教学设计：《球面距离》

球面上的距离【教学目标】1．掌握球面上的距离。

2．熟练运用球面上的距离解决具体问题。

3．亲历球面上的距离的探索过程，体验分析归纳得出球面的一些基本性质，进一步发展学生的探究、交流能力。

【教学重难点】重点：球面上的距离。

难点：球面上的距离的实际应用。

【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习球面上的距离，这节课的主要内容有球面上的距离，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。

二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解球面上的距离内容，形成初步感知。

（2）首先，我们先来学习球面上的距离，它的具体内容是：1．劣弧上的长度是球面上两点之间的最短路径；2．我们把它称为球面上两点之间的距离；3．球面上连结两点之间的最短路径是经过这两点的一段大圆弧——劣弧。

4．对径点：如图，因为球面上的两个大圆所在的平面都经过球心O，所以这两个大圆所在的平面有一个公共点，因此这两个平面必有一条过球心O的相交直线，这条相交直线显然是球面的直径所在直线，两个大圆的交点是这条直经的两个端点A，A'。

我们把球的直径的两个端点A，A'称为对径点。

因此，两个大圆相交于对径点A，A'。

它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。

例：已知地球半径为R，A、B两点均位于北纬45度线上，点A在东经30度，点B在东经120度。

求在北纬45度圈上劣弧AB的长度。

解析：教师板书根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。

练习：已知地球半径为R，A、B两点均位于北纬45度线上，点A在东经30度，点B在东经120度。

求经过A、B两地的球面距离？三、课堂总结（1）这节课我们主要讲了：1．劣弧上的长度是球面上两点之间的最短路径；2．我们把它称为球面上两点之间的距离；3．球面上连结两点之间的最短路径是经过这两点的一段大圆弧——劣弧。

