5.1二次根式(1)

湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的概念及性质》教学设计1一. 教材分析湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的概念及性质》是本册教材中关于二次根式的重要内容。

本节内容主要介绍二次根式的概念、性质及其运算。

通过本节的学习，学生能理解二次根式的含义，掌握二次根式的性质，并为后续的二次根式运算打下基础。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固二次根式的概念及性质，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学运算有一定的了解。

但二次根式作为新的数学概念，对其性质的理解和运用需要一定的引导和培养。

因此，在教学过程中，教师应关注学生的认知水平，合理设计教学环节，引导学生逐步理解和掌握二次根式的概念及性质。

三. 教学目标1.了解二次根式的概念，能正确识别二次根式。

2.掌握二次根式的性质，并能运用性质进行简单的运算。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次根式的概念及性质。

2.二次根式的运算。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次根式的概念，激发学生的学习兴趣。

2.讲授法：教师讲解二次根式的性质，引导学生理解和掌握。

3.实践操作法：学生通过动手操作，巩固二次根式的性质。

4.小组讨论法：学生分组讨论，共同解决二次根式运算问题。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次根式的概念及性质。

2.练习题：准备适量的练习题，巩固学生对二次根式的理解。

3.黑板：准备黑板，用于板书解题过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如车轮直径、高楼高度等，引导学生思考实际问题中的二次根式。

让学生感受二次根式在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师讲解二次根式的概念，引导学生理解二次根式的含义。

