三角函数性质2

三角函数的定义与性质三角函数是数学中的重要概念之一，它在几何学、物理学、工程学等领域具有广泛的应用。

本文将探讨三角函数的定义与性质，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、三角函数的定义三角函数是用于描述角度与弧长之间关系的函数。

常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。

1. 正弦函数（sin）：在一个直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边之比。

用数学符号表示为：sinθ = 对边 / 斜边。

2. 余弦函数（cos）：在一个直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边之比。

用数学符号表示为：cosθ = 邻边 / 斜边。

3. 正切函数（tan）：在一个直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边之比。

用数学符号表示为：tanθ = 对边 / 邻边。

4. 余切函数（cot）：在一个直角三角形中，余切函数定义为邻边与对边之比。

用数学符号表示为：cotθ = 邻边 / 对边。

5. 正割函数（sec）：在一个直角三角形中，正割函数定义为斜边与邻边之比。

用数学符号表示为：secθ = 斜边 / 邻边。

6. 余割函数（csc）：在一个直角三角形中，余割函数定义为斜边与对边之比。

用数学符号表示为：cscθ = 斜边 / 对边。

二、三角函数的性质三角函数具有一系列的性质，这些性质在解决三角函数相关问题时起着重要的作用。

1. 周期性：所有的三角函数都是周期函数，即函数值在一定区间内重复出现。

其中，正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数和余切函数的周期为π。

2. 奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数和余切函数是偶函数。

奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。

3. 值域：正弦函数和余弦函数的值域是[-1, 1]，而正切函数和余切函数的值域是实数全集。

4. 互余关系：正弦函数和余弦函数满足互余关系，即sinθ = cos(π/2 - θ)，cosθ = sin(π/2 - θ)。

三角函数图像与性质
三角函数是基本的初等函数之一，它以角度为自变量，以任意角度的终边与单位圆或其比值的交点坐标为因变量。

接下来看看常见三角函数的图像和性质。

三角函数的图像
三角函数的性质
1.正弦函数
在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即sinA=∠A的对边/斜边。

正弦值在[2kπ-π/2,2kπ+π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)，在[2kπ+π/2,2kπ+3π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而减小(增大)。

图像：波形曲线
值域：[-1,1]
定义域：R
2.余弦函数
在Rt△ABC(直角三角形)中，∠C=90°(如图所示)，∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为
cosa=AC/AB。

余弦函数：f(x)=cosx(x∈R)。

余弦值在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)，在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)随角度增大(减小)而减小(增大)。

图像：波形曲线
值域：[-1,1]
定义域：R
3.正切函数
在Rt△ABC(直角三角形)中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B的对边b，正切函数就是
tanB=b/a，即tanB=AC/BC。

正切值在[kπ-π/2,kπ+π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)。

图像：右图平面直角坐标系反映
定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}
值域：实数集R。

三角函数的性质
三角函数是数学中的基本初等函数之一，具有多种性质，以下是一些主要的性质：
1.周期性：三角函数具有周期性，即它们的值在每隔一定的
角度后重复出现。

正弦函数和余弦函数的周期为360度
（或2π弧度），而正切函数的周期为180度（或π弧
度）。

2.奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，这意味着对于任
何角度θ，sin(-θ) = -sinθ和tan(-θ) = -tanθ。

余弦函数是
偶函数，即cos(-θ) = cosθ。

3.有界性：正弦函数和余弦函数的值域都是[-1, 1]，这意味
着它们的值始终在这个范围内。

正切函数的值域是实数集R，没有上界和下界。

4.单调性：在特定的区间内，正弦函数和余弦函数可以是增
函数或减函数。

正切函数在其定义域内的某些区间内也是增函数或减函数。

5.和差角公式：三角函数满足一些和差角公式，这些公式允
许我们计算两个角的和或差的正弦、余弦和正切值。

6.倍角公式：三角函数也满足一些倍角公式，这些公式允许
我们计算一个角的两倍的正弦、余弦和正切值。

7.三角恒等式：三角恒等式是一组恒真的等式，涉及正弦、
余弦、正切等三角函数。

这些恒等式在三角函数的计算和证明中非常有用。

8.单位圆上的定义：三角函数也可以定义为单位圆上的各种
线段的长度，这为它们提供了几何解释。

9.无穷级数表示：三角函数也可以用无穷级数来表示，这允
许我们将它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

