数学建模作业 北工大薛毅 实验4

实验五解：依据题意“总的停车距离=反应距离+刹车距离”，设L表示跟车距离，s表示刹车距离，v表示车速，t表示反应时间，即：L=vt+s用平方和最小方法估计系数s、t：min s,ts+v i t−L i2 ni=1将50组实验数据代入计算并取最优解，相应的LINGO程序如下图1-1所示：图1-1（详细如下）model:sets:quantity/1..50/:v,L;endsetsdata:v= 4 4 7 7 8 9 10 10 10 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 16 16 17 17 17 18 18 18 18 19 19 19 20 20 20 20 20 22 23 24 24 24 24 25;L= 2 10 4 22 16 10 18 26 34 17 28 14 20 24 28 26 34 34 46 26 36 60 80 20 26 54 32 40 32 40 50 42 56 76 84 36 46 68 32 48 52 56 64 66 54 70 92 93 120 85;enddatamin=@sum(quantity:(s+v*t-L)^2);@free(s);@free(t);endLINGO程序计算结果截取如下图1-2所示：图1-2由计算结果可知：平方和最小时，s=-17.57909，t=3.932409。

即,L=3.932409v−17.57909解：依据题意设第一个作业点为坐标原点，即（0, 0）点。

则第二个作业点的坐标为（75，330），第三个作业点的坐标为（-225, -40）。

设两个临时机场的位置坐标分别为A x a，y a、B x b，y b，A机场给三个作业点提供的油料分别为a1、a2、a3，B机场给三个作业点提供的油料分别为b1、b2、b3，要求每月从机场到作业点的吨公里数最少，建立数学模型：目标函数为：Min L=a1x a2+y a2+b1x b2+y b2+a2x a−752+y a−3302+b2x b−752+y b−3302+a3x a+2252+y a+402+b3x b+2252+y b+402约束条件为：a1+b1=25a2+b2=14a3+b3=34相应的LINGO程序如下图2-1所示：图2-1（不是很清晰，详细见下）min=a1*(xa^2+ya^2)^0.5+b1*(xb^2+yb^2)^0.5+a2*((xa-75)^2+(ya-330)^2)^0 .5+b2*((xb-75)^2+(yb-330)^2)^0.5+a3*((xa+225)^2+(ya+40)^2)^0.5+b3*((x b+225)^2+(yb+40)^2)^0.5;a1+b1=25;a2+b2=14;a3+b3=34;@free(xa);@free(xb);@free(ya);@free(yb);LINGO程序运行结果如下图2-2所示：图2-2由计算结果可知：临时机场A建立的位置坐标为（0, 0）处，机场B建立的位置坐标为（-225，-40）处时，并且A机场给第1个作业点提供油料25t，给第2个作业点提供14t，给第3个作业点提供0t；机场B给第1个作业点提供0t，给第2个作业点提供0t，给第三个作业点提供34t，这种方案下每月的吨公里数最少为4737.816。

2微分方程实验1、微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随 t 增加的运动方向，确定平■衡点, 并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：解：（1）由 f （x ） =x=0, f （y ） =y=0;可得平衡点为（0,0）,___ 1 0系数矩阵A，求得特征值入1=1,入2=1;0 1p=-（入1+入2）=-2<0 , q=入1入2=1>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点（0, 0） 是不稳定的。

图形如下：（2）如上题可求得平衡点为（0,0 ），特征值入1=-1,入2=2;p=-（入1+入2）=-1<0 , q-入1入2=-2<0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点（0, 0） 是不稳定的。

其图形如下:dx⑴dt dtx, y;dxdtdydt dx x, ⑶尸 2y ；晋 dx y， (4) ? 2x;也 dtx+1, 2y.(3) 如上题可求得平■衡点为(0,0 )，特征值入1=0 + 1.4142i,入2=0 -1.4142i; p=-(入1+入2)= 0, q-入1入2=1.4142>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点(0, 0)是不稳定的。