通过PPT 展示二次根式的图像，让学生直观地感受二次根式的特点。

3.操练（10分钟）学生动手操作，巩固二次根式的性质。

第5章二次根式5．1二次根式第1课时二次根式的概念及性质1．了解二次根式的定义；2．理解二次根式在实数范围内有意义的条件；(重点)3．掌握二次根式的两条重要性质．(重点，难点)一、情境导入前面我们学习了平方根和算术平方根，我们把a的算术平方根记作a，那么形如a的式子有哪些性质？对于a中a的取值有什么要求？二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中：①3，②33，③a4，④a2＋1，⑤－15，⑥a2－1，一定是二次根式的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：根据二次根式的定义判断.33的根指数是3，不是二次根式；－15的被开方数为负数，不是二次根式；a2－1的被开方数可能是负数，可能不是二次根式．一定是二次根式的有①③④，共3个，故选C.方法总结：根据二次根式的定义，必须满足两个条件：①根指数是2，即形如a；②被开方数为非负数．探究点二：二次根式在实数范围内有意义的条件x取何值时，下列各式在实数范围内有意义．(1)x＋2；(2)x－1x－2；(3)x2＋1；(4)－x2.解析：(1)要使x＋2有意义，必须使x＋2≥0；(2)要使x－1x－2有意义，必须使x－1≥0，且x－2≠0；(3)要使x2＋1有意义，必须使x2＋1≥0，显然x为任何实数；(4)要使－x2有意义，必须使－x2≥0，这时x＝0.解：(1)x＋2≥0，所以x≥－2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≠2，所以x ≥1且x ≠2； (3)x 2＋1≥0，所以x 为全体实数；(4)－x 2≥0，所以x ＝0.方法总结：要使代数式有意义，应考虑如下情况：①有二次根式的，被开方数应大于或等于零，有多个二次根式的，应使所有被开方数大于或等于零；②有分式的，分母不等于零；③零次幂、负整数指数幂的底数不等于零．探究点三：二次根式的性质－323)2. 解：(3)(【类型二】已知y ＝x －2－2－x ＋5，则y＝________．解析：由已知条件y ＝x －2－2－x ＋5可知x －2与2－x 都有意义，所以存在隐含条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2－x ≥0，故x ＝2.把x ＝2代入y ＝x －2－2－x ＋5，求得y ＝5，所以x y ＝25.方法总结：解决此类问题时应充分挖掘“二次根式有意义的条件被开方数(式)的非负性”，它往往是解答问题的突破口．【类型三】 (1)22；(2)（－23）2； (3)－（－π）2.解析：利用a 2＝|a |进行计算． 解：(1)22＝2；(2)（－23）2＝|－23|＝23；(3)－（－π）2＝－|－π|＝－π.方法总结：a 2＝|a |的实质是求a 2的算术平方根，其结果一定是非负数．【类型四】 如图所示为a ，b 在数轴上的位置，化简2a 2－（a －b ）2＋（a ＋b ）2.解析：由a ，b 在数轴上的位置确定a ＜0，a －b ＜0，a ＋b ＜0.再根据a 2＝|a |进行化简．解：由数轴可知－2＜a ＜－1，0＜b ＜1， 则a －b ＜0，a ＋b ＜0.原式＝2|a |－|a －b |＋|a ＋b |＝－2a ＋a －b －(a ＋b )＝－2a －2b . 方法总结：利用a 2＝|a |化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号．三、板书设计二次根式⎩⎪⎨⎪⎧概念有意义的条件：被开方数大于或等于零性质⎩⎨⎧（a ）2＝a （a ≥0）a 2＝a （a ≥0）本节课内容是在我们已学过的平方根、算术平方根的知识基础上，进一步引入二次根式的概念与性质．教学过程中，把学生当作主体，鼓励学生积极参与，并让学生探究二次根式在实数范围内有意义的条件．引导学生总结、归纳，得出二次根式的两条重要性质．第2课时 二次根式的化简1．掌握积的算术平方根的性质，并会根据性质把二次根式化简；(重点)2．理解最简二次根式的概念，并会把二次根式化为最简二次根式．(重点，难点)一、情境导入 计算：(1)4×9，4×9； (2)16×25，16×25.观察计算结果，上述每组式子计算结果有什么关系？由此你能猜想什么结论成立？二、合作探究探究点一：积的算术平方根的性质【类型一】利用积的算术平方根的性质进行二次根式计算或化简化简： (1)196×0.25； (2)（－19）×（－6481）；(3)225a 6b 2(a ≥0，b ≥0)．解析：利用积的算术平方根的性质，把它们化为几个二次根式的积，(2)小题中先确定符号．解：(1)196×0.25＝196×0.25＝14×0.5＝7； (2)（－19）×（－6481）＝19×6481＝19×6481＝13×89＝827； (3)225a 6b 2＝225·a 6·b 2＝15a 3b . 方法总结：利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方开出来，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题．A ．a ≥0B ．a ＞0C ．a ≥1D ．0≤a ≤1解析：a 2－a 3＝a 2（1－a ）＝a 2·1－a ＝|a |·1－a ，又a 2－a 3＝a 1－a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，1－a ≥0.解得0≤a ≤1，故选D. 方法总结：利用积的算术平方根的性质确定字母的取值范围时，根据积的算术平方根的性质得出的每一个因式(包括被开方数)都是非负数，再列不等式(组)求解．【类型三】解析：把根号外的因式移到根号内，比较两个被开方数的大小．解：∵35＝32×5＝45，53＝52×3＝75， ∵75＞45，∴35＜5 3.