高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 例析反证法的应用

反证法-北师大版选修2-2教案一、教学目标1.理解反证法的概念及其基本思想。

2.掌握反证法的基本方法和步骤。

3.通过练习，培养学生运用反证法解决问题的能力。

二、教学内容1. 反证法的概念和基本思想反证法是一种推理方法，它是在假设与原论题相反的结论为真的前提下，证明假设是错误的，从而证明原命题为真的方法。

反证法的基本思想是，如果一个命题是正确的，那么这个命题所对应的任何反命题都是错误的，即如果反命题成立，则原命题必为假。

2. 反证法的基本方法和步骤反证法的基本方法和步骤包括以下几个方面：第一步：对原论题进行推定，即假设所证明的结论为假。

第二步：在推定的前提下，运用逻辑推理方法，发现与推定的结论不符的一些事实或规律。

第三步：根据前两步的结果，推翻假设的结论，证明原论题的论证是正确的。

3. 反证法的应用举例反证法可以运用到各种不同领域的问题中，如数学、哲学、物理等。

以下举例说明反证法的应用：（1）数学比如用反证法证明勾股定理：设有两条直角边分别为a和b，斜边为c。

如果假设勾股定理不成立，即c2≠a2+b2，那么存在以下两种情况之一：c2>a2+b2或c2<a2+b^2。

经过推理可得出结论，这两种情况都是不成立的，说明假设的结论是错误的，从而证明了勾股定理是正确的。

（2）哲学比如用反证法证明存在的必要性：假设不存在某一事物B，那么与这个事物相关的一系列因果关系也将不存在，导致整个世界都会发生变化。

但是，事实上这个世界并没有发生任何变化，说明假设不成立，从而证明存在的必要性是成立的。

（3）物理比如用反证法证明相对论时空间的变化与物理定理的一致性：如果假设时空间的变化对物理定理没有影响，那么在不同的参考系中，物理现象的规律将会发生改变，这与实验观测结果是不符的，因此假设不成立，从而证明了时空间的变化对物理定律的影响。

三、教学方法教师通过给学生讲解反证法的基本概念、方法和步骤，引导学生在实际问题中应用反证法，帮助他们理解反证法的基本原理。

1.1 归纳推理教学过程：一：创设情景，引入概念师：今天我们要学习第一章：推理与证明。

那么什么是推理呢？下面请大家仔细看这段flash，体验一下flash动画中，人物推理的过程。

（学生观看flash动画）。

师：有哪位同学能描述一下这段flash动画中的人物的推理过程吗？生：flash中人物通过观察，发现7只乌鸦是黑色的于是得到推理：天下乌鸦一般黑。

师：很好！那么能不能把这个推理的过程用一般化的语言表示出来呢？生：这是从一个或几个已有的判断得到一个新的判断的过程。

师：非常好！（引出推理的概念）。

师：推理包括合情推理和演绎推理，而我们今天要学的知识就是合情推理的一种——归纳推理。

那么，什么是归纳推理呢？下面我们通过介绍数学中的一个非常有名的猜想让大家体会一下归纳推理的思想。

（引入哥德巴赫猜想）师：据说哥德巴赫无意中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，这3个等式。

大家看这3个等式都是什么运算？生：加法运算。

师：对。

我们看来这些式子都是简单的加法运算。

但是哥德巴赫却把它做了一个简单的变换，他把等号两边的式子交换了一下位置，即变为：10=3+7，20=3+17，30=13+17。

大家观察这两组式子，他们有什么不同之处？生：变换之前是把两个数加起来，变换之后却是把一个数分解成两个数。

师：大家看等式右边的这些数有什么特点？生：都是奇数。

师：那么等式右边的数又有什么特点呢？生：都是偶数。

师：那我们就可以得到什么结论？生：偶数=奇数+奇数。

师：这个结论我们在小学就知道了。

大家在挖掘一下，等式右边的数除了都是奇数外，还有什么其它的特点？（学生观察，有人看出这些数还都是质数。

）师：那么我们是否可以得到一个结论：偶数=奇质数+奇质数？（学生思考，发现错误！）。

生：不对！2不能分解成两个奇质数之和。

师：非常好！那么我们看偶数4又行不行呢？生：不行！师：那么继续往下验证。

（学生发现6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，14=7+7……）师：那我们可以发现一个什么样的规律？生：大于等于6的偶数可以分解为两个奇质数之和。

