单位圆的对称性与诱导公式导学案

北师大版高中必修44.3单位圆与诱导公式教学设计摘要《北师大版高中数学》作为普通高中数学教材的代表之一，对于帮助学生全面提高数学素养和应试能力发挥了重要作用。

其中44.3节的“单位圆与诱导公式”作为三角函数章节的重点，需要教师们精心设计教学方案，使学生了解单位圆的基本知识和利用诱导公式进行简化运算的方法。

教学设计中需要关注学生的数学基础和认知瓶颈，采用启发式教学和以学生为中心的教学方法，帮助学生理解掌握三角函数的重要概念和计算方法。

一、课程目标本节课的教学目标包括： 1. 理解并掌握单位圆的概念、性质和应用； 2. 掌握三角函数的诱导公式，能够运用诱导公式简化计算； 3. 培养学生的数学思维、计算能力和应用能力，提高学生对三角函数的理解和应用水平。

二、教学策略1.以启发式教学为主，激发学生学习兴趣和主动性；2.以学生为中心，建立合作学习和交互式讲解的教学模式，充分调动学生的学习积极性；3.采用实际问题、生活案例、模拟分析等多种教学手段，培养学生的数学思维和应用能力；4.给予学生多种形式的练习和巩固，不断提高学生综合运用三角函数知识和技能的能力。

三、教学过程1.导入环节通过引用生活中和实际问题中的三角函数应用示例，为学生提供学习的动机，并让学生初步了解三角函数基本概念和应用场景。

2.概念解释阐述单位圆的性质和使用方式，包括具体的示意图和相应的表格数据，让学生掌握单位圆的基本知识和使用技巧。

3.专题讲解通过具体计算的案例来讲解诱导公式的基本概念和推导过程，并分析诱导公式的实际应用意义和算术帮助。

4.实践练习为学生提供具体的数值和算式题目，让学生综合运用前面所学知识、技巧和方法，解决具体的数学问题。

5.拓展应用引导学生进行数学思维的拓展和应用，提供一些拓展性的问题和跨学科的综合计算案例，培养学生的创新思维和趣味数学探索能力。

6.课堂总结总结本节课的重点、难点和收获，强化学生的知识认识和理解，为下一堂课的学习奠定良好的基础。

诱导公式【教学目标】1．知识目标借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导出诱导公式，并进行简单应用。

2．能力目标根据三角函数的定义，运用数形结合的思想探究问题、解决问题。

3．素养目标培养学生由特殊到一般的归纳问题意识，养成勤于联想、善于探索的习惯。

【教学重点】发现并推导诱导公式，体会把未知问题化归为已知问题的思想。

【教学难点】如何引导学生从单位圆对称性与角的终边对称性中发现问题，提出研究方法。

【教学过程】引言：一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形——毕达哥拉斯学派圆是第一个最简单、最完美的图形。

——布龙克尔一、引入问题已知如何求：（1）；（2）；思维透析：借助三角函数的定义，从单位圆的对称性与任意角的终边的对称性中发现问题，解决问题。

二、公式推导将上述的做法推广到一般的情形：探究一：给定一个角，终边与角的终边关于原点对称的角与角有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？能否证明？,20sin a = 160sin ),20sin(,200sin ,380sin - 110sin ,70sin ααα-------------公式（二）探究二：给定一个角，终边分别与角的终边关于轴、轴对称的角与角有什么关系？它们的三角函数之间又有什么关系？能否证明？-------------公式（三）-------------公式（四）上述过程解决了关于原点、轴、轴对称问题，联系所学的函数知识容易联想到关于直线对称的问题。