方法总结：比较两个二次根式的大小，可以逆用积的算术平方根的性质，把根号外的因式移到根号内，直接比较两个被开方数的大小，对于两个正数，被开方数大的数较大．探究点二：最简二次根式【类型一】 最简二次根式的判定下列二次根式中，最简二次根式是( )A.8aB.3aC.a3D.a 2＋a 2b解析：A 选项中8a 含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；B 选项是最简二次根式；C 选项a3中含有分母，不是最简二次根式；D 选项a 2＋a 2b 中被开方数用提公因式法因式分解后得：a 2＋a 2b ＝a 2(1＋b )含能开得尽方的因数a 2，不是最简二次根式；故选B.方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【类型二】二次根式的化简把下列各式化成最简二次根式．(1)500；(2)3a 2b 3；(3)2512；(4)23ab2.解析：(1)先将500分解质因数，再根据积的算术平方根的性质，把能够开尽方的因数100移到根号外；(2)根据积的算术平方根的性质，把能够开尽方的因式a 2b 2移到根号外；(3)把被开方数的分子、分母同时乘以3，把分母化为一个完全平方数，再把能开得尽方的部分移到根号外；(4)把被开方数的分子、分母同时乘以3a ，把分母化为一个数的平方，再把分母移到根号外．解：(1)500＝100×5＝105；(2)3a 2b 3＝3b ·a 2b 2＝|a |b 3b ； (3)2512＝25×312×3＝563； (4)23ab 2＝2×3a 3ab 2·3a ＝6a3ab. 方法总结：把二次根式化成最简二次根式时，如果被开方数不含分母，则把被开方数尽量写成一个数的平方的形式，再利用积的算术平方根的性质化简；如果被开方数含有分母，可把分子、分母同乘以一个数，把分母化为一个数或式的平方的形式，再把分母开方后移到根号外，与此同时，分子中能开方的也要移到根号外．三、板书设计1．积的算术平方根的性质 2．最简二次根式通过积的算术平方根与算术平方根的积的运算引入积的算术平方根的性质，让学生归纳总结出结论，并运用于化简．对于被开方数含有分母的二次根式化为最简二次根式是本节课的难点，引导学生根据分式的基本性质把分母化为一个数或式的平方，并让学生加强训练．5．2二次根式的乘法和除法第1课时二次根式的乘法1．掌握二次根式的乘法运算法则；(重点)2．会进行二次根式的乘法运算．(重点，难点)一、情境导入小颖家有一块长方形菜地，长6m，宽3m，那么这个长方形菜地的面积是多少？二、合作探究探究点一：二次根式的乘法法则成立的条件式子x＋1·2－x＝（x＋1）（2－x）成立的条件是( ) A．x≤2 B．x≥－1C．－1≤x≤2 D．－1＜x＜2解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x＋1≥0，2－x≥0.解得－1≤x≤2，故选C.方法总结：运用二次根式的乘法法则：a·b＝ab(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数这一条件．探究点二：二次根式的乘法【类型一】二次根式的乘法运算计算：(1)53×27125；(2)918×(－1654)；(3)135·23·(－3416)；(4)2a 8ab ·(－236a 2b )·3a (a ≥0，b ≥0)．解析：第(1)小题直接按二次根式的乘法运算法则进行计算，第(2)，(3)，(4)小题把二次根式前的系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．解：(1)原式＝53×27125＝35； (2)原式＝－(9×16)18×54＝－32182×3＝－273；(3)原式＝－(2×34)85×3×16＝－3245＝－355； (4)原式＝－2a ×238ab ·6a 2b ·3a ＝－16a 3b .方法总结：二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号．【类型二】 ，宽为48πcm 的矩形木板，还想做一个与它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径．解析：根据矩形的面积等于“长×宽”、圆的面积等于“π×半径的平方”进行计算． 解：设圆的半径为r cm.因为矩形木板的面积为588π×48π＝168π(cm)2.所以πr 2＝168π，r ＝242(cm)(r ＝－242舍去)．方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．三、板书设计二次根式的乘法法则：a ·b ＝ab (a≥0，b ≥0)在学习了积的算术平方根的基础上，这一节课学习了二次根式的乘法．这两个性质法则是可逆的，它们成立的条件都是被开方数为非负数．在教学中通过情境引入激发学生的学习兴趣，让学生自主探究二次根式的乘法法则，鼓励学生运用法则进行二次根式的乘法运算．第2课时 二次根式的除法1．会利用商的算术平方根的性质化简二次根式；(重点，难点) 2．掌握二次根式的除法法则并会运用进行计算．(重点，难点)一、情境导入一个长方形的面积为15，长为5，那么这个长方形的宽是多少？ 二、合作探究探究点一：商的算术平方根的性质【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围若a2－a＝a2－a，则a 的取值范围是( ) A ．a ＜2 B ．a ≤2 C ．0≤a ＜2 D ．a ≥0解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，2－a ＞0.解得0≤a ＜2，故选C.方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝ba(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式化简：(1)179；(2)3c34a 4b2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)． 