这些性质使得三角函数在数学、物理、工程、信号处理等领域中有广泛的应用。

三角函数的性质与变形公式三角函数是数学中的一门重要内容，它被广泛应用于物理学、工程学等领域。

三角函数的性质和变形公式是掌握三角函数的重要基础。

在本文中，我将详细介绍三角函数的性质和变形公式。

一、三角函数的性质1. 周期性正弦函数和余弦函数是周期函数，周期为 $2\pi$，即$sin(x+2k\pi) = sin(x)$，$cos(x+2k\pi) = cos(x)$，其中 $k$ 为任意整数。

2. 奇偶性正弦函数和正切函数是奇函数，即 $sin(-x) = -sin(x)$，$tan(-x) = -tan(x)$；余弦函数是偶函数，即 $cos(-x) = cos(x)$。

3. 对称性正弦函数是以$y$ 轴为对称轴对称的，即$sin(\pi -x) = sin(x)$；余弦函数是以 $x$ 轴为对称轴对称的，即 $cos(\pi -x) = -cos(x)$。

4. 增减性正弦函数在 $[0,\pi]$ 区间是增函数，在 $[\pi,2\pi]$ 区间是减函数。

余弦函数在 $[0,\pi]$ 区间是减函数，在 $[\pi,2\pi]$ 区间是增函数。

二、三角函数的变形公式1. 正切函数的变形公式$$tan(x \pm \pi) = \pm tan(x)$$根据正切函数的周期性可以得到上述公式。

当 $x$ 落在$[\frac{\pi}{2},\pi]$ 区间内时，$tan(x)$ 的符号与 $\pi$ 内角的符号相同；当 $x$ 落在 $[\pi,\frac{3\pi}{2}]$ 区间时，$tan(x)$ 的符号与 $\pi$ 内角的符号相反。

$$tan(\frac{\pi}{2} \pm x) = -\frac{1}{tan(x)}$$当 $x$ 落在 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 区间内时，上式成立。

2. 正弦函数和余弦函数的变形公式$$sin(x \pm \pi) = -sin(x),\quad cos(x \pm \pi) = -cos(x)$$由三角函数的周期性可以得到上述公式。

