， 所以11110,30,2ax bz ax ay −=−=令1x b =，则(,)b a =m ；设平面P AC 的法向量为()222,,x y z =n ，因为(0,0,)AP b =，1,02AC a =，所以2220,10,2bz ax = = 令21y =，则(n .所以0⋅=m n ，从而平面PBD ⊥平面P AC .(2)易得1,04O a，3,08M a， 设平面OPM 的法向量为()1333,,x y z =n ，因为1,,4OP a b =−，1,08OM a =，所以333331410,8ax ay bz ax −+= 31y =，则1(n ；设平面PMD 的法向量为()2444,,x y z =n ，因为1,2PD a b =−−，7,08MD a =−，所以4444410,270,8ax bz ax −−=−=令47y b =，则2,7)b =n .设二面角O PM D −−的平面角为θ，由tan θ=θ=所以1cos cos ,θ=n =解法二：过点O 作//OT PA ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以OT ⊥平面ABCD .因为四边形ABCD 为菱形，所以OC OD ⊥，如图，以OC ，OD ，OT 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，(1,0,0)A −，(1,0,0)C ，(0,B ，D ，(1,0,)P b −.(1)设平面PBD 的法向量为()111,,x y z =m ，因为(1,)PB b =− ，(0,BD =，所以11110,0,x bz −−= = 令11z =，则(,0,1)b =m ；设平面P AC 的法向量为()222,,x y z =n ，因为平面P AC 即为xOz 平面，所以(0,1,0)=n .所以0⋅=m n ，从而平面PBD ⊥平面P AC . (2)易得1,0,02M.设平面OPM 的法向量为()1333,,x y z =n ，因为(1,0,)OP b − ，1,0,02OM=，所以3330,10,2x bz x −+== 可取1(0,1,0)=n ；设平面PMD 的法向量为()2444,,x y z =n ，因为)PD b =− ，12MD=−，所以444440,10,2x bz x +−= −=令4y b =，则2,b =n .设二面角O PM D −−的平面角为θ，则tan θ=θ=所以1cos cos ,θ=n解得b =CD ==12112111222111111113333333222242n n n n n T b b b −−−=−+−++−=−+++++=+++++22、【答案】(1)标准方程为. (2)存在，点(0,0)M .2212x y +=解析：(1)因为椭圆E，所以c a =，所以直线1l 的斜率为-1.如图，设E 的右焦点为F ，右顶点为P ，上顶点为Q ，过点P 作于点D ，则π||14PD PFD ∠=，所以，即1a c c −=−=，解得，则1,b a ==.故椭圆E 的标准方程为.(2)由题意可得点O 是线段AB 的中点. 又||||AC BC =，所以OA OC ⊥.①当直线AC 的斜率存在时，设直线AC 的方程为()()1122,,,,y kx m A x y C x y =+， 由2212x y y kx m+==+ ，得()222214220k x kmx m +++−=， 则()()222(4)421220km k m ∆=−+−>，即22210k m −+>. 由根与系数的关系可得2121222422,2121km m x x x x k k −+=−=++， 由OA OC ⊥可得12120x x y y +=，即()()12120x x kx m kx m +++=， 即()()22121210k x x km x x m++++=，所以()()2222222122402121k m k m m k k +−−+=++， 故22312k m =−. 假设存在点()0,0M x 满足条件，设点M 到直线AC 的距离为d ，则()()2200222213kx m kx m d k m++==+，,a b c 1PD l ⊥|||PF PD =1c =2212x y +=当00x =时，2d 为定值23，即d ②当直线AC 的斜率不存在时，根据椭圆的对称性可得11x y =，所以221112x x +=，故2123x =，点(0,0)到直线AC综上可得，存在点(0,0)M ，使得点M 到直线AC。