解析：按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根． 解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c 2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．探究点二：二次根式的除法【类型一】 二次根式的除法运算计算：(4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6)(a ＞0，b >0)． 解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；(3)被开方数相除时，注意约分；(4)系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成商的算术平方根的形式，再化简．解：(1)4872＝4872＝23＝63； (2)612518＝651218＝6523＝256； (3)27a 2b 312ab2＝27a 2b312ab2＝9ab 4＝32ab ； (4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6) ＝12×(－32)a 3b 5a 2b 6＝－34a b ＝－34bab . 方法总结：①二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中有负号时，要先确定商的符号．②二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式．③二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵活选取合适的方法．④最后结果要化为最简二次根式．【类型二】 二次根式的乘除混合运算计算：(1)318×32÷(－512)； (2)166÷23412×12112. 解析：把系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除，最后结果化为最简二次根式． 解：(1)318×32÷(－512)＝(－3×12×15)18×312＝－31092＝－3109×22×2＝－310×322＝－9202； (2)166÷23412×12112＝(16÷23×12)6÷92×112＝(16×32×12)6×29×112＝319＝1. 方法总结：二次根式的乘除混合运算，与有理数的乘除混合运算一样，按从左到右的顺序进行，也可以先统一为乘法运算，再进行运算．【类型三】 ，长为20cm ，宽为15cm ，求长方体的高．解析：因为长方体的体积＝长×宽×高，所以高＝长方体的体积÷(长×宽)，代入计算即可．解：长方体的高为：3010÷(20×15)＝301020×15＝30130＝30(cm)． 方法总结：本题也可以设高为x ，根据长方体体积公式建立方程求解．三、板书设计1．商的算术平方根的性质：b a ＝ba (a ＞0，b ≥0) 2．二次根式的除法：b a＝ba(a ＞0，b ≥0)本节课的学习中要注意拓展知识间的相互联系：商的算术平方根的性质与二次根式的除法的联系，二次根式的乘法与二次根式的除法的联系，类比单项式的乘除法运算进行二次根式的乘除法运算，让学生顺利实现知识的迁移．5．3 二次根式的加法和减法第1课时 二次根式的加减运算1．经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次根式的加减法法则； 2．掌握二次根式的加减运算．(重点，难点)一、情境导入 计算：(1)2x －5x ； (2)3a 2－a 2＋2a 2.上述运算实际上就是合并同类项，如果把题中的x 换成3，a 2换成5，这时上述两小题就成为如下题目：计算：(1)23－53； (2)35－5＋2 5. 这时怎样计算呢？二、合作探究探究点一：同类二次根式下列二次根式中与2是同类二次根式的是( ) A.12 B.32C.23D.18 解析：选项A 中，12＝23与2被开方数不同，故不是同类二次根式；选项B 中，32＝62与2被开方数不同，故不是同类二次根式；选项C 中，23＝63与2被开方数不同，故不是同类二次根式；选项D 中，18＝32与2被开方数相同，故是同类二次根式．故选D.方法总结：要判断两个二次根式是否是同类二次根式，根据二次根式的性质，把每个二次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，这样的二次根式就是同类二次根式．探究点二：二次根式的加减【类型一】 (1)8 (3)448－375； (4)1816－3296. 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并． 解：(1)原式＝22＋42＝(2＋4)2＝62； (2)原式＝166＋166＝(16＋16)6＝63；(3)原式＝163－153＝(16－15)3＝3； (4)原式＝1866－32×46＝36－66＝－3 6.方法总结：二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，合并同类二次根式可以类比合并同类项进行，不是同类二次根式的不能合并．【类型二】 二次根式的加减混合运算计算：(2)324x －3x9＋3x1x；(3)3123－45＋220－1260； (4)0.5－213－(18－75)． 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并． 解：(1)原式＝23－3－3＝0； (2)原式＝3x－x ＋3x ＝5x ；(3)原式＝15－35＋45－15＝5； (4)原式＝22－233－24＋53＝24＋1333. 方法总结：二次根式的加减混合运算步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变．【类型三】 ，其中两边长分别是(3＋2)cm ，(33－22)cm ，求第三边长．