三角函数的图象与性质（二）一、基本知识：了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的图象，理解参数A 、ω、φ的物理意义．掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换．会根据图象提供的信息，求出函数解析式．二、例题分析：【例1】(2004年某某卷)设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ A ）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=【思路串讲】本题主要考查三角函数的图象与性质以及分析问题与解决问题的能力．“会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型”，此类问题的求解一般是先找出周期，定出A 与是的值，最后确定 的值．【标准答案】A【例2】 函数y=Asin （ωx+φ)(A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2)的最小值为－2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差3π，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式．分析 求函数的解析式，即求A 、ω、φ的值．A 与最大、最小值有关，易知A=2，ω与周期有关，由图象可知，相邻最高点与最低点横坐标差3π，即T 2=3π．得 T=6π，所以ω=13．所以y=2sin(x 3+φ），又图象过点（0，1），所以可得关于φ的等式，从而可将φ求出，易得解析式为y=2sin(x 3 ＋π6）．【例3】 右图为某三角函数图像的一段（1）试用y=Asin （ωx+φ)（2）求这个函数关于直线x=2解：（1）T=13π3－ π3=4π．∴ω=2πT = 12．又A=3，由图象可知所给曲线是由y=3sin x2沿x 轴向右平移 π3而得到的．∴解析式为 y=3sin 12 (x －π3)．(2)设（x ，y)为y=3sin(12 x －π6 ）关于直线x=2π对称的图像上的任意一点，则该点关于直线x=2π的对称点应为（4π－x ，y)，故与y=3sin(12x －π6）关于直线x=2π对称的函数解析式是y=3sin ［12（4π－x)－ π6］=－3sin(12 x ＋π6）．点评 y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象由y=sin ωx 的图象向左平移（φ＞0）或向右平移（φ＜0）|φ|ω个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用． 【例4】 已知函数y=12cos 2x+ 32sinxcosx+1 (x ∈R)．(1)当y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【思路串讲】本题主要考查三角函数的图象和性质、利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.解题突破口：利用三角公式进行恒等变形化简为)sin()(ϕω+=t A x f ,（1）回答图像的变换时，不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语．（2）周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化．必须搞清A 、ω、φ和图象的哪些因素有关；y=sin ωx 和y=sin(ωx+φ)两图象间平移变换的方向和平移的单位数量极易搞错，解题时要倍加小心．解 (1)y= 12·1+cos2x 2 + 32·12 sin2x +1= 12sin(2x+π6)+ 54．当2x+π6 =2k π+π2 ，即x=k π+π6，k ∈Z 时，y max = 74．(2）由y=sinx 图象左移π6个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），其次将图象上各点纵坐标缩短到原来的12（横坐标不变），最后把图象向上平移 54个单位即可．点评 （1）回答图像的变换时，不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语．（2）周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化． 【例5】已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=.（I ）函数)(x f 的最小正周期和最大值;（II ）在给出的直角坐标系中，画出函数]2,2[)(ππ-=在区间x f y 上的图象.【思路串讲】本题主要考查三角函数的图象和性质、利用三角公式进行恒等变形的技能、“五点”法作图以及运算能力. 解题突破口：要求函数数)(x f 的最小正周期和最值,关键是利用三角公式进行恒等变形化简为y=Asin(ωx+φ)形式. 要画出函数]2,2[)(ππ-=在区间x f y 上的图象.主要用“五点”法作图.【标准答案】（I ）x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+=)42sin(21)4sin 2cos 4cos2(sin 21πππ-+=-⋅+=x x x所以函数)(x f 的最小正周期为π，最大值为21+.（Ⅱ）由（Ⅰ）知x83π- 8π-8π 83π 85π y1 21- 1 21+ 1故函数)(x f y =在区间]2,2[ππ-上的图象是【例6】(2003年卷)已知函数.sin cos sin 2cos )(44x x x x x f --= （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）若]2,0[π∈x ，求)(x f 的最大值、最小值.【思路串讲】本题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力. 解题突破口：要求函数数)(x f 的最小正周期和最值,关键是利用三角公式进行恒等变形化简为y=Asin(ωx+φ)形式.【标准答案】（Ⅰ）因为x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=)42cos(22sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos 2222π+=-=--+=x x x x x x x x所以)(x f 的最小正周期.22ππ==T ……6分（Ⅱ）因为,20π≤≤x 所以.45424πππ≤+≤x 当442ππ=+x 时，)42cos(π+x 取得最大值22；当ππ=+42x 时，)42cos(π+x 取得最小值－1.所以)(x f 在]2,0[π上的最大值为1，最小值为－.2……13分【例7】（2003年春季卷）已知函数)(,2cos 4sin 5cos 6)(24x f xx x x f 求-+=的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.【思路串讲】本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.解题突破口：要求函数数)(x f 的定义域,转化为02cos ≠x ,要求函数数)(x f 的值域,关键是利用三角公式进行恒等变形化简为y=Asin(ωx+φ)形式.【标准答案】由Z k k x k x x ∈+≠+≠≠,42,2202cos ππππ解得得.所以)(x f 的定义域为}.,42|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ且因为)(x f 的定义域关于原点对称，且)2cos(4)(sin 5)(cos 6)(24x x x x f ---+-=-)(),(2cos 4sin 5cos 624x f x f xx x 所以=-+=是偶函数.当xx x x f Z k k x 2cos 4sin 5cos 6)(,,4224-+=∈+≠时ππ1cos 32cos )1cos 3)(1cos 2(222-=--=x xx x ，所以)(x f 的值域为}221211|{≤<<≤-y y y 或. 三、训练反馈：1．将y=cosx 的图象作关于x 轴的对称变换，再将所得的图象向下平移1个单位，所得图象对应的函数是 （ D ）A ．y=cosx+1B ．y=cosx －1C ．y=－cosx+1D ．y=－cosx －12．函数f(x)=sin3x 图象的对称中心的坐标一定是 （ B ） A ． (12k π，0)， k ∈Z B ．（13k π，0）， k ∈ZC ．（14k π，0）， k ∈ZD ．（k π，0），k ∈Z3．函数y=cos(2x+π2)的图象的一个对称轴方程为 （ B ）A ．x=－ π2B ．x=－ π4C ．x= π8 D ．x=π4．为了得到函数y=3sin(3x+π4)，x ∈R 的图象，只需把函数y=3sin(x+π4)的图象上所有点（ B ）A ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变．5．要得到y=sin(2x －π3)的图象，只需将y=sin2x 的图象 （ D ）A ．向左平移π3个单位B ． 向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ． 向右平移π6个单位6．函数y=12sin(2x+θ)的图象关于y 轴对称的充要条件是 （ B ）A ．θ=2k π+π2B ．θ=k π+π2 C ．θ=2k π+πD ．θ=k π+π(k ∈Z)7．先将函数y=sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 （ D ） A ．y=sin(－2x+π3) B ．y=sin(－2x －π3)C ．y=sin(－2x+ 2π3)D ． y=sin(－2x －2π3)8．右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成 （ D ）A ．sin(1+x)B ． sin(－1－x)C ．sin(x －1)D ． sin(1－x)9．y=tan(12x －π3)在一个周期内的图象是 （A ）10．已知函数y=2cosx(0≤x ≤2π)的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则该封闭图形面积是．4π-BACD11．将y=sin(3x －π6)的图象向（左、右）平移个单位可得y=sin(3x+π3)的图像．左，π612．已知函数y=Asin(ωx+φ)，在同一个周期内，当x=π9时取得最大值12，当x=4π9时取得最小值－ 12，若A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2，求该函数的解析表达式． y=12 sin(3x+π6)13．已知函数y=3sinx+cosx ，x ∈R ．(1)当y 取得最大值时，求自变量x 的取值集合； （2）该函数的图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（1）{x ｜x=π3+2k π，k ∈Z}； （2）将y=sinx 的图象向左平移π6，得到函数y=sin(x+π6)的图象，再将所得图象上各点横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=2sin(x+π6)的图象．word 11 / 11。