4．对径点：我们把球的直径的两个端点A，A 称为对径点。

（2）它们在解题中具体怎么应用？四、习题检测1．为什么球面上两个大圆必定相交。

球面上两点间的距离——课堂教学设计及实践者方耀华【教材分析】球面上两点间的距离是立体几何中继“异面直线的距离”、“点到平面的距离”、“直线到平面的距离”和“平面到平面的距离”之后，又一重要距离. 其概念的产生和形成，不但加深学生对球面及球的截面的理解，而且在求解过程中，沟通了立体几何中三个重要的角（线面角、二面角和异面直线所成的角）的概念.球面上两点间的距离具有十分重要的实际应用，通过对它的学习，学生能认识到数学源于实践又作用于实践；通过对它的学习，可以培养学生学习数学，用好数学的思想品质；通过对它的学习，可以使学生掌握有关地理知识，增强综合素质.【教学目标】1．理解球面上两点间距离的定义，拓宽有关“距离”概念的认知.2．掌握地球上同经度不同纬度的两地间球面距离的求解；掌握地球上同纬度不同经度两地间的球面距离的求解.3．渗透类比、猜想的思想，让学生在课堂上自主地观察、实验、分析、归纳总结，培养学生数学动手实验、合情推理能力、空间想象能力、实际应用能力以及分析问题与解决问题的能力.4．发挥学习小组讨论的作用，让学生之间互相磋商、交流和互补，促进数学学习，提高学习的积极性，培养团结、务实的学习风气，学生之间、师生之间交流融洽.【教学重点与难点】教学重点：球面距离定义的正确理解.教学难点：球面距离定义的正确理解和地球上同纬度不同经度球面距离的求解.【课堂流程】【教学实录】实例引入，形成冲突师：请同学们看世界地图.我们上海在靠近北纬30 、东经120 的A点，美国的洛杉矶在靠近北纬30 、西经120 的B点. 下面就请同学们为上海航空公司设计一条从上海直接飞往美国的洛杉矶航线.学生错答：沿着北纬30 的纬度圈航行，方向为向东航行.师：你为什么会选择这条航线？生：因为感觉上这样飞过去最近.师：为飞机选择航线的主要标准是什么？飞行不像陆地、海洋上行进，一般不需要绕行. 航程（距离）尽可能的短. 这样即省时间又省油费，高效又环保.（对这位同学的回答表示认可的同学请举手示意）事实上，早在2006年上海航空公司就已经开通了上海到洛杉矶直达的货运航线，但是该航线并非是“沿着北纬30 的纬度圈航行”，而是在整个飞行过程中会路过美国阿拉斯加洲的阿留申群岛，再到洛杉矶.对于这一现象我们该做何解释？我们能用数学的观点给出一个合理、科学的解释吗？从上海飞往洛杉矶的货机绕道东北方向的阿拉斯加这一现象，可以说明沿纬线圈的航线并不是最短的.这个值得研究的问题如果将其数学化，我们可以将地球近似地认为是一个球，那这个问题的本质就是球面上两点间的最短路线是什么？动手实验，探索新知师：为了了解上海到洛杉矶的最短路线，我们不妨来做个实验. 我选择的实验工具是地球仪和橡皮筋. 原本想在课堂上做这个实验的，但是怕同学们看不清楚，因此我特地将该实验拍摄下来，播放给同学们看.师：我们看到上海在靠近北纬30 、东经120 的位置，这是北纬30 的纬线，美国的洛杉矶在靠近北纬30 、西经120 的位置.我将橡皮筋的一头固定在地球仪上海的位置，然后将橡皮筋沿北纬30 的纬线圈至洛杉矶. 接着我将橡皮筋收紧，但是在收紧的过程中仍然保证该橡皮筋所在的曲线经过洛杉矶.由于橡皮筋的弹性作用，它会静止于尽可能短的状态. 这经验告诉我们，从上海到洛杉矶，沿该绷紧的橡皮筋所在的这条曲线航行的行程最短. 我们发现该曲线的确经过美国阿拉斯加洲的阿留申群岛，而阿留申群岛的纬度已经超过北纬45 . 上海航空公司选择的的确是最短的航线.为了研究球面上两点间的最短路线到底是什么，我们继续观察，这绷紧的橡皮筋所在的曲线应该是一条什么曲线呢？（让学生猜；两位同学的回答不谋而合）从绷紧的橡皮筋的状态来看，显然它是一条平面曲线. （经验告诉我们歪歪扭扭不可能最短）而球若被一个平面所截，截得的曲线是什么呢？生：一个圆.师：球面上过A、B两点的圆有多少个？生：过两点有无数平面，因此截得球面上无数个圆.师：我们要研究A、B两点在球面上的最短路线，这最短路线应该就是出自于这些圆在A、B两点间的劣弧长，究竟哪个圆在A、B间的劣弧长度最短呢？猜猜看？（请学生大胆猜，过A、B两点的小圆无数个，大圆只有唯一一个）圆与圆的不同主要在于其半径不等，那么这些圆弧的半径与其在A、B两点间的劣弧长又有什么关系呢？（几何画板演示）过A 、B 的所有圆中，半径的取值范围应该以线段AB 为直径的圆的半径为最小，球的半径为最大.通过实验不难发现，以线段AB 为公共弦的若干圆中，半径较大的圆在A 、B 两点间的劣弧长较小.科学需要观察，但观察并不总是可靠的，我们的眼睛有时也会欺骗我们. 正如前面的世界地图就欺骗了我们部分同学的眼睛. 若要得到该结论是正确的，我们必须对其进行证明.思辨论证，得出结论师：我们可以找到两个圆，一个圆的半径较另一个圆大一些，但它们有一条公共弦AB . 我们要证明的是半径较大的圆在A 、B 间的劣弧长小于半径较小的圆在A 、B 间的劣弧长.请同学写下已知求证，并分析如何证明该结论.如图，已知AB 是圆1O 和圆2O 的公共弦，圆1O 的半径为R ，圆2O 的半径为r ，且R r >，求证： AmBAnB <.证明：设122,2AO B AO B αβ∠=∠=，,(0,)2παβ∈.12sin AB R α=⋅，12sin AB r β=⋅， 2sin AB AmB R ααα=⋅=⋅，2sin AB AnB r βββ=⋅=⋅. 分析：要证 AmBAnB <，即证sin sin αβαβ<，或证sin sin αβαβ>.因为R r >，则sin sin αβ<，即αβ<.作为这个结论的证明，可以通过三角函数线和不等式的放缩来完成，也可以通过证明函数sin x y x =在区间(0,)2π上单调递减来完成. 由于时间关系，它的代数证明留给感兴趣的同学课后研究.说明完结论，即以线段AB 为公共弦（经过A 、B ）的若干圆中，半径较大的圆在A 、B 两点间的劣弧长较小.在球面上，我们现在要找到最短的劣弧，那么经过A 、B 的若干圆中，哪个圆的半径最大呢？1O 2O ∙∙ABn m 1O 2O ∙∙ABn m R r生：大圆.师：这样也就说明球面上两点间最短的圆弧长就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧长.同学们能直观感受到球上两点间最短的圆弧长其实就是球面上两点间最短的路线，我们给球面上任两点这一条最短路线的长度取个什么名字呢？球面上两点间的距离.形成概念，扩充认知球面上两点间的距离的定义：在联结球面上两点（两点的连线不经过球心）的路径中，将通过该两点的大圆在这两点间的劣弧的长度称为这球面上的两点间距离.在该定义中，球面上的两点能否是球面上的任意两点？生：不行. 若两点的连线经过球心，则经过该两点的大圆圆弧长正好被这两点平分，那就谈不上大圆在这两点间的劣弧长了.师：那么两点的连线经过球心时，这两点间的球面距离如何定义呢？生：若两点的连线经过球心时，规定大圆周长的一半为两点的球面距离. 既然经过该两点的大圆圆弧长正好被这两点平分，两端弧相等，那么用大圆周长的一半来定义是非常合理的.师：经过同学们的探索、研究得到了球面上两点间距离的概念. 距离对我们而言并不陌生，请回忆，我们之前还学过哪几种几何基本对象间的距离？它们有什么共同特征？生：平面上两点间的距离；点到直线的距离；异面直线间的距离；平行直线间的距离；点到平面的距离；平行于平面的直线与平面间的距离；两平行平面间的距离.共同特征：最小性；确定性；表示为一条特殊线段的长.师：球面距离的最小性，前面我们已经对其做了说明。