其图形如下：(4) 如上题可求得平衡点为(1,0 )，特征值入1=-1,入2=-2;p=-(入1+入2)= 3>0, q=入1入2=2>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点(1, 0) 是稳定的。

其图形如下：2、种群增长模型一个片子上的一群病菌趋向丁繁殖成一个圆菌落.设病菌的数目为N,单位成员的增长率为r1，则由Malthus生长律有竺r1 N，但是，处丁周界表面的dt那些病菌由丁寒冷而受到损伤，它们死亡的数量与N2成比例，其比例系数为r2, 求N满足的微分方程.不用求解，图示其解族.方程是否有平衡解，如果有，是否为稳定的？解：由题意很容易列出N满足的微分方程：坐r1N r2N； f(N)dt令f(N)=O,可求得方程的两个平■衡点N1=0,N2=「22/r i21 1d2N 1 5 52 (r1 r2N 2) (r1N r2N 2)dt 2进而求得A d2N 令r dt2 2 0可求得N=r2 /4r〔则N=N1 N=N2 N=r22/4r i2可以把第一象限划为三部分，且从下到上三部分中分0,冬dt2.2 2 c dN cdN c dN cdN 0, ；—0, —r 0; —0, ―rdt dt dt dt则可以画出N (t) 的图形，即微分方程的解族，如下图所示:由图形也可以看出，对丁方程的两个平■衡点，其中N1=0是不稳定的；N2=^2 /「；是稳定的o3、有限资源竞争模型1926年Volterra 提出了两个物种为共同的、有限的食物来源而竞争的模型当[b MX h 2X 2)]x dt dX2 电 2(h i X i h 2X 2)]X 2dt假设也 坦，称垣为物种i 对食物不足的敏感度，(1) 证明当x1(t0)>0时，物种2最终要灭亡； (2) 用图形分析方法来说明物种 2最终要灭亡.解：(1)由上述方程组 f (x1) =[b 1〔S' h 2x 2)]x 1=0,f (x2)=电2 (h 1X 1h 2X 2)]X 2=0,可得方程的平■衡点为R (0,0), P 1 (E,0),P 2 (0, M).2 h 2对平衡点P 。

“多波束测线问题”的问题解析
薛毅
【期刊名称】《数学建模及其应用》
【年(卷),期】2024(13)1
【摘要】给出2023年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛B题“多波束测线问题”的求解方法,并针对学生在参赛论文中出现的问题作了简要的说明与点评.为保证求解的连贯性,论文的前一部分是问题的求解,后一部分是参赛论文的点评.【总页数】11页(P76-86)
【作者】薛毅
【作者单位】北京工业大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】P741;U612.3
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北京工业大学-薛毅老师-工程数据建模-实验2-线性规划和整数规划2. 线性规划和整数规划实验2.1 基本实验1. 生产计划安排某工厂生产A，B，C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见表2.1所示。

表2.1 不同产品的消耗定额产品可用量资源A B C (单位)6 3 5 45 劳动力3 4 5 30 材料产品利润3 14 (元/件)(1)确定获利最大的生产方案;(2)产品A、B、C的利润分别在什么范围内变动时，上述最优方案不变; (3)如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场购买，每单位0.4元，问该厂要不要购进原材料扩大生产，以购多少为宜,(4)如果生产一种新产品D，单件劳动力消耗8个单位，材料消耗2个单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产,解答:(1)LINGO中程序:max = 3*x1 +x2+ 4*x3;6*x1 + 3*x2+5*x3 <= 45;3*x1 + 4*x2+5*x3 <= 30;end程序运行结果如下:Global optimal solution found.Objective value: 27.00000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1 5.000000 0.000000X2 0.000000 2.000000X3 3.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 27.00000 1.0000002 0.000000 0.20000003 0.000000 0.6000000获利最大的生产方案为:生产A产品5件，B产品0件，C产品3件，获利为27。