三角函数的正负性质三角函数是数学中重要的概念，在解决各种三角问题中发挥着重要作用。

正负性质是指在不同的象限中，三角函数的值的正负情况。

本文将详细介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的正负性质。

一、正弦函数的正负性质在单位圆上，将圆周分成四个等份，得到四个象限：第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

根据三角函数的定义可知，在不同的象限中，正弦函数的正负情况如下：1. 第一象限（0° ~ 90°）：在第一象限中，正弦函数是正值，即sinθ > 0。

2. 第二象限（90°~ 180°）：在第二象限中，正弦函数仍然是正值，即sinθ > 0。

3. 第三象限（180° ~ 270°）：在第三象限中，正弦函数变为负值，即sinθ < 0。

4. 第四象限（270°~ 360°）：在第四象限中，正弦函数仍然是负值，即sinθ < 0。

二、余弦函数的正负性质与正弦函数类似，余弦函数也可以根据单位圆在不同象限的位置判断其正负情况：1. 第一象限（0° ~ 90°）：在第一象限中，余弦函数是正值，即cosθ > 0。

2. 第二象限（90°~ 180°）：在第二象限中，余弦函数仍然是负值，即cosθ < 0。

3. 第三象限（180° ~ 270°）：在第三象限中，余弦函数也是负值，即cosθ < 0。

4. 第四象限（270°~ 360°）：在第四象限中，余弦函数仍然是正值，即cosθ > 0。

三、正切函数的正负性质正切函数是正弦函数与余弦函数之商，因此其正负性质与正弦函数和余弦函数有所不同：1. 第一象限（0° ~ 90°）：在第一象限中，正切函数是正值，即tanθ > 0。