球面距离教学设计引言：球面距离（Spherical Distance）是在三维空间中度量两个点之间距离的一种方式。

球面距离在地理学、天文学等领域中得到了广泛的应用，而在计算几何和计算机图形学中，球面距离也具有重要意义。

本文将介绍如何设计一个有效的球面距离教学方案，以便帮助学生更好地理解和运用球面距离的概念。

1. 教学目标：- 了解球面距离的定义和应用领域；- 掌握计算球面距离的方法和算法；- 理解球面距离与欧氏距离的区别和联系；- 应用球面距离解决实际问题。

2. 教学准备：- 计算机和投影仪；- 编写好的教案；- 计算机图形学软件。

3. 教学步骤：3.1 引入：通过介绍球面距离的定义和应用领域，激发学生的学习兴趣和对球面距离的好奇心。

可举例说明球面距离在地理学中的应用，如测量两个城市之间的距离。

3.2 理论讲解：向学生介绍球面距离的概念，以及如何计算球面距离。

比较球面距离与欧氏距离的区别，强调球面距离考虑了地球的曲率。

通过示意图和数学公式的方式，让学生理解球面距离的计算过程。

3.3 算法演示：使用计算机图形学软件，展示计算球面距离的算法。

通过实际的计算例子，让学生亲自操作并观察算法的执行过程和结果。

引导学生思考算法中的关键步骤和原理。

3.4 实例分析：给学生提供一些实际问题，要求使用球面距离进行解决。

可选择一些与地理位置有关的问题，如计算两个城市之间最短的航行距离。

让学生动手计算并分析结果，以增强他们对球面距离应用的理解和实际操作能力。

3.5 讨论和总结：在本节课的最后，组织学生进行小组讨论，分享彼此的计算结果和思考过程。

指导学生总结球面距离的特点和应用，并与欧氏距离进行对比分析。

鼓励学生提出问题和思考球面距离在其他领域的可能应用。

球（截面性质 体积表面积 球面距离）一. 教学内容： 球教学目标：了解球的概念，掌握球的截面的性质；掌握球的体积与表面积公式，理解并掌握球面距离的求法。

教学重点：截面性质及应用，体积、表面积公式；球面距离。

教学难点： 球面距离知识点归纳： 1. 截面的性质：截面是个圆面，其圆心与球心的连线与截面垂直。

2. 球面上两点间球面距离：经过球面上两点大圆的劣弧长叫这两点的球面距离（它是球面上连结这两点的最短弧长）。

3. 球的体积与球面的表面积公式： V R S R ==43432ππ【典型例题】例 1. 一个球的半径为R ，A 、B 是球面上的两个点，如果A 、B 沿球面的最短距离为13πR ，求过、两点的平面到球心的最大距离。