解析：第三边长等于(23＋32)－(3＋2)－(33－22)，再去括号，合并同类二次根式．解：第三边长是：(23＋32)－(3＋2)－(33－22)＝23＋32－3－2－33＋22＝(42－23)(cm)．方法总结：由三角形周长的意义可知，三角形的周长减去已知两边的长，可得第三边的长．解决问题的关键在于把实际问题转化为二次根式的加减混合运算．三、板书设计二次根式的加减：合并同类二次根式通过合并同类项引入二次根式的加减法，让学生类比学习．引导学生归纳总结出二次根式加减运算的两个关键步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②合并同类二次根式．并让学生按步骤解题，养成规范解题的良好习惯．教学过程中，注重数学思想方法的渗透(类比)，培养学生良好的思维品质．第2课时 二次根式的混合运算1．了解二次根式的混合运算顺序；2．会进行二次根式的混合运算．(重点，难点)一、情境导入 计算：(1)x (x ＋1)；(2)(3x 2y 2－2x 2y ＋xy 2)÷xy ； (3)(2x ＋3y )(2x －3y )；(4)(x －y )2＋(x －2y )2.在上述运算中，如果把x ，y 换成二次根式，以上运算怎样进行？二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算 【类型一】二次根式的混合运算计算： (1)48÷3－12×12＋24； (2)12÷43×23－50. 解析：(1)先算乘除，再算加减；(2)先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简． 解：(1)原式＝16－6＋24＝4－6＋26＝4＋6； (2)12÷43×23－50＝12×34×233－52＝38×233－52＝64×233－52＝22－52＝－922. 方法总结：二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．【类型二】 运用乘法公式进行二次根式的混合运算计算：(1)(5＋3)(5－3)；(2)(32－23)2－(32＋23)2.解析：(1)用平方差公式计算；(2)先分别用完全平方公式计算，最后再合并．解：(1)(5＋3)(5－3)＝(5)2－(3)2＝5－3＝2；(2)(32－23)2－(32＋23)2＝18－126＋12－(18＋126＋12)＝－24 6. 方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算．【类型三】 二次根式的化简求值先化简，再求值：x ＋xy xy ＋y ＋xy －yx －xy，其中x ＝3＋1，y ＝3－1. 解析：首先根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，然后再代值计算． 解：原式＝x （x ＋y ）y （x ＋y ）＋y （x －y ）x （x －y ）＝x y ＋y x ＝x ＋yxy.∵x ＝3＋1，y ＝3－1，∴x ＋y ＝23，xy ＝3－1＝2， ∴原式＝232＝ 6.方法总结：在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致繁琐的运算．化简求值时注意整体思想的运用．【类型四】 33－2，求这个三角形的面积． 解析：根据三角形的面积公式进行计算．解：这个三角形的面积为：12×(63＋22)×(33－2)＝12×2×(33＋2)×(33－2)＝(33)2－(2)2＝27－2＝25.方法总结：列出解决实际问题的关系式，计算时注意观察式子的特点，选取合适的方法求解，能应用公式的尽量用公式计算．探究点二：二次根式的分母有理化 【类型一】 分母有理化计算：(1)215＋122；(2)3－23＋2＋3＋23－2.解析：(1)把分子、分母同乘以2，再约分计算；(2)把3－23＋2的分子、分母同乘以3－2，把3＋23－2的分子、分母同乘以3＋2，再运用公式计算． 解：(1)215＋122＝（215＋12）×22×2＝230＋262＝30＋6；(2)3－23＋2＋3＋23－2＝（3－2）2（3＋2）（3－2）＋（3＋2）2（3－2）（3＋2）＝5－263－2＋5＋263－2＝5－26＋5＋26＝10. 方法总结：把分母中的根号化去就是分母有理化，分母有理化时，分子、分母应同乘以一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，则乘以一项的二次根式，使得分母能写成a ×a 的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公式计算．如分母是a ＋b ，则分子、分母同乘以a －b .解析：，分子、分母同乘以15＋14；把14－13的分母看作“1”到它们的大小关系．解：15－14＝（15－14）（15＋14）15＋14＝115＋14，14－13＝（14－13）（14＋13）14＋13＝114＋13，∵15＋14＞14＋13＞0，方法总结：两个正分数比较大小时可把分母为“1”的式子化为分子为“1”的式子，根据分母大的反而小可以比较两个数的大小．三、板书设计1．二次根式的混合运算 2．分母有理化二次根式的混合运算可类比整式的混合运算进行，注意运算顺序，最后的结果应化简．引导学生勇于尝试，加强训练，从解题过程中发现问题，解决问题．本节课的易错点是运算错误，要求学生认真细心，养成良好的习惯．第5章 二次根式【教学目标】1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 【教学重点】含二次根式的式子的混合运算．【教学难点】综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 【教学方法】典例解析法 【教学准备】小黑板、三角尺 【教学过程】 【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的化简》教学设计1一. 教材分析《二次根式的化简》是湘教版数学八年级上册第五章第一节的内容。