探究三：（1）给定一个角，终边与角的终边关于直线对称的角与角有什么关系？它们的三角函数之间又有什么关系？能否证明？-------------公式（五）（2）如何求的三角函数值？ -------------公式（六)解决引入问题（2）：已知求；例：利用公式求下列各三角函数值：（1）（2）（3） 三、小结（由学生完成）1．研究诱导公式的思想方法：()()()sin sin cos cos tan tan πααπααπαα+=-+=-+=ααx y α()()()sin sin cos cos tan tan αααααα-=--=-=-()()()sin sin cos cos tan tan πααπααπαα-=-=--=-x y x y =ααx y =αααπααπsin )2cos(cos )2sin(=-=-απ+2ααπααπsin )2cos(cos )2sin(-=+=+,20sin a = 110sin ,70sin 225cos )316sin(π-)2040cos( -2．诱导公式的作用以及求任意角的三角函数的步骤：上述过程体现了由未知转化为已知的化归思想。

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4.4 单位圆的对称性与诱导公式（一)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用。

2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题。

知识点2kπ±α，－α，π±α的诱导公式思考1 设α为任意角，则2kπ＋α,π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？答案它们的对应关系如表：相关角终边之间的对称关系2kπ＋α与α终边相同π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称2π－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称思考2 2kπ＋α,π＋α,－α，2kπ－α,π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系?试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系。

答案它们交点间对称关系如表：相关角终边与单位圆的交点间对称关系2kπ＋α与α重合π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称2π－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称设角α与角－α终边与单位圆的交点分别为P和P′，因为P和P′关于x轴对称,所以点P和P′的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反，即sin(－α）＝－sin α，cos(－α）＝cos α.梳理对任意角α，有下列关系式成立：sin(2kπ＋α）＝sin α，c os（2kπ＋α)＝cos α(1。