A B解：AB R O ⌒（设球心为）球面=13π∴∠==A OB RR 133ππ要使O 到平面ABO’的距离最长（O’为过AB 的圆的圆心），只须过A 、B 的小圆最小，即AB=2r在中，∆O OB OB R '=∴=︒=则OO OB R 'cos3032即所求最大距离为32R例2. 设A 、B 是地球北纬60o 圈上两点，点A 、B 的经度分别是东经40o 和西经20o ，求A 、B 两点的球面距离。

解：设O’为北纬60o圈所在圆圆心，r 为半径，地球半径为R 在中，，，∆AO O AO O AO R AOO '''∠=︒=∠=︒9030∴==O A r R '12又 ∠=︒+︒=︒AO B '402060∴==AB r R 12∴∠=在中，∆AOB AOB 214arcsin于是⌒球面AB R =214arcsin小结：1︒在小圆中求的长AB 2︒∠解三角形，求AOB AOB3︒=用弧长公式，求⌒球面l R AB θ例3. 求棱长为a 的正四面体内切球的体积。

解：设正四面体ABCD 高为AO’=h ，内切球心为O ，半径为r则·O B a a '==233233在中，Rt AO B AO AB BO a a a ∆'''()=-=-=22223363V V A B C D O B C D =-4·即·134314612Sh S r r h a =⇒==∴==V r a 内切球43621633ππC注：正四面体外接球与内切球半径之比为3：1。