本节课的主要目的是让学生掌握二次根式的化简方法，理解二次根式之间的运算规律，为后续学习二次根式的综合应用打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，对二次根式有一定的了解。

但部分学生对二次根式的化简和运算规律理解不深，容易混淆。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次根式的化简方法，理解二次根式之间的运算规律。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心。

四. 教学重难点1.重点：二次根式的化简方法。

2.难点：二次根式之间的运算规律。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次根式的化简，使学生能够更好地理解抽象的数学概念。

2.启发式教学法：引导学生主动思考、探索，培养学生的创新意识。

3.合作学习法：学生分组讨论，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次根式的化简和运算规律。

2.练习题：准备一些有关二次根式化简的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如估算房屋面积、计算物体体积等，引入二次根式的化简。

引导学生思考：如何将复杂的二次根式化为简单的形式？2.呈现（10分钟）展示二次根式的化简和运算规律，引导学生观察、总结。

示例：将二次根式 () 化简为最简形式。

学生思考、讨论，教师引导总结：( = = = 3)3.操练（10分钟）让学生独立完成一些有关二次根式化简的练习题，教师巡回指导。

1.将 () 化简为最简形式。

2.() 等于多少？3.计算 (( + ) ( - )) 的值。

4.巩固（10分钟）学生分组讨论，探索二次根式之间的运算规律。

湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的概念及性质》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的概念及性质》是本册教材中的重要内容，它为学生深入学习二次函数、不等式等知识打下基础。

本节内容通过引入二次根式，让学生了解其定义、性质和运算规则，从而提高他们的数学素养。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已掌握了实数、分数、有理数等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。

但二次根式较为抽象，学生对其概念和性质的理解可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需关注学生的认知差异，采用合适的教学方法，引导学生逐步掌握二次根式的相关知识。

三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。

2.学会二次根式的运算，提高运算能力。

3.培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次根式的概念及性质。

2.二次根式的运算方法。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次根式，激发学生的学习兴趣。

2.讲授法：讲解二次根式的概念、性质和运算方法。

3.实践操作法：让学生在实际操作中掌握二次根式的运算技巧。

4.小组讨论法：引导学生分组讨论，培养合作精神。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次根式的相关实例和运算过程。

2.练习题：准备适量练习题，巩固所学知识。

3.教学黑板：准备黑板，用于板书关键知识点。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例引入二次根式，如直角三角形的斜边长度，引发学生对二次根式的兴趣。