反证法一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程与特点。

二、教学重点：了解反证法的思考过程与特点教学难点：正确理解、运用反证法三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：反证法的思考过程与特点。

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。

用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。

推理必须严谨。

导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

（二）、探究新课反证法是数学中非构造性证明中的极重要的方法。

对于处理存在性问题、否定性问题、唯一性问题和至多、至少性问题，反证法具有特殊的优越性。

例1、已知1004321>+++a a a a ，求证：4321a a a a ，，，中，至少有一个数大于25。

证明：假设命题的结论不成立，即4321a a a a ，，，均不大于25，那么 100252525254321=+++≤+++a a a a ，这与已知条件相矛盾。

所以，4321a a a a ，，，中，至少有一个数大于25。

例2、求证：1，2，5不可能是一个等差数列中的三项。

§3 反证法(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现间接证明的方法——反证法，探索反证法原理；(2)掌握反证法证题的基本步骤及利用反证法证明相关的数学问题．2．过程与方法通过对具体命题的证明及探究，培养学生逆向思维能力；培养学生揭示反证法本质特征的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过对具体数学命题的证明方法的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会“正难则反”这一解决问题的策略．(2)通过本节学习和运用实践，体会反证法的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方法解决问题、认识世界．●重点难点重点：了解反证法的思考过程和特点；运用反证法证明数学问题；难点：对反证法思考过程和特点的概括．教学时应根据具体问题的分析与探究，揭示何时考虑用反证法解决问题，并通过对不同问题的探究与解决揭示反证法的思维特点及理论支持，归纳反证法解决问题的一般步骤，从而突出重点，化解难点．(教师用书独具)●教学建议学生从初中开始就对反证法有所接触．反证法的逻辑规则并不复杂，但用反证法证明数学问题却是学生学习的难点．究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维．因此，本节课的教学需解决好以下三个问题：一是反证法适用于什么情形；二是反证法的理论依据；三是反证法证明命题的一般步骤．●教学流程创设问题情境，引出问题：已知a是整数，2能整除a2，求证：2能整除a.⇒学生探究、自主解决：通过学生运用综合法、分析法等尝试以及师生交流，揭示问题从正面解决的困难.⇒通过引导学生对结论的分析，尝试证明结论的反面不正确，从而得出结论正确.即反证法.⇒通过例1及变式训练，使学生掌握反证法的一般步骤.⇒通过例2及变式训练，使学生提高对“结论”的分析能力，能正确的反设结论.⇒通过例3及变式训练，提高学生综合运用各种证法证明问题的能力和分析问题的能力.⇒归纳小结，整体认识反证法原理和应用步骤.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.【问题导思】著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一颗树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”1．王戎的论述运用了什么推理思想？ 【提示】实质运用了反证法的思想．2．反证法解题的实质是什么？【提示】 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．1．反证法的概念在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一. 我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法. 反证法是间接证明的一种基本方法．2．反证法证题步骤用反证法证明命题的一般步骤求证：f (x )＝0无整数根．【思路探究】 此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法，证题的关键是根据f (0)，f (1)均为奇数，分析出a ，b ，c 的奇偶情况，并应用之．【自主解答】 假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0(n ∈Z)，而f (0)，f (1)均为奇数，即c 为奇数，a ＋b 为偶数，则an 2＋bn ＝－c 为奇数，即n (an ＋b )为奇数．∴n ，an ＋b 均为奇数，又a ＋b 为偶数，∴an －a 为奇数，即a (n －1)为奇数，∴n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾．∴f (x )＝0无整数根．1．对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．2．求证：2，3，5不可能成等差数列． 【证明】 假设2，3，5成等差数列，则 23＝2＋ 5.所以(23)2＝(2＋5)2，化简得 5＝210，从而52＝(210)2， 即25＝40，这是不可能的． 所以，假设不成立．从而，2，3，5不可能成等差数列．2＋2cx ＋a和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．【思路探究】 假设三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点→演绎推理，利用Δ≤0得出矛盾→原命题得证【自主解答】 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点． 由y ＝ax 2＋2bx ＋c ， y ＝bx 2＋2cx ＋a ， y ＝cx 2＋2ax ＋b ，得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0， 且Δ2＝(2c )2－4ab ≤0， 且Δ3＝(2a )2－4bc ≤0. 同向不等式求和得：4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0. ∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0. ∴(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≤0. ∴a ＝b ＝c .