球面距离的发现授课地点：学校多媒体教室；学生状况：学生整体基础尚好，学习勤奋，但是，思维水平差异较大．可喜的是学生普遍喜欢上数学课，并且参与意识较强，课堂上师生感情融洽、民主、平等．教学目标：1. 认知目标：理解球面距离的合理性，掌握几种简单球面距离的求法,改进有关“距离”的认知结构．2. 能力目标：渗透类比、猜想及“数学化”的思想，提高动手实验、合情推理的能力，培养数学交流能力，体验基本的“科研”方法．3. 情感目标：通过“做数学”，亲历“球面距离”的形成过程，并体验研究与成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，并潜移默化地得到热爱地球、热爱科学的德育熏陶；树立正确的“数学观”并初步形成创新意识和科学精神．教学重点：球面距离发现过程及激励学生主动参与、相互协作、探索研究的精神．教学难点:实际问题数学化（建模），球面距离定义的合理性．教具学具：TI-92Plus图形计算器、计算机、实物投影仪、橡皮筋、地球仪等．教学过程1．创设问题情境引发研究课题教师：同学们，今天是6月6日，请问昨天（6月5日）是一个什么日子？学生众：世界环境日！教师：对！是第30个世界环境日．联合国环境规划署将今年的环境日主题确定为：“让地球充满生机”，如果说上个世纪是人类环境意识觉醒的世纪，那么，新世纪将是人类保护环境、拯救地球开始采取切实可行的实际行动的世纪.为纪念并庆祝这一节日，我们今天研究一个关于地球的问题．引例（计算机演示）：1993年4月7日,中国东方航空公司的MU583航班喷气客机，从上海（A）飞往美国洛杉矶（B），因受强气流影响，被迫在美国阿拉斯加州阿留申群岛（C）的某空军基地紧急降落．经过紧急处置，除60名伤员仍留在阿拉斯加的安克雷奇医院中之外，其余173名旅客已于4月9日到达洛杉矶．（用FLASH软件制作演示文稿：世界政区图及客机动画模型,略）.学生观察后提出问题：从世界地图（平面）上看似乎沿北纬300的圆“直行”最近，可为什么从上海飞往洛杉矶的飞机会迫降在东北方向的阿拉斯加呢？这岂不是在绕远道吗？老师：同学们，生活中处处有数学，就看我们是否有发现的眼睛了．对于这一现象我们该做何解释呢？我们能用数学的观点给出一个合理、科学的解释吗？进而，我们能把这个问题一般化吗？（回答多种多样，但最终统一到选择航线的主要标准是什么？——行程尽可能短．问题的一般化——球面上两地间的最短路线是什么？）师：那么，怎样的航线可能最短呢？生1：沿纬线圈走可能短些．生2：不对，从上海飞往洛杉矶的飞机绕道东北方向的阿拉斯加这一现象，可以说明沿纬线圈走不是最短．生3：对地球上任意两点来说，并不是都有同一纬线经过它们，所以沿纬线圈走不可能总是最短．师：非常好！同学们的讨论说明这是一个值得研究的问题．即，到底什么是球面上两点间的最短路线?目前还不知道，那么,能否想起与这个问题类似而已经研究过的问题吗？生4：蚂蚁在正方体的表面上从一个顶点爬行到相对顶点的最短路线问题．生5：在圆锥、圆台侧面上爬行也可提出类似的问题．生6：上述问题的解决方法是相同的，都是将空间图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短，使问题获解．师：非常好！对我们的问题有帮助吗？生7：把球面展成平面图形……生8：球面不能展成平面图形！师：有这方面的经验吗？生9：吃剩下的西瓜皮无论怎样切，它总是展不平．师：对，球面是不可展的，这一点与多面体、圆柱、圆锥、圆台有本质的不同．那么，这些问题的解决方法对我们现在的问题有帮助吗？学生10：有！前面那几个“最短路线”都是“平面曲线”它类似于直线，因此，可猜想球面上两点间最短的路线也是一条类似于“直线段”的曲线的长，它可能是某个平面与球面的交线，也就是一条特殊圆弧的长．师：好极了，经验和直觉都告诉我们，球面上两点间最短的路线应是一条特殊圆弧．而在球面上经过两点的圆弧有无数多条，哪一条最短？同学们，数学是一种活动，不仅应该动脑，也应该动手，请同学们以小组为单位，动手探索球面上两点间的最短路线，并给出你的猜想．2．动手实验探索新知学生以小组为单位，利用地球仪、橡皮筋,协作实验探索，2～3分钟后，学生11、12到前面提供了实验1: 一位同学将橡皮筋的两头分别置于地球仪的上海和洛杉矶处(此时橡皮筋已被伸长),另一同学将橡皮筋在球面上来回移动，由于“摩擦力”的作用，橡皮筋并不是总回到“理想”位置，两同学面露难色．