提问：你们知道直角三角形的斜边长度是如何计算的吗？2.呈现（10分钟）教师讲解二次根式的概念，如什么是二次根式，如何表示二次根式等。

同时，通过示例讲解二次根式的性质，如二次根式的平方、乘除法等。

3.操练（10分钟）教师布置练习题，让学生独立完成。

题目包括：判断一个式子是否为二次根式，对二次根式进行化简等。

4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，分享各自在操练过程中的经验和困惑。

二次根式的加减法优秀教案第一章：二次根式的概念回顾1.1 教学目标：让学生理解二次根式的概念。

让学生掌握二次根式的基本性质。

1.2 教学内容：二次根式的定义：形如√a的式子，其中a是一个非负实数。

二次根式的基本性质：√a ×√a = a，√a ÷√a = 1，√a ×√b = √(ab)，其中a、b是非负实数。

1.3 教学活动：通过具体的例子，让学生理解二次根式的概念。

通过练习题，让学生掌握二次根式的基本性质。

第二章：二次根式的加法2.1 教学目标：让学生掌握二次根式的加法运算规则。

2.2 教学内容：二次根式的加法运算规则：√a + √b = √(a + b)，其中a、b是非负实数。

2.3 教学活动：通过具体的例子，让学生理解二次根式的加法运算规则。

通过练习题，让学生熟练掌握二次根式的加法运算。

第三章：二次根式的减法3.1 教学目标：让学生掌握二次根式的减法运算规则。

3.2 教学内容：二次根式的减法运算规则：√a √b = √(a b)，其中a、b是非负实数，且a ≥b。

3.3 教学活动：通过具体的例子，让学生理解二次根式的减法运算规则。

通过练习题，让学生熟练掌握二次根式的减法运算。

第四章：二次根式的混合运算4.1 教学目标：让学生掌握二次根式的混合运算规则。

4.2 教学内容：二次根式的混合运算规则：先进行二次根式的乘除运算，再进行加减运算。

4.3 教学活动：通过具体的例子，让学生理解二次根式的混合运算规则。

通过练习题，让学生熟练掌握二次根式的混合运算。

第五章：综合练习5.1 教学目标：让学生综合运用二次根式的加减法知识，解决实际问题。

5.2 教学内容：综合练习题，包括不同难度的题目。

5.3 教学活动：提供综合练习题给学生，让学生独立完成。

解答学生的疑问，并进行讲解和指导。

第六章：二次根式的加减法在实际问题中的应用6.1 教学目标：让学生能够将二次根式的加减法应用到实际问题中。

二次根式知识点总结1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的数式，其中a是一个非负实数。

在二次根式中，a被称为被开方数，√a被称为二次根号。

二次根式可以是完全平方数，也可以是非完全平方数。

2. 二次根式的化简化简二次根式的目的是将其写成最简形式。

对于完全平方数，化简的过程比较简单，只需要将√a的值直接提取出来即可。

而对于非完全平方数，需要用到分解质因数的方法来化简。

比如对于√18，可以分解质因数得到√(2×3×3)，然后将成对的质因数提取出来得到3√2。

3. 二次根式的运算（1）二次根式的加减法二次根式的加减法遵循着类似项相加的原则。

即对于同一次幂的二次根式，可以进行加减运算。

比如√8 + √32，可以将8和32分解质因数得到√(2×2×2) + √(2×2×2×2×2)，然后将相同的项加在一起得到2√2 + 4√2，再进行合并得到6√2。