4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导，并能应用它解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式1.8～1.14能作综合归纳，体会出七组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.知识点一π2±α的诱导公式 思考1 角α与π2＋α的正弦函数、余弦函数有何关系？答案 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α. 思考2 能否利用公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α得出π2－α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦的关系？ 答案 以－α代换公式中的α得到sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos(－α)＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin(－α)＝sin α. 梳理 对任意角α，有下列关系式成立：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α(1.13) sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α(1.14)诱导公式1.13～1.14的记忆：π2－α，π2＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.知识点二 诱导公式的记忆方法α sin α cos α 公式α＋2k π(k ∈Z )sin αcos α公式 π＋α －sin α －cos α 公式 －α －sin αcos α公式 π－α sin α －cos α 公式 π2－α cos αsin α公式π2＋α cos α －sin α1.α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”.2.π2±α的正弦、余弦函数值，函数名改变，把α看作锐角，符号看π2±α的函数值符号.简记为：“函数名改变，符号看象限”.诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式.当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.1.sin ⎝⎛⎭⎪⎫k π2－α＝±cos α.( × )提示 当k ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫k π2－α＝sin(π－α)＝sin α.2.口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号.( × ) 提示 应看原三角函数值的符号.类型一 利用诱导公式求值例1 (1)已知cos(π＋α)＝－12，α为第一象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值；(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α的值.考点 利用诱导公式求值 题点 利用诱导公式求值解 (1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝12.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－13sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－13cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－19. 反思与感悟 这是一个利用互余、互补关系解题的问题，对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.跟踪训练1 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值.考点 利用诱导公式求值 题点 利用诱导公式求值 解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.类型二 利用诱导公式化简例2 化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2－αsin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)，其中k ∈Z .考点 利用诱导公式化简 题点 利用诱导公式化简解 当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，则原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m π＋π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m π－π2－αsin[(2m ＋1)π＋α]cos (2m π＋α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αsin (π＋α)cos α＝－sin αcos α－sin αcos α＝1.当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z ). 仿上化简得：原式＝1. 故原式＝1.反思与感悟 用诱导公式进行化简时，若遇到k π±α的形式，需对k 进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简.跟踪训练2 化简：sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋32π.考点 利用诱导公式化简 题点 利用诱导公式化简 解原式＝sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·co s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝(－sin α)·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·co s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin α·co s α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·co s ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin α·cos α－cos α·sin α＝1.类型三 诱导公式的综合应用例3 已知f (x )＝sin (π－x )cos (π＋x )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－x cos (3π－x )sin (π－x )sin (－π＋x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋x .(1)化简f (x )；(2)求f ⎝⎛⎭⎪⎫－313π.考点 诱导公式的综合应用 题点 诱导公式的综合应用解 (1)f (x )＝sin x (－cos x )cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos (π－x )sin x [－sin (π－x )]sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x＝sin x (－cos x )⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －cos x sin x (－sin x )cos x＝sin xcos x.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝－sin π3cos π3＝－ 3. 反思与感悟 解决诱导公式与函数相结合的问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再化简或求值，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.跟踪训练3 已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若cos(α－π)＝15，求f (α)的值.考点 诱导公式的综合应用 题点 诱导公式的综合应用解 (1)f (α)＝sin α·cos α·(－cos α)cos α·sin α＝－cos α.(2)因为cos(α－π)＝15，所以cos α＝－15，所以f (α)＝－cos α＝15.1.已知sin α＝513，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α等于( ) A.513 B.1213 C.－513 D.－1213 考点 利用诱导公式求值 题点 利用诱导公式求值 答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－513.2.若cos(2π－α)＝53，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α等于( )A.－53 B.－23 C.53 D.±53考点 利用诱导公式求值 题点 利用诱导公式求值 答案 A解析 ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝53， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α＝－53.3.若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－φ＋sin(φ－π)的值为( ) A.－33B.33C.－ 3D. 3考点 利用诱导公式求值 题点 利用诱导公式求值 答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，sin φ＝－32， cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－φ＋sin ()φ－π＝－sin φ－sin φ＝3，故选D.4.已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝ .考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题 答案 35解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35.5.已知sin(π＋α)＝－13.计算cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2.考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.1.学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式.当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号.2.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法.3.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.一、选择题 1.已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α等于( )A.－25B.－15C.15D.25考点 利用诱导公式求值 题点 利用诱导公式求值 答案 C解析 sin(5π2＋α)＝cos α，故cos α＝15，故选C.2.已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)等于( )A.45B.－45C.±45D.35 答案 B 解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin α＝－35，且α是第四象限角，∴cos α＝45，∴cos(－3π＋α)＝－cos α＝－45.3.若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A.cos(A ＋B )＝cos C B.sin(A ＋B )＝－sin C C.cos A ＋C2＝sin BD.sinB ＋C2＝cos A2考点 诱导公式在三角形中的应用 题点 诱导公式在三角形中的应用 答案 D解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 项不正确； ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cosA ＋C2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＝sin B 2，故C 项不正确；∵B ＋C ＝π－A ， ∴sinB ＋C2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2，故D 项正确. 4.若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A.－2m 3B.2m 3C.－3m 2D.3m2考点 利用诱导公式求值 题点 综合利用诱导公式求值 答案 C解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m 2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3m 2. 5.已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23C.－13D.－23 考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题 答案 D解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23.6.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝45，且sin θ－cos θ>1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2·sin(π－θ)等于( ) A.－1225 B.－625 C.－25 D.1225考点 利用诱导公式求值题点 给值(式)求值问题 答案 A解析 由sin θ－cos θ>1，可知cos θ<0. 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝45，得sin θ＝45，∴cos θ＝－35， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2sin(π－θ)＝cos θsin θ＝－1225，故选A. 二、填空题7.若cos α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝ . 考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题 答案 －13解析 因为cos α＝13，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－cos α＝－13.8.化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝ .考点 诱导公式的综合应用 题点 综合运用诱导公式化简 答案 －1解析 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α·co s ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin α＝(－cos α)·sin αcos α·s in α＝－1.9.已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)＝ . 考点 诱导公式的综合应用 题点 诱导公式的综合应用 答案 －12解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.10.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝ .考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题 答案 －13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13. 11.已知角α的终边经过点P (－4，3)，则cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)＝ .考点 利用诱导公式求值 题点 利用诱导公式求值 答案 －34解析 ∵角α的终边经过点P (－4，3)， ∴sin α＝35，cos α＝－45，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝sin αcos α＝－34.12.化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π－2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3，n ∈Z 的结果为 .考点 诱导公式的综合应用 题点 综合运用诱导公式化简 答案34解析 当n 为偶数时，n ＝2k ，k ∈Z .原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3·cos 4π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin 2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π＝sin 2π3·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34.当n 为奇数时，n ＝2k ＋1，k ∈Z.原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π－2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π＋4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋4π3＝sin π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π－2π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫n π＋4π3＝34，n ∈Z . 三、解答题13.化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (10π＋α)＋sin (11π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αsin (π＋α). 考点 利用诱导公式化简题点 利用诱导公式化简解 原式＝－cos αsin αcos α＋sin α(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 四、探究与拓展14.已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，则sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin (－α)＝ . 考点 利用诱导公式求值题点 给值(式)求值问题答案 －34解析 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，∴sin α＝－2cos α且cos α≠0，∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34. 15.已知α是第四象限角，且f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α).(1)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (2)若α＝－1 860°，求f (α)的值.考点 诱导公式综合问题题点 诱导公式与函数的综合解 f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α)＝sin α cos α－sin αsin (π＋α)cos α＝1sin α.(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＋2π＝15，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝15，∴sin α＝－15，∴f (α)＝1sin α＝－5.(2)当α＝－1 860°时，f (α)＝1sin α＝1sin (－1 860°)＝1－sin 1 860°＝1－sin (5×360°＋60°)＝1－sin 60°＝－233.。