此时，一位女生跑上前去，提起橡皮筋的中部再突然放开,由于弹性的作用, 橡皮筋停止于最短的状态（同学们报以热烈掌声，团结协作精神也体现的淋漓尽致）．由经验猜想:沿橡皮筋这条弧线航行行程最短．师：wonderful！同学们，科学需要观察，但观察并不总是可靠的，眼睛有时也会欺骗我们．谁能进一步说明或者推翻他们的这一结论？生13：（实验2）借助TI-92Plus图形计算器中“几何画板”功能，做出以线段AB为公共弦的若干圆，并用画板中的度量功能，分别测算出这几个圆中AB弦所对的劣弧的长，不难发现，较大的圆中AB弦所对的劣弧的长较小．（用实物投影仪演示,如图1）猜想1：以线段AB为公共弦的若干个圆，以半径较大的圆中AB弦所对的劣弧长较小.生14：由于地球上大圆的半径最大，根据上述猜想1，学生11、12的结论是正确的，即地球上两地间的最短路线就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧．3．思辩论证，得出结论师：经过上面的实验和探索，我们已基本上“认同”了上述猜想，但“认同”毕竟不是“论证”．数学的一大特征是它的逻辑严谨性．我们能证明这一猜想吗？首先，我们要先弄清问题（将实际问题数学化—建模）．生15：（实物投影）如图，AB 是圆O 1和圆O 2的公共弦，O 2A ＞O 1A ，求证：AmB AnB >．分析：分析：设∠A O 1B=2α，∠A O 2B=2β，O 2A=R,O 1A=r, 则0＜β＜α＜2π，0＜ r ＜R ．欲证，AmB AnB >，即：2αr ＞2βR （公式化），也就是，α·αsin AB ＞β·βsin AB ， ααsin ＞ββsin ，或证，ααsin ＜ββsin ．又因为y=x x sin （0＜x ＜2π)是单调减函数，所以，问题得证．在球面上，由于，大圆的半径最大，所以，大圆中所对的劣弧最短．师：同学15用他浓郁的家乡话再一次向我们展示了他的聪明才智．但，我们也注意到在他的证明中用到了“sin xx y =（0＜x ＜2π)是单调减函数”这一结论，而它的证明有一定的困难，我们能检验这一结论吗？ 生16：能！用TI 图形计算器，从下图示中，我们不难发现函数sin xx y =（0＜x ＜2π)是单调减函数．师：漂亮！这从“形”的方面支持了同学15的证明是正确的，若那位同学能从“数”的一面给出证明，将显得严谨有力．由于时间的关系，这个问题留给感兴趣的同学课下研究．师：我们已证明了上述猜想是正确的，那么，我们给球面上任两点这一条最短的路线的长度取个什么名字呢？生众：两点间的球面距离．（多媒体演示课题：球面距离）师：好，请同学们用数学语言陈述球面距离的定义．生17： …（投影球面距离的定义，略）师：由上不难知道，为什么飞机、轮船都是尽可能以大圆劣弧为航线了．4．看图辨析 强化概念师：请同学们观察下列球面模型（多媒体演示，略）中，标出的弧AnB 的长是不是A 、B 两点的球面距离？ O 2O 1AB R m nr同学通过观察、比较总结出球面距离概念的内涵：（1）A、B两点必须在大圆上;（2）是大圆在这两点间的劣弧（或不超过半圆弧）的长度 .5．距离扩张的历程回顾师：好，经过同学们的探索、研究发现了球面距离的概念，扩大了知识、提高了能力．请回忆,以前我们还学习了哪几种几何基本对象间的距离？它们有什么共同的特征？经过学生的讨论可以回忆出下面各种距离：（演示文稿）两点间的距离点到直线的距离异面直线间的距离点到平面的距离平行直线间的距离平行平面间的离平行于平面的直线与平面间的距离共同的特征：存在性、最小性、唯一性，是一条特殊线段的长．师：正如同学们总结的那样，以前各种“距离”都是一条特殊线段的长，而“球面距离”却是一条特殊的圆弧长．但是，它们都是平面“曲线”,具有“最小性”和“唯一性”，体现了数学概念“和谐发展”．6．例题分类寻求解法师：数学来源于生产与科研实践，又服务于生产与科研实践．例1．东方明珠香港于97年7月1日回归祖国，之前京九铁路也已全面贯通．请计算北京（约北纬400、东经1160）与香港（约北纬220、东经1160）的距离大约是多少千米？例2．求上海到洛杉矶的距离．（上海和洛杉矶的纬度差不多都在北纬300稍北的位置，而上海的经度为东经1200稍偏东，洛杉矶的经度为西经1200稍偏西）．例3．2004年的奥运会在雅典举行，2008年的奥运会在北京举行．请计算北京与雅典之间的距离．（供学有余力的同学课后研究）同学们借TI图形计算器分组得出了例1、例2的答案，为规范书写格式提供“标准”答案仍是必要的（用文稿演示，略）．