这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾， 因此假设不成立，从而命题得证．1．写出结论的正确反设是解决本题的关键．2．反证法证明“至少”“至多”型命题，否定结论时，需弄清楚结论的否定是什么，以免出现错误．需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义．若下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，求a 的取值范围．【解】 若三个方程都无实根，根据⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝(4a )2－4(－4a ＋3)＜0，Δ2＝(a －1)2－4a 2＜0，Δ3＝(2a )2－4(－2a )＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＜－1或a ＞13，－2＜a ＜0，∴－32＜a ＜－1.则满足题目要求a 的取值范围是{a |a ≤－3或a ≥－1}.已知a ≠0，证明关于x 的方程ax ＝b 有且只有一个根．【思路探究】 “有且只有”有两层含义：一是“有”，即存在性；二是“只有”，即唯一性．一般先证存在性，再用反证法证唯一性即可．【自主解答】 由于a ≠0，因此方程至少有一个根x ＝ba.假设方程不止一个根，则至少有两根，不妨设x 1，x 2是它的两个不同的根，则 ax 1＝b ， ① ax 2＝b ， ②①－②得a (x 1－x 2)＝0，因为x1≠x 2，所以x 1－x 2≠0，从而a ＝0，这与已知条件矛盾，故假设不成立． 所以，当a ≠0时，方程ax＝b 有且只有一个根.1．“唯一型”问题的证明一般需两步完成：一是证存在性；二是证唯一性．2．结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题，由于反设结论容易导出矛盾，所以用反证法证明简单而又明了．求证：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 【证明】 已知：平面α和一点P ，求证：过点P 与α垂直的直线只有一条．证明：如图，不管P 在α内或α外，设P A ⊥α，垂足为A (或P )， 假设存在另一条直线PB ⊥α，设P A ，PB 确定平面为β，且α∩β＝a .∴在平面β内过P 点有两条直线P A 、PB 垂直于直线a .这与定理“在平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”矛盾．∴假设不成立，命题结论正确．不能对结论全面否定而致误否定“自然数a ，b ，c 恰有一个偶数”时正确反设为( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中或都是奇数或至少两个偶数【错解】 恰有一个偶数的反面是一个偶数也没有，即a ，b ，c 都是奇数，故选A. 【错因分析】 没有对结论“a ，b ，c 恰有一个偶数”做出全面分析，仅凭“相当然”进行否定，从而致误．【防范措施】 对结论进行否定时，应对结论描述的问题进行全面分析，然后从集合理论中补集的角度进行否定．【正解】 a ，b ，c 中偶数的个数可能为0个，1个，2个或3个，而“恰有1个偶数”的反面应是“有0个或2个或3个偶数”，故应选D.【答案】 D1．当遇到“否定性”“唯一性”“无限性”“至多”“至少”等类型命题时，常用反证法．2．用反证法证明的一般过程是：(1)否定结论⇒A ⇒B ⇒C ；(注意分清命题和结论后，再否定结论)(2)而C 不合理⎩⎪⎨⎪⎧与教材公理抵触；与此前定理不相容；与本题题设冲突；与临时假定违背；自相矛盾；(3)因此结论C 不成立，原命题正确.1．如果两个数之和为正数，则这两个数( )A ．一个是正数，一个是负数B ．两个都是正数C ．至少有一个是正数D ．两个都是负数【解析】 “两个数之和为正数”可能为“一个是正数，一个是负数”，“两个都是正数”“一个是正数，一个是零”即“至少有一个是正数”．故选C.【答案】 C2．有下列叙述：①“a >b ”的反面是“a <b ”；②“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多一个钝角”的反面是“三角形的内角没有钝角”，其中，正确的叙述有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【解析】 显然①③④不正确，仅②正确． 【答案】 B3．(改编题)完成下面反面论证题的全过程：题目：若p 1p 2＝2(q 1＋q 2)，则关于x 的方程x 2＋p 1x ＋q 1＝0与方程x 2＋p 2x ＋q 2＝0中至少有一个方程有实根．证明假设________________．则Δ1＝p 21－4q 1<0，Δ2＝p 22－4q 2<0，即0≤p 21<4q 1,0≤p 22<4q 2，∴(p 1p 2)2<16q 1q 2≤16·(q 1＋q 22)2＝4(q 1＋q 2)2.∴－2(q 1＋q 2)<p 1p 2<2(q 1＋q 2)， 这与________矛盾．故假设错误，原命题为真．【答案】 两方程都没有实数根 已知p 1p 2＝2(q 1＋q 2) 4．求证：△ABC 中至少有一个内角大于或等于60°. 【证明】 假设△ABC 中三内角都小于60°， 则A <60°，B <60°，C <60°， 所以A ＋B ＋C <180°，这与三角形内角和定理矛盾， 故假设错误，原命题正确.一、选择题1．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( ) A ．三个内角中至少有一个钝角 B ．三个内角中至少有两个钝角 C ．三个内角都不是钝角D ．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【解析】 “至多一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”，故选B.【答案】 B2．实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，则正确的说法是( ) A ．a ，b ，c 都是0 B ．a ，b ，c 都不是0C ．a ，b ，c 中至少有一个0D ．a ，b ，c 不可能均为正数【解析】 若a ，b ，c 均为正数，则a ＋b ＋c >0与a ＋b ＋c ＝0矛盾，故a ，b ，c 不可能均为正数．【答案】 D3．若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ＝c ，b ＝c ，a ＝b 不能同时成立．其中判断正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 “a ，b ，c 不全相等是a ，b ，c 全相等的否定”，故①②③均正确． 