2014高中数学 单位圆与诱导公式导学案 北师大版学习目标：1. 能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数 2. 解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题 学习重难点：四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断 自主预习完成：1．公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2k π+α）=_____ cos （2k π+α）=______ 2．公式二： 任意角α与 －α的三角函数值之间的关系：sin （－α）=______ cos （－α）=______ sin （2π－α）=______ cos （2π－α）=______3．公式三： 设α为任意角，α+π，α－π的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin （α+π）= _____ cos （α+π）=________ sin （α－π）= _____ cos （α－π）=________4．公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）=______ cos （π－α）=________ 精讲互动例1．求下列各角的三角函数值 （1） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-47sin π （2）32cos π （3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-631cos π练习：课本P21 AT7例2.利用单位圆，求适合下列条件的角的集合（1）22cos -=α （2）21sin ≤α （3）23sin >α巩固练习：利用单位圆，求适合下列条件的角的集合 （1）21cos >α （2） 22sin <α （3） 23cos ≤α公式五：2π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （απ+2）=______ cos （απ+2）=________sin （απ-2）=_______ cos （απ-2）= ________推算公式：23π±α与α的三角函数值之间的关系：诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化,例如是指正弦变余弦。

《单位圆的对称性与诱导公式》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！我说课的课题是《单位圆的对称性与诱导公式》，这是北京师范大学出版社普通高中课程标准实验教科书数学必修四第一章正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式第四节的教学内容，这部分内容课标规定两个课时，今天我说的是第一课时。

我将根据新课标的理念及高一学生的认知特点设计本节课的教学，谈谈我对这节课教材的理解和教学设计。

一说教材本节课内容是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式一等知识的延续和拓展，又为以后的三角函数求值、化简、证明及解决有关的三角变换等方面打下基础。

诱导公式是求三角函数值的基本方法，诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求锐角的三角函数值问题。

诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和化归转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。

这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。

针对上述分析，结合高中数学课程标准和教材，同时考虑到高一学生的认知规律，特制定如下教学目标、教学重点和难点。

1.教学目标知识与技能：、⑴借助单位圆理解记忆诱导公式；⑵能用诱导公式进行简单求值、。

过程与方法：经历诱导公式的探索过程，体验未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养化归思想在。