师：例3的解决有一定的困难，请有兴趣的同学课下研究，我期待着你们的成功．从经纬度来看，球面距离问题可分为几种类型？如何解决？生18：1.同经度不同纬度的两地间的距离—经度差的绝对值乘以地球半径；2.同纬度不同经度的两地间的距离—先在纬度圈（小圆）中求出弦长，再在大圆中求出这两点的球心角，进而求出劣弧的长，即：线段AB的长——→∠AOB的弧度数——→大圆劣弧AB的长；3.经、纬度都不同度的两地间的距离．生19：计算球面距离的关键是先求出此两点所对应的球心角，再根据弧长公式即可求出劣弧长，即这两点的球面距离．师：非常好！同学们先做后说，提炼出了程序性、操作性的方法，这就是算法．7.课题小结交流体验师：同学们，一节课在不知不觉中就要过去了，愉快的时光总是显得那么短暂．下面就请同学们小结一下，你有何收获和体验？生：……师：随便说，一句不少，十句不多．生20：数学无处不在、无处没有．现实生活中存在着大量的数学问题，我们要养成用数学的眼光观察、发现、分析、解决实际问题的习惯，做有数学头脑的人．师：实际问题数学化是重要的数学能力，也是数学素养的体现．生21：这节课跟以前的数学课不大一样，更像物理课．通过观察、转化、猜想、实验、证明，不仅知道了什么是球面距离，还了解了研究问题的一些方法．师：方法往往比知识重要，而探索方法的过程更重要．生22：TI图形计算器是我们探索数学奥秘的好帮手，能使我们更好地发现、探究和理解数学．生23：这样上课很好玩、很有趣．好像是在“做数学”．师：朴素的语言，真实的感受．以上同学都谈的非常好，对体验、方法和球面距离的具体求法进行了总结．我相信其他同学也定会有不少感受，这样吧，请同学们课下将学习体会写出来，下周一交给课代表．. 结束语：同学们，6月5日是世界环境日，无独有偶，每年的4月22日为世界地球日．人类只有一个地球，为了明天更美好，为了我们的子孙后代，人类必须“善待地球”，为此，首先要更多地了解地球，那么,我们还应研究球体的那些问题呢？生众：面积和体积！师：对，下一节我们将研究这些问题．这一节课，同学们表现的都非常出色，祝同学们学习成功，下课！案例分析“距离”是数学中重要的“源”概念，作为中学八种距离中的最后一个的“球面距离”，因为不能像其它距离那样可以转化成一条特殊线段的长而成为学生的认和难点，所以，“球面距离”对于学生来说是一个极富有挑战性的问题．如何让学生在愉悦的环境中主动地对“球面距离”进行有意义的建构，并且在思维能力、人文素养等方面得到提升是本教案设计的初衷．本课例，以现代建构主义理论为指导，辅以TI技术教育手段，既重视了学生“知识”和“技能”的学习，又注意思想方法的渗透和使用，并且，创设了一个很好的情景，使得既能向学生渗透“环保”的有关思想，又能自然地感受到拓展“距离”概念的必要性，同时，把探索发现“球面距离定义”的过程，作为教学重点，“既教猜想、又教证明”，准确地抓住了实际问题数学化和定义的合理性．对球面距离定义的合理性，学生在原有的知识和经验的基础上，不难理解它的存在性和唯一性，但，对球面距离为什么是大圆劣弧的长颇感困惑．美国数学家哈尔莫斯说：“学习数学的唯一方法是做数学”．由于TI技术能以更多的方式向学生提供刺激(多元联系表示)，产生直观丰富的形象，从不同侧面认识数学的中的同一个对象(球面距离)，因而可以突破传统技术在时空上的限制，表现传统技术所不能表现的内容．学生通过亲自动手实验，辅以TI图形计算器的支持，可以地看到球面距离概念的形成和发展过程，深刻理解了概念的本质．教材上对球面距离的处理是重计算、轻发现，枯燥、乏味，给人一种冰冷的感觉．而人类(学生)对数学的思考、发现却是火热的、生动活泼的．因此，本节课又遵循了“返璞归真”原则，把“球面距离”的学术形态转化为教育形态，“把冰冷的美丽变为火热的思考”．整个教学过程，沿着发现问题——提出问题——分析问题——探索和解决问题的途径展开，在师生共同参与下，亲历了知识生长(即“球面距离”概念的形成)过程，学生不仅认识到当前这个概念是应运而生，又是合理的(承袭了“距离”概念的极小性、存在性、唯一性，又有所不同——由直线段变成了圆弧的长)，而且，通过对拓广与承袭关系的分析，把新旧知识联结起来，形成更为完善的有关“距离”的认知结构(包括计算方法)．在亲历“球面距离”概念的形成和发展过程中，学生的创新精神得到了高扬、创新能力得到了培养，特别是为每一个学生个性的充分展开创造了空间，课堂上洋溢着浓郁的人文精神，体现着鲜明的时代特色．。