【答案】 D4．设x 、y 、z >0，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a 、b 、c 三数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2【解析】 假设a 、b 、c 都小于2，则a ＋b ＋c <6，而事实上：a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾，∴a 、b 、c 中至少有一个不小于2. 【答案】 C5．已知a ，b ∈N ，ab 可以被5整除，那么a ，b ( ) A ．都能被5整除B ．最多有一个能被5整除C ．至少有一个能被5整除D ．都不能被5整除【解析】 假设都不能被5整除，可设a ＝5m ＋1，b ＝5n ＋2(m ，n ∈N)，则ab ＝25mn ＋10m ＋5n ＋2显然不能被5整除，(其它情形同理可证)这与已知矛盾，故假设不成立，故C 正确．【答案】 C 二、填空题6．将“函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使f (c )>0”反设，所得命题为______________________________________________________________________.【解析】 “至少存在一个”的反面为“不存在”，“不存在c ，使f (c )>0”即“f (x )≤0恒成立”．【答案】 函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上恒有f (x )≤0 7．和异面直线AB 、CD 都相交的两条直线的位置关系是________．【解析】 假设这两条直线平行，由空间几何知识可推出AB 、CD 共面，故假设错误，即这两条直线异面或相交．【答案】 异面或相交 8．完成下面的证明过程： 设a 3＋b 3＝2.求证：a ＋b ≤2.证明：假设a ＋b >2，则有a >________， 从而a 3>________，所以a 3＋b 3>________＝________≥________. 所以a 3＋b 3>2，这与已知矛盾． 所以原不等式成立．【答案】 2－b 8－12b ＋6b 2－b 3 6b 2－12b ＋8 6(b －1)2＋2 2 三、解答题9．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能都大于14.【证明】 假设三个式子同时大于14，即(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14，三式相乘，得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ＞143，①又因为0＜a ＜1，所以0＜a (1－a )≤(a ＋1－a 2)2＝14，同理，0＜b (1－b )≤14，0＜c (1－c )≤14，所以(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤143，②①与②矛盾，假设不成立，所以原命题成立．10．已知数列{b n }的通项公式为b n ＝14(23)n －1.求证：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．【解】 假设数列{b n }存在三项b r 、b s 、b t (r ＜s ＜t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b t <b s <b r ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立．∴2·14(23)s －1＝14(23)r －1＋14 23)t －1.两边同乘3t －121－r，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s ，由于r ＜s ＜t ，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾． 故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．11．求证：当x 2＋bx ＋c 2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc ≠0. 【证明】 假设bc ＝0，下面分情况进行讨论：(1)若b ＝0，c ＝0，则方程变为x 2＝0，此时方程有两个相等的实数根为x 1＝x 2＝0，这与已知条件方程有两个不相等的非零实数根矛盾．(2)若b ＝0，c ≠0，则方程变为x 2＋c 2＝0，此时方程无实数根，这与已知条件方程有两个不相等的非零实数根矛盾．(3)若b ≠0，c ＝0，则方程变为x 2＋bx ＝0，此时方程的根为x 1＝0，x 2＝－b ，这与已知条件方程有两个不相等的非零实数根矛盾．综上所述．假设错误．所以当x 2＋bx ＋c 2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc ≠0.(教师用书独具)实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个为负数．【思路探究】 a ，b ，c ，d 中至少有一个为负数的否定是a ，b ，c ，d 都是非负数． 【自主解答】 证明 假设a ，b ，c ，d 都是非负数，则由a ＋b ＝c ＋d ＝1， 有1＝(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ，即ac ＋bd ≤1，这与ac ＋bd >1矛盾，故假设不成立． 即a ，b ，c ，d 中至少有一个为负数．结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的不等式，或直接从正面入手难以寻觅解题的突破口的问题，宜考虑使用反证法．用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的．已知f (x )＝x 2＋ax ＋b . (1)求：f (1)＋f (3)－2f (2)；(2)求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.【解】 ∵f (1)＝a ＋b ＋1，f (2)＝2a ＋b ＋4， f (3)＝3a ＋b ＋9，∴f (1)＋f (3)－2f (2)＝2.(2)证明 假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12.则－12<f (1)<12，－12<f (2)<12，－12<f (3)<12， ∴－1<－2f (2)<1，－1<f (1)＋f (3)<1. ∴－2<f (1)＋f (3)－2f (2)<2， 这与f (1)＋f (3)－2f (2)＝2矛盾． ∴假设错误，即所证结论成立．。