2. 第二象限（90° ~ 180°）：在第二象限中，正切函数变为负值，即tanθ < 0。

三角函数的基本性质三角函数是数学中一个重要的概念，它在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

本文将介绍三角函数的基本性质，包括定义、周期性、奇偶性、单调性等方面。

一、三角函数的定义三角函数是以单位圆上的点的坐标为基础来定义的。

在单位圆上，我们可以找到一个点P，它的坐标为(x, y)，其中x和y分别表示点P在x轴和y轴上的坐标。

根据点P的位置，我们可以定义三角函数的值。

1. 正弦函数（sin）正弦函数是三角函数中最基本的函数之一。

它的定义为：在单位圆上，点P的y坐标值即为正弦函数的值。

正弦函数的记号为sin(x)。

2. 余弦函数（cos）余弦函数也是三角函数中的一个重要函数。

它的定义为：在单位圆上，点P的x坐标值即为余弦函数的值。

余弦函数的记号为cos(x)。

3. 正切函数（tan）正切函数是三角函数中的另一个常用函数。

它的定义为：tan(x) = sin(x) / cos(x)。

正切函数的值可以通过正弦函数和余弦函数的比值来求得。

二、三角函数的周期性三角函数具有周期性，即它们的值在一定的范围内重复出现。

以正弦函数为例，它的周期为2π（或360度）。

也就是说，当x增加或减少2π时，正弦函数的值将重复出现。

同样地，余弦函数和正切函数也具有相同的周期性。

这种周期性使得三角函数在很多问题中都有重要的应用，例如在波动问题、振动问题中的描述。

三、三角函数的奇偶性在介绍三角函数的奇偶性之前，我们先来了解一下奇函数和偶函数的定义。

1. 奇函数奇函数是指满足f(-x) = -f(x)的函数。

简单来说，如果一个函数关于原点对称，那么它就是奇函数。

2. 偶函数偶函数是指满足f(-x) = f(x)的函数。

换句话说，如果一个函数关于y轴对称，那么它就是偶函数。

在三角函数中，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，而正切函数既不是奇函数也不是偶函数。

这种奇偶性的性质在解题和简化运算中起到了重要的作用。

四、三角函数的单调性单调性是指函数在定义域上的增减性。

三角函数的基本性质在数学中，三角函数是一类重要的函数，涉及到角度和三角形的关系。

它们具有许多基本性质，理解这些性质对于解决三角函数相关的问题非常重要。

本文将介绍三角函数的基本性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、范围、周期性等。

1. 正弦函数的基本性质正弦函数（sine function）是三角函数中最常见的一种。

它的定义如下：$$sin(x) = \frac{{opposite}}{{hypotenuse}}$$其中，\(x\) 为角度，\(opposite\) 表示对边的长度，\(hypotenuse\) 表示斜边的长度。

正弦函数的定义域为全体实数，值域为 \([-1, 1]\)。

正弦函数具有以下基本性质：- 周期性：\(sin(x)\) 的周期为 \(2\pi\)，即当自变量 \(x\) 增加 \(2\pi\) 时，函数值重新回到原来的值。

这是由于三角函数是周期性函数的特性决定的。

- 对称性：正弦函数是奇函数，即满足关系式 \(sin(-x) = -sin(x)\)。

这表示对称轴为原点，对称性质在许多数学和物理问题中非常有用。

- 不等式性质：对于任何角度 \(x\)，有 \(-1 \leq sin(x) \leq 1\)。

这意味着正弦函数的值始终位于闭区间 \([-1, 1]\) 中。

2. 余弦函数的基本性质余弦函数（cosine function）是三角函数中另一个重要的函数。

它的定义如下：$$cos(x) = \frac{{adjacent}}{{hypotenuse}}$$其中，\(adjacent\) 表示临边的长度。

余弦函数的定义域为全体实数，值域也为 \([-1, 1]\)。

余弦函数具有以下基本性质：- 周期性：\(cos(x)\) 的周期同样为 \(2\pi\)，与正弦函数相同。

这意味着余弦函数的值在每个周期内重复。

- 对称性：余弦函数是偶函数，即满足关系式 \(cos(-x) = cos(x)\)。