情感、态度、价值观：感受数学探索的成功感，激发学习数学的热情，培养学习数学的兴趣，增强学习数学的信心。

2.教学重难点重点：利用诱导公式进行简单的正（余）弦函数式的求值与化简。

,难点：诱导公式的推导。

二说教法根据上述教材和目标分析，在教学中博采启发教学法、引探教学法、讲授教学法等诸多方法之长，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，深化课堂教学改革。

以问题为核心构建课堂教学，培养问题意识，提出恰当的对学生的数学思维有适度启发的问题，引导学生的思考和探索活动，使他们经历观察、发现、推理、探究、交流等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方法。

4.4单位圆的对称性与诱导公式教学分析本节教学内容的安排是学生学过的三角函数定义等知识的延续和拓展.根据上一节任意角的正弦、余弦函数的定义，我们知道某角的三角函数值是由该角的终边上点的坐标给出的.我们根据这一点，即三角函数的定义，结合角α的终边与角π+α，-α，π-α的终边的对称性，找出这些角的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，并利用这些关系求一些角的三角函数值，化简一些三角函数式，即我们不仅要探索出这些关系式，还要掌握并能利用它们解决一些简单的问题.诱导公式是求三角函数值的基本方法，求三角函数值是三角函数中的重要问题之一.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°-90°角的三角函数值问题.诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、,掌握数学的思想方法具有重大的意义.在本节诱导公式的学习中，关键是紧紧抓住单位圆这一图形工具，充分利用数形结合思想，将化归思想贯穿始终，这些典型的数学思想，无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，都清晰地得到体现.在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识，特别是在本课时的几个转化问题引入后，为什么确定180°+α角为第一研究对象，-α角为第二研究对象，正是化归思想的运用.本节内容的重点是诱导公式的推导及运用，在公式的推导中，首先确定180°+α角、-α角的终边与角α的终边有何位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，由正弦函数、余弦函数的定义得出结论.另外，运用公式进行一般的化简，实际上也是熟悉公式、巩固公式的一种方法，因此它同样属于本课时的重点之一.本节课教学方法主要采用了引导、观察、分析、归纳、讨论、类比发现法，在教案设计过程中，一是立足于知识的发生、发展形成过程，不断创设问题情境，让学生从已有的知识及感知中去观察、分析、总结公式的特点提炼公式的含义；二是力求以学生为主体，对课本上内容进行重新处理，特别是通过设疑和学生间互相讨论，以及画图思考来引导学生发展思维，获取新知识，形成技能.这样既注重学生的认知结构培养，也体现数学教学是数学思维活动过程的教学；三是注重数学思想方法，如数形结合、化归、类比等数学思想方法，把握数学中最本质的东西，为学生进一步学习数学奠定坚实的基础.三维目标1.通过学生的探究，明确三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想.2.通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，并通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.3.通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识及学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辩证唯物主义思想，提高分析问题和解决问题的能力,体会数学式子的简洁美、对称美以及数学式子变化的无穷魅力.重点难点教学重点：诱导公式的推导及灵活运用，如三角函数式的求值、化简和证明等.教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.教学过程第1课时一、导入新课(复习引入)我们前面利用单位圆得到了任意角的正弦、余弦函数，周期函数，最小正周期等概念.它在转化任意角的三角函数中所起的作用是什么呢？从周期函数的概念中我们知道正弦、,余弦函数值每隔2π就会重复出现，那么在单位圆中是怎样体现的呢？有什么内在的联系呢？由此引入新课.提出问题1.让学生回忆任意角的正弦、余弦函数是怎样定义的？2.单位园中的三角函数线是怎样定义的？3.角与角之间的三角函数会有怎样的关系？二、推进新课、新知探究诱导公式的推导：1.α与-α的正余弦函数关系：动手：在单位圆中画出α与-α的角的终边：思考：结合三角函数定义，利用单位圆的对称性，你能得到什么结论？结论：sin(-α)= - sinα；cos(-α)=cosα思考：●除了定义，你能否利用单位园中的三角函数线进行推导？学生讨论并推导（略）●从以上定义你如何认识sin 与cos的性质？（提示：奇偶性）2、α与α+π，α-π的正余弦函数关系：动手：在单位圆中画出α与α+π，α-π的角的终边：思考：结合三角函数定义，利用单位圆的对称性，你能得到什么结论？结论：sin(α+π)= - sinα；cos(α+π)= - cosαsin(α-π)= - sin α；cos(α-π)= - cos α思考：●除了定义，你能否利用单位园中的三角函数线进行推导？学生讨论并推导（略）3、α与π-α的三角函数关系：动手：在单位圆中画出α与π-α的角的终边：思考：结合三角函数定义以及三角函数线，再利用单位圆的对称性，你能得到什么结论？ 结论：sin(π-α)=sinα；cos （π-α)=-cosα.三、应用示例例1 求下列各角的三角函数值： (1)sin(-47π); (2)cos 32π; (3)cos(-631π). 活动:本例是直接运用公式的题目，目的是让学生熟悉公式，初步体会公式的简单应用.通过练习,加深对公式的理解，逐步达到正确熟练的公式应用.解答时可让学生观察题目中角的范围，对照公式找出哪个公式适合解决这个问题，可让学生独立解答，对个别有困难的学生教师对其适时的点拨引导.解:(1)sin(-47π)=-sin 47π=-sin(2π-4π)=-(-sin 4π)=sin 4π=22 (2)cos 32π=cos （π-3π)=-cos 3π=-21 （3)cos(-631π)=cos 631π=cos （4π+π+6π)=cos （π+6π)=-cos 6π=-23. 点评:利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0-2π三角函数→锐角三角函数，这种变化体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.教师应提醒学生注意：这仅仅是一种转化模式或求解思路，不要记诵这个步骤.在实际解题中只要灵活地应用公式求解，明确先用哪个公式、后用哪个公式是没有什么固定要求的，否则就违背了学习的本质要义，解题就成了死解题、解死题，可谓题目解了千千万万，一到考试不得分，其学习当然也就成了死学习，越学越不得要领，结果把自己本来的灵活学成了呆板.如本例(1)完全可以这样来解： sin(-47π)=sin(-2π+4π)=sin 4π=22.变式训练利用公式求下列三角函数值：(1)cos(-510°15′); (2)sin(-317π). 解:(1)cos(-510°15′)= cos510°15′=cos (360°+150°15′)=cos150°15′=cos (180°-29°45′)=-cos29°45′=-0.868 2. sin(-317π)=sin(3π-3×2π)=sin 3π=23四、课堂小结由学生回顾本节课的学习过程，归纳总结本节课所学到的数学知识及数学思想方法.本节的重点是公式的推导过程及应用.在突出重点的同时，要抓住公式结构特点，善于记忆公式.如本节公式：-α,π±α,2π-α的三角函数值等于它的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，也可简单记忆为：“函数名不变，符号看象限”；切实掌握利用单位圆探究问题的数形结合思想，掌握由未知向已知转化的化归思想,并且在合作探究中学会交流，提高我们的合作意识和探究能力.五、作业课本习题1—4 4、5、6.六、设计感想及反思本课的教学设计是依据新课程标准和学生已有知识水平和思维能力，按照“教师为主导，学生为主体，思维为主线”的原则而设计的.教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生创设探索的情境，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题. 本教案的设计思路是：采用问题设疑，观察演示，步步深入，层层引发，引导联想、类比，进而发现、归纳的探究式思维训练教学方法.旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律(公式)，培养学生的创新意识、创新精神和灵活思维能力.。