【关键字】高中例谈反证法在解题中的应用反证法是一种间接证法.它是数学学习中一种很重要的证题方法.反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.一、证明“至多”或“至少”问题例1已知函数对其定义域内的任意两个实数，当时，都有．求证：至多有一个实数使得．证明：假设存在两个不等实数，使得．不妨设，由条件可知，与式矛盾．故至多有一个实数使得．2、证明“不可能”问题例2给定实数，且，设函数，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴．证明：假设函数图象上存在两点，使得直线平行于轴．设且．由，得，解得．与已知矛盾．故经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.例3双曲线的两支为，正三角形的三顶点位于此双曲线上．求证：不可能在双曲线的同一支上．证明：假设正三角形的三顶点位于双曲线同一支如上，其坐标分别为，不妨设，则一定有．于是．因此，．这说明是钝角三角形，与为正三角形矛盾．故不可能在双曲线的同一支上．三、证明“存在性”或“唯一性”问题例4已知函数的图象过点．问是否存在常数，使不等式对一切实数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解：假设存在符合条件的．的图象过，，即．又对一切实数都成立，令，则．，，．．由得据题意，对于任意实数，与都成立．对于，若，则，不合题意；若，欲使的解集为，则需即解得．对于，再考虑，把代入，得，其解集为．所以，存在满足条件的，其中．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