2000年第5期 九江师专学报(自然科学版)总第106期No15,2000 Journal of Jiujiang Teacherπs College(Natural Science)Sum No1106素质教育课堂教学设计一例———球面距离及其求解邓更生Ξ(江西九江三中　江西九江332000)1、课题:此课是“球的概念和性质”的第二课时,上一节课学习了(1)球面、球体、球心、球的半径、直径;(2)球的截面性质;(3)大园小园及地球的经纬度;(4)求地球上同一纬度圈上两地间的纬度长等有关知识。

这一节课学习的内容是:球面距离及其求解。

“球面距离”是立体几何中继“异面直线距离”“点到面的距离”“线到面的距离”“面到面的距离”之后,又一重要距离,其概念的产生和形成,不但加深学生对球面及球的截面的理解,而且在求其解的过程中,沟通了立体几何中三个重要成角(线面成角、面面成角、异面直线成角)概念。

“球面距离”具有十分重要的实际应用,通过对它的学习,使学生认识到数学源于实践又作用于实践;通过对它的学习,可以培养学生学习数学,用好数学的思想品质;通过对它的学习,可以使学生掌握有关地理知识,增强综合素质。

2、教学目标:211　知识目标:(一级目标)理解球面距离的定义;(二级目标)熟练掌握地球上同经度、赤道上两地间的球面距离求解;(三级目标)掌握地球上同纬度不同经度两地间的球面距离求解;(潜在目标)思考地球上不同纬度又不同经度两地间的球面距离的求解。

212　能力目标:通过对“球面距离定义和求解”的学习、培养:(1)数学直觉思维能力;(2)空间想象能力;(3)几何计算能力;(4)数学实际应用能力;(5)分类思想;(6)有关地理知识。

213　非智目标:发挥学习小组讨论的作用,让学生之间得到磋商、交流、互补,促进数学学习,以“富”带“穷”,提高学习的积极性,培养团结、务实的学习风气,学生之间、师生之间的情感得到比较充分的交流。

人教版高中选修3-3第二讲球面上的距离和角教学设计一、教学目标1.理解球面上两点之间的距离和球面上的角的概念。

2.掌握球面上两点之间的距离和球面上的角的计算方法。

3.能够应用球面上的距离和角的知识解决实际问题。

二、教学重点和难点1.球面上两点之间的距离的计算。

2.球面上的角的概念和计算方法。

3.应用球面距离和角解决实际问题的能力。

三、教学内容及安排1. 球面上两点之间的距离（1）概念介绍球面上两点之间的距离的概念。

通过视频、图片等多种形式讲解，让学生直观感受两点之间的距离。

（2）计算方法讲解球面上两点之间的距离的计算方法。

通过例题讲解，让学生掌握计算球面距离的方法。

（3）练习让学生在教师的指导下，自主完成练习题，巩固所学知识。

2. 球面上的角（1）概念介绍球面上的角的概念。

通过视频、图片等多种形式讲解，让学生理解球面上的角。

（2）计算方法讲解球面上角的计算方法。

通过例题讲解，让学生掌握计算球面角的方法。

（3）练习让学生在教师的指导下，自主完成练习题，巩固所学知识。

3. 应用实际问题（1）例题分析让学生分析例题并应用所学知识解决实际问题。

通过讲解例题及其解法，让学生掌握应用球面上的距离和角解决实际问题的方法。

（2）练习让学生在教师的指导下，自主完成练习题，巩固所学知识。

四、教学方法1.演示法：通过视频、图片等多种形式展示球面上的距离和角的知识，让学生直观感受。

2.讲解法：详细讲解球面上距离和角的概念及计算方法。

3.练习法：通过让学生自主完成练习题，巩固所学知识，提高应用能力。

五、教学手段1.课件展示：通过PPT等形式展示教学内容，让学生更清晰地了解所学知识。

2.视频展示：通过播放相关视频，让学生直观感受球面上的距离和角的概念及应用方法。

3.练习册：提供练习册让学生自主完成练习题，巩固所学知识。

六、教学评价1.学生掌握的知识点和技能能否达到教学要求。

2.学生的实际应用能力。

3.学生的参与度和合作度。