(2)产品A利润在2.4-4.8元之间变动,最优生产计划不变。

(3)运行程序LINGO中程序:max=3*x1+x2+4*x3;6*x1+3*x2+5*x3<45;end程序运行结果如下:Global optimal solution found.Objective value: 36.00000Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX1 0.000000 1.800000X2 0.000000 1.400000X3 9.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 36.00000 1.0000002 0.000000 0.8000000从程序运行结果可得到:当A、B为0，而C 9件时利润最大,最大利润为36元,应该购入原材料扩大生产,购入15个单位。

1.曲线拟合有关部门希望研究车速与刹车距离之间的关系， y=β0+β1x ，其中x 为车速，y 为刹车距离，现测得50组数据（xi ，yi ）（i=1,2,3…，50）（见表3.1，用三种方法((1)平方和最小;(2)绝对偏差和最小; (3)最大偏差最小)估计系数β0和β1，并分析三种方法的计算效果(注:用LINGO 软件求解，用其他软件画出散点图和回归直线)，说明哪一种方法得到有结果更合理. 解：（1）平方和最小，根据最小二乘方法求解，相应的无约束问题为()2n1i i i 10y -x min 10∑=+=ββββ，，为了方便计算，将β0, β1换成A,B ，相应的LINGO程序如下： sets :quantity/1..50/: x,y; endsets data :y=2,10,4,22,16,10,18,26,34,17,28,14,20,24,28,26,34,34,46,26,36,60,80,20,26,54,32,40,32,40,50,42,56,76,84,36,46,68,32,48,52,56,64,66,54,70,92,93,120,85;x=4,4,7,7,8,9,10,10,10,11,11,12,12,12,12,13,13,13,13,14,14,14,14,15,15,15,16,16,17,17,17,18,18,18,18,19,19,19,20,20,20,20,20,22,23,24,24,24,24,25; enddatamin =@sum (quantity: (A+B*x-y)^2); @free (A); @free(B);计算结果如图所示用LINGO解得：A= -17.57909,B=3.932409，所以y= -17.57909+3.932409*x. β0= -17.57909,β1=3.932409（2）绝对偏差和最小，根据最小一乘方法求解，相应的无约束问题为∑=+=ni1ii1y-xmin1ββββ，，为了方便计算，将β0, β1换成A,B，相应的LINGO程序如下：sets:quantity/1..50/: x,y;endsetsdata:y=2,10,4,22,16,10,18,26,34,17,28,14,20,24,28,26,34,34,46,26,36,60,80,20,26,54,32,4 0,32,40,50,42,56,76,84,36,46,68,32,48,52,56,64,66,54,70,92,93,120,85;x=4,4,7,7,8,9,10,10,10,11,11,12,12,12,12,13,13,13,13,14,14,14,14,15,15,15,16,16,17, 17,17,18,18,18,18,19,19,19,20,20,20,20,20,22,23,24,24,24,24,25;enddatamin=@sum(quantity: @abs(A+B*x-y));@free(A); @free(B);计算结果如图所示用LINGO 解得：A= -11.6,B=3.4， 所以y= -11.6+3.4*x. β0= -11.6,β1=3.4（3）最大偏差最小，根据最大偏差的最小的方法求解，相应的无约束问题为i i 101y -x max min 10ββββ+=≤≤ni ，，为了方便计算，将β0, β1换成A,B ，相应的LINGO程序如下： sets :quantity/1..50/: x,y; endsets data :y=2,10,4,22,16,10,18,26,34,17,28,14,20,24,28,26,34,34,46,26,36,60,80,20,26,54,32,40,32,40,50,42,56,76,84,36,46,68,32,48,52,56,64,66,54,70,92,93,120,85;x=4,4,7,7,8,9,10,10,10,11,11,12,12,12,12,13,13,13,13,14,14,14,14,15,15,15,16,16,17,17,17,18,18,18,18,19,19,19,20,20,20,20,20,22,23,24,24,24,24,25; enddatamin =@max (quantity: @abs (A+B*x-y)); @free (A); @free (B); 计算结果如图所示用LINGO解得：A= -12,B=4，所以y= -12+4*x. β0= -12,β1=4X轴为速度，Y轴为距离，蓝色点多已知数据点，y1,y2,y3分别为前三种方法求得的数据点，黑色线为通过蓝色数据点得到的线性回归方程y=1.445x+6.121,比较三种方法得到曲线，可以看到与红色曲线吻合度高于其他两种方法，所以第一种方法得到的结果更为合理。