《反证法》教材解读一、重点知识梳理反证法（间接证明）是不同于综合法与分析法（直接证明）的又一种证明方法，它不是从原命题的条件逐步推得命题成立。

反证法就是一种常用的间接证明方法。

反证法的证明过程可以概括为“否定—推理—否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原命题）的过程。

用反证法证明“若p 则q ”的过程可以用以下框图表示：这个过程包括下面三个步骤：（1）反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真； （2）归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；（3）存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。

说明：1、反证法的原理：否定之否定等于肯定2、反证法的实质：原命题和它的逆否命题是等价命题二、疑、难点解析利用反证法证明不等式，如何依据题设条件和不等式的结论制造矛盾是本节内容的一个难点。

例1、若x 、+∈R y ，且2>+y x ，求证：xy +1与y x+1至少有一个小于2证明：假设x y +1与y x +1均不小于2，即21≥+xy，且21≥+y x ∵ x 、+∈R y ，∴x y 21≥+且y x 21≥+ ∴ y x x y 2211+≥+++，∴ 2≤+y x 这与已知2>+y x 相矛盾∴假设不成立，故原命题正确点评：证明的结论中若有“至多”“至少”等字词时，常可以考虑用反证法解决。

注意：（1）利用反证法证明时，第一步“假设”不要写成“设”。

（2）应用反证法证题要充分理解两个否定：第一个否定是指“否定结论”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”。

例2、已知函数123)(+-+==x x x x f y试用反证法证明方程f(x)=0没有负数根。

证法1 假设存在)1(000-≠<x x 满足0)(0=x f ，则 120003+--=x x x ∵1300<<x ∴101200<-<+-x x ，即2021<<x 与假设矛盾， 故方程f(x)=0没有负数根。

高中数学：1.3反证法(二)教课设计(北师大选修2-2)1.3反证法教课过程一、复习准备：1.议论：三枚正面向上的硬币，每次翻转2 枚，你能使三枚反面都向上吗？（原由：偶次）2.提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同向来线上的三点 A、 B、 C 不可以作圆” . 议论如何证明这个命题？3. 给出证法：先假定能够作一个⊙O 过 A、 B、 C 三点，则 O 在 AB 的中垂线 l 上， O 又在 BC 的中垂线 m 上，即O 是 l 与 m 的交点。

AD但∵ A、 B、 C 共线，∴ l∥ m(矛盾 )∴过在同向来线上的三点A、 B、 C 不可以作圆 .二、讲解新课：O P1.教课反证法观点及步骤：C B①练习：模仿以上方法，证明：假如a>b>0，那么a b② 提出反证法：一般地，假定原命题不建立，经过正确的推理，最后得出矛盾，所以说明假定错误，进而证了然原命题建立 .证明基本步骤：假定原命题的结论不建立→ 从假定出发，经推理论证获得矛盾→ 矛盾的原由是假定不建立，进而原命题的结论建立应用重点：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假定矛盾，或与定义、公义、定理、事实矛盾等）.方法本质：反证法是利用互为逆否的命题拥有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，经过证明一个命题的逆否命题的正确，进而一定原命题真切.注：联合准备题剖析以上知识.2.教课例题：①出示例 1：求证圆的两条不是直径的订交弦不可以相互均分.剖析：如何否认结论？→ 如何从假定出发进行推理？→ 获得如何的矛盾？与教材不一样的证法：反设AB、 CD 被 P 均分，∵ P 不是圆心，连接OP，则由垂径定理：OP AB， OP CD，则过 P 有两条直线与OP 垂直（矛盾），∴不被P 平分 .②出示例 2：求证 3 是无理数 .（同上剖析→ 板演证明，提示：有理数可表示为证：假定 3 是有理数，则不如设 3 m / n （ m,n 为互质正整数），进而： ( m/ n)2 3 ， m23n 2，可见 m 是 3 的倍数 .设 m=3p（ p 是正整数），则3n2m29 p2，可见 n 也是 3 的倍数 .这样， m, n 就不是互质的正整数（矛盾）. ∴ 3m/ n 不行能，∴ 3 是无理数③练习：假如 a 1为无理数，求证 a 是无理数.提示：假定 a 为有理数，则 a 可表示为 p / q （p, q为整数），即 a p / q .由 a 1 ( p q)/ q ，则 a 1也是有理数，这与已知矛盾. ∴a是无理数 .m / n ）.3.小结：反证法是从否认结论下手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，进而说明原结论正确 . 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“起码”、“均是”、“不都”、“任何”、“独一”等特点的问题）三、稳固练习：1.练习：教材练习题2.作业：教材练习题 .。