高一数学教案：《单位圆的对称性与诱导公式》教案希用标1.知识与技S3使学生掌握MCf+Q, -S, 13(^-a.洸(T-次角的正弦，余茂的诱导公式及其探求思路，并育豆E确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明;2•过程与方法在利用单位国的对称性推到诱导公式中，进/培养用几何方法研究代数问题的意识◎工情感态度与价值观通过本节的学习，观察三角函数值得变化规律，认识事物间的内在联系，再一次体会周期性、对称性在研究问题巾的价值.蝴分析借助单位图的几何直观效果，可以帮助学生学习和理解正弦函数、余弦函数的诱导公式.因为圆关于它的任意一条直径又惭，且关于图心对称，由此，在直角坐标系的单位图中,当角“是锐角时，利用角S与-。

关干K轴对称，角口与l-比关于轴对称、角小与k十白关于原点对称，可以得出相关的结论。

艇室正、余弦图数诱导公式的理解和应用班学西点正、余弦函数诱导公式的理解和应用聂学方法与手段在单位圆中利用对称性研究正余?玄函数的诱导公式,充分体现了数俏合思想和化归思想.学生容易理解，易于接受，因此可以比胆放手给学生，让学生自已通过探究，发现诱导公式。

一、复习引入：诱导公式-：0in（ a * 鼠360 °） - sin acos（a -x- 360°） = cos a（其中kuZ）用弧度制可写成sin（a - 2br） = sin acos（cz -t- 2kjr） - cos a（其中* E Z）诱导公式（一）的作用；把任意角的正弦、余弦、正切化为0。

-36T之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0。

―360。

内找出与角a终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的开纳，然后得出结果这组公式可以统一概括为/（a-2Q”）=/（a、* Z）的形式，其特征是：等号两边是同名函数，且符号都为正.运用公式时，注意“孤度”与“度”两种度量制不要1星用，如写成$出（80。

高一数学《单位圆的对称性与诱导公式二》教案课件www.5y 【学习目标】、理解408[导学案]&lt;wbr&gt;4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）的正余弦函数的关系的推导，并熟记诱导公式；2、能用诱导公式进行简单的应用。

【学习重点】三角函数的诱导公式的理解与应用【学习难点】诱导公式的推导及灵活运用【学习过程】一、预习自学阅读书第21页——23页练习部分以前内容，通过对408[导学案]&lt;wbr&gt;4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）终边与单位圆的交点的对称性规律的探究，结合单位圆中任意角的正弦、余弦的定义，从中自我发现归纳出三角函数的诱导公式，并写出下列关系：408[导学案]&lt;wbr&gt;4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）的正弦函数、余弦函数关系408[导学案]&lt;wbr&gt;4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）正弦函数、余弦函数关系二、合作探究探究1、已知408[导学案]&lt;wbr&gt;4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）分别求下列的值：（1）408[导学案]&lt;wbr&gt;4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）（2）408[导学案]&lt;wbr&gt;4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）（3)408[导学案]&lt;wbr&gt;4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）408[导学案]&lt;wbr&gt;4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）408[导学案]&lt;wbr&gt;4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）探究2:求下列函数值，思考你用到了哪些三角函数诱导公式？试总结一下求任意角的三角函数值的过程与方法。

（1）408[导学案]&lt;wbr&gt;4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）（2）408[导学案]&lt;wbr&gt;4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）408[导学案]&lt;wbr&gt;4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）探究3、化简：408[导学案]&lt;wbr&gt;4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）408[导学案]&lt;wbr&gt;4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）（先逐个化简，再代值）三、学习小结（1）说说将任意角的正（余）弦函数转化为锐角正（余）弦函数的一般思路：（2）我的疑惑：【达标检测】、在单位圆中，角α的终边与单位圆交于点Ｐ（-408[导学案]&lt;wbr&gt;4.4单位圆的对称性与诱导公式（二），408[导学案]&lt;wbr&gt;4.4单位圆的对称性与诱导公式（二））,则sinα=;cos=;cos=2.已知sin=408[导学案]&lt;wbr&gt;4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）,则sin=3、408[导学案]&lt;wbr&gt;4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）课件www.5y。