（2）二次根式的乘法二次根式的乘法用到了平方根的性质，即√a×√b=√(a×b)。

对于二次根式的乘法，可以直接将被开方数相乘再提取出来即可。

比如(√5 + √3)×(√5 - √3)，可以将其展开得到√5×√5 - √5×√3 +√3×√5 - √3×√3，再合并得到5 - 3=2。

（3）二次根式的除法二次根式的除法也用到了平方根的性质，即√a/√b=√(a/b)。

对于二次根式的除法，可以直接将被开方数相除再提取出来即可。

比如(√12 + √3)/(√3)，可以将其展开得到√12/√3 + √3/√3，再化简得到2√3 + 1。

4. 二次根式的化简与支配数在二次根式的运算中，有时候会出现需要化简的情况。

这就需要用到支配数的概念。

支配数是指对于一个二次根式，可以找到一个更小的数，使得原二次根式是这个数的倍数。

比如对于√75，可以找到√25×3，这里25就是√75的支配数。

5.1 第1课时 二次根式的概念及性质一、选择题1．下列各式中，是二次根式的为( ) A.39B ．－0.36 C.－1100D.a －1(a ＜1)2．若式子m －3有意义，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥3 B ．m ≤3 C ．m ≥0D ．m ≤03．使x －3有意义的x 的取值范围是( ) A ．x ≤3 B ．x ＜3 C ．x ≥3D ．x ＞34．若－（1－a ）2有意义，则满足条件的a 的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．无论x 取何值，下列各式中一定有意义的是( ) A.x 2－1 B.x ＋1 C.|x |D.1x 26．当x 的取值范围为x ≥2时，下列各式有意义的是( ) A.x －2x －2B.1x －2C.x －2D.2－x7．若2x －1＋1－2x ＋1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是( ) A ．x ≥12B ．x ≤12C ．x ＝12D ．x ≠128．计算(－11)2＋（－13）2的结果是( ) A ．－2 B ．－24 C ．2D ．249．若a 2＝3，则a 的值是( ) A ．3或－3 B ．3 C ．－3D ．910．如果|a |－a ＝0，那么a 2的值为( ) A ．－aB ．0C ．aD ．±a11．若1＜x ＜2，则|x －3|＋（x －1）2的值为( ) A ．2x －4 B ．－2 C ．4－2xD ．2二、填空题12．使式子m －3有意义的最小整数m 的值是________． 13．计算：(－3)2＝________．14．若代数式x ＋2＋3－x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________. 15．已知实数a 在数轴上的对应点的位置如图1所示，则化简|a －1|＋a 2的结果是________．图116．若实数a ，b 满足|a ＋2|＋b －4＝0，则a 2b的值为________．17．已知x ，y 均为实数，且y ＝x 2－9－9－x 2＋4，则x －y ＝________． 三、解答题 18．计算：(1)⎝⎛⎭⎫792；(2)⎝⎛⎭⎫252；(3)（－5）22.19．计算： (1)⎝⎛⎭⎫45－122＋⎝⎛⎭⎫45－12；(2)（－5）2＋(－2)2－25.20．已知实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图2所示，化简：a 2－|a ＋b |＋（c －a ）2＋|b ＋c |.图221．已知实数a 满足|2018－a |＋a －2019＝a . (1)求实数a 的取值范围； (2)求a －20182的值．阅读理解题先阅读，后解答：(1)由根式的性质计算下列式子得①32＝3；②（23）2＝23；③（－1）2＝1；④（－5）2＝5；⑤02＝0.由上述计算，请写出a2的结果(a为任意实数)．(2)利用(1)中的结论，直接写出下列问题的结果：①（3.14－π）2＝________；②化简：x2－4x＋4(x＜2)＝________．(3)应用：若（x－5）2＋（x－8）2＝3，则x的取值范围是________．详解详析[课堂达标] 1．[答案] B 2．[答案] C3．[解析] C 根据二次根式在实数范围内有意义的条件可知x －3≥0，解得x≥3. 4．[解析] A 由题意，得－(1－a)2≥0，则(1－a)2≤0.又∵(1－a)2≥0，∴(1－a)2＝0，解得a ＝1.故选A .5．[答案] C6．[解析] C 若式子x －2x －2有意义，则⎩⎨⎧x －2≥0，x －2≠0，解得x>2.若式子1x －2有意义，则x －2>0，解得x>2.若式子x －2有意义，则x －2≥0，解得x≥2.若式子2－x 有意义，则 2－x≥0，解得x≤2.故选C .7．[解析] C 根据二次根式a 的定义，要使a 在实数范围内有意义，则a≥0，所以 2x －1≥0，1－2x≥0，由此可得x ＝12.8．[解析] D 原式＝(－1)2×(11)2＋13＝11＋13＝24. 9．[答案] A10．[解析] C 由|a|－a ＝0，得|a|＝a ，故a 2＝|a|＝a. 11．[解析] D ∵1＜x ＜2，∴x －3＜0，x －1＞0，∴|x －3|＋（x －1）2＝|x －3|＋|x －1|＝3－x ＋x －1＝2.故选D . 12．[答案] 3 13．[答案] 3[解析] 负实数的偶次幂为正，所以(－3)2＝(3)2，而(a)2＝a ，所以(3)2＝3. 14．[答案] －2≤x≤3[解析] 由题意，得x ＋2≥0，3－x≥0，解得－2≤x≤3. 15．[答案] 1[解析] 由数轴可知0＜a ＜1，则|a －1|＝1－a ，a 2＝a ，故|a －1|＋a 2＝1. 16．[答案] 1[解析] ∵|a ＋2|＋b －4＝0， ∴a ＋2＝0且b －4＝0， 解得a ＝－2，b ＝4， ∴a 2b ＝（－2）24＝44＝1.17．[答案] －1或－7[解析] 由题意得x 2－9＝0，解得x ＝±3，∴y ＝4，∴x －y ＝－1或x －y ＝－7.故答案为－1或－7.18．[解析] 结合题目特点，根据(a)2＝a(a≥0)，(ab)2＝a 2b 2和⎝⎛⎭⎫a b 2＝a2b 2来计算．解：(1)⎝⎛⎭⎫792＝79. (2)⎝⎛⎭⎫252＝（2）252＝（2）225＝225.(3)（－5）22＝|－5|2＝52.19．解：(1)原式＝45－12＋1－45＝12.(2)原式＝5＋2－5＝2.20．解：由数轴可知a ＜0，b ＜0，c ＞0，且b ＜a ，|b|＞|c|，所以a 2－|a ＋b|＋（c －a ）2＋|b ＋c|＝|a|－|a ＋b|＋|c －a|＋|b ＋c|＝－a ＋(a ＋b)＋c －a －(b ＋c)＝－a.21．解：(1)由题意得a －2019≥0，解得a≥2019.(2)∵a≥2019，∴2018－a ＜0，∴a －2018＋a －2019＝a ，∴a －2019＝2018，两边平方，得a －2019＝20182，∴a －20182＝2019.[素养提升] 解：(1)a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a≥0），－a （a<0）.(2)①（3.14－π）2＝|3.14－π|＝π－3.14. ②x 2－4x ＋4＝（x －2）2＝|x －2|. ∵x ＜2，∴x －2＜0，∴x 2－4x ＋4＝2－x. (3)∵（x －5）2＋（x －8）2＝3＝||x －5＋||x －8.①当x ＜5时，x －5＜0，x －8＜0，∴原式＝5－x ＋8－x ＝13－2x ，令13－2x ＝3，则 x ＝5，不成立；②当5≤x≤8时，x －5≥0，x －8≤0，∴原式＝x －5＋8－x ＝3，成立；③当x ＞8时，x －5＞0，x －8＞0，∴原式＝x －5＋x －8＝2x －13，令2x －13＝3，则 x ＝8不成立．∴x 的取值范围是5≤x≤8.。