数据建模作业4图论(组合优化)实验1、最短路问题的应用一设备更新问题某单位计划购买一台设备在今后4年内使用.可以在第一年初购买该设备，连续使用4年，也可以在任何一年末将设备卖掉，于下年初更换新设备.表 4.1给出各年初购置新设备的价格，表4.2给出设备的维护费，及卖掉旧设备的回收费。

问如何确定设备的更新策略，使4年内的总费用最少?表4.1年初设备购置价格(单位:万元)第一年第二年第三年第四年年初购置价 2.5 2.6 2.8 3.1表4.2设备维护费和设备折旧费(单位:万元)设备役龄0～1 1～2 2～3 3～4 年维护费0.3 0.5 0.8 1.2年末处理回收费 2.0 1.6 1.3 1.1解答：用图论知识来解此题。

分别用5个点[1，2，3，4，5]表示第i年开始，各点之间连线表示费用，用C ij表示第i年开始，到j-1年结束的费用。

根据题意，可画出下图1-1443 2 1 01 2 3 4 5 6图1-1LINGO 中程序：sets :nodes/1..5/;arcs(nodes,nodes)|&1 #lt# &2:c,x; end sets data :c = 0.8,1.7,2.8,4.2,0.9,1.8,2.9,1.1,2,1.4; enddatan = @size (nodes); min = @sum (arcs:c*x);@for (nodes(i)| i #ne# 1 #and# i #ne# n :@sum (arcs(i,j):x(i,j)) = @sum (arcs(j,i):x(j,i))); @sum (arcs(i,j)| i #eq# 1 : x(i,j)) = 1;程序运行结果如下：Global optimal solution found.Objective value: 3.700000 Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost N 5.000000 0.000000 C( 1, 2) 0.8000000 0.000000 C( 1, 3) 1.700000 0.000000 C( 1, 4) 2.800000 0.000000 C( 1, 5) 4.200000 0.000000 C( 2, 3) 0.9000000 0.0000001 1 1 12 2 23 3结束C( 2, 4) 1.800000 0.000000C( 2, 5) 2.900000 0.000000C( 3, 4) 1.100000 0.000000C( 3, 5) 2.000000 0.000000C( 4, 5) 1.400000 0.000000X( 1, 2) 1.000000 0.000000X( 1, 3) 0.000000 0.000000X( 1, 4) 0.000000 0.5000000X( 1, 5) 0.000000 0.5000000X( 2, 3) 0.000000 0.000000X( 2, 4) 0.000000 0.3000000X( 2, 5) 1.000000 0.000000X( 3, 4) 0.000000 0.5000000X( 3, 5) 0.000000 0.000000X( 4, 5) 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 0.000000 0.0000002 3.700000 -1.0000003 0.000000 -3.7000004 0.000000 -2.9000005 0.000000 -2.0000006 0.000000 -1.400000结论：从程序运行结果可见，设备应该在第一年年末卖出，在第二年初买入，在第四年末卖出，总费用最小，为3.7万元。

第三次作业1.生产计划安排某公司使用三种操作装配三种玩具一玩具火车、玩具卡车和玩具汽车.对于二种操作可冃时间限制分别是每天430分钟、460分钟和420分钟，玩具火车、玩具代车和玩具汽车的单位收入分別是3美元、2美元和5美元•每辆玩具火车在三种操作的装配时间分別是1分钟、3分钟和1分钟•毎辆玩具K车和每辆玩具汽车相应的时间是(2,0,4)和(1,2,0)分钟(零时间表示不使用该项操作).(1)将间题建立成一个线性规划模型，确定最优的生产方案.(2)对于操作1,假定超过它当前每天43()分钟能力的任何附加时间必须依靠每小时50美元的加班获得•每小时成本包括劳动力和机器运行费两个方面. 对于操作1,使用加班在经济I：冇利吗？如果冇利，最多増加多少时间？(3)假定操作2的操作员已同意每天加班工作2小时，其加班费是45美元•小时.还有，操作自身的成本是•小时10美元.这项活动对于每天收入的实际结果是什么？(4)操作3需要加班时间吗？解：(1)设生产玩具火车、玩具卡车和玩具汽车的数量分别为XI, X2, X3,则H 标函数为：max Z=3X 1+2X2+5X3约朿条件：XI +2X2 +X3V 二4303X1 +2X3<=460XI +4X2 <=420Xl>=0； X2>=0； X3>=0输到ling。

里面的结果为；Global optimal solution found.Objective value:1350.000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 2Model Class: LPTotal variables: 3Non linear variables: 0Total constraints: 4Nonlinear constraints:Total non zeros:10Non linear non zeros:VariableValue Reduced CostXI0.000000 4.000000X2100.0000 0.000000X3230.00000.000000RowSlack or SurplusDual Price11350.0001.000000 2 0.000000 1.0000003 0.000000 2.000000420.000000.000000所以玩具火车、玩具卡车和玩具汽车的生产数量分别为：0、100. 230； 最大的收入为1350.(2)表明操作1每工作1分钟的利润是2美元，如果是要加50美元每小时的加工费的话，一定 是赚的。

实验二解：（1）将线性方程组写成矩阵形式dXdt =AX,A=a11a12a21a22=1001若det(A)≠0,则X0=(0,0)T,是唯一平衡点。

p=-(a11+a22)=-2,q=det(A)=1,因为p<0,q>0,所以平衡点不稳定。

（2）将线性方程组写成矩阵形式dXdt =AX,A=a11a12a21a22=−1002若det(A)≠0,则X0=(0,0)T,是唯一平衡点。

p=-(a11+a22)=-1,q=det(A)=-2,因为p<0,q<0,所以平衡点不稳定。

（3）将线性方程组写成矩阵形式dXdt =AX,A=a11a12a21a22=01−20若det(A)≠0,则X0=(0,0)T,是唯一平衡点。

p=-(a11+a22)=0,q=det(A)=2,因为p=0,q>0,所以平衡点不稳定。

（4）将线性方程组写成矩阵形式dXdt =AX,A=a11a12a21a22=−100−2若det(A)≠0,则X0=(0,0)T,是唯一平衡点。

p=-(a11+a22)=3,q=det(A)=2,因为p>0,q>0,p2>4q,所以平衡点稳定。

解:f(N)=R-KN,令f(N)=0,则N=k/Rf`(N)=-K<0,则N=k/R是稳定的。

当N<k/R时f(N)>0,N`(t)>0,N(t)递增；N>k/R时f(N)<0,N`(t)<0,N(t)递减ð2N ðt2=∂f∂N∙ðNðt=-K(R-KN),表明N=k/R为拐点，当N<k/R时N``(t)<0,N>k/R时N``(t)>0从图中可以看出N=k/R是营养平衡值，无论大于或小于这个值，细胞都会向这个点调整，偏离越大调整速率越大，接近平衡值时速率变小。

解：列满足条件的微分方程∂N=r1N−r2N12求平衡点，令f N=r1N−r2N1=0,解得N1=0，N2=r22r12ð2N ðt =∂f∂N∙ðNðt=(r1−12r2N−12)(r1N−r2N12）,解得N=r224r12从图中可以看出N1=0不稳定，N2=r22r12是稳定的解：令f x=r1−xNx−Ex=0得平衡点x1=N1−Er,x2=0f`(x1)=E-r,f`(x2)= r-E.若E<r,则有f`(x1)<0,f`(x2)>0.则x1是稳定的，x2是不稳定的。